応力

・まさつ・断

層の

強度

地震

は断

層に加

わる応

力が

断層

の強

度を越

えたときに発

生する．

・まさつ

　　　摩

擦法

則　摩

擦法

則の

温度

依存

性

・応

力

　　　

Moh

r Circ

le　どの

断層

がすべ

るか

？

　　　応

力の

連続

性

　　　断

層近

傍の

応力

場

　　　内

部応

力源

・断

層の

強度

　　　

SAFは

弱いか

？　高

い間

隙水

圧　クラックの

選択

配向

　　　

SAFは

強い？

　　　地

震前

後の

主応

力軸

の方

向変

化

まさつ・応

力・断

層の

強度

Cou

lom

b-M

ohrの

破壊基準

　圧

縮応

力下

において，断

層の

強度

τ s　は

，断

層に加

わる法

線応

力σ n

に比

例する．断

層の

凝着

力(法

線応

力の

無い場

合の

強度

)を無

視でき

る場合

τ s=

µ sσ n

　　　

µ s　は

，断

層の

摩擦

係数

間隙

水圧

をPと

すると，面

の有

効法

線応

力σ e

ff は

，σ Ν

–Pとなる．

τ s=

µ sσ e

ff =

µs

( σΝ

–P)

Bye

rleeの

摩擦

法則

室温，

岩石

の種

類に

よらず成

り立

つ

τ s=

0.6

σ n　　　

現実

に存

在するあらゆる表

面は

でこぼ

こしているの

で，アスペリティ（突

起）の

みで

接触

している．

真実

接触

面積

Αr，は

法線

応力

σ Νに比

例

する．

Αr=

σ Ν/ P

，P:貫

入硬

さ

摩擦

応力

Fは，接

触部

の溶

着力

(wel

d)　

　の

総和

となる．

sを単

位接

触面

積あたり

の溶

着力

(法線

応力

によらない

)とすると，

F=

sΑr

µ　=

F/σ Ν

= sσ

Ν/ P

σ Ν= 　

s / P

　　

µは，断

層の

摩擦

係数

，法

線応

力によら

ない．

Αrは

非弾

性的

な過

程により決

定され

る

　時

間依

存性

を持

つD

iete

rich

& K

ilgor

e(19

94)

アスペリティの

接触

面積

の変

化

摩擦の仕組み＝アスペリティーの接触

Bow

den

& T

abor

(195

0,19

64)の

摩擦理論

すべ

り弱

化(s

lip w

eake

ning

)すべ

りとともに摩

擦力

が減

少する．

詳しくは

，大

中・松

浦（

2003

）の教

科書

参照

すべ

り依

存摩

擦法

則と摩

擦の

安定

性

摩擦の安定性．

すべ

りによる摩

擦の

減少

の割合が系のスティフネスより

大きいと不

安定

すべ

りとなる．

速度

-状態

依存

摩擦

法則　

Die

teric

h(1

978)

, Rui

na(1

983)

定常

状態

(stre

ady-

stat

e)での摩擦力は，

すべ

り速

度による．

µsｓ−

µ∗＝

(a-b

)ln (V

/V*)

すべ

り速

度が

大きくなると摩

擦が

小さくな

る場

合（速

度弱

化），不

安定

すべ

りとなる．

Rui

na(1

983)による全

体の

式は

，

µ=

µ∗+ a

ln(V

/V*)

+ b

ln(V

*θ/L)

dθ/dt=

1-V

θ/L

実験

データ．

Bla

npie

det

al.(

1995

)

両者

の問

題点

すべ

り依

存摩

擦法

則

強度

回復

過程

を含

んでいない．

速度

-状態

依存

摩擦

法則

実験

結果

をよく説

明するが

地震

すべ

りの

ような高

速で成

り立

たない？

速度

-状態

依存

摩擦

法則

の温度依存性

Bla

npie

det

al.(

1995

)

高温

になると，

a-bは

正となり，摩

擦は

速度

強化

となる（

wetの場合）．

応力

n : あ

る面

の法

線ベクトル

σ : 応

力テンソル

（座

標軸

に直

交する平

面に働

く応

力ベクトル

の　

　　成

分で定

義され

る）

t : あ

る面

を通

して働

く応

力ベクトル

　　とすると，

t =

σ ・

n　法

線応

力は

，σ

n=

[(σ ・

n)・

n]n

せん断

応力

は，

τ =

t ーσ

n=

σ ・

n ー

[(σ ・

n)・n]

n

Moh

r Circ

le任

意の

角度

の面

上での

応力

θσ

στ

θσ

σσ

σσ

2si

n2

2co

s2

23

1

31

31 −

=

−+

+=

Nσ 1

:最大

圧縮

応力

σ 3 : 最

小圧

縮応

力が

加えられ

ているとき，

σ 2を含

み最

大圧

縮応

力となす角

がθで

ある面

上の

応力

は，

Moh

r Circ

leどの

断層

がすべ

るか

？

同じ摩

擦係

数µ sと間

隙水

圧を持

つ既

存の

断層

面が

いくつか

ある場

合，

pをとおる傾

きµ s

の直

線より上

方に位

置する断

層面

だ

けが

すべ

る．

間隙

水圧

が高

くなると，いろんな角

度の

断層

面が

すべ

ることが

できる．

σ 1が大きくなるか，

σ 3が小さ

くなってもすべ

ることが

可能

．

Moh

r Circ

le主

軸応

力の

変化

σ 3を小

さくする方

が，

σ 1を大

きくするよりも効

果的

．

σ 1を大

きくすると法

線応

力

が大きくなるから．

Moh

r Circ

lefa

vora

bly

orie

nted

faul

t

同じ摩

擦係

数µ sとを持

つ多

数の

断層

面が

あらゆる方

向に分

布しているとき，

µ s=

tan

φ= ta

n(2

θ−π/

2)=

−1/ta

n(2

θ)を満

たす

θの面

が最

もすべ

りや

すい．

この

とき，

cos(

2θ) や

sin(

2θ)を

µ sで置

き換

えることにより

θσ

στ

θσ

σσ

σσ

2si

n2

2co

s2

23

1

31

31 −

=

−+

+=

N

()

pp

−

+

+=

−3

22

11

σµ

µσ

を などと変

形できる．

最もすべ

りや

すい

(favo

rabl

y or

ient

ed)し

ている面

だけ

に成り立つ．

３次

元の

Moh

r Circ

le　　山路

(200

0)より

法線

応力

は，

σn

= [(

σ ・

n)・

n]n

せん断

応力

は，

τ =

t ーσ

n=

σ ・

n ー

[(σ ・

n)・n]

n成

分表

示すると，

σn

= σ

1n

12+

σ2

n 22

+ σ

3n

32　　

τ=

(σ ・

n) 2 ー

σn

2 =

σ12

n 12

+ σ

22 n

22+

σ3

2 n 32

ー(σ

1n

12+

σ2

n 22

+ σ

3n

32) 2

n 12

+　n

22+

n 32

=0　

から

−

−

+

−+

−=

+

+

−2

31

23

12

22

23

12

31

22

22

σσ

σσ

σσ

σσ

σσ

σn

sN

Moh

r Circ

le(鋭

角側

)

σ 1 :最

大圧

縮応

力σ 3

: 最

小圧

縮応

力が

加えられ

ているとき，

σ 2を含

み最

大圧

縮応

力となす角

がθで

ある面

上の

応力

は，

プレート境

界断

層面

上の

すべ

り時

間関

数(M

atsu

’ura

& S

ato,

198

9)

θσ

στ

θσ

σσ

σσ

2si

n2

2co

s2

23

1

31

31 −

=

−−

+=

N

µσ

τφ

θσ

στ

θσ

σσ

σσ

=−

=

−=

−−

+=

pN

N

tan

2si

n2

2co

s2

23

1

31

31

間隙

水圧

をPと

すると，面

の有

効法

線応

力σ e

ff は

，σ Ν

–Pとなる．

応力

の連

続性

ある面

を境

にして，応

力が

満たすべ

き条

件は

何か

？

t(1) : 面に

I側か

ら働

く応

力ベクトル

t(1I): 面

にII側

から働

く応

力ベクトル

　とすると，応

力ベクトル

の連

続性

から

t(1) =

-t(1

I)

つまり，面

に働

く，せ

ん断

応力

と法

線応

力が

等しい．

他の

応力

テンソル

の成

分は

等しく

なくても良い．

応力

の連

続性

２ある面

を境

にして，応

力が

満たすべ

き条

件は

何か

？

3の軸

に垂

直な面

に関

しては

，σ

: 応力

テンソル

3332

31

2322

21

1312

11

σσ

σσ

σσ

σσ

σ

のうち

3332

31

2313

σσ

σσσ

・・

・・

が等

しい必

要が

ある．

面の

摩擦

強度

が大

変小

さい場

合は

，

330

000

σ・

・

・・

応力

の連

続性

３非常に強度の小さな断層の場合

鉛直

な横

ずれ

断層

の両

側では

，水

平主

応力

の方

位は

同じ．

非常

に低

角な逆

断層

(det

achm

ent)の

両側

で

は，水

平主

応力

の方

位は

違っていても良

い．

均質

で内

部応

力源

が無

い場

合．

応力

場と断

層の

すべ

りの

向き

とする．断

層すべ

りの

向きは

，断

層と主

応力

軸との

なす角

，および主

応力

の値

に関

係する．

3

2

1

00

00

00

σσ

σ主

応力を

静水圧は断層すべりに関係ないので，

−

−+

=

23

21

2

2

2

3

2

1

00

00

00

0

00

00

00

00

00

00

σσ

σσ

σσ

σ

σσ

σ すべ

りの

向きは

，σ 1

−σ2 σ 3

−σ2に

よる．さらに，主

応力

値が

定数

倍され

てもすべ

りの

向きは

変わ

らないの

で，

−−

10

00

00

00

23

21

σσ

σσ

31

21

σσ

σσ

−−=

Rをパ

ラメータとするこ

とが

多い，

23

21

σσ

σσ

−−結

局で決まるが，

断層

のすべ

りの

向きー

Mea

nsの図式解法ー

ステレオネットの

円が

断層

面，

Ｐは

断層

面の

法線

ベクトル

主応

力による断

層面

のせ

ん断

応力

は，

σ 1方

向の

大きさ

σ 1 −

σ 2の

ベクトル

σ 3方

向の

大きさ

σ 3 −

σ 2のベクトル

の断

層面

上の

成分

の和

，S(1

) +S(2

) と

なる．

例えば

，S(1

) ＝1/

2(σ 1

−σ 2

)sin

2δ

σ 2が

断層

面内

にある場

合，つまり，

σ 1，

σ 3が

S,Τ上

にある場

合は

，S(1

) はS(2

) の

が同

じ向

きとなり，どちらの

寄与

が大

きいか

区別

がつか

なくなる．しか

も，

現実

の地

震では

，σ 2

が断

層面

内にあ

る場

合が

多いと考

えられ

る．

これ

が，応

力比

Rが

決まりにくい理

由

である．

地殻内の応力場

基準

状態

の応

力場

は？

　釣

り合

い方

程式

による理

論解

gz

yx

zzyz

xzρ

σσ

σ=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

基準

状態

の応

力場

とは

，水

平方

向の

応力

がない場

合の

応力

場である．応

力の

釣り合

いか

ら，

水平

方向

の応

力変

化が

ない場

合，

ghgdz

gz

hzz

zzρ

ρσ

ρσ

∫ −=

==

∂∂

0,

水平

方向

の変

位は

無いの

で，

e xx，

e yy=0

応力

−歪関

係か

ら，

zzzz

zzzz

yyzz

xxe

ee

eµ

λσ

λσ

λσ

2,

,+

==

=

zzxx

σσ

31=

λ=µと

すると，

水平

応力

は鉛

直応

力の

1/3と

なる．

地殻内の応力場

主応力の深さ変化の観測値

核燃料サイクル機構

, 199

9,わが国における高レベル

放射性廃棄物地層処分の技術的信頼性

-地層処分研究開発第２次取りまとめ

-

σ v =

ρgh

~ 2

7h (h

:km

, M

Pa)

鉛直

応力

は上

載岩

圧となる．深

さに比

例して増

加する．

水平

応力

も深

さに比

例して増

加し，鉛

直応

力と同

程度

の大

きさに見

える．

σ v =

σｈ

= ρg

h

をlit

host

aticな応

力状

態と呼

ぶ．

非常

に長

期間

にわ

たる変

形(応

力緩和

)により形

成され

たもの

であり，応

力源

がない場

合の

基準

状態

と考

えられ

る(M

cgar

r, 19

80)．

１気

圧(1

bar)

=10m

の水柱の圧力

=0.1

MPa

100M

Pa =

10k

mの

水柱

の圧

力

応力

の深

さ変

化B

rudy

et a

l.(19

97)

KTB

　（ドイツ）

世界で２番目に深い穴での測

定結

果．

主応

力の

大きさは

深さにほ

ぼ比

例しているように見

える．

間隙

水圧は，

hydr

osta

tic，水

柱圧

(10h

, h:k

m,

MPa

)に等

しい．

()

pp

−

+

+=

−3

22

11

σµ

µσ

σ 3 =

20h

(h:k

m,

MPa

)としたとき，

µ=0.

6　で

σ １を説明できる

SAFは

弱い

主応

力軸

が断

層に直

交している

Zoba

cket

al.(

1987

)

周辺は強い

Bey

erle

e(19

78)の

摩擦

則が

成り立

っている．

Zoba

cket

al.(

200?

)

San

And

reas

断層

だけが

弱い，

周辺

の地

殻は

強い

Zoba

ck e

t al.

(198

7)

Hor

izon

tal d

efor

mat

ion

velo

citie

s in

sout

hern

Cal

iforn

ia w

ith re

spec

t to

the

Nor

th A

mer

ican

Pla

teC

rust

al D

efor

mat

ion

Wor

king

Gro

up 1

So

uthe

rn C

alifo

rnia

Ear

thqu

ake

Cen

ter(

1998

)

弱くするメカニズム　１

断層帯内の高い間隙水圧

over

pre

ssur

e(R

ice,

1992

;Bey

erle

e,19

92)

(Har

debe

ck&

H

auks

son,

1999

)より

弱くするメカニズム　

2クラックの選択配向

Yam

amot

o(20

00)

Yam

amot

o et

al.

(200

1)

31

31

σσ

σσ

+−=r

野島

断層

周辺

において変

形率

変化

法で得

られ

た応

力測

定結

果の

まとめ最

大主

圧縮

応力

軸は

断層

に直

交している．

断層

に近

づくほ

どrの

値が

小さくなる．

し

単位

面積

の断

層面

における真

実接

触面

積は

　Α

r=

σ Ν/ P

　（

P:貫入硬さ）

摩擦

応力

は，

F=

sΑr（

s：単

位接

触面

積あたり

の溶

着力

）

µ　=

F/σ Ν

= s/

p　となる．　　

断層

面の

形状

に大

きなスケール

の不

均質

性が

あり，単

位面

積の

断層

面上

で，

Αaの

みが

巨視

的に見

て接

触しているとき，

Αaに

かか

る法

線応

力　

σ Νa=

σΝ

/Αaは

1 /Α

a 倍

となる．しか

し，

真実

接触

面積

はΑ

r=

(σΝa

/ P)Α

a =

σ Ν/ P

とな

り，変

わらない．これ

は，巨

視的

に見

て接

触し

ている面積が

Αa倍

となるためである．，結

局µ

も同

じとなる．

摩擦

係数

は，断

層の

巨視

的な接

触面

積によら

ない

し

すきまを断

層ガウジが

埋めており，それ

が，

法線

応力

は支

えるが

，せ

ん断

応力

を支

えない

場合，

Αaに

かか

る法

線応

力　

σ Νa=

σΝその

ままで，

真実

接触

面積

はΑ

r=

(σΝa

/ P)Α

a =

(σΝ/P

)Αa

となり，

µ は

　Α

a倍と小

さくなる．

断層

ガウジが

，法

線応

力を支

える場

合は

，摩

擦係

数は

，断

層の

巨視

的な接

触面

積に比

例する．

クラックが

断層

面の

走向

と鉛

直方

向に選

択配

向している場

合，鉛

直方

向の

強度

は大

きいが

，せ

ん断

には

非常

に弱

くなる

(Yam

amot

o, 2

000)．

SAFは

強い　

Scho

lz(2

000)

左上

のモデル

から計

算され

たせ

ん断

応力

と摩

擦係

数の

関係

．

SAFの

摩擦

係数

は小

さくなら

ない．地震

のメカニズム解

から推

定さ

れた断

層近

傍における最

大主

圧縮

応力

軸と断

層の

なす角

．

Har

debe

ck&

Hau

ksso

n(1

999)

地震

のメカニズム解

から推

定さ

れた断

層近

傍における最

大主

圧縮

応力

軸と断

層の

なす角

．

SAFは

強い　

Scho

lz(2

000)

()

()

txx

ssxx

xy

3

3

cot

cot

σσ

ψ

σσ

ψτ

−≠

−=

()

pp

txx

−

+

+=

−3

22

1σ

µµ

σ

断層

より十

分遠

方では

最大

主圧

縮応

力軸

は断

層に直

交している．

µ=0.

6が成

り立

って

いる．

断層

近傍

では

下部

延長

のローディン

グによりせ

ん断

応力

が加

わる．

断層

に加

わるせ

ん断

応力

と，

rおよび最

大主

圧縮

応

力軸と断層のなす角との

関係．

rは断

層面

上，およ

び周

辺の

値を計

算．

31

31

σσ

σσ

+−=r断層

から離

れたところで

を0.

6,0.

4,0.

2と変え

σ 1て

の大きさを変化させてい

る，

rが大

きいと，断

層周

辺で応

力比

rが0.

6より大

きくなって

しまう．

San

And

reas

断層

以外

の断

層も弱

いLa

nder

s地震

前後

の応

力場

の時

間変

化

Har

debe

ck &

Hau

ksso

n(2

00?)

断層

に対

して低

角だった

P軸は

より低

角に，

高角

だった

P軸は

より高

角に変

化

地震前後の応力変化

+

∆

∆−

=

2221

1211

2221

1211

20

02

''

''

σσ

σσ

τ

τ

σσ

σσ

地震

後の

応力

場＝

地震

による応

力変

化＋

地震

前の

応力

場

地震前後の主応力軸の方向変化の

模式図

主応

力軸が断層から45度にない限り主応力軸の方向変化が生じる

応力

が働

く面

が異

なるため，応

力ベクトルでの議

論は厳

密ではない．

地震前後の主応力軸の方向変化の

模式図

断層が弱い場合逆向きのすべりを起こす応力場が生じる

内部応力源

断層

近傍の応力場

断層

近傍

の応

力場

は相

似である．

ここで示

した結

果は

，クラック理

論にお

ける亀

裂先

端の

応力

集中

((a/

r)1/

2 に比

例)と

は違

う．

Oka

da(1

982)の

プログラムを用

いた

空洞

のまわ

りの

変形

北海

道大

学岩

盤力

学研

究室

のH

P　ht

tp://

rock

.eng

.hok

udai

.ac.

jp/ja

pane

se.h

tml よ

り

空洞

0.5

1

0.51 0

x

y

変形前

変位ベ

クトル

u

変形後

変位量： u

/{(a

σ v)/(

4G)}

03.

0

円形断面空洞周囲のθ＝

0上のσθの分布。

初期

地圧

は　σ

v＝2σ

h1を仮定

Har

debe

ck&

Hau

ksso

n(1

999)

横ずれ

型プレート境

界における地

震間

と地

震時

の変

形(S

chol

z,20

02)

プレート境

界断

層面

上の

すべ

り時

間関

数(M

atsu

’ura

& S

ato,

198

9)

周辺

の断

層帯

と間

隙水

圧

水が

流れ

た形

跡が

ある

frac

tureが大きなシンボルで示さ

れている．それ

らの

応力

比は

大きい．

小断層は地殻を強くする．

Zoba

cket

al.(

200?

)

断層

近傍

における応

力場

とその時

間変

化仮

説１　野

島断

層は

弱い

(Yam

amot

o et

al.,

2002

)最

大圧

縮応

力は

常に断

層に直

交

仮説

２　急

速に強

度回

復した

(Yam

ada

et a

l., 2

001;

Tado

koro

et a

l, 20

02)

(メカニズム変

化や

S波の

スプリッティングの

変化

)最

大圧

縮応

力は

地震

直後

のみ

断層

に直

交

Yam

amot

o et

al.

(200

1)兵

庫県

南部

地震

後の

メカニズム解

の時

空間

変化

Yam

ada

et a

l. (2

001)

矛盾

Kat

ao e

t al.

(199

7)