Μετρώντας τη γη με μαθητές γυμνασίου

Ξενοφών ΦανουρίουΓεωλόγος-Ωκεανογράφος

17 Σεπτεμβρίου 2015

Περίληψη

Ο υπολογισμός του μεγέθους της γης αλλά και των άλλων σταθερών της, απασχό-λησε από τα αρχαία χρόνια τον άνθρωπο. Στα πλαίσια του μαθήματος της γεωγραφίας,προσπαθήσαμε να δώσουμε απαντήσεις στα βασικά αυτά ερωτήματα, χρησιμοποιώνταςτα μαθηματικά και τη φυσική που διδάσκονται στο γυμνάσιο και τα αποτελέσματα ήτανθετικά. Υπολογίστηκε με ακρίβεια η απόσταση της Κω από το κέντρο της γης, το γεω-γραφικό πλάτος της Κω, η ακτίνα της γης, η ταχύτητα περιστροφής της στον ισημερινόαλλά και στο ύψος της Κω. Τέλος υπολογίσαμε την μέγιστη λόξωση της ελλειπτικής πουείναι υπεύθυνη για τις εναλλαγές των εποχών και τη διαφορετική διάρκεια της ημέραςκαθ΄ όλο το έτος.

1

Περιεχόμενα

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2

2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ 22.1 Υπολογισμός της ακτίνας της Γης με την μέθοδο του Ερατοσθένη . . . . 32.2 Συνεργασία τεσσάρων σχολείων της παραμεθορίου για τον υπολογισμό

της ακτίνας της Γης παρακάμπτοντας τους χρονικούς περιορισμούς τηςμεθόδου του Ερατοσθένη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Μέτρηση της ακτίνας της Γης χρησιμοποιώντας άμεσα ή έμμεσα GPS . . 72.3.1 Πρώτος τρόπος: Μέτρηση με GPS μέσω του μεσημβρινού . . . . . 82.3.2 Δεύτερος τρόπος: Μέτρηση της ακτίνας της Γης μέσω του πα-

ραλλήλου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Υπολογισμός της ταχύτητας περιστροφής της Γης 13

4 Υπολογισμός λόξωσης της ελλειπτικής 13

Κατάλογος πινάκων

1 Μετρήσεις μεταξύ Δικαιων και Κω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Μετρήσεις μεταξύ Καρπάθου και Κω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Μετρήσεις μεταξύ Τυχερού και Κω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Χρονολόγιο διαφόρων μετρήσεων της ακτίνας της Γης . . . . . . . . . . . 12

Κατάλογος σχημάτων

1 Μέτρηση μήκους σκιάς γνώμονα στην αυλή του 1ου Γυμνασίου Κω . . . 32 Λειτουργία γνώμονα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Υπολογισμός γωνίας α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Υπολογισμός γωνίας α για δύο περιοχές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Η αυλή του 1ου Γυμνασίου Κω από το Google Earth . . . . . . . . . . . . 116 Υπολογισμός της ακτίνας της Γης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Τελευταία, όλο και περισσότερο γίνεται αποδεκτό ότι οι επιμέρους επιστημονικοίκλάδοι στο σχολείο δεν θα πρέπει να ακολουθούν το γνωστό μοναχικό και ανιαρόδρόμο, αλλά θα πρέπει να αναζητούν διαρκώς νέες μεθόδους που οδηγούν σε μιασφαιρική και διεπιστημονική παρουσίαση και επίλυση των επιμέρους ερωτημάτων.Είναι φανερό ότι από παιδαγωγική άποψη, η διεπιστημονικότητα είναι σημαντική,διότι αποσκοπεί στη σφαιρική καλλιέργεια των μαθητών, προσελκύοντας το ενδιαφέ-ρον και αναδεικνύοντας τις δεξιότητες και τις ικανότητες τους. Όλα αυτά τα οφέληπιστεύω ότι απεκόμισαν οι μαθητές των δυο γυμνασίων της Κω, κατά την αντιμετώ-πιση της άσκησης που σκοπό είχε τον υπολογισμό της απόστασης της πόλης τηςΚω από το κέντρο της γης. Το ερώτημα αυτό αφού απαντήθηκε, δημιούργησε νέαυποερωτήματα που αφορούν τον υπολογισμό της ταχύτητας περιστροφής της, τηςκλίσης του άξονα κατά τις διαφορετικές εποχές κ.α. Όλα αυτά τα ερωτήματα πουέρχονται από το παρελθόν και τα οποία απασχόλησαν πολλούς επιφανείς της αρ-χαιότητας, απαντήθηκαν στο σχολείο μας με βάση τις γνώσεις που παρέχονται απότη διδακτέα ύλη των μαθηματικών και της φυσικής των γυμνασίων καθώς και απότις δυνατότητες που παρέχει σήμερα, η πρόσβαση στις νέες τεχνολογίες και τη δια-δικτυακή πληροφόρηση. Στις μετρήσεις και υπολογισμούς συμμετείχε η πλειοψηφίατων μαθητών, έτσι ώστε ο καθένας να γίνεται μέτοχος της γνώσης και να αισθανθείτη χαρά της δημιουργίας που δίνει η απάντηση σε ερωτήματα που απασχολούσαναπό παλιά τον σκεπτόμενο άνθρωπο. Θα πρέπει να τονιστεί ότι η εργασία πουπαρουσιάζεται παρακάτω εξελίχτηκε κατά την διάρκεια των τελευταίων τεσσάρωνετών και τμήμα της το 2012 απέσπασε έπαινο σε διαγωνισμό υπό την αιγίδα τουυπουργείου παιδείας.

2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ

Στα πλαίσια του μαθήματος της γεωγραφίας μια από τις συχνότερες ερωτήσειςπου θέτουν οι μαθητές, αφορά το μέγεθος της γης. Η αναζήτηση μεθόδων υπολο-γισμού της ακτίνας, με μέσα και τρόπους που μπορούν να χειριστούν οι μαθητέςκαθιερώθηκαν τα τελευταία χρόνια ως άσκηση στην αυλή του σχολείου (εικόνα 1).

Παρουσιάζουμε έτσι 4 διαφορετικές μεθόδους υπολογισμού της ακτίνας της γηςκαι 3 παραλλαγές:

1. Την κλασική μέθοδο του Ερατοσθένη.

2. Κατόπιν πρότασης μας και με την εξασφάλιση της συνεργασίας τεσσάρων σχο-λείων της παραμεθορίου (1ο Γυμνασιο Κω, Ν. Δωδεκανήσου, Λυκειο Δικαιων,Ν. Εβρου, Γυμνασιο Τυχερου, N. Εβρου, Γυμνασιο Πηγαδίων Καρπαθου, Ν. Δω-δεκανήσου) εφαρμόσαμε μια παραλλαγή της αρχικής μεθόδου του Ερατοσθένη,που μας επέτρεψε την παράκαμψη των χρονικών και τοπικών περιορισμών της.

3. Με την χρήση άμεσα η έμμεσα GPS και χρησιμοποιώντας δυο στίγματα γνωστήςαπόστασης επί του μεσημβρινού και του παραλλήλου αντίστοιχα, υπολογίσαμε

2

Σχήμα 1: Μέτρηση μήκους σκιάς γνώμονα στην αυλή του 1ου Γυμνασίου Κω

την ακτίνα της γης.

4. Υπολογισμός της ακτίνας της γης μέσω του παραλλήλου.

Ας δούμε συνοπτικά τους προαναφερόμενους τρόπους υπολογισμού.

2.1 Υπολογισμός της ακτίνας της Γης με την μέθοδο του Ερατοσθένη

Η εφαρμογή της μεθόδου του Ερατοσθένη έγινε στην αυλή του 1ου Γυμνασίου Κω(Εικόνες 1, 2) χρησιμοποιώντας μια ράβδο μήκους ενός μέτρου (1 𝑚) που λειτούργησεως γνώμονας και ακολουθήθηκε η παρακάτω διαδικασία.

Σχήμα 2: Λειτουργία γνώμονα

3

Η ημερομηνία μέτρησης, έπρεπε να είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στις ισημερίεςκαι στην δική μας περίπτωση στη φθινοπωρινή ισημερία στις 23 Σεπτεμβρίου. Κατάτην ισημερία, ο ήλιος βρίσκεται στο σημείο τομής της εκλειπτικής (επίπεδο της φαι-νομενικής τροχιάς του ήλιου) και του ουράνιου ισημερινού (προέκταση του επιπέδουτου γήινου ισημερινού). Πρακτικά κατά τις ισημερίες ο ήλιος περνά από το επίπεδοτου γήινου ισημερινού δηλαδή οι ακτίνες του είναι κάθετες στον άξονα της γης στοσημείο αυτό. Έχουμε λοιπόν, ένα σημείο αναφοράς που είναι ο ισημερινός, αντίστοιχοτου πηγαδιού του Ασουάν που χρησιμοποίησε ο Ερατοσθένης. Με αυτή την επιλογήεξασφαλίζεται το ότι η γωνία κορυφής 𝛼 του ορθογωνίου τριγώνου που σχηματίζειο γνώμονας με τη σκιά του, στο σχολείο μας να είναι ίση με την επίκεντρο γωνίατης γης 𝛼, που βλέπει το τόξο Κως-Ισημερινός. Η μέτρηση της σκιάς της ράβδουέγινε κατά μήκος του μεσημβρινού που περνά από την αυλή του 2ου γυμνασίου Κω.Υπήρχαν τρεις δυνατότητες για τον προσδιορισμό της διεύθυνσης του μεσημβρινού:

1. Να θεωρήσουμε ότι η κατεύθυνση της μαγνητικής πυξίδας (μαγνητικός βορράς)συμπίπτει σε γενικές γραμμές με τον γεωγραφικό βορρά

2. Να βρούμε την κατεύθυνση του μεσημβρινού στο σχολείο μας από το GoogleEarth διάμεσου της εφαρμογής του πλέγματος.

3. Να υπολογίσουμε την κατεύθυνση του μεσημβρινού φέρνοντας την διχοτόμοστην γωνία που σχηματίζουν δυο ισομήκεις σκιές του γνώμονα, την ίδια ημέρα,στην αυλή του σχολείου (Εικ. 2).

Επιλέχτηκε για διδακτικούς λόγους η τελευταία μέθοδος, η οποία λειτούργησε και ωςξεχωριστή εργασία για τον καθορισμό της διεύθυνσης του μεσημβρινού ενός τόπου,καθώς και αυτής του βορρά χωρίς πυξίδα. Τοποθετώντας τον γνώμονα στην αυλή τουσχολείου μας είχαμε το μεσημέρι στις 23 Σεπτεμβρίου 2011: Μέση τιμή μήκους σκιάς𝑙 = 0.75 𝑐𝑚 και ύψος γνώμονα ℎ = 100 𝑐𝑚. Από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζειη σκιά με τον γνώμονα (εικ. 3) έχουμε την σχέση

𝜀𝜑𝛼 = σκιάυψος γνωμονα =𝑙ℎ =

0.751 = 0.75 ⇒ 𝛼 = 37

𝑜 (1)

άρα η γωνία 𝛼 = 37𝑜 αποτελεί και το γεωγραφικό πλάτος του σχολείου μας. Χρησι-μοποιώντας το Google Earth μπορούμε να υπολογίσουμε το μήκος του τόξου 𝐷 τηςγης, από το σχολείο μας μέχρι τον ισημερινό κατά μήκος του ίδιου μεσημβρινού πουείναι 𝐷 = 4.0080 𝑘𝑚. Από την σχέση που συνδέει το τόξο με την επίκεντρο γωνίαενός κύκλου (Εικ.4) έχουμε

37𝐷 =

360𝑥 ⇒ 𝑥 = 39.697 𝑘𝑚 (2)

όπου 𝑥 η περίμετρος του μεσημβρινού θεωρώντας τον ως κύκλο. Από τον τύπο𝑥 = 2𝜋𝑅 έχουμε 𝑅0 = 6321𝑘𝑚. Άρα η ακτίνα της γης με την μέθοδο του Ερατοσθένηστην Κω είναι 𝑅0 = 6321𝑘𝑚.

4

Σχήμα 3: Υπολογισμός γωνίας α

2.2 Συνεργασία τεσσάρων σχολείων της παραμεθορίου για τον υπολογισμό της ακτί-νας της Γης παρακάμπτοντας τους χρονικούς περιορισμούς της μεθόδου τουΕρατοσθένη

Με τον παραπάνω τρόπο επιχειρήθηκε, η ταυτόχρονη μέτρηση του μήκους τηςσκιάς ενός κάθετου στύλου σε τέσσερα σχολεία. Η μέτρηση έγινε την ίδια μέρα καιτην ώρα περίπου που μεσουρανούσε ο ήλιος στον κάθε τόπο υπολογίζοντας τηκαθυστέρηση μεσουράνησης με απλές αναλογίες, ανάλογα με το γεωγραφικό μήκος.

Η επιλογή των σχολείων έγινε με κριτήριο την μικρότερη απόσταση τους από τονμεσημβρινό που περνά από τη Κω. Με τον τρόπο αυτό έχουμε τη δυνατότητα ναυπολογίσουμε την περίμετρο του μεσημβρινού και κατά συνέπεια την ακτίνα της γηςοποιαδήποτε μέρα του χρόνου.

Η γενική διαδικασία ήταν η εξής:Τοποθετήθηκε ένας κάθετος στύλος στην αυλή των σχολείων και μετρήθηκε: το

μήκος σκιάς 𝑙 και το ύψος του ℎ. Από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει η σκιάμε τον γνώμονα (εικόνα 3) έχουμε:

𝜀𝜑𝛼 = σκιάμήκος γνωμονα =𝑙ℎ (3)

από την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε τη γωνία 𝛼.Επαναλαμβάνοντας την διαδικασία για δύο σχολεία, Α και Β, μετρήσαμε τα μήκη

των σκιών, 𝑙𝐴 και 𝑙𝐵 για ύψη γνωμονος, ℎ𝐴 και ℎ𝐵, οπότε υπολογίζουμε τις γωνίες𝛼𝐴 και 𝛼𝐵, αντίστοιχα. Αν 𝑆 είναι το σημείο της Γης όπου οι ακτίνες του Ήλιου είναιπαράλληλες με τον άξονα της ακτίνας της Γης (εικόνα 4), καταλήγουμε:

𝛼𝐴𝑆𝐴 =

3602𝜋𝑟

𝛼𝐵𝑆𝐵 =

3602𝜋𝑟 (4)

5

Σχήμα 4: Υπολογισμός γωνίας α για δύο περιοχές

6

και άρα:𝛼𝐴 − 𝛼𝐵

𝐴𝐵 =3602𝜋𝑟 (5)

οπότε:𝑟 = 360 ⋅ ΑΒ(𝛼 − 𝛽) ⋅ 2𝜋 (6)

Το μήκος ΑΒ, που είναι η απόσταση ανάμεσα σε δυο σχολεία, το υπολογίζουμε μετις δυνατότητες που μας δίνει η εφαρμογή Google Earth ή πάνω σε χάρτη γνωστήςκλίμακας,

Στο 1ο Γυμνάσιο Κω οι μετρήσεις έγιναν στην αυλή του και συμμετείχαν όλοι οιμαθητές της Β’ Γυμνασίου. Η κριτική ανάλυση και επεξεργασία των αποτελεσμάτωναπό τις μετρήσεις του σχολείου μας αλλά και εκείνων που λαμβάναμε από τα συνερ-γαζόμενα σχολεία, μέσω ηλεκτρονικού ταχυδρομείου, έγιναν από εθελοντική ομάδαμαθητών, με τη βοήθεια του καθηγητή τους. Ανάλογες δράσεις αλλά και παρατη-ρήσεις για την μέθοδο που ακολουθήθηκε προήλθαν από το Γυμνάσιο Τυχερού, τοΓυμνάσιο Πηγαδίων Καρπάθου και το Λύκειο Δικαίων.

Αναφέρουμε στους παρακάτω πίνακες (1, 2 και 3) τις τρεις καλύτερες μετρήσειςανάμεσα στα σχολεία, όπου για τους υπολογισμούς χρησιμοποιήσαμε τους τύπους(3) και (6).

Σχολείο Ημερομηνία Ώρα Ύψος στύλου Μήκος σκιάς Γωνία α 𝐴𝐵 𝑟1(𝑐𝑚) (𝑐𝑚) (𝑜) (𝐾𝑚) (𝐾𝑚)

Δίκαια 09-12-2011 12:00 100 212 64.7 533.5 6241Κως 09-12-2011 11:57 100 172 59.8

Πίνακας 1: Μετρήσεις μεταξύ Δικαιων και Κω

Ο μέσος όρος των τριών τελικών μετρήσεων με την προηγούμενη μέθοδο είναι𝑟 = 6361 𝐾𝑚, τιμή αρκετά κοντά στο πραγματικό μέγεθος της ακτίνας της Γης.

2.3 Μέτρηση της ακτίνας της Γης χρησιμοποιώντας άμεσα ή έμμεσα GPS

Η μέτρηση της ακτίνας της Γης, με την χρήση άμεσα η έμμεσα GPS έγινε με δύοδιαφορετικούς τρόπους΄ διαμέσου του μεσημβρινού και διάμεσου του παράλληλου.

Η μέτρηση της ακτίνας του μεσημβρινού θεωρώντας τον ότι είναι κύκλος, έγινε μετην παρακάτω διαδικασία.

Σχολείο Ημερομηνία Ώρα Ύψος στύλου Μήκος σκιάς Γωνία α 𝐴𝐵 𝑟2(𝑐𝑚) (𝑐𝑚) (𝑜) (𝐾𝑚) (𝐾𝑚)

Πηγάδια 05-12-2011 12:01 83 134αʹ 58.2 145.33 6264Κως 05-12-2011 12:00 100 170 59.53

Πίνακας 2: Μετρήσεις μεταξύ Καρπάθου και Κω

αʹΜήκος παρασκιάς 141 𝑐𝑚.

7

Σχολείο Ημερομηνία Ώρα Ύψος στύλου Μήκος σκιάς Γωνία α 𝐴𝐵 𝑟3(𝑐𝑚) (𝑐𝑚) (𝑜) (𝐾𝑚) (𝐾𝑚)

Τυχερό 10-12-2011 12:22 44.5 86.6 62.8 470.61 6580Κως 10-12-2011 12:11 100 165 58.7

Πίνακας 3: Μετρήσεις μεταξύ Τυχερού και Κω

Στην αυλή του δεύτερου γυμνασίου Κω ορίστηκαν δυο σημεία Α και Β επί τουίδιου μεσημβρινού. Μετρήθηκαν δυο μεγέθη:

1. Η απόσταση ανάμεσα στα δυο σημεία Α και Β σε μέτρα δηλαδή το μήκος τουτόξου.

2. Το τόξο ΑΒ σε μοίρες, ως διαφορά ανάμεσα στα γεωγραφικά πλάτη των δυοσημείων Α και Β και κατά συνέπεια την επίκεντρο που αντιστοιχεί σε αυτό, μεκορυφή το κέντρο της γης.

Χρησιμοποιώντας την μαθηματική σχέση που συνδέει τα μήκη των τόξων με τιςαντίστοιχες επίκεντρες γωνίες του, μπορούμε να αναχθούμε στον υπολογισμό τηςπεριμέτρου του μεσημβρινού και κατά συνέπεια της ακτίνας του, δηλαδή της ακτίναςτης γης.

Ο υπολογισμός των γεωγραφικών συντεταγμένων των σημείων Α και Β έγινε μετρεις παραλλαγές:

1. Με το GPS Explorist 100

2. Με κινητό ΝΟΚΙΑ 52

3. Με το Google Earth

2.3.1 Πρώτος τρόπος: Μέτρηση με GPS μέσω του μεσημβρινού

Μέτρηση με τον GPS Explorist 100: Επιλέγουμε δύο σημεία Α και Β στην αυλή τουσχολείου μας πάνω στον ίδιο μεσημβρινό (σημεία με το ίδιο γεωγραφικό μήκος καιδιαφορετικό πλάτος). Οι συντεταγμένες των σημείων είναι:

𝐴 (360𝑜 53′ 16.40′′ 𝑁, 270𝑜 17′ 46.01′′ 𝐸)𝐵 (360𝑜53′17.42′′ 𝑁, 270𝑜 17′ 46.01′′ 𝐸) (7)

Άρα η διαφορά των γεωγραφικών πλατών των σημείων Α και Β είναι 1.02′′ καιαντιστοιχεί στην επίκεντρο γωνία, με κορυφή το κέντρο της γης, που βλέπει στοτόξο ΑΒ.

Μετράμε το μήκος του τόξου ΑΒ στο έδαφος. Από τις τιμές που υπολογίσαμεεξαιρούμε τις ακραίες , ως πιθανές τιμές απόκλισης και παίρνουμε το μέσο όρο τωνυπολοίπων:

Σε τόξο μήκους 2𝜋𝑅 αντιστοιχεί γωνία 360𝑜 ή 1296000′′(= 360 × 60′ × 60′′).

8

Με βάση την υπολογισθείσα μέση τιμή βρίσκουμε ότι τόξο μήκους 30.9375 𝑚 αντι-στοιχεί σε επίκεντρο 1′′.

Επειδή τα ποσά είναι ανάλογα έχουμε:

2𝜋𝑅 × 1 = 30.9375 × 1296000𝑅 = 30.9375 × 12960002𝜋 × 1𝑅 = 400950006.28 × 1𝑅 = 400950006.28𝑅 = 6384554.14 𝑚 (8)

Άρα η υπολογισθείσα ακτίνα της γης είναι 𝑅1 = 6384.5𝐾𝑚.

Υπολογισμός συντεταγμένων με κινητό NOKIA 52: Επιλέγουμε δύο σημεία Α και Β στηναυλή του σχολείου μας πάνω στον ίδιο μεσημβρινό (σημεία με το ίδιο γεωγραφικόμήκος και διαφορετικό πλάτος) με απόκλιση γεωγραφικού πλάτους 1′′. Μετράμε τομήκος του τόξου ΑΒ στο έδαφος που αντιστοιχεί σε επίκεντρο γωνία 1′′. Από τιςπαρακάτω τιμές που υπολογίσαμε εξαιρούμε τις ακραίες ως πιθανές τιμές μεγάληςαπόκλισης και παίρνουμε τη μέση τιμή των υπολοίπων:

Σε τόξο μήκους 2𝜋𝑅 𝑚 αντιστοιχεί γωνία 360𝑜 = 1296000′′(= 360𝑜 × 60′ × 60′′ =1296000′′.

Με βάση την υπολογισθείσα μέση τιμή βρίσκουμε ότι τόξο μήκους 31.5 𝑚 αντι-στοιχεί σε επίκεντρο 1′′.

Επειδή τα ποσά είναι ανάλογα:

2𝜋𝑅 × 1 = 31.5 × 1296000𝑅 = 31.5 × 12960002𝜋 × 1𝑅 = 408240006.28 × 1𝑅 = 408240006.28

𝑅2 = 6500636.943 𝑚 (9)

Άρα η υπολογισθείσα ακτίνα της γης είναι 𝑅2 = 6500.6𝐾𝑚.Συγκρίνοντας τις δυο υπολογισθείσες τιμές των ακτινών της γης, βλέπουμε ότι οι

τιμές έχουν μια απόκλιση

Δ𝑅 = 𝑅2–𝑅1 = 6500.636943 − 6384.55414 = 116.082𝐾𝑚 (10)

Υπολογισμοί με τη χρήση του Google Earth: Επιλέγουμε δύο σημεία Α και Β στο GoogleEarth στην αυλή του δευτέρου γυμνασίου Κω (εικ. 5), πάνω στον ίδιο μεσημβρινό (με

9

το ίδιο γεωγραφικό μήκος) μετράμε το μήκος του ΑΒ πάλι με τις δυνατότητες πουμας δίνει το Google Earth. Η διαφορά των γεωγραφικών πλατών των δύο σημείων Ακαι Β είναι:

36𝑜 53′ 17.80′′ − 36𝑜 53′ 16.67′′ = 1.13′′ (11)και η απόσταση ΑΒ = 34.78 𝑚 Και έχουμε : Τα ποσά του πίνακα είναι ανάλογα καιέχουμε:

2𝜋𝑅 ⋅ 1.13 = 34.78 ⋅ 1296000 ⇒ 𝑅 = 6351.795276 Κ𝑚 (12)Άρα η ακτίνα της γης με βάση αυτή τη μέτρηση είναι 𝑅3 = 6351Κ𝑚

2.3.2 Δεύτερος τρόπος: Μέτρηση της ακτίνας της Γης μέσω του παραλλήλου

Ο υπολογισμός της ακτίνας της γης μέσω του παραλλήλου έγινε ως εξής: Υπολο-γίζοντας πρώτα την ακτίνα του παράλληλου που διέρχεται από τη Κω, στη συνέχειαχρησιμοποιώντας το γεωγραφικό πλάτος του τόπου αναλύουμε το ορθογώνιο τρίγωνοπου σχηματίζει η ακτίνα του παράλληλου, η ακτίνα της γης στον τόπο μέτρησης καιτμήμα του άξονα της γης (Εικ. 7). Με τον τρόπο αυτό παρακάμπτεται και το πρό-βλημα της μη κυκλικότητας του μεσημβρινού και τα πιθανά υπολογιστικά λάθη.

Αρχίζουμε με την μέτρηση της ακτίνας του παράλληλου κύκλου της περιοχής καιστη συνέχεια της ακτίνας της Γης. Θεωρούμε δυο σημεία Α και Β στην αυλή τουσχολείου (Εικόνα 5) που έχουν το ίδιο γεωγραφικό πλάτος:

Η διαφορά των γεωγραφικών πλατών των δύο σημείων Α και Β είναι:

27𝑜 17′ 45.04′′ − 27𝑜 17′ 47.04′′ = 2′′ (13)και η απόσταση που υπολογίζεται με την δυνατότητα που μας δίνει το Google Earthείναι ΑΒ = 49.44 𝑚.

Η παραπάνω απόσταση θεωρούμε ότι είναι το μήκος του τόξου που ορίζουν ταδύο σημεία. Άρα: Τα μεγέθη του πίνακα είναι ανάλογα και έχουμε:

2𝜋𝑅 ⋅ 2 = 49.44 ⋅ 1296000 ⇒ 𝑅 = 5101.4 𝐾𝑚 (14)Άρα η ακτίνα ρ της παράλληλου είναι 5101.4 𝐾𝑚.

Γνωρίζοντας ότι το γεωγραφικό πλάτος της Κω στο ύψος του σχολείου μας είναι36.88𝑜, δηλαδή στην εικόνα 6 η γωνία 𝜑 = 36.8833 από το τρίγωνο 𝐶𝐶′𝐷 έχουμε τησχέση:

𝑅 = 𝜌𝜎𝜐𝜈(36.8833)𝑅 = 5101.452229 𝐾𝑚𝜎𝜐𝜈(36.88)𝑅 = 5101.452229 𝐾𝑚0.7998𝑅 = 6378.409888 𝑘𝑚 (15)

Άρα με το δεύτερο τρόπο η υπολογισθείσα ακτίνα της γης είναι 𝑅4 = 6378.4𝑘𝑚 πουείναι και η απόσταση της Κω από το κέντρο της γης.

10

Σχήμα 5: Η αυλή του 1ου Γυμνασίου Κω από το Google Earth

Σχήμα 6: Υπολογισμός της ακτίνας της Γης

11

ΓΕΩΓΡΑΦΟΣ ΠΕΡΙΟΧΗ ΕΤΟΣ ΑΚΤΙΝΑ ΣΕ ΜΕΤΡΑEρατοσθένης ΑΙΓΥΠΤΟΣ 230 π.Χ 6314.500Posidonio ΑΙΓΥΠΤΟΣ, ΡΟΔΟΣ 7064.055Abelseda ΑΡΑΒΙΑ 827 7122.910AlHYPERLINK ΠΕΡΣΙΑ 995 6339.600Albazen ΑΡΑΒΙΑ 1100 6074.308Fernal ΓΑΛΛΙΑ 1528 6448.480Snell ΟΛΛΑΝΔΙΑ 1617 6099.082Norwood ΑΓΓΛΙΑ 1635 6412.592Ricolli e Firmaldi ΛΟΜΒΑΡΔΙΑ 1658 6865.301Picard ΓΑΛΛΙΑ 1669–1672 6369.140Cassini ΓΑΛΛΙΑ 1681–1718 6411.948Everest 1830 6377.276–6356.075Bessel 1841 6377.397–6356.079Clarke 1866 6378.206–6356.584Clarke 1880 6378.301–6356.584Hayford 1909 6378.388–6356.912Fischer 1960 6378.160–6356.778

Πίνακας 4: Χρονολόγιο διαφόρων μετρήσεων της ακτίνας της Γης

Συνοψίζοντας: Το μήκος της ακτίνας της γης είναι:

• Με τη μέθοδο του Ερατοσθένη 𝑅0 = 6321𝑘𝑚.• Με το GPS Explorist 100, 𝑅1 = 6384𝐾𝑚.• Με κινητό ΝΟΚΙΑ 52, 𝑅2 = 6500𝐾𝑚.• Με το Google Earth, 𝑅3 = 6351Κ𝑚.• Διαμέσου του παράλληλου δηλαδή η απόσταση της Κω από το κέντρο της γης,

𝑅4 = 6378𝑘𝑚.• Με την συνεργασία τεσσάρων σχολείων της παραμεθορίου υπολογίστηκε ο μέσος

όρος των ακτινών ανάμεσα στα σχολεία που είναι 𝑅5 = 6361Κ𝑚.Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα των μετρήσεων μας, με τις διάφορες μετρήσεις πουέγιναν ανά τους αιώνες (πίνακας 4) και αναφέρονται στον παρακάτω πίνακα, μπο-ρούμε να ισχυριστούμε ότι τα αποτελέσματα είναι μέσα σε αποδεκτά όρια εξαιρού-μενης της τιμής 𝑅2 = 6500𝐾𝑚 που υπολογίσαμε με το κινητό ΝΟΚΙΑ 52.

Οι διαφορές στις τιμές κατά τον υπολογισμό της ακτίνας της Γης που έχουμεμπορεί να οφείλονται: στην διαφορετική ακρίβεια των οργάνων και στην ακρίβεια τωνμετρήσεων. Ειδικά για την ακρίβεια των μετρήσεων, προσπαθήσαμε να περιορίσουμετα πιθανά λάθη, αυξάνοντας τον αριθμό των μετρήσεων και παίρνοντας τον μέσοόρο, ειδικά σε αυτές που έγιναν με GPS Explorist 100 ή με το κινητό ΝΟΚΙΑ 52.

12

3 Υπολογισμός της ταχύτητας περιστροφής της Γης

Ο Πλανήτης Γη πραγματοποιεί τέσσερις κινήσεις: Την περιστροφή γύρω από τονάξονά της, την περιφορά γύρω από τον Ήλιο, την Ηλιακή μεταβατική περιφοράπου πραγματοποιεί ακολουθώντας την περιστροφή του Ηλιακού συστήματος και τηνΓαλαξιακή μεταβατική περιφορά, που πραγματοποιεί ακολουθώντας την περιστροφήτου Γαλαξία. Οι δύο πρώτες είναι οι σημαντικότερες. Από τον Κοπέρνικο (1473-1543) γνωρίζουμε ότι η Γη κινείται γύρω από τον Ήλιο. Ο άξονας γύρω από τονοποίο περιστρέφεται η Γη λέγεται άξονας περιστροφής και γίνεται από τα δυτικάπρος τα ανατολικά. Η ταχύτητα περιστροφής, ενός σημείου της επιφάνειας της Γης,εξαρτάται από το γεωγραφικό του πλάτος. Στον ισημερινό η Γη έχει μεγαλύτερηταχύτητα απ’ ότι σε μεγαλύτερα γεωγραφικά πλάτη. Στο γεγονός αυτό οφείλεταιστο σχήμα της. Στην περιστροφή της Γης οφείλεται η εναλλαγή της ημέρας και τηςνύχτας. Η διαφορετική χρονική διάρκεια της ημέρας κατά τη διάρκεια του έτους, ηοποία παρατηρείται μεταξύ του ισημερινού και του πολικού κύκλου, οφείλεται στηνδιαφορετική κλίση του άξονα της γης κατά την ετήσια περιφορά της γύρω από τονΉλιο. Στην ίδια αιτία οφείλεται και η εναλλαγή των εποχών κατά τη διάρκεια τουέτους.

Υπολογισμός της ταχύτητας περιστροφής της Γης στον Ισημερινό Από τη στιγμή πουυπολογίσαμε την ακτίνα της γης μπορούμε να υπολογίσουμε την περίμετρο της στονισημερινό με τον τύπο

Π = 2𝜋𝑅 = 2 ⋅ 3.14 ⋅ 6370 = 40000 𝑘𝑚 (16)και από τον γενικό τύπο της γραμμικής ταχύτητας στον ισημερινό προκύπτει

𝑈 = Π𝑡 =40000 𝑘𝑚

24 ℎ = 1666 𝑘𝑚/ℎ (17)

Άρα η ταχύτητα περιστροφής στον ισημερινό είναι 𝑈 = 1666 𝑘𝑚/ℎ = 19.6 𝑚/𝑠.

Υπολογισμός της ταχύτητας περιστροφής της Γης στο ύψος της Κω Γνωρίζοντας τηνακτίνα του παραλλήλου στο ύψος της Κω, μπορούμε να υπολογίσουμε την περίμετροτου με τον τύπο

Π = 2𝜋𝑅 = 2 ⋅ 3.14 ⋅ 5100 = 32028 𝑘𝑚 (18)και από τον γενικό τύπο της γραμμικής ταχύτητας έχω την ταχύτητα περιστροφήςστην Κω

𝑈 = Π𝑡 =32028 𝑘𝑚

24 ℎ = 1334 𝑘𝑚/ℎ = 15.4 𝑚/𝑠 (19)

4 Υπολογισμός λόξωσης της ελλειπτικής

Λόξωση της ελλειπτικής ονομάζεται η γωνία που σχηματίζει το επίπεδο της ελ-λειπτικής με το επίπεδο του ουράνιου ισημερινού. Οι 4 εποχές του έτους οφείλονται

13

στη λόξωση της ελλειπτικής όπως και η διαφορετική διάρκεια της ημέρας κατά τοέτους. Αποφασίσαμε να υπολογίσουμε τη λόξωση της ελλειπτικής, ως διαφορά τουμήκους των σκιών του γνώμονα σε δυο διαφορετικές μέρες του έτους, δηλαδή τηνώρα που ο ήλιος μεσουρανεί κατά την διάρκεια της φθινοπωρινής ισημερίας και τουχειμερινού ηλιοστασίου. Η μέθοδος αυτή δεν είναι απολύτως ακριβής, δίνει όμως τομέγεθος της γωνίας με ακρίβεια μοίρας. Η διαδικασία ήταν η εξής: Τοποθετήθηκεγνώμονας στην αυλή του σχολείου και είχαμε το μεσημέρι στις 23-9-2012, κατά τηνφθινοπωρινή ισημερία, τις παρακάτω τιμές: Μέση τιμή μήκους σκιάς 𝑙 = 0.75 𝑐𝑚 καιύψος γνώμονα ℎ = 100 𝑐𝑚.

Από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει η σκιά με τον γνώμονα (εικ. 3) έχουμετην σχέση

𝜀𝜑𝛼 = 𝑙ℎ =0.75

1 = 0.75 (20)

άρα η γωνία 𝛼 = 37𝑜.Τοποθετήθηκε o ίδιος γνώμονας στην αυλή του σχολείου μας κοντά στο χειμερινό

ηλιοστάσιο και είχαμε το μεσημέρι στις 22-12-2012, τις εξής μετρήσεις Μέση τιμήμήκους σκιάς 𝑙 = 1.8 𝑐𝑚 και ύψος γνώμονα ℎ = 100 𝑐𝑚.

Από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει η σκιά με τον γνώμονα έχουμε τηνσχέση

𝜀𝜑𝛽 = 𝑙ℎ =1.81 = 1.8 ⇒ 𝛽 = 60 (21)

Η λόξωση της ελλειπτικής είναι η διαφορά των γωνιών

𝛽 − 𝛼 = 60 − 37 = 23𝑜 (22)

Αναφορές

[1] Νικάστρο Νίκολας. Ο Ερατοσθένης και η αρχαία προσπάθεια για τη μέτρησητης υδρογείου. Εκδόσεις Μίνωας.

[2] Tonali Paolo. Antica e nuova matematica. Ed. Libero

[3] Μαθηματικά γ΄ γυμνασίου Ο.Ε.Δ.Β ΑΘΗΝΑ

[4] Μαθηματικά β’ γυμνασίου Ο.Ε.Δ.Β ΑΘΗΝΑ

[5] http://www2.e-yliko.gr/htmls/physyliko/supastron.aspx

[6] http://www.sxoleio.eu/%CE%91%CF%83%CF%8%CE%B1.php

[7] https://sites.google.com/site/astronomy/syndesmoi

[8] http://www.imagenet.org

[9] Η επεξεργασία του κειμένου της παρούσας εργασίας με τον LATEX/X ELATEX έγινεαπό τον συνάδελφο φυσικό Ἰωάννη Ἀ. Βαμβακᾶ.

14