1

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЦЕНТР «МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ»

МОГИЛЬНИЙ С. Б.

ІНФОРМАТИКА

навчально-методичний посібник для слухачів настановної сесії заочної школи інформаційно-телекомунікаційних технологій

Малої академії наук України у 2011 навчальному році

Київ – 2011

2

ББК 74.200.58 М74

Редакційна колегія:

Лісовий О.В., Лихота С.О., Могильний С.Б.(канд. тех. наук), Пещеріна Т.В.,

Кічайкіна С.І.

М74

Могильний С.Б. Інформатика. Навчально-методичний посібник для слухачів настановної сесії заочної школи інформаційно-телекомунікаційних технологій Малої академії наук України у 2011 навчальному році / [за ред. О.В. Лісового] . – К. : ТОВ «Праймдрук», 2011. – 39 с.

У збірнику представлені завдання, методичні вказівки та розв’язки завдань з інформатики Всеукраїнської заочної школи інформаційно-телекомунікаційних технологій 2011 року. Видання розраховане на старшокласників – учасників заочної школи – для вирішення та перевірки контрольних завдань, а також на допомогу іншим учням для підготовки до контрольних робіт з інформатики.

ББК 74.200.58

© Авторський колектив, 2011 © Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України, 2011 © Національний центр «Мала академія наук України», 2011

© «Центр післядипломної освіти» ПАТ «Укртелеком», 2011

3

Завдання, методичні вказівки та розв’язки до першої заочної контрольної

роботи з інформатики настановної сесії заочної школи інформаційно-

телекомунікаційних технологій 2011 року

10 клас

Завдання

Завдання 1.

Знайти корені рівняння x**3-4x**2+2sin(x)=0, використовуючи вбудовані можливості Excel

Завдання 2.

Перевірити результати, отримані при розв’язку Завдання 1, використовуючи онлайновий сервіс WolframAlpha.

Завдання 3.

Оформити в Excel календар на 2012 рік, позначивши дні з державними святами та знаменними датами. Примітка: перелік таких днів отримати через пошук в Інтернеті, а зберегти файл календаря у файлі стандартного формату Excel.

Завдання 4.

Кількість унікальних відвідувачів корпоративного сайту відстежувалась метрикою Яндекса:

Дані за останні 4 тижні приведені в таблиці:

Понеділок Вівторок Середа Четвер П’ятниця Субота Неділя 1 тиждень 183 215 202 174 184 132 182 2 тиждень 189 205 195 158 132 118 157 3 тиждень 197 191 214 175 123 122 184 4 тиждень 219 232 201 202 145 153 210

4

Використовуючи три різні функції Excel для статистичного аналізу (ПРЕДСКАЗ, ТЕНДЕНЦИЯ, РОСТ), зробіть прогноз відвідування сайту для кожного дня наступного (5-го) тижня, порівняйте отримані дані та зробіть висновки.

Завдання 5.

Використовуючи онлайновий сервіс WolframAlpha виконайте порівняння м. Києва і Вашого обласного центру (жителі Київської області виконують порівняння м. Києва із столицею Білорусі – Мінськом), економік України та Росії.

Завдання 6

Результати виконання Завдань 1-3, 4-5 оформити у вигляді презентації з елементами анімації.

Методичні вказівки

До завдань 1 і 2: розв’язок рівнянь

Візьмемо для прикладу рівняння x2-sinx=0 і спробуємо знайти його корінь. Звертаємо вашу увагу, що дане рівняння має два корні: 0 і 0,87, але Excel може знаходити одночасно лише один корінь. За початкове приближення спочатку візьмемо х=0,5. Виберемо дві клітини таблиці для збереження значень х і x2-sinx. Наприклад, для x оберемо B3 і C3 - для значення функції:

Записуємо в С3 формулу =СТЕПЕНЬ(B3;2)-SIN(B3), виконавши послідовно такі операції: а) беремо квадрат від значення в клітинці В3

5

б) віднімаємо значення sin(x) (клітина В3):

Наступний етап – підбір значення x при якому буде виконуватись рівність: з меню Сервіс (для Excell 2007 – меню Дані, підменю Аналіз «що-якщо», пункт Підбір параметрів… - активізуйте команду Підбір параметра з меню; в поле "Встановити у клітинці" вікна, що з'явилося, вводимо посилання на клітинку С3, що містить формулу; в полі "Значення" наберемо шуканий результат 0; в полі "Змінюючи значення комірки" введемо посилання на змінну клітинку В3:

Клацнувши на ОК отримуємо результат для першого кореня:

6

Повторивши підбір параметрів з іншого початкового значення х, наприклад, задавши стартове значення х=-0,5:

отримуємо ще один корінь

Для перевірки отриманих результатів, а також для розв’язку подібних і більш складних задач можна скористатися чудовим сервісом, який об’єднує пошук і аналіз, WolframAlpha (http://www.wolframalpha.com) Ввівши у вікні сервісу вираз для рівняння:

отримуємо результат, в якому наводяться графіки та надаються додаткові дані, що особливо зручно для більш складних досліджень:

7

До завдання 3: створення календаря

Як приклад для календаря на 2012 рік із зазначеними днями загальнодержавних знаменних та святкових дат, можна використати приведений нижче зразок календаря на 2009 рік:

8

До завдання 4:

Excel має понад 300 вбудованих функцій для різноманітних розрахунків, в тому числі, статистичних. В завданні використовуються лише три з них.

ПРЕДСКАЗ

Обчислює або пророкує майбутнє значення за існуючими значеннями. Значення, що передбачаються, - це y-значення, які відповідають заданому x-значенню. Відомі значення - це x-і y-значення, а нове значення передбачається з використанням лінійної регресії. Цю функцію можна використовувати для передбачення майбутніх продажів, потреб в обладнанні або тенденцій споживання. Синтаксис: ПРЕДСКАЗ (x; відомі_значення_y; відомі_значення_x) x - це точка даних, для якої передбачається значення. Відомі_значення_y - це залежний масив або інтервал даних. Відомі_значення_x - це незалежний масив або інтервал даних. Нотатки • Якщо x не число, то функція передбачення повертає значення помилки #VALUE!. • Якщо відомі_значення_y і відомі_значення_x порожні або містять різну кількість точок даних, то функція передбачення повертає значення помилки #N/A. • Якщо дисперсія аргументу відомі_значення_x дорівнює нулю, то функція передбачення повертає значення помилки #СПРАВ/0!. • Рівняння для передбачення має вигляд a + bx, де:

і:

де x і y - вибіркові середні значення СРЗНАЧ (массив1) і СРЗНАЧ (массив2).

РОСТ

Розраховує прогнозований експонентний ріст на підставі наявних даних. Функція РОСТ повертає значення y для послідовності нових значень x, що задаються за допомогою існуючих x- і y-значень. Функція робочого аркуша РОСТ може застосовуватися також для для апроксимації існуючих x- і y-значень експоненціальної кривої. Синтаксис: РОСТ(відомі_значения_y;відомі_значення_x;нові_значення_x;конст) відомі_значення_y - це безліч значень y, які вже відомі у співвідношенні y = b * m ^ x. • Якщо масив відомі_значення_y має один стовпець, то кожний стовпець масиву відомі_значення_x інтерпретується як окрема змінна. • Якщо масив відомі_значення_y має один рядок, то кожний рядок масиву відомі_значення_x інтерпретується як окрема змінна. • Якщо будь-які числа в масиві ізвестние_значенія_y рівні 0 або негативні, то функція РОСТ повертає значення помилки # NUM!.

9

Відомі_значенія_x - це необов'язкова множина значень x, які вже відомі для співвідношення y = b*m^x. • Масив відомі_значення я_x може містити одну або декілька множин змінних. Якщо використовується лише одна змінна, то відомі_значення _y і відомі_значення _x можуть мати будь-яку форму, за умови, що вони мають однакову розмірність. Якщо використовується більше однієї змінної, то відомі_значення _y повинні бути вектором (тобто інтервалом висотою в один рядок або шириною в один стовпець). • Якщо відомі_значення _x опущені, то передбачається, що це масив {1, 2, 3 ;...} такого ж розміру, як і відомі_значення _y. Нові_значення_x - це нові значення x, для яких РОСТ повертає відповідні значення y. • Нові_значення_x повинні містити стовпець (або рядок) для кожної незалежної змінної, як і відомі_значення _x. Таким чином, якщо відомі_значення _y - це один стовпець, то відомі_значення _x і нові_значення_x повинні мати таку ж кількість стовпців. Якщо відомі_значення _y - це один рядок, то відомі_значення _x і нові_значення_x повинні мати таку ж кількість рядків. • Якщо аргумент нові_значення_x пропущено, то вважається, що він збігається з аргументом відомі_значення _x. • Якщо обидва аргументи відомі_значення _x і нові_значення_x опущені, то передбачається, що це масив {1, 2, 3 ;...} такого ж розміру, як і відомі_значення _y. Конст - логічне значення, яке вказує, чи потрібно, щоб константа b дорівнювала 1. • Якщо константа має значення TRUE або опущено, то b обчислюється звичайним чином. • Якщо константа має значення FALSE, то b вважається рівним 1, а значення m підбираються так, щоб y=m^x.

ТЕНДЕНЦІЯ

Повертає значення відповідно до лінійного тренду. Апроксимує прямою лінією (за методом найменших квадратів) масиви відомі_значення _y і відомі_значення _x. Повертає значення y, відповідно до цієї прямої для заданого масиву нові_значення_x. Синтаксис ТЕНДЕНЦІЯ(відомі_значення _y; відомі_значення _x;нові_значення_x;конст) Відомі_значення _y - безліч значень y, які вже відомі для співвідношення y = mx + b. • Якщо масив відомі_значення _y має один стовпець, то кожний стовпець масиву відомі_значення _x інтерпретується як окрема змінна. • Якщо масив відомі_значення _y має один рядок, то кожний рядок масиву відомі_значення _x інтерпретується як окрема змінна. Відомі_значення _x - необов'язкова безліч значень x, які вже відомі для співвідношення y = mx + b. • Масив відомі_значення _x може містити одне або декілька множин змінних. Якщо використовується лише одна змінна, то відомі_значення _y і відомі_значення _x можуть мати будь-яку форму, за умови, що вони мають однакову розмірність. Якщо використовується більше однієї змінної, то відомі_значення _y повинні бути вектором (тобто інтервалом висотою в один рядок або шириною в один стовпець). • Якщо відомі_значення _x опущені, то передбачається, що це масив {1, 2, 3 ;...} такого ж розміру, як і відомі_значення _y.

10

Нові_значення_x - нові значення x, для яких ТЕНДЕНЦІЯ повертає відповідні значення y. • Нові_значенія_x повинні містити стовпець (або рядок) для кожної незалежної змінної, як і відомі_значення _x. Таким чином, якщо відомі_значення _y - це один стовпець, то відомі_значення _x і нові_значення_x повинні мати таку ж кількість стовпців. Якщо відомі_значення _y - це один рядок, то відомі_значення _x і нові_значення_x повинні мати таку ж кількість рядків. • Якщо нові_значення_x опущені, то передбачається, що вони збігаються з відомі_значення _x. • Якщо опущені обидва масиву відомі_значення _x і нові_значення_x, то передбачається, що це масив {1, 2, 3 ;...} такого ж розміру, що і відомі_значення _y. Конст - логічне значення, яке вказує, чи потрібно, щоб константа b дорівнювала 0. • Якщо константа має значення TRUE або опущено, то b обчислюється звичайним чином. • Якщо константа має значення FALSE, то b вважається рівним 0, і значення m підбираються таким чином, щоб виконувалося співвідношення y = mx. Вищезазначені функції визиваються з меню Формули -> Інші функції -> Статистичні.

До завдання 5:

Адреса онлайнового сервісу http://www.wolframalpha.com. Ввівши у вікні сервісу вираз для порівняння, наприклад Kyiv Moscow, отримаємо:

11

Завдання 6 методичних вказівок не потребує.

Розв’язки

Завдання 1.

1. Вибираємо дві комірки на робочому листі, наприклад, для аргумента х – В4, а для фукції – С4. Записуємо відповідно початкове значення аргументу, наприклад, х=0,5 і вводимо відповідний вираз для функції в С4:

2. Переходимо до меню Дані -> Аналіз «що-якщо» -> Підбір параметрів і вводимо координати наших даних:

12

3. Натискуємо ОК і отримуємо результат:

Аналогічно можемо знайти і другий корінь х=0, вибравши стартове значення для х=-0,5.

Відповідь: х=0,55 і х=0.

Завдання 2

В браузері набираємо адресу онлайнового сервісу http://www.wolframalpha.com і у рядку пошуку записуємо ліву частину рівняння x**3-4x**2+2sin(x)=0:

Натискуємо Enter і отримуємо результати розв’язку рівняння:

13

Завдання 3

Варіантів оформлення календаря на 2012 рік може бути безліч, але кількість введених знаменних днів та свят буде приблизно однакова. Одне з найбільших зібрань таких даних є на сайті http://www.timer.dp.ua/databank/ukraine/ukraine_holyday.htm. Відповідь надається у вигляді стандартного Excel-файла.

Завдання 4

1. Робимо «заготовку» у вигляді таблиці на робочому листі Excel, згідно умови завдання:

2. Записуємо відповідні формули, наприклад, для комірок «понеділок» для 5 тижня для кожної з функцій.

14

3. «Протягуємо» значення даної клітини, щоб заповнити формулами клітини для інших днів тижня:

Завдання 5

Приведемо розв’язок для жителів Київської області.

Заходимо на онлайновий сервіс http://www.wolframalpha.com і підставляємо для порівняння Kyiv і Minsk:

Натискуємо Enter і отримуємо:

15

16

Аналогічно виконуємо порівняння України і Росії:

17

Завдання 6.

Оформлення презентації може бути довільним.

18

11 клас

Завдання

Завдання 1.

Використовуючи вихідні дані методичних вказівок до даного завдання, знайдіть, яка зарплата повинна бути у медсестри, якщо для санітарок, медсестер і лікарів необхідно передбачити премію у розмірі 20% їх відповідних окладів.

Завдання 2.

Використовуючи засіб «Пошук рішення» розв’язати систему рівнянь.

Підказка: одне з рівнянь використати як цільову функцію, а решту – як обмеження.

Завдання 3.

В телекомунікаційній системі передачі даних (ТСПД) необхідно протягом певного проміжку часу здійснити передачу кількох інформаційних повідомлень різного об'єму з одного вузла мережі до низки інших вузлів з мінімальними витратами. Пропускні спроможності ліній зв'язку протягом аналізованого проміжку часу вважаються обмеженими. Витрати на передачу даних пов'язані з необхідністю оплати використовуваних ліній зв'язку, причому оплата залежить як від обсягу даних, переданих лінією зв'язку, так і від факту її використання (орендна). Потрібно визначити лінії зв'язку, використання яких забезпечить мінімальні витрати на передачу необхідної інформації. Структура ТСПД задається у вигляді графа, в якому вершини відповідають вузлам мережі, позначається латинськими буквами, а дуги - каналам зв'язку, ідентифікованим номерами. Для кожної вершини (вузла) зазначаються її позначення і роль у процесі обміну даними (джерело, транзитний вузол, споживач) і обсяг отриманої інформації (в інформаційних одиницях) у випадку, якщо вершина є споживачем. Для кожної дуги (лінії зв'язку) зазначаються такі параметри: імена вершин, які пов'язує дуга (без вказівки спрямованості), гранична пропускна здатність за період часу аналізований, що вимірюється в інформаційних одиницях, вартість передачі однієї інформаційної одиниці, вартість використання лінії зв'язку (вартості вимірюються в умовних одиницях). Визначте оптимальні маршрути передачі даних в мережі з конфігурацією і параметрами, заданими в наступних таблицях.

19

Вершина (вузол

ТСПД) Примітка

A Джерело даних B Транзитний вузол C Споживач даних обсягом 10 і.о. D Транзитний вузол E Транзитний вузол F Споживач даних обсягом 8 і.о.

Відомості про лінії зв’язку:

№

Зв’язані

вершини

Пропускна

здатність

(у.о.)

Вартість

передачі 1 і.о.

(у.о.)

Вартість аренди

лінії зв’язку

(у.о.)

1 A, B 25 6 10 2 A, E 15 1 6 3 B, C 8 3 7 4 B, D 17 1 6 5 C, D 7 5 7 6 C, F 11 4 10 7 D, F 9 2 6 8 E, D 12 2 7 9 E, F 5 5 7

Завдання 4.

Припустимо, що Ви вирішили виробляти кілька видів тістечок. Назвемо їх умовно "A", "B" і "C". Відомо, що реалізація 10 тістечок "А" дає прибуток 9 грн., "В" - 10 грн. і "С" - 16 грн. Збут тістечок забезпечений, а тому їх можна робити в будь-яких кількостях, але обмежені запаси сировини. Необхідно визначити, яких тістечок і скільки необхідно зробити, щоб загальний прибуток від реалізації був максимальним. Норми витрати сировини на виробництво 10 тістечок кожного виду наведені нижче.

Сировина Норми витрат сировини Запас сировини

А В С

Борошно 2,2 2,0 1,8 1000

Какао 0,18 0,15 0,12 200

Цукор 0,6 0,4 0,8 350

Наповнювач 0,5 0,2 0,3 150

Прибуток 10 11 16

20

Завдання 5.

Використовуючи онлайновий сервіс WolframAlpha знайдіть розв’язок рівняння (x-2)**3+4x**2-8+5sin(2x)=0

Завдання 6.

Складіть в Excel список умовних 20-ти своїх однокласників, запропонуйте форму запису і введіть дні їх народження. Напишіть програму для обчислення у скількох учнів дні народження припадають на літо.

Методичні вказівки

До завдання 1: підбір параметрів

Часто при вирішенні практичних завдань виникають ситуації, коли необхідно досягти якоїсь конкретної мети. Специфіка таких завдань полягає в тому, що у Вашому розпорядженні є математична модель досліджуваного процесу, наприклад, закон ціноутворення, але Ви не знаєте, при якому значенні параметра, що входить до цього закону, можна досягти поставленої мети. Вирішення таких завдань можна шукати методом перебору. Однак у кращому разі на це йде багато часу. Можна запропонувати інші шляхи вирішення. В Excel вони реалізовані як пошук значення параметра формули, що задовольняє її конкретному значенню. Цю процедуру використовують для пошуку такого значення в клітині, при якому значення іншої клітинки, що обчислюється за формулою, заздалегідь задане. У формулі має бути посилання на клітинку, значення якої шукають. Обмеження на шукане значення комірки не накладають. Познайомимося з цією процедурою на прикладі складання штатного розпису.

Нехай відомо, що в штаті лікарні числиться 6 санітарок, 8 медсестер, 10 лікарів, 3 завідуючих відділеннями, головний лікар, завідувач аптекою, завідувачка господарством і завідувач лікарнею. Загальний місячний фонд зарплати становить 50 000 грн. Необхідно визначити, якими мають бути оклади співробітників лікарні. Побудуємо модель вирішення цього завдання.

За основу візьмемо оклад санітарки, а решту окладів обчислимо, виходячи з нього та відповідних коефіцієнтів. Говорячи мовою математики, кожен оклад є лінійною функцією від окладу санітарки: Ai * С + Вi, де С - оклад санітарки; Аi і Вi - коефіцієнти, які для кожної посади визначають наступним чином: • медсестра отримує в 1,5 рази більше санітарки (А2 = 1,5; В2 = 0); • лікар - в 3 рази більше санітарки (В3 = 0; А3 = 3); • завідувач відділенням - на 30 грн. більше, ніж лікар (А4 = 3; B4 = 30); • завідувач аптекою - в 2 рази більше санітарки (А5 = 2; В5 = 0); • завідувач господарством - на 40 грн. більше медсестри (А6 = 1,5; В6 = 40);

21

• головний лікар - в 4 рази більше санітарки (А7 = 4; В7 = 0); • завідувач лікарнею - на 20 грн. більше головного лікаря (А8 = 4; В8 = 20); Знаючи кількість людей на кожній посаді, нашу модель можна записати як рівняння:

N1 * A1 * C + N2 * (A2 * C + B2 )+...+ N8 * (A8 * C + B8) = 10000,

де N1 - число санітарок, N2 - число медсестер і т.д.

У цьому рівнянні нам відомі A1 ... A8, B1 ... B8 і N1 ... N8, а С невідомо.

Аналіз рівняння показує, що складання розпису звелося до розв’язання лінійного рівняння щодо С. Розв’яжемо його.

Введіть вихідні дані в робочий лист електронної таблиці, як показано нижче:

У стовпці D обчисліть заробітну плату для кожної посади. Наприклад, для клітинки D4 формула розрахунку має вигляд =B4*$H$8+C4.

У стовпці F обчисліть заробітну плату всіх робітників даної посади. Наприклад, для клітинки F4 формула розрахунку має вигляд =D4*E4.

У клітинці F12 обчисліть сумарний фонд заробітної плати лікарні. Робочий лист електронної таблиці буде виглядати так:

22

Визначте оклад санітарки так, щоб розрахунковий фонд був рівний заданому:

активізуйте команду Підбір параметра з меню Сервіс, або в Excel 2007 це буде кнопка Підбір параметра в підменю Аналіз «що-якщо»на вкладці Дані, щоб відкрилося таке вікно:

в полі "Встановити у клітинці" вікна, що з'явилося введіть посилання на клітинку F12, що містить формулу; в полі "Значення" наберіть шуканий результат 10000: в поле "змінюючи значення клітини" введіть посилання на змінну клітинку H8;

клацніть на кнопці ОК, отримаємо:

23

Аналіз приведеної задачі показує, що за допомогою Excel можна розв’язувати лінійні рівняння.

До завдання 2: знаходження екстремуму функції без обмежень при зміні одного

параметра.

Спробуємо знайти при яких витратах на рекламу фірма отримає максимальний прибуток від реалізації продукції. Вихідні дані задачі складаються з 2-х блоків: "Заплановані показники" і "Дані про продукцію". Так, в 1-му кварталі заплановані наступні показники реалізації: • сезонний фактор (клітинка В2) - рівним 0,8; • витрати на заробітну плату персоналу (клітинка В9) - 18 тис. грн; • витрати на рекламу (клітинка В10) - 10 тис. грн. Дані про продукцію: • ціна реалізації (клітинка В17) - 50 грн; • собівартість (клітинка В18) - 30 грн. Розрахунок планованих показників виконують так: • обсяг збуту продукції (клітинка В4) нелінійно залежить від сезонного чинника і витрат на рекламу

= 35 * B2 * (B10 +3000) ^ 0,5 • прибуток з обороту визначається як очікувана кількість проданих одиниць продукції (клітинка В4), помножена на собівартість продукції, тому в клітинку В5 введемо формулу

= B4 * B17 • фраза "собівартість реалізованої продукції" на мові математики виглядає як

B6 = B4 * B18 • очевидно, що валовий прибуток, що має в електронній таблиці адресу В7, визначається як

= B5-B6 • накладні витрати фірми будемо обчислювати в обсязі 15% прибутку з обороту, тобто в клітинку B11 введемо формулу

= 0,15 * B5 • валові витрати розрахуємо як суму витрат на заробітну плату персоналу, рекламу і накладні витрати, тобто

B12 = СУММ (B9: B11) • прибуток від продукції визначимо як валовий прибуток мінус валові витрати, тобто

B14 = B7-B12 • рентабельність

B15 = B14/B5 Якщо вищеперераховані дані і формули ввести в таблицю, то результати обчислень будуть такими:

24

Активізуємо Сервіс => Пошук рішення і опишемо умови виконання завдання (меню Сервіс (Tools), команда Пошук рішення (Solver), у Excel 2007 це буде кнопка Пошук рішення (Solver) на вкладці Дані (Data)): • задаємо клітинку B14, як таку, що містить цільову функцію; • визначаємо мету оптимізації - Максимальне значення; • вказуємо клітинку, значення якої буде змінюватися при пошуку найкращого рішення - B10; • при призначенні параметрів вказуємо на нелінійність моделі:

Для решти параметрів використовуємо налаштування за замовчуванням, які підходять для вирішення більшості завдань.

25

Клацнувши на кнопці Виконати, побачимо наступний результат оптимізації:

Як видно з отриманого рішення при, витратах на рекламу 27625 грн. прибуток від реалізації товару буде максимальним. Однак варто зазначити, що максимізація прибутку не обов'язково відповідає найвищому значенню рентабельності. Її значення зменшилося до 6,38%. До завдання 3: оптимізаційна задача

Припустимо, що компанія, де ви працюєте, має два складських приміщення, звідки товар надходить у п'ять ваших магазинів, розкиданих по всьому Києву.

Кожен магазин в змозі реалізувати певну, відому нам кількість товару. Кожен з складів має обмежену місткість. Завдання полягає в тому, щоб раціонально вибрати - з якого складу в які магазини потрібно доставляти товар, щоб мінімізувати загальні транспортні витрати.

Розв’язок

У математиці такі завдання вибору оптимального маршруту по декількох точках відносять до класу так званих «транспортних задач» (Vehicle Routing Problems, VRP). І, звичайно ж,

26

давно розроблені способи їх розв’язку. Excel надає користувачу один з них - за допомогою потужної надбудови Пошук рішення (Solver) у меню Сервіс (Tools).

Якщо в меню Сервіс вашого Excel такої команди немає - нічого страшного - значить надбудова просто ще не підключена. Для її підключення відкрийте меню Сервіс - Надбудови (Tools - Add-Ins), у вікні встановіть прапорець Пошук рішення (Solver) і натисніть ОК. Excel активує обрану надбудову і в меню Сервіс (Tools) з'явиться нова команда - Пошук рішення (Solver).

У Excel 2007 потрібно натиснути кнопку Офіс, далі вибрати Параметри Excel - Надбудови – Перейти і поставити «галочку» для вибраної надбудови.

Перед початком оптимізації необхідно буде скласти нескладну таблицю на аркуші Excel - нашу математичну модель, що описує ситуацію:

Мається на увазі, що: • Сіра таблиця (B3: G5) описує вартість доставки одиниці від кожного складу до кожного магазину. • Лілові осередки (C14: G14) описують необхідну для кожного магазину кількість товарів на реалізацію. • Червоні клітинки (J10: J11) відображають ємність кожного складу - гранична кількість товару, яку склад може вмістити. • Помаранчеві (C12: G12) і сині (H10: H11) осередки - відповідно, суми по рядку і стовпцю для зелених осередків. (Не забудьте вписати в клітини C12: G12 і H10: H11 відповідні формули для обчислення вказаних вище сум.) • Загальна вартість доставки (E17) обчислюється як сума добутків кількості товару на відповідні їм вартості доставки. Таким чином, наша задача зводиться до підбору оптимальних значень зелених осередків. Причому так, щоб загальна сума по рядку (сині осередки) не перевищувала місткості

27

складу (червоні клітинки), і при цьому кожен магазин отримав необхідну йому кількість товарів на реалізацію (сума по кожному магазину в помаранчевих клітинках повинна бути якомога ближча до вимог - ліловим осередкам). Щоб виконати таку оптимізацію відкриємо меню Сервіс (Tools) і виберемо команду Пошук рішення (Solver). У Excel 2007 це буде кнопка Пошук рішення (Solver) на вкладці Дані (Data). Відкриється ось таке вікно:

У цьому вікні потрібно задати наступне:

• Цільову комірку (Target cell) - тут необхідно вказати кінцеву головну мету нашої оптимізації, тобто рожеву клітинку із загальною вартістю доставки (E17). Цільову комірку можна мінімізувати (якщо це витрати, як у нашому випадку), максимізувати (якщо це, наприклад, прибуток) або спробувати привести до заданої константи.

• Змінні клітинки (By changing cells) - тут зазначимо зелені комірки (C10: G11), варіюючи значення яких ми хочемо домогтися нашого результату - мінімальних витрат на доставку.

• Обмеження (Subject to the Constraints) - список обмежень, які треба враховувати при проведенні оптимізації. У нашому випадку це обмеження на місткість складів і потреби магазинів. Щоб додати обмежень в список потрібно натиснути кнопку Додати (Add) і ввести умову у вікні, що з'явилося:

28

Крім очевидних обмежень, пов'язаних з фізичними факторами (місткість складів і засобів перевезення, обмеження бюджету і термінів тощо) іноді доводиться додавати обмеження «спеціально для Excel». У нашому випадку, наприклад, потрібно буде додати ось таке обмеження:

Воно додатково уточнить, що обсяг перевезеного товару (зелені комірки) не може бути негативним - для людини таке само собою очевидно, але для комп'ютера це треба прописати явним чином.

І третя умова у вигляді обмеження – це завезти в магазини необхідну кількість товару, тобто, щоб отримана сума у клітинах C12:G12 дорівнювала заданим у клітинах C14:G14 значенням.

Після налаштування всіх необхідних параметрів вікно має виглядати наступним чином:

Тепер, коли дані для розрахунку введені, натиснемо кнопку Виконати (Solve), щоб почати оптимізацію. У важких випадках з великою кількістю змінюваних клітинок і обмежень знаходження рішення може зайняти тривалий час, але наша задача для Excel проблеми не складе – майже миттєво ми отримаємо наступні результати:

29

Зверніть увагу на те, як цікаво розподілилися обсяги поставок в магазини, не перевищивши при цьому ємності наших складів і задовольнивши всі запити з необхідної кількості товарів для кожного магазина.

Якщо знайдене рішення нам підходить, то можна його зберегти, або відкотитися назад до вихідних значень і спробувати ще раз з іншими параметрами. Також можна зберегти підібрану комбінацію параметрів як Сценарій . За бажанням користувача Excel може побудувати три типи Звітів з розв'язуваної задачі на окремих сторінках: звіт за результатами, звіт з математичної стійкості рішення і звіт щодо межі (обмеженням) рішення, проте вони, в більшості випадків, цікаві тільки спеціалістам.

Бувають, проте, ситуації, коли Excel не може знайти відповідного рішення. Імітувати такий випадок можна, якщо вказати в нашому прикладі вимоги магазинів в сумі більші, ніж загальна місткість складів. Тоді при виконанні оптимізації Excel спробує наблизитися до рішення, наскільки це можливо, а потім видасть повідомлення про неможливість знайти рішення. Проте, навіть у цьому випадку ми маємо масу корисної інформації - зокрема можемо бачити «слабкі ланки» наших бізнес-процесів і зрозуміти напрямки вдосконалення.

Розглянутий приклад, звичайно, є відносно простим, але легко масштабується під рішення набагато складніших нелінійних задач.

При необхідності можна змінити задані за умовчуванням параметри засобу «Пошук рішення».

До завдання 4: лінійне програмування

30

Задача лінійного програмування - популярна задача лінійної алгебри. Вона полягає в наступному: визначення максимального та/або мінімального значення заданої цільової функції , на системі обмежень, заданих рівностями або нерівностями виду:

Дана функція називається цільовою або лінійної формою задачі, а умова називається обмеженнями даної задачі. Сукупність чисел , що задовольняють обмеженням задачі, називається допустимим рішенням. Допустиме рішення, при якому цільова функція задачі приймає своє максимальне або мінімальне значення називається оптимальним. Для організації обчислювального процесу в Excel зробимо "заготовку", яку можна використовувати для вирішення багатьох завдань лінійного програмування. Приклад:

Для виготовлення виробів А, В використовується токарні, фрезерні та зварювальні операції (роботи). Витрати часу на обробку одного виробу для кожної з операцій зазначені в таблиці. У ній же вказаний загальний фонд робочого часу кожного типу використаних робіт, а також прибуток від реалізації одного виробу кожного виду.

Назва

операції

Витрати часу

на кожний виріб Загальний фонд

робочого часу

А В

Токарна 1 3 84

Фрезерна 2 1 42

Зварювальна 4 1 36

Прибуток 5 3

Потрібно визначити, скільки виробів і якого виду необхідно виготовити підприємству, щоб прибуток був максимальним. Припустимо, що буде виготовлено х - одиниць виробів виду А, у - одиниць виробів виду В. Тоді для виробництва такої кількості виробів потрібно затратити х + 3y годин фрезерних робіт і при цьому загальний фонд робочого часу даного типу робіт не може перевищувати 84. Розмірковуючи аналогічно для кожному виду робіт, приходимо до системи обмежень:

31

x + 3y ≤ 84

2x + y ≤ 42

4x + y ≤ 36

Оскільки кількість виготовлених деталей не може бути від’ємною, то додаємо ще обмеження: x, y ≥ 0

Якщо буде виготовлено х- одиниць виробу А, y- одиниць виробу В, то прибуток від їх реалізації складе F(x, y) = 5х + 4y – це цільова функція. Оформимо лист Excel, заповнивши спочатку стовбці А, В,С:

В клітинки С1, С2, С3, вводимо рівняння системи обмежень, а в клітинку С4 - цільову функцію. В клітини А1 і В1 запишемо початкові допустимі значення, які будуть змінюватися, наприклад, по 1.

Примітка: В стовпці D приведені формули, які занесені у відповідні клітини стовпця С. Запускаємо «Пошук рішень» і встановлюємо:

Натискуємо кнопку "Виконати" і отримуємо:

32

Отже, отримати максимальний прибуток, рівний 120, необхідно виготовити лише 2 одиниці виробу А і 27 одиниць виробу В. При цьому фонд робочого часу фрезерних робіт не буде повністю використаний (-10). Зберігаємо отриманий результат.

До завдання 5: знаходження екстремумів функції з використанням онлайнових

ресурсів (Інтернету)

Для розв’язку досить складних задач можна скористатися чудовим сервісом, який об’єднує пошук і аналіз, WolframAlpha (http://www.wolframalpha.com). Цей сервіс належить розробнику відомого математичного пакету Wolfram Mathematica 8 . Ввівши у вікні сервісу вираз для рівняння, наприклад, x**3-5*x**2+4*x-8*cos(x)+2=0:

отримуємо результат, в якому наводяться графіки та надаються додаткові дані, що особливо зручно для більш складних досліджень:

До завдання 6: задачі з масивами

Більшість задач, що вимагають виконання операцій над масивами, без програмування не розв’язати. До них відносяться такі задачі, як транспонування матриці, обернення матриці, множення матриць і багато подібних. Для розв’язку деяких з них, наприклад, завдання транспонування матриці, є стандартні функції Excel. Об'єкт Range (діапазон)

Клітинка робочого листа не є об'єктом Excel. До окремої клітинки робочого листа можна отримати доступ через об'єкт Range, який представляє собою сукупність клітинок. Об'єкт Range може представляти як єдину клітинку таблиці, так і рядок або стовпець, деяку

33

прямокутну область, а також об'єднання подібних несуміжних елементів. Адресація осередків може виконуватися або в форматі А1, або у форматі R1C1. Адресація клітинок робочого листа в форматі А1.

У форматі A1 ім'я клітинки будується з імені стовпця і номера рядка, наприклад C12. Назва формату вибрано за ім'ям лівої верхньої комірки робочого листа. Адреси клітинок в цьому форматі є відносними. Якщо, наприклад, діапазон з ім'ям MyRange включає комірки D6: E10, то посилання MyRange ("A1") означатиме клітинку, що знаходиться в лівому верхньому кутку цього діапазону, а значить - осередок D6 в абсолютній адресації. Поряд з відносними посиланнями є можливість застосування абсолютних посилань на рядок або стовпець. Ознакою абсолютного посилання є знак ($), що передує імені рядку й (або) стовпців. Так що адреси C5, C$5, $C5, $C$5 залежно від контексту можуть іменувати одну і ту ж або чотири різних клітинки. Наступний приклад демонструє важливу для розуміння відносність посилань на клітинки: Dim MyRange As Range Set MyRange = Range ("C1:C4") MyRange.Range ("A1") = 7 MyRange.Range ("A2") = "= A1 +2" MyRange.Range ("A3:A4") = "= A1 + A2" Перша інструкція оголошує ім'я MyRange як ім'я діапазону. Друга інструкція створює об'єкт MyRange, заданий діапазоном C1: C4. Третя інструкція задає клітинку C1 в абсолютних адресах. В інструкціях присвоєння (четвертий і п'ятий рядки) посилання ліворуч від знаку рівності робляться щодо об'єкта MyRange, а посилання праворуч від знака рівності прив'язані до абсолютних адрес. Адресація клітинок робочого листа в форматі R1C1.

Цей формат називається так, оскільки адреса задається індексом рядка (Row) і індексом стовпця (Column). Назва формату збігається з адресою в цьому форматі лівої верхньої комірки робочого листа. Тут посилання теж можуть бути абсолютними або відносними. В абсолютних посиланнях вказуються дійсні індекси клітин, у відносних посиланнях - їх зміщення по відношенню до активної клітинки. Зміщення задається в квадратних дужках і зі знаком, що вказує напрямок зміщення по відношенню до активної клітинки. Переробимо попередній приклад, щоб в формулах використовувалися посилання формату R1C1: Dim MyRange As Range Set MyRange = Range ("C1:C4") MyRange.Range ("A1") = 7 MyRange.Range ("'A2") = "= R1C1 +2" MyRange.Range ("A3: A4") = "= R [-2] + R [-1]" У цьому прикладі варто звернути увагу на наступні дві обставини:

34

1. При виклику діапазону його параметри можна задавати тільки у форматі A1. Тому в лівій частині інструкцій збережена адресація у форматі A1. 2. Якщо у формулі обчислення пов'язані з одним і тим же рядком або одним і тим же стовпцем, то можна застосовувати посилання, використовуючи один індекс. У даному прикладі в останньому рядку задано зсув по рядках, оскільки стовпець залишається незмінним і його можна не вказувати. Для переходу до нового діапазону, зміщеному щодо поточного, можна використовувати метод Offset, який повертає новий об'єкт Range, віддалений від колишнього на задану відстань. Цей метод має два параметри: зміщення по рядках і зсув по стовпцях. Ось приклад створення нового діапазону, зміщеного щодо вихідного: Dim Range1 As Range, Range2 As Range Set Range1 = Range ("C1:C4") Set Range2 = Range1.Offset ("2,3") Можна використовувати зміщення при роботі з клітинками, наприклад: SelectCell.Offset (0,1).Value = 15

Формули з масивами

Розміщення одновимірних масивів (векторів) і двовимірних масивів (матриць) на робочому листі є цілком природною справою. При бажанні масиву можна дати ім'я, використовуючи властивість Name об'єкта Range. Наприклад, ім'я масиву можна дати з меню Вставка. Excel допускає, щоб аргументами формули були масиви, а також допускає, щоб результатом функції був масив. Такі формули зазвичай називають формулами з масивами. Якщо результатом такої формули є одне значення (скаляр), то формула з масивами вводиться в ту клітинку, де має з'явитися результат обчислень. Введення формули з масивами на відміну від введення звичайної формули завершується натисненням не на одну клавішу Enter, а натисканням комбінації клавіш Ctrl + Shift + Enter. Таке завершення введення формули відображається в полі введення функції взяттям формули у фігурні дужки. Ці фігурні дужки можна задавати самим з метою надання формулі статусу формули з масивами. Якщо результатом формули є масив, то його попередньо необхідно виділити, а вже потім ввести формулу. Вона ніби вводиться в кожну клітинку виділеного масиву. Якщо не застосовується програмування, то орієнтаціїя масивів-аргументів і масиву-результату повинні бути однаковими, а також повинні бути однаковими розмірності масивів. Наприклад, вектор, який дорівнює сумі двох векторів, може бути отриманий за допомогою формули {= C5:C10 + E11:E16} або за допомогою формули {= A + B}, якщо попередньо дати імена A і B вихідним масивам. Зверніть увагу ще раз: фігурні дужки в формулу Excel вставляє як реакцію на натискання комбінації клавіш Ctrl + Shift + Enter.

35

Розглянемо як приклад задачу, яка не може бути розв’язана лише одними засобами Excel, без безпосереднього програмування на VBA. Нехай заданий масив чисел M і деяка величина h. Потрібно визначити, скільки елементів масиву більше h. Для розв’язку цієї задачі розробимо функцію. До цієї функції можна буде звертатися в формулах робочого аркуша, а як фактичний параметр-масив повинна бути забезпечена можливість передачі масиву, що є об'єктом Range. Перейдіть до створення цієї функції. Запускаємо редактор VB. Для цього виконуємо команду Сервіс, Макрос, Редактор Visual Basic. Якщо вікно проекту не відкрито, то відкриваємо його, виконавши команду View (Вид), Project Explorer (Вікно проекту). В Excel 2007 можливо буде необхідно через меню «Параметри Excel» -> «Основні» поставити «галочку» напроти опції «Показувати вкладку «Розробник» на стрічці», щоб дана вкладка була відображена на панелі меню. Функція, яку Вам належить розробити відповідно до умови задачі, повинна бути оголошена на рівні проекту, отже, вона повинна бути оголошена в модулі. Створюємо модуль командою меню редактора Insert (Вставити), Module (Модуль).

У вікні проекту повинна з'явитися піктограма з написом Module1, а також має відкритися вікно коду модуля.

36

Помістимо у вікно коду модуля заготівку функції, яку створюємо. Для цього виконаємо команду Insert (Вставити), Procedure (Процедура).

У вікні Add Procedure (Додати процедуру) встановлюємо перемикач типу процедури в положення Function (Функція) і введимо ім'я функції funct. Якщо Ви не допустили помилки, то вікно редактора VB має виглядати так:

Тепер необхідно ввести код функції Funct:

Public Function Funct(M As Variant, h As Variant) As Integer 1: Dim kol As Integer, i As Integer, j As Integer 2: kol = 0 3: If TypeName(M) = "Range" Then 4: For i = 1 To M.Rows.Count 5: For j = 1 To M.Columns.Count 6: If M.Cells(i, j) > h Then 7: kol = kol + 1 8: End If 9: Next 10: Next

37

11: Funct = kol 12: Else 13: MsgBox ("Funct: Аргумент - не діапазон") 14: End If End Function

Зверніть увагу, що при при оголошенні аргументів функції Funct як масиву виступає діапазон, тому при оголошенні відповідного аргументу (M) він оголошується не як ім'я масиву і має тип Variant. У рядку 3 за допомогою стандартної функції TypeName перевіряється, що ім'я M має тип Range, тобто є діапазоном. У рядку 4 значення виразу M.Rows.Count дорівнює числу рядків діапазону М. Значення виразу M.Columns.Count в рядку 5 дорівнює числу стовпців діапазону М. Запис M.Cells(i,j) у рядку 6 означає посилання на поточну клітинку діапазону M, що знаходиться в i-ої рядку і j-му стовпці цього діапазону. Нарешті, можна перевірити, як працює тільки що створена функція. Для цього звернемо вікно редактора VB. У вікні Microsoft Excel - Масиви.xls, де Масиви.xls – ім’я збереженого файлу Excel, відкриваємо Аркуш1 і в клітинках B2:C6 вводимо числа:

3,1 0,4

-2,1 5

4 8

11,2 2

8,1 6

Дайте цьому діапазону ім'я Test. Для цього виділіть діапазон і з контекстного меню правої кнопки миші виконайте команду Вставка, Ім'я, Присвоїти. У вікні Присвоєння імені в полі Ім'я введіть Test і клацніть на кнопці ОК:

38

Введіть у клітинку C7 формулу: = funct (Test, 2) та натисніть на клавішу Enter. В клітинці C7 повинен з'явитися результат, рівний 7. Дійсно, 7 чисел в діапазоні Test більші 2. Зверніть увагу: в клітинках робочого аркуша Excel у зверненні до функції аргументи відокремлюються один від одного не символом (,), як це прийнято в VB, а символом (;). Якщо Ви не допустили помилки, то Аркуш1 повинен відповідати рисунку:

Довідкові матеріали

Параметри засобу «Пошук рішення»

Максимальний час - використовується для обмеження часу, відпущеного на пошук рішення задачі. У цьому полі можна ввести час у секундах, що не перевищує 32 767 (приблизно дев'ять годин); значення 100, що використовується за умовчанням, цілком прийнятне для вирішення більшості простих завдань. Граничне число ітерацій - керує часом розв’язку задачі шляхом обмеження числа обчислювальних циклів (ітерацій). Відносна похибка - визначає точність обчислень. Чим менше значення цього параметра, тим вища точність обчислень. Допустиме відхилення - призначене для завдання допуску на відхилення від оптимального рішення, якщо множина значень впливаючої клітинки обмежена безліччю цілих чисел. Чим більше значення допуску, тим менше часу потрібно на пошук рішення. Збіжність - застосовується тільки до нелінійних задач. Коли відносна зміна значення в цільової комірці за останні п'ять ітерацій стає меншою, ніж це вказано в полі «Збіжність», пошук припиняється. Лінійна модель - використовується для прискорення пошуку рішення шляхом застосування до задачі оптимізації лінійної моделі. Нелінійні моделі припускають використання нелінійних функцій, фактора росту і експоненціального згладжування, що уповільнює обчислення. Невід'ємні значення - дозволяє встановити нульову нижню межу для тих впливаючих клітинок, для яких не було задане відповідне обмеження в діалоговому вікні «Додати обмеження». Автоматичне масштабування - використовується, коли числа в змінюваних клітинках і в цільовій комірці істотно розрізняються. Показувати результати ітерацій - призупиняє пошук рішення для перегляду результатів окремих ітерацій. Завантажити модель - після клацання на цій кнопці відривається однойменне діалогове

вікно, в якому можна ввести посилання на діапазон комірок, що містять модель оптимізації. Зберегти модель - служить для відображення на екрані однойменного діалогового вікна, в якому можна ввести посилання на діапазон комірок, призначених для зберігання моделі оптимізації. Оцінка лінійна - виберіть перемикач для роботи з лінійною моделлю. Оцінка квадратична - виберіть перемикач для роботи з нелінійної моделлю. Різниці прямі - використовується у більшості завдань, де швидкість зміни обмежень відносно невисока. Збільшує швидкість роботи засобу «Пошук рішення». Різниці центральні - використовується для функцій, що мають розривну похідну. Даний спосіб вимагає більше обчислень, однак його застосування може бути виправданим, якщо видане повідомлення про те, що отримати більш точне рішення не вдається. Метод пошуку Ньютона - вимагає більше пам'яті, але виконує менше ітерацій, ніж в методі спряжених градієнтів. Метод пошуку спряжених градієнтів - реалізує метод спряжених градієнтів, для якого потрібно менше пам'яті, але виконується більше ітерацій, ніж у методі Ньютона. Даний метод слід використовувати, якщо завдання досить велике і необхідно економити пам'ять або якщо ітерації дають занадто малу відмінність у послідовних наближеннях.

40

Формат 60х84 1/16. Друк цифровий. Папір офсетний 80 г/м2.

Зам. № 2012 від 20.12.2011. Наклад 100 прим.

Видавництво: ТОВ «Праймдрук» 01023, м. Київ, вул. Еспланадна, 20, офіс 213

Свідоцтво про внесення до Державного реєстру суб’єктів видавничої справи серія ДК № 4222 від 07.12.2011 р.