UNIVERZITET U ISTONOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIKI FAKULTET

redovni profesor dr Slavko Pokorni, dipl. in. el.

OSNOVI ELEKTROTEHNIKE 2

Elektrine mree sa vremenski promenjivim strujama

2010.

2

Sadraj1.OPTEJEDNAINEELEKTRINIHMREASAVREMENSKIPROMENJIVIMSTRUJAMA.....................41.1.Pojampromenjivestruje...........................................................................................................41.2.Osnovnielementiumreamasavremenskipromenjivimstrujama........................................51.2.1.Otpornik.............................................................................................................................61.2.2.Induktivnikalem(idealan)..................................................................................................61.2.3.Kondenzator(idealan)........................................................................................................7

1.3.Kirhofovizakonizamreesavremenskipromenjivimstrujama..............................................81.4.Snagaumreamasavremenskipromenjivimstrujama.........................................................101.5.Osnovnerazlikemreasavremenskikonstantnimipromenjivimstrujama..........................12

2.OSNOVNIPOJMOVIOELEKTRINIMMREAMASAPROSTOPERIODINIMSTRUJAMA...............142.1.Osnovnipojmovioperiodinimiprostoperiodinimveliinama...........................................142.2.Prostoperiodineveliine........................................................................................................152.3.Poreenjeprostoperiodinihveliina.....................................................................................172.4.Srednjaiefektivnavrednost...................................................................................................192.5.Osnovnipasivnielementiuprostoperiodinomreimu.........................................................222.5.1.Otpornik...........................................................................................................................222.5.2.Kalem................................................................................................................................232.5.3.Kondenzator.....................................................................................................................24

2.6.Reavanjemreauprostoperiodinomreimuuvremenskomdomenu...............................262.7Predstavljanjeprostoperiodinihveliinapomouobrtnihvektora(fazora)..........................282.7.1.Obrtnivektori...................................................................................................................282.7.2.Zaustavljeniobrtnivektori...............................................................................................292.7.3.Fazorskidijagrami.............................................................................................................302.7.4.Rednavezaotpornikaikalema........................................................................................312.7.5.Rednavezaotpornika,kalemaikondenzatora................................................................332.7.6.Paralelnavezaotpornika,kalemaikondenzatora...........................................................34

2.8.Snagaumreamasaprostoperiodinimstrujama..................................................................352.8.1.Trenutnaisrednjasnagaprijemnika................................................................................362.8.2.Prividnasnagaprijemnika................................................................................................362.8.3.Faktorsnageprijemnika...................................................................................................362.8.4.Reaktivnasnagaprijemnika.............................................................................................372.8.5.Faktorreaktivnostiprijemnika.........................................................................................38

3.REAVANJEELEKTRINIHMREASAPROSTOPERIODINIMSTRUJAMAKOMPLEKSNIMRAUNOM..........................................................................................................................................393.1.Predstavljanjefazorakompleksnimbrojevima.......................................................................393.2.Kirhofovizakoniukompleksnomobliku.Impedansaiadmitansa..........................................403.2.1.Kompleksnaimpedansaiadmitansa................................................................................423.2.2.Rezistansa,reaktansa,konduktansaisusceptansa..........................................................433.2.3.Odreivanjenaponaizmeudvetake...........................................................................44

3.3.Redna,paralelnaimeovitavezaprijemnika.Ekvivalencijavezeprijemnikauzvezduitrougao...........................................................................................................................................453.3.1.Rednavezaprijemnika.....................................................................................................453.3.2.Paralelnavezaprijemnika................................................................................................463.3.3.Meovitevezeprijemnika................................................................................................473.3.4.Ekvivalencijavezeprijemnikauzvezduitrougao............................................................483.3.5.Ekvivalencijanaponskogistrujnoggeneratora...............................................................51

3.4.Metodakonturnihstrujaukompleksnomobliku...................................................................51

3

3.4.Metodapotencijalavorovaukompleksnomobliku..............................................................523.5.Kompleksnasnagaprijemnikaigeneratora............................................................................533.6.Teoremeelektrinihmreaukompleksnomobliku...............................................................553.6.1.Linearnost,superpozicijaihomogenost..........................................................................553.6.2.Teoremereciprociteta......................................................................................................563.6.3.Teoremekompenzacije....................................................................................................573.6.4.Teoremaekvivalentnoggeneratora(TevenenovaiNortonovateorema).......................583.6.5.Teoremeodranjakompleksneitrenutnesnage............................................................593.6.6.Prilagoenjeprijemnikanagenerator(prilagoenjeposnazi).......................................603.6.7.Popravkafaktorasnage....................................................................................................62

4.ELEKTRINEMREESAMAGNETSKISPREGNUTIMGRANAMA.....................................................654.1.Kolasaspregnutimkalemovima.............................................................................................654.2.Osnovnipojmoviotransformatoruulinearnomradnomreimu..........................................684.2.1.Savreniiidealnitransformator.......................................................................................694.2.2.Autotransformator...........................................................................................................72

5.TROFAZNISISTEMI..........................................................................................................................735.1.Osnovnipojmoviomonofaznimipolifaznimelementima.....................................................735.2.Trofaznielementi....................................................................................................................735.2.1.Trofaznigeneratori...........................................................................................................735.2.2.Trofazniprijemnici............................................................................................................745.2.3.Prikljuivanjeprijemnikanatrofaznegeneratore............................................................75

5.3.Simetrini,direktniiinverznisistemi......................................................................................765.3.Analizatrofaznihkola..............................................................................................................815.3.1.Vezaprijemnikauzvezdu.................................................................................................815.3.2.Vezaprijemnikautrougao...............................................................................................82

5.4.Snagetrofaznihgeneratoraiprijemnika.................................................................................825.5.Prednostitrofaznogsistemanadmonofaznim.......................................................................845.6.Trofaznitransformator............................................................................................................855.7.Obrtnomagnetskopolje.........................................................................................................865.7.1.Osnovnipojmovioobrtnommagnetskompolju,sinhronimiasinhronimmotorima.....865.7.2.Dvofaznoobrtnomagnetskopolje...................................................................................875.7.3.Trofaznoobrtnomagnetskopolje....................................................................................89

6.FREKVENTNEZAVISNOSTI..............................................................................................................906.1.Otpornik,kalemikondenzator...............................................................................................906.2.Rednoiparalelnooscilatornokolo.........................................................................................916.3.Rezonantneiantirezonantnepojaveusloenijimmreamasajednimparomkrajeva.........936.4.Ponaanjerealnihelemenataprivisokimuestanostima......................................................93

LITERATURA........................................................................................................................................95

4

ELEKTRINE MREE SA VREMENSKI PROMENJIVIM STRUJAMA

1.OPTEJEDNAINEELEKTRINIHMREASAVREMENSKIPROMENJIVIMSTRUJAMA

1.1.Pojampromenjivestruje

U tehnikoj praksi se ee koriste mree sa vremenski promenjivim strujama nego mree sa vremenski konstantnim strujama (na primer, prenos elektrine energije od elektrane do potroaa). Prenos radio signala, TV signala, signala mobilne telefonije, radarskih signala vri se samo pomou vremenski promenjivih struja, posredstvom elektromagnetskih talasa koje takve struje proizvedu.

U mreama sa promenjivim strujama, kao to im ime kae, struje i naponi se menjaju u funkciji vremena. Te promene mogu biti razliite. Pod vremenski promenjivom strujom, za razliku od vremenski konstantne struje (slika 1.1a) podrazumeva se struja koja u toku vremena menja:

- samo intenzitet (slika 1.1b i e), ili - samo smer (slika 1.1f), ili - jedno i drugo (slika 1.1 c i d). Struja prikazana na slici 1.1a je vremenski konstantna (stalna), a sve ostale su promenjive.

Standardno je da se stalne veliine oznaavaju velikim slovom (na primer za struju I), a promenjive malim slovom (i).

Postoje razliite klasifikacije promenjivih struja. Promenjive veliine se mogu podeliti na: - aperiodine (slike 1.1d) i - periodine (ostale slike osim 1.1a i d. Prema matematikoj definiciji, periodine funkcije vremena, )(tf , su one funkcije za koje

postoji pozitivna veliina T takva da za svako t vai )()( tfTtf =+ . Najmanja veliina T naziva se (osnovni) period periodine funkcije )(tf . Funkcije koje nisu periodine, nazivaju se aperiodinim.

Struje prikazane na slikama 1.1a b i e imaju uvek isti smer. Takve veliine su jednosmerne u irem smislu. Sve ostale struje povremeno menjaju smer i predstavljaju naizmenine veliine u irem smislu.

Meutim, termini ''jednosmerne struje'' i ''naizmenine struje'' koriste se u Elektrotehnici i u drugim, uim znaenjima. Tako se pod jednosmernim strujama u uem smislu podrazumevaju samo stalne struje. Pod naizmeninim strujama u uem smislu podrazumevaju se samo simetrine periodine veliine (slike 1.1c i f). Za njih vai )()2/( tfTtf =+ , gde je T period. U jo uem smislu, pod naizmeninim strujama se podrazumevaju samo sinusoidalne funkcije vremena (slika 1.1c), koje se nazivaju i sinusnim ili prostoperiodinim veliinama.

Periodine veliine koje nisu prostoperiodine, mogu se, Furijeovom analizom, predstaviti kao zbir (konanog ili beskonanog broja) sinusoidalnih funkcija. Zato se takve veliine nazivaju i sloenoperiodinim.

Postoje i druge podele. Na primer, struja sa slike 1.1d se ne moe opisati analitiki, a sve ostale mogu, pa se razlikuju analitike i neanalitike veliine. U elementarnim teorijskim razmatranjima obino se uzimaju veliine iji je analitiki oblik (funkcija vremena) poznat u svakom trenutku vremena, +

5

praktinih situacija, naponi i struje su poznati samo u prolosti, ali ne i u budunosti, a nazivaju se nedeterministikim ili stohastikim veliinama.

U ovom predmetu, baviemo se, uglavnom, kolima sa prostoperiodinim strujama i naponima.

Na slici 1.1 su prikazane samo struje, ali te iste slike mogu predstavljati napone u kolu. Struje (naponi) na slikama 1.1b do 1.1f nazivaju se signali. Signal na slici 1.1b naziva se ''podignuta'' sinusoida, na slici 1.1d je prikazan signal koji odgovara ljudskom govoru, na sici 1.1e su unipolarni pravougaoni impulsi, a na slici 1.1f bipolarni pravougaoni impulsi.

Slika 1.1.

1.2.Osnovnielementiumreamasavremenskipromenjivimstrujama U mreama sa vremenski promenjivim strujama koristi se veliki broj razliitih elemenata.

Obino se dele na: - aktivne (pretvaraju neku drugu vrstu energije u energiju vremenski promenjivog

elektrinog polja); primer: elektronske cevi, tranzistori; - pasivne (nemaju tu osobinu); primer: otpornici, kondenzatori, poluprovodnike diode. U mreama sa vremenski promenjivim strujama emo posmatrati etiri osnovna elementa: - generatore (naponske i strujne), - linearne otpornike, - kondenzatore sa linearnim dielektrikom, - kalemove bez feromagnetskog jezgra (odnosno sa feromagnetskim jezgrom ali u

linearnom reimu). Mree sa takvim elementima se nazivaju linearne mree. Kasnije emo ovim elementima

prikljuiti i magnetski spregnuta kola (spregnute kalemove) i transfomatore kao primer spregnutih kola. Kao i kod vremenski konstantnih struja i ovde se uvodi pojam referentnog smera, ali je ovde smisao drugaiji. Za takvu struju (napon) kaemo da je pozitivna u onim intervalima u kojima joj se stvarni smer poklapa sa referentnim, a da je negativna u suprotnom. U istom smislu vae pojmovi usaglaeni smerovi za napon i struju prijemnika i generatora1, onako kako su definisani

1Neki autori usklaeni smer napona i struje generatora, onako kako smo ga mi definisali, nazivaju neusklaeni.

6

kod vremenski konstantnih struja (slika 1.2). Za prijemnik, dakle, vai da je pozitivan onaj kraj u koji struja ulazi, a za generator onaj kraj gde struja izlazi.

Slika 1.2. Sa stanovita teorije elektrinih mrea, ponaanje nekog elementa karakteriemo iskljuivo vezom izmeu napona koji postoji izmeu njegovih prikljuaka i jaine struje kroz te prikljuke. Sada emo definisati te veze za osnovne elemente: otpornik, kalem i kondenzator.

1.2.1.Otpornik Pod otpornikom se podrazumeva element za koji, u skladu sa referentnim smerovima (slika 1.3a) za napon )(tu izmeu njegovih prikljuaka i jainu struje )(ti kroz njega vai

)()( tiRtu = gde je R otpornost otpornika, koja je konstanta (ne zavisi ni od prikljuenog napona, ni od struje koja kroz njega protie), pa je relacija linearna. Inverzna relacija (istovremeno dualna relacija) glasi

)()( tuGti = , gde je G provodnost otpornika ( 1=RG ). Iz relacija se vidi da se napon i struja otpornika uvek menjaju na isti nain. Na primer, ako je struja otpornika bipolarna povorka pravougaonih impulsa (slika 1.3b), onda je i napon otpornika istog oblika.

Slika 1.3.

1.2.2.Induktivnikalem(idealan)Kada u kalemu postoji promenjiva struja, u njemu se indukuje elektromotorna sila. Ta ems

je, po Faradejevom zakonu, ttte

d)(d)(ind

= , a rauna se u odnosu na referentni smer struje. Kako je )()( ind tetu = (zbog referentnih smerova sa slike 1.4a) i )()( tLit = (gde je L induktivnost kalema,

koja je konstanta), dobijamo relaciju izmeu napona i struje idealnog kalema,

ttiLtu

d)(d)( =

(prema referentnim smerovima kao na slici 1.4a). Gornja relacija vai ako indukovano elektrino polje postoji samo u kalemu (izvan kalema 0=B i 0=indE ), a specifina provodnost ice kalema veoma velika, tj. ako je napon izmeu prikljuaka kalema isti du bilo koje putanje van kalema.

7

Drugim reima, kod raunanja napona kalema zamiljamo da putanja integracije prolazi pored kalema (a ne kroz kalem), kao to je crticama oznaeno na slici 1.4a.

Veza izmeu napona i struje kalema je linearna diferencijalna jednaina. Ova relacija je jednoznana: ako je poznata struja, napon je potpuno odreen. Inverzna relacija je nejednoznana i glasi

0d)(1)( IttuL

ti += , gde je 0I integraciona konstanta. Drugim reima, ako je napon kalema poznat, struja je odreena sa tanou do aditivne konstante. Ta konstanta se, pri reavanju kola, odreuje na osnovu nekog dodatnog uslova; na primer, na osnovu poznate jaine struje u jednom trenutku vremena (poetni uslov).

Napon kalema je, dakle, srazmeran prvom izvodu struje po vremenu. Obrnuto, struja je srazmerna integralu napona. U optem sluaju, stoga, napon i struja kalema se ne menjaju na isti nain, tj. funkcionalno nisu dati istim izrazima. Kao primer, na slici 1.4b, pretpostavljeno je da je struja kalema bipolarna povorka trougaonih impulsa. Napon kalema ima tada oblik bipolarne povorke pravougaonih impulsa.

Slika 1.4.

1.2.3.Kondenzator(idealan)

Optereenost kondenzatora je srazmerna naponu, )()( tCutQ = , gde je C kapacitivnost kondenzatora. Optereenost se rauna u odnosu na referentni smer struje. Pri tome je naelektrisanje gornje elektrode kondenzatora jednako optereenosti, )(tQ , a naelektrisanje donje elektrode je uvek suprotno, )(tQ , slika 1.5a. Kada je napon kondenzatora promenljiv, menja se i njegova optereenost, a u provodnicima kondenzatora postoji struja t

tQtid

)(d)( = . Odavde sledi relacija

ttuCti

d)(d)( =

(prema referentnim smerovima kao na slici 1.5a), koja je dualna relaciji za kalem (struja i napon su zamenili mesta). Zato su i ostali rezultati za kalem i kondenzator dualni.

Nagomilano naelektrisanje postoji, po pretpostavci, samo u kondenzatoru, ali je ukupno naelektrisanje njegove dve elektrode jednako nuli. Da bi jednaina kontinuiteta, primenjena na

zatvorenu povr, dala prvi Kirhofov zakon, =S

0dSJ , ta povr ne sme proi izmeu elektroda

kondenzatora, odnosno treba da zaobie zatvorenu povr oznaenu na slici 1.5a. Veza izmeu struje i napona je linearna diferencijalna jednaina. Ova relacija je jednoznana:

ako je poznat napon, struja je potpuno odreena. Inverzna relacija je integralna i glasi

0d)(1)( UttiC

tu += ,

8

gde je 0U integraciona konstanta. Dakle, ako je struja kalema poznata, napon je odreen sa tanou do aditivne konstante (koja se moe odrediti, na primer, iz poetnog uslova).

Na slici 1.5b je pretpostavljeno da je napon kondenzatora bipolarna povorka trougaonih impulsa. Struja kondenzatora ima tada oblik bipolarne povorke pravougaonih impulsa.

Slika 1.5.

1.3.Kirhofovizakonizamreesavremenskipromenjivimstrujama Neka se elektrina mrea sastoji od proizvoljnog broja elemenata i stanje u mrei se moe smatrati kvazistacionarnim2 (kvazistacionarnost detaljnije objanjavamo u odeljku 1.5), tada za svaki vor mree, u svakom trenutku, vai I Kirhofov zakon (I KZ)

0)(1

==

n

kk ti

gde je n broj grana koje se stiu u voru. Ako je referentni smer struje od vora, u zbiru se uzima predznak +, a ako je ka voru -. Moe se postaviti )1( n linearno nezavisnih jednaina. Posmatrajmo deo neke elektrine mrea, kao na slici 1.6. Elementi mree mogu biti generator (strujni i naponski), otpornik, kalem, kondenzator i bilo koji drugi elementi (pa na slici 1.6 nisu korieni simboli za R, L, C). Poto su elementi takvi da se izvan njih zapaa samo kvazistacionarna komponenta elektrinog polja, napon izmeu krajeva elemenata jednak je razlici potencijala izmeu tih krajeva, pa je napon (razlika potencijala) izmeu bilo koje dve take A i B u mrei ( ) ( ){ }

B doA od= tutuAB Pri sumiranju, pri kretanju od A ka B du grane, predznak + se uzima ako se prvo naie na referentni kraj, u suprotnom se uzima -.

Za primer na slici 1.6. za napon izmeu taaka A i B raunat du putanje ACEDB (dakle idui od A ka B) je ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tututututuAB 4321 += Ako se napon rauna istom putanjom, ali idui od B ka A, koristi se relacija ( ) ( ){ }

A do B od= tutuAB ali se sada predznak + se uzima ako se prvo naie na kraj koji nije referentni, u suprotnom se uzima -.

Za isti primer na slici 1.6. za napon izmeu taaka A i B raunat du putanje BDECA (dakle idui od B ka A) je

2 Ako stanje nije stacionarno, povrina koja obuhvata vor mora biti vrlo mala.

9

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tututututuAB 1234 += to je isti rezultat kao i prethodni.

Slika 1.6.

Ako se take A i B poklope, napon izmeu njih je jednak nuli

0)(1

==

n

kk tu

to predstavlja II Kirhofov zakon (II KZ), koji vai za svaku zatvorenu konturu3 formiranu od grana mrea, u svakom trenutku. Predznaci se uzimaju na nain kao kada se rauna razlika potencijala taaka A i B, ali idui od take B ka taci A, odnosno ako se smer obilaska konture i smer napona poklapaju uzima se predznak +, u suprotnom - (referentni smer napona je od kraja oznaenog sa - prema kraju oznaenom sa +). Moe se postaviti )1( gk = nnn linearno nezavisnih jednaina. Na primer, jednaina po II KZ za konturu ACDBEA je: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 067451 =+++ tututututu Na isti nain bi postupali ako bi imali poznate elemente R, L, C) u granama. Na primer za mreu na slici 1.7, II KZ za konturu sa pet grana je (+ se uzima ako se prvo naie na kraj koji nije referentni)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0)(21

5

1=+++=

=tututututetu CRLR

kk

Ovim jednainama treba pridruiti relacije izmeu struja i napona grana. Te relacije imaju razliite oblike, zavisno od elemenata grane. Najjednostavniji sluajevi su idealni generatori (naponski i strujni) i otpornici. Tada su relacije opet jednostavne algebarske jednaine. Meutim, kod kalemova i kondenzatora, kao to smo videli u odeljcima 1.2.2 i 1.2.3, jednaine koje opisuju te elemente su diferencijalne jednaine prvog reda (sa konstantnim koeficijentima). Alternativno, kalemovi i kondenzatori se mogu opisati integralnim jednainama, ali se takav postupak retko primenjuje u praksi zbog integracionih konstanti.

Prema tome, prethodna relacija se moe napisati u obliku:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01021 21=++++ CCRR UdttiCtiRdttdiLtiRte

Moe se uoiti da ovde, za razliku od mrea sa vremenski konstatntnim strujama ne dobijamo sistem linearnih algebarskih jednaina, jer se pored samih struja pojavljuju i njihovi izvodi i integrali po vremenu, pa reavanje nije jednostavno.

3Vai za kvazistacionarna polja, inae postoji indukovana ems u provodniku.

10

Vremenska promena struje i napona moe biti, teorijski bilo kakva. Najjednostavniji ali i najvaniji sluaj je kada se napon i struja menjaju na jedan ustaljen nain, na primer po prostoperiodinom (sinusnom) zakonu. Takvo stanje se naziva ustaljeno stanje.

Slika 1.7.

Drugi, praktino vaan, sluaj je promena napona i struja prilikom promene radnog reima (ukljuivanje generatora prostoperiodine struje u mreu ili iskljuivanje iz mree). Tada dolazi do postepenog uspostavljanja ili isezavanja struje. Proces je obino brz, ali nije trenutan. Isto se dogaa i pri ukljuivanju ili iskljuivanju generatora vremenski konatantne ems. Odreivanje napona i struje u ovom sluaju je znatno sloenije od analize ustaljenog stanja. Ovakva stanja se nazivaju prelazni procesi (reimi).

Dakle, mrea se moe opisati sistemom algebarskih jednaina i linearnih diferencijalnih jednaina. Da bi se reavanje pojednostavilo, videemo da, ako u kolu postoji prostoperiodini reim (kada su svi naponi i sve struje prostoperiodine funkcije iste uestanosti), zadatak reavanja kola je odreivanje efektivnih vrednosti i poetnih faza napona i struja, to je znatno jednostavnije.

1.4.Snagaumreamasavremenskipromenjivimstrujama Posmatrajmo bilo kakav prijemnik sa dva kraja (prikljuka), prikljuen na napon )(tu . Neka je )(ti jaina struje kroz prikljuke prijemnika (slika 1.8). U intervalu vremena dt kroz prijemnik proe koliina elektriciteta ( )dttitdq =)( . Prema definiciji napona, u tom intervalu dt elektrine sile su izvrile rad ( ) ( )dttitutdA silael =)(. pa je trenutna vrednost snage prijemnika (snaga prijemnika u tom trenutku, snaga prijemnika je brzina vrenja rada), za referentne smerove kao na slici 1.8, ( ) ( )titutp =)(

Ukupna energija koja se predaje prijemniku od nekog trenutka 0t do nekog kasnijeg trenutka t dobija se kao zbir (odnosno integral) radova elektrinih sila u tom vremenskom intervalu

( ) ( )= tt

dttituA0

0 tdo tod sila el.

Ukupna energija koja se predaje prijemniku od nekog trenutka 0t do nekog kasnijeg trenutka t dobija se kao zbir (odnosno integral) radova elektrinih sila u tom vremenskom intervalu

( ) ( )= tt

dttituA0

0 tdo tod sila el.

11

Slika 1.8. Posmatrajmo idealni generator vremenski promenjive ems ili struje (slika 1.9). Trenutna vrednost snage generatora (tj. snaga koju generator predaje ostatku kola), za referentne smerove kao na slici, je ( ) ( )titutp ggg =)(

Slika 1.9.

Rad generatora od trenutka 0t do nekog kasnijeg trenutka t je

( ) ( )= tt

gg dttituA0

0 tdo tod gen.

Svi izrazi vae za referentne smerove kao na slikama 1.8 i 1.9. Ako se promeni referentni smer za napon ili struju, izrazi dobijaju predznak -. U sluaju vremenski promenjivih struja, ( )tpg i ( )tp mogu u toku vremena biti pozitivni i negativni. Zbog toga i rad generatora i rad elektrinih sila pri odravanju srtruje kroz prijemnik mogu u nekom intervalu biti bilo pozitivni bilo negativni. Uz usvojene referentne smerove, u intervalima vremena kada je snaga prijemnika negativna ( ( ) 0tp , prijemnik se zaista ponaa kao prijemnik. Primer 1.1. Kondenzator kapacitivnosti C prikljuen je na napon ( )tu , slika 1.10a. Napon ( )tu se menja kao na slici 1.10b (isto kao na slici 1.5b). Na osnovu opte relacije koja povezuje struju i napon kondenzatora ( ) ( )dt

tduCti = , i poznatog zakona promene napona, moe se odrediti zakonitost promene struje kroz kondenzator (slika 1.10b). Na osnovu relacije za snagu ( ) ( )titutp =)( , lako se nacrta i grafik promene snage (slika 1.10c).

12

Slika 1.10.

U intervalima u kojima je ( ) 0

13

Promenjiva polja se dele u dve grupe izmeu kojih ne postoji otra granica. Prva grupa su polja koja se menjaju dovoljno sporo da se efekti prostiranja mogu zanemariti. To su sporopromenjiva ili kvazistacionarna ili kvazistatika polja. Takva polja, odnosno stanja, emo izuavati u elektrotehnici.

Druga grupa su brzopromenjiva polja (pojava kanjenja se nemoe zanemariti), gde spadaju i EMT.

Primer 1.3. Posmatrajmo prostoriju duine ml 10= , i polje elektroinstalacija Hzf 50=

Vreme prostiranja elektromagnetskog polja je nss

skm

mcltk 331033

103

10 95

=

== Period

(ciklus) ovog polja ktmsssfT >>==== 2002,050

111 , odnosno Ttk >== 6000 ).

Primer 1.4. Za distributivnu mreu elektroenergetskog sistema na teritoriji kml 3000=

msTmss

skmkm

cltk 201010

103

3000 25

===

== , pa stanje nije kvazistacionarno (u ovom sluaju

lkm 26000 == ). Primer 1.5. U prostoriji duine ml 10= posmatrajmo EMT radio i TV prijemnika, na

primer FM radio prijemnika MHzf 100= ( lm = 3 ), ili nsTnstk 103,3 == pa je ovo polje brzopromenjivo.

Prema tome periodino polje je kvazistacionarno ako su dimenzije prostora (domena) u

kome se polje posmatra mnogo manje od talasne duine ( l ).

Na kraju jo da konstatujemo: - opte jednaine mrea sa vremenski promenjivim strujama razlikuju se od jednaina za mree sa vremenski konstantnim strujama. Moe se govoriti samo o trenutnim vrednostima ems, napona, struje i snage, tj. vrednostima tih veliina u nekom trenutku, - jednaine iz kojih treba izraunati struje grana sadre izvode i integrale struja po vremenu, pa je raunanje sloeno. Meutim, u sluaju prostoperiodinih generatora iste uestanosti jednaine je mogue svesti na formalno isti oblik kao u sluaju vremenski konstantnih struja. U nastavku emo se baviti upravo metodama za reavanje takvih mrea.

14

2.OSNOVNIPOJMOVIOELEKTRINIMMREAMASAPROSTOPERIODINIMSTRUJAMA

2.1.Osnovnipojmovioperiodinimiprostoperiodinimveliinama Pod vremenski periodinim veliinama podrazumevaju se veliine ije se vrednosti u jednakim vremenskim razmacima ponavljaju. Na primer periodini napon (slika 2.1). Neka je T (naziva se period ili ciklus) interval vremena posle koga se vrednosti ponavljaju. Matematiki periodina funkcija ( )tf , oigledno, mora da u bilo kom trenutku t zadovoljava uslov

( ) ( ) ... 2,-1,1,2,- ..., n , ==+ tfnTtf

Slika 2.1.

Period T se izraava u sekundama (s). U toku jednog perioda posmatrana veliina izvri sve

svoje promene (koje se zatim periodino ponavljaju), ili se kae da je izvren jedan ciklus. Tako je period duina trajanja jednog ciklusa periodine funkcije.

Neka je Nt vreme za koje periodina funkcija izvri N potpunih ciklusa. Odnos NtNf /= naziva se uestanost (frekvencija) periodine funkcije. Ako je N=1, onda je Tt =1 , pa je

Tf 1=

Ova relacija daje vezu uestanosti i perioda. Uestanost je brojno jednaka broju ciklusa periodine funkcije u jedinici vremena, i ne mora biti ceo broj. Izraava se u hercima (Hz), koji

predstavlja 11 = ss

. Na primer uestanost struje gradske mree u Evropi je 50 Hz, a u Severnoj

Americi 60 Hz. Opseg uestanosti signala govora je od 20 Hz do 20 kHz, EMT u radiodifuziji je 150 kHz do 100 MHz, TV kanala 50 MHz do 1000 MHz, veza preko satelita 4 do 15 GHz. U elektrotehnici najvaniju ulogu imaju periodine veliine koje se menjaju po sinusnom ili kosinusnom zakonu. Poto su matematiki najjednostavnije dobile su naziv prostoperiodine funkcije. Kako smo kod definicije pojma promenjive struje naveli, sve ostale periodine funkcije se nazivaju periodine ili sloenoperiodine da bi se istakla razlika. Razmatraemo prostoperiodine struje i napone. Tada je analiza prostija nego za neku drugu periodinu promenu struja.

15

2.2.Prostoperiodineveliine

Na slici 2.2 su prikazane sinusna funkcija ( xy sin= ) i kosinusna funkcija ( xy cos= ). Matematiki, argument obeju funkcija (x) je ist broj, a predstavlja ugao izraen u radijanima (rad). Ove funkcije su periodine, sa osnovnim periodom 2 . Obe funkcije su ograniene po modulu ( 1|| y , odnosno 11 y ), tj. maksimumi su 1, a minimumi -1. Maksimumi i minimumi se javljaju alternativno, sa periodom 2 . Obe funkcije imaju nule koje se ponavljaju sa periodom . Sinusna funkcija je neparna, a kosinusna parna.

Izmeu sinusne i kosinusne funkcije postoje, izmeu ostalih, veze

)2/cos(sin = xx i )2/cos(sin xx = . Prva od tih veza e nam biti vanija jer ukazuje na to da se sinusna funkcija moe dobiti od

kosinusne pomeranjem du x-ose (translacijom) za etvrtinu perioda ( 2/ ) udesno. I obrnuto, kosinusna funkcija se moe dobiti translacijom sinusne za etvrtinu perioda ulevo.

Slika 2.2.

U Elektrotehnici se pod prostoperiodinom strujom (slika 2.3) podrazumeva struja (i) koja je u, funkciji vremena (t), data analitikim izrazom

)cos()( m += tIti (*) gde su mI , i konstante. Ova jednaina je kanonini oblik prostoperiodine struje4.

U jednaini (*), )(ti je trenutna jaina struje (trenutna vrednost). Konstanta mI ( 0m >I ) naziva se amplitudom prostoperiodine struje. Amplituda je ista po prirodi kao i trenutna vrednost, pa su im i jedinice iste (amper). Zbog ogranienosti kosinusne funkcije, maksimalna trenutna vrednost jednaka je mI , a minimalna mI , odnosno mm )( ItiI .

Argument kosinusa u jednaini (*) je linearna funkcija vremena ( +t ), a naziva se fazom (trenutnom fazom). Matematiki, to je neimenovani broj, odnosno odgovara uglu izraenom u radijanima (rad). Za 0=t , faza je jednaka , a naziva se poetnom fazom. Poetna faza se izraava u radijanima. S obzirom na periodinost funkcije (*), poetna faza je odreena sa tanou od k2 , gde je k ceo broj ( ,...2,1,0 =k ). Stoga se poetna faza svodi na interval ija je irina 2 , najee na

16

Primer 2.1. Neka imamo prostoperiodinu struju )1,7cos()( m += tIti . Taj izraz se moe napisati i u obliku )9,08cos()( m += tIti , odnosno )9,0cos()( m = tIti .

Poetna faza, oigledno, moe biti pozitivna ili negativna. Uoiti da slika 2.3 odgovara

sluaju 0> , a da je maksimum funkcije (*) koji je najblii koordinatnom poetku5 apscisne ose u trenutku = /t . (Ako je 0> , taj maksimum je levo od koordinatnog poetka, ako je 0 ) predstavlja brzinu kojom se faza menja, a naziva se krunom (ili ugaonom) uestanou. Jedinica krune uestanosti je 1s ili, ekvivalentno, rad/s .

Period prostoperiodine veliine je = /2T . Reciprona vrednost perioda je frekvencija (uestanost), Tf /1= , a moe se protumaiti kao broj perioda u jedinici vremena. Jedinica frekvencije je herc (Hz). Izmeu krune uestanosti i ''obine'' uestanosti postoji relacija f= 2 .

Slika 2.3.

Posmatrajmo ta se deava sa prostoperiodinom funkcijom (*) ako se promeni samo jedna od konstanti mI , i slika 2.4). Zamislimo jedan skup tih konstanti. Njemu odgovara funkcija oznaena sa )cos(m +tI na slici 2.4.

Slika 2.4.

5Na apscisu se moe naneti proizvod t umesto vremena t. Tada je period jednak 2 , a maksimum najblii koordinatnom poetku je za =t . Ako se na apscisu nanosi proizvod tc onda jedan period odgovara .

17

Ako se amplituda povea dva puta, dobija se funkcija oznaena sa )cos(2 m +tI , ije se ekstremne vrednosti dobijaju mnoenjem faktorom 2 ekstremnih vrednosti funkcije )cos(m +tI .

Ako se kruna uestanost povea dva puta (ekvivalentno, ako se uestanost povea dva puta, odnosno period smanji dva puta), dobija se ''gua'' sinusoida, oznaena sa )2cos(m +tI . Obrnuto, smanjivanjem krune uestanosti sinusoida se ''razreuje''.

Najzad, ako se poetna faza povea za (konkretno, sa 6/ na 3/ , odnosno 6/= ), grafik funkcije se pomera ulevo za / , to odgovara funciji oznaenoj sa )2cos(m +tI . Obrnuto, smanjivanje poetne faze pomera grafik udesno.

Iako su sve definicije navedene za struju, one vae i za druge linearne veliine u kolu, kao to je napon. Kanonini oblik prostoperiodinog napona je

)cos()( m += tUtu , (**) gde je mU amplituda napona (izraava se u voltima), kruna uestanost, a poetna faza. Oznake poetnih faza napona i struje se razlikuju iz operativnih razloga.

Za elektromotornu silu koristiemo izraz

)cos()( m etEte += Ako su u nekom elektrinom kolu svi naponi i sve struje prostoperiodine funkcije iste

uestanosti, kae se da u kolu postoji (ustaljeni) prostoperiodini reim. (Amplitude struja i napona su pri tome proizvoljne, kao to su i poetne faze proizvoljne.) Takav reim nastaje u linearnoj mrei (kolu)6 pod dejstvom prostoperiodinih eksitacija (naponskih i strujnih generatora) istih uestanosti.

Kada budemo analizirali kola u prostoperiodinom reimu, implicitno emo podrazumevati da je uestanost (odnosno kruna uestanost) poznata. U tom sluaju, svaka prostoperiodina veliina (napon, struja) je potpuno odreena svojom amplitudom i poetnom fazom.

2.3.Poreenjeprostoperiodinihveliina

Posmatramo prostoperiodian reim u nekom kolu. Dve prostoperiodine veliine iste

prirode, na primer, dva napona u tome kolu, )cos()( 1m11 += tUtu i )cos()( 2m22 += tUtu , mogu se porediti po amplitudi i po fazi (slika 2.5).

Kod poreenja po amplitudi, za napon ija je amplituda vea, kaemo da je vei, iako se izmeu njihovih trenutnih vrednosti ne moe uspostaviti relacija koja bi vaila nezavisno od vremena. Konkretno, na slici 2.5 je m1m2 7,0 UU = , pa je m2m1 UU > i za napon 1u kaemo da je vei od napona 2u , iako je u nekim trenucima vremena )()( 21 tutu > , a u nekim )()( 21 tutu < .

Kod poreenja po fazi, uvodi se razlika faza (fazna razlika),

212112 )()( =++= tt . Ta razlika, oigledno, ne zavisi od vremena, a jednaka je razlici poetnih faza (ako je kruna

uestanost ista). Poto svaka poetna faza moe biti u poluzatvorenom intervalu ],( , ovako izrauna razlika faza moe biti u poluzatvorenom intervalu ]2,2( . Meutim, zbog periodinosti funkcija )(1 tu i )(2 tu , razlika faza se svodi na interval irine 2 , najee na ],( , tj.

18

Ako je 012 > , promene )(1 tu prednjae promenama napona )(2 tu . Na primer, maksimumi napona )(1 tu nastaju pre maksimuma napona )(2 tu . Kae se da tada napon )(1 tu fazno prednjai naponu )(2 tu za 12 . To je konkretno sluaj na slici 2.5 jer je za nju uzeto 6/1 = i 4/2 = , pa je

12/512 = . Ekvivalentno tome, kae se da napon )(1 tu prednjai (u vremenu) naponu )(2 tu za /12 .

Sinusoida na slici 2.5 koja predstavlja )(1 tu pomerena je ulevo u odnosu na sinusoidu koja predstavlja )(2 tu .

Za tu istu situaciju, kae se da napon )(2 tu fazno zaostaje (kasni) za naponom )(1 tu za 12 , odnosno napon )(2 tu kasni za naponom )(1 tu za / .

Ako je 012

19

Slika 2.6.

U analizi kola u prostoperiodinom reimu poetni trenutak se moe zadati, na primer, definisanjem poetne faze jedne prostoperiodine veliine. Meutim, ako taj poetni trenutak nije unapred definisan, imamo slobodu da ga proizvoljno odaberemo. Jedan od estih izbora se svodi na to da usvojimo da poetna faza neke prostoperiodine veliine u kolu bude jednaka nuli. No, pri tome ne smemo proizvoljno usvojiti poetnu fazu nijedne druge prostoperiodine veliine, ve ih odreivati u odnosu na proizvoljno usvojenu, da ne bismo naruili fazne razlike koje objektivno postoje u posmatranom kolu.

2.4.Srednjaiefektivnavrednost

U ovom odeljku emo definisati srednju i efektivnu vrednost. Definicije se odnose na bilo

kakve periodine veliine (napone, struje), a ne samo na prostoperiodine veliine Matematiki, srednja vrednost funkcije )(tf na intervalu ),( bat generalno definie se

izrazom ( )=b

attf

abf d1sr . Posebno, ako je funkcija )(tf periodina sa periodom T, usrednjavanje

se radi na intervalu ija je irina jednaka periodu, odnosno ( )+

=Ta

attf

Tf d1sr , gde je a proizvoljna

konstanta. Tako definisana srednja vrednost ne zavisi od a. esto se u raunu uzima 0=a , odnosno

( )=T

ttfT

f0

sr d1

, odnosno za struju ( )= T ttiTI 0sr d1

ili 2/Ta = , imamo

( )

=2/

2/sr d

1 T

Tttf

Tf .

20

U Elektrotehnici se srednja vrednost naziva i jednosmernom komponentom (zbog Furijeove analize).

Primer 2.2. Ako je maksimalna trenutna vrednost struja sa slika 2.7a i 2.7b jednaka mI , onda je srednja vrednost obe struje jednaka 2/mI , to se lako pokazuje bilo analitiki, a u ovim sluajevima i grafiki.

Slika 2.7.

Srednja vrednost simetrinih periodinih veliina je nula. Primer 2.3. Srednja vrednost sinusoidalne struje (slika 2.8a), i bipolarne povorke

pravougaonih impulsa (slika 2.8b) jednaka je nuli. Dokaz je oigledan jer su geometrijske povrine iznad i ispod t-ose jednake, ali se povrina iznad ose uzima kao pozitivna, a ona ispod ose kao negativna. Stoga se te dve povrine potiru u zbiru. Moe se pokazati i analitiki (uradite sami).

Slika 2.8.

Primer 2.4. U nekim tehnikim primenama (na primer, kod usmeraa) javlja se funkcija

oblika ( ) tUtu = cosm (slika 2.9). Period ove funkcije je / , odnosno dva puta je manji od perioda funkcije tU cosm . Srednja vrednost funkcije sa slike 2.9 (srednja vrednost ''usmerene'' ili ''ispravljene'' sinusoide) je ( ) mm

)2(

)2(m 637,0

2dcos UUttUUtu sr ====

.

Slika 2.9.

21

Efektivnu vrednost emo definisati na jednom primeru. Posmatrajmo otpornik prikazan na slici 2.10, u kome postoji periodina struja )(ti iji je period T. Trenutna snaga otpornika je

2)()( tRitp = . Srednja snaga otpornika (usrednjena tokom jednog perioda) je jednaka 2

0

2

0d)(1d(t)1 RIttRi

Ttp

TP

TT=== , gde je (ako je R=1)

=T

ttiT

I0

2 d)(1

Prethodni izraz predstavlja definiciju efektivne vrednosti struje )(ti . Efektivnu vrednost emo oznaavati velikom slovom bez indeksa, mada su u upotrebi i oznake efI i effI .

Slika 2.10.

Efektivnoj vrednosti struje se moe dati sledea fizika interpretacija. Posmatramo otpornik

sa slike 2.10. U jednom sluaju u otporniku imamo posmatranu periodinu struju )(ti . U drugom sluaju zamislimo da u otporniku postoji stalna struja I, takva da je srednja snaga otpornika u intervalu T ista u oba sluaja. Poto je snaga otpornika pri jednosmernoj struji, 2RIP = , konstantna, odavde sledi da jaina stalne struje treba da bude jednaka efektivnoj vrednosti periodine struje. Uoimo da su oznake za efektivnu vrednost periodine struje i jainu stalne struje iste, kao i oznake za srednju snagu, odnosno snagu. To nee dovesti do zabune jer, u nastavku, neemo istovremeno posmatrati stalne i promenjive struje.

Efektivna vrednost prostoperiodine struje tIti cos)( m= jednaka je

+=+== TmTmTmT ttTIdtTIttTIttsITI 02

0

2

0

2

0

22m d2

2cos2

d2

2cos1dco1 .

odnosno

mmm 707,0

22

2IIII ==

Odavde se amplituda prostoperiodine struje moe izraziti preko efektivne vrednosti kao

III 414,12m = Naravno, isti oblik izraza vai i za efektivnu vrednost prostoperiodinog napona, Napomenimo da su praktino svi instrumenti koji mere prostoperiodine veliine (struje i

napone) badareni tako da pokazuju efektivnu vrednost. Razlog je u tome to je u tehnikim primenama efektivna vrednosti veoma vana jer se na osnovu nje raunaju snage. Kao primer, efektivna vrednost napona na koji se prikljuuje monofazni prijemnik u domainstvu (sijalica, raunar) je V230 . Zbog takve vanosti efektivnih vrednosti, kanonini oblik prostoperiodine veliine emo, umesto u obliku )cos()( m += tIti (videti odeljak 2.2), ee pisati u obliku

22

)cos(2)( += tIti . U analizi kola u prostoperiodinom reimu, svaka prostoperiodina veliina (napon, struja)

je stoga potpuno odreena svojom efektivnom vrednou i poetnom fazom. Ilustracije radi, pokaimo i primer prorauna efektivne vrednosti za periodinu veliinu.

Primer 2.5. Efektivna vrednost periodinog napona sa slike 2.11 je

mmm

Tm UUUtt

TU

TU 577,0

33d

2/21

22/

0

2

===

=

Slika 2.11.

2.5.Osnovnipasivnielementiuprostoperiodinomreimu Pretpostavljamo da su elementi prikljueni na prostoperiodini napon

)cos()( += tUtu m i treba odrediti trenutnu vrednost struje i trenutnu snagu. Referentni smerovi su usklaeni kao za prijemnik.

2.5.1.Otpornik

Neka imamo otpornik kao na slici 1.3a. Za njega vai opti izraz ( )tRitu =)( (videti odeljak 1.2). Odatle je struja

( )Rtuti =)( . Posle zamene izraza za )(tu , dobijamo

( ) += tR

Uti m cos)( .

Iz poreenja ovog izraza sa optim (kanoninim) oblikom izraza za prostoperiodinu struju

)cos()( += tIti m , sledi da je amplituda struje RUI mm = odnosno efektivna vrednost struje

RUI = , a poetna faza struje = . Prema tome struja kroz otpornik je takoe prostoperidina, i

u fazi sa naponom. Kod otpornika, napon i struja su u fazi (pri usklaenim referentnim smerovima; pri neusklaenim smerovima su u protivfazi), ali to nije tako kod drugih prijemnika. Stoga se, kao karakteristika prijemnika, uzima i fazna razlika napona i struje prijemnika (pri usklaenim referentnim smerovima)7: = . Kod otpornika, 0= .

Grafiki prikaz napona i struje dat je na slici 2.12a.

7 Ova fazna razlika jednaka je argumentu kompleksne impedanse prijemnika.

23

Trenutna snaga otpornika (snaga koju otpornik prima od ostatka kola) jednaka je GtiRtutuGtiRtitutp /)(/)()()()()()( 2222 ===== . Kod otpornika je uvek 0)( tp , tj. otpornik se

uvek ponaa kao prijemnik. (Snaga otpornika je nula samo u trenucima kada je struja jednaka nuli, ili, to je isto, kada je napon jednak nuli.)

Slika 2.12.

Snaga otpornika u prostoperiodinom reimu je

( ) ( )( ) ( )( ) 22cos122cos1cos2)()()( 2222 ++=++=+== tGUtRItRItitutp . Ta snaga je jednaka zbiru jedne konstante ( 22 GURI = ) i jednog prostoperiodinog lana ija

je uestanost dva puta via od uestanosti struje, odnosno napona (slika 2.12b). Srednja vrednost tog prostoperiodinog lana jednaka je nuli, pa je srednja snaga otpornika 22 GURIP == , to se i moglo oekivati na osnovu definicije efektivne vrednosti.

2.5.2.Kalem Na isti nain, kao za otpornik, za kalem na slici 1.4a, polazei od opteg izraza za struju

kroz kalem 0d)(1)( IttuL

ti += , posle zamene izraza za napon, dobijamo ( ) ( ) 00 sindcos1)( ItL

UIttUL

ti mm ++=++= , gde 0I predstavlja moguu vremenski konstantnu struju kroz kalem (jednosmerna komponenta). U prostoperiodinom reimu 00 =I .

Slika 2.13.

Imajui u vidu da je ( )

+=+2

cossin tt , dobijamo

+=2

cos)( tLUti m

24

Poreenjem sa kanoninim izrazom za prostoperiodinu struju, sledi LUI mm = odnosno L

UI = , i 2

= . Prema tome struja kroz kalem je takoe prostoperidina, ali kasni za naponom vremenski za etvrtinu perioda (

4T ), odnosno fazno za

2

. Kod kalema, 2 = . Grafiki prikaz

napona i struje dat je na slici 2.13a. Primer 2.6. Neka je kalem prikljuen na prostoperiodian napon efektivne vrednosti

VU 220= , uestanosti Hz50 , i neka je efektivna vrednost struje kroz kalem AI 10= . Odrediti induktivnost tog kalema. Koristei se izrazom L

UI = , dobija se .7007,0 mHHIUL ===

Trenutna snaga kalema (snaga koju kalem prima od ostatka kola), u optem sluaju, je

ttWtLi

ttitiLtitutp L

d)(d)(

21

dd

dd)()()()( 2 =

=== ,

gde je 2)(21)( tLitWL = magnetska energija akumulirana u kalemu. U intervalu vremena kada struja

kalema raste po apsolutnoj vrednosti, raste i magnetska energija, pa je 0)( >tp i kalem se ponaa kao prijemnik, uzimajui energiju od ostatka kola. Meutim, u intervalu vremena kada struja kalema opada po apsolutnoj vrednosti, opada i magnetska energija, pa je 0)(

25

Poreenjem sa kanoninim izrazom za prostoperiodinu struju, sledi mm CUI = odnosno CUI = , i 2

+= . Prema tome struja kroz kalem je takoe prostoperidina, ali prednjai naponu za 2

. Kod kondenuatora, 2

= . Grafiki prikaz napona i struje dat je na slici 2.14a.

Slika 2.14.

Primer 2.7. Neka je kondenzator kapacitivnosti pFC 100= prikljuen na prostoperiodian napon efektivne vrednosti VU 220= i uestanosti Hz50 . Odrediti efektivnu vrednost struje kroz kondenzator. Koristei se izrazom CUI = , dobija se

AAI 91,61091,6 6 == . Trenutna snaga kondenzatora (snaga koju kondenzator prima od ostatka kola), u optem sluaju, je

ttWtCu

ttutCutitutp C

d)(d)(

21

dd

dd)()()()( 2 =

=== ,

gde je 2C )(21)( tCutW = elektrina energija akumulirana u kondenzatoru. U intervalu vremena kada

napon kondenzatora raste po apsolutnoj vrednosti, raste i elektrina energija, pa je 0)( >tp i kondenzator se ponaa kao prijemnik, uzimajui energiju od ostatka kola. Meutim, u intervalu vremena kada napon kondenzatora opada po apsolutnoj vrednosti, opada i elektrina energija, pa je

0)(

26

RUI = , L

UI = , C

UCUI

1==

vidimo da kod pasivnih elemenata (R, L i C) postoji proporcionalnost izmeu efektivne vrednosti

struje i napona8. Ta proporcionalnost se pie u optem obliku ZUI = ili ZIU = . Veliina koja

izraava tu proporcionalnosti (Z) je karakteristika prijemnika koja ima prirodu otpornosti, jedinica joj je om () , a naziva se impedansom prijemnika9. Prema ovoj definiciji, 0Z . Impedansa otpornika je RZ R = , impedansa kalema LZ L = , a impedansa kondenzatora10 CZC

1= . Moe se formirati i dualna relacija, YUI = , gde koeficijent proporcionalnosti (Y) ima prirodu

provodnosti, jedinica je simens (S), a naziva se admitansom prijemnika11. Izmeu impedanse i admitanse postoji relacija 1=ZY . Takoe vai 0Y . Admitansa otpornika je RGYR /1== , kalema

LYL

1= , a kondenzatora CYC = .

2.6.Reavanjemreauprostoperiodinomreimuuvremenskomdomenu

U odeljku 1.3 definisali smo Kirhofove zakone za promenjive struje. Direktno reavanje ovih jednaina analitikim metodima, u vremenskom domenu, nije lako. Ilustrujmo to na primeru sabiranja dve prostoperiodine veliine, na primer dva napona, )()()( 21 tututu += , gde su

)cos()( 11 1 += tUtu m i )cos()( 22 2 += tUtu m . Ako pretpostavimo da je rezultantni napon dat relacijom

)cos()( += tUtu m , onda koristei trignometrijsku transformaciju sinsincoscos)cos( m= , moemo pisati identitet

( ) ( ) tUUtUUtUtUtUtU

tUtUtu

mmmm

mmmm

mm

sinsinsincoscoscos

sinsincoscossinsincoscossinsincoscos)(

2121

2211

2121

21211

++=+=

=

Da bi identitet bio ispunjen, koeficijenti uz tcos i tsin u oba izraza moraju biti identini 21 coscoscos 21 mmm UUU += (1)

21 sinsinsin 21 mmm UUU += (2) Ako relaciju (2) podelimo sa relacijom (1) dobijamo

21

21

coscossinsin

21

21

mm

mm

UUUU

tg ++= (3)

8Zbog proporcionalnosti efektivnih vrednosti i amplituda, isto vai i za amplitudne vrednosti struja i napona. 9 Ovako definisana impedansa jednaka je modulu kompleksne impedanse prijemnika, koju emo uvesti kasnije. 10 Zbog slinosti sa relacijom za otpornost R, impedansa kalema i kondenzatora se ponekad nazivaju induktivna i kapacitivna otpornost, to nije korektno. Korektno ih je nazivati reaktansa kalema i reaktansa kondenzatora, kao to emo kasnije videti. 11 Ovako definisana admitansa jednaka je modulu kompleksne admitanse prijemnika.

27

Ako napravimo zbir relacija ( ) ( )22 21 + , dobijamo ( )2121222 sinsincoscos2 2121 +++= mmmmm UUUUU , odnosno, uz primenu ve koriene

trigonometrijske transformacije za kosinus razlike uglova, konano je

( )21222 cos2 2121 ++= mmmmm UUUUU (4) Relacije (3) i (4) slue za odreivanje ampitude i poetne faze napona koji je zbir dva

napona. Isti rezultati bi se dobili i ako bi se naponi menjali po sinusnom zakonu. Primer 2.8. Ilustrujmo primenu ovih relacija na primeru redne veze otpornika i kalema,

prikazane na slici 2.15. Neka je zadatak da odredimo relaciju izmeu napona i struje te redne veze. Struja je, oigledno, zajednika za oba elementa. Radi daljeg pojednostavljenja, usvojimo da

je poetna faza struje jednaka nuli, tj. neka je struja data izrazom tIti = cos2)( . Napon otpornika je tRItRituR == cos2)()( , a napon kalema je tLIt

tiLtuL == sin2d)(d)( . Napon redne veze je

( )2/cos2cos2sin2cos2)()()( ++==+= tLItRItLItRItututu LR .

Slika 2.15.

Primenom relacije (4) se dobija ( ) ( ) ( )2/0cos22222 222 ++= LIRILIRIU m , a posle vaenja kvadratnog korena i delenja sa 2 se dobija 22 )( LRIU += .

Kolinik ZLRIU =+= 22 )(/ je impedansa redne veze otpornika i kalema.

Primenom relacije (3) se dobija ( )( ) R

LLIRILIRI

=+

+=2/cos20cos22/sin20sin2tg

0

0

, odnosno

RL= arctg (jer je 0>R i 0>L pa je ugao u prvom kvadrantu).

Da smo krenuli obrnutim redom, od poznatog napona )cos(2)( += tUtu , struju )(ti bismo direktno mogli odrediti samo reavanjem diferencijalne jednaine za ovo kolo, t

tiLtRitud

)(d)()( += . Meutim, koristei se rezultatom koji smo dobili polazei od struje, moemo ovako rezonovati.

Znamo impedansu redne veze, 22 )( LRZ += , a znamo i faznu razliku napona i struje, RL= arctg .

Onda je struja potpuno odreena jer joj znamo efektivnu vrednost ( ZUI /= ) i poetnu fazu ( = ), odnosno ZtUti /)cos(2)( += .

Ovakvim rezonovanjem bismo mogli brzo reiti i problem ako bi bila zadata struja u optem obliku, )cos(2)( += tIti , a trai se napon redne veze. Rezultat je )cos(2)( ++= tZItu .

Ve iz ovog jednostavnog primera se vidi da je sabiranje prostoperiodinih veliina glomazno raditi direktno, u vremenskom domenu. U narednom odeljku emo uvesti fazore i raun sa fazorima, koji e delimino reiti taj problem. Koristei se kompleksnim brojevima, raun sa fazorima se moe dalje pojednostaviti i formalizovati tako da analiza kola u prostoperiodinom

28

reimu postane gotovo identina analizi kola vremenski konstantnih struja. Na taj nain emo metode reavanja kola vremenski konstantnih struja moi relativno lako da prilagodimo reavanju kola u prostoperiodinom reimu.

2.7Predstavljanjeprostoperiodinihveliinapomouobrtnihvektora(fazora)

U ovom odeljku je opisan jedan postupak predstavljanja prostoperiodinih veliina

vektorima koji se nazivaju fazorima. Taj postupak ima nekoliko korisnih strana. Prvo, omoguava vizuelizaciju meusobnog odnosa napona i struja u posmatranom kolu. Drugo, pomou fazora, mogue je reiti neka jednostavnija kola, a ponekad i reiti probleme na laki nain nego drugim postupcima. Tree, polazei od rauna sa fazorima, lako se uvodi raun sa kompleksnim predstavnicima prostoperiodinih veliina, koji je osnovni alat za analizu elektrinih kola, sistema i elektromagnetskih polja.

2.7.1.Obrtnivektori

Posmatrajmo vektor A , koji se nalazi u ravni crtea na slici 2.16a. Poetak vektora se

poklapa sa koordinatnim poetkom jedne ose, koju emo zvati faznom osom (f.o.). Neka je AA = modul (duina) toga vektora, a ugao koji taj vektor zaklapa sa faznom osom. Referentni smer za raunanje uglova je suprotan smeru okretanja kazaljke na asovniku (matematiki pozitivni smer). Projekcija vektora A na faznu osu je = cosAa . Ta projekcija je skalarna veliina koja ukljuuje i znak (usmereni skalar). Zamislimo sada da se vektor A obre u ravni crtea, u matematiki pozitivnom smeru, konstantnom ugaonom brzinom (slika 2.16b). Tada je 0 += t , gde je

0 ugao koji vektor A zaklapa sa faznom osom u trenutku 0=t , pa je projekcija toga vektora na faznu osu prostoperiodina funkcija vremena, )cos(||)( 0 += tAta . Amplituda projekcije jednaka je duini vektora A , kruna uestanost je jednaka ugaonoj brzini obrtanja vektora, a poetna faza je jednaka uglu koji vektor A zaklapa sa faznom osom u poetnom trenutku ( 0=t ). U tom sluaju kaemo da vektor A predstavlja prostoperiodinu veliinu )(ta , tj. vektor A je predstavnik veliine )(ta . Takav obrtni vektor se naziva fazor. Fazor se izraava u istim jedinicama kao i veliina koju predstavlja.

Slika 2.16.

Posmatrajmo proizvoljno kolo u prostoperiodinom reimu. Fazorima se mogu predstaviti bilo koje prostoperiodine veliine u tom kolu (naponi, struje). Duina fazora je, u razmeri crtea, jednaka amplitudi (ili efektivnoj vrednosti) odgovarajue prostoperiodine veliine, ugaona brzina obrtanja fazora jednaka je krunoj uestanosti, a ugao koji fazor zaklapa sa faznom osom u trenutku

0=t jednak je poetnoj fazi. Kao primer, posmatrajmo rednu vezu dva elementa (slika 2.17a).

29

Pravougaonikom emo oznaiti pasivni element (prijemnik): otpornik, kalem, kondenzator, ili ak njihove kombinacije. Neka je trenutna vrednost napona prvog elementa

)cos(2)cos()( 111m11 +=+= tUtUtu , trenutna vrednost napona drugog elementa )cos(2)cos()( 222m22 +=+= tUtUtu , a trenutna vrednost napona redne veze

)cos(2)cos()()()( m21 +=+=+= tUtUtututu . Fazori (obrtni vektori), koji predstavljaju ova tri napona prikazani su na slici 2.17b.

Poto je kruna uestanost svih tih prostoperiodinih veliina ista, svi fazori se obru sinhrono (istom brzinom), u matematiki pozitivnom smeru. Pri tome fazori zadravaju iste meusobne odnose, tj. uglovi izmeu fazora se ne menjaju. Ti uglovi predstavljaju odgovarajue fazne razlike.

Iz matematike je poznato da je projekcija zbira dva vektora jednaka zbiru njihovih projekcija. Stoga se fazor koji predstavlja zbir dva napona dobija jednostavno vektorskim sabiranjem fazora koji predstavljaju ta dva pojedinana napona. (Sabiranje se moe uraditi, na primer, po pravilu paralelograma ili nadovezivanjem vektora.) Poto se svi fazori okreu istom (konstantnom) ugaonom brzinom, projekcija rezultantnog fazora na faznu osu je prostoperiodina veliina. Iz svega sledi da je zbir dve prostoperiodine veliine iste uestanosti takoe prostoperiodina veliina te iste uestanosti.

2.7.2.Zaustavljeniobrtnivektori

Obrtanje fazora je jednoznano odreeno ako je poznat poloaj fazora (obrtnog vektora) u trenutku 0=t (slika 2.17c): sliku koja sadri fazore za 0=t treba rotirati za ugao t da bi se dobila slika fazora u trenutku t. Zbog toga emo nadalje posmatrati samo fazore u poetnom trenutku ( 0=t ). Moemo zamisliti da se takva slika dobija fotografisanjem obrtnih fazora u trenutu 0=t ili zaustavljanjem obrtnih vektora u tome trenutku (zaustavljeni fazori).

Slika 2.17.

30

Najzad, kao to je ranije napomenuto, u tehnikim primenama se preteno operie sa efektivnim vrednostima, a ne sa amplitudama. Da bi se izbeglo mnoenje i deljenje sa 2 , ubudue emo crtati fazore tako da su njihove duine srazmerne efektivnim vrednostima, a ne amplitudama (slika 2.17d) prostoperiodinih veliina. Poreenjem slika 2.17c i 2.17d vidi se da je u stvari samo promenjena razmera crtea. Takve fazore, zaustavljene i podeljene sa 2 , oznaavaemo crtom ispod simbola. Na primer, fazor koji predstavlja napon )cos(2)( += tUtu , oznaiemo sa U . Duina toga fazora jednaka je efektivnoj vrednosti napona )(tu , U, a ugao koji fazor zaklapa sa faznom osom jednak je poetnoj fazi napona, . Da bismo to posebno naglasili, fazor napona piemo u obliku = |UU . Uproeno emo govoriti da je U fazor napona )(tu .

2.7.3.Fazorskidijagrami

Crte skupa fazora koji predstavljaju napone i struje nekog kola naziva se fazorski dijagram. Koristei se fazorskim dijagramima, mogue je analizirati neka jednostavnija kola.

Kao uvod u tu analizu, posmatrajmo osnovne pasivne elemente, otpornik, kalem i kondenzator. Referentni smerovi su usaglaeni, kao za prijemnik. U tabeli 2.1 prikazane su osnovne relacije i fazorski dijagrami napona i struja tih elemenata.

Fazor napona elementa oznaavamo sa = |UU , a fazor struje sa = |II . Kolinik duina (modula) fazora napona i struje jednak je impedansi elementa (Z), a ugao izmeu fazora struje i fazora napona jednak je faznoj razlici napona i struje ().

Tabela 2.1.

Element Osnovna relacija IUZ = = Fazorski dijagram

Riu = R 0

tiLu

dd= L 2

tuCi

dd= C

1 2

Napon i struja otpornika su u fazi, pa su fazori napona i struje otpornika kolinearni. Napon

kalema fazno prednjai struji za 2/ . Stoga su fazori napona i struje uzajamno normalni. Pravac i smer fazora napona dobijaju se rotacijom fazora struje za 2/ u matematiki pozitivnom smeru. Napon kondenzatora fazno kasni za strujom za 2/ . Fazori napona i struje su uzajamno normalni, a pravac i smer fazora napona se dobijaju rotacijom fazora struje za 2/ u matematiki negativnom smeru.

Fazorski dijagrami za idealne generatore su veoma jednostavni, pa ih neemo crtati. Za

referentne smerove kao na slici 1.2 i 1.9, fazor napona idealnog naponskog generatora se poklapa sa

31

fazorom elektromotorne sile (tj. EU = ), dok je fazor struje proizvoljan. Za referentne smerove kao na slici 1.9b, kod idealnog strujnog generatora je gII = , dok je fazor napona proizvoljan.

Do sada smo na elektrinim emama napone i struje oznaavali njihovim trenutnim vrednostima (napisanim pored odgovarajueg referentnog smera). U cilju uproenja tih ema, nadalje emo prostoperiodine napone i struje oznaavati samo njihovim efektivnim vrednostima (napisanim pored odgovarajueg referentnog smera). Na slici 2.18a je prikazan primer takvih oznaka. Element prikazan na toj slici je proizvoljan pasivni element (otpornik, kalem, kondenzator ili njihova kombinacija, koja ima dva prikljuka). Oznaka za takav element je Z (oznaka impedanse toga elementa). Na slici 2.18b je prikazan odgovarajui fazorski dijagram.

Slika 2.18.

2.7.4.Rednavezaotpornikaikalema

Posmatrajmo rednu vezu otpornika i kalema, prikazanu na slici 2.19a. To je ista redna veza kao sa slike 2.15, samo uz promenjene oznake. Pretpostavimo da je poznato: otpornost (R), induktivnost (L), efektivna vrednost napona (U) i njegova poetna faza (). (Uvek pretpostavljamo da je poznata uestanost, odnosno kruna uestanost.) Zadatak je da se odredi efektivna vrednost struje (I) i njena poetna faza ().

Struja je zajednika za oba elementa, pa je pri crtanju fazorskog dijagrama lake krenuti od fazora struje (slika 2.19b), nego od fazora napona. Takoe, fazor struje je pogodno postaviti horizontalno. Meutim, u tom sluaju ne smemo odmah ucrtati faznu osu. Ako bi, na primer, i nju ucrtali horizontalno, to bi znailo da je 0= , ime pravimo grubu greku. Stoga emo faznu osu ucrtati na kraju.

Poto ni efektivna vrednost struje nije poznata, crtamo samo kvalitativan dijagram, unosei duinu fazora I proizvoljno. S obzirom da su referentni smerovi napona i struje usaglaeni za oba elementa, na osnovu tabele 2.1 ucrtavamo fazor napona otpornika ( RU ) kolinearno sa fazorom struje, a fazor napona kalema ( LU ) normalno na fazor I, zakrenut za ugao 2/ u matematiki pozitivnom smeru. Kada su zadate konkretne brojne vrednosti za R, L i , moemo voditi rauna o odnosu duina fazora napona, tj. )/()/(/ LRLIRIUU LR == jer je RIU R = i LIU L = .

Zatim ucrtavamo fazor napona redne veze, LR UUU += . Tim korakom ve je odreen ugao izmeu fazora U i I , odnosno fazna razlika izmeu napona i struje (). Redosled crtanja fazorskog dijagrama prikazan je na slici 2.19b. Iz pravouglog trougla koji ine fazori napona (trougao napona)

imamo RL= arctg .

Na kraju, ucrtavamo faznu osu tako da ugao izmeu fazora U i fazne ose bude jednak zadatoj poetnoj fazi napona (). Ugao izmeu fazne ose i fazora I jednak je traenoj poetnoj fazi

struje (). Raunski, RL== arctg . Umesto ovakvog postupka, fazna osa se moe ucrtati

horizontalno, a onda se svi fazori zarotiraju za isti ugao () tako da se dobije odgovarajui ugao izmeu fazne ose i fazora U.

32

Efektivna vrednost struje se moe odrediti raunski, koristei se nacrtanim fazorskim dijagramom. Poto je ugao izmeu fazora RU i LU prav, po Pitagorinoj teoremi imamo

222LR UUU += , odakle je 2222 )( LRIUUU LR +=+= . Odavde je

22 )(/ LRUI += gde je 22 )( LRZ += impedansa redne veze otpornika i kalema. Uoimo da se impedansa otpornika ( R ) i impedansa kalema ( L ) ne sabiraju.

Slika 2.19.

Fazorski dijagram sa slike 2.19b se moe nacrtati i na drugi nain, polazei od poznatog

fazora napona (U), kao to je prikazano na slici 2.20. Sa slike 2.19b se vidi da je ugao kod take A (slika 2.20) prav ( 2/ ). Stoga se taka A mora nalaziti na krugu konstruisanom nad fazorom U kao prenikom. (Taj krug je geometrijsko mesto taaka pod kojim se data du, u ovom sluaju fazor U,

vidi pod pravim uglom.) Ugao je poznat ( RL= arctg ). U ovom primeru taj ugao moe biti u

granicama 2/0

33

polazei od efektivne vrednosti bilo koga napona (U, RU ili LU ) delei je odgovarajuom impedansom (Z, R, odnosno L ).

Da je u posmatranom primeru bila zadata struja, a ne napon, konstruisanje fazorskog dijagrama na slici 2.19b bi bilo neto jednostavnije. U prvom koraku, krene se od fazora struje, koji se ucrta zajedno sa faznom osom. (Fazor struje se moe postaviti horizontalno, a fazna osa pod odgovarajuim uglom.) U drugom koraku se ucrtaju fazori napona otpornika i kalema, a u poslednjem koraku se ta dva fazora saberu, ime se dobija fazor napona redne veze.

2.7.5.Rednavezaotpornika,kalemaikondenzatora

Drugi primer je redna veza otpornika, kalema i kondenzatora, prikazana na slici 2.21a. Pretpostavimo da je poznato: otpornost (R), induktivnost (L), kapacitivnost (C), efektivna vrednost napona (U) i njegova poetna faza (). Zadatak je da se odredi efektivna vrednost struje (I) i njena poetna faza ().

Fazorski dijagram je prikazan na slici 2.21b. Crtamo polazei od fazora I. Fazor RU je kolinearan sa fazorom struje, a fazori LU i CU normalni na fazor I. Pri tome je RIU R = , LIU L = i

)/( CIUC = . Pri crtanju slike 2.21b je pretpostavljeno da je CL UU > . Fazor napona redne veze je CLR UUUU ++= . Pogodno je prvo sabrati fazore LU i CU nadovezivanjem (crticama je prikazan

fazor CU nadovezan na LU ), a potom (nadovezivanjem ili paralelogramom) tom zbiru dodati fazor

RU . Fazna razlika izmeu napona i struje je RCL )/(1arctg = i moe biti u granicama

2/2/

34

Iz izraza za impedansu redne veze otpornika, kalema i kondenzatora zakljuujemo da se ni

impedanse kalema ( L ) i kondenzatora ( C1

) ne sabiraju. Ako je 0=R , onda je CLZ =1

.

(Obratiti panju na modul.) Ova naizgled nejasna situacija postae jednostavna kada budemo uveli kompleksne impedanse, jer e se kod redne veze kompleksne impedanse jednostavno sabirati.

Kolo sa slike 2.21a naziva se redno, prosto ili rezonantno oscilatorno kolo. O rezonantnim kolima emo jo govoriti u poslednjem poglavlju. Uoimo sa fazorskog dijagrama na

slici 2.21b da je, u posebnom sluaju, kada je CL =1

, odnosno kada je CL UU = , zbir 0=+ CL UU (nacrtajte fazorski dijagram za ovaj sluaj). Tada su napon i struja oscilatornog kola u fazi ( 0= ), a impedansa je RZ = (realna), kao da u posmatranoj grani postoji samo otpornik, a da kalema i kondenzatora nema. Kaemo da je tada kolo u rezonanciji (zove se i fazna rezonancija, ili

naponska rezonancija). Uslov rezonancije se moe napisati i u obliku LC1

r = , odnosno

LCf = 2

1r , gde je r rezonantna kruna uestanost ( rf je rezonantna uestanost) posmatranog

kola. Tada je RUI = , a UU R = . Ako je CL UU > ( CL >

1, odnosno r> ), tada je 0> , to je

sluaj prividno isti kao redna veza otpornika i nekog kalema. Za posmatrano kolo kaemo da je tada

preteno induktivno. Najzad, ako je CL UU < ( CL

35

( ) ( ) ( )

+=+++=++= LCjL

RCjL

LjRCjLRLjRCj

LjRY e

112222 . Odakle je

LC1

r = , pri emu je ( ) pRU

LRUI == 2 , to je isto kao da se radi o paralelno vezanom

( )RLRp

2= (slika 2.22d), tj. R redno vezano sa L, se preslikava u Rp paralelno vezano sa L.

Slika 2.22.

Kada je u kolu sa slike 2.22c, R=0 (to nije realno, ali R moe biti vrlo malo), tada je struja kroz zajedniku granu 0=I , ali kroz paralelne grane (L i C) postoji struja i ispunjava uslov

0=+ CL II (energija sadrana u antirezonantnom kolu se razmenjuje izmeu L i C, bez gubitaka, kolo bi moglo da se odvoji od izvora, i razmena bi se nastavila, teorijski beskonano dugo)..

2.8.Snagaumreamasaprostoperiodinimstrujama

U okviru odeljka 2.5 o elementima kola u periodinom reimu ve smo se upoznali sa trenutnom i srednjom snagom otpornika, kalema i kondenzatora. Sada emo dopuniti te pojmove. Posmatraemo prijemnike (slika 2.23a) i generatore (slika 2.23b). Usvojiemo, kao i do sada usaglaene referentne smerove za prijemnike i generatore.

Slika 2.23.

36

2.8.1.Trenutnaisrednjasnagaprijemnika

Posmatrajmo najpre prijemnik (slika 2.23a). Kanonini oblici napona i struje prijemnika su )cos(2)( += tUtu , odnosno )cos(2)( += tIti . Fazna razlika napona i struje je = .

Zamenom izraza za napon i struju, dobija se ( ) ( )++= ttUItp coscos2)( . Na osnovu trigonometrijskog identiteta [ ])cos()cos(2

1coscos ++= imamo ( )[ ])cos(2cos)( +++= tUItp

Prvi lan u ovome izrazu, ( )++tUI 2cos , je prostoperiodina funkcija dvostruko vie uestanosti od uestanosti napona ili struje. Srednja vrednost toga lana je nula. Drugi lan,

)cos()cos( == UIUIP je konstantan i predstavlja srednju (''aktivnu'') snagu prijemnika. Ovaj rezultat je u skladu sa zakljucima izvedenim za srednje snage otpornika, kalema i kondenzatora (odeljak 2.5). Na slici 2.24 prikazana je trenutna snaga prijemnika sa slike 2.23a, )()()( titutp = (za sluaj kada je prijemnik preteno induktivan).

Osnovna jedinica za trenutnu i srednju snagu je vat (W). Od svih snaga koje se razmatraju u ovome odeljku, jedino te dve snage imaju fiziku interpretaciju, dok su ostale snage vetaki uvedene veliine.

Ako je posmatrani element kola stvarno pasivan (prijemnik), mora biti 0P . Odavde sledi uslov 0cos (uslov pasivnosti), odnosno 22

. S obzirom da je argument kompleksne impedanse prijemnika, sledi da Z mora biti u desnoj poluravni ili na imaginarnoj osi. Ako je u

desnoj poluravni, tada je 0>P . Ako je na imaginarnoj osi ( 2= ili 2

= ), tada je 0=P (isto reaktivan prijemnik).

Slika 2.24.

2.8.2.Prividnasnagaprijemnika

Iako nema fizikog osnova za to, moemo formalno izraunati proizvod efektivnih vrednosti napona i struje, UIS = . Taj proizvod bi bio jednak srednjoj snazi samo kada bi bilo 0= (odnosno

1cos = ), tj. ako bi prijemnik bio isto rezistivan. Inae je SP < . Proizvod UIS = se stoga naziva prividnom snagom. Da bi se prividna snaga to bolje razlikovala od snaga koje imaju fiziki smisao (trenutne snage i srednje snage), jedinica za nju je volt-ampter (VA). Prividna snaga koristi u nekim praktinim proraunima (na primer, dimenzionisanje transformatora).

2.8.3.Faktorsnageprijemnika

Na osnovu definicije prividne snage, moemo pisati kSSP == cos . Koeficijent

37

SPk /cos == naziva se faktor snage. Za prijemnike je uvek 1k .

Faktor snage je maksimalan za isto rezistivne (aktivne, otporne) prijemnike ( 1=k za 0= ). Za isto reaktivne prijemnike je 0=k .

2.8.4.Reaktivnasnagaprijemnika

Da bi se napravila ''simetrija'' sa srednjom snagom, = cosUIP , uvodi se reaktivna snaga, == sinsin SUIQ . Jedinica za reaktivnu snagu je volt-amper reaktivni (var).

Jedna interpretacija reaktivne snage se dobija iz sledeeg izvoenja. U elektroenergetskim sistemima, generatori i prijemnici su, grubo govorei, vezani paralelno. Za to postoji vie tehnikih razloga. Na primer, da su aparati vezani redno, iskljuivanje jednog aparata bi poremetilo celu mreu. Zbog te paralelizacije, esto se prijemnik proizvoljnog karaktera ekvivalentno prikazuje u vidu paralelne veze jednog isto rezistivnog elementa (otpornika) i jednog isto reaktivnog elementa: kalema ako je prijemnik preteno induktivan, a kondenzatora ako je prijemnik preteno kapacitivan, kao na slici 2.25.

I

R LU

IR IL

I

RU

IR IC

C

I

RU

> 0 0 0

Slika 2.25. Ekvivalentiranje prijemnika sa slike 2.23a paralelnom vezom rezistivnog i reaktivnog

elementa.

Poto je paralelna veza u svemu ekvivalentna posmatranom prijemniku, to su im i snage iste pri istom naponu izmeu prikljuaka. (Posmatramo napon, a ne struju, jer je napon kod paralelne veze zajedniki za oba elementa.) Izraz za trenutnu snagu posmatranog prijemnika, ( ) ( )++= ttUItp coscos2)( , transformisaemo tako da izdvojimo deo koji odgovara otporniku i deo koji odgovara paralelno vezanom reaktivnom elementu sa slike 2.25.

Izraavajui poetnu fazu struje preko poetne faze napona i odgovarajue fazne razlike, imamo ( ) ( )++= ttUItp coscos2)( . Koristei se trigonometrijskim identitetom

+= sinsincoscos)cos( , razvijamo drugi kosinus u izrazu za snagu, ime dobijamo ( ) ( ) ( )[ ] sinsincoscoscos2)( ++++= tttUItp , i primenom ( ) ( )[ ] += sinsin

21sincos , je

( ) ( ) 22sinsincoscos2)( 2 +++= tUItUItp . (1) Poredei sa izrazima za trenutne snage iz odeljka 2.5, vidimo da prvi lan odgovara trenutnoj

snazi isto rezistivnog elementa, a drugi lan odgovara trenutnoj snazi isto reaktivnog elementa (kalema ako je 0> , a kondenzatora ako je 0

38

2.8.5.Faktorreaktivnostiprijemnika

Kao ''simetrija'' faktoru snage, uvodi se faktor reaktivnosti, SQk /sinr == (odnosno SkQ r= ). Faktor reaktivnosti moe biti u granicama 11 r k . Za isto reaktivne prijemnike, 1|| r =k , za preteno kapacitivne prijemnike, 0r k , a za isto rezistivne prijemnike, 0r =k .

Oigledno vai 22 QPS += . Ako su poznati S i Q, P je jednoznano odreeno, 22 QSP = , jer je za prijemnike 0P . Meutim, Q se iz S i P moe odrediti samo sa tanou do znaka,

22 PSQ = . Potreban je jo neki uslov (na primer, podatak da li je prijemnik preteno kapacitivan ili induktivan), da bi se razreila dilema oko znaka. Za faktor snage i faktor reaktivnosti vai relacija 12r2 =+ kk . Slino kao kod snaga, k je jednoznano odreeno ako je poznato rk , ali je

rk odreeno sa tanou do znaka ako je poznato k.

39

3.REAVANJEELEKTRINIHMREASAPROSTOPERIODINIMSTRUJAMAKOMPLEKSNIMRAUNOM

Glavni alat za analizu elektrinih kola u prostoperiodinom reimu je raun sa kompleksnim

brojevima, odnosno kompleksnim predstavnicima napona, struja i drugih veliina u kolu. Kompleksni raun se moe uvesti u analizu prostoperiodinog reima u elektrinim kolima na razne naine. Jednostaviji nain je pomou fazora.

3.1.Predstavljanjefazorakompleksnimbrojevima

Posmatramo zaustavljene fazore ije su duine jednake efektivnim vrednostima (slika 3.1a, koja odgovara slici 2.18b). U odeljku o fazorima pokazali smo da takvi fazori u potpunosti predstavljaju prostoperiodine veliine (u prostoperiodinom reimu). Preklopimo ravan u kojoj lee ti fazori i kompleksnu ravan, tako da se poklapaju koordinatni poeci, a da se fazna osa poklapa sa realnom osom (slika 3.1b). Vrhu svakog fazora sa slike 3.1a odgovara jedan i samo jedan kompleksni broj12. Prema tome, izmeu prostoperiodinih veliina i kompleksnih brojeva postoji biunivoka korespondencija.

Slika 3.1.

Kompleksni predstavnici prostoperiodinih veliina Kompleksni broj koji odgovara fazoru oznaiemo na isti nain kao i sam fazor. Na primer,

fazor U na slici 3.1b predstavlja prostoperiodini napon )cos(2)( += tUtu . Odgovarajui kompleksni broj, U, je kompleksni predstavnik napona )(tu , a skraeno emo ga zvati kompleksnim naponom. Modul kompleksnog napona jednak je efektivnoj vrednosti prostoperiodinog napona, a argument kompleksnog napona jednak je poetnoj fazi prostoperiodinog napona. Dakle,

)jexp( =UU . Najjednostavniji nain za formiranje kompleksnog predstavnika prostoperiodine veliine

(prelazak iz vremenskog domena u kompleksni) je da se ona napie u kanoninom obliku. Iz tog oblika se identifikuju efektivna vrednost i poetna faza. Na kraju, formira se kompleksni broj iji je modul jednak efektivnoj vrednosti, a argument jednak poetnoj fazi.

12Svaki kompleksni broj moe se predstaviti takom u kompleksnoj ravni. Ta taka se moe opisati bilo svojim koordinatama (realni i imaginarni deo kompleksnog broja), bilo svojim odstojanjem od koordinatnog poetka (moduo kompleksnog broja) i uglom koji ta du zaklapa sa realnom osom (argument kompleksnog broja).

40

Primer 3.1. Neka je zadat prostoperiodini napon Vsin10)( ttu = . U kanoninom obliku, ( ) V

2cos225)(

= ttu . Efektivna vrednost napona je V25=U , a poetna faza je 2

= .

Kompleksni napon je V25jV)2jexp(25 ==U .

Ako je poznat kompleksni predstavnik neke prostoperiodine veliine, ta veliina se u

vremenskom domenu najjednostavnije rekonstruie na sledei nain (prelazak iz kompleksnog domena u vremenski). Kompleksni predstavnik se napie u eksponencijalnom obliku, iz koga se identifikuju modul i argument. Veliina u vremenskom domenu se zatim napie u kanoninom obliku, pri emu je efektivna vrednost jednaka modulu kompleksnog predstavnika, a poetna faza jednaka argumentu. (Podrazumeva se da je kruna uestanost poznata.)

Primer 3.2. Neka je poznata kompleksna struja A)j1( =I . U eksponencijalnom obliku,

A)4

3jexp(2 =I . Vektor koji odgovara kompleksnoj struji lei u treem kvadrantu. Dakle,

efektivna vrednost struje je A2=I , a poetna faza 43= . Konano je trenutna vrednost struje

A4

3cos2)(

= tti . Uvoenjem kompleksnih predstavnika, zamenili smo fazorski raun kompleksnim raunom.

To je pogodnije za reavanje veine problema analize kola u prostoperiodinom reimu. Pomou raunara, mogue je primenom kompleksnog rauna reavati i veoma sloena kola, sa stotinama i hiljadama elemenata.

Sloena kola prostoperiodine struje reavaju se na slian nain kao i kola vremenski konstantnih struja, polazei od prvog i drugog Kirhofovog zakona, kao i relacija izmeu napona i struja elemenata, odnosno grana. Iz Kirhofovih zakona se izvode metod konturnih struja i metod potencijala vorova, koji obezbeuju manji sistem jednaina nego direktna primena Kirhofovih zakona. Jednaine za kola u prostoperiodinom reimu piu se u kompleksnom domenu, a formalno imaju isti oblik kao jednaine za kola vremenski konstantnih struja, samo su ''obini'' naponi i struje zamenjeni kompleksnim, a otpornosti zamenjene kompleksnim impedansama.

3.2.Kirhofovizakoniukompleksnomobliku.Impedansaiadmitansa

Kao to je izloeno u odeljku o analizi kola promenjivih struja u vremenskom domenu, smatramo da za ta kola vae Kirhofovi zakoni. Formulacija Kirhofovih zakona i topoloki principi formiranja jednaina po ovim zakonima isti su kao kod vremenski konstantnih struja. Kada se, za kola u prostoperiodinom reimu, jednaine po Kirhofovim zakonima napisane u vremenskom domenu preslikaju u kompleksni domen, dobijaju se jednaine koje su formalno potpuno iste kao za kola vremenski konstantnih struja13, samo to su simboli za napone i struje podvueni, jer se sada radi sa kompleksnim predstavnicima napona i struja.

13 Do Kirhofovih zakona u kompleksnom obliku moe se doi i preko Kirhofovih zakona u algebarskom obliku, o emu se moe videti u prilogu, na kraju ove skripte.

41

Prvi Kirhofov zakon

Za kolo koje ima n vorova i gn grana (povezani graf), po prvom Kirhofovom zakonu se moe postaviti )1( n linearno nezavisna jednaina. Na primer, te jednaine piemo za sve vorove osim jednog. Za jedan vor, jednaina po Kirhofovom zakonu ima oblik

= 0I , tj. algebarski zbir struja grana koje se stiu u tom voru je nula. Predznak struje grane je + ako je referentni smer grane od vora, a ako je referentni smer ka voru.

Drugi Kirhofov zakon

Broj linearno nezavisnih jednaina po drugom Kirhofovom zakonu je )1( gk = nnn . Te jednaine imaju oblik

= 0U , tj. algebarski zbir napona svih grana du proizvoljnog zatvorenog puta (konture) u kolu jednak je nuli. U taj zbir napon ulazi sa predznakom + ako se smer obilaska konture poklapa sa referentnim smerom napona (referentni smer napona je od negativnog ka poyitivnom kraju), a ako su ti smerovi suprotni.

Alternativni oblik II Kirhofovog zakona je

( ) 0, = IZE Zbir je algebarski, a sabiranje ide du odabrane konture. Pravila o predznacima su ista kao

kod raunanja napona izmeu dve take u kolu. Meutim, ovaj oblik drugog Kirhofovog zakona vai pod uslovom da kontura ne prolazi kroz granu sa idealnim strujnim generatorom (ISG).

Ako u kolu ima ISG, onda je postupak isti kao kod reavanja kola stalnih struja. Sistem kontura se odabere tako da kroz granu sa ISG prolazi jedna i samo jedna kontura. Za tu konturu se ne sme pisati jednaina oblika ( ) 0, = IZE . Umesto te jednaine, imamo jednainu da je struja grane jednaka struji strujnog generatora (sa predznakom + ili -, zavisno od toga da li se smerovi struje grane i strujnog generatora poklapaju ili ne). Ovakva procedura se primenjuje na svaki ISG koji postoji u kolu. Da bi se kolo moglo jednoznano reiti, ISG moraju tako biti rasporeeni u kolu da se moe formirati (makar jedno) stablo grafa kola koje ne sadri nijednu granu sa ISG. Drugim reima, mora postojati makar jedno stablo grafa takvo da sve grane sa ISG pripadaju kostablu.

Izbor kontura Konture se mogu izabrati na razne naine, kao i kod kola vremenski konstantnih struja. Na

emama emo konture crtati i oznaavati kao i kod vremenski konstantnih struja. Prvi nain je da se za konture uzmu elementarne konture (okca). Taj postupak je primenljiv

samo na planarne grafove. Kod nekih formulacija jednaina (po drugom Kirhofovom zakonu i po metodu konturnih struja) potekou pravi svaki idealni strujni generator koji se nalazi u grani zajednikoj za dva okca.

Drugi nain je heuristiki algoritam. Prva kontura se odabere proizvoljno, a svaka naredna tako da sadri bar jednu granu koju ne sadre prethodno odabrane konture. Ovaj postupak nekada jednostavno dovodi do odgovarajueg sistema kontura, ali ima situacija kada izbor kontura zapadne u orsokak. Primer je kolo iji je graf prikazan na slici 3.2. Ako kao prvu konturu odaberemo levo okce, a kao drugu desno okce, vie ne postoji nijedna grana koja nije ukljuena u ove dve konture, tako da algoritam ne moe pronai treu konturu, iako je oigledno da bi to moglo da bude srednje okce. Dodatnu komplikaciju kod heuristikog algoritma izazivaju idealni strujni generatori ukoliko jednaine koje se piu zahtevaju da jedan generator moe pripadati jednoj i samo jednoj konturi.

42

Slika 3.2.

Trei nain je izbor nezavisnih kontura zasnovan na topolokoj analizi, polazei od stabla grafa. Broj grana stabla je )1( n za kola koja posmatramo u okviru ovog predmeta (kola sa povezanim grafom). Ostale grane (spojnice), njih )1( gk = nnn , ine kostablo. Svakoj spojnici se pridrui jedna i samo jedna kontura. Ta kontura obuhvata posmatranu spojnicu, a ostale grane konture su odgovarajue grane stabla. Grane sa ISG moraju biti u kostablu ako se za konture piu jednaine u obliku koji zahteva da jedan strujni generator pripada jednoj i samo jednoj konturi.

3.2.1.Kompleksnaimpedansaiadmitansa

Kod otpornika, za usaglaene referentne smerove, u vremenskom domenu vai relacija )()( tRitu = . Operacije sa fazorima direktno se preslikavaju na operacije sa kompleksnim brojevima,

to sledi iz naina uvoenja kompleksnog rauna. U relaciji izmeu napona i struje otpornika imamo samo mnoenje konstantom, koje se u kompleksnom domenu preslikava na mnoenje istom (realnom) konstantom. Stoga su kompleksni napon i kompleksna struja otpornika povezani relacijom IRU = . Ova jednaina je formalno ista kao za odgovarajue fazore. Meutim, u domenu fazora ne definiemo deljenje fazora, dok u domenu kompleksnih brojeva nema problema da delimo kompleksne predstavnike. Tako odavde imamo RIU =/ . Videemo da se kolinik kompleksnog napona i struje moe formirati za bilo koji prijemnik. Taj kolinik se naziva kompleksnom impedansom prijemnika (obino se kae samo ''impedansa''), odnosno

IUZ /= Jedinica je om (). Za otpornik je RZ = i isto je relan broj. U optem sluaju, meutim, kompleksna impedansa je kompleksan broj koji piemo u

obliku )jexp( = ZZ , gde je Z modul kompleksne impedanse, a njen argument. Iz relacije IUZ /= sledi IUZ /= , tj. modul kompleksne impedanse jednak je koliniku efektivnih vrednosti

napona i struje prijemnika. Dakle, modul kompleksne impedanse je isto to i impedansa definisana u vremenskom domenu. To se slae sa rezultatom koji smo dobili za otpornik jer je RZ = . Iz relacije IUZ /= sledi i = , odnosno argument kompleksne impedanse jednak je faznoj razlici napona i struje prijemnika. Kompleksna impedansa otpornika je isto realna, to znai da je njen argument 0= , pa su napon i struja u fazi. To je, takoe, u skladu sa rezultatima dobijenim analizom u vremenskom domenu. Kompleksna impedansa impedansa kalema je kalema LZ j= , a kondenzatora )/(j)j/(1 CCZ == .

Kompleksna admitansa je reciprona vrednost kompleksne impedanse, ZY /1=

Argument kompleksne admitanse je , odnosno predstavlja faznu razliku izmeu struje i napona prijemnika. Kompleksna admitansa otpornika je GRY == /1 , kalema )/(j)j/(1 LLY == , a kondenzatora CY = j . Jedinica je simens (S). I ovi izrazi se slau sa rezultatima analize u vremenskom domenu. O kompleksnoj impedansi i admitansi bie jo rei kasnije.

Na osnovu svega izloenog, u kompleksnom domenu su relacije izmeu napona i struje obine algebarske relacije oblika IZU = ili UYI = (pri usaglaenim referentnim smerovima).

43

3.2.2.Rezistansa,reaktansa,konduktansaisusceptansa

U optem sluaju proizvoljnog prijemnika (koji se sastoji od otpornika, kalemova i kondenzatora), kompleksnu impedansu moemo rastaviti na realni i imaginarni deo, tj. pisati

XRZ j+= , gde je { }ZR Re= realni deo kompleksne impedanse i naziva se rezistansom, dok je { }ZX Im= imaginarni deo i naziva se reaktansom. Jedinica za rezistansu i reaktansu je om ().

Ne treba meati oznaku za rezistansu i oznaku za otpornost otpornika. Kod redne veze otpornika i kalema je, sluajno, rezistansa jednaka otpornosti otpornika, dok je kod paralelne veze izraz za rezistansu sloen.

Poto je Z kompleksna veliina, moe se grafiki prikazati u kompleksnoj ravni (slika 3.3). Ovakav prikaz je isti kao za fazore, pa se naziva i fazorskim dijagramom, iako kompleksna impedansa nije prostoperiodina veliina.

Iz uslova pasivnosti (koji emo razmatrati u odeljku o snagama) za rezistansu sledi ogranienje 0R , dok reaktansa moe biti proizvoljnog znaka.

Slika 3.3.

U algebarskom, eksponencijalnom i trigonometrijskom obliku izrazi za kompleksnu

impedansu glase: +==+= sinjcosej j ZZZXRZ . Odavde je = cosZR i = sinZX . Takoe

imamo 22 XRZ += . Poto je 0R , mora biti . Stoga je

===>

=

0,0,0

0,0,2

0,0,2

0,arctg

XR

XR

XR

RRX

.

Analogno kompleksnoj impedansi, kompleksnu admitansu moemo pisati u obliku

BGY j+= , gde je { }YG Re= realni deo kompleksne admitanse i naziva se konduktansom, dok je { }YB Im= imaginarni deo i naziva se susceptansom. Jedinica za konduktansu i susceptansu je simens (S). Ne treba meati oznaku za konduktansu i oznaku za provodnost otpornika.

Kompleksna admitansa se moe prikazati u kompleksnoj ravni kao na slici 3.4

S obzirom da je ZY1= , imamo == jj e1e ZYY , odnosno izmeu modula vai relacija 1=ZY ,

a argumenti su suprotni, tj. = (slika 3.5). Iako smo ovde uveli oznaku za argument kompleksne admitanse (), nju neemo upotrebljavati, nego emo za argument uglavnom uzimati .

Dakle, u Dekartovom, eksponencijalnom i trigonometrijskom obliku izrazi za kompleksnu admitansu glase: ==+= sinjcosej j YYYBGY . Dalje je = cosYG i = sinYB . Poto je 0cos

44

(jer ne moe biti u II ni III kvadrantu), za konduktansu vai ogranienje 0G , dok susteptansa

moe biti proizvoljnog znaka. Takoe imamo 22 BGY += i

===

>

=

0,0,0

0,0,2

0,0,2

0,arctg

BG

BG

BG

GGB

.

Slika 3.4. Slika 3.5.

Iz relacije ZY1= sledi 222222 j

jj

1XR

XXR

RXRXR

XRY ++=+

=+= , odnosno ZR

XRRG =+= 22 i

ZX

XRXB =+= 22 .

Analogno se izvode obrnute relacije, YG

BGGR =+= 22 i Y

BYG

BX =+= 22 . Treba zapaziti da je 1=RG samo u posebnom sluaju kada je 0=X (odnosno 0=B ). Takoe

je 1=XB samo u posebnom sluaju kada je 0=R (odnosno 0=G ). Napomenimo da se ponegde u literaturi reaktansa kondenzatora definie kao CX C =

1, ali je

onda kompleksna impedansa kondenzatora CXZ j= . Analogno vai i za susceptansu kalema.

3.2.3.Odreivanjenaponaizmeudvetake

Posledica drugog Kirhofovog zako