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제 8 장 이항분포, Poisson 분포
충북대학교 농업생명환경대학 지역건설공학과
실 험 통 계 학
맹 승 진
8.1 이항분포
8.1-1 이항분포
- 어떤 일단가설을 기초로 하여 수학적인 이론으로 어떤 모수의 도수분포
를 유도한 것으로서 이항분포를 비롯하여 정규분포, 포아슨분포 등이 있
고 이들 분포를 기초로 하여 주로 소표본을 다루기 위한 목적으로 발전시
킨 분포로서 T분포, 분포 및 F분포 등이 있다.
• 이론분포
- 일반가설을 기초로 하여 수학적 이론으로 임의 집단의
도수 분포를 유도한 것
- 이항분포, 정규분포, Poisson 분포
- T-분포, ℵ2-분포, F-분포 : 소표본
8.1 이항분포
• 이론분포
8.1-1 이항분포
8.1-2 이항분포(Binornial Population)
• 단 두 개의 계급으로 그 요소가 분류되는 집단
• 예/아니오, 남자/여자, 성공/실패
• 성공확률 p, 실패확률 q ⇒ p+q = 1
• 어떤 크기의 표본을 n번 취하였을 때 그 중 x개의 표본이 성공으로
• 나타날 수 있는 확률
8.1 이항분포
• x가 어느 범위를 초과하지 않는 경우나, 혹은 x가 어느 범위 내에 존재하는 확
률을 알 필요가 있을 때를 알기 위해서는 알고자 하는 집합을 구성하는 개개의
확률을 합한다.
• 이항분포의 평균과 표준편차
평균 :
표준편차 :
• 불연속변량(정순인 변량, 소수점이 없다)을 다루는 대표적 분포인 경우 항상
중심으로 대칭이 되나 p가 0에 접근하면 분포의 정점은 p(0) 쪽으로 그리고
p가 1에 접근하면 분포의 정점은 p(n) 쪽으로 기울며 대칭이 안 된다.
8.1 이항분포
8.1-2 이항분포(Binornial Population)
• 베르누이 시행 (Bernoulli trials)
- 표본공간이 두 개의 상호 배타적 원소로 구성된 실험의 시행
- 매 시행 시 두 원소 중 하나만 나타남
- 예/아니오, 남자/여자, 성공/실패
- 베르누이 분포 / 베르누이 변수
- 베르누이 시행 결과에 대한 확률분포
- 베르누이 분포를 따르는 변수
- 이항집단 / 이항분포
- 두 개의 계급으로 요소가 분류되는 집단
- n개의 임의표본 중 확률변수분포
8.1 이항분포
8.1-2 이항분포(Binornial Population)
• 베르누이 변수의 특성
- 확률변수 : X
- 표본공간 : 𝑆𝑋 = 0.1
- 출현확률 : P(x) =nCr 𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥
p ; q = 두 요소의 확률
p=q = 1 ; q = 1-p
Ex) 10개의 동전을 던져 4개가 앞면이 나올 확률은?
Sol)
8.1 이항분포
8.1-2 이항분포(Binornial Population)
• 베르누이 변수의 특성
-
-
-
8.1 이항분포
8.1-2 이항분포(Binornial Population)
예제 8.1
• 황색완두와 녹색완두를 교배하여 얻은 F1을 다시 자화수분하여 F2를 육성
한 후 300개체의 F2 종자를 파종하였다. 황색은 우성 그리고 녹색은 열성
유전인자에 의하여 지배되며, Mendel의 분리법칙을 따른다면 F2에서의 황
색완두의 평균 출현 수와 이의 표준편차는 각각 얼마인가?
8.1 이항분포
F2 에서 분리되는 완두의 분포는 황색완두의 출현율을 p, 녹색완두의 출현율
을 q라 하면 p=3/4, q=1/4 그리고 표본의 수 n=300인 이항분포가 되므로
예제 8.1
8.1 이항분포
• 풀이
8.2 Poisson 분포
8.2-1 포아슨 지수분포(Poisson Exponential Distribution)
• 1837년 Simeon Denis Poisson
• 단위시간, 단위구간, 단위면적에서 발생하는 사건 발생 수에 활용
- 오전 09:00 ~ 10:00에 은행창구에 도착하는 고객 수 (단위시간 1시간)
- 퇴근시간(18:00 ~ 20:00)에 학교 앞을 지나가는 자동차 수 (단위시간 2시간)
- 카세트 테이프의 10cm 당 잡음 수 (단위구간 10cm)
- 국어 교과서 한 쪽당 오타 수 (단위면적 한 쪽)
8.2 Poisson 분포
8.2-2 포아슨 분포(Poisson Exponential Distribution)
• Poisson 분포 적용 조건
- 단위구간은 소 구간으로 분할가능
- 2개 이상의 사건이 발생할 확률이 0에 가까운 전도의 짧은 구간 : 소 구간
- 단위시간(1시간)동안 은행창구 방문 고객 수
- 단위사간을 3600개 소 구간으로 분할 가능,
1초 내에 고객이 2명 이상 방문할 확률
- 단위구간은 독립적
- 한 단위 구간의 발생 사건 수는 다른 단위구간에 영향을 미치지 않음
- 사건이 대체로 무작위로 발생할 경우
• Poisson 분포 적용 조건
- 각 소 구간에서 사건이 1회 발생할 확률은 구간길이에 비례,
전구간에서 동일
- 1초동안 고객 1명이 도착할 확률이 09:00 ~ 10:00 사이의
모든 구간에서 동일
8.2-2 포아슨 분포(Poisson Exponential Distribution)
8.2 Poisson 분포
• 포아슨 분포 특성
- 확률분포
x=X가 발생 할 수 있는 가능한 값
- 𝜇 = 𝑛𝑝
𝜎2=npq = np(1-p) = np (∵ 1-p ≈ 1)
8.2 Poisson 분포
8.2-2 포아슨 분포(Poisson Exponential Distribution)
- 시간구간이나 공간구간에서 일어나는 사상에 대한 확률
- 시간 혹은 공간 단위당 성공의 기대횟수가 나타내는 분포
8.2 Poisson 분포
8.2-2 포아슨 분포(Poisson Exponential Distribution)
- 포아슨 분포는 정의방향 즉, 오른쪽으로 그 정점에 기우는 비대칭 분포인데
포아슨 분포에서 가 증가될수록 분포의 모양은 종 모양의 연속적인 곡선에
가까워진다.
8.2 Poisson 분포
8.2-2 포아슨 분포(Poisson Exponential Distribution)
예제 8.2
• 어떤 교환대에 전화가 걸려오는 횟수가 1분 동안에 평균 3회이라면
그 교환대에 1분 동안 5회 이상 전화가 걸려올 확률은 얼마인가?
8.2 Poisson 분포
을 이용하여도 되나 이의 계산이 복잡하므로 각 와
x값에 대한 확률을 표로 정리하였다. 따라서 다음 표에서 가로의 값은 ,
세로의 값은 x이므로 =3의 행에서 x=0,1,2,3,4의 값들을 찾아 정리하면
다음과 같다.
여기서 =3이므로 X ≥5 일 학률, 즉, P(X ≥5)을 구하여야 하는데 다음 식
• 풀이
전화의 횟수(x) 확률 P(x) 누적확률 P(X≥x)
0 P(0) = 𝑒−330/0! = 0.0498 0.0498
1 P(1) = 𝑒−331/1! = 0.1494 0.1992
2 P(2) = 𝑒−332/2! = 0.2242 0.4234
3 P(3) = 𝑒−333/3! = 0.2242 0.6476
4 P(4) = 𝑒−334/4! = 0.1681 0.8157
따라서 1분간 0~4회 전화가 걸려올 확률은 0.8157이므로 5회 이상 전화가
걸려올 확률은 P(X≥5) = 1-0.8157 = 0.1843이 된다.
예제 8.2
8.2 Poisson 분포
• 풀이