ДИНАМИКА. ТЕОРИЯ УДАРАmkm.rusoil.net/files/2018-01/Dinamika-ydar.pdf · 2018. 2. 26. · 4 воздействиям, в том числе вибрационным

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Механика и конструирование машин»

ДИНАМИКА. ТЕОРИЯ УДАРА

Учебно-методическое пособие для практических занятий по теоретической механике

УФА 2015

2

Учебно-методическое пособие составлены с учетом рабочих программ

дисциплины «Теоретическая механика», преподаваемой студентам технических вузов. Оно поможет обучающимся закрепить теоретический материал и оценить свои знания по разделу теоретической механики «Динамика. Теория удара». Приведен краткий теоретический материал, примеры решения задач и вопросы для самоконтроля.

Составители: Имаева Э.Ш., доцент, канд. техн. наук, Зотов А.Н., доцент, канд. техн. наук

Рецензенты: Загорский В.К., профессор, докт. техн. наук, Садыков В.А., профессор, канд. техн. наук

© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2015

3

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4 Краткие сведения о практическом применении явления удара 4 Основные понятия ньютоновской теории удара 6 Примеры решения задач 13 Варианты задач для самостоятельного решения 15 Вопросы для самоконтроля 30 Список использованной литературы 31

ВВЕДЕНИЕ

В процессе работы любое техническое оборудование подвергается различным

4

воздействиям, в том числе вибрационным и ударным нагрузкам. Теория удара, рассматриваемая в курсе теоретической механики, является значимым разделом для будущих инженеров-механиков. Прикладные вопросы этого раздела более широко освещаются в специальных дисциплинах (например, в курсе «Машины и оборудование для бурения и добычи»). Для лучшего усвоения и закрепления материала студентам полезно досконально разобраться в основах теории удара.

В предлагаемом учебно-методическом пособии приведены краткий теоретический материал, примеры решения задач по теории удара, рекомендуемая литература по данной теме, вопросы для самоконтроля и 30 вариантов практических задач, решение которых позволит закрепить изучаемый материал.

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О ПРАКТИЧЕСКОМ ПРИМЕНЕНИИ ЯВЛЕНИЯ УДАРА

Удар часто встречается в технике, т.к. он позволяет даже при небольшой

массе одного из соударяющихся тел, обладающего большой скоростью, произвести большую работу на малом перемещении. Явление удара используют в практике для деформирования заготовок при ковке (штамповке), клепке, разрушении горных пород (ударное бурение), забивке свай в грунт и т.д.

Сваебойное оборудование предназначено для установки (наведения) сваи, ее

ориентирования, фиксации и погружения. Может использоваться и для извлечения свай из грунта (сваевыдергиватели). Сваебойное оборудование состоит из грузоподъемного органа и погружателя, обычно устанавливается на копрах или базируется на автомобилях, тракторах, железнодорожных платформах, экскаваторах, стреловых подъемных кранах и пр. По принципу действия погружателя сваебойное оборудование делят на три группы: ударного, вибрационного и вдавливающего действия. В качестве погружателя ударного действия обычно используют свайные молоты – паровоздушные (простого и двойного действия) и дизельные. Паровоздушные молоты простого действия имеют полуавтоматическое управление, совершают 30-45 ударов за 1 мин (масса ударной части 3, 6 и 8 т). Такие молоты применяют для забивки в грунт железобетонных свай. Молоты двойного действия производят 100-350 ударов в 1 мин, они более производительны, имеют закрытый корпус и могут работать под водой на глубине до 20 м. Дизельные молоты (дизель-молоты) автоматического действия совершают 50-60 ударов в 1 мин. По конструкции такие молоты могут быть штанговыми (легкие, с массой ударной части до 250 кг, и тяжелые, с массой ударной части обычно 2,5 т) и трубчатыми. К сваебойному оборудованию вибрационного действия относятся вибропогружатели и вибромолоты. Погружатель вдавливающего действия представляет собой лебедку на самоходном шасси. Разновидности этих погружателей – установки, в которых наряду с лебедкой используют вибропогружатель. Сваебойное оборудование применяется в мостостроении, промышленном, гидротехническом, дорожном и других видах строительства.

5

Вибромолот – ударно-вибрационная машина для погружения (забивки) в

грунт, а также извлечения из него железобетонных, деревянных и металлических свай, шпунтов, труб и других элементов. В отличие от вибропогружателя, вибровозбудитель вибромолота соединен с наголовником погружаемого элемента пружинной подвеской и наряду с вибрационным воздействием на погружаемый элемент передает ему периодически ударные импульсы, интенсифицирующие процесс погружения. Удары наносятся бойком вибровозбудителя по наковальне наголовника погружаемого элемента. Вибромолоты бывают с одним или двумя электродвигателями (последние наиболее распространены).

При ударном бурении процесс проведения скважин происходит путем

разрушения горной породы внедряющимся инструментом, рабочие лезвия которого, как правило, имеют форму клина. Ударные способы бурения подразделяются на ударно-поворотное бурение (поворот инструмента производится в момент между ударами инструмента по забою), ударно-вращательное (удары наносятся по непрерывно вращающемуся инструменту), вращательно-ударное (породоразрущающий инструмент находится под большим осевым давлением в постоянном контакте с породой и разрушает ее за счет вращательного движения по забою и периодически наносимых по нему ударов).

Ударно-поворотное бурение производится перфораторами с зависимым (прерывистым) вращением бура при частоте ударов 1800-2000 в мин. Ударно-вращательное бурение осуществляется перфораторами с независимым вращением бура и погружными пневмоударниками, частота вращения инструмента 20-75 об/мин, интенсивность энергии удара 10-25 Дж/см диаметра. Вращательно-ударное бурение шпуров производится специальными машинами на каретках при частоте ударов 1500-4000 в мин, интенсивности энергии удара 5-20 Дж/см диаметра, частоте вращения 100-150 об/мин.

При пневмоударном бурении в качестве рабочего органа используется забойный двигатель, погружаемый в скважину и работающий от энергии сжатого воздуха (пневмоударник).

При гидроударном бурении разрушение породы на забое осуществляется погружными гидравлическими забойными машинами ударного действия. Гидроударная машина приводится в действие энергией потока жидкости, нагнетаемой насосом с поверхности по колонне бурильных труб. При расходе промывочной жидкости такие машины имеют энергию единичного удара 70-80 Дж и частоту ударов 1200-1500 в минуту, осевая нагрузка на забой создается в пределах 4000-8000 Н, частота вращения снаряда 25-100 об/мин.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ НЬЮТОНОВСКОЙ ТЕОРИИ УДАРА Явление, при котором за очень малый промежуток времени скорости точек

6

тела изменяются на конечную величину, называется ударом. Силы, возникающие при таком взаимодействии, называются ударными.

Ударная сила F достигает значительной величины. Импульс ударной силы называется ударным импульсом и является конечной величиной:

0FdtS , (1)

где – продолжительность удара (очень малый промежуток времени, в течение которого происходит удар).

В теории удара принимаются следующие основные допущения: - скорости точек изменяются практически мгновенно на конечную величину; - импульсами неударных сил пренебрегают; - точки системы за время удара не перемещаются. В теории удара применяют теорему об изменении количества движения

материальной точки: изменение количества движения материальной точки за время удара равно действующему на эту точку ударному импульсу

Svmum , (2) где m – масса точки, v – скорость точки до удара, u – скорость точки после удара.

При проекции на координатные оси можно получить три скалярных уравнения:

xxx Smvmu , yyy Smvmu , (3)

zzz Smvmu . Для механической системы, состоящей из n точек, уравнение (2) можно

представить в виде

n

k

ekk

n

k

n

kkkk Svmum

11 1

)( , (4)

где km – масса k -й точки, kv и ku – скорости k -й точки соответственно до и после удара, )(e

kS – равнодействующая всех внешних ударных импульсов, приложенных к k -й точке.

Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе звучит так: изменение количества движения механической системы за время удара равно геометрической сумме всех внешних ударных импульсов, действующих на эту систему.

Уравнение (4) можно записать в виде

n

k

ekCC Svmum

1

)( , (5)

где m – масса всей системы, Cv и Cu – скорости центров масс системы соответственно в начале и в конце удара.

В проекциях на координатные оси получаем:

n

k

ekxCxCx Smvmu

1

)( ,

7

n

k

ekyCyCy Smvmu

1

)( , (6)

n

k

ekzCzCz Smvmu

1

)( .

Теорема об изменении кинетического момента при ударе формулируется следующим образом: изменение кинетического момента механической системы за время удара относительно какого-либо центра равно геометрической сумме моментов всех внешних ударных импульсов, действующих на эту систему относительно того же центра

)( )()()( ek

n

kOOO SMLL

1

12 , (7)

где )(1OL и )(2

OL – кинетические моменты системы относительно центра O соответственно до и после удара:

)()(

n

kkkkO vmrL

1

1 , )()(

n

kkkkO umrL

1

2 ,

)( )(ek

n

kO SM

1 – сумма моментов внешних ударных импульсов относительно точки

O :

)()( )()(

n

k

ekk

ek

n

kO SrSM

11.

В проекциях на координатные оси уравнение (7) принимает вид

)( )()()( ek

n

kxxx SMLL

1

12 ,

)( )()()( ek

n

kyyy SMLL

1

12 , (8)

)( )()()( ek

n

kzzz SMLL

1

12 .

Кинетическая энергия до удара для двух соударяющихся точек или тел, движущихся поступательно, записывается в виде

222

211 2

121 vmvmTO , (9)

где 1v и 2v – скорости соударяющихся точек или тел до удара. Кинетическая энергия точек или тел, движущихся поступательно, после удара

равна

222

211 2

121 umumT , (10)

где 1u и 2u – скорости точек или тел после удара. При ударе двух тел различают две стадии удара. Первая стадия: тела входят в

контакт друг с другом и после этого центры масс их продолжают сближаться за счет деформации тел (упругих и пластических). Первая стадия – стадия деформации –

8

заканчивается тогда, когда деформации обоих тел достигают максимального значения.

Вторая стадия – стадия восстановления: упругие свойства тел, если они имели место, заставляют центры масс удаляться друг от друга, в то время как пластические деформации (если они имели место) остаются. Упругие деформации полностью исчезают и тела начинают двигаться порознь.

Степень восстановления формы тел зависит от упругих свойств материалов этих тел и характеризуется соотношением скоростей тел до и после удара.

Ньютоном введен коэффициент восстановления при ударе, величина которого определяется по формуле

vuk , 10 k , (11)

где v и u – относительные скорости соударяющихся тел соответственно до и после удара.

Если тело падает с высоты H и после удара о неподвижную поверхность поднимается на высоту h , то коэффициент восстановления равен

Hhk . (12)

Если удар абсолютно упругий, то соударяющиеся тела полностью

восстанавливают свою форму, при этом 1k . Если удар абсолютно неупругий, то тела на второй стадии не восстанавливают свою форму, при этом 0k . Промежуточные значения k соответствуют случаям не вполне упругого удара. Случай абсолютно упругого удара ( 1k ) имеет лишь теоретическое значение. В зависимости от материала соударяющихся тел коэффициент восстановления имеет различные значения.

Прямым ударом тела о неподвижную преграду называют удар, при котором

вектор скорости центра масс тела в начале удара направлен по нормали к поверхности преграды в точке соприкосновения. В противном случае удар называется косым.

а б

Рисунок 1 При прямом ударе тела о неподвижную поверхность (рисунок 1, а) получаем

9

uun , vvn , n

n

vu

k , тогда kvu , vkmS )( 1 .

При косом ударе (рисунок 1, б)

n

n

vu

k , cosuun , sinuu , cosvvn , sinvv .

Тогда 222 cossin kvu , cos)( vkmS 1 ,

tgtgk ,

где – угол падения, – угол отражения. Центральным ударом тела о неподвижную преграду называют удар, при

котором нормаль к поверхности преграды в точке соприкосновения проходит через центр масс тела. В противном случае удар называется нецентральным.

При рассмотрении явления удара необходимо отказаться от понятия абсолютно твердого тела.

Рассмотрим прямой центральный удар двух тел, движущихся поступательно (рисунок 2): 21 vv , – скорости тел до удара, 21 CC , – центры масс тел.

Рисунок 2

Внешние ударные импульсы отсутствуют, поэтому для системы двух тел

количество движения системы не изменяется 22112211 umumvmvm . (13)

Коэффициент восстановления

21

12

vvuuk

. (14)

Решая совместно эти два уравнения, находим:

)()( 1221

211 1 vv

mmmkvu

, (15)

)()( 2121

122 1 vv

mmmkvu

. (16)

Если 0k , то uuu 12 . Отсюда скорость системы двух тел в конце

неупругого удара

10

21

2211

mmvmvmu

. (17)

Для определения ударного импульса воспользуемся теоремой об изменении

количества движения за время удара для одного из тел Svmum 1111 , (18)

откуда

)()( 2121

211 vvmm

mmkS

. (19)

При абсолютно упругом ударе ударный импульс в два раза больше, чем при абсолютно неупругом.

Из-за остаточных деформаций и нагревания тел при ударе происходит

частичная потеря начальной кинетической энергии соударяющихся тел. При прямом центральном ударе двух тел потерю кинетической энергии можно

представить в виде теоремы Карно: кинетическая энергия, потерянная при

прямом центральном не вполне упругом ударе двух тел, равна kk

11 -й части

той кинетической энергии, которую имела бы система, если бы ее тела двигались с потерянными скоростями:

2222

2111 2

121

11 )()( xxxxo uvmuvm

kkTT , (20)

где 1m и 2m – массы соударяющихся тел, xv1 и xv2 – проекции скоростей соударяющихся тел на ось Ox до удара, xu1 и xu2 – проекции скоростей соударяющихся тел на ось Ox после удара.

Величины )( xx uv 11 и )( xx uv 22 называются потерянными скоростями и показывают, насколько уменьшилась при ударе скорость каждого из соударяющихся тел.

Если при неупругом ударе ( 0k ) одно из тел (например, второе) до удара находилось в покое, то

02 v , 2110 2

1 vmT , 2212

1 ummT )( . (21)

Формула (17) принимает вид

21

11

mmvmu

. (22)

При этом

021

12

21

21

21

2121 T

mmm

mmvmmmT

)()( . (23)

11

Потеря кинетической энергии при ударе

021

100 T

mmmTTT

, (24)

откуда

021

20 T

mmmTT

. (25)

При действии ударного импульса на твердое тело, вращающееся вокруг

неподвижной оси, для определения угловой скорости используется теорема об изменении кинетического момента (7) или

)(SMJJ zzz 01 , (26)

где zJ – момент инерции вращающегося тела; )(SM z – момент ударного импульса относительно оси вращения тела;

10 , – угловая скорость вращающегося тела соответственно до и после действия ударных импульсов.

Отсюда угловая скорость тела

z

z

JSM )(

01 . (27)

При действии ударного импульса на

вращающееся тело угловая скорость изменяется на величину, равную отношению момента этого импульса относительно оси вращения к моменту инерции тела относительно той же оси.

Для определения импульсов ударных реакций в подшипниках (рисунок 3) введем подвижную систему координат, проведя плоскость Oyz через центр масс, и воспользуемся теоремами об изменении количества движения (6) и об изменении кинетического момента (8). При этом:

avCx 0 ; 0 CzCy vv ;

auCx ; 0 CzCy uu ;

Рисунок 3 01 zxx JL )( ; 0

1 yzy JL )( ; 01 zz JL )( ;

zxx JL )(2 ; yzy JL )(2 ; zz JL )(2 ;

12

здесь zJ – момент инерции тела относительно оси z ; zxJ , yzJ – центробежные моменты инерции тела относительно осей xz, и осей zy, .

Получим шесть уравнений для определения импульсов ударных реакций и угловой скорости после удара:

).()(),()(),()(

,,

,)(

SMJSMABSJSMABSJ

SSSSS

SSSma

zz

yBxyz

xByxy

zAz

yByAy

xBxAx

01

01

01

01

00

(28)

Центр удара – точка вращающегося тела, при действии на которую ударного

импульса не возникают ударные реакции. Если такая точка K (рисунок 3) существует, то

0 ByBxAzAyAx SSSSS . Из формул (28) следует, что приложенный к телу импульс направлен по оси

Ox и равен )( 01 maS .

Если расстояние от точки приложения ударного импульса K до оси вращения

обозначить через h , то получим

ShJ z )( 01 ,

am

Jh z

, (29)

где a – расстояние от оси вращения до центра масс тела.

Для того, чтобы при действии ударного импульса на вращающееся тело в подшипниках не возникали ударные реакции, необходимо выполнение условий:

1) центр удара лежит в плоскости, проходящей через центр масс и ось вращения на расстоянии h ;

2) ударный импульс направлен перпендикулярно этой плоскости; 3) ось вращения является главной для точки ее пересечения с плоскостью

действия ударного импульса.

13

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1 При затяжном прыжке предельная скорость парашютиста 60v м/с, а при

совершенно раскрытом парашюте 70 v м/с. Время раскрытия парашюта 51,t с, вес парашютиста 750G Н. Определить значение средней ударной силы N на парашютиста при раскрытии парашюта в затяжном прыжке.

Решение. По теореме импульсов имеем

NtNdtvvmt

0

0 )( , отсюда 270151819

7607500

,,

)()(tvv

gGN Н.

Пример 2 Для укрепления грунта под фундамент здания копром вбивались сваи весом

8001 G Н. Боёк копра весом 75002 G Н падал без начальной скорости с высоты 3h м, коэффициент восстановления 0k . При последних десяти ударах свая

углубилась на 8 см. Определить среднее сопротивление грунта при вбивании сваи.

Решение. Скорость сваи до удара равнялась нулю, удар неупругий (или пластический), тогда скорость движения копра и сваи после удара вычислим по формуле (17)

21

2211

mmvmvmu

,

где ghv 21 – скорость копра в момент удара. При n ударах на забивание сваи расходуется кинетическая энергия

21

21

21

21

21

1 2 mmghmn

mmvmnT

)(

.

Работа внешних сил тяжести )( 21 GG и искомого среднего сопротивления грунта S на пути

)( SGGA 21 . На основании теоремы об изменении кинетической энергии и в силу того, что

после n ударов система теряет скорость, имеем

)( SGG

mmhgmn

2121

21 ,

откуда

)( 21

21

21 mmhgmnGGS

.

Подставив числовые величины, получим

3721675080080

310801075008002

)(,S Н.

14

Пример 3 В плоскости Oxy к неподвижному однородному стержню на расстоянии 50,a м под углом 50 прикладывается ударный импульс 12S Н∙с.

Определить угловую скорость после удара, если момент инерции стержня 81,OzI кг∙м2.

Решение. Ударный импульс приложен к стержню, вращающемуся вокруг оси z , проходящей через точку O , перпендикулярно плоскости Oxy . Используя теорему об изменении кинетического момента, по формуле (27) получим

z

z

JSM )(

0 ,

момент ударного импульса sin)( aSSM z . Учитывая, что начальная угловая скорость

00 и подставляя числовые значения, имеем

5281

505012 ,,sin,

рад/с.

Пример 4 Молот весом 401 G кН падает на наковальню с высоты 2h м. Вес

наковальни вместе с куском металла, подвергающимся ковке, равен 3602 G кН. Рассматривая удар молота о наковальню как удар свободных тел, найти коэффициент полезного действия молота.

Решение. Коэффициент полезного действия равен отношению полезной работы к работе, затрачиваемой на приведение механизма в движение. В данном случае полезной является работа, израсходованная на деформацию металла. Эта работа равна потере кинетической энергии тел при ударе TT 0 .

Работа, затрачиваемая на подъем молота, равна увеличению его потенциальной энергии hG1 . При падении молота его потенциальная энергия переходит в кинетическую. Таким образом, затрачиваемая работа равна кинетической энергии тел до удара 0T . Коэффициент полезного действия молота

TTT

0 или 21

2

mmm

, 9036040

360

21

2 ,

GG

G .

15

ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

ВАРИАНТ 1 1 Движущаяся материальная точка M массой 10,m кг

ударяется о неподвижное основание и отскакивает. Скорость точки до удара 71 v м/с образует с касательной Mx угол 641 ; скорость 432 ,v м/с после удара образует с касательной угол

692 . Определить проекцию ударного импульса на ось Mx . 2 Определить отношение масс 1m и 2m двух шаров в следующем случае:

первый шар находится в покое, происходит центральный удар, после которого второй шар остается в покое. Коэффициент восстановления равен k .

3 Стержень массы m и длины l , вращаясь вокруг шарнира O ,

падает на точечную опору. Определить, на каком расстоянии от шарнира должна находиться точечная опора, чтобы не возникли ударные реакции в шарнире.

4 Заслонка имеет форму полукруга радиусом r , вращающегося вокруг

диаметра. Заслонка открывается ударом. Как нужно производить удар, чтобы он не передавался на подшипники?

ВАРИАНТ 2 1 Деревянный шар массой 1m , имеющий скорость 1v , ударяя неподвижный

деревянный шар, теряет половину своей скорости. Полагая удар шаров прямым и центральным, а коэффициент восстановления 50,k , определить массу второго шара и его скорость после удара.

2 Шарик массой 0101 ,m кг падает вертикально и ударяет со скоростью 6v м/с по неподвижной горизонтальной плите массой 102 m кг. Определить

модуль ударного импульса во второй фазе удара, если коэффициент восстановления 60,k . 3 Тонкая пластинка может вращаться вокруг своей оси

симметрии Oz . На расстоянии 10,a м от оси перпендикулярно неподвижной пластинке прикладывается ударный импульс, равный 0,5 Н∙с. Определить угловую скорость после удара, если момент инерции пластинки 0020,OzI кг∙м2.

4 Под фундамент здания копром вбиваются сваи весом 500G Н. Боек копра

весом 4500G Н падает без начальной скорости с высоты 2h м, коэффициент восстановления равен нулю, при последних десяти ударах свая углубилась на

5 см. Определить среднее сопротивление грунта при вбивании сваи.

16

ВАРИАНТ 3 1 Материальная точка M массой 1m кг, движущаяся

со скоростью 101 v м/с, сталкивается с поверхностью. Ско-рость точки после удара 82 v м/с; углы 60 и 75 . Определить проекцию ударного импульса на ось My .

2 Два тела одинаковой массы 100021 mm кг сталкиваются с

противоположно направленными одинаковыми по модулю скоростями 5021 , vv м/с. Определить модуль ударного импульса, если коэффициент

восстановления 0k . 3 Сильно закрученный мяч после удара по плоскости со

скоростью 41 v м/с центра масс под углом падения 30 отскакивает в вертикальном направлении со скоростью 522 ,v м/с. Определить модуль нормального импульса NS , если масса мяча

050,m кг. 4 На тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью

1500 рад/с, подействовал ударный импульс с моментом 10,)( SM z Н∙м∙с. Угловая скорость после удара 146 рад/с. Определить момент инерции тела.

ВАРИАНТ 4 1 В плоскости Oxy к неподвижному изогнутому под

прямым углом рычагу на расстоянии 80,a м под углом 50 прикладывается ударный импульс 10S Н∙с.

Определить угловую скорость после удара, если момент инерции 61,OzI кг∙м2.

2 С неподвижным телом массой 1001 m кг сталкивается со скоростью

12 v м/с тело массой 12 m кг. Определить модуль ударного импульса, если коэффициент восстановления 50,k .

3 На материальную точку M массой 20,m кг, движущуюся со скоростью

jiv 2101 , подействовал ударный импульс jis 4281 ,, . Определить модуль скорости 2v после удара.

4 До удара по плоскости скорость центра масс закрученного

обруча 31 v м/с, а после удара стала равной 812 ,v м/с. Определить коэффициент восстановления нормального импульса, если угол падения 45 , а угол отражения 32 .

17

ВАРИАНТ 5 1 На материальную точку подействовал ударный импульс ks 10 . Скорость

до удара kv 101 , скорость после удара kv 52 . Определить массу материальной точки.

2 Крышка люка с моментом инерции 10AzI кг∙м2

захлопывается с угловой скоростью 30 рад/с. Принимая удар абсолютно неупругим, определить момент ударного импульса относительно оси вращения.

3 Тело массой 11 m кг ударяет со скоростью 210 v м/с по неподвижному

телу массой 32 m кг. Принимая, что удар абсолютно неупругий, определить потери кинетической энергии.

4 Диск, вращаясь с угловой скоростью 20 рад/с, ударяет

по вертикальной стенке со скоростью центра масс 810 ,v м/с под углом 45 . Определить модуль нормального импульса NS , если масса диска 60,m кг, а коэффициент восстановления нормального импульса 550,k .

ВАРИАНТ 6

1 На материальную точку массой 40,m кг, движущуюся со скоростью jiv 4201 , подействовала ударная сила. Скорость точки после удара

jiv 16122 . Определить значение ударного импульса. 2 Тонкий однородный стержень массой 2m кг

вращается вокруг оси Oz с угловой скоростью 210 , с-1. В точке С происходит удар по неподвижному упору и отскок. Определить модуль ударного импульса

1CS в первой фазе удара, если длина 50,l м.

3 Сфера массой 0201 ,m кг падает вертикально и ударяет со скоростью

12v м/с по неподвижной горизонтальной плите массой 202 m кг. Определить модуль ударного импульса во второй фазе удара, если коэффициент восстановления

50,k .

4 Шар массой 20,m кг падает на неподвижную плоскую преграду без вращения со скоростью 20 v м/с под углом 45 и отскакивает со скоростью 51,v м/с под углом 60 . Определить модуль касательного импульса FS .

18

ВАРИАНТ 7 1 Шарик падает наклонно со скоростью v на неподвижную

горизонтальную плоскость и отскакивает со скоростью 221 vv . Определить угол падения и угол отражения , если коэффициент восстановления при ударе 33k .

2 При прямом ударе материальной точки по неподвижной преграде скорость

до удара 61 v м/с. Определить скорость после удара, если коэффициент восстановления 50,k .

3 Тонкий стержень длиной 60,AB м, вращаясь вокруг

оси Az , ударяет по упору на расстоянии 40,a м. Момент инерции 240,AzI кг∙м2. Угловая скорость до удара 40 рад/с, а после удара 3 рад/с. В точке удара определить коэффициент восстановления нормального импульса.

4 Два шара встречаются с равными и противоположными скоростями, после

центрального удара второй шар остается в покое, коэффициент восстановления равен k . Определить отношение масс 1m и 2m двух шаров.

ВАРИАНТ 8

1 Тело 1, двигаясь со скоростью 101 v м/с, ударяет по второму телу 2, которое двигается со скоростью 52 v м/с в том же направлении. В случае, когда массы тел 21 mm , определить скорость совместного движения тел после абсолютно неупругого удара.

2 При прямом ударе материальной точки по неподвижной преграде до удара и

после удара скорости равны 81 v м/с и 62 v м/с соответственно. Определить коэффициент восстановления.

3 Однородная дверь массой 50m кг ударилась о

неподвижный ограничитель в точке С с угловой скоростью 10 рад/с. После удара угловая скорость 30, рад/с.

Определить модуль ударного импульса, если расстояния 60,a м; 80,b м.

4 До удара тело массой 12 кг имело скорость центра масс iv 3 и угловую

скорость k4 . Определить скорость тела после удара, если ударный импульс iS 20 .

19

ВАРИАНТ 9 1 Материальная точка массой 40,m кг двигалась со скоростью jiv 4121 .

В какой-то момент времени на нее подействовала ударная сила. Скорость точки после удара jiv 1082 . Определить значение ударного импульса.

2 Однородный стержень длиной 90,l м, вращаясь

вокруг оси Oz с угловой 20 рад/с, ударяет по упору в точке А. Определить расстояние a , при котором ударный импульс 0S в точке О равен нулю.

3 Тело массой 41 m кг со скоростью 10v м/с ударяет по неподвижному

телу массой 1002 m кг. Определить модуль ударного импульса в первой фазе удара.

4 Закрученный мяч с угловой скоростью 60 рад/с и

скоростью 800 ,v м/с центра масс падает на преграду по нормали. Определить модуль угловой скорости мяча после удара, если составляющие ударного импульса 850,NS Н∙с,

0850,FS Н∙с, радиус 10,R м и момент инерции 0030,CzI кг∙м2.

ВАРИАНТ 10

1 Шарик без начальной скорости падает с высоты 511 ,h м и после удара по горизонтальной преграде поднимается на высоту

802 ,h м. Определить коэффициент восстановления k при ударе.

2 После прямого центрального удара двух тел, массы которых 31 m кг,

12 m кг и начальные скорости 501 v м/с, 0

02 v , их скорости стали равными 75321 ,vv м/с. Определить потери кинетической энергии при ударе.

3 Тонкий однородный стержень, вращаясь вокруг оси

Az с угловой скоростью 40 рад/с, в горизонтальном положении ударяет по неподвижному упору в середине стержня. При этом происходит отрыв от оси вращения Az без ударного импульса. Определить угловую скорость стержня после удара.

4 На тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью


20

ВАРИАНТ 11 1 При прямом ударе материальной точки массой 2m кг по неподвижной

поверхности коэффициент восстановления 70,k , а скорость до удара 31 v м/с. Определить потери кинетической энергии.

2 Однородный стержень массой 2m кг и длиной 60,l м

падает без вращения на неподвижную плоскую преграду со скоростью 20 v м/с. Определить модуль угловой скорости после удара, если проекции ударного импульса 52,NS Н∙с,

50,FS Н∙с, а угол 55 . 3 Происходит встречный удар двух тел одинаковой массы 100021 mm кг с

одинаковыми по модулю скоростями 500 21 vv м/с. Определить потери

кинетической энергии, если после удара скорости 121 vv м/с.

4 Центр масс неоднородного стержня массой 42,m кг и длиной 80,l м располагается на расстоянии

370,Cx м, а центр удара – на расстоянии 50,a м. Определить момент инерции стержня относительно оси вращения Oz .

ВАРИАНТ 12 1 Со скоростью 12 м/с материальная точка ударяет по неподвижной преграде.

Определить время удара, при котором средняя ударная сила равна пятикратному весу материальной точки. Удар считать прямым и абсолютно неупругим.

2 Шар 1, подвешенный на нити 2, ударяет со скоростью 50,v м/с по неподвижному шару 4, подвешенному на нити 3.

Определить скорость после удара шара 4, если коэффициент восстановления 80,k и массы шаров одинаковы.

3 До удара тело массой 20 кг имело скорость центра масс iv 3 и угловую


4 На прямоугольную дверь, вращающуюся вокруг

главной оси инерции Az с угловой скоростью k50 , в точке K (0; 1; 0) действует ударный импульс jiS 220 . Определить в подпятнике A составляющую импульса AzS .

21

ВАРИАНТ 13 1 Определить среднюю силу удара молотка массой 50,m кг по наковальне

при абсолютно неупругом ударе, если скорость до удара 10v м/с, а время удара 00020, с.

2 Шайба 1 массой 1m ударяет по неподвижной шайбе 2 со

скоростью 1v м/с. Принимая, что удар прямой центральный с коэффициентом восстановления 50,k , определить скорость шайбы 2 после удара, если 21 3mm .

3 Тонкий стержень длиной 21,AB м, вращаясь вокруг оси Az , ударяет по

упору на расстоянии 80,a м. Момент инерции 480,AzI кг∙м2. Угловая скорость до удара 80 рад/с, а после удара 6 рад/с. В точке удара определить коэффициент восстановления нормального импульса.

4 Однородный стержень длиной 21,l м и массой

5m кг падает вертикально без вращения со скоростью центра масс 20 v м/с. К стержню прикладывается ударный импульс

12S Н∙с, направленный вертикально вверх. Определить скорость центра масс стержня после удара.

ВАРИАНТ 14 1 При прямом ударе материальной точки массой 1m кг по неподвижной

преграде коэффициент восстановления 60,k , а скорость до удара 21 v м/с. Определить потери кинетической энергии.

2 На неподвижную квадратную пластинку со стороной,

равной 0,6 м, вдоль стороны АВ подействовал ударный импульс 4S Н∙с. Определить угловую скорость пластинки после удара,

если момент инерции 20,OzI кг∙м2. 3 Шарик падает без начальной скорости внутри вертикальной стеклянной

трубки с заданной высоты 501 h см на неподвижно закрепленную горизонтальную пластинку. Найти коэффициент восстановления, если высота, на которую подскочил шарик после удара, оказалась равной 452 h см.

4 Шар массой 40,m кг без вращения со скоростью 30 v

м/с под углом 75 ударяет по неподвижной плоскости. Коэффициент восстановления нормального импульса 50,k . Определить касательный импульс NF SfS в режиме полного скольжения, если коэффициент трения 10,f .

22

ВАРИАНТ 15 1 При столкновении материальной точки M с преградой

угол падения 30 , а угол отражения 36 . Скорость после удара 152 ,v м/с. Принимая, что преграда абсолютно гладкая, определить значение скорости 1v до удара.

2 Тело массой 0201 ,m кг падает вертикально и ударяет со скоростью


70,k . 3 Тонкая пластинка может вращаться вокруг своей оси

симметрии Oz . На расстоянии 30,a м от оси перпендикулярно неподвижной пластинке прикладывается ударный импульс, равный 0,8 Н∙с. Определить угловую скорость после удара, если момент инерции пластинки

0040,OzI кг∙м2. 4 Тело массой 40 кг до удара имело скорость центра масс iv 5 и угловую


ВАРИАНТ 16

1 На материальную точку массой 20,m кг, движущуюся со скоростью jiv 2101 , подействовала ударная сила. Скорость точки после удара jiv 862 . Определить значение ударного импульса.

2 Два тела одинаковой массы 200021 mm кг сталкиваются с

противоположно направленными одинаковыми по модулю скоростями 2121 , vv м/с. Определить модуль ударного импульса, если коэффициент

восстановления 0k . 3 Горизонтальный стержень AB , падая вертикально

без вращения со скоростью 20 v м/с, ударяет по упору D на расстоянии от центра масс 10,a м. Определить угловую скорость стержня после удара, если ударный импульс

2DS Н∙с, а момент инерции 040,CI кг∙м2. 4 На тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью


23

ВАРИАНТ 17 1 С какой вертикальной скоростью 1v мяч должен удариться о

горизонтальный пол, чтобы подняться на высоту 3h м, если коэффициент восстановления 80,k .

2 Абсолютно упругий шар, центр которого движется прямолинейно со

скоростью v , встречает под углом гладкую вертикальную плоскость. Определить скорость шара после удара.

3 Два тела 1 и 2 сталкиваются с противоположно

направленными, но одинаковыми по значению скоростями 621 vv м/с. Коэффициент восстановления 50,k . Массы тел

21 m кг, 12 m кг. Определить скорость тела 2 после удара. 4 До удара тело массой 12 кг имело скорость центра масс iv 3 и угловую


ВАРИАНТ 18

1 При прямом ударе материальной точки по неподвижной преграде скорость до удара 61 v м/с. Определить скорость после удара, если коэффициент восстановления 50,k .

2 Тело 1 массой 51 m кг ударяет по неподвижному

амортизатору 2 массой 2m . Коэффициент восстановления 70,k . Определить массу 2m , при которой тело 1 после

удара остановится.

3 Два абсолютно неупругих шара с массами 1m и 2m движутся навстречу друг другу. При этом первый шар имеет скорость 1v , а второй 12 3vv . Определить отношение масс шаров, если в конце удара шары движутся со скоростью

121 51 vuu , . 4 Найти расстояние a от центра удара до оси вращения O однородного

стержня массой 0,8 кг и материальной точки массой 0,2 кг, закрепленной на конце стержня длиной 60,l м. Расстояние от центра масс C до оси вращения

360,Cy м. Момент инерции 1680,OI кг∙м2.

24

ВАРИАНТ 19 1 Привязанный к тонкой нити 1 шарик 2 отпускается с

высоты 601 ,h м без начальной скорости. В вертикальном положении происходит удар шарика по стене с коэффициентом восстановления 550,k . Определить высоту 2h последующего подъема шарика.

2 После прямого центрального удара двух тел, массы которых 31 m кг,

12 m кг и скорости 510 v м/с, 020 v , их скорости стали равными 75321 ,vv м/с. Определить потери кинетической энергии.

3 Стальной шар массой 1m кг, падая с высоты 41 h м, ударяется о

стальную плиту. Определить среднее значение ударной реакции, если время удара 00020, с, а коэффициент восстановления 95k . 4 Два одинаковых абсолютно упругих шара, двигаясь

поступательно, соударяются с равными по модулю скоростями v . Скорость левого шара до удара направлена по линии центров направо, а скорость правого шара до удара образует с линией центров угол . Найти скорости шаров после удара.

ВАРИАНТ 20 1 Со скоростью 12 м/с материальная точка ударяет по неподвижной преграде.

Определить время удара, при котором средняя ударная сила будет в пять раз больше веса материальной точки. Удар считать прямым и абсолютно неупругим.

2 Шар 1, подвешенный на нити 2, ударяет со скоростью 50,v м/с по неподвижному шару 4, подвешенному на нити 3.

Определить скорость после удара шара 4, если коэффициент восстановления 80,k и массы шаров одинаковы.

3 Стальной шарик падает на горизонтальную стальную плиту под углом 45 и

отскакивает под углом 60 к вертикали. Определить коэффициент восстановления при ударе.

4 Тонкий однородный стержень, вращаясь вокруг

оси Az с угловой скоростью 40 рад/с, в горизонтальном положении ударяет по неподвижному упору в середине стержня. При этом происходит отрыв от оси вращения Az без ударного импульса. Определить угловую скорость стержня после удара.

25

ВАРИАНТ 21 1 Тело массой 41 m кг со скоростью 10v м/с ударяет по неподвижному

телу массой 1002 m кг. Определить модуль ударного импульса в первой фазе удара.

2 Определить положение центра удара K треугольной

мишени для стрельбы, высота которой равна a .

3 До удара тело массой 20m кг имело скорость центра масс iv 3 и

угловую скорость k4 . Определить скорость тела после удара, если ударный импульс iS 20 .

4 На неподвижную квадратную пластинку со стороной,

равной 0,3 м, вдоль стороны АВ подействовал ударный импульс 2S Н∙с. Определить угловую скорость пластинки после

удара, если момент инерции 10,OzI кг∙м2.

ВАРИАНТ 22

1 Два тела одинаковой массы 100021 mm кг сталкиваются с противоположно направленными одинаковыми по модулю скоростями

5021 , vv м/с. Определить модуль ударного импульса, если коэффициент восстановления 0k .

2 Материальная точка M массой 1m кг, движущаяся

со скоростью 101 v м/с, сталкивается с плоскостью. Скорость точки после удара 82 v м/с; 60 и 75 . Определить проекцию ударного импульса на ось My .



4 Сильно закрученный мяч после удара по плоскости со

скоростью 41 v м/с центра масс под углом падения 30 отскакивает в вертикальном направлении со скоростью

522 ,v м/с. Определить модуль нормального импульса NS , если масса мяча 050,m кг.

26

ВАРИАНТ 23 1 На материальную точку массой 20,m кг, движущуюся со скоростью

jiv 2101 , подействовала ударная сила. Скорость точки после удара jiv 862 . Определить значение ударного импульса.

2 Тонкая пластинка может вращаться вокруг своей оси

симметрии Oz . На расстоянии 10,a м от оси перпендикулярно неподвижной пластинке прикладывается ударный импульс, равный 0,5 Н∙с. Определить угловую скорость после удара, если момент инерции пластинки 0020,OzI кг∙м2.

3 Шарик массой 0101 ,m кг падает вертикально и ударяет со скоростью


60,k . 4 Однородный стержень длиной 41,l м и массой

8m кг падает вертикально без вращения со скоростью центра масс 30 v м/с. К стержню прикладывается ударный импульс 15S Н∙с, направленный вертикально вверх. Определить скорость центра масс стержня после удара.

ВАРИАНТ 24

1 На материальную точку подействовал ударный импульс kS 10 . Скорость до удара kv 101 , скорость после удара kv 52 . Определить массу материальной точки.

2 Высота прямоугольной мишени для стрельбы равна a .

Определить положение центра удара.

3 Тело массой 11 m кг ударяет со скоростью 201 v м/с по неподвижному

телу массой 32 m кг. Определить потери кинетической энергии, считая удар абсолютно неупругим.

4 Диск, вращаясь с угловой скоростью 20 рад/с,

ударяет по вертикальной стенке со скоростью центра масс 810 ,v м/с под углом 45 . Определить модуль

нормального импульса NS , если масса диска 60,m кг, а коэффициент восстановления нормального импульса 550,k .

27

ВАРИАНТ 25 1 При прямом ударе материальной точки по неподвижной преграде до удара и

после удара скорости равны 81 v м/с и 62 v м/с соответственно. Определить коэффициент восстановления.

2 Тело 1, двигаясь со скоростью 101 v м/с, ударяет

по второму телу 2, которое двигается со скоростью 52 v м/с в том же направлении. В случае, когда массы

тел 21 mm , определить скорость совместного движения тел после абсолютно неупругого удара.

3 Тело массой 5 кг движется со скоростью центра масс i6v и угловой скоростью k8 . При соударении с преградой на тело подействовал ударный импульс iS 22 . Определить скорость тела после удара.

4 Однородная дверь массой 50m кг и шириной 80,b м ударилась о неподвижный ограничитель в точке C

с угловой скоростью 10 рад/с. Расстояние до ограничителя 60,a м. После удара угловая скорость

30, рад/с. Определить модуль ударного импульса.

ВАРИАНТ 26

1 При прямом ударе материальной точки по неподвижной преграде скорость до удара 61 v м/с. Определить скорость после удара, если коэффициент восстановления 50,k .

2 Тонкий стержень длиной 60,AB м, вращаясь вокруг

оси Az , ударяет по упору на расстоянии 40,a м. Момент инерции 240,AzI кг∙м2. Угловая скорость до удара 40 рад/с, а после удара 3 рад/с. В точке удара определить коэффициент восстановления нормального импульса.

3 Абсолютно упругий шар, центр которого движется прямолинейно со

скоростью v , встречает под углом гладкую вертикальную плоскость. Определить скорость шара после удара.

4 Центр масс неоднородного стержня массой 42,m кг

и длиной 80,l м располагается на расстоя-нии 370,Cx м, а центр удара – на расстоянии 50,a м. Определить момент инерции стержня относительно оси вращения Oz , перпендикулярной плоскости рисунка.

28

ВАРИАНТ 27

1 Молот массой 80,m кг ударяет по наковальне. Удар абсолютно неупругий, скорость до удара 15v м/с, время удара 00030, с. Определить среднюю силу удара.

2 Тело 1 массой 101 m кг ударяет по неподвижному телу 2 массой 2m . Определить массу тела 2, при которой скорость тела 1 после удара будет равна нулю, если коэффициент восстановления 80,k .



4 Сильно закрученный мяч после удара по плоскости со

скоростью 41 v м/с центра масс под углом падения 30 отскакивает в вертикальном направлении со скоростью 522 ,v м/с. Определить модуль нормального импульса NS , если масса мяча

050,m кг.

ВАРИАНТ 28

1 После прямого центрального удара двух тел, массы которых 31 m кг, 12 m кг и скорости 5

01 v м/с, 002 v , их скорости стали

равными 75321 ,vv м/с. Определить потери кинетической энергии при соударении.

2 Шарик без начальной скорости падает с высоты 511 ,h м и после удара по

горизонтальной преграде поднимается на высоту 802 ,h м. Определить коэффициент восстановления при ударе.

3 Крышка люка с моментом инерции 10AzI кг∙м2

захлопывается с угловой скоростью 30 рад/с. Принимая удар абсолютно неупругим, определить момент ударного импульса относительно оси вращения.

4 Шар весом 51 G Н движется со скоростью 151 v м/с, впереди него движет-

ся в том же направлении со скоростью 22 v м/с шар весом 82 G Н. Определить скорости шаров в конце удара, если коэффициент восстановления 50,k .

29

ВАРИАНТ 29

1 При прямом ударе материальной точки массой 1m кг по неподвижной преграде коэффициент восстановления 60,k , а скорость до удара 21 v м/с. Определить потери кинетической энергии.

2 Однородный стержень длиной 90,l м, вращаясь вокруг

оси Oz с угловой 20 рад/с, ударяет по упору в точке A . Определить расстояние a , при котором ударный импульс 0S в точке O равен нулю.

3 Предельная скорость парашютиста при затяжном прыжке 60v м/с, а при

совершенно раскрытом парашюте 60 v м/с. Время раскрытия парашюта 81,t с, вес парашютиста 755G Н. Определить при раскрытии парашюта ударную силу на парашютиста в затяжном прыжке.

4 Закрученный мяч с угловой скоростью 60 рад/с и

скоростью 800 ,v м/с центра масс падает на преграду по нормали. Определить модуль угловой скорости мяча после удара, если составляющие ударного импульса 850,NS Н∙с, 0850,FS Н∙с, радиус 10,R м и момент инерции 0030,CzI кг∙м2.

ВАРИАНТ 30 1 Определить среднюю силу удара молотка массой 50,m кг при абсолютно

неупругом ударе по наковальне, если скорость до удара 10v м/с и время удара 0,0002 с.

2 Однородный стержень массой 2m кг и длиной 60,l м падает без вращения на неподвижную плоскую преграду со скоростью 20 v м/с. Определить модуль угловой скорости после удара, если проекции импульса 52,NS Н∙с, 50,FS Н∙с, а угол

55 . 3 Происходит встречный удар двух тел одинаковой массы 80021 mm кг с

одинаковыми по модулю скоростями 52010 vv м/с. Определить потери кинетической энергии, если после удара скорости 121 vv м/с.

4 Центр масс неоднородного стержня массой 42,m кг и

длиной 80,l м располагается на расстоянии 370,Cx м, а центр удара – на расстоянии 50,a м. Определить момент инерции стержня относительно оси вращения Oz .

30

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1 Какое явление называется ударом? 2 В чем состоит характерная особенность явления удара? 3 Чем характеризуется ударная сила? 4 Какой эффект имеет действие ударной силы на материальную точку? 5 Могут ли внутренние ударные импульсы изменить количество движения

механической системы? 6 Почему вместо ударных сил в теории удара фигурируют ударные импульсы? 7 Что называется коэффициентом восстановления при ударе? 8 В каких пределах находятся числовые значения коэффициента

восстановления? 9 Чем характеризуются первая и вторая фазы упругого удара? 10 Какая формула в теории удара играет роль второго закона динамики точки? 11 Каково перемещение материальной точки за время действия на нее

ударного импульса? 12 В чем состоит теорема об изменении количества движения системы при

ударе? 13 В чем состоит теорема об изменении кинетического момента системы при

ударе? 14 Какова особенность абсолютно упругого удара? 15 Какова потеря кинетической энергии двух соударяющихся тел при

неупругом, упругом и абсолютно упругом ударах? 16 Как формулируется теорема Карно? 17 Могут ли внутренние ударные импульсы изменить кинетический момент

механической системы? 18 Чему равно изменение угловой скорости твердого тела, вращающегося

вокруг неподвижной оси, при действии на это тело ударного импульса? 19 Какие изменения вносит действие ударных сил в движение твердых тел:

вращающегося вокруг неподвижной оси и совершающего плоское движение? 20 При каких условиях опоры вращающегося тела не испытывают действия

внешнего ударного импульса, приложенного к телу? 21 При каких условиях удар не передается на точки закрепления оси? 22 Что называют центром удара и каковы его координаты? 23 Почему коэффициент восстановления не может быть равным единице? 24 В каком случае при прямом ударе двух шаров эти шары после удара

остановятся, и в каком случае обменяются скоростями? 25 Что называется потерянной при ударе кинетической энергией?

31

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1 Добронравов В.В., Никитин Н.Н., Дворников А.Л. Курс теоретической

механики. – М.: Высшая школа, 1974. – 528 с. 2 Зегжда С.А. Соударение упругих тел. – СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1997.

– 316 с. 3 Зоммерфельд А. Механика. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая

динамика», 2001. – 368 с. 4 Сахарный Н.Ф. Курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 1964. –

844 с. 5 Сборник задач по теоретической механике / под ред. К.С. Колесникова. – М.:

Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1983. – 320 с. 6 Сборник коротких задач по теоретической механике: учеб. пособие для

втузов / О.Э. Кепе, Я.А. Виба, О.П. Грапис и др.; под ред. О.Э. Кепе. – М.: Высшая школа, 1989. – 368 с.

7 Тимко И.А. Теоретическая механика. – Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 1971. – 323 с.

Documents

ДИНАМИКА. ТЕОРИЯ УДАРАmkm.rusoil.net/files/2018-01/Dinamika-ydar.pdf · 2018. 2. 26. · 4 воздействиям, в том числе вибрационным