応用音響学第 10 フーリエ音響学...応用音響学第10回フーリエ音響学小山翔一東京大学大学院情報理工学系研究科システム情報学専攻

応用音響学第10回フーリエ音響学

小山翔一

東京大学大学院情報理工学系研究科システム情報学専攻

2019/6/28

小山翔一 (UTokyo) 応用音響学第 10 回 2019/6/28 1 / 66

講義スケジュール

Sセメスター金曜２限＠ 62講義室日程

4/5 第 1回4/19 第 2回4/26 第 3回5/10 第 4回5/17 休講5/24 第 5回5/31 第 6回

猿渡先生

6/7 第 7回6/14 第 8回6/21 第 9回6/28 第 10回7/5 第 11回7/12 休講

小山

7/26 学期末試験


講義目的

講義前半（猿渡先生担当）• 音声分析，音声符号化，音声認識，音声合成，音響信号処理などに関連する基礎知識について講義する。応用として，携帯電話やMP3などの音声音楽情報圧縮技術や音声認識技術・音声合成システムなどがある。統計的信号処理の基礎，スペクトル解析，パターン認識，確率モデル，統計学習，最適解探策などの基本概念とアルゴリズムを理解し，これらの技術の基礎になる知識と概念の習得を目指す。

講義後半（小山担当）• 音響現象の数理的なモデリング方法を理解することを目的とし，音波の伝播，反射，回折，散乱などの現象を数学的に記述するための基礎事項について講義する。応用として，音源位置の推定や音場の可視化，音の VR/ARや騒音・振動制御，音響数値シミュレーションなどがある。これらの基本概念を理解することで，様々な波動場の計測・制御技術の基礎となる知識の習得を目指す。


講義後半の概要

講義内容（予定）• 6/7: 音波の伝播• 6/14: 音響管・自由空間中の音波• 6/21: 音場の境界値積分表現• 6/28: フーリエ音響学• 7/5: 室内音響学と音響数値シミュレーション

参考文献• 安田仁彦, ”機械音響学,” コロナ社, 2004.• E. G. Williams, ”Fourier Acoustics: Sound Radiation and NearfieldAcoustical Holography,” Academic Press, 1999.


講義資料と成績評価

講義資料• http://www.sh01.org/ja/teaching/• システム一研のウェブサイトからたどれます。

成績評価• 出席点• 学期末試験


本日の目次

1 フーリエ音響学音場の平面波展開音場の円筒波動関数展開音場の球波動関数展開音場の境界値積分表現の具体例


フーリエ音響学音場の平面波展開

本日の目次




音場の平面波展開直交座標系での次Helmholtz方程式の一般解は，位置ベクトルr = (x, y, z)T，波数ベクトル k = (kx, ky, kz)

Tとして，以下の平面波関数となることを見た。（cf. 第 7回の資料）

p(r) = p0ejk·r

ただし ∥k∥2 = k2x + k2y + k2z = k2である。もし x-y平面上の波数 kx，kyが決まれば，z方向の波数 kzも決まる。

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

x (m)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

z (

m)

-1

-0.5

0

0.5

1



音場の平面波展開音源がない半空間 z > 0の音圧分布は，平面波の線形和（平面波展開）として一意にかつ完全に記述できる。x-y平面上の音圧分布 p(x, y, 0)を構成する平面波の振幅と位相をP (kx, ky)と表せば，

p(x, y, z) =∑kx

∑ky

P (kx, ky)ej(kxx+kyy+kzz)

一般的には，x-y平面上の音圧分布は，xおよび y方向に無限の広がりを仮定しているので，連続の波数空間として取り扱うことができる。

p(x, y, z) =1

4π2

∫ ∞

−∞dkx

∫ ∞

−∞dkyP (kx, ky)e

j(kxx+kyy+kzz)

ただし，z > 0方向への伝播を表すことより，kz =√k2 − kx − k2y

である。小山翔一 (UTokyo) 応用音響学第 10 回 2019/6/28 9 / 66


音場の平面波展開

ここで z = 0とすると，先程の式は，

p(x, y, 0) =1

4π2

∫ ∞

−∞dkx

∫ ∞

−∞dkyP (kx, ky)e

j(kxx+kyy)

となり，P (kx, ky)の 2次元逆 Fourier変換が z = 0における音圧分布 p(x, y, 0)に等しいことがわかる。逆に言えば，P (kx, ky)は，z = 0における任意の音圧分布 p(x, y, 0)の 2次元 Fourier変換によって得られる。

P (kx, ky) =

∫ ∞

−∞dx

∫ ∞

−∞dyp(x, y, 0)e−j(kxx+kyy)

ここで，P (kx, ky)は角度スペクトル (angular spectrum)と呼ばれ，p(x, y, 0)の波数領域表現と呼ばれる。



平面波展開による音場の外挿これまでの結果から，z = 0における音圧分布から P (kx, ky)が得られれば，z > 0の半空間における音場を計算できることがわかる。角度スペクトルの位相シフトの形に書き換えれば，z =一定の面における音圧分布 p(x, y, z)の Fourier変換と z = 0の面におけるp(x, y, 0)音圧分布の Fourier変換との関係は，

FxFy [p(x, y, z)] = P (kx, ky, z) = P (kx, ky)ejkzz

ここで P (kx, ky, 0) = P (kx, ky)と定義している。

平面波展開による音場の外挿音源のない半空間 z > 0に関して，z = z′の面から z = z > z′の面への音場外挿は，以下のように書ける。

P (kx, ky, z) = P (kx, ky, z′)ejkz(z−z′)



平面波展開による音場の外挿zが一定の面における音圧分布と粒子速度分布に関しても波数領域表現での関係が得られる。まず，z方向の粒子速度分布 vz(x, y, z)の 2次元 Fourier変換を以下のように定義する。

Vz(kx, ky, z) = FxFy [vz(x, y, z)]

z方向の音圧勾配に関する外挿は，

FxFy

[∂p(x, y, z)

∂z

]=

∂P (kx, ky, z)

∂z= jkzP (kx, ky, z

′)ejkz(z−z′)

したがって，z = z′の面における音圧分布と z = z > z′の面における粒子速度分布が波数領域で関係付けられる。

Vz(kx, ky, z) =kzρck

P (kx, ky, z′)ejkz(z−z′)

ここで，jρckVz = ∂P/∂zの関係を用いた。小山翔一 (UTokyo) 応用音響学第 10 回 2019/6/28 12 / 66


Rayleigh積分との関係波数領域での位相シフトと同様に，平面境界からの音場の伝播を記述する Rayleigh積分との関係を考える。音圧分布の波数領域での外挿の式を逆 Fourier変換することを考えると，p(x, y, z) = F−1

x F−1y

[P (kx, ky, z

′)ejkz(z−z′)]

=1

4π2

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞P (kx, ky, z

′)ejkz(z−z′)ej(kxx+kyy)dkxdky

Gp(kx, ky, z − z′) = ejkz(z−z′)とおくと，上式は P (kx, ky, z′)と

Gp(kx, ky, z− z′)の空間領域における x，yに関する畳み込みとなる。

p(x, y, z) =

∫∫p(x′, y′, z′)gp(x− x′, y − y′, z − z′)dx′dy′

ここで，p(x′, y′, z′) = F−1x F−1

y [P (kx, ky, z′)]，

gp(x− x′, y − y′, z − z′) = F−1x F−1

y [Gp(kx, ky, z − z′)]とした。小山翔一 (UTokyo) 応用音響学第 10 回 2019/6/28 13 / 66


Rayleigh積分との関係

gpを計算すると，

gp(x− x′, y − y′, z − z′)

=1

4π2

∫ ∞

−∞ej[kx(x−x′)+ky(y−y′)]ej(z−z′)

√k2−k2x−k2ydkxdky

=1

2π

∂

∂z′ejk∥r−r′∥

∥r − r′∥

3番目の式はWeylの積分によって与えられる。

ejk∥r−r′∥

∥r − r′∥=

j

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞ej[kx(x−x′)+ky(y−y′)] e

jkz |z−z′|

kzdkxdky

これを z′に関して微分し，z > z′に制限すればよい。



Rayleigh積分との関係gpを先程の式に代入すると，以下の第 2種 Rayleigh積分が得られる。

p(x, y, z) =1

2π

∫∫p(x′, y′, z′)

∂

∂z′ejk∥r−r′∥

∥r − r′∥dx′dy′

第 1種 Rayleigh積分については，以下の粒子速度分布と音圧分布の波数領域での関係式から出発し，同様の手続きで導出できる。

P (kx, ky, z) = ρckVz(kx, ky, z′)ejk(z−z′)

kz

z方向の粒子速度分布 vz を使って書くと，第 1種 Rayleigh積分は，

p(x, y, z) = −jρck

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞vz(x

′, y′, z′)ejk∥r−r′∥

∥r − r′∥dx′dy′



具体例：バッフルで囲われた正方形ピストン

z = 0の平面上での正方形のピストンによる音場を考える。周波数領域での粒子速度の分布を以下のように与える。

vz(x, y, 0) =

1 −L

2 < x < L2 , −L

2 < y < L2

0 otherwise

−1/2 < x < 1/2の範囲で 1となる矩形関数Π(x)を用いて表すと，

vz(x, y, 0) = Π(xL

)Π( yL

)z = 0の面における粒子速度分布の波数領域表現を考えると，

Vz(kx, ky, 0) = L2sinc

(kx

L

2

)sinc

(ky

L

2

)




z = zの面における波数領域での音圧分布 P (kx, ky, z)との関係は，

P (kx, ky, z) = ρckVz(kx, ky, 0)ejkzz

kz

= ρckL2sinc

(kx

L

2

)sinc

(ky

L

2

)ejkzz

kz

ここで，この正方形ピストンによる遠距離場の指向性関数について考える。遠距離場においては ∥r∥ ≫ ∥r′∥となるので，

ejk∥r−r′∥

∥r − r′∥≈ ejk∥r∥

∥r∥e−j(kxx′+kyy′)

と近似できる。



具体例：バッフルで囲われた正方形ピストンこの近似を用いると，第 1種 Rayleigh積分は，

p(x, y, z) = −jρckejk∥r∥

2π∥r∥

∫∫vz(x

′, y′, 0)e−j(kxx′+kyy′)dx′dy′

= −jρckejk∥r∥

2π∥r∥Vz(kx, ky, 0)

指向性関数の定義（cf. 第 8回の資料）から，

D(θ, ϕ) =−jρck

2πVz(kx, ky, 0)

=−jρckL2

2πsinc

(kL

2sin θ cosϕ

)sinc

(kL

2sin θ sinϕ

)ここで，kx = k sin θ cosϕ，ky = k sin θ sinϕを用いた。




k = 3.7 rad/m，L = 0.1 mのときの指向性関数をD(θ, ϕ) = Vz(kx, ky)/L

2としてプロット。

0.2

50

0.4

50

0.6

ky

0.8

0

kx

0

-50 -50 -60 -40 -20 0 20 40 60

kx

-60

-40

-20

0

20

40

60

ky

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


フーリエ音響学音場の円筒波動関数展開

本日の目次




円筒座標系での波動方程式円筒座標系 (r, ϕ, z)での波動方程式について考える。(

∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)p = 0

円筒座標系における gradientと Laplace演算子は，

∇ =

(∂

∂r,1

r

∂

∂ϕ,∂

∂z

)T

, ∇2 =∂2

∂r2+

1

r

∂

∂r+

1

r2∂2

∂ϕ2+

∂2

∂z2



円筒座標系での波動方程式変数分離法を用いて，解を以下のように書く。

p(r, ϕ, z, t) = R(r)Φ(ϕ)Z(z)T (t)

これを波動方程式に代入し，RΦZT で割ると，(1

R

d2R

dr2+

1

rR

dR

dr+

1

r2Φ

dΦ

dϕ2

)+

(1

Z

d2Z

dz2

)=

1

c2T

d2T

dt2

各項が定数でなければならないことから，任意定数 k，kz を用いて，1

c2T

dT

dt2= −k2

1

Z

d2Z

dz2= −k2z

1

R

(d2R

dr2+

1

rR

dR

dr

)+

1

r2Φ

dΦ

dϕ2= −k2 + k2z = −k2r

ただし，kr =√

k2 − k2z。小山翔一 (UTokyo) 応用音響学第 10 回 2019/6/28 22 / 66


円筒座標系での波動方程式

3番目の式を書き換えると，r2

R

(d2R

dr2+

1

r

dR

dr

)+ k2rr

2 = − 1

Φ

d2Φ

dϕ2

となることから，右辺と左辺が等しい定数となるはず。この定数をn2とおけば，

1

Φ

d2Φ

dϕ2= −n2(

d2R

dr2+

1

r

dR

dr

)+

(k2rr

2 − n2

r2

)R = 0

2つ目の式は Bessel方程式と呼ばれる。



円筒座標系での波動方程式以上により，一般解は任意定数 T1，T2，Z1，Z2，Φ1，Φ2，R1，R2

を用いて，T (t) = T1e

−jωt + T2ejωt

Z(z) = Z1ejkzz + Z2e

−jkzz

Φ(ϕ) = Φ1ejnϕ +Φ2e

−jnϕ

R(r) = R1Jn(krr) +R2Nn(krr)

動径方向関数R(r)に関して，Jn(·)，Nn(·)は Bessel方程式の一般解である，Bessel関数（第 1種 Bessel関数），Neumann関数（第2種 Bessel関数）である。第 1種，第 2種Hankel関数，H

(1)n (·)，

H(2)n (·)を用いて以下のようにも書ける。

R(r) = R3H(1)n (krr) +R4H

(2)n (krr)

時間依存項の定義から，T2 = 0。小山翔一 (UTokyo) 応用音響学第 10 回 2019/6/28 24 / 66


Bessel関数

Bessel関数:

Jn(x) =(x2

)n ∞∑k=0

(−1)k

k!(n+ k)!

(x2

)2kNeumann関数:

Nn(x) =Jn(x) cos(nx)− J−n(x)

sin(nx)

第 1種，第 2種Hankel関数:

H(1)n (x) = Jn(x) + jNn(x)

H(2)n (x) = Jn(x)− jNn(x)

0 5 10 15

x

-0.5

0

0.5

1

n=0

n=2

n=4

n=6

2 4 6 8 10 12 14

x

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

n=0

n=2

n=4

n=6



円筒座標系での波動方程式円筒座標系での波動方程式に戻れば，各座標ごとの解の組み合わせから一般解を構成できる。周波数領域での一般解は，n，kz，ωの変数を持つ 2つの係数An(kz, ω)，Bn(kz, ω)を用いて，n，kzのすべての可能な値に関して和をとればよいので，

p(r, ϕ, z, ω) =∞∑

n=−∞ejnϕ

1

2π

∫ ∞

−∞

[An(kz, ω)e

jkzzH(1)n (krr)

+Bn(kz, ω)ejkzzH(2)

n (krr)]dkz

定在波を考えなければならない場合には，以下の一般解が適切。

p(r, ϕ, z, ω) =

∞∑n=−∞

ejnϕ1

2π

∫ ∞

−∞

[Cn(kz, ω)e

jkzzJn(krr)

+Dn(kz, ω)ejkzzNn(krr)

]dkz



音場の円筒波動関数展開内部問題では，一般解は円筒境界面の内側に伝播し，原点で有限の値となる必要があるため，

p(r, ϕ, z, ω) =

∞∑n=−∞

ejnϕ1

2π

∫ ∞

−∞Cn(kz, ω)e

jkzzJn(krr)dkz

となる。ejnϕejkzzJn(krr)は内部問題における円筒波動関数である。外部問題では，一般解は原点で有限の値をとる必要はないが，円筒境界面の外側に伝播する必要があるため，

p(r, ϕ, z, ω) =

∞∑n=−∞

ejnϕ1

2π

∫ ∞

−∞An(kz, ω)e

jkzzH(1)n (krr)dkz

となる。ejnϕejkzzH(1)n (krr)は外部問題における円筒波動関数で

ある。小山翔一 (UTokyo) 応用音響学第 10 回 2019/6/28 27 / 66


音場の円筒波動関数展開

kz = 0.2，n = 4のときの動径方向関数を除いた円筒波動関数ejnϕejkzz。

1-501

0z

50

x

0

y

0-1-1



円筒調和関数展開による音場の外挿直交座標系の場合と同様に，円筒座標系の場合も空間 Fourier変換による音場の外挿を考えることができる。ここでは外部問題において，r = aの円筒状境界面の音圧分布p(a, ϕ, z)からの放射音場について考える。外部問題の一般解を用いて p(a, ϕ, z)を円筒波動関数展開すれば，

p(a, ϕ, z) =∞∑

n=−∞ejnϕ

1

2π

∫ ∞

−∞An(kz, ω)e

jkzzH(1)n (kra)dkz

p(a, ϕ, z)の rと ϕに関する 2次元 Fourier変換 Pn(r, kz)を考えると，

Pn(r, kz) =1

2π

∫ 2π

0dϕ

∫ ∞

−∞p(r, ϕ, z)e−jnϕejkzzdz

p(r, ϕ, z) =

∞∑n=−∞

ejnϕ1

2π

∫ ∞

−∞Pn(r, kz)e

jkzzdkz



円筒調和関数展開による音場の外挿r = aにおける一般解と比較すれば，Pn(a, kz) = An(kz)H

(1)n (kra)

となるので，

p(r, ϕ, z) =

∞∑n=−∞

ejnϕ1

2π

∫ ∞

−∞Pn(a, kz)e

jkzzH(1)n (krr)

H(1)n (kra)

dkz

Pn(r, kz)を平面境界の場合の角度スペクトルに対応して，ヘリカル波スペクトルと呼ぶ。よってヘリカル波スペクトルにおける外部問題の場合の音場外挿は，以下のようになる。

Pn(r, kz) =H

(1)n (krr)

H(1)n (kra)

Pn(a, kz)

これにより異なる同心円筒間での波数領域での関係が与えられる。小山翔一 (UTokyo) 応用音響学第 10 回 2019/6/28 30 / 66

フーリエ音響学音場の球波動関数展開

本日の目次




球座標系での波動方程式球座標系 (r, θ, ϕ)での波動方程式を考える。（cf. 第 8回の資料）

1

r2∂

∂r

(r2

∂p

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂p

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2p

∂ϕ2− 1

c2∂2p

∂t2= 0



球座標系での波動方程式

変数分離法を用いれば，

p(r, θ, ϕ, t) = R(r)Θ(θ)Φ(ϕ)T (t)

と書けることから，以下が導かれる。dΦ

dϕ2+m2Φ = 0

1

sin θ

d

dθ

(sin θ

dΘ

dθ

)+

[n(n+ 1)− m2

sin2 θ

]Θ = 0

1

r2d

dr

(r2

dR

dr

)+ k2R− n(n+ 1)

r2R = 0

1

c2d2T

dt2+ k2T = 0




一般解は，任意定数 T1，T2，Φ1，Φ2，Θ1，Θ2，R1，R2を用いて，

T (t) = T1ejωt + T2e

−jωt

Φ(ϕ) = Φ1ejmϕΦ2e

−jmϕ

Θ(θ) = Θ1Pmn (cos θ) + Θ2Q

mn (cos θ)

R(r) = R1jn(kr) +R2nn(kr)

時間依存項の定義から，T2 = 0。Φに関する一般解は，以下のように書くこともできる。

Φ(ϕ) = Φ3 cos(mϕ) + Φ4 sin(jmϕ)




Θに関する一般解は，η = cos θ (−1 ≤ η ≤ 1)なる変数変換によって得られる微分方程式

d

dη

[(1− η2)

dΘ

dη

]+

[n(n+ 1)− m2

1− η2

]Θ = 0

の解である，第 1種および第 2種 Legendre陪関数 Pmn (·)，Qm

n (·)による。ただし，Qm

n (·)は η = ±1において発散するため，Θ2 = 0とする。動径方向関数R(r)は，第 1種および第 2種球 Bessel関数（あるいは球 Bessel，Neumann関数）による。これは第 1種，第 2種球Hankel関数 h

(1)n (·)，h

(2)n (·)を用いて以下のようにも書ける。

R(r) = R3h(1)n (kr) +R4h

(2)n (kr)




角度関数はまとめて球面調和関数として定義する。

Y mn (θ, ϕ) =

√(2n+ 1)

4π

(n−m)!

(n+m)!Pmn (cos θ)ejmϕ

球面調和関数は完全直交系となる。∫ 2π

0dϕ

∫ π

0Y mn (θ, ϕ)Y m′

n′ (θ, ϕ)∗ sin θdθ = δnn′δmm′

∞∑n=0

n∑m=−n

Y mn (θ, ϕ)Y m

n (θ′, ϕ′)∗ = δ(ϕ− ϕ′)δ(cos θ − cos θ′)

ここで 2番目の式の右辺は，球面上での 2次元デルタ関数である。




球面調和関数を使って，球面上の任意の関数 f(θ, ϕ)を展開できる。

f(θ, ϕ) =

∞∑n=0

n∑m=−n

AnmY mn (θ, ϕ),

Anm =

∫ 2π

0dϕ

∫ π

0sin θdθY m

n (θ, ϕ)∗f(θ, ϕ)



球面調和関数

z

y x

x

z

yy x

zx

z

y

xy

zz

y xy x

z

xy

z z

y x



球Bessel関数

球 Bessel関数:

jn(x) =( π

2x

)1/2Jn+1/2(x)

球Neumann関数:

nn(x) =( π

2x

)1/2Nn+1/2(x)

第 1種，第 2種球Hankel関数:

h(1)n (x) = jn(x) + jnn(x)

h(2)n (x) = jn(x)− jnn(x)

2 4 6 8 10 12 14

x

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n=0

n=2

n=4

n=6

1 2 3 4 5 6

x

-20

-15

-10

-5

0

n=0

n=2

n=4

n=6



球Bessel関数

球 Bessel関数に関するWronskian

jn(x)n′n(x)− j′n(x)nn(x) =

1

x2

jn(x)h(1)′n (x)− j′n(x)h

(1)n (x) =

j

x2




以上をまとめると，球座標系での周波数領域における一般解は，定在波の場合，任意定数Amn，Bmnを用いて，

p(r, θ, ϕ, ω) =

∞∑n=0

n∑m=−n

(Amnjn(kr) +Bmnnn(kr))Ymn (θ, ϕ)

進行波の場合は，任意定数 Cmn，Dmnを用いて，

p(r, θ, ϕ, ω) =

∞∑n=0

n∑m=−n

(Cmnh

(1)n (kr) +Dmnh

(2)n (kr)

)Y mn (θ, ϕ)



音場の球波動関数展開

内部問題の一般解は，球面の内側に伝播し，原点で有限の値となる必要があるため，

p(r, θ, ϕ, ω) =

∞∑n=0

n∑m=−n

Amn(ω)jn(kr)Ymn (θ, ϕ)

となる。jn(kr)Ymn (θ, ϕ)は内部問題における球波動関数である。

外部問題では，一般解は原点で有限の値をとる必要はないが，球面の外側に伝播する波を表す必要があるため，

p(r, θ, ϕ, ω) =

∞∑n=0

n∑m=−n

Cmn(ω)h(1)n (kr)Y m

n (θ, ϕ)

となる。h(1)n (kr)Y m

n (θ, ϕ)は外部問題における球波動関数である。



球面調和関数展開による音場の外挿球座標系の場合も，空間 Fourier変換（この場合は球面調和関数展開）による音場の外挿を考えることができる。球面上の音圧分布からの放射音場を求める，外部問題について考える。r = aにおける球面波スペクトル Pmn(r)は，以下の関係を持つ。

Pmn(a) =

∫p(a, θ, ϕ)Y m

n (θ, ϕ)∗ sin θdθdϕ

p(a, θ, ϕ) =

∞∑n=0

n∑m=−n

Pmn(a)Ymn (θ, ϕ)

r = aとしたときの外部問題の一般解は，

p(a, θ, ϕ) =

∞∑n=0

n∑m=−n

Cmn(ω)h(1)n (ka)Y m

n (θ, ϕ)



球面調和関数展開による音場の外挿球面波スペクトルの式と一般解とを比較すると，Pmn(a) = Cmnh

(1)n (ka)となるので，

p(r, θ, ϕ) =

∞∑n=0

n∑m=−n

h(1)n (kr)

h(1)n (ka)

Pmn(a)Ymn (θ, ϕ)

球面境界の場合は，球面波スペクトル Pmn(r)が平面境界の場合の角度スペクトルに対応する。よって，球面波スペクトルにおける外部問題の場合の音場外挿は，以下のようになる。

Pmn(r) =h(1)n (kr)

h(1)n (ka)

Pmn(a)

これにより異なる半径の異なる球面の間の波数領域での関係が与えられる。小山翔一 (UTokyo) 応用音響学第 10 回 2019/6/28 44 / 66


球面調和関数展開による音場の外挿

粒子速度分布の関係を考えるため，動径方向の粒子速度 vrと，その球面波スペクトル Vr,mnを導入する。

Vr,mn(r) =

∫∫vr(r, θ, ϕ)Y

mn (θ, ϕ)∗ sin θdθdϕ

vr(r, θ, ϕ) =∞∑n=0

n∑m=−n

Vr,mn(r)Ymn (θ, ϕ)

jρckVr,mn = dPmn(r)/drより，音圧に関する球面波スペクトルの外挿の式を用いれば，

vr(r, θ, ϕ) =1

jρc

∞∑n=0

n∑m=−n

h(1)′n (kr)

h(1)n (ka)

Pmn(a)Ymn (θ, ϕ)




以上により，速度スペクトルと音圧スペクトルとの関係が得られる。

Vr,mn(r) =1

jρc

h(1)′n (kr)

h(1)n (ka)

Pmn(a)

Pmn(a) = jρch(1)n (ka)

h(1)′n (kr)

Vr,mn(r)



球面調和関数展開による音場の外挿次に内部問題について考える。半径 r = bの球面上の音圧分布から内部の音場を求める。内部問題の一般解を思い出すと，

p(r, θ, ϕ) =

∞∑n=0

Amnjn(kr)Ymn (θ, ϕ)

外部問題のときと同様に，Pmn(b) = Amnjn(kb)となるので，

p(r, θ, ϕ) =

∞∑n=0

n∑m=−n

jn(kr)

jn(kb)Pmn(b)Y

mn (θ, ϕ)

よって，球面波スペクトルにおける内部音場の場合の音場外挿は，

Pmn(r) =jn(kr)

jn(kb)Pmn(b)




ここで注意したいのは，内部音場の外挿では，分に球 Bessel関数を有することである。

Pmn(r) =jn(kr)

jn(kb)Pmn(b)

球 Bessel関数は多数の零点を持つような実数関数であるため，jn(kb) = 0となる波数 kにおいては，上式が無限大に発散し，計算できないことになる。これは内部問題において，境界面上の音圧値のみから内部を計算することができない，禁止周波数の問題に対応する。


フーリエ音響学音場の境界値積分表現の具体例

本日の目次




球状領域のKirchhoff–Helmholtz積分方程式境界が球面の場合の内部問題において，球面波スペクトルの領域で内部の音場を求めることができることを見た。前回出てきた Kirchhoff–Helmholtz積分方程式では任意の境界面の内部を決定する式だったが，その具体例として，同様に境界を球面とした場合を考えてみる。境界面を半径Rの球面とし，z軸上の位置 z = −dに点音源が存在するとする。



球状領域のKirchhoff–Helmholtz積分方程式

このとき，内部問題のための Kirchhoff–Helmholtz積分方程式は，

p(r) =

∫ 2π

0

∫ π

0

(G(r|r′)∂p(r

′)

∂r′− p(r′)

∂G(r|r′)∂r′

)R2 sin θ′dθ′dϕ′

位置 d = (0, 0, d)の点音源による音場 p(r)が，

p(r) = p0ejk∥r−d∥

jk∥r − d∥= p0h

(1)0 (k∥r − d∥)

と書けるとする。ここで，以下の関係式を用いた。

h(1)0 (x) =

ejx

jx



球状領域のKirchhoff–Helmholtz積分方程式球Hankel関数の展開公式より，

p(r) = p0h0(k∥r − d∥)

= p0

∞∑n=0

(−1)n(2n+ 1)jn(kr)h(1)n (kd)Pn(cos θ)

ここで，Pn(·)はm = 0のときの Legendre陪関数でありLegendre多項式と呼ばれる。また，以下が成り立つことに注意。

Y 0n (θ, ϕ) =

√2n+ 1

4πPn(cos θ)

よって，これを rに関して微分すると，∂p(r)

∂r= kp0

∞∑n=0

(−1)n(2n+ 1)j′n(kr)h(1)n (kd)Pn(cos θ)

以上の式から，半径Rの球面上の音圧と音圧勾配が得られる。小山翔一 (UTokyo) 応用音響学第 10 回 2019/6/28 52 / 66


球状領域のKirchhoff–Helmholtz積分方程式

次に，Kirchhoff–Helmholtz積分方程式に現れる 3次元自由空間Green関数について考える。3次元自由空間 Green関数の球波動関数展開は，

G(r|r′) = ejk∥r−r′∥

4π∥r − r′∥

= jk

∞∑n=0

jn(kr)h(1)n (kr′)

n∑m=−n

Y mn (θ′, ϕ′)∗Y m

n (θ, ϕ)

さらに，この法線方向微分は，

∂G(r|r′)∂r′

= jk2∞∑n=0

jn(kr)h(1)′n (kr′)

n∑m=−n


n (θ, ϕ)



球状領域のKirchhoff–Helmholtz積分方程式以上の結果を Kirchhoff–Helmholtz積分方程式に代入すればよい。ϕ′に関する積分は，依存する項が Y m

n (θ′, ϕ′)∗のみなので，∫Y mn (θ′, ϕ′)∗dϕ′ =

√π(2n+ 1)Pn(cos θ

′)δm0

となり，mに関する総和が消える。さらに，θに関する積分は，Pn(cos θ)の直交性から，pとGの nが同じ項のみが取り出されることになるため，結果として，

p(r) = j(kR)2p0

∞∑n=0

(−1)n(2n+ 1)Pn(cos θ′)

· h(1)n (kd)jn(kr)[h(1)n (kR)j′n(kR)− h(1)′n (kR)jn(kR)

]= p0

∞∑n=0

(−1)n(2n+ 1)h(1)n (kd)jn(kr)Pn(cos θ)

ここで球 Bessel関数のWronskianの式を用いた。小山翔一 (UTokyo) 応用音響学第 10 回 2019/6/28 54 / 66


球状領域のKirchhoff–Helmholtz積分方程式同じ内部問題を球面波スペクトルの領域で考えてみる。

p(r) =

∞∑n=0

n∑m=−n

jn(kr)

jn(kR)Pmn(R)Y m

n (θ, ϕ)

位置 dの点音源による球面波スペクトル Pmn(R)は，先程の式より，Pmn(R) = p0(−1)n

√4π(2n+ 1)jn(kR)h(1)n (kd)δm0

これを代入すると，

p(r) =

∞∑n=0

n∑m=−n

p0(−1)njn(kr)√4π(2n+ 1)h(1)n (kd)δm0Y

mn (θ, ϕ)

= p0

∞∑n=0

(−1)n(2n+ 1)h(1)n (kd)jn(kr)Pn(cos θ)

よって，Kirchhoff–Helmholtz積分方程式で考えた場合と同じ式が得られることがわかる。小山翔一 (UTokyo) 応用音響学第 10 回 2019/6/28 55 / 66


球状領域の Single layer potential

Single layer potentialは，3次元自由空間 Green関数のみを核関数とした積分方程式による音場の表現であった。

p(r) =

∫∂Ω

µ(r′)G(r|r′)dr′

=

∫∂Ω

(∂pext(r

′)

∂n′ − ∂pint(r′)

∂n′

)G(r|r′)dr′

ここでは領域を半径Rの球状とし，内部領域の音場が以下のように与えられる場合の single layer potentialによる積分表現を導出することを考える。

pint(r, θ, ϕ) =

∞∑n=0

n∑m=−n

Amnjn(kr)Ymn (θ, ϕ)



球状領域の Single layer potential

外部領域の音場は球波動関数展開係数Bnmを用いて，以下のように書ける。

pext(r, θ, ϕ) =

∞∑n=0

n∑m=−n

Bmnh(1)n (kr)Y m

n (θ, ϕ)

境界面 r = Rにおいて，音圧 pint(R, θ, ϕ)と pext(R, θ, ϕ)が等しいことから，

∞∑n=0

n∑m=−n

Amnjn(kR)Y mn (θ, ϕ) =

∞∑n=0

n∑m=−n

Bmnh(1)n (kR)Y m

n (θ, ϕ)

⇒ Bmn =jn(kR)

h(1)n (kR)

Amn



球状領域の Single layer potential∂/∂n = −∂/∂rより，

∂pint∂r

∣∣∣∣r=R

=

∞∑n=0

n∑m=−n

kAmnj′n(kR)Y m

n (θ, ϕ)

∂pext∂r

∣∣∣∣r=R

=

∞∑n=0

n∑m=−n

kAmnjn(kR)

h(1)n (kR)

h(1)′n (kR)Y mn (θ, ϕ)

以上により，Wronskianの式を用いれば，µ(r) = − ∂pext(r)

∂r

∣∣∣∣r=R

+∂pint(r)

∂r

∣∣∣∣r=R

=

∞∑n=0

n∑m=−n

kAmn

(j′n(kR)− h

(1)′n (kR)

h(1)n (kR)

jn(kR)

)Y mn (θ, ϕ)

=

∞∑n=0

n∑m=−n

Amn

jkR2h(1)n (kR)

Y mn (θ, ϕ)



球状領域の内部問題に関するNeumann型Green関数半径Rの球状境界面においてNeumann境界条件（音圧勾配が 0）を満たす Green関数（Neumann型 Green関数）GNを求めたい。まず，3次元自由空間 Green関数の球波動関数展開は，位置r = (r, θ, ϕ) ∈ Ω\∂Ω，r′ = (r′, θ′, ϕ′) ∈ ∂Ωに関して，

G =ejk∥r−r′∥

4π∥r − r′∥= jk

∞∑n=0

jn(kr)h(1)n (kr′)

n∑m=−n


n (θ, ϕ)

Neumann型 Green関数GN = G+ gNが r′ = Rにおいて∂GN/∂n

′ = 0となることより，∂GN

∂n′

∣∣∣∣r′=R

=

(∂G

∂r′+

∂gN∂r′

)∣∣∣∣r′=R

= 0

また，∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=R

= jk2∞∑n=0

jn(kr)h(1)n (kR)

n∑m=−n


n (θ, ϕ)



球状領域の内部問題に関するNeumann型Green関数したがって，Neumann境界条件を満たすような gNは，

gN(r|r′) = −jk

∞∑n=0

jn(kr)h(1)′n (kR)

j′n(kR)jn(kr

′)

n∑m=−n


n (θ, ϕ)

以上により，Neumann型 Green関数は，

GN(r|r′) = jk

∞∑n=0

jn(kr)

[h(1)n (kr′)− h

(1)′n (kR)

j′n(kR)jn(kr

′)

]

·n∑

m=−n


n (θ, ϕ)

r′ = RとすればWronskianの式によって単純化される。

GN(r|r′)∣∣r′=R

=1

kR2

∞∑n=0

jn(kr)

j′n(kR)

n∑m=−n


n (θ, ϕ)



球状領域の内部問題に関するNeumann型Green関数動径方向速度を球状領域の境界条件とし，内部問題を波数領域で解く場合に，等価なNeumann型 Green関数が得られることを見る。jρckvr = ∂p(r)/∂rより，r = Rでの動径方向速度は，

vr(R, θ, ϕ) =1

jρc

∞∑n=0

n∑m=−n

Amnj′n(kR)Y m

n (θ, ϕ)

未知係数Amnに関して解くと，

Amn =jρc

j′n(kR)

∫vr(R, θ, ϕ)Y m

n (θ′, ϕ′)∗ sin θdθ′dϕ′

これを内部問題の一般解に代入すれば，p(r, θ, ϕ) =

jρc

∞∑n=0

jn(kr)

j′n(kR)

n∑m=−n

Y mn (θ, ϕ)

∫vr(R, θ′, ϕ′)Y m

n (θ′, ϕ′)∗ sin θ′dθ′dϕ′



球状領域の内部問題に関するNeumann型Green関数vr(R, θ, ϕ)の球面調和関数展開，

Vr,mn(R) =

∫vr(R, θ′, ϕ′)Y m

n (θ′, ϕ′)∗ sin θ′dθ′dϕ′

を考えると，

p(r, θ, ϕ) = jρc

∞∑n=0

jn(kr)

j′n(kR)

n∑m=−n

Vr,mn(R)Y mn (θ, ϕ)

上式の Vr,mnを代入すれば，Neumann型 Green関数の形が以下のように得られる。

p(r, θ, ϕ) = jρckR2

∫GN(r, θ, ϕ|R, θ′, ϕ′)vr(R, θ′, ϕ′)dθ′dϕ′

GN(r, θ, ϕ|R, θ′, ϕ′) =1

kR2

∞∑n=0

jn(kr)

j′n(kR)

m∑n=−m

Y mn (θ, ϕ)Y m

n (θ′, ϕ′)∗



剛体球による平面波の散乱半径Rの球状の剛体散乱体によって平面波が散乱される場合を考える。入射音場 pincを振幅 p0，波数ベクトルkinc = k(sin θinc cosϕinc, sin θinc sinϕinc, cos θinc)の平面波音場とする。平面波関数の球波動関数展開の公式を用いれば，

pinc(r) = p0ej(kinc·r−ωt)

= 4πp0

∞∑n=0

jnjn(kr)n∑

m=−n

Y mn (θ, ϕ)Y m

n (θinc, ϕinc)∗

全体の音場 ptotは，入射音場 pincと散乱音場 psctとの和で表現できる。

ptot(r) = pinc(r) + psct(r)



剛体球による平面波の散乱剛体球では，球表面 r = Rにおいて，動径方向の粒子速度が 0となる。したがって，以下の境界条件が与えられる。

∂

∂r(pinc(r) + psct(r))

∣∣∣∣r=R

= 0

散乱音場は外部問題の一般解と同じ形で表現できるため，

psct(r) =

∞∑n=0

n∑m=−n

Cmnh(1)n (kr)Y m

n (θ, ϕ)

これと入射音場の式を境界条件に代入すれば，Cmnは以下のように表せる。

Cmn = −4πp0jn j′n(kR)

h(1)′n (kR)

Y mn (θinc, ϕinc)

∗



剛体球による平面波の散乱したがって，全体の音場は，

ptot(r) = 4πp0

∞∑n=0

jn

(jn(kr)−

j′n(kR)

h(1)′n (kR)

h(1)n (kr)

)

·n∑

m=−n

Y mn (θ, ϕ)Y m

n (θinc, ϕinc)∗

剛体バッフルが半径R = 0.2 mのときの平面波の散乱。

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

x (m)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

y (

m)

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

x (m)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

y (

m)

-1

-0.5

0

0.5

1



参考文献安田仁彦 (2004)機械音響学コロナ社, Tokyo.三井田惇郎 (1987)音響工学昭晃堂, Tokyo.今村勤 (2017)物理とグリーン関数岩波書店, Tokyo.E. G. Williams (1999)Fourier Acoustics: Sound Radiation and Nearfield Acoustical HolographyAcademic Presss, Cambridge.

D. Colton and R. Kress (2013)Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering TheorySpringer, New York.小山翔一 (UTokyo) 応用音響学第 10 回 2019/6/28 66 / 66

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応用音響学第 10 フーリエ音響学...応用音響学第10回 フーリエ音響学 小山翔一 東京大学大学院情報理工学系研究科システム情報学専攻

応用音響学第 10 フーリエ音響学...応用音響学第10回フーリエ音響学小山翔一東京大学大学院情報理工学系研究科システム情報学専攻