流れの場(二次元)での基礎方程式( 方程式) 誘導(ラプラスの方程式)の誘導

基本的な条件:地盤内を土中水が流れている。この流れは時間に依存しない定常な流れである。したがって、図に示した微小部分に流入する水量と流出する水量は常に等しくなる。

x+xx

dx

a dz

b cz+z

z

いま、微小部分の左から流入するx方向の速、微小部分 左 流入 方向 速度成分をvxとすると、ab面の中点での速度成分は、式(1)となり、テーラー展開した結果はそ式の右辺である。したがって、流入水量は式(2)で表わせれる。

vz x

1

(1) x+xx

a dz

x z

zvzxvzzxv x

xx

21,

2, (1)

zvx zz

zvzxv x

x

21, (2)

b cz+zz 2

Q A zQ=vA

また、微小部分の右端面cdの中点では、左、微小部分 端面 点 、左端よりxだけ大きくなるから、右端の速度成分は式(3)で、その流出水量は式(4)で示される。分 式 水 式

zvxvzxvzzxxv xx

1 (3) z

zx

xzxvzxxv xx

xx

2

,2

, (3)

x+xx

a dz

x zzzvx

xvzxv xx

x

21,

zvx

(4)

zx 2

b cz+z

z

したがって、単位時間当たりのx方向へ流出したがって、単位時間当たりのx方向へ流出した水量qxは、式(2)ー式(4)であるから、

qx=vv 1v 1 zzzvx

xvzxv xx

x

21, zz

zvzxv x

x

21, - =

v x+xx

a dz

x(5)= zxxvx

z

b cz+z

z

したがって、単位時間当たりのx方向へしたがって、単位時間当たりのx方向へ流出した水量qxは、式(2)ー式(4)であるから、

qx=

vv

1v 1 zz

zvx

xvzxv xx

x

21, zz

zvzxv x

x

21, - =

v x+xx

a dz

x(5)= zxxvx

z

同様に，鉛直方向の流出量は，

b cz+zqz= zx

zvz

(6)

z

基本的な条件から，:流れは時間に依存しない定常な流れである 微小部分に流入する水量定常な流れである。微小部分に流入する水量と流出する水量は常に等しくなる。つまり，式(5)と式(6)を足してもゼロであるはず式(5)と式(6)を足してもゼロであるはず，

0qx +qz =0

vv x+xx

a dz

x0

zx

zvzx

xv zx

z

(7)0

zv

xv zx

b cz+z

z

ところで、vxとその方向の透水係数khとの間にダ シ 則が成立はダルシー則が成立する

hkik

iを水頭hが 方向 流れる間に生じる損失と考

xkikv hhx

iを水頭hがx方向へ流れる間に生じる損失と考えて、動水勾配iは、マイナスとし

x+xx

a dz

x

zhi

xhi

,

となる。よって，

z

kh

zx

b cz+z

zhkv

xhkv vzhx

,z

(8)kv

zx

式(8)を式(7)に代入すると，

(7)0

zv

xv zx

hkvhkv h

zx

(8)z

kvx

kv vzhx

, (8)

22 ラプラスの方程式と同型と02

2

2

2

zhk

xhk vh

ラプラスの方程式と同型となり，二次元の場における浸透流の基礎方程式は ラ

kh=kv とおけば，浸透流の基礎方程式は，ラプラスの方程式を与えられた境界条件の基に解けばよ

02

2

2

2

hh た境界条件の基に解けばよいことが分かった。

22 zx

均一等方性地盤での流線と等ポテンシ ル線の直交性に対する証明流線と等ポテンシャル線の直交性に対する証明

Sheet pile wallSheet pile wall

n

流線

等ポテンシ ル線

m

fe

等ポテンシャル線 f

鋼矢板(止水板)鋼矢板(止水板)

図の等ポテンシャル線に沿ったベクトルHと、流速を示すベクトルvが直交していることを流速を示すベクトルvが直交していることを証明(∠+∠=90°)すればよい。

x 等ポテンシャル線x

z

H

等ポテンシャル線

x

z

軸の説明流線

h

z

v

ベクトルの説明

h+h

vz

h+h vx

ベクトルHはポテンシャル上にあるから、そのベクトルHはポテンシャル上にあるから、その始点、終点の間の水頭の変化hH=0である。

0

z

zhx

xh

(1)

等ポテンシャル線x

z

H

等 ル線

zx

z

v

軸の説明

hz

vz

v

ベクトルの説明

h+h vx

また、次の式(2)と，ダルシーの法則の関係式，式(3) び ら式(3)および、ベクトルvから

zx sin,cos

Hz

Hx

(2)

zhkv

xhkv vzhx

, (3)

sincos vv zx

zx

(4) sin,cos vv

(4)

式(3)に式(4)を代入すると，

(5)

式(3)に式(4)を代入すると，

hkhk vh

sincos (5)

zvxv

sin,cos

式(2)と式(5)の関係を用いて，加法定理で示すと、

sin,cos

Hz

Hx

(2)

(5)zh

vk

xh

vk vh

sin,cos

sinsincoscoscos sinsincoscoscos

hkHzhk

Hx

0

zhxhkzvHxvH

(6)0

zz

xxHv

(6)

sinsincoscoscos

0

zzhx

xh

Hvk (6)

zxHv

hh 0

z

zhx

xh (1)

式(6)の括弧内は式(1)と等しく，ゼロである。y=cosxのグラフで0の軸と交わるのはπ/2，つまり+=90°のときである。従って，流線と等ポテンシャル線は直交する。 [証明終了]

y

2ππ

1

xy=cosx 02π

3π/2π/2

π

-1

y

1

xy=sinx 02

3π/2πy sinx

2ππ/2

-1-1

流線網 (Flow net)

流線網とは地盤中の二次元浸透流の状態を二組の曲線群で網目状に表したものであるの曲線群で網目状に表したものである。一組は流線と呼ばれ、水分子がたどる軌跡を表

し もう一組は等ポテンシャル線と呼ばれ 水頭し、もう一組は等ポテンシャル線と呼ばれ、水頭の等しい点を結んである。均一等方性地盤中では流線と等ポテンシャル線は直交する性質がある流線と等ポテンシャル線は直交する性質がある。

この流線網を利用して①浸透水量や②流速 ③任この流線網を利用して①浸透水量や②流速、③任意の位置における水頭を求めることができる。

下図の止水矢板の下を浸透水が流れる状態を示図 水矢板 浸透水 流 状態 示した流線網を用いて、上記した点を実際に確認してみる。まず、①浸透水量を求めるときには、ダル

シーの法則に従って、流量Q は、Q=kiAt (cm3)で表される。

Sheet pile wall

n

Sheet pile wall

n

流線

n

m e

流線 m

fee

等ポテンシャル線 f等ポテンシャル線 ff

いま、図中の網目の一マスを考える。この一マスは 辺 の正方形であるとすれば マスのスは一辺aの正方形であるとすれば、一マスの流入側から流出側までに失われる水頭は、矢板の左側から右側までに至るときに失われた水頭の左側から右側までに至るときに失われた水頭hの8分の1になる。ここでの8とは流線が等ポテンシ ル線によ て区切られた数で この数をN とすシャル線によって区切られた数で、この数をNdとする。また、流線によって区切られた数をNfとする(この図では4である)(この図では4である)。

Sheet pile wall

①②③

④

①

② ⑦

⑧

②③ ④ ⑤ ⑥

⑦

この関係を使って二本の流線で挟まれた一区この関係を使って二本の流線で挟まれた 区間の奥行き1の浸透水量qを式で示すと、

h 1 hq kiA k

hNd

1a a 1 k

hNdd d

hは マスの中を流れる時に失われる水頭をNdは一マスの中を流れる時に失われる水頭を表し、それに(1/a)をかけることにより、動水勾配動水勾配

h h 1i

hLhNd

1a となることが理解されよう。

d

また、a×1はaの幅の奥行き1の断面積Aを表している。また、全体の浸透水量Qは、上式をNf倍してやればよいので、Q=kh(Nf/Nd)となる。いま、この地盤の透水係数がk=2.0×10-5(cm/s) とすると奥行き1(m)当たりの浸透水量は、次の結果となる。

Nf 5 4 3

Sh t il llSh t il ll

Q khNf

Nd

2 105 (cm/s) 750 (cm) 48100 (cm) 0.75 (cm3/s)

Sheet pile wall

n

Sheet pile wall

n

流線

等ポテンシャル線

m

fe

流線

等ポテンシャル線

m

ffee

次に、②の流速について考えてみよう。流速次に、②の流速について考えてみよう。流速はv=ki=k(h/L)であるから、透水係数が等しければ動水勾配に左右されることになる。流れれば動水勾配に左右されることになる。流れ(流線の方向)が生じるときに等ポテンシャルのラインを横切ることになるが、等ポテンシャル線の間隔ンを横切ることになるが、等ポテンシャル線の間隔は異なっても、そこで損失される水頭の値は等しい。したがって、等ポテンシャル線間(流路)の長いとこしたがって、等ポテンシャル線間(流路)の長いところほど動水勾配の値が小さくなるので、流速が遅くなることがわかる。言い換えれば、流線網を見ればなることがわかる。言い換えれば、流線網を見ればその網目の小さいところほど流速が速く、逆の場合は遅いと、流線

①

②が速く、逆の場合は遅いと、流線網を人目見ただけで判断できるのである。

③である。

各ポテンシャル間の損失水頭は等しい

最後に、③の任意の位置における水頭の求め方を説明するめ方を説明する。非粘性、非圧縮性流体の飽和域での定常流れについてベルヌ イの法則は 圧力水頭(p/ )についてベルヌーイの法則は、圧力水頭(p/w) と位置水頭z と速度水頭 v2/2gの合計はいかなる点でも等しいことを示しているる点でも等しいことを示している。

p v2pw

z v2g

const. (全水頭)

地盤中では速度水頭は非常に小さく無視できるので、

p z const. (全水頭)w

(全水頭)

p z const

w

z const.

この式を用いて、図中のe点とf点の水頭を求めると、め と、

Sheet pile wallSheet pile wall

流線

p

n

流線

p

n

流線

等ポテンシャル線

m

fe

流線

等ポテンシャル線

m

ffee

止水矢板の左側から右側へ向かって浸透水が流れたときに損失する水頭は、h=27.0-19.5=7.5 (m)である。また、基準面をEl.18.0(m)にとり、この基準面からe点までの距離をn=3.0(m)、f点までの距離をm=6.0(m)とすると、

Sh t il llSh t il llSheet pile wall

n

Sheet pile wall

n

流線

等ポテンシャル線

m

fe

流線

等ポテンシャル線

m

ffee

等 ル線 f等 ル線 f

圧力水頭＋位置水頭 = 全水頭であるから、点 合e点の場合は、

pH

h p( 3 0) 9 0

7.51

p

pw

z H Nd

pw

(3.0) 9.0 8

1

pw

11.06 (m) を得る。となり、

ここで、Hは基準面に加わっている水頭を示し、位置水頭zは基準面より下にあるので負の値となる。位置水頭zは基準面より下にあるので負の値となる。(7.5/8)×1の(×1)は求める点までに通過した流線網のマス目の数である。したがって、f点では、こ網のマス目の数である。したがって、f点では、この値は(×6)となる。求める点によっては等ポテンシャル線上にはないときもあり、そのときには小シャル線上にはないときもあり、そのときには小数点を含んだ値で処理する。

次式はf点の水頭を求めたものである。

p

(6.0) 9.0 7.58

6 p

9.38 (m)

なお、基準面は任意に決めることができ、El 0mと

w 8 w

なお、基準面は任意に決めることができ、El. 0mとすれば、e点の値は次式で計算される。結果は等しいことを確認してもらいたい。いことを確認してもらいたい。

p z H

h

p15 0 27 0

7.51

w

z HNd

w

15.0 27.081

からp

11 06 ( )から、pw

11.06 (m)

次の文の空欄に適当な語句を記入せよ。次の文の空欄に適当な語句を記入せよ。

流線網を利用すると流線網を利用すると，( ),( ),( )を求められる。流線網は水の流れの経路を示す( )と 等し流線網は水の流れの経路を示す( )と，等しい水頭の点を結んだ( )によって構成され，この二つの曲線は( )する。流線網で，流線で挟まれた数を記号( )で，もう一つで，流線で挟まれた数を記号( )で，もう つの記号Ndは( )で挟まれた数である 流線網を用いて浸透水量を求める式はる。流線網を用いて浸透水量を求める式は。

次の文の空欄に適当な語句を記入せよ。次の文の空欄に適当な語句を記入せよ。

流線網を利用すると流線網を利用すると，(浸透水量),( ),( )を求められる 流線網は水の流れの経路を示す( )とる。流線網は水の流れの経路を示す( )と，等しい水頭の点を結んだ( )によって構成され，この二つの曲線は( )する。流線網で，流線で挟まれた数を記号( )で，もう線網で，流線で挟まれた数を記号( )で，もう一つの記号Ndは( )で挟まれた数である 流線網を用いて浸透水量を求める式はである。流線網を用いて浸透水量を求める式は。

次の文の空欄に適当な語句を記入せよ。次の文の空欄に適当な語句を記入せよ。

流線網を利用すると流線網を利用すると，(浸透水量),(間隙水圧，揚水圧),( )を求められる 流線網は水の流れの経路を示す求められる。流線網は水の流れの経路を示す( )と，等しい水頭の点を結んだ( )によって構成され，この二つの曲線は( )する。流線網で，流線で挟まれた数線は( )する。流線網で，流線で挟まれた数を記号( )で，もう一つの記号Ndは( )で挟まれた数である 流線網( )で挟まれた数である。流線網を用いて浸透水量を求める式は。

次の文の空欄に適当な語句を記入せよ。次の文の空欄に適当な語句を記入せよ。

流線網を利用すると流線網を利用すると，(浸透水量),(間隙水圧，揚水圧),(流速分布)を求められる 流線網は水の流れの経路を示すめられる。流線網は水の流れの経路を示す( )と，等しい水頭の点を結んだ( )によって構成され，この二つの曲線は( )する。流線網で，流線で挟まれた数線は( )する。流線網で，流線で挟まれた数を記号( )で，もう一つの記号Ndは( )で挟まれた数である 流線網( )で挟まれた数である。流線網を用いて浸透水量を求める式は。

次の文の空欄に適当な語句を記入せよ。次の文の空欄に適当な語句を記入せよ。

流線網を利用すると流線網を利用すると，(浸透水量),(間隙水圧，揚水圧),(流速分布)を求められる 流線網は水の流れの経路を示すめられる。流線網は水の流れの経路を示す(流線)と，等しい水頭の点を結んだ( )によって構成され，この二つの曲線は( )する。流線網で，流線で挟まれた数線は( )する。流線網で，流線で挟まれた数を記号( )で，もう一つの記号Ndは( )で挟まれた数である 流線網( )で挟まれた数である。流線網を用いて浸透水量を求める式は。

次の文の空欄に適当な語句を記入せよ。次の文の空欄に適当な語句を記入せよ。

流線網を利用すると流線網を利用すると，(浸透水量),(間隙水圧，揚水圧),(流速分布)を求められる 流線網は水の流れの経路を示すめられる。流線網は水の流れの経路を示す(流線)と，等しい水頭の点を結んだ(等ポテンシャル線)によって構成され，この二つの曲線は( )する。流線網で，流線で挟まれの曲線は( )する。流線網で，流線で挟まれた数を記号( )で，もう一つの記号Ndは( )で挟まれた数である 流線網( )で挟まれた数である。流線網を用いて浸透水量を求める式は。

次の文の空欄に適当な語句を記入せよ。次の文の空欄に適当な語句を記入せよ。

流線網を利用すると流線網を利用すると，(浸透水量),(間隙水圧，揚水圧),(流速分布)を求められる 流線網は水の流れの経路を示すめられる。流線網は水の流れの経路を示す(流線)と，等しい水頭の点を結んだ(等ポテンシャル線)によって構成され，この二つの曲線は(直交)する。流線網で，流線で挟まれたの曲線は(直交)する。流線網で，流線で挟まれた数を記号( )で，もう一つの記号Ndは( )で挟まれた数である 流線網( )で挟まれた数である。流線網を用いて浸透水量を求める式は。

次の文の空欄に適当な語句を記入せよ。次の文の空欄に適当な語句を記入せよ。

流線網を利用すると流線網を利用すると，(浸透水量),(間隙水圧，揚水圧),(流速分布)を求められる 流線網は水の流れの経路を示すめられる。流線網は水の流れの経路を示す(流線)と，等しい水頭の点を結んだ(等ポテンシャル線)によって構成され，この二つの曲線は(直交)する。流線網で，流線で挟まれたの曲線は(直交)する。流線網で，流線で挟まれた数を記号(Nf)で，もう一つの記号Ndは( )で挟まれた数である 流線網( )で挟まれた数である。流線網を用いて浸透水量を求める式は。

次の文の空欄に適当な語句を記入せよ。次の文の空欄に適当な語句を記入せよ。

流線網を利用すると流線網を利用すると，(浸透水量),(間隙水圧，揚水圧),(流速分布)を求められる 流線網は水の流れの経路を示すめられる。流線網は水の流れの経路を示す(流線)と，等しい水頭の点を結んだ(等ポテンシャル線)によって構成され，この二つの曲線は(直交)する。流線網で，流線で挟まれたの曲線は(直交)する。流線網で，流線で挟まれた数を記号(Nf)で，もう一つの記号Ndは(等ポテンシャル線)で挟まれた数である 流線網(等ポテンシャル線)で挟まれた数である。流線網を用いて浸透水量を求める式は。

次の文の空欄に適当な語句を記入せよ。次の文の空欄に適当な語句を記入せよ。

流線網を利用すると流線網を利用すると，(浸透水量),(間隙水圧，揚水圧),(流速分布)を求められる 流線網は水の流れの経路を示すめられる。流線網は水の流れの経路を示す(流線)と，等しい水頭の点を結んだ(等ポテンシャル線)によって構成され，この二つの曲線は(直交)する。流線網で，流線で挟まれたの曲線は(直交)する。流線網で，流線で挟まれた数を記号(Nf)で，もう一つの記号Ndは(等ポテンシャル線)で挟まれた数である 流線網(等ポテンシャル線)で挟まれた数である。流線網を用いて浸透水量を求める式は。

kh(Nf/Nd)q=kh(Nf/Nd)