표준 편차 검정 표본 2³´조... · 2019. 4. 19. · 표준 편차 검정(표본 2개 이상) 3 표준 편차 검정 방법 Bonett 검정과 MC 검정의 유효성 Conover

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MINITAB 보조 도구 백서

이 문서는 Minitab 통계 소프트웨어의 보조 도구에서 사용되는 방법과 데이터 검사를

개발하기 위해 Minitab 통계 학자들이 실시한 연구에 대해 설명하는 전체 백서 중 하나입니다.

표준 편차 검정(표본 2개

이상)

개요

Minitab 보조 도구에는 독립 표본을 비교하여 표본의 변동성에 큰 차이가 있는지 판단하기

위한 분석이 2개 있습니다. 2-표본 표준 편차 검정은 표본 2개의 표준 편차를 비교하며, 표준

편차 검정은 2개보다 많은 표본의 표준 편차를 비교합니다. 이 문서에서는 k = 2인 k-표본

설계를 2-표본 설계라고 하고, k > 2인 k-표본 설계를 다중 표본 설계라고 합니다. 일반적으로,

이 두 가지 설계 유형은 별도로 조사됩니다(부록 A 참조).

표준 편차는 분산의 제곱근이므로, 표준 편차를 비교하는 가설 검정은 분산을 비교하는 가설

검정과 동일합니다. 모집단 2개 이상의 분산을 비교하기 위해 개발된 여러 통계분석 방법이

있습니다. 이런 검정 중에서 Levene/Brown-Forsythe 검정은 가장 강력하고 널리 사용되는 것

중 하나입니다. 그러나 Levene/Brown-Forsythe 검정의 검정력 성능은 2-표본 설계에서 해당

검정의 제1종 오류 속성보다 만족스럽지 않습니다. Pan(1999)에서는 정규 모집단을 포함한

일부 모집단의 경우 2-표본 설계의 검정력 상한이 표준 편차 간 차이의 크기에 관계 없이 1에

훨씬 못 미칠 수 있는 것으로 나타났습니다. 다시 말해, 이런 데이터 유형에 대해서는 표준

편차의 차이가 아무리 커도 서로 차이가 없다는 검정 결과가 나올 가능성이 더 큽니다. 이런

이유 때문에 보조 도구에서는 2-표본 표준 편차 검정에 Bonett 검정이라는 새로운 검정을

사용합니다. 보조 도구는 여러 표본 설계가 있는 표준 편차 검정에 다중 비교(MC) 절차를

사용합니다.

표준 편차 검정(표본 2개 이상) 2

Layard(1978)의 두 표본 분산 동일성 검정을 수정한 버전인 Bonett(2006) 검정은 표본이 작은

검정의 성능을 개선합니다. Banga & Fox(2013A)에서는 Bonett 검정과 연관된 신뢰 구간을

도출하고 이것이 Levene/Brown-Forsythe 검정과 연관된 신뢰 구간만큼 정확하고 대부분의

분포에 대해 더 정밀한 것으로 나타났습니다. 또한 Banga & Fox(2013A)에서는 Bonett 검정이

Levene/Brown-Forsythe 검정만큼 강력하며, 대부분의 분포에 대해 더 검정력이 강하다고

결론지었습니다.

다중 비교(MC) 절차에는 각 표준 편차 쌍의 비교 구간에 기초한 여러 표본의 표준 편차(또는

분산)의 동질성 또는 동일성에 대한 전체적인 검정이 포함됩니다. 비교 구간의 한 쌍 이상이

겹치지 않을 경우에만 MC 검정이 유의하도록 비교 구간이 도출됩니다. Banga &

Fox(2013B)에서는 MC 검정의 제1종 및 제2종 오류 속성이 대부분의 분포에 대해

Levene/Brown-Forsythe 검정과 유사한 것으로 나타났습니다. MC 검정의 중요한 장점 중

하나는 비교 구간의 그래픽 디스플레이로, 이는 표준 편차가 서로 다른 표본을 식별하는 데

효과적인 시각적 도구를 제공합니다. 설계에 표본이 2개뿐이면 MC 검정은 Bonett 검정과

동일합니다.

이 문서에서는 Bonett 검정과 MC 검정의 유효성을 서로 다른 데이터 분포와 표준 크기에

대해 평가합니다. 또한 대표본 근사 방법에 기초한 Bonett 검정에 사용되는 검정력과 표본

크기 분석에 대해 알아봅니다. 당사는 이러한 요인을 토대로 보조 도구가 데이터에 대해

자동으로 수행하고 보고서 카드에 표시하는 다음과 같은 검사를 개발했습니다.

비정상 데이터

정규성

검정의 유효성

표본 크기(2-표본 표준 편차 검정에만 해당)


표준 편차 검정 방법

Bonett 검정과 MC 검정의 유효성

Conover 외(1981)는 등분산 검정 비교 연구에서 Levene/Brown-Forsythe 검정이 제1종 및

제2종 오류율을 기준으로 가장 우수한 검정 중 하나임을 확인했습니다. 그 후로 2-표본 및

다중 표본 설계의 등분산 검정을 위한 기타 여러 가지 방법이 제안되었습니다(Pan, 1999;

Shoemaker, 2003; Bonett, 2006). 예를 들어 Pan에서는 Levene/Brown-Forsythe 검정이

강력하고 해석이 간단하지만 표본을 같은 모집단(정규 모집단 포함)에서 추출했을 때 2개의

표준 편차 사이에서 중요한 차이를 탐지할 수 있을 만큼 검정력이 충분하지 않은 것으로

나타났습니다. 보조 도구는 이 중요한 한계로 인해 2-표본 표준 편차 검정에 Bonett 검정을

사용합니다(부록 A 또는 Banga & Fox, 2013A 참조). 보조 도구는 표본이 2개보다 많은 표준

편차 검정에 대해 MC 검정이 유의할 때 표준 편차가 서로 다른 표본을 식별하는 그래픽

디스플레이를 제공하는 비교 구간이 있는 MC 절차를 사용합니다(부록 A와 Banga & Fox,

2013B 참조).

목적

첫째, 당사는 모집단 2개의 표준 편차를 비교할 때 Bonett 검정이 얼마나 효과적인지

평가하고자 했습니다. 둘째, 모집단이 2개보다 많은 표준 편차를 비교할 때 MC 검정이 얼마나

효과적인지 평가하고자 했습니다. 구체적으로, 분포 유형이 서로 다른 다양한 크기의 표본에

해당 검정을 사용할 때 검정의 유효성을 평가하고자 했습니다.

방법

Bonett 검정과 MC 검정에 사용된 통계분석 방법은 부록 A에 정의되어 있습니다. 검정의

유효성을 평가하기 위해 검정의 제1종 오류율이 다른 조건에서도 목표 유의 수준(알파)과

가깝게 유지되는지 조사해야 했습니다. 이를 위해 독립 표본 2개의 표준 편차를 비교할 때

Bonett 검정의 유효성을 평가하기 위한 일련의 시뮬레이션을 수행하고 여러(k) 독립 표본의

표준 편차를 비교할 때 MC 검정의 유효성을 평가하기 위한 일련의 다른 시뮬레이션을

수행했습니다(k > 2).

균형 및 불균형 설계를 모두 사용하여 여러 분포에서 추출한 다양한 크기의 여러(k) 무작위

표본을 1만 쌍 생성했습니다. 그런 다음, 각 실험에서 2개 표본의 표준 편차를 비교하기 위한

양측 Bonett 검정을 수행하거나 k개 표본의 표준 편차를 비교하기 위한 MC 검정을


수행했습니다. 사용된 목표 유의 수준은 𝛼 = 0.05입니다. 10,000회의 반복실험 중에서 (실제

표준 편차가 동일할 때) 검정에 의해 귀무 가설이 기각된 횟수를 집계하고, 이 비율(모의 유의

수준이라고 함)을 목표 유의 수준과 비교했습니다. 검정이 효과적이면 실제 제1종 오류율을

나타내는 모의 유의 수준이

목표 유의 수준과 매우 유사할 것입니다. 2-표본 및 k-표본 시뮬레이션에 사용된 방법에 대한

자세한 내용은 부록 B를 참조하십시오.

결과

2-표본 비교에서 Bonett 검정의 모의 제1종 오류율은 표본 크기가 중간 이상일 때 설계의 균형

또는 불균형 여부에 관계 없이 목표 유의 수준과 유사했습니다. 그러나 극도로 치우친

모집단에서 작은 표본을 추출했을 때 Bonett 검정은 대체로 보수적이었으며, 제1종 오류율이

목표 유의 수준(즉, 목표 제1종 오류율)보다 약간 낮았습니다.

다중 표본 비교에서 MC 검정의 제1종 오류율은 표본 크기가 중간 이상일 때 분포에 관계

없이, 그리고 설계의 균형 또는 불균형 여부에 관계 없이 목표 유의 수준과 유사했습니다.

그러나 표본이 작고 극도로 치우친 경우에는 검정이 대체로 덜 보수적이었으며, 설계의 표본

수가 많을 때 제1종 오류율이 목표 유의 수준보다 높았습니다.

당사의 연구 결과는 Banga & Fox(2013A) 및 (2013B)의 결과와 일치했습니다. 당사는 Bonett

검정과 MC 검정이 최소 표본의 크기가 20개 이상일 때 효과적이라는 결론을 내렸습니다.

따라서 보조 도구 보고서 카드의 검정 유효성 검사에 이 최소 표본 크기 요건을

사용합니다(데이터 검사 항목 참조).

비교 구간

2개 이상의 표준 편차를 비교하기 위한 검정이 통계적으로 유의하여 하나 이상의 표준 편차가

나머지와 다른 것으로 나타나면, 다음 분석 단계에서는 어떤 표본이 통계적으로 다른지

확인합니다. 이 비교 작업을 직관적으로 수행하기 위해 각 표본과 연관된 신뢰 구간을

그래프로 표시하고 구간이 겹치지 않는 표본을 식별합니다. 그러나 개별 신뢰 구간은 비교에

사용할 수 없기 때문에 그래프를 근거로 내린 결론은 검정 결과와 일치하지 않을 수 있습니다.

목적

당사는 전체적인 검정이 유의할 때 전체적인 분산 동질성 검정과 분산이 서로 다른 표본을

식별하는 방법으로 모두 사용할 수 있는 개별 비교 구간을 계산하는 방법을 개발하고자

했습니다. MC 절차의 중요한 요구 사항 중 하나는 한 쌍 이상의 비교 구간이 겹치지 않음에


따라 2개 이상의 표본의 표준 편차가 다른 것으로 나타날 경우에만 전체 검정이 유의하다는

것입니다.

방법

여러 표준 편차를 비교하는 데 사용되는 MC 절차는 다중 쌍 비교에서 유래되었습니다. 각

표본 쌍은 Bonett(2006)의 2개 모집단 표준 편차 동일성 검정을 사용하여 비교합니다. 쌍

비교에는 Nayakama(2009)에 나와 있는 대표본 근사에 기초한 다중성 수정이 사용됩니다.

널리 사용되는 Bonferroni 수정보다 대표본 근사가 더 선호되는 이유는 표본 수가 증가할수록

Bonferroni 수정은 점점 더 보수적이 되기 때문입니다. 마지막으로, 비교 구간은 Hochberg

외(1982)의 최근사 절차에 기초한 쌍 비교에서 비롯되었습니다. 자세한 내용은 부록 A를

참조하십시오.

결과

MC 절차는 2개 이상의 비교 구간이 겹치지 않을 경우에만 전체 표준 편차 동일성 검정이

유의하다는 요구 사항을 충족합니다. 전체 검정이 유의하지 않으면 모든 비교 구간이 겹쳐야

합니다.

보조 도구는 요약 보고서의 표준 편차 비교 차트에 비교 구간을 표시합니다. 그리고 이 그래프

옆에 전체 표준 편차 동질성 검정인 MC 검정의 p-값을 표시합니다. 표준 편차 검정이

통계적으로 유의하면 하나 이상의 다른 구간과 겹치지 않는 비교 구간이 모두 빨간색으로

표시됩니다. 표준 편차 검정이 통계적으로 유의하지 않으면 빨간색으로 표시되는 구간이

없습니다.

이론적 검정력 성능(2-표본 설계에만 해당)

Bonett 및 MC 검정의 이론적 검정력 함수는 표본 크기를 계획하는 데 필요합니다. 2-표본

설계에 대해 검정의 근사 이론적 검정력 함수는 대표본 이론 방법을 사용하여 도출할 수

있습니다. 이 함수는 대표본 근사 방법의 결과로 얻어지므로, 검정을 실시할 때 정규 및

비정규 분포에서 생성된 작은 표본을 사용하여 함수의 속성을 평가해야 했습니다. 그러나

2개보다 많은 집단의 표준 편차를 비교할 경우 MC 검정의 이론적 검정력 함수를 쉽게 얻을 수

없습니다.

목적

당사는 보조 도구에서 대표본 근사에 기초한 이론적 검정력 함수를 사용하여 2-표본 표준

편차 검정에 대한 검정력 및 표본 크기 요구 사항을 평가할 수 있는지 확인하고자 했습니다.

이를 위해서는 Bonett 검정을 정규 및 비정규 분포를 포함한 여러 분포 유형에서 얻어진


데이터에 대해 수행할 때 근사 이론적 검정력 함수가 실제로 얻어지는 검정력을 정확히

나타내는지 평가해야 했습니다.

방법

2-표본 설계에 대한 Bonett 검정의 근사 이론적 검정력 함수는 부록 C에 나와 있습니다.

당사는 Bonett 검정을 사용하여 (당사가 모의 검정력 수준이라고 부르는) 실제 검정력 수준을

추정하기 위한 시뮬레이션을 수행했습니다. 첫째, 정규 및 비정규 분포를 포함한 여러

분포에서 추출한 여러 크기의 무작위 표본 쌍을 생성했습니다. 각 분포에 대해 Bonett 검정을

1만 쌍의 표본 반복실험에 대해 각각 수행했습니다. 각 표본 크기 쌍에 대해 주어진 차이를

탐지하는 검정의 모의 검정력을 검정이 유의한 표본 1만 쌍의 분수로 계산했습니다. 비교를

위해 검정의 근사 이론적 검정력 함수를 사용하여 해당 검정력 수준도 계산했습니다. 근사가

효과적이라면 이론적 및 모의 검정력 수준이 유사할 것입니다. 자세한 내용은 부록 D를

참조하십시오.

결과

시뮬레이션에 따르면 Bonett 검정의 이론적 및 모의 검정력 함수는 표본 크기가 작을 때

대부분의 분포에서 거의 같고 최소 표본 크기가 20개에 도달할 때 더 유사한 것으로

나타났습니다. 꼬리의 크기가 중간 이하인 대칭 및 근대칭 분포에서 이론적 검정력 수준은

모의(실제) 검정력 수준보다 약간 더 높습니다. 그러나 치우친 분포와 꼬리가 두꺼운

분포에서는 모의(실제) 검정력 수준보다 더 작습니다. 자세한 내용은 부록 D를 참조하십시오.

전체적으로, 당사의 연구 결과에서는 이론적 검정력 함수가 표본 크기를 계획하는 좋은

기초가 되는 것으로 나타났습니다.


데이터 검사

비정상 데이터

비정상 데이터는 특이치라고도 하는 극도로 크거나 작은 데이터 값입니다. 비정상 데이터는

분석 결과에 중대한 영향을 미칠 수 있으며, 특히 표본이 작을 때 통계적으로 유의한 결과를

찾을 확률에 영향을 미칠 수 있습니다. 비정상 데이터는 데이터 수집에 문제가 있음을

나타내거나, 연구하는 프로세스의 비정상적인 동작에 기인할 수 있습니다. 그러므로 이런

데이터 점은 종종 조사할만한 가치가 있으며, 가능하면 수정해야 합니다. 시뮬레이션

연구에서는 데이터에 특이치가 있을 때 Bonett 검정과 MC 검정이 보수적인 것으로

나타났습니다(부록 B 참조). 검정의 실제 유의 수준은 특히 작은 표본을 사용하여 분석을

수행할 때 목표 수준보다 훨씬 낮습니다.

목적

당사는 전체 표본에 비해 매우 크거나 매우 작고 분석 결과에 영향을 미칠 수 있는 데이터

값이 있는지 확인하는 방법을 개발하고자 했습니다.

방법

당사는 상자 그림에서 특이치를 식별하기 위해 사용되는 Hoaglin, Iglewicz & Tukey(1986)가

설명한 방법을 토대로 비정상 데이터를 검사하는 방법을 개발했습니다.

결과

보조 도구는 분포의 하위 또는 상위 사분위수를 벗어난 사분위간 범위의 1.5배 이상인 데이터

점을 비정상 데이터로 구분합니다. 하위 및 상위 사분위수는 데이터의 25 및 75 백분위수에

해당됩니다. 사분위간 범위는 두 사분위수의 차이입니다. 이 방법을 사용하면 특정 특이치를

각각 탐지할 수 있기 때문에 특이치가 여러 개일 때도 효과적입니다.

비정상 데이터가 있는지 검사할 때 보조 도구는 다음과 같은 상태 지표를 보고서 카드에

표시합니다.

상태 조건

비정상적인 데이터 점 없음.


상태 조건

하나 이상의 데이터 점이 비정상이고 결과에 중대한 영향을 미칠 수 있음.

정규성

정규성 가정에 따라 도출되는 대부분의 등분산 검정과 달리 표준 편차 동일성에 대한 Bonett

검정과 MC 검정은 특정 데이터 분포에 대해 가정하지 않습니다.

목적

Bonett 검정과 MC 검정은 대표본 근사 방식에 기초하고 있지만, 당사는 각 검정이 작은

표본의 정규 및 비정규 데이터에도 효과적인지 확인하고자 했습니다. 또한 데이터의

정규성이 표준 편차 검정의 결과와 어떤 관계가 있는 지도 사용자에게 알리고자 했습니다.

방법

검정의 유효성을 서로 다른 조건에서 평가하기 위해 Bonett 검정 및 MC 검정의 제1종

오류율을 다양한 표본 크기의 정규 및 비정규 데이터를 사용하여 조사하기 위한

시뮬레이션을 수행했습니다. 자세한 내용은 표준 편차 검정 방법 항목과 부록 B를

참조하십시오.

결과

시뮬레이션에서는 표본이 충분히 클 경우(최소 표본 크기 ≥ 20) 데이터의 분포가 Bonett 검정

또는 MC 검정의 제1종 오류 속성에 중대한 영향을 미치지 않는 것으로 나타났습니다. 검정의

제1종 오류율은 정규 및 비정규 데이터의 경우 모두 목표 오류율과 일관되게 유사합니다.

보조 도구는 제1종 오류율에 대한 이 같은 결과를 토대로 정규성에 대한 정보를 보고서

카드에 표시합니다.

2-표본 설계에 대해 보조 도구는 다음 지표를 표시합니다.

상태 조건

이 분석에는 Bonett 검정이 사용됩니다. 이 검정은 표본이 충분히 클 경우 정규 및 비정규 데이터에

대해 모두 우수한 성능을 나타냅니다.


다중 표본 설계에 대해 보조 도구는 다음 지표를 표시합니다.

상태 조건

이 분석에는 다중 비교 검정이 사용됩니다. 이 검정은 표본이 충분히 클 경우 정규 및 비정규 데이터에

대해 모두 우수한 성능을 나타냅니다.

검정의 유효성

표준 편차 검정 방법 항목에서는 2-표본 및 다중 (k) 비교의 경우 모두 Bonett 검정과 MC

검정의 제1종 오류율이 표본 크기가 중간 이상일 때 균형 및 불균형 설계의 정규 및 비정규

데이터에 대해 목표 오류율과 유사한 것으로 나타났습니다. 그러나 표본이 작을 때는 Bonett

및 MC 검정이 대체로 효과적이지 못했습니다.

목적

당사는 사용자의 데이터를 토대로 2-표본 및 다중 (k) 표본에 대한 표준 편차 검정 결과의

유효성을 평가하기 위한 규칙을 적용하고자 했습니다.

방법

검정의 유효성을 서로 다른 조건에서 평가하기 위해 앞의 표준 편차 검정 방법 항목에서

설명한 대로 Bonett 검정 및 MC 검정의 제1종 오류율을 다양한 데이터 분포, 표본 수 및 표본

크기를 사용하여 조사하기 위한 시뮬레이션을 수행했습니다. 자세한 내용은 부록 B를

참조하십시오.

결과

Bonett 검정과 MC 검정은 최소 표본의 크기가 20개 이상일 때 효과적입니다. 따라서 보조

도구는 표준 편차 검정의 유효성을 평가하기 위해 다음과 같은 상태 지표를 보고서 카드에

표시합니다.

상태 조건

표본 크기가 20개 이상이므로 p-값이 정확할 것임.

일부 표본 크기가 20개 미만이므로 p-값이 정확하지 않을 수 있음. 표본 크기를 20개 이상으로 늘려

보십시오.


표본 크기(2-표본 표준 편차 검정에만 해당)

일반적으로, 통계적 가설 검정은 "차이가 없는" 귀무 가설을 기각하기 위한 증거를 수집하기

위해 수행합니다. 표본이 너무 작으면 검정의 검정력이 실제로 존재하는 차이를 탐지하는 데

충분하지 않을 수 있으며, 이는 제2종 오류로 이어집니다. 따라서 실제로 중요한 차이를 높은

확률로 탐지할 만큼 큰 표본 크기를 사용하는 것이 중요합니다.

목적

데이터에서 귀무 가설을 기각하기 위한 증거를 충분히 얻을 수 없는 경우에는 표본 크기가

검정에서 탐지하고자 하는 실제 차이를 높은 확률로 탐지하기에 충분히 큰지 확인하고자

했습니다. 표본 크기 계획의 목적은 중요한 차이를 높은 확률로 탐지하기에 충분히 큰 표본

크기를 사용하기 위한 것이지만, 표본이 너무 커서 무의미한 차이가 통계적으로 중요하다고

인식될 확률이 높아져서도 안 됩니다.

방법

2-표본 표준 편차 검정의 검정력 및 표본 크기 분석은 일반적으로 검정의 실제 검정력 함수에

대한 좋은 추정치를 제공하는 Bonett 검정의 근사 검정력 함수에 기초합니다(방법 항목의

'이론적 검정력 함수의 성능'에 요약된 시뮬레이션 결과 참조).

결과

귀무 가설을 반박하는 충분한 증거를 데이터로부터 얻을 수 없으면, 보조 도구는 Bonett

검정의 근사 검정력 함수를 사용하여 80% 및 90% 확률로 탐지할 수 있는 실제 차이를 주어진

표본 크기에 대해 계산합니다. 또한 탐지하고자 하는 특정 실제 차이를 제공할 경우 보조

도구는 정규 근사 검정의 검정력 함수를 사용하여 80% 및 90%의 차이 탐지 확률을 얻기 위해

필요한 표본 크기를 계산합니다.

2-표본 표준 편차 검정에 대한 보조 도구 보고서 카드는 결과 해석을 지원하기 위해 검정력 및

표본 크기를 확인할 때 다음과 같은 상태 지표를 표시합니다.

상태 조건

검정에서 표준 편차의 차이가 탐지되므로 검정력은 문제가 되지 않음.

또는

검정력이 충분함. 검정에서는 표준 편차의 차이가 발견되지 않았지만, 표본 크기는 주어진 차이를

90% 이상의 확률로 탐지하는 데 충분함.


상태 조건

검정력이 충분할 수 있음. 검정에서는 표준 편차의 차이가 발견되지 않았지만, 표본 크기는 주어진

차이를 80% - 90% 확률로 탐지하는 데 충분함. 90% 검정력을 달성하기 위해 필요한 표본 크기가

보고됨.

검정력이 충분하지 않을 수 있음. 검정에서 표준 편차의 차이를 찾지 못했지만, 표본 크기는 주어진

차이를 60% - 80% 확률로 탐지하는 데 충분함. 80% 검정력과 90% 검정력을 달성하는 데 필요한

표본 크기가 보고됨.

검정력이 충분하지 않음. 검정에서 표준 편차의 차이를 찾지 못했으며, 표본 크기는 주어진 차이를

60% 이상의 확률로 탐지하는 데 충분하지 않음. 80% 검정력과 90% 검정력을 달성하는 데 필요한

표본 크기가 보고됨.

검정에서 표준 편차의 차이를 찾지 못함. 탐지할 실제 차이를 지정하지 않았으므로 보고서에는 표본

크기와 알파를 기준으로 80% 및 90% 확률로 탐지할 수 있는 차이가 표시됨.


참고 문헌

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Standard Deviations. 백서, Minitab Inc.

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standard deviations. 백서, Minitab Inc.

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Psychological Measurements, 30, 432-439.

Brown, M.B., & Forsythe, A.B. (1974).Robust tests for the equality of variances. Journal of

the American Statistical Association, 69, 364-367.

Conover, W.J., Johnson, M.E., & Johnson, M.M. (1981). A comparative study of tests for

homogeneity of variances, with applications to the outer continental shelf bidding data.

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Hochberg, Y., Weiss G., & Hart, S. (1982). On graphical procedures for multiple

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(2), 105-114.


부록 A: Bonett 검정 및 다중 비교

검정 방법

Bonett 방법(2-표본 설계) 또는 다중 비교(MC) 절차(다중 표본 설계)를 사용하여 표준 편차

또는 분산에 대한 추론을 도출하기 위한 기본 가정은 다음과 같이 설명할 수 있습니다.

𝑋11, … , 𝑋1𝑛1, … , 𝑋𝑘1, … , 𝑋𝑘𝑛𝑘

가 𝑘개(𝑘 ≥ 2)의 독립 무작위 표본이고, 각 표본이 평균 𝜇𝑖와 분산

𝜎𝑖2을 알 수 없고 각각에 대해 𝑖 = 1, … , 𝑘인 분포에서 추출된 경우를 생각해 보십시오. 표본의

모집단 분포의 공통 유한 첨도를 𝛾 = 𝐸(𝑌 − 𝜇)4 𝜎4⁄ < ∞이라고 가정합니다. 이 가정은 이론을

도출하는 데 중요하지만, 대부분 표본이 충분히 큰 실제 용도에서는 중요하지

않습니다(Banga & Fox, 2013A).

방법 A1: Bonett의 두 분산 동일성 검정

Bonett 검정은 2개의 분산 또는 표준 편차를 비교하는 2-표본 설계에만 적용됩니다. 이 검정은

Layard(1978)의 2-표본 설계 등분산 검정을 수정한 것입니다. 두 표본 설계 분산의 동일성을

검정하는 유의 수준이 𝛼인 양측 Bonett 검정은 다음과 같은 경우에만 null 동일성 가설을

기각합니다.

|ln(𝑐 𝑆12/𝑆2

2)| > 𝑧𝛼/2√𝛾𝑃 − 𝑔1

𝑛1 − 1+

𝛾𝑃 − 𝑔2

𝑛2 − 1

설명:

𝑆𝑖는 표본 𝑖의 표본 표준 편차입니다

𝑔𝑖 = (𝑛𝑖 − 3)/𝑛𝑖, 𝑖 = 1,2

𝑧𝛼/2는 표준 정규 분포의 상위 𝛼/2 백분위수를 말합니다.

𝛾𝑃는 다음 식으로 표현되는 합동 첨도 추정자입니다.

𝛾𝑃 = (𝑛1 + 𝑛2)∑ (𝑋1𝑗 − 𝑚1)

4𝑛1𝑗=1 + ∑ (𝑋2𝑗 − 𝑚2)

4𝑛2𝑗=1

[(𝑛1 − 1)𝑆12 + (𝑛2 − 1)𝑆2

2]2

합동 첨도 추정자 식에서 𝑚𝑖는 표본 𝑖의 절사 평균이며, 절사 비율은 1/[2(𝑛𝑖 − 4)1/2]입니다.

위에서 상수 𝑐는 불균형 설계에서 불균등 꼬리 오류 확률의 효과를 줄이기 위한 소규모 표본

조정으로 포함됩니다. 이 상수의 공식은 𝑐 = 𝑐1/𝑐2입니다.


𝑐i =𝑛i

𝑛i − 𝑧𝛼/2, 𝑖 = 1,2

설계가 균형이면(즉 𝑛1 = 𝑛2이면) 검정의 p-값을 다음과 같이 구합니다.

P = 2 Pr(𝑍 > 𝑧)

여기서 𝑍는 표준 정규 분포의 형태로 분포된 무작위 변수이며, 𝑧는 주어진 데이터에 기초한

다음 통계의 관측값입니다. 이 통계는 다음과 같습니다.

𝑍 =ln(𝐶 𝑆1

2/𝑆22)

𝑠𝑒

설명

𝑠𝑒 = √𝛾𝑃 − 𝑔1

𝑛1 − 1+

𝛾𝑃 − 𝑔2

𝑛2 − 1

반면에, 설계가 불균형일 경우에는 검정의 p-값을 다음과 같이 구합니다.

𝑃 = 2min (𝛼𝐿, 𝛼𝑈)

여기서 𝛼𝐿 = Pr (𝑍 > 𝑧𝐿) 및 𝛼𝑈 = Pr (𝑍 > 𝑧𝑈)입니다. 변수 𝑧𝐿는 다음 함수의 최소 제곱근이고

𝐿(𝑧, 𝑆1, 𝑆2, 𝑛1, 𝑛2) = ln𝑛1

𝑛2+ ln

𝑛2 − 𝑧

𝑛1 − 𝑧− 𝑧 𝑠𝑒 + ln

𝑆12

𝑆22 − ln 𝜌𝑜

2 , 𝑧 < min(𝑛1, 𝑛2)

𝑧𝑈는 𝐿(𝑧, 𝑆2, 𝑆1, 𝑛2, 𝑛1) 함수의 최소 제곱근입니다.

방법 A2: 다중 비교 검정과 비교 구간

𝑘(𝑘 ≥ 2))개의 독립 그룹 또는 표본이 있다고 가정합니다. 당사의 목표는 𝑘개 구간 중 2개

이상의 구간이 겹치지 않을 경우에만 표준 편차 동일성 검정이 유의하도록 모집단 표본

편차에 대해 𝑘 구간 시스템을 구성하는 것이었습니다. 이런 구간을 비교 구간이라고 합니다.

이 비교 방법은 Tukey-Kramer가 처음 개발하고 이후에 Hochberg 외(1982)가 일반화한 일원

분산 분석 모형의 평균을 다중 비교하는 절차와 유사합니다.

표준 편차 2개 비교

2-표본 설계에서는 Bonett 검정과 연관된 표준 편차 비율의 신뢰 구간을 직접 계산하여 표준

편차 간 차이의 크기를 평가할 수 있습니다(Banga & Fox, 2013A). 실제로 당사는 이 방법을

Minitab 17 릴리스의 통계분석 > 기초 통계 > 두 표본 분산에 사용합니다. 그러나 보조

도구에서 표준 편차 비율의 신뢰 구간보다 더 해석하기 쉬운 비교 구간을 제공하고자

했습니다. 이를 위해 방법 A1에서 설명한 Bonett 절차를 사용하여 두 표본의 비교 구간을

정했습니다.


표본이 2개일 때는 Bonett 등분산 검정과 연관된 다음 합격 구간에 0이 없을 경우에만

Bonett의 등분산 검정이 유의합니다.

ln(𝑐1𝑆12) − ln(𝑐2𝑆2

2) ± 𝑧𝛼/2√�̂�

𝑃− 𝑔

1

𝑛1 − 1+

�̂�𝑃

− 𝑔2

𝑛2 − 1

여기서 합동 첨도 추정치 𝛾𝑃와 𝑔𝑖, 𝑖 = 1,2는 이전에 주어진 것과 같습니다.

이 구간을 토대로, 2개 비교 구간이 겹치지 않을 경우에만 분산 또는 표준 편차 동일성 검정이

유의하도록 다음 2개의 비교 구간을 도출합니다. 두 구간은 다음과 같습니다.

[𝑆𝑖√Ciexp(−𝑧𝛼/2𝑉𝑖) , 𝑆𝑖√𝐶𝑖 exp(𝑧𝛼/2𝑉𝑖) ] , 𝑖 = 1,2

설명

𝑉𝑖 =√

𝛾𝑃 − 𝑔𝑖𝑛𝑖 − 1

√𝛾𝑃 − 𝑔𝑖𝑛𝑖 − 1 + √

𝛾𝑃 − 𝑔𝑗

𝑛𝑗 − 1

√𝛾𝑃 − 𝑔𝑖

𝑛𝑖 − 1+

𝛾𝑃 − 𝑔𝑗

𝑛𝑗 − 1, 𝑖 = 1,2; 𝑗 = 1,2; 𝑖 ≠ 𝑗

두 구간을 표준 편차 동일성 검정 절차로 사용하는 것은 Bonett의 표준 편차 동일성 검정과

동일합니다. 구체적으로, 두 구간은 Bonett의 표준 편차 동일성 검정이 유의할 경우에만

겹치지 않습니다. 그러나 두 구간은 표준 편차의 신뢰 구간이 아니라 표준 편차의 다중

비교에만 해당됩니다. 같은 이유로, Hochberg 외는 평균을 비교하는 데 사용되는 이와 유사한

구간을 불확실성 구간이라고 지칭합니다. 당사에서는 해당 구간을 비교 구간이라고 합니다.

비교 구간 절차는 Bonett의 표준 편차 동일성 검정과 동일하기 때문에 비교 구간과 연관된 p-

값은 앞에서 설명한 Bonett의 두 표본 표준 편차 동일성 검정의 p-값과 동일합니다.

여러 표준 편차 비교

그룹 또는 표본이 2개보다 많은 경우 𝑘 비교 구간을 모임 유의 수준이 𝛼인 𝑘(𝑘 − 1)/2 쌍 동시

표준 편차 동일성 검정으로부터 도출합니다. 더 구체적으로, 𝑋𝑖1, … , 𝑋𝑖𝑛𝑖 및 𝑋𝑗1, … , 𝑋𝑗𝑛𝑗

가 표본

쌍 (𝑖, 𝑗)의 표본 데이터인 경우를 생각해 볼 수 있습니다. 특정 표본 쌍 (𝑖, 𝑗)에 대한 표준 편차

동일성 검정은 표본이 2개인 경우와 마찬가지로 다음 구간에 0이 없을 경우에만 𝛼′ 수준에서

유의합니다.

ln(𝑐𝑖𝑆𝑖2) − ln(𝑐𝑗𝑆𝑗

2) ± 𝑧𝛼′/2

√𝛾𝑖𝑗 − 𝑔𝑖

𝑛𝑖 − 1+

𝛾𝑖𝑗 − 𝑔𝑗

𝑛𝑗 − 1

위에서 𝛾𝑖𝑗는 표본 쌍 (𝑖, 𝑗)에 기초한 합동 첨도 추정자이며, 다음과 같이 계산됩니다.


𝛾𝑖𝑗 = (𝑛𝑖 + 𝑛𝑗)∑ (𝑋𝑖𝑙 − 𝑚𝑖)4𝑛𝑖

𝑙=1 + ∑ (𝑋𝑗𝑙 − 𝑚𝑗)4𝑛𝑗

𝑙=1

[(𝑛𝑖 − 1)𝑆𝑖2 + (𝑛𝑗 − 1)𝑆𝑗

2]2

또한 이전에 정의한 것처럼 𝑚𝑖는 절사 비율이 1/[2(𝑛𝑖 − 4)1/2]인 표본 𝑖의 절사 평균이며,

다음이 성립됩니다.

𝑔𝑖 =𝑛𝑖 − 3

𝑛𝑖 , 𝑔𝑗 =

𝑛𝑗 − 3

𝑛𝑗 , 𝑐𝑖 =

𝑛𝑖

𝑛𝑖 − 𝑧𝛼′/2

, 𝑐𝑗 =𝑛𝑗

𝑛𝑗 − 𝑧𝛼′/2

동시 쌍 검정의 수는 𝑘(𝑘 − 1)/2 이므로, 실제 모임 오류율이 목표 유의 수준 𝛼′에 가깝도록 𝛼

수준을 선택해야 합니다. 가능한 조정 중 하나는 Bonferroni의 근사값에 기초한 조정입니다.

그러나 Bonferroni 수정은 설계의 표본 수가 증가할수록 점점 보수적이 된다고 널리 알려져

있습니다. 더 나은 방법은 Nakayama(2008)가 제시한 정규 근사에 기초한 방법입니다. 이

방법을 사용하면 𝑧𝛼′/2가 𝑞𝛼,𝑘/√2로 대체될 뿐입니다. 여기서 𝑞𝛼,𝑘는 𝑘개의 독립적이고

동일하게 분포된 표준 정규 무작위 변수 범위의 상위 𝛼 점입니다. 즉, 다음과 같습니다.

Pr ( max1≤𝑖<𝑗≤𝑘

|𝑍𝑖 − 𝑍𝑗| ≤ 𝑞𝛼,𝑘) = 1 − 𝛼

여기서 𝑍1, … , 𝑍𝑘는 독립적이고 동일하게 분포된 표준 정규 무작위 변수입니다.

또한 Hochberg 외(1982)의 방법과 유사한 위에서 설명한 표본 쌍 절차에 가장 근접한 절차를

사용하면 특정 표본 쌍 (𝑖, 𝑗)에 대해 다음 공식이 성립될 경우에만 표준 편차 동일성의 귀무

가설을 기각합니다.

|ln(𝑐𝑖𝑆𝑖2) − ln(𝑐𝑗𝑆𝑗

2)| > 𝑞𝛼,𝑘(𝑉𝑖 + 𝑉𝑗)/√2

여기서 𝑉𝑖는

∑ ∑(𝑉𝑖 + 𝑉𝑗 − 𝑏𝑖𝑗)2

𝑖≠𝑗

수량을 사용하여 다음과 같이 최소화하기 위해 선택됩니다.

𝑏𝑖𝑗 = √𝛾𝑖𝑗 − 𝑔𝑖

𝑛𝑖 − 1+

𝛾𝑖𝑗 − 𝑔𝑗

𝑛𝑗 − 1

Hochberg 외(1982)에 설명된 이 문제에 대한 해결책은 다음을 선택하는 것입니다.

𝑉𝑖 =(𝑘 − 1) ∑ 𝑏𝑖𝑗𝑗≠𝑖 − ∑ ∑ 𝑏𝑗𝑙1≤𝑗<𝑙≤𝑘

(𝑘 − 1)(𝑘 − 2)

논리적으로, 근사 절차에 기초한 검정은 다음 𝑘개 구간 중 한 쌍 이상이 겹치지 않을 경우에만

유의합니다.

[𝑆𝑖√Ciexp(−𝑞𝛼,𝑘𝑉𝑖/√2 ) , 𝑆𝑖√𝐶𝑖 exp(𝑞𝛼,𝑘𝑉𝑖/√2) ] , 𝑖 = 1, … , 𝑘


MC 검정과 연관된 전체 p-값을 계산하기 위해 𝑃𝑖𝑗가 표본 쌍 (𝑖, 𝑗)와 연관된 p-값이라고

하겠습니다. 그러면 다중 비교 검정과 연관된 전체 p-값은 논리적으로 다음과 같습니다.

𝑃 = min{ 𝑃𝑖𝑗 , 1 ≤ 𝑖 < 𝑗 ≤ 𝑘}

𝑃𝑖𝑗를 계산하기 위해 다음을 사용하여 방법 A1에서 주어진 2-표본 설계의 알고리즘을

실행합니다.

𝑠𝑒 = 𝑉𝑖 + 𝑉𝑗

여기서 𝑉𝑖는 위에서 주어진 것과 같습니다.

더 구체적으로 𝑛𝑖 ≠ 𝑛𝑗일 경우 다음과 같습니다.

𝑃𝑖𝑗 = min(𝛼𝐿 , 𝛼𝑈)

여기서 𝛼𝐿 = Pr (𝑄 > 𝑧𝐿√2) , 𝛼𝑈 = Pr (𝑄 > 𝑧𝑈√2), 변수 𝑧𝐿는 함수 𝐿(𝑧, 𝑆𝑖, 𝑆𝑗, 𝑛𝑖, 𝑛𝑗)의 최소

제곱근이고, 변수 𝑧𝑈는 함수 𝐿(𝑧, 𝑆𝑗, 𝑆𝑖, 𝑛𝑗, 𝑛𝑖)의 최소 제곱근이며, 𝑄는 범위 분포가 이전에

정의된 것과 같은 무작위 변수입니다.

𝑛𝑖 = 𝑛𝑗면 𝑃𝑖𝑗 = Pr (𝑄 > |𝑧𝑜|√2)입니다. 설명:

𝑧𝑜 =ln 𝑆𝑖

2 − ln 𝑆𝑗2

𝑉𝑖 + 𝑉𝑗


부록 B: Bonett 검정 및 다중 비교

검정의 유효성

시뮬레이션 B1: Bonett 검정의 유효성(2-표본 모형,

균형 및 불균형 설계)

당사는 속성이 서로 다른 분포에서 추출한 크기가 중간 이하인 무작위 표본의 쌍을

생성했습니다. 포함된 분포는 다음과 같습니다.

표준 정규 분포(N(0,1))

대칭 및 얇은 꼬리 분포. 균등 분포(U(0,1))와 두 매개 변수를 모두 3으로 설정한 베타

분포(B(3,3)) 포함.

대칭 및 두꺼운 꼬리 분포. 자유도가 5-10인 t 분포(t(5),t(10))와 위치가 0이고 척도가

1인 Laplace 분포(Lpl) 포함.

치우친 분포와 두꺼운 꼬리 분포. 척도가 1인 지수 분포(Exp)와 자유도가 5-10인 카이

제곱 분포(Chi(5), Chi(10)) 포함.

왼쪽으로 치우친 분포와 두꺼운 꼬리 분포. 구체적으로, 매개 변수가 각각 8과 1로

설정된 베타 분포(B(8,1)).

또한 특이치의 직접적인 영향을 평가하기 위해 다음과 같이 정의되는 오염된 정규

분포로부터 표본의 쌍을 생성했습니다.

𝐶𝑁(𝑝, 𝜎) = 𝑝𝑁(0,1) + (1 − 𝑝)𝑁(0, 𝜎)

여기서 𝑝는 혼합 모수이고 1 − 𝑝는 (특이치의 비율과 같은) 오염 비율입니다. 연구에 사용할

오염된 정규 분포 2개를 선택했습니다. 하나는 모집단의 10%가 특이치인 𝐶𝑁(0.9,3)였고,

다른 하나는 모집단의 20%가 특이치인 𝐶𝑁(0.8,3)였습니다. 이 두 분포는 대칭이며, 특이치로

인해 꼬리가 깁니다.

각 분포에서 추출한 각 표본 쌍에 대해 목표 유의 수준이 𝛼 = 0.05인 양측 Bonett 검정을

수행했습니다. 각각의 경우에 모의 유의 수준은 1만 쌍의 표본 반복실험을 기준으로 한

것이고 5%의 목표 유의 수준을 사용했기 때문에 시뮬레이션 오류는 √0.95(0.05)/10,000 =

0.2%였습니다.


시뮬레이션 결과는 아래 표 1에 요약되어 있습니다.

표 1 균형 및 불균형 2-표본 설계에서 양측 Bonett 검정의 모의 유의 수준. 목표 유의 수준은

0.05입니다.

분포 𝒏𝟏, 𝒏𝟐 모의 수준 분포 𝒏𝟏, 𝒏𝟐 모의 수준

N(0,1) 10, 10 0.038 기대 10, 10 0.052

20, 10 0.043 20, 10 0.051

20, 20 0.045 20, 20 0.049

30, 10 0.044 30, 10 0.044

30, 20 0.046 30, 20 0.042

25, 25 0.048 25, 25 0.043

30, 30 0.048 30, 30 0.042

40, 40 0.051 40, 40 0.042

50, 50 0.047 50, 50 0.039

t(5) 10, 10 0.044 Chi(5) 10, 10 0.040

20, 10 0.042 20, 10 0.043

20, 20 0.046 20, 20 0.040

30, 10 0.041 30, 10 0.039

30, 20 0.046 30, 20 0.043

25, 25 0.048 25, 25 0.042

30, 30 0.043 30, 30 0.043

40, 40 0.046 40, 40 0.040

50, 50 0.050 50, 50 0.039



t(10) 10, 10 0.041 Chi(10) 10, 10 0.044

20, 10 0.040 20, 10 0.042

20, 20 0.045 20, 20 0.041

30, 10 0.046 30, 10 0.043

30, 20 0.045 30, 20 0.045

25, 25 0.046 25, 25 0.046

30, 30 0.048 30, 30 0.038

40, 40 0.045 40, 40 0.042

50, 50 0.051 50, 50 0.049

Lpl 10, 10 0.054 B(8,1) 10, 10 0.053

20, 10 0.056 20, 10 0.045

20, 20 0.055 20, 20 0.048

30, 10 0.057 30, 10 0.042

30, 20 0.058 30, 20 0.047

25, 25 0.057 25, 25 0.041

30, 30 0.053 30, 30 0.040

40, 40 0.047 40, 40 0.042

50, 50 0.048 50, 50 0.038



B(3,3) 10, 10 0.032 CN(0.9,3) 10, 10 0.024

20, 10 0.037 20, 10 0.022

20, 20 0.042 20, 20 0.018

30, 10 0.039 30, 10 0.019

30, 20 0.038 30, 20 0.020

25, 25 0.039 25, 25 0.019

30, 30 0.041 30, 30 0.015

40, 40 0.044 40, 40 0.020

50, 50 0.046 50, 50 0.017

U(0,1) 10, 10 0.030 CN(0.8,3) 10, 10 0.022

20, 10 0.032 20, 10 0.019

20, 20 0.031 20, 20 0.020

30, 10 0.034 30, 10 0.017

30, 20 0.034 30, 20 0.020

25, 25 0.034 25, 25 0.021

30, 30 0.037 30, 30 0.017

40, 40 0.043 40, 40 0.023

50, 50 0.043 50, 50 0.020

표 1에서 볼 수 있듯이, 표본 크기가 더 작으면 Bonett 검정의 모의 유의 수준은 꼬리 크기가

중간 이하인 대칭 또는 근대칭 분포의 목표 유의 수준(0.05)보다 낮습니다. 반면에, 많이

치우친 분포에서 소규모 표본을 추출하면 모의 수준이 목표 수준보다 약간 더 큰 경향이

있습니다.


표본 크기가 크거나 약간 크면 모의 유의 수준은 모든 분포에서 목표 수준과 비슷합니다.

실제로 검정 성능은 지수 분포와 베타(8,1) 분포처럼 많이 치우친 분포에도 합당한

수준입니다.

또한 특이치는 큰 표본보다 작은 표본에 더 많은 영향을 미치는 것으로 나타납니다. 오염된

정규 분포의 모의 유의 수준은 두 표본의 최소 크기가 20개에 도달할 때 약 0.020에서

안정화되었습니다.

두 표본의 최소 크기가 20개일 때는 모의 유의 수준이 평평한 균등 분포와 오염된 정규 분포를

제외하고 계속 구간 [0.038, 0.058]에 포함되었습니다. 모의 유의 수준이 0.040이면 0.05의

목표 수준에 비해 약간 보수적이지만, 이 제1종 오류율은 대부분의 실제 용도에서 허용될 수

있는 수준입니다. 그러므로 두 표본의 최소 크기가 20개 이상이면 Bonett 검정이 유효하다는

결론을 내릴 수 있습니다.

시뮬레이션 B2: MC 검정의 유효성(다중 표본 모형)

I부: 균형 설계

당사는 균형 설계를 사용한 다중 표본 모형에 MC 검정이 얼마나 효과적인지 조사하기 위한

시뮬레이션을 수행했습니다. 이를 위해, 앞의 시뮬레이션 B1에 나열된 일련의 분포를

사용하여 동일한 분포로부터 같은 크기의 표본을 𝑘개 생성했습니다. 설계의 표본 수는 𝑘 = 3,

𝑘 = 4 및 𝑘 = 6이 되도록 선택했으며, 각 실험의 𝑘 표본 크기를 10, 15, 20, 25, 50 및 100으로

고정했습니다.

각 설계의 동일한 표본에 대해 목표 유의 수준이 𝛼 = 0.05인 양측 MC 검정을 수행했습니다.

각각의 경우에 모의 유의 수준은 1만 쌍의 표본 반복실험을 기준으로 한 것이었고 5%의 목표

유의 수준이 사용되었기 때문에 시뮬레이션 오류는 √0.95(0.05)/10,000 = 0.2%였습니다.

시뮬레이션 결과는 아래의 표 2a와 2b에 요약되어 있습니다.

표 2a 균형 다중 표본 설계에서 양측 다중 비교 검정의 모의 유의 수준. 검정의 목표 유의

수준은 0.05입니다.

분포

𝒌 = 𝟑

𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝒏𝟑

𝒌 = 𝟒

𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝒏𝟑 = 𝒏𝟒

𝒌 = 𝟔

𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = ⋯ = 𝒏𝟔

𝒏𝒊 모의 수준 𝒏𝒊 모의 수준 𝒏𝒊 모의 수준

N(0,1) 10 0.038 10 0.038 10 0.036

15 0.040 15 0.041 15 0.039


분포

𝒌 = 𝟑

𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝒏𝟑

𝒌 = 𝟒

𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝒏𝟑 = 𝒏𝟒

𝒌 = 𝟔

𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = ⋯ = 𝒏𝟔


20 0.039 20 0.040 20 0.041

25 0.045 25 0.047 25 0.047

50 0.046 50 0.046 50 0.052

100 0.049 100 0.049 100 0.052

t(5) 10 0.042 10 0.044 10 0.042

15 0.041 15 0.044 15 0.046

20 0.043 20 0.045 20 0.045

25 0.046 25 0.048 25 0.046

50 0.040 50 0.039 50 0.038

100 0.038 100 0.040 100 0.040

T(10) 10 0.033 10 0.037 10 0.038

15 0.040 15 0.042 15 0.041

20 0.042 20 0.043 20 0.043

25 0.041 25 0.042 25 0.045

50 0.047 50 0.044 50 0.047

100 0.048 100 0.046 100 0.047

Lpl 10 0.056 10 0.063 10 0.071

15 0.056 15 0.061 15 0.063

20 0.054 20 0.058 20 0.059

25 0.051 25 0.056 25 0.58

50 0.045 50 0.051 50 0.049


분포

𝒌 = 𝟑

𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝒏𝟑

𝒌 = 𝟒

𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝒏𝟑 = 𝒏𝟒

𝒌 = 𝟔

𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = ⋯ = 𝒏𝟔


100 0.044 100 0.047 100 0.050

B(3,3) 10 0.031 10 0.031 10 0.031

15 0.037 15 0.036 15 0.034

20 0.035 20 0.036 20 0.037

25 0.039 25 0.038 25 0.040

50 0.044 50 0.044 50 0.044

100 0.044 100 0.046 100 0.043

U(0,1) 10 0.029 10 0.025 10 0.023

15 0.026 15 0.027 15 0.026

20 0.028 20 0.030 20 0.028

25 0.034 25 0.033 25 0.032

50 0.041 50 0.036 50 0.036

100 0.048 100 0.047 100 0.045

기대 10 0.063 10 0.073 10 0.076

15 0.056 15 0.058 15 0.064

20 0.051 20 0.053 20 0.057

25 0.043 25 0.045 25 0.050

50 0.033 50 0.037 50 0.038

100 0.033 100 0.035 100 0.035


표 2b 균형 다중 표본 설계에서 양측 다중 비교 검정의 모의 유의 수준. 검정의 목표 유의

수준은 0.05입니다.

분포

𝒌 = 𝟑

𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝒏𝟑

𝒌 = 𝟒

𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝒏𝟑 = 𝒏𝟒

𝒌 = 𝟔

𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = ⋯ = 𝒏𝟔


Chi(5) 10 0.040 10 0.046 10 0.048

15 0.043 15 0.046 15 0.049

20 0.040 20 0.040 20 0.042

25 0.040 25 0.045 25 0.042

50 0.037 50 0.038 50 0.040

100 0.036 100 0.037 100 0.038

Chi(10) 10 0.042 10 0.045 10 0.045

15 0.038 15 0.044 15 0.047

20 0.036 20 0.039 20 0.040

25 0.043 25 0.044 25 0.045

50 0.041 50 0.040 50 0.042

100 0.038 100 0.040 100 0.042

B(8,1) 10 0.058 10 0.060 10 0.066

15 0.057 15 0.061 15 0.064

20 0.049 20 0.051 20 0.055

25 0.044 25 0.046 25 0.050

50 0.037 50 0.037 50 0.039

100 0.037 100 0.038 100 0.039


분포

𝒌 = 𝟑

𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝒏𝟑

𝒌 = 𝟒

𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝒏𝟑 = 𝒏𝟒

𝒌 = 𝟔

𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = ⋯ = 𝒏𝟔


CN(0.9,3) 10 0.020 10 0.018 10 0.016

15 0.022 15 0.020 15 0.017

20 0.014 20 0.012 20 0.008

25 0.011 25 0.011 25 0.008

50 0.009 50 0.007 50 0.006

100 0.010 100 0.008 100 0.008

CN(0.8, 3) 10 0.017 10 0.015 10 0.011

15 0.013 15 0.011 15 0.008

20 0.012 20 0.012 20 0.009

25 0.013 25 0.010 25 0.009

50 0.011 50 0.011 50 0.009

100 0.014 100 0.012 100 0.010

표 2a와 2b에서 볼 수 있듯이, 표본 크기가 작을 때 MC 검정은 균형 설계에서 대칭 및 근대칭

분포에 대해 대체로 보수적입니다. 반면에, 검정은 지수 및 베타(8, 1) 분포처럼 많이 치우친

분포에서 얻은 소규모 표본에 대해 개방적입니다. 그러나 표본 크기가 커지면 모의 유의

수준이 목표 유의 수준(0.05)에 근접합니다. 또한 표본 크기가 크지 않을 경우 표본 수는 표본

검정의 성능에 많은 영향을 미치지 않는 것으로 보입니다. 그러나 데이터가 특이치로 오염된

경우에는 검정 성능에 상당한 영향을 미칩니다. 데이터에 특이치가 있으면 검정이 일관되게,

그리고 지나치게 보수적입니다.

II부: 불균형 설계

당사는 불균형 설계에서 MC 검정 성능이 얼마나 효과적인지 조사하기 위한 시뮬레이션을

수행했습니다. 이를 위해, 앞의 시뮬레이션 B1에서 설명한 일련된 분포를 사용하여 동일한

분포로부터 3개 표본을 생성했습니다. 처음 실시한 실험에서 첫 두 표본의 크기는 𝑛1 = 𝑛2 =

10이었고 세 번째 표본의 크기는 𝑛3 = 15, 20, 25, 50, 100이었습니다. 두 번째로 실시한


실험에서는 첫 두 표본의 크기가 𝑛1 = 𝑛2 = 15이었고 세 번째 표본 집합의 크기가 𝑛3 =

20, 25, 30, 50, 100이었습니다. 세 번째로 실시한 실험에서는 최소 표본 크기를 20으로

설정했으며, 첫 두 표본의 크기는 𝑛1 = 𝑛2 = 20이었고 세 번째 표본의 크기는 𝑛3 =

25, 30, 40, 50, 100.이었습니다.

각 분포에서 추출한 동일한 표본 3개에 대해 목표 유의 수준이 𝛼 = 0.05인 양측 MC 검정을

수행했습니다. 각각의 경우에 모의 유의 수준은 1만 쌍의 표본 반복실험을 기준으로 한

것이었고 5%의 목표 유의 수준을 사용했기 때문에 시뮬레이션 오류는 √0.95(0.05)/10,000 =

0.2%.였습니다.

시뮬레이션 결과는 아래의 표 3a와 3b에 요약되어 있습니다.

표 3a 다중 표본 불균형 설계에서 다중 비교 검정의 모의 유의 수준. 검정의 목표 유의 수준은

0.05입니다.

분포

𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝟏𝟎 𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝟏𝟓 𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝟐𝟎

𝒏𝟑 모의 수준 𝒏𝟑 모의 수준 𝒏𝟑 모의 수준

N(0,1) 15 0.032 20 0.040 25 0.045

20 0.037 25 0.039 30 0.041

25 0.038 30 0.037 40 0.043

50 0.041 50 0.044 50 0.041

100 0.042 100 0.042 100 0.044

t(5) 15 0.040 20 0.042 25 0.043

20 0.036 25 0.040 30 0.037

25 0.044 30 0.036 40 0.038

50 0.033 50 0.036 50 0.035

100 0.032 100 0.031 100 0.032


분포

𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝟏𝟎 𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝟏𝟓 𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝟐𝟎


t(10) 15 0.039 20 0.042 25 0.042

20 0.038 25 0.041 30 0.040

25 0.040 30 0.041 40 0.041

50 0.037 50 0.043 50 0.042

100 0.036 100 0.039 100 0.040

Lpl 15 0.059 20 0.060 25 0.054

20 0.057 25 0.054 30 0.051

25 0.056 30 0.051 40 0.050

50 0.049 50 0.051 50 0.050

100 0.048 100 0.047 100 0.046

B(3,3) 15 0.034 20 0.033 25 0.037

20 0.031 25 0.035 30 0.039

25 0.031 30 0.034 40 0.039

50 0.036 50 0.039 50 0.038

100 0.035 100 0.039 100 0.039

U(0,1) 15 0.027 20 0.030 25 0.032

20 0.030 25 0.030 30 0.031

25 0.028 30 0.032 40 0.036

50 0.039 50 0.034 50 0.037

100 0.042 100 0.038 100 0.042


분포

𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝟏𝟎 𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝟏𝟓 𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝟐𝟎


기대 15 0.061 20 0.053 25 0.042

20 0.060 25 0.052 30 0.047

25 0.054 30 0.049 40 0.043

50 0.050 50 0.046 50 0.041

100 0.044 100 0.040 100 0.040

표 3b 다중 표본 불균형 설계에서 MC 검정의 모의 유의 수준. 검정의 목표 유의 수준은

0.05입니다.

분포 𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝟏𝟎 𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝟏𝟓 𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝟐𝟎


Chi(5) 15 0.047 20 0.045 25 0.041

20 0.043 25 0.042 30 0.039

25 0.043 30 0.039 40 0.040

50 0.039 50 0.037 50 0.040

100 0.034 100 0.035 100 0.034

Chi(10) 15 0.043 20 0.042 25 0.042

20 0.039 25 0.038 30 0.041

25 0.040 30 0.041 40 0.038

50 0.038 50 0.041 50 0.042

100 0.035 100 0.034 100 0.035

B(8,1) 15 0.056 20 0.052 25 0.048

20 0.054 25 0.046 30 0.044

25 0.050 30 0.047 40 0.046


분포 𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝟏𝟎 𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝟏𝟓 𝒏𝟏 = 𝒏𝟐 = 𝟐𝟎


50 0.046 50 0.043 50 0.043

100 0.043 100 0.042 100 0.044

CN(0.9,3) 15 0.017 20 0.020 25 0.017

20 0.020 25 0.019 30 0.012

25 0.017 30 0.016 40 0.013

50 0.019 50 0.016 50 0.012

100 0.014 100 0.016 100 0.010

CN(0.8, 3) 15 0.012 20 0.013 25 0.013

20 0.016 25 0.012 30 0.012

25 0.014 30 0.010 40 0.010

50 0.015 50 0.010 50 0.013

100 0.012 100 0.011 100 0.010

표 3a와 3b에 나와 있는 모의 유의 수준은 앞에서 균형 설계 다중 표본에 대해 보고된 것과

일치합니다. 그러므로 MC 검정의 성능은 불균형 설계의 영향을 받지 않는 것으로 보입니다.

또한 최소 표본 크기가 20개 이상이면 모의 유의 수준은 오염된 데이터를 제외하고 목표

수준과 유사합니다.

결론적으로, 최소 표본 크기가 20개 이상일 때 MC 검정은 균형 및 불균형 설계에서 모두 다중

(k) 표본에 대해 효과적입니다. 그러나 표본이 더 작을 경우 검정은 대칭 및 근대칭 데이터에

대해 보수적이고 많이 치우친 데이터에 대해 개방적입니다.


부록 C: 이론적 검정력 함수

MC 검정의 정확한 이론적 검정력 함수는 제공되지 않습니다. 그러나 2-표본 설계에 대해서는

대표본 이론 방법에 기초한 근사 검정력 함수를 얻을 수 있습니다. 다중 표본 설계에 대해

유사한 근사를 도출하려면 더 많은 연구가 필요합니다.

그러나 2-표본 설계의 경우에는 대표본 이론 방법을 사용하여 Bonett 검정의 이론적 검정력

함수를 얻을 수 있습니다. 보다 구체적으로, 아래에 제시된 검정 통계 𝑇는 자유도가 1인 카이

제곱 분포로서 점근적으로 분포됩니다.

𝑇 =(ln �̂�2 − ln 𝜌2)2

𝛾 − 𝑔1𝑛1 − 1 +

𝛾 − 𝑔2𝑛2 − 1

이 𝑇 식에서 �̂� = 𝑆1/𝑆2, 𝜌 = 𝜎1/𝜎2, 𝑔𝑖 = (𝑛𝑖 − 3)/𝑛𝑖 및 𝛾는 두 모집단의 알 수 없는 공통

첨도입니다.

따라서 근사 유의 수준이 𝛼인 양측 Bonett 등분산 검정의 이론적 검정력 함수는 다음 식으로

나타낼 수 있습니다.

𝜋(𝑛1, 𝑛2, 𝜌) = 1 − 𝛷 (𝑧𝛼/2 −ln 𝜌2

𝑠𝑒) + 𝛷 (−𝑧𝛼/2 −

ln 𝜌2

𝑠𝑒)

설명

𝑠𝑒 = √𝛾 − 𝑔1

𝑛1 − 1+

𝛾 − 𝑔2

𝑛2 − 1

단측 검정의 경우 𝜎1 > 𝜎2에 대해 검정할 때 근사 검정력 함수는 다음과 같습니다.

𝜋(𝑛1, 𝑛2, 𝜌) = 1 − 𝛷 (𝑧𝛼/2 −ln 𝜌2

𝑠𝑒)

그리고 𝜎1 < 𝜎2에 대해 검정할 때는 근사 검정력 함수가 다음과 같습니다.

𝜋(𝑛1, 𝑛2, 𝜌) = 𝛷 (−𝑧𝛼/2 −ln 𝜌2

𝑠𝑒)


데이터 분석의 표본 크기 계획 단계 도중에 모집단의 공통 첨도 𝛾는 알 수 없습니다. 따라서

𝛾의 계획 값을 얻으려면 조사자는 일반적으로 전문가의 의견이나 이전 실험 결과에 의존해야

합니다. 해당 정보를 얻을 수 없으면 소규모 시험 연구를 수행하여 대규모 시험 계획을

수립하는 것이 좋은 경우가 많습니다. 계획 값 𝛾는 시험 연구에서 추출한 표본을 사용하여

다음 식으로 표현되는 합동 첨도 형태로 얻어집니다.

𝛾𝑃 = (𝑛1 + 𝑛2)∑ (𝑋1𝑗 − 𝑚1)

4𝑛1𝑗=1 + ∑ (𝑋2𝑗 − 𝑚2)

4𝑛2𝑗=1

[(𝑛1 − 1)𝑆12 + (𝑛2 − 1)𝑆2

2]2

보조 도구 메뉴에서 계획 추정치 𝛾는 제공된 사용자 데이터에 따라 소급적으로 얻어집니다.


부록 D: 이론적 및 모의 검정력 비교

시뮬레이션 D1: Bonett 검정의 모의(실제) 검정력

당사는 Bonett 검정의 모의 검정력 수준을 부록 C에서 도출한 근사 검정력 함수에 기초한

검정력 수준에 비교하기 위한 시뮬레이션을 수행했습니다.

이 시뮬레이션을 위해 앞에서 설명한 각 분포에 대해 10,000쌍의 표본을

생성했습니다(시뮬레이션 B1 참조). 선택된 표본 크기는 대체로 검정의 모의 유의 수준이

앞의 시뮬레이션 B1에서 얻은 결과를 기준으로 목표 유의 수준과 합당할 정도로 유사할 만큼

컸습니다.

표준 편차 비율 𝜌 = 𝜎1/𝜎2 = 1/2에서 모의 검정력 수준을 평가하기 위해 모든 표본 쌍의 두

번째 표본에 상수 2를 곱했습니다. 그 결과, 주어진 분포와 주어진 표본 크기 𝑛1 및 𝑛2에 대해

모의 검정력 수준이 양측 Bonett 검정이 유의했던 표본 반복실험 10,000쌍의 분수로

계산되었습니다. 검정의 목표 유의 수준은 𝛼 = 0.05로 고정되었습니다. 비교를 위해 부록

C에서 도출한 근사 검정력 함수를 토대로 해당되는 이론적 검정력 수준을 계산했습니다.

결과는 아래 표 4에 나와 있습니다.

표 4 모의 검정력 수준과 양측 Bonett 검정의 근사 검정력 수준 비교. 목표 유의 수준은

0.05입니다.

분포 𝒏𝟏, 𝒏𝟐 평가자

검정력

모의

검정력


검정력

모의

검정력

N(0,1) 20, 10 0.627 0.527 기대 20, 10 0.222 0.227

20, 20 0.83 0.765 20, 20 0.322 0.368

20, 30 0.896 0.846 20, 30 0.377 0.434

20, 40 0.925 0.886 20, 40 0.412 0.475

30, 15 0.825 0.771 30, 15 0.32 0.307

30, 30 0.954 0.925 30, 30 0.458 0.50

30, 45 0.98 0.97 30, 45 0.531 0.579



검정력

모의

검정력


검정력

모의

검정력

30, 60 0.989 0.984 30, 60 0.575 0.622

t(5) 20, 10 0.222 0.379 Chi(5) 20, 10 0.355 0.347

20, 20 0.322 0.569 20, 20 0.517 0.53

20, 30 0.377 0.637 20, 30 0.597 0.616

20, 40 0.412 0.69 20, 40 0.644 0.661

30, 15 0.32 0.545 30, 15 0.513 0.51

30, 30 0.458 0.733 30, 30 0.701 0.711

30, 45 0.531 0.795 30, 45 0.781 0.793

30, 60 0.575 0.828 30, 60 0.823 0.833

t(10) 20, 10 0.476 0.45 Chi(10) 20, 10 0.454 0.414

20, 20 0.673 0.673 20, 20 0.646 0.631

20, 30 0.756 0.749 20, 30 0.73 0.717

20, 40 0.80 0.803 20, 40 0.776 0.771

30, 15 0.668 0.659 30, 15 0.641 0.618

30, 30 0.85 0.852 30, 30 0.828 0.819

30, 45 0.91 0.911 30, 45 0.892 0.882

30, 60 0.936 0.937 30, 60 0.921 0.912

Lpl 20, 10 0.321 0.33 B(8,1) 20, 10 0.363 0.278

20, 20 0.469 0.519 20, 20 0.528 0.463

20, 30 0.545 0.585 20, 30 0.609 0.549

20, 40 0.59 0.632 20, 40 0.655 0.60

30, 15 0.466 0.475 30, 15 0.524 0.419



검정력

모의

검정력


검정력

모의

검정력

30, 30 0.647 0.673 30, 30 0.713 0.634

30, 45 0.729 0.758 30, 45 0.792 0.737

30, 60 0.773 0.80 30, 60 0.833 0.777

B(3,3) 20, 10 0.777 0.628 CN(0.9,3) 20, 10 0.238 0.284

20, 20 0.939 0.869 20, 20 0.346 0.452

20, 30 0.973 0.936 20, 30 0.405 0.517

20, 40 0.984 0.964 20, 40 0.442 0.561

30, 15 0.935 0.871 30, 15 0.343 0.374

30, 30 0.993 0.98 30, 30 0.491 0.598

30, 45 0.998 0.995 30, 45 0.567 0.70

30, 60 0.999 0.999 30, 60 0.612 0.719

U(0,1) 20, 10 0.916 0.74 CN(0.8,3) 20, 10 0.26 0.223

20, 20 0.992 0.95 20, 20 0.379 0.396

20, 30 0.998 0.985 20, 30 0.444 0.467

20, 40 0.999 0.995 20, 40 0.484 0.52

30, 15 0.991 0.941 30, 15 0.376 0.354

30, 30 1.0 0.996 30, 30 0.535 0.549

30, 45 1.0 1.0 30, 45 0.614 0.65

30, 60 1.0 1.0 30, 60 0.661 0.706

결과는 근사 검정력 수준과 모의 검정력 수준이 대체로 서로 유사함을 보여줍니다. 표본

크기가 커질수록 더 유사해집니다. 꼬리의 크기가 중간 이하인 대칭 및 근대칭 분포에서 근사

검정력 수준은 대체로 모의 검정력 수준보다 약간 더 큽니다. 그러나 꼬리가 두꺼운 대칭


분포나 치우친 분포에서는 모의 검정력 수준보다 약간 더 작습니다. 두 검정력 함수의 차이는

표본을 자유도가 5인 t 분포에서 생성하는 경우를 제외하고 대체로 중요하지 않습니다.

전체적으로 최소 표본 크기가 20에 도달하면 근사 검정력 수준과 모의 검정력 수준이 매우

유사합니다. 따라서 근사 검정력 함수를 토대로 표본 크기를 계획할 수 있습니다.

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