日本機械学会宇宙工学部門 - jsme.or.jp · 日本機械学会宇宙工学部門 ―v― 記号表 : j 共変微分．式(1.22.8)参照． A Almansi 歪テンソル． B

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柔軟構造解析の基礎理論

平成 17 年 4 月

宮崎康行

日本大学大学院理工学研究科航空宇宙工学専攻

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目次

第 0 章講義の概要.......................................................................................................................................................1

0.1. この講義のねらい ...............................................................................................................................................1 0.2. この講義の流れ..................................................................................................................................................2

第 1 章数学的準備.......................................................................................................................................................3 1.1. このテキストで用いる総和規約 .............................................................................................................................3 1.2. Dyadic 表記と従来の表記 ...................................................................................................................................3 1.3. ベクトル演算の確認 ............................................................................................................................................3 1.4. 幾何ベクトルと成分ベクトル..................................................................................................................................5 1.5. 絶対座標系 .......................................................................................................................................................5 1.6. 正規直交基底マトリクス .......................................................................................................................................6 1.7. 座標変換...........................................................................................................................................................6 1.8. 正規直交基底の変分..........................................................................................................................................7 1.9. 正規直交基底と曲率...........................................................................................................................................7 1.10. 正規直交基底マトリクスの意味 ...........................................................................................................................8 1.11. 正規直交基底マトリクスの数式表現.....................................................................................................................8

1.11.1. 一軸回転による回転マトリクスの表現 ............................................................................................................9 1.11.2. Rodriguez parameter ...............................................................................................................................9 1.11.3. Modified Rodriguez parameter (1) .........................................................................................................10 1.11.4. Modified Rodriguez parameter (2) ......................................................................................................... 11 1.11.5. Euler parameter .................................................................................................................................... 11

1.12. 複数の回転と正規直交基底マトリクス ................................................................................................................ 12 1.13. Euler parameter の加算 ................................................................................................................................ 13 1.14. 基底ベクトルと基底マトリクス............................................................................................................................. 13 1.15. 曲線座標系と基底ベクトル............................................................................................................................... 14 1.16. 基底ベクトルの成分と変換則............................................................................................................................ 15 1.17. 反変座標....................................................................................................................................................... 16 1.18. テンソル......................................................................................................................................................... 16 1.19. 計量テンソル.................................................................................................................................................. 17 1.20. 微小平行六面体............................................................................................................................................. 17 1.21. 微小三角錐 ................................................................................................................................................... 18 1.22. 微分演算子と座標系 .......................................................................................................................................18 1.23. Gauss の定理................................................................................................................................................. 19 1.24. ストレッチテンソル ...........................................................................................................................................19 1.25. Gauss 積分.................................................................................................................................................... 20 1.26. Newton 法..................................................................................................................................................... 20 1.27. まとめ ............................................................................................................................................................ 21

第 2 章変形の幾何学 ................................................................................................................................................. 22 2.1. 埋め込み座標系............................................................................................................................................... 22 2.2. 共変基底ベクトルと反変基底ベクトル .................................................................................................................. 22 2.3. 変形勾配テンソル............................................................................................................................................. 22 2.4. 面積要素と体積要素.........................................................................................................................................23 2.5. 基底マトリクスと変形勾配テンソルとの関係...........................................................................................................23 2.6. 変形の正則性 .................................................................................................................................................. 24 2.7. 変形勾配の極分解定理 ....................................................................................................................................24

第 3 章応力............................................................................................................................................................... 25 3.1. Cauchy 応力.................................................................................................................................................... 25 3.2. 平衡方程式 ..................................................................................................................................................... 25 3.3. Cauchy 応力と座標系 .......................................................................................................................................26 3.4. 第二 Piola-Kirchhoff 応力テンソル ................................................................................................................... 27 3.5. 主応力 ............................................................................................................................................................ 27

第 4 章歪と構成則...................................................................................................................................................... 29 4.1. 仮想仕事の原理............................................................................................................................................... 29 4.2. Almansi 歪テンソル..........................................................................................................................................29 4.3. Green-Lagrange 歪テンソル ............................................................................................................................. 30 4.4. 歪と座標系 ...................................................................................................................................................... 31 4.5. Cauchy 歪テンソル...........................................................................................................................................31 4.6. 主歪................................................................................................................................................................ 32 4.7. 構成則と弾性体 ............................................................................................................................................... 32 4.8. 歪エネルギ ...................................................................................................................................................... 33 4.9. 等方性材料の弾性テンソル ............................................................................................................................... 34

第 5 章変形モデル..................................................................................................................................................... 36

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5.1. 弾性体の変形モデル........................................................................................................................................ 36 5.1.1. 梁モデル.................................................................................................................................................. 36 5.1.2. シェルモデル ............................................................................................................................................ 36 5.1.3. ケーブルモデル ........................................................................................................................................ 37 5.1.4. 膜モデル.................................................................................................................................................. 37 5.1.5. ソリッドモデル............................................................................................................................................ 37 5.1.6. 変形モデルの存在理由.............................................................................................................................. 37

5.2. 変形の表現 ..................................................................................................................................................... 38 5.3. 埋め込み座標系 .............................................................................................................................................. 38 5.4. 埋め込み座標による変位の補間 ........................................................................................................................ 39 5.5. 仮想仕事の原理と離散化された平衡方程式........................................................................................................ 39 5.6. 変形モデルと歪および応力成分 ........................................................................................................................ 40 5.7. まとめ.............................................................................................................................................................. 40

第 6 章非線形有限要素解析序論................................................................................................................................ 41 6.1. 数値計算の流れ .............................................................................................................................................. 41 6.2. 梁の幾何学的非線形解析コード ........................................................................................................................ 42

6.2.1. Shear locking .......................................................................................................................................... 42 6.2.2. 要素節点力および接線剛性マトリクス .......................................................................................................... 45 6.2.3. 直線梁の場合の要素内積分....................................................................................................................... 48 6.2.4. 全体節点力ベクトルと全体接線剛性マトリクス ............................................................................................... 49 6.2.5. 固定点の処理 ........................................................................................................................................... 50 6.2.6. 収束判定.................................................................................................................................................. 50 6.2.7. 状態量の更新 ........................................................................................................................................... 50 6.2.8. データ入力関数 input() ............................................................................................................................ 51 6.2.9. FEM の前処理関数 fem_pre() ................................................................................................................... 52 6.2.10. Newton 法の初期化関数 init_newton() ................................................................................................... 52 6.2.11. 要素節点力・接線剛性マトリクス算出関数 element_form() .......................................................................... 52 6.2.12. 境界条件処理関数 bc_newton() .............................................................................................................. 52 6.2.13. 増分計算関数 solve_newton()................................................................................................................. 52 6.2.14. 変数の更新関数 fem_update() ................................................................................................................ 52 6.2.15. FEM の後処理関数 fem_post(judge) ....................................................................................................... 52 6.2.16. データ出力関数 output()......................................................................................................................... 52

6.3. 例題 ............................................................................................................................................................... 52 6.3.1. 直線梁の二次元せん断 ............................................................................................................................. 52

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図目次

Fig. 1.5-1 絶対座標系 ..........................................................................................................................................5 Fig. 1.11-1 ベクトルの回転..................................................................................................................................9 Fig. 2.1-1 変形と座標系.....................................................................................................................................22 Fig. 6.2-1 片持ち梁のたわみ .............................................................................................................................. 42 Fig. 6.3-1 片持ち梁のたわみ Elastica解 ............................................................................................................54

表目次

Table 6.1-1 数値計算の流れ............................................................................................................................... 41 Table 6.1-2 関数 fem内での処理 ....................................................................................................................... 41 Table 6.1-3 Newton法による増分計算 ............................................................................................................... 42 Table 6.2-1 定数データ......................................................................................................................................51 Table 6.2-2 現在状態量データ ........................................................................................................................... 52 Table 6.2-3 シミュレーションデータ ................................................................................................................. 52

演習問題目次

Ex. 1 ベクトルの外積 ..........................................................................................................................................4 Ex. 2 三次元マトリクス.......................................................................................................................................4 Ex. 3 三次元ベクトルとマトリクス......................................................................................................................4 Ex. 4 回転マトリクス ..........................................................................................................................................4 Ex. 5 テンソルのスカラー積(1)............................................................................................................................4 Ex. 6 テンソルのスカラー積(2)............................................................................................................................4 Ex. 7 正規直交基底マトリクスの変分 ..................................................................................................................7 Ex. 8 回転マトリクスと反対称マトリクスとの関係..............................................................................................7 Ex. 9 回転マトリクスの記述 ................................................................................................................................9 Ex. 10 回転マトリクスの変分 ..............................................................................................................................9 Ex. 11 Rodriguez parameterの変分 .................................................................................................................. 10 Ex. 12 Rodriguez parameterによる回転マトリクスの変分 ................................................................................ 10 Ex. 13 Modified Rodriguez parameter(1)による回転マトリクス ........................................................................ 11 Ex. 14 Modified Rodriguez parameter(1)の変分 ................................................................................................ 11 Ex. 15 Modified Rodriguez parameter(1)による回転マトリクスの変分 .............................................................. 11 Ex. 16 Modified Rodriguez parameter(2)による回転マトリクス ........................................................................ 11 Ex. 17 Modified Rodriguez parameter(2)による回転マトリクスの変分 .............................................................. 11 Ex. 18 Euler parameterによる回転マトリクス..................................................................................................12 Ex. 19 Euler parameterによる回転マトリクスの変分 ....................................................................................... 12 Ex. 20 Euler parameterに関連したマトリクス..................................................................................................12 Ex. 21 Euler parameterによる回転マトリクス(2) ............................................................................................. 12 Ex. 22 Euler parameterの加算 ......................................................................................................................... 13 Ex. 23 共変基底ベクトルと反変基底ベクトルとの関係 ...................................................................................... 15 Ex. 24 共変基底ベクトルと反変基底ベクトルとの関係(2) .................................................................................. 15 Ex. 25 共変成分の変換則...................................................................................................................................15 Ex. 26 反変成分の変換則...................................................................................................................................16 Ex. 27 テンソルの変換則...................................................................................................................................17 Ex. 28 計量テンソルの変換則 ............................................................................................................................ 17 Ex. 29 計量テンソルの共変成分と反変成分との関係.......................................................................................... 17 Ex. 30 共変基底ベクトルと反変基底ベクトルとの関係 ...................................................................................... 17 Ex. 31 微分と座標系..........................................................................................................................................19 Ex. 32 Gaussの定理 ..........................................................................................................................................19 Ex. 33 Gauss積分 ............................................................................................................................................. 20 Ex. 34 変形勾配テンソル...................................................................................................................................23 Ex. 35 変形勾配テンソルの逆テンソル .............................................................................................................. 23 Ex. 36 Nansonの公式........................................................................................................................................23 Ex. 37 体積変化 ................................................................................................................................................ 23 Ex. 38 変形とストレッチテンソル ..................................................................................................................... 24 Ex. 39 微小三角錐の釣り合い式......................................................................................................................... 25

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Ex. 40 Cauchy応力 ........................................................................................................................................... 25 Ex. 41 Cauchy応力テンソル成分....................................................................................................................... 25 Ex. 42 反変基底で表現されたベクトルの変換 .................................................................................................... 28 Ex. 43 第二 Piola-Kirchhoff応力の主応力......................................................................................................... 28 Ex. 44 nablaとテンソルのスカラー積 ............................................................................................................... 29 Ex. 45 歪テンソル成分...................................................................................................................................... 30 Ex. 46 Green-Lagrange歪テンソル................................................................................................................... 31 Ex. 47 歪エネルギ............................................................................................................................................. 34 Ex. 48 等方性材料の弾性テンソル成分 .............................................................................................................. 35 Ex. 49 等方性材料の撓性テンソル成分 .............................................................................................................. 35 Ex. 50 要素ベクトルおよびマトリクスと全体ベクトルおよびマトリクス ........................................................... 50 Ex. 51 Euler parameterと修正 Rodriguezベクトル.......................................................................................... 51 Ex. 52 Elastica.................................................................................................................................................. 54 Ex. 53 Elasticaと楕円積分................................................................................................................................ 54 Ex. 54 Cauchy歪による拡張Elastica................................................................................................................ 54 Ex. 55 Elasticaの伸びとせん断 ......................................................................................................................... 55 Ex. 56 Antmannの拡張Elastica ....................................................................................................................... 55 Ex. 57 片持ち梁のたわみ................................................................................................................................... 55

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記号表

: j 共変微分．式(1.22.8)参照．

A Almansi 歪テンソル． B 変形後のボディ．

0B 変形前のボディ．

1β Modified Rodriguez parameter．式(1.11.13)参照．

2β Modified Rodriguez parameter．式(1.11.17)参照． C 第二 Piola-Kirchhoff 応力テンソルと Green-Lagrange 歪テンソルを関係付ける弾性テンソル（四階の

テンソル）． TC Cauchy 応力テンソルと Almansi 歪テンソルを関係付ける弾性テンソル（四階のテンソル）． ijklC 弾性テンソルC の成分．

div 発散演算子．式(1.22.11)参照． dS 変形前の微小平行四辺形の面積． ds 変形後の微小平行四辺形の面積．

ids 変形後の埋め込み座標系 Q

の座標増分 2idx と 3idx で構成された微小平行四辺形の面積．

*ids 変形後の埋め込み座標系 Q

の座標増分 2idx と 3idx で構成された微小平行四辺形の面積 ids を反変

基底ベクトルig の大きさで割った微小面積．式(1.20.5)参照．

dv 変形後の埋め込み座標系 Q

の座標増分1dx ，

2dx ，3dx で構成された微小平行六面体の体積．

dΘ 正規直交基底マトリクスの変分 dR の計算の際に定義される，絶対座標系 IR

でみた成分ベクトル．式

(1.8.1)参照． dθ 正規直交基底マトリクスの変分d R の計算の際に定義される，埋め込み座標系 Q

でみた成分ベクトル．

式(1.8.5)参照． E ヤング率． E Green-Lagrange 歪テンソル． ie 正規直交基底の幾何ベクトル．

ie 正規直交基底を絶対座標系 IR

でみたときの成分ベクトル．

ijE Green-Lagrange 歪テンソルおよび Almansi 歪テンソルの共変成分

F

変形勾配テンソル． F 変形勾配テンソル F

を IR

でみたときの成分テンソル．式(2.3.1)参照． f 単位質量あたりの物体力．

EF 応力による要素節点力ベクトル．

Ef 応力による等価節点力ベクトル．

gF 全体節点力ベクトル．

zf 内力と外力の両方を含めた等価節点力ベクトル．当然，釣り合い状態では0 にならなければならない． φ Rodriguez parameter．式(1.11.7)参照． j 変形を表す写像．式(2.1.2)参照． G Euler parameter による回転マトリクス R の記述の際にでてくる三行四列のマトリクス．式(1.11.25)参

照． iG 変形前の埋め込み座標系 oQ

の共変基底を絶対座標系 IR

でみたときの成分ベクトル．式(2.2.1)参照．

iG 変形前の埋め込み座標系 oQ

の反変基底を絶対座標系 IR

でみたときの成分ベクトル． Γ 変形後の埋め込み座標系 Q

に関する計量テンソル．

*Γ 変形後の埋め込み反変座標系*Q

に関する計量テンソル． ijkG Kristoffel 記号．式(1.22.9)参照．

ig 変形後の埋め込み座標系 Q

の共変基底の幾何ベクトル．

ig 変形後の埋め込み座標系 Q

の共変基底を絶対座標系 IR

でみたときの成分ベクトル．式(1.14.3)参照． ig 変形後の埋め込み座標系 Q

の反変基底の幾何ベクトル．

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ig 変形後の埋め込み座標系Q

の反変基底を絶対座標系 IR

でみたときの成分ベクトル．式(1.15.5)および

(1.16.5)参照． ijg 変形後の埋め込み座標系Q

に関する計量テンソルの共変成分．

ijg 変形後の埋め込み反変座標系*Q

に関する計量テンソルの反変成分． grad 勾配演算子．式(1.22.6)参照． H Euler parameter による回転マトリクス R の記述の際にでてくる三行四列のマトリクス．式(1.11.27)参

照． I 単位テンソル．

ii 絶対座標系の共変基底ベクトル．正規直交系を成す．i

i =i i ． ii 絶対座標系の反変基底ベクトル．正規直交系を成す．

ii=i i ．

J Newton 法における Jacobian． EJ 応力による要素接線剛性マトリクス．

gJ 全体接線剛性マトリクス．

Κ 絶対座標系 IR

でみた曲率の成分ベクトル．式(1.9.2)参照． κ 埋め込み座標系Q

でみた曲率の成分ベクトル．式(1.9.1)参照．

M ボディに取り付けられた正規直交座標系の座標1 2 3( , , )Y Y Y で構成される計算ベクトル空間 R のうち，

ボディの変形に対応した部分空間．ボディの 0S および S に対応． m せん断弾性係数． Mmax 節点総数． N ボディに取り付けられた正規直交座標系の座標

1 2 3( , , )Y Y Y で構成される計算ベクトル空間 R のうち，

ボディの変形を考慮しない部分に対応した部分空間．ボディの 0T および T に対応． n ポアソン比． Ñ nabla 演算子．式(1.22.4)参照．

in 変形後の埋め込み座標系Q

の座標増分 2idx と 3idx で構成された微小平行四辺形の単位法線を絶対

座標系 IR

でみたときの成分ベクトル．

mN FEM における補間関数． sN 第二 Piola-Kirchhoff 応力の主応力ベクトルの単位方向ベクトル．式(3.5.5)参照．

sn Cauchy 応力の主応力ベクトルst の単位方向ベクトル．式(3.5.1)参照．

siN 第二 Piola-Kirchhoff 応力の主応力ベクトルの単位方向ベクトルの共変成分．

sin Cauchy 応力の主応力ベクトル

st の単位方向ベクトルsn の共変成分．式(3.5.3)参照．

P 歪エネルギ． p 歪エネルギ密度（変形前の単位体積あたりに蓄えられる歪エネルギ）． Q

物体に埋め込まれた埋め込み座標系（変形後）．

Q 物体に埋め込まれた埋め込み座標系（変形前： oQ

，変形後： Q

）の座標1 2 3( , , )x x x で構成された三次

元ベクトル空間． Q 変形後の埋め込み座標系Q

を IR

でみたときの基底マトリクス． q Euler parameter．式(1.11.21)参照．

oQ

物体に埋め込まれた埋め込み座標系（変形前）．

oQ 変形後の埋め込み座標系 oQ

を IR

でみたときの基底マトリクス． *Q

変形後の埋め込み座標系Q

から定義された反変座標系． *Q 変形後の埋め込み反変座標系

*Q

を IR

でみたときの基底マトリクス． R

正規直交座標系． R ボディに取り付けられた正規直交座標系の座標

1 2 3( , , )Y Y Y で構成される計算ベクトル空間． R

変形後のボディ B に取り付けられた正規直交座標系． R 正規直交座標系 R

を絶対座標系 IR

でみたときの正規直交基底マトリクス．

0R

変形前のボディ 0B に取り付けられた正規直交座標系． r 変形後の単位質量あたりの質量．

3Â 三次元物理空間．

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IR

絶対座標系． ¶B 変形後の物体の境界面． ¶ 0B 変形前の物体の境界面． S 変形後のボディ B のうち，変形を考慮する領域． S 第二 Piola-Kirchhoff 応力テンソル． Σ Cauchy 歪テンソル．

0S 変形前のボディ 0B のうち，変形を考慮する領域．

s Cauchy 応力の主応力ベクトルst の大きさ．式(3.5.1)参照．

ijS 第二 Piola-Kirchhoff 応力テンソル S の反変成分． T Cauchy 応力テンソル． T 変形後のボディ B のうち，変形を考慮しない領域． t 第二 Piola-Kirchhoff 応力の主応力ベクトルの大きさ．式(3.5.5)参照．

ijT Cauchy 応力テンソルT の反変成分． nt Cauchy 応力ベクトル． st Cauchy 応力の主応力ベクトル． 0T 変形前のボディ 0B のうち，変形を考慮しない領域．

*nt 修正 Cauchy 応力ベクトル．式(3.1.2)参照．

U 右ストレッチテンソル．式(2.7.1)参照． V 左ストレッチテンソル．式(2.7.1)参照． X

物体内の任意の点の幾何ベクトル（変形前）． X 物体内の任意の点絶対座標系 IR

でみたときの成分ベクトル（変形前）． IX R= X

．

x 物体内の任意の点の幾何ベクトル（変形後）． x 物体内の任意の点絶対座標系 IR

でみたときの成分ベクトル（変形後）． Ix R= x

．

ξ 埋め込み座標系（物体に埋め込まれた埋め込み座標系） Q

（あるいは oQ

）で座標成分ベクトル．

1 2 3[ , , ]Tx x x=ξ ． 1 2 3( , , )x x x 絶対座標系における座標． 1 2 3( , , )x x x 物体座標系（物体に埋め込まれた埋め込み座標系） Q

（あるいは oQ

）での座標成分．

x P ボディに埋め込まれた埋め込み座標系の座標ix のうち，

ix ÎZ となるもの．つまり，変形しない領域に

対応した座標． Y ボディに埋め込まれた埋め込み座標系の座標

1 2 3( , , )x x x で構成される三次元ベクトル空間Q 内の部

分空間で変形を考慮した部分空間． 1 2 3( , , )Y Y Y ボディに取り付けられた正規直交座標系の座標．

Y P ボディに取り付けられた正規直交座標系の座標iY のうち，

iY ÎN となるもの．つまり，変形しない領域

に対応した座標． Z ボディに埋め込まれた埋め込み座標系の座標

1 2 3( , , )x x x で構成される三次元ベクトル空間Q 内の部

分空間で変形を考慮しない部分空間． z 配位変数．

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第 0章講義の概要

―1―

第0章講義の概要

本講義では，柔軟構造解析の理論はもとより，実際に柔軟構造物の解析をする際に注意すべき点，

解析ツールを自身で開発する際の手順や数値解析上のテクニック・ノウハウについても議論する．この

章では，この講義のねらいと，講義内容について簡単に説明する．なお，この資料はまだ十分推敲したものではなく，図もほとんどないので，わかりにくい点や誤字・脱

字があった場合には指摘してもらえるとありがたい．また，参考文献等も一部しか載せていない．今後，

時間があれば図や参考文献リストも充実させていきたいと考えている．このテキストは大学院の講義資料がベースとなっており，授業中に補足する予定の部分はあえて説

明を省く等，若干，説明が不十分なところがあるかと思います．また，実際のプログラム例も載せていま

せん．プログラム例やエクササイズの解答例については，今後，部門登録者に限り配布できるよう検討

してゆくつもりです． 0.1. この講義のねらい

この講義の究極の目標は，「自分で柔軟構造物の解析理論を構築し，それを数値解析コード化し，実際に数

値計算を行なって，柔軟構造物の静的変形の特性を解析する力を身につけること」である．そのためには，単に理論を理解するだけでなく，いつでもどこでもツラツラと式展開ができ，かつ，常にアルゴ

リズムを考えながら式を見ることができ，しかも数値計算の結果起るであろう問題を予測し，それを回避するよう

に式を“いじる”ことができ，実際に計算した結果から定式化の問題点を見出し，それをプログラムにフィードバッ

クでき，最終的に，出てきた計算結果をもとに柔軟構造物の変形の特徴を演繹的に説明できるようにならなけれ

ばならない．それができるかどうかは，自身の意識レベルを高く持ちつづけられるかどうかにかかっている．この講義では，わずか半年で柔軟構造解析に関する一定レベルの内容を講義するため，一般的な弾性力学

や構造力学・連続体力学の理論については柔軟構造解析に必要最小限の内容のみ説明することとする．以下，

著者の狭い経験の中で推奨する文献は以下の通りである．特に，Gurtin の“An Introduction to Continuum Mechanics”については，著者が修士 1 年の時に輪講で読んだものであるが，ここで学んだことが著者の原点

になっている気がしている．《連続体力学》

・ M. E. Gurtin，“An Introduction to Continuum Mechanics”，Academic Press，1981．《弾性力学》

・小林繁夫，近藤恭平，“弾性力学”，培風館，1987．・ A. E. H. Love，“The Mathematical Theory of Elasticity” Cambridge at the University Press，1952．・ S. Timoshenko and J. N. Goodier，“Theory of Elasticity” McGraw-Hill，1970．

《構造力学》・林毅，“軽構造の理論とその応用”，JUSE 出版社，1966（絶版）．

《テンソル解析》・久田俊明，“非線形有限要素法のためのテンソル解析の基礎”，丸善，1992．・久田俊明，野口裕久，“非線形有限要素法の基礎と応用”，丸善，第一章，1995．・ W. Flugge，後藤訳，“理工学海外名著シリーズ 30 テンソル解析と連続体力学”，ブレイン図書出版．

《変分原理》・ K. Washizu，“Variational Methods in Elasticity and Plasticity” 3rd Ed.， Pergamon Press，1980．・小林繁夫，近藤恭平，“弾性力学”，培風館，1987．・近藤恭平，“構造力学の基礎”，培風館，2001．

《有限要素法》・久田俊明，野口裕久，“非線形有限要素法の基礎と応用”，丸善，第一章，1995．・近藤恭平，“構造力学の基礎”，培風館，2001．・鷲津久一郎編，有限要素法ハンドブック 1 基礎編 (1)，培風館，1981．

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第 0章講義の概要

―2―

さて，上述の通り，この講義では静的変形のみを取り扱い，慣性は考えないこととする．また，対象とする物体

は線形弾性体のみとする．柔軟構造物の運動については，解析力学に関する文献や，他の講義，あるいは，非

線形弾性動力学解析ソフト NEDA のマニュアルを参照のこと．解析力学に関して著者が推奨する文献として

は，山本義隆，中村孔一，“浅倉物理学大系解析力学 I”および“解析力学 II”，浅倉書店，1998．

が挙げられる．非常に難易度の高い内容となっているので，一人で勉強するには敷居の高い文献であるが，数

名～10 名未満程度の小さな輪講で，そのうち解析力学をよく理解している人間が 2～3 名いるようであれば，お

勧めの文献である．著者はこの文献を通して自らのそれまでの解析力学に関する知識を整理することができた．超弾性体や弾塑性力学に関しては，線形弾性体の力学をしっかり理解した上で勉強することを勧める．

0.2. この講義の流れ

この講義では次の流れで柔軟構造解析の理論を理解してゆく．

1. 数学的準備（特に座標系と基底ベクトルや微分演算子との関係について） 2. 変形の記述法（特に変形勾配テンソルについて） 3. 応力テンソルの定義と物理的意味 4. 歪の定義と物理的意味（特に仮想仕事の原理における応力と歪との関係について） 5. 変形モデル（梁やシェルといった柔軟構造独特の数学モデルについて） 6. 非線形有限要素法の初歩（梁モデルを例にとって） 7. 解析コードの試作と評価（レポート課題）

講義では，実際に計算する際の注意点やノウハウ的なものについても説明するつもりであるが，このテキストで

はあえてそれらについては整理していない．各自，自分の頭で整理してほしい．《参考文献》 [0.1] M. E. Gurtin, “An Introduction to Continuum Mechanics”, Academic Press, 981. [0.2] 小林繁夫，近藤恭平，“弾性力学”，培風館，1987． [0.3] A. E. H. Love, “The Mathematical Theory of Elasticity”, Cambridge at the University Press, 1952. [0.4] S. Timoshenko and J. N. Goodier, “Theory of Elasticity”, McGraw-Hill, 1970. [0.5] 林毅，“軽構造の理論とその応用”，JUSE 出版社，1966（絶版）． [0.6] 久田俊明，“非線形有限要素法のためのテンソル解析の基礎”，丸善，1992． [0.7] 久田俊明，野口裕久，“非線形有限要素法の基礎と応用”，丸善，第一章，1995． [0.8] W. Flugge，後藤訳，“理工学海外名著シリーズ 30 テンソル解析と連続体力学”，ブレイン図書出版． [0.9] K. Washizu, “Variational Methods in Elasticity and Plasticity”, 3rd Ed., Pergamon Press, 1980. [0.10] 近藤恭平，“構造力学の基礎”，培風館，2001． [0.11] 鷲津久一郎編，“有限要素法ハンドブック 1 基礎編 (1)”，培風館，1981． [0.12] 山本義隆，中村孔一，“浅倉物理学大系解析力学 I”および“解析力学 II”，浅倉書店，1998．

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第 1章数学的準備

―3―

第1章数学的準備

本講義は線形代数や微分幾何学，ベクトル解析，解析力学の知識を必要とする．特に，柔軟構造

の場合，構造物の有限回転の取り扱いが非常に重要となる．ただし，連続体力学で導入されるテンソ

ルや共変関係等についてあまり深入りすると，数学的記述に意識が集中し過ぎてしまい，構造解析の

本質的な部分，すなわち，物理現象として弾性変形を捉えるという意識が失われかねない．そこで，こ

のテキストでは必要最小限の数学的知識を用いて柔軟構造解析の理論を記述する．この章では，本講義を理解する上で必要かつ最小限の数学的知識について確認する．

1.1. このテキストで用いる総和規約

このテキストでは Einstein の総和規約を用いる．その際，特に断りのない限り，ローマ字の添え字は 1～3 を

表し，ギリシャ文字は 1～2 を表すものとする．したがって， iia b という表記および a ba

a という表記は，それぞれ 3 2

1 1,i

ii

a b a ba aa= =

å å

を意味することになる．また，このテキストでは，例えば， ic a= という表記は 3

1

i

ic a

==å

を意味するのに対し， i ic a= という表記があった場合，これは 1 1 2 2 3 3, ,c a c a c a= = =

を意味し， i jc a= という表記があった場合には，これは 3 3

1 1

i j

i jc a

= ==å å

を意味するものとする．つまり，式の両辺に同じ添え字があった場合，その添え字については和をとらず，一方

の辺にしか添え字がなかった場合には，その添え字で和をとることとする． 1.2. Dyadic 表記と従来の表記

通常のマトリクス A とベクトル x の掛け算は内積計算に相当するので ×A x と書くことにする．また，ベクトル xと y のベクトル積は従来通り Äx y と表記する．いわゆる Dyadic 表記では xy となるが，慣れないと違和感があ

ると思われるので，このテキストでは従来の表記を用いる． 1.3. ベクトル演算の確認

まず，ベクトル a とベクトル b のベクトル積（vector product） Äa b は次式で定義される． ( ) ( )Ä × = ×a b c b c a (1.3.1)

ベクトル積を行列成分で表すと， [ ]ij i ja bÄ =a b (1.3.2)

ベクトルをベクトルに線形写像するのがテンソルであるので，ベクトル積もテンソルである．一般に，通常のベクトル積も含め， Ä で任意の数のベクトルを掛け合わしたものをテンソル積（tensor

product）と呼ぶ．テンソル A の転置 TA は次式で定義される．

( ) ( )T× × = × ×b A a a A b (1.3.3) したがって， A が二階のテンソルであれば，

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―4―

[ ] [ ]T ij jiA=A (1.3.4) また，

( )TÄ = Äa b b a (1.3.5) 次に，次の演算則を導入する．

T× = ×a A A a (1.3.6) 通常のベクトルとマトリクスの演算では ×a A などというものは定義できないわけであるが，要は，従来の表記で

いうところの ( )T Ta A を ×a A と書きましょう，ということである．次に，ベクトル積のトレース（trace）は次のように定義される．

tr( )Ä = ×a b a b (1.3.7) そして，二階のテンソルのスカラー積は次式で定義される．

: tr( )Tº ×A B A B (1.3.8) 例えば， j j

i id× =g g となるベクトル ig および jg があった場合， , :ij i j ij

i j ij ijA B A B= Ä = Ä Þ =A g g B g g A B (1.3.9)

最後に，ここではベクトルやテンソルの成分を ia とか ijA とかいったように表現したが，これらの成分は後述す

る基底ベクトルの定義と密接に絡んでおり，より正確な表現はそこで学ぶことになる． Ex. 1 ベクトルの外積

三次元ベクトル a ， b ， c と三次元マトリクス A に関する次の恒等式を証明しなさい． (1) ( ) ( )´ × = ´ ×a b c b c a (2) ( ) ( ) ( )´ ´ = × - ×a b c a c b a b c (3) ( ) ( ) ( )´ ´ = × - ×a b c a c b b c a

(4) 2 2ˆ = Ä -a a a a I （ただし， I は三次元の単位マトリクス． a は a を軸性ベクトルとする外積を表すマトリクス．式

(1.8.2)参照）． (5) 3 2ˆ ˆ( )= -a a a

Ex. 2 三次元マトリクス

三次元ベクトル a ， b ， c を三列に並べた三次元マトリクス [ ]=A a b c について， det ( )= ´ ×A a b c となることを証

明しなさい． Ex. 3 三次元ベクトルとマトリクス

三次元ベクトル x ， y ， z と三次元マトリクス A に関する次の恒等式を証明しなさい． (1) [( ) ( )] ( ) (det )[( ) ]´ × = ´ ×Ax Ay Az A x y z

(2) 1ˆ(det ) T- -=Ax A A xA Ex. 4 回転マトリクス

三次元ベクトル x ， y ， z と三次元の回転マトリクス R に関する次の恒等式を証明しなさい． (1) ( ) ( ) ( )´ = ´Rx Ry R x y (2) ˆ ˆ=Rx yR のとき =y Rx

Ex. 5 テンソルのスカラー積(1)

式(1.3.9)を証明しなさい． Ex. 6 テンソルのスカラー積(2)

ベクトル x ， y ， z と二階のテンソル A および B に関する次の恒等式を証明しなさい． (1) ( ) ( )× × = × ×x T y x T y (2) ( ) ( )× Ä = × ÄA x y A x y

(3) tr( ) tr( )T =A A (4) tr( ) tr( )× = ×A B B A (5) : :=A B B A (6) : ( )× × = Äx A y A x y

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(7) ( ) : ( ) : ( ) ( )T T Té ù× × Ä = × Ä ×ë ûA B A a b B A a A b

1.4. 幾何ベクトルと成分ベクトル

ベクトルというものは，それを見る座標系によらず，1 つの意味を持つ．例えば，ある三次元空間 3Â で定義さ

れたベクトル x を，その空間内のある点 A から別のある点 B までを結ぶベクトルとして解釈するとする．この場合，

点 A も点 B も，座標系を変えればその座標成分は変わるが，物理的には何ら移動もしていない．したがって，ベ

クトル x も，座標系が変わったところで，「点 A から点 B までを結ぶベクトル」という意味で何ら変わることはない．

しかし，その成分は座標系が変われば変わってしまう．そこで，座標系を R

，その座標系で見たときのベクトル x

の成分を並べたベクトルを 3Îx と書くと， x R= x

(1.4.1) と表現できる．そこで， x を幾何ベクトル， x を成分ベクトルと呼ぶことにする． x は座標系に依らないので，二つ

の座標系 1R

および 2R

で見たときの成分ベクトルをそれぞれ 1x および 2x と書くと，次式が成り立つことになる． 1 2

1 2x R R= =x x (1.4.2)

また，上記の通り，物理的な三次元空間を 3Â ，三次元成分ベクトルから成るベクトル空間を 3 と表すことにす

る．

ただ，「座標系を R

と表す」と言われても，「じゃあ，何をどうすればいいんだ？」と感じる者もいるだろう．これ

について理解するためには，絶対座標系や基底マトリクスという概念を導入・理解する必要がある． 1.5. 絶対座標系

三次元空間に固定されたデカルト座標系を絶対座標系と呼び， IR

と表すことにする．そして，それぞれの座

標軸方向の単位幾何ベクトルを ii

（ただし， 1,2,3i = ）， IR

で見た単位成分ベクトルを ii と表す．そして，実際に

構造解析の計算を行なう場合には，この単位成分ベクトルを通常の単位ベクトル，すなわち， 1

2

3

i

i i

i

ddd

é ùê ú= ê úê úë û

i (1.5.1)

として扱うものとする．そして，特に断りのない限り，ベクトル同士の比較（加減）はこの IR

で評価，すなわち， IR

で見た成分ベクトルで比較（加減）することとする．したがって，幾何ベクトルや成分ベクトル，座標系 R

といった

概念・表現を導入はしたが，計算上は何ら特別な処理は必要としない．また，絶対座標系の原点をO ，座標をそれぞれ ix で表す．

O

1x

2x

3x

Fig. 1.5-1 絶対座標系

重要なのは，

・ベクトルはどんな座標系で見ても同じもので，単に成分が変わるだけ．・基準とする座標系（絶対座標系）を 1 つ固定して考えればよい．・ベクトルは，同じ座標系で見なければ比較ができない．

という点である．実際，ベクトルについて計算する際は，常に「どの座標系で見ているのか」ということを強く意識

する必要がある．

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1.6. 正規直交基底マトリクス

三つの基底ベクトル 3ie ÎÂ

（ 1,2,3i = ）が「正規直交基底を成す」とは， ie

が 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3, , ,e e e e e e e e e e e e= ´ = ´ = ´ = = (1.6.1)

なる関係を満たすことを言う．そして，これらをある座標系 R

で見たときの成分ベクトルを ie と書くと， ie も 3 内で

正規直交基底を成す．そして，これらを三列に並べた三行三列のマトリクスを正規直交基底マトリクスと呼ぶ． [ ]1 2 3ºR e e e (1.6.2)

なお，正規直交基底マトリクスは線形代数で言うところの回転マトリクス（直交マトリクスで，かつ，絶対値が 1），

すなわち， (3)SO 族に属するので， (3)SOÎR という表記がされていれば，それは R が回転マトリクスであること

を意味する．周知の通り，回転マトリクスには次の性質がある． T T= =RR R R I (1.6.3)

ただし， I は三行三列の単位マトリクスである．さて，これまで，「座標系を R

と表す」という表現をしばしば用いてきたが，「じゃあ， R

の実体は何なんだ？」と

いう疑問をもった者もいただろう．これについては，「 R

とは，基底ベクトル ie

を並べたもの」，「 R が成分マトリク

スであるのに対し， R

は幾何マトリクスである」とイメージするとわかりやすい． 1 2 3R e e e=

(1.6.4) そして，「 R

をある座標系で見たときの成分が R である」と考えればよい．これはどういうことかと言うと，まず， ie

を R

で見れば，その成分ベクトルは ii となるわけであるから， i ie R= i

(1.6.5) また，成分マトリクスと成分ベクトルとの関係は

i i=e Ri (1.6.6) である．いま， ie が， ie

をある座標系 refR

で見たときの成分ベクトルであるとすると，

i ref ie R= e (1.6.7)

が成り立つわけであるから，これに式(1.6.6)を代入すると， i ref ie R= Ri

(1.6.8) となる．これと式(1.6.5)を比較すると，

refR R= R

(1.6.9) となる．この式は，まさに，「 R

をある座標系 refR

で見たときの成分が R である」ということを意味している．

1.5 節で「特に断りのない限り，ベクトル同士の比較（加減）はこの IR

で評価」と書いたが，結局のところ，これ

は refR

として IR

を採用することを意味する．最後に， IR

を IR

で見たときの成分マトリクス R は何かと言えば，基底ベクトル ie

の成分ベクトルが ii なのであ

るから，それを三列に並べたマトリクス，すなわち，単位マトリクスであることは言うまでもない．つまり， I IR R= I

(1.6.10) 1.7. 座標変換

ある幾何ベクトル 3xÎÂを二つの座標系 1R

および 2R

で見たときの成分ベクトルをそれぞれ 1ξ および 2ξ とす

ると， 1 2

1 2x R R= =ξ ξ (1.7.1)

が成り立つ．ここで， 1R

および 2R

の成分マトリクスをそれぞれ 1R および 2R とすると， 1 1 2 2,I IR R R R= =R R

(1.7.2) であるから，式(1.7.1)より，

1 21 2=R ξ R ξ (1.7.3)

となる．したがって， 1 2

1 2T=ξ R R ξ (1.7.4)

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このように，同じ幾何ベクトルを異なる座標系で見たときの成分ベクトルの変換を座標変換と呼ぶ．座標変換で実際によく使うのは， 1 IR R=

で 2R

が弾性体に固定された物体座標系の場合で，この場合，

1 =R I であり，分かりやすくするため， 1ξ を x ， 2R を R ， 2ξ を ξ と表記し直すと， =x Rξ (1.7.5)

となる．この式は，物体座標系での成分が ξ であるベクトルは，絶対座標系では，その成分は Rξ となることを意

味している．また，この逆，すなわち，絶対座標系で x であるベクトルは，物体座標系ではどう見えるか？，という場合もしば

しば出てくる（むしろ，巷の参考書ではこちらのケースについて記述している場合が多い）．この場合，式(1.7.5)からわかる通り，

T=ξ R x (1.7.6) となる．そして，多くの参考書では，この TR を座標変換マトリクスと定義している．したがって，「“座標変換マトリ

クス”といわれたら，それは基底マトリクスの転置（逆行列）である」，と思っておけばよい． 1.8. 正規直交基底の変分

正規直交基底マトリクス (3)SOÎR の変分については，次式を満たす三次元ベクトル 3d ÎΘ が存在する． d d=R ΘR (1.8.1)

ただし，上付きのハットは dΘ を軸性ベクトルとする反対称マトリクスを表す．つまり，ベクトルにハットのついたも

のは三行三列のマトリクスであり，任意の 31 2 3[ ]Tz z z= Îz ， 3Îx について，

3 2

1

2 1

0ˆ ˆ, 0 0

0

z zz

z z

-é ùê ú= ´ = -ê úê ú-ë û

zx z x z (1.8.2)

が成り立つ．また， dΘ はあるベクトルΘ の変分ではない．その意味で，Θ はいわゆる擬ベクトルである．つまり，

式(1.8.1)を満たすようなベクトルΘ は存在しない（これが三次元の回転の難しいところであろう）．なお，反対称マトリクスは線形代数で言うところの (3)so 族に属するので， (3)soÎA と書かれていたら，それは，

A が三次元の反対称マトリクスであることを意味する．また，一般に 3ÎZ に対して

ˆˆ =Rz ZR (1.8.3) を満たす 3Îz が存在し，次式を満たす．

=Z Rz (1.8.4) この関係を用いると，

,d d d d= =R R θ Θ R θ (1.8.5) を満たすベクトル dθ が存在することがわかる． Ex. 7 正規直交基底マトリクスの変分

式(1.8.1)を満たすdΘが存在することを証明しなさい． Ex. 8 回転マトリクスと反対称マトリクスとの関係

式(1.8.4)を証明しなさい． 1.9. 正規直交基底と曲率

例えば梁の軸に沿って正規直交基底ベクトル 3i Îe およびそれらから構成される正規直交基底マトリクス

(3)SOÎR が定義されている場合，これらのベクトルおよびマトリクスは梁の軸に沿ったパラメータ（x とする）の

関数となる．これを別の言い方ですれば， ie や R がある一次元の計算空間で定義され，その計算空間の座標

がx である，ということになる．このように， R がある計算空間で定義される場合，その計算空間の座標x に沿っ

た R の微分については，次式を満たす三次元ベクトル 3Îκ が存在する．

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ˆx¶

=¶R Rκ (1.9.1)

これは，式(1.8.5)を証明できていれば，同様の方法で証明できる．ここで，κ はx に沿った曲率ベクトルと呼ば

れる．さて，いま， 3e を x に沿った単位接線ベクトルとし， 1e および 2e を法線ベクトルとする．このとき，

1 2 3[ ]Tk k k=κ とおけば， 1k および 2k はそれぞれ 1e 軸および 2e 軸まわりの曲率を， 3k は 3e 軸まわりのねじ

り率を表すことになる．ということは， κ は座標系 R で定義された成分ベクトルということになる．そして，これを絶対座標系で見たベク

トルを Κ とすれば， ˆ,

x¶

= =¶RΚ Rκ KR (1.9.2)

が成り立つことがわかる．ちなみに，一般に ˆRξ という表現がでてきたら， ξ は物体座標系で見た成分ベクトルで， ξR という表現がでて

きたら， ξ は絶対座標系で見た成分ベクトルだ，と思っておけば間違いは少なくなるだろう．それから，式(1.9.1)は動力学問題における正規直交基底マトリクスと角速度との関係と同じ形をしている．つ

まり，x を時間 t に， κ を角速度ベクトルωに置き換えれば，式(1.9.1)はそのまま成り立つ．言い換えれば，「角

速度というものは，物体の運動に沿った曲率のようなものだ」，ということになるだろう．実際，剛体の三次元回転

運動の方程式とエラスティカの平衡方程式は互いに非常によく似た形式となっている． 1.10. 正規直交基底マトリクスの意味

これまでの議論から明らかな通り， i i=e Ri (1.10.1)

であるが，これは，「座標軸 ii を R で回転したら座標軸 ie になった」と読むこともできる．つまり，これまでは幾何

ベクトルは一定で，それを絶対座標系で見たら成分ベクトルがどうなるか，物体座標系で見たら成分ベクトルは

どうなるか，ということを考えたが，ここでは，「幾何ベクトル ii

が R によって ie

に変換された」と読もう，ということで

ある．実際， R は回転マトリクスであるから，同じ座標系におけるベクトルの回転を表すわけで，このような読み方

は極めて自然（むしろ，こう見る方が自然）なことであろう．また，正規直交基底マトリクスは，その定義から，“姿勢”を表すと解釈することもできる．

1.11. 正規直交基底マトリクスの数式表現

R は ie を並べた回転マトリクスであるが，では実際，どういう数式で書けばよいだろうか？たとえば， 11 12 13

21 22 23

31 32 33

e e ee e ee e e


R

とでもして，9 つのパラメータ ije で表現すればよいだろうか？答えは当然，“No”である．なぜなら， R は直交条件(1.6.3)を満たしていなければならず，これを詳しく書く

と， 1 2 3 1 2 2 3 3 11 , 1, 1 , 0, 0, 0= = = × = × = × =e e e e e e e e e (1.11.1)

という 6 つの条件に直すことができる．したがって，9 つのパラメータに 6 つの拘束条件が付随することになり，結

果として，独立なパラメータは 3 つだけ，ということになる．したがって， R は何らかの互いに独立な 3 つのパラメ

ータで表現することが最も望ましい．そこで，従来，Euler angle や Rodriguez parameter，Modified Rodriguez parameter などが提案されてきた．また，パラメータ数は 4 つで，1 つの拘束条件が付加されてしま

うが，他のパラメータよりも計算効率がよく，三角関数を使用せずに済むという点で低級な MPU でのオンボード

処理に適した，Euler parameter も提案されてきた．柔軟構造物の場合， R は変形前の状態と変形後の状態とでは大きく異なる．これは，弾性体が大きな回転を

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生じることによる．学部の材料力学で習った範囲では回転は微小として考えたが，この講義では回転が大きい場

合（有限回転と呼ばれる）を対象とする．そこで，以下に，この有限回転を表すパラメータの例をいくつか示す．

1.11.1. 一軸回転による回転マトリクスの表現

1.10 節でも述べた通り， R はベクトルの回転を表すマトリクスである．回転に関しては，非常に重要な定理が

ある．すなわち，

任意の回転は，ある一つの軸まわりの回転で表現できる．つまり，Euler angle のように座標軸回りの 3 つの回転で座標軸の回転を表そうというものもあるが，それらは全

てある一軸回りの回転でも表現できる，ということである．したがって， R を，「任意のベクトル x を単位ベクトルがn である軸まわりに角度q だけ回転させるマトリクス」と

定義することができる．そして，実際に回転させた後のベクトルを y とすれば， =y Rx (1.11.2)

となる．逆に言えば， y を n とq と x の式で表せば， R が導き出されることになる（ちなみに， R が x に依存しな

い，すなわち， y と x は線形関係にあることは言うまでもない）．

O

x

y

P

Q

C

n

q

Fig. 1.11-1 ベクトルの回転

実際，Fig. 1.11-1 を参考に， y と x との関係を求めてみると，

2ˆ ˆsin (1 cos )q qé ù= + + -ë ûy I n n x (1.11.3)

となるので， R が 2ˆ ˆsin (1 cos )q q= + + -R I n n (1.11.4)

と導かれる．ここで， R の変分を考えてみると，

, sin (1 cos )d d d dq d q q d= = + + - ´R R θ θ n n n n (1.11.5) となることがわかる．また，この式から，ある軸x 方向に沿った曲率は

sin (1 cos )q q q¢ ¢ ¢= + + - ´κ n n n n (1.11.6) となることがわかる．ただし，ダッシュはx による微分を表す． Ex. 9 回転マトリクスの記述

式(1.11.3)を証明しなさい． Ex. 10 回転マトリクスの変分

式(1.11.5)を証明しなさい． 1.11.2. Rodriguez parameter

Rodriguez parameter，あるいは，Rodriguez vector と呼ばれるベクトル 3Îφ は， qºφ n (1.11.7)

で定義される．この場合，式(1.11.4)より， R は

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―10―

22

sin 1 cosˆ ˆ-= + +

φ φR I φ φ

φ φ (1.11.8)

と表される．この場合，φの 3 つの成分は独立なパラメータとして取り扱うことができる．式(1.11.8)にあるように，

分母にφが現れるので， =φ 0 の場合には特別な処理が必要であることが予想されるが，実際の計算では， 2 2

12 21ˆ îf 10 then 16 2 24

-æ ö æ öç ÷ ç ÷< = + - + +ç ÷ ç ÷è ø è ø

φ φφ R I φ φ (1.11.9)

とでもしておけば十分である．

ここで， R の変分について考えてみよう．

31 1, ( )d

dq d d d×

= = - ×φ φ n φ φ φ φφ φ φ

(1.11.10)

であるので，これを式(1.11.5)に代入すると，次式を得る．

2 3

sin 1 cos sinˆ, ,d d d d- -

= = = - + Äφ φ φ φ

R R θ θ A φ A φ φ φφ φ φ

(1.11.11)

この式から，ある軸x 方向に沿った曲率は ¢=κ Aφ (1.11.12)

となることがわかる． ®φ 0 ，すなわち微小回転の場合には ®A I となり，d d=θ φ となって， =θ φ，すなわち，

θ は擬ベクトルではなくなり，また， ¢=κ φ であるので，FEM の場合， φをx 補間しておいて，それをx で微分

するだけで曲率を求めることができるが， ®φ 0 ではない場合，すなわち有限回転の場合には，上記の通り，

dθ もκ も A という複雑なマトリクスを用いなければ記述できず，これが数値計算を複雑にすることとなる．

なお，文献によっては「Rodriguez parameter には特異性があるので．．．」といった表現を用いているもの

があるかもしれないが，おそらくこれは R の分母に分母に φ が出てきて， =φ 0 のときに分母が 0 となってしまう

ことを指しているものと思われる．しかし，Euler angle の特異性とは異なり，Rodriguez parameter の場合には

式(1.11.9)のような処理をしておけば問題なく計算はできるので，実質的には何ら不都合なことはない． Ex. 11 Rodriguez parameter の変分

式(1.11.10)を証明しなさい． Ex. 12 Rodriguez parameter による回転マトリクスの変分

式(1.11.11)を証明しなさい． 1.11.3. Modified Rodriguez parameter (1)

Rodriguez parameter の場合，分母に φ が出てきてあまり気持ちがよくないかもしれない（実際の計算上は

何の問題も発生しないのであるが）．そこで，Rodriguez parameter を修正したものがいくつか提案されている．

その一つに，

1 2 tan2q

ºβ n (1.11.13)

で定義される Modified Rodriguez parameter がある．この場合，式(1.11.4)より， 2

1 12 21 1

4 2ˆ ˆ4 4

= + ++ +

R I β ββ β

(1.11.14)

となる．この場合には分母が 0 になることはない．ただし，q p= のときに 1β は無限大となるので，q p< となるよう

な変形の場合に限定して用いることが望ましい（と言うよりは，そうでなければ使ってはいけない）．ちなみに，この場合には， R の変分は，式(1.11.5)に

1 11 1 1 12 3

1 11 1

4 1 1, ( )4

ddq d d d

×= = - ×

+

β β n β β β ββ ββ β

(1.11.15)

を代入することにより求められ，擬ベクトル dθ は

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―11―

1 1 1 121

4 1 ˆ,24

d d é ù= = -ê úë û+θ A β A I β

β (1.11.16)

となる．この場合も Rodriguez parameter の場合と同様， 1 ®β 0 で 1 ®A I となる．曲率も，Rodriguez parameter の場合と同様， 1 1¢=κ A β となる．

Ex. 13 Modified Rodriguez parameter(1)による回転マトリクス

式(1.11.14)を証明しなさい． Ex. 14 Modified Rodriguez parameter(1)の変分

式(1.11.15)を証明しなさい． Ex. 15 Modified Rodriguez parameter(1)による回転マトリクスの変分

式(1.11.16)を証明しなさい． 1.11.4. Modified Rodriguez parameter (2)

前節の Modified Rodriguez parameter の場合，q p= のときに 1β が無限大になるという問題点があった．

そこで，

2 4 tan4q

=β n (1.11.17)

と定義された Modified Rodriguez parameter が提案されている．この場合， 2q p= でやはり 2β が無限大にな

るが，q p= 付近まで達した時点で 2q p q® - ， ® -n n とすればよく，これは

2 222

16® -β ββ

(1.11.18)

とすることに対応する．この変換を行なえば， 2q p= での特異性は回避できる．ただし， 2β を節点間で多項式

補間する場合には，この変換により補間が不自然なものになってしまうので注意を要する（ 2β ではなく R を補間

するのであれば，不自然な補間は起らない．ただし， R の正規直交性が失われるなど，別の問題は発生する）．さて，この場合には R は

222

2 22 2 2 22 2

16(16 ) 128ˆ ˆ(16 ) (16 )

-= + ++ +

βR I β ββ β

(1.11.19)

となる．また，変分および曲率は次のようになる． 2 2

2 2 2 22 32 22 2

22

2 2 2 2 2 22 2 22 2 22 2 2

2 2

16 1 1, ( )16

16(16 ) 128 32ˆ,(16 ) (16 ) (16 )

ddq d d d

d d

×= = - ×

+

-= = - + Ä

+ + +

¢=

β β n β β β ββ ββ β

βθ A β A I β β β

β β βκ A β

(1.11.20)

Ex. 16 Modified Rodriguez parameter(2)による回転マトリクス

式(1.11.19)を証明しなさい． Ex. 17 Modified Rodriguez parameter(2)による回転マトリクスの変分

式(1.11.20)を証明しなさい． 1.11.5. Euler parameter

Rodriguez parameter は分母が 0 になる場合があり，三角関数の計算を必要とする．Modified Rodriguez parameter では，得られる式がやや複雑なものとなるし，値が無限大になる場合がある．これらは，計算を高速

に，かつ，非常に大きな有限回転をする系においては短所となる．そこで，制御問題では式が非常に簡単にな

る Euler parameter（Quaternion，四元数）を用いることが多い． Euler parameter 4Îq は四次元ベクトルで，次式で定義される．

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cos2

sin2

oqq

q

é ùê úé ù

º = ê úê úê úë ûê úë û

qq n

(1.11.21)

この式から分かる通り， qの四つの成分は独立ではなく，次の拘束条件を満たす． 2 2 1oq + =q (1.11.22)

これはどういうことかというと， qを未知数として平衡方程式を立てた場合，式(1.11.22)を拘束条件として組み込

む必要がある，ということである． Euler parameter を用いると， R は次のように書ける．

2ˆ ˆ2 2oq= + +R I q q (1.11.23) そして，変分や曲率は次のようになる．

32 1,

2 2 2 22

o oo

o o

q qq

q q

ddq d d d

d d d d d

= - = +

= - + ´ =¢=

n q qq q q

θ q q q q G qκ Gq

(1.11.24)

ただし，G は次式で定義される三行四列のマトリクスである． 1 3 2

2 3 1

3 2 1

ô

o o

o

q q q qq q q q q

q q q q

- -é ùê úº - - = - -é ùë û ê úê ú- -ë û

G q I q (1.11.25)

このG については次の性質がある． 2 2ˆ ˆ

ˆ

TT

o oo

q qqé ù-

= - - = Ä + - =é ù ê úë û +ë û

qGG q I q q q I q II q

(1.11.26)

また， ôqº - +é ùë ûH q I q (1.11.27)

と定義される三行四列のマトリクス H を用いると， T=R HG (1.11.28)

となる． Ex. 18 Euler parameter による回転マトリクス

式(1.11.23)を証明しなさい． Ex. 19 Euler parameter による回転マトリクスの変分

式(1.11.24)を証明しなさい． Ex. 20 Euler parameter に関連したマトリクス

式(1.11.26)を証明しなさい． Ex. 21 Euler parameter による回転マトリクス(2)

式(1.11.28)を証明しなさい． 1.12. 複数の回転と正規直交基底マトリクス

例えば，正規直交基底マトリクス oR が，回転マトリクス pR により回転され， R になったとすると， p o o por= =R R R R R R (1.12.1)

となる．この二つの違いは何であろうか？まず，基底マトリクスの定義から，

oi o i=e R i (1.12.2)

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ここで，この oie が pR により回転されて ie になったとすると， i p oi p o i= =e R e R R i (1.12.3)

となり， p o=R R R を得る．これに対し， pR という回転が，座標系 oR

内で考えたものであったとしたらどうであろうか？つまり，座標系 R

は， oR

で見ると pR と見える，すなわち， o pR R= R

であったとしたら， o p I o pR R R= =R R R

(1.12.4)

となって， o p=R R R を得る．つまり， pR という回転を， IR

でみたときの回転とみるか， oR

でみたときの基底マトリ

クスとみるかで式が異なることになる．通常，回転と言えば前者を思い浮かべると思うが，例えば物体に取り付け

られた座標系の中で，物体がどう回転するかを見たい場合には後者となる．つまり，どこから見るかでものごとは

違って見えるわけである． 1.13. Euler parameter の加算

例えば，Euler parameter oq で表される姿勢に，Euler parameterが Dq で表される回転が加わることにより，

Euler parameter が qで表される姿勢になったとする．つまり，

( ) ( ) ( ) , ,oo oqq q

withé ù Dé ù é ù

= D = = D =ê úê ú ê úDë û ë ûê úë ûR q R q R q q q q

q q q (1.13.1)

このとき，次式の関係が成り立つ． o oo

o o

q qqq q

D - ×Dé ùé ù= = ê úê ú D + D + ´Dë û ê úë û

q qq

q q q q q (1.13.2)

Ex. 22 Euler parameter の加算

式(1.13.2)を証明しなさい． 1.14. 基底ベクトルと基底マトリクス

これまで，基底ベクトルや基底マトリクスという概念を導入して座標系について説明をしてきた．では，そもそも，

基底ベクトルや基底マトリクスというものは何なのであろうか？ある座標系Q

があり，座標を 1 2 3( , , )x x x とする．このとき，任意の点の幾何ベクトルを x と書くと，点の位置は

座標 1 2 3( , , )x x x の値によって変化するので， x は座標 ix の関数となる．具体的には， 1 2 3, , ( , , )i i i i

i ix x i x x x x x x= = =x i (1.14.1)

そこで，次式で定義されるベクトル ig を座標系Q

の基底ベクトルと呼ぶ．

i ixgx¶=¶

(1.14.2)

言うまでもなく， ig は ix 軸に沿った接線ベクトルである．また，一般に， ig は正規直交基底を成すとは限らない．また， ig を IR

で見たときの成分ベクトルを ig とすれば，

,j

i I i i jixg Rx¶= =¶

g g i (1.14.3)

と書ける．この三つの基底ベクトル ig を三列に並べた三行三列のマトリクス（ Q と書くことにする）を（絶対座標系

で見た）基底マトリクスと呼ぶ． [ ]1 2 3=Q g g g (1.14.4)

もし， ig が 1 2 3( , , )x x x に依存しない場合には，任意の幾何ベクトル x および成分ベクトル x （ただし， Ix R= x

）

は基底ベクトルを用いて ,i i

i ix gx x= =x g (1.14.5) という形に書ける．つまり， x を Q

で見たときの座標が 1 2 3( , , )x x x ，というイメージであり，この意味で， ig や ig を

基底ベクトルと呼ぶわけである．今，

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1 2 3[ , , ]Tx x x=ξ (1.14.6) と定義すると，式(1.14.5)は

=x Qξ (1.14.7) となる．これが，正規直交基底の場合の式(1.7.5)に対応していることは言うまでもない．また，

i i=g Qi (1.14.8) であるが，これは， IR

で ig と見えていたベクトルがQ

では ii と見えることを意味している．ただし，ここまでの議論

は Q が ξ に依存しない場合であって，依存する場合には式(1.14.5)や(1.14.7)は成立しない．最後に，正規直交座標系の場合と同様，座標系 Q

は

1 2 3 , IQ g g g Q R= = Q (1.14.9)

と表現できることがわかる． 1.15. 曲線座標系と基底ベクトル

1.14 で導入した Q

という座標系は任意の曲線座標系を意味し，基底ベクトル ig は座標軸方向の接線ベクト

ルを意味していた．実は，この基底ベクトルは一般に共変基底ベクトルと呼ばれる．さて，ある幾何ベクトル a が

Ia R Q= =a b (1.15.1)

と表現できたとしよう．このとき， IQ R= Q

より， = ×a Q b (1.15.2)

と書けることになるので， 1-=b Q a (1.15.3)

を得る（ Q は直交マトリクスではないので， TQ ではなく 1-Q と表記されていることに注意）．では， 1-Q とはどんな

マトリクスであろうか？ 1 1 2 3 T- é ù= ë ûQ g g g (1.15.4)

と書くと（右辺に転置記号T が付いているのに注意）， 1- =Q Q I より i i

j jd× =g g (1.15.5) を得る．このように， ig は基底マトリクスの逆行列に関係したベクトルで，共変基底ベクトルと直交関係にある．

ig は一般に反変基底ベクトルと呼ばれる． ig は式(1.15.4)のようにQ の逆行列を求めることでも得られるが，次のように表すこともできる．

2 3 2 32 3

1 2 3( , , ) (1, 2,3), (2,3,1), (3,1, 2)

( ) deti i i ii for i i i´ ´

= = =´ ×

g g g gg

g g g Q (1.15.6)

反変基底ベクトルの使い方としては，例えば，式(1.15.2)において 1 2 3 Tb b bé ù= ë ûb とすれば，

iib=a g (1.15.7)

となるので，式(1.15.5)の関係を用いると， i ib = ×a g (1.15.8)

を得る．このように，反変基底ベクトルはベクトルの成分 ib を求めるのに非常に便利なベクトルであることがわか

る．共変基底ベクトルと反変基底ベクトルには重要な関係がある．すなわち，

,i ii iÄ = Ä =g g I g g I (1.15.9)

最後に， Q

が正規直交系の場合， 1- =Q Q となるので， i

i=g g ，すなわち，反変基底ベクトルと共変ベクトル

は一致する． ,i i

i i= =i i e e (1.15.10)

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なお，特に断りなく，添え字を上付きにしたり下付きにしたりしたが，一般に，共変基底ベクトルの添え字は下

付き，反変基底ベクトルは上付きにするのが慣習となっている．また，ある成分ベクトルを式(1.15.7)のように共

変基底ベクトルと座標成分との積で表した場合，その座標成分は反変成分と呼ばれ， ib というように添え字を上

付きにする．これに対し， i

ib=a g (1.15.11) というように，反変基底ベクトルと座標成分との積で表した場合，その座標成分は共変成分と呼ばれ， ib というよ

うに添え字を下付きにする．また，通常，和を取る場合，式(1.15.11)の右辺のように共変量と反変量の積の形に

なる． Ex. 23 共変基底ベクトルと反変基底ベクトルとの関係

共変基底ベクトル ig と反変基底ベクトルig との関係を図で示しなさい．

Ex. 24 共変基底ベクトルと反変基底ベクトルとの関係(2)

式(1.15.9)を証明しなさい． 1.16. 基底ベクトルの成分と変換則

基底ベクトル ig や ig の成分はどう書くことができるであろうか？式(1.14.1)，(1.14.2)，(1.14.3)より，

,j j

i j i ji i ix x xg ix x x¶ ¶ ¶= = =¶ ¶ ¶

g i (1.16.1)

を得る．つまり， 1

2

3

i

i i

i

x

x

x

x

x

x

é ù¶ê ú¶ê úê ú¶ê ú=¶ê úê ú¶ê úê ú¶ë û

g (1.16.2)

また，式(1.15.5)と，恒等式 k i

ijj k

xxx d

x¶ ¶ =¶ ¶

(1.16.3)

を考え合わせると， i

i jjx

x¶=¶

g i (1.16.4)

を得る．

1

2

3

i

i ii j

j

i

x

x x

x

x

x x

x

é ù¶ê ú¶ê ú

ê ú¶ ¶= = ê ú¶ ¶ê ú

ê ú¶ê ú¶ê úë û

g i (1.16.5)

次に，基底マトリクスについては，式(1.14.3)より，

[ ]i

ij jxx¶=¶

Q (1.16.6)

となる． Ex. 25 共変成分の変換則

式 (1.14.3)は IR

で ig と見え， Q

では ii に見えるベクトルについて， ii から ig への変換則を示している．では，

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i ji jb a= =a g i が成り立つ場合に， ia から ib への変換則を示しなさい．

Ex. 26 反変成分の変換則

i ji jb a= =a g i が成り立つ場合に， ia から ib への変換則を示しなさい．

1.17. 反変座標

座標系 Q

は共変基底ベクトル ig を座標軸方向の接線ベクトルとして構成されていた．では，反変基底ベクト

ルで座標系を構成したらどうなるであろうか？そのような座標系を *Q

，座標軸を ix とすれば，

i

ix¶=¶

xg (1.17.1)

であり， *Q

の成分マトリクスは * * * 1 2 3, [ ]IQ R= =Q Q g g g

(1.17.2) となる．このような座標系を反変座標系と呼ぶ． 1.18. テンソル

「テンソル（tensor）とは何か？」という問いに対する答えは巷の参考書（例えば[1.1]，[1.2]）に譲るとして，ベ

クトルを一階のテンソルとし， n 階のテンソルを m 階のテンソルに線形写像するのが ( )m n+ 階のテンソル，と考

えればよいだろう．つまり，例えば，ベクトルをベクトルに写像するのが二階のテンソル，ベクトルを二階のテンソ

ルに写像するのが三階のテンソル，二階のテンソルを二階のテンソルに写像するのが四階のテンソルということ

になる．そこで，最も基本的なテンソルとして，二階のテンソルについて考えてみよう．この場合，ベクトルからベクトル

への線形写像になるので，例えば，テンソル A によってベクトル Ix R= x

と Iy R= y

が = ×x A y (1.18.1)

と変換される．当然のことながら， A はマトリクスとなる．そして，これが線形変換になることから， = Ä + Ä +A a b c d (1.18.2)

という形に書けることがわかる．ここで， a や b を共変基底ベクトルで分解するのか反変基底ベクトルで分解する

のかで， A の表示形式が変わってくる．つまり， , ,i j i j

i j i ja a b b= = = =a g g b g g (1.18.3) などとおくと， A は

, , ,ij i j j i i ji j j i i j ijA A A A= Ä = Ä = Ä = ÄA g g A g g A g g A g g (1.18.4)

という形に記述できることがわかる． ijA ， ijA ， j

iA ， ijA はそれぞれテンソル A の反変成分，混合成分，混合成

分，共変成分と呼ぶ．なぜそう呼ぶかについては，式(1.18.1)の変換を幾何ベクトルから幾何ベクトルへの変換

とみるとわかりやすい．つまり， , Ix A y A R= × = A

(1.18.5) と書いてみる．そして，これがQ

では

A Q= Λ

(1.18.6) と見えたとする．このとき，共変基底ベクトルは ii ，反変基底ベクトルは ii となるわけであるから， Q

での表現は

, , ,ij i i j j i ji j j j i i ij= L Ä = L Ä = L Ä = L ÄΛ i i Λ i i Λ i i Λ i i (1.18.7)

となる．ここで ijL から ijA への変換を考えれば ijA が反変成分と呼ばれる所以がわかるし，同様にして他のもの

が共変成分や混合成分と呼ばれることもわかるだろう．

ここでは二階のテンソルを例にとったが，高階のテンソルの変換則も同様の方法で定義できるし，その際，共

変成分や反変成分といった概念が出てくる．このあたりの説明については巷の専門書に譲り，このテキストでは

構造解析に必要な部分だけ取り上げることとする．

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Ex. 27 テンソルの変換則

ijL からijA への変換則， ijL から ijA への変換則をそれぞれ示しなさい．

1.19. 計量テンソル

いま，微小線素 iidx g dx=

について考えると，その成分ベクトルは

1

2

3

, ,I

d

d d dx R d d d

d

x

x

x

é ùê ú

= = º ê úê úê úë û

x Q ξ x ξ (1.19.1)

と書ける．この微小線素の長さの二乗は d d d d× = × ×x x ξ Γ ξ (1.19.2)

ただし， T= ×Γ Q Q (1.19.3)

となる．一般に，微小線素の二乗が d d d d× = × ×x x y A y (1.19.4)

というように微小座標増分 dy の二次形式で書けるとき，マトリクス A を計量テンソルと呼ぶ．式(1.19.3)において，

Γ の i 行 j 列成分は [ ]ij i j ijg= × ºΓ g g (1.19.5)

と表される． ijg は計量テンソルの共変成分と呼ばれる．これは， ijg が共変性を持つからである．一方，反変座標系では，

1* * *

2

3

,d

d d d dd

xxx

é ùê ú= º ê úê úë û

x Γ ξ ξ (1.19.6)

となるので， * * * * * * *, , [ ]T ij i j ijd d d d g× = × × = = × ºx x ξ Γ ξ Γ Q Q Γ g g (1.19.7)

そこで， ijg は計量テンソルの反変成分と呼ばれる．簡単な計算でわかる通り，

* , [ ][ ]mnijg g× = =Γ Γ I I (1.19.8)

が成り立つ．計量テンソル成分を用いると，次の関係式を導くことができる．

,i ij jj i ijg g= =g g g g (1.19.9)

,ij i ji j ijg gÄ = Ä =g g I g g I (1.19.10)

Ex. 28 計量テンソルの変換則

[ ]ijΓ の変換則を示しなさい．また，*[ ]ijΓ の変換則を示しなさい．

Ex. 29 計量テンソルの共変成分と反変成分との関係

式．(1.19.8)を証明しなさい． Ex. 30 共変基底ベクトルと反変基底ベクトルとの関係

式(1.19.9)を証明しなさい． 1.20. 微小平行六面体

座標系 Q

において，ある点 P 1 2 2( , , )x x x における微小部分，すなわち， 1dx ， 2dx ， 3dx でつくられた平行六

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面体の体積を求めてみよう． idx の部分は IR

ではベクトル i

idxg に対応するので， 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3( ) [( ) ]dv d d d d d dx x x x x x= ´ × = ´ ×g g g g g g (1.20.1) となる．つまり，

1 2 3detdv d d dx x x= Q (1.20.2) となる．これは多重積分の際の変数変換を思い起こせば理解できるだろう．

なお，平行六面体の 2 3i ix x- 平面の法線方向は 2 32 3

i ii id dx x´g g で求められるが，

2 3 2 32 3

(det )i i i i ii id d d dx x x x´ =g g Q g (1.20.3)

であるから（式(1.15.6)参照），面積を ids ，単位法線を in とすれば， 2 3(det )i i i i

ids d dx x=n Q g (1.20.4)

* * 1ii i

i i i i ii ids ds ds with ds ds= º ºgn g

g g (1.20.5)

この導出過程で明らかな通り， ig は 2 3i ix x- 平面の法線方向を向いたベクトルである． 1.21. 微小三角錐

物体内のある点を頂点とし，各座標軸方向を 3 本の斜辺とし，各斜辺が 1dx ， 2dx ， 3dx の幅に対応した三角

錐を考えてみよう．底面の外向単位法線をn ，この面の面積の 2 倍を ds ， 2 3i id dx x- 面の三角形の面積の 2倍

を ids とすると， 2 3

2 3

2 1 3 12 1 3 1, ( ) ( )i i i

i i ids d d ds d d d dx x x x x x= ´ = - ´ -n g g n g g g g (1.21.1) であるから，

*i ii ids ds ds= =n n g (1.21.2)

を得る．ただし， *ids は(1.20.5)で定義される．

1.22. 微分演算子と座標系

式(1.14.5)からもわかる通り， , ( )i i i i j

i jd d d d dxx x= = × = ×x g g x g i (1.22.1) となる．したがって，式(1.16.1)や(1.16.4)と考え合わせると，

( ) , ( )j ji ii j i jx xx x

¶ ¶ ¶ ¶= × = ×¶ ¶ ¶ ¶

g i g i (1.22.2)

を得る．この結果を用いて，通常， IR

の座標 1 2 3( , , )x x x で定義されるいくつかの微分演算子を Q

の座標1 2 3( , , )x x x で表現してみよる．まず，nabla 演算子は次式のように定義される．

iix¶

Ñ º¶

i (1.22.3)

これに式(1.22.2)を適用すると，

( )j ji ij jx x

¶ ¶Ñ º × = ×¶ ¶

g i i g (1.22.4)

を得る．ベクトルの微分に関しては， iia=a i として，

grad or gradi i

j ji ij j

a ax x¶ ¶

º Ä º Ä¶ ¶

a i i a i i (1.22.5)

であるから， grad or grad= ÄÑ = ÑÄa a a a (1.22.6)

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と書ける．この表記を用いれば，どんな座標系でも grada を表現できる．ただし， iia=a g の場合，

grad and gradi i

j ji ij j

a ax x¶ ¶¹ Ä ¹ Ä¶ ¶

a g g a g g (1.22.7)

である．実際，

:

i ij j i ji i

ij j j j

ik i j i j

i kj i j ij

a aa

x x x x

aa a

x

é ù é ù¶ ¶ ¶ ¶ÄÑ = Ä = Ä = + Äê ú ê ú

¶ ¶ ¶ ¶ë û ë ûé ù¶

= + G Ä º Äê ú¶ë û

a g ga g g g g

g g g g g (1.22.8)

となる．ただし， : j はいわゆる共変微分であり， ikjG は次式で定義される Kristoffel 記号である．

2ji i i i ik

kj jkj k j kx x x x¶¶ ¶G = × = × = × = G

¶ ¶ ¶ ¶

gg xg g g (1.22.9)

次に，ベクトル a および二階のテンソル A の divergence については， iji jA= ÄA i i として，

div , div or divi ij ij

i ji j ia A Ax x x¶ ¶ ¶º º º¶ ¶ ¶

a A i A i (1.22.10)

であるから， div , div , or div=Ñ × = ×Ñ = Ñ×a a A A A A (1.22.11)

と書ける． Ex. 31 微分と座標系

式(1.22.2)，(1.22.6)，(1.22.11)を証明しなさい． 1.23. Gauss の定理

平衡方程式に基づいた仮想仕事の原理から応力・歪に基づいた仮想仕事の原理，ひいては歪エネルギ停

留の原理を導く際には Gauss の定理が必要となる．そこで，Gauss の定理について確認してみよう．ある三次元領域V とその境界面 S に関する任意の関数 f に関する Gauss の定理（Green の定理）は

( )iiV S

f dV fdSx¶

= ×¶ò ò i n (1.23.1)

ただし， n は S の外向単位法線ベクトルである．これより，任意のベクトル a に対して，

V SdV dSÑ× = ×ò òa n a (1.23.2)

また，任意の二階のテンソル A に対して， ,T

V S V SdV dS dV dSÑ× = × ×Ñ = ×ò ò ò òA A n A A n (1.23.3)

Ex. 32 Gauss の定理

式(1.23.1)，(1.23.2)，(1.23.3)を証明しなさい． 1.24. ストレッチテンソル

テンソル A が，正規直交基底ベクトル ie と正数 il を用いて i

i il= ÄA e e (1.24.1) という形に書ける場合， A をストレッチテンソル（stretch tensor）と呼ぶ（ ie が正規直交系を成すので， i

i =e eである）．実際，この A により， ie は

i i il× =A e e (1.24.2) というように il 倍に伸ばされる（ストレッチされる）．つまり， il はベクトルの伸び率を意味する．また，この例からわ

かる通り， ie は A の固有ベクトルであり， il は固有値となっている．いま， ie を基底ベクトルとする正規直交基底

マトリクスを VR とすれば，

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―20―

1

2

3

0 00 00 0

TV V

ll

l


A R R (1.24.3)

と書け， 1 2 3det l l l=A (1.24.4)

となる．ここまで読めばわかる通り，ストレッチテンソルとは，要するに正値対称テンソルのことである． 1.25. Gauss 積分

後述する通り，FEM では仮想仕事の原理を積分形（いわゆる弱形式）で書く．したがって，それを解くには積

分を実行しなければならないわけであるが，一般にその積分の厳密解を出すことは容易ではない．そこで様々

な手法で近似計算を行なう．この近似積分には Gauss 積分がよく用いられる． Gauss 積分の基本形は，次のように-1から 1までの一次元の積分を代表点（積分点）での関数の値の重み付

きの和で近似する，というものである． 1

11

( ) ( )n

i ii

f x dx f x w-

=»åò (1.25.1)

ここで，積分点 ix および重み iw は積分点の総数 n によって当然変わるわけであるが，Gauss 積分では， ix はn次の Legendre 関数

21( ) ( 1)2 !

nn

n n ndP x x

n dx= - (1.25.2)

が 0 となるときの x の値と定義する．そして，重み iw は

[ ]

2

21

2(1 )( 1) ( )

ii

n i

xwn P x+

-=+

(1.25.3)

と定義する． n 点の Gauss 積分を用いると (2 1)n - 次以下の多項式については厳密な値を与えることが証明で

きる．例えば二点の Gauss 積分であれば三次式までは厳密な積分を行なうことができるのである．我々が必要とする積分は三重積分であるが，それについては三方向それぞれについて Gauss 積分を適用

することを考えればよい．すなわち，積分点を ( , , )i j kx x x にして，重みを i j kw w w にすればよい．また，積分範囲

が-1～1 ではなく a ～ b になる場合にも， 1

1( )

2 2 2b

a

b a b a b af y dy f x dx-

- + -æ ö= +ç ÷è øò ò (1.25.4)

と変数変換することで-1～1 にすることができるので，これに Gauss 積分を適用すればよい． Ex. 33 Gauss 積分

1 点～4 点の Gauss 積分について，積分点 ix と重み iw をそれぞれ求めなさい． 1.26. Newton 法

柔軟構造物の変形の幾何学的非線形性を考慮した場合，解くべき方程式は非線形となる．系の未知数ベクト

ルを z とし， z の次元，すなわち，自由度総数を Dofmax とすると，当然，解くべき方程式も Dofmax 個となる．そ

こで，それらの方程式をベクトルとして ( ) =F z 0 (1.26.1)

と書くことにする．ただし， DofmaxÎF である．この方程式を解くには，通常，Newton 法が用いられる． Newton 法は， z のある候補に対して ( ) ¹F z 0 だった場合に，式(1.26.1)の解 solz が

sol = + Dz z z (1.26.2) と与えられるとして，Dz を近似的に求めようとする解法のひとつであり，一次の Taylor 展開を用いて Dz を近似

的に求めるのが Newton 法のミソである．すなわち，

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―21―

( ) ( ) ¶= + D » + ×D

¶F0 F z z F z zz

(1.26.3)

より， 1 ( ) with- ¶

D » - º¶Fz J F z Jz

(1.26.4)

とするのである．そして， ¬ + Dz z z として，再び ( )F z を計算し，これが 0 になっていなければ再度式(1.26.4)によりDz を出して z の値を更新する，という作業を繰り返すわけである．式(1.26.4)の J は Jacobian と呼ばれる．

式(1.26.3)からもわかる通り，Newton 法は一次の Taylor 展開を用いているので z の値が解から離れている

とDz の誤差が大きくなり，反復計算が発散することもあるので注意する必要がある．それから，もし， F がなんらかのスカラー関数を z で偏微分したもの，すなわち，

¶P=¶

Fz

(1.26.5)

と書かれるものであった場合， J は対称マトリクスになることは明らかだろう． J が対称になるか否かは，計算時

間と大きく関係する．当然，対称である方が時間が短い．なお，構造解析の場合， J は接線剛性マトリクスと呼ばれる．

1.27. まとめ

この章では座標系とそれに関連したベクトルやテンソルの見方（見え方）について説明した．これは，弾性体

の変形を考える際，どの座標系で見ているのかをきちんと押さえていないと，理論で導かれる式の物理的意味を

理解することが困難となってしまうからである．テンソル解析というと，共変成分や反変成分から成るベクトルやテンソルを扱うのが一般的なのであるが，ここ

では基底ベクトルや基底マトリクスといったものの共変性や反変性について説明したため，若干，違和感を持っ

たかもしれない．また，ベクトルやテンソルの共変性，反変性については特に一般的な説明はせず，単に絶対

座標系と曲線座標系との間の変換則についてのみ見てきた．本来なら任意の曲線座標系間の変換則を論じる

べきなのであるが，「どの座標系も一旦，絶対座標系に戻して考えれば間違いがないはずだ」という考えの元，

全て絶対座標系との比較という観点から展開していった．絶対座標系と比較することで，かえって一般的なこと

が分かりにくくなるという問題もあるのだが，実際に構造解析をする上では絶対座標系と物体に埋め込まれた正

規直交座標系や曲線座標系との比較がほとんどであるので，構造解析をする上では問題ないだろう．最後に，もしテンソルについてより詳細に理解したい場合には，文献[1.3]を読んでみるとよいだろう．

《参考文献》 [1.1] 久田，“非線形有限要素法のためのテンソル解析の基礎”，丸善，1992． [1.2] 久田，野口，“非線形有限要素法の基礎と応用”，丸善，第一章，1995． [1.3] 湯川秀樹監修，内山龍雄訳編，“アインシュタイン選集 2 一般相対性理論および統一場理論”．

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第 2章変形の幾何学

―22―

第2章変形の幾何学

柔軟構造物の変形解析を行なうには，まず，変形を数式で記述する必要がある．そこで，この章で

はベクトル幾何を用いた変形の記述法について解説する． 2.1. 埋め込み座標系

変形を記述するには，変形前と変形後の物体形状を同じ“尺度”で測る必要がある．そこで，物体に座標を1 2 3( , , )x x x とする座標系 oQ

を埋め込むこととする．変形により座標系は移動・変形するので，変形後のこの埋め

込み座標系をQ

と表すことにする．ただし，この埋め込み座標系については，ある点 P が変形により移動したと

きでも，この座標は変化しない，つまり，変形中， Q

は常に物体内の点とともに移動する座標系となる．いま，変

形前の物体領域を 0B ，変形後を B ，変形前の物体内の任意の点の位置ベクトルを X Î 0B

，その点が変形によ

り移った点の位置ベクトルを xÎB

とし，次のように成分ベクトルを定義する． ( ) , ( )I IX R x R= =X ξ x ξ

(2.1.1) ただし， 1 2 3[ , , ]Tx x x=ξ である．また，変形を :j X x と捉えると，

( ) ( ( ))j=x ξ X ξ (2.1.2) が成り立つ．

O

1x

2x

3x

1i

2i3i

0B

IR

X

x

j

O

O

3x

2x1x

1g2g

3g

1G 1x

2x

3x

2G

3G

BQ

oQ

Fig. 2.1-1 変形と座標系

2.2. 共変基底ベクトルと反変基底ベクトル

変形前後の共変基底ベクトルをそれぞれ i I iG R= G

および i I ig R= g

と書くと，

,i ii ix x¶ ¶= =¶ ¶

X xG g (2.2.1)

つまり，当たり前のことではあるが，共変基底ベクトルは変形前と変形後のそれぞれで定義される．反変基底ベクトル i i

IG R= G

および i iIg R= g

も同様に， ,i i i i

j j j jd d× = × =G G g g (2.2.2) で定義される． 2.3. 変形勾配テンソル

変形勾配テンソル IF R= F

は次式で定義される．

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―23―

d d= ×x F X (2.3.1) つまり，変形前のある点とある点とを結ぶ微小線素 dX が変形後にどんな線素に移動・伸縮するかを与えるのが

F である． F は次のように表現できる． i

i= ÄF g G (2.3.2) 歪はその物理的意味からいって，当然， F の関数となる．

なお， dx から dX に引き戻す場合， 1d d-= ×X F x となるわけであるが，簡単な計算から 1 i

i- = ÄF G g (2.3.3)

であることがわかる． Ex. 34 変形勾配テンソル

式(2.3.2)を証明しなさい． Ex. 35 変形勾配テンソルの逆テンソル

式(2.3.3)を証明しなさい． 2.4. 面積要素と体積要素

応力を記述する際には微小面積要素やその法線ベクトルについて考える必要がある．そこで，微小面積要素

の記述および要素の変形について考えてみよう．変形前の二つの線素 AdX および BdX ではさまれた微小平行四辺形を考える．この面積を dS ，単位法線ベ

クトルを N とすると，次式が成り立つ． A Bd d dS´ =X X N (2.4.1)

これらの線素が変形によりそれぞれ Adx および Bdx になったとすると， ,A A B Bd d d d= × = ×x F X x F X (2.4.2)

となる．そして， Adx と Bdx ではさまれた微小平行四辺形の面積を ds ，単位法線ベクトルを n とすれば， A Bd d ds´ =x x n (2.4.3)

以上の式を用いると， (det ) Tds dS-= ×n F F N (2.4.4)

を得る（Ex. 3 参照）．これは Nanson の公式と呼ばれる．次に，微小体積の変化について考えてみよう．変形前のある三つの線素ではさまれた微小六面体の体積を

dV とし，それが変形により dv となったとすると， F の定義から明らかな通り， (det )dv dV= F (2.4.5)

となる（Ex. 3 参照）．つまり， det F は体積膨張率を表す． Ex. 36 Nanson の公式

式(2.4.4)を証明しなさい． Ex. 37 体積変化

式(2.4.5)を証明しなさい． 2.5. 基底マトリクスと変形勾配テンソルとの関係

変形前の基底マトリクス oQ と変形後のQ はそれぞれ次のように表現できる． [ ] [ ]1 2 3 1 2 3,i i

o i i= = Ä = = ÄQ G G G G i Q g g g g i (2.5.1) よって，

( ) ( )i j io i j i× = Ä × Ä = Ä =F Q g G G i g i Q (2.5.2)

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すなわち， 1

o-= ×F Q Q (2.5.3)

を得る．この関係は , ,od d d d d d= × = × = ×X Q ξ x Q ξ x F X (2.5.4)

という関係から導くこともできる．なお，微小線素についてはこのような関係が成り立つが， o¹X Q ξ ， ¹ ×x Q ξ ，

¹ ×x F X であることに注意． 2.6. 変形の正則性

物体は変形しても完全に潰れてしまうことはない．例えば，直方体の物体が潰れて平面になることは有り得な

い．また，変形しても大きさが無限大になることはない．これは式(2.4.5)からわかる通り，数学的には det 0 , det> < ¥F F (2.6.1)

と表現される．また，式(1.20.2)，すなわち， 1 2 3(det )dv d d dx x x= Q ， 1 2 3(det )odV d d dx x x= Q より， det 0 , det 0o> >Q Q (2.6.2)

とも表現できる．もちろん，式(2.5.3)から detdetdet o

= QFQ

(2.6.3)

であるので，この式と(2.6.2)からも式(2.6.1)は導かれる．柔軟 FEM においてはQ の正則性は非常に重要な問題となる．実際，柔軟構造物というものは，その名の通

り，非常に柔軟で変形しやすい構造物ということであるので，FEM に乗せると要素が潰れてしまいやすい． 2.7. 変形勾配の極分解定理

変形勾配テンソルの定義式 d d= ×x F X からわかる通り， F は物体の変形そのものを表すテンソルである．一

般に，変形は剛体回転と伸縮で表すことができる．これは，数学的には F の極分解定理に帰着される．極分解

定理とは，回転テンソル FR とストレッチテンソル U およびV ，すなわち， T TF F F F× = × =R R R R I を満たす FR と

T=U U を満たすU ， T=V V を満たすV を用いて， F が ,F F= × = ×F R U F V R (2.7.1)

と一意に書ける，というものである．つまり，任意の変形は「はじめにストレッチ U を加え，その後に剛体回転 R を

加える」ことでも実現できるし，「はじめに剛体回転 FR を加え，その後にストレッチV を加える」ことでも実現でき

るのである．なお，式(2.7.1)から明らかな通り，

det det det= =F U V (2.7.2) となる．また，ストレッチテンソルの固有値は変形前から変形後への伸び率を表す（1.24 節参照）ので，変形が

大きくなければ三つの固有値はどれも1に近い値となるはずである．したがって， det F も1に近い値になるはず

である． Ex. 38 変形とストレッチテンソル

変形していないとき， =V I となることを説明しなさい．

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第 3章応力

―25―

第3章応力

応力にも様々な種類があるのであるが，ここでは柔軟構造解析でよく用いられる 2 つの応力につい

て説明する． 3.1. Cauchy 応力

変形後の物体内のある点を頂点とし，各座標軸方向を 3 本の斜辺とし，各斜辺が 1dx ， 2dx ， 3dx の幅に対

応した三角錐を考えてみよう．底面の外向単位法線を n ，この面の面積の 2 倍を ds ，この面に作用する単位面

積当たりの力を nt とする．また，各斜面についても， 2 3i id dx x- 面の三角形の面積の 2 倍を ids ，この面に作用

する単位面積当たりの力を it とする． nt や it は変形後の微小面積を基準とした応力と言え，Cauchy 応力ベクトルと呼ばれる．

この微小三角錐の力の釣り合いから， n i

ids ds=t t (3.1.1) が成り立つ．また，これを式(1.20.5)で定義した微小面積 *

ids で書き直すと，， *

* *i i i i i

i ids ds with= ºt t t t g (3.1.2)

式(3.1.2)と(1.21.2)から， *( )n i

i= ×t t n g (3.1.3) を得る．ここで，

* *i ji ji j i

jT with T= º ×t g g t (3.1.4) により ijT を定義し，Cauchy応力テンソルT を

iji jTº ÄT g g (3.1.5)

と定義する．このとき，式(3.1.3)より

*i

i= ÄT t g (3.1.6) を得る．そして，式(3.1.3)より，

n = ×t T n (3.1.7) を得る．この式は非常に重要なことを物語っている．すなわち，ある面に作用する Cauchy 応力は，Cauchy 応

力テンソルにその面の単位法線を掛ければ求まるのである． Ex. 39 微小三角錐の釣り合い式

式(3.1.1)を証明しなさい． Ex. 40 Cauchy 応力

式(3.1.3)を証明しなさい． Ex. 41 Cauchy 応力テンソル成分

ijT の各成分の物理的意味について説明しなさい． 3.2. 平衡方程式

微小平行六面体の力の釣り合いを考えると，平衡方程式が次式で与えられることがわかる． i

iii

ds d dvx rx

¶ + =¶t f 0 (3.2.1)

ただし， r は変形後の単位体積あたりの質量， f は単位質量あたりの物体力である．ここで，

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第 3章応力

―26―

* ** *( )i i i i

i i i ids ds ds= Ä × = ×t t g g T n (3.2.2) であり，平行六面体については i

idsn は ix に依存しないので，式(3.2.1)は i i

ii ds d dvx rx¶

× + =¶

T n f 0 (3.2.3)

と書き直すことができる．ここで，式(1.20.2)および(1.20.4)を用いると，式(3.2.3)は i

i dv dvrx¶

× + =¶

T g f 0 (3.2.4)

となる．よって，nabla の定義式(1.22.4)を考え合わせると，平衡方程式が次のように得られる． ( )dvrÑ × + =T f 0 (3.2.5)

あるいは， rÑ × + =T f 0 (3.2.6)

次に，モーメントの釣り合いを考えると， *

*i i

i id dsx ´ =g t 0 (3.2.7) 式(3.2.2)を代入すると，

2 3 1 2 3(det ) ( )(det )i i i i ii id d d d d dx x x x x x´ × = ´ × =g T Q g g T g Q 0 (3.2.8)

すなわち， ( )i

i ´ × =g T g 0 (3.2.9) を得る．これを Cauchy 応力テンソル成分で書くと，

( )jii jT´ =g g 0 (3.2.10)

よって， ij jiT T= (3.2.11)

を得る．つまり，T は対称である． 3.3. Cauchy 応力と座標系

今までは，物体 0B が変形して B になり，それにより，応力 T が発生したと考えたが，この後，さらに物体がある

剛体回転 R を引き起こしたと想像してみよう．この場合，T はどう変わるであろうか？この問いに答えるには，式(3.1.7)を用いるのが最もよいだろう．なぜなら，この式が，T の物理的意味を定義

する式だからである．式(3.1.7)において，この剛体回転により nt および n は次のように変換される． ,n n n

R Rº × º ×t t R t n n R n (3.3.1) よって，

n TR R= × × = × × ×t R T n R T R n (3.3.2)

となる．したがって，この剛体回転によりT は次のように変換される． T

R = × ×T T R T R (3.3.3) これが Cauchy 応力テンソルの変換則となる．

式(3.1.7)は Cauchy 応力ベクトルと法線ベクトルという，幾何学的に定義されるベクトルの関係を表すもので

あるので，この式で幾何テンソルとしての Cauchy 応力テンソルTを定義することができる．すなわち， n n

It R= t

，

In R= n

として， nt T n= ×

(3.3.4) と表現できる．この式を用いれば，座標系の変更に伴う Cauchy 応力テンソルの変換則も，今回のような剛体回

転による変換則も求めることができる．このように，どんな座標系でも必ず成り立つ幾何学的な関係で定式化さ

れたものは非常に有用なものとなる．

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第 3章応力

―27―

3.4. 第二 Piola-Kirchhoff 応力テンソル

Cauchy 応力テンソルT は剛体回転により式(3.3.3)のように変換された．しかし，「剛体回転があっても応力

は変わらないもの」というのが我々のイメージであろう．このイメージ通りの応力を定義する方法の一つとして，Cauchy 応力テンソルのように変形後の状態（座標系）

で応力を記述するのではなく，何らかの変換則で変形前の状態（座標系）に引き戻して記述することが考えられ

る（実際，これが唯一の方法であろう）．では，どのようにして引き戻してあげればよいであろうか？ Cauchy 応力テンソルを導く際には，変形後の微小面積要素 ds に作用する力 ndst を考えた．そこで，この力

を変形前の微小面積要素 dS に引き戻してみよう．一般に，変形前の微小線素 dX が変形後に dx になったとすると， d d= ×x F X が成り立つわけであるから，

1d d-= ×X F x となる．ここのとから，変形前にa であったベクトルを変形前の状態に対応させるには， 1- ×F a に

すればよいと考えられる．そこで，微小面積要素 dSに 1 nds-F t だけの力が作用する

と想定する．ここで，Cauchy 応力テンソルの場合， n = ×t T n であったことから，求めるべき応力テンソルを S と

すると， dS に作用する力は dS×S N と表現されるべきであるので，結局， 1 ds dS- × × = ×F T n S N (3.4.1)

が得られる．これに，式(2.4.4)，すなわち， (det ) Tds dS-= ×n F F N を代入すると， 1 (det ) T dS dS- -× × × = ×F T F F N S N (3.4.2)

すなわち， 1(det ) T- -= × ×S F F T F (3.4.3)

を得る．この応力テンソル S を第二 Piola-Kirchhoff応力テンソルと呼ぶ．ここで，式(2.3.3)，すなわち， 1 i

i- = ÄF G g より，

(det ) iji jT= ÄS F G G (3.4.4)

よって， S の成分を ijS とすれば， , (det )ij ij ij

i jS S T= Ä =S G G F (3.4.5) となる．この式からわかる通り， ijT の対称性により， ijS も対称であることがわかる．したがって， S は対称テンソ

ルとなる．

さて，この変形にさらに剛体回転 R が加わったと想像してみよう．この場合，共変基底ベクトル ig は i×R g に変

換されるので，変形勾配テンソルは ( )i i

i R i= Ä = × Ä = ×F g G F R g G R F (3.4.6) と変換される．T は式(3.3.3)，すなわち， T

R = × ×T R T R に変換されるので，式(3.4.3)より S は 1

1 1

1

(det )

(det )

(det )

TR R R R R

T T T

T

- -

- - - -

- -

= × ×

= × × × × × ×

= × × =

S S F F T F

F F R R T R R F

F F T F S

(3.4.7)

すなわち，もとの S のままであることがわかる．すなわち， S は剛体回転に依存せず，我々のイメージする応力

の性質を持つことがわかる． 3.5. 主応力

膜の解析では主応力の値からしわの有無やしわの方向を決定する．線形解析における主応力の求め方は既

に習得済みであろうが，テンソル表示を用いた主応力の求め方についてはどうだろうか？ Cauchy 応力を用いる場合，Cauchy 応力 nt が，それを定義する単位法線ベクトル n と平行になるとき， nt は

主応力ベクトルで， n が主応力方向単位ベクトルとなる．つまり，主応力ベクトルを st ，主応力方向単位ベクトル

を sn と書くと， s ss=t n (3.5.1)

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第 3章応力

―28―

ただし，s は主応力の大きさを表す．ここで，一般に n = ×t T n であることから， s s= ×t T n となるので，主応力問

題は，式(3.5.1)は次のように Cauchy 応力テンソルT の固有値問題として定義される． s ss× =T n n (3.5.2)

このように，主応力の大きさs は固有値問題の固有値として，主応力方向ベクトル sn は固有ベクトルとして定義

される．いま，

s s iin=n g (3.5.3)

とおくと，式(3.5.2)より，この問題は次のような通常のマトリクス形式の固有値問題に書き直すことができる． [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] , [ ] [ ] , [ ] [ ]s s ij ij s s

iwith T g ns= º º ºT n g n T g n (3.5.4) 実際，膜の主応力方向を求めたい場合にはこの固有方程式を解けばよい．

次に，第二 Piola-Kirchhoff 応力テンソルで主応力を求めてみよう．この場合の固有値問題は s st× =S N N (3.5.5)

となり， s s i

iN=N G (3.5.6) とおけば，次のようなマトリクス形式の固有値問題に書き直すことができる．

[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] , [ ] [ ] , [ ] [ ]s s ij ij s siwith S G Nt= º º ºS N G N S G N (3.5.7)

では，s とt ， sn と sN はそれぞれどのような関係にあるのだろうか？

sN を変形後の状態に変換したベクトルを sn としてみよう．すなわち， s s i T s

iN -º = ×n g F N (3.5.8) とする（ 1 s- ×F N でないことに注意）．このとき， S とT との関係式(3.4.3)と，式(3.5.2)および(3.5.5)より， F の左

ストレッチテンソルをV として，次式を得る． 2

dets st× = ×

VT n nF

(3.5.9)

ここで，変形がそれほど大きくなければ det 1»F ， »V I となるので，式(3.5.2)と比較すると， s s»n n ，t s» と

なって，Cauchy 応力と第二 Piola-Kirchhoff 応力との差は小さいことがわかる．逆に，変形がそれほど小さくな

ければ，両者の差は大きくなる．つまり，一見，応力というとどれもそれほど違わない気になるかもしれないが，わ

ずかな差があり，これが計算を面倒にしてしまうこともあるわけである．実際の数値解析では，変形後の主応力の大きさや方向を変形後の物体形状に合わせて図示したい場合が

ある．その場合，Cauchy 応力で主応力を求めた方がよいのであるが，数値解析では第二 Piola-Kirchhoff 応

力テンソルを用いて定式化するので，厳密に Cauchy 応力の主応力を求めたいのであれば，解を求めた後，式

(3.5.4)の固有値問題を解く必要が出てくる．しかし，式(3.5.2)と(3.5.9)のようなずれを認めた上で，近似値として

第二 Piola-Kirchhoff 応力の主応力を用いることも考えられる． Ex. 42 反変基底で表現されたベクトルの変換

式(3.5.8)を証明しなさい． Ex. 43 第二 Piola-Kirchhoff 応力の主応力

式(3.5.9)を証明しなさい．

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第 4章歪と構成則

―29―

第4章歪と構成則

これまで，物理的意味から歪というものを理解してきたことと思う．しかし，歪は仮想仕事における応

力と共役関係にあるものとして定義することもできる．この章では，歪の物理的な意味と同時に数学的

な意味について説明する． 4.1. 仮想仕事の原理

平衡方程式(3.2.5)，すなわち， ( )dvrÑ × + =T f 0 の左辺の各項は物体の変形後の微小体積 dv に作用する

力を表している．したがって，これと仮想変位d x との内積は仮想仕事を意味する．すなわち，物体の変形にお

ける仮想仕事の原理は次のように表される． ( ) dvr dÑ × + × =ò T f x 0

B (4.1.1)

ここで， ( ) ( ) : ( )d d dÑ × × = Ñ × × - ÑÄT x T x T x (4.1.2)

であるから，Gauss の定理(1.23.2)を用いると，式(4.1.1)より : ( ) ( )dv dv dsd r d d

¶ÑÄ = × + × ×ò ò òT x f x n T x

B B B (4.1.3)

を得る．ただし， ¶B は物体の境界面を表す．ここで，力学的境界条件および幾何学的境界条件をそれぞれ :

:

n

u

sÎ¶ × =

Î¶ =

x T n t

x x x

B

B (4.1.4)

とすると， uifd = Î¶x 0 x B (4.1.5)

となるので，式(4.1.3)は : ( ) ndv dv dssd r d d

¶ÑÄ = × + ×ò ò òT x f x t x

B B B (4.1.6)

と書き直すことができる． Ex. 44 nabla とテンソルのスカラー積

式(4.1.2)を証明しなさい． 4.2. Almansi 歪テンソル

これまで，材料力学や弾性力学において，応力s と歪e が与えられたとき，sde が仮想仕事を表していたこと

を考えると，仮想仕事の原理(4.1.6)において，左辺の dÑÄ x というテンソルは，応力テンソル T と共役関係に

ある，何らかの歪の変分に関係していることが予想される．そこで，その歪について考えてみよう．まず， i i i

ii idd d d

x x¶ ¶ÑÄ = Ä = Ä = Ä¶ ¶

xx g x g g g (4.2.1)

である．そこで， i j

ijEd dÑÄ º Äx g g (4.2.2) とおいてみる．これは， dÑÄ x というものが，反変基底を基準とした何らかの歪成分 ijE の変分になっていること

に相当する．実際に ijEd を求めてみると， ( )ij i j i jEd d d= × ÑÄ × = ×g x g g g (4.2.3)

となることがわかる． ijE が歪を表すためには，変形をしていないとき，すなわち， i i=g G のときには 0ijE = でな

ければならないので，この条件と式(4.2.3)を満たす ijE を求めてみると，次のようになる．

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―30―

1 1( ) ( )2 2ij i j i j ij ijE g G= × - × = -g g G G (4.2.4)

この式からわかる通り， ijE は対称である．この ijE を用いて，テンソル A を i j

ijEº ÄA g g (4.2.5) と定義すると，これは歪を表すテンソルであり，これは Almansi 歪テンソルと呼ばれる．式(4.2.5)をもう少し整理

すると，

, ,

i j i j jij ji j

i j i jg gÄ = Ä = Ä =å å å

ig g g g g g I (4.2.6)

1 2

, ,( ) ( )i j i j T

ij i ji j i j

G - - -Ä = Ä × Ä = × =å åg g g G G g F F V (4.2.7)

であるから，結局，Almansi 歪テンソルは次のように角ことができる． 1 21 1( ) ( )

2 2T- - -= - × = -A I F F I V (4.2.8)

さて，ここで注意しなくてはならないのは，

d dÑÄ ¹x A (4.2.9) ということであり，あくまでも

i jijEd dÑÄ = Äx g g (4.2.10)

ということである．そこで，任意の二階のテンソル i jijB= ÄB g g に対して，

*i j

ijx Bd dº ÄB g g (4.2.11) と表記することとする．このとき，仮想仕事の原理(4.1.6)は次のように書き改められる．

*: nx dv dv dssd r d d

¶= × + ×ò ò òT A f x t x

B B B (4.2.12)

左辺を成分で表記すると， ij n

ijT E dv dv dsd r d d¶

= × + ×ò ò òf x t xB B B

(4.2.13)

次に，Almansi 歪テンソルの物理的意味について考えてみよう．変形前の二つの線素 AdX および BdX が変

形によりそれぞれ A Ad d= ×x F X および B Bd d= ×x F X となったとすると， 1 1( ) ( ) 2A B A B A B A B A Bd d d d d d d d d d- -× - × = × - × × × = × ×x x X X x x F x F x x A x (4.2.14)

となっていることがわかる．つまり，Almansi 歪は変形前から変形後への二つの線素の相対関係の変化を変形

後を基準に計った計量テンソルの半分を表すものであることがわかる．実際， A の成分が式(4.2.4)のように計量

テンソルの共変成分で記述されていることからも，このことは理解できるだろう． Ex. 45 歪テンソル成分

ijE の各成分の物理的意味について説明しなさい． 4.3. Green-Lagrange 歪テンソル

4.1 節では変形後の微小体積における平衡方程式から仮想仕事の原理を導いたが，これを変形前の状態に

引き戻して表してみよう．仮想仕事の原理(4.1.6) : ( ) ndv dv dssd r d d


B B B

において，まず， (det )n Tds ds dS dS-= × = × = × ×t T n T F F N F S N (4.3.1)

であり，変形前後の微小体積の質量保存則は，変形前の密度を or として odv dVr r= (4.3.2)

で表されるので，境界条件を

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―31―

:

:

n

u

sÎ¶ × × =

Î¶ =

X F S N t

X x x0

0

B

B

(4.3.3)

と書き換えると，仮想仕事の原理は : ( ) u

nodv dV dSd r d d


0 0B B B (4.3.4)

となる．そして， 1: ( ) : ( )(det ) : ( ) ( )

detT i T i T

i idv dV dVd d dæ ö é ùÑÄ = × × Ä = × Ä ×ç ÷ ë ûè øT x F S F g g F S F g F g

F (4.3.5)

であり， ( ) ( ) ( )T i T i j i j

i j i i jd d dé ù× Ä × = Ä × × = × Äë ûF g F g G G g g g g G G (4.3.6)

であるから，式(4.2.4)で定義された ijE を用いてテンソル E を i j

ijEº ÄE G G (4.3.7) と定義すると，

: ( ) :dv dVd dÑÄ =T x S E (4.3.8) となるので，結局，仮想仕事の原理は

: un

odV dV dSd r d d¶

= × + ×ò ò òS E f x t x0 0 0B B B

(4.3.9)

と書き改められる．FEM では式(4.3.9)を解くことになる．テンソル E は Green-Lagrange 歪テンソルと呼ばれる．簡単な計算から求められる通り，

1 1( ) ( )2 2

i j Ti j i j= × - × Ä = × -E g g G G G G F F I (4.3.10)

と表示できる．この式を見て分かる通り， E は対称テンソルである．

次に，Green-Lagrange 歪テンソルの物理的意味について考えてみよう．変形前の二つの線素 AdX およびBdX が変形によりそれぞれ A Ad d= ×x F X および B Bd d= ×x F X となったとすると，

( ) ( ) 2A B A B A B A B A Bd d d d d d d d d d× - × = × × × - × = × ×x x X X F X F X X X X E X (4.3.11) となっていることがわかる．つまり，Green-Lagrange 歪は変形前から変形後への二つの線素の相対関係の変

化を変形前を基準に計った計量テンソルの半分を表すものであることがわかる． Ex. 46 Green-Lagrange 歪テンソル

式(4.3.10)を証明しなさい． 4.4. 歪と座標系

今までは，物体 0B が変形して B になり，それにより，歪 A あるいは E が発生したと考えたが，この後，さらに

物体がある剛体回転 R を引き起こしたと想像してみよう．この場合， A や E はどう変わるであろうか？この場合には，共変基底ベクトルが i Ri i= ×g g R g と変換されるので，変形勾配も R = ×F F R F と変換さ

れる．したがって，式(4.2.8)あるいは(4.3.10)より， 1 1 11 1( ) ( )

2 21 1( ) ( )2 2

T T T T TR

T T TR

- - - - - -= - × × × = × - × × = × ×

= × × × - = × - =

A A I R F F R R I F F R R A R

E E F R R F I F F I E

(4.4.1)

となって， E はもとのままであるが， A は変わることがわかる．これは，解析力学でいうところの仮想仕事の不変

性に対応している．すなわち，剛体回転でT が変化するので A も変化するし， S は変化しないので E も変化し

ないのである． 4.5. Cauchy 歪テンソル

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―32―

ここでは簡単のため，一次元の変形について考える．この場合，共変基底は変形後の物体の長さを変形前

の長さ L で微分したものになるので， 2 21 11 , 1

2 2dL dA Ed dL

é ù é ùæ ö æ ö= - = -ê ú ê úç ÷ ç ÷è ø è øê ú ê úë û ë û

(4.5.1)

となる．これまで，材料力学等では歪といえば，

1ddL

e = - (4.5.2)

と定義されていたはずである．このような歪は Cauchy 歪と呼ばれる．Cauchy 歪を用いると，Almansi 歪や

Green-Lagrange 歪は次のように書かれる． 2 2

21 ,

2 2(1 )A Ee e

e ee

é ù= + = +ê ú

+ ë û (4.5.3)

どちらも 1e なら e に近い値になるが，そうでない場合には若干のずれを生じる．重要なのは，“ずれ”があるこ

とを認識しながら解析を進める，ということであろう．なお，Cauchy 歪を 3 次元変形に拡張してテンソルで標記すると，次のようになる．

= -Σ U I (4.5.4) 歪の評価式としては，他に Hencky 歪（対数歪，すなわち， log( / )d dL ）などがある． 4.6. 主歪

主応力と同様，主歪も変形を評価する上で重要な指標となる．Green-Lagrange 歪テンソルにおける主歪gおよび主歪方向の単位ベクトル eN は次の固有値問題の固有値および固有ベクトルとして与えられる．

e eg× =E N N (4.6.1) いま，

ie e iN=N G (4.6.2)

とおくと，式(4.6.1)は次の固有値問題に帰着される． [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] , [ ] [ ] , [ ] [ ]i

e e ij ij e ewith E G Ng= º º ºE N G N E G N (4.6.3) 4.7. 構成則と弾性体

構成則については運動履歴依存性や局所性・客観性といったことが問われるが，ここではそういった議論は

他の参考書[4.1]に譲るとして，ここでは仮想仕事の原理において共役関係にある ijS と ijE に関し，次のような構

成則を仮定する． ij ijkl

klS C E= (4.7.1) ただし， ijS および ijE の対称性により， ijklC は次のような対称性を有しなければならないことがわかる．

ijkl jikl ijlk jilkC C C C= = = (4.7.2) したがって， ijklC の 81 個の成分のうち，独立なものは 36 個のみとなる．

さて，式(4.7.1)をテンソルの形で書くと， 1 :

detijkl

T T i j k lwith C= º Ä Ä ÄT C A C g g g gF

(4.7.3)

: ijkli j k lwith C= º Ä Ä ÄS C E C G G G G (4.7.4)

となる．ただし，任意の二階のテンソル X ，Y ， Z に対し，四階のテンソルと二階のテンソルとのテンソル積を ( ) : ( : ) , : ( ) ( : )Ä º Ä ºX Y Z Y Z X Z X Y Z X Y (4.7.5)

と定義した． TC や C を弾性テンソルと呼ぶことにする．式(4.7.3)や(4.7.4)の構成則において，応力ベクトルも歪

ベクトルも幾何学的に与えられるものであり，幾何テンソルとみなすことができる．つまり，

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―33―

1 : , :det

T C A S C EF

= =

(4.7.6)

と表現できる．当然のことながら， ijklC は座標系に依存する．通常はある特定の正規直交系で応力－歪関係が与えられる．

その場合，正規直交基底ベクトルを iE ，弾性テンソル成分を *ijklC として，式(4.7.4)のようにテンソル表示してお

くと， ijklC を簡単に求めることができる．すなわち，

*i j k l ijkl

i j k l i j k lC C¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢Ä Ä Ä = Ä Ä ÄE E E E G G G G (4.7.7)

より，

* ( )( )( )( )ijkl i j k l i j k ki j k lC C ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢= × × × ×E G E G E G E G (4.7.8)

さて，一般に応力は変形勾配 F の関数であるが，弾性体とは，応力がその瞬間の変形勾配のみの関数であ

る物体，つまり，それまでの変形の時間履歴に依存せず，その瞬間の変形状態にのみ依存する物体と定義され

る．これを式(4.7.3)や(4.7.4)に当てはめてみると， A や E はその瞬間の F の式で記述されるので，結局，弾性

体であることと C ，あるいは TC がその瞬間の F のみの関数となることとが同値であることがわかる．その中でも，

それらの成分，すなわち ijklC が一定，すなわち， F に依存しないものを線形弾性体と呼ぶ．この講義では，線形弾性体のみ取り扱うこととする．

4.8. 歪エネルギ

歪エネルギは応力による内部仮想仕事，すなわち，仮想仕事の原理(4.3.9)の左辺から求められる．すなわち，

式(4.3.9)の左辺がある関数の変分となっているとき，その関数を歪エネルギ関数と呼ぶ．これまでみてきた通り，変形を求める際には歪エネルギは全く必要とされない（これは非常に重要なことであ

る）．用いるのは仮想仕事の原理のみである．ただし，得られた変形の特徴を評価する際に歪エネルギは有用

な評価指標の一つとなり得る．また，歪エネルギが存在することが FEM の定式化の際に導入される接線剛性マ

トリクスの対称性を保証するので，歪エネルギの存在の有無を確認しておくことは，変形を求める際の解法の決

定の際にも重要な役割を果たすことになる．そこで，仮想仕事の原理(4.3.9)から，歪エネルギ関数の存在条件を導こう．

: dVd dP = ò S E0B

(4.8.1)

となる関数Pが存在するための必要十分条件は : ij

ijS Edp d d= =S E (4.8.2) となる関数p が存在することである．ここで，

ij ijklij kl ijS E C E Ed d= (4.8.3)

であることから，これがある関数p の変分となるためには，

, , , ,

, , , ,

2

2 2 4

2 2 4

iikl ijklkl ii kl ij

i k l i j k l

iikk iikl ijkk ijklkk ii kl ii kk ij kl ij

i k i k l i j k i j k l

iikk iikl ijkk ijklkk kl ii kk kl ij

i k k l i j k k l

C E E C E E

C E E C E E C E E C E E

C E C E E C E C E E

dp d d

d d d d

d d

<

< < < <

< < <

= +

= + + +

é ù é ù= + + +ê ú ê ú

ë û ë û

å å

å å å å

å å å å å å

(4.8.4)

でなければならず，この式より，

2 , 2 4 ( )iikk iikl ijkk ijklkk kl kk kl

k k l k k lii ijC E C E C E C E i j

E Ep p

< <

¶ ¶= + = + <

¶ ¶å å å å (4.8.5)

でなければならないことがわかる．この式から， 2 2 2 2

, 2 , 2 , 4 ( , )iikk iikl ijkk ijkl

ii kk ii kl ij kk ij klC C C C i j k l

E E E E E E E Ep p p p¶ ¶ ¶ ¶

= = = = < <¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

(4.8.6)

が導かれるので，結局，

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, , ( , )iikk kkii iikl klii ijkl klijC C C C C C i j k l= = = < < (4.8.7) すなわち，

ijkl klijC C= (4.8.8) を得る．すなわち，これが，歪エネルギが存在するための必要十分条件である．

そして，この条件が満たされるとき，歪エネルギ関数Pは次式で与えられる． 1 :2

dVP = ò S E0B

(4.8.9)

Ex. 47 歪エネルギ

式(4.8.8)を用いて，式(4.8.9)を証明しなさい． 4.9. 等方性材料の弾性テンソル

弾性力学 II の講義では，等方性材料の場合，いわゆる Hooke の法則により，応力－歪関係が次式で与えら

れることを学んだ． 2(1 ) 2 2 0 0 01 2 1 2 1 2

2(1 ) 2 0 0 01 2 1 2

2(1 ) 0 0 02(1 ) 1 21 0 0

1 0. 1

x x

y y

z z

yz yz

zx zx

xy xy

E

Sym

n n nn n ns e

n ns en n

s en

t gn nt gt g

-é ùê ú- - -é ù é ùê ú

-ê ú ê úê úê ú ê úê ú- -ê ú ê úê ú-=ê ú ê úê ú+ê ú ê úê ú-ê ú ê úê úê ú ê úê úê ú ê úê úë û ë û

ê úê úë û

(4.9.1)

ただし， E はヤング率（Young’s modulus）であり，n はポアソン比（Poisson’s ratio）である．また，せん断弾性

係数（Shear modulus） m と E との関係は

2(1 )Emn

=+

(4.9.2)

これを応力テンソル成分 ijS と歪テンソル成分 ijE との関係に対応させると，次のようになる．

11*22*33*23*32*31*13*12*21*

2(1 ) 2 2 0 0 0 0 0 01 2 1 2 1 2

2(1 ) 2 0 0 0 0 0 01 2 1 2

2(1 ) 0 0 0 0 0 01 2

1 1 0 0 0 02(1 )1 0 0 0 0

1 1 0 01 0 0

1 1. 1

S

S

S

SE

S

S

S

S

SSym

n n nn n n

n nn n

nn

n

-é ùé ù ê ú- - -ê ú ê ú

-ê ú ê úê ú ê ú- -ê ú ê ú-ê ú ê úê ú ê ú-ê ú ê ú=

+ê ú ê úê ú ê úê ú êê ú êê ú êê ú êê ú êê úë û êêë û

*11*22*33*23*32*31*13*12*21

E

E

E

E

E

E

E

E

E

é ùê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úúê úúê úúê úúê úú ê úë ûúú

(4.9.3)

この式から正規直交系での弾性テンソル成分 *ijklC が求められるので，式(4.7.8)を用いてこれを一般的な曲線

座標系での弾性テンソル成分 ijklC に変換すると，次のようになることがわかる．

1 1 2ijkl ij kl ik jlEC g g g gn

n né ù= +ê ú+ -ë û

(4.9.4)

なお，C の逆，すなわち， : , i j k l

ijklD= = Ä Ä ÄE D S D G G G G (4.9.5) を満たすテンソル D を撓性テンソルと呼ぶ．等方性の場合，

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―35―

1 0 0 01 0 0 0

1 0 0 012(1 ) 0 0

2(1 ) 0. 2(1 )

x x

y y

z z

yz yz

zx zx

xy xy

E

Sym

e sn ne sne sg tng tng tn

é ù é ù- -é ùê ú ê úê ú-ê ú ê úê úê ú ê úê ú

=ê ú ê úê ú+ê ú ê úê ú

ê ú ê úê ú+ê ú ê úê ú

+ê úê ú ê úë ûë û ë û

(4.9.6)

であるから，撓性テンソル成分は次式で与えられる． 1 (1 )ijkl ik jl ij klD g g g gE

n né ù= + -ë û (4.9.7)

Ex. 48 等方性材料の弾性テンソル成分

式(4.9.4)を証明しなさい． Ex. 49 等方性材料の撓性テンソル成分

式(4.9.7)を証明しなさい．《参考文献》 [4.1] 久田，野口，“非線形有限要素法の基礎と応用”，丸善，第一章，1995．

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第 5章変形モデル

―36―

第5章変形モデル

前章までで，柔軟構造解析に必要な連続体力学の理論は一通り確認したので，あとは，それらを用

いて有限要素解析をすればよいだけであるが，その前に，解析に必要となる，弾性体の変形モデルに

ついて確認する．ここをきちんと理解しておくと，FEM による構造解析の“感覚”が理解しやすくなる． 5.1. 弾性体の変形モデル

例えば梁は，断面内には応力が発生しないとして応力場・歪場を設定する．また，膜は板厚方向には応力が

発生しないとして応力場・歪場を設定する．梁やシェルの場合，歪を計算する際，断面内あるいは板厚方向の

変形は無視できると仮定する．このように，弾性体の変形解析では，変形前のボディ 0B を，変形を考慮する領

域 0S と考慮しない領域 0T とに分ける．すなわち， = ´0 0 0B = S T ．また， 0S と 0T は直交する．つまり， =0 0S B ，

=Æ0T であるか， 2ÎÂ0S ， ÎÂ0T であるか， ÎÂ0S ， 2ÎÂ0T であり， =Æ0 0S T である．そこで， 0B に 0S 内

の点O を原点とする正規直交座標系 0R

を取り付け，座標を 1 2 3( , , )Y Y Y とする．そして， 1 2 3( , , )Y Y Y で構成され

る計算ベクトル空間を 3ÎR とする．このとき， R の内の 0S に対応した部分空間を M ， 0T に対応した部分空

間を N とし， iY は M と N のどちらか一方に張ることとする．したがって， = ´R M N であり， = ÆM N であ

る．また， iY ÎM となる iY を Ya ， iY ÎN となる iY をY P というように，前者は添え字をギリシャ文字に，後者は

ユークリッド文字で表すこととする．そして， 0B は変形により B に， 0S は S に， 0T は T に移るとする．このとき，変形の正値性により， = ´B S T ，

= ÆS T となる．さて，変形を考慮しない領域を 0T をするとしたが，ここでいう「考慮しない」とは，①変形（すなわち，歪）が発

生しないとする，②応力が発生しないとする，の二種類があり，当然，それぞれについて変形の記述が異なる．

また，そもそも，変形を考慮する領域と考慮しない領域とに分けることにも理由がある．そこで，以下に，具体例

を通してこの領域分割の実際について説明する． 5.1.1. 梁モデル

梁モデルでは，通常，次の仮定を用いる． A1. 変形後も断面は変形前と同一の形状を保つ．

この場合， 0T が断面， 0S が軸方向に対応し， R

の原点O を断面中心に， 1Y と 2Y を断面内に， 3Y 軸方向に取

る．つまり， 1 2( , )Y Y ÎN ， 3Y ÎM である．変形により，物理空間 3Â 内で R

は平行移動と剛体回転を行なう．

後述する通り，この剛体回転により梁の変形の曲率およびねじり率が定義される．上記の仮定は，数学的には，断面の剛性が無限大，またはポアソン比が 0 であることと同一である．しかし，そ

んなことが本当にあり得るのだろうか？また，剛性が無限大で変形がなくても，断面内に応力は発生してしまう可

能性があるが，それでもよいのだろうか？断面内に応力が発生しても，変形しなければ仮想仕事は 0 になるわけであるから問題はない．しかし，剛性が

無限大とかポアソン比が0というのは，物理的にはなんとも気持ちが悪い．そこで，弾性力学的には次のように表

現するのがより的確であろう． A1. 断面内の応力は微小であるとして無視する． A2. 断面内の変形は，断面内の応力が 0 になるように決定されるべきであるが，変形は非常に微小である

と考えれるので，これを無視する． 5.1.2. シェルモデル

シェルモデルでは，通常，次の仮定を用いる． A1. 変形後も板厚方向は変形しない．

これは，板厚方向の剛性が無限大，あるいは断面と面内との間のポアソン比が 0 であることと同一である．この場

合， 0T が板厚方向， 0S が中心面に対応し， A

の原点O を中央面内に， 3Y を板厚方向に， 1Y と 2Y を中心面

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―37―

内に取る．つまり， 1 2( , )Y Y ÎM ， 3Y ÎN である．変形により，物理空間 3Â 内で R

は平行移動と剛体回転を行

なう．後述する通り，この剛体回転によりシェルの変形の曲率が定義される．やはり，梁の場合と同様，次のように仮定するのがより的確であろう．

A1. 断面方向の垂直応力は微小であるとして無視する． A2. 断面方向の変形は，断面方向の垂直応力が 0 になるように決定されるべきであるが，変形は非常に微

小であると考えれるので，これを無視する． 5.1.3. ケーブルモデル

ケーブルモデルでは，通常，次の仮定を用いる． A1. 断面は非常に小さく，応力を計算する際，断面サイズの二字以上の項を無視する．

この場合，梁モデルと同様， 0T が断面， 0S が軸方向に対応し， R

の原点O を断面中心に， 1Y と 2Y を断面内

に， 3Y 軸方向に取る．つまり， 1 2( , )Y Y ÎN ， 3Y ÎM である．また， A2. 変形後も断面は中央軸に垂直である．

これら二つの仮定により，応力としては軸方向のみを考慮することになる．また，後述する通り，変形を記述する

際， R

を記述する正規直交基底マトリクスを定義する必要がなくなる．つまり，回転を記述する有限回転パラメ

ータ（有限回転ベクトル）を配位変数として用意する必要がなくなる． 5.1.4. 膜モデル

膜モデルでは，通常，次の仮定を用いる． A1. 板厚は非常に薄く，応力を計算する際，板厚の二次以上の項を無視する．

この場合，シェルモデルと同様， 0T が板厚方向， 0S が中心面に対応し， R

の原点O を中央面内に， 3Y を板

厚方向に， 1Y と 2Y を中心面内に取る．つまり， 1 2( , )Y Y ÎM ， 3Y ÎN である．また， A2. 変形後も板厚方向は中央面に垂直である．

これら二つの仮定により，応力としては面内のみを考慮することになる（平面応力問題）．また，後述する通り，変

形を記述する際， R

を記述する正規直交基底マトリクスを定義する必要がなくなる．つまり，回転を記述する有

限回転パラメータ（有限回転ベクトル）を配位変数として用意する必要がなくなる． 5.1.5. ソリッドモデル

ソリッドモデルでは，全ての方向に変形することを仮定するので， =0 0B S ， 0 =ÆT ， =R M ， =ÆN であり，1 2 3( , , )Y Y Y ÎM である．つまり，ボディを二つの領域に分割はしない．

5.1.6. 変形モデルの存在理由

前節まで，いくつかの弾性体モデルを示したが，なぜ，このようなモデルを考えるのであろうか？当然のことではあるが，最も一般的なモデルはソリッドモデルである．連続体力学の一般理論はソリッドモデル

を前提に記述されているはずである．それをあえて梁モデルやシェルモデルで変形を考える理由は以下の通り

である．まず，“物体の変形を記述する”とは，変形前のボディ内の任意の点の変形後の位置を全て配位変数で記述

することである．したがって，変形を記述するためには次のものが必要となる． 1. 変形前のボディ内の任意の点 P の三次元位置ベクトル X を記述するための三次元座標系 R

．

2. 点 P の変形前の三次元位置ベクトル X から変形後の三次元位置位置ベクトル x への対応を記述する

ための写像j ．また，実際に“変形を解く”ためには，

3. 無限自由度である連続体を有限自由度で記述するための近似手法．が必要となる．条件 2 と 3 のために，有限要素法（FEM）が導入されるわけである．FEM では，ボディ内の有限

個の点の位置ベクトルを未知量として定式化を行なう（実際の配位変数は変位であったり，変位を記述するよう

なその他の一般化座標であったりするのであるが）．では，三次元座標系 R

を有限個の点で定義するためには，

点の数や配置はどのようなものである必要があるだろうか？当然，四つの点 oP ， 1P ， 2P ， 3P が必要で，かつ， o 1P P

と o 2P P

と o 3P P

が互いに独立であることが必要である．し

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―38―

たがって，ソリッドモデルで FEM を定式化する場合，これを満たす四つの点で四面体要素を構成するのが最も

プリミティブな定式化となる．ただし，精度を考えて八つの点で六面体要素を構成したりする場合もあるわけであ

る．では，例えば梁をソリッド要素で構成するとなると，どうなるだろうか？梁をソリッド要素で構成するとなると，断面に四つの点を配置し，二つの断面で仕切られた六面体で一つの要

素を構成することになるだろう．しかし，この場合，一つの断面に24自由度を与えることになる．梁の断面自体は

あまり変形しないので，計算コストのことを考えると，24 自由度も与えることはもったいない．また，梁が非常に細

い場合，収束計算途中で断面が潰れたりして精度が低下する可能性があり，かなり気を使う必要がある．そこで，

“断面は変形せず，剛体変位するだけである”と仮定すれば，一つの断面に 6 自由度だけ与えればよいことにな

るので，計算コストを下げることができるようになるし，要素が潰れることもなくなる．このように，計算コストを下げたり，要素の潰れ等のトラブルを避ける意味で，様々な変形モデルを仮定するこ

とになるわけである．しかし，ソリッドモデルであれば，上記の写像j は非常に簡単な式で表すことができる（通常，節点の線形補

間式となる）が，他のモデルであれば，若干複雑となるし，後述する通り，locking 等，数値解析上の問題も発生

する．したがって，変形モデルの妥当性については細心の注意を払う必要がある． 5.2. 変形の表現

梁やシェルのように変形しない領域がある場合，変形前のボディ内の任意の点の位置ベクトル ÎX 0B は，

0( )Ya ÎX S と座標系 R

の正規直交基底ベクトル ( )i i Ya=E E を用いて Y= +X X EP

P (5.2.1)

と表され，変形後も， Y= +x x eP

P (5.2.2) と表される．したがって，写像j は : ( , ) ( , )j X E x eP P と書ける．では，この写像に必要な配位変数は何かと言

えば，まず，原点O の変位ベクトル u ，次に，単位ベクトルを単位ベクトルに写像するための有限回転パラメー

タ θ となる．ただし， u や θ の基準をどこ（どの時刻）に取るのか，どの座標系の成分ベクトルにするのか，という

二つの点が重要となり，これらを何にするかに応じて様々な定式化が可能となる．

一方，膜モデル（平面応力モデル）の場合には，

1 2 1 23 33 3 3 3

1 2 1 2

, , ,Y Y Y YY Z

Y Y Y Y

¶ ¶ ¶ ¶´ ´

¶ ¶ ¶ ¶= + = = + =¶ ¶ ¶ ¶

´ ´¶ ¶ ¶ ¶

X X x x

X X E E x x e eX X x x

(5.2.3)

そして， 3 3 1 2( , )Z Z Y Y= は平面応力状態を実現するように定義される．この場合には， :j X x と書ける．つま

り，有限回転パラメータを必要としない． 5.3. 埋め込み座標系

座標系 R

の原点O に別の座標系 oQ

を埋め込み，座標を 1 2 3( , , )x x x としてみよう． R

は変形後も正規直交

系を成すものであったが， oQ

は 0B 内の特定の点を基準として定義し，変形によりそれらの点が変位するのに伴

って再構成され， Q

つなるものとする．ここで， Yx =P P としとし，座標 1 2 3( , , )x x x で構成される三次元ベクトル空

間を 3ÎQ ， M および N に対応したQ 内の部分空間をそれぞれ Y および Z とする．この場合，変形前およ

び後のボディ内の位置ベクトルはそれぞれ次のように記述できる． ( ) ( ) , ( ) ( )a a a ax x x x x x= + = +X X E x x eP P

P P (5.3.1)

では，なぜ埋め込み座標系 oQ

や Q

を考えるのかと言えば，それは，と oQ

とQ

を導入することにより，j を計算

ベクトル空間Q 内で記述できるようになるからである．一見， R

を用いるのと何が違うのだ，という気がするかと

思うが，一番の問題は x や eP をどんな座標で記述するのかという点にある．実際， Ya で記述するのは困難であ

るので，変形に応じて座標系自体が“変形”できる方が，歪の記述が容易になってよい．それゆえ， oQ

や Q

を導

入することになるわけである．じゃあ， oQ

って具体的にはどんなものなんだ？という疑問が湧いてくるだろう．これについては次節に説明す

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―39―

る． 5.4. 埋め込み座標による変位の補間

FEM では位置ベクトルおよび正規直交基底ベクトルを次のように節点ベクトルで線形補間するのが一般的で

ある． , , , ( )m m m m

m i m i m i m i m mN N N N with N N ax= = = = =X X E E x x e e (5.4.1) ただし，添え字 m は節点番号をあらわし， mN は次式を満たす補間関数である．

11

Mmax

mm

N=

=å (5.4.2)

（ Mmax は節点総数）．実際は，要素ごとに補間を行なうので，それぞれの要素において，その要素に含まれる

節点以外の mN は 0 となる．つまり，要素ごとに座標系を埋め込み，その埋め込み座標で補間をするわけであ

る．この補間は非常にシンプルで，コーディングも簡単になるのだが，大きな問題がある．正規直交基底を式

(5.4.1)のように補間すると，節点以外の要素内の点では基底の正規直交性が失われる．つまり，単位ベクトルで

あるべきものが単位ベクトルにならなかったり，直交するはずのものが直交しないという問題がでてくる．よって，

FEM の定式化の際にはこの点をよく考えて式変形をする必要が出てくる．では，実際に mN がどんなものになるかとをみてみよう．通常，埋め込み座標系Q

は，対応する計算空間Q 内

において Y における ax の定義域が一定範囲になるように，すなわち，一定長さの線分（ 1ÎY の場合）・正方

形（ 2ÎY の場合）・立方体（ 3ÎY の場合）になるように設定する．それは，仮想仕事の原理(4.3.9)で必要と

なる積分が容易になるようにするためである．実際，この積分は Gauss 積分で近似する場合が多く，Gauss 積

分を適用しやすくするよう，定義域を 1 1ax- £ £ とすることが多い．例えば二節点線分要素（梁やケーブル等）

の場合， 1 1

1 11 2

1 1, 12m

mN withx x x x+= = - = + (5.4.3)

となるし，四節点四角形要素（膜やシェル等）の場合， 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 21 1 2 2 3 3 4 4

(1 )(1 )4

( , ) ( 1, 1) , ( , ) ( 1, 1) , ( , ) ( 1, 1) , ( , ) ( 1, 1)

m mmN

with

x x x x

x x x x x x x x

+ +=

= - - = + - = + + = - +

(5.4.4)

となる．補間関数の与え方や補間関数と FEM の近似精度との関係については文献を参照のこと．さて，この場合，共変基底ベクトルは，

,m n m nm n m nN N N Na aa a a ax x

x x x x¶ ¶ ¶ ¶= + = +¶ ¶ ¶ ¶

G X E g x eP PP P

(5.4.5)

これまでの議論で明らかなように，共変基底ベクトルさえ定式化できれば，後はストレートフォワードに仮想仕事

の原理まで定式化できる．あとは，それを Newton 法で解けばよい．ただし，仮想仕事の原理を定式化するとい

っても，その式は歪の変分などがあって，どう扱えばよいのかわからないかもしれない．そこで次節では仮想仕

事の原理による離散化された平衡方程式の導出の概要について簡単に説明する． 5.5. 仮想仕事の原理と離散化された平衡方程式

仮想仕事の原理(4.3.9)に(5.2.1)と(5.2.2)を適用すると， : u

nodV dV dSd r d d

¶= × + ×ò ò òS E f x t x

0 0 0B B B (5.5.1)

となる．問題は，dE やd x をどう取り扱うかである．いま，FEM における節点変位，すなわち，系を記述する変

数（配位変数，configuration variable）でつくったベクトル z とすると， E や x は z の関数のはずなので，

,d d d¶ ¶

= × = ×¶ ¶E xE z x zz z

(5.5.2)

となるはずである．よって，式(5.5.1)は

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―40―

uijij n

oE

S dV dV dSr d¶

¶é ù¶ ¶- × - × × =ê ú¶ ¶ ¶ë û

ò ò òx xf t z 0

z z z0 0 0B B B

(5.5.3)

となる．d z は任意に取れるので，これより，

uijij n

z oE

S dV dV dSr¶

¶ ¶ ¶º - × - × =

¶ ¶ ¶ò ò òx xf f t 0

z z z0 0 0B B B

(5.5.4)

を得る．これが解くべき方程式，すなわち，離散化された平衡方程式である．そして，これを解きたければ，これ

を z で偏微分した Jacobian J ，すなわち，接線剛性マトリクスを計算し， 1

z-¬ - ×z z J f (5.5.5)

により z の値を更新すればよい．1.26 節でも述べた通り，式(5.5.4)の右辺各項がなんらなのスカラーを z で偏微

分したものであれば， J は対称マトリクスとなる．例えば，応力による仮想仕事の項では，歪エネルギが存在す

ればよい．また，体積力 f や表面力 nt に関する項は，これらの外力が x で積分できる量であればよい． 5.6. 変形モデルと歪および応力成分

前節までで，解くべき方程式およびその解き方については確認できた．しかし，実はこのままでは問題があ

る．例えば梁モデルの場合，断面は変形せず，応力も発生しないと仮定している．そこで，9 つの歪および応力

成分（そのうち，独立なものはそれぞれ 6 個ずつ）のうち， 33 13 23( , , )E E E と 33 13 23( , , )S S S の三つずつ（と

31 32( , )E E と 31 32( , )S S の 2 つずつの計 5 個ずつ）を考慮し，その他の応力は 0 であるとして，その効果（仮想仕

事）を無視しなければならない．シェルモデルの場合も同様の処理をしなければならない．したがって，例えば

梁とシェルとを同じ解析コードでできるだけ統一的に解析しようとすると，この部分をうまく処理しなければならな

くなる． 5.7. まとめ

以上により，柔軟構造解析に必要最小限の理論については確認できた．よって，この講義の主たる目的は達

成できたことになる．ただ，以上の理論を用いて FEM のコーディングするためには，プログラム言語の理解のみ

ならず，アルゴリズム的なものの考え方が必要となる．また，shear locking など，FEM 特有の数値的な問題が

発生する場合もある．そこで，次章では実際に非線形 FEM による構造解析の流れを具体例を織り交ぜながら

みてゆくことにする．《参考文献》 [5.1] 久田俊明，野口裕久，“非線形有限要素法の基礎と応用”，丸善，第一章，1995． [5.2] 鷲津久一郎編，“有限要素法ハンドブック 1 基礎編 (1)”，培風館，1981．

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第 6章非線形有限要素解析序論

―41―

第6章非線形有限要素解析序論

準備は整ったので，いよいよ，具体例を通して柔軟構造解析のポイントを確認することとする．重要

なのは，いかなる解析対象に対しても同じ手順で定式化できる，という点である．そういう視点を持つこ

とで，より汎用性の高い解析コードを開発することができるようになる． 6.1. 数値計算の流れ

非線形 FEMの中身を考える前に，数値計算全体の流れについて確認しておこう．有限要素解析に関わらず，

科学技術計算では通常，Table 6.1-1 のような流れでコーディングするだろう．

Table 6.1-1 数値計算の流れ

main() ↓

input() : 入力データの読み込み

→

↓

→

↓

↑ ↑ fem(&judge) : FEMによる状態量の更新

↓

←

↓

output() : 状態量，outputデータの出力

↓

←

↓

END

そして，解析コードの主要部分である fem という関数の中身は Table 6.1-2 のようなながれになっているだろう．

Table 6.1-2 関数 fem 内での処理

fem_pre() ：荷重ステップに関する何らかの前処理

↓

→

↓

calc_newton(judge,ite)： Newton法による増分の算出 → *judge=1（収束） ↑ ↓ *judge=0（収束せず）

fem_update() ：変数の更新 ↓

←

↓ ←

fem_post(judge)：荷重ステップに関する何らかの後処理

↓

return

そして，最も重要となる Newton法による増分算出の部分，すなわち，calc_newtonの中の流れは Table 6.1-3のようになるだろう．

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―42―

Table 6.1-3 Newton 法による増分計算

init_newton() ： Newton反復の初期化 ↓

element_form() ：要素節点力および接線剛性マトリクスの計算 ↓

bc_newton() ：境界条件処理 ↓

solve_newton(judge,ite) ：増分計算と収束判定 ↓

return

次節では，この流れに沿って，梁の解析コードを具体的に見てゆく．

6.2. 梁の幾何学的非線形解析コード前節における Table 6.1-1，Table 6.1-2，Table 6.1-3に出てくる関数やアルゴリズムは非線形弾性動

力学解析コード NEDAの内部処理を参考に示したものである（NEDAは動力学コードであるが，その流れは静解析にも通用する）．この流れにそってコーディングすれば，基本的な流れは汎用化できる．

すなわち，どんな変形モデルについても同じコードを用いることができる．しかし，入力すべきデータ

や要素節点力ベクトルおよび接線剛性マトリクスはモデルごとに異なる．それゆえ，コーディングする

前に要素ごとに要素節点力ベクトルおよび接線剛性マトリクスを定式化してメモをつくっておく必要

がある．また，要素によっては要素特有の問題を考慮しなければならない場合がある．そこでこの節では梁を例にとって，①要素特有の問題，②要素節点力および接線剛性，③Table 6.1-1，

Table 6.1-2，Table 6.1-3に出てくる関数の中身について，それぞれ説明する． 6.2.1. Shear locking

FEM の場合，理論通りにコーディングすればよい近似解が得られるかというと，そうとは限らない．その最も典

型的な例が梁における shear locking である． Fig. 6.2-1 のように先端でせん断荷重 P と力のモーメント M を受ける片持ち梁の微小変形を考えてみよう．た

だし，梁の伸び剛性を EA ，せん断剛性を GA （せん断修正係数込みの値），曲げ剛性を EI ，変形前の長さを

L とする．

P

euew

eq

L

M, ,EI GA EA

Fig. 6.2-1 片持ち梁のたわみまず，Timoshenko 梁の微小変形の支配方程式は

( ) , 0 , 0(0) (0) 0 , ( ) , (0) 0

GA w P EI P EAuw EI L M u

q qq q¢ ¢¢ ¢- = + = =

¢= = = = (6.2.1)

となるので，その解析解は 2 3 21( ) , ( ) , ( ) 0

2 6 2P PL P PL Pw x x M x x x M x x u x

GA EI EI EI EIqæ ö æ ö= - + + = + - =ç ÷ ç ÷è ø è ø

(6.2.2)

となる．よって，先端での変位および傾きは 2 3 2

, , 02 3 2e e e

PL ML PL ML PLw uGA EI EI EI EI

q= + + = + = (6.2.3)

となる．これを一つの二節点梁要素で計算してみよう．梁要素では式(5.4.1)のように補間するが，変位が微小であれ

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―43―

ば，この補間は次のような補間に収束する．

3 3 33 3 3

3

3 3 31 1

1 13

01 1 1, ( ) , 0

2 2 21

1 1 cos 11 1 10 , , 0 , 0 0 0

2 2 20 0 sin 1

2

e e

e

e

ee

X L x X u L u

X x w

x x x

qx x x

q x q

é ù+ + + ê ú= = + = + = ê ú

ê úë ûé ùê úé ù é ù é ù ê ú+ - +ê ú ê ú ê ú= = = = + » ê úê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú- +ë û ë û ë û ê ú-ê úë û

E

E e

(6.2.4)

共変基底ベクトルは 1 1

3 3

1 11 11 1 3 1 1 33 3

3 3 13 3

1 31

0 2, 0 0 , , 0 0

/ 22 2

0, 0

2 /

e

e e

X x w

L L uX x

L

x xx x

x xq

xx x

é ù é ù¶ ¶ é ùê ú ê ú ê ú¶ ¶é ùê ú ê ú ê ú¶ ¶ê úê ú ê ú= = + = = = + » ê úê úê ú ê ú¶ ¶ ê úê ú +ê ú ê ú¶ ¶ë û -ê úê ú ê ú ê úë û¶ ¶ê ú ê úë û ë ûé ùê ú= = ê úê úë û

E eG E G g e g

G E G

(6.2.5)

そして，微小体積や Green-Lagrange 歪は

[ ]

1 2 3

32 2 1

33 3 3 13 31 3 1 3 1

21 1 1 1( ) ,2 4 2 4 2

ee e e

LdV d d d

LE u E E w L

x x x

xx q q

=

é ù+é ù= - » - = = × - × » -ê úë û ë ûg G g g G G

(6.2.6)

に収束する．また，弾性テンソル成分は 3333 3 4 1313 1331 3113 3131 1 2 3 2

3 1 34 216 4( ) , ( ) ( )C E E C C C C G GL L

= × = = = = = × × =E G E G E G (6.2.7)

となるので，構成則は 3

33 3333 1 13 31 131333 13 313 2

4 2 1( ) , ( )2

ee e e

E GC E u C E E w LL L

xs x q t t qé ù+= = - = = + = -ê úë û

(6.2.8)

となる．仮想仕事の原理は

( )33 13 31 1 2 333 13 31 0

2e eLE E E d d d P w Ms d t d t d x x x d dq+ + - - =ò

0B (6.2.9)

であるから， 3 3

1 1 1 2 31 1( )( )2 2 2 2

0

e ee e e e e e

e e

E Gu u w L w L d d dL L

P w M

x xx q d x dq q d dq x x x

d dq

é ùæ öæ ö+ +- - + - -ê úç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ê úè øè øë û

- - =

ò0B (6.2.10)

となる．よって， 1 1 2 3

31 2 3

3 31 1 1 2 3

( )2

12 2

1 1( ) 02 2 2 2

ee e

e e e

ee e e e

E u d d d uL

G w L d d d P wL

E Gu w L L d d d ML L

x q x x x d

xq x x x d

x xx q x q x x x dq

ì ü-í ýî þì üæ ö+ï ï+ - -ç ÷í ýç ÷ï ïè øî þì üé ùæ ö+ +ï ï+ - - - - - =ê úç ÷í ýç ÷ê úè øï ïë ûî þ

ò

ò

ò

0

0

0

B

B

B

(6.2.11)

となる．したがって，

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―44―

1 1 2 3( ) 02

ee

E u d d dL

x q x x x- =ò0B

(6.2.12)

31 2 31 0

2 2e eG w L d d d PL

x q x x xæ ö+- - =ç ÷ç ÷è ø

ò0B

(6.2.13)

3 31 1 1 2 31 1( ) 0

2 2 2 2e

e e eE Gu w L L d d d ML L

x xx q x q x x xé ùæ ö+ +- - - - - =ê úç ÷ç ÷ê úè øë û

ò0B

(6.2.14)

ここで，梁の断面積を A とすると， 1 11 2 3 3 1 1 2 3 1 2 1 2 3 31 1

2 23 3 3 31 11 2 3 3 1 2 3 31 1

2 , 0 , ( ) 2

1 1 1 1 2,2 2 2 2 3

d d d A d A d d d d d d I d I

d d d A d A d d d A d A

x x x x x x x x x x x x x

x x x xx x x x x x x x

- -

- -

= = = = =

æ ö æ ö+ + + += = = =ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷

è ø è ø

ò ò ò ò ò

ò ò ò ò

0 0 0

0 0

B B B

B B

(6.2.15)

であるから，式(6.2.12)，(6.2.13)，(6.2.14)より，

0 , 0 , 02 2 3e e e e e e

EA GA L EI GA GALu w P w ML L L

q q qæ ö= - - = - + - =ç ÷è ø

(6.2.16)

よって， 2 3 2

221 1, , 0

2 212 1

1212

e e ePL ML PL ML PLw uGA EI EI EI EIGALGAL

EIEI

qæ ö æ ö

= + + = + =ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷æ ö è ø è ø++ç ÷ç ÷è ø

(6.2.17)

一般に梁の場合， 2 /GAL EI は非常に大きな値となるので，この結果は解析解(6.2.3)に比べてたわみやたわみ

角が極端に小さいものとなってしまう．この現象を shear locking と呼ぶ．このような現象はなぜ起ってしまうのだろうか？

2 /GAL EI が大きな値の場合，せん断変形は極めて小さい値になるはずである．この場合，式(6.2.6)による

と， 31 0

2e ew Lx q+- ® (6.2.18)

でなければならず，そのためには 0 , 0e ew q® ® (6.2.19)

でなければならない．それゆえ，たわみや撓み角が極端に小さくなってしまうのである．そこで，この shear locking を避けるために， 3x 方向は積分点の少ない Gauss 積分で積分を近似する方法

が用いられる．そのような積分を次数低減積分（reduced integration）と呼ぶ．この場合には，せん断歪がが至

るところで 0になるという条件は，積分点で 0，という条件に緩和されるので，shear lockingは起きないとされる．

そして，二節点梁要素の場合，一点の Gauss 積分を用いると shear locking が起らないとされている．では，実際に一点の Gauss 積分で計算してみよう．式(6.2.15)において，

2 23 311 2 3 31

1 1 12 2 2

d d d A d Ax xx x x x-

æ ö æ ö+ += Þç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è øò ò

0B (6.2.20)

となる（その他は変わらない）．これを式(6.2.12)，(6.2.13)，(6.2.14)に代入すると，

0 , 0 , 02 2 4e e e e e e

EA GA L EI GA GALu w P w ML L L

q q qæ ö= - - = - + - =ç ÷è ø (6.2.21)

となる．これを解くと， 2 3 2

, , 02 4 2e e e

PL ML PL ML PLw uGA EI EI EI EI

q= + + = + = (6.2.22)

を得る．この場合， eu と eq に関しては解析解(6.2.3)と一致するが， ew は異なっている．これを一致させるために

は，せん断剛性GA を次式を満たす cG A に修正すればよい． 2 2

4 3c

PL PL PL PLG A EI GA EI

+ = + (6.2.23)

すなわち，

日本

機械

学会

宇宙

工学

部門


―45―

2

2

1 12121

cEIG A EI L

GAL

=+

(6.2.24)

この式からわかる通り， * 212 /G A EI L» であり，せん断剛性を非常にやわらかくする必要があることがわかる．

Shear locking の詳細については例えば文献[6.1]，[6.2]，[6.3]を参照のこと． 6.2.2. 要素節点力および接線剛性マトリクス

FEM の“肝”となるのは応力による等価節点力と接線剛性マトリクスの導出である．そこで，離散化された平衡

方程式(5.5.4)のうち，応力による等価節点力の部分を ijij

EE

S dV¶

º¶òfz0B

(6.2.25)

として，これの中身を詳しくみてみよう．まず，梁は二節点梁要素で分割し，配位変数として，各節点の変形後の

断面中心の平衡状態近傍の位置から変位 mu と，平衡状態近傍のある姿勢からの回転を記述する修正

Rodriguez ベクトル mβ としよう．ただし，“ある姿勢”は，Newton 反復において常に解候補の姿勢に更新してゆ

くこととする．つまり，一つ前の Newton 反復により得られた位置ベクトル mox と正規直交基底マトリクス m

oR に対

し， m m m

o= +x x u (6.2.26) 2

2 24 2ˆ ˆ

4 4m m m m m m

o m mwith= = + ++ +

R R T T I β ββ β

(6.2.27)

として応力や歪の偏微分，接線剛性マトリクスの式を求める．そして，プログラム上では m =u 0 ， m =β 0 とした場

合のそれらの値を計算し，Newton 増分 mDu ， mDβ を求める．そして， m m m¬ +x x u (6.2.28)

2

2 24 2

4 4m mm m m m

m mwith¬ = + D + D+ D + D

R R T T I β ββ β

(6.2.29)

により mx と mR を更新する．この方法により得られた解では，その姿勢での厳密な仮想変位に対する仮想仕事

を計算できていることになる．では，実際に定式化してみよう．梁の中央の一点のみの次数低減積分を行なうので，各量は次のようになる．

①共変基底ベクトル

3 33 3 3 3, , ,a aa aa a a ax x

x x x x¶ ¶ ¶ ¶

= = + = = +¶ ¶ ¶ ¶

X E x eG E G g e g (6.2.30)

②歪テンソル成分

( )

( )

3 3 3 3 3

33 3 3 3 3

2 22

3 3 3 3

2 22

3 3 3 3

1 12 212

1 2 ( )2

1 2 ( )2

E

E

a a a a a

a aa a

a aa a

x x

x xx x x x

x xx x x x

æ ö¶ ¶= × - × = × - ×ç ÷¶ ¶è ø

= × - ×

é ùæ ö æ ö¶ ¶ ¶ ¶ê ú= + × +ç ÷ ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ê úè ø è øë û

é ùæ ö æ ö¶ ¶ ¶ ¶ê ú- + × +ç ÷ ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ê úè ø è øë û

x Xg g G G e E

g g G G

x x e e

X X E E

(6.2.31)

③軸方向微分 2 1

3 3 3 3 31 1 1 1 1( ) , , ,2 2 2 2 2

m m m m mmm m m m

N a aa ah h h h

x x x x x¶ ¶ ¶ ¶ ¶

= = - º = = =¶ ¶ ¶ ¶ ¶

X x E eX X X X x E e (6.2.32)

④歪テンソル成分

日本

機械

学会

宇宙

工学

部門


―46―

1 2 1 2

3

233

2

1 1 12 2 2 2 2 8

1 1 1 1 12 ( )2 4 2 2 41 1 1 1 12 ( )2 4 2 2 4

28

m m n m n mmm m

m n m n m nm n m n m n

m n m n m nm n m n m n

m n m nm n

E

E

a a a aa a a

a aa a a

a aa a a

a

hh h

h h x h h x h h

h h x h h x h h

h hx

é ù+ + é ù= - = × - ×ê ú ë ûë ûé ù= × + × + ×ê úë ûé ù- × + × + ×ê úë û

= × - × +

e e E Ex X e x E X

x x x e e e

X X X E E E

x x X X ( ) ( )2( )m n m n m n m naa a a a a axé ù× - × + × - ×ë ûx e X E e e E E

(6.2.33)

⑤反変基底ベクトル

2 3

1 2 3( )i ii ´

=´ ×

G GG

G G G

(6.2.34)

したがって， i i

a ad× =E G (6.2.35) ⑥正規直交系での弾性テンソル成分

2 11313 1 2323 2 3333* * *2 2 1 2

1 2 2 2

1 12 1 12, ,12 121 1

c cEI EIC G C G C E

EI AL EI ALG AL G AL

= = = = =+ +

(6.2.36)

⑦弾性テンソル成分 1313 1313* 1 3 1 3 * 1 3 3 11313 1313* 3 1 1 3 * 3 1 3 12323* 2 3 2 3

( )( )( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )

ijkl i j k l i j k l

i j k l i j k l

i j k l

C C C

C C

C

= × × × × + × × × ×

+ × × × × + × × × ×

+ × × × ×

E G E G E G E G E G E G E G E G


E G E G E G E G

2323* 2 3 3 2

2323 2323* 3 2 2 3 * 3 2 3 23333* 3 3 3 3

( )( )( )( )

( )( )( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )

i j k l

i j k l i j k l

i j k l

C

C C

C

+ × × × ×

+ × × × × + × × × ×

+ × × × ×

E G E G E G E G


E G E G E G E G

(6.2.37)

すなわち， 3 3 1313 3 3 2323 3 3

* 1 3 3 * 2 3 31 23333 3 3* 3 3 3 3

333 3333 3 3 3* 3 3 3 3

3333 3333 3 3 3 3* 3 3 3 3

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

C C C

C

C C

C C

a b a b a b

a a

a a

d d d d= × × + × ×

+ × × × ×

= × × × ×

= × × × ×

E G E G E G E G

E G E G E G E G

E G E G E G E G

E G E G E G E G

(6.2.38)

⑧応力テンソル成分 3 3 3 333 33 33 3 3333

3 33 3 332 , 2S C E C E S C E C Ea a b a ab a= + = + (6.2.39)

⑨変形前の微小体積 1 2 3 1 2 3

1 2 3 3 3( )dV d d d E d d dx x x x x x= ´ × = ×G G G G (6.2.40) ⑩正規直交基底ベクトルの変分

2

4 1 ˆ24

m m m m m m

mwithd d é ù= = -ê úë û+

R R A β A I ββ

(6.2.41)

よって， ˆ ˆm m m m m m m m m m m m

i i i i i iwithd d d d= = - º = -e R A β i R i A β B β B R i A (6.2.42) ⑪歪の偏微分

3 33

3 33

, ( )8 4

( ) , ( ) ( )8 4

n n nm m nm m

m T n m T n nn m nm m

E E

E E

aaa a

a aaa a a

h h hx

h h h x x

¶ ¶= = +

¶ ¶¶ ¶= × = × +¶ ¶

e x eu u

B x B x eβ β

(6.2.43)

⑫等価節点力

日本

機械

学会

宇宙

工学

部門


―47―

3 33 1 23 333 3

3 33 1 23 333 3

2( ) 2

2( ) 2

ijm ijx m m m

ijm ijm m m

E E ES dV S S d d

E E ES dV S S d d

a a

a ab

x x

x x

¶ ¶ ¶é ùº = × +ê ú¶ ¶ ¶ë û¶ é ù¶ ¶

º = × +ê ú¶ ¶ ¶ë û

ò ò

ò ò

f E Gu u u

f E Gβ β β

0 0

0 0

B T

B T

(6.2.44)

⑬正規直交基底ベクトルの偏微分

2 24 1 2ˆ ˆ ( )

24 4

TT T¶é ù é ù= + Þ = - + Äê ú ë û¶ë û+ +

A zA z I β z z A z βββ β

(6.2.45)

ˆ( ) ( )T T T T T i T T i Ti i¶ = - ¶ = - = =R y R RR y R B R y R Ri A R y R yA (6.2.46)

よって，

2

ˆ

ˆ( ) ( ) 2 ˆˆ ( )4

Ti

T T TT T Ti

ia

=

¶ ¶ é ù= = - + Ä +ë û¶ ¶ +

z i R y

B y A i R y z A z β A i R yAβ β β

(6.2.47)

⑭歪の二階編微分 2 2 2

3 33 33

2 223 33

, ,8 4 4

( )( ) , ( ) ( )8 4

n nm m n m nm n m n m n

m T n nm T nm T nn m n

mn mnm n m m n m

E E E

E E

aaa a

aa aaa a

a a

h h h h h x

xh h hd x d

¶ ¶ ¶= = =¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

é ùé ù¶ +¶ ¶ ¶ ë ûê ú= = +ê ú¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ë û

B I Bu β u u u β

B x eB x B Bβ β β β β β

(6.2.48)

⑮応力の偏微分 3 33

33 3 333 33 3 333333 3 33

3 3333 3 333 33 3 333333 3 33

2 , 2

2 , 2

n n n n n n

n n n n n n

ES E S E EC C C C

ES E S E EC C C C

aba b a a a

aba b a a a

¶¶ ¶ ¶ ¶ ¶= + = +

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶¶¶ ¶ ¶ ¶ ¶

= + = +¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

u u u u u u

β β β β β β

(6.2.49)

⑯接線剛性マトリクス 3 2 331 11 2 333 33 33

3 31 1

2 3 2 331 11 2 3 333 3 33 333 31 1

1

2( ) 2

( )

2( ) 2 2

mnxx m n m n m n

mn nm Tx x

m n m n m n m n

mn

E S E E Sd d S

E E S E E Sd d S S

d d

aa

b b

aa a a

bb

x x

x x

x x

- -

- -

é ù¶ ¶ ¶ ¶ ¶= × Ä + + Äê ú¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ë û

=

é ù¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶= × + Ä + + Äê ú¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ë û

=

ò ò

ò ò

J E Gu u u u u u

J J

E Gu β u β u β u β

J

2 3 2 331 1 2 3 333 3 33 333 31 1

2( ) 2 2m n m n m n m nE E S E E SS S

aa a a

- -

é ù¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶× + Ä + + Äê ú¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ë û

ò ò E Gβ β β β β β β β

(6.2.50)

⑰歪の偏微分の実際の値

3 33

3 33

ˆ

,4

( ) , ( )4

m mi i

n n nmm nm m

m T n m T n nnm nm m

E E

E E

aaa a

a aaa a a

h h h x

hh h x x

= -¶ ¶ é ù= = +ë û¶ ¶¶ ¶ é ù= = +ë û¶ ¶

B R i

e x eu u

B x B x eβ β

(6.2.51)

⑱歪の二階編微分の実際の値

日本

機械

学会

宇宙

工学

部門


―48―

2 2 23 33 33

2 223 33

ˆ

ˆ( ) ( ) 1 ˆˆ2

, ,4

( )( ) , ( ) ( )4

Ti

T T TTi

i

n nmm n m nm n m n m n

m T n nm T nm T nn

mn m n mnm n m m n m

E E E

E E

a

aaa a

aa aaa a

a a

h h h h h x

xhd h h x d

=

¶ ¶= = - +

¶ ¶

¶ ¶ ¶= = =¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

é ùé ù¶ +¶ ¶ ¶ ë ûê ú= = +ê ú¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ë û

z i R y

B y A i R y z i R yβ β

B I Bu β u u u β

B x eB x B Bβ β β β β β

(6.2.52)

⑲要素節点力ベクトルおよび要素剛性マトリクス 1 11 11 12 12

1 11 21 12

2 22 22

2 22

( ),

.

x xx x xx xT

xE E

x xx x

Sym

b b

b bb b bb

b

b bb

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú

= =ê ú ê úê ú ê úê ú ê úê ú ê úë û ë û

f J J J J

f J J JF J

f J J

f J

(6.2.53)

6.2.3. 直線梁の場合の要素内積分

直線梁の場合，要素内の積分のうち，断面方向，すなわち， 1x および 2x 方向の積分は手計算で簡単に求め

られる．

①基底ベクトル 3

3 3 32, , ,

2L

La

a a a= = = =G E G E G E G E (6.2.54)

ただし， 2 1L = -X X (6.2.55)

②歪 2 2

23 33 3, 2 ( )

8 4 8 8 4n m m n m n m nm m nL L LE E a a

a a a a a ah h hg x x gé ù= × º = × + × + × - ºë ûe x x x x e e e (6.2.56)

すなわち， 2

3 21, 2 ( )

2 22n m m n m n m nm m n

L La a

a a a a ah h h

g g x xé ù= × = × + × + × -ë ûe x x x x e e e (6.2.57)

と定義する． ③弾性テンソル成分

1313 1 2323 2 3333* *2 2 4

4 4 16, ,C G C G C EL L L

= = = (6.2.58)

④応力 3 3 3 33 3333 3

3 * 33 32 22 2 4 42 ,S C E G S C E EL L L L

a a a a aa ag t g t= = º = = º (6.2.59)

すなわち 3

* 3,G Ea aat g t g= = (6.2.60)

と定義する． ⑤歪エネルギ

3 1 23

2 2 2 2* 3 33 3

33

12 2

( ) ( ) ( ) 2 ( )2 2 2 2

1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2

ijij

i ii i

LS E dV d d

G AL EAL EI L EJ Lp q q

N H p P Q q N H p P Q q

aa

aa a

a a a a

a a a a aa a a a a

t g t g x x

g g g

g g g g

- -

é ù é ùP = = +ë û ë û

é ù= + + + +ë û

º + + + = + + +

ò ò0 0B T

(6.2.61)

日本

機械

学会

宇宙

工学

部門


―49―

ただし，

3 2 2 21 , ,22 2

m n m n m nm n m n m np qL L La a a a a

h h h h h hg = × - = × = ×x x x e e e (6.2.62)

3 2 1 2* 3

33 3 3 3 3

, , ( )

, , , ,i ii

K G AL K EAL J d d

N K H EI Lp P EI L P EI Lq Q EJ Lq

a a aa

a a aa a a a a a a

x x x

g g

-

- - - -

= = =

= = = = =

ò0T (6.2.63)

⑥歪の偏微分 3

2 2

2 2

, ,2

( ) , ( ) , ( )2

n n nm m n m nm m m

m T n m T n m T nm m n m nm m m

pL L L

p qL L L

a aa a

a a aa a a a

g h g h h h h

g h h h h h

¶ ¶ ¶= = =¶ ¶ ¶¶ ¶ ¶

= × = × = ×¶ ¶ ¶

e x eu u u

B x B x B eβ β β

(6.2.64)

⑦等価節点力 3 3m i i

x m m m m

mm m m m m

pN H P

p qN H P Q

a a

a a a aa a a ab

g g

g g

¶P ¶ ¶ ¶= = + +¶ ¶ ¶ ¶¶P ¶ ¶ ¶ ¶= = + + +¶ ¶ ¶ ¶ ¶

fu u u u

fβ β β β β

(6.2.65)

⑧歪の二階偏微分 2 2 2

32 2

2 2

2

2

2

, ,2

( ) ( ),2

( ) ( )

n nm m n m nm n m n m n

m T n m T nm m n

mn mnm n m m n m

m T nm T nm n

mnm n m

pL L L

pL L

qL

a aa a

a a a a

a a aa a

g h g h h h h

g h h hd d

h hd

¶ ¶ ¶= = =¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

¶ ¶ × ¶ ¶ ×= =

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

é ù¶ ¶ ×= + ×ê ú

¶ ¶ ¶ë û

B I Bu β u u u β

B x B xβ β β β β β

B e B Bβ β β

(6.2.66)

⑨応力の偏微分 3

3 3

3

3 3 3

, ,

, , ,

ii i

n n n n n n

ii i

n n n n n n n n

N H p PK EI L EI L

N H p P q Q qK EI L EI L EJ L

a aa

a a

a aa a a

a a a

g g

g

- -

- - -

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶= = =

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

= = = =¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

u u u u u u

β β β β β β β β

(6.2.67)

⑨接線剛性マトリクス 2 2

3 33 3

2 33

2

2 2

imn ixx m n m n m n m n

mnx m n m n m n m n

mnm n m n m n

m n m n m

N p HN P

N p H p PH

N p HN

p qH P

aa

a aaa a a

b

a aaa a a

bb

a aa a a

g g g

g g

g g

g

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶= Ä + + Ä +¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

= Ä + Ä + + Ä¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

¶ ¶ ¶ ¶ ¶= Ä + + Ä¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

¶ ¶ ¶ ¶+ + + Ä

¶ ¶ ¶ ¶ ¶

Ju u u u u u u u

Ju β u β u β u β

Jβ β β β β β

β β β β β

2

n m nQ qQa

a a¶+

¶ ¶ ¶β β β

(6.2.68)

以上，等価節点力および接線剛性マトリクスの求め方について概略を述べた．実際にコーディングする場合に

は，はじめに計算の順序を考えた上で，その順序にそってこういった定式化をしっかりしておくことが大切である．

そうでないと，バグ取りに多大な時間を要することになるだろう． 6.2.4. 全体節点力ベクトルと全体接線剛性マトリクス

要素節点力ベクトルは 6 行のベクトル，要素接線剛性マトリクスは 6 行 6 列のマトリクスとなるが，これは 1 つ

の要素に関するものであって，系全体の変形形状を求めたければ，系全体の節点力ベクトルおよび接線剛性マ

トリクスを求める必要がある．これについての詳細な説明は巷の参考書に譲るが，次のようにして全体ベクトル・

マトリクスに要素ベクトル・マトリクスを加算（重ね合わせ）してゆけばよい．

日本

機械

学会

宇宙

工学

部門


―50―

1. 系全体の自由度総数をDofmax とする（一つの節点の自由度は6であるので，特別なことがなければ自

由度総数は節点総数の 6 倍である）． 2. 節点 m の i 番目の自由度（ 1 ~ 3i = は mu の各成分， 4 ~ 6i = は mβ の各成分にそれぞれ対応）の，系

全体での通し番号を格納した配列 Node_dof(m,i)を用意しておく． 3. Dofmax 行の全体節点力ベクトル gF と Dofmax 行 Dofmax 列の全体接線剛性マトリクス gJ を用意する

（全ての成分を 0 に初期化しておく）． 4. 要素節点力ベクトル EF と要素接線剛性マトリクス EJ を計算する． 5. その要素の両端の節点が 1m と 2m であった場合， 1(1)N m= ， 2(2)N m= として，次のように EF と EJ を

gF と gJ に重ね合わせる． 1 ~ 2a = ， 1 ~ 6i = として

6 6En ia= - + ， Node_dof ( ( ), )gn N ia= ( ) ( ) ( )g g g g E En n n= +F F F

1 ~ 2b = ， 1 ~ 6j = として ( , ) ( , ) ( , )g g g g g g E E En m n m n m= +J J J

6. 4 と 5 を全ての要素に対して繰り返す． 7. 1

g g-D = -z J F により Newton 増分ベクトル Dz を求める．

8. 次のようにしてDz から mu と mβ を求める．ただし， Node は節点総数である． 1 ~ Nodem = ， 1 ~ 3i = として，

Node_dof ( , )gn m i= ( ) ( )m

gi n= Du z Node_dof ( , 3)gm m i= +

( ) ( )mgi m= Dβ z

Ex. 50 要素ベクトルおよびマトリクスと全体ベクトルおよびマトリクス

なぜ要素節点力ベクトルや要素接線剛性マトリクスをこの節で示したような方法で加算してゆくと全体節点力ベクトルや全

体接線剛性マトリクスになるのかを説明しなさい． 6.2.5. 固定点の処理

片持ち梁の場合のように固定点がある場合，その点には自由度を割り当ててはいけないわけであるが，割り

当てておいて，後で修正する方法もある．つまり，前節の手順 6 までで gF と gJ を求めた後，7 で Dz を求める前

に， gF と gJ を修正するのである．固定点と非固定点との違いは，要は固定点に対応したDz の成分が 0 になっている，ということだけであるので，

1g g-D = -z J F という演算によって自動的にそういう Dz が求まるように gF と gJ を修正すればよい．具体的には，

i 番自由度を固定したい場合， ( ) 0g i =F ， (*, ) ( ,*) 0g gi i= =J J ， ( , ) 1g i i =J とすればよい． 6.2.6. 収束判定

Newton 反復の条件として数学的に最もふさわしいのは g e¥<F であろう．しかし， e の値をどれくらいに設

定すればよいかを決めるのは若干面倒かもしれない．なぜなら， gF の各成分は節点に作用する力であったり力

のモーメントであったりするし，どれくらいの残渣力であれば収束したのみなせるのかを直感的に判断するのは

容易ではないだろう．これに対し，Dz であれば，少しは直感的にわかりやすいと考えられる．つまり， e

¥D <z とした場合， e を決

めるのは，比較的容易であろう．もちろん，並進変位と回転変位とを区別する方がなおよい．つまり， ,m m

u be e¥ ¥< <u β (6.2.69)

6.2.7. 状態量の更新

節点の位置ベクトルは式(6.2.28)のように更新すればよいが，回転に関しては，式(6.2.29)のように mR を状態

量として更新するのは 2 つ問題がある．まず，回転は 3 とのパラメータで記述できるのに， mR を状態量としてし

まうと 9 つものデータを保存する必要がでてくる．次に，式(6.2.29)のようにすると，桁落ちにより mR の正規直交

性が失われる可能性が否定できない．そこで，節点の回転を表す状態量としては，例えば Rodriguez ベクトル

や Euler parameter などを用いるとよい．Rodriguez ベクトルや修正 Rodriguez ベクトルでは 1.11 節で示し

た通り，分母が 0 になったり回転角が大きくなった場合に特別な処理を必要としたりするので，ここでは Euler parameter を状態量とすることにする．この場合，式(1.13.2)を考慮すると，状態量の更新は次のようにまとめら

れる．

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m m m

m mo o om

o o

q q qq q

¬ +

D - ×Dé ù é ù= ¬ê ú ê úD + D + ´Dë û ë û

x x u

q qq

q q q q q

(6.2.70)

ただし，

2

21

4 ( )

mom

mm

q é ùDé ùD = = ê úê úDë û + ë û

qq ββ

(6.2.71)

Ex. 51 Euler parameter と修正 Rodriguez ベクトル

式(6.2.71)を証明しなさい． 6.2.8. データ入力関数 input()

FEM に限らず，数値計算の際にしっかり考えなければならないのは入力データである．つまり，どんなデータ

を与えれば所望する計算ができるのかを理解しておく必要がある．通常，入力データは解析コードのソースに記

述するのではなく，ファイルから読み込む形にする．これは，同じコードで様々なモデルを計算できるようにする

ためである．最低限必要なデータファイルとしては次の 4 つに分類できる．これらを読み込むのが，Table 6.1-1に示した関数 input()である．

1. 要素－節点関係や変形前の節点位置・姿勢情報，材料定数等を格納するデータ（data1.txt とす

る）． 2. 現時点（変形後）の節点位置・姿勢情報を格納するデータ（data2.txt とする）． 3. 収束判定条件や計算ステップ数（構造物に荷重を複数ステップに分けて徐々に付加してゆくのが

一般的である）等を格納するデータ（sim.txt とする）． 4. 境界条件（幾何学的境界条件・力学的境界条件）等を格納するデータ（model.txt とする）．

4 番の model.txt については，計算したいモデルによって様々な場合が考えられるので，ここでは説明を省略する．その他のファイルについては，梁だけでなく，シェルや膜，剛体といった様々な変形モデ

ルに対して統一的に変数を与えて記述することが可能なのであるが，ここでは簡単のため，梁モデルに

特化して説明することにする． ①定数データ格納ファイル“data1.txt” 必要なデータは次の通りである．

Table 6.2-1 定数データ

変数名内容 Node 節点総数

Elem 要素総数

Dofmax 自由度総数（特別なことがなければ，6*Nodeとなるはず）．

XX(m,i) mX のi成分．

QQ(m,i) mQ のi成分（ mQ は変形前のEuler parameter）．

Node_dof(m,i) i=1～3：mu のi成分の自由度番号（特別なことがなければ，6*m-6+i）

i=4～6:mβ の(i-3)成分の自由度番号（特別なことがなければ，6*m-6+i）

Elem_node(n,k) 要素nのk番目の節点の節点番号

Elem_mat(n) 要素nの材料の種類番号

Mat(i,j) 材料iのE, 1G ， 2G ，A， 1I ， 2I を格納した配列．つまり，Mat(i,1)=E，Mat(i,2)=1G といった感じ．

Fix_max 固定自由度総数

Fix_dof(i) i番目の固定自由度の自由度番号

②現在状態量データファイル“data2.txt” 必要なデータは次の通りである．

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Table 6.2-2 現在状態量データ

変数名内容

Node 節点総数

xx(m,i) mx のi成分．

qq(m,i) mq のi成分．

③シミュレーションデータファイル“sim.txt” 最低限必要なデータは次の通りである．

Table 6.2-3 シミュレーションデータ

変数名内容 epsi_u ue epsi_b be Itemax Newton反復の最大値（これ以上反復しても収束しなければ諦める）

6.2.9. FEMの前処理関数 fem_pre()

荷重ステップに関する何らかの前処理があれば，Table 6.1-2 に示した関数 fem_pre()で行なう． 6.2.10. Newton法の初期化関数 init_newton()

Table 6.1-3 に示した関数 init_newton()では，初期化作業を行なう．すなわち， g =F 0 ， g =J 0 とする． 6.2.11. 要素節点力・接線剛性マトリクス算出関数 element_form()

Table 6.1-3 に示した関数 element_form()では，要素でループを回して，要素節点力ベクトル EF ，接線剛

性マトリクス EJ を算出し，6.2.4 節に示した方法で全体節点力ベクトル gF と全体接線剛性マトリクス gJ に重ね合

わせる． 6.2.12. 境界条件処理関数 bc_newton()

Table 6.1-3 に示した関数 bc_newton()では，固定点がある場合には，6.2.5 節に示した方法で固定点処理

を行なう． 6.2.13. 増分計算関数 solve_newton()

Table 6.1-3 に示した関数 solve_newton()では，Newton 増分ベクトルを 1g g-D = -z J F により求める．そして，

6.2.4 節に示した方法で mu と mβ を求める．そして，6.2.6 節に示した方法で収束判定をし，収束していれば収

束判定フラグを judge=1，していなければ judge=0 とする． 6.2.14. 変数の更新関数 fem_update()

Table 6.1-2 に示した関数 fem_update()では，6.2.7 節に示した方法で mx と mq を更新する． 6.2.15. FEMの後処理関数 fem_post(judge)

何らかの後処理があれば，Table 6.1-2 に示した関数 fem_post(judge)内で行なう． 6.2.16. データ出力関数 output()

Table 6.1-1に示した関数 output()では，現時点での mx および mq をデータファイル data2.txtに格納する．

その他，必要なデータもファイルに出力する． 6.3. 例題

前節までに述べた方法で実際に線形弾性体の変形を計算する例題を以下に示す． 6.3.1. 直線梁の二次元せん断

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片持ち梁の先端にせん断荷重を作用させたときの梁の二次元変形を計算してみよう．この問題を Elastica モデル[6.4]で定式化してみると，平衡方程式は次のようになる．

,¢ ¢ ¢= + ´ =P 0 M x P 0 (6.3.1) ただし，ダッシュは梁の変形前の軸方向に沿って埋め込まれた座標 s での微分を表す．これを Fig. 6.2-1 と同じ

座標系を用いて書き直すと， [ ]2 1 1 3 3

1 1 3 3 1 3

1 2 3

(1 )

cos (1 )sin , sin (1 ) coscos 0 sin

0 , 0 , 1 , 00 sin 0 cos

EI

x xP

q e e

e q e q e q e q

q q

q q

¢¢ + + + ´ =

¢ ¢= + + = - + +

é ù é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú ê ú= = = =ê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë û ë û

e e e P 0

P e e e

(6.3.2)

ただし， 1e および 3e はそれぞれせん断歪および伸び歪の一種である[6.4]．Elastica の場合，伸びおよびせん

断変形を 0 と仮定するので，式(6.3.2)を整理すると， cos 0EI Pq q¢¢ + = (6.3.3)

これは積分できて， 21 sin

2EI P Cq q¢ + = (6.3.4)

となる．ここで，境界条件は 0 : 0 , : 0s s Lq q ¢= = = = (6.3.5)

であることを用いると， 2

sin sine

d P dsEI

qq q

=-

(6.3.6)

を得る．よって，

0

2sin sin

e

e

d PLEI

q qq q

=-ò (6.3.7)

により eq を求めることができる．この式の左辺はいわゆる楕円積分（例えば[6.6]）で表すことができる．実際に

Elastica モデルによる変形を計算すると Fig. 6.3-1(a)のようになる．次に，伸びやせん断剛性を考慮する場合を考えてみよう．式(6.3.2)より，

[ ]1 3 1 1 3 3 1 3sin (1 )cos , cos (1 )sin , sin (1 ) cosP x xEI

q e q e q e q e q e q e q¢ ¢¢¢ = - + = + + = - + + (6.3.8)

となるので， 1e および 3e を 1 3( , , , , , )x x P EIq q ¢ のどれかを用いて記述できれば，これらの微分方程式を解くことが

でき，解が得られることがわかる．また， 1 3 3

1 3 1 1 3 33

(1 )P P with e e= + = + +gP e g e eg

(6.3.9)

とおくと， 1P がせん断力， 3P が軸力を意味することになる．そこで，構成則を 1 3

1 3, 1P GA P EAe é ù= = -ë ûg (6.3.10)

と与えてみる．この場合，歪は Cauchy 歪に対応することがわかる．式(6.3.2)より 3 1 33 1

2 2 2 23 1 3 1

1sin , cos(1 ) (1 )

P P P P Pe eq q

e e e e

+= = +

+ + + + (6.3.11)

であるので，これを式(6.3.10)に代入すると，

3 1 12 2 2 23 1 3 1

1 1sin (1 ) 1 , cos 1(1 ) (1 )

P EA P GA EAq e q e ee e e e

é ù é ùê ú ê ú= + - = + -ê ú ê ú+ + + +ë û ë û

(6.3.12)

を得る．この両者から 1e と 3e を求めればよい．この連立方程式は非線形であるので，例えば式 (6.3.8)をRunge-Kutta 法で解く場合，各ステップにおいて与えられた ( , , , )EA GA P q に対して Newton 法で 1e と 3e を求

め，それを(6.3.8)の右辺に代入する，という作業を行なうことになる．実際に

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2 20.02 , 0.0001EI EIEA GAL L

= ´ = ´ (6.3.13)

の場合にその方法で変形形状を求めると Fig. 6.3-1(b)のようになる．伸び剛性を小さくしているので，せん断荷

重が大きくなると Elastica 解に比べて梁が伸びていることがわかる．

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1x

3x

2.0´

1.0´

2 5.0EIPL

= ´

0.1´

3x

2.0´

1.0´

0.1´

5.0´

(a) Elastica解 (b) 伸縮・せん断を考慮した Elastica解

Fig. 6.3-1 片持ち梁のたわみ Elastica 解

ちなみに，式(6.3.12)をどう解けばよいかというと，例えば，

2 23 1

11 sin(1 )

EA xP qe e

é ùê ú- =ê ú+ +ë û

(6.3.14)

とおいて， x に関する方程式を導けばよいだろう．この場合，(6.3.12)より

3 11 cos1 ,

sinP

x GA xPq

e eq

+ = =+

(6.3.15)

を得るので，これを再び式(6.3.14)の左辺に代入すると， x に関する方程式が次のように得られる． 2 2 2

3 1 1 3( sin 1) 1 2 sin ( sin 1) 0k P x k P x k P x x k P xq q q- + + + + = (6.3.16) ただし，

1 31 1,k k

GA EA= = (6.3.17)

である．ここで， 1 3 0k k= = であれば， 1x = となって， 1 3 0e e= = となり，Elastica 解に一致する． 1 3 0k k= = とい

うことは，伸び剛性とせん断剛性が無限大ということであるから，Elastica解と一致するのは当然と言えば当然で

ある．大事なのは，GAや EA ではなく， 1k や 3k を与えるという点である． GA や EA を与えていると，それらが無

限大の場合の計算ができないし，無限大でない場合でも，無限大に近いくらい大きい値の場合に計算誤差が

出やすい．

以上，梁を Elastica モデルで解析する方法について説明した．この結果と FEM の結果を比較することで，

コードのバグ取りや FEM の定式化自体の妥当性を検証することができる．現場で FEM を用いる場合，技術者は常にその精度を問われることになるので，実験による検証以外にも

様々な検証法を備えておく必要がある．それは物理的な考察であってもよいし，ここで示したような FEM 以外の

解法との比較であってもよい．大事なことは，いろいろな引き出しを持っておくことだろう．なお，三次元の Elastica についても，伸びとせん断変形を考慮した解析解を求めることができる[6.7]．

Ex. 52 Elastica

式(6.3.3)から(6.3.4)を導きなさい． Ex. 53 Elastica と楕円積分

式(6.3.7)を解いて eq を求め，式(6.3.2)を用いて 1x および 3x を求めて Fig. 6.3-1(a)を自分で描画しなさい． Ex. 54 Cauchy 歪による拡張 Elastica

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式(6.3.9)と(6.3.10)で与えられる構成則の物理的意味について検討しなさい． Ex. 55 Elastica の伸びとせん断

式(6.3.12)を解くプログラムを作成し，適当に ( , , )EA GA P を与えて 0 / 2q p£ £ の範囲でq を与え，実際に 1e と 3e を

求めなさい． Ex. 56 Antmann の拡張 Elastica

構成則を1 3

1 3P P= +P e e ，1

1P GAe= ，3

3P EAe= と与えた場合の支配方程式を，(6.3.2)から出発して導きなさい．

そして，q に関する微分方程式を積分し，式(6.3.4)および(6.3.7)に対応した方程式をそれぞれ導きなさい． Ex. 57 片持ち梁のたわみ

片持ち梁のFEM 解析コードを作成し（できれば Matlab で），実際に計算し，片持ち梁の変形形状を自分で描画しなさい．

また，Elastica 解と比較しなさい（Elastica の計算コードは http://forth.aero.cst.nihon-u.ac.jp/ym/からダウンロード可

能である）．《参考文献》 [6.1] 久田俊明，野口裕久，“非線形有限要素法の基礎と応用”，丸善，第一章，1995． [6.2] 大坪， [6.3] reduced integration [6.4] 小林繁夫，近藤恭平，“弾性力学”，培風館，1987． [6.5] Antmann, [6.6] 楕円積分, [6.7] Y. Miyazaki and K. Kondo, “Analytical Solution of Spatial Elastica and Its Application to Kinking Problem”,

International Journal of Solids and Structures, Vol.34, No.27, pp.3619-3636, September 1997.

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《最後に》

このテキストは，まだ作りかけのものであるので，実際の非線形 FEM の例も梁しか示していないが，今後，膜

やシェル，あるいは実際の宇宙構造物モデルの計算例も載せてゆこうと考えている．

平成 17 年 3 月 31 日著作権

著作権は著者が有します．許可なくこの資料を二次使用することを禁じます．著者の連絡先は以下の通り

です．宮崎康行

〒274-8501 千葉県船橋市習志野台 7-24-1 日本大学理工学部航空宇宙工学科

e-mail : [email protected]

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日本機械学会宇宙工学部門 - jsme.or.jp · 日本機械学会宇宙工学部門 ―v― 記号表 : j 共変微分．式(1.22.8)参照． A Almansi 歪テンソル． B