ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

МІНІСТЕРСТВА ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Кваліфікаційна наукова

праця на правах рукопису

СТРЕЛЯЄВ ЮРІЙ МИХАЙЛОВИЧ

УДК 539.3

ДИСЕРТАЦІЯ

РОЗВ’ЯЗАННЯ КОНТАКТНИХ ЗАДАЧ ПРО ВЗАЄМОДІЮ ПРУЖНИХ

ТІЛ З УРАХУВАННЯМ ТЕРТЯ КУЛОНА У КВАЗІСТАТИЧНІЙ

ПОСТАНОВЦІ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

01 – фізико-математичні науки

Подається на здобуття наукового ступеня кандидата

фізико-математичних наук

Дисертація містить результати власних досліджень. Використання ідей,

результатів і текстів інших авторів мають посилання на відповідне джерело

Ю.М. Стреляєв

Науковий керівник Александров Олександр Іванович, кандидат технічних

наук, доцент

Запоріжжя – 2017

2

АНОТАЦІЯ

Стреляєв Ю.М. Розв’язання контактних задач про взаємодію пружних

тіл з урахуванням тертя Кулона у квазістатичній постановці. –

Кваліфікаційна наукова праця на правах рукопису.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-

математичних наук за спеціальністю 01.02.04 «Механіка деформівного

твердого тіла» (01 – фізико-математичні науки). – Запорізький національний

університет Міністерства освіти і науки України, Запоріжжя, 2017.

В дисертації розроблено метод наближеного розв’язання тривимірних

контактних задач про взаємодію лінійно пружних тіл з урахуванням тертя та

історії зовнішнього навантажування при невідомій області контакту і

невідомій межі зон зчеплення та проковзування.

Розроблений метод основується на новій постановці квазістатичної

контактної задачі про взаємодію двох пружних тіл з урахуванням тертя

Кулона, яка відрізняється від класичної постановки такої задачі.

В запропонованій постановці задачі використовується оригінальна гіпотеза

про можливість малого збурення умов процесу навантажування

взаємодіючих тіл в квазістатичних контактних задачах теорії пружності з

урахуванням тертя Кулона. На основі цієї гіпотези граничні умови

контактної взаємодії тіл на кожному кроці дискретного процесу

навантажування виражено у вигляді системи рівностей і нерівностей.

Отримані граничні умови є модифікацією граничних умов квазістатичної

контактної задачі в класичній постановці. Механічний сенс цієї модифікації

полягає у введенні малого загаювання дії нормальних контактних напружень

відносно дотичних контактних напружень на кожному кроці

навантажування. Правомірність прийнятої модифікації постановки

контактної задачі підтверджена відомими даними і чисельними

розрахунками.

3

Квазістатичну контактну задачу в модифікованій постановці зведено до

послідовного розв’язування однотипних систем нелінійних граничних

інтегральних рівнянь, кожна з яких відповідає певному кроку

навантажування тіл. Отримані інтегральні рівняння є якісно новими, в

порівнянні з відомими інтегральними рівняннями, які використовуються для

опису контактної взаємодії пружних тіл. Отримані інтегральні рівняння

характеризуються тим, що їх вигляд не залежить від конфігурації зон розділу

граничних умов контактної задачі. Для складання таких рівнянь необхідно

лише вказати канонічну обмежену плоску область, яка містить у собі

невідомі ділянки контакту на усіх етапах процесу навантажування тіл.

При природних властивостях пружних матеріалів взаємодіючих тіл

доведено факт єдиності розв’язку розглянутої контактної задачі.

Розроблено метод чисельного розв’язання отриманих систем

нелінійних граничних інтегральних рівнянь. Розроблений метод включає в

себе наступні етапи: регуляризація (в сенсі А.Н. Тихонова) інтегральних

рівнянь, що описують контактну взаємодію на кожному кроці

навантажування; побудова схеми дискретизації регуляризованих рівнянь, яка

гарантує близькість наближеного розв’язку дискретизованих рівнянь до

точного розв’язку контактної задачі; побудова ітераційного процесу для

розв’язання дискретизованих рівнянь контактної задачі і доведення збіжності

цього процесу.

Апробацію розробленого метода виконано шляхом його застосування

для отримання наближеного розв’язку контактної задачі про фрикційну

взаємодію кулі і півпростору, виготовлених з різних пружних матеріалів.

На основі аналізу отриманих результатів та порівнянні цих результатів з

розв’язком відповідної осесиметричної задачі, наведеним в монографії

К. Джонсона, та іншими відомими даними можна зробити висновок про

коректність розробленого метода. Цей висновок можна також зробити

спираючись на строге математичне обґрунтування основних етапів

запропонованого метода.

4

Розроблений метод було застосовано до розв’язання квазістатичних

контактних задач про взаємодію пружної кулі і пружного півпростору,

виготовлених з однакових і різних матеріалів, а також про взаємодію

циліндричних штампів з пружним півпростором. Для випадку однакових

пружних матеріалів кулі і півпростору отримано чисельні розв’язки

контактної задачі при різних історіях прикладання до кулі нормального і

дотичного навантажень. Встановлено, що розв’язок розглянутої задачі

залежить від історії навантажування і збігається з наближеним аналітичним

розв’язком Р.Д. Міндліна цієї задачі лише за умови, що історія

навантажування складається з двох послідовних монотонних етапів: етапу

зростання нормальної сили і наступного етапу зростання дотичної сили. Для

випадку різних пружних матеріалів кулі і півпростору отримано чисельний

розв’язок контактної задачі при складному комбінованому навантажуванні,

яке складалося з трьох монотонних етапів послідовного зростання діючих на

кулю нормальної і дотичних сил. Також для цього випадку отримано

чисельний розв’язок контактної задачі при немонотонному навантажуванні,

яке складалось з початкового етапу монотонного вдавлювання кулі в

півпростір і наступного етапу неповного розвантаження. За допомогою

чисельного експерименту встановлено, що задача про монотонне

вдавлювання циліндричного штампа з плоскою підошвою в пружний

півпростір може бути розв’язаною в статичній постановці. Для квазістатичної

контактної задачі про вдавлювання циліндричного штампа з криволінійною

підошвою у пружний півпростір отримано умови, при виконання яких ця

задача може вважатися статичною. Отримано також чисельний розв’язок

квазістатичної контактної задачі про взаємодію циліндричного штампа з

плоскою підошвою і пружного півпростору при складному нормальному

навантажуванні, яке характеризується наявністю етапу розвантажування.

Порівняння отриманих розв’язків контактних задач з їх відомими

розв’язками дає можливість зробити висновки про правомірність прийнятої

гіпотези про спрощення умов навантажування тіл і коректність розробленого

5

на основі цієї гіпотези методу розв’язання квазістатичних контактних задач

розглянутого класу.

Практична цінність та наукове значення результатів дисертаційної

роботи полягає в можливості застосування розробленого методу і створених

на його основі пакетів програм для виконання розрахунків на міцність та

жорсткість у машинобудуванні, транспорті, будівництві, а також у

можливості розв’язання різних контактних задач, що мають прикладне та

народногосподарське значення.

Ключові слова: пружне тіло, контактна задача, тертя Кулона, історія

навантажування, інтегральне рівняння, чисельний розв’язок, ітераційний

процес.

ABSTRACT

Streliaiev Yu.M. The solution of quasistatic contact problems of elastic

bodies’ interaction with regard for the Coulomb friction. – Manuscript.

The thesis presented for Degree of the Candidate in Physics and Mathematics by

specialty 01.02.04 - Mechanics of Deformable Solids (01 – Physics and Mathematics).

– Zaporizhzhya National University, Ministry of Education and Science of

Ukraine, Zaporizhzhya, 2017.

A method of approximate solution of three-dimensional contact problems of

the interaction of linearly elastic bodies taking into account Coulomb friction is

developed. The method makes it possible to take into account loading history and

it is applicable for solving contact problems with an unknown contact area and an

unknown boundary of the adhesion and slip page regions.

The developed method is based on a new statement of a quasistatic contact

problem of interaction of two elastic bodies taking into account Coulomb friction.

This problem statement is different from the classical statement of such a problem.

The statement is based on the original hypothesis of the possibility of a small

6

perturbation of the loading conditions in quasistatic frictional contact problems of

elasticity. New modification of boundary conditions of the quasistatic contact

problem is obtained using this hypothesis. The boundary conditions for contact

interaction of bodies at each step of discrete loading process are expressed as a

system of equalities and inequalities. Mechanical meaning of this modification is

an introduction of a small delay in action of normal contact stresses with respect to

tangential contact stresses at each step of loading process. The modification of

contact problem statement is validated by known data and numerical calculations.

The quasistatic contact problem is reduced to sequential solution of several

systems of boundary non-linear integral equations that correspond to different

steps of loading. These equations are qualitatively new in comparison with the

known analogs used to solve elastic contact problems. Form of these equations

does not depend on configurations of contact region and adhesion and slip page

zones. In order to obtain these equations it is sufficient to define a canonical

limited flat area covering unknown contact regions at all stages of loading.

The uniqueness of the quasistatic contact problem solution is proved for

natural properties of the elastic materials of interacting bodies.

A method for an approximate solution of obtained systems of nonlinear

boundary integral equations is developed. The method includes following stages:

regularization (in the sense of A.N. Tikhonov) of integral equations of the contact

interaction at each loading step; discretization of the regularized equations, which

guarantees closeness of the approximate solution of discretized equations to exact

solution of the contact problem; construction of an iterative process for solving

discretized equations of the contact problem and proving the convergence of this

process.

Approbation of developed method consisted in obtaining an approximate

solution of contact problem of frictional interaction of a sphere and a half-space

made of different elastic materials. A comparison of obtained solution with

K. Johnson’s solution of corresponding axisymmetric contact problem and other

known data confirms correctness of the method.

7

Developed method was applied to solution of quasistatic contact problems of

interaction of an elastic sphere and an elastic half-space made from the same and

different materials, as well as interaction of cylindrical punches with an elastic

half-space. A numerical solution for problem of identically elastic sphere and half-

space contact under action on the sphere of normal and tangential forces is

obtained. Influence of loading history account on distribution of tangential contact

stresses is studied. It was found that known R.D. Mindlin’s solution of this

problem corresponds to loading of sphere by sequential action of monotonically

increasing normal and tangential forces. A numerical solution of contact problem

of interaction of an elastic sphere and an elastic half-space made of different

materials is obtained. Combined loading of the sphere by sequentially increasing

normal and tangential loads and a complex history of normal loading with

incomplete unloading were studied. A numerical solution of contact problem of a

cylindrical punch with a flat base monotone indentation into an elastic half-space is

obtained. A numerical experiment found that the contact problem can be solved in

a static setting. A numerical solution of quasistatic contact problem of a cylindrical

punch with a curved base monotone indentation into an elastic half-space is

obtained. Static setting conditions for this contact problem are obtained.

A numerical solution of the quasistatic contact problem of a cylindrical punch with

a flat base and an elastic half-space interaction under a complex normal loading

with an unloading phase is obtained.

Comparison of obtained solutions with known solutions of these contact

problems confirms the validity of the hypothesis of loading conditions perturbation

and the correctness of based on this hypothesis method for solving considered class

of contact problems.

The practical value and scientific significance of the thesis lies in the

possibility of applying the developed method and created on its basis software

packages to perform calculations for strength and rigidity in engineering, transport,

construction, and in the possibility of solving various contact problems that have

applied and national economic significance.

8

Key words: elastic body, contact problem, Coulomb friction, loading history,

integral equation, numerical solution, iterative process.

АННОТАЦИЯ

Стреляев Ю.М. Решение контактных задач о взаимодействии упругих

тел с учетом трения Кулона в квазистатической постановке. –

Квалификационная научная работа на правах рукописи.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-

математических наук по специальности 01.02.04 «Механика деформируемого

твердого тела» (01 – физико-математические науки). – Запорожский

национальный университет Министерства образования и науки Украины,

Запорожье, 2017.

В диссертации разработан метод приближенного решения трехмерных

квазистатических контактных задач о взаимодействии упругих тел с учетом

трения и истории внешнего нагружения при неизвестной области контакта и

неизвестной границе зон сцепления и проскальзывания.

Разработанный метод основывается на новой постановке

квазистатической контактной задачи о взаимодействии двух упругих тел с

учетом трения Кулона, которая отличается от классической постановки такой

задачи. В предложенной постановке задачи используется оригинальная

гипотеза о возможности малого возмущения условий процесса нагружения

взаимодействующих тел в квазистатических контактных задачах теории

упругости с учетом трения Кулона. На основе этой гипотезы граничные

условия контактного взаимодействия тел на каждом шаге дискретного

процесса нагружения выражены в виде системы равенств и неравенств.

Полученные граничные условия являются модификацией граничных условий

квазистатической контактной задачи в классической постановке.

Механический смысл этой модификации заключается во введении малого

9

запаздывания действия нормальных контактных напряжений относительно

касательных контактных напряжений на каждом шаге нагружения.

Правомерность принятой модификации постановки контактной задачи

подтверждена известными данными и численными расчетами.

Квазистатическая контактная задача в модифицированной постановке

сведена к последовательному решению на каждом шаге нагружения системы

нелинейных граничных интегральных уравнений. Полученные уравнения

являются качественно новыми, по сравнению с известными интегральными

уравнениями, используемыми для описания контактного взаимодействия

упругих тел. Эти уравнения характеризуются тем, что их вид не зависит от

конфигурации зон раздела граничных условий контактной задачи.

Для составления таких уравнений необходимо лишь указать каноническую

ограниченную плоскую область, которая включает в себя неизвестные

участки контакта на всех этапах процесса нагружения тел.

При естественных свойствах упругих материалов взаимодействующих

тел доказан факт единственности решения рассматриваемой контактной

задачи.

Разработан метод численного решения полученных систем нелинейных

граничных интегральных уравнений. Разработанный метод включает в себя

следующие этапы: регуляризация (в смысле А.Н. Тихонова) интегральных

уравнений, описывающих контактное взаимодействие на каждом шаге

нагружения; построение схемы дискретизации регуляризированных

уравнений, которая гарантирует близость приближенного решения

дискретизированных уравнений к точному решению контактной задачи;

построение итерационного процесса для решения дискретизированных

уравнений контактной задачи и доказательство сходимости этого процесса.

Апробация разработанного метода выполнена путем его применения

для получения приближенного решения контактной задачи о взаимодействии

с трением шара и полупространства, изготовленных из различных упругих

материалов. На основе анализа полученных результатов и сравнения этих

10

результатов с решением соответствующей осесимметричной задачи,

приведенным в монографии К. Джонсона, и другими известными данными

можно сделать вывод о корректности разработанного метода. Этот вывод

можно также сделать, опираясь на строгое математическое обоснование

основных этапов предложенного метода.

Разработанный метод был применен к решению квазистатических

контактных задач о взаимодействии упругого шара и упругого

полупространства, изготовленных из одинаковых и различных материалов, а

также о взаимодействии цилиндрических штампов с упругим

полупространством. Для случая одинаковых упругих материалов шара и

полупространства получены численные решения контактной задачи при

различных историях приложения к шару нормальной и касательной нагрузок.

Установлено, что решение рассматриваемой задачи зависит от истории

нагружения и совпадает с приближенным аналитическим решением

Р.Д. Миндлина этой задачи только при условии, что история нагружения

состоит из двух последовательных монотонных этапов: этапа возрастания

нормальной силы и последующего этапа возрастания касательной силы. Для

случая различных упругих материалов шара и полупространства получено

численное решение контактной задачи при сложном комбинированном

нагружении, состоящем из трех монотонных этапов последовательного

возрастания действующих на шар нормальной и касательных сил. Также для

этого случая получено численное решение контактной задачи при

немонотонном нагружении, которое состояло из начального этапа

монотонного вдавливания шара в полупространство и последующего этапа

неполной разгрузки. С помощью численного эксперимента установлено, что

задача о монотонном вдавливании цилиндрического штампа с плоской

подошвой в упругое полупространство может быть решенной в статической

постановке. Для квазистатической контактной задачи о вдавливании

цилиндрического штампа с криволинейной подошвой в упругое

полупространство получены условия, при выполнении которых эта задача

11

может считаться статической. Получено также численное решение

квазистатической контактной задачи о взаимодействии цилиндрического

штампа с плоской подошвой и упругого полупространства при сложном

нормальном нагружении, содержащем этап разгрузки.

Сравнение полученных решений контактных задач с их известными

решениями дает возможность сделать выводы о правомерности принятой

гипотезы об упрощении условий нагружения тел и корректность

разработанного на основе этой гипотезы метода решения квазистатических

контактных задач рассматриваемого класса.

Практическая ценность и научное значение результатов

диссертационной работы заключается в возможности применения

разработанного метода и созданных на его основе пакетов программ для

выполнения расчетов на прочность и жесткость в машиностроении,

транспорте, строительстве, а также в возможности решения различных

контактных задач, имеющих прикладное и народнохозяйственное значения.

Ключевые слова: упругое тело, контактная задача, трение Кулона,

история нагружения, интегральное уравнение, численное решение,

итерационный процесс.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Праці, в яких опубліковані основні наукові результати дисертації

1. Александров А.И., Стреляев Ю.М. Метод нелинейных граничных

интегральных уравнений для контактных задач теории упругости.

Восточно-Европейский журнал передовых технологий. 2014. №. 3 (7).

С. 36–40. (Index Copernicus, РИНЦ)

12

2. Стреляев Ю.М. Решение квазистатической контактной задачи теории

упругости с учетом трения. Вісник Запорізького національного

університету: Збірник наукових статей. Фізико-математичні науки.

2014. № 2. С.161–172.

3. Стреляев Ю.М. Задача о контакте упругих тел с учетом трения при

сложном нагружении. Вісник Запорізького національного

університету: Збірник наукових статей. Фізико-математичні науки.

2015. № 3. С. 255–265.

4. Стреляев Ю.М., Шупчинская К.С. Контактная задача о сжатии двух

упругих цилиндров с учетом трения Кулона. Вісник Запорізького

національного університету: Збірник наукових статей. Фізико-

математичні науки. 2016. № 1. С. 236–245.

5. Стреляев Ю.М. Метод нелинейных граничных интегральных

уравнений для решения квазистатической контактной задачи о

взаимодействии упругих тел при наличии кулонова трения. Вестник

Самарского государственного технического университета. Серия

Физико-математические науки. 2016. T. 20. № 2. С. 306–327. (Web of

Science RSCI, ВИНИТИ)

6. Стреляев Ю.М. Чисельний розв’язок задачі про контакт пружних тіл

під дією нормального і дотичного навантажень. Фізико-математичне

моделювання та інформаційні технології. 2016. Вип. 24. С. 100–110.

Праці, які засвідчують апробацію матеріалів дисертації

7. Стреляев Ю.М., Шупчинськая К.С. О единственности решения

контактной задачи теории упругости с учетом трения Кулона. Science

and Scientists: Збірник матеріалів Міжнародної міждисциплінарної

наукової конференції студентів, аспірантів і молодих вчених.

(Дніпропетровськ, 21–22 груд. 2015). Дніпропетровськ: GlobalNauka,

2015. С.112–114.

13

8. Стреляєв Ю.М., Поджарова А.В. Нелинейные интегральные уравнения

задачи о контакте упругих тел с учетом трения. Science and Scientists:

Збірник матеріалів Міжнародної міждисциплінарної наукової

конференції студентів, аспірантів і молодих вчених. (Дніпропетровськ,

21–22 груд. 2015). Дніпропетровськ: GlobalNauka, 2015. С. 114–117.

9. Поджарова Г.В., Стреляєв Ю.М. Нелінійне граничне інтегральне

рівняння контактної задачі Герца. Актуальні проблеми математики та

інформатики: Збірка тез доповідей Сьомої Всеукраїнської,

чотирнадцятої регіональної наукової конференції молодих дослідників.

(Запоріжжя, 28–29 квіт. 2016). Запоріжжя: ЗНУ, 2016. С. 62–63.

10. Шупчинська К.С., Стреляєв Ю.М. Розв’язання контактної задачі про

стискування з тертям двох пружних циліндрів. Актуальні проблеми

математики та інформатики: Збірка тез доповідей Сьомої

Всеукраїнської, чотирнадцятої регіональної наукової конференції

молодих дослідників. (Запоріжжя, 28–29 квіт. 2016). Запоріжжя: ЗНУ,

2016. С. 102–103.

11. Стреляев Ю.М. Об оптимальном выборе длительности временных

шагов нагружения в квазистатической контактной задаче с учетом

трения. Современные проблемы естественных наук: Тезисы докладов

международной конференции "Тараповские чтения – 2016". (Харьков,

1 – 15 марта 2016). Харьков: Изд-во "Цифровая типография №1", 2016.

С. 68–69.

Праці, які додатково відображають наукові результати дисертації

12. Александров О.І., Стреляєв Ю.М., Александров І.О. Вибрані питання

нелінійного функціонального аналізу і теорії операторів: навчальний

посібник для студентів освітньо-кваліфікаційних рівнів «магістр» і

«спеціаліст» спеціальності «Математика». Запоріжжя: ЗНУ, 2014. 73 с.

14

ЗМІСТ

ВСТУП ......................................................................................................... 16

РОЗДІЛ 1 ОГЛЯД МЕТОДІВ РОЗВ’ЯЗАННЯ КОНТАКТНИХ

ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ З УРАХУВАННЯМ ТЕРТЯ КУЛОНА... 23

1.1 Розвиток теорії контактних задач і точних методів їхнього

розв’язання .............................................................................................. 23

1.2 Чисельні методи розв’язання контактних задач теорії

пружності ................................................................................................ 27

1.3 Висновки до розділу 1 ..................................................................... 31

РОЗДІЛ 2 ПОСТАНОВКА КОНТАКТНОЇ ЗАДАЧІ................................. 33

2.1 Класична постановка квазістатичної задачі про контакт двох

пружних тіл за наявністю тертя Кулона між ними….......................... 33

2.2 Дискретизація процесу навантажування……………………….... 40

2.3 Гіпотеза про можливість малого збурення умов процесу

навантажування взаємодіючих тіл 43

2.4 Визначення напружень у внутрішніх точках тіл........................... 46

2.5 Виведення нелінійних інтегральних рівнянь контактної задачі... 49

2.6 Деякі факти з теорії гільбертових просторів ................................. 55

2.6.1 Гільбертів простір................................................................... 57

2.6.2 Оператори, що діють у гільбертовому просторі ................. 62

2.6.3 Проекційні оператори ........................................................... 66

2.6.4 Апроксимація елементів і операторів .................................. 71

2.7 Висновки до розділу 2 ..................................................................... 77

РОЗДІЛ 3 МЕТОД НАБЛИЖЕНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ

КВАЗІСТАТИЧНИХ КОНТАКТНИХ ЗАДАЧ З УРАХУВАННЯМ

ТЕРТЯ КУЛОНА........................................................................................... 79

3.1 Операторне рівняння контактної задачі …………………………. 79

3.2 Единість розв’язку задачі ………………........................................ 82

3.3 Регуляризація операторного рівняння задачі……………………. 83

15

3.4 Дискретизація регуляризованого рівняння задачі………………. 89

3.5 Ітераційний процес для розв’язання дискретизованого рівняння

контактної задачі ....................................................................................

96

3.6 Апробація методу розв’язання контактних задач ……................. 103

3.7 Висновки до розділу 3 ..................................................................... 106

РОЗДІЛ 4 РОЗВ’ЯЗАННЯ КВАЗІСТАТИЧНИХ КОНТАКТНИХ

ЗАДАЧ З УРАХУВАННЯМ ТЕРТЯ КУЛОНА І ІСТОРІЇ

ЗОВНІШНЬОГО НАВАНТАЖУВАННЯ................................................... 107

4.1 Взаємодія пружної кулі з пружним півпростором, матеріали

яких є однаковими…………………………………………………….. 107

4.1.1 Розв’язання задачі в статичній постановці……………….. 108

4.1.2 Комбіноване навантажування……..………………………. 113

4.1.3 Просте навантажування……………………………………. 114

4.1.4 Складне комбіноване навантажування……..…………….. 118

4.2 Контакт пружної кулі з пружним півпростором, матеріали яких

є різними………………………………….............................................. 120

4.2.1 Комбіноване монотонне навантажування............................ 121

4.2.2 Складне нормальне навантажування………….................... 126

4.3 Вдавлювання циліндричного штампа в пружний півпростір…... 131

4.3.1 Штамп з плоскою підошвою………………………………. 131

4.3.2 Штамп з «закругленням» на краю плоскої підошви……... 134

4.4 Взаємодія циліндричного штампа з пружним півпростором при

складному нормальному навантажуванні………………………...…. 138

4.5 Висновки до розділу 4 ..................................................................... 141

ВИСНОВКИ................................................................................................... 143

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ ..................................................... 145

Додаток А Список публікацій за темою дисертації та відомості про

апробацію результатів дисертації ………………………………………...

160

Додаток Б Акт впровадження результатів………………………….......... 164

16

ВСТУП

Актуальність теми. Задача про контактну взаємодію пружних тіл є

важливою задачею механіки деформівного твердого тіла і має широке

технічне застосування в машинобудуванні, транспорті, будівельній механіці

та інших галузях. Актуальність цієї задачі обумовлена питаннями міцності і

зносостійкості різних механічних систем і конструкцій. При визначені

контактних напружень у взаємодіючих елементах таких систем часто

виникає необхідність враховувати тертя між контактуючими поверхнями цих

елементів. Для врахування тертя в контактних задачах теорії пружності, як

правило, використовують закон Кулона. Складність таких задач пов’язана з

тим, що поверхня контакту і виникаючі на ній зони зчеплення і

проковзування заздалегідь невідомі і можуть мати складну непрогнозовану

форму. Ці обставини призводять до необхідності використання геометричних

та фізичних нелінійностей при формулюванні таких задач, що істотно

ускладнює отримання їх аналітичних розв’язків. Тому для отримання

контактних напружень в подібних випадках доводиться використовувати

різні наближені методи, кожен з яких, як правило, не є універсальним, а

застосовується лише до певного типу граничних умов.

На наш час значну кількість відомих в літературі аналітичних і

чисельних розв’язків контактних задач з урахуванням тертя отримано для

задач в статичній постановці. Недоліком такої постановки задачі є

неможливість врахування історії зовнішнього навантажування взаємодіючих

тіл, яка може істотно впливати на розподіл контрактних напружень за умови

наявності тертя.

Таким чином, розробка методу наближеного розв’язання контактних

задач з урахуванням тертя Кулона, який дозволяв би враховувати історію

навантажування тіл, є актуальною в теоретичному та прикладному

відношеннях.

17

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційне дослідження проведено на кафедрі фундаментальної

математики Державного вищого навчального закладу «Запорізький

національний університет» Міністерства освіти і науки України у рамках

науково-дослідної роботи за держбюджетною темою «Квазістатичні

контактні задачі про взаємодію пружних тіл при наявності тертя»

(№ державної реєстрації 01116U008682), яка виконувалась в межах

основного робочого часу викладачів.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є розробка метода

наближеного розв’язання широкого класу задач про контактну взаємодію

лінійно-пружних тіл з урахуванням тертя, який на відміну від відомих

методів, дозволяє з єдиних позицій розглядати різні випадки контактування

тіл (що відповідають різним типам граничних умов і історій навантажування)

за рахунок використання для опису контактної взаємодії тіл єдиного

математичного об’єкту – нелінійного операторного рівняння, вигляд якого не

залежить від кожного конкретного випадку контактування.

Розробка такого методу включає в себе наступні етапи:

модифікація граничних умов квазістатичної контактної задачі

шляхом введення малого загаювання дії нормальних контактних напружень

відносно дотичних контактних напружень;

виведення нелінійних інтегральних рівнянь контактної взаємодії

пружних тіл на кожному кроці навантажування;

регуляризація цих інтегральних рівнянь;

дискретизація регуляризованих інтегральних рівнянь;

побудова ітераційного процесу для розв’язання дискретних аналогів

нелінійних інтегральних рівнянь і доведення збіжності цього процесу;

порівняння отриманих результатів розв’язання різних контактних

задач з відомими розв’язками цих задач і з експериментальними даними.

18

Об’єктом дослідження є напружено-деформований стан лінійно-

пружних тіл, що перебувають в умовах контактної взаємодії.

Предметом дослідження є новий ефективний підхід для визначення

контактних напружень у деформованих тілах в умовах квазістатичного

процесу навантажування.

Методи дослідження. Для розв’язання просторових контактних задач

теорії пружності з урахуванням тертя застосовано:

метод межових нелінійних інтегральних рівнянь з використанням

лінійних операторів впливу поверхневих контактних напружень на

поверхневі пружні зміщення тіл;

метод граничних елементів;

методи наближеного обчислення інтегралів;

ітераційний метод розв’язання систем нелінійних скалярних рівнянь

з багатьма невідомими;

методи нелінійного функціонального аналізу та теорії операторів,

діючих у гільбертовому просторі.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

запропоновано нову гіпотезу для постановки квазістатичних

контактних задач з урахуванням тертя Кулона, яка дозволила створити і

математично формалізувати новий метод розв’язання цих задач;

запропонованим методом отримано розв’язки конкретних

контактних задач, співставлення яких з іншими відомими розв’язками цих

задач свідчать про правомірність гіпотези, покладеної в основу розробленого

методу;

отримано системи нелінійних інтегральних рівнянь, що описують

контактну взаємодію лінійно-пружних тіл на кожному кроці дискретного

процесу їх навантажування;

при природних властивостях пружних матеріалів взаємодіючих тіл

доведено єдиність розв’язку розглянутої контактної задачі;

19

виконано регуляризацію (в сенсі А.Н. Тихонова) отриманих систем

інтегральних рівнянь;

здійснено дискретизацію регуляризованих систем інтегральних

рівнянь, яка гарантує близькість розв’язку дискретизованої системи до

розв’язку тої системи, що дискретизується;

доведено збіжність ітераційного процесу, що застосовується для

отримання наближеного розв’язку дискретних аналогів регуляризованих

систем інтегральних рівнянь на кожному кроці навантажування;

досліджено вплив історії прикладання зовнішніх зусиль на

розв’язок квазістатичної контактної задачі про взаємодію пружної кулі і

пружного півпростору при різних умовах їх нормального і дотичного

навантажень за наявністю тертя Кулона;

для квазістатичної контактної задачі про вдавлювання

циліндричного штампа з криволінійною підошвою у пружний півпростір

отримано умови, при виконання яких ця задача може вважатися статичною.

Практичне значення одержаних результатів. Практична цінність та

наукове значення результатів роботи полягає в можливості застосування

розробленого методу і створених на його основі пакетів програм для

виконання розрахунків на міцність та жорсткість у машинобудуванні,

транспорті, будівництві, а також у можливості розв’язання різних контактних

задач, що мають прикладне та народногосподарське значення.

Вірогідність наукових положень і висновків дисертаційної роботи

забезпечується коректною математичною постановкою розглянутих задач,

строгим обґрунтуванням використаних методів дослідження, узгодженістю

наукових результатів із відомими з літератури даними.

Особистий внесок здобувача.

Запропоновано модифікацію закону тертя Кулона в постановці

квазістатичної контактної задачі про фрикційну взаємодію двох пружних тіл.

20

Отримано серію систем нелінійних інтегральних рівнянь, що

описують контактну взаємодію тіл на кожному кроці дискретного процесу їх

навантажування при заздалегідь невідомих на кожному кроці ділянках

контакту.

Доведено єдиність розв’язку отриманих систем нелінійних

інтегральних рівнянь.

Побудовано регуляризовані аналоги отриманих систем.

Виконано дискретизацію регуляризованих систем.

Запропоновано збіжний ітераційний процес для наближеного

розв’язання дискретних аналогів регуляризованих систем.

Отримано чисельні розв’язки різних задач про контакт пружних тіл

з урахування тертя і історії навантажування тіл.

За темою дисертації опубліковано 12 робіт [1-12]. Основні результати

дисертаційної роботи отримано здобувачем самостійно. Науковому керівнику

Александрову О.І. належить визначення тематики досліджень, ідеї щодо

постановки квазістатичної контактної задачі про взаємодію пружних тіл з

урахуванням тертя Кулона, участь у обговоренні результатів. У працях,

написаних у співавторстві, дисертант брав участь у постановці задач,

обґрунтуванні запропонованих підходів, розробці алгоритмів та програм їх

чисельної реалізації, чисельних розрахунках та інтерпретації результатів.

Зокрема, у роботі [1] автор розробив чисельні алгоритми і програми, виконав

чисельні розрахунки та зробив їх аналіз. У працях [4, 7-10] дисертанту належать

результати, що стосуються постановки задачі, алгоритму її розв’язання, аналізу

та інтерпретації отриманих чисельних результатів. У роботі [12] автором

запропоновані деякі задачі і теореми.

Результати робіт [2, 3, 5, 6, 11] отримані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Окремі результати дисертаційної

роботи доповідалися та обговорювалися на наукових конференціях:

21

V Міжнародна науково-технічна конференція «Актуальні проблеми

прикладної механіки та міцності конструкцій» (м. Запоріжжя, 2015 р.);

Міжнародна міждисциплінарна наукова конференція студентів,

аспірантів і молодих вчених «Science and Scientists» (м. Дніпропетровськ,

2015 р.);

Міжнародна наукова конференція «Сучасні проблеми природничих

наук» («Тараповські читання – 2016») (м. Харків, 2016 р.);

VII Всеукраїнська, XIV регіональна наукова конференція молодих

дослідників «Актуальні проблеми математики та інформатики»

(м. Запоріжжя, 2016 р.).

Дисертація в цілому розглядалася на науковому семінарі «Актуальні

проблеми прикладної математики і механіки» Запорізького національного

університету під керівництвом д.т.н., професора В.З. Грищака (м. Запоріжжя,

2016 р.); на науковому семінарі відділу математичних проблем контактної

механіки Інституту прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом д.ф.-м.н., с.н.с.

Р.М. Мартиняка (м. Львів, 2016 р.); на науковому семінарі «Актуальні проблеми

механіки деформівних тіл і конструкцій» Дніпропетровського національного

університету ім. Олеся Гончара при Придніпровському центрі та науковій раді з

механіки деформівного твердого тіла НАН України під керівництвом члена-

кореспондента НАНУ д.т.н., професора В.С. Гудрамовича та заслуженого діяча

науки і техніки д.т.н., професора А.П. Дзюби (м. Дніпропетровськ, 2016 р.).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 12 наукових праць [1-12]:

6 статей, в яких викладені основні наукові результати дисертації (2 статті [1, 5]

у міжнародних журналах, що індексуються в базах Index Copernicus, Web of

Science RSCI, 4 статті [2-4, 6] у фахових журналах з переліку, затвердженому

МОН України, 5 тез доповідей у збірниках праць наукових конференцій [7-11],

які засвідчують апробацію матеріалів дисертації; один навчальний посібник

[12], в якому додатково відображено наукові результати дисертації. Окремо

список публікацій за темою дисертації наведено в додатку А.

22

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі

вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел (151

джерело на 15 сторінках), 27 рисунків, 2 таблиць, 2 додатків. Загальний обсяг

дисертації становить 164 сторінки.

23

РОЗДІЛ 1

ОГЛЯД МЕТОДІВ РОЗВ’ЯЗАННЯ КОНТАКТНИХ ЗАДАЧ

ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ З УРАХУВАННЯМ ТЕРТЯ КУЛОНА

В цьому розділі представлено огляд основних напрямів досліджень у

механіці контактної взаємодії пружних тіл. Розглянуто роботи, які

присвячені вивченню статичних і квазістатичних контактних задач теорії

пружності як без урахування, так і з урахуванням тертя. Наведено основні

результати, щодо питання існування та єдиності розв’язку контактних задач.

Описано основні точні і наближені методи, які використовуються в наш час

для розв’язання контактних задач про фрикційну взаємодію пружних тіл.

Виконано аналіз основних підходів до дослідження впливу історії

прикладання зовнішнього навантаження при розв’язанні контактних задач з

урахуванням тертя Кулона. Розглянуто постановку квазістатичної контактної

задачі з урахуванням тертя і наведено аналіз основних числових алгоритмів,

що застосовуються до отримання її наближеного розв’язку.

1.1 Розвиток теорії контактних задач і точних методів

їх розв’язання

Контактна задача, або задача визначення напружено-деформованого

стану взаємодіючих тіл, що знаходяться під навантаженням, являє собою

один з найбільш складних розділів механіки деформівного твердого тіла.

Значну частину досліджень в області контактної механіки виконано для

випадків, у яких взаємодіючі тіла є пружними [13–44]. Ці дослідження в

основному присвячені вивченню статичних і стаціонарних контактних задач.

24

Значний внесок у розвиток теорії контактних задач, а також у розробку

точних і наближених аналітичних методів їхнього розв’язання внесли

H. Hertz [13], А.Н. Динник [14], F.W. Carter [15], C. Cattaneo [16],

R.D. Mindlin [17], Л.О. Галін [18], І.Я. Штаєрман [19], М.І. Мусхелишвілі

[20], D. Spence [21, 22], І.І. Ворович [23], В.М. Сеймов [24],

М.О. Кильчевський [25], В.Л. Рвачов [26], В.І. Моссаковський [27, 28],

J.J. Kalker [29-31], А.А. Спектор [32, 33], О.С. Кравчук [34-36], Г.Я. Попов

[37], Е.І. Григолюк [38], В.М. Александров [23, 39, 40], С.М. Мхитарян [39],

Б.О. Галанов [41], К.Л. Джонсон [42], та інші дослідники, дослідження яких

увійшли до оглядів [43, 44].

Серед українських дослідників, які розвинули теорію контактних задач,

слід відмітити роботи: В.Д. Кубенка [45], який досліджував нестаціонарні

контактні задачі; О.М. Гузя, В.Б. Рудницького [46, 47], які розглядали

контактні задачі для пружних тіл з початковими напруженнями; В.І. Острика,

А.Ф. Улітка [48-50], які застосовували до розв’язання контактних задач

узагальнений метод Вінера-Хопфа; Р.М. Мартиняка [51-57], який дослідив

фрикційну контактну взаємодію тіл з узгодженими поверхнями, що мають

локальні нерівності; В.І. Пожуєва, Т.А. Зайцевої [58, 59], які вивчили

контактні задачі для штампів некругової форми; В.І. Кузьменка,

Г.Й. Михальчука [60-62], які розглядали контактні задачі руху пружних тіл

при некласичних умовах контактної взаємодії; О.І. Александрова [63-66],

яким запропоновано метод нелінійних межових інтегральних рівнянь для

розв’язання широкого кола контактних задач, в яких є відомими оператори

впливу поверхневих навантажень на поверхневі пружні переміщення.

Серед досліджень останніх років в області контактних задач з

врахуванням тертя слід відмітити роботи таких вчених, як В.І. Острик [67-

69], O.I. Жупанська [70], Д.О. Пожарський [71, 72], М.І. Чебаков [73, 74]

S. Reina [75], N. Sundaram [76], C.H. Liu [77], M. Ciavarella [78] та інших

дослідників [79-82].

25

Перші дослідження, які заклали теоретичний фундамент механіки

контактної взаємодії, були виконані німецьким фізиком Генріхом Рудольфом

Герцем наприкінці XIX сторіччя [13]. Займаючись дослідженням

ньютонівських оптичних інтерференційних кілець, які утворюються при

контакті двох скляних лінз, Герц дослідив вплив пружної деформації,

обумовленої наявністю контактного тиску. Герц вперше висунув гіпотезу, що

ділянка контакту має еліптичну форму і отримав формули для розподілу

контактних тисків на ній. Теорія Герца [42] пройшла перевірку часом і добре

описує статичні задачі про нормальний контакт абсолютно гладких лінійно

пружних тіл, обмежених поверхнями другого порядку, в припущенні, що

поверхня контакту мала в порівнянні з радіусами кривини контактуючих

поверхонь.

Подальші теоретичні дослідження в області контактних задач велися в

основному в двох напрямах: обґрунтування існування та єдиності розв’язку

контактної задачі [83-92, 32, 34, 41, 64], а також отримання аналітичних

розв’язків контактних задач, які виходять за рамки теорії Герца [16-28].

Відмітимо деякі важливі результати, щодо питання існування розв’язку

контактної задачі теорії пружності. Г. Фікера [83] довів теорему існування та

єдиності розв’язку для статичних контактних задач про взаємодію лінійно-

пружних тіл без тертя при невідомій поверхні контакту. А.А. Спектор довів

теорему про існування розв’язку контактних задач про стаціонарне кочення

лінійно-пружних тіл з урахуванням тертя [32]. О.І. Александров [64, 91, 92]

отримав оригінальну достатню умову єдиності розв’язку статичної

контактної задачі з урахуванням тертя Кулона, яка визначається виключно

пружними властивостями взаємодіючих тіл незалежно від їх конфігурації та

умов навантаження. Питання існування розв’язків статичних контактних

задач про взаємодію лінійно-пружних тіл із тертям розглядалися також в

роботах G. Duvaut [84, 87], I. Hlavaček, J. Haslinger, J. Nécas [85, 88],

П. Панагіотопулоса [86], О.С. Кравчука [34], I.T. Oden, L. Demkowicz,

E.B. Pires [89, 90], P. Ballard, J. Jarušek [93]. Автором цієї дисертації

26

запропонована модифікація закону тертя Кулона в квазістатичній контактній

задачі, яка дозволила довести єдність її розв’язку [5]. Слід зазначити, що

питання існування та єдиності розв’язку контактної задачі з тертям Кулона є

досить складним і, незважаючи на зусилля багатьох дослідників, в

загальному вигляді залишається не вирішеним.

Суттєвий недолік теорії Герца полягає в нехтуванні тертям, що виникає

між контактуючими поверхнями тіл. При моделюванні контактної взаємодії

пружних тіл з урахуванням тертя зазвичай використовується закон Кулона

[30]. Складність контактних задач, в яких враховується тертя між

поверхнями взаємодіючих тіл, обумовлена в основному тим, що поверхня

контакту, зони проковзування та зчеплення заздалегідь невідомі, а розподіл

контактних тисків на цій поверхні найчастіше не може бути визначений

незалежно від дотичних контактних напружень. Ці обставини обмежують

можливості використання традиційних методів аналізу для розв’язання

контактних задач з урахуванням тертя.

Розвиток аналітичних методів розв’язання контактних задач з

урахуванням тертя почався з двадцятих років ХХ сторіччя. В цьому напрямку

виконано дослідження F.W. Carter [15], C. Cattaneo [16], R.D. Mindlin [17],

Л.О. Галіна [18], І.Я. Штаєрмана [19], М.І. Мусхелишвілі [20], K.L. Johnson,

P.J. Vermeulen [42, 94-96], В.І. Моссаковського [28, 97, 98].

Незалежно один від одного C. Cattaneo [16] та R.D. Mindlin [17]

отримали розв’язок задачі про взаємодію ідентично пружних тіл під дією

нормальних і дотичних навантажень при наявності зчеплення і

проковзування. Л.О. Галін [18] вперше отримав розв’язок плоскої задачі про

вдавлення жорсткого прямокутного штампу в пружну півплощину при

невідомих заздалегідь зоні зчеплення і зоні проковзування. Л.О. Галін

дослідив відносні розміри зони зчеплення в залежності від коефіцієнта тертя.

Задачі про стаціонарне кочення тіл і осесиметричні контактні задачі при

невідомих ділянках контакту і зонах зчеплення розглядались в роботах

27

F.W. Carter [15], В.І. Моссаковського [28, 97, 98], K.L. Johnson, P.J. Vermeulen

[94, 95]

При використанні закону тертя Кулона в класичній формі [42]

природно очікувати, що розподіл контактних напружень істотно залежить від

історії прикладання зовнішнього навантаження. Спроби врахувати історію

навантажування при фрикційній взаємодії пружних тіл робилися в роботах

[52, 98-100] за певних обмежень на умови контакту тіл. Автори цих робіт

розглядали плоскі і осесиметричні задачі. В.Т. Грінченко, А.Ф. Улітко [99]

дослідили роль історії навантажування на прикладі задачі про контакт двох

ідентичних пружних дисків під дією простого навантажування, коли

нормальні зусилля і крутний момент, що діють на диски, зростають

одночасно з постійним коефіцієнтом пропорційності. Врахування історії

навантажування при взаємодії сферичних тіл за умов повного зчеплення

здійснено в роботі В.І. Моссаковського [98] за допомогою інкрементального

підходу. В роботах Р.М. Мартиняка, Н.І. Маланчук [52, 100] проаналізовано

вплив історії навантаження на контактні напруження двох пружних тіл з

узгодженими поверхнями, що мають локальні нерівності, при їх

послідовному [100] і пропорційному [52, 100] навантажуванні стискальними і

зсувними зусиллями. Просторові контактні задачі про фрикційну взаємодію

пружних тіл при більш загальних умовах контакту і більш складних законах

навантажування вивчено мало.

1.2 Чисельні методи розв’язання контактних задач теорії пружності

Поява у середині ХХ сторіччя електронно обчислювальних машин та

постійний і стрімкий ріст можливостей комп’ютерної техніки зумовили

активне використання чисельних методів для отримання наближених

розв’язків різних контактних задач теорії пружності. Застосування чисельних

28

методів дозволило розв’язувати такі контактні задачі, для яких отримання

наближених аналітичних розв’язків є практично неможливим внаслідок

складних геометричних і фізичних особливостей взаємодіючих пружних тіл

та непростих умов їхнього контактування. Чисельним методам наближеного

розв’язання різних контактних задач теорії пружності присвячена велика

кількість робіт [1-6, 7, 29, 33, 35, 37, 40, 66, 71-77, 79, 81, 101-138].

Контактним задачам без урахування тертя та розробці чисельних

методів їхнього розв’язування присвячені роботи [101-110]. Серед перших

ефективних чисельних алгоритмів розв’язання контактних задач слід

відмітити роботу В.М. Фрідмана – В.С. Черниної [101], які запропонували

ітераційний процес для розв’язання задачі про контакт пружних тіл у

скінченному числі точок при відомій матриці впливу зусилля на відносний

прогин у точках контакту. Також високою ефективністю відзначаються

алгоритми запропоновані Paczelt I. [103], А. Francavilla – О. Zienkiewicz [105],

Є.А. Нігіної [107], B. Paul – J. Hashemi [110], які побудовані на основі

підходу, при якому форма невідомої ділянки контакту покроково

уточнюється. Також слід відмітити варіаційний метод J.J. Kalker [29] і

алгоритми, в яких контактна задача зводиться до задачі квадратичного

програмування [102, 104, 106].

Статичні і квазістатичні контактні задачі з урахуванням тертя Кулона

розглядалися в роботах [1-6, 35, 37, 111-137]. Авторами цих робіт розроблено

різні чисельні алгоритми та отримано наближені розв’язки різних складних

задач, у тому числі й таких, в яких поверхня контакту та розподіл тисків на

ній неможливо знайти незалежно від дотичних контактних напружень.

Насамперед слід відмітити результати, отримані А.А. Спектором [33],

R. Gaertner [118], N. Okamoto, М. Nakazawa [119], В.І. Кузьменко [120],

О.С. Кравчуком [35, 133], L.T. Campos, J.T. Oden, N. Kikuchi [122], L.M. Keer,

N. Ahmadi, T. Mura [123], С.Y. Lee [129], C. H. Liu, Yih-Hong Lin, Po-Hsuan

Lin [77], T. Ligurský, J. Haslinger, R. Kučera [134], X. Li, L. Liang, S. Wu [136],

29

які добре демонструють ефективність чисельного аналізу при неможливості

отримання аналітичних розв’язків поставлених задач.

Дуже часто для наближеного розв’язання контактних задач з

урахуванням тертя використовуються чисельні методи, засновані на як на

варіаційній постановці задачі [30, 32-36, 90] (огляд цих методів наведено в

роботі О.С. Кравчука [36]), так і на зведенні задачі до різних операторних

рівнянь [1-6, 63-66, 71-74, 76, 109, 132]. Важкість реалізації варіаційних

методів, яка полягає в необхідності розглядати складні задачі нелінійного

програмування з недиференційовною та неопуклою функцією енергії

системи взаємодіючих тіл [34, 66, 86] (що підлягає мінімізації), іноді не дає

можливість отримати наближений розв’язок задачі з бажаною точністю [133].

Однак зазначена складність не виникає при реалізації методів, заснованих на

використанні нелінійних інтегральних рівнянь для моделювання контактної

взаємодії тіл. Серед відомих спроб використання нелінійних граничних

інтегральних рівнянь в контактній механіці особливо слід відмітити роботи

Б.О. Галанова [41, 109], який розглядає контактні задачі без урахування тертя

при невідомій ділянці контакту, а також роботу В.М. Александрова,

Д.О. Пожарського [132], в якій врахування тертя здійснюється при

спрощених граничних умовах, що відповідають повному прослизанню тіл.

Метод нелінійних граничних інтегральних рівнянь, запропонований

О.І. Александровим [63-66], дозволяє використовувати закон тертя Кулона в

неспрощеному класичному вигляді, але при цьому важко виразити умову

єдиності розв’язку контактної задачі, виконати регуляризацію отриманих

інтегральних рівнянь, а також довести збіжність ітераційних процесів, які

використовуються для отримання розв’язку задачі.

При розв’язанні квазістатичних контактних задач процес

навантажування тіл зазвичай представляється достатньо великою скінченною

кількістю послідовних станів рівноваги (кроків навантажування) [1, 3, 5, 6,

35, 133]. Перевага квазістатичної постановки для контактних задачах з

урахуванням тертя полягає в тому, що багатокрокова процедура дозволяє

30

дослідити еволюцію областей контакту, зон зчеплення і проковзування,

більш точно визначити дотичні контактні напруження, а також дає

можливість розглядати різні історії прикладання зовнішніх зусиль, в тому

числі складні навантажування, що має суттєве значення при врахуванні

тертя. Ефективні чисельні алгоритми розв’язання квазістатичних контактних

задач запропонували N. Okamoto, M. Nakazawa [119], А.В. Вовкушевский,

Б.А. Шойхет [121], О.С. Кравчук [35, 133], О.І. Александров [1], N. Pop, H.

Cioban, A. Horvat-Marc [138]. В роботах [35, 133] зазначається, що при

реалізації варіаційних методів розв’язання квазістатичних контактних задач з

урахуванням тертя Кулона виникають труднощі, пов’язані з повільною

збіжністю ітераційних процедур і залежністю точності отриманих

результатів від вдалого вибору початкового наближення. Вказані обставини

призводять до значних обчислювальних затрат і накладають суттєві

обмеження на число кроків навантажування, що іноді не дозволяє отримати

розв’язок задачі з достатньою точністю і обмежує можливості варіаційного

методу при розгляді складних історій навантажування.

Для розв’язання просторових квазістатичних контактних задач з

урахуванням тертя автором цієї дисертації запропоновано метод [2, 3, 5, 6],

який заснований на новій модифікації граничних умов квазістатичної

контактної задачі. В результаті цієї модифікації задача визначення

контактних напружень на кожному кроці навантажування зводиться до

якісно нових нелінійних граничних інтегральних рівнянь, для яких вдалося

строго обґрунтувати метод їх наближеного розв’язання [5]. Відзначимо, що

вигляд отриманих рівнянь не залежить від форми областей контакту, зон

зчеплення та проковзування; для того щоб їх записати потрібно лише вказати

обмежену канонічну плоску область, яка покриває собою невідомі

заздалегідь ділянки контакту на всіх етапах навантажування. Для

наближеного розв’язання дискретних аналогів нелінійних інтегральних

рівнянь на кожному кроці навантажування використовується ітераційний

процес, збіжність якого доведено в роботі [2]. Перевага розробленого методу,

31

в порівнянні з варіаційним методом [35, 133], полягає в тому, що

використовувані на кожному кроці навантажування ітераційні процеси мають

високу швидкість збіжності, яка не залежить від початкового наближення.

Вказана перевага дозволяє за допомогою розробленого методу отримувати

наближені розв’язки широкого класу контактних задач з достатньо високою

точністю при невеликих обчислювальних затратах навіть при складних

багатокрокових історіях навантажування [3], в тому числі немонотонних

навантаженнях [5, 6], які включають в себе етапи навантажування і

розвантажування.

1.3 Висновки до розділу 1

Аналіз досліджень в теорії контактних задач з урахуванням тертя та

методів їх розв’язання, який здійснено у цьому розділі, дозволяє зробити

наступні висновки:

– аналітичні розв’язки просторових контактних задач з урахуванням

тертя Кулона отримані лише в невеликій кількості випадків;

– більшість відомих аналітичних розв’язків контактних задач про

фрикційну взаємодію пружних тіл отримані для задач в статичній постановці

і не враховують історію прикладання зовнішніх зусиль;

– для успішного та всебічного розвитку теорії фрикційних контактних

задач необхідно розвивати чисельні методи розв’язання таких задач як у

статичній так і квазістатичній постановках;

– переважна більшість відомих чисельних методів розв’язання

контактних задач лінійної теорії пружності з урахуванням тертя Кулона

заснована на класичній та варіаційній постановках цих задач, має певні

труднощі програмної реалізації і майже не використовує сучасних досягнень

нелінійного аналізу, в таких його розділах, як теорія операторів, наближені

32

методи розв’язання операторних рівнянь, теорія нерухомих точок

неперервних відображень;

– відомо небагато наближених методів розв’язання квазістатичних

контактних задач з урахуванням тертя, заснованих на використанні

нелінійних граничних інтегральних рівнянь для моделювання контактної

взаємодії тіл, і розробка нового строго математично обґрунтованого методу

даного класу може доповнити коло відомих методів розв’язання таких задач.

33

РОЗДІЛ 2

ПОСТАНОВКА КОНТАКТНОЇ ЗАДАЧІ

В даному розділі наведено постановку квазістатичної контактної задачі

про взаємодію пружних тіл з урахуванням тертя Кулона у вигляді рівностей і

нерівностей. Виконано дискретизацію процесу навантажування.

Запропоновано гіпотезу про можливість малого збурення умов

навантажування тіл, в результаті якої задачу зведено до серії систем

нелінійних граничних інтегральних рівнянь, що підлягають послідовному

розв’язанню. Обґрунтовано вибір функціональних просторів, в яких слід

шукати розв’язки отриманих рівнянь, а також розглянуто та обґрунтовано

деякі факти теорії гільбертових просторів, що необхідні для розробки метода

наближеного розв’язання цих рівнянь.

Основні результати цього розділу опубліковані в роботах [2, 4, 5].

2.1 Механічна постановка задачі

Розглянемо просторову контактну задачу про взаємодію двох пружних

тіл. Будемо вважати, що для взаємодіючих тіл виконано наступні умови:

тіла лінійно-пружні, ізотропні;

пружні переміщення точок взаємодіючих тіл малі в порівнянні з

розмірами поверхні контакту;

геометрична поверхня кожного з тіл така, що будь-яка точка цієї

поверхні, що лежить в зоні можливого контакту, є регулярною [139] (в цій

точці існує єдина дотична площина до поверхні);

для контактуючих тіл є відомими оператори впливу поверхневого

навантаження на пружні поверхневі переміщення.

34

Припустимо, що кожне з тіл жорстко зчеплене на деякій частині своєї

поверхні з абсолютно твердим тілом, яке будемо називати опорою. Будемо

вважати, що контактуючі тіла в початковий момент часу знаходяться у

недеформованому і ненапруженому стані та дотикаються одне до одного в

одній точці. Визначимо процес навантажування тіл. Нехай тіла входять в

контакт за рахунок того, що під дією невідомого заздалегідь зовнішнього

навантаження, що змінюється у часі, опора першого тіла здійснює задане

залежне від часу t переміщення tγ , а опора другого тіла залишається

нерухомою (рис. 2.1). Припустимо, що процес контактування тіл

супроводжується поверхневим тертям, що описується законом Кулона [30].

Вважаючи, що вектор tγ повільно змінюється при зміні часу t від 0 до

фіксованого значення T , будемо нехтувати інерційними і хвильовими

ефектами, тобто будемо вважати, що в будь-який фіксований момент часу

Tt ,0 тіла знаходяться у стані рівноваги. Розглянемо умови контактної

взаємодії тіл в фіксований момент часу 0t . Будемо вважати, що в процесі

навантажування, спричиненого переміщенням tγ , тіла деформуються і

утворюється поверхня контакту. Будемо ще вважати, що розміри поверхні

контакту малі у порівнянні з розмірами контактуючих тіл і з мінімальним

радіусом кривини їх поверхонь в початковій точці дотику. За останніх

припущень можна вважати, що в будь-який момент 0t невідома наперед

поверхня контакту тіл є плоскою і належить обмеженій області на спільній

для обох тіл дотичній площині , яка проходить через точку їхнього

початкового дотику. Тобто у якості можна обирати довільну обмежену

плоску область на (у тому числі і канонічну), про яку лише відомо, що

вона містить у собі усі можливі при обраному навантажуванні ділянки

дотику тіл в кожний момент часу Tt ,0 . Для кожної точки s області

визначимо пару точок 1s і 2s поверхонь першого та другого тіла відповідно,

що лежать на прямій, яка проходить через точку s перпендикулярно до

площини . Будемо вважати, що точка 1s може увійти до контакту лише з

35

точкою 2s . Виберемо пов’язану з другим тілом декартову систему координат

xyz , таким чином, що її початок знаходиться у точці початкового контакту

тіл, а вісь z напрямлена у бік першого тіла перпендикулярно площині .

Введемо у розгляд дві вектор-функції tsptsptsptsp , ,, ,,, 321 і

tsvtsvtsvtsv , ,, ,,, 321 , що

Рисунок 2.1 – Схема контактної взаємодії пружних тіл

визначені для yxs , , Tt ,0 . Компоненти tsptsptsp , ,, ,, 321

вектор-функції tsp , є складовими питомого контактного навантаження, що

діють в момент часу t на перше тіло в точці s області , а компоненти

tsvtsvtsv , ,, ,, 321 вектор-функції tsv , визначають зміщення точки 1s

36

відносно точки 2s в напрямах координатних осей. Зауважимо, що тут і в

подальшому значення індексів 1, 2, 3 компонент всіх вектор-функцій

відповідають напрямам координатних осей OyOxOz , , відповідно. За умови

рівноваги в точці s питоме контактне навантаження, що діє в цій точці на

друге тіло, має складові tsptsptsp ,,, ,, 321 (див. рис. 2.1). Нехай

tttt 321 ,, γ , де ttt 321 , , є зміщення опори першого тіла

відносно опори другого тіла в напрямках осей OyOxOz , , (це означає

відсутність взаємного обертання опор). Позначимо символом s0 відому

невід’ємну функцію, що визначає початковий зазор між тілами (відстань між

точками 1s , 2s в момент часу 0t ). Якщо є відомими рівняння sz I ,

sz II поверхонь першого і другого тіла в ненапруженому стані, то

sss III 0 .

За умови рівноваги між тілами в момент часу t , відносні зміщення

tsvtsvtsv , ,, ,, 321 можна записати у вигляді [63]:

,,0 , ,,

,,

,,

3

3

1,33

2

3

1,22

3

110,11

TtstpAtsv

tpAtsv

tspAtsv

jtsjj

jtsjj

jtsjj

(2.1)

де ijA є лінійними операторами впливу поверхневих напружень на

поверхневі відносні пружні переміщення (для системи взаємодіючих тіл), які

за умови апроксимації взаємодіючих тіл пружними півпросторами можуть

бути визначені у відповідності з розв’язками Буссінеска та Черруті [140] з

наступних співвідношень:

37

3,1, ,,0 , ,,,,

jiTtssdtspssKpA jijtsjij ; (2.2)

;,

;,,

;,

;,,

;,, ;,

3

231

33

33

3223

3

231

22

22

3113

22

21121

11

r

yyc

r

cssK

r

yyxxcssKssK

r

xxc

r

cssK

r

yycssKssK

r

xxcssKssK

r

cssK

(2.3)

.

;11

;2

211

2

211

;11

22

2

22

1

113

1

11

2

222

2

22

1

21

1

yyxxssr

EEc

EEc

EEc

(2.4)

У співвідношеннях (2.3), (2.4) 1E , 2E і 1 , 2 – модулі Юнга і

коефіцієнти Пуассона першого та другого тіла відповідно, а x , x та y , y –

абсциси та ординати точок s і s відповідно.

Граничні умови контактної взаємодії тіл в момент часу t , з

урахуванням співвідношень (2.1) – (2.4) і закону тертя Кулона, можна

виразити наступною системою співвідношень [30]:

38

,,0 , ,,,,,,

,,,,,,

,,,,

,0,, ,0, ,0,

31323

22

21223

22

123

22

1111

Ttstsvtsptsptsvtsv

tsvtsptsptsvtsv

tsptsptsp

tsvtsptsvtsp

(2.5)

де 0 – коефіцієнт тертя,

tsvtsv , ,, 32 – компоненти вектору tsv , швидкості проковзування

точки 1s відносно точки 2s (точка над символом позначає диференціювання

за часом t ).

Перше з співвідношень (2.5) виражає невід’ємність контактного тиску,

що діє в момент часу t у точках області на перше тіло, друге з

співвідношень (2.5) означає відсутність взаємного проникання тіл одне в

одне, третє – відсутність контактного тиску за межами ділянки контакту.

Останні три співвідношення системи (2.5) виражають закон тертя Кулона.

Відзначимо, що з співвідношень (2.5) випливає, що при відмінності від нуля

в момент часу t швидкості відносного проковзування в точці s , в цій точці

виконується рівність tsptsptsp ,,, 123

22 , а вектор питомого

дотичного контактного навантаження в цій точці tsptsptsp ,,,, 32 і

вектор tsvtsvtsv ,,,, 32 мають протилежні напрями.

Відмітимо, що вигляд співвідношень (2.5) не залежить від того, яку

форму мають поверхня дотику тіл та зони зчеплення і проковзування в

кожний фіксований момент часу Tt ,0 .

Отже, квазістатичну контактну задачу про фрикційну взаємодію двох

пружних тіл можна сформулювати наступним чином: знайти невідомі

складові питомого контактного навантаження tsptsptsp , ,, ,, 321 , які для

всіх Tt ,0 та всіх s задовольняють системі співвідношень (2.5), в якій

вирази tsvtsvtsv , ,, ,, 321 мають вигляд (2.1). Причому, при 0t мають

39

місце наступні початкові умови: 0000 321 ,

sspspsp 00,0,0, 321 .

Для пояснення наведеного формулювання контактної задачі слід

відзначити, що після підставлення у співвідношення (2.5) виразів tsv ,1 ,

tsv ,2 , tsv ,3 вигляду (2.1) та виразів tsv ,2 , tsv ,3 (які отримані

диференціюванням виразів tsv ,2 , tsv ,3 вигляду (2.1) за змінною t ), ці

співвідношення (2.5) міститимуть у собі лише невідомі функції tsp ,1 ,

tsp ,2 , tsp ,3 та відомі функції s0 , t1 , t2 , t3 . Ці відомі функції

s0 , t1 , t2 , t3 можна вважати початковими даними контактної

задачі, які задають геометрію взаємодіючих тіл та процес їхнього

навантажування.

Наведене вище тлумачення означає, що систему співвідношень (2.5)

після зроблених у нею підставлень tsv ,1 , tsv ,2 , tsv ,3 , tsv ,2 , tsv ,3

можна вважати системою рівностей і нерівностей відносно лише невідомих

функцій tsp ,1 , tsp ,2 , tsp ,3 . Тобто, якщо конкретні функції tsp ,1 ,

tsp ,2 , tsp ,3 , визначені на множині T ,0 , задовольняють у всіх точках

цієї множини системі співвідношень (2.5), то ці функції і являють собою

розв’язок сформульованої контактної задачі.

Відмітимо ще, що наведена постановка контактної задачі не виключає

можливості враховувати взаємне обертання опор взаємодіючих тіл навколо

осей OyOxOz , , . Наявність такого обертання призведе лише до того, що

функції t1 , t2 , t3 , які містяться в рівностях (2.1), залежатимуть ще й

від змінної s , а вираз цих функцій можна отримати виходячи з геометрії

взаємодіючих тіл та шести компонент вектор-функції tγ (звісно, що в

такому разі функції ts,1 , ts,2 , ts,3 , що входитимуть в (2.1), не

будуть компонентами вектор-функції tγ ).

40

Після отримання розв’язку tsp ,1 , tsp ,2 , tsp ,3 поставленої

контактної задачі, область контакту t0 , зону зчеплення

tC і зону

проковзування t в будь-який момент часу 0t можна визначити з

наступних співвідношень:

0 | 3

110,10

jtsjj

t tspAs ;

0 | 3

2

23

1,0

k jktsjkj

ttC tpA

ts ;

0 |

3

2

23

1,0

k jktsjkj

tt tpAt

s .

Для визначення зусиль та моментів (прикладених до опори першого

тіла), дія яких призвела до появи знайденого питомого навантаження ( tsp ,1 ,

tsp ,2 , tsp ,3 ), достатньо застосувати відомі співвідношення теорії

пружності [142].

2.2 Дискретизація процесу навантажування

Розіб’ємо відрізок T,0 системою точок it таких, що

Ttttt l ...0 210 . Процес взаємодії тіл будемо розглядати як

скінченне число l послідовних станів рівноваги (кроків навантажування) в

моменти часу itt . Введемо для вектору tγ і його компонентів на i-ому

кроці навантажування наступні позначення: iiiii tγγ 321 ,, . Таким

41

чином, компоненти iii 321 ,, представляють собою нормальну та дотичні

складові вектору переміщень iγ опори першого тіла на i-ому кроці

навантажування в припущенні, що ця опора здійснює за час T переміщення

Tl γγ . Для вектор-функцій tsp , , tsv , на i-ому кроці навантажування

введемо позначення iiiii tspspspspsp ,,, 321 і

iiiii tsvsvsvsvsv ,,, 321 . Тут і в подальшому індекс i приймає

значення l ..., ,2 ,1 ,0 і визначає номер кроку навантажування. На нульовому

кроці функції sk0 , spk0 , 3,2,1k тотожно дорівнюють нулю.

Припустимо, що на кожному кроці навантажування виконуються

співвідношення аналогічні системі (2.1)

,,1 ; ;

,

,

3

3

133

2

3

122

3

11011

lisspAsv

spAsv

sspAsv

ij

sjiji

ij

sjiji

jisjiji

(2.6)

де ijA – лінійні оператори впливу, які, за умови апроксимації тіл

пружними півпросторами визначаються співвідношеннями (2.2) – (2.4).

Швидкості ii tsvsv ,22 , ii tsvsv ,33 відносного проковзування

точок 1s , 2s у напрямку осей yx , на i-ому кроці навантажування можна

наближено виразити з використанням скінченнорізницевих співвідношень

,,1 ; ;

,

1333

1222

lish

svsvsv

h

svsvsv

i

iii

i

iii

(2.7)

42

де 1 iii tth .

Враховуючи формули (2.6), співвідношенням (2.7) можна надати

вигляд

.,1 ,3,2 , ,13

1

1liks

h

ss

h

ppAsv

i

kiki

sj i

jijikjki

(2.8)

Визначимо оператори 321 , , FFF , аргументами яких є функції spki ,

ski , 3,1k , li ,1 , наступним чином:

. , ,

;3,1 ,

3322101

3

1

ssfssfsssf

ksfpAsvpF

iiiiii

jkisjikjkiskiik

(2.9)

Використовуючи співвідношення (2.8) та введені оператори

skiik pF , запишемо функції sv i2 , sv i3 у простій операторній формі

.3,2 ,,1 ;,~

;~

,1

1 1 klipFss

pFh

sv

ikikkiki

skiiki

ki (2.10)

Використовуючи позначення, введені для функцій itsp ,1 , itsp ,2 ,

itsp ,3 , itsv ,1 , itsv ,2 , itsv ,3 , itsv ,2 , itsv ,3 , і рівності (2.9), (2.10),

граничні умови (2.5) контактної взаємодії тіл в момент часу itt (на i-ому

кроці навантажування) можна записати в наступному вигляді:

43

.,1 ;

;0~

,~

,~

,

;0~

,~

,~

,

;

;0, ;0, ;0

331332

322

2

221232

322

2

123

22

111111

lis

pFspsppFpF

pFspsppFpF

spspsp

pFsppFsp

siiiisiisii

siiiisiisii

iii

skiisiii

(2.11)

Отже, контактна задача, що розглядається, на i -му кроці

навантажування полягає в знаходженні невідомих функцій

spspsp iii 321 ,, , визначених в області та задовольняючих у кожній

точці цієї області системі співвідношень (2.11). Як випливає з самої системи

(2.11) і формул (2.10), функції spspsp iii 321 ,, можна визначити лише за

умови, що систему (2.11) було розв’язано на першому, другому, …, 1i -му

кроках навантажування відносно вектор-функцій spspsp i 121 , ... , ,

відповідно. Кінцевим розв’язком квазістатичної задачі є функції sp l1 ,

sp l2 , sp l3 , які задовольняють співвідношенням (2.11) для li .

2.3 Гіпотеза про можливість малого збурення умов процесу

навантажування взаємодіючих тіл

Запишемо систему співвідношень (2.11) в наступному еквівалентному

вигляді:

44

,,1 ;

;0~

,

~,

~,

;0~

,

~,

~,

;

;0, ;0, ;0

3311

332

322

2

2211

232

322

2

1123

22

111111

lis

pFssp

sppFpF

pFssp

sppFpF

sspspsp

pFsppFsp

siiii

isiisii

siiii

isiisii

iiii

siiisiii

(2.12)

де spsps iii 111 .

Будемо вважати, що при достатньо великій кількості кроків

навантажування l різниці spsp ii 111 малі в порівнянні з величинами

контактних тисків sp i1 на кожному i -му кроці навантажування. Нарешті,

враховуючи останнє припущення, відкинемо в системі (2.12) всі прирости

si . Тоді співвідношення (2.11) приймуть наступний модифікований

вигляд:

.,1 ;

;0~

,~

,~

,

;0~

,~

,~

,

;

;0, ;0, ;0

3311332

322

2

2211232

322

2

1123

22

111111

lis

pFspsppFpF

pFspsppFpF

spspsp

pFsppFsp

siiiisiisii

siiiisiisii

iii

siiisiii

(2.13)

Механічний сенс отриманої модифікації співвідношень (2.11) полягає у

введенні малого загаювання дії нормальних контактних напружень відносно

дотичних контактних напружень на кожному кроці навантажування 1i .

Очевидно, що малість цього загаювання слід очікувати лише для великих

значень l та значень i , близьких до l . Очевидно також, що на i -му кроці

45

навантажування обмежуючий контактний тиск sp i 11 в системі (2.13) є

відомим із розв’язку цієї системи на 1i -му кроці навантажування, що

істотно спрощує граничні умови контактної задачі.

Можливість заміни співвідношень (2.11) на співвідношення (2.13) є

лише гіпотезою, правомірність якої потребує перевірки хоча б чисельним

експериментом. Але, як свідчать виконані в цій дисертації розрахунки (див.

підрозділ 3.6 та розділ 4) розв’язки систем (2.11) і (2.13) дуже близькі один до

одного на останніх кроках навантажування ( i близько до l ) за умови 60l

(в усіх контактних задачах, які були розв’язанні автором дисертації).

При використанні введеної модифікації граничних умов контактної

задачі ця задача зводиться до визначення на кожному i -му кроці

навантажування невідомої вектор-функцій spspspsp iiii 321 ,,

li ,1 , яка в області задовольняє співвідношенням (2.13). Якщо вектор-

функцію spi , що при фіксованому i задовольняє співвідношенням (2.13),

знайдено, то за її допомогою можна обчислити значення сил і моментів,

прикладених до жорсткої опори верхнього тіла на i-ому кроці

навантажування (дія яких спричинила появу питомого контактного

навантаження spi ), а також знайти розміри і форми площадки контакту

i0 , зони зчеплення

iC і зони проковзування

i на цьому ж кроці

навантажування з наступних співвідношень:

0, | 110 sii

i pFs ,

0~

,~

, | 32

322

20 siisii

iiC pFpFs ,

0~

,~

, | 32

322

20 siisiiii pFpFs ,

де оператори 321 , , FFF визначаються співвідношеннями (2.9).

46

Зауважимо, що при зміні індексу i від 1 до l співвідношення (2.13)

представляють собою серію систем, що підлягають послідовному

розв’язуванню. Остаточним розв’язком розглянутої квазістатичної задачі

природньо вважати функції spspsp lll 321 , , і області l0 ,

lC ,

l ,

знайдені на останньому кроці навантажування l .

2.4 Визначення напружень у внутрішніх точках взаємодіючих тіл

Розглянута раніше постановка контактної задачі є граничною, що не

дозволяє визначити пружні переміщення та напруження у внутрішніх точках

взаємодіючих тіл безпосередньо з розв’язку поставленої задачі. Тому для

визначення напружено-деформованого стану тіл необхідно для кожного з них

на кожному i-ому кроці навантажування розв’язати статичну мішану задачу

теорії пружності з відомими границями розділу крайових умов. Ці крайові

умови полягають у відсутності переміщень в місцях з’єднання тіл з їхніми

жорсткими опорами та у завданні відомого із розв’язку системи (2.13)

зовнішнього питомого навантаження spspsp iii 321 ,, , що на i-ому кроці

навантажування діє в точках області i0 , яка є спільною частиною поверхні

кожного з тіл. При цьому на інших ділянках поверхонь тіл зовнішнє

навантаження відсутнє.

Якщо взаємодіючі тіла замінити пружними півпросторами 0z та

0z , то задача визначення напружень у внутрішніх точках тіл істотно

спрощується. Наприклад, для першого тіла визначення компонентів тензору

напружень у внутрішній точці zyxS ,, (див. рис. 2.2) на i-ому кроці

навантажування можна здійснити за відомими формулами [42]:

47

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

0

0

0

0

0

0

.

;

;

;

;

;

jjiyzj

iyz

jjixyj

ixy

jjixj

ix

jjixzj

ixz

jjiyj

iy

jjizj

iz

i

i

i

i

i

i

sdspsSKS

sdspsSKS

sdspsSKS

sdspsSKS

sdspsSKS

sdspsSKS

В цих формулах функції sp i1 , sp i2 , sp i3 є складові питомого

контактного навантаження в напрямку осей OyOxOz , , , яке на i-ому кроці

навантажування діє на перше тіло в точках ділянки його поверхні i0 .

Рисунок 2.2 – Ділянка контакту на поверхні першого тіла

Функції SKzj , SKxj , SKxyj , SKxzj , SK yzj для 3,2,1j та

zyxS ,, визначаються рівностями

5

3

12

3

zSKz ,

5

2

22

3

yzSKz ,

5

2

32

3

xzSKz ,

22

2

3

2

15

2

1 213

2

1

z

x

z

yzzxSKx

,

48

32

2

23

2

2315

2

22

213

2

1

z

yx

z

yx

z

yyyxSKx

,

32

3

23

3

2315

3

323

213

2

1

z

x

z

x

z

xxxSKx

,

22

2

3

2

15

2

1 213

2

1

z

y

z

xzzySK y

,

32

3

23

3

2315

3

223

213

2

1

z

y

z

y

z

yyySK y

,

32

2

23

2

2315

2

32

213

2

1

z

xy

z

xy

z

xxxySK y

,

231512

213

2

1

z

xyzxyzSKxy

,

32

2

23

2

215

2

22

2131

z

xy

z

xy

z

xxySKxy

,

32

2

23

2

215

2

32

2131

z

yx

z

yx

z

yyxSKxy

,

5

2

12

3

xzSKxz ,

522

3

xyzSKxz ,

5

2

32

3

zxSKxz ,

5

2

12

3

yzSK yz ,

5

2

22

3

zySK yz ,

532

3

xyzSK yz ,

в яких 222 zyxS , а параметр 1 є коефіцієнтом Пуассона

матеріалу першого тіла.

49

2.5 Виведення нелінійних інтегральних рівнянь контактної задачі

Для того щоб вивести операторні рівняння поставленої квазістатичної

контактної задачі, достатньо систему співвідношень (2.13), з якої

визначається розподіл контактного навантаження на i -ому кроці

навантажування, виразити в еквівалентній формі у вигляді системи

рівностей. Цього можна досягти, використовуючи дійсні функції xh і

zyxq ,, 0 ,, zRyx наступного вигляду:

;0 ,0

;0 ,

x

xxxh (2.14)

. ,

; ,

,, 22

22

22

zyxyx

xz

zyxx

zyxq (2.15)

Необхідні властивості цих функцій виражаються двома наступними

теоремами [4].

Теорема 2.1 Для будь-яких дійсних чисел yx , система співвідношень

0

,0

,0

yx

y

x

(2.16)

є еквівалентною рівності

yExhx , (2.17)

50

в якій E – будь-яке додатне число.

Доведення. Припустимо спочатку, що для будь-яких дійсних чисел

yx , і довільного додатного числа E виконується рівність (2.17). Доведемо,

що yx , задовольняють умовам (2.16).

З рівності (2.17) випливає, що 0x , оскільки, як випливає з (2.14),

функція h приймає лише невід’ємні значення. Умову 0 yx також

виконано. Дійсно, при 0x рівність 0 yx є очевидною. Якщо ж 0x , то

0x і, отже, yExyExhx 0 , звідки випливає, що 0 yE ,

тобто 0y .

Справедливість умови 0y доведемо методом «від супротивного».

Припустимо, що 0y . Тоді отримаємо співвідношення 0 yE ,

0 yEx , xyExhyEx , з яких випливає, що 0 yE , тобто

0y . Але рівність 0y суперечить припущенню про те, що 0y . Таким

чином, умову 0y виконано.

Припускаючи тепер, що для yx , є виконаними умови (2.16), доведемо

справедливість рівності (2.17). Як випливає з (2.16), для x можливі лише два

взаємовиключні випадки: 0x та 0x . В першому випадку yEx 0 ,

звідки випливає, що xyExh 0 . В другому випадку з (2.16) випливає,

що 0y , тоді xyEx , xxhyExh . Таким чином, в обох

випадках 0x і 0x з умов (2.16) випливає справедливість рівності (2.17)

при будь-якому додатному числі E .

Теорему 2.1 доведено.

Теорема 2.2 Для будь-яких дійсних чисел 1x , 2x , 1y , 2y і 0z система

умов

51

0

,0

,

222

212

122

211

22

21

zyyyx

zyyyx

zxx

(2.18)

є еквівалентною системі рівностей

,,,

,,,

11222

22111

zEyxEyxqx

zEyxEyxqx (2.19)

в яких E – будь-яке додатне число.

Доведення. Запишемо співвідношення (2.18) та (2.19) в еквівалентній

векторній формі:

;

,

zYXY

zX (2.20)

EYXQX z . (2.21)

У співвідношеннях (2.20), (2.21) вектори X , Y , є елементами

двовимірного евклідового простору 2R і визначаються рівностями

21, xxX , 21, yyY , 0,0 . Відображення 22: RRQz визначається

наступним співвідношенням:

. ,

; ,

,2

zss

sz

zss

sQRs z (2.22)

52

Для доведення теореми достатньо встановити еквівалентність

співвідношень (2.20) і (2.21). Нехай E – деяке додатне число. Для довільного

невід’ємного числа z можливі лише два наступні випадки: 0z або 0z .

Доведемо спочатку еквівалентність умов (2.20) і (2.21) при 0z .

Нехай спочатку є виконаними умови (2.20). Тоді 0X , звідки

випливає, що X . З урахуванням співвідношення (2.22) при 0z ,

отримаємо рівність EYXQz . Таким чином, EYXQX z і

рівність (2.21) є виконаною.

Припустимо тепер, що виконується рівність (2.21). Тоді X ,

оскільки EYXQX z і EYXQz при 0z . Отже, zX 0 та

YYzYXY 0 . Таким чином, співвідношення (2.21) є виконаними.

Наведемо тепер доведення теореми для випадку 0z .

Припустимо, що виконується рівність (2.21). З (2.22) випливає, що

zsQz для всіх 2Rs . Тому zEYXQX z , що означає виконання

першої з умов (2.20). Покажемо, що друга з цих умов також виконується.

Якщо 0Y , то другу з умов (2.20) виконано. Нехай 0Y . Тоді

zEYX , оскільки в супротивному випадку при zEYX є

справедливою рівність EYXEYXQX z , з якої випливає, що

EY . Остання рівність може виконуватися лише якщо 0Y . Але це

суперечить прийнятому припущенню 0Y . З нерівності zEYX та

співвідношень (2.21), (2.22) випливає, що EYXX для EYX

z

,

причому 10 . Але тоді zX та YE

X

1. В силу додатності чисел

, 1 , E остання рівність означає, що вектори X та Y , модулі яких є

відмінними від нуля, мають протилежні напрямки. Отже, для цих векторів є

справедливою рівність Y

Y

X

X . З цієї рівності та умови zX випливає,

53

що Y

YzX . Таким чином, з того, що 0Y , випливає рівність

zYXY . А це означає виконання другої з умов (2.20). Отже, доведення

того, що рівність (2.21) тягне за собою виконання умов (2.20), завершено.

Доведемо тепер, що з умов (2.20) випливає рівність (2.21). Припустимо,

що умови (2.20) є виконаними. Тоді XXQz в силу того, що zX . Таким

чином, якщо 0Y , то XEYX і є справедливими рівності

XXQEYXQ zz , з яких випливає (2.21). Якщо ж 0Y , то з другої

умови (2.20) та нерівності 0E випливають співвідношення:

Y

YzX , 0 zX , X

z

YEXEYX

1 , 1 . (2.23)

Із цих співвідношень випливає, що zzXEYX .

З урахуванням формул (2.22), нерівності zEYX та співвідношень (2.23)

отримаємо: XX

Xz

EYX

EYXzEYXQz

. Отже, рівність (2.21)

виконано й для випадку, коли 0Y . Таким чином, з умов (2.20) випливає

рівність (2.21), що остаточно доводить еквівалентність співвідношень (2.20)

та (2.21). З наведеного доведення видно, що воно може бути здійснено для

будь-якого числа 0E . Теорему 2.2 доведено.

З тверджень теорем 2.1, 2.2 випливає, що систему співвідношень (2.13),

яка виражає граничні умови контактної взаємодії тіл на i -му кроці

навантажування, можна записати в наступному еквівалентному вигляді:

54

.,1 ;

; ,~

,,~

,

; ,~

,,~

,

; ,

113223333

113332222

1111

lis

sppEFsppEFspqsp

sppEFsppEFspqsp

pEFsphsp

isiiisiiii

isiiisiiii

siiii

(2.24)

Тут, як і у співвідношеннях (2.13), вирази siipF 11 , ,

siipF 22~

, ,

siipF 33

~, , si2

~ , si3

~ визначаються рівностями (2.9), (2.10), а E є

довільною додатною константою.

Якщо оператори впливу kjA , що входять у рівності (2.9), є

інтегральними (див. формулу (2.2)), то при кожному фіксованому значенні

індексу i система (2.24) є системою трьох нелінійних інтегральних рівнянь

відносно невідомих функцій spspsp iii 321 ,, , які задають розподіл

питомих контактних навантажень в області на i -му кроці навантажування.

Таким чином, у разі виконання умов (2.2) розглянута квазістатична контактна

задача зведена до послідовного розв’язання серії однотипних систем

нелінійних граничних інтегральних рівнянь (2.24), кожна з яких відповідає

певному кроку навантажування тіл. Далі будемо вважати, що в усіх

розглядуваних контактних задачах лінійні оператори впливу kjA є

інтегральними, тобто задовольняють співвідношенням (2.2).

Відзначимо дві важливі особливості отриманих рівнянь. Перша з них

полягає в тому, що при фіксованому i множина розв’язків системи (2.24) не

змінюється при зміні параметру 0E , хоча праві частини рівнянь системи

істотно залежать від цього параметра. Друга особливість полягає в тому, що

вигляд цих рівнянь не залежить від конфігурацій області контакту, зон

проковзування та зчеплення на кожному кроці навантажування. Для того щоб

записати ці рівняння достатньо лише вказати плоску обмежену канонічну

область , що містить у собі невідомі заздалегідь ділянки контакту на всіх

кроках навантажування.

55

З теорем 2.1, 2.2 також випливає, що систему співвідношень (2.11)

можна записати в наступному еквівалентному вигляді:

.,1 ;

; ,~

,,~

,

; ,~

,,~

,

; ,

13223333

13332222

1111

lis

sppEFsppEFspqsp

sppEFsppEFspqsp

pEFsphsp

isiiisiiii

isiiisiiii

siiii

(2.25)

В співвідношеннях (2.25) E – довільна додатна константа, а вирази

siipF 11 , ,

siipF 22~

, , siipF 33

~, , si2

~ , si3

~ визначаються рівностями

(2.9), (2.10).

Слід зазначити, що за умови розглянутої схеми дискретизації процесу

навантажування тіл рівняння (2.25) описують контактну взаємодію тіл на i -

му кроці навантажування згідно з класичною постановкою контактної задачі,

а рівняння (2.24) – згідно з гіпотезою про збурення класичних умов

навантажування, яка сформульована в підрозділі 2.3. Можна вважати, що

рівняння (2.24) отримані з рівнянь (2.25) шляхом введення загаювання

третього аргументу функції q у двох останніх рівняннях системи (2.25).

2.6 Деякі факти з теорії гільбертових просторів

Оскільки рівняння, що входять до систем (2.24), є інтегральними, то

пошук розв’язків spspsp iii 321 ,, цих систем будемо здійснювати в

просторі 2L , сумовних з квадратом на функцій [141]. Елементами

простору 2L є всі такі визначені на дійсні функції sx , кожна з яких

вимірна на відносно плоскої міри Лебега та володіє тією властивістю, що

56

функція 2sx інтегрована за Лебегом на множині . Простір 2L є

гільбертовим простором. Скалярний добуток 1, yx елементів 2, Lyx і

норма 1

x будь-якого елементу 2Lx визначаються з відомих

співвідношень [141]:

dssysxyx 1, ;

xxx ,1 ,

в яких інтеграл розуміється в сенсі Лебега.

Такий вибір функціонального простору для відшукування невідомих

функцій sp i1 , sp i2 , sp i3 є можливим якщо 20 Ls і всі лінійні

інтегральні оператори kjA , які містяться у правих частинах рівнянь (2.24)

діють з 2L в 2L . Дійсно, за таких умов праві частини рівнянь (2.24)

будуть елементами 2L , якщо тільки аргументи цих правих частин ( sp i1 ,

sp i2 , sp i3 ) також належать 2L .

Такий вибір функціонального простору також не буде істотно

обмежувати загальність отриманих результатів, оскільки багато інших

функціональних просторів, в яких зазвичай відшукуються розв’язки

контактних задач [84-86], вкладені в 2L . Це в першу чергу відноситься до

просторів С , 1С неперервних і неперервно диференційовних на

замиканні області функцій.

Крім 2L будемо також розглядати простір 32L , елементами якого

є вектор-функції sxsxsxsx 321 ,, з компонентами sxsxsx 321 ,, , що

належать 2L . Простір 32L також є гільбертовим. Скалярний добуток

yx, і норма x елементів 321 ,, xxxx , 321 ,, yyyy , що належать 32L ,

визначаються зі співвідношень:

57

3

11;,,

jjj yxyx

xxx , .

Використання простору 2L в якості області пошуку невідомих

функцій spspsp iii 321 ,, потребує внесення поправки у розглянуту

постановку контактної задачі. Ця поправка полягає у тому, що виконання

граничних умов (2.13), (2.24) потрібно вимагати не всюди на (не в кожній

точці області ), як це було зроблено раніше, а майже всюди на . Останнє

означає, що ці граничні умови можуть не виконуватися лише на таких

вимірних підмножинах , лебегова міра яких дорівнює нулю.

Наведемо основні поняття та деякі факти теорії гільбертових просторів

і пов’язаних з цією теорією розділів функціонального аналізу [141-143].

2.6.1 Гільбертів простір

Розглянемо дійсний гільбертів простір, питання збіжності

послідовностей його елементів і типи множин, що містяться в цьому

просторі.

Означення 2.1 Нескінченновимірний дійсний лінійний простір X

[141] називається дійсним гільбертовим простором, якщо виконані наступні

умови:

а) для будь-яких елементів Xyx , визначено дійсне число yx, , що

називається скалярним добутком елементів x , y та задовольняє чотирьом

наступним аксіомам:

1) Xyxxyyx , ,, ;

58

2) Xyxyxyx , ,, і R ;

3) Xyyxyxyxyyx 212121 ,, ,,, ;

4) Xxxx 0, , Xxxx 0, ;

б) простір X є повним [141] відносно метрики yxyxyx ,, .

В цьому означенні символами R та X позначено множину всіх

дійсних чисел і нульовий елемент простору X . Усюди надалі дійсний

гільбертів простір будемо називати гільбертовим простором, і

використовувати для його позначення символ H . Для будь-яких елементів

Hyx , їхній скалярний добуток, відстань між ними в H і норму елемента x

будемо позначати yx, , yx, та x відповідно. Відношення між

величинами yx, , yx, , x , y для будь-яких елементів Hyx ,

виражається наступним чином:

xxx , ;

yxyx , ;

yxyx , .

Останнє з цих співвідношень носить назву нерівності Коші-

Буняковського.

В просторі H зазвичай розглядають сильну та слабку збіжності

послідовностей його елементів.

Означення 2.2 Будемо говорити, що послідовність nx елементів H

сильно (слабко) збігається до елемента Hx * , якщо 0lim *

xxnn

(для

будь-якого елемента *,,lim xyxyHy nn

).

Будемо використовувати знаки «» та « » для позначення сильної

та слабкої збіжності відповідно. Відзначимо, що з сильної збіжності

59

послідовності nx елементів H до елемента Hx * випливає слабка

збіжність цієї послідовності до цього елемента. Зі слабкої збіжності

послідовності nx до елемента *x сильна збіжність цієї послідовності до

цього елемента може випливати лише при виконанні деяких додаткових

умов [142].

Теорема 2.3 Нехай послідовність nx елементів H слабко збігається

до елемента Hx * , причому *xxn для кожного натурального n . Тоді

nx сильно збігається до *x .

Теорема 2.3 є тривіальним наслідком відомої теореми з роботи [142]

(див. теорему 1.4 на стор. 11 в роботі [142]).

Представляє інтерес наступна теорема про достатні умови збіжності

послідовності.

Теорема 2.4 Нехай послідовність nx елементів H і фіксований

елемент Hx * володіють тією властивістю, що з будь-якої підпослідовності

knx даної послідовності можна витягти підпослідовність

jknx , яка сильно

(слабко) збігається до елемента *x . Тоді послідовність nx сильно (слабко)

збігається до *x .

Доведення. Нехай Hx * та з будь-якої підпослідовності knx

послідовності nx елементів H можна витягти підпослідовність jknx , яка

сильно збігається до *x . Покажемо, що *xxn , n . Припустимо

супротивне. Тоді знайдеться додатне число і така підпослідовність knx ,

що буде виконано умову

kn nxxk

* . (2.26)

60

Але оскільки існує підпослідовність jknx , для якої

0lim *

xxjk

jk

nn

, то для досить великого натурального m виконується

умова

mnxxjjk kn * .

Очевидно, що ця умова суперечить умові (2.26). Отже, сильну

збіжність послідовності nx до елемента *x доведено.

Припустимо тепер, що Hx * та з будь-якої підпослідовності knx

послідовності nx елементів H можна витягти підпослідовність jknx , яка

слабко збігається в H до *x . Покажемо, що *xxn , n . Припустимо

супротивне. Тоді знайдуться елемент Hy , число 0 та підпослідовність

knx , для яких буде виконано умову:

kn nxyxyk

,, * . (2.27)

Але оскільки існує підпослідовність jknx , що слабко збігається до *x ,

то *,,lim xyxyjk

jk

nn

і для деякого досить великого натурального m

буде виконано умову

mnxyxyjjk kn

,, * . (2.28)

61

Очевидно, що умови (2.27) та (2.28) суперечать одна одній. Отримана

суперечність свідчить про те, що *xxn , n . Теорему 2.4 доведено.

Розглянемо тепер деякі типи множин, що містяться в H .

Означення 2.3 Множина HM називається обмеженою, якщо існує

таке число 0 , що x для всіх Mx .

Означення 2.4 Множина HM називається опуклою, якщо для всіх

Myx , і для всіх дійсних чисел 1,0 елемент yx 1 міститься в

M .

Означення 2.5 Множина HM називається замкненою, якщо будь-

яка послідовність елементів множини M , що сильно збігається в H , сильно

збігається до елемента простору H , який міститься в M .

Означення 2.6 Множина HM називається всюди щільною в H ,

якщо для кожного елемента Hx та для будь-якого додатного числа існує

такий елемент Mx , що xx .

З означення 2.6 випливає, що кожен елемент Hx може бути

апроксимовано з будь-яким степенем точності елементами всюди щільної в

H множини M .

Означення 2.7 Множина HM називається передкомпактною, якщо

з будь-якої послідовності елементів множини M можна витягти

підпослідовність, яка сильно збігається до деякого елемента простору H .

Означення 2.8 Множина HM називається слабкокомпактною, якщо

з будь-якої послідовності елементів множини M можна витягти

підпослідовність, яка слабко збігається до деякого елемента множини M .

Відзначимо, що в просторі H будь-яка обмежена замкнена опукла

множина є слабкокомпактною [142].

62

2.6.2 Оператори, що діють у гільбертовому просторі

Наведемо відомі означення та деякі факти теорії операторів, що діють у

гільбертовому просторі.

Оператором F , що діє в гільбертовому просторі H , називають правило

(відображення), яке кожному елементу Hx ставить у відповідність

визначений та єдиний елемент HxFy . Для позначення оператора F

будемо використовувати запис HHF : .

Означення 2.9 Оператор HHF : називається лінійним, якщо для

будь-яких Hyx , та будь-яких дійсних чисел , є справедливою рівність

yFxFyxF . Оператор HHF : , який не є лінійним,

називається нелінійним.

Означення 2.10 Оператор HHF : називається обмеженим, якщо

він відображає всяку обмежену множину простору H в обмежену множину

цього простору.

Означення 2.11 Оператор HHF : називається неперервним, якщо

для будь-якого елемента Hx та будь-якої послідовності nx елементів H ,

що сильно збігається до x , відповідна послідовність nxF сильно

збігається до елемента xF .

Для будь-якого лінійного обмеженого оператора HHA : визначено

невід’ємне дійсне число xAx 1

sup

, яке називається нормою оператора A

та позначається символом *

A . Це число задовольняє нерівності

xAxA *

, справедливій для всіх Hx . Відзначимо, що обмеженість

лінійного оператора HHA : є необхідною та достатньою умовою його

неперервності.

63

Означення 2.12 Оператор HHF : називається цілком неперервним,

якщо він є неперервним і відображає кожну обмежену множину простору H

в передкомпактну множину цього простору.

Означення 2.13 Оператор HHF : називається підсилено

неперервним, якщо для будь-якого елемента Hx та будь-якої

послідовності nx елементів H , яка слабко збігається до x , відповідна

послідовність nxF сильно збігається до елемента xF .

Кожний лінійний цілком неперервний оператор HHA : є також і

підсилено неперервним.

Означення 2.14 Лінійний обмежений оператор HHA : будемо

називати самоспряженим, якщо рівність yAxyxA ,, виконано для

будь-яких двох елементів Hyx , .

Означення 2.15 Лінійний обмежений самоспряжений оператор

HHA : називається невід’ємним (додатним) якщо 0, xxA для всіх

елементів Hx ( 0, xxA для всіх елементів Hx , відмінних від

нульового).

Означення 2.16 Оператор HHF : називається стискуючим

(нерозтягаючим), якщо для всіх елементів Hyx , виконано нерівність

yxqyFxF ,

в якій додатна константа q строго менша за 1 (дорівнює 1).

Означення 2.17 Елемент Hx називається нерухомою точкою

оператора HHF : , якщо xFx .

Доведемо два нескладних твердження про властивості самоспряжених,

і стискуючих операторів. Будемо використовувати символ I для позначення

тотожного оператора: HxxxI .

64

Теорема 2.5 Нехай є фіксованим додатним числом і HHA : є

лінійним обмеженим самоспряженим невід’ємним оператором. Тоді для

будь-якого дійсного числа E , яке задовольняє умові

*

10

AE

, (2.29)

виконується нерівність

EAIEI 1*

. (2.30)

Доведення. Нехай виконано умови теореми та число E задовольняє

подвійній нерівності (2.29). Тоді лінійний обмежений самоспряжений

оператор AIEI є невід’ємним. Його норму може бути знайдено з

використанням відомого твердження [143] за допомогою співвідношення

xxAEExxAxExAIEIxx

,inf1,sup11

*

,

яке тягне за собою оцінку (2.30). Теорему 2.5 доведено.

Теорема 2.6 Нехай для послідовності nx елементів H виконано

умову

0lim

nnn

xFx , (2.31)

де HHF : є стискуючим оператором.

Тоді послідовність nx сильно збігається в H до елемента Hx * ,

який є нерухомою точкою оператора F .

65

Доведення. Нехай виконано умови теореми, та число 1,0q є

константою стиску оператора HHF : . Тоді функція x , що задана на

H співвідношенням xFxx , є неперервною на H . Використовуючи

цю функцію, можна для величини mn xx отримати оцінку

mmmnnnmn xxFxFxFxFxxx

mmnn xxxqx ,

з якої випливає нерівність

mnmn xxq

xx

1

1, (2.32)

що справедлива для будь-яких натуральних чисел n і m . Оскільки

0limlim

mm

nn

xx в силу умови (2.31), то з нерівності (2.32)

випливає, що послідовність nx збігається в собі [141]. Простір H є повним,

тому існує елемент Hx * такий, що 0lim *

xxnn

. Оскільки функція x

неперервна на H , то 0lim***

nn

xxxFx і, отже, ** xFx .

Теорему 2.6 доведено.

Теорема 2.7 Нехай оператор HHF : є стискуючим на непорожній

замкненій множині HU . Тоді, якщо UUF , то на множині U існує

едина нерухома точка оператора F .

Теорема 2.7 виражає принцип стискуючих відображень у

гільбертовому просторі, її доведення приведено в роботі [142] (див. теорему

2.5 на стор. 39 в [142]).

66

2.6.3 Проекційні оператори

Розглянемо деякі властивості оператора, здійснюючого метричне

проектування точок простору H на замкнену опуклу множину цього

простору [12, 142].

Означення 2.18 Нехай U є непорожньою замкненою опуклою

множиною в просторі H . Метричним проектором простору H на множину

U називається такий оператор HHPU : , який задано наступними

співвідношеннями:

zxyxUyyxPHxUz

U inf , , , . (2.33)

При формулюванні кожного з п’яти нижченаведених тверджень будемо

мати на увазі, що U є деякою непорожньою замкненою опуклою множиною

в H і оператор HHPU : задано співвідношеннями (2.33).

Теорема 2.8 Для будь-яких елементів Hyx , співвідношення

yPx U (2.34)

є еквівалентним наступній системі співвідношень:

. 0,

;

Uuxuxy

Ux (2.35)

Доведення цього твердження наведено в [142] (див. теорему 1.15 на

стор. 28 в [142]).

Теорема 2.9 Для будь-яких елементів Hyx , є справедливою

нерівність

67

yxyPxP UU . (2.36)

Це твердження доведено в роботі [142] (див. теорему 1.13 в [142]).

Теорема 2.10 Для будь-яких елементів Hx , і для будь-якого

додатного числа E рівність

ExPx U (2.37)

еквівалентна системі співвідношень

. ,,

;

Uuux

Ux

(2.38)

Доведення. Нехай Exy . Тоді з еквівалентності рівності (2.34) та

співвідношень (2.35) випливає еквівалентність рівності (2.37) та

співвідношень

. 0,

;

UuxuxEx

Ux

(2.39)

Враховуючи додатність числа E , співвідношення (2.39) шляхом

еквівалентних перетворень можна легко привести до вигляду (2.38). Отже,

рівність (2.37) є еквівалентною співвідношенням (2.38). Теорему 2.10

доведено.

Теорема 2.11 Нехай для деяких елементів Hx , і для деякого

додатного числа E виконано рівність (2.37). Тоді для будь-якого додатного

числа 1E виконано рівність

68

1ExPx U . (2.40)

Доведення. В силу теореми 2.10 з умови (2.37) випливають

співвідношення (2.38) та еквівалентні до (2.38) співвідношення

, ,,

;

11 Uuux

Ux

(2.41)

де E

E11 , 01 E .

Але в силу тієї ж теореми 2.10 та умов (2.41) випливає рівність

1ExPx U , що означає справедливість рівності (2.40), оскільки

11 EE .

Теорему 2.11 доведено.

Теорема 2.12 Нехай для елементів Hxx 2121 , , , і додатного числа

1E виконано рівності

.

,

2122

1111

ExPx

ExPx

U

U (2.42)

Тоді є справедливою нерівність

0, 2121 xx . (2.43)

Доведення. Нехай виконано рівності (2.42). Тоді з теореми 2.10

випливає, що для будь-якого числа 0E виконуються рівності

.

,

222

111

ExPx

ExPx

U

U

69

З цих рівностей з урахуванням теореми 2.9 випливає оцінка

22121

221 Exxxx ,

яка справедлива для будь-якого числа 0E . Замінюючи в цій оцінці

квадрати норм елементів на скалярні добутки цих елементів, отримаємо

нерівність

2212121

2,

Exx ,

справедливу для будь-якого 0E . Здійснюючи в отриманій нерівності

граничний перехід при 0E , отримуємо нерівність (2.43). Теорему 2.12

доведено.

На закінчення цього підрозділу наведемо приклади метричних

проекторів, які діють в гільбертових просторах 2L , 32L , де –

обмежена область на площині. Розглянемо оператор 22: LLh , який

задається наступними співвідношеннями:

. ,

;

;, 2

ssxhsy

xhy

Lyx

(2.44)

В цих співвідношеннях рівності справедливі майже всюди на , а

функцію th задано співвідношенням (2.14). Очевидно, що визначений

співвідношеннями (2.44) оператор 22: LLh є метричним

проекторам простору 2L на опуклу замкнену множину

на м.в. 0|2 sxLsx цього простору (тут і в подальшому

70

скорочення «м.в.» означає «майже всюди»). Цей факт випливає з того, що

функція th є метричним проектором простору 1R на проміжок 1,0 R .

Для фіксованого додатного числа та майже всюди на невід’ємної

функції 2Lsg розглянемо оператор 32

32: LLG g , який задано

наступними співвідношеннями:

. ; , ,

; , ,

;

;

;,, ,,,

233

322

11

32321321

ssgsxsxqsy

sgsxsxqsy

sxhsy

xGy

Lyyyyxxxx

g

(2.45)

Функції h і q , що входить до цих співвідношень, задаються

співвідношеннями (2.14) і (2.15) відповідно. Очевидно, що оператор

32

32: LLG g вигляду (2.45) є метричним проектором простору 3

2L

на замкнену опуклу множину U цього простору, яка визначається

співвідношенням

на м.в. ,0 | ,, 33

221

32321 sgsxsxsxLxxxU .

Цей факт випливає з зазначеної вище проекційної властивості функції

th і з того, що відображення 22 : RRr вигляду

,0 ;,,

;,,

;

;, ,,

122

211

22121

rrxxqy

rxxqy

xy

Ryyyxxx

r

71

яке разом з th використано для побудови оператора gG , здійснює

метричне проектування евклідова простору 2R на замкнений круг

rxxRxx 31

21

221 | , цього простору.

Той факт, що оператор h вигляду (2.44) діє з 2L в 2L , а оператор

gG вигляду (2.45) діє з 32L в 3

2L випливає з очевидних властивостей

функцій h і q та означень просторів 2L і 32L .

2.6.4 Апроксимація елементів і операторів

Розглянемо окремі питання апроксимації елементів простору H та

діючих в цьому просторі операторів, пов’язані з розв’язанням операторних

рівнянь [144] в цьому просторі.

Припустимо, що послідовність nP лінійних обмежених операторів,

що діють з H в H , задовольняє наступній умові:

HxxxPnn

0lim . (2.46)

Для лінійного обмеженого оператора HHA : розглянемо пов’язану

з ним послідовність nA лінійних обмежених операторів, діючих з H в H ,

яка визначається співвідношенням

, , NnHxxPAPxPAPxA nnnnn (2.47)

де N тут і далі позначає множину всіх натуральних чисел.

72

В силу умови (2.46) природно очікувати, що послідовність nA

вигляду (2.47) має певні апроксимативні властивості по відношенню до

оператора A . Причому апроксимуючий оператор nA вигляду (2.47) буде

зберігати деякі властивості оператора A (самоспряженість, невід’ємність),

якщо вимагати, щоб оператор HHPn : був самоспряженим. Доведемо

твердження про апроксимуючі властивості послідовності nA .

Теорема 2.13 Нехай HHA : є лінійним цілком неперервним

оператором і послідовність nP лінійних обмежених самоспряжених

операторів, що діють з H в H , задовольняє умові (2.46). Тоді послідовність

nA лінійних обмежених операторів, що діють з H в H , яку задано

співвідношенням (2.47), задовольняє наступній умові:

0lim*

n

nAA . (2.48)

Доведення. Оскільки за умовою теореми оператор HHAA n : є

підсилено неперервним, то слабко неперервна [142] на всьому просторі H

функція xAxAx nn досягає на слабкокомпактній множині

1|1 xHxS свого найбільшого значення в точці 1Sxn . Таким чином,

для кожного натурального числа n є справедливими співвідношення:

.1

,*

n

nnnn

x

xAxAAA (2.49)

Доведемо тепер рівність (2.48). Якщо припустити, що співвідношення

(2.48) не виконується, то знайдеться таке додатне число і така

підпослідовність knA , для яких виконуються умови

73

knnn nxAxAkkk

, (2.50)

які отримані з урахуванням (2.49). З послідовності knx елементів

слабокомпактної множини 1S можна добути підпослідовність jknx , яка

слабко збігається до деякого елемента 1* Sx . Отже, є справедливими

співвідношення:

jjk kn nxAxA ,* ;

jjkjk knn nxxP ,* ;

jjkjk knn nxAxPA ,* ;

jjkjkjk knnn nxAxPAP ,* , які

означають, що 0lim

jkjkjkjk

nnnn

xAxA . Отже, для досить великого

натурального l буде виконано умову:

lnxAxAjjkjkjk knnn

. (2.51)

Оскільки умова (2.51) суперечить умові (2.50), то припущення про

порушення умови (2.48) не може бути вірним. Отже, співвідношення (2.48)

виконано. Теорему 2.13 доведено.

Наведемо тепер приклад послідовності nP лінійних обмежених

операторів, що діють з 2L в 2L , для якої виконано умову

21 0lim LxxxPn

n, (2.52)

аналогічну умові (2.46). Будемо вважати, що область лежить на площині

та представляє собою відкритий квадрат площі d , обмежений відрізками

прямих, паралельних координатним осям деякої прямокутної декартової

системи координат, заданої на цій площині. Для того, щоб задати оператор

74

22: LLPn , розіб’ємо область на 2n неперетинних квадратних

областей 2,..., , 21 n рівної площі, орієнтованих подібно до квадрата .

Визначимо цей оператор наступним співвідношенням:

k

dssxmes

xPk

tn

1, якщо

2,1 nkt k . (2.53)

У співвідношенні (2.53) інтеграл розуміється в сенсі Лебега та символ

kmes позначає лебегову міру плоскої області k . Очевидно, що лінійний

оператор 22: LLPn , що задається співвідношенням (2.53), є

обмеженим і самоспряженим, причому його норма дорівнює одиниці для

кожного натурального n . Нехай Ρsx , де Ρ є множиною всіх

алгебраїчних многочленів, що залежать від двох дійсних змінних. Тоді

знайдеться таке додатне число , для якого буде виконано співвідношення:

212121 , sssssxsx . (2.54)

Використовуючи нерівність (2.54) і теорему про середнє значення для

подвійного інтеграла Рімана [145], отримуємо оцінки

n

dtxxP tn

2 м.в. на ,

n

dxxPn

21

,

з яких випливає, що 0lim1

xxPn

n. Таким чином, вірним є

співвідношення

75

0lim1

xxPn

n Ρ sx . (2.55)

Нехай тепер 2Lsx . Покажемо, що для будь-якого додатного

числа існує таке натуральне число 0n , при якому буде виконуватись

умова:

01 nnxxPn . (2.56)

Це буде означати, що виконано умову (2.52), оскільки елемент

2Lsx обраний довільно.

Оскільки множина Ρ є всюди щільною в 2L [146], то для обраного

числа 0 існує многочлен Ρsx такий, що 41

xx . Оскільки

0lim1

xxPn

n згідно з (2.55), то можна вказати такий номер 0n , що

нерівність 21

xxPn буде виконаною для всіх 0nn . Оцінюючи

тепер величину 1

xxPn для всіх 0nn , отримуємо співвідношення

11 xxxxPxxPxxP nnn

22

22 1111

xxxxxxPxxP nn ,

з яких випливає умова (2.56). Таким чином, для послідовності nP лінійних

обмежених операторів, які діють з 2L в 2L згідно з правилом (2.53),

виконується умова (2.52). Це дозволяє використовувати таку послідовність

для апроксимації лінійних обмежених операторів, які діють з 2L в 2L .

Припустимо, що лінійний обмежений оператор 22: LLA є

інтегральним і задається співвідношенням:

76

tdssxstKxA t ,, , (2.57)

де функцію stK , задано на множині таким чином, щоб

оператор A , який породжується нею, здійснював відображення 2L в

2L і був обмеженим.

Покажемо, що апроксимуючий оператор nnn PAPA , який

породжується інтегральним оператором A вигляду (2.57) та оператором nP

вигляду (2.53), також є інтегральним і задається наступним співвідношенням:

. , if ,,1

,

; ,,

jkjk

n

ntn

stdtdsstKmesmes

stK

tdssxstKxA

k j

(2.58)

Для kt отримаємо вираз tn xA згідно з (2.58) та перетворимо його:

2

1

~,

~

n

j jktn

j

k jdx

mesmes

tddsstK

xA

k j

tddsxPstKmes

n

jsn

k

~,

~12

1

k

tddsxPstKmes

snk

~,

~1

77

tnntnk

xPAPtdxPAmes

k

~1~ .

Отже, рівність tnntn xPAPxA можна довести для всіх

2

1

n

k

kt

і

для всіх 2Lsx . Отже, tnntn xPAPxA майже всюди на для всіх

2Lsx . Останнє означає, що інтегральний лінійний обмежений

оператор 22: LLAn вигляду (2.58) співпадає з лінійним обмеженим

оператором 22: LLPAP nn , який породжується оператором

22: LLAn вигляду (2.57) та оператором 22: LLPn

вигляду (2.53).

2.6 Висновки до розділу 2

У цьому розділі запропоновано нову постановку квазістатичної

контактної задачі про взаємодію двох пружних тіл з урахуванням тертя

Кулона, яка відрізняється від класичної постановки такої задачі. Отримано

якісно нові нелінійні граничні інтегральні рівняння розглянутої контактної

задачі. Обґрунтовано вибір функціональних просторів, в яких слід шукати

розв’язки отриманих рівнянь, а також розглянуто та обґрунтовано деякі

факти теорії гільбертових просторів, що необхідні для розробки метода

наближеного розв’язання цих рівнянь. Ці рівняння характеризуються тим, що

їх вигляд не залежить від конфігурації зон розділу крайових умов контактної

задачі і для складання таких рівнянь необхідно лише вказати канонічну

обмежену плоску область, яка містить у собі невідомі ділянки контакту на

усіх етапах процесу навантажування тіл.

78

Запропонована модифікована постановка контактної задачі дозволяє

враховувати історію навантажування тіл, а також може бути застосована для

розв’язання досить широкого класу контактних задач.

79

РОЗДІЛ 3

МЕТОД РОЗВ’ЯЗАННЯ КВАЗІСТАТИЧНИХ КОНТАКТНИХ ЗАДАЧ

З УРАХУВАННЯМ ТЕРТЯ КУЛОНА

У цьому розділі отримано операторні рівняння контактної задачі, що

описують фрикційну взаємодію пружних тіл на кожному кроці

квазістатичного процесу навантажування. Доведено факт єдиності розв’язку

розглянутої контактної задачі. Виконано регуляризацію отриманих

нелінійних операторних рівнянь. Запропоновано схему дискретизації

регуляризованих рівнянь, яка гарантує близькість наближеного розв’язку

дискретизованих рівнянь до точного розв’язку контактної задачі. Доведено

збіжність ітераційного процесу, запропонованого для розв’язання

дискретизованих рівнянь контактної задачі. Виконано апробацію

розробленого метода на прикладі осесиметричної контактної задачі з

відомим розв’язком.

Основні результати цього розділу опубліковані в роботах [1, 2, 5, 7].

3.1 Операторне рівняння контактної задачі

Всюди нижче будемо вважати, що лінійні оператори 3,1, jkAkj , які

містяться в рівняннях (2.24), визначаються рівностями (2.2) – (2.4). Будемо

також вважати, що при будь-якому фіксованому значенні індексу i невідомі

компоненти spki вектор-функцій spi , що входять в систему (2.24),

належать гільбертову простору 2L , а самі вектор-функції spi є

елементами гільбертова простору 32L . Тоді для невідомих вектор-функцій

80

3221 ..., , , Lspspsp l серія систем рівнянь (2.24) є еквівалентною серії

нелінійних операторних рівнянь

iiipi fpAEpGpi

~11

, li ,1 , (3.1)

в яких E – довільна додатна константа, а if~

– відомий на i -му кроці

навантажування елемент 32L , що визначає конфігурацію тіл і умови їх

навантажування на цьому кроці. Для всіх i елементи 32

~Lfi

визначаються співвідношеннями

,,1 ,~

,~

,~

3210 lisssf iiii

в яких відома функція 20 Ls задає початковий зазор між тілами, а

функції ss ii 22~

,~

, які введені у співвідношеннях (2.10), також є

елементами простору 2L . Останній факт випливає зі співвідношень (2.9) –

(2.10), а також з припущень про те, що 20 Ls і всі оператори kjA

діють з 2L в 2L .

Лінійний обмежений оператор впливу 32

32: LLA , який входить

в рівняння (3.1), задається співвідношеннями

,3,1 ,

;,, ,,,

3

1

32321321

jjkjk kxAyxAy

Lyyyyxxxx

(3.2)

в яких лінійні обмежені оператори 22: LLAkj визначаються

співвідношеннями (2.2) – (2.4). Такі лінійні оператори 22: LLAkj

81

дійсно діють з 2L в 2L [141], є обмеженими [141] і навіть цілком

неперервними [141].

Вхідний в праву частину (3.1) нелінійний неперервний оператор

32

32: LLG g визначається рівностями

; , , ,

, , ,

,

,

;,, ,,,

233

322

11

32321321

ssgsxsxqsy

sgsxsxqsy

sxhsy

xGy

Lyyyyxxxx

g

(3.3)

Як показано в підрозділі 2.6.3 оператор 32

32: LLG g , що

визначається співвідношеннями (3.3), є метричними проектором гільбертова

простору 32L на опуклу замкнену множину

на м.в. ,0 | ,, 33

221

32321 sgsxsxsxLxxxU

цього простору. Для отримання оператора

32

32:

1 1LLG

ip , який

фактично використовується у виразі правої частини рівняння (3.1), достатньо

в співвідношеннях (3.3), які задають оператор 32

32: LLG g , покласти

spsg i 1 1 майже всюди на .

82

3.2 Единість розв’язку задачі

Для доведення єдиності розв’язку контактної задачі, що описується

серією операторних рівнянь (3.1), достатньо довести єдність розв’язку

кожного з рівнянь цієї серії. Фіксуючи індекс i в (3.1) і позначаючи

32Lpp i , 211 Lpg i , 3

2~

Lfb i , отримаємо більш простий

вигляд кожного операторного рівняння із сукупності (3.1)

bpAEpGp g . (3.4)

В подальшому будемо вважати, що лінійний обмежений оператор

впливу 32

32: LLA , який входить в рівняння (3.4), є самоспряженим і

додатним

, \ 0,

,, ,,

32

32

32

LLxxxA

LyxyAxyxA (3.5)

де yx, – скалярний добуток елементів yx , гільбертова

простору 32L ;

3

2L – нульовий елемент цього простору.

Відмітимо, що умови (3.5) виражають природні властивості пружних

матеріалів. Самоспряженість оператора впливу A обумовлена властивістю

взаємності пружного середовища, а його додатність гарантована додатністю

енергії пружних деформацій взаємодіючих тіл при їх ненульовому

навантаженні. З означених міркувань оператор 32

32 : LLA вигляду

83

(3.2) повинен задовольняти умовам (3.5) (для нього перша з умов строго

доведена в роботі [63]).

Сформулюємо і доведемо теорему про єдиність розв’язку рівняння

(3.4), за умови, що оператор впливу A задовольняє умовам (3.5).

Теорема 3.1 Нехай лінійний обмежений оператор 32

32: LLA

задовольняє умовам (3.5). Тоді, для будь-якого елемента 32Lb , будь-якої,

заданої і майже всюди невід’ємної на функції 2Lg і будь-якого

дійсного числа 0 рівняння (3.4) не може мати більше одного розв’язку в

просторі 32L .

Доведення. Припустимо супротивне. Нехай p і p~ – два різні розв’язки

рівняння (3.4) у просторі 32L . Тоді з того, що за теоремою 2.9 метричний

проектор gG є нерозтягаючим у просторі 32L і очевидних рівностей

bpAEpGp g , bpAEpGp g ~~~ в силу теореми 2.12

випливає нерівність 0~,~ ppApp , яка суперечить другій з умов в (3.5).

Отримане протиріччя означає, що доказуване твердження вірне.

Теорему 3.1 доведено.

Доведена теорема означає, що при виконанні її умов розглянута

квазістатична контактна задача, що описується серією рівнянь (3.1), не може

мати більше одного розв’язку в просторі 32L .

3.3 Регуляризація операторного рівняння контактної задачі

Розробка чисельного алгоритму розв’язання рівняння (3.4)

ускладнюється тим, що лінійний обмежений оператор впливу

32

32 : LLA вигляду (3.2), який входить в (3.4), є цілком неперервним.

84

Цей факт [92], випливає з доведених в роботі [141] обмеженості і повної

неперервності лінійних інтегральних операторів 22: LLAkj вигляду

(2.2) – (2.4), які утворюють оператор 32

32 : LLA за співвідношеннями

(3.2). Вказана обставина приводить до того, що задача знаходження

невідомого елемента 32Lp за відомими елементами 3

2Lb , 0Ug з

розв’язку рівняння (3.4) є некоректно поставленою в сенсі А.Н. Тихонова

[149] (тут і нижче символом 0U позначено конус невід’ємних функцій

простору 2L [144]). Тому замість рівняння (3.4) доцільно розглядати його

регуляризований аналог

bpApEpGp g , (3.6)

в якому деяке фіксоване число 0 є параметром регуляризації.

Сформулюємо і доведемо дві теореми, з яких випливає, що

рівняння (3.6) є регуляризованим аналогом рівняння (3.4).

Теорема 3.2 Нехай лінійний обмежений оператор 32

32: LLA

задовольняє умовам (3.5). Тоді, для будь-якого фіксованого додатного числа

задача знаходження невідомого елемента 32Lp за відомими

елементами 32Lb , 0Ug з розв’язку рівняння (3.6) є коректною в сенсі

А.Н. Тихонова.

Доведення. Для доведення теореми достатньо показати, що для будь-

яких елементів 32Lb , 0Ug , рівняння (3.6) однозначно розв’язне в

просторі 32L і його розв’язок неперервно залежить від елементів

32Lb , 0Ug [147].

Нехай – фіксоване додатне число і 32Lb , 0Ug . Виберемо

додатне число E в рівнянні (3.6) так, щоб виконувалася нерівність

85

*

1

AE

(тут і далі символом *

B позначено норму довільного лінійного

обмеженого оператора 32

32: LLB ). Тоді із теореми 2.5 випливатиме

оцінка

11*

EAIEI . (3.7)

З нерівності (3.7) і нерозтяжності метричного проектора

32

32 : LLG g випливає, що оператор 3

232 : LLF , який

міститься в правій частині рівняння (3.6), є стискуючим. Дійсно, для будь-

яких елементів 32, Lyx можна отримати оцінки

yxqyxAIEIyxAyxEyx

byAyEyGbxAxExG

yFxF

gg

*

де 1 ,01 Eq .

Отже, однозначна розв’язність рівняння (3.6) у просторі 32L для

будь-яких елементів 32Lb , 0Ug випливає з принципу стискаючих

відображень [141].

Доведемо тепер неперервну залежність розв’язку рівняння (3.6) від

елементів 32Lb , 20 LUg .

Нехай елементи 32 , Lpp є розв’язками рівняння (3.6), які

отримані при 32Lbb , 0Ugg і 3

2Lbb , 0Ugg

відповідно. Тоді, враховуючи нерозтяжність оператора 32

32 : LLG g ,

співвідношення (2.14), (2.15) та оцінку (3.7), можна отримати нерівності

86

bpApEpGbpApEpGpp gg

pGbpApEpGbpApEpG ggg

pEpGbpApEpGbpApE gg

bpApEpGbpApEpGbpA gg

ppAppEppbpApEpG g

1*1

ggbbEppAIEIggbbE

,11

ggbbEppE

з яких для норми pp випливає оцінка

1

1gg

Ebbpp

.

Ця оцінка, яку отримано при фіксованому 0 для будь-яких

елементів 32 , Lbb і 0, Ugg , означає, що розв’язок рівняння (3.6) в

просторі 32L неперервно залежить від елементів 3

2Lb , 0Ug .

Теорему 3.2 доведено.

Теорема 3.3 Нехай лінійний обмежений оператор 32

32: LLA є

цілком неперервним та задовольняє умовам (3.5) і для деяких фіксованих

елементів 32Lb , 0Ug рівняння (3.4) має розв’язок 3

2* Lp . Тоді

0lim *

0

pp , де 3

2Lp є розв’язком рівняння (3.6), отриманим при

заданому додатному значенні параметра регуляризації .

Доведення. З очевидних рівностей bpAEpGp g *** ,

bpApEpGp g в силу теорему 2.12 випливає нерівність

0, ** pppApp . (3.8)

87

Використовуючи додатність оператора A і нерівність Коші –

Буняковського, з умови (3.8) отримаємо оцінки

22**** ,,,0 εε* ppp ppppppppApp ,

які тягнуть за собою нерівність

*pp . (3.9)

Очевидно, що нерівності (3.8) і (3.9) виконуються для будь-якого числа

0 . Припустимо тепер, що n – довільна послідовність додатних чисел,

для якої 0lim

nn

. Введемо позначення nppn і покажемо, що

0lim *

ppnn

.

Це і буде означати справедливість теореми 3.3.

Для доведення сильної збіжності послідовності np елементів 32L

до елементу 32

* Lp достатньо показати, що з будь-якої підпослідовності

knp послідовності np можна витягти іншу підпослідовність

jknp , яка

сильно збігається до елементу *p . Покажемо це.

Нехай knp є довільна підпослідовність послідовності np . Оскільки

підпослідовність knp є обмеженою в силу нерівності (3.9), то існує така її

підпослідовність jknp і такий елемент 3

2~ Lp , що

jknp слабко

збігається в 32L до p~ (див. [142, теорема 1.7]). З оцінки (3.8) при

jkn

випливає нерівність

88

2*** ,,

jkjkjkjkjkjk nnnnnn pppppApp

,

яка є справедливою для всіх значень індексу jkn . Переходячи в цій

нерівності до границі при jkn , яка існує внаслідок слабкої збіжності

jknp до *p та підсиленої неперервності лінійного цілком неперервного

оператора 32

32: LLA , отримаємо нерівність

0~,~ ** ppApp ,

яка в силу другої з умов (3.5) означає, що pp ~* . Отже, jknp слабко

збігається до елементу *p . Але оскільки з нерівності (3.9) ще випливають

оцінки

*ppjkn

jkn ,

то jknp сильно збігається до *p (див. [142, теорема 1.4]).

Теорему 3.3 доведено.

З доведених теорем 3.2 і 3.3 випливає, що рівняння (3.6) є

регуляризованим аналогом рівняння (3.4).

89

3.4 Дискретизація регуляризованого рівняння контактної задачі

Наявність доданка p в рівнянні (3.6) дозволяє побудувати

ефективний стійкий чисельний алгоритм наближеного розв’язання цього

рівняння. Такий алгоритм ґрунтується на наступній апроксимаційній теоремі.

Теорема 3.4 Нехай 32Lb , 0Ug ( 0U – конус невід’ємних функцій

простору 2L ). Нехай лінійний обмежений оператор 32

32: LLA

задовольняє умовам (3.5). Нехай послідовність лінійних обмежених

операторів nA , що діють в 32L , а також послідовність nb елементів

32L і послідовність ng елементів 20 LU задовольняють наступним

умовам:

.0lim

;0lim

;0lim

1

*

nn

nn

nn

gg

bb

AA

(3.10)

Тоді, для будь-якого числа 0 існує натуральне число 0n , залежне

тільки від , таке, що для всіх натуральних 0nn рівняння

nng bpApEpGpn

(3.11)

є однозначно розв’язним в 32L і виконується рівність

0lim

ppnn

,

90

де 32 , Lppn є розв’язками рівнянь (3.11) і (3.6) відповідно.

Доведення. Виберемо для заданого числа 0 номер 0n і число 0E

в рівнянні (3.11) так, щоб виконувалися нерівності:

; 2

0*nnAA n

.1

*A

E

Використовуючи ці нерівності і твердження теореми 2.5, можна

отримати наступну оцінку:

0* 1

21 nnEAIEI n

. (3.12)

Дійсно,

***

AIEIAAAIEIAIEI nn

12

12

1*

EEEAAE n .

З нерівності (3.12) випливає стисливість оператора 32

32 : LLFn ,

що міститься в правій частині рівняння (3.11) (див. доведення теореми 3.2),

яка тягне за собою однозначну розв’язність цього рівняння в просторі 32L

для всіх натуральних 0nn .

Доведемо тепер сильну збіжність в просторі 32L послідовності np

розв’язків рівнянь (3.11) до розв’язку 32Lp рівняння (3.6). Для цього

91

розглянемо послідовність n елементів простору 32L , яка визначається

рівністю

0 nnbbpApA nnnnn .

Враховуючи умови (3.10) та обмеженість в 32L послідовності np ,

яка має місце в силу обмеженості в 32L збіжної послідовності nb і

нерівності (3.12), отримаємо для n оцінку

nnnn bbpAA *

.

З цієї оцінки випливає, що

0lim

nn

. (3.13)

Оскільки з теореми 3.2 випливає неперервна залежність розв’язку

рівняння (3.6) від елементів 32Lb , 0Ug , то з очевидних співвідношень

bpApEpGp g ,

nnnngn bpApEpGpn

,

а також з останньої рівності (3.10) і доведеного співвідношення (3.13)

випливає, що 0lim

ppnn

.

Теорему 3.4 доведено.

З доведених теорем 3.1 – 3.4 випливає, що наближений розв’язок

розглянутої контактної задачі на кожному кроці навантаження можна

отримати, розв’язавши рівняння (3.11) при достатньо малому значенні 0 і

92

достатній близькості оператора nA і елементів nb , ng до оператора A і

елементів b , g відповідно.

Побудуємо такі апроксимуючі послідовності nA , nb і ng , що

задовольняють умовам (3.10), і для яких рівняння (3.11) можна розв’язати

чисельно з будь-яким ступенем точності. Для цього будемо задавати область

у вигляді відкритого квадрата, обмеженого прямими, паралельними осям

OyOx , декартової системи координат, введеної для взаємодіючих тіл. Далі

для кожного натурального n розіб’ємо область на 2n неперетинних

квадратних областей 2,...,, 21 n рівної площі, орієнтованих подібно

квадрату . Будемо вважати, що в співвідношеннях (3.2) лінійні обмежені

оператори 22 : LLAij мають інтегральний вигляд

3,1, , ,,

jitdssxstKxA ijtij

і є цілком неперервними, а функції stKij , визначаються за формулами (2.3),

(2.4) (повну неперервність таких операторів доведено в [141]). Визначимо

лінійний цілком неперервний оператор 32

32 : LLAn наступним

чином:

.3,1, , ,,

;3,1 , ,

;,, ,,,

3

1

32321321

jitdssxstKxA

ixAyxAy

Lyyyyxxxx

jn

ijtjn

ij

jj

nijin (3.14)

93

Функції stKn

ij , , що входять в співвідношення (3.14), визначаються

співвідношеннями:

.3,1, ;,1, ; , якщо

,,1

,

2 jinmkst

dtdsstKmesmes

stK

mk

ijmk

nij

k m

(3.15)

Елементи 32Lbn і 0Ugn задамо у вигляді

321~

,~

,~

bPbPbPb nnnn , gPg nn , де bbbb 321~

,~

,~

, а оператор

22 : LLPn визначається співвідношеннями (2.53). Як було показано

в підрозділі 2.6.4, справедливими є наступні рівності:

3,1,0lim

1*

jiAA ij

nij

n;

3,1 0~~

lim1

jbbP jjnn

;

0lim1

ggPn

n,

з яких очевидним чином випливають умови (3.10) (тут символом 1*

B

позначено норму кожного лінійного оператора 22 : LLB ). Крім того,

послідовності nA , nb , ng задано так, що оператор 32

32: LLFn ,

який використано для запису правої частини pFn рівняння (3.11),

відображає гільбертів простір 32L в його скінченновимірний підпростір

222 LPLPLPH nnnn . Отже, кожний розв’язок рівняння

(3.11) міститься в nH і може бути знайдений з розв’язку наступної системи

23n нелінійних скалярних рівнянь з 23n невідомими:

94

.,1 ; ,

,

; ,

,

;

23

1131313

3

13333

3

1333

3

113131313

3

123232323

2

2

2

2

2

nkgbxaEx

bxaExqx

gbxaEx

bxaExqx

bxaExhx

k

n

jkjjkk

n

jkjkjkk

k

n

jkjkjk

n

jkjjkkk

n

jkjjkkk

(3.16)

Невідомі 2321 ,...,,n

xxx в системі (3.16) пов’язані з розв’язком

nnnnn Hpppp 321 ,, рівняння (3.11) співвідношеннями spx nk 123 ,

spx nk 213 , spx nk 33 при

2,1 nks k . Невід’ємні сталі kg в цій

системі є відомими, а 0 є коефіцієнтом тертя. Значення параметрів kb ,

kja , kg в (3.16) визначаються співвідношеннями, отриманими з урахуванням

(3.14), (3.15):

.2,0, ,,1,

,,1

,1

,~1

,~1

,~1

2

3 33 33 3

33

213123

ednjk

dtdsstKmes

a

dssgmes

gdssbmes

b

dssbmes

bdssbmes

b

k j

k k

kk

ejdkedk

ejdk

kk

kk

kk

kk

(3.17)

95

Тут kj – символ Кронекера, а додатне число – параметр

регуляризації. Запропонований спосіб побудови апроксимуючих

послідовностей nA , nb , ng гарантує, що розв’язок 32Lpn

операторного рівняння (3.11) (існування і єдиність якого в 32L при досить

великому n випливає з теореми 3.4) неодмінно має міститися в

скінченновимірному підпросторі nH простору 32L (див. теорему 2.7). Це

означає, що при виконанні всіх умов теореми 3.4 (а також при повній

неперервності лінійних інтегральних операторів 22 : LLAkj )

система рівнянь (3.16) є сумісною, якщо тільки значення n достатньо велике.

Таким чином, шуканий розв’язок np рівняння (3.11) при достатньо великому

n може бути отримано за знайденими значеннями невідомих 2321 ..., , ,n

xxx ,

що задовольняють системі рівнянь (3.16).

Для багатьох контактних задач теорії пружності використовується

апроксимація взаємодіючих тіл пружними півпросторами [42]. В цьому

випадку для послідовності, яка визначається формулами (3.14), (3.15), можна

замість формул (3.15) використовувати такі співвідношення [66]:

.3,1 , ,,1 ,

;, ,,1

; , , ,,

,

2

ednjk

stdsssKmes

jkstssK

stK

k

knked

k

jknj

nked

ned

(3.18)

У співвідношеннях (3.18) nks – центр квадрата k , а ядра stKkj ,

інтегральних операторів kjA визначаються згідно із розв’язками Буссінеска-

Черруті формулами (2.3) – (2.4).

96

Отже, в разі апроксимації взаємодіючих тіл пружними півпросторами

коефіцієнти kja в системі (3.16) можна обчислити без використання

співвідношень (3.17) за наступними простими формулами:

.2,0, ;,1,

;,

;0

;,

2

3 33 3

13 323 33 1323 133 2313 23

3 33 3

edjknjk

ssKmesa

aaaaaa

dsssKa

nj

nkedjejdk

kkkkkkkkkkkk

nkjjdkdk

k

(3.19)

Відзначимо, що при апроксимації взаємодіючих тіл пружними

півпросторами лінійні інтегральні оператори 22 : LLAkj є цілком

неперервними [141], а породжений ними цілком неперервний оператор

32

32 : LLA вигляду (3.2) задовольняє всім умовам теорем 3.1 – 3.4.

3.5 Ітераційний процес для розв’язання дискретного аналога

контактної задачі

Квазістатична контактна задача, що розглядається, в дискретній

постановці зводиться до послідовного розв’язання на кожному i -му кроці

навантажування системи рівнянь вигляду (3.16). Таким чином, для

дискретизованої контактної задачі отримаємо серію систем скалярних

рівнянь, яку можна записати в наступній формі:

97

.,1 ,,1

; ,

,

; ,

,

;

2

1 23

3

1 13 13 13

3

1 3 3 3 3

1 23

3

1 3 3 3

3

1 13 13 13 13

3

1 23 23 23 23

2

2

2

2

2

link

xbxaEx

bxaExqx

xbxaEx

bxaExqx

bxaExhx

ik

n

jikijjkik

n

jikijkjikik

ik

n

jikijkjik

n

jikijjkikik

n

jikijjkikik

(3.20)

В серії систем (3.20) коефіцієнти kja визначаються співвідношеннями

(3.19), а для параметрів ikb справедливі формули

,,1 ,,1 ~

,~

, 23 32 1310 23 linksbsbsb n

kiiknkiiki

nkik

в яких nks – центр квадрата k , а функції ss ii 32

~ ,

~ були визначені у

співвідношеннях (2.10).

Слід відмітити, що на i -му кроці навантажування значення контактних

тисків 1 23 ikx в системі (3.20) є відомими із розв’язку цієї системи,

отриманому на попередньому 1i -му кроці навантажування тіл. Параметри

~ ,

~3 32 13

nkiik

nkiik sbsb також залежать від розв’язку задачі на

1i -му кроці (див. співвідношення (2.10)).

У разі апроксимації взаємодіючих тіл пружними півпросторами

співвідношення (3.19) гарантують симетричність і додатну визначеність (при

98

достатньо великому n ) матриці 20 3,1, , njkaA kj . Ця обставина

дозволяє при кожному фіксованому i для наближеного розв’язання системи

рівнянь (3.20) запропонувати наступний ітераційний процес:

. ,

,

,

,

;

.... ,2 ,1 ,0 ,,1 ,,...,,

3

1 13 13 13

3

1 3 3 3

1 3

3

1 3 3 3

3

1 13 13 13

1 13

3

1 23 23 23

1 23

230

3

0 2

0 1

2

2

ik

l

jik

mijjk

mik

l

jik

mijjk

mik

mik

ik

l

jik

mijjk

mik

l

jik

mijjk

mik

mik

l

jik

mijjk

mik

mik

n

inii

bxaEx

bxaExqx

bxaEx

bxaExqx

bxaExhx

mnkRxxx

(3.21)

в якому 1 23 ikik x – відомі невід’ємні параметри, а індекс m позначає

номер кроку ітерації.

Сформулюємо і доведемо наступну теорему про однозначну

розв’язність кожної системи з серії (3.20) і збіжність ітераційного процесу

(3.21) до розв’язку цієї системи при кожному фіксованому натуральному i

від 1 до l .

Теорема 3.5 Нехай i – фіксоване натуральне число. Нехай квадратна

числова матриця 20 3,1, , njkaA kj є симетричною і додатно визначеною.

Тоді для будь-якого вектора 2

23

3 2 1 ,...,, n

inii Rbbbb і для будь-яких

невід’ємних чисел inii 2 1 2,...,, система рівнянь (3.20) має в просторі

99

23nR єдиний розв’язок, причому, якщо додатна константа E задовольняє

нерівності

2

2

3

131

max

1

n

jkj

nk

a

E , (3.22)

то ітераційний процес (3.21) збігається до цього розв’язку незалежно від

вибору початкового вектора 2

230

3

0 2

0 1 ,...,, n

inii Rxxx .

Доведення. Нехай i – фіксоване натуральне число від 1 до l . Введемо

позначення inii bbbb 3 2 1 2,...,, , 2

23

3 2 1 ,...,, n

inii Rxxxx і запишемо

систему рівнянь (3.20), що відповідає заданому i , в матрично-векторній

формі

bxAExFx 0 , (3.23)

де нелінійний оператор 22 33: nn RRF задається співвідношеннями:

.,1 ,~,~~

,,~,~~

,~~;~~

;~,...,~,~~ ,~,...,~,~~

2 1333

31313

2323

3

321321

2

22

nkxxqy

xxqy

xhy

xFy

Ryyyyxxxx

ikkkk

ikkkk

kk

n

nn

(3.24)

Будемо вважати, що додатна константа E в рівнянні (3.20) задовольняє

нерівності (3.22).

З очевидних нерівностей [63]

100

,2

212

21 yyyhyh

2

22112

2211 ,,,,,,,, wyzqwyzqwzyqwzyq

2212

21 zzyy ,

справедливих для будь-яких дійсних чисел 2121 ,,, zzyy і для будь-якого

невід’ємного числа w , випливає нерозтяжність оператора 22 33: nn RRF

вигляду (3.24). Дійсно, для будь-яких векторів 2321~,...,~,~~

nxxxx ,

2321~,...,~,~~

nyyyy простору

23nR справедливі оцінки

ikkk

n

kkk xxqyhxhyFxF 313

3

1

22323

2,~,~~~~~

2

2

133 1332

313 ,~,~,~,~,~,~ikkkikkkikkk yyqxxqyyq

l

jjj

l

kkkkkkk yxyxyxyxyx

3

1

22

1

233

21313

22323 ,~~~~~~~~~~

які означають нерозтяжність оператора 22 33: nn RRF вигляду (3.24). В цих

оцінках символом x позначена евклідова норма вектора 23nRx .

Для оператора 22 33:

~ nn RRF , що стоїть в правій частині рівняння

(3.23), і для будь-яких довільних елементів 23 , nRyx тепер можна отримати

оцінки

byAEyFbxAExFyFxF 00~~

yxAEyxbyAEybxAEx 000

101

,*00 yxAEIyxAEI

в яких I – діагональна квадратна числова матриця порядку 23n з одиницями

на головній діагоналі, а символ *

B позначає спектральну норму [148]

матриці B (матричну норму, узгоджену з евклідовою векторної нормою).

З отриманих оцінок випливає нерівність

23

*0 , ~~ nRyxyxAEIyFxF . (3.25)

З симетричності і додатної визначеності матриці 0A випливає очевидна

нерівність [148]

23

0 ,, nRxxxxxA , (3.26)

в якій – найменше власне значення матриці 0A , а символ yx, позначає

скалярний добуток векторів 23 , nRyx . Крім того, з очевидної оцінки [148]

2

2

3

131*0 max

n

jkj

nk

aA

і нерівності (3.22) випливає, що симетрична матриця 0AEI є невід’ємно

визначеною [148]. Оцінюючи спектральну норму такої матриці з

урахуванням умов (3.26), отримаємо співвідношення

zzAEzzzzAEzAEIzz

,,sup,sup 01

01

*0

102

.111sup,1sup1

01

EEzzAEzz

З цих співвідношень і нерівності (3.25) випливає нерівність

23 , 1

~~ nRyxyxEyFxF .

Отже, оператор 22 33:

~ nn RRF , що міститься в правій частині

рівняння (3.23), є оператором стиску. Тоді, згідно з принципом стискаючих

відображень [141], рівняння (3.23), а, отже, і система рівнянь (3.20), при

кожному фіксованому натуральному i має в просторі 23nR єдиний розв’язок

і ітераційний процес (3.21) збігається до цього розв’язку незалежно від

вибору початкового вектора, якщо додатна константа E , що входить в (3.21),

задовольняє нерівності (3.22).

Теорему 3.5 доведено.

Отже, наближений розв’язок квазістатичної контактної задачі про

взаємодію пружних тіл з урахуванням тертя можна отримати, розв’язавши на

кожному кроці навантажування тіл відповідну цьому кроку систему рівнянь

(3.20) за допомогою ітераційного процесу (3.21). Гарантія достатньої

близькості цього наближеного розв’язку контактної задачі до її точного

розв’язку, а також сама можливість отримання цього наближеного розв’язку

запропонованим способом встановлені в даному розділі теоремами 3.1 – 3.5

лише за умови, що відомий наперед оператор впливу 32

32: LLA для

системи взаємодіючих тіл є лінійним, інтегральним, цілком неперервним,

самоспряженим і додатним.

103

3.6 Апробація методу розв’язання контактних задач

Для перевірки коректності запропонованого методу розв’язання

квазістатичних контактних задач була розглянута задача про вдавлювання

пружної кулі в пружний півпростір. Для розрахунків були обрані наступні

вихідні дані: 51 103E МПа, 5

2 10 E МПа, 2,0 21 , 12375,0 ,

3,0R м, де 1E , 2E – модулі Юнга кулі і півпростору, 21, – коефіцієнти

Пуассона, – коефіцієнт тертя, R – радіус кулі. Значення параметру

Дандерса (що характеризує відмінність пружних властивостей матеріалів

кулі та півпростору), який визначається згідно [42] формулою

212

221

112221

11

121121

2

1

EE

EE,

дорівнює для цієї задачі 1875,0 . Відношення 66,0 .

Процес навантажування тіл здійснювався за l кроків у відповідності з

наступним характером зміни виражених у метрах жорстких зміщень кулі

iii 321 ,, :

.,1 ,0 , 00007,0

321 liil

iii

Така історія навантажування відповідає дії на кулю нормальної

стискаючої сили, яка повільно зростає від нуля до деякого граничного

значення.

Для дискретизації області можливого контакту (квадрату )

використовувалася квадратна сітка з кроком 00025,0 м, яка складалася з

16814141 рівних граничних елементів 16812 n . В результаті чисельних

104

розрахунків, з використанням ітераційного процесу (3.21), були отримані

наближені значення нормальних і дотичних контактних напружень на

граничних елементах поверхневої сітки. Отримані результати зіставлялися з

відомим розв’язком розглядуваної осесиметричної контактної задачі,

наведеним в монографії К. Джонсона [42] і наближеним розв’язком цієї

задачі, отриманим в роботі [1] (в роботі [1] отримано чисельний розв’язок

системи рівнянь (2.25) для розглядуваної задачі, що відповідає процесу

навантажування тіл в неспрощеній класичній формі). З використанням

позначень К. Джонсона, у таблиці 3.1 показано залежність безрозмірної

величини maxp

zx

від безрозмірного параметра

a

x, де zx – дотичні

контактні напруження у вузлових точках сітки (центрах граничних

елементів), що лежать на осі Ox , maxp – максимальне значення контактного

тиску на поверхні контакту, a – радіус кругової ділянки контакту. Перший

рядок таблиці відповідає розв’язку [42], другий рядок – розв’язку [1], третій

рядок – чисельному розв’язку, отриманому з використанням ітераційного

процесу (3.21) при 20l , четвертий рядок – чисельному розв’язку,

отриманому з використанням того ж ітераційного процесу при 60l .

Таблиця 3.1 – Залежність дотичних напружень від відстані

a

x 0,00 0,11 0,22 0,33 0,44 0,55 0,66 0,77 0,88 0,99

1 0,00 0,18 0,29 0,37 0,43 0,47 0,48 0,43 0,33 0,09

2 0,00 0,21 0,30 0,39 0,45 0,49 0,48 0,41 0,31 0,09

3 0,00 0,13 0,24 0,35 0,42 0,46 0,46 0,39 0,27 0,04

4 0,00 0,16 0,29 0,38 0,44 0,49 0,48 0,41 0,3 0,06

105

Дані, що наведені в таблиці 3.1, свідчать про те, що отримані чисельні

розв’язки даної задачі при двадцяти і шістдесяти кроках навантажування

несуттєво відрізняються від її відомих розв’язків [42, 1]. Крім того,

збільшення кількості кроків навантажування з двадцяти до шістдесяти

призвело до помітного зменшення відносної похибки отриманих результатів

по відношенню до розв’язку К. Джонсона [42]. При двадцяти кроках

навантажування ця похибка склала приблизно 10%, а при шістдесяти

кроках – 6%. Як і слід було очікувати, введене загаювання контактних тисків

в законі тертя Кулона не могло не вплинути на обсяг обчислювальних затрат

для отримання розв’язку цієї задачі з достатньою точністю. Так розв’язок [1],

отриманий при двадцяти кроках навантажування для задачі в

немодифікованій постановці (див. другий рядок таблиці 3.1), має таке ж

відхилення від розв’язку [42], як і розв’язок задачі в модифікованої

постановці при шістдесяти кроках навантажування (див. четвертий рядок

таблиці 3.1). Крім того, співставлення даних третього та четвертого рядків

таблиці 3.1 свідчить про стійкість застосованої процедури дискретизації

процесу навантажування.

Проведений аналіз отриманих результатів дозволяє зробити висновок

про те, що запропонований метод наближеного розв’язання квазістатичних

контактних задач про взаємодію пружних тіл з урахуванням тертя є

коректним і дозволяє отримувати результати з достатньо високою точністю.

Крім того, отримані результати свідчать про те, що прийнята гіпотеза щодо

спрощення умов навантажування тіл, на якій базується розроблений метод, є

правомірною для розглянутої у цьому підрозділі контактної задачі.

106

3.7 Висновки до розділу 3

У цьому розділі розроблено метод чисельного розв’язання систем

нелінійних інтегральних рівнянь, до яких зводиться квазістатична контактна

задача про взаємодію пружних тіл при наявності тертя. При природних

властивостях пружних матеріалів взаємодіючих тіл доведено факт єдиності

розв’язку розглянутої контактної задачі. Для інтегральних рівнянь, що

описують контактну взаємодію на кожному кроці навантажування,

побудовано регуляризовані аналоги, запропоновано схему дискретизації

регуляризованих рівнянь, яка гарантує близькість наближеного розв’язку

дискретизованих рівнянь до точного розв’язку контактної задачі.

Запропоновано ітераційний процес для розв’язання дискретизованих

рівнянь контактної задачі. Доведено збіжність цього процесу.

Виконано апробацію розробленого метода шляхом його застосування

для отримання наближеного розв’язку контактної задачі про фрикційну

взаємодію кулі і півпростору, виготовлених з різних пружних матеріалів. На

основі аналізу отриманих результатів та порівнянні цих результатів з

розв’язком цієї задачі, наведеним в монографії К. Джонсона, та іншими

відомими даними можна зробити висновок про коректність розробленого

метода. Цей висновок можна також зробити спираючись на строге

математичне обґрунтування основних етапів запропонованого метода, про

яке свідчать теореми, доведені у цьому розділі.

107

РОЗДІЛ 4

РОЗВ’ЯЗАННЯ КВАЗІСТАТИЧНИХ КОНТАКТНИХ ЗАДАЧ

З УРАХУВАННЯМ ТЕРТЯ КУЛОНА І ІСТОРІЇ НАВАНТАЖУВАННЯ

У даному розділі за допомогою розробленого методу отримано

наближені розв’язки деяких просторових контактних задач про взаємодію

пружних тіл з урахуванням тертя при різних способах їхнього

навантажування. Досліджено вплив врахування історії навантажування на

розподіли контактних напружень. Виконано співставлення отриманих

чисельних результатів з відомими розв’язками розглянутих контактних

задач.

Основні результати цього розділу опубліковані в роботах [1, 3, 5, 6, 11].

4.1 Взаємодія пружної кулі з пружним півпростором, матеріали

яких є однаковими

При використанні закону тертя Кулона в неспрощеній класичній формі

[30] природно очікувати, що розподіл контактних напружень істотно

залежить від історії прикладання зовнішнього навантажування. Для

дослідження цієї залежності розглянемо спочатку задачу про контакт двох

пружних тіл, матеріали яких однакові. Для подібних задач були отримані

наближені аналітичні [16, 17] і чисельні [77, 125, 149, 150] розв’язки без

урахування історії навантажування. Спроби врахувати історію

навантажування при фрикційній взаємодії пружних тіл робилися в роботах

[52, 98-100] за певних обмежень на умови контакту тіл. В роботі [99] вплив

історії навантажування досліджено на прикладі задачі про контакт двох

ідентичних пружних дисків під дією простого пропорційного

108

навантажування. Врахування історії навантажування за допомогою

інкрементального підходу при взаємодії сферичних тіл за умови повного

зчеплення здійснено в роботі [98]. В роботах [52, 100] проаналізовано вплив

історії навантажування на контактні напруження двох пружних тіл з

узгодженими поверхнями, що мають локальні нерівності, при їх

послідовному і пропорційному навантаженні стискальними і зсувними

зусиллями. Просторові контактні задачі при більш складних, наприклад

немонотонних, законах навантажування вивчені мало.

Дослідимо роль історії прикладання зовнішніх зусиль на прикладі

задачі про взаємодію пружної кулі і пружного півпростору, матеріали яких є

однаковими, при різних законах навантажування. При цьому для перевірки

правильності отриманих результатів доцільно знайти таку історію

навантажування взаємодіючих тіл, яка відповідає відомому наближеному

аналітичному розв’язку [17], отриманому Р.Д. Міндліним для цієї задачі в

статичній постановці.

4.1.1 Розв’язання задачі в статичній постановці

Розглянемо спочатку статичну постановку задачі. Нехай ідентично

лінійно-пружні ізотропні куля і півпростір в ненапруженому стані

дотикаються в точці O , що лежіть у обмежуючій півпростір площині .

Введемо у просторі прямокутну декартову систему координат з початком в

точці O , осями yx, , що лежать в площині і віссю z , спрямованою за

зовнішньою нормаллю до півпростору. Нехай під дією спрямованої вздовж

осі z стискаючою сили zP тіла вступають у контакт через малу у порівнянні

з радіусом кулі R поверхню в околі точки O . Припустимо, що до кулі

прикладається також дотична сила xP , яка спрямована за віссю Ox , і момент

109

RPx такі, що внаслідок дії сил zP , xP і цього моменту забезпечуються

умови рівноваги взаємодіючих тіл (рис. 4.1).

Рисунок 4.1 – Схема контактної взаємодії кулі і півпростору

Приймаючи відносно контактуючих тіл основні гіпотези Герца [42],

будемо додатково вважати, що на поверхні контакту виникає тертя, яке

підкоряється закону Кулона. З урахуванням цих припущень поверхнею

контакту є частина площини Oxy , обмежена колом [17]. При цьому

нормальні контактні напруження можна знайти за формулами Герца

незалежно від дотичних контактних напружень [42]. В роботі [17]

Р.Д. Міндлін показав, що на поверхні контакту утворюються кругова зона

зчеплення і кільцева зона проковзування. Для розподілу дотичних

поверхневих напружень в цих зонах він отримав наступні формули:

110

, if ,12

31

2

3

; if ,12

3

2

1

2

2

3

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

aaa

aP

aa

P

aaaa

P

X

zz

z

(4.1)

де X – проекція на вісь Ox вектора поверхневого напруження, що діє

на поверхні півпростору в точці s ділянки контакту з координатами 0,, yx ;

22 yx – відстань від точки s до точки O ;

– коефіцієнт тертя;

a – радіус ділянки контакту;

a – радіус зони зчеплення.

Причому зв’язок між радіусами a і a виражається формулою:

2

1

1

z

x

P

Paa

.

Слід зазначити, що формули (4.1), отримані при застосуванні закону

тертя Кулона у спрощеному некласичному вигляді [17], не дозволяють

враховувати історію навантажування тіл, при якій були досягнуті задані

значення зусиль zP і xP .

Для того щоб мати можливість розглянути різні закони навантажування

тіл та дослідити за допомогою розробленого методу, який вплив спричиняє

історія прикладання зовнішнього навантаження на розподіл контактних

напружень, необхідно спочатку визначити абсолютні величини 1 , 2 , 3

компонент жорсткого зміщення γ кулі, яке відповідає силам zP і xP в

статичній задачі. Для цього знайдемо наближений розв’язок статичної задачі

методом нелінійних межових інтегральних рівнянь [1], вважаючи процес

111

навантажування однокроковим 1l . Будемо використовувати наступні

вихідні дані: радіус кулі 3,0R м; нормальна сила 5,71zP кН; дотична сила

2,11xP кН; модуль Юнга тіл 521 101,2 EE МПа; коефіцієнт Пуассона тіл

3,021 . Коефіцієнт тертя 2,0 . Область розіб’ємо на 16814141

однакових квадратних граничних елементів площею 81076,6 м2. Тут і в

подальшому для обчислення елементів матриці податливості kja будемо

використовувати співвідношення (3.19), в яких функції ssK jk , задаються

за допомогою формул (2.3), (2.4), а значення параметру регуляризації

будемо задавати співвідношенням

k

dsssK nk

,10 113 .

За допомогою чисельних розрахунків було встановлено, що заданим

значенням сил zP і xP відповідають наступні абсолютні величини жорстких

зміщень кулі: 51 10947,8 м, 5

2 10389,1 м, 03 . На рис. 4.2

показано розподіл дотичних контактних напружень, що відповідає знайденим

величинам 1 , 2 , 3 . Суцільна лінія на рис. 4 2 відповідає розв’язку

Р.Д. Міндліна [17], квадрати відповідають отриманому чисельному розв’язку.

Тут безрозмірна величина xP

XaX

2* 2 визначає дотичні контактні

напруження в вузлових точках сітки (центрах граничних елементів), що

лежать на осі Ox , a

x – безрозмірна координата точки на осі Ox .

112

Рисунок 4.2 – Розподіл безрозмірних дотичних контактних напружень

(статична задача)

Максимальна відносна похибка отриманого наближеного розв’язку по

відношенню до максимального значення величини *X , знайденого згідно

[17], склала приблизно %2 , що свідчить про добру відповідність

порівнюваних величин і коректність знайдених абсолютних величин 1 , 2 ,

3 компонент жорсткого зміщення кулі.

Тепер для оцінки впливу історії прикладання до кулі зовнішніх зусиль

на розподіл контактних напружень можна розглянути різні закони

навантажування, які мають однакові кінцеві значення жорстких зміщень

1 , 2 , 3 . Причому, запропонований в роботі метод розв’язання

квазістатичних контактних задач дозволяє розглядати, в тому числі, такі

історії навантажування, які можуть включати в себе немонотонні етапи,

тобто етапи, які включають навантаження і розвантаження.

113

4.1.2 Комбіноване навантажування

Розглянемо задачу в квазістатичній постановці з комбінованим

послідовним навантажуванням, при якому спочатку куля вдавлюється в

півпростір за рахунок монотонно зростаючого зміщення 1 , а потім

здійснюється жорсткий дотичний зсув (в напрямку осі Ox ) вдавленої в

півпростір кулі при сталому досягненому раніше нормальному зміщенні 1 .

Будемо здійснювати розглянутий процес навантажування за сорок кроків у

відповідності до закону зміни жорстких зміщень кулі, представленому на

рис. 4.3. Тут i – номер кроку навантажування, 310 – абсолютна величина

нормального i1 (суцільна лінія на рис. 4.3) і дотичного i2 (пунктирна лінія

на рис. 4.3) жорстких зміщень кулі на i -му кроці навантажування. Кінцеві

величини зміщень i1 і i2 дорівнюють знайденим із розв’язку статичної

задачі значенням 51 10947,8 м і 5

2 10389,1 м відповідно. Жорстке

зміщення 03 i на усіх кроках навантажування. Тут i1 , i2 , i3 позначено

модулі компонент вектору жорсткого зміщення iγ .

Рисунок 4.3 – Закон комбінованого навантажування

114

На рис. 4.4 представлено розподіл діючих на півпростір дотичних

контактних напружень вздовж осі Ox , який відповідає останньому

сороковому кроку розглянутого процесу навантажування.

Рисунок 4.4 – Розподіл безрозмірних дотичних контактних напружень

(комбіноване навантажування)

Тут суцільна лінія відповідає розв’язку [17], пунктирна лінія з

квадратами відповідає отриманому чисельному розв’язку. Наближені кінцеві

значення прикладених до ділянки контакту нормальної і дотичної сили

склали 5,71 кН і 2,11 кН відповідно, тобто величини цих сил співпадають із

заданими в статичній постановці задачі величинами зовнішніх сил zP і xP .

4.1.3 Просте навантажування

Розглянемо історію навантажування, при якій модулі нормального і

дотичного (в напрямку осі Ox ) жорстких зміщень кулі зростають до заданих

115

значень одночасно за лінійними законами. Такий процес навантажування

будемо називати простим. Графік закону зміни жорстких зміщень кулі при

сорока кроках навантажування наведено на рис. 4.5.

Рисунок 4.5 – Закон простого навантажування

Кінцеві значення зміщень i1 і i2 на сороковому кроці тут також

дорівнюють 510947,8 м і 510389,1 м відповідно. Жорстке зміщення i3

дорівнює нулю на усіх кроках навантажування.

Отриманий з чисельних розрахунків розподіл діючих на поверхні

півпростору дотичних контактних напружень вздовж осі Ox , що відповідає

останньому кроку навантажування, наведено на рис. 4.6. Тут суцільна лінія

відповідає розв’язку [17], пунктирна лінія з квадратами відповідає

отриманому чисельному розв’язку.

116

Рисунок 4.6 – Розподіл безрозмірних дотичних контактних напружень

(просте навантажування)

Абсолютні величини рівнодіючих прикладених до ділянки контакту

нормальних і дотичних навантажень на останньому кроці навантажування

склали: 5,71zP кН і 2,9xP кН. Результати, наведені на рис. 4.6, показують,

що у випадку простого навантажування отриманий чисельний розв’язок

істотно відрізняється від розв’язку [17] (відносна похибка порівнюваних

величин по відношенню до максимальної величини *X , знайденої за [17],

склала приблизно 53% ). Нормальна складова рівнодіючої сили, прикладеної

до ділянки контакту на останньому кроці, не відрізняється від величини цієї

складової при комбінованому навантаженні, а дотична складова виявилася

приблизно на % 18 меншою порівняно з її величиною при статичному і

комбінованому навантаженнях. На рис. 4.7 представлено графік залежності

відношення

Z

X дотичних X і нормальних Z контактних напружень від

безрозмірної координати a

x на сороковому кроці навантажування.

117

Рисунок 4.7 – Відношення дотичних контактних напружень

до контактних тисків

Аналіз результатів, представлених на рис. 4.7, показав, що у більшості

вузлових точок сітки на осі Ox відносне відхилення величини

Z

X від

відношення 128,0z

x

P

P не перевищує % 6 . Лише у точках, розташованих на

межі ділянки контакту це відхилення склало приблизно % 55 , що можна

пояснити нескінченними градієнтами, які мають дотичні і нормальні

контактні напруження на межі області контакту. Встановлено також, що

пропорційність дотичних та нормальних контактних напружень з однаковим

коефіцієнтом пропорційності, приблизно рівним 128,0 , зберігається на

кожному кроці навантажування тіл. Отже, відношення дотичних і

нормальних контактних напружень на кожному кроці навантажування є

меншим за коефіцієнт тертя, тому проковзування в процесі навантажування

контактуючих поверхонь відсутнє.

Отже, можна зробити висновок, що при простому навантажуванні

дотичні контактні напруження є приблизно пропорційними контактним

118

тискам з коефіцієнтом пропорційності, який дорівнює відношенню

прикладених до кулі дотичних і нормальних зовнішніх зусиль, причому, в

області контакту має місце повне зчеплення на усіх етапах навантажування.

Такий результат цілком узгоджуєтеся з розв’язком задачі про контакт двох

дисків, отриманим в роботі [99] за допомогою принципу “защемленої”

деформації, згідно з яким відносний зсув поверхонь після їх входження у

контакт залишається незмінним.

4.1.4 Складне комбіноване навантажування

В кінці цього підрозділу розглянемо комбіноване навантажування, яке

складається трьох етапів: першого етапу монотонного зростання 1 , другого

етапу монотонного зростання 2 і третього етапу монотонного спадання 2 .

Другий і третій етапи відбуваються при сталому досягненому раніше

значенні 1 . Графік закону зміни жорстких зміщень кулі, що відповідає такій

історії навантажування наведено на рис. 4.8.

Рисунок 4.8 – Закон складного комбінованого навантажування

119

Кінцеві значення зміщень i1 і i2 на шістдесятому кроці тут як і при

комбінованому і простому навантаженнях дорівнюють 510947,8 м і

510389,1 м відповідно. Жорстке зміщення i3 дорівнює нулю на усіх

кроках навантажування.

Розподіл діючих на поверхні півпростору безрозмірних дотичних

контактних напружень вздовж осі Ox , що відповідає останньому

шістдесятому кроку навантажування, представлено на рис. 4.9.

Рисунок 4.9 – Розподіл безрозмірних дотичних контактних напружень

(складне комбіноване навантажування)

Модулі рівнодіючих прикладених до ділянки контакту нормальних і

дотичних навантажень на останньому кроці навантажування склали:

5,71zP кН і 6,7xP кН. Результати, наведені на рис. 4.9, показують, що у

випадку немонотонного дотичного навантажування («навантаження –

розвантаження» – пунктирна лінія на рис. 4.8) отриманий розв’язок істотно

відрізняється від розв’язку [17] (відносна похибка порівнюваних величин

*X досягає більш ніж 100% відносно максимального значення *X за

120

розв’язком [17]). Слід також зазначити, що наявність етапу дотичного

розвантажування призводить до того, що точки максимумів дотичних

напружень зміщуються до центру ділянки контакту, а поблизу її межі ці

напруження стають від’ємними. Вказані обставини призводять до зменшення

кінцевого значення дотичного зусилля xP приблизно на %32 порівняно з

величиною xP у статичній постановці задачі.

Отримані в підрозділі 4.1 результати свідчать про те, що якісні

характеристики контакту тіл неможливо встановити за кінцевими

значеннями відносних жорстких зміщень тіл, не враховуючи, яким чином ці

кінцеві значення були досягнуті у процесі навантажування. Встановлено, що

наближеному аналітичному розв’язку Р.Д. Міндліна [17] розглянутої

контактної задачі відповідає історія навантажування, яка складається з двох

послідовних монотонних етапів: початкового етапу зростання нормальної

сили і наступного етапу зростання дотичної сили при незмінній нормальній

силі. Для інших історій навантажування результати істотно відрізняються від

розв’язку Р.Д. Міндліна.

4.2 Контакт пружної кулі з пружним півпростором, матеріали яких

є різними

Розглянемо тепер просторову квазістатичну контактну задачу про

взаємодію пружної кулі і пружного півпростору, які мають різні пружні

властивості, при різних законах навантажування. Модулі Юнга 1E , 2E , і

коефіцієнти Пуассона 1 , 2 кулі і півпростору мають наступні значення:

51 103 E МПа, 5

2 10E МПа, 2,021 . Радіус кулі дорівнює 3,0 м, а

коефіцієнт тертя 12375,0 . Для чисельних розрахунків виберемо

поверхневу сітку, що містить 16814141 квадратних граничних елементів

121

рівної площі з довжиною сторін граничного елемента 00025,0 м. Для

обчислення елементів матриці податливості kja будемо використовувати

співвідношення (3.19), в яких функції ssK jk , задаються за допомогою

формул (2.3), (2.4), а значення параметру регуляризації виберемо рівним

k

dsssK nk

,10 113 .

4.2.1 Комбіноване монотонне навантажування

Будемо здійснювати процес навантаження тіл за 240 кроків у

відповідності з наступним характером зміни жорстких зміщень кулі,

виражених у метрах:

;24081 if ,00007,0

;801 if ,8

000007,0

1

i

ii

i

;240161 if ,0000035,0

;16081 if ,16

800000007,0

;801 if ,0

2

i

ii

i

i

.240161 if ,

16

1600000007,0

;1601 if ,0

3i

i

i

i

Тут i1 – нормальна складова жорсткого зміщення кулі на i -му кроці

навантажування, а i2 , i3 – дотичні складові цього зміщення у напрямах

осей Ox і Oy відповідно. Така історія навантажування відповідає

122

початковому вдавленню кулі в пружний півпростір на 00007,0 м монотонно

зростаючою нормальною силою 801 i з наступними послідовними

зсувами вдавленої кулі на 0000035,0 м спочатку в напрямку осі Ox

16081 i , потім у напрямку осі Oy 240161 i , які здійснюються за

допомогою відповідних монотонно зростаючих дотичних сил.

Для обґрунтування правомірності прийнятої у другому розділі гіпотези

про спрощення умов процесу навантажування, чисельні результати на

кожному етапі навантажування будемо співставляти з чисельними

результатами розв’язання тієї ж задачі в немодифікованій постановці [1]. На

рис. 4.10 – 4.12 представлено розподіли дотичних напружень zx , які діють в

точках осі Ox на поверхні кулі, що відповідають восьмидесятому (рис. 4.10),

сто шістдесятому (рис. 4.11) і двісті сороковому (рис. 4.12) кроках

навантажування (напруження zx виражено в мегапаскалях; координату x –

в метрах). Тут суцільна лінія відповідає чисельному розв’язку задачі в точній

постановці [1], кружечки – чисельному розв’язку задачі, отриманому за

допомогою ітераційного процесу (3.21) при модифікованих граничних

умовах (2.13).

Рисунок 4.10 – Розподіл дотичних контактних напружень

на вісімдесятому кроці навантажування

123

Рисунок 4.11 – Розподіл дотичних контактних напружень

на сто шістдесятому кроці навантажування

Рисунок 4.12 – Розподіл дотичних контактних напружень

на двісті сороковому кроці навантажування

124

Результати, наведені на рисунках 4.10 – 4.12, свідчать про те, що

отримані чисельні розв’язки контактної задачі в точній і модифікованій

постановках практично не відрізняються один від одного. В абсолютній

більшості вузлів поверхневої сітки розходження отриманих розв’язків не

перевищує 2% по відношенню до найбільших значень модулів zx ,

знайдених згідно [1]. Максимальна відносна похибка досягає 8% в окремих

вузлах сітки, розташованих в центральній частині ділянки контакту

(рис. 4.10 – 4.12) і поблизу її межі (рис. 4.10). Таке збільшення похибки,

мабуть, можна пояснити, по-перше, високим значенням градієнта розподілу

дотичних напружень на межі контактної плями, по-друге, дуже високою

швидкістю зростання контактного тиску в початковій фазі процесу

навантажування, в порівнянні з подальшими фазами [11] (що можливо

спричиняє накопичення похибки протягом процесу навантажування).

На рис. 4.13, 4.14 і 4.15 показані конфігурації контактних плям і зон

зчеплення в моменти часу, що відповідають рис. 4.10, 4.11 і 4.12.

Рисунок 4.13 – Межі областей контакту і зон зчеплення

на вісімдесятому кроці навантажування

125

Рисунок 4.14 – Межі областей контакту і зон зчеплення

на сто шістдесятому кроці навантажування

Рисунок 4.15 – Межі областей контакту і зон зчеплення

на двісті сороковому кроці навантажування

126

Тут суцільна лінія відповідає розв’язку задачі в точній постановці [1], а

пунктирна лінія з кружечками – отриманому чисельному розв’язку. Більший

з двох контурів на рис. 4.13 – 4.15 зображує межу контактної плями, а

менший – межу зони зчеплення (сама зона зчеплення є внутрішністю

меншого контуру).

Представлені на рис. 4.13 – 4.15 результати свідчать про те, що за весь

період дії на кулю зсувних сил пляма контакту суттєво не змінюється в

процесі навантажування і має форму, близьку до кругової. Крім того, при дії

на кулю зсувних сил зона зчеплення, зменшуючись за площею, втрачає свою

симетрію і наближається до межі контактної плями. Також слід зазначити,

що введення спрощень в постановці розглянутої контактної задачі (див.

підрозділ 2.3) не змінює розміри і конфігурацію областей контакту і зон

зчеплення.

Дані наведені на рис. 4.10 – 4.15 свідчать про те, що запропонована у

другому розділі гіпотеза про можливість спрощення умов навантажування є

правомірною для розглянутої контактної задачі.

4.2.2 Складне нормальне навантажування

Розглянемо тепер процес навантажування тіл, який задається

наступним законом зміни жорстких зміщень iii 321 ,, , виражених у

метрах:

.651 if ,0

;6515 if ,000002,00002,0

;501 if ,000002,0

32

1

i

ii

ii

ii

i

127

Графік залежності абсолютної величини нормального жорсткого

зміщення кулі від номера кроку навантаження представлений на рис. 4.16.

Рисунок 4.16 – Закон складного нормального навантажування

За допомогою ітераційного процесу (3.21) були отримані два чисельних

розв’язки розглянутої контактної задачі, які відповідають різним етапам

процесу навантажування тіл. Перший розв’язок було отримано на тридцять

п’ятому кроці навантажування, що відповідає монотонному нормальному

вдавленню кулі в півпростір на 00007,0 м (відрізок ОА, рис. 4.16). Другий

розв’язок, отриманий на шістдесят п’ятому кроці (ламана ОBC, рис. 4.16),

відповідає процесу навантажування, що складається з етапу початкового

вдавлення кулі в півпростір на 0001,0 м (відрізок ОВ, рис. 4.16) і етапу

наступного нормального розвантаження до поглиблення кулі в півпростір на

00007,0 м ( відрізок ВС, рис. 4.16). Зазначимо, що однойменні значення

жорстких зміщень кулі на тридцять п’ятому кроці збіглися з їх значеннями на

шістдесят п’ятому кроці процесу навантаження тіл.

Отримані з першого розв’язку значення дотичних напружень в точках

поверхні контакту на осі Ox , зіставлялися з результатами розв’язку

відповідної осесиметричної контактної задачі, наведеними в роботі [42] для

випадку 66,0

(див. підрозділ 3.6). У таблиці 4.1 показана залежність

128

безрозмірної величини maxp

zx

від безрозмірного параметра

a

x, де zx –

дотичні контактні напруження, які діють у вузлових поверхневих точках

кулі, що лежать на осі Ox , maxp – максимальне значення контактного тиску

на поверхні контакту, 1875,0 – параметр Дандерса [42], a – радіус

кругової ділянки контакту.

Таблиця 4.1 – Залежність дотичних напружень від відстані

ax / 1 2 3

0,00 0,00 0,00 0,00

0,06 0,10 0,07 0,07

0,12 0,18 0,17 0,17

0,18 0,25 0,22 0,23

0,24 0,30 0,29 0,30

0,30 0,35 0,35 0,35

0,36 0,39 0,39 0,40

0,42 0,42 0,42 0,43

0,48 0,45 0,45 0,46

0,54 0,47 0,47 0,48

0,60 0,48 0,47 0,50

0,66 0,48 0,46 0,48

0,72 0,45 0,42 0,44

0,78 0,40 0,37 0,40

0,84 0,33 0,30 0,32

0,90 0,23 0,22 0,12

0,96 0,03 0,05 -0,14

129

Перший стовпець таблиці 4.1 відповідає розв’язку [42], другий –

чисельному розв’язку, отриманому на тридцять п’ятому кроці, третій –

чисельному розв’язку, отриманому на шістдесят п’ятому кроці процесу

навантажування тіл. Дані, наведені в першому і другому стовпцях таблиці

4.1, показують хорошу відповідність розв’язку [42] і чисельного розв’язку,

отриманого на монотонному етапі навантаження. Максимальна відносна

похибка в цьому випадку становить приблизно 6% по відношенню до

максимального значення величини maxp

zx

, знайденого згідно [42], що

свідчить про коректність запропонованого методу розв’язання контактної

задачі. Результати, наведені в третьому стовпці таблиці 4.1, означають, що на

етапі розвантаження спостерігається зменшення досягнутих значень

дотичних напружень і зміна знаку цих значень поблизу межі плями контакту.

На рис. 4.17, 4.18 показані конфігурації плям контакту і зон зчеплення,

що відповідають отриманим чисельним розв’язкам.

Рисунок 4.17 – Області контакту і зони зчеплення кулі і півпростору

при простому нормальному навантажуванні

130

Рисунок 4.18 – Області контакту і зони зчеплення кулі і півпростору

при складному нормальному навантажуванні

Тут зовнішній замкнений контур є межа плями контакту, заштрихована

обмежена область – зона зчеплення, незаштрихована частина контактної

плями – зона проковзування. Рис. 4.17 відповідає розв’язку, отриманому на

тридцять п’ятому кроці; рис. 4.18 – розв’язку, отриманому на шістдесят

п’ятому кроці процесу навантажування тіл.

Аналіз представлених на рис. 4.17, 4.18 результатів показав, що якісні

характеристики контакту тіл неможливо встановити за кінцевими

значеннями жорстких зміщень цих тіл, не враховуючи, яким чином ці кінцеві

значення були досягнуті в процесі навантажування. Отримані дані також

показують, що після проходження етапу збільшення навантаження до

максимального значення (відрізок АВ, рис. 4.16) і подальшого розвантаження

(відрізок ВС, рис. 4.16) межа центральної ділянки зони зчеплення змістилася

до центру і одночасно поблизу межі плями контакту утворилася друга

кільцева зона зчеплення. Відмітимо, що подібну конфігурацію зон зчеплення

131

на контактній плямі отримав J.R. Turner [151] при дослідженні випадку

розвантажування в задачі про взаємодію циліндричного штампа, який має

плоску підошву, з пружним півпростором.

4.3 Вдавлювання циліндричного штампа в пружний півпростір

Розглянемо контактну задачу про вдавлювання циліндричного штампа

в пружний півпростір. Нехай радіус штампа дорівнює R , а поверхня підошви

штампу визначається рівнянням yxz , (див. рис. 4.19). Будемо

розглядати два наступних випадка для форми підошви штампу: 1) плоска

підошва; 2) підошва, яка складається з плоскої кругової центральної області і

«закруглення» в кільцевій області, що прилягає до краю штампу. Для

чисельних розрахунків будемо використовувати наступні вихідні дані. Радіус

штампа 02,0R м. Модуль Юнга E і коефіцієнт Пуассона півпростору

приймемо рівними 4105,3 E МПа і 44,0 . Коефіцієнт тертя 07127,0 .

Відношення 665,0 , де 2221 . Будемо використовувати

поверхневу сітку, яка містить 16814141 квадратних граничних елементів

рівної площі з довжиною сторони граничного елемента 001,0 м.

4.3.1 Штамп з плоскою підошвою

Нехай під дією нормального зусилля P циліндричний штамп з

плоскою підошвою, яка має рівняння 0z , здійснює поступальне

переміщення 41 10 м паралельно осі Oz і протилежно її додатному

напряму (рис. 4.19).

132

Хоча точний розв’язок цієї контактної задачі, можливо, не належить

простору 32L (а належить простору 3

1L ), все ж кусково-сталі розподіли

sp i1 , sp i2 , sp i3 , які можливо формально отримати запропонованим у

цій дисертації методом, можна тлумачити як наближений розв’язок

розглядуваної контактної задачі, який є елементом простору 31L . Тут

символом 31L позначено банаховий простір вектор-функцій

sxsxsxs 321 , ,x , для яких sxsxsx 321 , , є елементами простору

1L [141].

Рисунок 4.19 – Схема контактної взаємодії штампу і півпростору

Процес навантажування будемо здійснювати за l кроків у

відповідності з наступним характером зміни нормального зміщення i1

штампу, вираженого у метрах:

liil

i ,1 ,11

, (4.2)

де індекс i визначає номер кроку навантажування.

Дотичні зміщення штампу i2 і i3 вздовж осей Ox і Oy будемо

вважати рівними нулю на всіх кроках навантажування. Числовий розв’язок,

133

отриманий при 80 кроках навантажування (в співвідношеннях (4.2) 80l ),

будемо зіставляти з відомим розв’язком цієї задачі [151] та з чисельним

розв’язком квазістатичної задачі в немодифікованій постановці [1] при 40

кроках навантажування, а також з чисельним розв’язком відповідної

статичної задачі, отриманим згідно [1] при одному кроці навантажування (в

(4.2) 1l ).

На рис. 4.20 показано залежність безрозмірної величини pq від

безрозмірної координати ax , де q і p – відповідно дотична і нормальна

складові питомого контактного навантаження у вузлових точках сітки на осі

Ox , a – радіус площинки контакту (в розглянутому випадку Ra ).

Рисунок 4.20 – Розв’язок контактної задачі

Тут суцільна лінія відповідає розв’язку [151], квадрати – отриманому

чисельному розв’язку, кружечки – чисельному розв’язку квазістатичної

задачі в немодифікованій постановці [1], символи «+» – чисельному

розв’язку статичної задачі, отриманому згідно [1].

134

Результати, наведені на рис. 4.20, свідчать про те, що отриманий

чисельний розв’язок квазістатичної контактної задачі при 80 кроках

навантажування відрізняється від розв’язку цієї задачі в немодифікованій

постановці при 40 кроках навантажування несуттєво (відносна похибка не

перевищує 2% відносно найбільшого значення величини pq ).

Максимальне відхилення отриманого розв’язку від розв’язку [151] складає

приблизно 5%, а в переважній більшості вузлових точок не перевищує 2%

відносно найбільшого значення величини pq . Похибка в 5% досягається в

точці, розташованій поблизу межі зони зчеплення, де функція pq має

високий градієнт (див. рис. 4.20).

Представлені на рис. 4.20 результати також свідчать про те, що

отриманий запропонованим методом чисельний розв’язок квазістатичної

контактної задачі (при 80l ) і отриманий згідно [1] чисельний розв’язок

відповідної статичної задачі (при 1l ) практично співпадають. Це доводить,

що розглянуту квазістатичну контактну задачу можна вважати статичною.

4.3.2 Штамп з «закругленням» на краю плоскої підошви

Розглянемо тепер випадок коли підошва штампу складається з плоскої

кругової ділянки радіуса 1R в центрі і «закруглення» радіусу 2R в кільцевій

області, що прилягає до краю підошви (рис. 4.21). Рівняння поверхні такої

підошви можна записати в наступному вигляді:

0z , якщо 122 Ryx ;

2

1222

22

RyxRRz , якщо RyxR 22

1 .

135

Рисунок 4.21 – Штамп з «закругленням» підошви

Введемо позначення RR1 . Нехай процес навантажування

визначається співвідношеннями (4.2), в яких 41 10 м. Знайдемо чисельні

розв’язки контактної задачі при різних значеннях в проміжку від 2,0 до

9,0 , та порівняємо отримані розв’язки з розв’язками відповідних

квазістатичних і статичних задач в немодифікованій постановці [1]. Радіус

«закруглення» 2R будемо обирати так, щоб радіус площинки контакту a на

останньому кроці навантажування в кожному розглянутому випадку

дорівнював R95,0 . Числові розрахунки показали, що при ,90 ;2,0

радіус 2R задовольняє нерівності RRR 1305 2 . На рис. 4.22 – 4.24

представлені чисельні результати, які отримані для значень параметру ,

рівних відповідно 2,0 , 5,0 і 8,0 . На цих рисунках квадрати відповідають

отриманому чисельному розв’язку при сто двадцяти кроках процесу

навантажування (4.2); кружечки – чисельному розв’язку квазістатичної задачі

в немодифікованій постановці [1], отриманому при сорока кроках процесу

(4.2); пунктирна лінія – чисельному розв’язку [1] статичної задачі.

136

Рисунок 4.22 – Розв’язок контактної задачі при 2,0

Рисунок 4.23 – Розв’язок контактної задачі при 5,0

137

Рисунок 4.24 – Розв’язок контактної задачі при 8,0

Результати, представлені на рис. 4.22 – 4.24 та чисельні розрахунки при

інших значеннях параметру , свідчать про те, що при 7,0 ;0 чисельний

розв’язок квазістатичної задачі помітно відрізняється від розв’язку

статичного аналогу цієї задачі. Так при 0 (сферична підошва)

максимальний відхил розподілів величини pq для квазістатичного і

статичного випадків складає приблизно %35 по відношенню до

максимального значення величини pq , при 2,0 – %29 , при 5,0 –

%14 , а при 7,0 – %10 . При значеннях від 8,0 до 1 (плоска підошва)

цей відносний відхил стає несуттєвим: при 8,0 це %3 , а при 9,0 –

%6,2 .

Порівняння отриманих чисельних розв’язків (квадрати на рис. 4.22 –

4.24) з чисельними розв’язками цієї задачі в немодифікованій постановці

(кружечки на рис. 4.22 – 4.24) показало, що прийнята гіпотеза про

можливість малого збурення умов процесу навантажування тіл є

правомірною в розглянутій контактній задачі (максимальний відносний

138

відхил порівнюваних розподілів величини pq тут не перевищує %3 при

всіх розглянутих значеннях параметру ).

Таким чином, аналізуючи отримані в цьому підрозділі результати,

можна зробити наступні висновки:

прийнята гіпотеза про збурення умов процесу навантажування тіл,

яка виражається співвідношеннями (2.13), є правомірною в розглянутих

контактних задачах;

задача про вдавлювання циліндричного штампу з плоскою підошвою

в пружний півпростір при дії на штамп монотонно зростаючого нормального

зусилля є статичною, тобто може розглядатися в статичній постановці;

задачу про монотонне вдавлювання циліндричного штампу, форма

підошви якого несуттєво відрізняється від плоскої наявністю «закруглення»

біля межі, можна вважати статичною лише за умови, що радіус плоскої

центральної ділянки підошви складає не менш 8,0 від радіусу штампу; в

інших випадках ця контактна задача не є статичною.

4.4 Взаємодія циліндричного штампа з пружним півпростором при

складному нормальному навантажуванні

J.R. Turner в роботі [151] дослідив контактну взаємодію циліндричного

штампу з плоскою підошвою і пружного півпростору при немонотонному

навантаженні, яке складалось з двох етапів: початкового етапу нормального

вдавлювання штампу в півпростір і наступного етапу розвантаження до

певного значення заглиблення штампу в півпростір. Розглядаючи різні

значення цього заглиблення J.R. Turner зробив висновок, що на начальній

стадії розвантаження межа зони проковзування зміщується до центру і

139

одночасно на межі ділянки контакту утворюється вузька кільцева зона

зчеплення.

Аналогічні результати були отримані при розв’язуванні даної задачі

запропонованим в цій дисертації методом. Для чисельних розрахунків

використовувались наступні вихідні дані. Радіус циліндра 02,0R м. Модуль

Юнга E і коефіцієнт Пуассона півпростору рівні 4105,3 МПа і 44,0

відповідно. Коефіцієнт тертя 07127,0 . Відношення 665,0 , де

2221 [151]. Використовувалась поверхнева сітка, яка

складалась з 16814141 рівних квадратних граничних елементів з

довжиною сторони 001,0 м. Початковий етап навантажування здійснювався

за l кроків згідно співвідношень (4.2). Етап розвантажування здійснювався

також за l кроків у відповідності з наступним характером зміни нормального

зміщення i1 штампу, вираженого у метрах:

lii

l

Wi ,1 ,

1111

, (4.3)

де 41 10 м, а для W , згідно з роботою [151], було обрано значення

818,0 .

Така історія навантажування відповідає початковому монотонному

зростанню нормального зусилля до заданого значення, що спричиняє

заглиблення штампу в півпростір на 410 м і подальшого монотонного

зменшення цього зусилля до значення, яке відповідає заглибленню штампа,

що дорівнює 410818,0 м. Результати, отримані при 60l в

співвідношеннях (4.2), (4.3), порівнювались з чисельним розв’язком,

наведеним в роботі [151], а також з чисельним розв’язком розглянутої

контактної задачі в немодифікованій постановці [1] при 30l в процесі (4.2),

(4.3). Отримані результати проілюстровано на рис. 4.25. Тут квадрати

140

відповідають отриманому чисельному розв’язку, кружечки – чисельному

розв’язку квазістатичної задачі в немодифікованій постановці [1], суцільна

лінія – відомому чисельному розв’язку [151].

Рисунок 4.25 – Розв’язок контактної задачі

Результати, наведені на рис. 4.25 свідчать, що в переважній більшості

вузлових точок центральної зони зчеплення і в зоні проковзування

відхилення отриманого розв’язку від розв’язку [151] не перевищує %3

відносно максимального значення величини pq . Лише в окремих точках,

розташованих біля межі зони проковзування відносне відхилення

порівнюваних розв’язків сягає %8 . Максимальне значення цього відхилення,

рівне приблизно %26 , досягається в точці на межі підошви штампу. Таке

збільшення відхилення, ймовірно, можна пояснити тим, що при отриманні

чисельного розв’язку [151] J.R. Turner нехтував впливом, який спричиняють

дотичні контактні напруження на розподіл нормальних контактних тисків.

Також слід враховувати ту обставину, що біля межі області контакту крива

розв’язку [151] (суцільна лінія на рис. 4.25) має дуже високий градієнт.

141

Порівняння отриманого чисельного розв’язку (квадрати на рис. 4.25) з

чисельним розв’язком цієї задачі в немодифікованій постановці (кружечки на

рис. 4.25) свідчить про добру відповідність порівнюваних величин.

Максимальна відхилення порівнюваних розв’язків тут склало приблизно %3

по відношенню до найбільшого значення величини pq .

Таким чином, отримані в цьому підрозділі результати свідчать про те,

що прийнята гіпотеза про збурення умов навантажування тіл є правомірною

в розглянутій контактній задачі і запропонований метод дозволяє отримати

розв’язок цієї задачі, достатньо близький до її відомого чисельного розв’язку.

4.5 Висновки до розділу 4

У цьому розділі розроблений метод було застосовано до розв’язання

квазістатичних контактних задач про взаємодію пружної кулі і пружного

півпростору, виготовлених з однакових і різних матеріалів, а також про

взаємодію циліндричних штампів з пружним півпростором. Для випадку

однакових пружних матеріалів кулі і півпростору отримані чисельні

розв’язки контактної задачі при різних історіях прикладання нормального і

дотичного навантажень. Встановлено, що розв’язок розглянутої

квазістатичної задачі залежить від історії навантажування і збігається з

наближеним аналітичним розв’язком Р.Д. Міндліна лише за умови, що

історія навантажування складається з двох послідовних монотонних етапів:

етапу зростання нормальної сили і наступного етапу зростання дотичної

сили. Для випадку різних пружних матеріалів кулі і півпростору отримано

чисельні розв’язки контактної задачі при складному комбінованому

навантажуванні, яке складалося з трьох монотонних етапів послідовного

зростання нормальної і дотичних сил. Також для цього випадку отримано

чисельний розв’язок контактної задачі при немонотонному нормальному

142

навантажуванні, яке складалось з початкового етапу навантажування і

наступного етапу неповного розвантажування. Для квазістатичної задачі про

вдавлювання циліндричного штампа в пружний півпростір отримано умови,

при виконанні яких ця задача може розглядатися як статична. Отримано

також чисельний розв’язок квазістатичної контактної задачі про взаємодію

циліндричного штампа з плоскою підошвою і пружного півпростору при

складному нормальному навантажуванні, яке характеризується наявністю

етапу розвантажування.

Проведене порівняння отриманих результатів з відомими розв’язками

дає можливість зробити висновки про коректність розробленого методу

розв’язання контактних задач та про його застосовність для різних

контактних задач розглянутого класу.

143

ВИСНОВКИ

Сформулюємо основні наукові результати, які були отримані в

дисертаційній роботі.

Розроблено метод наближеного розв’язання тривимірних

квазістатичних контактних задач про взаємодію пружних тіл з урахуванням

тертя Кулона та історії зовнішнього навантажування при невідомій області

контакту і невідомій межі зон зчеплення та проковзування.

Запропоновано нову гіпотезу для постановки розглянутих

контактних задач, яка дозволила створити і математично формалізувати

новий метод розв’язання цих задач. Правомірність цієї гіпотези підтверджена

відомими даними і чисельними розрахунками.

Отримано якісно нові, у порівнянні з відомими [1, 66, 99, 132],

нелінійні граничні інтегральні рівняння для опису контактної взаємодії тіл.

Встановлено, що вид отриманих рівнянь не залежить від

конфігурацій плями контакту і зон зчеплення та проковзування. Для того

щоб записати ці рівняння потрібно лише вказати канонічну плоску обмежену

область, яка покриває собою невідомі заздалегідь ділянки контакту на всіх

етапах навантажування.

При природних властивостях пружних матеріалів взаємодіючих тіл

доведено факт єдиності розв’язку отриманої системи нелінійних граничних

інтегральних рівнянь на кожному кроці дискретного процесу

навантажування.

Розроблений метод включає в себе регуляризацію інтегральних

рівнянь контактної задачі, дискретизацію регуляризованих інтегральних

рівнянь та використання ітераційних процесів для отримання розв’язків

дискретних аналогів регуляризованих рівнянь.

144

Апробація запропонованого методу полягала в порівнянні отриманих

наближених розв’язків різних контактних задач з деякими іншими відомими

розв’язками цих задач, зокрема, з розв’язками, наведеними у роботах

К.Л. Джонсона [42], Р.Д. Міндліна [17] і J.R. Turner [151].

Отримано багатоваріантний чисельний розв’язок контактної задачі

Міндліна [17] в квазістатичній постановці. Встановлено, що розв’язок

розглянутої задачі залежить від історії навантажування і збігається з

розв’язком [17] лише за умови, що історія навантажування складається з двох

послідовних монотонних етапів: етапу зростання нормального жорсткого

зближення тіл і наступного етапу зростання відносного дотичного жорсткого

зміщення тіл при фіксованому досягнутому значенні їхнього жорсткого

зближення.

За допомогою чисельного експерименту встановлено, що задача про

монотонне вдавлювання циліндричного штампа з плоскою підошвою в

пружний півпростір може бути розв’язаною в статичній постановці.

Для квазістатичної контактної задачі про вдавлювання

циліндричного штампа з криволінійною підошвою у пружний півпростір

отримано умови, при виконання яких ця задача може вважатися статичною.

Окремі результати дисертаційного дослідження впроваджено в

навчальний процес Запорізького національного університету Міністерства

освіти і науки України (акт впровадження наведено в додатку Б).

145

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Александров А.И., Стреляев Ю.М. Метод нелинейных граничных

интегральных уравнений для контактных задач теории упругости.

Восточно-Европейский журнал передовых технологий. 2014. № 3 (7).

С. 36–40.

2. Стреляев Ю.М. Решение квазистатической контактной задачи теории

упругости с учетом трения. Вісник Запорізького національного

університету: Збірник наукових статей. Фізико-математичні науки.

2014. № 2. С.161–172.

3. Стреляев Ю.М. Задача о контакте упругих тел с учетом трения при

сложном нагружении. Вісник Запорізького національного

університету: Збірник наукових статей. Фізико-математичні науки.

2015. № 3. С. 255–265.

4. Стреляев Ю.М., Шупчинская К.С. Контактная задача о сжатии двух

упругих цилиндров с учетом трения Кулона. Вісник Запорізького

національного університету: Збірник наукових статей. Фізико-

математичні науки. 2016. № 1. С. 236–245.

5. Стреляев Ю.М. Метод нелинейных граничных интегральных

уравнений для решения квазистатической контактной задачи о

взаимодействии упругих тел при наличии кулонова трения. Вестник

Самарского государственного технического университета. Серия

Физико-математические науки. 2016. T. 20, № 2. С. 306–327.

6. Стреляев Ю.М. Чисельний розв’язок задачі про контакт пружних тіл

під дією нормального і дотичного навантажень. Фізико-математичне

моделювання та інформаційні технології. 2016. Вип. 24. С. 100–110.

7. Стреляев Ю.М., Шупчинськая К.С. О единственности решения

контактной задачи теории упругости с учетом трения Кулона. Science

and Scientists: Збірник матеріалів Міжнародної міждисциплінарної

146

наукової конференції студентів, аспірантів і молодих вчених.

(Дніпропетровськ, 21–22 груд. 2015). Дніпропетровськ: GlobalNauka,

2015. С.112–114.

8. Стреляєв Ю.М., Поджарова А.В. Нелинейные интегральные уравнения

задачи о контакте упругих тел с учетом трения. Science and Scientists:

Збірник матеріалів Міжнародної міждисциплінарної наукової

конференції студентів, аспірантів і молодих вчених. (Дніпропетровськ,

21–22 груд. 2015). Дніпропетровськ: GlobalNauka, 2015. С. 114–117.

9. Поджарова Г.В., Стреляєв Ю.М. Нелінійне граничне інтегральне

рівняння контактної задачі Герца. Актуальні проблеми математики та

інформатики: Збірка тез доповідей Сьомої Всеукраїнської,

чотирнадцятої регіональної наукової конференції молодих дослідників.

(Запоріжжя, 28–29 квіт. 2016). Запоріжжя: ЗНУ, 2016. С. 62–63.

10. Шупчинська К.С., Стреляєв Ю.М. Розв’язання контактної задачі про

стискування з тертям двох пружних циліндрів. Актуальні проблеми

математики та інформатики: Збірка тез доповідей Сьомої

Всеукраїнської, чотирнадцятої регіональної наукової конференції

молодих дослідників. (Запоріжжя, 28–29 квіт. 2016). Запоріжжя: ЗНУ,

2016. С. 102–103.

11. Стреляев Ю.М. Об оптимальном выборе длительности временных

шагов нагружения в квазистатической контактной задаче с учетом

трения. Современные проблемы естественных наук: Тезисы докладов

международной конференции "Тараповские чтения – 2016". (Харьков,

1 – 15 марта 2016). Харьков: Изд-во "Цифровая типография №1", 2016.

С. 68–69.

12. Александров О.І., Стреляєв Ю.М., Александров І.О. Вибрані питання

нелінійного функціонального аналізу і теорії операторів: навчальний

посібник для студентів освітньо-кваліфікаційних рівнів «магістр» і

«спеціаліст» спеціальності «Математика». Запоріжжя: ЗНУ, 2014. 73 с.

147

13. Hertz H. Über die Berührung fester elastischer Korper. J Reine und

Angewandte Mathematik. 1882. Bd. 92. P. 156–171.

14. Динник А.Н. Удар и сжатие упругих тел. Известия киевского

политехнического института. 1909. Кл. А. С. 253–371.

15. Carter F.W. On the action of a locomotive driving wheel. Proc. Roy. Soc.,

Ser. A. 1926. Vol. 12. P. 151–157.

16. Cattaneo C. Sul contatto di due corpi elastici: distribuzione locale degli

stozzi. Rend. Dell'Academia nazionale dei Lincei. 1938. Vol. 27, Ser. 6.

P. 342–348, 434–436, 474–478.

17. Mindlin R.D. Compliance of elastic bodies in contact. Trans. ASME. J. Appl.

Mech. 1949. Vol. 16, №3. P. 259–268.

18. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. Москва: Гостехиздат,

1953. 250 с.

19. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. Москва-

Ленинград: Гостехиздат, 1949. 270 с.

20. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической

теории упругости. Москва: Наука, 1966. 708 с.

21. Spence D. Self-similar solutions to adhesive contact problems with

incremental loading. Proc. Roy. Soc. 1968. A 305. P. 55–80.

22. Spence D. The Hertz contact problem with finite friction. Journal of

elasticity. 1975. Vol. 5 (3). Р. 297–319.

23. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические

смешанные задачи теории упругости. Москва: Наука, 1974. 456 с.

24. Сеймов В.М. Динамические контактные задачи. Киев: Наук. думка,

1976. 283 с.

25. Кильчевский Н.А. Динамическое контактное сжатие твёрдых тел. Удар.

Киев: Наук. думка, 1976. 314 с.

26. Рвачёв В.А., Проценко В.С. Контактные задачи теории упругости для

классических областей. Киев: Наук. думка, 1977. 235 с.

148

27. Моссаковский В.И., Гудрамович В.С., Макеев Е.М. Контактные задачи

теории оболочек и стержней. Москва: Машиностроение, 1978. 248 с.

28. Моссаковский В.И., Качаловская Н.Е., Голикова С.С. Контактные

задачи математической теории упругости. Киев: Наук. думка, 1985.

176 с.

29. Kalker J.J., Van Randen Y. A minimum principle for frictionless elastic

contact with application to non-Hertzian half-space contact problems.

Journal of engineering mathematics. 1972. – Vol. 6 (2). P. 193–206.

30. Kalker J.J. A survey of the mechanics of contact between solid bodies.

ZAMM. 1977. B. 57, H. 5. P. T3–T17.

31. Kalker J.J. Review of wheel-rail rolling contact theories. General problem of

rolling contact: Mater. Winter Annu. Meet. ASME. (Nov. 16-21, 1980).

New York, 1980. P. 77–92.

32. Спектор А.А. Вариационный метод исследования контактных задач с

проскальзыванием и сцеплением. Докл. АН СССР. 1977. Т. 236, № 1.

С. 39–42.

33. Спектор А.А. Некоторые пространственные статические контактные

задачи теории упругости с проскальзыванием и сцеплением. Изв.

АН СССР. Механика твёрдого тела. 1981. № 3. С. 12–25.

34. Кравчук А.С. К теории контактных задач с учётом трения на

поверхности соприкосновения. ПММ. 1980. Т. 44, вып. 1. С. 122–129.

35. Кравчук А.С. Решение некоторых пространственных контактных задач

с учётом трения на поверхности соприкосновения. Трение и износ.

1981. Т. II, № 4. С. 589–595.

36. Кравчук А.С. Вариационный метод в контактных задачах. Состояние

проблемы, направления развития. ПММ. 2009. Вып. 73, № 3. С. 492–

502.

37. Попов Г.Я. Контактные задачи для линейно-деформируемого

основания. Киев-Одесса: Вища школа, 1982. 168 с.

149

38. Григолюк Э.И., Толкачёв В.М. Контактные задачи теории пластин и

оболочек. Москва: Машиностроение, 1980. 416 с.

39. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с

тонкими покрытиями и прослойками. Москва: Наука, 1983. 487 с.

40. Александров В.М., Пожарский А.Д. Неклассические пространственные

задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. Москва:

Факториал, 1998. 288 с.

41. Галанов Б.А. Метод граничных уравнений типа Гаммерштейна для

контактных задач теории упругости в случае неизвестных областей

контакта. ПММ. 1985. Т. 49, вып. 5. С. 827–835.

42. Джонсон К.Л. Механика контактного взаимодействия. Москва: Мир,

1989. 510 с.

43. Развитие теории контактных задач в СССР: Галин Л.А. (ред.). Москва:

Наука, 1976. 498 с.

44. Механика контактных взаимодействий: Ворович И.И.,

Александров В.М. (ред.). Москва: Физматлит, 2001. 670 с.

45. Кубенко В.Д. Нестационарная плоская контактная задача теории

упругости для согласованных цилиндрических поверхностей. Прикл.

механика. 2004. Т. 40, № 1. С. 72–82.

46. Гузь А.Н., Рудницкий В.Б. Основы теории контактного взаимодействия

упругих тел с начальными (остаточными) напряжениями.

Хмельницкий: Печать ЧП Мельник А.А., 2006. 710 с.

47. Гузь А.Н., Бабич С.Ю., Рудницкий В.Б. Контактное взаимодействие

упругих тел с начальными напряжениями. Развитие идей Л.А. Галина в

механике. К столетию со дня рождения ученого. 2013. С. 188–244.

48. Острик В.И., Улитко А.Ф. Метод Винера-Хопфа в контактных задачах

теории упругости. Киев: Наук. думка, 2006. 328 с.

49. Острик B.I., Улiтко А.Ф. Про одну властивiсть розв’язкiв задач теорiï

пружностi для двох пiвплощин або пiвпросторiв. Мат. методи та фiз.

мех. поля. 2009. Т. 52, № 2. С. 72–80.

150

50. Улітко А.Ф., Острик В.І. Фрикційний контакт жорсткого конуса з

пружним півпростором. Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2012. Т. 55,

№ 4. С. 106–116.

51. Мартыняк Р.М., Криштафович А.А. Контактная задача для

анизотропной полуплоскости и жесткого тела, имеющего неровную

поверхность. Прикл. механика. 1994. Т. 30, № 7. С. 74–78.

52. Мартиняк Р.М., Маланчук Н.І., Монастирський Б.Є. Пружна взаємодія

двох півплощин за локального зсуву границь на ділянці

міжконтактного просвіту. Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2005. Т. 48,

№ 3. С. 101–109.

53. Горячева И.Г., Маланчук Н.И., Мартыняк Р.М. Контактное

взаимодействие тел с периодическим рельефом при частичном

проскальзывании. Прикл. математика и механика. 2012. Т. 76, вып. 5.

С. 695–709.

54. Martynyak R.M., Malanchuk N.I., Monastyrs’kyi B.E. Shear of two half

planes pressed to each other and containing a surface groove. Part 1. Full

contact. Materials Science. 2005. Vol. 41, No. 2. P. 178–185.

55. Martynyak R.M., Malanchuk N.I., Monastyrs’kyi B.E. Shear of two half

planes pressed to each other and containing a surface groove. Part 2.

Incomplete contact. Materials Science. 2006. Vol. 42, No. 4. P. 551–559.

56. Malanchuk N., Martynyak R. Contact interaction of two solids with surface

groove under proportional loading. Int. J. Solids Structures. 2012. Vol. 49,

Issue 23–24. P. 3422–3431.

57. Goryacheva I.G., Martynyak R.M. Contact problems for textured surfaces

involving frictional effects. Proc. Inst. Mech. Eng., Part J: J. Eng. Tribol.

2014. Vol. 228, No 7. P. 707–716.

58. Пожуев В.И., Зайцева Т.А. Определение давлений под штампом

ограниченным в плане кривыми близкими к квадратам. Изв. вузов.

Строительство. 1993. Вып. 10. С. 37–41.

151

59. Зайцева Т.А., Пожуев В.И. О решении пространственных контактных

задач для некругового штампа. Изв. РАН. МТТ. 1994. № 4. С. 62–70.

60. Кузьменко В.И., Михальчук Г.Й. Исследование напряженного

состояния тела в контактных задачах адгезионного движения. Вісник

Дніпропетровського ун-ту. 2004. Т. 2, № 8. С. 129–136.

61. Михальчук А.И., Кузьменко В.И. Компьютерный анализ процессов

адгезионного движения. Проблеми обчислювальної механіки і міцності

конструкцій. 2011. Вип. 17. С. 202–210.

62. Кузьменко В.І, Михальчук Г.Й. Контактні задачі руху пружних тіл

уздовж твердих поверхонь. Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2013. Т. 56,

№ 1. С. 84–93.

63. Александров А.И. Решение задач контактного взаимодействия упругих

тел с использованием нелинейных операторных уравнений.

Днепропетровск, 1989. 74 с. (Препринт. АН УССР. Ин-т технической

механики; 89-2).

64. Александров А.И. О единственности решения задачи контактного

взаимодействия упругих тел при наличии кулонова трения. Вісник

Дніпропетровського університету. 2009. № 5/1: сер.: механіка. Т. 2,

Вип. 13. С. 3–11.

65. Александров А.И. Решение задач о контакте упругих тел с

использованием нелинейных интегральных уравнений. Доповіді

Національної академії наук України. 2012. № 11. С. 47–52.

66. Александров А.И. Метод решения пространственной контактной

задачи о взаимодействии двух упругих тел при наличии трения между

ними. Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2013. Т. 56, № 3. С. 29–42.

67. Острик В.И. Вдавливание штампа в упругую полосу при наличии

трения и сцепления. Изв. РАН. МТТ. 2011. № 5. С. 118–129.

68. Острик В.И. Контактное взаимодействие кругового штампа с упругим

полупространством при наличии трения и сцепления. Теор. и прикл.

мех. 2011. № 48. С. 22–28.

152

69. Острик В.И. Осесимметричный контакт штампа полиномиального

профиля с упругим полупространством при наличии трения и

сцепления. ПММ. 2013. Т. 77, №. 4. С. 605–619.

70. Zhupanska O. I. On the analytical approach to Galin’s stick-slip problem. A

survey. J.Elasticity. 2008. 90. P. 315–333.

71. Пожарский Д.А. Пространственная контактная задача с трением для

упругого клина. ПММ. 2008. Т. 72, вып. 5. С. 852–860.

72. Пожарский Д.А., Замулина Т.Г. Контактная задача з силами трения для

трансверсально изотропного полупространства. Известия высших

учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные

науки. 2015. №. 1. С. 43–44.

73. Чебаков М.И. Асимптотическое решение контактных задач для

упругого слоя относительно большой толщины при наличии сил трения

в области контакта. ПММ. 2005. Т. 69, Вып. 2. С. 324–333.

74. Чебаков М.И. К теории расчета двухслойного цилиндрического

подшипника. Изв. РАН. МТТ. 2009. № 3. С. 163–170.

75. Reina S., Dini D., Hills D.A., Lida Y. A quadratic programming formulation

for the solution of layered elastic contact problems: Example applications

and experimental validation. European Journal of Mechanics – A/Solids.

2011. Vol. 30, Issue 3. P. 236–247.

76. Sundaram N., Farris T.N. Mechanics of advancing pin-loaded contact with

friction. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2010. Vol. 58,

Issue 11. P. 1819–1833.

77. Liu C.H., Lin Yih-Hong, Lin Po-Hsuan A numerical analysis of partial slip

problems under Hertzian contacts. Meccanica. 2007. Vol. 42. P. 197–206.

78. Ciavarella M. Transition from stick to slip in Hertzian contact with

“Griffith” friction: The Cattaneo–Mindlin problem revisited. Journal of the

Mechanics and Physics of Solids. 2015. 84. P. 313–324.

153

79. Haslinger J., Janovský V., Ligurský T. Qualitative analysis of solutions to

discrete static contact problems with Coulomb friction. Computer Methods

in Applied Mechanics and Engineering. 2012. 205–208. P. 149–161.

80. Barber J.R., Davies M., Hills D.A. Frictional elastic contact with periodic

loading. International Journal of Solids and Structures. 2011. Vol. 48,

Issue 13. P. 2041–2047.

81. Flicek R.C., Ramesh R., Hills D.A. A complete frictional contact: The

transition from normal load to sliding. International Journal of Engineering

Science. 2015. 92. P. 18–27.

82. Ballard P. Steady sliding frictional contact problem for a 2d elastic half-

space with a discontinuous friction coefficient and related stress

singularities. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2016. Vol. 97.

P. 225–259.

83. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. Москва: Мир,

1974. 159 с.

84. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. Москва:

Наука, 1980. 383 с.

85. Главачек И., Гаслингер Я., Нечас И. та ін. Решение вариационных

неравенств в механике. Москва: Мир, 1986. 270 с.

86. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения.

Выпуклые и невыпуклые функции энергии. Москва: Мир, 1989. 494 с.

87. Duvaut G. Problemes mathematiques de la mecanique – equilibre d’un

solide élastique avec contact unilateral de frottement de Coulomb. C.R.

Acad. Sci. Paris. 1980. № 290, serie A. P. 263–265.

88. Nécas J., Iarušek J., Haslinger J. On the solution of the variational inequality

to the Signorini problem with small friction. Boll. Unione Mat. Ital. 1980.

Vol. 5, t. 17-B. P. 796–811.

89. Demkowicz L., Oden J.T. On some existence and uniqueness results in

contact problems with nonlocal friction. Nonlinear Anal. Theory, Meth.

Applic. 1982. Vol. 10. P. 1075–1093.

154

90. Oden J.T., Pires E.B. Nonlocal and nonlinear friction laws and variational

principles for contact problems in elasticity. Trans. ASME, J. Appl. Mech.

1983. Vol. 50, No. 1. P. 67–76.

91. Александров А.И. Теорема существования и единственности для класса

контаткных задач о взаимодействии упругих тел с кулоновым трением.

Дифференциальные и интегральные уравнения: Межвуз. сборник

научных трудов. Горький, 1989. С. 97–101.

92. Александров А.И. Вопросы существования решений некоторых

нелинейных интегральных уравнений. Днепропетровск: Изд-во ДГУ,

1991. 48 с.

93. Ballard P., Jarušek J. Indentation of an elastic half-space by a rigid flat

punch as a model problem for analysing contact problems with coulomb

friction. Journal of Elasticity. 2011. Vol. 103, Issue 1. P. 15–52.

94. Johnson K.L. The effect of a tangential contact force upon the rolling motion

of an elastic sphere on a plane. Trans. ASME, J. Appl. Mech. 1958. Vol. 25,

No. 3. Р. 339–346.

95. Vermeulen P.J., Johnson K.L. Contact of non-spherical bodies transmitting

tangential forces. Trans. ASME, J. Appl. Mech. 1964. Vol. 31, № 1. P. 338–

340.

96. Johnson K.L. Adhesion and friction between a smooth elastic spherical

asperity and a plane surface. Proceedings of the Royal Society of London A:

Mathematical, Physical and Engineering Sciences. The Royal Society. 1997.

Vol. 453, Issue 1956. P. 163–179.

97. Моссаковский В.И. О перекатывании упругих тел. Труды ІІІ

Всесоюзного математического съезда. Москва: Изд-во АН СССР,

1956. Т. 1. С. 207.

98. Моссаковский В.И. Сжатие упругих тел в условиях сцепления. Прикл.

математика и механика. 1963. Т. 27, вып. 3. С. 418–427.

155

99. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Роль истории нагружения в механике

контактного взаимодействия при учете сил трения в зоне контакта. Изв.

РАН. Механика твердого тела. 2002. № 4. С. 16–25.

100. Маланчук Н.І. Вплив історії навантаження на контактні напруження тіл

з узгодженими поверхнями. Прикл. пробл. мех. і мат. 2009. Вип. 7.

С. 167–171.

101. Фридман В.М., Чернина В.С. Итерационный процесс для решения

конечномерной контактной задачи. Журнал выч. мат. и математич.

физ. 1967. Т. 7, № 1. С. 160–163.

102. Conry T.F., Seireg A. A mathematical programming method for design of

elastic bodies in contact. Trans. ASME, J. of Appl. Mech. 1971.

Vol. 38 (June). P. 387–392.

103. Пацельт И. Итерационный метод для решения контактной задачи для

упругих систем с односторонними связями. Acta. Techn. Acad. Sci.

Hung. 1974. Vol. 76, № 1-2. P. 217–241.

104. Paczelt I. Some remarks on the approximate solution of frictionless elastic

contact problems. Acta Tech. Acad. Sci. Hung. 1976. Vol. 83, № 3-4.

P. 337–355.

105. Francavilla A., Zienkiewicz O. A note on numerical computation of elastic

contact problems. Int. J. Num. Meth. Eng. 1975. Vol. 9, № 4. P. 913–924.

106. Chang R., Haug E., Rim K. Analysis of unbonded contact problems by

means of quadratic programming. J. Opt. Theory and Application. 1976.

№ 2. Р. 171–189.

107. Нигина Е.А. К решению контактных задач МКЭ. Машиноведение. 1978.

№ 5. С. 87–92.

108. Кравчук А.С., Васильев В.А. Численные методы решения контактной

задачи для линейно и нелинейно упругих тел конечных размеров.

Прикладная механика. 1980. Т. XVI, вып. 6. С. 10–15.

156

109. Галанов Б.А. О приближённом решении некоторых задач упругого

контакта двух тел. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1981. № 5.

С. 61–67.

110. Paul B., Hashemi J. Contact pressures on closely conforming elastic bodies.

Trans. ASME, J. Appl. Mech. 1981. Vol. 48, № 3. P. 543–548.

111. Chan K., Tuba J. A finite element method for contact problems of solid

bodies. Int. J. Mech. Sci. 1971. Vol. 13. P. 615–639.

112. Fredriksson B. Finite element solution of surface nonlinearities in structural

mechanics with special emphasis to contact and fracture mechanics

problems. Comput. and Struct. 1976. Vol. 6, № 2. P. 281–290.

113. Herrmann Leonard R. Finite element analysis of contact problems. J. Ehg.

Mech. Div. Proc. Amer. Sos. Civ. Eng. 1978. Vol. 104, № 5. Р. 1043–1057.

114. Рыжов Э.В., Сакало В.И., Подлеснов Ю.П. Решение плоских

контактных задач с учётом трения релаксационным методом конечных

элементов. Механика и физика контактного взаимодействия.

Калинин, 1979. С. 3–14.

115. Вовкушевский А.В. О решении контактных задач с трением. Изв.

Всесоюз. н.-и. ин-та гидротехн. 1980. Т. 136. С. 9–12.

116. Torstenfelt B. Contact problems with friction in general purpose finite

element computer programs. Comput. and Struct. 1983. Vol. 16, № 1/4.

Р. 487–493.

117. Барлам Д.М. Решение контактной задачи теории упругости методом

конечных элементов. Проблемы прочности. 1983. № 4. С. 39–43.

118. Gaertner R. Résolution de problemes de contact élastique avec frottement en

utilisant des variables nodales appropriées. J. Mec. Appl. 1977. № 3. P. 247–

265.

119. Okamoto N., Nakazawa M. Finite element incremental contact analysis with

various frictional conditions. Int. J. Num. Meth. Eng. 1979. Vol. 14, № 3.

P. 337–357.

157

120. Кузьменко В.И., Балакин В.Ф. Решение на ЭВМ задач пластического

деформирования: [Справочник]. Киев: Техника, 1990. 136 с.

121. Вовкушевский А.В., Шойхет Б.А. Расчёт массивных гидротехнических

сооружений с учётом раскрытия швов. Москва: Энергия, 1981. 136 с.

122. Campos L.T., Oden J.T., Kikuchi N. A numerical analysis of a class contact

problems with friction in elastostatics. Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng.

1982. Vol. 34, № 1–3. P. 821–845.

123. Haslinger J., Hlavaček I. Approximation of the Signorini problem with

friction by a mixed finite element method. J. Math. Anal. Applic. 1982.

Vol. 86. P. 99–122.

124. Pires E.B., Oden J.T. Analysis of contact problems with friction under

oscillating loads. Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. 1983. Vol. 39. P. 337–362.

125. Keer L.M., Ahmadi N., Mura T. Tangential loading of elastic bodies in

contact. Int. J. Comput. and Struct. 1984. Vol. 19, № 1–2. P. 93–101.

126. Nowell D., Hills D.A., Sackfield A. Contact of dissimilar elastic cylinders

under normal and tangential loading. J. Mech. and Phys. Solids. 1988.

Vol. 36, № 1. P. 59–75.

127. Bathe K.J., Mijailovich S.S. Finite-element analysis of frictional contact

problems. J. Mec. Theor. Appl. 1988. Vol. 7. P. 31–45.

128. Kwak B.M. Complementary problem formulation of three-dimensional

friction contact. J. Appl. Mech. Trans ASМE. 1991. Vol. 58. P. 134–140.

129. Lee C.Y., Oden J.T. Theory and approximation of quasi-static frictional

contact problems. Comput. Meth. Appl. Mech. Engng. 1993. Vol. 106, № 3.

P. 407–429.

130. Chavla V., Laursen T.A. Energy Consistent Algorithms for Frictional

Contact Problems. Intern. J. Numer. Meth. Engng. 1988. Vol. 42, № 5.

P. 799–827.

131. Фирсанов Вал. В. Метод расчета напряженно-деформированного

состояния упругих систем с односторонними связями. Изв. РАН.

Механика твёрдого тела. 2003. № 1. С. 150–163.

158

132. Александров В.М., Пожарский Д.А. Трёхмерные контактные задачи

при учёте трения и нелинейной шероховатости. Прикл. мат. и мех.

2004. Т. 68, вып. 3. С. 516–527.

133. Кравчук А.С. О решении трёхмерных контактных задач с трением.

Прикл. мат. и мех. 2008. Т. 72, вып. 3. С. 485–496.

134. Ligurský T., Haslinger J., Kučera R. Approximation and numerical

realization of 3D contact problems with Coulomb friction and a solution-

dependent coefficient of friction. International journal for numerical

methods in engineering. 2010. Vol. 82, Issue 9. P. 1180–1206.

135. Pohrt R., Li Q. Complete boundary element formulation for normal and

tangential contact problems. Physical Mesomechanics. 2014. Vol. 17,

Issue 4. P. 334–340.

136. Li X., Liang L., Wu S. A numerical and effective method for the contact

stress calculation of elliptical partial slip. Journal of Mechanical Science and

Technology. 2015. Vol. 29, Issue 2. P. 517–525.

137. Fang X., Zhang C., Chen X., Wang Y., Tan Y. A new universal approximate

model for conformal contact and non-conformal contact of spherical

surfaces. Acta Mechanica. 2015. Vol. 226, Issue 6. С. 1657–1672.

138. Pop N., Cioban H., Horvat-Marc A. Finite element method used in contact

problems with dry friction. Computational Materials Science. 2011. Vol. 50,

No. 4. P. 1283–1285.

139. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и

инженеров. Москва: Наука, 1968. 720 с.

140. Ляв А. Математическая теория упругости. Москва: ОНТИ НКТП

СССР, 1935. 674 с.

141. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. Москва:

Наука, 1984. 752 с.

142. Александров А.И. Неподвижные точки непрерывных операторов в

гильбертовом пространстве. Запорожье: ЗГУ, 2002. 77 с.

159

143. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в

гильбертовом пространстве. Москва: Наука, 1966. 543 с.

144. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др.

Приближённое решение операторных уравнений. Москва: Наука, 1969.

455 с.

145. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального

исчисления: в 3 T. Москва: Наука, 1966. Т. 3. 656 с.

146. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в

математической физике. Москва: Наука, 1988. 336 с.

147. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.

Москва: Наука, 1986. 288 с.

148. Ланкастер П. Теория матриц. Москва: Наука, 1978. 280 с.

149. Munisamy R.L., Hills D.A., Nowell D. Static axisymmetric Hertzian

contacts subject to shearing forces. Journal of Applied Mechanics. 1994.

Vol. 61. P. 278–283.

150. Bjorklund S., Andersson S. A numerical method for real elastic contacts

subjected to normal and tangential loading. Wear. 1994. 179. P. 117–122.

151. Turner J.R. The frictional unloading problem on linear elastic half-space.

J. Inst. Math. and ist Appl. 1979. Vol. 24. P. 439–469.

160

Додаток А

Список публікацій за темою дисертації та відомості про апробацію

результатів дисертації

А.1 Список публікацій за темою дисертації

Праці, в яких опубліковані основні наукові результати дисертації

1. Александров А.И., Стреляев Ю.М. Метод нелинейных граничных

интегральных уравнений для контактных задач теории упругости.

Восточно-Европейский журнал передовых технологий. 2014. №. 3 (7).

С. 36–40. (Index Copernicus, РИНЦ)

2. Стреляев Ю.М. Решение квазистатической контактной задачи теории

упругости с учетом трения. Вісник Запорізького національного

університету: Збірник наукових статей. Фізико-математичні науки.

2014. № 2. С.161–172.

3. Стреляев Ю.М. Задача о контакте упругих тел с учетом трения при

сложном нагружении. Вісник Запорізького національного

університету: Збірник наукових статей. Фізико-математичні науки.

2015. № 3. С. 255–265.

4. Стреляев Ю.М., Шупчинская К.С. Контактная задача о сжатии двух

упругих цилиндров с учетом трения Кулона. Вісник Запорізького

національного університету: Збірник наукових статей. Фізико-

математичні науки. 2016. № 1. С. 236–245.

161

5. Стреляев Ю.М. Метод нелинейных граничных интегральных

уравнений для решения квазистатической контактной задачи о

взаимодействии упругих тел при наличии кулонова трения. Вестник

Самарского государственного технического университета. Серия

Физико-математические науки. 2016. T. 20. № 2. С. 306–327. (Web of

Science RSCI, ВИНИТИ)

6. Стреляев Ю.М. Чисельний розв’язок задачі про контакт пружних тіл

під дією нормального і дотичного навантажень. Фізико-математичне

моделювання та інформаційні технології. 2016. Вип. 24. С. 100–110.

Праці, які засвідчують апробацію матеріалів дисертації

7. Стреляев Ю.М., Шупчинськая К.С. О единственности решения

контактной задачи теории упругости с учетом трения Кулона. Science

and Scientists: Збірник матеріалів Міжнародної міждисциплінарної

наукової конференції студентів, аспірантів і молодих вчених.

(Дніпропетровськ, 21–22 груд. 2015). Дніпропетровськ: GlobalNauka,

2015. С.112–114.

8. Стреляєв Ю.М., Поджарова А.В. Нелинейные интегральные уравнения

задачи о контакте упругих тел с учетом трения. Science and Scientists:

Збірник матеріалів Міжнародної міждисциплінарної наукової

конференції студентів, аспірантів і молодих вчених. (Дніпропетровськ,

21–22 груд. 2015). Дніпропетровськ: GlobalNauka, 2015. С. 114–117.

9. Поджарова Г.В., Стреляєв Ю.М. Нелінійне граничне інтегральне

рівняння контактної задачі Герца. Актуальні проблеми математики та

інформатики: Збірка тез доповідей Сьомої Всеукраїнської,

чотирнадцятої регіональної наукової конференції молодих дослідників.

(Запоріжжя, 28–29 квіт. 2016). Запоріжжя: ЗНУ, 2016. С. 62–63.

162

10. Шупчинська К.С., Стреляєв Ю.М. Розв’язання контактної задачі про

стискування з тертям двох пружних циліндрів. Актуальні проблеми

математики та інформатики: Збірка тез доповідей Сьомої

Всеукраїнської, чотирнадцятої регіональної наукової конференції

молодих дослідників. (Запоріжжя, 28–29 квіт. 2016). Запоріжжя: ЗНУ,

2016. С. 102–103.

11. Стреляев Ю.М. Об оптимальном выборе длительности временных

шагов нагружения в квазистатической контактной задаче с учетом

трения. Современные проблемы естественных наук: Тезисы докладов

международной конференции "Тараповские чтения – 2016". (Харьков,

1 – 15 марта 2016). Харьков: Изд-во "Цифровая типография №1", 2016.

С. 68–69.

Праці, які додатково відображають наукові результати дисертації

12. Александров О.І., Стреляєв Ю.М., Александров І.О. Вибрані питання

нелінійного функціонального аналізу і теорії операторів: навчальний

посібник для студентів освітньо-кваліфікаційних рівнів «магістр» і

«спеціаліст» спеціальності «Математика». Запоріжжя: ЗНУ, 2014. 73 с.

А.2 Відомості про апробацію результатів дисертації

V Міжнародна науково-технічна конференція «Актуальні проблеми

прикладної механіки та міцності конструкцій» (м. Запоріжжя, 21–24 травня

2015 р., доповідь);

163

Міжнародна міждисциплінарна наукова конференція студентів,

аспірантів і молодих вчених «Science and Scientists» (м. Дніпропетровськ, 21–

22 грудня 2015 р., заочна участь);

Міжнародна конференція «Сучасні проблеми природничих наук»

(«Тараповські читання – 2016» ) (м. Харків, 1–15 березня 2016 р, онлайн

доповідь)

VII Всеукраїнська, XIV регіональна наукова конференція молодих

дослідників «Актуальні проблеми математики та інформатики»

(м. Запоріжжя, 28–29 квітня 2016 р., доповідь);

Науковий семінар «Актуальні проблеми прикладної математики і

механіки» Запорізького національного університету під керівництвом д.т.н.,

професора В.З. Грищака (м. Запоріжжя, 15 червня 2016 р., доповідь);

Науковий семінар відділу математичних проблем контактної

механіки Інституту прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом д.ф.-м.н., с.н.с.

Р.М. Мартиняка (м. Львів, 28 вересня 2016 р., доповідь);

Науковий семінар «Актуальні проблеми механіки деформівних тіл і

конструкцій» Дніпропетровського національного університету ім. Олеся

Гончара при Придніпровському центрі та науковій раді з механіки

деформівного твердого тіла НАН України під керівництвом члена-

кореспондента НАНУ д.т.н., професора В.С. Гудрамовича та заслуженого

діяча науки і техніки д.т.н., професора А.П. Дзюби (м. Дніпропетровськ,

24 листопада 2016 р., доповідь).

164

Додаток Б

Акт впровадження результатів