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Algorithms and Data Structures on C
木構造
Algorithms and Data Structures on C
この回の要点
• 木構造– 何を表す構造か？– 各部分の名称
• 木構造の実現方法– 配列を用いた実現– リンクを用いた実現– それぞれの場合の利点と欠点
• 二分木– 一般の木構造を二分木で表す– 小テスト①
• 木のなぞり– 3種類のなぞり方– 小テスト②
Algorithms and Data Structures on C
木構造とは
• 木（tree）、木構造（tree structure）– 階層関係を表現するデータ構造– 上下関係、親子関係ともいう
• 会社の組織• 本のチャプター、章、節• コンピュータのディレクトリ（フォルダ）
会社
営業部
第一
営業課
法人
営業課
総務部
人事課 総務課
技術部
技術課品質
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PHP5大全
基本編
文法
配列
文字列
極意編
HTML
フォーム
セッション
DB編
MySQL
DBM
Algorithms and Data Structures on C
木の名称・用語
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レベル0
レベル1
レベル2
レベル3
根（root）
節（node）ノード
頂点（vertex）
葉（leaf）
親子（parent→child）
兄弟（sibling）
祖先（ancestor）
子孫（descendant）
部分木（subtree）
Algorithms and Data Structures on C
木構造の定義
• 木の定義（再帰的定義）– 1つのノードは、それ自体を根とする木である。
– k個の木があり、それらの木の根を子とするノードを作ると、それは木である。
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3 4
5
1 2
3 4
5
追加
tree1
tree2 new tree
Algorithms and Data Structures on C
木とグラフ
• 木– 根を除くすべての節はただ1つの親を持つ
• グラフ– 2つ以上の親を持つような構造– より一般的な構造
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木 グラフ
Algorithms and Data Structures on C
配列による木構造の実現
• 各ノードを配列要素– 木のノードは、根を除いて単一の親を持つ– ノードを配列に入れ、親の番号を保存する
• 利点と欠点– 利点：メモリ量は少ない– 欠点：子の探索に要する時間が非効率的
• 実質的に線形探索と同じ• 下から上への探索は効率が良い
-1
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T[]
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親の番号
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10
010
Algorithms and Data Structures on C
リンクによる木構造の実現１
• ノードからノードへリンク– ノードは高々１個の親を持つ。
• 親へのリンクが1つだけ必要
– ノードは0個以上の子を持つ。• 子へのリンクはたくさん必要• リスト構造により表現する
parent
child child・・・child
子ノードのリストノード
Algorithms and Data Structures on C
リンクによる木構造の実現２
• 利点– 構造の変更が容易
– 子や親の検索が容易
• 欠点– メモリ効率（リンクにメモリが必要)
– ノードの検索には子の数に応じた時間がかかる
0
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4
7 8
null
Algorithms and Data Structures on C
順序木と無順序木
• 順序木（ordered tree）– 兄弟のノードに順序付けを行った木
– 左が長男→右に行くにつれて年下
• 一般に、データ構造としての木は、子ノードが何らかの形で並ぶのが普通– たとえば、線形リストで持つなど
– 一般的な木は順序木である
A
B C D
A
D B C
無順序木では等しい
年上 年下順序木では等しくない
Algorithms and Data Structures on C
二分木（binary tree）
• 二分木の定義– 空の木は二分木である– 次のいずれかの節のみからなる木は二分木である
• 子を持たない• 左の子のみを持つ• 右の子のみを持つ• 左右2個の子を持つ
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
二分木① 二分木② 二分木ではない（左右が不明）
等しくない
Algorithms and Data Structures on C
二分木の構造
• 二分木の子は多くても2つである– 2つの変数 left と right で表現可能
parent
left right
二分木ノード
Algorithms and Data Structures on C
二分木による木構造の実現
• 任意の木構造は二分木によって表現可能– 左→ 先頭の子
– 右→ 次の兄弟
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Algorithms and Data Structures on C
小テスト①
• 次の木構造を二分木によって表せ。（30点）
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10 11
Algorithms and Data Structures on C
解答①
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親
子 兄弟
Algorithms and Data Structures on C
木のなぞり
• なぞり（traverse）– 木のノードを系統的に1つ残らず1回ずつ巡ること– ノードの順序付けが可能
• なぞりの種類– 行きがけ順（pre-order）
• ノード→ 部分木• 0 → 1 → 2 → 3
– 通りがけ順（in-order）• 最初の部分木 → ノード→ 残りの部分木• 1 → 0 → 2 → 3
– 帰りがけ順（post-order）• 部分木 → ノード• 1 → 2 → 3 → 0
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0
1 2 3
0
1 2 3
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23
1
2
3
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Algorithms and Data Structures on C
各なぞりの違い
• 部分木内のなぞりは、再帰的に実行される
• 行きがけ順
0→1→3→4→7→8→5→2→6→9
• 通りがけ順
3→1→7→4→8→5→0→9→6→2
• 帰りがけ順
3→7→8→4→5→1→9→6→2→0
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Algorithms and Data Structures on C
小テスト②
• 次の木を3つの方法でなぞり、その順序を示せ。（各20点）
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行きがけ順pre-order
通りがけ順in-order
帰りがけ順post-order
Algorithms and Data Structures on C
解答②（続）
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10 11
行きがけ順pre-order
通りがけ順in-order
帰りがけ順post-order
Algorithms and Data Structures on C
解答②
• 行きがけ順
– 0→1→3→4→7→8→5→2→9→10→11→6
• 通りがけ順
– 3→1→7→4→8→9→2→10→11→5→6→0
• 帰りがけ順
– 3→7→8→4→9→10→11→2→5→6→1→0
Algorithms and Data Structures on C
課題191111
• 次の木構造（二分木ではない）を3つのなぞりでなぞった経路を示せ。
• 作成方法：• ワードに左の木構造の図を貼り付け、その下に3つのなぞりの順番を番号で示すこと。
• ファイル名はscXXXXXX-al191111.docxとし、課題本文中にも学籍番号と氏名を明記すること。
• 提出方法：• メールで。• メールの本文中にも学籍番号を氏名を明記すること。
• 提出先：[email protected]
• メールタイトル：”アルゴリズム課題191111” ←厳守！
• 期限：2019年11月17日（日） 24:00
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Algorithms and Data Structures on C
木構造終了
