ریاضی مهندسی عزیزیhooshmand55.ir/jozve/Riaziat Mohandesi.pdf · 2013. 3. 4. · ٧:ﻦﯾﺮﻤﺗ 1) 2 ( +1)( −2)3 2) 4 4 −1:ﯽﺗﺎﺜﻠﺜﻣ يﺎﻫ لاﺮﮕﺘﻧا

قابل استفاده براي کلیه دانشجویان مهندسی برق ،مکانیک، عمران....

هوشمند عزیزي حرفه اي کرمانشاه مدرس دانشگاه فنی و

91تابستان

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

http://www.pdffactory.com

١

ها : سرفصل

2-20.............................................................................................................................................ها).. فصل اول (یادآوري

21-47..........................................................................................................................)ه(سري و انتگرال فوری فصل دوم

48-94..............................................................................................................................مختلط).......... توابع( فصل سوم

95- 103...................................................................................................(معادلات دیفرانسیل جزئی)....... فصل چهارم

ضمیمه ها:

104- 113........................................................................................................................(تبدیلات لاپلاس)..... 1ضمیمه

114- 124.............................................................................................................................................(نگاشت). 2 ضمیمه

125.................................................................................................................................................................................منابع



٢

:تقدیم به

پیشگاه معلمانی که صادقانه و عاشقانه می کوشد

تا رفتارشان در شان شغل انبیا باشد.

جزوه حاضر یک مجموعه مناسب از فرمول هاي کاربردي ریاضیات مهندسی است که با نرمش در ارائه مطالب و بررسی مثال هاي متنوع سعی بر آن شده تا شاید بتوانیم کم و بیش شما را به دنیاي بی کران

ریاضیات آشنا کنیم .

است به این جرعه از اقیانوس ریاضیات این جزوه ، فقط دروازه ورود به ریاضیات مهندسی ست. خواهشمند قناعت نکنید. در کل جزوه سعی کرده ایم تا حد امکان از اثبات صرف نظر و به مثال هاي کاربردي رو آورده

ایم.

در پایان دست تمام کسانی را که حتی کلمه اي را به من آموختند با افتخار می بوسم. ضمنا جا دارد از ایمان خسروي که در تایپ و تنظیم این جزوه نهایت همکاري را داشته زحمات دانشجوي عزیز مهندس

اند،نهایت سپاس وتقدیررا بجاي بیاورم .

براي همه شما خوانندگان از خداوند منان

دلی عاشق

ذهنی جستجوگر

روحی عصیان گر

نگاهی پرهیزگار و

از حضرت حق می طلبم.

هوشمند عزیزي 09189187811 انتقادات و پیشنهادات :



٣

فصل اول :یادآوري روش هاي انتگرال گیري

)روش فرمول ها:1

∫ :مثلا = ln +

مثال)

2 2 + 1

14 4

2 2 + 1 = 14 ln(2 2 + 1) +

مثال)

tan =?

(حل − −sin cos = − ln(cos ) +

براي دیفرانسیل دکتر نیکوکار بطور کامل موجود است و می توان در آخر کتاب معادلات و بقیه فرمول ها .لیل پاریاب)خ(ترجمه کردمارون مراجعه ایساك آشناي بیشتر به جلد دوم ریاضی عمومی

…………………………………..

یر متغیر:یروش تغ)2

د و نساده شوبطور مستقیم قابل حل نیستند لذا باید تا حد امکان یگاهی بسیاري از انتگرال ها با فرمول .کرداستفاده قاعده ها براي حل وسپس از فرمولها



٤

مثال)

( 2 − 1)( 4 + 3 2 + 1) tan( 2 1 )

تقسیم میکنیم2 ابتدا صورت و مخرج را بر

(حل (1 − 1 2) 2 + 3 + 1 2 tan( + 1 ) = (1 − 1 2)( 2 + 1 2 + 1) tan( + 1 )

+ * حال: 1 = → 1 − 1 2 = → = (1 − 1 2) ∗⇒ (1 − 1 2)(t2 + 1)2arc tan t) dt(1 − 1 2)

حال**

tan = → 11 + 2 = → = (1 + 2)

∗∗⇒ 1( 2 + 1). . (1 + t2)

.⇒ 1u du = ln|u| + c

.⇒ ln tan + 1 +

……………………………….

(1تمرین: ∫ 2 2 2 2

b :راهنمایی tan x = u



٥

روش جزء به جزء:حال )3

∶ اصل قاعده چنین است: داریم( . ) گیریم: می از طرفین دیفرانسیلحال = . + .

گیریم: انتگرال می از طرفین اکنون

( . ) = . + .

. = . + .

:می رسیم فرمول جزء به جزءحال به

مثال:

( 3 + 1) cos ∗⇒ ( 3 + 1) sin x + (3x2) cos x − 6 sin − 6 cos +

*حل:

3 ) انتگرال متوالی مشتق متوالی + 1) cos x 3 2 sin

6 − cos

6 − sin

0 cos

……………………………………………………….

. = . − .



٦

تمرین:

1) cos(ln ) = :راهنمایی ؟ cos(ln ) = , =

2) 5 . cos 4 =?

……………………………………………………….

روش تجزیه کسرها:)4

مثال:

5 + 9 3 + 2 2 − 3 =?

داریم:*

5 + 9x(x2 + 2x − 3) = 5x + 9x(x + 3)(x − 1) = ax + b(x + 3) + c( − 1)

5 + 9 = ( + 3)( − 1) + ( )( − 1) + ( )( + 3) = 0 .⇒ − 3 = 9 .→ = −3 = −3 .⇒ 12 = −6 .→ = − 12

= 1 .⇒ 4 = 14 .→ = 72

حال در انتگرال قرار میدهیم:

∗⇒ −3x + − 12x + 3 + 7

2x − 1 dx

.⇒ − 3 ln x − 12 ln(x + 3) + 7

2 ln(x − 1) + c

……………………………………………………….



٧

تمرین:

1) 2( + 1)( − 2)3 2) 4 4 − 1

روش محاسبه انتگرال هاي مثلثاتی:) 5

cos . sin x dx

چهار روش وجود دارد :الف)

زوج nزوج و mد) فرد nفرد و mزوج ج) nفرد و m ب) فرد nزوج و m الف)

∫ مثال) sin2 . cos5 x dx = ؟

(حل sin2 . (cos4 x) . cos x dx = sin2 . (1 − sin2 x)2. cos x dx

∗ sin x = t → dx = dtcos x ∗⇒ t2(1 − t2)2. cos x . dtcos x= t2(1 − 2t2 + t4)dt = (t2 − 2t4 + t6)dt ⇒

⇒ t3

3 − 2t5

5 + t7

7 + c = sin3 x3 − 2

5 sin5 x + 17 sin7 x + c

……………………………………………………….

تمرین:

1) sin5 . cos3 =? 2) sin2 . cos4 =?

……………………………………………………….



٨

براي محاسبه انتگرال هایی به صورت :ب)

sin . cos از فرمول هاي زیر استفاده میکنیم:

sin . cos b = 12 [sin(a − b) + sin(a + b)]

sin a . sin b = 12 [cos(a − b) − cos(a + b)]

cos . cos b = 12 [cos( − ) + cos(a + b)]

مثال:

sin 7 . cos 3 =?

حل:

12 (sin(7 − 3 ) + sin(7 + 3 ))

= 1−4 × 2 −4 sin 4x dx + 1−10 × 2 −10 sin(10 ) = − 18 cos(4x)− 1

20 cos(10x) +

……………………………………………………….

انتگرال هاي به صورت :ج)

cot x dx , tan x dx

).برسیم. 1یا 0واحد کم و زیاد می کنیم تا به توان 2واحد 2شوند ( به روش زیر حل می

مثال:

tan7 =?



٩

حل:

(tan7 + tan5 − tan5 +tan3 −tan3 + tan − tan )

= tan5(tan2 + 1) − tan3(tan2 + 1) + tan(tan2 + 1) − tan

حال:*

tan = → (1 + tan2 )dx = du → dx = du1 + tan2 x ∗⇒ u5du − u3du + u du − sin xcos x dx = u6

6 − u4

4 + u2

2 + ln(cos x) + c

= 16 tan6 x − 1

4 tan4 x + 12 tan2 x + ln(cos x) + c

……………………………………………………….

روش وایراشتراس:)د

در مخرج موجود باشد از تغییر متغیرهاي زیر استفاده می کنیم. cosو sinوقتی که

sin = 2 tan 2

1 + tan2 2 , cos x = 1 − tan2

21 + tan2

2

مثال:

1sin = 1 + tan2 2

2 tan 2

dx

حال:*

tan 2 = → 12 1 + tan2 2 = → = 2 1 + tan2

2



١٠

∗⇒ 1 + tan2 x2u . 2du

1 + tan2 x = 1u du = ln|u| + c = ln tan x2 + c

……………………………………………………….

:تمرین

1) cot10 =?

2) 1 − sin = ؟

3) 1 + 2 cos x =?

4) dθ4 sin + 3 cosθ =?

……………………………………………………….

2 هاي که عواملی به صورت براي محاسبه ي انتگراله) ± x2 2 √ یا − 2 یا 2 ± 2

2 √ داشته باشند می توان از تغیر متغیرهاي زیر استفاده کرد: − x2 .→ x = a sinθ = یا cos 2 + x2 .→ x = a tan θ √ 2 − x2 .→ x = acosθ

……………………………………………………….

مثال:

√9 − 2 2 =?

حال:*



١١

[ = 3 sin → = 3 cos ] حل:

∗⇒ 9 − 9 sin2 θ(3 sin )2 . 3 cos = 3 1 − sin2 θ

9 sin2 θ. 3 cos = cos2 sin2

= cot2 = (cot2 + 1 − 1) = − −(1 + cot2 ) − 1 = − cot – θ +

= − cot sin 3 − sin 3 + ……………………………………………………….

انتگرال گیري از توابع اصم:)و

= توضیح در قالب مثال .( مناسب است. ر متغیر)یتغی (ك.م.م ها فرجه)

√ + √ =? ∶ مثال= ]* داریم: 6 → dx = 6u5du]

∗⇒ 6u5√u6 + √u63 du = 6u5u3 + u2 d = u2 − u + 1 − u2u3 − u2 du که با روش هاي گفته شده به راحتی قابل فهم است.

……………………………………………………….

تمرین:

1) √ − 1√ 3 + 1 =? 2) √ + √ 3√ 5 −4 √ 76 =?



١٢

:نکته

ax مناسب است. + bcx + d = گاهیفرجه رادیکال ……………………………………………………….

انتگرال هایی به فرم:

cot x . cosc x dx , tan x . sec x

به کمک:

1 + tan2 = 1cos2 = sec2 .→ tan2 = sec2 − 1

و

1 + cot2 x = 1sin2 x = csc2 x .→ cot2 x = csc2 x − 1

آنها را به یکی از اشکال زیر در می آوریم:

1) ( sec) ⎯ فرد . sec . tan x dx .→ sec x = t 2) f(tan ⎯ زوج x). sec2 x dx .→ tan x = t 3) f(sec ⎯ زوج x) dx .→ جزء به جزء

مثال:

tan3 . sec5 x dx =?

= tan2 . sec4 . tan . sec = (sec2 − 1). sec4 . tan . sec

sec] داریم:* = → sec . tan x dx = dt] PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


١٣

∗⇒ (t2 − 1). t4 dt = (t6 − t4) = 7

7 − 5

5 + = 17 sec7 − 1

5 sec5 + ……………………………………………………….

تمرین:

1) √tan x . sec4 x dx =? 2) tan2 . sec3 =?

:راهنمایی tan = t ……………………………………………………….

:انتگرال معین مهم برخی از فرمول هاي

1) f(x)dx = − f(x)dx

2) ( ) = 0

3) ( ) = ( ) + ( )

; ∀ [ , ]

4) ( ) ≥ 0 . ⎯⎯⎯⎯⎯ ( ) ≥ 0

5) ( ) ≤ ( ) ⎯⎯⎯⎯⎯ ( ) ≤ ( )

6) ( ) = ( )

7) ( ) ( ) = ( ) . ( )

8) ( ) ( ) ( ) = ( ) . ( ) − f u(x) . u. (x)

……………………………………………………….



١٤

.dx (t4 مثال: arc tan(t3 + 1)) dt 2

= ؟

حل:

= (ln )4. arc tan((ln x)2 + 1). 1x − e4 2 . arc tan e2 2 + 1 2xe 2 ……………………………………………………….

انتگرال هاي مجازي(غیرعادي یا ناسره):

بی کران است و یا تابع تحت آنها انتگرال هاي ناسره انتگرال هاي هستند که دامنه ي انتگرال گیري انتگرال در دامنه انتگرال گیري بی کران است و یا هر دو .

, ]به fفرض کنید )1تعریف پیوسته باشد در این صورت : (∞+

f(x)dx = lim → f(x)dx

پیوسته باشد در این صورت : [ ,∞−)به fفرض کنید )2تعریف

f(x) dx = lim ( )

.∞−)بر f)فرض کنید 3تعریف پیوسته باشد در این صورت : (∞+

f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx

∶ bϵR

اگر در هر یک از حدود فوق عدد حقیقی موجود باشد انتگرال ناسره را همگرا می نامیم در غیر این صورت غیر این صورت واگراست.آن را واگرا می نامیم و در حالت سوم باید هر دو انتگرال همگرا باشند در

……………………………………………………….



١٥

مثال:

1 2 = 1

lim 1 2 1

= lim − 1 1

= lim −1 + 1 = −1∞ + 1 = 1 انتگرال ناسره فوق همگراست.

……………………………………………………….

مثال:

1x dx = lim ⎯ 1x dx 1

1

= lim ⎯ ln | 1 = lim ⎯ (ln b − ln 1)= ln(+∞) − 0 = +∞

انتگرال ناسره فوق واگراست.

……………………………………………………….

:مثال

cos x 0

dx = lim ⎯ cos x 0

dx = lim ⎯ sin x| b0 = lim ⎯ (sin ) = +1−1

.واگراست فوق انتگرال که میریگی م جهینت پس

……………………………………………………….

:مثال

e | | dx = e dx0

+ e dx = lim ⎯ e dx0

+ lim ⎯ e dx 0

0



١٦

= lim ⎯ | 0 + lim ⎯ −e | b0 = lim ⎯ (1 − ) + lim ⎯ −e + 1

= ( 0 − e ) + (− + e0) = 1 + 1e + −1e + e0 = (1 − 0) + (0 + 1) = 2

.باشدی م 2 به همگرا فوق ناسره انتگرال

……………………………………………………….

, ) بر f دیکن فرض )4فیتعر :میدار و بوده وستهیپ [

f(x) dx = lim → f(x)dx

:میدار و بوده وستهیپ ( , ] بر f تابع دیکن فرض) 5فیتعر

f(x) dx = lim → f(x)dx

, ] بر f تابع دیکن فرض )6فیتعر ,a) که c نقطه در جزء به و بوده وستهپی [ b) هرگاه و x کی از در. کندی م لیم تینهای ب سمت به f تابع شود کینزد c به طرف دو ای و طرف

f(x)dx = f(x)dx

+ f(x)dx

نیا ریغ در شوندی م همگراي مجازي ها انتگرال باشندی قیحق عدد و موجود فوق حدود از کیهر اگر .شوند همگرا دیبا انتگرال دو هر 6 حالت در و شوندی م واگرا صورت

……………………………………………………….

:مثال

1x2 dx = lim →0 1x2

1

dx 1

0 = lim →0 −1x 1u = lim →0 −1 + 1u = −1 + 10 = −1 + ∞ = +∞

.واگراست فوق انتگرال



١٧

:مثال

1√x dx = lim →0 x 12 dx1

1

0= lim →0 2√ 1 = lim →0 2 − 2√ = 2 − 2√0= 2

.باشدی م 2 به همگرا فوق انتگرال

……………………………………………………….

:مثال

1x2 dx1

1= lim →0 1x2 dx

1+ 1x2 dx1

= lim →0 − 1 −1 + lim →0 − 1 1

= lim →0 −1 − 1 + lim →0 −1 + 1 = +∞

انتگرال فوق واگراست.

……………………………………………………….

قضیه آزمون مقایسه در انتگرال ها مجازي:

, ]توابعی پیوسته بر gو fفرض کنید 0و (∞+ ≤ ( ) ≤ که در این صورت: ( )

∫)اگر 1 g(x)dx همگرا باشد آنگاه انتگرال∫ f(x)dx .همگراست

∫) اگر 2 (x)dx واگرا باشد آنگاه انتگرال∫ (x)dx .واگراست

ثابت کنید انتگرال مجازي زیر واگرا است؟ مثال:

sin =? 2

0

:حل 0 ≤ x ≤ 2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0 ≤ sin ≤ 1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 0 ≤ x. sin x ≤ x



١٨

0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ معکوس ≤ 1x≤ 1x. sin x 1x 20 حال dx

= lim 0 1x 2 dx = lim 0 ln x| 2b

= lim 0 ln 2 −ln = ln 2 − ln(0 ) = +∞

∫واگرا می باشد لذا انتگرال 2

نیز واگرا ست. 0

……………………………………………………….

, )بر fفرض کنید )7تعریف به سمت بی نهایت باشد در این صورت aپیوسته بوده و در نقطه (∞+ داریم:

f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx

……………………………………………………….

∫ تمرین: 1 dx =? 0

……………………………………………………….

∫و fفرض کنید تابع )8تعریف f(x)dx را همگراي مطلق یا مطلقا همگرا گوئیم هرگاه ∫ |f(x)|dx نیز همگرا باشد ولی اگر∫ f(x)dx همگرا ولی∫ |f(x)|dx همگرا نباشد آن را همگراي مشروط می نامیم.

∫اگر نکته: |f(x)|dx همگرا باشد آنگاه∫ f(x)dx .نیز همگراست



١٩

درس اخلاقی اول: دیوانهسه درس از یک

.اند که شیخ جنید بغدادي، به عزم سیر، از شهر بغداد بیرون رفت و مریدان از عقب او آورده

.شیخ احوال بهلول را پرسید. گفتند: او مردي دیوانه استگفت: او را طلب کنید که مرا با او کار است. پس تفحص کردند و او را در صحرایی یافتند. شیخ پیش او رفت

.و سلام کرد بهلول جواب سلام او را داد و پرسید: چه کسی هستی؟

.عرض کرد: منم شیخ جنید بغدادي کنی؟ فرمود: تویی شیخ بغداد که مردم را ارشاد می

..عرض کرد: آري بهلول فرمود: طعام چگونه میخوري؟

راست دهان دارم، به طرف خورم و لقمه کوچک برمی گویم و از پیش خود می می» االله بسم«عرض کرد: اول شوم و هر لقمه کنم و در موقع خوردن از یاد حق غافل نمی جوم و به دیگران نظر نمی گذارم و آهسته می می

.شویم گویم و در اول و آخر دست می می» االله بسم«خورم که میکه مرشد خلق باشی؟ در صورتی که هنوز طعام خواهی بهلول برخاست و دامن بر شیخ فشاند و فرمود: تو می

.دانی. سپس به راه خود رفت خوردن خود را نمی .مریدان شیخ را گفتند: یا شیخ این مرد دیوانه است

.خندید و گفت: سخن راست از دیوانه باید شنید و از عقب او روان شد تا به او رسید بهلول پرسید: چه کسی هستی؟

.داند که طعام خوردن خود را نمیجواب داد: شیخ بغدادي دانی؟ بهلول فرمود: آیا سخن گفتن خود را می

گویم و خلق را به گویم و به قدر فهم مستمعان می حساب نمی گویم و بی عرض کرد: آري. سخن به قدر میطن گویم که مردم از من ملول شوند و دقایق علوم ظاهر و با کنم و چندان سخن نمی خدا و رسول دعوت می

.کنم. پس هر چه تعلق به آداب کلام داشت بیان کرد را رعایت می .دانی. سپس برخاست و برفت بهلول گفت: گذشته از طعام خوردن، سخن گفتن را هم نمی

مریدان گفتند: یا شیخ دیدي این مرد دیوانه است؟ تو از دیوانه چه توقع داري؟ .دانید جنید گفت: مرا با او کار است، شما نمی

خواهی؟ تو که آداب طعام خوردن و سخن گفتن باز به دنبال او رفت تا به او رسید. بهلول گفت از من چه می دانی؟ دانی، آیا آداب خوابیدن خود را می خود را نمی

شوم، پس آنچه آداب خوابیدن که از خواب می عرض کرد: آري. چون از نماز عشا فارغ شدم داخل جامه .لام) رسیده بود بیان کردالس حضرت رسول (علیه



٢٠

دانی. خواست برخیزد که جنید دامنش را بگرفت و گفت: بهلول گفت: فهمیدم که آداب خوابیدن را هم نمی .االله مرا بیاموز الی دانم، تو قربه اي بهلول من هیچ نمی

ه فرع است و اصل بهلول گفت: چون به نادانی خود معترف شدي تو را بیاموزم. بدان که اینها که تو گفتی هم

و اگر حرام را صد از اینگونه آداب به جا بیاوري فایده ندارد و لقمه حلال بایددر خوردن طعام آن است که .سبب تاریکی دل شود

!جنید گفت: جزاك االله خیرا

وگرنه هر عبارت که بگویی آن وبال تو باید دل پاك باشد و نیت درست باشدو ادامه داد: در سخن گفتن .باشد. پس سکوت و خاموشی بهتر و نیکوتر باشد

در وقت خوابیدن در دل تو بغض و کینه ها که گفتی همه فرع است؛ اصل این است که و در خواب کردن این

.[دوست، همسر، فرزند، والدین، همکار، ....] نباشدو حسد هیچ بشري

و در آخر بود.اگر در روح، فروغ باشد در شخص، زیبایی خواهد « اگر در شخص زیبایی باشد، در خانه، هماهنگی خواهد بود.

اگر در خانه هماهنگی باشد، در ملت نظم خواهد بود. » خواهد بود. نظم باشد در جهان، صلحو اگر در ملت،

»ضرب المثلی چینی«

رویم.حال با گذر بسیار مختصر از فصل یادآوري به سراغ فصل دوم یعنی سري هاي فوریه می



٢١

فصل دوم

سري و انتگرال فوریه توابع متناوب:

+ ) به شکلی وجود داشته باشد که Tیک تابع متناوب است اگر یک عدد مثبت ( )fتابع ) = را دوره تناوب یا پریود می نامند. Tدر این صورت عدد ( )

. استو عدد ثابت cosو sinهدف از سري فوریه نوشتن یک تابع بر حسب مجموعی از توابع متناوب

(x) = a0 + (an cos(nx) + bn sin(nx)) 1

پس نتیجه می (هم باید متناوب باشد (x) متناوب است بنابراین رابطه فوق چون سمت راست نکته: )شرط لازم براي وجود سري فوریه است. (x) گیریم متناوب بودن

به دو صورت زیر ممکن است متناوب باشد (x) توابع نکته:

( ) ذاتا متناوب باشد مثل (x) الف)تابع = − (x) و [ ] = sin 2 + 1

= به صورت ذاتی متناوب نیست اما می توان آن را به صورت تصنعی (ساختگی) متناوب کرد. (x) ب)تابع 0 < < 1 ( = 1)

که متناوب نباشند نه به صورت ذاتی و نه به صورت تصنعی سري فوریه ندارند. توابعی نکته:



٢٢

تابع زیر را رسم کرده و دوره تناوب آن را بنویسید؟ مثال)

(x) = x 0 < < 1 2 − x 1 < < 2

2πا کسینوسی که آنها نیز داراي تناوب را بر حسب توابع سینوسی ی 2πمی توان هر تابع با تناوب نکته: هستند بسط دهیم.

که به این نوع بسط ، بسط مثلثاتی نیز می گویند.

……………………………………………………….

سري فوریه

فرمول هاي اولر:

توسط سري مثلثاتی زیر بسط داده شود 2πبا تناوب (x) فرض کنید تابع

(x) = a0 + (an cos(nx) + bn sin(nx)) 1

∗

بر حسب (x) آنگاه و را پیدا کنیم بدیهی است که با پیدا کردن و حال می خواهیم توابع سینوسی و کسینوسی به طور کامل نشان داده شده است. براي پیدا کردن ضرائب از طرفین رابطه در

–محدوده π تاπ .انتگرال گیري می کنیم

f(x)dx = a0dx + (an cos(nx) + bn sin(nx))

1

a0dx = a0(x)| −π = a0 π − (−π) = a02π a0 = 1

2π f(x)dx



٢٣

ضرب cosو یک بار در sinبه همین ترتیب اگر طرف اول عبارت ستاره دار(*) را یک بار در نماییم داریم:

(x) = a0 + (an cos(nx) + bn cos(nx)) 1

0 = 12π f(x)dx

= 1π f(x). cos dx

, n = 1,2,3, …

= 1π f(x). sin dx , m = 1,2,3, …

که در آن از شرط تعامد سینوسی و کسینوسی استفاده کرده ایم.

……………………………………………………….

را متعامد گویند اگر و فقط اگر : f(λ )و f(λ )دو تابع نکته:

f(λ ). f(λ ) = 0 ≠ ≠ 0 =

……………………………………………………….

موج مربعی زیر را در نظر بگیرید و سري فوریه آن را بنویسید.مثال:

( ) = − ℎ − < < 0 ℎ 0 < < (T = 2π)



٢٤

0 (حل = 12π f(x)dx = 1

2π f(x)dx0

+ f(x)dx 0

= 1

2π −k dx0

+ k dx 0

0 = k2π − 0 − (−π) + (π− 0) 0= k

2π (−π + π) 0 = 0

= 1π f(x) cos nx dx = 1π − cos 0

+ k cos nx dx 0

= − π − sin n 0−π − sin n π0 = − π 1n [0 − 0] − 1n [0 − 0] = 0

= 1π f(x) sin nx dx = 1π − sin nx dx0

+ k sin nx dx 0

= π cos n 0−π − cos n π0 = π 1n [1 − cos nπ] − 1n [cos nπ− 1] = knπ (2 − 2 cos nπ) = 2knπ (1 − cos nπ)

cos nπ 1 = 2,4,6, …−1 = 1,3,5, … 1 − cos nπ = = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ زوج ها صفر می شوند 0 2,4,6, …= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ فرد ها دو می شوند 2 1,3,5, …

1 = 4π2 , 2 = 0 , 3 = 4π

3π , 4 = 0

حال با جایگذاري داریم:

( ) = 4 π sin x + 13 sin 3x + 1

5 sin 5 + ⋯

با این تابع مثلثاتی برآورد شده است)مربعی (شکل موج

را بهتر درك کنید اگر شما فقط جمله ي اول بسط را یعنی: ( ) حالا دقت کنید تا منظور از بسط



٢٥

( ) بکار گیرید = 4 sin اگر

و آن را به صورت بالا رسم کنیم می بینیم برآورد خوبی از شکل اصلی نیست حال دو جمله ي آن را در

نظر میگیریم که شکل آن به صورت زیر بدست می آید.

دگیری ( ) بکار = 4 sin + 13 sin 3x اگر

حال اگر سه جمله را در نظر بگیریم:

( ) = 4 sin + 13 sin 3x + 1

5 sin 5x

این شکل به موج مربعی نزدیک و نزدیک تر می شود . رودب ∞+ ⎯⎯ و در کل اگر

……………………………………………………….

نکته:

حقیقت پی بردن به رفتار توابع پیچیده در مهندسی پس انجام بسط و نوشتن توابع تناوبی به شکل بسط در می باشد.

را شناخت و تحلیل کرد. ( ) پس می توانیم با برآورد کردن توابع مثلثاتی رفتار تابع

……………………………………………………….

توابع با تناوب دلخواه:

= باشد آنگاه می توان متغیر جدیدي به شکل Tداراي دوره تناوب ( ) تابعاگر تعریف کرد که 2 ها به شکل زیر محاسبه می شوند. در رابطهبا جایگذاري

( ) = 02 + a cos 2nπT t + b sin 2nπT t

1



٢٦

0 = 2T f(t)dt 2 2

= 2T f(t) cos 2nπT t dt 2 2

n= 1,2,3, … = 2T f(t) sin 2nπT t dt

2 2

n = 1,2,3, … ……………………………………………………….

مثال:

بسط سري فوریه ي موج مربعی متناوب زیر را بنویسید.

( ) = 0 2 < < −1 − 1 < < 10 1 < < 2

( = 4)

0 = 24 f(t)dt2

2= 1

2 (0)dt 1

2+ k1

1dt + (0)dt2

1 = 1

2 k(t)| 1−1 = 12 k 1 − (−1) ⎯⎯⎯ 0 = k

= 24 f(t) cos 2nπ

4 t dt = 12 k cos nπ

2 t dt1

1 2

2= k2 2πn πn

2 cos nπ2 t dt1

1

= πn sin nπ2 t 1−1 = πn sin nπ

2 − − sin nπ2 = 2 πn sin nπ

2



٢٧

= ⎩⎪⎨⎪⎧ 0 n = زوج = 2,4,6, …

2 πn n = فرد = 1,5,9, …− 2 πn n = فرد = 3,7,11, …

= 24 f(t) sin 2nπ

4 t dt2

2= 1

2 k sin nπ2 t dt1

1

= k2 −2πn −πn

2 sin nπ2 t dt1

1

= − πn cos nπ2 t 1−1 = πn cos nπ

2 − cos nπ2 = 0

⇒ f(t) = k2 + 2kπ cosπ2 t − 1

3 cos 3π2 t + 1

5 cos 5π2 t + ⋯

……………………………………………………….

):(half-wave rectifier یکسو کننده ي نیم موج

نیم موج عبور می کند و قسمت از یک یکسوکننده E sinwt یک ولتاژ سینوسی به شکل سوال) سري فوریه تابع تناوبی یکسو شده را پیدا کنید؟ منفی ولتاژ مزبور حذف می شود .

= 2 ( )= 0 − 2 < < 0 sin 0 < <

2 0 = 2 ( ) 2 2



٢٨

0 = 2 ( ) 2 2 = 2

2 ( ) 0

2 + ( )dt 2

0

= π 00

2 2

dt E sin wt dt2 2

0

0 = wEπ(−w) −w sin wt dt 0

= −wπ (cos wt)| 0 = −wπ (−1 − 1) = 2Eπ

= 2 f(t) cos 2nπT t dt 2 2 = 2

2 E sin wt . cos 2nπT t dt 0

⎯ چون = 2 → = 2

→پس = sin wt . cos(wnt)dt 0

sin cos داریم b = 12[sin(a − b) +sin(a + b)]

→پس = π 12 (sin(w − wn)t +sin(w + wn)t)dt

2

0

= 2π 1 (1 ) − (1 − ) sin (1 − )

0+ 1 (1 ) − (1 + ) sin (1 + ) 0

= wE

2π 1 (1 )(cos (1 − ))t dt 0 − 1 (1 )(cos (1 + ))t dt 0 ⇒ = 2π 1 (1 )(cos(1 − n)π− 1) − 1(1 )(cos(1 + n)π− 1)

= − 2π cos(1 − n)π − 1

1 − n + cos(1 + n)π− 11 + n ?



٢٩

=? = 1,3,5,7, … = 0 = 2,4,6,8, … = − 2 ( − 1)( + 1)

حال طبق روش قبل داریم:

1 = E2 , b = = براي 0 2,3, …

( ) پس در کل = + 2 sin − 2 1

1×3 cos 2wt + 13×5 cos 4 + ⋯

توابع زوج و فرد:

در نظر می گیریم حال: را ( ) تابع تعریف)

1) ∀ ⎯⎯⎯⎯⎯ − یعنی دامنه متقارن باشد

2)∀ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (− ) = ( ) ( −) تابع زوج است = − ( ) تابع فرد است ها متقارن است پس می توان گفت:y) اگر تابع زوج باشد نسبت به محور خاصیت

= ( ) = 2 ( )

0

متقارن است پس می توان گفت: اگر تابع فرد باشد نسبت به محور مبدانکته)

= ( ) = 0



٣٠

آیا تابعی وجود دارد که هم زوج باشد و هم فرد؟ سوال:

(1−) هم زوج و هم فرد باشد باید هر دو شرط همزمان برقرار باشد لذا داریم:تابعی اگر قرار باشد حل) × (− ) = ( −) زوج ( ) = ( −) − فرد ( ) − = ( ) (− ) = − ( ) 0= 2 ( ) ( ) = 0

است. تابعی که هم زوج است و هم فردتنها

……………………………………………………….

کدام تابع زیر هم زوج است و هم فرد؟ مثال کنکوري)

( ) (الف = sin +log ( ) (ب = 2x − 1 + x − 1x + ( ) (ج 1 = [ ] + ( ) (ج (د [ −] = + log( 2 + 1)

شود:جواب مورد نظر گزینه ج می باشد که به صورت زیر حل می حل)

[ ] + [−x] = 0 ⎯⎯ x ∈ z−1 ⎯⎯ x ∉ z ⇒ [ ] + [−x]≥ 0 [ ] + [−x] > [ ]غیر قابل قبول 0 + [−x] = 0 → ( ) = √0 = 0

……………………………………………………….

) تابع زیر فرد است یا زوج؟مثال

( ) = 21 + + 1 + x

1 − x (شرط اول − 1 ≠ 0 → ≠ 1x + 1 ≠ 0 → ≠ −1 ⎯⎯⎯⎯⎯ D = R − {±1}



٣١

تابع فوق تقارن دارد

( ) (شرط دوم = x + 1 − x + 11 + x + 1 + x

1 − x = + 1x + 1 − x − 1x + 1 + x + 1x − 1 = 1 + 1 − x1 + x + 1 + x

1 − x در نتیجه

(− ) = 1 + 1 − (−x)1 + (−x) + 1 + (−x)

1 − (−x) = 1 + 1 + x1 − x + 1 − x

1 + x = ( )

پس تابع داده شده زوج می باشد.

……………………………………………………….

( −)sin نکته) = − sin فردcos(−θ) = cosθ زوج که یکی زوج و دیگري فرد باشد. در یکدیگر ضرب شوند تابع حاصلضرب ( ) و ( )ℎ)اگر دو تابع نکته

آن ها فرد خواهد بود.

f(t)زوج باشد پس ( ) )اگر نکته sin 2 t فرد است بنابراین = می شود. 0

f(t)فرد باشد پس ( ) و اگر cos 2 t فرد است بنابراین = می شود. 0

سري فوریه توابع زوج و فرد:

یک سري کسیینوسی فوریه خواهد شد. Tسري فوریه یک تابع زوج با تناوب

( ) (تابع زوج = 0 + cos 2 1

0 و = 2 ( ) 2

0

= 4 ( ) cos 2 2

0= و 0 n = 1,2,3, …



٣٢

( ) (تابع فرد = sin 2 1

= و 4 ( ) sin 2 2

00 و = = 0

……………………………………………………….

( ) اگر مثال موج مربعی که قبلا بررسی شده و به فرم مثال) = − ℎ − < < 0 ℎ 0 < < برگردیم ملاحضه خواهد شد که حاصل سري فوریه آن به صورت زیر خواهد بود

( ) = 4 π sin x + 13 sin 3x + 1

5 sin 5 + ⋯

( ) حال اگر این تابع را با عبارت = جمع کنیم داریم:

( ) = ( ) + ( ) = + 4 π sin x + 13 sin 3x + 1

5 sin 5 + ⋯

که شکل آن به صورت زیر خواهد بود:

( ) این مثال نشان می دهد که سري فوریه تابع = ( ) + عبارت است از سري فوریه تابع ( ) . ( ) به علاوه سري فوریه تابع ( )

که از حاصل جمع سري فوریه دو تابع بدست آمده است پالس مستطیلی می گویند. ( ) به شکل

……………………………………………………….

):saw-toothed waveموج دندان اره اي (

سري فوریه تابع زیر را حساب کنید؟



٣٣

( ) توان موج دندان اره اي را به صورت زیر نوشت. می = + , − < < , = 2 حال اگر آن را به صورت زیر بنویسیم

( ) = 1( ) + 2( ) ⎯⎯⎯ 1( ) = π 2( ) = x

0 هم ضرایب صفر می شود به جزء ( )1 تابع = π 1 پس( ) = π

0 فرد است ( )2 اما تابع = = 0

= 4 ( ) sin 2 2

0

= 42 sin(nt)

02π به روش جزء به جزء cos nt + 1 2 sin nt 0

= 2π cos nπ + 1 2 sin nπ − (0 + 0) ⇒ n = 1 → 1 = 2 [ ( 1) 0] 2n = 2 → 2 = 2 2 ( 1) 14(0) 1

3 و = 23 4 = 12

( ) بنابراین: = 1( ) + 2( ) = π + 2 sin − 12 sin 2x + 1

3 sin 3x − ⋯

……………………………………………………….

= صورت حقیقی سري فوریه تابع تمرین) ( ) و 2 = t2 را بیابید و سپس سري عددي زیر را حساب کنید؟

1 − 122 + 1

32 − 142 + ⋯

= تابع زوج است پس حل)چون می باشد. 0



٣٤

= 2 = 4 ( ) cos 2 = 2

0

42 2 cos( )

0= 2π 2 cos( ) 0

∗ ⎣⎢⎢⎢⎢⎡ 2

2 20

cos nt1 sin nt− 1 2 cos nt− 1 3 sin nt⎦⎥⎥⎥

⎥⎤ ∗→ = 2π 2 sin nt + 2 2 cos nt − 2 3 sin nt 0 ⇒

⇒ = 2π 2 sin nπ + 2 2 cos nπ − 2 3 sin nπ − 0 + 2(0) 2 (1) − 0 ⇒

⇒ = 2πn sin nπ + 4n2 cos nπ− 4πn3 sin nπ ⇒ n =? n = 2n 4 → زوج = → فرد − 4 2

0 = 2T f(t)dt 2

0= 2

2π t2dt 0

= 1π t3

3 π0 = 1π π3

3 − 03 = π2

3

( ) پس∗ = 0 + cos 2nπtT 1

⇒ 2 = ( ) = 2

3 + − 4(1)2 cos + 4(2)2 cos2 − 4(3)2 cos3 + ⋯ = 0 → (0)2= 2

3 − 4(1)2 + 4(2)2 − 4(3)2 + 4(4)2 ⇒ 4 1 − 1(2)2 + 1(3)2 − 1(4)2 + ⋯ = π2

3

1 − 122 + 1

32 − 142 + ⋯ = π2

12

……………………………………………………….



٣٥

)half-range expansions: ( بازهبسط نیم

در بعضی از مسائل فیزیکی و مهندسی لازم است که به لحاظ فنی توابعی داشته باشیم که فقط روي یک = )بازه محدود تعریف شده اند 2 )

0روي بازه ( ) به عنوان مثال فرض کنید تابع ≤ t < را با ( ) تعریف شده باشد و ما می خواهیم 0یک بسط فوریه نمایش دهیم براي این کار فرض می کنیم که بازه ي ≤ t < متناظر با بازه انتگرال

0گیري ≤ t < باشد. به عبارت دیگر 2

T=2L به این ترتیب با اختیار کردن T=2Lیا در واقع 2≥ −مشاهده می شود که ما تابع را به قسمت t < بعد ا 0 ز این موضوع میتوانیم نیز گسترش داده ایم

بور را با تناوب بالا به شکل بسط فوریه کسینوسی یا بسط فوریه سینوسی نشان دهیم.زتابع م

0را معرفی می کند . این تابع در محدوده ي ( ) به عنوان مثال شکل زیر تابع ≤ t < تعریف شده

≥ −است براي نمایش این تابع به شکل بسط فوریه کسینوسی لازم است تابع به شکل زیر در محدوده t < گسترش یابد.0

ویا اینکه اگر بخواهیم نمایش تابع را به شکل بسط فوریه سینوسی داشته باشیم به شکل زیر داریم:

کنیم. بعداز انتخاب چگونگی نمایش بسط فوریه از روابط زیر براي محاسبه ضرایب استفاده می



٣٦

بسط کسینوسی:

( ) = 0 + cos 1

= 2

0 = 1L ( )dt 0

, = 2L ( ) cos dt 0

, = 0 , = 1,2,3, … سینوسی:بسط

( ) = sin 1

= 2L ( ) sin dt 0

, = 0 = 0 , = 1,2,3, …

……………………………………………………….

:مثال(پالس مثلثی)

بسط نیم بازه تابع زیر موسوم به پالس مثلثی را پیدا کنید؟

داریم: حل)

( ) چون : = 2kL t 0 < < 2−2K tL − 1 2 < <

1) 0 < < 2

, (0,0) با توجه به معادله خط 2, k شیب خط ⎯⎯ = 2− 1 2− 1= − 0

2 − 0 = 2kL



٣٧

− ⎯⎯⎯ معادله خط 1 = ( − 1) → y − 0 = 2kL (x − 0) → y = 2kL x → y = 2 t

2) 2 < < ,2 با توجه به معادله خط , (L, 0) = ⎯⎯ شیب خط 0 − L − 2

= −k 2

= − 2kL − ⎯⎯⎯ معادله خط 1 = ( − 1) → y − 0 = − 2kL (x − L) → y = −2K 1

⇒ Y = −2k 1 → y = 2k 1 −

سط کسینوسی)ب

0 = 1L ( )dt = 1L 2 t dt 2

0+ 2 (L − t)dt

2

0 = 1L 2kL 2

2 20 + 2kL Lt − 2

2 L 2 ⇒

⇒ 0 = 1L . 2kL 2

8 0 + L2 − 2

2 − 2

2 − 2

8 = 2 2 2

8 2

2 3 2

8 0 = 2k 1

8 12 3

8 0 = k2

جزئیات صرفه نظر می شود . از این مرحله به بعد به دلیل سادگی از ذکر

= 2L 2 20

cos + 2 ( − ) cos 2

= 4 n2π2 2 cos

2 − cos nπ− 1

که :

2 = −16 22π2 , 6 = −16

62π2 , 2 = −16 102π2

در حالت کسینوسی به صورت زیر خواهد بود: ( ) ن بسط نیم بازه تابع بنابرای

( ) = 2 − 16kπ2 1

22 cos 2 + 262 cos 6 t + ⋯



٣٨

به همین ترتیب نیز بسط سینوسی تابع به صورت زیر خواهد بود:

( ) = 8kπ2 112 sin t − 1

32 sin 3 t + 152 sin 5 t − ⋯

نکته:

))کنید.مرور را 1ضمیمه اکنون وقت آن است که ((

انتگرال فوریه:

تناوبی می باشند ولی در بسیاري از ، سري فوریه ابزاري قوي براي بررسی مسائلی است که در آنها توابعغیر تناوبی را توابع تناوبی نیستند و لذا باید روش سري فوریه را براي اینکه توابع مسائل علمی و کاربردي

میم داد.عنیز شامل شود ت

را به سمت بینهایت میل دهیم حاصل Tباشد و سپس Tتابعی با تناوب (x) می توان گفت که اگر خواهد شد که دیگر تناوبی نیست این موضوع را با مثال هاي زیر نشان می دهیم. ( ) تابعی مانند

تابع زیر را در نظر بگیرید:مثال)

(x) = 0 ℎ − 2 < < −1

1 ℎ − 1 < < 10 ℎ 1 < <

2



٣٩

:∞ ⎯⎯ اگر

( ) = lim ⎯⎯ (x) = 1 1 < < 1 بقیه جا ها 0

شروع می Tبا تناوب (x) حال براي ادامه بحث و معرفی انتگرال هاي فوریه از یک تابع تناوبی به نام

کنیم

که به شکل زیر می باشد :

(x) = a0 + a cos 2nπT x + b sin 2nπT x 1

= 2که با تغییر متغیر w :و بعد از اثبات داریم

(ضرائب اولر)

(w) = f(ν) cos , (w) = f(ν)

sin

و

(x) = 1 ( (w) cos + (w) sin )dw 0



٤٠

نکته:

در دامنه تعریفش مطلقا انتگرال پذیر باشد (x) شرط لازم براي وجود انتگرال فوریه این است که تابع یعنی:

| (x)| <

یک عدد مشخص و معلوم می باشد. که در آن

……………………………………………………….

مثال)

(x) = sin > 0 x <

این مثال انتگرال فوریه ندارد زیرا:

|sin | = نا معلوم است

……………………………………………………….

انتگرال فوریه تابع زیر را بدست آورید؟مثال)

(x) = − 1 0 < < 1سایر حالات 0

مطلقا انتکرال پذیر کاري نداریم) هستند پس با(توابع خطی حل)

تابع نه زوج است و نه فرد

(w) = f(ν) cos = 0 + (ν− 1)1

0 cos + 0

حل انتگرال به روش جزء به جزء (توسط دانشجو)

(w) = 0 + 1 2 cos − 0 + 1 2 = 1 2 (cos − 1)



٤١

(w) = ( ) sin 0

+ ( ) sin 1

0 ( ) sin

1

= 0 + (ν− 1)sin 1

0+ 0 = sin w − ww2

پس:

( ) = 1 cos w − 1w2 cos wx + sin w − ww2 sin wx 0

……………………………………………………….

( ) انتگرال فوریه عبارت زیر را بدست آورید:مثال) = | | حل)

نکته:

1) = 2) (− ) = | | = ( ) ( ) پس تابع زوج است ⎯⎯⎯⎯⎯ = زوج × فرد = فرد = 0

پس:

( ) = | | cos dv ∗ ( ) = 2 1

1 + 2 = 21 + 2

∗ → 0

cos dx = L{cos wx} = ss2 + w2 = 11 + 2

( ) = 2π cos wv4w2

0

داشتیم ∶ cos = [cos ] = 2 + 2 0

= = 1 = 11 + 2

……………………………………………………….



٤٢

تمرین:

( ) = 0 x < −1−1 − 1 < < 0 1 0 < < 10 x < 1

……………………………………………………….

انتگرال فوریه سینوسی و کسینوسی:

,0) تابعی باشد که در بازه ( ) اگر تعریف شده باشد و در این بازه پیوسته تکه اي و مطلقا انتگرال (∞+رت زوج یا فرد می توان بسط انتگرال فوریه کسینوسی و سینوسی آن را به صو fپذیر باشد آنگاه با گسترش

به شکل زیر نوشت:

کسینوسی)

(w) = 2 f(x) 0

cos , (w) = 0 , (x)= ( (w) cos )dx

0

سینوسی)

(w) = 0 , (w) = 2 f(x) 0

sin wx , (x) = ( (w) sin wx )dx

0

……………………………………………………….

(x) را بنویسید؟ (x) تابع زیر مفروض است بسط انتگرال فوریه کسینوسی و انتگرال فوریه سینوسی مثال) = , x > 0

بسط کسینوسی)حل)



٤٣

(w) = 0 , (w) = 2 0

cos ∗ (w) = 2 11 + 2 = 2 (1 + 2)

∗ ⇒ 0

cos = 2 + 2 = 1 = 11 + 2

(x) (پس = 2 (1 + 2) 0

cos ⇒ (x) = 2 cos 1 + 2

0

بسط سینوسی)

(w) = 0 , (w) = 2 0

sin ∗ (w) = 2 1 + 2 = 2 (1 + 2)

∗ ⇒ 0

sin = 2 + 2 = 1 = 1 + 2

(x) (پس = 2 (1 + 2) 0

sin ⇒ (x) = 2 wsin 1 + 2

0

……………………………………………………….

یک قضیه از لاپلاس:

{ ( )} = ( ) ℎ ( ) = ( )

……………………………………………………….

مثال)

sin 0

= ؟

∫انتگرال یک انتگرال نامعین حل نشدنی است لذا نمی توان انتگرال معین آن را بدست آورد.

پس به کمک لاپلاس و قضیه فوق داریم:



٤٤

{sin } = 1s2 + 1 = f(s) → sin = 1u2 + 1 = arc tan u| +∞s ⇒

⇒= arc tan(+∞) − arc tan(s) = 2 − arc tan(s) ∗

( ) = e . sin ∗∗ 0

(پس ∗=∗∗ ( ) = sin . e (لذا sin 0=

2 − arc tan(s)

≤ که داریم = لذا براي 0 داریم : 0

sin 0

= 2

……………………………………………………….

تمرین:

∫ )در معادله انتگرالی 1 f(w)cos 0 = 1 − X 0 ≤ ≤ 1

0 X > را بدست f(w)تابع 1 آورید؟

( ) )انتگرال فوریه تابع 2 = | | < 0 | | > را حساب کنید؟

……………………………………………………….

انتگرال سینوسی:-تک پالس مثال)

( ) نمایش انتگرال فوریه تابع = 1 | | < 10 | | > را بدست آورید؟ 1



٤٥

حل)

( ) = 0 > 11 − 1 < < 10 < −1

( )Bتبع زوج است = پس: 0

( ) = ( ) cos = cos wv dv 1

1= wvw 1−1

⇒ ( )= 2 sin w

( ) و از طرفی = ∫ sin wv dv = ∗و 1 1 0 ( ) = 2 ∫ 0

ک تعریف شده است شامل نقاط یک و منفی ی ( ) با کمی دقت متوجه می شویم که بازه اي که در آن بور پیوسته نیست .نیست به عبارتی تابع در نقاط مز

منفصل است مقدار تابع در آن نقاط عبارت است از ( ) گوید در نقاطی که قضیه اي وجود دارد که می متوسط حد چپ و راست آن تابع در آن نقطه:

= تابع پیوسته است + حد در 1 ⎯⎯⎯ در 1 حد در 1 2 = 0 + 1

2 = 12

پس با در نظر گرفتن( * )داریم:

cos sin 0

= π2 f(x) = ⎩⎪⎨

⎪⎧π2 (1) = π2 when 0 ≤ x < 1π

2 12 = π

4 when x = 1π2 (0) = 0 when x > 1

ت می نامند.لانتگرال بالا را عامل غیر پیوسته دریچ

= حال به بررسی نقطه که اهمیت ویژه اي دارد می پردازیم. 0

دریچلت 0 ⎯⎯⎯⎯⎯ sin = 2

0



٤٦

ایسه کنید؟حال نتیجه را با تمرین چند صفحه قبل که با لاپلاس حل شد مقنکته:

……………………………………………………….

تمرین:

= صورت حقیقی سري فوریه تابع ( ) و 2 = و سپس سري عددي را بیابید 2

1 − 122 + 1

32 − 1 را حساب کنید؟42

= حل) تابع زوج است پس 0

= 22 2 = 1 2 =

2 2 1 3

3 = 2

3

= 42 2

.

انتگرال به روش جزءبه جزء:

= 2π 0 + 2 2 cos − (0 + 0 − 0) = 4 2 cos → 2 4 زوج (1) = 4 2

2 4 فرد (−1) = −4 2

( ) = 2 = 2

3+ 4(1)2 (−1) cos + 4(2)2 (1) cos2 + 4(3)2 (−1) cos 3 + ⋯ سري فوریه آماده است لذا داریم:

= 0 ⎯⎯⎯ (0)2 = 2

3 + −4(1)2 (1) + 4(2)2 (1) + 4(3)2 (−1) + ⋯ = 2

3 − 4 1(1)2 − 1(2)2 + 1(3)2 − ⋯ = 2

12

……………………………………………………….



٤٧

( ) انتگرال فوریه تابع مثال) = | | < 0 | | > را محاسبه کنید؟

حل)

( ) = 0 > − < < 0 < −

= پس در = و نامعلوم است. −

( ) = 1 ( ) . cos = 1 . cos =

sin − − 1 →

→= sin + 1 2 cos −π =

= → = , cos = , v = 1 sin wx ( ) = 1π x. sin wx dx

= − cos wx + 1 cos wx dx = cos wx + 1 2 sin wx π−π ⇒

⇒= − cos − 1 2 sin − ( ) cos (− ) + 1 2 sin (− )

→ ( ) = 1 2 cos + 2 2 sin

( ) = 1 −2 cos + 2 2 sin sin 0

……………………………………………………….



٤٨

فصل سوم مختلطتوابع

و دیگر نظریه توابع با متغییر مختلط یکی از معتبر ترین شاخه هاي ریاضی است که ریاضیدانان فیزیکدانان دانشمندان از آن ها استفاده می کنند.

ابداع کردند. 2و 3در پی جواب عمومی معادله درجه 16اعداد مختلط را ریاضیدانان در قرن

2 با نماد 1777لئونارد اولر در سال = را یکه ي موهومی می نامند و iآغازگر این اعداد بود نماد 1−2 جواب معادله + 1 = 0 → = شود.می ±

مجموعه اعداد مختلط:

= که یا ⊅این مجموعه را با نماد | = + , , ∈ , = √−1

= دستگاه مختلط به صورت زیر می باشد: + به یک عدد مختلط تبدیل کرد. پس در واقع تمام 0iاضافه کردن یک با هر عدد حقیقی را می توان نکته:

ها قرار می گیرند.xاعداد حقیقی روي محور

……………………………………………………….

مختلط:برابري اعداد

با هم برابرند اگر: 1 و 2 دو عدد

z1 = a1 + b1iz2 = a2 + b2i ⎯⎯⎯ a1 = a2b1 = b2

x

z

y

a

b



٤٩

z1 اعمال بر روي اعداد مختلط: = a + bi & z1 = + di 1)z1+z2 = (a + c) + ( + ) 2)z1−z2 = (a − c) + ( − )

3)z1 × z2 = (a + bi)(c + di) = + + − = ( − ) + ( + )

4) z1 z2= a + bic + di × c − dic − di = ac − iad + ibc + bdc2 − (id)2 = ( + )c2 + d2 + i ( − )c2 + d2

مزدوج یک عدد مختلط:

= اگر + باشد مزدوج آن به صورت = − می باشد که روابط زیر صادق است:

1) 1 + 2 = 1 + 2 2) 1. 2 = 1 . 2

3) + = 2 ( ) & + = 2 ( ) 4) 1 2 = 1 2

قدر مطلق عدد مختلط:

= اگر + باشد داریم:

| | = a2 + b2 ⎯⎯⎯⎯ | |2 = a2 + b2 2| | ⎯⎯ خاصیت = . خواص قدر مطلق:

1)| 1| ≥ |1 | و 0 = 0 (=) 1 = 0 2)| 1 | = | 1| 3)| 1. 2| = | 1|. | 2| 4)| 1 + 2| ≤ | 1| + | 2|

……………………………………………………….

اعداد مختلط:یا مثلثاتی نمایش قطبی

= یک نقطه از صفحه مختلط نظیر عدد مختلط pاگر + باشد آنگاه:



٥٠

cos = ⇒ = cos sin = ⇒ = sin

= در صورتی که 2 + 2 = همان قدر مطلق | |= ها می باشد xزاویه اي با محور θعدد مختلط است و + = (cos + sin )

= از قطبی به دکارتی: cos , = sin ⎯⎯ 2 = 2 cos2 , 2 = 2 sin2 2 از دکارتی به قطبی: + 2 = 2(cos2 + sin2 ) 2 = 2 + 2 = r sinθr cosθ tan = = tan

= نکته: + = (cos + sin ) = re = r cisθ e = (cos + sin ) cisθ = (cos + sin )

……………………………………………………….

= اگر مثال: 2 + = صورت قطبی آن را بنویسید؟ 3√2 2 , = 2√3 ⎯⎯⎯ 2 = 2 + 2 ⎯⎯⎯ 2 = 4 + 12 ⎯⎯⎯ r = 4

θ = tan ⎯⎯ = tan 2√32 ⎯⎯⎯ =

3

= 4 cos 3 + sin 3 z = 4e 3

……………………………………………………….

x

y

r

P,z



٥١

ام یک عدد مختلط:nریشه هاي

zاگر = re عدد حقیقی باشد ریشه هايn 0 ام آن را با اعدادي مثل, w1, … , w 1 نمایش و به= صورت pe :می باشد که

= √ = + 2 , = 0,1,2,3,4, … − 1

ریشه دارد. nام دقیقا nبنابراین ریشه

……………………………………………………….

مثال:

= ریشه چهارم عدد را پیدا کنید؟ 16−

= حل) −16 = −16 + 0 = −16 , = 0 2 = 2 + 2= (−16)2 + (0)2 r = 16 , θ = tan = tan 0−16 = 0

= pe = √ . e 2 4 ⎯⎯ = √164 . e 0 2 4

= 2 2 ⎩⎪⎨⎪⎧ w0 = 2w1 = 2 2 w2 = 2 3

2 w3 = 2 (2 )

……………………………………………………….

+ cos) قانون دموآور: sin ) = cos n + sin

……………………………………………………….



٥٢

cos(3 ) اثبات کنید:)1تمرین = cos3 − 3 cosθ . sin2 θ , sin (3θ)= 3 cos2 θ . sinθ − sin3 θ

= اگر )2تمرین −1 + را حساب کنید؟ 20 باشد مطلوب است 3√

= اگر )3تمرین 1 √3 1 √3 + 4

1371 باشد مطلوب است: 3√ 1 =?

)3حل

= 1 − √3 2 + 4 1 + √3 1 + √3 1 − √3 = 1 − 2√3 − 3 + 4 + 4√3i1 + 3 = 2 + 2√3i

4= 12 + √3

2 i = 1

2 , = √32 ⎩⎪⎨

⎪⎧ = 12 2 + √3

2 2 = 14 + 3

4 = 1

= tan √3212 = tan √3 =

3

= 12 + √3

2 = 1 cos 3 + i sin

=1371 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ طبق قانون دمو آور 3 cos 1371 3 + sin 1371

3 1371 = cos(457 ) + sin(457 ) = −1 + i(0) = −1

……………………………………………………….

توابع مختلط:

را نسبت دهیم آنگاه wیک یا چند مقدار دیگر از متغییر مختلط مانند sدر zاگر براي هر متغییر تعریف): مجموع جفت هاي مرتب {( , ): ∈ = نامیده و با sرا یک تابع مختلط روي { نمایش ( )

می دهند .

را متغیر تابع می نامند. wرا متغیر مستقل و zمتغیر



٥٣

دامنه تابع:

= را برد تابع ( ) را دامنه تعریف تابع و zتمام مقادیر مختلط همجموع می نامند. ( )

( )1 بعنوان مثال : دامنه تعریف توابع = 4 − 2 + ( )2 و 1 = ( )3 و | | = عبارت 5 2 11 است از = 2 = 2 داریم : ( )3 اما براي تابع + 5 ≠ 0 2 ≠ −5 x ≠ ±√5i 3 = − ±√5 = را می توان به صورت جزء حقیقی و موهومی نوشت: ( ) هر تابع + = + ; = ( , ) ; = ( , ) ( ) = ( + ) = ( , ) + ( , )

……………………………………………………….

= اگر مثال) ( ) = = باشد آنگاه: 2 ( ) = ( + )2 = 2 + 2 − 2 = ( 2 − 2) + (2 )

( , ) که در آن: = 2 − ( , ) و 2 = 2 ……………………………………………………….

حد توابع مختلط :

= تابع lim → 0است یعنی 0 داراي حد 0 در نقطه ( ) ( ) = ε∀ هرگاه: 0 > 0 ∃ δ > 0 ∶ |z − 0| < ⎯⎯ | ( ) − 0| <

داراي حدي برابر مقدار تابع در این نقطه باشد 0 پیوسته است هرگاه این تابع در 0 در نقطه ( ) تابع

lim → 0 یعنی: ( ) = ( 0)



٥٤

( ) نشان دهید که تابع مثال) = = در نقطه حد ندارد؟ 0

⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎯⎯ مسیر اول = 0 lim ⎯ 0

( ) = lim ⎯ 0 x − iyx + iy = lim ⎯ 0

xx = 1y ⎯⎯ مسیر دوم = 0 lim ⎯ 0

( ) = lim ⎯ 0 x − iyx + iy = lim ⎯ 0

−iyiy = −1

1 ≠ −1

= در نقطه ( ) لذا تابع حد ندارد. 0

……………………………………………………….

مختلط:مشتق توابع

به صورت زیر تعریف می گردد. ( ) تعریف شده باشد آنگاه مشتق sدر ناحیه اي مانند ( ) اگر تابع

( ) = lim∆ 0 ( + ∆ ) − ( )∆

= همچنین مشتق تابع در نقطه به صورت زیر تعریف می شود: 0

( ) = lim 0

( ) − ( 0) − 0

……………………………………………………….

( ) )اگر مثال = را بیابید؟ ( ) باشد آنگاه

( ) = lim∆ 0 ( + ∆ ) − ( ) ( ) = lim∆ 0

∆ − ∆ = lim∆ 0 . ∆ − ∆ = lim∆ 0

( ∆ − 1)∆

= lim∆ 0

( ∆ − = ( ) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ با توجه به بسط مک لوران ∆(1 lim∆ 0

1 + ∆ 1! ∆ 2

2! ⋯ − 1 ∆

lim∆ 0

∆ 11! ∆ 2! ⋯ ∆ = 1

1! + 02! + 0

3! + ⋯ =

……………………………………………………….



٥٥

( ) )نشان دهید که تابع مثال = در هیچ نقطه اي مشتق پذیر نیست؟

( ) ( ) − ( 0) − 0= − 0 z − 0

= ( − ) − (x0 − iy0)(x + iy) − (x0 + iy0)

⎩⎪⎨x ⎯⎯ مسیر اول⎧⎪ = x0

→ lim 0

( − x0) − i(y − y0)(x − x0) + i(y − y0)= −1y ⎯⎯ مسیر دوم = y0

→ lim 0

( − x0) − i(y − y0)(x − x0) − i(y − y0)= +1

−1 ≠ 1

مشتق پذیر نیست. zپس در هیچ نقطه اي تابع

……………………………………………………….

تمرین)

( ) مشتق تابع = را بدست آورید؟

……………………………………………………….

قضایاي مشتق:

توابع مشتق پذیر باشند آنگاه: ( ) و ( ) اگر تابع

1) ( ) ± ( ) = ′( ) ± ′( )

2)[ ( ). ( )] = ( ). ( ) + ( ). ′( )

3) ( ) ( ) = ( ). ( ) − ( ). ′( ) ( )2

4)[ ( )] = ( ) = ( ). ′ ( )

……………………………………………………….

مثال)

( ) اگر = sin(3 2 + 4 − بدست آورید؟ ( ) مطلوب است (1

( ) حل)فرض کنیم = sin( ) :پس



٥٦

( ) = . cos پس ⎯ ( ) = (6 + 4). cos(3 2 + 4 − 1)

……………………………………………………….

تعریف تابع تحلیلی:

مشتق پذیر sاز صفحه اعداد مختلط تحلیلی نامیده می شود اگر در تمام نقاط sروي ناحیه ( ) تابع باشد.

( ) آیا تابع مثال) = |z|2 تحلیلی است؟

مشتق پذیر باشد پس تحلیلی است در غیر این صورت تحلیلی نمی باشد. ( ) حل ) اگر تابع

( ) = lim∆ 0 ( + ∆ ) − ( )∆ = lim∆ 0

| + ∆ |2 − | |2∆ | |2 = . داریم ⎯⎯

= lim∆ 0

( + ∆ ). ( + ∆ ) − . ∆ = lim∆ 0 . + .∆ + + ∆ + ∆ .∆ − . ∆ ⇒

⇒= lim∆ 0 ∆ ∆ . + + ∆

lim∆ 0 ⎯ داریم ∆ ∆ = lim∆ 0

∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆ = 0 ⎯ −1∆ = 0 ⎯ +1 ⇒ −1 ≠ 1

چون براي یک قسمت از حد دو مقدار متفاوت بدست آمده پس براي خود حد نیز دو مقدار متفاوت بدست می آید لذا تابع فوق حد ندارد بنابراین مشتق پذیر نیز نمی باشد.

مشتق پذیر نبود لذا تحلیلی نیز نمی باشد. (0,0)در نقطه ( ) پس نتیجه می گیریم که تابع

……………………………………………………….



٥٧

عادلات کوشی ریمان:م

( ) :فرض کنید تابع قضیه = ( , ) + 0 در نقطه ( , ) = x0 + iy0 ، مشتق پذیر باشدx∂ ∂ در روابط زیر صدق می کنند. vو uدر این صورت توابع = ∂v∂y u∂y∂ و = −∂v∂x

موسوم هستند. این روابط به روابط کوشی ریمان

……………………………………………………….

معادلات کوشی ریمان در شکل قطبی:

= اگر + را به شکل قطبی در نظر بگیریم:

= cos , = sin و = 2 + 2 , = tan

u∂r∂ پس: = 1r ∂v∂θ , ∂v∂r = − 1r ∂u∂θ

( ) شرط لازم براي اینکه تابع نکته) = + مشتق پذیر باشد آن است که شرایط کوشی ریمان برقرار باشد.

کمک قضیه ه توجه شود که برقراري روابط کوشی ریمان براي مشتق پذیري تابع کافی نیست و شرط کافی ب زیر است.

……………………………………………………….

( ) در yو xنسبت به vو uمشتقات جزئی توابع اگرقضیه: = ( , ) + در نقطه ( , ) ( 0, y0) موجود است.(تحلیلی (0 )′ موجود و پیوسته باشد و در روابط کوشی ریمان صدق کند ، آنگاه است)



٥٨

ت موجود نیست اما معادلا (0)′ را به صورت زیر در نظر بگیرید و نشان دهید که ( ) تابع مثال) کوشی ریمان در نقطه صفر برقرار است؟

( ) = ( )2 ≠ 0 0 z = 0

فضاي سه بعدي است. zدر این مثال منظور از

حل)

( ) = ( )2 = ( − )2 + × ( − )( − ) = ( − )3 2 + 2= 3 − 3( )2( ) + 3( )( )2 − ( )3 2 + 2 ⇒

( ) = 3 − 3 2 2 + 2 ( , ) + i 3 − 3 2 2 + 2 ( , )

u∂x∂ بررسی شرایط کوشی ریمان: 0 ⎯⎯ ∂u∂x (0,0) = lim 0 ( , 0) − (0,0) − 0 = lim 0

0 − 0 − 0 = 0

∂v∂y 0 ⎯⎯ ∂v∂y (0,0) = lim 0 (0, ) − (0,0) − 0 = lim 0

0 − 0 − 0 = 0

⇒ ∂u∂x (0,0) = ∂v∂y (0,0)

x∂ ∂ در ادامه 0 ⎯⎯ ∂v∂x (0,0) = lim 0 ( , 0) − (0,0) − 0 = lim 0

0 − 0 − 0 = 0

∂ ∂y 0 ⎯⎯ ∂u∂y (0,0) = lim 0 (0, ) − (0,0) − 0 = lim 0

0 − 0 − 0 = 0



٥٩

⇒ ∂v∂x (0,0) = −∂u∂y (0,0)

شرایط کوشی ریمان در این تابع صدق می کند پس داریم:

(0) = lim 0 ( ) − (0) − 0 = lim 0

2 0 1 0 = lim 0

2 = lim 0 − + 2 ⇒

⇒ ⎩⎨⎧ lim 0 0 مسیر اول

− 0 + 0 2= 1 − lim ⎯ مسیر دوم + 2= 1 − i

1 + i 2 1

≠ 1 − i1 + i مشتق پذیر نیست

دیدیم که شرایط کوشی ریمان برقرار بود اما مشتق پذیر نبود که علتش ناپیوستگی تابع بود.

……………………………………………………….

دانید. علت متوجه نشدن مسیرها این است که حد در فضاي سه بعدي را نمی نکته)

مسیرها دلخواه است ، فقط باید مسیر از نقطه مورد نظر عبور کند.نکته)

……………………………………………………….

( , ) نشان دهید که تابع )یاد آوري مثال = حد ندارد. (0,0)در نقطه 2 2 2

حل)

گام اول⎩⎪⎨⎪⎧ = 0 ⇒ lim 0

0 4 = م0ن0

= 0

= 0 ⇒ lim 0 0 2 = م0

ن0= 0

= گام دوم ⇒ lim 0 ( )2 2 + ( )4 = lim 0

2 3 2(1 + 4 2) = 2(0)1 + 4(0) = 0

1 + 0= 0



٦٠

گام اول = ⇒ گام دوم 0 = 0

= } ⎯⎯⎯⎯ روش دلخواه گام سوم 2 → lim 0 2. 2( 2)2 + 4 = lim 0

4

2 4 = 12

≠ گام سوم ⇒ گام اول و دوم 12 ≠ 0

پس حد موجود نیست.

……………………………………………………….

توابع هارمونیک یا همساز:

نسبت باشد به طوري که مشتقات جزئی مرتبه دوم آن Dبر روي y و xتابعی از دو متغیر حقیقی از hاگر 2h∂x2∂ می نامند. Dرا تابع هارمونیک یا همساز بر روي hپیوسته و در رابطه زیر صدق کند ، Dروي y و xبه + ∂2h∂y2 = 0

……………………………………………………….

قضیه:

( ) اگر تابع = + د نپیوسته باش yو xنسبت به vو uتحلیلی و مشتقات مرتبه دوم Dبر روي هارمونیک هستند. Dبر روي v و uآنگاه

مزدوج همساز:

بر روي u را مزدوج همساز vباشد آنگاه تابع هارمونیکی مانند Dهارمونیک بر روي تابعی حقیقی و uاگر D می نامند اگر تابع ( ) = + تحلیلی باشد. Dروي

……………………………………………………….

مثال مهم )

, ) اگر ) = 3 − باشد ، آنگاه : 2 3

همساز است. uالف) نشان دهید



٦١

را بدست آورید؟ uب) مزدوج همساز

u∂x∂ حل الف) = 0 − 6 ∂2u∂x2 = −6y و ∂u∂y = 3y2 − 3 2 ∂2u∂y2 = 6y

2u∂x2∂ شرط همساز بودن: + ∂2u∂y2 = 0 6y − 6y = 0

حل ب)

به عنوان همساز مزدوج آن یافت می شود که vپس یک همساز است uبا توجه به قضیه قبل چون ( ) = + تحلیلی باشد لذا قضیه کوشی ریمان صادق است.

⎩⎪⎨⎪⎧∂u∂x = ∂v∂y −6xy = ∂v∂y v ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ انتگرال بر حسب می گیریم = −3xy2 + φ(x)

u∂y∂از طرفی داریم = −∂v∂x ⎯ 3y2 − 3x2 = − −3y2 + φ′(x) → φ (x) = 3x2 ⇒ φ(x) = x3 + c v = −3xy2 + x3 + c

……………………………………………………….

باشد. uمزدوج همساز vباشد لزومی ندارد vمزدوج همساز uتذکر:اگر

( ) تذکر فوق را در مورد تابع مثال) = را بیان کنید؟ (توسط دانشجو) 2

نکته)

نباشد.موجود را باز می گویند اگر نقاط مرزي Dناحیه باز:ناحیه

می شود.ناحیه بسته: ناحیه ایی که نقاط مرزي را شامل



٦٢

0 دایره اي با مرکز که یک ناحیه باز می باشد 0 : همسایگی حول 0 همسایگی حول − | می باشد. εو شعاع 0| <

را هم بند می گویند اگر بتوان هر دو نقطه آن را توسط خطوطی شکسته به sمجموعه مجموعه هم بند: باشد. sهم متصل کرد به شرط اینکه کلیه خطوط متعلق به

D

هر ناحیه باز هم بند را حوزه می نامیم. حوزه:

مجموعه بسته هم بند را مجموعه فشرده می گویند. فشرده:

M را در صفحه مختلط کران دار می گویند هرگاه عدد حقیقی مثبت مانند sمجموعه مجموعه کران دار: قرار گیرد. Mیافت شود که تمام نقاط آن داخل دایره اي به شعاع

اگر نقاط ابتدا و انتهاي یک خم بر هم منطبق نباشند. مسیر باز:

اکر نقاط ابتدا و انتهاي یک خم بر هم منطبق باشند. مسیر بسته:

……………………………………………………….

مشتق توابع تحلیلی:

( ) اگر تابع = + برابر است با: ( ) تحلیلی باشد ، مشتق

( ) = +

= چون − پس داریم:

( ) = −

Z\



٦٣

و یا به همین شکل داریم:

( ) = +

( , ) یک تابع با قسمت حقیقی ( ) اگرمثال) = + cos اب سرا ح (1) باشد آنگاه کنید؟

( ) = − → ( ) = (1 + cos ) − i(0 − sin ) (1) x = 1y = 0= (1 + ′ cos 0) − (0 − 1 sin 0) = 1 +

……………………………………………………….

تمرین:

( ) )اگر 1 = ( , ) + ( , ) یک تابع تحلیلی ( , ) = 2 − را ( ) آنگاه 2 بدست آورید؟

2 2 تابعی تحلیلی با قسمت حقیقی ( ) )فرض کنید 2 cos(2xy) را (1) باشد مطلوب است بدست آورید؟

……………………………………………………….

( ) در مختصات قطبی داده شده باشد آنگاه: ( ) اگر تابع تحلیلی توجه: = ( , ) + ( , )

به صورت زیر داریم:

( ) = + ∂v∂r

= که با: − 1 ∂u∂θ



٦٤

داریم:

( ) = − 1 i ∂u∂θ

= و یا با: − 1 ∂v∂θ

داریم:

( ) = 1 ∂v∂θ + ∂v∂r

……………………………………………………….

( ) داده شده باشد و y و xبر حسب ( ) هرگاه تابع توجه: = ( , ) + تحلیلی باشد ( , ) اعمال شود. 0 و کافی است تبدیل هاي zمنحصرا بر حسب fبراي یافتن

( ) و همین طور اگر = ( , ) + کافی zمنحصرا بر حسب fتحلیلی باشد براي یافتن ( , ) اعمال شود. 0 و است تبدیل هاي

……………………………………………………….

( ) اگر تابع مثال) = 2 − 2 + بیابید؟ zرا بر حسب ( ) لی باشد تحلی 2

حل)

( ) 0

= 2 − 0 + 0 = 2

( ) )اگر تابع مثال = ( , ) + , ) تحلیلی باشد و ( , ) ) = 4 cos را ( ) باشد 4 بیابید؟ zبر حسب

( ) u ( )′ ⎯ 0 ( )′ ⎯⎯⎯ انتگرال مراحل حل ⇐ حل)



٦٥

( ) تحلیلی ( )′ تحلیلی ⎯ پس

( ) = − 1 i∂u∂θ = (4 3 cos 4 ) − 1 (−4 3 sin 4 )

( ) = = 0= 4 3 cos 4 − 1 0 = 4 3 → ( ) = 4 3 ( ) = 4 +

……………………………………………………….

یادآوري:

پیوسته و داراي مشتقات جزئی مرتبه اول و دوم uرا همساز گویند اگر ( , ) : تابع تعریف تابع همساز باشد.

+ :ت دکارتیمعادله لاپلاس در مختصا u = 0

:ت قطبیمعادله لاپلاس در مختصا

+ 1 + 1 2 u = 0

2u∂z∂z∂ ت مختلط:معادله لاپلاس در مختصا……………………………………………………….

( ) اگر قضیه: = + تحلیلی باشد آنگاه :

همساز هستند. vو uالف)

می نامند. uرا مزدوج همساز vب)

……………………………………………………….

( ) اگر توجه: = + ( ) باشد آنگاه uمزدوج همساز vتحلیلی باشد = − + نیز است. v–نیز مزدوج همساز uتحلیلی است یعنی



٦٦

( ) )اگر مثال = + ت ودر معادله لاپلاس صدق می ها همساز اسuتحلیلی باشد، کدام مورد از کند؟

3 (الف cos 3 4(ج 3 (ب cos3 − 3 3 cos 2 (د + 2

= (حل الف 3 cos : + 1 + 1 2 = 0 ∗ = 3 2 cos , = 6 cos , = − 3 sin , = − 3 cos ∗ 6 cos + 1 (3 2 cos ) + 1 2 (− 3 cos ) = 6 cos + 3 cos − cosθ≠ 0

در قسمت الف همساز نیست. uپس

= (حل ب 3: = 3x2 , u = 6x , u = 0 , u = 0 ⇒ u + u = 0 ⎯⎯⎯ 6x + 0 ≠ 0

در قسمت ب همساز نیست. uپس

= (حل د 2 + 2: = 2x , u = 2 , u = 2y , u = 4 ⇒ u + u = 0 ⎯⎯⎯ 2 + 2≠ 0

در قسمت د همساز نیست. uپس

( , ) (حل ج = 4 3 cos3 − 3 3 cos : = 12 2 cos3 − 9 2 cos = 24r cos3 − 18 cos = −12 3 cos2 sin + 3 3 sin



٦٧

= −12 3(−2 cos sin2 + cos3 ) + 3r3 cosθ

همساز می باشد. uحا ل در صورت برقرار بودن شرط زیر تابع

+ 1 + 1 2 = 0 که همساز می باشد.

……………………………………………………….

= ( ) یک تابع تحلیلی باشد fاگر مثال) α 2y − y3 − β مطلوب استα را بیابید؟

( , ) حل) = ( ) = α 2y − y3 − β

همساز است. uتحلیلی است پس fچون

∂u∂x = 2αxy ∂2u∂x2 = 2αy , ∂ ∂y = α 2 − 3y2 − β ∂2u∂y2= −6 ⇒ u + u = 0 ⎯⎯⎯ 2αy − 6y = 0 ⎯ y(2α− 6) = 0 → 2α− 6= 0 → α = 3

……………………………………………………….

نکته:

( ) اگر تابع = + معلوم است که به ( ) تحلیلی باشد با مشخص بودن قسمت حقیقی ، تابع را مشخص نمود. ( ) را بدست آورد و vروش هاي زیر می توان

u∂x∂ با استفاده از روش کوشی ریمان:الف) = ∂ ∂y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ انتگرال بر حسب ∂u∂x + ( ) x∂ ∂ ⎯ مشتق = ∂∂x ∂u∂x + ′( )

⇒ ( ) ( ) ⎯ انتگرال ?= ?= ⎯⎯⎯⎯ با جایگذاري PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


٦٨

= تابع تحلیلی مثال) ( , ) + ( , ( , ) را بدست آورید وقتی ( = 3 − و 2 3 (0) = (شرایط مرزي) باشد؟ 0

u∂x∂ با توجه به کوشی ریمان داریم: = ∂ ∂y → ∂ ∂y = 3 2 − 3 2 = (3 2 − 3 2) → = 3 2 − 3 + ( )

u∂x∂ حال مشتق را در شرط دوم کوشی ریمان قرار می دهیم: = 6 + ( ) ∂u∂y = −∂ ∂x → 0 − 6xy= − 6xy + ( ) ⇒ ( ) = 0 ( ) = 0 = c w(x, y) = ( 3 − 3 2) + i(3 2 − 3 + c) (0) = 0 ⎯⎯ 0 = (0 − 0) + (0 − 0 + ) ⎯⎯ c = 0 w(x, y) = ( 3 − 3 2) + i(3 2 − 3)

را بدست می آوریم و سپس با ( )′ و روابط آن ، به این صورت که ابتدا ( ) استفاده از مشتق تابع ب) را بدست می آوریم. ( ) انتگرال گیري تابع

……………………………………………………….

= اگر مثال) 2 (3 − بیابید؟ zرا بر حسب ( ) تابع مزدوج همساز آن باشد ، vو تابع همساز و (

حل)

( ) = ∂u∂x − i ∂u∂y = (6 − 2y) − i(−2x) = 6 − 2 + 2 ( ) 0= 6 − 2(0) + 2zi = 6 − 2zi ( ) = 6 − 2

……………………………………………………….



٦٩

( ) اگر تابع مثال) = ( , ) + تحلیلی باشد و داشته باشیم : ( , )

( , ) = 3 + 2 + 2 − را بیابید؟ ( ) آنگاه 3

داریم: cو bحل) ابتدا براي یافتن

= چون تحلیلی است پس همساز است و چون همساز است پس لاپلاس در آن صدق می کند. 3 2 + 2 + 2 = 6x + 2by , = 2 + 2 = 2cx − 6y ⇒ + = 0 → (6 + 2c)x + (2b − 6)y = 0 ⇒ 6 + 2 = 0 → = −32b − 6 = 0 → b = 3 ⇒ ( , ) = 3 + 3 2 − 3 2 − 3 → ( ) = ∂u∂x − i ∂u∂y = (3 2 + 6 − 3 2) − i(3 2 − 6 − 3 2 ) ( ) 0

= (3z2 − 0 + 0) − i(3z2 − 0 + 0) ⇒ ( )= 3z2 − i3z2 ( ) ⎯ انتگرال = z3 − 3

……………………………………………………….

گاهی اوقات براي محاسبه مزدوج همساز بهتر است در مختصات قطبی حل شوند. تذکر:

( ) اگر تابع مثال) = + − در = تحلیلی است و [(0,0)] 2 در 2 2 − [(0,0)] را بیابید؟ ( , ) داده شده است آنگاه

حل) ابتدا در مختصات قطبی داریم:

= 2 + 2 ⇒ u = r cosθr2 = cosθr

ابط کوشی ریمان داریم:حال طبق رو



٧٠

∂u∂r = 1r ∂v∂θ − cosθr2 = 1r ∂v∂θ ⇒

⇒ ∂v∂θ = − cosθr v ⎯ انتگرال = − 1r cosθ dθ = − 1r sinθ + φ(r) ∗ ∂u∂θ = −r ∂v∂r ∗ − → با توجه به sin = − 1 2 sin + φ (r) φ (r) = 0

φ(r) = 0 =

= − 1r sinθ + → v = − sinθr = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ تبدیل به دکارتی + − 2 + 2

……………………………………………………….

( ) اگر تابع تذکر: = ( , ) + ( , ) تحلیلی باشد آنگاه دسته منحنی هاي ( , ) = و 1 ( , ) = بر هم عمودند. 2

3y مسیرهاي قائم مثال) − xy3 =c را پیدا کنید؟

= حل) اگر قرار باشد 3y − xy3 − = حال با بدست آوردن همساز مزدوج آن مسیر هاي قائم 0 بدست می آید.(ادامه توسط دانشجو...)

……………………………………………………….

نکات:

sinتابع نکته) cosو coshو sinh zو z و z + a 1z 1 + ⋯ a0 همواره تحلیلی می باشد.

تحلیلی نمی باشد. ( ) فقط در ریشه هاي ( ) ( ) تحلیلی باشد آنگاه تابع ( ) و ( ) )اگر نکته

= مثال) = فقط در 1 2 تحلیلی نمی باشد.

)اگر چند تابع تحلیلی باشند حاصل جمع و تفریق و حاصلضرب و ترکیب آن ها نیز تحلیلی است.نکته

= )تابع مثال sin2( + 1) + ( 2 4) sinh + + یک تابع تحلیلی می باشد. 1



٧١

و یک شاخه ( ) در ریشه هاي 1 ( ) و ( ) lnتابعی تحلیلی باشد ، توابع ( ) )اگرنکته تحلیلی نمی باشد.

ln:اگر شاخه اصلی تذکر در ناحیه زیر تحلیلی نیست. ( ) lnرا در نظر بگیریم تابع

( ) = 0 ( ) ≤ 0 غیر تحلیلی است. ( ) تابع تحلیلی و غیر ثابت باشد آنگاه ( ) )اگر نکته

تحلیلی است. غیر تحلیلی است چون )تابع مثال

باشد به عبارت دیگر توابع تابعی همواره تحلیلی باشد (تام باشد) آنگاه نمی توان شامل ( ) )اگر نکته هستند. تحلیلی فاقد متغیر

)کدام یک از توابع زیر تحلیلی است؟مثال

3 (الف sin2| | ب تحلیلی است) 2| |2 (ج ( چون دارد تحلیلی نیست) چون دارد تحلیلی نیست e (د چون دارد تحلیلی نیست

حقیقی یا موهومی محض باشد تحلیلی نمی باشد. ( ) )اگر تابع غیر ثابت نکته

= )تابع مثال تحلیلی نمی باشد چون تابع موهومی محض است. 2

)مجموع یک تابع تحلیلی و یک تابع غیر تحلیلی همواره غیر تحلیلی است.نکته

( ) )مثال = + 2 sin + + یک تابع غیر تحلیلی است. 1

تحلیلی یا غیر تحلیلی است )مجموع و تفاضل و حاصلضرب و ترکیب دو یا چند تابع غیر تحلیلی ممکن نکته باشد.

( ) )مثال = sin + ( ) و = cos − ( ) را بررسی کنید؟ + ( ) از بین می رود. تحلیلی است چون ( ) − از بین نمی رود. غیر تحلیلی است چون ( )



٧٢

بسط لران و محاسبه مانده: است اگر و فقط اگر دو شرط زیر برقرار باشد. ( ) نقطه تکین تابع 0 نقطه تعریف نقطه تکین:

تحلیلی نباشد. 0 در ) ( ) 1

در آن نقاط تحلیلی باشد. ( ) وجود داشته باشد که تابع نقاطی εبه شعاع 0 ایگی در همس )2

اگر داشته باشیم: است ( ) نقطه تکین منفرد تابع 0 نقطه تعریف نقطه تکین منفرد(تنها):

تحلیلی نباشد. 0 در ) ( ) 1

در تمام نقاط آن تحلیلی باشد. ( ) وجود داشته باشد که 0 همسایگی حول )2

نقطه تکین نباشد. 0 تحلیلی نباشد و 0 در ( ) تذکر:ممکن است تابع

……………………………………………………….

( ) مثال) = | |2 = = در تحلیلی نیست اما این نقطه ، نقطه تکین نیست چون در 0 در تمام نقاط تحلیلی نمی باشد. 0 همسایگی

تکین منفرد توابع زیر را بدست آورید؟)نقاط تکین و مثال

= (الف = (ب 1 sin = (ج 1 1sin = (د 1 1sin( ) = (و ln

= تحلیلی نمی باشد بنابراین 1حل الف )تابع تکین منفرد است. 0

sinحل ب )تابع = در 1 = تحلیلی نمی باشد بنابراین 0 تکین منفرد است. 0

= در 1 1حل ج )تابع sinو ریشه هاي 0 1 = = یعنی 0 تحلیلی نمی باشد بنابراین 1 = تکین منفرد نیست چون نمی توان همسایگی حول آن یافت کرد که در تمام نقاط تحلیلی باشد اما 0= تکین می باشد چون در همسایگی نقاطی وجود دارد که تحلیلی است. 0

= نقاط تکین تنها یا انباشته می گویند اما نقاط به این نوع نکته: تکین منفرد می باشند چون همواره 1 می توان حول آن ها همسایگی انتخاب کرد که تابع در تمام نقاط داخل آن تحلیلی باشد.



٧٣

نقطه تکین ندارد چون در تمام صفحه غیر تحلیلی است. ( ) 1حل د )تابع

دا و قسمت منفی محور حقیقی که در شکل نشان داده شده است تحلیلی حل و )براي جواب اصلی در مب نمی باشد

همانطور که در شکل مشخص است نمی توان همسایگی حول این نقاط پیدا کردکه در تمام نقاط داخل آن تحلیلی باشدبنابراین این نقاط تکین منفرد نمی باشند اما

تکین هستند که به این نقاط تکین انشعابی می گویند.

همیشه تکین منفرد است. ( ) ریشه هاي ( ) ( ) تحلیلی باشند آنگاه در تابع ( ) و ( ) اگر نکته:

……………………………………………………….

:در توابع زیر نقاط تکین منفرد را بنویسید؟مثال

= (الف 2 + 11 − cos

= حل) 1)نقاط تکین منفرد هستند. 2 − cos = 0)

(ب sin 2 +

zحل) = zو 1− = 2 )نقاط تکین منفرد هستند. 0 + = 0)

( ) باشد و توابع ( ) نقطه تکین منفرد 0 : اگرنکته … نقطه 0 تحلیلی باشند آنگاه ( ) و( )1 و… fتکین منفرد نیز می باشد. ( ) 1 2

بسط تیلور:

zدر ( ) اگر تابع = z)را می توان بر حسب سري توانی ( ) تحلیلی باشد ، تابع 0 − مطابق (0 زیر بسط داد:

( ) = a (z − 0) 0

, a = f ( )( 0)n!



٧٤

0 اگر نکته: = باشد بسط را بسط مک لورن گویند. 0

= بسط مک لورن تابع مثال) 1 را بدست آورید؟ 1

| |د هندسی در صورتی که قدر نسبت یعنی صاعمجموع جملات یک ت حد یادآوري: < 0 باشد برابر 11

صاعد جمله اول بسط است بنابراین اگر ما در مجموع جملات را داشته باشیم می توانیم به ت 0 می باشد که هندسی بسط بدهیم.

0 داریم:1 − q | | 1 ⎯⎯⎯ 0 + 0 + 0 2 + ⋯

= براي تابع 1| |داریم 0 حول 1 < بنابراین مطابق زیر بسط مک لورن تابع را بدست می آوریم: 1

= − → 11 + | | 1 1 − z + z2 − z3 + z4 − ⋯

که بسط مک لوران تابع است

11 − | | 1 1 + z + z2 + z3 + z4 + ⋯

……………………………………………………….

= )بسط مک لورن تابع مثال را بدست آورید؟ 2( 1)1

حل) داریم:

11 + ⇒ 1 − z + z2 − z3 + z4 − ⋯

1)1− از طرفین مشتق می گیریم: + )2 = 0 − 1 + 2 − 3 2 + 4 3 − ⋯ 1(1 + )2= 1 − 2 + 3 2 − 4 3 + ⋯



٧٥

= بسط مک لوران تابع مثال) tan را بدست آورید؟

حل) داریم:

11 + ⇒ 1 − z + z2 − z3 + z4 − ⋯ → 1

1 + 2 = 1 − 2 + 4 − 6 + 8 − ⋯

حال از طرفین انتگرال می گیریم:

11 + 2 = 1 − 2 + 4 − 6 + 8 − ⋯

tan = − 3

3 + 5

5 − 7

7 + ⋯

بسط چند تابع مهم:

sin z = z − 3

3! + 5

5! − ⋯

cos = 1 − 2

2! + 4

4! − ⋯

= 1 + z + 2

2! + 3

3! + ⋯

sinh = z + 3

3! + 5

5! + ⋯

cosh z = 1 + 2

2! + 4

4! + ⋯

ln(1 + ) = z − 2

2! + 3

3! − 4

4! + ⋯

tan = z + 3

3 + 215 z5 + ⋯

……………………………………………………….

تا نقطه 0 کافی است کمترین فاصله 0 حول ( ) :براي محاسبه شعاع همگرایی بسط تیلور تابع تذکر را حساب کنید. ( ) تکین تابع



٧٦

( ) )شعاع همگرایی بسط تیلور تابع مثال = = حول (3 )(2 ) را بدست آورید؟ 1

+ 2 = 0 → z = −2 + 3 = 0 → z = نقاط تکین منفرد 3−= فاصله اثر تا 2− 1 1 = = فاصله اثر تا 3−3 1 2 = 4

min(3,4) = 3

……………………………………………………….

بسط لران:

− را می توان بر حسب سري توانی ( ) تحلیلی باشد تابع 0 در همسایگی ( ) اگر تابع مطابق 0 زیر بسط داد.

( ) = a (z − 0) 0

+ a (z − 0) 1

∑تیلور در جملات : همانطور که مشاهده می کنید تفاوت بسط لران و تذکر می باشد. به 1 (0 ) همین دلیل به این جملات ، جملات اصلی بسط لران می گویند.

می توان نوشت. حول نقاط تحلیلی و تکین منفردفقط : بسط لران را تذکر

……………………………………………………….

: در ( ) روش محاسبه بسط لران

− )ابتدا با تغیر متغیر 1 0 = t را حول = تبدیل می کنیم. 0

)از روش محاسبه بسط مک لوران توابع مثلثاتی،لگاریتمی،نمایی،هیپربولیک،... استفاده کنیم با این تفاوت 2 نیز قرار داد. 1می توان zکه در بسط ها بجاي

یم.جزئی تفکیک کن هايرس)در توابع کسري و چند جمله اي سعی می کنیم تا حد امکان تابع را به ک3



٧٧

= بسط لران مثال) = حول 1 را بدست آورید؟ 0

حل) با توجه به بسط:

= 1 + x + 2

2! + 3

3! + ⋯

داریم:

= 1 در نتیجه 1 1 + 1 + 12! 2 + 1

3! 3 + ⋯

……………………………………………………….

= ) بسط لران مثال = حول 3( 1)2 1 را بدست آورید؟ 1−

+ حل) با توجه به 1 = 1 ⎯⎯⎯ − (−1) = = داریم که خودش یک 3 1حال 2(1 )3 1 داریم: 2(1 )1بسط است اما براي

11 − t = 1 + t + t2 + t3 + ⋯ 1)1 ⎯⎯⎯⎯⎯ مشتق میگیریم + t)2 = 0 + 1 + 2t + 3t2 + ⋯

= حال: 1 × 2

= 1t3 (1 + 2t + 3t2 + ⋯ ) = 1t3 + 2t2 + 3t + 4 + 5 + ⋯

……………………………………………………….

= ) بسط لران تابع مثال زیر بدست آورید؟ هاي را در ناحیه 2 3 2 1

| |الف) < 1ب) 1 < < 2

حل الف)ابتدا به کسرهاي جزئی تبدیل می کنیم



٧٨

1 2 − 3 + 2 = ( − 1) − (z − 2)(z − 2)(z − 1) = 1z − 2 + −1z − 1 → = 1 + 2= 11 − + 1z − 2

حال

| | < 1 11 − = 1 + + 2 + 3 + ⋯ = 1

| | < 1 z2 < 1 → 1z − 2 = 1−2 1 − 2 = − 1

2 1 + z2 2 + z

2 3 + ⋯ = 2

⇒ = 1 + 2

= حل ب) 1 + 2 1: | | > 1 1z < 1 → 11 − = 1− 1 − 1 → − 1z 1 + 1 2 1 3 1 4 + ⋯

2: | | < 2 2 < 1 → 1z − 1 = 1− 1 − 2 → − 1z 1 + 2 2 3 3 …

⇒ = 1 + 2

……………………………………………………….

= )بسط لوران تابع مثال − |را در ناحیه 3( 1)2 1| < بدست آورید؟ 1

حل)

− 1 = = + 1 → | | < 1 ⇒ = − ln(1 + ) sin( + 1)( + 1)2 3

حال:

11 + t | | 1 ⎯⎯ 1 − t + t2 − t3 + t4 − ⋯ ∗

از * مشتق می گیریم:



٧٩

−1(1 + t)2 = 0 − 1 + 2t − 3t2 + 4t3 − ⋯ ⎯ 1(1 + t)2= 1 − 2t + 3t2 − 4t3 + ⋯ (1)

از * انتگرال می گیریم:

ln(1 + ) = t − t2

2 + t3

3 − t4

4 + t5

5 − ⋯ (2) sin( + ) = sin a cos b + cos a sin b sin(1 + ) = sin 1 cos t + cos 1 sin t sin(1) 1 − t2

2! + t4

4 − ⋯ + cos(1) t − t3

3! + t5

5! − ⋯ (3)

1t3 (4)

= را در تابع 4و3و2و1حال = قرار می دهیم و در پایان 3( 1)2 − ر می دهیم.را قرا 1

……………………………………………………….

محاسبه ناحیه همگرایی و شعاع همگرایی:

به دو روش می توان ناحیه همگرایی را محاسبه نمود.

ر):بآزمون نسبت (دالام الف)

باشد اگر جمله عمومی سري

lim 1 < 1

> lim آزمون ریشه (کوشی): ب) 1

……………………………………………………….

شعاع همگرایی:

= lim 1اگر 1(شعاع همگرایی) برابر است با Rباشد آنگاه 1



٨٠

……………………………………………………….

∑سري ) ناحیه همگرایی مثال ؟را بدست آورید 1 !

حل)

lim 1 < 1 → lim ( 1) ( 1)! ! = lim n! e( 1) (n + 1)! e = lim 1(n + 1) e < 1

⇒ | e | < 1 → e < 1 ln e < ln(1) → ln(e) < ln(1) ⇒ z < 0

……………………………………………………….

∑ناحیه همگرایی سري مثال) در صفحه مختلط را بیابید؟ 1

حل) با استفاده از آزمون ریشه داریم:

lim − − 1 < 1 → lim − − 1 < 1 → | − || − 1| < 1 | − | < | − 1| ⇒ | + − | < | + − 1| | + ( − 1)| < |( − 1) + | ⇒ (x)2 + (y − 1)2 < (x − 1)2 + (y)2 → x2 + y2 − 2y + 1< x2 − 2x + 1 + y2 ⇒ −2y < −2 ⇒ y >

……………………………………………………….

انواع نقاط تکین منفرد:

یکی از سه حالت زیر است: 0 باشد آنگاه ( ) نقطه تکین منفرد تابع 0 اگر

الف) قطب ب) ویژه اساسی ج) حذف شدنی



٨١

قطب تابع است که در بسط لران 0 باشد در صورتی ( ) نقطه تکین منفرد تابع 0 اگر قطب: الف) باشد. تعداد جملات اصلی محدود 0 حول ( )

: بالاترین درجه جملات اصلی را مرتبه قطب می گویند.تذکر

= حول نقطه تکین منفرد ( ) اگر بسط لران تابع مثال) = مطابق زیر باشد 1 چه نقطه اي 1 است؟

( ) = 2 n! (z − 1)2 3 0

حل)

( ) = 1(z − 1)3 + 21 × 1z − 1 + 22

2! (z − 1) + ⋯

= تعداد جملات اصلی محدود است بنابراین است پس 3قطب است و بالاترین درجه جملات اصلی 1= بنابراین است. 3قطب از مرتبه 1

تکین اساسی 0 باشد، در صورتی ( ) نقطه تکین منفرد تابع 0 اگر ویژه اساسی(تکین اساسی): ب) نامحدود باشد. 0 حول ( ) تابع است اگر تعداد جملات اصلی بسط لران

= ) براي تابع مثال 1 ، = تکین اساسی است زیرا : 0

1 = 1 + 1z + 12! z2 + 1

3! z3 + ⋯

= نامحدود است لذا 0 تعداد جملات اصلی بسط لران حول تکین اساسی است. 0

باشد در صورتی ( ) نقطه تکین منفرد تابع 0 اگر نقطه حذف شدنی (برداشتنی یا دفع شدنی):ج) تعداد جملات اصلی صفر باشد. 0 حول ( ) نقطه حذف شدنی است که در بسط لران 0

= ) در تابع مثال sin حذف شدنی است زیرا : 0 در = − 33! 5

5! ⋯z = 1 − 2

3! + 4

5! − ⋯

= تعداد جملات اصلی صفر است بنابراین حذف شدنی است . 0



٨٢

……………………………………………………….

(0 ) است اگر ( ) تابع m مرتبه صفر 0 : تذکر = مشتق 0 ین مشتق مخالف صفر آن در لو او 0 باشد. mمرتبه

⎨⎩است. ( ) ام تابع mریشه مرتبه 0 ⎧ ( 0) = 0 ( 0) = 0 "( 0) = 0 ( )( 0) ≠ 0

↔

……………………………………………………….

= مثال) ( ) ریشه مرتبه چندم تابع 0 = − sin (0) است ؟ = 0 − 0 = 0 , (0) = 0 − cos z (0) = 1 − 1 = 0 "(0)= sin z → f"(0) = 0 , (3)( 0) = cos → (3)( 0) = 1 ≠ 0 = می باشد . ( ) ، 3ریشه مرتبه 0

……………………………………………………….

= مثال) = ریشه مرتبه چند تابع زیر است؟ 0 4(1 − cos )( − 1)( 4 + cos + 1) 4 → 1) , مرتبه 4 − cos ) → 4 ) , مرتبه 2 + cos + 1) → 0 → ( − 1) → مرتبه1 است . 7پس در کل مرتبه

……………………………………………………….

قطب یا حذف شدنی ( ) ریشه هاي ( ) ( ) توابع تحلیلی باشند آنگاه در تابع ( ) و ( ) اگر نکته: هستند.

و ( ) و ( ) cosو ( ) sinباشد آنگاه ( ) نقطه تکین منفرد تابع 0 : اگر نکته sinh ( ) وcosh ( ) وz = نقطه ویژه اساسی است . 0



٨٣

0 1ضریب 0 حول نقطه تکین منفرد ( ) در بسط لران محاسبه مانده: را مانده می گویند.

0 1در بسط لران همیشه ضریب تذکر:0 1مانده نمی باشد ، در صورتی ضریب

مانده است که بسط z|لران در ناحیه − 0| < ) نوشته شده باشد .0 (در همسایگی

نقطه تکین منفرد حذف شدنی باشد مانده در آن همواره برابر صفر است . 0 اگر تذکر:

و بدست آوردن 0 ه بسط لران حول نقطه تکین اساسی باشد تنها راه محاسبه مانده ، محاسب 0 اگر تذکر:0 1ضریب

است .

……………………………………………………….

( ) مانده تابع مثال) = 1 zدر 1 = را بدست آورید؟ 0

zنقطه ویژه اساسی است بنابراین باید براي محاسبه مانده در 0 حل) = zبسط لران حول 0 = را 0( ) بدست آورید. = (1 + + 2 + ⋯ ) 1 + 1 1

2! 2 13! 3 ⋯

مانده = ضریب 1 = 1 + 12! 1

3! ⋯ = 1 + 11! 1

2! 13! ⋯ 1

1! = ( 1 − 1) = − 1

……………………………………………………….

را محاسبه کرد. 0 قطب باشد به دو روش زیر می توان مانده در 0 اگر تذکر:

الف)

مانده = 1 = lim → 0

1( − 1)! [( − 0) . ( )]( 1) را می توان مرتبه قطب یا مرتبه ریشه مخرج تابع در نظر گرفت. nکه در آن

0 1و تعیین ضریب 0 حول ( ) ب) استفاده از بسط لران

را مرتبه ریشه مخرج در نظر گرفت. n)در حل الف بهتر است نکته

……………………………………………………….



٨٤

( ) ) مانده تابع مثال = zدر 6 = را بدست آورید؟ 0

حل)

مرتبه ریشه مخرج = = 6 → 1 = lim → 0

15! 6. sin 6 (5) = 1

5! sin 5 2 = 1

5! z → و یا به روش بسط لران − 3

3! + 5

5! − 7

7! +. . . 6 = 1z5 − 1z3 + 15! z − z

7! + ⋯

مانده = ضریب 1 = 15!

……………………………………………………….

( ) )مانده تابع مثال = 2 sin z در 1 = را بدست آورید؟ 0

حل)

( ) = 2 sin + 1 = 2 sin(1) cos 1 + cos(1) sin 1

= 2 sin(1) 1 − 12! 2 1

4! 4 ⋯ + cos(1) 1 13! 3 1

5! 5 ⋯ مانده = 1zضریب = − 1

6 cos(1)

……………………………………………………….

را حساب کنید؟ 1 1 مقدار مانده تابع مثال)

zحل) = zنقطه ویژه اساسی است بسط لران را حول 1 = نویسیم . 1

− 1 = = + 1 ( + 1) 1 − 1 + 12! 2 − 1

3! 3 + ⋯

مانده = 1t ضریب = 12 − 1 = − 1

2

……………………………………………………….

e 2 ) مانده تابع تمرین را حساب کنید؟ 1-در نقطه 1 1



٨٥

……………………………………………………….

( ) مانده تابع مثال) = در نقطه صفر کدام است؟ 1 2

= حل) + 2قطب مرتبه 0 است بنابراین : 1

1 = lim →01(2 )! 2 1. cos 2 1 (2 ) = (−1) (2 )!

……………………………………………………….

بررسی نقاط تحلیلی و تکین در بی نهایت:

( ) بررسی کنیم کافی است تابع ∞را در ( ) هرگاه بخواهیم رفتار = ا تشکیل دهید و ر 1 = را در نزدیکی ( ) سپس رفتار بررسی نماییم. 0

……………………………………………………….

( ) تابع مثال) = ( ) تحلیلی است چون ∞در 3 1 = در صفر تحلیلی است. 3

……………………………………………………….

( ) تابع مثال) = sin ( ) نقطه تکین اساسی است چون ∞در = sin 1 در = تکین 0 . دارداساسی

……………………………………………………….

= محاسبه مانده در ∞ :

= در ( ) براي محاسبه را تشکیل می دهیم سپس مانده به صورت زیر محاسبه 1 ابتدا تابع ∞ می شود.

= مانده در ∞ = − = 2 1 در 0 مانده تابع

……………………………………………………….

( ) مانده تابع مثال) = = در (1 ) 1 را بدست آورید؟ ∞

حل)



٨٦

1 = 1 sin( ) 1 − 1 = − sin( )( − 1) → 1 2 = − sin( ) 2( − 1)

= 2 1 در 0 مانده تابع = lim →0 2 − sin( ) 2( − 1) ~ lim →0

− 3 3 = −1

= مانده ( ) در ∞ = −(−1) = +1

مختلط:گیري از توابع انتگرال نقاط روي یک منحنی پیوسته یک مسیر می باشد . به عبارت دیگر هر منحنی یا همجموع تعریف مسیر:

خم پیوسته را می توان یک مسیر در نظر گرفت.

( ) اگر معادله یک مسیر به صورت پارامتري تذکر: = ( ) + ∋ باشد که ( ) [ , آنگاه [ است. ( ) و نقطه پایان ( ) نقطه شروع

( ) اگر در یک مسیر تذکر: = ( ) گویند و اگر می باشد مسیر را بسته ( ) ≠ باشد مسیر ( ) باز است .

اگر یک مسیر خودش را قطع نکند مسیر را ساده می گویند.تذکر:

: هر مسیر ساده بسته را یک خم ژردان می گویند.تذکر



٨٧

انتگرال مختلط:

را به چند گروه کلی تقسیم می کنیم:در این مبحث انتگرال هاي مختلط

∫ ℂروي میسر باز ( ) محاسبه انتگرال _1 ( ) dz :دو حالت زیر ممکن است رخ دهد

تحلیلی باشد: ( ) الف)

∫ که به مسیر بستگی ندارد. ( ) 2 1dz = ( 2) − نقطه شروع (1 ) = نقطه پایان 1 = 2

:تحلیلی نباشد ( ) ب)

به مسیر بستگی دارد و باید روي مسیر حرکت نمائیم ، براي حرکت روي مسیر مطابق زیر عمل می کنیم:

قرار می دهیم ( ) ) معادله مسیر را در تابع 2معادله مسیر را می نویسیم )1

……………………………………………………….

∫) حاصل مثال z2 sin z dz که در آن : = 2 + 2 = sin 2 + ∋ در فاصله 3 را بدست [0,1]

آورید؟

z2حل) چون تابع sin z .تحلیلی است ، محاسبه انتگرال به مسیر بستگی ندارد

= 0 → = 0 = 0 = 1 → = 3 = 4

بنابراین به صورت زیر نوشته می شود:

(z2 sin z)dz3 4 0

= −z2 cos + 2z sin z + 2 cos z 3 + 4 0 = ⋯ ادامه دهید

……………………………………………………….

2 )∫مقدار تمرین) + = در امتداد منحنی به معادله پارامتري 2(1 ( − sin )y = a(1 − cos t) از نقطه = = یا 0 را حساب کنید؟ 2

حل) باز و تحلیلی است ...



٨٨

……………………………………………………….

∫) حاصل تمرین e 2 dz که در آنc 1)خط واصل بین نقاط − 2)تا ( + می باشد را ( 3 حساب کنید؟

حل) باز و تحلیلی است ...

∫) تمرین z2dz وقتیc 0داراي معادله ≤ < 1 ( ) = + باشد را حساب کنید ؟ 2

حل) تحلیلی و باز لست ...

……………………………………………………….

∫) مثال |z − 1||dz| که در آنc د؟واحد به مرکز مبدا می باشد را بدست آوری ربع اول دایره

مثبت است) θحل) مسیر باز و غیر تحلیلی است لذا روي مسیر حرکت خواهیم کرد (ربع اول

= معادله مسیر , 0 ≤ ≤ 2

= (cos + sin ) = − sin + cos | | = √cos2 + sin2 = 1 ⇒ dz = → | | = → | | = |z − 1| = − 1 = (cosθ− 1)2 + (sin2 θ) = √2 − 2 cosθ ∗ = 2 sin

2

پس:

I = | − 1|| | = −2 − 12 sin

2 = −4 cos 2

2

0

20 = 4 1 − √2

2

توضیح براي *:

sin2 θ = 1 − cos 2θ2 → 2sin2 θ = 1 − cos 2θ (cos − 1)2 + (sin2 θ) = cos2 θ− 2 cosθ + 1 + sin2 θ

= √2 − 2 cos = 2(1 − cos ) = 2 2 sin2 2 = 2 sinθ2



٨٩

……………………………………………………….

∫باشد مقدار انتگرال 1به نقطه iپاره خط واصل از نقطه C) اگر مثال برابر است با چه مقداري ؟

تحلیلی نمی باشد براي محاسبه انتگرال باید روي مسیر حرکت کنیم ، براي این منظور حل) چون تابع داریم:

| مسیر خطی که نقطه 0| و 1 1

وصل می شود را می نویسیم: 0

= 0 − 11 − 0 = −1 ⇒ − 1 = ( − 1) → y − 0 = −1(x − 1) → y= −x + 1

y = −x + 1 ⇒ ⎩⎨⎧ x = t → dxdt = 1 → dx = dt y = −t + 1 → dydt = −1 → dy = −dt

= |z|2

= (x2 + y2)(dx − idy)

= t2 + (1 − t)2(dt + idt) 1

0= (t2 + 1 − 2t + t2)(1 + i)dt1

0= (1 + i) (2t2 − 2t + 1)dt = 23

1

0(1 + i)

……………………………………………………….

∮ ،c روي مسیر بسته ( ) محاسبه انتگرال _2 ( ) :

به سه گروه تقسیم می شود:این حالت

تحلیلی باشد در این حالت حاصل انتگرال برابر صفر است یعنی: cدر داخل و روي ناحیه ( ) ) الف

( )dz = 0

تحلیلی نباشد اما نقاط غیر تحلیلی همگی از نوع تکین منفرد باشند در این cدر داخل ناحیه ( ) ) ب حالت حاصل انتگرال مطابق زیر بدست می آید:

∮قرار دارند) cکه در داخل ناحیه ( ) مجموع مانده ها در نقاط تکین منفرد تابع ( ( )dz = 2πi ×



٩٠

لیلی به جزء نقاط تکین نیز وجود دارند.باشد اما نقاط غیر تحنمی تحلیلی cدر داخل ناحیه ( ) ) ج

براي محاسبه انتگرال در این حالت باید روي مسیر حرکت کنیم ، روند حرکت روي مسیر مطابق قسمت (ب) مسیر باز است .

……………………………………………………….

∮) مقدار انتگرال مثال dz روي مسیر زیر نشان داده شده چه مقدار است ؟

معادلات مسیر را می نویسیم و داریم:حل) ابتدا

= → = → dz = , = → = 1 → dz = = → = → dz =

حال داریم :

= = 2

1+ 2

2 2

0 + − 1

2+ 0

2

= + حاصل 1

……………………………………………………….

∮) حاصل انتگرال مثال z dz روي مسیرOABO :نشان دهید

A10

B

حل) چون تابع مقابل ، انتگرال غیر تحلیلی است باید روي مسیر حرکت کنیم.



٩١

= 10

+ . 4

0 + 4 .0

1 4 =

4 ……………………………………………………….

| |دایره c) با منحنی مثال = 1∮در صفحه مختلط ، مقدار 2 1

چه مقدار می شود؟ 1

= حل) = و 0 = هستند که فقط ( ) نقاط تکین منفرد تابع 1 داخل ناحیه است . 0

= ( ) سبه مانده از بسط لران استفاده می کنیم .نقطه ویژه اساسی است . براي محا 0 = (1 + + 2 + 3 + ⋯ ) 1 + 1 + 12! 2 + 1

3! 3 + ⋯

= مانده در 0 = 1 = ضریب 1 = 1 + 12! + 1

3! + ⋯ = − 1

حاصل انتگرال = 2 ( − 1)

……………………………………………………….

∮)حاصل انتگرال مثال 2 2 روي دایره یکه (در جهت مثلثاتی) چه مقدار است ؟

حل)

( ) = sin 2 2. cos

2 , 2. cos 2 = 0

→ 2 = 0 ⇒ z = 0 , cos 2 = 0 → 2 + 2 → = 2 + = 0 → = , = 1 → = 3 , …

zفقط نقطه تکین منفرد = در داخل ناحیه قرار دارد. 0

1 = lim →01(1 − 1)! (z − 0)! tan

2 2 = lim →0

tan 2 2

lim →0

. 2 2 = 12 = پس 2 1

2 = ……………………………………………………….



٩٢

∮) مقدار انتگرال مثال 1 1 sin 1 dz که در آن : | | = چقدر است؟ 2

( ) حل) = 1 1 sin 1 و = = و 0 نقاط تکین منفرد هستند که هردو داخل دایره قرار می 1 گیرند پس:

= 1 → 1 = lim →1(z − 1) 1z − 1 sin 1 = sin 1

= براي ( ) با بسط لران داریم : 0 = −(1 + + 2 + 3 + ⋯ ) 1 13! 3 1

5! 5 …

مانده = ضریب 1 = 1 = − 1 − 13! + 1

5! − ⋯ = − sin 1

= لذا می توان گفت: 2 ( 1 + 1) = 2 (sin 1 − sin 1) = 0

……………………………………………………….

∫) مقدار انتگرال مثال z + 1 e1 dz | | 1 چه مقدار می شود؟

( ) حل) = z + 1 e1 که = تنها نقطه منفرد تکین است و داخل ناحیه می باشد و از نوع ویژه 0( ) اساسی است لذا بسط لران آن را می نویسیم. = z + 1 1 + 1 1

2! 2 13! 3 …

مانده = a 1 = ضریب 1 = 12 + 1 = 3

2 ⇒ I = 2πi 32 = 3πi

……………………………………………………….

∫) حاصل انتگرال تمرین z2 sin 1 dz | | 1 چقدر است ؟

∮ر در محاسبه انتگرال نکته اگ ( ) dz مسیرc در خلاف جهت مثلثاتی باشد در محاسبه انتگرال مانده ضرب کرد. 2πi−آن را باید در

……………………………………………………….



٩٣

∮) حاصل انتگرال مثال 4 1 ب کنید؟نشان داده شده ، را حسا cر آن مسیرکه د

داخل ناحیه قرار دارند بنابراین: همه نقاط تکین منفرد

2 ) (حل − 1)( 2 + 1) → 4 − 1 = 0 ⇒ = 1 = −1 = = − = مانده در 1 = 1 = lim →1( − 1) 1 4 − 1 ⇒ 14

= مانده در 1− = 1 = lim → 1( + 1) 1 4 − 1 ⇒ − 1

4

= مانده در = 1 = lim → ( − ) 1 4 − 1 ⇒ 14 = مانده در − = 1 = lim → ( + ) 1 4 − 1 ⇒ − 1

4 = به این که با توجه = و در جهت مثبت مثلثاتی دور زده شده اند بنابراین مانده در این نقاط 1−= ضرب شوند و نقاط 2πباید در = و − در خلاف جهت مثلثاتی دور زده شده اند بنابراین باید 1

ضرب شوند. 2π−در

= −2 ( 1 + 1) + 2 ( 1 + 1) = −2 14 − 1

4 + 2 − 14 + 1

4 ⇒ = − − .



٩٤

درس اخلاق دوم:

که چرا ذره بین پارچه را می سوزاند؟! بسیار ساده است. ذره بین، نور آیا تاکنون به این موضوع فکر کرده اید

آفتاب را جذب می کند و از طریق کانون خود آن را به یک نقطه منتقل می سازد؛ بنابراین اگر پارچه یا

نمی کاغذي را جلوي آن بگیرید، می سوزاند. اما پنجره اتاق با وجود آنکه نور آفتاب را از خود عبور می دهد،

تواند پارچه را بسوزاند. تفاوت در این است که شیشه، قدرت متمرکز ساختن انرژي بدست آمده را ندارد و

نور آفتاب را به همان طریقی که جذب کرده انتقال می دهد.

یکی از بیماریهاي رایج اجتماعی، عارضه از این شاخه به آن شاخه پریدن است. موفقیت و رسیدن به اهداف

مرکز بر خواسته ها ممکن نیست. اهداف و برنامه هایتان را ستاره راهنماي زندگی خود قرار دهید و جز با ت

هر فعالیت و برنامه ي جدید را در چارچوب طرح بزرگ سرنوشت خود ارزیابی کنید. امروز سرگرم کاري

بودن و فردا به کار دیگري پرداختن فرد را هیچ گاه به جایی نمی رساند.

تید باید با تمام وجود آنجا باشید. یک کشور تقسیم شده در مقابل حمله هاي دشمن مقاومت هر جا هس«

»نخاوهد کرد و یک انسان تقسیم شده، نمی تواند به طور شایسته اي با زندگی برخورد کند.

در پایان:

اي محدودشان گریخته اید. چرا که آنان با دیدگاه ه» طاعون«از کوته نظران چندان بگریزید که گویی از همواره انگیزه هاي شما را سرکوب می کنند.



٩٥

فصل چهارم معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی

تشکیل معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی:

گاهی اوقات جواب یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی داده می شود و خواسته می شود معادله با مشتقات جزئی را بیابید که این جواب در آن صادق است. دیفرانسیل

ا توابع دلخواهی که جواب داده شده از طرفین یبراي حل اینگونه مسائل سعی می کنیم با حذف پارامتر مشتق گیري نسبت به متغیرهاي مستقل موجود در تابع جواب معادله مورد نظر را پیدا می کنیم.

نسیل با مشتقات جزئی با توابع دلخواه موجود در جواب یکسان است.معادله دیفرا مرتبهنکته:

……………………………………………………….

= ) اگر مثال ( + ) + ( − ، جواب عمومی یک معادله با مشتقات جزئی باشند، معادله ( را پیدا کنید؟

− حل) = , + = ∂u∂x = ∂ ∂u − ∂g∂v → ∂2u∂2x = ∂2 ∂u2 + ∂2g∂v2 (1) ∂u∂ = ∂ ∂u + ∂g∂v → ∂2u∂y2 = ∂2 ∂u2 + ∂2g∂v2 (2)

(1) − (2) = ∂2u∂x2 − ∂2u∂x2 = 0

……………………………………………………….

( , ) تابع مثال) = 2. ( ) − 3 + جواب چگونه معادله اي است ؟ 4



٩٦

(حل ∂u∂ = 2 . ( ) + 4 (1) = 2. ( ) − 3 + 4 → ( ) = + 3 − 4 2 (2)

(2) و(1) → ∂u∂ = 2 . + 3 − 4 2 + 4

→ y. ∂u∂ = 2u + 6x − 8y + 4y → y. − 2 = 6 − 4

= گاهی = و از طرفی ( ) ℎ( ) را حساب کنید حال = =

……………………………………………………….

معادلات شبه خطی با مشتقات جزئی مرتبه اول:

, , با مشتقات جزئی مرتبه اول و با دو متغیر مستقل به صورت زیر می باشد. کلی ترین فرم معادلات , , = 0

معادله مرتبه اول شبه خطی:

, , ) فرم کلی یک معادله شبه خطی مرتبه اول به شکل زیر است: , ). + Q(x, y, z). = R(x, y, z)

d p مشهور است تشکیل می دهیم: رانژابتدا دستگاه زیر که به دستگاه لاگبراي حل معادله = d Q = d R f(x, y, y′) = 0

= d که معادل است با: Qp = d و Rp = از حل دستگاه فوق دو جواب به صورت : ( , , , 2) , = ( , , , 1)



٩٧

, ) مطابق زیر می تواند جواب عمومی معادله فوق باشد. vوuبدست می آید که هر رابطه بین ) = = یا 0 = یا ( ) ( )

……………………………………………………….

. جواب عمومی معادله مثال) . + . . = −( 2 + را بدست آورید؟ (2

d xz حل) = dyyz = dz−( 2 + 2) → d = d y → ln x = ln + ln c1 → ln x= ln(c1y) ⇒ x = c1y y = c1 = u ,xdxx2z = ydyy2z = −z( 2 + 2) x. z . z + y. z . z = −( 2 + 2)

→ xdx + ydy + zdzx2z + y2z − z( 2 + 2) = → ثابت xdx + ydy + zdz = 0 → x2

2 + y2

2 + z2

2= c2 → x2 + y2 + z2 = c2 = v ( , ) = 0 → , x2 + y2 + z2 = جواب عمومی معادله 0

……………………………………………………….

+ جواب عمومی معادله مثال) = را محاسبه کنید؟

+ ⏟ حل) ⏟ = ⏟

d z = dyy = dzx



٩٨

d z = dzx → xdx = zdz → x2 − z2 = c1 → x2 − z2 = (1) + z + x = dyy → ln(x + y) = ln y → x + zy = c2 → v = x + zy (2)

( , ) = x2 − z2, x + zy = 0

……………………………………………………….

اگر در یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی ، مشتقات موجود در معادله فقط نسبت به یک متغیر نکته:را مانند یک معادله دیفرانسیل معمولی حل مستقل باشند می توان متغیر دوم را ثابت فرض کرد و معادلات

کرد فقط باید ثابت ها را بر حسب متغیر دوم در نظر گرفت.(تابعی بر حسب متغیر دوم)

……………………………………………………….

. cotپاسخ کامل معادله دیفرانسیل مثال) + u = y را محاسبه کنید؟

را ثابت فرض کرد و ثابت ها را نیز بر حسب تابعی xاست می توان yفقط بر حسب u حل) چون مشتقاتu∂y∂ فرض نمود مطابق زیر: xاز + tan x . u = tan x. y

+ می دانیم جواب معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول به صورت یادآوري:[ ( ) = برابر ( ) است با :

= ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) + پس داریم:

= ∫ . tan . ∫ + ( )

= . − cot . + ( ) = − cot + ( ).



٩٩

گاهی اوقات از معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی را به روش تفکیک قطب ها می توان حذف نکته:= کرد، . است. yتابعی فقط از yو xتابعی فقط از xدر نظر میگیریم که

+ uجواب معادله مثال) u = 2(x + y)u را محاسبه کنید؟

= حل از روش تفکیک متغیرها استفاده می کنیم. . . + . = 2(x + y)x. y ln A = B → A = e

x′ داریم: xyحال با تقسیم بر + y′y = 2x + 2y → ′x − 2x = − y′y + 2

در صورتی برابر است که مساوي مقدار ثابت باشند یعنی: yبا تابعی از xتابعی از

′x − 2x = − y′y + 2 = c

⎩⎨⎧ ′x − 2x = c → ln x = (x2 + cx) → x = ke 2 − y′y + 2 = c → ln y = (y2 + cy) → y = ke 2

= پس : . = ke 2 2 ( ) ……………………………………………………….

+ معمولی زیر را حساب کنید؟ معادله دیفرانسیل مثال) 2 =

معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول:

( ) = 2x dx = x2

( ). ∫ ( ) dx = 12 2x. e 2dx = 1

2 e 2



١٠٠

= e 2 12 e 2 + c ⇒ = 12 + e 2

معادلات با مشتقات جزئی مرتبه دوم:

+ فرم کلی این معادله به صورت زیر است: + + + + =

هستند. ( , )توابعی از , , , , , , که

=∆ براي تشخیص نوع معادله فوق به صورت زیر عمل می کنیم: تشخیص نوع معادله: 2 − 4AC

← الف) ∆> معادله از نوع هذلولی است. 0

← الف) ∆< معادله از نوع بیضی گون است. 0

← الف) ∆= معادله از نوع سهمی گون است. 0

……………………………………………………….

نوع است ؟ چه) معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی زیر از مثال

∂2 ∂ 2 + ∂ ∂ 2 + 3 2 ∂ ∂ = 0

= حل) در این معادله داریم: , = 0 , = ∆= 2 − 4AC = −4

< از نوع بیضی گون 0 → ∆< 0

> از نوع هذلولی گون 0 → ∆> 0

……………………………………………………….

− )معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی تمرین) 1) 2 2 + 2(y + 1) 2 − (x + 1) 2 2 = در 0 نظر می گیریم .



١٠١

< )این معادله نیم صفحه بالاي محور 0) x از چه نوع است ؟

= حل) − 1 = 2( + 1) = −( + 1) ∆= 2 − 4AC = 4(y + 1)2 + 4(x2 − 1) = 4y2 + 8y + 4x2 > 0 → ∆> معادله از نوع هذلولی گون 0……………………………………………………….

2 2 معادله تمرین) − 2 2 + 2 2 − = از چه نوع است ؟ 0

= حل) 1 = −2 = ∆= 2 − 4AC = 4 2 − 4y = 4(x2 − y) ∆> 0 → x2 − y > 0 → 2 > از نوع هذلولی گون است ……………………………………………………….

در کل مهم ترین معادلات با مشتقات جزئی به صورت زیر است :

معادله انتقال گرما ← سهموي

1) 2 ∂2 ∂ 2 − ∂ ∂ = 0

معادله انتشار موج ← هذلولوي

2) 2 ∂2 ∂ 2 − ∂2 ∂ 2 = 0

معادله پتانسیل ← بیضوي

3) ∂2 ∂ 2 + ∂2 ∂ 2 = 0

……………………………………………………….



١٠٢

) تعیین کنید معادله زیر در چه ناحیه اي از صفحه هذلولی است؟مثال

∂2 ∂ 2 − 2 ∂2 ∂ . ∂ − ∂2 ∂ 2 + . ∂ ∂ = 0

<∆ باید برقرار باشد 0 → ∆= 2 + 4AC → ∆= (−2)2 + 4(x)(−1) > 0

4 + 4 > 0 → 4 > −4 → > −1

……………………………………………………….

حل معادلات انتقال گرما ، انتشار و پتانسیل:

, ) روش تفکیک معادلات (روش ضربی):)1 ) = ( ). ( )

با چند مثال مطلب را توضیح می دهیم:

……………………………………………………….

= ) معادله مثال y. u را به روش ضربی حل کنید؟

, ) (حل ) = ( ). ( ) = .

= . = = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ با جایگذاري داریم . y. u ⇒ . = . . ⇒ F′F = y. G′G

F′F پس: = F′F ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ انتگرال نسبت به dx = ⇒ ln = + 1 → = 1 ′G = G′G ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ انتگرال نسبت به dx = ⇒ ln = ln → =

, ) پس: ) = . = ( 1). ( )



١٠٣

:درس اخلاقی سوم

همتم بدرقه ي راه کن اي طایر قدس

که درازست ره مقصد و من نو سفرم

در زندگی نکته ي بامزه اي هست، اگر چیزهاي متوسط را نپذیرید اکثر اوقات بهترین ها نصیبتان خواهد

شد. همیشه همچون یک کوهنوردي باشید که قصد فتح قله ي بلندي را دارد. کوهنورد می خواهد قله را

به دره شکست می خورد. نه، او فتح کند، ولی براي رسیدن به قله بارها به ته دره می رود. آیا با پایین رفتن

دائما چشم به قله دارد و دره نیز قسمتی از مسیري است که باید طی کند تا به قله برسد.

آیا کوهنورد می توانست بدون پائین رفتن از دره به قله برسد؟ نه، پس از شکست هاي موقت نترسید و تنها

زودتر به قله برسیم باید چه کار کنیم؟ آیا باید هدف اصلی را جلوي رو داشته باشید. حال اگر قرار است

نگران رفتن به ته دره باشیم و زمان را از دست بدهیم؟ نه، هرگاه می خواهیم سریعتر موفق شویم باید

سرعت شکست خودمان را دو برابر کنیم. موفقیت در آن سوي دیوار شکست است.



١٠٤

1میمه ض یاد آوري تبدیلات لاپلاس

,0]در بازه ( ) که تابع فرض کنیم عددي اختیاري و بزرگتر مساوي صفر sتعریف شده است و(∞+≤ )باشد 0)

را به صورت زیر نمایش می دهند که برابر است با: ( ) یتبدیل لاپلاس

{ ( )} = e . 0

( )

هسته تبدیل لاپلاسی می گویند. eکه به

سره باید همگرا باشد (یعنی بی نهایت نشود)براي بدست آوردن تبدیل لاپلاسی این انتگرال نا

……………………………………………………….

مثال)

{1} = e . 0

(1)dx = lim 1 −e 0

dx = lim − 1 (e ) 0

= lim − 1 e − e (0) = − 1 e ( ) − e0 = − 1 (e − 1)= − 1 1 − 1

= − 1 (0 − 1) = 1

……………………………………………………….

)مثال

{ } = e . 0

( )dx = lim xe dx 0



١٠٥

xe dx ∗ u = x du = dxdv = e dx v = −1s e

∗ ⎯⎯ − xs e − − 1s dx =− xs e + 1(−s)(s) −s e = − e − 1s2

⎯⎯ lim 1 2 b0 = lim − e − 1 2 e − − 0 e (0) − 1 2 e (0)

ادامه دهید...

……………………………………………………….

چند قاعده ومثال:

∗) { } = n!s 1

1) { 4} = 4!s5

2) { 10} = 10!s11

∗) { } = 1s − a

1) { 2 } = 1s − 2

2) { 3 } = 1s + 3

3) 14 = 1s − 1

4

∗) {sin } = as2 + a2

1) {sin 3 } = 3s2 + 32



١٠٦

2) {sin(−2 )} = −2s2 + 4

3) sin 3 = 13s2 + 1

9

∗) {cos } = ss2 + a2

1) {cos 3 } = ss2 + 9

2) cos 4 = ss2 + 1

16

……………………………………………………….

تمرین:

12 = πs

……………………………………………………….

خواص تبدیلات لاپلاس:

1) { ( )} = . { ( )}

2) { ( ) ± ( )} = { ( )} ± { ( )}

3) { ( ). ( )} ≠ { ( )}. { ( )}

4) ( ) ( ) ≠ { ( )} { ( )}

……………………………………………………….

:مثال

{sin2 } = 1 − cos 2 = 12 − cos 2 2 = 1

2 {1} − 12 {cos 2 }= 1

2s − s2(s2 + 4)



١٠٧

مثال:

{sinh } = − 2 = 1

2 { } − 12 { } = 1

2 1 − 1 − 12 1 + 1

= 12 1 − 1 − 1 + 1 = 1

2 + 1 − ( + 1) 2 − 1 = 1 2 − 1

……………………………………………………….

تمرین:

{cosh } = 2 − 1

……………………………………………………….

مثال:

{[ ]} = e [x]dx 0

= e [x]dx1

0+ e [x]dx2

1+ e [x]dx3

2+ ⋯

= 0 + e dx2

1+ 2 e dx3

2+ 3 e dx4

3+ ⋯= −1s e 2

1 − 2s e 32 + 3s e 4

3 +. .. = − 1s (e 2 − e ) − 2s (e 3 − e 2 ) − 3−s (e 4 − e 3 ) + ⋯

= − 1s [e 2 − e + 2e 3 − 2e 2 + 3e 4 − 3e 3 + ⋯ ] = e s (1 + e + e 2 + e 3 + ⋯ ) = e s 1

1 − e = 1s(e − 1) {[ ]}= 1s(e − 1)

……………………………………………………….



١٠٨

تابع پله اي واحد:

( − ) = ( ) = 1 ≥ 0 x <

……………………………………………………….

c {( ) } مثال: > 0 = e . ( )dx

0= e . ( )dx

0+ e . ( )dx

= 0 + e . dx =

= lim − 1 −se . dx = lim − 1 e bc = lim − 1 e − e ⇒

⇒ − 1 (e − e ) = e

……………………………………………………….

{( ) } )shiftingقضیه تغییر مکان:( = ( ) ℎ {e . ( )} = ( − )

مثال:

{e2 . 10} = 10!(s − 2)11 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


١٠٩

{ 10} = 10!s11

مثال:

{e 3 . sin 4 } = 4(s + 3) + 16

{sin 4 } = 4s2 + 16

……………………………………………………….

مثال:

e2 . 12 = − 2

12 =

……………………………………………………….

قضیه:

{( ) } اگر = آنگاه: و ( )

{x . ( )} = (−1) ( )

……………………………………………………….

.x2} مثال: sin 2 } ∗

sin} (حل 2 } = 2s2 + 4 ∗= (−1)2 2 2 2s2 + 4

……………………………………………………….

مثال:



١١٠

{x3. 6 }

{ 6 } (حل = 1 + 6 (لذا = (−1)3 3 3 1 + 6

……………………………………………………….

5 مثال:2 = x3. 1

2 1 (حل

2 = (لذا = (−1)3 3 3

……………………………………………………….

:وارون تبدیل لاپلاس

{( ) } فرض کنید که = نشان می دهند وآن را چنین تعریف 1 وارن تبدیل لاپلاسی را با ( ) می کنیم.

1{ ( )} = ( )

1) 1 1 = 1 2) 1 1 2 =

∗) { } = ! 1 ⎯⎯⎯ 1 1 1 = !

……………………………………………………….

مثال:

1 10! 11 = 10 1 1 99 = 98

98! ∗) { } = 1s − a 1 1 − =

……………………………………………………….



١١١

مثال:

1) 1 1 − 3 = 3 2) 1 1 + 4 = 4 3) 1 2

2 − 6 = 1 1 + 3 = 3 4) 1 √2 − 5 = √2 5

∗) 1{sin } = s2 + a2 1 1s2 + a2 = 1 sin

……………………………………………………….

مثال:

1 1s2 + 14 = 2 sin 2

∗) 1{cos } = s2 + a2 1 s2 + a2 = cos

……………………………………………………….

مثال:

1) 1 2 s2 + 9 = 2cos 3 2) 12 = s ⇒ 1 1√s = 1√π 1

2 ……………………………………………………….

مثال:

1 1s2 − 3 + 2 = ؟

1s2 − 3 + 2= 1(s − 2)(s − 1) = −1[(s − 2) − (s − 1)](s − 2)(s − 1) = −1 1(s − 1) − 1(s − 2) 1 1s2 − 3 + 2 = 1 1(s − 2) − 1(s − 1) = 1 1(s − 2) − 1 1(s − 1) = 2 − e



١١٢

بل تجزیه نباشد):براي زمانی که قا(مثال

1 1s2 − 2 + 5 = ؟

1 1s2 − 2 + 4 + 1 = 1 1(s − 1)2 + 4 = 12 1 2(s − 1)2 + 22 = 1

2 e . sin 2x

……………………………………………………….

قضیه:

,0]در فاصله ( ) اگر تابع تعریف شده و مشتق پذیر باشد آنگاه: (∞+

1) { } = { } − y(0)

2) { } = 2 { } − y(0) − y (0)

3) { } = 3 { } − 2y(0) − sy (0) − y (0)

4) ( ) = { } − 1y(0) − s 2y(0) − ⋯− y( 1)(0) ……………………………………………………….

y(0)استفاده از تبدیل لاپلاسی معادله دیفرانسیل زیر را با استفاده از شرایط اولیه بامثال: = و 1 y (0) = − داده شده آن را حل کنید؟ 1 3y + 2y = 3e

(حل

− } ابتدا از طرفین لاپلاس می گیریم 3y + 2y} = L{3e } { } − 3 {y } + 2 {y} = 3L{e } 2 {y} − y(0) − y (0) − 3 {y} − y(0) + 2 {y} = 3 1 − 1

2 {y} − − 1 − 3 {y} + 3 + 2 {y} = 3 − 1



١١٣

{y}( 2 − 3s + 3) = s − 2 + 3 − 1

( ) = − 2 2 + 3 + 2 + 3(s − 1)(s2 − 3s + 2) = 1 1 − 1 − 3 1 1 − 1 − 3 1 1( − 1)2 + 3 1 1 − 2 = −2 − 3 + 3 3

……………………………………………………….

:درس اخلاقی چهارم

درخواست شد تا در یک مدرسه ابتدایی که زمانی در آن تحصیل می کرد، سخنرانی » وینستون چرچیل«از

کند. مدیر مدرسه به دانش آموزان گفت که متفکر دنیاي غرب تا دقایقی دیگر برایتان سخنرانی خواهد کرد.

پس » وینستون چرچیل«نند. و به آنها پیشنهاد کرد که قلم و کاغذي بدست گرفته سخنان او را یادداشت ک

هیچوقت، هیچوقت، هیچوقت تسلیم «از آنکه پشت تریبون قرار گرفت نگاهی به اطراف خود کرد و گفت:

و سپس در جایش نشست.» نشوید.

یک راند دیگر، مبارزه کن، وقتی پاهایت چنان خسته اند که به زور راه می روي یک راند دیگر مبارزه کن، «خسته اند که قدرت گارد گرفتن نداري، یک راند دیگر مبارزه کن. وقتی که خون از وقتی بازوهایت چنان

دماغت جاري است و چشمانت سیاهی می رود و چنان خسته ي که آرزو می کنی حریف مشتی به چانه ات بارزه بزند و کار را تمام کند یک راند دیگر مبارزه کن و به یاد داشته باش مردي که همواره یک راند دیگر م

» می کند هرگز شکست نمی خورد.



١١٤

2میمه ض نگاشت یا تصویر

تابع مختلط تابعی است که ورودي و خروجی آن عدد مختلط باشد.

= ورودي + → → w = ui + v خروجی حال اگر بخواهیم فضاي خروجی و ورودي را با هم نمایش دهیم یک فضاي چهار بعدي را نیاز داریم بنابراین

رسم یک تابع مختلط غیر ممکن است.

نکته:

تغییر می کند. 'Dتغییر کند خروجی در فضاي D)اگر ورودي در فضاي 1

2(D دامنه وD' برد تابعf .است

است. 'Dناحیه fتوسط D) نگاشت ناحیه 3

است.معمولا نگاشت به دو شکل مطرح

را مشخص می کنیم. 'Dمشخص است و ما باید فضاي fو تابع D)فضاي 1

بدست آورید؟) ( ) را توسط تابع D(که سوالش به این صورت است : نگاشت ناحیه

تبدیل می کند. 'Dرا به Dمشخص است ، و ما باید تابعی را بدست آوریم که 'Dو D) فضاي 2

تبدیل می شود؟) 'Dتوسط چه تابعی به Dبه این صورت است : ناحیه (که سوالش



١١٥

حال نحوه حل مسئله:

)ابتدا معادله مرزها را بدست می آوریم.1

بنویسیم. U,Vرا بر حسب x,yو یا x,yرا بر حسب V و U)سعی می کنیم 2

بنویسیم.) U,Vرا بر حسب X,Y(نکته: بهتر است

U,Vرا حذف می کنیم تا معادله خروجی بر حسب X,Y)از روابط بدست آمده با توجه به ناحیه مرزي 3 بدست آید.

)با توجه به ناحیه داده شده نگاشت مرزها را به کل ناحیه تعمیم می دهیم.4

……………………………………………………….

نگاشت هاي مقدماتی مهم:

= )نگاشت توسط 1 + +

+ = + + + = ( + ) + ( + ) → = + = +

……………………………………………………….

= اشور خورده توسط ه) نگاشت ناحیه مثال + 2 − را بدست آورید؟ 3

= + 2 − 3 → = − 3 = + 2



١١٦

= حل) نواحی مرزي 1 → = = و 2− 2 → = −1 , = 1 → = = و 3 2 → = 4 ……………………………………………………….

= تصویر نقطه مثال) 1 + = خطی را تحت تابع 2 ( ) = (1 − ) + ( + را بیابید؟ (4

= حل) ( ) = (1 − )(1 + 2 ) + ( + 4) = 7 + 2

……………………………………………………….

= )نگاشت توسط 2 ( + )

+ اگر = = افزایش می دهد. 1 برابر و فاز آن را به اندازه 1 را wاین نگاشت اندازه 1 1 1 1 × = 1 ( + 1) | | = 1 ( ) = + 1

……………………………………………………….

= نگاشت پاره خط زیر توسط مثال) √2( + را بدست آورید؟ (1



١١٧

| | حل) = 2|z| ( ) = ( ) +

4 = 2 4 .

= )نگاشت توسط 3 : = ( )

برابر می کند. nو فاز را nاین نگاشت اندازه را به توان

……………………………………………………….

= اشور خورده توسط ه) نگاشت ناحیه مثال بدست آورید؟ 4

……………………………………………………….

= نگاشت توسط )4 (نگاشت انعکاسی)

= 1 x + iy = 1u + iv

→ x + iy = u − ivu2 + v2 → x = uu2 + v2y = −vu2 + v2

……………………………………………………….



١١٨

2 )منحنی مثال + 2 + + + = = تحت نگاشت 0 به چه منحنی تبدیل می 1 شود؟

x حل) = 2 2y = 2 2 ⇒ a u2(u2 + v2)2 + a v2(u2 + v2)2 + bu(u2 + v2) − c u2 + v2 + d = 0

⇒ d(u2 + v2) + bu − cv + a = 0

= در کل براي :

= الف)معادله خطی که از مبدا عبور نمی کند

1 ⎯

اي که از مبدا می گذرد و مرکز آن روي محور ها نمی باشد.معادله دایره

= ها xخطی موازي محور ب) , =

1 ⎯

هاست.yمعادله دایره اي که از مبدا می گذرد و مرکز آن روي محور

= ها yج)خطی موازي محور , =



١١٩

= 1

هاستxدایره اي که از مبدا می گذرد و مرکز آن روي محور

= خطی که از مبدا عبور می کند. د) , =

خطی که از مبدا عبور می کند با شیب قرینه.

= چون نکته: با معکوس خودش برابر است بنابراین می توان جاي ورودي ها و خروجی ها را عوض 1 کرد.

اندازه را معکوس و فاز را قرینه می کنیم. 1در نگاشت نکته:

= → = 1 = 1

……………………………………………………….

= نگاشت ناحیه هاشور خورده توسط مثال) را بدست آورید؟ 1

1 < < 2 → | | = 1 → 12 < | | < 1



١٢٠

0 < < → arg = − → − < arg < 0

1/2 1

……………………………………………………….

= تصویر ناحیه هاشور خورده زیر را تحت تبدیل مثال) مطابق چه شکلی است؟ 1

= (حل 1 → = 1 → x + iy = 1u + iv → x = uu2 + v2y = −vu2 + v2

⇒ ناحیه داده شده 1 ≤ y ≤ 2 → 1 ≤ −vu2 + v2 ≤ 2 → −vu2 + v2 > 1 → u2 + v2 ≤ −

→ u2 + v2 + ≤ 0 → ( − 0)2 + + 12 2 ≤ 1

2 2

,0 دایره اي به مرکز 11و شعاع 2

vu2− است. 2 + v2 ≤ 2 → 2u2 + 2v2 + ≥ 0 → u2 + v2 + 12 ≥ 0 → ( − 0)2 + + 1

4 2

≥ 14 2

,0 دایره اي به مرکز − 11و شعاع 4

است. 4



١٢١

= نگاشت توسط )5 :

+ = = (cos + sin ) → u = cos v = sin

= نگاشت ناحیه هاشور خورده توسط مثال) را بدست آورید؟

+ = → u = cos v = sin ⇒ x = 1 → u = cos v = sin با حذف ⎯⎯ u2 + v2= 2

= 2u2 ⎯⎯⎯⎯⎯ مطلبق فوق + v2 = 4

= 6 → u = cos

6v = sin 6v ⎯⎯⎯ حذف = tan 6 u ,

= 6 = ⎯⎯⎯⎯⎯ مطابق فوق tan 3 u



١٢٢

= )نگاشت توسط 6 : + = sin( + ) → + = sin cosh + cos sinh ⇒ u = sin cosh v = cos sinh

= نگاشت توسط )7 : + = cos( + ) → + = cos cosh + sin sinh ⇒ u = cos cosh v = sin sinh

= ) تصویر خط مثال = تحت نگاشت 6 sin کدام است؟

)هذلولی4)دایره 3)بیضی 2)خط 1

+ حل) = sin( + ) → + = sin cosh + cos sinh ⇒ u = sin cosh v = cos sinh

= 6 → u = sin cosh v = cos sinh 4 ⎯⎯⎯⎯ با حذفu2 − 4

3 v2 = 1

معادله هذلولی است.

……………………………………………………….

= نگاشت توسط )8 : + = ln( ) + − و < ≤

⇒ u = ln r v = θ − < ≤ = نگاشت ناحیه هاشور خورده توسط مثال) ln را بدست آورید؟



١٢٣

(حل ⇒ u = ln r v = θ − < ≤ = 1 → = 0 = 2 → = ln 2 0 ≤ v ≤ π2

……………………………………………………….

= تبدیل دو خطی کسري (موبیوس) )9 :

1 اگر تبدیل سه نقطه متمایز از یک فضا مشخص باشد می توان تبدیل موبیوس متناظر آن را نوشت. → w1 2 و

→ w2 3 و → w3 ( − w1 )(w2 − w3)(w − w3 )(w2 − w1 ) = (z − 1)( 2 − 3)(z − 3)( 2 − 1)

……………………………………………………….

≤ ) نگاشت ناحیه مثال = توسط 0 را بدست آورید؟

حل)

= + − → wz − wi = z + i → wz − z = wi + i → z = i w + 1w − 1

⇒ x + iy = z = i u + iv + 1u + iv − 1

پس:

⇒ x = 0 y = u + iv + 1u + iv − 1 = (u + 1) + iv(u − 1) + iv × (u − 1) − iv(u − 1) − iv



١٢٤

= 2 − 1 − + + − + 2( − 1)2 − ( )2 → y ≥ 0u2 پس + v2 − 1 ≥ 0 ⇒ (u − 0)2 + (v − 0)2 ≥ (1)2

بسیاري از نگاشت ها به صورت ترکیبی از نگاشت هاي مقدماتی مطرح می نگاشت هاي متوالی و ترکیبی:

شوند ، که براي سادگی ما آنها را به صورت نگاشت هاي متوالی تبدیل می کنیم.

= نگاشت ناحیه هاشور خورده توسط مثال) ln را بدست آورید؟ 4 4

حل) ابتدا آن را به صورت نگاشت هاي مقدماتی متوالی می نویسیم:

(1) 1 = z4 (2)w2 = w1 − iw1 + i (3)w3 = ln w2

و خواهیم داشت:



١٢٥

حکایت همچنان باقی است.، به پایان آمد این دفتر ……………………………………………………….

نصیحت آخر:

منابع

)ریاضیات مهندسی دکتر عبداله شیدفر1

محمود کریمی )ریاضیات مهندسی 2

مسعود شفیعی ، مسعود ساروي )ریاضیات مهندسی 3

تی شریف دانشگاه صنع )جزوه ریاضیات مهندسی 4

دانشگاه شیراز ) جزوه ریاضیات مهندسی 5



Documents

ریاضی مهندسی عزیزیhooshmand55.ir/jozve/Riaziat Mohandesi.pdf · 2013. 3. 4. · ٧:ﻦﯾﺮﻤﺗ 1) 2 ( +1)( −2)3 2) 4 4 −1:ﯽﺗﺎﺜﻠﺜﻣ يﺎﻫ لاﺮﮕﺘﻧا