стр. 1

Математика – 10 клас – задочно

ТЕМА 1: Реални числа. Действия с реални числа

Развитието на понятието число започва с изграждането на естествените числа.

Множеството на естествените числа се разширява, като се въвеждат числото нула и отрицателните

цели числа, т.е. множеството на целите числа. Множеството на целите числа се разширява с

дробните числа, т.е. въвеждат се рационалните числа.

Свойства на събирането:

a+b = b+a – комутативен (разместителен) закон;

(a+b)+c = a+(b+c) – асоциативен (съдружителен) закон;

Свойства на умножението:

a.b = b.a – комутативен закон;

(a.b).c = a.(b.c) – асоциативен закон;

Свързващо свойство на събирането и умножението:

(a+b).c = a.c+ b.c – дистрибутивен (разпределителен) закон;

Ако a и b са рационални числа, съществува единствено рационално число x, за което a=b+x.

Числото x=a–b се нарича разлика на a и b.

Ако a и b са рационални числа, като b≠0, съществува единствено рационално число x, за което

a=b.x. Числото x=

се нарича частно на a и b.

ТЕМА 2: Функция. Графика на функцията у= ах2 ,а ≠ 0.

Графика на функцията у= ах2+ вх + с, а ≠ 0

Функция от вида , където b и c са дадени (известни) числа, се нарича

квадратна функция. Дефиниционното u множество се състои от всички реални числа, т.е.

Да начертаем графиката на функцията

Нека дадем на аргумента x няколко произволни стойности и да намерим съответните стойности

на функцията , които да запишем в следната таблица:

x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3

9 4 1 0 1 4 9

Точки M1 M2 M3 О M4 M5 M6

В равнината на координатната система Oxy (фиг. 1) изобразяваме точките M1, M2, M3,……M6

с координати съответните стойности на x и y, които са нанесени в таблицата. Като съединим

плавно и последователно тези точки, получаваме графиката на функцията . Тази графика е

крива линия, която се нарича парабола. Тя е разположена над абсцисната ос (с изключение на т.

(0; 0), която е върху оста). Точките M1 и M6, M2 и M5, M3 и M4 имат противоположни абсциси и

съответно равни ординати. Точката О (0; 0) се нарича връх на параболата.

Забележка: Ще отбележим, че по този начин не чертаем истинската графика на функцията,

стр. 2

защото е невъзможно да начертаем всички точки от нея. Затова с избора на няколко точки ние

всъщност я чертаем само схематично.

Функцията притежава следните свойства:

1. За положителни и отрицателни стойности на аргумента x функцията получава само

положителни стойности. При стойността на функцията е равна на нула.

2. Тъй като , за всеки две противоположни стойности на x функцията y получава

равни стойности. Например при . Оста y е ос на симетрия за параболата.

3. Ако аргументът x расте по абсолютна стойност, функцията y също расте. Например при

, а при .

Графиката на квадратната функция е парабола. Тя може да се получи с помощта на две

транслации на графиката на функцията – едната по направление на абсцисната ос, а

другата по направление на ординатната ос. Върхът V на тази парабола има координати

и . Правата, минаваща през върха на параболата и успоредна на

ординатната ос, се нарича ос на параболата. Двата клона на параболата са симетрични относно

тази ос. При казваме, че параболата е отворена нагоре (двата u клона са насочени нагоре), а

при тя е отворена надолу.

Монотонност:

Ако , квадратната функция расте при и намалява при ;

Ако , квадратната функция расте при и намалява при

.

Алгоритъм за построяване на графиката на функцията , :

1. Определят се координатите xo и yo на върха V на параболата и в координатната система се

построява точката V ( xo; yo ).

2. Определя се накъде е отворена параболата в зависимост от знака на a.

3. Построява се оста на симетрия на параболата.

4. Построяват се други характерни точки от параболата в координатната система. Най-често

това са точките (ако има такива), в които графиката на функцията пресича абсцисната и

ординатната ос.

5. Отбелязаните точки се съединяват с плавна линия.

ЗАДАЧИ:

Задача 1. Постройте графиката на функцията:

а) y = 3x2; б) y =

x

2 в) y = – 3x

2; г) y = –

x

2.

Задача 2. Решете графично уравнението:

а) x2 = 5x – 6; б) – x

2 = 2x – 3; в) x

2 + 3x + 2 = 0.

стр. 3

ТЕМА 3: Квадратни неравенства. Неравенства от по-висока степен

Неравенство от вида ax

2 + bx + c > 0 или ax

2 + bx + c < 0, където a 0, b и c са реални числа, се

нарича неравенство от втора степен с едно неизвестно, или квадратно неравенство.

Неравенствата ax2 + bx + c > 0 и ax

2 + bx + c < 0 се наричат строги, а неравенствата ax

2 + bx + c 0

и ax2 + bx + c 0 – нестроги.

Да решим едно квадратно неравенство означава да намерим множеството от всички числа, за

които числената стойност на квадратния тричлен в лявата страна на неравенството е по-голяма

или по-малка (според знака на неравенството, което решаваме) от нула, а ако няма решение – да

установим това.

Решенията на квадратните неравенства зависят от знака на дискриминантата

D = b2 – 4ac на квадратния тричлен ax

2 + bx + c.

Забележка. За да намерим решенията на едно квадратно неравенство, не е нужно да чертаем

„прецизно“ графиката на съответната квадратна функция. Важно е да се уточни как тя е

разположена спрямо абсцисната ос и накъде е отворена.

В таблицата са дадени различните случаи за решенията на строгите квадратни неравенства,

илюстрирани с графиката на съответната квадратна функция в зависимост от знаците на a и D.

Неравенството ax2 + bx + c > 0 е изпълнено за онези стойности на x, за които графиката на

функцията y = ax2 + bx + c е разположена над абсцисната ос, докато стойностите на x, за

които тази графика е под оста Оx, са решенията на неравенството ax2 + bx + c < 0. Когато

такива стойности на x няма, съответното неравенство не е изпълнено, т.е. то няма решение

( ).

стр. 4

Неравенството ax2 + bx + c > 0 е изпълнено за всяко x тогава и само тогава, когато

a > 0 и D < 0, т.е.

Неравенството ax2 + bx + c < 0 е изпълнено за всяко x тогава и само тогава, когато

a < 0 и D < 0, т.е.

Обобщение I. Старшият коефициент на едно квадратно неравенство може винаги да се направи положително

число (с евентуално умножаване двете страни на неравенството с (– 1) и съответна промяна на

знака).

II. Ако означим f(x) = ax2 + bx + c, a > 0, за решенията на неравенствата f(x) > 0,

f(x) 0, f(x) < 0, f(x) 0 имаме:

1) Ако квадратният тричлен има два различни реални корена x1 < x2 (D > 0), то:

2) Ако квадратният тричлен има един реален (двоен) корен x1 = x2 (D = 0), то за решенията на

съответните неравенства имаме:

3) Ако квадратният тричлен няма реални корени (D < 0), то неравенствата f(x) > 0 и

винаги са изпълнени, а неравенствата f(x) < 0 и – нямат решение, т.е.

Неравенства от по-висока степен

Да разгледаме неравенства от вида или , ако f(x) е многочлен от n-та степен

( ). Решенията на този вид неравенства са измежду интервалите, на които корените на

уравнението f(x) = 0 разделят числовата ос. При решаването обикновено се прилага общ метод,

наречен метод на интервалите, ако f(x) се представи като произведение от линейни множители.

Метод на интервалите

Нека f(x) е многочлен, представен като произведение на линейни множители с положителни

старши коефициенти и различни корени, т.е.

f(x) = (a1x + b1)(a2x + b2)...(anx + bn), a1, a2,..., an > 0.

Нека x1, x2,..., xn – 1, xn са корените на уравнението f(x) = 0, подредени по големина. Тези n на брой

числа, нанесени чърху числовата ос, я разделят на n + 1 интервала.

В отделните интервали знакът на f(x) се запазва, като в най-десния интервал е „+“, тъй като

старшият коефициент на всеки от линейните множители е положителен. В следващите наляво

интервали знакът се сменя алтернативно.

Решението на неравенството f(x) > 0 е обединението на всички интервали със знак „+“, а на

неравенството f(x) < 0 — обединението на интервалите със знак „–“.

Ще дадем примерен алгоритъм за прилагане на метода на интервалите.

Нека неравенството е в основен вид f(x) 0 и f(x) е произведение на различни линейни множители

с положителни старши коефициенти.

1) Решаваме уравнението f(x) = 0.

стр. 5

2) Нанасяме върху числовата ос намерените корени.

3) Определяме знаците на произведението в интервалите, на които се разделя оста от тези

корени, като в най-десния интервал знакът е „+“, а в останалите — този знак се сменя

алтернативно (редуват се „+“ и „–“).

4) Определяме решението на неравенството. Ако неравенството е f(x) > 0, решението е

обединението на всички интервали със знак „+“, а ако решаваме f(x) < 0 — обединението на тези

със знак „–“ (т.е. останалите интервали). Ако неравенството е нестрого, към решенията му се

включват и корените на уравнението.

ЗАДАЧИ:

Задача 1. Да се реши неравенството x2 + 2x – 3 > 0

Задача 2. Да се реши неравенството 2x2 – 6x + 5 > 0.

Задача 3. Да се реши неравенството (2x – 3)(3 – x)(x + 1) > 0.

Задача 4. Да се реши биквадратното неравенство

ТЕМА 4: Дробни неравенства

Ще разгледаме неравенства от вида където f(x) и g(x) са многочлени, като

Такива неравенства, които съдържат дробни изрази спрямо неизвестното си, се наричат дробни.

За всички допустими стойности на x неравенството

при

За всички допустими стойности на x неравенството

при

е еквивалентно на неравенството f(x).g(x) > 0,

т.е. при

За всички допустими стойности на x неравенството

при

е еквивалентно на неравенството f(x).g(x) < 0,

т.е. при

Неравенствата, до които се свеждат дробните неравенства се решават с метода на

интервалите.

ЗАДАЧИ:

Задача 1. – –

стр. 6

ТЕМА 5: Квадратен корен. Кубичен корен. Корен n-ти

Кубичен корен (корен трети) от произволно реално число a се нарича числото, третата степен

на което е равна на a, и се означава т.е. за всяко

Правила за действия с изрази, съдържащи кубични корени:

1) – коренуване на произведение;

2) (при ) – коренуване на частно;

3) – коренуване на степен;

4) – изнасяне на множител пред корен;

5) – внасяне на множител под корен.

Корен n-ти от неотрицателното число , където n = 2k (k = 1, 2, 3,...) е четно

число, се нарича единственото неотрицателно число, n-тата степен на което е равна на a, и се

означава с т.е. при и n = 2k

В означението числото а се нарича подкоренна величина, а n – коренен показател.

Корен n-ти от произволно реално число a, където n = 2k + 1 (k = 1, 2, 3,...) е нечетно

число, се нарича единственото число, n-тата степен на което е равна на a, и се означава с

т.е. при и n = 2k +1

Свойствата и правилата за действия с са аналогични на тези за квадратен корен при n –

четно число, и за кубичен корен при n – нечетно число.

При n = 2k – четно число При n = 2k + 1 – нечетно число

Коренуване на степен

1) Ако и k са естествени числа, за всяко е в сила равенството

2) Ако m и k са естествени числа и n = 2m, то за всяко реално число a е в сила равенството

стр. 7

Коренуване на корен

Ако m и n са естествени числа, то за всяко неотрицателно число е в сила равенството

Основно свойство на корените

Ако к, m и n са естествени числа, то за всяко неотрицателно число е в сила равенството

Пример 1. Сравняване на корени с различни коренни показатели

Да сравним Привеждаме ги към корени с еднакъв показател.

Понеже 27 > 25, то Следователно

Пример 2. Умножение и деление на корени с различни коренни показатели

За да умножим или разделим корени с различни коренни показатели, трябва предварително да ги

приведем към корени с еднакъв показател.

ЗАДАЧИ:

Задача 1. Извършете означените действия:

а) б) в)

Задача 2. Сравнете числата:

а) б) в)

Задача 3. Съкратете дробта:

а) б)

ТЕМА 6: Преобразуване на ирационални изрази

Алгебричен израз, който съдържа радикал (корен), се нарича ирационален. Както знаем, ако

и k са естествени числа, то преобразуването на изрази, съдържащи корени (радикали)

извършваме, като използваме следните свойства:

стр. 8

–

изнасяне на множител пред

корена;

– внасяне

на множител под корена.

Лихва

Ще дадем една важна формула за погасяването (изплащането) на дълг. Ако е сключен заем при

определена годишна (месечна) лихва, който трябва да се изплати в определен срок на равни

годишни (месечни) вноски, то погасителната вноска V се определя по формулата

Тук K е заетата сума, , където p е лихвеният процент, а n е броят на договорените вноски

за погасяване на изтегления заем.

ЗАДАЧИ:

Задача 1. Опростете израза:

Задача 2. Извършете означените действия::

ТЕМА 7: Степен с цял показател

Знаем, че степен с основа a и показател n (n – естествено число) се нарича произведение от n

множителя, всеки от които е равен на a:

an = a.a.a…a – n пъти

Основата a е произволно реално число, а степенният показател n е естествено число, по-голямо от

единица. Специално при n = 1, по определение, a1= a.

За степените с показател естествено число са в сила правилата:

am

.an = a

m+n

= am-n

,m>n,a≠0

(am

)n= a

mn

(a.b)n = a

n.b

n

(

)

=

,b≠0

където a, b са реални числа, а m, n – естествени числа.

Понятието степен се разширява с въвеждането на степени с нулев и цял отрицателен показател.

Когато m=n,

= am-n

= aо. Тъй като

= 1, целесъобразно е да приемем, че aо =1 при a≠0.

стр. 9

Опр. aо =1 за всяко a≠0.

Опр. a-n

=

за всяко a≠0 и n-естествено число.

ЗАДАЧИ:

Задача 1. Извършете означените действия:

а) б)

ТЕМА 8: Степен с рационален и реален показател

Едно число r е рационално, когато може да се представи като частно на две цели числа,

т.е. , където m е цяло число, а n - естествено число.

Степен с положителен дробен показател

Ако и m и n са естествени числа, като , то

Степен с отрицателен дробен показател

Ако a > 0 и m и n са естествени числа, като , то

Основно свойство на степените с дробен показател

, където а > 0, m е цяло число, а n – естествено число.

Степен с рационален показател

За степените с положителна основа са в сила следните две теореми:

Ако две степени имат равни основи и степенните им показатели са

рационални числа, то:

(1) при a > 1

(2) при 0 < a < 1:

Ако r е рационално число и 1 < a < b, то:

(3) ;

(4) .

ТЕМА 9: Преобразуване на изрази със степен

Нека a > 0, , b > 0, и x и y са произволни рационални числа. Тогава:

1) ax > 0 2) a

x.a

y = a

x+y;

3) 4) (a

x)y = a

x.y;

стр. 10

5) (a.b)x = a

x.b

x;

6)

7) ако

8) ако

9) ; 10)

ЗАДАЧИ:

Задача 1. Да се извършат означените действия:

Задача 2. Да се представи като степен изразът:

ТЕМА 10: Логаритъм

Логаритъм на числото b при основа a, където a > 0, и b > 0, се нарича единственото

решение на уравнението ax = b.

Когато основата, при която се логаритмува, е a = 10, се използва специално по-кратко означение

log10b = lg b. Логаритмите на числата b, получени при основа a = 10, се наричат десетични.

За логаритмите при основа ирационалното число e = 2,7182... (неперовото число) също е въведено

специалното означение logeb = ln b. Тези логаритми се наричат неперови (или естествени)

логаритми.

Свойства

1) Логаритъмът на числото 1 при всяка основа a > 0, е равен на нула, т.е. loga1 = 0.

2) Логаритъмът на числото a (a > 0, ) при основа a е равен на единица, т.е. logaa = 1.

3) Отрицателните числа и нулата нямат логаритми.

4) Основно логаритмично тъждество logaax = x

5) Формула за преход от логаритъм при дадена основа към логаритъм при основа 10

6) loga(b1.b2) = logab1 + logab2

8) logab

k = k.logab, b > 0

Сравняване на логаритми

Ако основата a е по-голяма от единица, то:

1) от две положителни числа по-голямото има по-голям логаритъм и

обратно, на по-голям логаритъм съответства по-голямо положително

число;

При a > 1: 0 < x1 < x2 logax1 < logax2.

стр. 11

2) логаритмите на положителните числа, по-малки от единица, са

отрицателни;

3) логаритмите на числа, по-големи от единица, са положителни.

При a > 1: 0 < x < 1

Ако основата a е по-малка от единица, то:

1) от две положителни числа по-голямото има по-малък логаритъм и

обратно, на по-малък логаритъм съответства по-голямо положително

число;

При 0 < a < 1: 0 < x1 < x2 logax1 > logax2.

2) логаритмите на положителни числа, по-малки от единица, са

положителни;

3) логаритмите на числа, по-големи от единица, са отрицателни.

При 0 < a < 1:

Правила за определяне знаците на логаритъм

1) Aкo и двете числа a и x са едновременно по-големи или по-малки от единица, т.е. a > 1, x > 1

или a < 1, x < 1, то logax > 0.

2) Aкo едното от двете числа a и x е по-голямо от единица, а другото – по-малко от единица, т.е.

a > 1, x < 1 или a < 1, x > 1, то logax < 0.

ЗАДАЧИ:

Задача 1. Да се определи x, ако:

а) log525 = x; log0,0250 = x;

б) log3x = 4;

в)

Задача 2. Да се сравнят логаритмите:

а) log415 и log419; б) в)

ТЕМА 11: Тригонометрични функции в правоъгълен триъгълник.

Тригонометрични функции на ъгли от 0o до 180

o

Оръжност kс център началото О на координатната система и радиус с

дължина 1 се нарича единична окръжност.

Нека е произволен ъгъл в интервала [0°; 180°] с връх О така, че едното

му рамо да съвпада с лъча Ox, а другото рамо да лежи в I или II квадрант.

На фиг. 1 ъгъл е остър, а на фиг. 2 ъгъл е тъп.

Означаваме с M пресечната точка на второто рамо на ъгъл с единичната

окръжност k.

Ординатата y на точка М, в която второто рамо на ъгъл пресича

единичната окръжност, се нарича синус от ъгъл и се означава със .

Абсцисата x на точка М, в която второто рамо на ъгъл пресича

единичната окръжност, се нарича косинус от ъгъл и се означава с .

стр. 12

От определението за синус и косинус следва, че:

sin 0° = 0, cos 0° = 1;

sin 90° = 1, cos 90° = 0;

sin 180° = 0, cos 180° = – 1.

Функциите тангенс и котангенс

Ако отношението се нарича тангенс от и се означава с , т.е.

Ако , 180°, отношението се нарича котангенс от и се означава с

cotg .

ЗАДАЧИ:

Задача 1. Пресметнете:

а) sin 90° + cos 90°; б) cos2180° + sin

290°; в) sin 180° + cos 90°.

Задача 2. Намерете ъгъл [0°; 180°], ако:

а) б) в) г)

ТЕМА 12: Пресмятане на тригонометрични изрази

Основни тригонометрични тъждества

ЗАДАЧИ:

Задача 1. Намерете ъгъл , ако:

а) б)

в) г)

Задача 2. Намерете:

а) б)

Задача 3. Пресметнете:

а) tg20° – cotg

290°; б) tg 180° + cotg 90° – cos 180°.

Задача 4. Пресметнете:

а) tg2135° – cos 60° . tg 45°; б) cotg

2150° – tg

2120°; в) tg

230° + cotg

2120°.

ТЕМА 13: Синусова теорема. Косинусова теорема

стр. 13

За основните елементи на триъгълник – страните му a, b, c и ъглите му се доказват

следните две теореми.

Синусова теорема. За всеки триъгълник

отношението на коя да е страна и синуса на

срещулежащия й ъгъл е равно на диаметъра на

описаната около триъгълника окръжност. (Фиг. 3)

Косинусова теорема. Квадратът на коя да е страна

в триъгълника е равен на сбора от квадратите на

другите две страни, намален с удвоеното

произведение на тези две страни и косинуса на

ъгъла, заключен между тях. (Фиг. 4)

Като приложение на синусовата теорема има две основни задачи според това кои от основните

елементи на триъгълника са дадени.

Да се реши триъгълник по дадени:

1) страна и два прилежащи ъгъла;

2) две страни и ъгъл срещу по-голямата от тях.

От косинусова теорема се решават две основни задачи според това кои от елементите на

триъгълника са дадени.

Да се реши триъгълник по дадени:

1) две страни и ъгъл между тях;

2) три страни.

Непосредствено следствие от косинусовата теорема е при три дадени страни да се намерят ъглите

на триъгълника:

Формулите може да използваме и за определяне вида на триъгълник според ъглите, ако

триъгълникът е зададен чрез трите си страни. Ако c e най-голямата страна на триъгълника, тогава

видът му се определя от големината на ъгъл .

За ъгъл [0°; 180°] са еквивалентни следните условия:

Други приложения на косинусовата теорема

1) Връзка между страни и диагонали в успоредник

стр. 14

Сборът от квадратите на диагоналите на успоредник е равен на сбора от

квадратите на страните му. (Фиг. 5)

2) Свойство на страните в четириъгълник с взаимноперпендикулярни

диагонали 3) Изразяване на медианите в триъгълник чрез страните му. (Фиг. 6)

ТЕМА 14: Решаване на триъгълник. Намиране елементи на триъгълник

Триъгълник:

Основните елементи в един триъгълник са страните и ъглите му. Всеки триъгълник триъгълник

може да бъде “решен “, ако са дадени три елемента като поне един от тях е линеен(например

страна и/или височина )

Освен основните елементи в един триъгълник важни са и височините, медианите и

ъглополовящите.

Височина в тръгълник е перпендикуляра спуснат от връх на триъгълника към срещуположната му

страна. Точката в която този перпендикуляр пресича страната се нарича пета на височината.

Медиана в триъгълник е отсечката свързваща връх на триъгълника със средата на

срещуположната му страна.

Ъглополовяща – лъча който разделя ъгълът на две равни части. Ъглополовяща в триъгълник е

отсечката в триъгълника която разделя ъгъла на две равни части.

За тези елементи на триъгълника са в сила следните формули.

Нека означим медианите от връх А с m a, от върха В с m b, от върха С с m c.

; ; , като следствие от тези

формули за медиани, можем да изразим и старните на триъгълника, чрез медианите, а именно:

; ; .

Формули за ъглополовяща:

Извесна ни е връзката между страните и отсечките на които ъглополовящата дели

срещуположната страна.

Тук ще докажем още една формула

стр. 15

Доказателство: От системата : се получава и .

Да приложим косинусова теорема за ΔАВL и Δ ACL.

=>

=> , откъдето следва, че

, делим на ( b – c ) и заместваме m и n

, от което след като заместим m и n се получава

Аналогично

Още една формула изразяваща ъглополовящата само чрез страните на триъгълника:

Нека .

; и

ЗАДАЧИ:

Задача 1. Намерете b, c, R и , ако a = 5 cm,

Задача 2. Намерете c, R, ако a = 6 cm, b = 4 cm,

Задача 3. Намерете страната c на със страни a, b, c и ъгли ако:

а) a = 8 cm, b = 3 cm, б) a = 10 cm, b = 6 cm,

стр. 16

Задача 4. Намерете ъгъл със страни a, b, c и ъгли ако:

а) a = 7 cm, b = 5 cm, с = 8 cm; б) a = 13 cm, b = 12 cm, с = 5 cm.

ТЕМА 15: Намиране елементи на успоредник и равнобедрен трапец

Успоредник

Решаването на успоредник се свежда до решаване на няколко триъгълника.

Виж формулата изведена в урока за косинусова теорема.

Равнобедрен трапец

Трапец е четириъгълник с две успоредни и неравни страни, които наричаме основи.

Другите две страни се наричат бедра и ако те са равни трапеца е равнобедрен.

Свойства на равнобедрения трапец:

Ъглите при основата са равни.

Около него може да се опише окръжност винаги.

Около окръжност може да се опише четириъгълник, тогава и само тогава, когато сборът на

срещуположните страни е равен.

и височината

ЗАДАЧИ:

Задача 1. Даден е успоредник със страни 2 cm, 3 cm и диагонал Намерете другия диагонал

на успоредника.

Задача 2. Намерете медианата към бедрото на равнобедрен триъгълник с основа c и бедро b.

ТЕМА 16: Формули за лице на триъгълник.

Метод на лицата в задачи от триъгълник

Ще използваме следните стандартни означени:

P = a + b + c – периметър на триъгълника;

- полупериметър;

r – радиус на вписаната в триъгълника окръжност;

R – радиус на описаната около т ариъгълника окръжност.

Най използваните формули са:

- Херонова формула

стр. 17

Лицето на равностранен триъгълник -

Тъм тези добре познати формули ще добавим и тези които са свързани с тригонометричните

функции на ъглите на триъгълника.

ЗАДАЧИ:

Задача 1. Намерете лицето на триъгълник по дадени:

а) a = 5 сm, b = 4 cm,

б)

Задача 2. Намерете лицето на равностранен триъгълник със страна а, като използвате формулата

Задача 3. Даден е равнобедрен триъгълник с бедро b и лице Намерете ъглите на

триъгълника.

ТЕМА 17: Лице на четириъгълник - произволен и описан.

Лице на успоредник и трапец

Формули за лица на различни четириъгълници:

Лице на произволен четириъгълник

Ако r е радиусът на вписаната в четириъгълник окръжност и ,

то в сила е формулата S = p.r .

Ако около четириъгълник АВС D може да сеопише окръжност, то в сила е формулата:

Ако четириъгълник е вписан в окръжност и описан около окръжност, то е в сила формулата

ЗАДАЧИ:

Задача 1. Намерете лицето на ромб със страна 13 cm, ако един от диагоналите му е 24 cm.

стр. 18

Задача 2. Даден е равнобедреният трапец ABCD с основа АВ = а, CD = b. Диагоналите на трапеца

се пресичат в точка О така, че Намерете:

а) лицето на трапеца;

б) диагоналите на трапеца.

ТЕМА 18: Лице на правилен многоъгълник. Лица на равнинни фигури

Страната на правилния многоъгълник означаваме с аn. Около всеки

правилен многоъгълник може да се опише окръжност и във всеки

правилен многоъгълник може да се впише окръжност. (фиг. 7)

При дадени n и R на описаната около правилен n -ъгълник окръжност

можем да намерим страната на многоъгълника

Връзката между страната аn на правилния многоъгълник и радиуса r на

вписаната в него окръжност се изразява с формулата

В таблицата е дадена връзката между радиусите на описаната и на вписаната в правилен n-

ъгълник окръжност чрез страната a на многоъгълника в най-често срещаните случаи: n = 3

(равностранен триъгълник); n = 4 (квадрат); n = 6 (правилен шестоъгълник).

n = 3 n = 4 n = 6

r

R

a

Лицето на правилен многоъгълник е равно на произведението от полупериметъра му и

радиуса на вписаната в него окръжност.

ЗАДАЧИ:

Задача 1. Намерете лицето на правилен шестоъгълник, вписан в окръжност с радиус 4 cm.

Задача 2. Намерете лицето на правилен шестоъгълник, ако разстоянието между две негови

успоредни страни е равно на d.

ТЕМА 19: Съединения. Основни правила за събиране и умножение.

Пермутации

Най показателни примери са множествата от числата – естествените числа – N = ; целите

числа – Z = ;

Като пример може да даден и учениците от един клас А =

Определение: Множества, които имат краен брой елементи, се наричат “крайни”. Например:

множеството от учениците в един клас.

Множества, които имат неизброим брой елементи, се наричат “безкрайни”. Например

множествата от числата.

Множество, което няма нито един елемент се нарича “празно” и се отбелязва с .

Две множества са равни, ако съдържат едни същи елементи.

стр. 19

Едно множество А е подмножество на множеството В, ако в множетвото В участват всички

елементи на множеството А.

Множества, които имат общи елементи се наричат пресичащи се.

Множества, които нямат общи елементи се наричат непресичащи се. .

Ако , то може да образуваме разликата им С = В – А

Ако множеството С се състой от елементи на множествата А и В, то С е обединение на А и В. И се

записва .

Теореми: Нека А и В са крайни множетсва

Ако , то е крайно множество и

Съединения:

Пример: Ако е дадено едно множество

А = и

множеството , то новото множетсво В се нарича съединение.

Множеството В е съединение на 7 елемента от втори клас.

Правила:

-За събиране на съединения. Ако елемент х може да се избере по n различни начина, а елемент y

по m , то изборът на x или y може да се извърши по n + m начина.

-За умножение на съединения. Ако елемент х може да се избере по n различни начина и при всеки

такъв избор елемент y може да се ибере по m различни начина, то изборът на ( x , y ) може да се

извърши по n . m начина.

ЗАДАЧИ:

Задача 1. В една зала за танци има n момчета и n момичета. По колко начина те могат да

образуват танцови двойки?

Задача 2. Колко пермутации могат да се съставят от буквите на думата „книга“? Колко от тях

окончават на „г“?

Задача 3. По колко различни начина могат да се подредят 6 учебни предмета в програмата за един

ден при 6 учебни часа?

ТЕМА 20: Вариации. Комбинации

За да покажем разликата между пермутация, вариация и комбинация, ще направим интерпретация

на една задача:

1) Пет съученика Ани, Борис, Васил, Иван и Мария посетили един много интересен филм за които

едва си купили билети. Иван купил билетите и те влезли заедно като местата били точно

отпределени. По колко различни начина могат да седнат.

2) Пет съученика Ани, Борис, Васил, Иван и Мария имали свободен час и решили да влезат да

гледат филм, които очевидно не се радвал на голям интерес. Писнали ги в киното като им казали,

че 3 ред целият е свободен. По колко различни начина могат да седнат съучениците, ако се знае,

че реда се състой от 12 стола.

3) От група от 12 ученика трябва да изберем 5. По колко различни начина могат да се изберат.

При записването на формулите, ще използваме понятието факториел – това е произведението от

първите n естествени числа. Озн. n! = 1.2.3.4….. n. Дефинираме 0! = 1.

Пермутация – подреждане на дадени различни елементи. Тя може да е с повторение и без

повторение. Тук ще разгледаме само без повторение

Pn=n!

Решението на зад. 1 е Р5= 5! = 1.2.3.4.5 = 120

Вариация на n елемента от k клас се нарича всяка подредба на k члена от различни елементи.

Вариацията също може да е с или без повторение. Тук разглеждаме само без повторение.

стр. 20

Решение на 2 зад.

Комбинация на n елементи от k клас е всяко подмножество с k елемента от дадените n елемента,

като реда на елементите не е от значение. Комбинация има с и без повторение. Тук ще разгледаме

без повторение. Формулата е:

Решение на 3 зад.

ЗАДАЧИ:

Задача 1. По колко начина при игра на ТОТО може да се попълнят 6 числа от 1 до 49 в един фиш?

Задача 2. В колко точки се пресичат 6 прави, които лежат в една равнина, но не минават през една

и съща точка и никои две от тях не са успоредни?

Задача 3. Известно е, че кодът на един сейф се състои от 5 различни нечетни цифри. Какъв е

максималният брой опити, които трябва да се направят, докато се открие кодът на този сейф?

ТЕМА 21: Съединения без повторения. Класическа вероятност

Всяко действие което осъшествяваме има вероятност да е успешно или неуспешно.

Самото действие ще наричаме събитие.

Събитие което винаги настъпва се нарича достоверно или сигурно, а когато никога не се случва –

невъзможно.

Събитие което може да се случи, а може и да се случи, се нарича случайно.

Всяко подмножество А на пълната система от елементарни събития Ω се нарича случайно събитие

или само събитие.

Две събития са съвместими, ако могат да се сбъднат при провеждането на един и същи опит.

Две събития са несъвместими, ако в рамките на един опит сбъдването на едното изключва

сбъдването на другото.

Обединение на две събития А и В

А В С

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Сечение на две събития А и В

А В С

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Основна задача в теорията на вероятностите е на всяко случайно събитие да се съпостави число,

което оценява степента на възможност то да се сбъдне. Числото се нарича вероятност на случайно

събитие.

Елементарен изход, при който настъпва интересъващо ни събитие, се нарича благоприятен изход.

Вероятността да се появи едно събитие се изчислява по формулата за калсическа вероятност:

стр. 21

, където с m е означено броя на благоприятните изходи, а с n – броя на всички

възможни изходи. Тук се разглеждат само такива събития които имат равнио възможности за

поява.

Свойства на вероятностите:

За всяко събитие А и В са в сила следните свойства:

1)

2) , където е противоположното събитие.

3) Ако , то

Теорема за събиране на вероятностите:

Ако две събития са несъвместими, то

За всеки две събития А и В е в сила

Теорема за умножение на вероятности:

За всеки две независими събития А и В е в сила

ЗАДАЧИ:

Задача 1. В Тото се изтеглят 6 от 49 числа. Каква е вероятността първото изтеглено число да

е четно?

Задача 2. На 8 картончета са написани букви: к – 3 пъти, а – 2 пъти, о – 2 пъти и буква л.

Изтеглено е произволно картонче. Каква е вероятността върху него да е написана:

а) буквата к; б) буквата а; в) гласна буква;

г) буква от думата шоколад; д) буква от думата крем?

Изготвил: Мехмед Мехмед