МИНИСТЕРСТВО ОСВИТИ ТА НАУКИ УКРАИНИ … › 3402_2.pdf · При решении задач, связанных с расчетом кривых свободной

Материалы взяты с сайта WWW.HYDRAULICS.AT.UA

МИНИСТЕРСТВО ОСВИТИ ТА НАУКИ УКРАИНИ

Национальный транспортный университет

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению гидравлических расчетов при построении

кривых свободной поверхности открытого потока в трапецеидальном русле с помощью EXEL и MathCad

для студентов специальностей:

7.092105 – «Автомобильные дороги та аэродромы» 7.092106 – «Мости і транспортные туннели

(всех форм обучения)

КИЕВ 2009


МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ Національний транспортний університет

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению гидравлических расчетов при построении кривых свободной поверхности открытого потока в трапецеидальном русле с помощью EXEL и

MathCad

для студентов специальностей:

7.092105 – «Автомобильные дороги та аэродромы» 7.092106 – «Мости и транспортные туннели»

(всех форм обучения)

Утверждено на заседании Учебно-методического совета НТУ протокол №______ от _____________ 2009 г.

КИЕВ 2009


УДК 532:004 ББК 30.123:32.81 М.Н.Цивин, Методические указания по выполнению гидравлических расче-тов при построении кривых свободной поверхности открытого потока в тра-пецеидальном русле с помощью EXEL и MathCad

В методических указаниях рассматриваются примеры гидравлического расчета кривых свободной поверхности в трапецеидальных руслах с помо-щью табличного процессора EXEL и пакета прикладных программ MathCad.

Работа предназначена для студентов специальностей: 7.092105 – «Ав-томобильные дороги та аэродромы»; 7.092106 – «Мости и транспортные тун-нели» (всех форм обучения) и может быть использовано инженерно-техническими работниками, занятыми проектированием систем дорожного водоотвода.

© Национальный транспортный университет (КАДИ), 2009 © Цивін М.Н., 2009.


ВСТУПЛЕНИЕ

Методические указания составлены в соответствии с рабочими учеб-ными планами и учебными программами курсов в «Механика жидкости и га-за», «Гидравлика, гидрология, гидрометрия” для студентов направления под-готовки 0921 «Строительство» очной и заочной форм обучения.

Выполнения контрольной (расчетной) работы определено рабочей про-граммой курса, а ее направленность и содержание – преподавателем, кото-рый ведет практические занятия и курсовое проектирование в зависимости от длительности учебного семестра.

При составлен Методических указаний учитывался многолетний опыт самостоятельной работы и студентов НТУ(КАДИ). Методические указания ориентированы на методический комплекс исследований, подготовленный и изданный кафедрой «Мости и туннели » НТУ (КАДИ).

При расчете водоотводящих каналов, быстротоков, водопропускных труб системы дорожного водоотвода возникают трудности, заключающиеся в том, что основное дифференциальное уравнение неравномерного плавно из-меняющегося движения, которое лежит в основе всех методик построения кривых свободной поверхности, не решаются прямым вычислением.

При решении задач, связанных с расчетом кривых свободной поверх-ности, используют приближенные решения данного дифференциального уравнения, основанные на тех или иных допущениях: Б.А.Бахметева, Н.Н.Павловского, И.И.Агроскина, А.Н.Рахманова, М.Н.Цивина и др. Исполь-зование приближенных решений предполагает использование большого чис-ла вспомогательных таблиц, содержащих численное значения интеграла Б.А.Бахметева, и приводит к выполнению большого объема вычислительных операций.

Широкое распространение персональных компьютеров и таких про-грамм как EXEL и MathCad, позволяет что существенно уменьшить объем вычислительных работ. Связанных с построением кривых свободной поверх-ности и практически отказаться от использования приближенных методов решения.

В настоящих методических указаниях рассматривается два способа расчёта кривых свободной поверхности в руслах в руслах трапецеидальной формы – с помощью табличного процессора EXCEL и пакета прикладных программ MathCad.

Методические указания предназначены для студентов, которые имеют начальные навыки работы с EXCEL и MathCad.


Цель контрольной (расчетной) работы

Целью расчетной работы является закрепление теоретических знаний и практических навыков, полученных студентами во время лекционного курсу, практических и лабораторных занятий, связанных с вопросами движения во-ды в призматических руслах.

Теоретические положения и основные расчетные зависимости

Расчет кривой свободной поверхности введется на основе решения следующего основного дифференциального уравнения неравномерного дви-жения

22

2 22

2 2

3 3

,

1 1

QQii

dh C RKQ B Q Bds

g g

ωα α

ω ω

−−= =

− − (1)

где Q – расход воды проходящей по призматическому водоводу; ω – пло-щадь поперечного сечения при глубине равной h; С - коэффициент Шези, оп-ределяемый по следующим зависимостям:

0 0

1 yC Rn

= (по Н.Н.Павловскому); (2)

1

60 0

1C R

n= (по Маннингу); (3)

R – гидравлический радиус, определяемый по соотношению

00

0

,Rωχ

= (4)

χ0 – смоченный периметр при глубине потока равном h0; K0 – расходная характеристика; B – ширина потока по верху.

Для русел трапецеидального поперечного сечения (частным случаем которых являются прямоугольные и треугольные русла) (Рис.1) площадь по-перечного сечения ω, величина смоченного периметра χ и ширина потока по верху B могут быть выражены следующими соотношениями

Рис. 1. Русло трапецеидального сечения

( ),h b mhω = + (5)

22 1 .b h mχ = + + (6) 2 .B b hm= + (7)


Учитывая, что правая часть уравнения является функцией от глубины h, после разделения переменных можно записать

( ) .ds f h dh=

Интегрируя это уравнение, имеем:

( )2

1

.h

h

s f h dh= ∫ (8)

Для того чтобы получить расчетное уравнение, связывающее h и s не-обходимо отыскать неопределенный интеграл:

( ) ( )0f h f h dh= ∫

В общем случае эта задача может быть решена только приближенно. Существует много различных приближенных способов отыскание приведен-ного неопределенного интеграла (Б.А.Бахметева, Н.Н.Павловского, И.И.Леви, А.Н.Рахманова, В.Т.Чоу, Р.Р.Чугаева, М.М.Скиба, М.Н.Цивина и др.,) которые были разработаны для ручного счета. В современных условиях широкой компьютеризации эти методы представляют чисто исторический интерес, т.к. использование табличного процессора EXCEL или пакета при-кладных программ типа MathCad, позволяет существенно упростить решение таких задач.


РАСЧЕТ КРИВЫХ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В КАНАЛАХ ТРАПЕЦЕИДАЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Решение задачи по расчету кривой свободной поверхности с

помощью EXEL

Для этого представим основное дифференциальное уравнение нерав-номерного движения в конечных разностях

,х

f

Эl

i i

δδ =

− (9)

где

2 2

11 .

2 2x x

х x x

U UЭ h h

g g

α αδ +

+

= + − +

(10)

Тогда для всего водотока длиной суммируя δ, можно записать

При i>0

1

.x n

х

x f

Эl

i i

δ=

=

=−∑ (11)

Для решения данной задачи подготовим рабочую книгу табличного процессора EXEL. Для этого в ячейки a1, …, a12; b14, …, k14 вводим сле-дующий пояснительный текст

Таблица 1.

Адрес ячейки Текстовая информация

a1 ← Исходные данные

a2 ← Расчетный расход

a3 ← Уклон дна

a4 ← Шероховатость

a5 ← Ширина канала по дну

a6 ← Заложение откоса

a7 ← Нормальная глубина

a9 ← Критическая глубина

a10 ← Начальная глубина

a11 ← Конечная глубина

a12 ← Параметр Q2/g

b14 ← H

c14 ← ω

d14 ← E

e14 ← x

f14 ← R

g14 ← C

h14 ← K

i14 ← if

j14 ← i-if


Адрес ячейки Текстовая информация k14 ← Li

В ячейки d2, …, d11 водим числовые значения в соответствии с усло-

вием задачи. В ячейки c15,…, i15 и ячейки j16, k16 вводим следующие расчетные за-

висимости

Таблица 2

Адрес ячейки Расчетные формулы

C15 ← =B15*($D$5+$D$6*B15) D15 ← =B15+$D$11*(0,5/C15^2) E15 ← =$D$5+2*B15*КОРЕНЬ(1+$D$6^2) F15 ← =C15/E15 G15 ← =1/$D$4*F15^(1/6) H15 ← =C15*G15*КОРЕНЬ(F15) I15 ← =($D$2/H15)^2 J16 ← =$D$3-0,5*(I15+I16) K16 ← =(D15-D16)/J16

Ячейки d7 и d8 могут быть не заполнены Дальнейший расчет посмотрим на примере: Расход Q = 22 м3/с; шири-

на трапецеидального русла по дну b = 10 м; заложение откосов m = 1,25; ко-эффициент шероховатости русла n = 0,02; продольный уклон дна канала – 0,001. Все расчёты выполняются в метрах.

Рабочий лист должен иметь следующий вид (Рис. 1) Дальнейшие действия следующие:

1. в ячейки b15… b20 вводим значения глубин на границах расчетного участка;

2. выделяем мышкой блок ячеек c15:i15; 3. «цепляем» мышкой черный прямоугольник в правом нижнем углу вы-

деленного блока и перемещаем указатель мышки до ячейки i20 (Рис.3); 4. отпустив левую кнопку мышки, получаем заполненный результатами

вычислений блок клеток c15:i20 (Рис. 4) 5. выделяем блок ячеек j16:k16; 6. копируем выделенный блок ячеек в блок ячеек j17:k20 и, отпустив ле-

вую кнопку мышки, получим следующую расчетную таблицу (Рис.5); 7. вставив в ячейку k22 функцию суммирования, получаем окончатель-

ный вид расчетной таблицы (Рис. 6) Из приведенных в таблице данных, что для условий примера длина

кривой свободной поверхности составит 1027,98 м.


Рис. 2

Рис. 3


Рис. 4

Рис. 5


Рис. 6

Пересчитав данные этого примера при шаге численного интегрирования 0.05 м., получаем, что длина кривой свободной поверхности составит 1039.87 м.


Решение задачи по расчету кривой свободной поверхности с помощью MathCad

При современном уровне развития вычислительной техники решение уравнения (1) не представляет большой проблемы.

Интегрирование в MathCad реализовано в виде вычислительного опе-ратора и устроено по принципу “как пишется, так и вводится». Чтобы вычис-лить определенный интеграл, следует напечатать его обычную математиче-скую формулу в документе. Делается это с помощью панели Calculus (Вы-числения) нажатием кнопки со значком интеграла или вводом с клавиатуры сочетания клавиш <Shift>+<7>. Появится символ интеграла с несколькими местозаполнителами (), в которые нужно ввести нижний и верхний интерва-лы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирова-ния

Рис. 7

Разработчиками MathCad запрограммированы четыре численных мето-да интегрирования:

Romberg (Ромберга) – для большинства функций, не содержащих осо-бенностей;

Adaptive (Адаптивный) – для функций, быстро меняющихся на интер-вале интегиривания;

Infinite Limit (Бесконечный предел) – для интегралов с бесконечными пределами;

Singular Endpoint Сингулярная граница) – для интегралов с сингуляр-ностью на конце (применяется модифицированный алгоритм Ромберга для функций, не определенных на одном или обоих концах интеграла.


При вычислении интеграла (8) рекомендуется выбирать адаптивный метод при установленном флажке Autoselect (Автоматический выбор).

Что бы самостоятельно выбрать алгоритм численного интегрирования, необходимо: − щелкнуть правой кнопкой мышки в любом месте на левой части вы-

числительного интеграла; − в появившемся контекстном меню выбрать нужный вычислительный

алгоритм (Рис. 8).

Рис. 8

Ниже приведен пример расчета кривой свободной поверхности мето-дом численного интегрирования.

Задача: Рассчитать длину кривой спада в бетонном лотке (n = 0.020) трапецеидального поперечного сечения при следующих данных: расход Q = 22 м3/сек; ширина русла по дну b =10 м; коэффициент заложения откосов m =1.25; уклон дна русла i = 0.001.

Начальную глубину принимаем равной hn=1,25 м., конечная глубина – hkon=1,75 м.

Ниже приведен листинг программы, позволяющий рассчитать длину кривой свободной поверхности, на котором приведены: − программа – функция Pk(h), вычисляющая численное значение выра-

жения 2

31

B

g

αω

−Q

;

− программа – функция K(h), вычисляющая численное значение расход-

ной характеристики C Rω , где коэффициент Шези С определяется по формуле Маннинга;


− программа – функция it(h), вычисляющая численное значение уклона

трения

( )2

2

C Rω

Q.

Длина кривой спада составляет 1047 м.

Расчет кривой свободной поверхности

Расчетный расход Q 22:=hn 1.25:=

Заложение откоса m1 1.25:=hkon 1.75:=Уклон дна i 0.001:=

Шероховатость n 0.020:= α 1.1:=Ширина канала по дну b 10:=Решение :

K h( ) h

ω h b m1 h⋅+( )⋅←

χ b 2 h⋅ 1 m12+⋅+←

Rω

χ←

C1

nR

1

6⋅←

a ω C⋅ R⋅←

:=Pk h( ) h

ω h b m1 h⋅+( )⋅←

B b 2 m1⋅ h⋅+←

a 1 1.1Q

2B⋅

9.81 ω3

⋅⋅−←

:=

it h( ) h

aQ

K h( )

2

←

:=

F h( )Pk h( )

i it h( )−:= L

hkon

hn

hF h( )⌠⌡

d:=

Длина кривой L 1.047− 103×=

Условие данной задачи взято из книги (Андреевская А.В. Кременцкий Н.Н., Панова М.В. Задачник по гидравлике. Изд.2-е,пераб. и доп. Учебное пособие для гидромелиоративных и гидротехнических факультетов и вузов. «Энергия», 1970. - 424 с.) Задача № 6-15.

В этой книге выполнено сравнение результатов расчета длины свобод-ной поверхности по способам Б.А.Бахметева, Н.Н.Павловского, И.И.Агроскина и по способу суммирования (метод Чарномского). В итоге были получены следующие результаты:

Метод Б.А.Бахметева – 1079 м; Метод Н.Н.Павловского – 1083 м; Метод И.И.Агроскина – 1092 м;


Метод суммирования (Чарномского – Херстеда) – 1256 м. Расчет длины свободной поверхности, выполненный с помощью EXEL при 5-ти расчетных участках, дал значение равное 1027,98 м, а при десяти расчетных участков – 1038.87 м. Выводы:

− применение вычислительной техники с соответствующим программ-ным обеспечением позволяет существенно упростить задачу расчета кривых свободной поверхности в призматических водоводах;

− при использовании электронных таблиц (типа EXEL) кривые свобод-ной поверхности следует рассчитывать, применяя метод суммирования (метод Чарномского – Херстеда)

− при использовании пакета прикладных программ MathСad расчет кри-вой свободной поверхности следует выполнять методом численного интегрирования основного дифференциального уравнения неравно-мерного плавно изменяющегося движения.

Documents

МИНИСТЕРСТВО ОСВИТИ ТА НАУКИ УКРАИНИ … › 3402_2.pdf · При решении задач, связанных с расчетом кривых свободной