Özdeşlikler, Denklemler ÜNİTE ve E itsizlikler · uzunluğu olmak üzere A = x.y ... (x + y)4 ifadelerinin açılımları , n doğal sayı olmak üzere (x + y)n nin Newton Binom

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;• temel özdeşlikleri ve binom açılımını,• birinci ve ikinci dereceden denklem çözümlerini ve bu denk-

lemler yardımıyla çözülebilen problemleri , • birinci ve ikinci dereceden eşitsizliklerin çözümünün bulunması-

nı, • bir iki terimli ile bir üç terimlinin işaretinin incelenmesini,• yüksek dereceden bazı denklemlerin çözümlerinin bulunmasını

öğrenmiş olacaksınız.

İçindekiler

• Giriş 37• Özdeşlikler ve Binom Açılımı 37• Denklemler 46• Eşitsizlikler 62• Yüksek Dereceden Denklemler 73• Değerlendirme Soruları 78

ÜNİTE

2Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler

YazarProf.Dr. Vakıf CAFEROV

A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ

Çalışma Önerileri

• Üniteyi çok dikkatli okuyunuz • Mutlaka yazarak çalışınız• Çözümleri size bırakılan soruları kendiniz çözüp cevaplarınızı

karşılaştırınız• Benzer sorular yazıp çözmeye çalışınız• Ezberlemeye değil öğrenmeye çalışınız• Bu konuların büyük bölümü liselerde okutulduğu için lise bilgi-

lerinizi hatırlayınız• Zaman zaman hesap makinesine ihtiyaç duyabilirsiniz, müm-

künse, yanınızda bir hesap makinesi bulundurunuz.

A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ

1. GirişGünlük yaşantımızda sıkça karşılaştığımız ve dört işlemle çözmekte zorlandığımızhatta bazen çözemediğimiz problemleri denklemler yardımıyla kolayca çözebil-mekteyiz. Ancak bundan daha önemlisi gerek matematik ve gerekse uygulamalı bi-limlerde pek çok problemin çözümü bir denklemin çözümüne indirgenebilmekte-dir. Bu nedenle denklem çözümlerinin bilinmesi matematikçiler açısından oldukçaönemli olmuş ve matematikçiler asırlar boyunca her tür denklemin çözümünde iz-lenebilecek bir yöntem bulmaya çalışmışlardır. Ancak her tür denklemin çözümün-de izlenebilecek belirli bir yöntemin verilemeyeceği görülmüş ve denklemler sınıf-lara ayrılarak her bir sınıf için bir çözüm yöntemi verilmeye çalışılmıştır. Bugün da-hi pek çok denklem için kesin çözüm yöntemi verilememektedir. Kesin çözüm yön-temi verilemeyen denklemlerin kökleri,günümüzde özellikle bilgisayarlar yardı-mıyla yaklaşık olarak istenilen hassasiyette bulunabilmektedir.

Bu ünitede bazı özdeşlikleri ve Binom (iki terimli) eşitliğini hatırlattıktan sonra bi-rinci ve ikinci dereceden (polinom) denklemler ile çözümleri bu tür denklemlerinçözümüne indirgenebilen bazı denklemlerden söz edeceğiz. Daha sonra matemati-ğin denklemler kadar önemli bir konusu olan ve denklemlerle çok yakından ilgiliolan eşitsizlik çözümlerini ele alacağız.

2. Özdeşlikler ve Binom AçılımıKısa kenar uzunluğu 2 birim, uzun kenar uzunluğu 5 birim olan bir dikdörtgeninalanının 10 birim kare; kısa kenar uzunluğu 2,4 birim, uzun kenar uzunluğu 3 birimolan bir dikdörtgenin alanının ise 7,2 birim kare olduğunu biliyoruz. Burada dik-dörtgenlerin alanlarını bulmak için kısa kenar uzunlukları ile uzun kenar uzunluk-larını çarpıyoruz. Neden böyle buluyoruz sorusuna cevap vermek konumuz veamacımız dışındadır. Aslında bu sorudan önce alan nedir sorusunu sormamız gere-kir. Bu soru ise bugün fen fakültelerinin matematik bölümlerinin ancak son sınıfla-rında öğretilen ve matematiğin bir dalı olan ölçüm kuramının doğmasına neden ol-muştur. Dikdörtgenin alanının bulunması ile ilgili "bir dikdörtgenin alanının kaç bi-rim kare olduğunu bulmak için dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu ile uzun kenaruzunluğunu çarpıyoruz" ifadesini; A alan, x kısa kenar uzunluğu, y uzun kenaruzunluğu olmak üzere A = x.y şeklinde kısaca ifade edebiliriz. Benzer şekilde yarı-çapı r birim olan bir dairenin alanını da A = π r2 şeklinde ifade edebiliriz. Alanformülleri de dediğimiz bu ifadeler, genellik ve kısalık sağlamanın yanında işlemyapma imkanı da sağlamaktadır. Örneğin

"bir dikdörtgende karşılıklı iki kenarın uzunlukları 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanı nekadar değişir?"

sorusuna kolayca cevap verebiliriz.

Ö Z D E Ş L İ K L E R , D E N K L E M L E R V E E Ş İ T S İ Z L İ K L E R 37


Kenar uzunlukları x ve y birim olan bir dikdörtgenin x birim uzunluğundaki kenar-larının uzunlukları 1 birim artırılsın. Bu durumda yeni dikdörtgenin kenar uzun-lukları x +1 ile y birim olduğundan alanı (x + 1). y = x.y + y birim kare olur. Dikdört-genin alanındaki değişme miktarı, son alan ile ilk alan arasındaki fark olduğundan,bu fark x.y + y - x.y = y birim karedir. Buna göre bir dikdörtgenin ayrıtlarından biri-sinin uzunluğu 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanındaki değişme miktarı, diğerkenarın uzunluğu kadar birim karedir diyebiliriz.

Yukarıdaki soruya x,y gibi harfleri kullanmadan cevap vermeye çalışınız.

Bu tip sorulara kelimelerle, sözlerle cevap vermek genellikle kolay değildir. Keli-meler, sözler yerine harfleri ve sembolleri kullandığımızda bu tür sorulara daha ko-lay cevap verebiliriz. Harfler ve semboller içeren ifadelere cebirsel ifadeler diyece-ğiz.

Örneğin,

xy, πr2, 2x + 5 , 3x2 - 4x +1,

şeklindeki ifadeler birer cebirsel ifadedir. Buna göre, harfler ve sayılarla ilgili topla-ma, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin yanında kuvvet alma, kök alma gibiişlemlerden bazılarını veya hepsini içeren ifadelere cebirsel ifade, ifadelerde bu-lunan ve herhangi bir gerçel sayıyı temsil eden x,y,r,..,t gibi harflere de değişkenveya bilinmeyen diyoruz. Cebirsel ifadelerde değişkenler yerine sayılar yazılıpgerekli işlemler yapılarak ifadenin sayısal değeri bulunur. Örneğin 3x2- 4x +1 ifade-sinin x = -2 için sayısal değeri 3(-2)2 - 4(-2) + 1 = 12 + 8 +1 = 21 dir.

İki cebirsel ifade değişkenlerin her değeri için aynı sayısal değeri alıyorsa bu ikiifadeye özdeştir diyoruz. Örneğin x2 - 1 ile (x - 1)(x + 1) ifadesini ele alalım. İkinciifadedeki çarpma işlemini ve gerekli kısaltmaları yaparsak,

(x -1)(x + 1)= x.x + x.1 - 1.x -1.1 = x2 - 1

buluruz. Dolayısıyla her x gerçel sayısı için

x2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

dır. Bu nedenle bu iki ifade özdeştir diyoruz.

Bir problemde bir ifade yerine onun özdeşi alınabilir.

İki ifadenin özdeşliği ≡ işareti ile ifade edilirse de sıkça kullanılan özdeşliklerde buişaret yerine = işareti de kullanılmakta hatta tercih edilmektedir.

Ö Z D E Ş L İ K L E R , D E N K L E M L E R V E E Ş İ T S İ Z L İ K L E R38

?

x2 + 1, x + 1x2 + 1

, 3x2 - y2 + 2, x2 + y33 , 12

gt2


x + y ifadesinin pozitif tam kuvvetleriyle ilgili özdeşlikler sıkça kullanılmaktadır.Şimdi bu özdeşlikleri ele alalım.

(x + y)2 = (x + y) (x + y) = x.x + x.y + y.x + y.y = x2 + 2xy + y2 olduğundan

dir.

x ve y pozitif gerçel sayı olduğunda bu özdeşliğin (eşitliğin) doğruluğunu geomet-rik olarak da görmek mümkündür. Bunun için (x + y)2 sayısını, bir kenar uzun-luğu x + y olan bir karenin, x2 ile y2 yi de sırasıyla bir kenar uzunluğu x ve yolan karelerin alanları olarak düşünebiliriz. Buna göre özdeşliğin doğruluğu aşağı-daki şekilden kolayca görülebilir.

Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazarsak aşağıdaki özdeşliği elde ederiz.

x > y > 0 için bu eşitliğin doğruluğunu aşağıdaki şekilden görmeye çalışınız.


Her x , y ∈∈∈∈ IR için (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

2

y x

x

y

x

y

y x

xyy 2

xy x2

Her x , y ∈∈∈∈ IR için (x - y)2 = x2 - 2xy + y2


Bir diğer özdeşlik,

Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için sağ taraftaki çarpma işlemini yapmak ye-terlidir. x ve y nin pozitif sayı olması durumunda bu özdeşliğin doğruluğunu geo-metrik olarak da görmek mümkündür.

Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için

(x + y)3 = (x + y)2(x + y) = (x2 + 2xy + y2)(x +y)


y

y

yy

x

xy

xy

x - y

x - y

yy

x

x

y 2

x2

Şekil 2.1

Her x , y ∈∈∈∈ IR için x2 - y2 = (x - y) (x + y)

x

x - y

y

y

A B

CDy2

x - y2 2

x y

x - y2 2

x + y

A

BC

D

Şekil 2.2

Her x , y ∈∈∈∈ IR için (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3


çarpma işlemini yapmak yeterlidir. Bu özdeşliği pozitif x ve y için geometrik olarakdoğrulamak için aşağıdaki şekli inceleyiniz.


Şekil 2.3


Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazılırsa,

bulunur.

Her zaman karşımıza çıkan,

özdeşliklerini de unutmamalıyız.

Son iki eşitlikte sağ taraftaki çarpma işlemi yapılarak özdeşliğin doğruluğu ispatla-nabilir. Bunlara benzer şekilde

(x + y)4 = (x + y)( x + y)3 = (x + y)(x3 + 3x2y + 3xy2 + y3)

= x4 +3x3y +3x2y2 + xy3 + yx3 +3x2y2 +3xy3 + y4

= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

dır. O halde,

(x + y)2 , (x + y)3, (x + y)4 ifadelerinin açılımları , n doğal sayı olmak üzere (x +y)n nin Newton Binom Açılımı’nın (formülünün) özel halleridir. Bu açılım,

şeklindedir. Bu özdeşlik tümevarım yöntemi ile ispatlanabilir.

Burada olduğu gibi k∈ IN olmak üzere 1.2.3.4...k çarpımına k faktöriyel denirve k! şeklinde gösterilir. Örneğin 3! = 1.2.3 = 6, 5!=1.2.3.4.5 = 120 dir.

0! = 1 olarak tanımlanır. Faktöriyel tanımından sonra Binom Açılımını şöyle yazabi-liriz.


Her x , y ∈∈∈∈ IR için (x - y)3 = x3 - 3x2 y + 3xy2 - y3

Her x, y ∈∈∈∈ IR için (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

x + y n = xn + n1

xn-1y + n n - 11.2

xn-2 y2 + n n - 1 n - 21.2.3

xn-3 y3 + ... + n n - 1 n - 2 n -3 ... n - k + 1

1.2.3...k xn-k yk + ... + n n - 1 ...2.1

1.2.3...n yn

Her x , y ∈∈∈∈ IR için x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy +y2)

Her x , y ∈∈∈∈ IR için x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy +y2)


Binom formülü biraz karmaşık gibi görünse de uygulaması oldukça kolaydır. For-mülden de açıkça görüldüğü gibi, bu açılımda;

i) terim sayısı n + 1 dir,ii) ilk terim xn dir ve x in kuvvetleri birer birer azalırken y nin kuvvetleri birer

birer artar ve son terim yn olur,iii) her terimde x ile y nin kuvvetleri toplamı n dir,iv) baştan k + 1 -inci terim, A katsayı olmak üzere Axn-k yk dır ve burada A kat-

sayısının payı n den başlayan birer birer azalan k tane tamsayının çarpımı, pay-dası ise k! dir.

Örnek:

= x10 + 10 x9y + 45 x8 y2 + 120 x7 y3 + 210 x6 y4 + 252 x5 y5 + 210 x4 y6 + 120 x3 y7 + 45 x2 y6 +10 x y9 + y10 .

Örnek :

(2y)2 = 22 y2 = 4y2 , (2y)3 = 23y3 = 8y3, (2y)4 =24 y 4 = 16y4 olduğundan

(x + 2y)4 = x4 + 8x3y + 24x2y2 + 32xy3 + 16y4

dir. Bu açılımda ikinci terimin 2y olduğuna ve 2y nin kuvvetlerinin alındığına dik-kat ediniz.


x + y n = xn + n1!

xn-1 y + n n - 12!

xn-2y2 + n n - 1 n - 23!

xn-3 y3 + ... + n n - 1 n - 2 n -3 ... n - k + 1

k! xn-k yk + ... + yn

x + y 10 = x10 + 101

x9y + 10.91.2

x8 y2 + 10.9.81.2.3

x7 y3 + 10.9.8.71.2.3.4

x6 y4 + 10.9.8.7.61.2.3.4.5

x5y5

+ 10.9.8.7.6.5

1.2.3.4.5.6 x4 y6 + 10.9.8.7.6.5.4

1.2.3.4.5.6.7 x3 y7 + 10.9.8.7.6.5.4.3

1.2.3.4.5.6.7.8 x2 y8

+ 10.9.8.7.6.5.4.3.2

1.2.3.4.5.6.7.8.9 xy9 + y10

x + 2y 4 = x4 + 41

x3 2y + 4.31.2

x2 2y 2 + 4.3.21.2.3

x 2y 3 + 4.3.2.11.2.3.4

2y 4

= x4 + 4x3 2y + 6x2 2y 2 + 4x 2y 3 + 2y 4


Örnek :

= 32x5 – 80 x4y + 80x3y2- 40x2y3 + 10xy4 – y5 .

Burada da birinci terimin 2x, ikinci terimin –y olduğuna ve bunların kuvvetlerininalındığına dikkat ediniz.

Örnek:

1002 . 998 = (1000 + 2)(1000 – 2) =10002 – 22 = 1000 000 – 4 = 999 996 .

Örnek :

472 = (50 – 3)2 = 502 - 2.50.3 + 32 = 2500 - 300 + 9 =2209 ,

veya

472 = (40 + 7)2 = 402 + 2.40.7 +72 = 1600 + 560 + 49 = 2209 .

Örnek:

Toplamaları 50, çarpımları 481 olan iki gerçel sayının kareleri toplamı kaçtır?

Bu sayılardan birincisine x, ikincisine y diyelim. Buna göre x + y = 50 , xy = 481 olur.Diğer taraftan (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 = (x2 + y2 ) + 2xy olduğundan

502 = (x2 + y2 ) + 2 . 481 olur. Buradan da x2 + y2 = 502 - 962 = 2500 - 962 = 1538bulunur.

Binom açılımında baştan k+1 -inci terimin katsayısının

olduğunu belirtmiştik. Bu sayı kısaca şeklinde de gösterilir. Buna göre

dir. Özel olarak alınır. Buna göre örneğin

dir.


2x - y 5 = 2x + -y 5 = 2x 5 + 51!

2x 4 -y + 5.42!

2x 3 -y 2 + 5.4.33!

2x 2 -y 3 + 5.4.3.2

4! 2x -y 4 + -y 5

n n - 1 n - 2 ..... n - k + 11.2.3.4.....k

nk

nk

= n n - 1 n - 2 ... n - k + 11.2.3.4.....k

= n n - 1 n - 2 ... n - k + 1k!

n0

= 1

4

0 = 1, 4

1 = 4

1 = 4, 4

2 = 4.3

1.2 = 6, 4

3 = 4.3.2

1.2.3 = 4, 4

4 = 4.3.2.1

1.2.3.4 = 1


yazılabilir. Bu ifadenin sağ tarafında payın 1.2.3.4..... n = n! , paydanın ise

(1.2.3...k)[1.2.3...(n-k)] = k! . (n-k)! olduğu görülebilir. Bu kısaltmalardan sonra,

şu şekilde yazılabilir:

Bu gösterimden sonra Binom formülünü şöyle de ifade edebiliriz.

Örnek:

= x7 + 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 + y7 .

Örnek:

(x + y)11 in Binom açılımında x4y7 teriminin katsayısı kaçtır?

Çözüm:

Binom açılımında xn-k yk teriminin katsayısı dır. Burada k nın y nin kuvveti

olduğuna dikkat ediniz. Buna göre, x4y7 nin katsayısı dır.

Şimdi (x + y) nin pozitif tam kuvvetlerinin açılımları ile bu açılımlardaki katsayılarabirlikte bir göz atalım.


n n - 1 ... n - k + 11.2.3.....k

= n n - 1 n - 2 ... n - k - 11.2.3.4.....k

. n - k n - k + 1 n - k + 2 ... n - n - 2 n - n - 1n - k n - k + 1 n - k + 2 ... n - n - 2 n - n - 1

nk

nk

= n !k ! n - k !

, n ∈ IN , k ∈ IN

x + y 7 = 70

x7 + 71

x6 y + 72

x5 y2 + 73

x4 y3 + 74

x3 y4 + 75

x2 y5 + 76

xy6 + 77

y7

= x7 + 7!

1!.6! x6y + 7!

2!.5! x5y2 + 7!

3!.4! x4y3 + 7!

4!.3! x3y4 + 7!

5!.2! x2y5 + 7!

6!.1! xy6 + 7!

7!.0! y7

n

k 117

= 11!7!.4!

= 330

x + y n = n

0 xn + n

1 xn-1 y + n

2 xn-2 y2 + .. + n

k xn-k yk +.. + n

n yn , n ∈∈∈∈ IN , k ∈∈∈∈ IN


(x + y) = x + y 1 1

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 1 2 1

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 1 3 3 1

(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 1 4 6 4 1

(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 1 5 10 10 5 1

(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6 1 6 15 20 15 6 1. . . . . . . . . .

Yukarıda katsayıların oluşturduğu üçgen biçimindeki tablodan açılımla ilgili şuözellikleri görüyoruz. Bu açılımlarda n. satırda ilk katsayı 1, ikinci katsayı n, diğerkatsayılar ise bir üst satırda o katsayının üstündeki sayı ile onun solundaki sayınıntoplamıdır. Örneğin üçüncü satırdaki 3, üstündeki 2 ile 2 nin solundaki 1 in toplamı-na, 6-ıncı satırdaki ikinci 15 de üstündeki 5 ile 5 in solundaki 10 nun toplamına eşit-tir. Bu kural diğer bütün katsayılar için de geçerlidir. Bunun doğruluğunu tablodankolayca görebilirsiniz. Bu üçgende 7-inci satır, x + y nin 7-inci kuvvetinin açılımın-daki katsayılardan oluşacaktır. 6-ıncı satırdaki katsayılar bilindikten sonra 7-inci sa-tırdaki katsayılar, yukarıda açıklamaya çalıştığımız kuralla kolayca bulunabilir. Bukatsayılar, 1,7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 dir. Binom açılımında katsayıların bulunmasında ol-dukça kolaylık sağlayan bu tabloya Pascal Üçgeni denilmektedir. x + y nin n-incikuvvetinin açılımındaki katsayıları Pascal üçgeni ile bulabilmek için (n-1)-inci kuv-vetin açılımındaki katsayıların (yani Pascal Üçgeninde n-1 -inci satırın) bilinmesigerekmektedir. Bu n büyüdükçe Pascal üçgeninin uygulanabilirliğini kısıtlayan birözelliktir.

3. DenklemlerMatematiğin önemli kavramlarından birisi olan denklem kavramı matematiğin ge-lişmesine önemli katkılar sağlamıştır. Bundan başka uygulamalı bilimlerde de pekçok problemin çözümü bir denklemin veya denklemler sisteminin çözümüne indir-genebilmektedir. Bu nedenle denklem çözümlerinde izlenebilecek kesin yöntemlerbulmak matematik kadar uygulamalı bilimler açısından da önem taşımaktadır. Da-ha öncede ifade ettiğimiz gibi her tür denklemin çözümünde izlenebilecek kesin biryöntem yoktur. Bu nedenle denklemler çeşitli sınıflara ayrılır ve her sınıf için izlene-bilecek çözüm yöntemleri verilmeye çalışılır. Biz bu kesimde birinci ve ikinci dere-ceden polinom denklem çözümlerini ayrıntılı olarak inceleyeceğiz. Daha sonra yük-sek dereceden bazı özel polinom denklemlerin nasıl çözülebileceğine dair örneklervereceğiz. Trigonometrik , üstel ve logaritmik denklemlerin çözümlerini de ilgili bö-lümlerde açıklayacağız.

Şimdi, aşağıdaki soruları ele alalım.



Bir kişi cebindeki para ile 5 kiloluk karpuz alırsa parası 40 000 lira eksik geliyor, bu-nun yerine bu kişi 3 kiloluk karpuz alıyor ve cebinde 70 000 lira parası kalıyor. Bunagöre karpuzun fiyatı kaç liradır?

Uzun ve kısa kenar uzunlukları toplamı 50 birim, alanı 481 birim kare olan dikdört-genin kenarları kaç birimdir? Sorulardan birincisini, bazı kimseler biraz uğraşarak bazıları ise fazla uğraşmadan,dört işlemle çözebilir, ancak ikinci soruya dört işlemle ya da şekle bakarak doğru ce-vap vermemiz oldukça zordur. Bu sorulara denklem kavramını bildikten sonra da-ha kolay cevap verebiliriz.

Sorulardan birincisinde, karpuz fiyatına x diyelim. Buna göre, 5x - 40 000 = 3x + 70 000 eşitliğini sağlayan x sayısını bulursak, karpuz fiyatını bulmuş oluruz.

İkinci soruda ise, dikdörtgenin kenar uzunluklarına x ve y dersek, x + y = 50, x.y = 481 eşitliklerinin her ikisini de sağlayan x ve y sayıları ya da x2-50x + 481 =0 eşitliğini sağlayan x sayısı ile y = 50 - x sayısı dikdörtgenin kenar uzunluklarıdır. Bu örneklerde olduğu gibi x,y z,... bilinmeyenlerini içeren ve bilinmeyenlerin bazıdeğerleri için gerçeklenen (sağlanan) eşitliklere denklem diyoruz. Bilinmeyenle-rin denklemi sağlayan değerlerine denklemin kökü ya da çözümü, tüm çözümle-rin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi, denklemin köklerini bulmak için yapı-lan işlemler zincirine de denklemin çözülmesi denir. Denklem, bilinmeyenlerininhiçbir değeri için sağlanmıyorsa bu durumda denklemin çözümü veya kökü yokturdenir. Bu durumda çözüm kümesinin boş küme olacağı açıktır.

Özdeşlik ile denklem arasındaki fark nedir?

Özdeşlik bilinmeyenlerin her değeri için gerçeklenen eşitliktir. Denklem ise genel-likle bilinmeyenlerin bazı özel değerleri için gerçeklenen eşitliktir. Örneğin x2 - y2 =(x - y)(x + y) eşitliğinde x ve y ye hangi değerler verilirse verilsin bu eşitlik sağlanır.Buna karşılık 5x - 40000 = 3x + 70 000 eşitliği sadece x = 55 000 için sağlanır, x + y = 50eşitliği ise örneğin x = 15, y = 35 için sağlanırken x = 10 ve y = 20 için sağlanmaz.

Denklemler öncelikle bilinmeyen sayılarına göre sınıflara ayrılır. Eğer denklemdebir bilinmeyen varsa denkleme bir bilinmeyenli, iki bilinmeyen varsa iki bilinme-yenli , ..., n tane bilinmeyen varsa n bilinmeyenli denklem denir. Örneğin 7x - 81 = 144, 3x = 81 bir bilinmeyenli iken x + y = 50, x2 + y2 = 1 denklemleribirer iki bilinmeyenli denklemdir. Cebirsel ifadelerin eşitlenmesiyle elde edilendenklemlere cebirsel denklem denir. Örneğin

birer cebirsel denklemdir.


?

2x - 5 = 0, 4x - 5x + 1

= 3, x2 - 5x + 6 = 0, 3x + 4 - x = -12, x3 - 4x2 + 5 = 0


Şimdi bir bilinmeyenli bazı denklemlerin çözümlerini inceleyelim.

3.1. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

a ve b bilinen gerçel sayılar, a ≠ 0 olmak üzere,

ax + b = 0

biçiminde yazılabilen bir denkleme birinci dereceden bir bilinmeyenli polinomdenklem veya kısaca birinci dereceden denklem veya bir bilinmeyenli lineer(doğrusal) denklem , a ile b ye denklemin katsayıları, x e bilinmeyen denir.Budenkleme birinci dereceden veya lineer denklem denmesinin nedeni x in sadece bi-rinci kuvvetinin bulunması ve başka hiçbir kuvvetinin bulunmamasıdır. Bu denkle-mi çözmek yani eşitliği sağlayan x i bulmak için şu işlemler yapılır.

ax + b = 0 ,

ax = - b .

Burada a ≠ 0 olduğundan her iki tarafı a ile bölebiliriz. Bu işlemi yaparsak

bulunur. Buna göre denklemin çözüm kümesi Ç= dır.

Örnek:

2x + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

2x + 4 = 0 ise 2x = - 4 buradan Ç= { -2 } bulunur.

Örnek:

2x + 4 = x + 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

İlk bakışta denklem ax + b = 0 biçiminde değildir. Ancak denklemi düzenlersek2x - x = 2 - 4, x = -2 elde ederiz. Denklemin kökü x = - 2 olduğundan Ç = { - 2} olur.

Örnek:

Yukarıdaki birinci problemin cevabı, 5x - 40 000 = 3x + 70 000 denkleminin kökü ol-duğuna göre bu denklemi çözelim.


axa = -ba , x = - ba

- ba

2x2

= -42

⇒ x = -2,


Çözüm :

bulunur. Ç = { 55 000 }.

Örnek:

a, b, c, d ∈IR olmak üzere, ax + b = cx + d denkleminin çözüm kümesini araştıralım.

Çözüm:

ax + b = cx + d ................(1)ax - cx = d - b(a - c) x = d - b ................(2)

Burada köklerin varlığı a , b, c ve d katsayılarına bağlıdır. Şimdi karşılaşabileceği-miz durumlara göre kökün varlığını inceleyelim.

i.durum: a = c ve b = d ise ( 2) e şitliği 0x = 0 şeklini alır. Bu eşitlik her gerçelx sayısı için doğru olduğundan Ç = IR dir. Aslında bu sonuç doğal bir sonuçtur.Çünkü a = c ve b = d ise ( 1) eşitliği, ax + b = ax + b demektir. Bu eşitlik de her gerçelsayı için doğrudur.

ii. durum: a = c ve b ≠ d ise (2) eşitliği 0x = d - b şeklini alır. Burada sol taraf x in her de-ğeri için daima 0 iken, sağ taraf sıfırdan farklı bir sayıdır. Bu nedenle bu eşitlik hiçbirx gerçel sayısı için sağlanmaz, çözüm kümesi boş kümedir. Ç = Ø .

iii.durum: a ≠ c olsun. Bu durumda (2) eşitliğinde x in katsayısı olan a - c sıfırdanfarklı olacağı için her iki tarafı a - c ye bölebiliriz.

bulunur. Ç = olur. Bu durumda b = d ise 0 ın kök olacağına dikkat ediniz.

Örnek:

Bir tüccar 285 000 000 liraya bir miktar kumaş alıyor. Kumaşın 1/4 ünü metresi 2000 000 liradan, geri kalanını da metresi 1 600 000 liradan satıyor ve 21 000 000 lirakar sağlıyor. Bu tüccar kaç metre kumaş almıştır?


a - c xa - c = d - b

a - c

x = d - ba - c

d - ba - c

5x - 40 000 = 3x + 70 000

5x - 3x = 70 000 + 40 000

2x = 110 000

x = 55 000


Çözüm:

Alınan kumaş miktarına x diyelim. Kumaşın 1/4 ünün satışından elde edilen

gelir kalan kumaşın satışından elde edilen gelir

ise liradır. Buna göre toplam gelir

500 000.x + 1 200 000.x = 1 700 000.x

liradır. Kar = gelir - gider olduğundan

21 000 000 = 1 700 000.x - 285 000 000

denklemi elde edilir. Bu denklemin kökü aradığımız kumaş miktarını verecektir.

Buna göre tüccar 180 metre kumaş almıştır.

Örnek:

Ardışık 25 tamsayının toplamı 425 olduğuna göre, bu sayıların en küçüğü ve enbüyüğü kaçtır?

Çözüm:

Sayıların en küçüğüne x diyelim. Ardışık tamsayı birbirini izleyen tamsayı demekolduğuna göre, diğer sayılar x +1, x + 2, x +3, .... x + 24 olacaktır. Bu sayıların toplamı,

x + (x +1) + (x + 2) + ... + (x +24) = 25 x + (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 24) = 25 x + 300

dir. Bu sayı 425 olduğuna göre,

25x + 300 = 42525 x = 125

x = 5

bulunur. O halde en küçük sayı 5, en büyük sayı ise x + 24 = 5 + 24 = 29 olarak bulu-nur.

Bazı denklemlerin çözümleri birinci dereceden denklem çözümüne indirgenebilir.


x4

. 2 000 000 = 500 000.x lira,

x - x4

1 600 000 = 3x4

1 600 000 = 1 200 000

21 000 000 + 285 000 000 = 1 700 000 . x

306 000 000 = 1 700 000 . x

306 000 0001 700 000

= x

180 = x .


Örnek:

Çözüm: x = 0 ve x = -1 için paydalar sıfır olduğundan x ≠ 0 ve x ≠ -1 olmalıdır.

Bir kesrin 0 olması için payın 0 olması gereklidir. Bu nedenle,

(x +1) + 3 - 2x = 04 - x = 0 ,

buradan da x = 4 bulunur. Ç = { 4 } .

Örnek:

Alkol oranı % 65 olan 40 litrelik bir çözeltinin alkol oranını % 80 e çıkarmak için nekadar saf (mutlak) alkol ilave edilmelidir?

Çözüm:

Çözeltideki alkol oranı % 65 olduğuna göre, saf alkol miktarı 0,65.40 = 26 litredir.İlave edilecek saf alkol miktarı x litre olsun. Bu durumda alkol oranı olur.Bu oranın % 80 olması istendiğine göre, eşitliğini sağlayan x aradı-ğımız sayıyı verecektir. Bu eşitlikte her iki tarafı 40 + x ile çarparsak,

26 + x = (40 + x).0,826 + x = 32 + 0,8x

0,2x = 6x = 30

bulunur. Demek ki 30 litre saf alkol ilave etmek gerekmektedir.

Bir denklemin kökü olarak bulunan sayının gerçekten kök olup olmadığını kontroletmek için bu sayı denklemde yerine yazılır ve gerekli işlemler yapılır, sonuçta birözdeşlik elde edilirse, sayı denklemin köküdür. Bu işleme kökün denklemi sağla-ması ya da denklemin sağlatılması denir.


1x + 3

x x + 1 = 2

x + 1

1x + 3

x x + 1 - 2

x + 1 = 0

x + 1 + 3 - 2x

x x +1 = 0 .

26 + x40 + x26 + x

40 + x = 0,80

1x + 3

x x + 1 = 2

x + 1


Örneğin bir önceki örnekte denkleminin kökü olarak 30 sayısını

bulmuştuk. Şimdi bu sayının denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim. Diğer

bir deyişle denklemi doğru çözüp çözmediğimizi kontrol edelim. Bunun için denk-

lemde x yerine 30 yazalım. Buna göre, 30 sayı-

sı denklemi sağlamaktadır, dolayısıyla denklemin köküdür diyebiliriz.

Örnek:

|2x + 3| = 8

deklemini çözünüz.

Çözüm:

Bir sayının mutlak değeri 8 ise, bu sayı ya 8 ya da - 8 dir. Bu yüzden

2x + 3 = 8 veya 2x + 3 = - 8

olmalıdır. Buradan da x = 5/2 veya x = - 11/2 olmalıdır. Denklemim çözüm kümesi,

Ç = {5/2, - 11/2}

dir.

Örnek:

|x| + 3 = 2x denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

Bu denklemde,

i) x ≥ 0, ii) x < 0 durumlarına göre kök arayacağız.

i) x ≥ 0 ise, |x| = x olduğundan denklem, x +3 = 2x denklemine dönüşür.Buradan x = 3 bulunur. x in bu değeri x ≥ 0 koşulunu sağladığından, 3 denkle-min bir köküdür.

ii) x < 0 ise, |x| = -x olduğundan denklem, - x + 3 = 2x şekline dönüşür.Buradan x = 1 bulunur. Ancak bulunan 1 sayısı x < 0 koşulunu sağlamaz, bu ne-denle kök olamaz. O halde denklemin çözüm kümesi Ç = { 3} dir.

3.2. İkinci Dereceden Denklemler

a,b,c ∈ IR , a ≠ 0 , olmak üzere

ax2 + bx + c = 0


26 + x40 + x

= 0,80

26 + x40 + x

= 0,80 , 5670

= 0,8 , 0,8 = 0,8


biçiminde yazılabilen denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli veya kısacaikinci dereceden denklem denir. x bilinmeyeninin en büyük kuvvetinin 2 olmasıve x in kesirli ve negatif kuvvetlerinin olmaması nedeniyle denkleme ikinci derece-den denklem denildiği açıktır. Burada a,b, c sayılarına denklemin katsayıları denir.Şimdi bu denklemin köklerinin nasıl araştırıldığını görelim.

ax2 + bx + c = 0 denkleminde a ≠ 0 olduğundan bu denklem

şeklinde yazılabilir. Bir çarpımın sıfır olması için çarpanlardan birisinin sıfır olmasıyeterlidir. Burada a ≠ 0 olduğundan

olmalıdır. Bu denklemi çözmek için x in katsayısının yarısının karesini bir ekleyipbir de çıkaralım (bu işlemi yapmak için x2 nin katsayısının 1 olması gerektiğinedikkat ediniz)

ğundan b2 - 4ac nin işaretine bağlıdır. Eğer b2 - 4ac negatif değilse (1) eşitliğininsol tarafı negatif olmayan iki sayının farkı olur, dolayısıyla bu toplam x in bazı değer-leri için sıfır olabilir, diğer bir deyişle denklemin kökü vardır. Eğer b2 - 4ac negatifise (1) eşitliğinin sol tarafı negatif olmayan bir sayı ile negatif bir sayının farkı olur, do-layısıyla sıfır olamaz. Bu nedenle bu durumda denklemin kökü olamaz. Dikkat eder-seniz ikinci dereceden denklemin köklerinin varlığı b2 - 4ac nin işaretine bağlıdır.Bu nedenle b2 - 4ac sayısına , denklemin diskriminantı denir ve ∆ ile gösterilir:

∆ = b2 - 4ac .

Bu gösterimden sonra ikinci dereceden denklemin köklerinin varlığı ve sayısı şu şe-kilde özetlenebilir.

i) ∆ = b2 - 4ac > 0 ise (1) eşitliği şu şekilde yazılabilir.

bu eşitliğin sıfır olması için


a x2 + ba x + ca = 0

x2 + ba x + ca = x2 + ba x + b2a

2 - b

2a2 + ca = x + b

2a2 - b2

4a2 + ca

x + b

2a2 - b

2 - 4ac4a2

= 0 ................ 1

x2 + ba x + ca = 0

Burada daima x + b2a

2 ≥ 0 dır. Buna karşılık b2 - 4ac

4a2 nin işareti, 4a2 > 0 oldu-

x + b2a

2 - ∆

4a2 = x + b

2a2 - ∆

2a

2 = x + b

2a - ∆

2a x + b

2a + ∆

2a


olmalıdır. Bu eşitliklerden denklemin iki kökünün varlığı ve bu köklerin

olduğu kolayca görülebilir. Bu köklere x1 ve x2 dersek, ∆ > 0 olduğunda ikincidereceden denklemin farklı iki gerçel kökünün varlığı ve bu köklerin

olduğu sonucuna ulaşırız.

ax2 + bx + c = 0 denkleminde a ile c ters işaretli ise denklemin kesinlikle ger-çel kökü vardır diyebilir misiniz?

Cevabınız evet olmalıydı. Çünkü bu durumda diskriminant kesinlikle pozitif olur.

ii) ∆ = 0 ise (1) eşitliği şeklini alır. Bu eşitliğin sıfır

olması için, her iki çarpan olmalıdır.

Bu durumda iki kök eşit olmaktadır:

O halde ikinci dereceden denklemde ∆ = 0 ise denklemin tek kökü vardır diyebiliriz.Bu durumda kökler çakışıktır veya iki kat kök vardır da denir.


x + b2a

- ∆2a

= 0 veya x + b2a

+ ∆2a

= 0

x = - b2a

- ∆2a

= -b - ∆2a

, x = - b2a

+ ∆2a

= -b + ∆2a

x1,2 = - b ± ∆2a

∆ > 0 ise denklemin farklı iki gerçel kökü vardır ve kökler ,

dır.

x1,2 = -b ± ∆2a

?

x + b2a

2 = x + b

2a x + b

2a = 0

x + b2a

olduğundan, x + b2a

= 0, x = - b2a

x1 = x2 = - b2a

.

∆ = 0 ise denklemin tek kökü (iki kat kökü) vardır ve bu kök,

dır.

x1 = x2 = - b2a


iii) ∆ < 0 ise b2 - 4ac < 0 , 4ac - b2 > 0 olur. (1) eşitliğinin sol tarafı,

biçiminde, negatif olmayan bir sayı ile pozitif bir sayının toplamı olur, dolayısıylasıfır olamaz. Bu nedenle denklemin gerçel kökü yoktur.

Örnek:

x2 - 3x +2 = 0 denkleminin çözümünü bulunuz.

Çözüm:

Bu denklemde a = 1 , b = - 3 ve c = 2 olduğundan ∆ = b2 - 4ac = (- 3)2 - 4.1.2 = 9 - 8= 1 > 0 olduğundan denklemin farklı iki gerçel kökü vardır. Bu kökler,

bulunur. Çözüm kümesi Ç = {1, 2} dir.

1 ve 2 sayılarının denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol ediniz.

Örnek:

3x2 + 2x + 5 = 0 denkleminin çözümünü araştırınız.

Çözüm:

a = 3, b = 2 ve c = 5 olduğundan, ∆ = b2 - 4ac = 22 - 4.3.5 = 4 - 60 = - 56 < 0 oldu-ğundan denklemin gerçel kökü yoktur. Çözüm kümesi Ç = Ø dir.

Örnek:

4x2 - 4x +1 = 0 denkleminin çözümünü bulunuz.

Çözüm:

∆ = (- 4)2 - 4 . 4 . 1 = 16 - 16 = 0 olduğundan denklemin tek (iki kat) kökü vardır.Bu kök


x + b2a

2 - ∆

2a = x + b

2a2 - b

2 - 4ac4a2

= x + b2a

2 + 4ac - b2

4a2

∆ < 0 ise denklemin gerçel kökü yoktur.

x1,2 = - b ± ∆2a

= - -3 ± 12.1

= 3 ± 12

, x1 = 3 - 1

2 = 1, x2 = 3 + 1

2 = 2

x1 = x2 = - b2a

= - -42 . 4

= 12

= 0,5 dir. Çözüm kümesi Ç = 12

dir.

?


Örnek:

x2 + x + 1 = 0 denkleminin çözümünü araştırınız.

Çözüm:

a = b = c = 1 olduğundan ∆ = 1 - 4.1.1= -3 < 0 dır. Dolayısıyla gerçel kök yoktur.Ç = Ø dir.

Bu kesimin başında sözünü ettiğimiz dikdörtgen problemini hatırlayalım. Prob-lemde uzun ve kısa kenar uzunlukları toplamı 50 birim, alanı ise 481 birim kare olandikdörtgenin kenar uzunlukları soruluyordu. Bu dikdörtgenin kenar uzunlukları-na x ve y diyelim. Probleme göre, x + y = 50 , x. y = 481 dir. Bu eşitliklerin birincisin-den y = 50 - x bulup ikinci eşitlikte yerine yazarsak, x2 - 50 x + 481 = 0 denk-lemini elde ederiz. Böylece problem bu ikinci dereceden denklemin çözümüne in-dirgenmiş olur. Bu denklemde

∆ = 502 - 4.1.481 = 2500 - 1924 = 576 > 0

buradan da x1 = 37, x2 =13 bulunur. x = 37 için y = 50 - 37 = 13; x = 13 için

y = 50 - 13 = 37 bulunur. Buna göre söz konusu dikdörtgenin kenar uzunlukları 37 ve

13 birimdir.

Bu problemde dikkatimizi çeken bir nokta var. Dikdörtgenin kenar uzun-luklarını ifade eden x ve y sayılarının toplamı 50, çarpımı 481 dir ve bu sayılarx2 - 50x + 481 = 0 denkleminin kökleridir. Acaba bu her zaman doğru mudur?Yani iki sayının toplamı p, çarpımı q ise bu iki sayı x2 - px + q = 0 denklemininkökleri midir? Şimdi bu soruya cevap vermeye çalışalım. Sayılara x1 ve x2 diye-lim. Bu durumda x1 + x2 = p , x1.x2 = q dur. x2 - px + q = 0 denkleminde p yeri-ne x1 + x2 ve q yerine x1 . x2 yazalım:

x2 - (x1 + x2) x + x1 . x2 = 0 .

Bu eşitliğin sol tarafı (x - x1) (x - x2) dir (Bunun doğruluğunu görmek için bura-daki çarpma işlemini yapmak yeterlidir). Bu durumda denklem

(x - x1) (x- x2) = 0

şeklini alır. Buradan x- x1 = 0 veya x – x2 = 0 , buradan da x = x1 veya x = x2bulunur. Buna göre tahminimiz doğrulanmaktadır. Yani:

İki sayının toplamı p, çarpımı q ise bu iki sayı, x2 - px + q = 0 denklemininkökleridir.


olduğundan iki gerçel kök vardır ve bu kökler, x1,2 = - (-50) ± 5762.1

= 50 ± 242

olup,


Bazı ikinci dereceden denklemleri yukarıda verdiğimiz formülü kullanmadan dahakolay çözebiliriz. Örneğin x2 - 9 = 0 denkleminin çözümü için formüle gerek yok-tur. Bunun çözümü için sol tarafı çarpanlara ayırmak yeterlidir. (x -3) (x + 3) = 0,buradan x - 3 = 0 veya x + 3 = 0 olmalıdır. Buradan da x = 3 ve x = -3 bulunur. Benzerşekilde x2 + 8x = 0 denklemi, x (x + 8) = 0 şeklinde yazılabilir, buradan x = 0 , x =- 8 çözümleri elde edilir.

ax2 + bx + c = 0 denkleminde ∆ > 0 ise bu denklemin kökleri,

formülü ile de bulunabilir. Bu formülün doğruluğunu görmek istiyorsanız,

formülünde pay ve paydayı 2 ile bölünüz. b nin çift sayı olması

durumunda oldukça kullanışlı olan bu formüle yarım formül denir.

Örnek:

4x2 - 24x - 13 = 0 denkleminin çözümünü bulalım.

Çözüm:

b çift sayı olduğundan yarım formülü kullanabiliriz.

buradan x1 = 6,5 , x2 = - 0,5 bulunur.

Ç = {6,5 , -0,5}

dır.

Örnek:

Bir karenin kenarlarından birisi 2 birim kısaltılıp , diğer kenar 4 birim uzatılırsa, eldeedilen dikdörtgenin alanı 280 birim kare oluyor. Buna göre karenin kenar uzunluğukaç birimdir?

Çözüm:

Karenin kenar uzunluğuna x dersek, dikdörtgenin kenar uzunlukları x - 2 ve x + 4birim olur. Dikdörtgenin alanı 280 birim kare olduğuna göre, (x -2 ) . (x + 4) = 280 olmalıdır. Bu eşitliğin sol tarafını açarsak,


x1,2 = - b

2 ± b

22 - ac

a

x1,2 = -b ± ∆

2a

x1,2 = 12 ± 122 - 4. (-13)4

= 12 ± 144

,


x2 + 2x - 8 = 280,x2 + 2x - 288 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri,

dır. Negatif bir sayı kenar uzunluğu olamayacağından karenin kenar uzunluğu 16birimdir.

Örnek:

Dikdörtgen şeklinde bir kartonun köşelerinden, bir kenar uzunluğu 2 cm olan eşitkareler kesilerek dikdörtgenler prizması şeklinde üstü açık bir kutu yapılmıştır. Ku-tunun tabanının uzun kenarı, kısa kenarından 5 cm daha uzun ve kutunun hacmi1000 cm3 olduğuna göre, dikdörtgen biçimindeki kartonun kısa kenar uzunluğukaç cm dir?

Çözüm:

Kartonun kısa kenarının uzunluğu x cm olsun. Buna göre kutunun tabanının kı-sa kenarının uzunluğu x - 4 cm, uzun kenarının uzunluğu x - 4 + 5 = x +1 cm, yük-sekliği ise 2 cm dir. Buna göre kutunun hacmi 2(x - 4)(x +1) cm3 olur. Bu durumda2(x - 4)(x +1) = 1000 eşitliğini sağlayan x sayısı kartonun kısa kenar uzunluğunu ve-recektir.

2(x - 4)(x +1) = 1000(x - 4)(x +1) = 500x2 -3x - 4 = 500x2 -3x - 504 = 0

Bu denklemin kökleri,

buradan da x1 = 24, x2 = -21 bulunur. Negatif sayı kenar uzunluğu olamayaca-ğından aradığımız cevap 24 cm dir.


x x + 4x - 2

x = - 1 ± 1 + 1.288 = - 1 ± 289 = - 1 ± 17 x1 = - 18 , x2 = 16

22

x

x + 1x - 4

2

x1,2 = 3 ± 9 + 20162

= 3 ± 452


Bazı denklemlerin köklerinin bulunması, bir ikinci dereceden denklemin kökleri-nin bulunmasına indirgenebilir. Şimdi buna ait birkaç örnek verelim.

Örnek:

Çözüm:

Verilen denklemde x ≠ 0 olmak zorundadır, çünkü x = 0 için payda sıfır olmakta-dır, bu nedenle denklem anlamlı olmaz. x ≠ 0 olmasının manası, kökleri IR de değilIR - {0} da arayacağız demektir. Yani denklemi çözmek için yapılan işlemler sonun-da elde edilen "yardımcı" denklemin köklerinden birisi 0 ise, 0 esas denklemin köküolamaz.

Burada her iki tarafı 6x ile çarparsak,

6 (x2 - 1 ) = 5x , 6x2 - 5x - 6 = 0

elde ederiz. Bu denklemde ∆ = (-5)2 - 4. 6 .(-6) = 169 > 0 olduğundan farklı ikigerçel kök vardır:

Örnek:

Bir gün, ekmek fiyatlarına 5000 TL zam geliyor ve bir işçi, bir günlüğü ile alabildiğiekmek sayısından 10 ekmek daha az ekmek alabilir duruma düşüyor. İşçinin günlü-ğü 2 800 000 TL olduğuna göre ekmeğin eski fiyatı kaç liradır?

Çözüm:

Ekmeğin eski fiyatına x diyelim. İşçinin ekmek zammından önce alabildiği ekmek


x - 1x = 56

denklemini çözünüz.

x - 1x = 56

, x2 - 1

x = 56

.

x1 = 5 + 1692.6

= 32

, x2 = 5 - 1692.6

= - 23

,

Ç = 32

, - 23

.

sayısı 2 800 000x , ekmek zammından sonra alabildiği ekmek sayısı ise 2 800 000

x + 5000 dir. İkinci sayı birincisinden 10 eksik olduğundan


eşitliğini sağlayan x sayısı ekmek fiyatını verecektir. Bu eşitliğin her iki tarafını x(x + 5000) ile çarparsak,

2 800 000(x + 5000)-10x(x + 5000) = 2 800 000 x ,

buradan

-10 x2 - 50 000x + 14 000 000 000 = 0x2 + 5 000 x - 1 400 000 000 = 0

elde ederiz. Bu denklemin köklerini bulalım. b = 5 000 çift sayı olduğundan yarımformülü kullanabiliriz.

buradan x1 = 35 000 , x2 = - 40 000 bulunur. Ekmek fiyatı negatif olamayacağın-dan aradığımız cevap 35 000 TL dir.

Örnek:

Çözüm:

Bu denklemin (varsa) kökünü bulmak için kareköklü ifade eşitliğin bir tarafındayalnız bırakılır ve her iki tarafın karesi alınır.

buradan da x = 6 ve x = 0 bulunur. Ancak bulunan bu sayıların esas denklemin köküolup olmadığı mutlaka kontrol edilmelidir. 6 nın verilen denklemi sağlayıp sağla-madığına bakalım.


2 800 000x - 10 = 2 800 000

x + 5000

x1,2 = -2 500 ± 2 500 2 + 1 400 000 0001

= - 2 500 ± 625.104 + 14.108

= - 2 500 ± 104 625 + 140 000 = - 2 500 ± 100 140 625 = - 2 500 ± 100.375 ,

4x + 1 - x = -1 denkleminin çözüm kümesini bulalım

4x + 1 = x - 1 ,

4x + 1 2 = (x - 1)2 , 4x + 1 = x2 - 2x + 1 , x2 - 6x = 0 ,


bu eşitlik doğru olduğundan 6 verilen denklemin köküdür. Şimdi de 0 ın denklemisağlayıp sağlamadığına bakalım.

Bu eşitlik doğru olmadığından 0 kök değildir. O halde çözüm kümesi Ç = {6} dır.

Denklemlerde bulunan sayıların denklemin kökü olup olmadığını mutlakakontrol ediniz.

Bir dikdörtgenin kısa kenarı, uzun kenarından 7 cm, köşegeninden 8 cm kısa ol-duğuna göre, dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu kaç cm dir?

Taban yarıçapı r, yüksekliği h olan bir kapalı dairesel dik silindirin toplam yüzeyalanı S = 2ππππr2 + 2ππππrh dir. Yüksekliği 10 cm, toplam yüzey alanı 288ππππ cm2 olanbir silindirin taban yarıçapı kaç cm dir?

Bir ikinci dereceden denklemi çözmeden denklemin köklerinin toplamını veçarpımını bulabilir misiniz?

Kökler farkı , köklerin kareleri toplamı, köklerin sıfırdan farklı olması halindeköklerin çarpmaya göre terslerinin toplamını katsayılar türünden ifade edebilirmisiniz?

Cevaplarınız şu şekilde olmalıydı.

a, b, c ∈ IR, a ≠ 0, olmak üzere, ax2 + bx + c ifadesine bir ikinci derece üç te-rimlisi denir. ax2 + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökleri var ve kökler x1 , x2 ise,üçterimli a(x - x1)(x- x2) biçiminde yazılabilir, diğer bir deyişle çarpanlarına ayrı-labilir. Yani ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) dir.


4.6 + 1 - 6 = -1, 5 - 6 = -1,

4.0 + 1 - 0 = -1 1 = -1

??

Cevaplarınız birinci problem için, 5 cm, ikinci problem için 8 cm olmalıydı.

?Cevabınız evet olmalıydı. a x2 + bx + c = 0 denkleminde kökler toplamı - ba , kök- ler çarpımı c

a dır.

?

x1 - x2 = ∆a , x1

2 + x2 2 = b

2 - 2aca2

, 1x1

+ 1x2 = - bc .


Örnek:

3x2 + 5x -2 üç terimlisini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

3x2 + 5x -2 = 0 denkleminin kökleri x1 = 1/3, x2 = - 2 olduğundan,

6x2 + x - 1 üç terimlisini çarpanlarına ayırınız.

25x2 - 30x + 9 üç terimlisini çarpanlarına ayırınız.

Cevaplarınız olmalıydı.

ax2 + bx + c = 0 denkleminin tek kökü varsa,

yazılabilir mi?

Cevabınız evet olmalıydı.

ax2 + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökleri yoksa,

yazılabilir.

4. Eşitsizlikler

4.1. Birinci Dereceden Eşitsizlikler

a, b ∈ IR, a ≠ 0 olmak üzere, ax + b ifadesine bir iki terimli denir. Bir iki terimli xdeğişkenine verilecek gerçel değerlere göre pozitif, negatif veya sıfır değerini alır.Örneğin - 4x + 7 iki terimlisi x = 0 için pozitif bir değer, x = 2 için negatif bir değer alır-ken x = 7/4 için 0 değerini almaktadır. Bazı problemlerin çözümü, böyle bir iki te-rimlinin x in hangi değerleri için sıfır, x in hangi değerleri için pozitif veya x in hangideğerleri için negatif değerler aldığını bilmemizi gerektirebilir. ax + b iki terimli

sinin, sadece ax + b = 0 denkleminin kökü olan için sıfır değerini aldığını

biliyoruz. Böyle bir iki terimlinin pozitif değerler alması demek x in bazı değerleriiçin ax + b > 0 eşitsizliğinin sağlanması , benzer şekilde negatif değerler alması dabazı x ler için ax + b < 0 eşitsizliğinin sağlanması demektir.


3x2 + 5x -2 = 3 x - 13

x + 2 dir.

?6 x + 1

2 x - 1

3 , 25 x - 3

52

ax2 + bx + c = a x + b2a

2

ax2 + bx + c = a x + b2a

2 + -∆

2a2

x = - ba

?


a, b ∈ IR, a ≠ 0 olmak üzere,

ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0 , ax + b ≤ 0

biçiminde yazılabilen eşitsizliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikveya kısaca birinci dereceden eşitsizlik denir. Eşitsizliği doğru kılan x gerçel sayıla-rının kümesine de eşitsizliğin çözüm kümesi ,bu kümenin bulunması işlemine deeşitsizliğin çözülmesi denir. Şimdi bu tip eşitsizliklerin çözüm kümesinin nasıl bu-lunacağını görelim.

ax + b > 0 eşitsizliğini ele alalım. Diğer eşitsizliklerin çözümleri benzer yolla buluna-bilir. Sadece, > yerine "<", " ≤", "≥" işaretleri gelir.

1. yol:

ax + b > 0ax > - b ,

şimdi burada her iki tarafı a ya böleceğiz. Ancak biraz dikkatli olmamız gerekiyor.Çünkü bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayıya bölünürse eşitsizlikte yön değiş-mez, ancak negatif bir sayıya bölünürse eşitsizlikte yön değişir. Bu nedenle eğer

Örnek:

2x + 4 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

Buna göre çözüm kümesi Ç = ( -2 , ∞ ) dır.


a > 0 ise x > - ba a < 0 ise x < - ba

elde edilir. Birinci durumda çözüm kümesi Ç = - ba , ∞ aralığı, ikinci durumda ise Ç = -∞ , - b

a aralığıdır.

2x + 4 > 0 2x > - 4 , x > - 4

2 ,

x > - 2 .


Örnek:

- 3x + 4 ≥ 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

Bu eşitsizliğin bir önceki eşitsizlikten farkı, > işareti yerine ≥ gelmiş olmasıdır. An-cak bu değişiklik çözüm yönteminde önemli bir değişikliği gerektirmemektedir, sa-dece > işareti yerine ≥ işareti gelecektir.

Buna göre çözüm kümesi, Burada her iki tarafı negatif bir sayıya

böldüğümüz için eşitsizliğin yön değiştirdiğine dikkat ediniz.

2. yol:

ax + b > 0

eşitsizliğini göz önüne alalım. Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için ax + bifadesinin, x in hangi değerleri için pozitif , hangi değeri için sıfır veya hangi değer-leri için negatif olduğunu belirlememiz gerekmektedir.


-3x + 4 ≥ 3 ,

-3x + 1 ≥ 0 ,

-3x ≥ -1 ,

x ≤ -1- 3

,

x ≤ 13

.

Ç = -∞ , 13

dır.

ax + b ifadesini a x + ba biçiminde yazabiliriz.

ax + b = a x + ba

eşitliğinde x < - ba ise x + ba < 0 olacağından a x + ba , dolayısıyla ax + b, a

ile ters işaretli bir değer olur. Yani a pozitif ise ax + b negatif bir değer, a negatif ise pozitif bir değer olur. x = - ba ise ax + b = 0 olduğunu biliyoruz. Eğer x > - ba ise x + ba > 0 olacağından a x + ba , dolayısıyla ax + b, a ile aynı işaret- li bir değer olur. Kısaca, a > 0 iken x < - b

a ise ax + b negatif (yani a ile ters


a > 0 ise

Benzer şekilde,

a < 0 ise

Dikkat ederseniz, a nın işareti ne olursa olsun, x değişkeni negatif ve yeteri kadarküçük değerlerden pozitif ve yeteri kadar büyük değerlere doğru değiştikçe, yani xdeğişkeni - ∞ dan + ∞ a doğru değiştikçe, ax + b ifadesi ancak bir kez işaret de-ğiştirmektedir. Tablo ile çözümün basit olmasının nedeni de budur. Yukarıdaki ikitabloyu tek bir tablo ile kısaca şöyle ifade edebiliriz.

Bu tabloya ax + b ifadesinin işaret tablosu denir. Birinci dereceden bir eşitsizliğinçözüm kümesini bulmak için, ax + b nin işaret tablosu hazırlanır ve çözüm kümesibelirlenir. Şimdi yukarıda çözdüğümüz örnekleri bir de bu yöntemle çözelim.

Örnek:

2x + 4 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.


x

ax + b

- ba

Negatif bir değer 0 Pozitif bir değer

x

ax + b

- ba

Negatif bir değer0Pozitif bir değer

işaretli), x > - ba ise ax + b pozitiftir (yani a ile aynı işaretlidir). Bu durumu

tablo ile şöyle ifade edebiliriz.

a < 0 iken x < - ba ise ax + b pozitif (yani a ile ters işaretli), x > - ba ise ax + b

negatiftir (yani a ile aynı işaretlidir). Bu durumu da tabloda şu şekilde göstere- biliriz.

x

ax + b

- ba

0a ile ters işaretli birdeğer

a ile aynı işaretli birdeğer


Çözüm:

Önce 2x + 4 ifadesinin işaret tablosunu hazırlayalım. Bunun için işaretin değişimnoktası olan 2x + 4 = 0 denkleminin kökünü bulmamız gerekiyor. Bu kökün - 2 oldu-ğu açıktır. a = 2 > 0 olduğundan tablo aşağıdaki şekildedir.

Tabloya göre x > -2 için 2x + 4 >0 olduğundan çözüm kümesi Ç = (-2, ∞) dır.

Örnek:

-3x + 4 ≥ 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

- 3x + 4 ≥ 3 ise - 3x + 1 ≥ 0 dır. - 3x +1 = 0 denkleminin kökü

a = - 3 < 0 olduğundan - 3x + 1 in işaret tablosu aşağıdaki şekildedir.

Örnek:

Çözüm:

Eşitsizliğe bakar bakmaz aklımıza şu soru gelmektedir.

Burada her iki tarafı (3 - x) ile çarpabilir miyiz?

Bir eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayı ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştir-mez, ancak negatif bir sayı ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir. Burada 3 - x in işare-ti x e bağlıdır. x üzerine "x < 3 veya x > 3 olsun" gibi bir koşul bindirmeden her iki ta-


x

2x + 4

-2

+0_

x = 13

dir.

0

x

-3x + 1 + _

1/3

x ≤ 13

için -3x + 1 ≥ 0 olduğundan çözüm kümesi Ç = ( - ∞ , 13

] dir.

x - 23 - x

> 1 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

?


rafı 3 - x ile çarpamayız. Bu koşulları bindirdikten sonra koşullara göre çözüm kü-melerini bulup bu çözüm kümelerinin birleşimlerini almamız gerekir. Ancak böylebir soruya yukarıda verdiğimiz tablo yöntemi ile daha kolay cevap verebiliriz. Bu-nun için önce 1 i eşitsizliğin sol tarafına alıp toplama işlemini yapmamız gerekmek-tedir.

Böyle bir eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için, pay ve paydanın işaretlerine gö-re bölümün işareti incelenir. Yukarıdaki örneklerde olduğu gibi pay ve paydanınişaretlerini inceleyelim. Bunun için öncelikle pay ve paydanın köklerini bulmamızgerekiyor.

Buna göre tabloyu oluşturalım.

Tablodan görüldüğü gibi,

x = 3 için payda sıfır olduğundan tanımsızdır, bu durumu düşey çift

çizgi ile belirtiyoruz. Bu sonuçlara göre, eşitsizliğin çözüm kümesi Ç = ( 5/2, 3) aralı-

ğıdır. Burada x = 5/2 için kesir 0 olduğundan 5/2 çözüm kümesine dahil değildir.


x - 23 - x

> 1 , x - 23 - x

-1 > 0 , x - 2 - 3 + x3 - x

> 0 , 2x - 53 - x

> 0

2x - 5 = 0 , x = 52

; 3 - x = 0 , x = 3

x

2x - 53 - x

2x - 53 - x

_

+

_

0

0

+

+

+

0

+

_

5/2 3

_

x < 5/2 için 2x - 5 < 0 ve 3 - x > 0 olduğundan 2x - 53 - x

< 0 ; 5/2 ≤ x < 3 için 2x - 5 ≥ 0 ve 3 - x > 0 olduğundan 2x - 5

3 - x ≥ 0 ;

5/2 ≤ x < 3 için 2x - 5 ≥ 0 ve 3 - x > 0 olduğundan 2x - 5

3 - x < 0 .

?

2x - 53 - x

3x + 4x - 2

≥ 0 eşitsizli ğinin çözüm kümesinin (-∞, - 4/3] ∪ (2, ∞) olduğunu gösteriniz?


Örnek:

|3x - 8| ≤ 7 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

Bir a sayısının mutlak değeri 7 den küçük veya eşit ise, -7 ≤ a ≤ 7 olmalıdır. Bunun ter-si de doğrudur. Bu nedenle,

|3x - 8| ≤ 7 ⇔ -7 ≤ 3x - 8 ≤ 7 dir. Bu son eşitsizliğin çözüm kümesi aradığımız çözüm kümesidir.

buna göre çözüm kümesi Ç = [ 1/3, 5] kapalı aralığıdır.

Örnek:

|- 4x + 7| > 5 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

Bir gerçel sayının mutlak değeri 5 den büyük ise o sayı ya 5 den büyüktür veya – 5den küçüktür. Bunun tersi de doğrudur. Bu nedenle, |- 4x + 7| > 5 ⇔ - 4x + 7 > 5 veya - 4x + 7 < -5

dir. Bu iki eşitsizliğin çözüm kümelerinin birleşimi aradığımız çözüm kümesi ola-caktır.

- 4x + 7 > 5 ⇒ - 4x > -2 ⇒ x < 0,5 ⇒ Ç1 = (- ∞, 0,5) ,

- 4x + 7 < -5 ⇒ - 4x < -12 ⇒ x > 3 ⇒ Ç2 = (3, ∞) ,

buna göre, çözüm kümesi Ç = (- ∞, 0,5) ∪ (3, ∞) dır.

1) |x + 2| ≤ |x|2) |x - 4| > |3x|eşitsizliklerinin çözüm kümelerini bulunuz.

Cevaplarınız ( - ∞ , - 1] ve ( - 2 , 1) aralıkları olmalıdır.


-7 ≤ 3x - 8 ≤ 7 ,

-7 + 8 ≤ 3x ≤ 7 + 8

1 ≤ 3x ≤ 15 ,

13

≤ x ≤ 5 ,

?


4.2. İkinci Dereceden Eşitsizlikler

a, b, c ∈ IR ve a ≠ 0 olmak üzere ,

ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≤ 0

biçiminde ifade edilebilen eşitsizliklere bir bilinmeyenli ikinci dereceden eşitsizlikler veya kısaca ikinci dereceden eşitsizlikler denir. Bu tür eşitsizliklerin çözümkümelerini bulmak için ax2 + bx + c üç terimlisinin işaretini incelememiz, yanibu ifadenin x in hangi değerleri için pozitif, x in hangi değerleri için negatif bir değeraldığını belirlememiz gerekir. Bu işaret ise, a nın işareti ile birlikte ax2 + bx + c =0 denkleminin köklerine bağlıdır.

i. ∆∆∆∆ > 0. Yani, ax2 + bx + c = 0 denkleminin x1 < x2 olmak üzere x1 ve x2

gibi farklı iki gerçel kökü olsun. Bu durumda ax2 + bx + c = a (x – x1) (x –x2) yazılabileceğini biliyoruz. Şimdi x değişkeni - ∞ dan ∞ kadar tümgerçel sayıları tarasın. Eğer x < x1 ise x – x1 < 0 ve x - x2 < 0 olaca-ğından (x – x1) (x – x2) > 0 olur. Bu durumda a (x – x1) (x – x2) ve dola-yısıyla ax2 + bx + c üçterimlisi a ile aynı işaretli bir değer alır. Eğer x1 < x <x2 ise x – x1 > 0 ve x – x2 < 0 olacağından (x–x1) (x–x2) < 0 olur. Bu ne-denle a (x – x1) (x – x2) ve dolayısıyla ax2 + bx + c üç terimlisi a ile ters işa-retli bir değer alır. Eğer x>x2 ise x – x1 ve x – x2 çarpanlarının her ikiside pozitif olacağından a (x – x1) (x – x2) = ax2 + bx + c üç terimlisi a ile ay-nı işaretli bir değer alır. Bu durumları bir tablo ile kısaca ifade edebiliriz.

x x1 x2

ax2 + bx + c a ile aynı işaretli | a ile ters işaretli | a ile aynı işaretlibir değer 0 bir değer 0 bir değer

Böyle bir tabloya ax2 + bx + c üç terimlisinin işaret tablosu denir.

ii.


∆ = 0, yani a x2 + bx + c = 0 denkleminin tek kökü olsun. Bu durumda ax2 + bx + c üç terimlisinin, a x + b

2a2 biçiminde yazılabileceğini biliyoruz. Burada

x + b

2a2 ifadesi x = - b

2a için sıfır, diğer durumlarda daima pozitif oldu-

ğundan a x + b

2a2 dolayısıyla a x2 + bx + c üç terimlisi daima a ile aynı

işaretli bir değer alır. Bu durumda işaret tablosu şu şekilde olur.


x

ax2 + bx + c a ile aynı işaretli | a ile aynı işaretlibir değer 0 bir değer

iii. ∆∆∆∆ < 0, yani ax2 + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökü olmasın. Bu durumda

yazılabileceğini biliyoruz. Burada ∆ = b2 – 4ac < 0 olduğundan 4ac – b2 > 0dır, dolayısıyla köşeli parantezin içi daima pozitiftir. Bu nedenle ax2 + bx + cdaima a ile aynı işaretli bir değer alır. Bu durumda işaret tablosu şu şekildedir.

x ax2 + bx + c a ile aynı işaretli bir değer

Örnek:

x2 – 3x + 2 ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için x2 – 3x + 2 üç terimlisinin işaret tab-losunu hazırlamamız gerekmektedir. Bunun için de x2 – 3x + 2 = 0 denklemininköklerini araştırmalıyız. ∆ = (-3)2 – 4.1.2 = 1 > 0 olduğundan denklemin farklı ikigerçel kökü vardır ve bu kökler

dir. Buna göre işaret tablosu şu şekildedir.

x 1 2x2 - 3x + 2 + | _ | +

0 0

Tabloya göre x e 1 den küçük veya 2 den büyük bir değer verirsek x2 – 3x + 2üç terimlisi pozitif bir değer, x e 1 ile 2 arasında bir değer verirsek bu üç terimli nega-tif bir değer, x = 1 ve x = 2 için 0 değerini aldığından eşitsizliğin çözüm kümesi

Ç = (-∞ , 1] ∪ [2, ∞)


- b2a

ax2 + bx + c = a x + b2a

2 + 4ac - b2

4a2

x1,2 = 3 ± 12

, x1 = 1 , x2 = 2


dır. Burada eşitsizlik ≥ biçiminde olduğundan üç terimlinin sıfır olduğu 1 ve 2 ninde çözüm kümesine dahil olduğuna dikkat ediniz.

Üç terimlinin kökleri içermeyen herhangi bir açık aralıktaki işareti, bu aralıktanseçilen herhangi bir noktada üç terimlinin aldığı değerin işareti ile aynıdır.

Örneğin x2 - 3x + 2 üç terimlisinin (-∞, 1) aralığında işaretini belirleyelim. Bununiçin bu aralıktan keyfi bir nokta seçelim, işlem yapması kolay olduğu için 0 noktasınıseçelim, (siz isterseniz -1000000 veya seçebilirsiniz). 0 için üç terimli+2 değerini almaktadır. Dolayısıyla (- ∞ , 1) aralığında x2 - 3x + 2 üç terimlisininişareti + dır. Bunun doğruluğu yukarıdaki tablodan da açıkça görülmektedir.

Örnek:

- 9x2 + 6x – 1 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

∆ = 0 olduğundan tek kök vardır ve bu kök tür. Buna göre, a = - 9 < 0 oldu-ğundan, işaret tablosu aşağıdaki gibidir.

x 1/3-9x2 + 6x -1 _

Tablodan görüldüğü gibi, - 9x2 + 6x – 1 üçterimlisi sadece x = 1/3 noktasındasıfır olmakta, bunun dışındaki noktalarda ise daima negatif değer almaktadır. Bunagöre eşitsizliğin çözüm kümesi Ç = IR – {1/3} = (-∞, 1/3) ∪ (1/3, ∞) dir.

Bu cevabın doğruluğunu aşağıdaki eşitliğe bakarak kontrol ediniz.

Örnek:

x2 – 4x + 5 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

∆ = 16 – 20 = - 4 < 0 olduğundan üçterimli daima a ile aynı işaretli birdeğer alır. a = 1 > 0 olduğundan üç terimli daima pozitif değer alır, hiçbir noktada sı-fır veya negatif olmaz. Bu nedenle eşitsizliğin çözüm kümesi boş kümedir: Ç = ∅.


- 189

13

-9x2 + 6x - 1 = -9 x - 13

2

|0|


Örnek:

Çözüm:

Bu eşitsizliği çözmek için önce bazı düzenlemeler yapmamız gerekmektedir.

Son eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için pay ve paydanın ayrı ayrı işaretleriniinceleyerek bölümün işaretini inceleyelim. Bunun için pay ve paydanın köklerinibulalım.

- 4x2 – 4x + 15 = 0 ise x1 = - 5/2, x2 = 3/2 dir.15x (x +1) = 0 ise x1 = 0, x2 = - 1 dir.

Tabloya göre, eşitsizliğin çözüm kümesi Ç = ( - ∞, - 5/2) ∪ (- 1, 0) ∪ (3/2, ∞)olur.

Örnek:

Bir maldan x birim satıldığında elde edilen karın, -2x2 + 44200x - 1 400 000 TLolduğu belirlenmiştir. Buna göre, kârın 100 000 000 TL dan az olmaması için ne ka-dar mal satılmalıdır?

Çözüm:

Karın 100 000 000 dan az olmaması için satılan mal miktarını ifade eden x in

-2x2 + 44200x – 1 400 000 ≥ 100 000 000

eşitsizliğini sağlaması gerekir. Şimdi bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulalım.


1x - 1

x + 1 < 4

15 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

1x - 1

x + 1 < 4

15 , x + 1 - x

x (x + 1) - 4

15 < 0 ,

-4x2 - 4x + 1515x (x + 1)

< 0 .

x

15x (x + 1)

_

+

_

0

0

+

+

+

0

+

_

- 5/2 3/2_- 4x2 - 4x + 15

- 4x2 - 4x + 1515x (x + 1)

+

+

+

0

-1

+_

_

0

0

0


-2x2 + 44200x – 101 400 000 ≥ 0 ,

Buna göre, 2600 ≤ x ≤ 19500 koşulunu sağlayan x miktarda mal satıldığında kar100.000.000 TL dan az olmaz.

5. Yüksek Dereceden Denklemlern ∈ IN, a0 , a1 ,..., an-1 , an ∈ IR ve a0 ≠ 0 olmak üzere,

a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an

biçimindeki bir cebirsel ifadeye n-inci dereceden polinom (çok terimli),

a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an= 0

biçiminde yazılabilen bir denkleme de n-inci dereceden bir bilinmeyenli polinomdenklem veya kısaca n-inci dereceden denklem denir. n-inci dereceden bir poli-nom bazan kısaca P(x) , Q(x) ,... şeklinde gösterilir.

1-inci ve 2-inci dereceden denklemleri önceki kesimlerde incelemiştik. Bu inceleme-lerden hatırlayacağınız gibi birinci dereceden denklemin bir tane gerçel kökü var-ken ikinci dereceden denklemin en çok iki tane gerçel kökü vardır. Genel olarakdenklemin derecesi ile gerçel köklerinin sayısı hakkında, burada ispatını vermeye-ceğimiz, şu ilişkiyi söyleyebiliriz.

n-inci dereceden bir polinom denklemin en çok n tane gerçel kökü vardır.


x1, 2 = -22100 ± 221002 - 2.101400000-2

= -22100 ± 16900-2

x1 = 2600, x2 = 19500 .

x 2600 19500

-2x2 + 44200x - 101400000 _ 0 0 _+

Örneğin, P(x) = 5x3 - 4x2 + 2x + 5 üçüncü dereceden, Q(x) = x13 - 2x10 + 0,5x8 + 1 onüçüncü dereceden bir polinomdur. 5x3 - 4x2 + 2x + 5 = 0 üçüncü dereceden, x13 - 2x10 + 0,5x8 + 1 = 0 ise onüçüncü dereceden bir denklemdir.


Her dereceden polinom denklemlerin çözümünde izlenebilecek kesin yöntemlerbulma konusunda çok çalışmalar yapılmış ve 3. ve 4. dereceden denklemlerin çözü-münde kullanılabilecek kesin yöntemler bulunmuştur. Ancak bu yöntemler de çokkullanışlı değildir. 5 ve daha yüksek dereceden denklemlerin çözümünde izlenebi-lecek kesin bir yöntem yoktur. Yüksek dereceden denklemlerin kökleri günümüzdebilgisayarlar yardımı ile yaklaşık olarak bulunabilmektedir.

b∈ IR olmak üzere,

P(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an

polinomunu x – b ye böldüğümüzde, bölüm Q(x), kalan K sabit sayısı olmak üzere ,

P(x) = (x – b) Q(x) + K

yazılabilir.

P(x) = (x – b) Q(x) + K eşitliğinde x yerine b yazarsak, P(b) = (b – b) Q(b) + K , buradanda K = P(b) bulunur. Buna göre, P(x) polinomunun x – b ye bölümünden kalan P(b)dir. P(x) = (x – b) Q(x) + K eşitliğinde, eğer K = 0 ise P(x) polinomu x – b ye kalansızbölünüyor demektir.Tersine, P(x) in x – b ye kalansız bölünebilmesi için K = P(b) = 0olmalıdır. Böylece aşağıdaki teoremi ispatlamış olduk.

Teorem:

P(x) polinomunun x – b ye kalansız bölünebilmesi için gerek ve yeter koşul P(b) = 0olması, diğer bir deyişle x = b nin P(x) = 0 denkleminin bir kökü olmasıdır.

P(x) polinomu x – b ye kalansız bölündüğünde, Q(x), (n-1)-inci dereceden bir poli-nom olmak üzere, P(x) = (x – b) Q(x) yazılabileceği açıktır.

Örnek:

P(x) = x4 – 2x3 + 5x + 2 polinomu verilsin. Bu polinom x + 1 e kalansız bölünebi-lir. Çünkü P(-1) = (-1)4 - 2(-1)3 + 5(-1) + 2 = 1 + 2 – 5 +2 = 0.

P(x) polinomunu x +1 bölersek , bölüm olarak, Q(x) = x3 – 3x2 + 3x + 2 buluruz .Buna göre,

x4 – 2x3 + 5x + 2 = (x +1 ) (x3 – 3x2 +3x + 2)

yazabiliriz.

Örnek:

P(x) = x3 - x2 - x - 2 polinomu x - 2 ye kalansız bölünür. Çünkü, P(2) = 23 - 22 - 2 -2 = 8 - 4 - 2 - 2 = 0 dır. Bölme işleminden sonra, x3 – x2 – x –2 = (x – 2) (x2 + x +1 )yazabiliriz.



Şimdi yüksek dereceli bazı denklemlerin köklerinin bulunması ile ilgili bir teoremive bu teoremin uygulamalarını görelim.

Teorem:

a1 , a2 , ... , an-1 , an birer tam sayı olmak üzere,

xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ...+ an-1x + an = 0

n-inci dereceden polinom denklemi verilsin. Bir p tam sayısı bu denklemin bir köküise p sayısı an katsayısının (sabit teriminin) bir bölenidir.

İspat:

x = p tam sayısı denklemin kökü olduğundan denklemi sağlar, yani

pn + a1pn-1 + a2pn-1+...+ an-1p + an = 0

dır. Buradan

pn + a1pn-1 + a2pn-1+...+ an-1p = - an

p(pn-1 + a1pn-2 + a2pn-3 +...+ an-1) = - an .

Bu eşitlikte p, a1, a2, ...,an-1 birer tam sayı olduğundan sol taraf bir tam sayıdır vep ile bölünür. Bu nedenle sağ taraf ve dolayısıyla an katsayısı p ile bölünür.

Örnek:

x3 + 4x2 + x – 6 = 0 denkleminin köklerini araştırınız.

Çözüm:

Yukarıdaki teoreme göre, bu denklemin varsa tam sayı kökleri, sabit terim olana3 = - 6 nın bölenleridir. Bu nedenle (- 6) nın bölenleri olan -1, 1, -2, 2 , -3, 3, -6 ve6 sayılarının denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edersek, -2, -3 ve 1 in denkle-min kökleri olduğunu görürüz.

Denklem üçüncü dereceden olduğundan en fazla üç tane gerçel kökü vardır.Denklemi sağlayan (varsa) üç tane tam sayı bulunduktan sonra, kontrol edil-meyen bölenler denklemi sağlamaz, bu nedenle başka kök aramaya gerek yok-tur.

Her zaman yukarıdaki örnekte olduğu kadar şanslı olmayabiliriz. Karşılaşabilece-ğimiz durumları görmek için aşağıdaki örnekleri ele alalım.



Örnek:

x3 - 5x2 + 5x + 3 = 0 denklemini çözünüz.

En büyük dereceli terimin katsayısı 1 olduğundan bu denklemin varsa tam sayı olankökleri 3 ün bölenidir. 3 ün bölenleri -1, 1, -3, 3 tür. Bu sayıların denklemi sağlayıpsağlamadığını kontrol edersek 3 ün denklemi sağladığını, diğerlerinin sağlamadığı-nı görürüz. Buna göre denklemin köklerinden birisi x = 3 tür. 3 ün diğer bölenleridenklemi sağlamadığından denklemin başka tam sayı kökü yoktur. Tam sayı olma-yan eğer varsa diğer kökleri bulmak için x3 - 5x2 - 5x + 3 polinomunu x - 3 e bö-lelim. Bu işlemi yaparsak bölümün x2 – 2x –1 olduğunu görürüz. O halde

x3 - 5x2 + 5x + 3 = (x - 3) (x2 - 2x -1)

yazabiliriz. x3 - 5x2 + 5x + 3 = (x - 3) (x2 - 2x - 1)= 0 olması için x - 3 = 0 veya x2 - 2x - 1 = 0

O halde denklemin çözüm kümesi

Örnek:

x4 - 2x3 + 3x2 - 8x - 4 = 0 denkleminin tam sayı köklerini araştıralım.

Çözüm:

Önce - 4 ün bölenleri arasından varsa tam sayı köklerini araştıralım. -1, 1, -2, 2, - 4 ve4 sayılarının hiç birisi denklemi sağlamamaktadır.Bu nedenle denklemin tamsayıkökü yoktur diyebiliriz.Bu yöntemle, denklemin gerçel kökleri hakkında bir şeysöyleyemeyiz. Bu denklemin köklerinin araştırılması amacımız dışındadır.

Örnek:

x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini araştıralım.

Çözüm:

4 ün bölenleri olan -1, 1, -2, 2, -4 ve 4 sayılarından 1 in denklemi sağladığı kolayca görü-lebilir. O halde x = 1 denklemin köküdür. x4 -2 x3 + 5x2 - 8x + 4 polinomunu x - 1e bölerek

x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 = (x - 1 ) (x3 - x2 + 4x - 4) = 0

yazabiliriz. Buradan x -1 = 0 veya x3 - x2 + 4x - 4 = 0 olması gerektiği açıktır.


olmalıdır. x - 3 = 0 ise x = 3, x2 - 2x - 1 = 0 ise x1 = 1 + 2 , x2 = 1 - 2 dir.

Ç = {3, 1 + 2 , 1 - 2 } dir.


x3 - x2 + 4x - 4 = 0 denkleminde - 4 ün bölenlerinden 1 denklemi sağlamakta-dır. Bu nedenle x3 - x2 + 4x - 4 = (x - 1)(x2 + 4) yazılabilir. Buna göre,

x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 = (x - 1)2 (x2 + 4)

dır.

x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 = 0 ise (x - 1)2 (x2 + 4) = 0, buradan (x - 1)2 = 0 veya x2 + 4 = 0olmalıdır. Bu eşitliklerin birincisinden x = 1 iki kat kök olarak bulunur,ikincisiningerçel kökü yoktur. Bu durumda verilen denklemin çözüm kümesi Ç = {1} dir.

Bazı yüksek dereceli denklemlerin çözümleri bir ve ikinci dereceden denklemlerinçözümlerine indirgenebilir.

Örnek:

x4 - 5x2 + 6 = 0 denklemini çözelim.

Çözüm:

Bu denklemde x2 = t dersek, denklem t2 - 5t + 6 = 0 denklemine dönüşür. Bu ikincidereceden denklemin kökleri t = 2 ve t = 3 tür. Şimdi t yerine x cinsinden eşitini ya-

Örnek:

x5 - x3 - 12x = 0 denklemini çözelim.

Çözüm:

Bu denklemi önce x parantezine alalım,

x (x4 - x2 -12) = 0, buradan x = 0 veya x4 - x2 - 12 = 0 olmalıdır.

Birinci eşitlikten x1 = 0 bulunur. İkinci denklemi bir önceki örnekte izlediği-miz yöntemle çözebiliriz. x2 = t dersek, t2 - t - 12 = 0 olur, buradan t = 4, t = - 3bulunur. x2 = 4 ise x2 = - 2, x3 = 2 dir. Buna karşılık x2 = - 3 eşitliğini hiçbir ger-çel sayı sağlamaz. Bu nedenle denklemin üç tane gerçel kökü vardır ve bu kökler,x1 = 0, x2 = - 2, x3 = 2 dir. Ç = {0, -2, 2}.


zarsak x2 = 2 ve x2 = 3 olur. Bu denklemlerden de x1 = - 2 , x2 = 2 , x3 = - 3 , x4 = 3 bulunur. Çözüm kümesi Ç = - 3 , - 2 , 2 , 3 dir.


Değerlendirme Soruları1. Kareleri toplamı 1156 olan iki doğal sayının farkı 14 ise bu sayıların çarpımı

kaçtır?A. 320B. 360C. 420D. 480E. 540

2.A. 1210B. 1215C. 1220D. 1225E. 1230

3.

A. x + yB. x - yC. 1D. 2E. x

4.

A. 1B. aC. axD. xE. y

5.

A. {- 2, 1}B. {1}C. {1, 3}D. {1, 2}E. Ø


3x + y 6 açılımında x4 y2 'nin katsayısı kaçtır?

x3 + y3

x + y : x2 - y2 + 2yx + y - xy

x2 - y2 ifadesinin sadeleşmiş şekli nedir?

a3

xy + a a + x 2

x2 - xy - a a + y 2

xy - y2 ifadesinin sadeleşmiş şekli nedir?

3x - 8

x x + 1 = - 2

x + 1 denkleminin çözüm kümesi hangisidir?


6. 6 katının 7 fazlası karesine eşit olan doğal sayı kaçtır?A. 15B. 12C. 9D. 7E. 6

7. 80 milyon TL ile bir maldan kaç tane alınıyorsa aynı para ile ikinci maldan 6tane daha fazla mal alınabilir. Birinci mal ikinciden 3 milyon TL pahalı olduğu-na göre, birinci malın fiyatı kaç milyon TL. dir?A. 4,5B. 5,5C. 7D. 8E. 10

8.A. Ø B. {7}C. {4 , 7}D. {4}E. {12}

9. - 2x2 - 3x + 2 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

10. (x - 2)2 ≤ 1 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?A. [0, 3]B. [1, 3]C. [- 1, 2]D. [- 1, 3]E. [1, 2]


x - 3 = 5 - x denkleminin çözüm kümesi hangisidir?

A. - ∞, 1 B. - ∞, - 2 ∪ 1

2 , ∞

C. 1

2 , ∞

D. - 2, 1

2 E. - 2, 1

2


11. |x - 4| ≤ |x| eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?A. (- ∞, 0] ∪ [4, ∞)B. [0, 4]C. [2, ∞)D. [4, ∞)E. [2, 4]

12. 5 katının 4 eksiği karesinden büyük olan en büyük tam sayı kaçtır?A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5

13. x4 + 3x3 - x - 3 = 0 denkleminin çözüm kümesi hangisidir?A. {- 5, 2}B. {- 3, 2}C. {- 3}D. {1}E. {- 3, 1}

14. Köklerinin toplamı - 1/15 , çarpımı - 2/15 olan ikinci dereceden denklemaşağıdakilerden hangisidir?A. 15x2 + 3x + 2 = 0B. 15x2 - 2x - 1 = 0C. 15x2 - x + 2 = 0D. 15x2 + x - 2 = 0E. x2 - x + 15 = 0

15.

A. (- ∞, - 2]B. [1, ∞)C. [- 2, - 1)D. [- 2, - 1]E. (0, 1)

Değerlendirme Sorularının Yanıtları

1. D 2. B 3. C 4. B 5. B 6. D 7. D 8. D 9. E 10. B11. C 12. C 13. E 14. D 15. C


xx + 1

≥ 2 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?

Documents

Özdeşlikler, Denklemler ÜNİTE ve E itsizlikler · uzunluğu olmak üzere A = x.y ... (x + y)4 ifadelerinin açılımları , n doğal sayı olmak üzere (x + y)n nin Newton Binom