Embed Size (px)
Citation preview
Федеральное агентство по образованию
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Т.А. Пыжова, Г.В. Лупенко, И.А. Масленникова
МАТЕМАТИКА
Учебное пособие для углубленного изучения математики в 7-м классе
Москва 2009
УДК 51(075) ББК 22.127 П 94
Пыжова Т.А., Лупенко Т.В., Масленникова И.А. Математика: Учебное посо-
бие для углубленного изучения математики в 7-м классе. М.: МИФИ, 2009. – 76 с. Даны примеры задач по алгебре и геометрии для 7-го класса. Задачи систематизированы по темам и снабжены ответами. Пособие предназначено учащимся, которые готовятся поступать в 8-е классы
вечерних лицеев при МИФИ, а также учителям, организующим эту подготовку. Авторы:
Пыжова Т.А., кандидат технических наук, доцент МИФИ, почетный работник «Высшего образования РФ»;
Лупенко Г.В., кандидат физико-математических наук, доцент МИФИ, соро-совский учитель, почетный работник «Высшего образования РФ»;
Масленникова И.А., соросовский учитель, заслуженный учитель РФ.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. А.Н. Рурукин
ISBN 978-5-7262-1051-3 © Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2009
3
Содержание
Требованияк математической подготовке учащихся ................... 4 Алгебра Примеры и задачи .................................................................................. 5
Раздел I. Арифметические примеры ............................................... 5 Раздел II. Признаки делимости ........................................................ 8 Раздел III. Проценты ......................................................................... 9 Раздел IV. Пропорции..................................................................... 10 Раздел V. Уравнения ....................................................................... 11 Раздел VI. Текстовые задачи .......................................................... 19 Раздел VII. Степени ........................................................................ 24 Раздел VIII. Одночлены, многочлены. Разложение многочленов на множители ........................................................... 27 Раздел IX. Понятие о функции и графике функции .................... 28 Раздел X. Системы уравнений ....................................................... 33
Ответы ................................................................................................... 37 Геометрия Справочник по геометрии ................................................................... 46 Задачи .................................................................................................... 50
Раздел I. Смежные и вертикальные углы ..................................... 50 Раздел II. Равенство треугольников. Сумма углов треугольника.................................................................................... 51 Раздел III. Равнобедренные треугольники .................................... 53 Раздел IV. Призники и свойства параллельных прямых ............. 55 Раздел V. Окружность .................................................................... 57 Раздел VI. Задачи на построение ................................................... 58 Раздел VII. Задачи на повторение ................................................. 59
Ответы ................................................................................................... 61
4
ТРЕБОВАНИЯ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ
Для успешной сдачи письменного экзамена по математике уча-
щиеся должны хорошо владеть знаниями и умениями по следую-щим разделам.
1. Натуральные числа и их свойства. Делимость чисел. Призна-ки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 100 и т. д. Разложение числа на простые множители. Учащиеся должны владеть понятиями, свя-занными с делимостью чисел, на уровне, позволяющем использо-вать их при решении широкого круга задач.
2. Решение задач на все действия с обыкновенными и десятич-ными дробями. Учащиеся должны владеть достаточно развитой техникой вычисления с рациональными числами: бегло и уверенно выполнять арифметические действия письменно, владеть навыками устных вычислений, а также уметь применять приемы, упрощаю-щие вычисления.
3. Решение задач на проценты. Нахождение процента от числа. Нахождение числа по процентам от него. Нахождение процентного отношения двух чисел.
4. Модуль числа. Решение простейших уравнений, содержащих модуль.
5. Отношение двух чисел. Нахождение числа по его части. Про-порция. Свойства пропорции. Деление числа в данном отношении. Решение задач на пропорциональное деление.
6. Решение линейных уравнений и их систем. Решение линей-ных уравнений, содержащих параметр. Исследование систем ли-нейных уравнений.
7. Решение текстовых задач. Анализ полученных результатов. 8. Понятие функции и ее графика. Учащиеся должны понимать
содержательный смысл важнейших свойств функций; находить значения функций, заданных формулой, таблицей, графиком, ре-шать обратную задачу; уметь строить и читать график линейной функции.
9. Многочлен. Равенство многочленов. Действия с многочлена-ми. Формулы сокращенного умножения. Методы разложения мно-гочленов на множители. Представление о методе неопределенных коэффициентов.
10. Понятие степени с натуральным показателем. Действия со степенями.
11. Решение геометрических задач. Учащиеся должны уметь выполнять чертежи по условию задачи, вычислять значения гео-метрических величин (длин, углов), применяя изученные свойства и формулы, проводить аргументацию в ходе решения задач.
Настоящее пособие не заменяет школьного учебника, а только дополняет его и углубляет.
5
АЛГЕБРА
Примеры и з а д ачи
Раздел I. Арифметические примеры
Выполнить действия.
1. 3,02,1:46,2411 +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅ .
2. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+
16925,1
31:
12125,0 .
3. 25,06,1
5,08,0:92
⋅
−.
4.
544
213:
324
324:
213
613:
65
43
52
211:
432
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
.
5.
321:
22218
11511
325
212:2
4330
127
152
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
.
6.
87:
43
211
611:1
52
212
65:
43
3
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−⋅+.
7. ( ) 12,138,85,408,206,865:36,227 +⋅⋅− .
6
8. )5,306,307,937()66,974,22(:4,275 ⋅−⋅+ .
9.
187:
3211
814
1144
433
5412
145:
125
72 3
⋅−⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
.
10. .
94:
32
94:
32
2
2
22
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
11. ( ) 21)3(:1752 22 −−−+− .
12. ( )213)2(:55118 23 +−−+− .
13. 01,0:10:0001,01,0:1007,1 ⋅⋅ .
14. 2,1:2111,25,1 2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅− .
15. 211:2,17,0
511 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅ .
16.
3118:
415,1
3113
741:
5725,1:5,0
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
.
7
17. ( )
( )43,0
212:125,0
703:4,12,5
3128,07,2
+⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−
⋅−.
18.
137
6125,0:
5125,0
315,0
52,21511,0
61:
1511,0
61
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
.
19. ⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅+
−⋅
−
+7,5
125,071
05,0:2,5
3126,4
3126,4
3115,2
5,2313
.
20. ( )
24169:
165125,0:2,136:2,1
9,95,6:35,67
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
+− .
21. 5,12008,0
5,14,0:95
⋅
−.
22.
6518
3617
1852
32:13:
413
513:2
14722:
4923
711
212
433:5,1
211:75,3
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
.
23. .
94
31
2721
245
28132
42135:
8419
1371
65
213
523
3151
2412
18112
1273
⋅−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
8
Вычислить наиболее удобным способом (без использования микрокалькулятора).
24. 6,06,08,0
5,25,3 22
−⋅− . 26. 22 5,03,1
8,18,08,12,0−
⋅+⋅ .
25. 22 6,24,14,04,06,1
−
−⋅ . 27. 22 8,016,12,06,02,0
−
⋅−⋅ .
28. 385,04545
20312
15133 ⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−− .
29. 22
22
1783171783283
−+⋅⋅+ .
30. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+−
1111
7467,1
431:17,5 .
31. ( ) 38,0:541:48,11
9552,7 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⋅ .
Раздел II. Признаки делимости
Основные признаки делимости натуральных чисел: Число делится на 2, если последняя цифра этого числа — чет-
ная; Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3; Число делится на 4, если две последние цифры его образуют
число, которое делится на 4; Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5; Число делится на 8, если три его последние цифры образуют
число, которое делится на 8; Число делится на 9, если сумма цифр этого числа делится на 9; Число делится на 10, если его последняя цифра — 0;
9
Число делится на 11, если разность сумм цифр числа, стоящих на четных и нечетных местах кратно 11.
1. Какие цифры можно поставить вместо звездочки, чтобы чис-ло делилось без остатка на 3 и на 5 одновременно: 1) 241*; 3) 43*5; 2) 1734*; 4) 43*0?
2. Определить, делится ли число 1234067895 без остатка на 45? 3. Вставить в числе 522...222
цифр13
∗ цифру вместо звездочки, чтобы
число делилось на 75 . 4. Какую цифру нужно поставить вместо звездочки в число
*137812, чтобы вновь полученное число делилось на 6? 5. Является ли число 71634453 простым или составным? 6. К числу …
цифр1511111 допишите по одной цифре слева и справа
так, чтобы вновь полученное число делилось на 45. Найти все воз-можные варианты.
7. Дано число — 7453*41. Определить число сотен, если число делится на 9.
8. Известно, что число 173913871* делится на 12 без остатка. Определить цифру *?
9. Определить число десятков, если число 7359917383*6 делится на 8 без остатка. Рассмотреть все возможные варианты.
10. Определить, делятся ли числа 1892 и 5280 на 11?
Раздел III. Проценты
Процентом называют одну сотую часть числа. Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.
1. Найти: а) 1,5 % от 40; б) 3 % от 60; в) 15 % от 500.
2. Чему равно число: а) 3 % которого равны 63; б) 8 % которого равны 48; в) 25 % кото-рого равны 125?
3. Сколько процентов составляет число: а) 26 от числа 200; б) 5 от числа 100; в) 29 от числа 500?
4. 3 % от вклада составляет 150 руб. Какова величина вклада?
10
5. Каков процент жирности молока, если в 1 кг его содержится 45 г жира?
6. По вкладам начисляется ежегодно 2 % от вклада. В банк вне-сли 150 руб. Какой станет сумма вклада через два года?
7. Что больше: 20 % от 10 % данного числа или 10 % от его 20 %?
Раздел IV. Пропорции
Равенство двух отношений называют пропорцией. Основное свойство пропорции: в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.
Решить пропорции.
1. .:415
213:
535 X=
6. .
3210
65
−=
x
2. .412:
214
513: =y
7. .
21
312=
−x
3. ( ) .212:
212:2,0 =−x
8. .
52
236
=+x
4. ( ) .06,0:97124,0:
322 += x
9. .12,1
1583,0
6175,0
X=
+
−
5. .32
34
=+ x
10. ( ) .
6555,2:25,121
1433
536 X
=−
−
11
11. .
32418
5
2,1712
5,12:7
11
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
=− X
14. .5,87356,0
75,35,911 ⋅=
+−
X
12. .25,21
315,2
23209
45
+=
−
+
X 15. .
94:
913
143: =y
13. .3
2304,0
322:
185
3072
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
X
16. .
811
211
31
322
−=
+ XX
17. .
604940
842341
61:
143
72316,0:
511
7125,34
−
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅−
x
18. .02,04,2675,0
7,02117
63281
1678
4021
2419
125,0−⋅
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
x
Раздел V. Уравнения
Равенство, которое содержит неизвестное число, обозначенное
буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при
котором это уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни или устано-
вить, что их нет. Выражение вида ax + b = 0 называется линейным уравнением,
где a и b — некоторые числа; x — переменная.
12
Основные свойства уравнений: • к обеим частям уравнения можно прибавить или вычесть одно
и то же число; • любой член уравнения можно перенести из одной части в дру-
гую, изменив его знак на противоположный; • обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и
то же число, не равное нулю. Решить уравнения.
I тип уравнений (преобразование уравнений)
1. .911
214
312 ⋅=a
2. .1111
323
218 ⋅=z
3. 5 (x + 7) = 3 (2x – 3). 4. 0,2 (x – 2) = 0,7 (x + 3). 5. 2 (x + 3) – 3 (x + 2) = 5 – 4 (x + 1). 6. 3 (x – 2) – 2 (x – 1) = 17. 7. 3 – 5 (x – 1) = x – 2. 8. 11 (y – 4) + 10 (5 – 3y) – 3 (4 – 3y) = – 6. 9. 2 (x + 1) – 1 = 3 – (1 – 2x). 10. 6 (1,2x – 0,5) – 1,3x = 5,9x – 3. 11. 8 (1,3x + 0,25) – 6,6x = 3,8x + 2. 12. 25x – 17 = 4x – 5 – 13x + 14 + 34x. 13. 7 (–12 + y) –5(–18 + y) = 6. 14. (x + 3) 6 = (x + 1) 9.
13
15. 3 (y + 7) – 4(y + 4) = 0. 16. –3,2a + 4,8 = –2 (1,2a + 2,4). 17. –5 (0,8y – 1,2) = –y + 7,2. 18. 13x (6x – 1) + 24x = –13 – 6x (9 – 13x). 19. 5y (12y + 7) – 29y = 30 + 4y (15y – 11). 20. 7x (6x – 5) + 42x = 3x (5 + 14x) + 49.
21. .5,202,2238,1:
651
611 −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−+ X
22. .1251
858:75,3
321:7,1 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −X
23. .218
31
37155,1:
8455
+=⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +X
24. .20125,0
65:
18171
39111 2 −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −X
25. .2035
6118:
125
3072 −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − X
26. .728,0:
74
321
8125,2:39,0 =−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +− X
II тип уравнений (преобразование уравнений и разложение на множители; применение формул сокращенного умножения) 1. –5х2 + 6х = 0. 2. 8у2 – у = 0. 3. (х2 - х) (2x + 1) (3x + 5) = 0.
14
4. (9x – 3) (5x + 2) (x2 + 4х) = 0 . 5. (5х – 7) (8х + 1) = (7 – 5х) . 6. (х – 1) (2х + 1) + (х – 1) = (х + 1) (х – 1) . 7. (2 – 3х) (х + 1) – (3х – 2) (3х + 1) = 0 . 8. (4х – 1) (5х + 7) – (1 – 4х) + (4х – 1) (3х + 2) = 0 . 9. (5у2 + у) (3у – 1) + 2(у + 5у2) = 0 . 10. .0)13()57()75()8()57( =+−+−−−− yyyyy 11. (4а – 1) + (1 – 4а) (3а +1) = (1 – 4а) . 12. .0)4(4 =+−+ yyy
13. ( ) .01226 2 =+−− xx
14. ( ) .01155 2 =−+−−− yyy
15. ( ) .0)2(5632 2 =−−−+− xxx
16. .)53()35(2 2−=−− xx
17. .)7()7(5142 2xxx −=−+−
18. .0)8(3)8( 22 =−−− xxxx 19. 4х2 – 9 = 0 . 20. 1 – 4у2 = 0 . 21. 2а2 – 8 = 0 . 22. (х2 + 2х + 1) + (х + 1) (3х –1) = 0 . 23. х3 – 5х2 – 4х + 20 = 0 .
24. .9464 2 −=− yy
15
25. .4129)23()45( 2 +−=−+ xxxx
26. .1)53()1( 2xxx −=+−
27. .463 2 −=+ xx
28. ( ) .0169)35()13( 2 =+++−+ xxxx
29. .144)18()12( 2 −+−=+− xxxx
30. .21218)58()13( 2 −+−=+− xxxx
31. .25309)53()17( 2 ++=+− xxxx
32. .949)73()32( 2xxx −=−+
33. .1227)95()23( 2 −=−+ xxx
34. .20205)2()18( 2 +−=−− xxxx
35. .91)57()13( 2xxx −=++
36. .363)38()1( 2 −+−=+− xxxx
37. .18248)27()32( 2 +−=+− xxxx
38. .425)52()3( 2xxx −=+−
39. .4256)81()711( 2 −=−− yyy
40. .2162)51()19( 2 −=−+ zzz
41. .)23()75(2549 2 −−=− xxx
42. .)7,02()5,0(25,0 2 +−=− xxx
43. .)8,0()73(64,0 2 −−=− xxx
16
44. .4)53()9,02(81,0 2xxx +−−=
45. .)6,07()76(4936,0 2 xxx −−=−
46. .)83()83(94864 2 −−=+− xxxx
47. .2442 −=+− xxx III тип уравнений (приведение уравнений к общему знамена-телю)
1. .2
732
7 xx+=−
2. .3
73
29 xx+=−
3. .115
7531
65
−−
−=−
−xxxx
4. .0853
443
232
=−
−−
−− xxx
5. .3
43325
234 −
=−
−− xxx
6. .435
1225
31 xxx +
=+
+−
7. .6
513
32
5 −+=
−−
xxx
8. .441643118 −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − zz
9. ( ) ( ) ( ) ( ) .14
2128
127
1 2 +−=
+−
− xxxxx
17
10. ( ) ( ) ( ) .3
1115
325
2 22 +−=
−+
− xxxx
11. .06
74325
234
=−
−−
−− xxx
12. .0853
443
232
=−
−−
−− xxx
IV тип уравнений (уравнения с модулем)
Модуль положительного числа равен самому числу. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему
числу.
Если модуль обозначен буквой, то ⎩⎨⎧
<−≥
=.0если,;0если,
aaaa
a
Модуль нуля равен нулю: .00 = Если модуль записан от выражения, содержащего букву, то сле-
дует рассматривать два случая: • когда выражение, стоящее под знаком модуля больше или рав-
но нулю, то знак модуля можно опустить; • когда выражение под знаком модуля меньше нуля, то при сня-
тии знака модуля следует умножить все выражение на минус еди-ницу. 1. .710 =+x 8. .09,03 =x 2. .3223 xx −=+ 9. .1=x 3. .1714 += x 10. .16,02 =x 4. .712 =−x 11. .31247 =+− x 5. .9112 =+−x 12. .6556 xx −=+ 6. .111 =−x 13. .5335 xx −=+ 7. .31 +=− xx
18
V тип уравнений (уравнения в целых числах) 1. y (x + 1) = 3 . 3. 2у – 3ху = 5 . 2. ху – у = 6 . 4. ху – 6 = – х . 5. Пусть число имеет a-десятков и b-единиц. Известно, что число в 5 раз больше суммы цифр. Найдите числа а и b. 6. xy + x = 8 . 7. 2x – xy = 4 . 8. 3y + 2xy = 5 . VI тип уравнений (уравнения с параметрами)
Уравнение, содержащее кроме цифр и неизвестного еще вели-чину, обозначенную буквой, будем называть уравнением с пара-метром.
Для решения уравнений такого типа необходимо сначала найти неизвестное, считая параметр (букву) как некоторое число, а затем исследовать полученный результат на наличие решений в зависи-мости от параметра. Методы решения заданий такого типа доста-точно разнообразны: либо проводится перебор всех возможных вариантов, либо используются графические представления, а затем проводится анализ полученных графиков. В данном пособии рас-смотрены простейшие варианты уравнений с параметрами.
Определить, при каких значениях а уравнение имеет решение.
1. .131=
−a
x
5. .)7(225 xax +=−
2. .38
2=
− ax
6.
.6
8238 axax −
=−
3. .38 aax −= 7. .05567 =+− xax 4. .115)2( =+− xa 8. .07213 =−+ xax
19
9. .3
57
)4(8 axxa +=
+− 11.
( ) .
22
7)13(3 2 aaxax +=
−
10.
.2
73
)2(3 axxax +=
−− 12.
.
2)3(
5)47(2 +=
+ aaxax
При каких значениях a уравнение не имеет решений?
13. .07486 2 =−− axxa
Раздел VI. Текстовые задачи I тип (общего типа)
1. В трех поселках 6 000 жителей. Во втором поселке вдвое больше жителей, чем в первом, а в третьем — на 400 жителей меньше, чем во втором. Сколько жителей во втором поселке?
2. В одном элеваторе было зерна в 2 раза больше, чем в другом. Из первого элеватора вывезли 750 т зерна, на второй элеватор при-везли 350 т, после чего в обоих элеваторах стало поровну. Сколько зерна было первоначально в каждом элеваторе?
3. В трех коробках находится 119 карандашей. В первой коробке на 4 карандаша больше, чем во второй, и на 3 карандаша меньше, чем в третьей. Сколько карандашей в каждой коробке?
4. Отцу 30 лет, а сыну 4 года. Через сколько лет отец будет втрое старше сына?
5. В треугольнике первый угол больше второго в 2 раза, а третий угол больше второго на 40°. Чему равны углы треугольника?
6. Бригада должна была выполнить заказ за 10 дней. Ежедневно перевыполняя норму на 27 деталей, бригада за 7 дней работы не только выполнила задание, но еще изготовила дополнительно 54 детали. Сколько деталей в день изготовляла бригада?
7. Одно число больше другого в 1,5 раза, среднее арифметиче-ское этих двух чисел равно 30. Найти эти числа.
8. Первое число в 2,4 раза больше третьего, а второе число на 0,6 больше третьего числа. Найдите эти три числа, если их среднее арифметическое равно 2,4.
20
9. Второе число на 0,8 больше первого, а третье в 3,2 раза боль-ше первого. Найдите эти три числа, если их среднее арифметиче-ское равно 4,6. II тип (задачи на движение по реке)
1. За 6 ч катер проходит по течению на 20 км меньше, чем за 10 ч против течения. Какова скорость течения, если скорость кате-ра в стоячей воде 15 км/ч.
2. Расстояние по реке между пунктами А и В равно 41 км. Из пункта А в пункт В по течению плывет моторная лодка, собствен-ная скорость которой равна 18 км/ч, а из В в А движется вторая моторная лодка, собственная скорость которой равна 16 км/ч. При встрече оказалось, что первая лодка плыла 1 ч, а вторая 1,5 ч. Най-дите скорость течения реки.
3. Из двух пунктов реки, расстояние между которыми равно 80 км, одновременно навстречу друг другу вышли две моторные лодки, собственные скорости которых равны. Через 2 ч они встре-тились. Найдите собственную скорость лодки, если скорость тече-ния реки равна 4 км/ч.
4. Из двух пунктов реки одновременно навстречу друг другу вышли две моторные лодки. Через 1,2 ч они встретились. Собст-венная скорость лодки, которая шла по течению реки, равна 18 км/ч, а лодка, которая шла против течения реки, имела скорость 16 км/ч. До встречи одна лодка прошла на 9,6 км больше другой. Найдите скорость течения реки.
5. Из двух пунктов реки навстречу друг другу движутся две мо-торные лодки, собственные скорости которых равны. Скорость течения реки равна 2 км/ч. До встречи лодка, идущая по течению, шла 0,9 ч, а другая лодка шла 1 ч. Найдите собственную скорость лодок, если лодка, идущая по течению, прошла на 2 км больше, чем другая лодка. III тип (задачи на движение)
1. Из двух аэропортов, расстояние между которыми равно 1300 км, вылетели одновременно навстречу друг другу два самоле-та: один — с поршневым, другой — с реактивным двигателем. Че-
21
рез 30 мин им оставалось пролететь до встречи 800 км. Найдите скорость самолета с реактивным двигателем, если она в 3 раза больше скорости самолета с поршневым двигателем.
2. Расстояние между двумя пунктами поезд проходит по распи-санию с намеченной скоростью за 5 ч. Через 3 ч после отправления он был задержан на 15 мин в пути. Поэтому, чтобы прибыть на станцию назначения вовремя, поезд увеличил скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.
3. Из двух пунктов А и В, расстояние между которыми равно 10 км, одновременно в одном направлении выехали велосипедист и мотоциклист, причем мотоциклист все время шел впереди велоси-
педиста. Через 32 ч расстояние между ними было 30 км. Найдите
скорость мотоциклиста, если известно, что она в 3 раза больше скорости велосипедиста.
4. Сергей доехал на велосипеде от озера до деревни и вернулся обратно, затратив на весь путь 1 ч. От озера до деревни он ехал со скоростью 15 км/ч, а на обратном пути его скорость была 10 км/ч. Чему равно расстояние от озера до деревни?
5. От города до поселка автомобиль доехал за 3 ч. Если бы он увеличил скорость на 25 км/ч, то проехал бы это расстояние за 2 ч. С какой скоростью ехал автомобиль и чему равно расстояние от поселка до города?
6. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух поселков и встретились через 3 ч. Расстояние между поселка-ми 30 км. Найдите скорость каждого пешехода, если у одного она на 2 км/ч меньше, чем у другого.
7. На первом участке пути поезд шел 2 ч со скоростью 60 км/ч, а на втором он шел 3 ч. С какой скоростью шел поезд на втором уча-стке, если его средняя скорость на двух участках была равна 51 км/ч?
8. Автомобиль двигался 3,2 ч по шоссе со скоростью 90 км/ч, за-тем 1,5 ч по грунтовой дороге со скоростью 45 км/ч, наконец, 0,3 ч по проселочной дороге со скоростью 30 км/ч. Найти среднюю ско-рость движения автомобиля на всем пути.
22
IV тип (задачи на части и проценты)
1. Две бригады лесорубов заготовили в январе 900 м3 древеси-ны. В феврале первая бригада заготовила на 15 %, а вторая — на 12 % больше, чем в январе. Известно, что в феврале они заготовили 1020 м3 древесины. Сколько кубических метров древесины загото-вила каждая бригада в январе?
2. Сумма двух чисел равна 400. Если первое число уменьшить на 20 %, а второе на 15 %, то сумма полученных чисел уменьшится на 68. Найдите значение чисел после их уменьшения.
3. Кооператив продавал пальто и куртки. Куртка стоила на 150 руб. дешевле пальто. На сезонной распродаже цена на куртки была снижена на 20 %, а на пальто — 10 %, и теперь куртку и паль-то можно купить за 645 руб. Сколько стоила куртка и пальто до распродажи?
4. Смешали 1 г 13 %-го раствора соли и 1 г раствора той же соли с неизвестным содержанием соли, получили 20 %-ный раствор. Определить процентное содержание соли во втором растворе.
5. Рабочие отремонтировали дорогу длиной 820 м за 3 дня. Во
вторник они отремонтировали 52 этой дороги, а в среду —
32 ос-
тавшейся части. Сколько метров дороги отремонтировали рабочие во вторник, среду, четверг?
6. Никита истратил 73 своих денег на покупку книги и
145 своих
денег на покупку альбома. Сколько денег было у Никиты, если альбом дешевле книги на 7 руб. V тип (задачи на составление системы уравнений)
1. Ученик за 3 общие тетради и 2 карандаша уплатил 66 руб. Другой ученик за такие же 2 общие тетради и 2 карандаша уплатил 46 руб. Сколько стоила общая тетрадь и сколько стоил карандаш?
2. На туристической базе имеются палатки и домики; всего их 25. В каждом домике живут 4 человека, а в каждой палатке 2 человека. Сколько на туристической базе палаток и домиков, если там отдыхает 70 человек?
23
3. У причала находилось 6 лодок, часть из которых была 2-местными, а часть 3-местными. Всего в эти лодки может помес-титься 14 человек. Сколько 2-местных и сколько 3-местных лодок было у причала?
4. За 3 м одной ткани и за 3 м другой ткани заплатили 90 руб. Сколько стоит 1 м каждой ткани, если 9 м первой стоят столько же, сколько 6 м — второй?
5. По течению реки моторная лодка проходит 40 км за 2 ч, а против течения проходит 35 км за 2 ч 30 мин. Найти скорость тече-ния реки.
6. Для клуба приобрели 10 комплектов шахмат и 16 комплектов шашек на сумму 11 000 руб. Сколько стоит один комплект шахмат и один комплект шашек, если 4 комплекта шашек стоят на 220 руб. дешевле, чем 3 комплекта шахмат?
7. За три пары лыж и четыре пары коньков уплатили 4 700 руб. Сколько стоит пара лыж и сколько пара коньков, если две пары коньков дороже одной пары лыж на 100 руб.? VI тип (задачи на работу)
1. Две бригады, работая вместе, могут закончить уборку урожая за 8 дней. Если первая бригада будет работать 3 дня, а вторая — 12 дней, то они выполнят 75 % всей работы. За сколько дней может закончить уборку урожая каждая бригада, работая отдельно?
2. Бассейн наполняется одной трубой за а часов, другой — за b часов. За сколько часов наполнится бассейн, если две трубы от-крыть одновременно?
3. Две машинистки, работая вместе, напечатали рукопись за а часов. Одна из них могла бы выполнить эту работу за b часов. За какое время могла бы напечатать рукопись другая машинистка? VII тип (задачи повышенной сложности)
1. Длина садового участка на 10 м больше его ширины. Его площадь решили увеличить на 400 м2. Для этого длину увеличили на 10 м, а ширину — на 2 м. Найдите площадь нового участка.
24
2. Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если эти цифры по-менять местами, то получится число, которое на 27 меньше исход-ного. Найдите эти числа.
3. Длина окружности переднего колеса кареты равна 3 м, а зад-него — 4,5 м. Какое расстояние проехала карета, если переднее колесо сделало на 20 оборотов больше заднего?
Раздел VII. Степени
Степенью числа a с натуральным показателем n , большим 1,
называется произведение n множителей, каждый из которых ра-вен a :
…разn
n aaaa ⋅⋅⋅= ,
где a — основание степени, n — показатель степени. Степенью числа a с показателем 1 называется само число a :
.1 aa = Свойства степеней:
;nmnm aaa +=⋅
;0,,: ≠>= − anmaaa nmnm
( ) ;nmnm aa =
( ) ;nnn baab =
;0; ≠=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ b
ba
ba
n
nn
.10 =b
25
Вычислить.
1. ( ) .14
727
4210 ⋅
10.
( )( )
.226
32332
bb
bbbn
nn
⋅
⋅⋅ −
2. ( ) ( ) .625
5555225 ⋅⋅
11.
( ) .75
31542
ccccc
n
n
⋅⋅⋅
+
−
3. .327819
5⋅
12.
( ) ( ) .72
2505223
zzzzz
n
n
⋅⋅⋅ +
4. ( ) ( )( ) ( )
.2225
733532
ba
bbaa
⋅
⋅⋅⋅
13.
( ) ( ) .432
5232
xxxxx
n
n
⋅⋅⋅
+
5. ( ) ( ) ( )( )
.0327
2432272b
bxx
bxxx+
⋅⋅
⋅⋅
14.
( )( )
.322
23231132
5622
+⋅⋅
⋅⋅⋅nn
nn
6. ( )
( ).0
11327
52113z
zzz
zzz−
⋅⋅
⋅⋅
15. .
923236 212
nn
nn
⋅
⋅⋅ +
7.
( ) ( )( ) .13
235
832732
xxxx
xxxx
⋅⋅
⋅⋅⋅
16.
( ) .52
52100122
2
+− ⋅⋅⋅
nn
nn
8. ( ) ( )
( ) ( ).
2
534326
73210
xxxxx
xxx
⋅⋅⋅
⋅⋅
17. ( )
( ).
5353
53153
212
⋅⋅⋅
⋅⋅ +
nn
nn
9. .14
2512
+
−
⋅⋅⋅
n
nn
aaaaa
18.
( ) .73
3971471222
22
++ ⋅⋅⋅⋅
nn
nn
26
19. ( )
( ).
732749
39147732
52
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅nn
nn
20. ( ) ( )
( ).
1
111
135
3272
23
++
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
nn
nnn
ba
bba
ba
ba
21. ( )
( ).
7,0210049
107827,0
91
35
⋅
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅⋅
+n
n
22. .25,1
25,125,15,11232
2233
++
+
⋅⋅⋅⋅⋅
nn
nnn
23. .
2712
2312
31
1
15
2
⋅
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅
−
+
n
n
24. .2
21
2412
81
14
3
−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅⋅⋅
n
n
27. .207
7598283 ⋅
⋅⋅
25. ( ) .235
150318625262
32
⋅⋅⋅⋅⋅
28. .
52211253003249
46 ⋅⋅
⋅⋅⋅
26. .5322715072
33 ⋅⋅
⋅⋅
29. .
321512918
1082
232
⋅⋅
⋅⋅
27
30. ( ) .
2327326
15
322
−+
+
⋅⋅⋅⋅
nnn
nn
34. .
333
12
2334
−
−+ ⋅n
nn
31. ( )
( ).
232525
5278321
21
kkkk
kkk
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅−
+
35.
7 5 3 2
5 3 .y y
y
a aa
− +
−
⋅
32. .523
34575324
322
⋅⋅⋅⋅⋅
36. .
255952
10
2122 ⋅−⋅
33. ( ).
352
2716751503225 ⋅⋅
⋅⋅⋅
37. ( )
( ).
2719
57373424
2122
⋅
⋅⋅+⋅
38. 1) ;19471738
22
22
−
−
2) .
131327227347
22
22
+⋅⋅+
−
39. ( ) ( ).54:5458512 2212212 −−+ ⋅⋅+⋅−⋅ nnnn
40. ( ) ( ).314:372327 121251222 −−+ ⋅⋅⋅+⋅⋅ nnn
Раздел VIII. Одночлены, многочлены. Разложение многочленов на множители
Формулы сокращенного умножения:
( )( ) ;22 bababa +−=−
( ) ( )( ) ;2 222 bababababa ++=++=+
( ) ( ) ( )( ) ;2 2222 bababababaab +−=−−=−=−
( ) ;33 32233 babbaaba +++=+
( ) ;33 32233 babbaaba −+−=−
( )( );2233 babababa +−+=+
( )( ).2233 babababa ++−=−
28
Разложить на множители.
1. .622 332442 yxyxyx +− 16. .134 +++ xxx
2. .6364 43222 abbaba ++ 17. .6433 +yx
3. .1284 22 baabb −+ 18. ( ) ( ) .8 333 bbaba −−−+
4. ( ) ( ) .xybyx −+− 19. ( ) ( ).4 2222322 yxyxyx +−+
5. ( ) ( ) .22 22 xbxa −+− 20. ( ) ( ) .43222222 bababa +−+
6. ( ) ( ) .)3(33 bbbba −−−+− 21. .520 2345 yxyx −
7. ( ) ( ) .93 22 nmmmnm −−− 22. ( ) ( ) .33 22 baba +−+
8. ( ) ( ) .32 abbaa −−− 23. .4139 4224 bbaa +−
9. .222 ayabaxbyxy −++−− 24. .33 22 yyxxyx −−+
10. .222 cxbycybxayax −++−− 25. .33 22 yxyx +−−
11. .232 ++ xx 26. .93 22 abba −+−
12. .12 34 ++ aa 27. .223 abaaba +−−
13. .12 24 −− aa 28. .1212123 22 −++ abba
14. .644812 23 −+− mmm 29. .222 xbxyaxybab −++−−
15. .21 22 baba −−− 30. .21 22 yxyx −+−
Раздел IX. Понятие о функции и графике функции
Зависимость между переменными y и x называют функциональ-
ной (или функцией) и обозначают y(x). При этом x называют неза-висимой переменной, а y — зависимой переменной.
Функция может быть задана с помощью формулы, таблицы или графика.
29
Графиком функции называют множество всех точек координат-ной плоскости, абсциссы которых равны значениям независимой переменной, а ординаты — соответствующим значениям функции.
Графиком функции kxy = при любом значении k является пря-мая, проходящая через начало координат. Если значения x, y поло-жительны и k > 0, то зависимость вида kxy = называют прямой пропорциональной зависимостью, а k — коэффициентом пропор-циональности.
Кроме прямой пропорциональной зависимости существует об-ратная пропорциональная зависимость y от x. В этом случае при увеличении значения x в несколько раз значение y уменьшается во столько же раз. Обратная пропорциональная зависимость выража-
ется формулой xky = , где k > 0, x > 0.
Функция вида bkxy += , где b и k — заданные числа, называет-ся линейной функцией. Графиком линейной функции является прямая. Линейная функция строится по двум точкам или путем сдвига графика kxy = на b единиц вдоль оси ординат.
Для исследования линейной функции удобно находить точки пересечения графика с осями координат.
Построить графики. 1. Построить графики по точкам:
1) y = –3x +1; 7) y = 7; 2) y = 2,5x + 5; 8) x = – 2;
3) ;231
−−= xy
9) y = x;
4) y = 4x – 0,5; 10) y = –1; 5) 2y = x + 3; 11) x = 1,7; 6) 3y – 2x = –1;
2. Построение графиков по точкам и путем сдвига по осям:
1) ;213 −= xy
3) ;23 xy −=
2) ;52 −= xy 4) ;4 xy −−=
30
5) ;1 xy += 11) ;21
32
−−= xy
6) ;1 xy −= 12) ;3211 += xy
7) ;1 xy −−= 13)
;1312 −−= xy
8) ;1 xy +−= 14) ;532 −= xy 9) ;34 += xy 15) ;63 −= xy 10) .15 +−= xy
3. Построение графиков по точкам пересечения графиков с ося-ми координат: 1) y = – 4,5x + 1; 4) y = – 6x +2; 2) y = 0,6x + 0,5; 5) y = 2x + 2. 3) y = – 2,5x – 5;
4. Построить графики: 1) y = ⏐x⏐ – 1; 13) ;53 −+−= xy
2) y = ⏐x⏐; 14) ;23 −= xy
3) y = 5 – 2⏐x⏐; 15) ;7−= xy
4) y + 3 = –⏐x⏐; 16) ;122 −+−= xy
5) y –⏐x⏐ = 0,5; 17) ;3 xy −=
6) ;1+= xy 18) ;423 −+= xy
7) ;1 xy −−= 19) ;7−−= xy
8) ;131 −−= xy 20) ;11 +−= xy
9) ;12 −= xy 21) ;65 += xy
10) ;115 −+= xy 22) ;2 xy −=
11) ;3 xy −= 23) ;2−= xy
12) ;124 +−= xy 24) ;112 −+= xy
31
25) ;21 xy += 33)
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≥−<≤−
−<−
=;1при23,12при1
,2при2
xxx
xx
y
26) ;323 −−= xy 34)
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≥−
<≤−−<+
=
;2при2
3
,21при2,1при42
xxxxx
y
27) ;52 xy −= 35) ⎩⎨⎧
≥
<=
;0при2,0при
xxxx
y
28) ⎩⎨⎧
≥−+
=;0,0<
xxxx
yпри3при3
36)
⎩⎨⎧
≥
<+=
;0при1,0при1
xxx
y
29) ⎩⎨⎧
≥−−−
=;0
,0<xx
xxy
при12при12
37)
⎩⎨⎧
<
≥+−=
;0при1,0при1
xxx
y
30) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−≤≤−−<−
=;4при22,43при6,3при2
xxx
xxy
38)
( ) ;2
2 2
−−
=x
xy
31) ⎩⎨⎧
≥−<+
=;0при1,0при1
xxxx
y
39) ;3
962
+++
=x
xxy
32) ⎩⎨⎧
<−≥+
=;0при2,0при2
xxxx
y
40) .3 2 xxyx −=
5. Построить графики, используя формулы сокращенного умно-жения: 1) ( ) ( ) ;451213 222 xxxxy +−+−−=
2) ( ) ( ) ;111850327 222 −−−−++= xxxxy
32
3) ( ) ( ) ;192057 22 −++−−= xxxy
4) ( ) ( ) ;81212 222 xxxy −−++=
5) ( ) ( ) ;2212323 22 −−−−+= xxxy
6) ( ) ( ) ;534 22 −+−+= xxy
7) ( ) ( ) ;72314 222 xxxy −+−+=
8) ( ) ( ) ( ) ;1161335 222 −−+−−= xxxy
9) ( ) ( ) ;217401317 222 ++−+−−= xxxxy
10) ( ) ( ) ( ) ;811212815 22222 xxxxxxy −+−−−−−+=
11) ( ) ( ) ( ) ( ) ;3121223 2222 +−−−+−+= xxxxy
12) ( ) ( ) ( ) ;72321 233 ++++−−= xxxy
13) ( ) ( ) ( ) ;145347123 22333 −−+−+−−+= xxxxxy
14) ( ) ( ) ;111222 233 −−−−+= xxxy
15) ( ) ( ) ( ) .103923212 23233 −−−−+++−= xxxxxy 6. Найти координаты точки пересечения графиков функций:
1) y = 10x – 8 и y = – 3x +5; 4) y = 0,1x и y = 14; 2) y = 5x + 16 и y = – 6; 5) y = 14x и y = x +26. 3) y = 4x + 9 и y = 6x – 5;
7. Пересекаются ли графики функций:
1) y = x и y = – 3x + 3,6; 3) y = 0,2x – 9 и 1 1 ?5
y x= +
2) y = – 6x + 9 и y = 2x –7; 8. Найти k и b, если график линейной функции проходит через
точки (–1, 2) и (2, 1). Задайте формулой линейную функцию. 9. График линейной функции y = kx + b проходит через точку
A (2, 1), а угловой коэффициент этой прямой равен 0,5. Задайте данную линейную функцию формулой и постройте ее график.
33
10. Постройте графики и исследуйте, при каких значения x функция больше нуля (положительна), меньше (отрицательна) и равна нулю:
1) y = –3,5x + 1,5; 5) y = 5x – ;31
2) y = – 0,5x + 5; 6) y = 4x + 1; 3) y = 2x – 0,5; 7) y = – 2x – 4. 4) y = 5x+1;
Раздел X. Системы уравнений
Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными назы-вают такую пару чисел x и y, которые при подстановке в эту систе-му обращают каждое ее уравнение в верное равенство. Решить сис-тему уравнений — значит найти все ее решения или установить, что их нет. Существует три способа решения системы уравнений: подстановки, сложения и графический.
При решении способом подстановки необходимо: • из одного уравнения системы (все равно из какого) выразить
одно неизвестное через другое, например, y через x; • полученное выражение подставить в другое уравнение систе-
мы и получить одно уравнение с одним неизвестным; • решив это уравнение, найти x; • подставив найденное значение x в выражение для y, найти зна-
чение y. При решении системы уравнений способом алгебраического
сложения необходимо: • уравнять значения при одном из неизвестных, умножая или
деля каждое из уравнений на необходимые коэффициенты; • складывая или вычитая полученные уравнения, получить одно
уравнение с одним неизвестным; • найти первое неизвестное; • подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной
системы, найти второе неизвестное. При решении системы уравнений графическим способом необ-
ходимо: • построить графики каждого из уравнений системы;
34
• найти координаты точки или точек пересечения построенных прямых или установить, что прямые не пересекаются;
• если прямые параллельны, то система решений не имеет; • если прямые совпадают, то система имеет бесконечное множе-
ство решений; • если прямые имеют одну общую точку, то ее координаты яв-
ляются решением системы уравнений. При решении графическим методом находится приближенное
значение неизвестных. Чтобы найти точное решение системы уравнений необходима проверка, которая подтвердит верное ра-венство ее уравнений.
Решить системы уравнений. I тип
1. ⎩⎨⎧
=−=−
.923;2
yxyx
9.
⎩⎨⎧
=+=+
.1323;1232
yxyx
2. ⎩⎨⎧
=+=−
.45;32
yxyx
10. ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )⎩⎨⎧
+−=+−−+=−+
.4374;1225
yxyxyxyx
3. ⎩⎨⎧
=−=+
.335;112
yxyx
11.
⎩⎨⎧
−=−−=−
.53;752
yxyx
4. ⎩⎨⎧
=+−=−
.2352;53
xyxy
12.
⎩⎨⎧
=+=−
.73;132
yxyx
5. ⎩⎨⎧
−=−=+
.13;75
yxyx
13.
⎩⎨⎧
−=+=−
.12;72
yxyx
6. ⎩⎨⎧
=+−=−
.5,523;532
yxyx
14.
⎩⎨⎧
−=−=+
.52;74
yxyx
7. ⎩⎨⎧
=−=−
.423;522
yxyx
15.
⎩⎨⎧
=+=−
.7887;2283
yxyx
8. ⎩⎨⎧
=+=+
.1235;1023
yxyx
16.
⎩⎨⎧
=+=−
.6335;2815
yxyx
35
17. ⎩⎨⎧
=+=−
.2625;734
yxyx
20.
⎩⎨⎧
=−=−
.9449;5335
yxyx
18. ⎩⎨⎧
=+=−
.3134;179
yxyx
21.
⎩⎨⎧
−=−−+=−+
.50)3(4;53)2(5
yyxxyx
19. ⎩⎨⎧
=+=+
.4,343;5,14514
zxzx
22.
⎩⎨⎧
+=+−+=−−
.1994)6(3;1226)3(5
yyxxyx
II тип
1. ( )
5 11 2 2 4 6 ;2 8 5
2 9 72 3 2 .7 5 11
x y x y x y
x yx y y x
+ − − +⎧ + =⎪⎪⎨ +− −⎪ − =⎪⎩
5. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
−−
=−
+−
.16
52
3
;32
45
1
xy
yx
2. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
=+
.8,853
32
;041
31
yx
yx
6.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=+
.6112
;12711
xy
yx
3. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
=−
.031
41
;6,352
43
yx
yx
7. ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=+
.3
213;1332
xy
yx
4. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
+−
=+
−−
.22
14
2
;13
12
6
xy
yx
8. ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
−=+
.5322
;183
yx
yx
III тип
1. ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=+=−
.1;522
yxyx
2.
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−=−.3
;322
yxyx
36
3. ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
−=++−=+
.27;37 2
yxyxyx
13.
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−+=+−
.272;2549284 22
yxyxyxyx
4. ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−=−
.1;522
yxyx
14. ( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=+−=+
.342;332 2
yxyxyx
5. ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−=+
.22;222 2
yxyxyx
15.
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=+=−
.1;522
yxyx
6. ( )( )⎩⎨⎧
=+=+−
.33;4533
yxyxyx
16.
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−=−.3
;322
yxyx
7. ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=++=+
.335;253 2
xyyxyx
17.
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−−=+−
.13;96 22
yxyxyxyx
8. ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=−+=−
.57;27 2
yxxyyx
18.
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−−=++
.12;644 22
yxyxyxyx
9. ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−−=+−
.2;322 22
yxxyyxyx
19.
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++=++
.132;239124 22
yxyxyxyx
10. ⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=−
.40
;422 yx
yx
20. ( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−=+
.35;25 2
yxyxyx
11. ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−−=+−
.323;254129 22
yxyxyxyx
21.
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−−=+−
.22;544 22
yxyxyxyx
12. ⎪⎩
⎪⎨⎧
=−+−=−+
.1;6222
yxyxxyyx
22. ( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−−=−
.1;11102
yxyxyx
37
Ответы
Раздел I. Арифметические примеры
1. .4013325,0 −=−
12. .
413−
23. 5.
2. .289
−
13. 1,7. 24. – 50.
3. .95
−
14. .4375,0 −=−
25. – 0,05.
4. .3,0103=
15. – 0,4. 26. 1,25.
5. .41
16. 32. 27. .
95
−
6. .21073
17. 0,5. 28. .
3242−
7. 83,244. 18. 3. 29. .33171
8. 37,4. 19. 1. 30. .1122
9. .31
20. 20. 31. .
9727
10. 1. 21. .911−
11. –20. 22. 16.
Раздел II. Признаки делимости
3. 2. 9. 3; 7. 5. Составное. 10. Да, так как (5 + 8) –2 = 11. 6. 0111113
цифр15… ; 5111117
цифр15…
38
Раздел IV. Пропорции 9. 1,6. 12. 10,25. 16. 3. 10. 2,5. 13. 19. 17. 1. 11. 6,75. 14. 2,5. 18. 5.
Раздел V. Уравнения Тип I
1. .712
9. Корней нет. 19. 0,6.
2. .178
10. Любое значение х 20. .125,6
816 −=−
является корнем уравнения.
3. 44. 11. Любое значение х 21. 1,854. является корнем уравнения.
4. – 5. 12. Корней нет. 22. 9,9.
5. .31
13. 0. 23. 2,5.
6. 21. 14. 3. 24. 1, 625.
7. .321
15. 5. 25. 0,05.
8. 0. 18. – 0,2. 26. .91
Тип II
1. 0; .511 3. 0; 1; ;
21
−
.321−
5. ;
521 .
41
−
2. 0; .81
4. ;
31 ;
52
− 0; – 4. 6. 1; –1.
39
7. ;32 .
21
−
21. 2; – 2. 35. .4,0;31
−−
8. ;41 .
411−
22. –1; 0. 36. 1; 0.
9. 0; ;51
− .31
−
23. 5; 2; – 2. 37. .322;
211 −
10. ;75 .
211
24. .
21;
211 −
38. .
322;
212−
11. ;41 .
31
25. .3;
32
−
39. .433;
81
12. – 4; 1. 26. .211;1 −
40. .
233;
91
−
13. 6; 8. 27. .5;2− 41. .3,0;75
−
14. 1; 5. 28. .41;
31
−
42. 0,5; – 0,4.
15. 2; – 6. 29. .0;21
43. 0,8; 1,55.
16. .312;
321
30. .
143;
31
−
44. 0,45; 0,82.
17. 7; 4. 31. .5,1;321−
45. .0;
3211
18. 0; 8; 12. 32. .2;312 −
46. .1;
83
19. ;211 .
211−
33. .
43;
32
−−
47. 2; 3.
20. ;21 .
21
− 34. 2; – 3.
40
Тип III
1. 1. 5. 1,1. 9. .31
2. 2. 6. Уравнение не имеет 10. .611
корней.
3. .32
−
7. .125
−
11. 1.
4. 1. 8. 6. 12. 1. Тип IV
1. – 3; –17. 11. 16
− (6 не подходит по
условию).
2. 15
− (5 не удовлетворяет 12. 111
− (11 не подходит по
условию x < 211− ). условию).
3. 1; – 3. 13. 14
− (4 не подходит по
4. 4; – 3. условию). 5. 5; – 3. 6. 12; – 12. Тип V 1. у1 = 1; у2 = 3; у3 = – 1; у4 = – 3;
х1 = 2; х2 = 0; х3 = – 4; х4 = – 2.
5. a = 4; b = 5.
41
8. x1 = – 1; x2 = 1; x3 = – 2; x4 = – 4;
y1 = 5; y2 = 1; y3 = – 5; y4 = – 1.
Тип VI
1. ,3
1 a−
5. а ≠ – 1. 11. 1 0,a ≠
а — любое число. 6. a ≠ 0. 24 .7
a ≠
2. ,2
24 a+
7. а ≠ 8. 12. 1 0 ,a ≠
a — любое число. 8. а ≠ –7. 232 .5
a ≠
3. a8 + 3; a ≠ 0. 9. а ≠ – 1,2. 13. 1 0 ,a =
4. 2
6−a
; a ≠ 2. 10. а ≠ 2. 2 8 ,a =
Раздел VI. Задачи
Тип I 1. 2560. 2. 1100 — в первом элеваторе; 2200 — во втором. 3. В первой — 40; во второй — 36; в третьей — 43; 4. 9. 5. Первый угол — 70°; второй —35°; третий — 75°. 6. 72 детали. 8. 3,6; 2,1; 1,5. 9. 2,5; 3,3; 8. Тип II 1. 2,5.
42
Тип III 1. 750 км/ч. 2. 70 км/ч. 3. 45 км/ч. Тип IV 1. 500; 400 м3. 4. 27 %. 3. 300; 450 руб. 6. 98. Тип V 1. 20; 3. 6. 540; 350 руб. 4. 18; 12. 7. 900; 500 руб. Тип VI
1. 12 дней; 24 дня. 2. .ba
ab+
3. .ab
ab−
Тип VII 1. 1600 м2. 2. Исходное число 96. Обратное число 69. 3. 180 м.
Раздел VII. Степени
1. 56. 9. .2a 14. 12.
2. 517. 10. 1. 15. 2592.
3. 310. 11. .2c 16. 80.
7. 1. 12. .4z 17. 15.
8. .12x 13. .4x 18. 21.
43
19. .763
27. 30. 35. a5y.
20. .4
6
ab
28. 70. 36. 5.
21. 2,8. 29. 0,01. 37. .91
22. 9. 30. 24. 38. 1) 85 ; 2) .
831
23. .818
31. 20. 39. 330.
24. 8. 32. 20. 40. 142. 25. 11250. 33. 9. 26. 270. 34. 35n+2.
Раздел VII. Одночлены, многочлены. Разложение многочлена на множители
5. ( )( )( ) .2 babax +−− 20. ( )( ) ( ) .2222 bababa +−+−
9. (x – b +1) (y2 – a). 21. ( )( ) .12125 22 +− xyxyyx
11. (x + 2) (x + 1). 22. ( )( ) .8 baab +−
12. ( )( ).11 23 +−++ aaaa 23. ( )( ).2323 2222 abbaabba +−−−
13. (a – 1) (a + 1) (2a2 + 1). 24. ( ) ( ) .3 xyyx −−
14. ( ) .4 3−m 25. ( ) ( ) .331 yxyx −−−
15. (1– a – b) (1 + a + b). 26. ( )( ) .313 baba −−−
16. (x + 1) (x + 1) (x2 – x +1). 27. ( )( ).1+− abaa
17. (xy + 4) (x2y2 – 4xy + 16). 28. ( )( ) .22223 ++−+ baba
18. ( )( ) .6 babab +− 29. ( )( ) .12 +−− yaxb
19. ( )( ) ( ) .2222 yxyxyx +−+ 30. ( )( ) .11 yxyx −++−
44
Раздел X. Системы уравнений Тип I 1. (5; 3). 9. (3; 2). 17. (4; 3).
2. (1; – 1). 10. (7; 5). 18. (4; 5).
3. (3; 4). 11. (4; 3). 19. (1; 0,1).
4. (3; 4). 12. (2; 1). 20. (1; 10).
5. (2; 1). 13. (3; – 2). 21. (7; – 2).
6. (0,5; 2). 14. (– 1; 2). 22. (14; 1).
7. (– 1; – 3,5). 15. (10; 1).
8. (– 6; 14). 16. (6; 11).
Тип II 2. (6; – 8). 6. (3; 4).
3. (8; 6). 7. Бесконечное множество решений.
4. (– 10; 28). 8. Система не имеет решений.
5. 4 52 ; 1 .11 11
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
Тип III 1. (– 3; 2). 5. (1; 0). 9. (0; 2).
2. (2; – 1). 6. (3; – 6). 10. (7; 3).
3. 5 2; 1 .11 11
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
7. (– 39; 24). 11. (6; 10,5).
4. (– 3; – 2). 8. (12; 1). 12. 2 21 ; .5 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
45
13. .392;
3932
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
17. (2; 1). 21. 2 2; .
3 3⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
14. (– 4; 4). 18. 12; .2
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
22. (10; 9).
15. (– 3; 2). 19. 1 1; .5 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
16. (2; – 1). 20. 4 34 ; .11 11
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
46
ГЕОМЕТРИЯ
Справочник по геометрии
1. Смежные углы. Теорема. Сумма смежных углов равна 180°:
2. Вертикальные углы. Теорема. Вертикальные углы равны.
3. Равенство треугольников. Признаки равенства треугольников:
.18021 °=∠+∠
.42;31
∠=∠∠=∠
.;;)3;;;)2
;;;)1
111
111
111
ccbbaaAACCbb
CCbbaa
===∠=∠∠=∠=
∠=∠==
а
b
c
A
B
C
a1 c1
b1 C1 A1
B1
47
4. Равенство прямоугольных треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников:
5. Равнобедренный треугольник. Определение. Равнобедренным называется треугольник, у кото-
рого две стороны равны.
.BCAB =
Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:
∠BAC = ∠BCA.
Теорема. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой:
6. Сумма углов треугольника: Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.
180 .A B C∠ + ∠ + ∠ = °
;;)1 11 aaBB =∠=∠;;)2 11 ccBB =∠=∠
;;)3 11 bbaa ==
.90
;;)4
1
11
=∠=∠
==
CC
ccaa
B
C D A
.;;
DBCABDDCADACBD
∠=∠=⊥
B
C A
48
7. Внешний угол треугольника. Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних,
не смежных с ним.
8. Прямоугольный треугольник с углом 30°. Теорема. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий про-
тив угла в 300, равен половине гипотенузы.
9. Параллельные прямые. a) ∠ 4 = ∠ 6; ∠ 3 = ∠ 5 — внут-
ренние накрест лежащие углы; б) ∠ 1 = ∠ 5; ∠ 2 = ∠ 6;
∠4 = ∠8; ∠3 = ∠7 —соответственные углы;
в) ∠ 4 + ∠ 5 = 180°; ∠3 + ∠6 = 180° — внутренние односторонние углы.
.321 ∠+∠=∠
А
С В
.2
ABBC =
49
10. Вписанная окружность. Теорема. Центр вписанной окружности находится в точке пере-
сечения биссектрис.
11. Описанная окружность. Теорема. Центр описанной окружности находится в точке пере-
сечения серединных перпендикуляров.
50
Задачи
Раздел I. Смежные и вертикальные углы
1. Геометрия на готовых чертежах: а) Дано: .30°=β−α
Найти: .,βα
б) Дано: .41 ∠=∠ Доказать: .32 ∠=∠
в) Дано: .5:1: =βα Найти: .,βα
г) Дано: .21 ∠=∠ Доказать:
.180°=∠+∠ ACDBAC
α β
1 3 42
α β
1 2
А
В
С
D
51
д) Дано:.18021 °=∠+∠
Доказать: 1) ;ACBABC ∠=∠ 2) .BCEDBC ∠=∠
е) Дано: .32 ∠=∠ Доказать: 1) ;31 ∠=∠ 2) .18043 °=∠+∠
2. Из двух смежных углов один больше другого на 20°. Найти эти углы.
3. Градусные меры двух смежных углов относятся, как 2:7. Най-ти эти углы.
4. Сумма двух углов, образованных при пересечении двух пря-мых, равна 150°. Найти величины углов, образованных прямыми.
5. Из точки проведены шесть полупрямых: OA; OB; OC; OD; OE; OF, которые образуют углы:
38 ; 50 ; 92 ; 130 ; 12 ;AOB BOC COD COЕ EOF∠ = ° ∠ = ° ∠ = ° ∠ = ° ∠ = °.142°=∠EOA Какие углы являются вертикальными?
Раздел II. Равенство треугольников.
Сумма углов треугольника
1. Геометрия на готовых чертежах. а) Дан треугольник ABC.
Найти неизвестные углы ΔАВС.
12
D B
C E A
1
4 2
3
°70
А С
В
52
б) Дан треугольник ABC. Найти неизвестные углы ΔАВС.
в) Дан треугольник ABC, BD — медиана. Найти неизвестные углы ΔАВС.
г) Дано: AB || CD. Найти неизвестные углы ΔАВС.
д) Дан треугольник ABC, BD — медиана. Найти .ABC∠
е) Дан рисунок. Найти .EKC∠
50°
А
В
С
30° А
В
С D
50°
60°
A
B
C
D
А
В С
D
α
β
γ A
B
C E
P K
53
ж) Дано: прямоугольный треуголь-ник ABC, 90 ,C∠ = ° 30 ,A∠ = °
60 ,BEC∠ = ° ЕС = 7. Найти АЕ.
з) Дано: треугольник ABC, АВ = ВС; АО = ОС. Доказать: AD = CE.
2. Один из углов треугольника равен 110°. Чему равны углы, образованные пересечением биссектрис, проведённых из двух дру-гих углов?
3. В треугольнике два угла относятся как 5:8, а третий угол больше самого меньшего угла на 18°. Найти углы треугольника.
4. В равностороннем треугольнике АВС на трёх сторонах взяты точки K, L, M так, что AK = BL = CM. Найти углы треугольника KLM.
5. Докажите равенство треугольников, если равны их основания и проведенные к ним высоты и медианы.
6. Докажите равенство треугольников по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.
Раздел III. Равнобедренные треугольники
1. Геометрия на готовых чертежах. Доказать, что ΔАВС — равнобедренный.
А Е
В
С 30°
60°
7
А
Е
В
О D
C
54
а) г)
A
B
C
D
E
б) д)
A
B
C D
E
A
B
C
E F
D
в)
A
B
C
D
E
А
B
C
D
55
2. Медиана, проведённая к одной из боковых сторон равнобед-ренного треугольника, делит его периметр на две части длиной 15 и 6 см. Определить стороны треугольника.
3. В треугольнике АВС известны стороны: АВ = 10 см, а АС = = 14 см. На стороне АВ взята точка М так, что АМ : МВ = 2:3, а на стороне АС — точка К, причем АК : КС = 2:5. В каком отношении биссектриса угла А делит отрезок МК?
4. В треугольнике АВС сторона АВ = 12, а ВС = 9; CN — медиа-на. Точка М делит отрезок ВС в отношении ВМ : МС = 2:1. В каком отношении биссектриса ВD делит отрезок NM.
5. В треугольнике АВС прямая CD делит угол АСВ в отношении 1:2. Отрезки AD = DC = CB. Найти углы треугольника.
6. В треугольнике АВС известно, что АВ = 5; ВС = 6; СА = 7. На сторонах АВ, ВС и СА взяты точки К, L и М так, что прямые KL, LM, MK перпендикулярны биссектрисам углов В, С, А соответст-венно. На какие отрезки делят точки K, L и М стороны треуголь-ника АВС?
7. В равнобедренном треугольнике ABC основание AC = 48 см, внешний угол при вершине B = 600. Найти расстояние от вершины C до прямой, содержащей AB.
8. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины при основании, образует с противолежащей стороной углы, один из которых равен 60°. Найти углы этого треугольника. (Рассмотреть все варианты.)
Раздел IV. Признаки и свойства параллельных прямых
1. Геометрия на готовых чертежах.
а) Дано: .CBEABE ∠=∠
Найти: .x∠
х 52° 129°
51°
А
В
Е
С
D
56
б) Дано: .TPKMPT ∠=∠ Найти: .x∠
в) Дано: a || b. Доказать: .90°=∠ MOE
г) Дано: Доказать: AB || CD.
д) Дано: AB = BC. Доказать: a || b.
M
TN K
P
°112
°68
°68х
a
b
57
2. Параллельные прямые AB и CD пересечены прямой BD. Бис-сектрисы углов ABD и BDC пересекаются в точке K. Отрезок BD = 2 KD. Найти углы, образованные секущей BD c прямыми AB и CD.
Раздел V. Окружность
1. Геометрия на готовых чертежах. а) Дан рисунок.
Доказать: CD = BA.
б) Дано: AB = CD. Доказать: OK = OP.
в) Дано: АС — касательная.
Доказать: OA = OC.
OA D
F
C B
E
C
D
A
B
P O
K
O
C B A
58
г) Дано: AB и AC — касатель-ные. Доказать: АВ = АС.
2. Даны две равные касающиеся окружности. Под каким углом пересекаются прямые, одна из которых касается этих окружностей в разных точках, а вторая проходит через центр одной из окружно-стей и касается другой?
3. В треугольник АВС вписана окружность. Касательные, прове-дённые к окружности отсекают от исходного треугольника три треугольника, содержащие вершины А, В и С соответственно. Най-ти периметры отсечённых треугольников, если стороны треуголь-ника равны 9, 8, 7.
Раздел VI. Задачи на построение
1. Деление отрезка пополам. 2. Построение перпендикуляра к прямой из точки на прямой и
из точки вне прямой. 3. Построение угла, равного данному. 4. Деление угла пополам. 5. Построение треугольника по трём заданным сторонам. 6. Построение прямой параллельной данной и проходящей через
заданную точку. 7. Дан угол 19°. Как построить угол, равный 1°. 8. Дан угол 19°. Как построить луч, который делит этот угол на
части 9 и 10°.
. O
B A
C
59
Раздел VII. Задачи на повторение
В этот раздел включены геометрические задачи, для решения которых надо применять различные теоремы, пройденные в 7-м классе. Эти задачи наиболее трудные и могут рассматриваться в конце учебного процесса и как дополнительные задачи. (Часть тек-стов приведённых задач взята из задачника И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин «Сборник задач из геометрии 5000 задач с ответами»).
1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС про-ведена медиана ВM. На ней взята точка D. Докажите равенство треугольников: а) АВD и CBD; б) AMD и CMD.
2. Отрезки АВ и СD пересекаются под прямым углов и АС = = АD. Докажите, что ВС = ВD и ∠ АСВ = ∠АDВ.
3. В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Точка их пересечения обозначена через D. Найти угол АDВ, если: а) ∠А = 50º, ∠В = 100º; б) ∠А = α, ∠В = β; в) ∠С = 130º г) ∠С = γ.
4. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС; СD — биссектриса угла С; ∠АDС = 150º. Найти угол В.
5. В треугольнике известны величины углов А, В, С. Найдите углы шести треугольников, на которые данный треугольник разби-вается его биссектрисами.
6. Прямая, проходящая через вершину А треугльника АВС, пере-секает сторону ВС в точке М. При этом ВМ = АВ; ∠ВАМ = 35º; ∠САМ = 15º. Найти углы треугольника АВС.
7. Высоты треугольника АВС, приведённые из вершин А и С, пересекаются в точке М. Найдите ∠АМС, если ∠А = 70º, ∠С = 80º.
8. В равнобедренном треугольнике АВС высоты АD и СЕ, опу-щенные на боковые стороны, образуют угол АМС, равный 48º. Найдите углы треугольника АВС.
9. Угол при основании ВС равнобедренного треугольника АВС вдвое больше угла при вершине, ВD — биссектриса треугольника. Докажите, что АD = ВС.
10. В треугольнике АВС на стороне АС отмечена точка К так, что АК = АВ. Угол АВК = 75º. Угол АВС = 60º. Найти АС, если из-вестно, что ВС = 3.
60
11. В прямоугольном треугольнике АВС ∠А= 90º, ∠В = 75º. На стороне АС взята точка D так, что ∠АDВ = 2∠DВС. Найти длину отрезка DС, если АВ = 5.
12. В треугольнике АВС угол А = α, угол С = β. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины В: а) α = 50º, β = 20º; б) α = 110º, β = 50º.
13. Параллельные прямые а и b пересечены секущей АВ (А ∈ а; В ∈ b ). Биссетрисы внутренних односторонних углов пересекают-ся в точке С. Через точку С проведена прямая параллельная а, ко-торая пересекает АВ в точке Е. Найти длину отрезка СЕ, если АВ = 12 см.
61
Ответы
Раздел I. Смежные и вертикальные углы 2. 80° и 100°. 4. 75° и 105°.
3. 40° и 140°. 5. и ;BOA DOE∠ ∠
.и BODAOE ∠∠
Раздел II. Равенство треугольников
Сумма углов треугольника 2. 145° и 35°. 3. 45°, 63° и 72°. 4. 60°.
Раздел III. Равнобедренные треугольники 2. 10; 10; 1.
3. 1:1.
4. 1:1.
5. 30°; 60°; 90° и 40°; 60°; 80°.
6.
A
B
C
KL
M
LMCΔ — равнобедренный (высота совпадает с биссектрисой); 7 ; 6 ;LC MC X AM X BL X= = ⇒ = − = −
BLKΔ — равнобедренный; ;1)6(56 −=−−=⇒−== XXAKXBKBL
62
АKМΔ — равнобедренный; .471 =⇒−=−⇒= ХХХАМАК
Ответ: .3;2;4 ====== АКАМВКВLСМСL AB = 5; BC = 6; AC = 7. 7. 24 см. 8. 1) 40°; 40°; 100°;
2) 80°; 80°; 20°. Раздел IV. Признаки и свойства параллельных прямых
2. 60°; 120°.
Раздел V. Окружность 2.
1o 2o
A K
D
E
B F
AO1 = DO1 = BO2 = EO1 = R; O1O2 = 2R.
Из ΔO1O2D )21;90( 211 OODOD =°=∠
находим .3012 °=∠ ODO
Из ΔO1O2E ( 211 21;90 OOEOE ==∠ ° ) находим .3012 °=∠ OEO
63
O1O2 || AB; °=∠=∠ 30221 KBOKOO (внутренние накрест лежа-щие).
°=∠=∠ 30221 BFOEOO (соответственные). Ответ: 30° . 3.
T
P G
Q
S
B
N М
K L
A D E F C AQ = AE = x (см. 1, г); BQ = BT = y; CT = CE = z;
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=+=+
.9;8;7
zyzxyx
+
2x + 2y + 2z = 24; x + y + z = 12;
x = 3; y = 4; z = 5. KQ = KP; DP = DE. Периметр ΔAKD = AK + (KP + PD) + AD = AK + (KQ + DE) +AD = = 2AQ = 6. Периметр ΔBNM = 2BQ = 8 (аналогично). Периметр ΔCLF = 2CF = 10 (аналогично). Ответ: 6; 8; 10.
64
Раздел VII. Задачи на повторение 1.
Дано: ΔABC, AB = BC, AM = = MC; D ∈ BM.
Доказать: а) ΔABD = ΔCBD; б) ΔAMD = ΔCMD.
Доказательство. 1. BM — медиана по усло-
вию), так как ΔABC — равно-бедренный, то BM — биссек-триса и высота. ∠ABM = ∠CBM, ∠BMA = ∠BMC = 90º.
2. Рассмотрим ΔABD и ΔCBD: AB = BC (по условию); BD —
общая; ∠ABD = ∠CBD (по п.1). Следовательно, ΔABD = ΔCBD (по двум сторонам и углу между ними).
3. Рассмотрим ΔADM и ΔCDM; AM = MC (по условию), DM — общая; ∠AMD = ∠CMD = 90º (по п.1). Следовательно, ΔAMD = = ΔCDM (прямоугольный по двум катетам). Что и требовалось доказать.
2. Дано: AB ∩ CD = O,
AC = AD; AB ⊥ CD. Доказать:
а) BC = BD; б) ∠ACB = ∠ADB.
Доказательство. 1. ΔACD — равнобед-
ренный (AC = AD по ус-ловию), AO — высота, следовательно, AO — биссектриса и медиана. CO = OD и ∠CAO = = ∠DAO.
A
M
B
C
D
M
A B
C
D
O
65
2. Рассмотрим ΔACB и ΔADB. AC = AD (по условию), AB — об-щая, ∠CAB = ∠DAB (по п.1). Следовательно, ΔACB = ΔADB (по двум сторонам и углу между ними).
3. Из равенства ΔACB = ΔADB следует, что BC = BD и ∠ACB = ∠ADB.
Что и требовалось доказать.
3. Дано: ΔABC, ∠BAK =
= ∠KAC; ∠ABM = = ∠MBC ; а) ∠A = 50º, ∠B = 100º; б) ∠A = α, ∠B = β; в) ∠C = 130º; г) ∠C = γ. Найти: ∠ADB.
Решение. 1. Рассмотрим ΔABD. ∠ABD = 50º, ∠BAD = 25º, следовательно,
∠ADB = 180º – 50º – 25º = 105º.
2. ∠A = α, ∠B = β. ∠ABD = ,2β
∠BAD =2α
, следовательно,
∠ADB = 180º –2β
–2α
= 180º –
2β+α
.
3. ∠C =130º. ∠BAD = xº, ∠ABD = yº, следовательно, ∠A = 2xº, ∠B = 2yº; 2x + 2y + 130º = 180º; 2x + 2y = 50º; x + y = 25º; x + y + ∠ADB = 180º; ∠ADB = 180º – (x + y) = 180º – 25º = 155º.
A
B C K
D
M
66
4. ∠C = γ. ∠BAD = x, ∠ABD = y, следовательно, ∠A = 2xº, ∠B = 2yº. 2x + 2y + γ = 180º; 2x + 2y = 180º – γ;
x + y = 90º – ;2γ
∠ADB = 180º – (x + y) = 180º – 90º +2γ
= 90º + .2γ
Ответ: а) ∠ADB = 105º; б) ∠ADB = 180º –2β+α
; в) ∠ADB =
= 155º; г) ∠ADB = 90º + .2γ
4.
Дано: ΔABC — равно-бедренный; АВ = ВС; ∠АСD = ∠DCВ; ∠СDA = 150º. Найти: ∠B.
Решение: ∠ACD = ∠DСВ = хº; ∠С = 2х, ∠А = 2х; х + 2х + 150º = 180º (из ΔACD). 3х = 30º, x = 10º; ∠А = ∠С = 20º; ∠В = 180º – 40º = 140º. Ответ: ∠В = 140º.
A
B
C
D
67
5. Дано: ΔABC, АА1;
ВВ1; СС1 — биссек-трисы ∠A; ∠В; ∠С; АА1 ∩ ВВ1 = О.
Найти: ∠AOB1, ∠OB1A, ∠OAB1, ∠COB1, ∠OB1C, ∠OCB1, ∠COA1, ∠OA1C, ∠OCA1.
Решение.
1. ∠OAB1 = 2A∠
(по условию); ∠ABB1 = 2B∠
(по условию).
2. Рассмотрим ΔABB1:
∠BB1A = 180º –∠A –2B∠
= ∠OB1A (по теореме о сумме углов тре-
угольника); ∠A + ∠B + ∠C = 180º;
∠OB1A = ∠C + .2B∠
3. Рассмотрим ΔAOB1:
∠AOB1 = 180º –2A∠
– ∠OB1A;
∠AOB1 = 180º –2A∠
– 180º + ∠A +2B∠
=2A∠
+ .2B∠
4. Аналогично углы в остальных треугольниках:
∠OСB = ;2C∠
∠OB1С = 180º – ∠С –2B∠
= ∠A + ;2B∠
B
А C В1
O А1
C1
68
∠СOB1 = 2A∠
+ ;2B∠
∠СOA1 = 2A∠
+ ;2C∠
∠OA1С = 180º – ∠С –2A∠
= ∠B + ;2A∠
∠OСA1 = 2C∠
и т.д.
Ответ: ∠OB1A =∠C +2B∠
, ∠AOB1 = 2A∠
+2B∠
и т.д.
6.
Дано: ΔABC,
AM ∩ BC = M; АВ = ВM; ∠BAM = 35º; ∠СAM = = 15º.
Найти: ∠A, ∠B, ∠C.
Решение. 1. ∠A = ∠ВAM + ∠CAM = 35º + 15º = 50º. 2. ΔABM — равнобедренный;
∠BMA = ∠MАC + ∠MCA (теорема о внешнем угле треугольника); ∠MCA = 35º – 15º = 20º.
3. ∠B =180º – ∠A – ∠С (теорема о сумме углов треугольника); ∠В = 180º – 50º – 20º = 110º. Ответ: ∠A = 50º, ∠В = 110º, ∠C = 20º.
A
B
C
M
69
7.
Дано: ΔABC, AK ⊥ BC; CN ⊥ AB, AK ∩ CN = M; ∠A = = 70º; ∠С = 80º.
Найти: ∠AMC.
Решение. 1. Рассмотрим ΔANC: ∠A = 70º; ∠N = 90º;
∠АCN = 180º – 70º – 90º = 20º (теорема о сумме углов треуголь-ника).
2. Рассмотрим ΔAKC: ∠C = 80º; ∠K = 90º; ∠CAK = 180º – 80º – 90º = 10º.
3. Рассмотрим ΔAMC: ∠AMC = 180º– ∠MAC – ∠MCA; ∠AMC = 180º – 20º – 10º = 150º. Ответ: ∠AMC = 150º.
8.
Дано: ΔABC, AB =
= BC, AD, CE — высоты; AD ∩ CE = M; ∠AMC = 48º.
Найти: ∠A, ∠B, ∠C.
C
B
A
M
K
N
C
B
A
M D E
70
Решение. 1. ∠A = ∠C = α (углы при основнии равнобедренного треуголь-
ника). 2. Рассмотрим ΔAEC: ∠ECA = 180º – 90º – α;
∠ECA = ∠MCA = 90º – α. 3. Рассмотрим ΔADC: ∠DAC = 180º – 90º – α;
∠DAC = ∠MAC = 90º – α. 4. Рассмотрим ΔAMC:
∠AMC + ∠MCA + ∠MAC = 180º (теорема о сумме углов треуголь-ника); 90º – α + 90º – α + 48º = 180º; 2α = 48º; α = 24º.
5. Рассмотрим ΔABC: ∠B = 180º – 2α = 180º – 48º = 132º. Ответ: ∠A = ∠C = 24º; ∠B = 132º.
9.
Дано: ΔABC, AB =
= AC; ∠B = ∠C = 2∠A; BD — биссектриса.
Доказать: AD = BC.
Решение. 1. ∠A = α; ∠B = ∠C = 2α (по условию);
∠A + ∠B + ∠C = 180º; α + 2α + 2α = 180º; 5α = 180º; α = 36º; ∠A = 36º; ∠B = ∠C = 72º.
2. ∠ABD = ∠DBC = 36º.
A
B C
D
71
3. Рассмотрим ΔABD: ∠A = ∠ABD = 36º, следовательно ΔABD равнобедренный AD = BD.
4. Рассмотрим ΔBDC: ∠DBC = 36º; ∠BCD = 72º (п.1) ∠BDC = = 180º – 36º – 72º = 72º следовательно ΔBDC равнобедренный BD = = BC.
5. BD = BC (п.4); AD = BD (п.3) следовательно AD = BС. Что и требовалось доказать.
10. Дано: ΔABC; K ∈
∈ AC; AB = AK; ∠ABK = 75º, ∠ACB = = 60º; BC = 3.
Найти: AC.
Решение. 1. ΔABK — равнобедренный, так как AB = AK (по условию).
Следовательно, ∠ABK = ∠BKA = 75º; ∠BAK = 180º –75º – 75º = 30º (теорема о сумме углов треугольника).
2. Рассмотрим ΔABC: ∠B = 180º – ∠A – ∠C = 180º – 60º – 30º = 90º. Cледовательно, ΔABC — прямоугольный с острым углом 30º.
Отсюда BC =21
AC (теорема о катете, лежащем против угла
в 30º). AC = 2BC; AC = .632 =⋅ Ответ: AC = 6.
A
B
C K
72
11.
Дано: ΔABC, ∠A = = 90º; ∠B = 75º, ∠ADB = = 2∠DBC; AB = 5, D ∈ ∈ AC.
Найти: DC.
Решение. 1. ∠ADB = 2∠DBC. Пусть ∠DBC = α, тогда ∠ADB = 2α. 2. ∠ADB — внешний угол ΔBDC.
∠ADB = ∠DBC + ∠DCB (теорема о внешнем угле треугольника); ∠DCB = 2α – α = α.
Отсюда, ∠DCB =∠DBC. Следовательно, ΔBDC — равнобедренный, т.е. BD = DC. 3. Рассмотрим ΔABC:
∠A = 90º, ∠B = 75º; ∠C = 180º – 90º – 75º = 15º (теорема о сумме углов треугольника).
Значит, α = 15º. 4. Рассмотрим ΔABD:
∠BDA = 2α = 30º, ∠A = 90º.
Отсюда AB =21
BD (теорема о катете, лежащем против угла
в 30º). BD = 2AB; BD = .1052 =⋅
5. DC = BD (по п.2). Значит, DC = 10. Ответ: DC = 10.
A
B C
D
73
12.
a) Дано: ΔABC; ∠A = = 50º, ∠C = 20º; BH ⊥ C; ∠ABD = ∠DBC.
Найти: ∠HBD.
Решение. 1. ∠B = 180º – 50º – 20º = 110º (теорема о сумме углов тре-
угольника).
2. ∠ABD = .552
110°=
°
3. ΔABD — прямоугольный, ∠ABH = 180º – 90º – 50º = 40º. 4. ∠HBD = ∠ABD – ∠ABH = 55º – 40º = 15º. Ответ: ∠HBD = 15º.
б) Дано: ΔABC; ∠A =
= 110º, ∠C = 50º; BH ⊥ ⊥ AC; ∠ABD = ∠DBC.
Найти: ∠HBD.
A
B
C D H
A
B
C D H
74
Решение. 1. ∠АBС = 180º – 110º – 50º = 20º (теорема о сумме углов тре-
угольника).
2. ∠ABD = .102
20°=
°
3. ∠ВAH = 180º – 110º = 70º (смежный). 4. ∠HBА = 180º – 90º – 70º = 20º. 5. ∠HBD = ∠HBA + ∠ABD = 20º + 10º = 30º. Ответ: ∠HBD = 30º.
13.
Дано: a||b; AC, BC — биссектриса; СЕ || a; AB ∩ CE = = E; AB = 12.
Найти: CE.
Решение. 1. ∠BАС = α; ∠АBС = β; ∠KАС = α; ∠MBС = β. 2. 2α + 2β = 180º (сумма внутренних односторонних углов при
пересечении параллельных прямых секущей); α + β = 90º. 3. ∠АСЕ = α (накрест лежащий с ∠KАС); ∠ВСЕ = β (накрест
лежащий с ∠MBС). 4. ΔAEC — равнобедренный АЕ = ЕС; ΔВEC — равнобедрен-
ный ВЕ = ЕС.
5. СЕ =21АВ; СЕ = 6.
Ответ: СЕ = 6.
a
b
c
B
A K
M
C E
α α
α β
β β
Татьяна Анатольевна Пыжова Геннадий Викторович Лупенко
Ирина Александровна Масленникова
МАТЕМАТИКА
Учебное пособие для углубленного изучения математики в 7-м классе
Редактор М.В. Макарова Оригинал-макет изготовлен Л.М. Бурлаковой
Подписано в печать 09.12.2008. Формат 60х84 1/16 Уч.-изд.л. 4,75 Печ.л. 4,75 Тираж 2000 экз.
Изд. № 052-1 Заказ № 1
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». Типография МИФИ.
115409, Москва, Каширское ш.,31
76
