Скачать ГОСТ Р 54521-2011 Статистические методы ...gost.donses.ru/Data/520/52026.pdf · 54521 — 2011 Статистические ... рованию

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО

ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ

Н А Ц И О Н А Л Ь Н Ы ЙС Т А Н Д А Р Т

Р О С С И Й С К О ЙФ Е Д Е Р А Ц И И

ГОСТ Р 54521 —

2011

Статистические методы

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ И ЗНАКИ ДЛЯ ПРИМЕНЕНИЯ В СТАНДАРТАХ

Издание оф ициальное

Стаидцим |фщи12012

разработка сметной документации

http://www.mosexp.ru/sostavlenie_smet.html

ГОСТ Р 54521— 2011

Предисловие

Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. №? 184-ФЗ «О техническом регулировании», а правила применения национальных стандартов Российской Федерации — ГОСТ Р 1.0—2004 «Стандартизация в Российской Федерации. Основные положения»

Сведения о стандарте

1 ПОДГОТОВЛЕН Автономной некоммерческой организацией «Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем» (АНО «НИЦ КД») на основе собственного аутентичного перевода на русский язык стандарта, указанного в пункте 4

2 ВНЕСЕН Техническим комитетом по стандартизации Т К 125 «Статистические методы в управлении качеством продукции»

3 УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 24 ноября 2011 г. № 595-ст

4 Настоящий стандарт разработан с учетом основных требований международного стандарта ИСО 80000-2:2009 «Величины и единицы. Часть 2. Математические символы и знаки для применения в естественных науках и технологиях» (ISO 80000-2:2009 «Quantities and units — Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology»)

5 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодно издаваемом информационном указателе «Национальные стандарты». а текст изменений и поправок — в ежемесячно издаваемых информационных указателях «Национальные стандарты». В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ежемесячно издаваемом информационном указателе «Национальные стандарты». Соответствующая информация. уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет

©Стандартинформ. 2012

Настоящий стандарт не может быть полностью или частично воспроизведен, тиражирован и распространен в качестве официального издания без разрешения Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии

и

ГОСТ Р 54521— 2011

Содержание

1 Область применения......................................................................................................................................... 12 Нормативные ссы лки......................................................................................................................................... 13 Переменные, функции и операторы............................................................................................................. 14 Математическая л огика .................................................................................................................................... 25 М ножества............................................................................................................................................................ 36 Стандартные множества чисел и интервалы............................................................................................. 47 Разные знаки и символы ................................................................................................................................. 68 Элементарная геометрия................................................................................................................................ 79 О перации.............................................................................................................................................................. 810 Комбинаторика..................................................................................................................................................... 1011 Функции ................................................................................ 1112 Показательная и логарифмическая ф ункции............................................................................................. 1413 Тригонометрические и гиперболические ф ункции.................................................................................... 1514 Комплексные числа........................................................................................................................................... 1715 Матрицы................................................................................................................................................................. 1716 Система координат............................................................................................................................................ 1917 Скаляры, векторы и тензоры .......................................................................................................................... 2018 Преобразования................................................................................................................................................. 2319 Специальные ф ункции..................................................................................................................................... 24Приложение А (обязательное) Шестнадцатеричные коды символов.......................... ............................ 29Библиография........................................................................................................................................................... 31

III

ГОСТ Р 54521— 2011

Введение

Описание знаков, символов, выражений в настоящем стандарте приведено в форме таблиц (таблицы 4.1 — 19.1). структура которых, за исключением таблицы 16.1. одинакова.

В первой колонке этих таблиц приведен номер знака, символа, выражения.Во второй колонке таблицы («Знак, символ, выражение») приведено изображение рассматриваемых

знака, символа, выражения. Если более одного знака, символа или выражения приведено для одного объекта, они являются одинаково применимыми и эквивалентными.

В некоторых случаях рекомендуется применять единственное выражение.В третьей колонке таблицы («Значение, устный эквивалент») приведено описание значения объекта и

его устный эквивалент. Значение приведено для идентификации соответствующего понятия и не является полным математическим определением.

В четвертой колонке таблицы («Примечания, примеры») приведена полезная дополнительная информация. Приведенные определения являются достаточно краткими. Определения с математической точки зрения не являются полными.

Структура таблицы 16.1 несколько иная.

IV

ГОСТ Р 54521—2011

Н А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Й С Т А Н Д А Р Т Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И

Статистические методы

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ И ЗНАКИ ДЛЯ ПРИМЕНЕНИЯ В СТАНДАРТАХ

Statistical methods. Mathematical symbols and signs to be used in the standards

Дата введения — 2012—12—01

1 Область применения

В стандарте приведены общие сведения о математических символах и знаках, их значениях, устных эквивалентах и применении.

Рекомендуемые в стандарте символы и знаки предназначены главным образом для использования в стандартах, но могут быть использованы также и в других областях. Приведенные в настоящем стандарте математические символы соответствуют требованиям ИСО 80000-2 [1]. ГОСТ 1.5.

2 Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использована нормативная ссылка на следующий стандарт:ГОСТ 1.5 —2001 Межгосударственная система стандартизации. Стандарты межгосударственные, пра

вила и рекомендации по межгосударственной стандартизации. Общие требования к построению, изложению. оформлению, содержанию и обозначению

3 Переменные, функции и операторы

Переменные, такие как х. у, и т. д.. и индексы, такие как /' в I,х,, следует изображать курсивом. Параметры, такие как а, Ь. и т. д., рассматриваемые в контексте как постоянные, изображают курсивом. То же относится ко всем функциям, например f. д.

Четко определенные функции независимо от контекста изображают без наклона (вертикально), например sin, exp. In. Г. Математические константы изображают без наклона (вертикально), например е = 2,718 218 8 .... к = 3.141 592...; /2 = -1 . Четко определенные операторы также изображают без наклона (вертикально), например div, 6 в 5Л и d в df/dx.

Числа, представленные цифрами, всегда изображают прямым шрифтом (вертикально), например 351 204; 1,32; 7/8.

Аргумент функции указывают в круглых скобках после символа функции без пробела между символом функции и первой кр уто й скобкой, например f(x). cos(utf + <р). Если символ функции состоит из двух или большего количества букв, а аргумент не содержит символа операции (♦. - . х , или /), круглые скобки вокруг аргумента могут быть опущены. В этих случаях должен быть небольшой пробел между символом функции и аргументом, например int 2.4; sin пп: arcosh 2А; Ei х.

Если существует возможность ошибки, необходимо использовать круглые скобки. Например, cos х ♦ у лучше записать в виде cos(x) + у. чтобы исключить ошибочное понимание этой формулы.

Издание официальное

1

ГОСТ Р 54521— 2011

Запятая, точка с запятой или другой соответствующий символ могут быть использованы для разделения чисел или выражений. Предпочтительно использование запятой, кроме тех случаев, когда ее используют при записи десятичных дробей.

Если выражение или уравнение должно быть записано в две или более строк, следует применять правила, установленные в ГОСТ 1.5.

По возможности разрыв формулы не следует использовать внутри выражения в круглых скобках.Общепринято использование различных букв (греческого, латинского или других алфавитов) для раз

личных объектов. Это делает формулы более удобными и помогает в восприятии соответствующего текста. При использовании нескольких шрифтов необходимо приводить соответствующие пояснения (при необходимости).

4 Математическая логика

Знаки, символы, выражения, используемые в математической логике, приведены в таблице 4.1.

Т а б л и ц а 4.1 — Знаки, символы, выражения, используемые в математической логике

Номер знака, сим в ол а

вы раж е ни я

Знак, сим вол, вы раж е ни е

Значение и устны й э кв и в а л е н т П римечания, примеры

4.1 Р Л Я Конъюнкция р и q, р и q —

4.2 p v q Дизъюнкция р и q, р или q Выражение p v q является истинным, если истинно р или q или оба

4.3 ~>Р Отрицание р. не р

В качестве эквивалентного может быть использовано обозначение р. В математике аналогичное обозначение используют также для обозначения выборочного среднего (см. 9.12) и комплексно сопряженного числа (см. 14.6)

4.4 Р = > Я р включает д, если р. то qg <= р имеет то же значение, что и

р=» д.=> символ включения

4.5 Р <=> <7 р эквивалентно q(р =» д) л (д => р) имеет то же значение, что и

р « д .е=> символ эквивалентности

4.6 Vx е А р(х)Для каждого х. принадлежа

щего множеству А. высказывание р(х) истинно

Если из контекста ясно, что представляет собой множество А. выражение Vx р(х) гложет быть использовано.

V — квантор общности.Дляхе А см. 5.1

4.7 Зхе Ар(х)Существует х. принадлежа

щий множеству А. для которого р(х) истинно

Может быть использовано выражение 3хр(х). если из контекста ясно, что представляет собой множество А.

3 — квантор существования.Длях е А. см 5.1.Выражение З’х р(х) означает, что существует

только один элемент, для которого р<х) истинно. Выражение 3! используют как эквивалент 3'

2

ГОСТ Р 54521— 2011

5 Множества

Знаки, символы, выражения, используемые в теории подмножеств, приведены в таблице 5.1.

Т а б л и ц а 5.1 — Знаки, символы, выражения, используемые в теории подмножеств

Номер эмака. сим в ол а ,


Знак, сим вол, вы р а ж е ни е

Значение и устный э кв и в а л е н т

П римечания, примеры

5.1 хе Ах принадлежит А. х является элементом мно

жества А

Выражение A J х имеет тот же смысл, чтоихе А

5.2 У« Ау не принадлежит А. у не является элементом

множества А

Выражение A jy имеет то же смысл, что и у * А. Знак отрицания гложет также быть верти- капьным

5.3 ......Совокупность элементов* 1.Х2......х„

Эквивалентным является выражение {х, |>е /}. где / — совокупность индексов

5.4 (хеА |р(х)}Количество элементов мно

жества А. для которых р(х) истинно

Пример — {х е R|x £ 5}. В качестве эквивалентного выражения гложет быть использовано выражение (хЦр(х)}, если из контекста ясно, что представляет собой множество А. Например, {х{х £ 5}, если ясно, что х — действительное число

5.5card А

\А\Количество элементов мно

жества А.Мощность множества А

Мощность множества может быть бесконечной (см. 9.16)

Примеры —\А\ = К |В| = К.где А — множество целых чисел.В — множество вещественных чисел.N — мощность бесконечного множества

5.6 0 Пустое множество —

5.7 B<zAМножество В принадлежит

множеству А.В является подмножеством А

Каждый элемент множества В принадлежит множеству А.

Выражение А э В имеет тот же смысл, что и В с А

5.8 В с А

В целиком принадлежит множеству А.

В — собственное подмножество множества А

Каждый элемент множества В принадлежит множеству А. но существует по крайней мере один элемент множества А. не принадлежащий множеству В.

Выражение А з В имеет тот же смысл, что и В с А

5.9 A U В Объединение множеств А и ВМножество, содержащее все элементы мно

жеств А и В.A U В = {х|х е A v хе В)

5.10 А П В Пересечение множеств А и ВМножество, содержащее элементы, принад

лежащие одновременно множеству А и множеству В.

А П В = {х|хеАлхеВ}

3

ГОСТ Р 54521— 2011

Окончание таблицы 5.1

Номер знака, символа

выраженияЗнак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

5.11

п1 К

A, U A jU ... UA„

Объединение множеств А1 А2......Ап

Множество, элементы которого принадлежатхотя бы одному из множеств ......Ап.

В качестве эквивалентных могут быть исполь

зованы знаки I f . , . U и Uf4/.ш

где / — множество индексов

5.12

оГ К

А, ОА2П... ПА„

Пересечение множествД ......К

Множество, элементы которого принадлежатодновременно всем множествам А.. А2......Ап.

В качестве эквивалентных могут быть исполь

зованы знаки f f . , . Г) и Пм,.м /

где / — множество индексов

5.13 А\В Разность множеств А и В, А минус В

Множество, элементы которого принадлежат множеству А. но не принадлежат множеству В.

А\В = {х|х е А л хе В}.Не следует использовать выражение А - В.Иногда в качестве эквивалентного использу

ют выражение £дВ. Главным образом его применяют когда В — подмножество множества А. Символ А может быть опущен, если из контекста ясно, что представляет собой множество А

5.14 (а. Ь) Упорядоченная пара а. 6, пара а. Ь

(а. Ь) = (с. d) тогда и только тогда а = с и b = d.

В качестве разделительного знака могут быть использованы точка с запятой (;) или знак (|)

5.15 (fli • а2......а„) Упорядоченный л-кортеж См. замечание к 5.14

5.16 А х ВДекартово произведение

множеств А и ВМножество упорядоченных пар (а. Ь). таких,

что а е А и b е В.А X В = {(х.у ) \х е А л у е В )

5.17Г Мг-1

А, х А2 Х...Х А„

Декартово произведение множеств А,. А2......Ал

Множество упорядоченных л-кортежей(х,. х2...... хл), таких, что х, еА, . х2 е А 2. ....х„еА л.

А х А X ... х А обозначают А", где л — количество сомножителей в произведении

5.18 •dд

Отношение идентичности на А.

Диагональ А X А

id* есть множество всех пар (х. х), где хеА.

Символ А может быть опущен, если из контекста понятно, что представляет собой множество А

6 Стандартные множества чисел и интервалы

Знаки, символы, выражения, используемые для стандартных множеств чисел и интервалов, приведены в таблице 6.1.

4

ГОСТ Р 54521— 2011

Т а б л и ц а 6.1 — Знаки, символы, выражения, используемые для стандартных множеств чисел и интерваловН омер знака,

си м в о л а , вы раж е ни я

Зиак. сим вол, вы раж е ни е



6.1 N

Множество всех натуральных чисел.

Множество, элементами которого являются все положительные целые числа и нуль

N = {0. 1,2 .3 ....}.N *= {1 .2 .3....}.Другие ограничения могут быть указаны оче

видным способом, как показано ниже.N,s = {пё N|n > 5}

6.2 Z Множество целых чисел

Z = {..., -2. -1 .0 .1 .2 ....}.z* = {ле г|л *о>.Другие ограничения могут быть указаны оче

видным способом, как показано ниже.Z_._3 = {п е Zjn 2 —3}

6.3 QМножество рациональных

чисел

Q* = {re Q |r*0 }.Другие ограничения могут быть указаны оче

видным способом, как показано ниже.Q<o = {re Q|r < 0}

6.4 R Множество действительных чисел

R* = {х € R|x * 0}.Другие ограничения могут быть указаны оче

видным способом, как показано ниже.R.0 = {xeR |x>0}

6.5 С Множество комплексных чисел

С* = {z е C|z * 0}

6.6 Р Множество простых чисел Р = {2. 3. 5, 7 .11.13.17....}

6.7 (а. Ь] Закрытый интервал от а до 6 с включением конечных точек а и б

[а. 6] = {х е R|a £ х £ 6}

6.8 (а. Ь1Интервал, открытый слева,

от а до Ь с включением точки б(a. 6J = {х е R|a < х £ б}.В качестве эквивалентного может быть ис

пользовано выражение ]а. б]

6.9 [а. 6)Интервал, открытый справа,

от а до б с включением точки а[а. б) = {х е R|a £ х < б}.В качестве эквивалентного может быть ис

пользовано выражение [а. б(

6.10 (а. б)Открытый интервал от а до б

без включения точек а и б(а. б) = {х е R|a < х < б).В качестве эквивалентного может быть ис

пользовано выражение Ja. б[

6.11Полузакрытый неограничен

ный интервал до 6. включая точку б

(—ж, б] = {х е R|x £ б}.В качестве эквивалентного может быть ис

пользовано выражение }-» , 6J

6.12 <— . б)Полуоткрытый неограничен

ный интервал до б. исключая точку б

(-о®, б) = {х е R|x < б}.В качестве эквивалентного может быть ис

пользовано выражение }- б[

6.13 [а. +«)Полузакрытый неограничен

ный интервал до а. включая точ- куэ

[а.+») = {х€ R|a£x}.В качестве эквивалентных могут быть исполь

зованы выражения [а. » [, {а. + о® [ и [а. °°)

6.14 (а. МПолуоткрытый неограничен

ный интервал до а. исключая тег-ку а

(а, + ос.) = {х е R|a < х}.В качестве эквивалентных могут быть исполь

зованы выражения ]э, + ео [. ]а. о» j и (а. ®о)

5

ГОСТ Р 54521— 2011

7 Разные знаки и символы

Знаки, символы, выражения, используемые для разных знаков и символов, приведены в таблице 7.1.

Т а б л и ц а 7.1 — Знаки, символы, выражения, используемые для разных знаков и символов

Номер знака, си м в о л а ,



Значение и устны й э кв и в а л е н т


7.1 а = Ь а равно бМожет быть использован символ =, если необ

ходимо подчеркнуть идентичность а и б (см. 7.18)

7.2 а * Ь а не равно бЧерточка отрицания может также быть верти

кальной

7.3 а := Ь а по определению равно б

Пример —р := mv. где р — импульс, т — масса.

V — скорость.Могут также быть использованы символы =aef

и ^

7.4 а = Ь а соответствует б

Пример —Если Е = кТ. то 1 eV = 11 604,5 К.Если 1 см на карте соответствует длине 10 км.

можно записать 1 см = 10 км.Соответствие не может быть симметричным

7.5 а b а приближенно равно б Качество приближения определяет пользователь. Равенство включено

7.6 а ^ Ь а асимптотически равно Ь1 1

Пример— sin (x-a ) ~ х -а при х -* а.

(для х -» а. см. 7.16)

7.7 а - Ь а пропорционально б

Символ - также используют для обозначения отношения эквивалентности.

В качестве эквивалентного может быть использовано выражение а » б

7.8 M ^ N М конгруэнтно N. М изоморфно N

Пример —М и N — множества точек (геометрические фи

гуры).Этот символ также используют для обозначе

ния изоморфизма математических структур

7.9 а < Ь а меньше Ь —

7.10 Ь> а б больше а —

7.11 а £ Ь а меньше или равно б —

7.12 Ь 2 а Ь больше или равно а —

7.13 а « Ь а много меньше б Является ли а достаточно маленьким по сравнению с 6 определяет пользователь

7.14 Ь » а б много больше а Является ли б достаточно большим по сравнению с а определяет пользователь

6

ГОСТ Р 54521— 2011


Н омер знака, сим в ол а ,


Зил*, сим вол , вы р а ж е ни е



7.15 Бесконечность

Данный символ не обозначает число, но является часто используемым в различных выражениях. относящихся к границам интервалов.

Также используют обозначение +>». —=*

7.16 х - * а х стремится к аДаннов выражение часто используют в различ

ных выражениях для описания границ интервалов.

Вместо а могут быть использованы «. +°о. или - «

7.17 т\п т нацело делит п, п делится на т без остатка

Для целых т и п :3 ке Z такое, что т к = п

7.18 п - k mod тл конгруэнтно (сравнимо) с к

no mod т (остатку от деления на т)

Для целых чисел л. к и лг ml(n - к) (см. 7.1)

7.19

(а + й) [а + б]{а + 6}

{а + ь)

Круглые скобки Квадратные скобки Фигурные скобки Угловые скобки

Рекомендуется по возможности использовать только круглые скобки, т. к. у квадратных и фигурных скобок есть определенное значение в специфических областях

8 Элементарная геометрия

Знаки, символы, выражения, используемые в элементарной геометрии, приведены в таблице 8.1.

Т а б л и ц а 8.1 — Знаки, символы, выражения, используемые в элементарной геометрии




Значение и устны й э ке и в а л е н т

Примечания примеры

8.1 AB|jCDПрямая АВ параллельна

прямой CD

Записывают g || h, если g и h — прямые линии, проходящие через точки А. В и С. D соответственно.

В качестве эквивалентной используют запись AB//CD

8.2 AB1CD Прямая АВ перпендикулярна прямой CD

Записывают g 1 h, если g и h — прямые, проходящие через точки А. В и С. D соответственно. На графике прямые линии должны пересекаться под прямым углом

8.3 <?АВС Угол при вершине В треугольника АВС

В общем случав угол имеет направление и для него справедливы следующие соотношения:

•5 АВС = 5 СВ А.0 S « АВС ^ л рад

8.4 АВ Отрезок прямой от А до ВОтрезок прямой — множество точек между точ

ками А и В на прямой АВ

8.5-*АВ Вектор от А до В

—* —>Если AB=CD. то В находится на таком же рас

стоянии от А. как D от С. Из этого следует, что А = С и В = D

8.6 d(A.B) Расстояние между точками А и В

__ —*Длина отрезка АВ. а также величина вектора АВ

7

ГОСТ Р 54521— 2011

9 Операции

Знаки, символы, выражения, используемые для обозначения операций, приведены в таблице 9.1.

Т а б л и ц а 9.1 — Знаки, символы, выражения, используемые для обозначения операций



Знак, сим вол , вы раж е ни е



9.1 а + Ь а ПЛЮС Ь Эту операцию называют операцией сложения. Символ «+» является знаком сложения

9.2 а - Ь а минус Ь Эту операцию называют операцией вычитания. Символ «-» является знаком вычитания

9.3 а ± b а плюс/минус Ь Это — комбинация двух значений в одном выражении

9.4 а Т b а минус/птиос b - ( а ± Ь ) = - а ~ Ь

9.5а ■ b

а х Ь а b ab

Умножение а на 6

Эту операцию называют операцией умножения. Символом умножения является точка (•) или косой крестик (X).

Знак умножения может быть опущен, если ошибка исключена.

См. также 5.16. 5.17, 17.11. 17.12. 17.23 и 17.24 для использования точки и крестика в различных случаях

9.6

аЬ

albДеление а на Ь

I — ^См. также 7.1.3 (3).Для деления применяют также знак (:).Пример — Отношение высоты h к ширине Ь лис

та А4 равно h : Ь = ^2 .Не спедует использовать знак *

9.7Л

1а,/-1

а, + а2 +... + эл. сумма а,. а2.....а„

Применимы также выражения 2 , - ien X е,'

1 , эе I a,

9.8Л

j- i

э< - в2 • — ■ а0. произведение ат. Эг, .... ал

Применимы также выражения П ал

П .а, и П а>

9.9 а? а в степени рУстным эквивалентом а2 является а в квадрате. Устным эквивалентом аг является а в кубе

9.10а '12

Яа в степени '/2.Корень квадратный из а

Если a 2 0, то -fa 2 0.Для обозначения квадратного корня не следует

применять символ \а.См. 9.11

9.11дМП

Va

а в степени 1/л.Корень л-й степени из а

Если а 2 0. то nJa 20.Для обозначения корня л-й степени не следует

применять va.Для исключения ошибки в сложных случаях сле

дует применять круглые скобки

8

ГОСТ Р 54521— 2011

Продолжение таблицы 9.1

Номер знака, сим в ол а ,



Знамение и устны й э кв и в а л е н т


9.12

X

W

Выборочно© среднее X. Среднее арифметическое х

Другие выборочные значения:- гармоническое среднее обозначают добавле

нием индекса h,- среднее геометрическое обозначают добавле

нием индекса д,- квадратный корень из среднего арифметичес

кого квадратов или среднеквадратичное значение обозначают добавлением индекса q.

Индекс может быть опущен только для среднего арифметического.

В математике х используют также для обозначения комплексного числа, сопряженного с х (см. 14.6)

9.13 sgn а Сигнум а

Для действительного а:

1. еслиз>0 0. если з=0sgn а =-1 . если е<0

См. 14.7

9.14 infW Инфинум МНаибольшая нижняя грань непустого множества,

ограниченного снизу

9.15 s u p М Супремум МНаименьшая верхняя грань непустого множе

ства. ограниченного сверху

9.16 |э |

Абсолютное значение а. Модуль а.Абсолютная величина а

Обозначение abs а также может быть использовано.

Абсолютное значение действительного числа а. Модуль комплексного числа а (см. 14.4). Модуль

вектора а (см. 17.4. 5.5)

9.17 Ш

Округление а до ближайшего целого в меньшую сторону (антье).

Наибольшее целое число, равное действительному числу а или меньше его

Обозначение enl а также может быть использовано.

Примеры —

LZ4j=2.

L -2 -4 j= -3

9.18 И

Округление а до ближайшего целого в большую сторону.

Наименьшее целое число, больше или равное действительному числу а

Примеры —

[2.41=3.

Г-2.41 = - 2

9.19 int а Целая часть действительного числа а

int а = sgn a |_|e|J Примеры — int (2.4) = 2. int (-2.4) = -2.В качестве эквивалентного может быть исполь

зовано обозначение [а], int а = (а)

9

ГОСТ Р 54521— 2011







9.20 frac а Дробная часть действительного числа а

frac а = а - int а.Примеры —(гас(2,4) = 0.4,(гас(-2.4) = -0,4.В качестве эквивалентного гложет быть исполь

зовано обозначение {a}, frac а = {а}

9.21 min(a, b) Минимум из а и 6Операция выбора наименьшего числа из набо

ра чисел. Однако в бесконечном наборе чисел может не быть наименьшего элемента

9.22 тах(э. Ь) Максимум из а и бОперация выбора наибольшего числа из набо

ра чисел. Однако в бесконечном наборе чисел может не быть наибольшего элемента

10 Комбинаторика

Знаки, символы, выражения, используемые в комбинаторике, приведены в таблице 10.1. В данном разделе п и Л -н а ту р а л ь н ы е числа и к й п .

Т а б л и ц а 10.1 — Знаки, символы, выражения, используемые в комбинаторике

Номер знака, символа,

выраженияЗнак, СИМВОЛ выражение

Значение и устный эквивалент Примечания, примеры

10.1 л! Факториал числа л

лл! = П * = 1 - 2 - 3 ... л (л > 0)

0! = 1

а - = а(а - 1) -... • (а - Л + 1) (к > 0)

10.2ка -

[э]аУбывающий факториал

=1а гложет быть комплексным числом. Для натурального числа гг.

„1 л!" " ( л - * ) !

10.3*а -

(•)» Возрастающий факториал

а* = afa + 1)• ... • (а + к - 1) (к > 0)

а°= 1а может быть комплексным числом.Для натурального числа гг.

к (лт-А-1) !" = (л-1)! •(а)* называется символом Почхамглера в теории

специальных функций. В комбинаторике и статистике этот символ часто используют для обозначения убывающего факториала

10

ГОСТ Р 54521— 2011




Знак, символ, вы раж е ни е



10.40

Биномиальный коэффициент

М л!( * J #с!(г»—Ас)! ( O S / c S n )

10.5В„ Числа Бернулли

а п-Ч л + 1 \в ' ~ г т т £ 1 *

&э = 1.В, =-1/2. 8 ^ 3 = 0

10.6 елЧисло сочетаний из п по к

без повторений Г * ( П\ - П»л (/(J Ас!(л-Ас)!

10.7 яс *Число сочетаний из п по к

с повторениями ' М " Т ' )

10.8 Количество размещений без повторений из л по к

мк _* п!V« П (л-Л)!При л = к количество размещений равно коли

честву перестановок

10.9RwA

v oКоличество размещений с

повторениями из п по кRV* = л*

10.10 РПКоличество перестановок

порядка пР« = п\

Р , = <

11 Функции

Знаки, символы, выражения для функций приведены в таблице 11.1.

Т а б л и ц а 11.1 — Знаки, символы, выражения для функций


выраженияЗнак, символ выражение


11.1 /. д. Ь. ... ФункцияФункция ставит в соответствие каждому аргумен

ту из области определения функции одно или несколько значений из области значений функции

11.2 т'(*1......*п)

Значение функции f для аргумента х или аргумента (х,......х„) соответственно

Функция, имеющая л-аргументов. является л мерной функцией

11.3 / : А -> В 1 отображает А в В Функция f имеет область определения А и область значений В

11.4Г :х ^ Ц х ) .

X € А1 — функция, которая пере

водит х е А в Г(х)

Цх) обозначает значение функции / для аргумента х. Поскольку Цх) = Цх). определяющий символ часто используют в качестве символа вместо функции /.

Пример — f :x ~ 3 x *y , хе [0:2].1 — функция параметра у. равная произведению

Зх2у . определенная на заданном интервале [0: 2]

11

ГОСТ Р 54521— 2011


Н омер знака, си м в о л а ,


З нак, сим вол, вы р а ж е ни е


П рим ечания примеры

11.5/X-------»у

f(x) = y1 ставит в соотввтсгвие зна

чениям х значения у

Пример —

cosя --------- » - 1

11.6 |и=ЬЦЬ) - 1(a)/(.... Ь . а . ...)

Данное обозначение используют главным образом при вычислении определенных интегралов

11.7 9 ' f Сложная функция 1 и д(9 * 0<х) = 9(1<х)).В выражении g " 1 указана последовательность

применения функций g и 1

11.8lim f(x)X — *

limx _ , /(x)

Предел Цх) при х стремящемся к а

Выражение Цх) -* Ь при х -* а может быть записано в виде lim, _ а Цх) = Ь.

Пределы «справа» (х > а) и «слева» (х < а) обозначают в виде

lim, е. Цх) и lim, _ а _ Цх) соответственно

11.9 Цх) = 0(д{х))

f{x) есть О большое от д(х). Отношение |/{х)/д(х)| огра

ничено сверху в пределе, подразумеваемом контекстом.

Цх) имеет порядок, сопоставимый с или менее д(х)

Символ «=» в данном случав не является равенством и не обладает свойством транзитивности.

Пример —sin х = 0(х) при х -» 0

11.10 f{x) = o(g(x))

1(х) есть о маленькое от д(х). Отношение f(x)/g(x) ч О е

пределе, подразумеваемом контекстом.

Цх) имеет порядок менее9<х)

Символ «=» в данном случав не является равенством и не обладает свойством транзитивности.

Пример —cos х = 1 + о(х). при х —► 0

11.11 Д1 Дельта 1.Конечное приращение 1

Разность двух значений функции. Примеры —Дх = х2 - х ,.Д/ = «х2) - * х , )

11.12

61dx

d//dxr

Производная от функции ( по X

Даннов обозначение следует использовать только для функций одной переменной.

Обозначения d/(xydx. Г (х) и D1 также мо-

гут быть использованы.Если независимой переменной является вре

мя 1. то 1 также может быть использовано взамен V

11.13

f d l lV d x /, .,

W M x),-_ . Г (a)

Значение производной функции / для х = а —

12

ГОСТ Р 54521— 2011




Значение и устный эквивалент

11.14

d" f dx"

&’fldxnfW л-я производная функции

(по X

Следует использовать только для функций одной переменной.

сГ/(х)----- -—. d'7(x)i'dx". Лл|<х) и DT также могут быть

dx"использованы.

Г и Г" также используют для /<21 и /<3), соответственно.

Если независимой переменной является вре

мя /. то для Г используют также обозначение /

11.15

dfdx

dfldxOJ

Частная производная функции f nox

Следует использовать только для функции не-

скольких переменных д((х. у, ...)!дх.

Обозначения d, f(x. у ......) и D,, f(x. у. ...) такжемогут быть использованы.

Другие независимые переменные могут быть

Г dt 1показаны в виде индексов, например [

Данные обозначения распространяются также на производные более высокого порядка, например

6 4 д [ д( Лах2 “ dx \ дх /

д2( д ( д! \ дхду дх V ду )

Другие обозначения, например ="5х"(зу )'

также могут быть использованы

11.16 a iПолный дифференциал

функции f

11.17 s/Бесконечно малое изме

нение функции f —

11.18 /f(x )dx Неопределенный интеграл функции 1

—

11.19

t>/f(x )dxа

Определенный интеграл ( от а до Ь

Это простой случай функции, определенной на интервале. Интеграл от функции, имеющей более общую область определения, также может быть определен. Специальные обозначения, например

1- !• !• f- используют для интеграла по кривой С.C S Vповерхности S. трехмерной области V и замкнутой кривой или поверхности соответственно.

Многократные интегралы обозначают аналогич

но Я ' # ит.д.

13

ГОСТ Р 54521— 2011




З нак. сим вол , вы р а ж е ни е



11.200

j -Цх) dxа

Значение интеграла типа Коши от функции 1. имеющей особую точку с

l im [ f /(x)dx + f/(x )dx1 а с !» J

где а < с < Ь

•

11.21 ±f(x) dx Значение интеграла типа Коши от функции /

lim ■ f^x jdx

11.22

=

w [x . f , [ x ) .m .....m =

' , ( * > f2W - w

t&X) H(x) - fn(x)

C ' V ) ... f iy > (x )

ОпределительВронского

ФункцииГ,(х). /2(х).....f„{x) имеют общую область

определения

12 Показательная и логарифмическая функции

Могут быть использованы сложные аргументы, в особенности с основанием е.Знаки, символы, выражения для показателей и логарифмической функции приведены в таблице 12.1.

Т а б л и ц а 12.1 — Знаки, символы, выражения для показателей и логарифмической функции



Знак, сим вол , вы р а ж е ни е



12.1 е Основание натурального логарифма

е := l im „_ (1 + 1 ) Л = 2.718 281 8 ...

12.2 а* Показательная функция аргумента х с основанием а

См. 9.9

12.3 е *. ехр х Показательная функция аргумента х с основанием е

См. 14.5

12.4 1одах Логарифм аргумента х по основанию а

Выражение log х используют в случаях, когда основание логарифма не указано

12.5 In X Натуральный логарифм хIn х = log , х.Не следует использовать log х вместо In х. Ig х. lb х. log ex, log,0 x. log2 x

12.6 »д* Десятичный логарифм хIg x = log,0 x. Cm. 12.5

12.7 1Ь х Двоичный логарифм хlb x = log2x. Cm. 12.5

14

ГОСТ Р 54521— 2011

13 Тригонометрические и гиперболические функции

Знаки, символы, выражения для тригонометрических и гиперболических функций приведены в таблице 13.1.

Т а б л и ц а 13.1 — Знаки, символы, выражения для тригонометрических и гиперболических функций






13.1 ПОтношение длины окруж

ности к ее диаметрух = 3 .1 4 1 592 6 . . .

1 3 .2 sin х Синус X

е“ -в~“sin х = 6 „ е— .2\

sin х = х - х^З! + х*/5! — ....Для (sin х)". (cos х)" и т. д. используют обозначе

ния sin" х. cos" х и т. д.

1 3 .3 COS X Косинус X cos х = sin(x + х/2)

1 3 .4 (an х Тангенс хtan х = sin x/cos x.По возможности следует избегать использова

ния обозначения tg х

1 3 .5 cot X Котангенс хcot х = 1/tan х.По возможности следует избегать использова

ния обозначения ctg х

1 3 .6 sec x Секанс х SBC X = 1/COS X

1 3 .7 CSC X Косеканс хesc х = 1/sin х.Обозначение cosec х также может быть исполь

зовано

1 3 .8 arcsin x Арксинус ху = arcsin х «=> х = sin у, -л/2 £ у £ л/2.Функция arcsin является обратной к функции sin

с упомянутым выше ограничением

1 3 .9 arccos x Арккосинус ху = arccos х <=> х = cos у. 0 £ у £ к .Функция arccos является обратной к функции cos

с указанным выше ограничением

1 3 .1 0 arctan x Арктангенс х

у = arctan х о х = tan у. -л/2 < у < л/2.Функция arctan является обратной к функции tan

с упомянутым выше ограничением.По возможности следует избегать использова

ния обозначения arctg

13.11 arccot x Аркотангенс х

у = arccot X <=г> х = cot у. 0 < у < л.Функция arccot является обратной к функции cot


ния обозначения arcctg х

1 3 .1 2 arcsec x Арксеканс ху = arcsec х <=> х = sec у. 0 2 у £ к , у * л/2. Функция arcsec является обратной к функции sec


15

ГОСТ Р 54521— 2011







13.13 arccsc х Арккосеканс х

у = arccsc х о х = csсу.- ж/2 S у S к / 2. у * 0 .Функция arccsc является обратной к функции esc


ния обозначения arccosec х

13.14 sinh х Гиперболический синус х

в * - в *sinh х = —— - - — .2

sinh х= х + х^З! + ... .По возможности следует избегать использова

ния обозначения sh х

13.15 cosh х Гиперболический косинус х

cosh X = + • " .

cosh2 х = sinh2 х + 1 .По возможности следует избегать использова

ния обозначения ch х

13.16 tanh x Гиперболический тангенс хtanh х - sinh x/cosh х.По возможности следует избегать использова

ния обозначения th х

13.17 coth x Гиперболический котангенс X

coth х = 1/tanhx

13.18 sech x Гиперболический секанс х sech х = 1/cosh x

13.19 csch x Гиперболический косеканс хcsch x = 1/sinh x .По возможности следует избегать использова

ния обозначения cosech х

13.20 arsinh xОбратный гиперболичес

кий синус X.Гиперболический арксинус х

у = arsinh х<=>х = sinh у.Функция arsinh является обратной к функции sinh. По возможности следует избегать использова

ния обозначения arsh х

13.21 arcosh xОбратный гиперболичес

кий косинус X.Гиперболический арккоси

нус X

у = arcosh х о х = cosh у. у 2 0.Функция arcosh является обратной к функции

cosh с упомянутым выше ограничением.По возможности следует избегать использова

ния обозначения arch х

13.22 artanh x

Обратный гиперболический тангенс х.

Гиперболический арктангенс X

у = artanh х <=> х = tanh у.Функция artanh является обратной к функции tanh. По возможности следует избегать использова

ния обозначения arth х

13.23 arcoth xОбратный гиперболичес

кий котангенс х.Гиперболический аркко

тангенс X

у = arcoth х х = coth у, у х 0 .Функция arcoth является обратной к функции coth


13.24 arsech xОбратный гиперболичес

кий секанс х.Гиперболический арксеканс х

у = arsech х<=> х = sech у. у г 0.Функция arsech является обратной к функции sech


16

ГОСТ Р 54521— 2011




Значение и устный эквивалент Примечания примеры

13.25 arcsch хОбратный гиперболичес

кий косеканс х.Гиперболический арккосе

канс X

у = arcsch х х = csch у, у 2 0.Функция arcsch является обратной к функции

csch с упомянутым ограничением выше.По возможности следует избегать использова

ния обозначения arcosech х

14 Комплексные числа

Знаки, символы, выражения для комплексных чисел приведены в таблице 14.1.

Т а б л и ц а 14.1 — Знаки, символы, выражения для комплексных чисел

Номер энака. символа,



14.1 ij

Мнимая единицаP * f = -1 .i используют в математике и в физике, j используют в электротехнике

14.2 Re z Действительная часть zz = х + iy,где х и у — действительные числа

14.3 Im z Мнимая часть zх = Re z . у = Im г. См. 14.2

14.4 И Модуль Z |z| = Jx2 + y 2.где х = Re z, у = Im z (см. 9.16)

14.5 arg z Аргумент zz = /в*.где г = fz| и <р = arg z. - х < tp s х, например. Re z = г cos <p. Im z = r sin cp

14.6zz*

Число комплексно сопряженное с Z

Обозначение z главным образом используют в математике.

Обозначение z ' главным образом используют в физике и технике

14.7 sgn z Сигнум Z sgn z = z/|zj = exp(i arg z). (z * 0). sgn z = 0 для z = 0 (cm. 9.13)

15 Матрицы

Знаки, символы, выражения для операций с матрицами приведены в таблице 15.1.Матрицы обычно обозначают жирными курсивными заглавными буквами, а их элементы тонкими кур

сивными строчными буквами, но могут быть также использованы и другие шрифты.

17

ГОСТ Р 54521— 2011

Т а б л и ц а 15.1 — Знаки, символы, выражения для операций с матрицами






15.1

А

(ам — аю

\ а/»1 "• аотп )

Матрица А размера т на п

Матрица А с элементами а(1 = (А),у. состоящая из т строк и п столбцов.

Обозначение А = (а0) также может быть использовано.

Вместо круглых скобок могут быть использованы квадратные скобки

15.2 А + 8 Сумма матриц Л и В

Су = + Ь,,. где (А + В) = (Су).A = (ay ).B = (bv).Матрицы А и В должны иметь одинаковое коли

чество строк и столбцов

15.3 хАПроизведение скаляра х и

матрицы АСу = хау.где хА = (с*). А =(а,у)

15.4 АВ Произведение матриц А и В

с * = Х а.у - V )

где AS = (Су), А = (а,). В = (by).Количество столбцов матрицы А должно быть

равно количеству строк матрицы В

15.5 Е1

Единичная матрица Квадратная матрица, для которой е* = 6Л , где Е = (е^) (см. 17.9)

15.6 А '

Инверсия квадратной матрицы А.

Обратная матрица матрицы А

АА 1 = А ’А = Е

15.7 АтТранспонированная матри

ца А

(Л7)* = (А)а,., су =a)t.где А* = (Су). А =(Эу)

15.8 АА ’

Матрица, сопряженная с матрицей А

(А)л =(А>^.

с* =

где А = (сА). А = (а*).А используется в математике. А" — в физике и

электротехнике.

сл — комплексное число сопряженное с а*

15.9 АнМатрица. Эрмитово-сопря

женная с матрицей ААН = ( А ) Т .

Для Ан могут также быть использованы обозначения А и А*

15.10

det А

®11 ” • а1л

в л1 ■ " апп

Определитель (детерминант) квадратной матрицы А —

15.11 rank А Ранг матрицы АРант матрицы А равен количеству ее линейно

независимых строк или количеству ее линейно независимых столбцов

18

ГОСТ Р 54521— 2011





Знамение и устны й э кв и в а л е н т


15.12 I f А След квадратной матрицы А tr А = 5>Л.(

где А = {а())

15.13 1ИН Норма матрицы А

Норма матрицы А представляет собой действительное число, удовлетворяющее следующим условиям:

1) ||А|| 2 0 причем ||А|| = 0 только, если А = 0;2) ||«А|| = |а | ЦАЦ, где ае R;3 ) ||А + ВЦ S ||А|| + ||В;|.Могут быть использованы другие нормы

матрицы

16 Система координат

Знаки, символы, выражения для систем координат приведены в таблице 16.1.

Т а б л и ц а 16.1 — Знаки, символы, выражения для систем координат

Номерзнака.

сим в ол а .вы раж е ни я

К о о р д и наты и его диф ф еренциал координат

Примечание

16.1 X . y . z

г = ж е,* ye, + ze2. йг = dx е, * d y еу + d z е2

Декартовы координаты

х, у, z — координаты, е.. ©2- ®з — базисные векторы. Эти

координаты могут быть распространены на л-мерное пространство.

е,. ву. в; — ортогональная правосторонняя система координат <см. рисунки 1 — 4).

Могут быть использованы базисные векторы /, J к

16.2 р.ч>.х r = Р е„ + ze.. d r = d p е, + р dcpe0 + dzez

Цилиндрические координаты

е(!(«р). е*(<р). е2 — ортогональная правосторонняя система координат (см. рис. 2).

Если z = 0. то р и <? — полярные координаты

16.3 Г, б. <рг = re,.

dr = d r e, * r d r t e,, + r s im » d ip e(.Сферические

координатыe,(rt. <р>, ей(0, ср), ©,.(ф) — ортогональ

ная правосторонняя сферическая система координат (см. рисунок 3)

П р и м е ч а н и е — В некоторых случаях вместо правосторонней системы координат {см. рисунок 4) используют левостороннюю систему координат (см. рисунок 5). Каждый раз это должно быть четко установлено для исключения возможных ошибок.

19

ГОСТ Р 54521— 2011

Рисунок 1 — Декартова система координат (право

сторонняя

Рисунок 2 — Цилиндричес- Рисунок 3 — Сферическаякая система координат система координат (правосто-

(правосторонняя) ронняя)

Ось х направлена на зрителя Ось у направлена на зрителя

Рисунок 4 — Правосторонняя система координат

Рисунок 5 — Левосторонняя система координат

17 Скаляры, векторы и тензоры

Скаляры, векторы и тензоры — математические объекты, используемые для обозначения некоторых физических величин и их значений. Они не зависят от выбора системы координат, однако каждый компонент вектора или тензора зависит от этого выбора.

Важно различать компоненты вектора а и базисные векторы, т. о. величины аж, э ; и аг и проекции вектора на оси координат atat . а в 1 и агвг Компоненты вектора часто называют его координатами.

Декартовы компоненты положения вектора определяют декартовы координаты точек начала и конца данного вектора.

Вместо того чтобы рассматривать каждую координату вектора как значение физической величины (т. е. числовое значение, умноженное на единицу измерений), вектор может быть записан как вектор числовых значений, умноженный на единицу измерений (скаляр). Все единицы измерений являются скалярами.

Пример —F = (3 Н. -2 Н. 5 Н) = (3, -2, 5) Н (в декартовых координатах).где F — сила;3 Н — первый компонент, т. е. Fx вектор силы F с числовым значением 3 и единицей измерений Н

(другие компоненты: -2Н и 5Н) соответственно;(3, -2 . 5) — вектор числовых значений;Н — единица измерения силы.

То же относится к тензорам второго и более высокого порядка.В данном разделе рассмотрены только декартовы прямоугольные координаты. Более общие случаи,

требующие более сложных представлений, в настоящем стандарте не рассмотрены. Декартовы координаты обозначают х. у. z или х ,. х2, х3. В последнем случае используют индексы i. j, k. I. каждый со значениями от 1 до 3. и следующее соглашение суммирования: если такой индекс появляется неоднократно и суммирование по диапазону этого индекса понятно, то индекс под знаком 1 может быть опущен.20

ГОСТ Р 54521— 2011

Скаляр является тензором нулевого порядка, а вектор — тензором первого порядка.Компоненты векторов и тензоров часто обозначают одинаковыми символами с соответствующими

векторами и тензорами, например, используют обозначение а, для компонент вектора а. 7"0 — для компонент тензора второго порядка Т и а,Ь, — для компонент векторного произведения а х Ь.

Знаки, символы, выражения для систем скаляров, векторов и тензоров приведены в таблице 17.1.

Т а б л и ц а 17.1 — Знаки, символы, выражения для систем скаляров, векторов и тензоров






17.1 аа

Вектор а Для обозначения вектора может быть использована стрелка над буквенным символом

17.2 а + Ь Сумма векторов а и b «а + Ь), = а, + Ь,

17.3 хаПроизведение скаляра или

координаты х и вектора а (х а), = ха,

17.4 |а|а

Модуль вектора а. Норма вектора а

|а| = J a j ♦ а* + а\ .

Обозначение ||aj| также может быть использовано.

См. 9.16

17.5 00

Нулевой вектор Модуль нулевого вектора равен 0

17.6 влЕдиничный вектор направ

ления аеа = а.'|э| , а*0. а = |а|е.

17.7ел. ву. в, е,. е2. вз

Единичные базисные векторы.

Базисные векторы декартовой системы координат

Обозначения /, у. к также могут быть использованы

17.8а*. ау, аг

а,

Декартовы координаты вектора а.

Декартовы компоненты вектора а

3 = а,а, + а, ®, + а;*га,еу. Bjer агв1 — проекции вектора а на оси ко

ординат (х, у, г) или составляющие векторы.Если из контекста понятно, какие векторы явля

ются базисными векторами, вектор может быть записан в виде:

а = (а^ аг аг), аж - авх. ау = а»у. az = авг, г = хву ♦ уеу + 2вх — вектор-радиус точки с коор

динатами X. у, Z

17.9 5* Символ дельты Кронекера_ |1 для i - k

* (0 д л я /* *

17.10 V Символ Леви-Чивитые 1 2 3 = f 2 3 1 = £ 3 1 2 = 1- е 132 = £ 3 2 1 = £ 2 1 3 = _1-Все другие е(* равны 0

17.11 а - Ь Скалярное произведение векторов а и Ъ

а ■ b = a j) , * afiy + ajb*

а - Ь = £ аА-1

а ■ а = а2 = |а|2 = а2.Могут быть использованы также обозначения

{а. Ь) и (a. ft)

21

ГОСТ Р 54521— 2011







17.12 а х Ь Векторное произведение векторов а и Ь

Координаты векторного произведения в правосторонней декартовой системе координат имеют вид:

(а X Ь), = а Д - а Д .(а х Ь)у = э Д - а Д .(а х Ь), = а Д - а Д

(а х Ь),= 1 Х д » аД (см. 17.10).; *

Пример — ( а х b)c = det А. где а = (а,, а ах);

Ь = Д . Д Ь,); с = (с,, д сг);

а* а, а/А = Ьу Ьг .

с, су с,

Могут быть использованы также обозначения

[а .Ь ]и [й .ь ]

17.13V

VОператор набла

У = ех-^-+еу-^-+е1-^-= У е , - ^ - * дх Y дх 1 дг ~ ' дх,

Оператор набла также называют «оператором Гамильтона»

17.14 Уфgrad <р

Градиент <р 1 1Следует избегать записи оператора grad тонки

ми линиями

17.15V аdiva Дивергенция а У-а = 1 # ^

17.16 V х а rot а

Ротор векторного поля а

Координаты V X а имеют вид;

=Ж " 1ПГ-

Могут быть использованы также обозначения curl и rot.

(V х а), (см 17 10)

17.17 V2 Оператор Лапласа, лапласиан V2= 4 - + ^ + ^ L

дх2 dy2 dz2

17.18 □ Оператор Д'Аламбера „ о2 , а2 . а2 1 о2а = дх2 ду2 dz2 с2 а/2

22

ГОСТ Р 54521— 2011


Н омер знака, с и м в о л а


З нак, сим вол, вы раж е ни е



17.19Т

гТензор Т второго порядка

Вместо обозначения с использованием жирного шрифта может быть использовано обозначение с двумя стрелками

17.20 т,у,.... т „ Гн. Г12. .... Тзз Декартовы компоненты тен

зора Т

Т = +Тжув,ву + ... + Г „е ге,. где 7 „ е ^ х. Т,.,в,ву......Тггв^ег — составляющие тензоры тензора Г.

Если из контекста ясно, какие использованы базисные векторы, тензор может быть записан в следующем виде:

Гх« Гх>, Тх2Г = Туу Ту2

Гм Т2у Т22

17.21 а Ь а® Ъ

Тензорное произведение двух векторов а и Ь

Результирующий тензор второго порядка имеет координаты:

<ab)„ = afit

17.22 T& S Произведение двух тензоров второго порядка Т и S

Произведение представляет собой тензор четвертого порядка с координатами:

(Г = Ту Sm

17.23 Т ■ S

Внутреннее произведение двух тензоров второго порядка Ги S

Произведение представляет собой тензор второго порядка с координатами:

(Г - S)* = Х %1

17.24 Т аВнутреннее произведение

тензора второго порядка Т и вектора а

Произведение представляет собой вектор с координатами:

(Г- а), = X V ,1

17.25 Т : SСкалярное произведение

двух тензоров второго порядка Ти S

Произведение представляет собой скалярную величину:

T :S => 1

18 Преобразования

Знаки, символы, выражения для преобразований приведены в таблице 18.1.

23

ГОСТ Р 54521— 2011

Т а б л и ц а 18.1 — Знаки, символы, выражения для преобразований

Номер знака, с и м в о л а


Знак, сим вол , вы р а ж е ни е



18.1 лПреобразование Фурье функ

ции f

( ? / ) И = /(f)df. (me R).

Это преобразование часто обозначают ? (ю). Обозначение

V2* Lтакже может быть использовано

18.2 t fПреобразование Лапласа

функции f( i0 ( s )= (seC).

0Часто используют обозначение t(s ).Также используют двустороннее преобразова

ние Лапласа, определяемое той же формулой, но с минус бесконечностью вместо нуля

18.3 5<а") Z преобразование (а„)

5(an)= i e „ z - n. ( *еС) .Л- 0

^ — оператор, формирующий не функцию, а послед ова те льност ь.

Используют также двустороннее Z преобразование. определяемое той же формулой, но с минус бесконечностью вместо нуля

18.4Н(х)Ф ) Функция Хевисайда. Единич

ная ступенчатая функция

[1 для хгО Для х< 0 ‘

Обозначение U(x) также может быть использовано.

используют для обозначения времени. Пример —<LHXs) = 1/s (Re s > 0)

18.5 Ф )Дельта — распределение Ди

рака.Дельта — функция Дирака

]« (0 8 (T -x )d r = 4>(x).

H’=6.Также используют наименование «единичный

импульс».Пример —LS = 1 (см. 18.6 и МЭК 60027-6:2006. п. 2.01)

18.6 гд Свертка ( и g (Г gXx)= / ^( y)9(x- y)dy

19 Специальные функции

В данном разделе использованы следующие обозначения: а. b, с. z. w, v — комплексные числа; х — действительное число; к, 1,т ,п — натуральные числа.

Знаки, символы, выражения для специальных функций приведены в таблице 19.1.

24

ГОСТ Р 54521— 2011

Т а б л и ц а 19.1 — Знаки, символы, выражения для специальных функций

Номер знай).символа

выраженияЗил*, символ, выражение


19.1 YС

Постоянная Эйлера •(= | S f i - |пл | = 0.577 215 6 ...

19.2 Г(г) Гамма-функция

T(z) — мероморфная функция с полюсами в точках 0. - 1 . - 2 , - 3 ......

r ( 2 ) = j / ' - V ' t f f . (Re z > 0).0

Г(л + 1) = л! (№ N)

19.3 ;<*> Дзэга-функция Риманна

£(z) — мероморфная функция с полюсом в точке Z = 1.

Cfz) = S i (Re z > 1)я-1 "

19.4 B(z. w) Бета-функция

1B(z. w) =

0(Re z > 0. Re / / > 0).B(z. w) = T(z)T(w)/r(z+yv).

(л*1)В(А + 1. л -Л +1) (ft)

19.5 Ei х Экспоненциальный интеграл

Ei x =

Для c m . 11.20

19.6 К х Логарифмический интеграл

X

l i x = J ^ f (0 < x < 1), 0

X

0

Для c m . 1120

19.7 Si z Интегральный синусs iz= j ^ d r .

0

siz = ~ j^+ Si z.

si z — синусный интеграл смещения

19.8S(z)C(z) Интеграл Френеля

S(z) = J e * ( | . r 2)df. 0

C{z) = J c o s (|- f2)df0

25

ГОСТ Р 54521— 2011


Номер знай символа,



19.9 erf х Функция ошибки

erfX = ~ J ~ \e ' df - 0

Функцию erfc x = (1 - erf x) называют дополнительной функцией ошибок.

В статистике используют функцию распределения

ф(х) = je " '2'2df V2n о

19.10 FfcP. *>Неполный эллиптический

интеграл первого рода

F frM ) = ) - * ? — . о ^1 - fc2sin2 с

К(Л) = F(s/2, к) — эллиптический интеграл первого рода (здесь 0 < к < 1. к е R)

19.11 Е«р. к) Неполный эллиптический интеграл второго рода

Е(<?,*) = j ^ 1 - * 2 sin2 a do.0

Е(А) = Е{х/2. к) — полный эллиптический интеграл второго рода (здесь 0 < Л < 1. /с е R)

19.12 П(л. <р. к) Неполный эллиптический интеграл третьего рода

г dr)П(л. q>. к) - 0 ^ +ns ir2 _ к 2 s ir2 &

П(л. к) = П(л, гс/2, к) — полный эллиптический интеграл третьего рода

(здесь 0 < #с < 1. л. ке R)

19.13 F(a. Ь: <г, z)Гипергеометрическая функ

ция

f O U b ),,* "F(a. 6; с. z) = Д (С)п щ ( -с е N).

Для (а)„. (Ь\, и (с)п см. 10.3.F(a, b, с; z) является решением уравнения z(1 - z)y" ♦ [с - (а + Ь + 1)z] у - aby = 0

19.14 F(а: с; z) Вырожденная гипергеомет- рическая функция

v <а)л _пF(a; с; z) = Д (С)„ „ ! (-с е N).

Для (а)„ и (с)„ См. 10.3.F{a. b\ с: z) является решением уравнения z y " * ( c - z ) / - a y = 0

19.15 Р„<*> Полином ЛежандраРЛ*> = 2nn!d2n(Z ' ' (neN>‘ P„(z) является решением уравнения (1 - z2) / ' - 2zy' + ф + 1)у = 0

19.16 Р п{г)Присоединенная функция

Лежандра

Р ?(г)= (-1 )т (1 -2 2Г ' 2^ г Р в(г) dz '

(m ,n e N .m s n ).

Р” (z) является решением уравнения

(1 - z 2)y*-2zy ' + ( л { я + 1 ) - у = 0 .

Коэффициент (-1 У” соответствует общей теории сферических функций

26

ГОСТ Р 54521— 2011


Номер знай), си м в ол а


Знак. сим вол, вы р а ж е ни е



19.17 у 7 ( й.«р) Сферическая гармоника(/. И е N; И 5 /) .

У ^ (й . <р) является решением уравнения

1 1 * * * '< > + 1>У-0 sm O dul д д ) sin2 rt Л?2

19.18 Н„(г) Полиномы Эрмита

Hn( z ) = { - t f S J L e - * 2.

Полиномы Эрмита являются решением уравнения

у "- 2zy' + 2лу = 0 (п е N)

19.19 Полиномы Лагерра

ineH).

L„(z) являются решением уравнения zy" + (1 - z)y‘ + пу = 0

19.20 L?(z)Обобщенные полиномы Ла

герра

L * (2) = 5 rL " <Z) (me N. m s л ).

L™(z) являются решением уравнения zy" + (m + 1 - z) / + (n - m)y = 0

19.21 T„(z> Полиномы Чебышева первого рода

T„(z) = cos(o arccos z) (ne N). TJ_z)) являются решением уравнения (1 - г2) / 1 - z / + п*у = 0

19.22 u„(z)Полиномы Чебышева второ

го рода

sinI(n + 1)arccosz)u^ ) = sin (arccos 2 ) <n e N )- U„(z) является решением уравнения (1 - z2)y* - 3zy' + л(л + 2)y = 0

19.23 <W*)Функция Бесселя. Цилинд

рическая функция первого рода

^ (-1)* (2/2)v*2k*M2) = i-o * !П у+ * + 1> (veC).

Jv(z) являются решением уравнения z2y" + z / + (г2 - v*)y = 0

19.24 Nv(z) Функция Неймана. Цилиндрическая функция второго рода

___ Jy(z)cos(vn) — J. v(z) , _N'<2> = sin(vx) <veC > Правую сторону этого уравнения заменяют его

предельным значением, если ve Z.Обозначение Y,(z) также может быть использо

вано

19.25Функции Ганкеля. Цилинд

рические функции третьего рода

hf,V(z) = Jv(z) + iNv(z)

^ ( z ) = Jv(z ) - iN v(z) (ve С)

27

ГОСТ Р 54521— 2011


Номер знай).символа



19.26М*> К , (Г)

Модифицированные функции Бесселя

-1мж А*JV(Z)= в 2 Jч в ' Z ,

К {2 )= £ e ” 2,-*rfl> (e” 2* z j .

Jv(z) и Kv(z) являются решением уравнения z2 у" + z / - (z2 + v2) / = 0

19.27 И * )Сферические функции Бес

селяi,(2 ) = ( ^ . ) T J/t1f2(z) ( /6N).

i, (z) являются решением уравнения z2y" + 2 z / + (z2 - / (/ + 1)] у = 0

19.28 П, (г)Сферические функции Ней

мана п' ( г ) = Ш т n'* " 2<2> ( / eN) -Обозначение y,(z) также может быть использо

вано

19.29►><?<*)

Сферические функции Ганке л я

1ht f W = j,{z ) + in/(z)= (J L )2 ^ ( z ) .

(z) = j,(z) - in,(z) = (J L )2 h '« <z ).

Модифицированные сферические функции Бесселя (аналогично 19.26) могут быть определены и обозначены i,(z) и k;(z) соответственно

19.30Ai(z)Bi(z) Эйри функции

Ai(z) = Ы * >

6i(z) =

где w = - jz 3’2.

Ai(z) и B»(z) являются pea y" - zy = 0

тениями уравнения

28

ГОСТ Р 54521— 2011

Приложение А (обязательное)

Ш естнадцатеричные коды символов

В данном приложении приведена информация о шестнадцатеричных кодах символов и знаков, приведенных в настоящем стандарте.

Ниже приведена таблица А.1. состоящая из четырех колонок.В первой колонке указан пункт настоящего стандарта, в котором использован рассматриваемый знак или

символ.Во второй колонке приведен рассматриваемый символ в том виде, как он использован в настоящем стан

дарте.В третьей колонке приведен шестнадцатеричный код символа в соответствии с ИСО/МЭК 10646 (2).

Т а б л и ц а А.1

Н ом ер пункта на сто я щ е ю ста нд а р та

С им вол

Ш естнадца тери чны х код сим вола

(см И С О /М Э * 106461

Н омер пункта настоящ его ста нд а р та

С и м волШ естнадца тери чны й

ко д сим вола (см. И С О /М Э К 10646)

4.1 А 2227 7.3 dc?f 225D

4.2 V 2228 7.4 = 22594.3 —у 00AC 7.5 тз 22484.4 =3 21D2 7.6 с - 22434.5 <=> 21D4 7.7 - 223С4.6 V 2200 7.7 ос 221D4.7 3 2203 7.8 SL 22455.1 е 2208 7.9 < ООЗС5.2 е 2209 7.10 > 003 Е5.4 I 007С 7.11 £ 22645.5 I 007С 7.12 2 22655.6 0 2205 7.13 « 226А5.7 С 2286 7.14 » 226В5.8 с 2282 7.15 оо 221Е5.9 и 222А 7.16 - * 21925.10 п 2229 7.17 I 22235.11 и 22СЗ 7.18 S 22615.12 п 22С2 7.19 < 27Е85.13 \ 2216 7.19 > 27Е95.13 С 2201 8.1 II 22255.16 X 00D7 8.2 1 27С25.17 П 220F 8.3 <5 22226.1 N 2115 9.1 + 002 В6.2 Z 2124 9.2 - 22126.3 О 211А 9.3 ± 00В16.4 R 211D 9.4 т 22136.5 С 2102 9.5 22С56.6 Р 2119 9.5 X 00D77.1 = 003D 9.6 / 002F7.2 * 2260 9.7 I 22117.3 : = 2254 9.8 П 220F

29

ГОСТ Р 54521— 2011

Окончание таблицы А.1

Н о м ер пункта на сто я щ е ю ста нд а р та

С имволШ естнад ц а тери чны й

код символа (см. И С О /М Э К 10646)

Н омер пункта настоящ его ста нд а р та

С им волШ естнадца тери чны й

■од символа (см. ИСО.'МЭК 10646)

9.10 М 221А 11.18 I 222В

9.12 < 27Е8 11.19 8 222С

9.12 ) 27Е9 11.19 f 222Е

9.16 I 007С 11.19 и 222F

9.17 L 230А 11.20 4- 2A0D

9.17 J 230В 17.11 22С5

9.18 I 2308 17.12 X 00D7

9.18 I 2309 17.13 V 2207

11.3 —* 2192 17.17 Д 2206

11.4 21А6 17.18 □ 25А1

11.7 • 2218 17.21 2297

11.11 д 2206 18.1 7 2131

11.12 ■ 2032 18.2 t 2112

11.15 д 2202 18.3 5 2128

11.16 d 0064 18.6 • 2217

11.17 6 03В4

30

ГОСТ Р 54521— 2011

Библиография

(1J ISO 80000-2:2009 Quantities and units. Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology

(2] ISO.'lEC 10646:2003 Information technology — Universal Multiple-Octet Coded Character Set (UCS)1>

Заменен на ISO.'lEC 10646:2011 Information technology — Universal Coded Character Set (UCS).

31

ГОСТ Р 54521— 2011

УДК 658.562.012.7:65.012.122:006.352 ОКС 03.120.30 Т59

Ключевые слова: математические символы и знаки, математическая логика, множества, стандартные множества чисел, интервалы, элементарная геометрия, операции, комбинаторика, функции, показательная и логарифмическая функции, тригонометрические и гиперболические функции, комплексные числа, матрицы, система координат, скаляры, векторы, тензоры, преобразования, специальные функции

Редактор А. Д. Стулова Технический редактор В. Н. Прусакова

Корректор Н. И. Гаврисцук Компьютерная верстка А. П. Финогеновой

Сдано в набор 07.08.2012. П одписано в печать 13.12.2012 Ф ормат 6 0 x 8 4 '/, , . Бумага оф сетная Гарнитура Ариап. Печать оф сетная. Уел. печ. л. 4,18. Уч.-иад л. 3,70. Тираж 126 э о . Зак 1532.

ФГУП яСТАНДАРТИНФ ОРМ », 123995 М осква. Гранатный пер.. 4. w w w go stin fo го in lo@ gostinfo.ru

Н а брано и отпечатана в Калуж ской типограф ии стандартов . 248021 Калуга, ул. М осковская. 258.

ГОСТ Р 54521-2011

http://www.mosexp.ru#

http://files.stroyinf.ru/Index/520/52026.htm

Documents

Скачать ГОСТ Р 54521-2011 Статистические методы ...gost.donses.ru/Data/520/52026.pdf · 54521 — 2011 Статистические ... рованию