OI106OITransportRasporedjivanje

OPERACIONOPERACIONAA ISTRA ISTRAŽŽIVANJAIVANJA

6. LINEARNO PROGRAMIRANJE 6. LINEARNO PROGRAMIRANJE

TRANSPORTNI PROBLEMTRANSPORTNI PROBLEM

PROBLEM RASPOREDJIVANJAPROBLEM RASPOREDJIVANJA

šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan

2.5.1. TRANSPORTNI PROBLEM2.5.1. TRANSPORTNI PROBLEM

2.5.1. TRANSPORTNI PROBLEM2.5.1. TRANSPORTNI PROBLEM• Postavka zadatkaPostavka zadatka• Matematički modelMatematički model• Metoda “sjeverozapadnog ugla” (Metoda “sjeverozapadnog ugla” (određivanje određivanje

početnog dopustivog rješenjapočetnog dopustivog rješenja))• Stepping Stone Method – Metoda “skakanje s Stepping Stone Method – Metoda “skakanje s

kamena na kamen” (kamena na kamen” (nalaženje optimalnog nalaženje optimalnog rješenjarješenja))

2.5.2. PROBLEM RASPOREĐIVANJA2.5.2. PROBLEM RASPOREĐIVANJA• Postavka zadatkaPostavka zadatka• Matematički modelMatematički model• Mađarska metodaMađarska metoda


Izučavanja problema Izučavanja problema transportatransporta primjenom primjenom analianali--tičkih metodatičkih metoda potiče iz potiče iz polovine prošlOg polovine prošlOg stoljeća. stoljeća. TTim im se se problemom problemom bavilo više bavilo više poznatih poznatih istraživačaistraživača, m, mEEđu kojima su đu kojima su značajni značajni rezultati rezultati sovjetskog naučnika sovjetskog naučnika L. V. KantrovičaL. V. Kantroviča iz iz 19391939 i i američkog naučnika američkog naučnika F. L. HitchcockaF. L. Hitchcocka-a iz -a iz 19411941 godinegodine..

Nekako u isto vrijeme, veliki istraživački napori i Nekako u isto vrijeme, veliki istraživački napori i rezultati su bili vezani za zadatak rezultati su bili vezani za zadatak linearnog linearnog programiranjaprogramiranja. Po. Pokazalo se da je transportni kazalo se da je transportni problem njegov problem njegov specijalan slučajspecijalan slučaj i da i da može biti može biti riješenriješen nekom odnekom od metodametoda za rješavanje zadatka za rješavanje zadatka LPLP. Međutim, pokazalo se, također, da zbog svoje . Međutim, pokazalo se, također, da zbog svoje specifične strukture,specifične strukture, zadatak transporta može zadatak transporta može biti riješen i biti riješen i efikasnijim motodamaefikasnijim motodama..


Tako jeTako jeDantzigDantzig je objavio rješenje bazirano na je objavio rješenje bazirano na

simpleks množiteljimasimpleks množiteljima, , VogelVogel je predložio je predložio aproksimativnuaproksimativnu

metodu za nalaženje metodu za nalaženje početnog početnog rješenjarješenja

Charnes Charnes i i CooperCooper su su 19531953. god. i objavili . god. i objavili metodu danas poznatu kao metoda metodu danas poznatu kao metoda „„skakanja s kamena na kamenskakanja s kamena na kamen“ “ ((Stepping Stone MethodStepping Stone Method))

FordFord i i FulkensonFulkenson su su 19561956. godine objavili . godine objavili metodu za rješenje metodu za rješenje TPTP poznatu kao poznatu kao metoda metoda Forda&FulkersonForda&Fulkerson. .


Naziv ovog problema potiče od toga Naziv ovog problema potiče od toga što su se prvo rješavali što su se prvo rješavali problemi problemi transportatransporta – naći – naći minimalne minimalne troškove transportatroškove transporta kroz kroz zadanu zadanu transportnu mrežutransportnu mrežu i uz zadana i uz zadana transportna sredstvatransportna sredstva..

Međutim Međutim danas se u ove probleme danas se u ove probleme uključuju zadaci uključuju zadaci optimalnog optimalnog razmje-štanja mašinarazmje-štanja mašina, , postrojenjapostrojenja, , službi, skladišta, službi, skladišta, servisa, energetskih objekata, servisa, energetskih objekata, prodajnih objekataprodajnih objekata, ..., ...


Postavka zadatkaPostavka zadatka

Pronalaženje optimalnog plana transporta se Pronalaženje optimalnog plana transporta se najčešće svodi na zadatak najčešće svodi na zadatak transporta jedne transporta jedne vrste proizvodavrste proizvoda iz određenog broja iz određenog broja mjesta mjesta skladištenjaskladištenja u određeni broj u određeni broj mjesta potrošnje mjesta potrošnje uzuz minimalne troškove minimalne troškove..

Pri tom su poznate Pri tom su poznate

količine proizvodakoličine proizvoda smještene smještene uu skladištimaskladištima

količine proizvodakoličine proizvoda koje potražuju koje potražuju mjesta mjesta potrošnjepotrošnje

jedinični troškovi transportajedinični troškovi transporta iz bilo kojeg iz bilo kojeg mjesta mjesta skladištenjaskladištenja u bilo koje u bilo koje mjesto potrošnjemjesto potrošnje


Pri definiranju Pri definiranju matematičkog matematičkog modela modela transportnog problematransportnog problema uobičajeno se koristi uobičajeno se koristi sljedeće obilježa-vanjesljedeće obilježa-vanje::

mm – broj – broj ishodištaishodišta (skladišta)(skladišta)

nn –– broj broj odredištaodredišta (mjesta potrošnje) (mjesta potrošnje)

aaii,, i = 1,2,…,m i = 1,2,…,m – – količinekoličine proizvoda u proizvoda u ishodištimaishodištima

bbjj,, j = 1,2,…,n j = 1,2,…,n – – kokoličinličinee koje potražuju koje potražuju odredištaodredišta

cij, cij, i = 1,2,…,mi = 1,2,…,m i i j = 1,2,…,nj = 1,2,…,n – – jedinični troškovijedinični troškovi transporta transporta iz ishodištaiz ishodišta ii u odredišteu odredište jj

xij,xij, i = 1,2,…,mi = 1,2,…,m i i j = 1,2,…,nj = 1,2,…,n – – količine količine koje treba koje treba prevestiprevesti iz ishodištaiz ishodišta ii u odredišteu odredište jj


RasploživeRaspložive količine količine aiai i i potraživane količinepotraživane količine bj bj moraju biti moraju biti pozitivne veličinepozitivne veličine dok sudok su jednični troškovi transportajednični troškovi transporta cijcij i i prevezene prevezene količinekoličine xijxij u pravilu u pravilu nenegativninenegativni::

ai >ai > 00 i = 1,2,…,mi = 1,2,…,m bj >bj > 00 j = 1,2,…,nj = 1,2,…,n cij cij ≥≥ 0 0 i = 1,2,…,mi = 1,2,…,m ii j = 1,2,…,nj = 1,2,…,n xij xij ≥ 0≥ 0 i = 1,2,…,mi = 1,2,…,m i i j = 1,2,…,nj = 1,2,…,n

Pored toga, pretpostavlja se da je ukupna Pored toga, pretpostavlja se da je ukupna raspoloživaraspoloživa količina količina jednakajednaka ukupnoj ukupnoj potraživanojpotraživanoj količini: količini:

m m nn

ΣΣ ai = ai = ΣΣ bj bj i = 1 j = 1i = 1 j = 1


A1

A2

Am

B1

B2

Bn

a1

a2

am

b1

b2

bn

C11C11 x11x11

C12C12 x12x12

C1nC1n x1nx1n

C21C21 x21x21

CmnCmn xmnxmn

Cm2Cm2 xm2xm2

Cm1Cm1 xm1xm1

C22C22 x22x22

C2nC2n x2nx2n

Sl. 2.5.1. Šematski prikaz transportaSl. 2.5.1. Šematski prikaz transporta

2.5.1. TRANSPORTNI PROBLEM2.5.1. TRANSPORTNI PROBLEMMatematički model transportnog zadatkaMatematički model transportnog zadatka

Minimizirati Minimizirati Z = c11 x11 + c12 x12 + … + c1n x1n +Z = c11 x11 + c12 x12 + … + c1n x1n + + c21 x21 + c22 x22 + … + c2n x2n ++ c21 x21 + c22 x22 + … + c2n x2n +

(2.5.1)(2.5.1) + ... + + ... + m nm n + cm1 xm1 + cm2 xm2 + … + cmn xmn = + cm1 xm1 + cm2 xm2 + … + cmn xmn = ΣΣ ΣΣ cij xij cij xij

i=1 j=1i=1 j=1

Uz ograničenja za Uz ograničenja za isporuke iz ishodištaisporuke iz ishodišta::

x11 + x12 + ... + x1n = a1x11 + x12 + ... + x1n = a1x21 + x22 + ... + x2n = a2x21 + x22 + ... + x2n = a2 (2.5.2)(2.5.2)......xm1 + xm2 + ... + xmn = amxm1 + xm2 + ... + xmn = am

ograničenja za ograničenja za potrebe odredištapotrebe odredišta::

x11 + x21 + ... + xn1 = b1x11 + x21 + ... + xn1 = b1x12 + x22 + ... + xn2 = b2x12 + x22 + ... + xn2 = b2 (2.5.3)(2.5.3)......x1m + x2m + ... + xnm = bnx1m + x2m + ... + xnm = bn

ograničenja na ograničenja na nenegativnost promjenljivihnenegativnost promjenljivih::

xij >= 0 xij >= 0 i = 1,2,…,mi = 1,2,…,m ii j = 1,2,…,nj = 1,2,…,n (2.5.4)(2.5.4)


Ukupan Ukupan brojbroj promjenljivihpromjenljivih xijxij je je mm∙n∙n dok je dok je broj broj jednačinajednačina m+nm+n. Dakle, . Dakle, matrica ograničenjamatrica ograničenja je je dimenzijadimenzija (m+n)x(m∙n)(m+n)x(m∙n) i i specijalnogspecijalnog je je oblikaoblika..

Sumiranjem lijevih i desnih strana Sumiranjem lijevih i desnih strana ograničenja (2.5.2) i (2.5.3) dobije se:ograničenja (2.5.2) i (2.5.3) dobije se:m m nn m m

ΣΣ ΣΣ xij = xij = ΣΣ ai ai i=1 j=1 i=1i=1 j=1 i=1

n n m m nn

ΣΣ ΣΣ xij = xij = ΣΣ bj bj jj=1 i=1 j=1=1 i=1 j=1


Pošto je:Pošto je:

m m nn

ΣΣ ai = ai = ΣΣ bj bj i=1 j=1i=1 j=1

Postoji Postoji linearna zavisnostlinearna zavisnost sistema jednačina sistema jednačina (2.5.2)(2.5.2) i i (2.5.3)(2.5.3) tako da je broj tako da je broj linearno linearno nezavisnih ograničenjanezavisnih ograničenja

r = m + n - 1 r = m + n - 1

Prema tome, Prema tome, bazno rješenjebazno rješenje TPTP ima ( ima (m + n -1m + n -1) )

baznih elemenata.baznih elemenata.


TPTP je moguće riješiti pomoću je moguće riješiti pomoću simpleks algoritmasimpleks algoritma, , medjutim, koristeći medjutim, koristeći specifičnu strukturu TPspecifičnu strukturu TP, , moguće je razviti moguće je razviti efikasnije algoritmeefikasnije algoritme..

Većina do sada razvijenih metoda pretpostavlja da Većina do sada razvijenih metoda pretpostavlja da je nekim drugim postupkom je nekim drugim postupkom već određeno već određeno početno dopustivo rješenje.početno dopustivo rješenje.

Zato je razvijen veći broj metoda Zato je razvijen veći broj metoda za određivanje za određivanje početnog dopustivog rješenjepočetnog dopustivog rješenje kao na primjer: kao na primjer:

• metoda “metoda “sjeverozapadnog uglasjeverozapadnog ugla””• metoda metoda najmanjeg elementanajmanjeg elementa u matrici cijena u matrici cijena• Vogelova aproksimativnaVogelova aproksimativna metoda metoda


Metoda “sjeverozapadnog ugla” (Metoda “sjeverozapadnog ugla” (određivanje početnog određivanje početnog dopustivog rješenjadopustivog rješenja))

Dodjeljivanje vrijednosti promjenljivim počinje od Dodjeljivanje vrijednosti promjenljivim počinje od gornjeg gornjeg lijevog uglalijevog ugla (sjeverozapad na geofrafskim kartama), (sjeverozapad na geofrafskim kartama), na sljedeći način:na sljedeći način:

a.a. Promjenjliva Promjenjliva x11x11 dobija dobija maksimalnumaksimalnu vrijednost koja vrijednost koja je je ograničena manjimograničena manjim od kapaciteta od kapaciteta a1a1 i i b1b1

b.b. Preostala količinaPreostala količina se dalje dodjeljuje se dalje dodjeljuje sljedećoj sljedećoj promjenljivojpromjenljivoj ( (x12x12 ako je ako je a1>b1a1>b1, odnosno, , odnosno, x21x21 ako ako je je b1>a2b1>a2) dok se ) dok se ne istroši raspoloživa zaliha ne istroši raspoloživa zaliha ishodištaishodišta, odnosno, , odnosno, zadovolji potražnja zadovolji potražnja odredištaodredišta. Postupak se nastavlja . Postupak se nastavlja pražnjenjem pražnjenjem zalihezalihe odnosno odnosno zadovoljavanjem potražnjezadovoljavanjem potražnje..

c.c. Posupak se Posupak se završavazavršava kada se kada se rasporederasporede sve zalihesve zalihe odnosno odnosno zadovolji sva tražnjazadovolji sva tražnja

2.5.1. TRANSPORTNI PROBLEM2.5.1. TRANSPORTNI PROBLEMPrimjer 2.5.1.Primjer 2.5.1.

P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 ZaliheZalihe S1S1 8 8 9 9 4 4 6 6 100100 S2S2 6 6 9 9 5 5 3 3 120120 S3S3 5 5 6 6 7 7 4 4 140140PotrebePotrebe 9090 125125 8080 6565

a.a. X11 = min(100, 90) = 90, X11 = min(100, 90) = 90, uu S1 S1 je ostalo jošje ostalo još 10 10 jedinica pa jejedinica pa je x12 = min(10, 125) = 10x12 = min(10, 125) = 10

b.b. x22 = min(120, 115) = 115x22 = min(120, 115) = 115uu S2 S2 je ostalo jošje ostalo još 5 5 jedinica pa jejedinica pa je x23 = min(5, 80) = 5x23 = min(5, 80) = 5x33 = min(140, 75) = 75x33 = min(140, 75) = 75uu S3 S3 je ostalo jošje ostalo još 65 65 jedinica pa jejedinica pa je

c.c. x34 = min(65, 65)x34 = min(65, 65)

Raspodijeljene su Raspodijeljene su sve zalihesve zalihe i zadovoljene i zadovoljene sve potrebesve potrebe..

TroškoviTroškovi polaznog rješenja su: polaznog rješenja su:

90 90 ∙ ∙ 8 + 10 8 + 10 ∙∙ 9 + 115 9 + 115 ∙∙ 9 + 5 9 + 5 ∙∙ 5 + 75 5 + 75 ∙∙ 7 + 65 7 + 65 ∙∙ 4 = 2655 4 = 2655

2.5.1. TRANSPORTNI PROBLEM2.5.1. TRANSPORTNI PROBLEMStepping Stone Method – Metoda “skakanje s kamena na kamen” Stepping Stone Method – Metoda “skakanje s kamena na kamen”

((nalaženje optimalnog rješenjanalaženje optimalnog rješenja))

Pored ovog naziva, ova metoda se u literaturi može naći i pod nazivima Pored ovog naziva, ova metoda se u literaturi može naći i pod nazivima – – metod raspodjele, distributivni metod, metod šahovke kulemetod raspodjele, distributivni metod, metod šahovke kule, ..., ...

Za ovu metodu je potrebno Za ovu metodu je potrebno predhodno odrediti početno dopustivo predhodno odrediti početno dopustivo rješenjerješenje što se može uraditi bilo kojom od naprijed pomenutih što se može uraditi bilo kojom od naprijed pomenutih metoda za metoda za nalaženje početnog dopustivog rješenjanalaženje početnog dopustivog rješenja..

Osnova ideje ove metode je u tom, da se u Osnova ideje ove metode je u tom, da se u tekućem dopustivom tekućem dopustivom rješenjurješenju ispituju nezauzeta poljaispituju nezauzeta polja, tj. ispituje se da li bi , tj. ispituje se da li bi uključenjem trans-portauključenjem trans-porta na to polje na to polje ukupni trošak porastaoukupni trošak porastao ili bi ili bi ostao istiostao isti ili bi se ili bi se smanjiosmanjio. .

Kada se nađe polje čije uključenje u transport Kada se nađe polje čije uključenje u transport smanjuje ukupni smanjuje ukupni trošaktrošak, izvrši se , izvrši se promjena tekuće raspodjelepromjena tekuće raspodjele vodeći pri tom vodeći pri tom računa da se računa da se ne naruši dopustivost rješenja.ne naruši dopustivost rješenja.

Algoritam se Algoritam se zaustavljazaustavlja kada se pri određenoj raspodjeli kada se pri određenoj raspodjeli ne može ne može naći nijedno polje koje smanjuje ukupni trošak transporta.naći nijedno polje koje smanjuje ukupni trošak transporta.


Metod se primjenjuje tako što se Metod se primjenjuje tako što se iz svakog iz svakog praznog poljapraznog polja tekućeg rješenja formira tekućeg rješenja formira pravougaoni poligonpravougaoni poligon čiji čiji ostali ostali vrhovivrhovi leže u leže u popunjenim poljimapopunjenim poljima. Za . Za svako praznosvako prazno poljepolje se može formirati se može formirati samo jedan poli-gonsamo jedan poli-gon koji može imati koji može imati najmanje najmanje 44 a najviše a najviše m+nm+n vrhova. vrhova.

Na osnovu poligona izračunavamo Na osnovu poligona izračunavamo relativne koeficijenterelativne koeficijente troškovatroškova koji koji pokazuju za koliko će se pokazuju za koliko će se promijeniti promijeniti ukupni troškoviukupni troškovi ako ako u prazno poljeu prazno polje uvrstimo uvrstimo jednu jedinicujednu jedinicu prevezene prevezene robe.robe.


Relativni koeficijentiRelativni koeficijenti troškovatroškova se se izračuna-vaju tako što se izračuna-vaju tako što se jedinični jedinični troškovitroškovi naiz-mjenično uvećavajunaiz-mjenično uvećavaju i i umanjujuumanjuju za cijene koje koje se nalaze za cijene koje koje se nalaze u vrhovima poligonau vrhovima poligona..

Ako postoji makar jedan poligon koji Ako postoji makar jedan poligon koji umanjuje ukupni trošakumanjuje ukupni trošak, tekuće , tekuće rješenje se rješenje se mijenjamijenja tako da se tako da se transport “praznog polja” uvećatransport “praznog polja” uveća što što je više moguće a da se pri tom je više moguće a da se pri tom ne ne naruši dopustivost rješenja.naruši dopustivost rješenja.

2.5.1. TRANSPORTNI PROBLEM2.5.1. TRANSPORTNI PROBLEMPrimjer 2.5.2.Primjer 2.5.2.

Razmotrićemo predhodni zadatak sa Razmotrićemo predhodni zadatak sa početnim početnim dopustivimdopustivim rješenjemrješenjem koje je određeno metodom koje je određeno metodom ““sjevero-zapadnog uglasjevero-zapadnog ugla”:”:

P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 ZaliheZalihe----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

8 9 4 68 9 4 6

S1S1 90 90 10 10 0 0 0 0 100100 6 9 5 36 9 5 3

S2S2 0 0 115115 5 5 0 0 120120 5 6 7 45 6 7 4

S3S3 0 0 0 0 75 75 65 65 140140----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PotrebePotrebe 9090 125125 8080 6565

TroškoviTroškovi polaznog rješenja su: polaznog rješenja su:

Z = 90 Z = 90 ∙ ∙ 8 + 10 8 + 10 ∙∙ 9 + 115 9 + 115 ∙∙ 9 + 5 9 + 5 ∙∙ 5 + 75 5 + 75 ∙∙ 7 + 65 7 + 65 ∙∙ 4 = 4 = 26552655

2.5.1. TRANSPORTNI PROBLEM2.5.1. TRANSPORTNI PROBLEMNepopunjena polja su: Nepopunjena polja su: x13, x14, x21, x24, x31, x32x13, x14, x21, x24, x31, x32


8 9 4 68 9 4 6

S1S1 90 90 10 10 0 0 0 0 100100 6 9 5 36 9 5 3

S2S2 0 0 115115 5 5 0 0 120120 5 6 7 45 6 7 4

S3S3 0 0 0 0 75 75 65 65 140140----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PotrebePotrebe 9090 125125 8080 6565

Relativni koeficijenti troškovaRelativni koeficijenti troškova su: su:d13 = c13 – c12 + c22 – c23 = 4 – 9 + 9 – 5 = d13 = c13 – c12 + c22 – c23 = 4 – 9 + 9 – 5 = – 1– 1 d14 = c14 – c12 + c22 – c23 + c33 – c34 = d14 = c14 – c12 + c22 – c23 + c33 – c34 =

= 6 – 9 + 9 – 5 + 7 – 4 = = 6 – 9 + 9 – 5 + 7 – 4 = 44 d21 = c21 – c22 + c12 – c11 = 6 – 9 + 9 – 8 = d21 = c21 – c22 + c12 – c11 = 6 – 9 + 9 – 8 = – 2– 2d24 = c24 – c23 + c33 – c34 = 3 – 5 + 7 – 4 = d24 = c24 – c23 + c33 – c34 = 3 – 5 + 7 – 4 = 11d31 = c31 – c33 + c23 – c22 + c12 – c11 = d31 = c31 – c33 + c23 – c22 + c12 – c11 =

= 5 – 7 + 5 – 9 + 9 – 8 = = 5 – 7 + 5 – 9 + 9 – 8 = – 5– 5 d32 = c32 – c33 + c32 – c22 = 6 – 7 + 5 – 9 = d32 = c32 – c33 + c32 – c22 = 6 – 7 + 5 – 9 = – 5– 5


PoštoPošto relativni koeficijenti troškova relativni koeficijenti troškova predstavljaju predstavljaju promjenu ukupnih troškovapromjenu ukupnih troškova ako bi se izvršila ako bi se izvršila promjena rasporeda promjena rasporeda transportatransporta po navedenim poljima poligona po navedenim poljima poligona za jednu jedinicu transportovane robe, za jednu jedinicu transportovane robe, najveće umanjenje troškovanajveće umanjenje troškova se može se može očekivati ako izvršimo očekivati ako izvršimo promjenu transportapromjenu transporta po poligonupo poligonu za koji se dobio za koji se dobio ““najnenegativnijinajnenegativniji” ” rezultatrezultat..

U ovom slučaju U ovom slučaju najmanji koeficijent troškovanajmanji koeficijent troškova se dobije za se dobije za d31d31 i i d32d32. Može se odabrati bilo . Može se odabrati bilo koji, tako da biramo koeficijent koji, tako da biramo koeficijent d31d31..

To znači da ćemo To znači da ćemo uvećati transportuvećati transport iz iz S1S1 u u P3P3 što je što je moguće višemoguće više a da pri tom a da pri tom ne ne narušimo dopusti-vostnarušimo dopusti-vost zadatka. zadatka.


Količine transporta u vrhovima izabranog poligona su Količine transporta u vrhovima izabranog poligona su sljedeće:sljedeće:

9090 1010

7575

115115 55

00

Pošto Pošto uvećanju transportauvećanju transporta u jednom polju odgovara u jednom polju odgovara uma-njenjeuma-njenje u poljima koja su s njim u istom redu i u u poljima koja su s njim u istom redu i u istoj koloni, najveća moguća promjena odgovara istoj koloni, najveća moguća promjena odgovara najmanjojnajmanjoj vrijednosti u poljima koja se umanjuju. vrijednosti u poljima koja se umanjuju. Polja koja se umanjuju su Polja koja se umanjuju su x11 =x11 = 90, x22 = 115 i x33 90, x22 = 115 i x33 = 75= 75. Dakle najveća moguća promjena transporta je . Dakle najveća moguća promjena transporta je 7575 pa će sada vrijednosti transporta po poligonu biti: pa će sada vrijednosti transporta po poligonu biti: x31 = 0+75 = x31 = 0+75 = 7575, x33 = 75–75 = , x33 = 75–75 = 00, x23 = 5+75 = , x23 = 5+75 = 8080, x22 = 115–75 = , x22 = 115–75 = 4040, x12 = 10+75 = , x12 = 10+75 = 8585, x11 = 90, x11 = 90––

75 = 75 = 1515

2.5.1. TRANSPORTNI PROBLEM2.5.1. TRANSPORTNI PROBLEMNovi dopustivo rješenje je sadaNovi dopustivo rješenje je sada


8 9 4 68 9 4 6

S1S1 15 15 85 85 0 0 0 0 100100 6 9 5 36 9 5 3

S2S2 0 0 40 40 80 80 0 0 120120 5 6 7 45 6 7 4

S3S3 75 0 75 0 0 0 65 65 140140----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PotrebePotrebe 9090 125125 8080 6565

Z = 15 8 + 85 9 + 40 9 + 80 5 + 75 5 + 65 4 = Z = 15 8 + 85 9 + 40 9 + 80 5 + 75 5 + 65 4 = 22802280

Relativni koeficijenti troškovaRelativni koeficijenti troškova za prazna polja su: za prazna polja su:d13 = c13 – c12 + c22 – c23 = 4 – 9 + 9 – 5 = d13 = c13 – c12 + c22 – c23 = 4 – 9 + 9 – 5 = – 1– 1 d14 = c14 – c11 + c31 – c34 = 6 – 8 + 5 – 4 = d14 = c14 – c11 + c31 – c34 = 6 – 8 + 5 – 4 = – 1– 1 d21 = c21 – c22 + c12 – c11 = 6 – 9 + 9 – 8 = d21 = c21 – c22 + c12 – c11 = 6 – 9 + 9 – 8 = – 2– 2d24 = c24 – c22 + c12 – c11 + c31 – c34 = d24 = c24 – c22 + c12 – c11 + c31 – c34 =

= 3 – 9 + 9 – 8 + 5 – 4 = = 3 – 9 + 9 – 8 + 5 – 4 = –– 44d32 = c32 – c31 + c11 – c12 = 6 – 5 + 8 – 9 = d32 = c32 – c31 + c11 – c12 = 6 – 5 + 8 – 9 = 0 0 d33 = c33 – c31 + c11 – c12 + c22 – c23 = d33 = c33 – c31 + c11 – c12 + c22 – c23 =

= 7 – 5 + 8 – 9 + 9 – 5 = = 7 – 5 + 8 – 9 + 9 – 5 = 5 5


““Najnegativniji” relativni koeficijentNajnegativniji” relativni koeficijent je je d24d24. Količine . Količine trans-porta u vrhovima izabranog poligona su trans-porta u vrhovima izabranog poligona su sljedeće:sljedeće:

1515 8585

6565

4040 00

7575

Polja koja se umanjuju su Polja koja se umanjuju su x22 = 40, x11 = 15 i x34 = x22 = 40, x11 = 15 i x34 = 6565. Dakle najveća moguća promjena transporta je . Dakle najveća moguća promjena transporta je 1515 pa će sada vrijednosti transporta po poligonu biti: pa će sada vrijednosti transporta po poligonu biti: x24 x24 = 0+15 = = 0+15 = 1515, x22 = 40–15 = , x22 = 40–15 = 2525, x13 = 85+15 = , x13 = 85+15 = 100100, x11 = 15–15 = , x11 = 15–15 = 00, x31 = 75+15 = , x31 = 75+15 = 9090, x34 = 65, x34 = 65––

15 = 15 = 5050



8 9 4 68 9 4 6

S1S1 0 0 100 100 0 0 0 0 100100 6 9 5 36 9 5 3

S2S2 0 0 25 25 80 80 15 15 120120 5 6 7 45 6 7 4

S3S3 90 0 90 0 0 0 50 50 140140----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PotrebePotrebe 9090 125125 8080 6565

Z = 100 9 + 25 9 + 80 5 + 15 3 + 90 5 + 50 4 = Z = 100 9 + 25 9 + 80 5 + 15 3 + 90 5 + 50 4 = 22202220

Relativni koeficijenti troškovaRelativni koeficijenti troškova za prazna polja su: za prazna polja su:d11 = c11 – c12 + c22 – c24 + c34 – c14 = d11 = c11 – c12 + c22 – c24 + c34 – c14 =

= 8 – 9 + 9 – 3 + 4 – 5 = = 8 – 9 + 9 – 3 + 4 – 5 = 44d13 = c13 – c12 + c22 – c23 = 4 – 9 + 9 – 5 = d13 = c13 – c12 + c22 – c23 = 4 – 9 + 9 – 5 = – 1– 1 d14 = c14 – c12 + c22 – c24 = 6 – 9 + 9 – 3 = d14 = c14 – c12 + c22 – c24 = 6 – 9 + 9 – 3 = 3 3 d21 = c21 – c24 + c34 – c14 = 6 – 3 + 4 – 5 = d21 = c21 – c24 + c34 – c14 = 6 – 3 + 4 – 5 = 2 2d32 = c32 – c34 + c24 – c22 = 6 – 4 + 3 – 9 = d32 = c32 – c34 + c24 – c22 = 6 – 4 + 3 – 9 = – 4– 4 d33 = c33 – c34 + c24 – c32 = 7 – 4 + 3 – 5 = d33 = c33 – c34 + c24 – c32 = 7 – 4 + 3 – 5 = 1 1


““Najnegativniji” relativni koeficijentNajnegativniji” relativni koeficijent je je d32d32. Količine . Količine trans-porta u vrhovima izabranog poligona su trans-porta u vrhovima izabranog poligona su sljedeće:sljedeće:

5050

2525

00

1515

Polja koja se umanjuju su Polja koja se umanjuju su x34 = 50 i x22 = 25x34 = 50 i x22 = 25. Dakle . Dakle najveća moguća promjena transporta je najveća moguća promjena transporta je 2525 pa će pa će sada vrijednosti transporta po poligonu biti: sada vrijednosti transporta po poligonu biti: x32 = x32 = 0+25 = 0+25 = 2525, x34 = 50–25 = , x34 = 50–25 = 2525, x24 = , x24 = 15+25 = 15+25 = 4040, x22 = 25–25 = , x22 = 25–25 = 00



8 9 4 68 9 4 6

S1S1 0 100 0 100 0 0 0 0 100100 6 9 5 36 9 5 3

S2S2 0 0 0 0 80 80 40 40 120120 5 6 7 45 6 7 4

S3S3 90 25 90 25 0 0 25 25 140140----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PotrebePotrebe 9090 125125 8080 6565

Z = 100 9 + 80 5 + 40 3 + 90 5 + 25 6 + 25 4 = Z = 100 9 + 80 5 + 40 3 + 90 5 + 25 6 + 25 4 = 21202120

Relativni koeficijenti troškovaRelativni koeficijenti troškova za prazna polja su: za prazna polja su:d11 = c11 – c12 + c32 – c31 = 8 – 9 + 6 – 5 = d11 = c11 – c12 + c32 – c31 = 8 – 9 + 6 – 5 = 00d13 = c13 – c12 + c32 – c34 + c24 – c23 = d13 = c13 – c12 + c32 – c34 + c24 – c23 =

= 4 – 9 + 6 – 4 + 3 – 5 = = 4 – 9 + 6 – 4 + 3 – 5 = – 5– 5 d14 = c14 – c12 + c22 – c24 = 6 – 9 + 6 – 4 = d14 = c14 – c12 + c22 – c24 = 6 – 9 + 6 – 4 = – 1– 1 d21 = c21 – c24 + c34 – c14 = 6 – 3 + 4 – 5 = d21 = c21 – c24 + c34 – c14 = 6 – 3 + 4 – 5 = 2 2d22 = c22 – c24 + c34 – c32 = 9 – 3 + 4 – 6 = d22 = c22 – c24 + c34 – c32 = 9 – 3 + 4 – 6 = 4 4 d33 = c33 – c34 + c24 – c32 = 7 – 4 + 3 – 5 = d33 = c33 – c34 + c24 – c32 = 7 – 4 + 3 – 5 = 1 1


““Najnegativniji” relativni koeficijentNajnegativniji” relativni koeficijent je je d13.d13. Količine Količine trans-porta u vrhovima izabranog poligona su trans-porta u vrhovima izabranog poligona su sljedeće:sljedeće:

4040

100100

2525

8080

00

2525

Polja koja se umanjuju su Polja koja se umanjuju su x12 = 100, x34 = 25 i x23 x12 = 100, x34 = 25 i x23 = 80= 80. Najveća moguća promjena transporta je . Najveća moguća promjena transporta je 2525 pa pa će sada vrijednosti transporta po poligonu biti: će sada vrijednosti transporta po poligonu biti: x13 = x13 = 0+25 = 0+25 = 2525, x12 = 100–25 = , x12 = 100–25 = 7575, x32 = 25+25 = , x32 = 25+25 = 5050, , x34 = 25–25 = x34 = 25–25 = 00, x24 = 40+25 = , x24 = 40+25 = 6565, x23 = 80, x23 = 80––25 = 25 = 5555



8 9 4 68 9 4 6

S1S1 0 75 0 75 25 25 0 0 100100 6 9 5 36 9 5 3

S2S2 0 0 0 0 55 55 65 65 120120 5 6 7 45 6 7 4

S3S3 90 50 90 50 0 0 0 0 140140----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PotrebePotrebe 9090 125125 8080 6565

Z = 75 9 + 25 4 + 55 5 + 65 3 + 90 5 + 50 6 = Z = 75 9 + 25 4 + 55 5 + 65 3 + 90 5 + 50 6 = 19951995

Relativni koeficijenti troškovaRelativni koeficijenti troškova za prazna polja su: za prazna polja su:d11 = c11 – c12 + c32 – c14 = 8 – 9 + 6 – 5 = d11 = c11 – c12 + c32 – c14 = 8 – 9 + 6 – 5 = 00d14 = c14 – c13 + c23 – c24 = 6 – 4 + 5 – 3 = d14 = c14 – c13 + c23 – c24 = 6 – 4 + 5 – 3 = 4 4 d21 = c21 – c31 + c32 – c12 + c13 – c23 = d21 = c21 – c31 + c32 – c12 + c13 – c23 =

= 6 – 5 + 6 – 9 + 4 – 5 = = 6 – 5 + 6 – 9 + 4 – 5 = – 3– 3d22 = c22 – c23 + c13 – c12 = 9 – 5 + 4 – 9 = d22 = c22 – c23 + c13 – c12 = 9 – 5 + 4 – 9 = – 1– 1 d33 = c33 – c32 + c12 – c13 = 7 – 6 + 9 – 4 = d33 = c33 – c32 + c12 – c13 = 7 – 6 + 9 – 4 = 6 6

d34 = c34 – c32 + c12 – c13 + c23 – c24 = d34 = c34 – c32 + c12 – c13 + c23 – c24 = = 4 – 6 + 9 – 4 + 5 – 3 = = 4 – 6 + 9 – 4 + 5 – 3 = 5 5


““Najnegativniji” relativni koeficijentNajnegativniji” relativni koeficijent je je d21.d21. Količine Količine trans-porta u vrhovima izabranog poligona su trans-porta u vrhovima izabranog poligona su sljedeće:sljedeće:

5555

7575

5050

2525

00

9090

Polja koja se umanjuju su Polja koja se umanjuju su x31 = 90, x12 = 75 i x23 = x31 = 90, x12 = 75 i x23 = 5555. Najveća moguća promjena transporta je . Najveća moguća promjena transporta je 5555 pa će pa će sada vrijednosti transporta po poligonu biti: sada vrijednosti transporta po poligonu biti: x21 = x21 = 0+55 = 0+55 = 5555, x31 = 90–55 = , x31 = 90–55 = 3535, x32 = 50+55 = , x32 = 50+55 = 105105, , x12 = 75–55 = x12 = 75–55 = 2020, x13 = 25+55 = , x13 = 25+55 = 8080, x23 = 55, x23 = 55––55 = 55 = 00



8 9 4 68 9 4 6

S1S1 0 20 0 20 80 80 0 0 100100 6 9 5 36 9 5 3

S2S2 55 55 0 0 0 0 65 65 120120 5 6 7 45 6 7 4

S3S3 35 105 35 105 0 0 0 0 140140----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PotrebePotrebe 9090 125125 8080 6565

Z = 20 9 + 80 4 + 55 6 + 65 3 + 35 5 + 105 6 = Z = 20 9 + 80 4 + 55 6 + 65 3 + 35 5 + 105 6 = 18301830

Relativni koeficijenti troškovaRelativni koeficijenti troškova za prazna polja su: za prazna polja su:d11 = c11 – c12 + c32 – c14 = 8 – 9 + 6 – 5 = d11 = c11 – c12 + c32 – c14 = 8 – 9 + 6 – 5 = 00d14 = c14 – c12 + c32 – c31 + c21 – c24 = d14 = c14 – c12 + c32 – c31 + c21 – c24 = = 6 – 9 + 6 – 5 + 6 – 3 = = 6 – 9 + 6 – 5 + 6 – 3 = 11 d22 = c22 – c21 + c31 – c32 = 9 – 6 + 5 – 6 = d22 = c22 – c21 + c31 – c32 = 9 – 6 + 5 – 6 = 2 2 d23 = c23 – c21 + c31 – c32 + c12 – c13 = d23 = c23 – c21 + c31 – c32 + c12 – c13 =

= 5 – 6 + 5 – 6 + 9 – 4 = = 5 – 6 + 5 – 6 + 9 – 4 = 33d33 = c33 – c32 + c12 – c13 = 7 – 6 + 9 – 4 = d33 = c33 – c32 + c12 – c13 = 7 – 6 + 9 – 4 = 6 6

d34 = c34 – c31 + c21 – c24 = 4 – 5 + 6 – 3 = d34 = c34 – c31 + c21 – c24 = 4 – 5 + 6 – 3 = 22


Pošto su svi Pošto su svi relativni koeficijenti relativni koeficijenti troškovatroškova veći ili jednaki nuli, ovo veći ili jednaki nuli, ovo rješenje je rješenje je optimalnooptimalno..

x11 = 0 x12 = 20 x13 = 80 x14 = 0x11 = 0 x12 = 20 x13 = 80 x14 = 0

x21 = 55 x22 = 0 x23 = 0 x24 = x21 = 55 x22 = 0 x23 = 0 x24 = 6565

x31 = 35 x32 = 105 x33 = 0 x34 = 0x31 = 35 x32 = 105 x33 = 0 x34 = 0

Z = 8 0 + 9 20 + 4 80 + 6 0 + Z = 8 0 + 9 20 + 4 80 + 6 0 +

6 55 + 9 0 + 5 0 + 3 65 +6 55 + 9 0 + 5 0 + 3 65 +

5 35 + 6 105 + 7 0 + 4 0 = 5 35 + 6 105 + 7 0 + 4 0 = 18301830

2.5.2. PROBLEM RASPOREDJIVANJA2.5.2. PROBLEM RASPOREDJIVANJA

Postavka zadatkaPostavka zadatka

Problem Problem rasporeraspoređđivanjaivanja ( (asignacijeasignacije) je ) je specispecijalan oblik zadatka LPjalan oblik zadatka LP a po a po strukturistrukturi i i načinu rješavanjanačinu rješavanja, sličan je , sličan je problemproblemuu transportatransporta. .

Sam Sam problem problem se predstaviti na sljedeći način:se predstaviti na sljedeći način:

RasporeditiRasporediti određeni određeni broj broj izvršilacaizvršilaca ((nekoga ili nekoga ili neče-ga što može da obavi ili proizvede neke neče-ga što može da obavi ili proizvede neke aktivnosti – radnika, studenata, takmičara, aktivnosti – radnika, studenata, takmičara, prodavnica, novca, ...prodavnica, novca, ...) na odre) na određđeni broj eni broj mjesta mjesta ((na kojima se mogu realizirati te na kojima se mogu realizirati te aktivnosti – poslova, mašinaaktivnosti – poslova, mašina, i, ispita, radnih spita, radnih mjesta, sportskih disciplina, mjesta, sportskih disciplina, pogona, pogona, lokacijalokacija, ..., ...). ).


Pri tom Pri tom jedan izvršilacjedan izvršilac može da bude može da bude raspore-đen na raspore-đen na samo jedno mjestosamo jedno mjesto, , jednom mjestujednom mjestu može biti dodijeljen može biti dodijeljen samo jedan izvršilacsamo jedan izvršilac

Svaki Svaki konkretni rasporedkonkretni raspored proizvodi proizvodi određeni određeni efekatefekat ( (povećanje vrijednosti povećanje vrijednosti ili povećanje troškaili povećanje troška).).

Potrebno je naći takav Potrebno je naći takav raspored raspored izvršilacaizvršilaca na na određena mjestaodređena mjesta koji će koji će dati dati optimalni efekatoptimalni efekat ( (maksimummaksimum ili ili minimumminimum))


Pri Pri definiranjdefiniranjuu modela raspore modela raspoređđivanja (asignacije) ivanja (asignacije) uobičajeno se koristi sljedeće obilježavanjeuobičajeno se koristi sljedeće obilježavanje::

mm – broj – broj izvršilaca izvršilaca

nn –– broj broj mjestamjesta (radnih zadataka) (radnih zadataka)

cij, cij, i = 1,2,…,mi = 1,2,…,m i i j = 1,2,…,nj = 1,2,…,n – – troškovitroškovi ( (dobitidobiti) ) rasporeda rasporeda izvršiocaizvršioca ii na mjestona mjesto jj

xij,xij, i = 1,2,…,mi = 1,2,…,m i i j = 1,2,…,nj = 1,2,…,n – označava da li je – označava da li je izvršilacizvršilac ii raspoređen raspoređen na mjestona mjesto jj

11 - Ako je - Ako je izvršilacizvršilac ii raspoređen raspoređen na mjestona mjesto j j

xij = xij = {{

00 - Ako - Ako izvršilacizvršilac ii nije raspoređen nije raspoređen na mjestona mjesto j j

2.5.2. PROBLEM RASPOREDJIVANJA2.5.2. PROBLEM RASPOREDJIVANJAMatematički model problema raspoređivanjaMatematički model problema raspoređivanja

Minimizirati Minimizirati Z = c11 x11 + c12 x12 + … + c1n x1n +Z = c11 x11 + c12 x12 + … + c1n x1n + + c21 x21 + c22 x22 + … + c2n x2n ++ c21 x21 + c22 x22 + … + c2n x2n +

(2.5.5)(2.5.5) + ... + + ... + + cm1 xm1 + cm2 xm2 + … + cmn xmn = + cm1 xm1 + cm2 xm2 + … + cmn xmn =

m n m n = = ΣΣ ΣΣ cij xij cij xij

i=1 j=1i=1 j=1

uz uz ograničenjaograničenja::

m m ΣΣ xij = 1 xij = 1 j = 1, 2, ..., nj = 1, 2, ..., n (2.5.6)(2.5.6) i=1 i=1

n n ΣΣ xij = 1 xij = 1 i = 1, 2, ..., m i = 1, 2, ..., m (2.5.7)(2.5.7) j=1 j=1

xij = 0 ili 1 xij = 0 ili 1 (2.5.8)(2.5.8)


Ovako definiran model predstavlja Ovako definiran model predstavlja poseban oblik modela LPposeban oblik modela LP, tzv. , tzv. 0-10-1 programiranje.programiranje.

U odnosu na transportni model, ovdje je U odnosu na transportni model, ovdje je specifično, što su specifično, što su ponudeponude iz svih iz svih ishodišta ishodišta jednakejednake jedinicijedinici, odnosno, , odnosno, sve sve potrebe potrebe odredišta su odredišta su jednake jednake jedinicijedinici..

Da bi se problem raspoređivanja mogao Da bi se problem raspoređivanja mogao riješiti potrebno je da riješiti potrebno je da broj izvršilacabroj izvršilaca i i broj (radnih) mjesta bude jednakbroj (radnih) mjesta bude jednak (m=n)(m=n)


Ako je Ako je n = mn = m imamo imamo zatvoreni modelzatvoreni model rasporaspo--reređđivanja. ivanja.

Ako Ako nnije ije jednak broj jednak broj izvršilaca izvršilaca ii mjesta mjesta, to , to jest ako je jest ako je mm##nn, tada imamo , tada imamo otvoreni model otvoreni model rasporeraspoređđivanjaivanja. On se prevodi . On se prevodi u zatvoreniu zatvoreni, , uvouvođđenjem enjem fiktivnih promjenljivihfiktivnih promjenljivih. .

Da bi se Da bi se uravnoteuravnotežiožio broj broj izvrizvrššilacailaca i i mjestamjesta, , uvodi se uvodi se fiktivnfiktivno mjestoo mjesto, odnosno , odnosno fiktivni fiktivni izvrizvrššilacilac. . Tada se uzima da jeTada se uzima da je efikasnost efikasnost fiktivnfiktivnogog mjestamjesta cif = 0cif = 0, , (i = 1, 2, …, m), (i = 1, 2, …, m), odnosnoodnosno,, fiktivnog izvrfiktivnog izvrššiocaioca cfj= 0cfj= 0,, (j = 1, 2, (j = 1, 2, …, n). …, n).


Metoda rasporeMetoda raspoređđivanja za minimalnu vrijednost ivanja za minimalnu vrijednost funkcije ciljafunkcije cilja – mađarska metoda – mađarska metoda

ProblemProblem rasporeraspoređđivanjaivanja se mo se možže rijee riješšiti iti korikorišštenjem tenjem vivišše metodae metoda koje su, ina koje su, inačče, e, razvijene za razvijene za rjerješšavanje drugih problemaavanje drugih problema ((Linearno programiranje, transportni problemLinearno programiranje, transportni problem). ).

ProblemProblem rasporeraspoređđivanjaivanja se mo se možže rijee riješšitiiti i i ispitivanjem ispitivanjem svih mogućih kombinacijasvih mogućih kombinacija i i biranjem one kombinacije koja daje biranjem one kombinacije koja daje najbolji najbolji rezultatrezultat. Međutim, broj mogućih kombinacija . Međutim, broj mogućih kombinacija je je n!n! pa se već za pa se već za n = 10n = 10 dobije broj dobije broj kombinacija jednak kombinacija jednak 3,628.800.3,628.800. Jasno je da je Jasno je da je ovakav pristup ovakav pristup neprimjenljivneprimjenljiv za iole veće za iole veće zadatke raspoređivanja.zadatke raspoređivanja.


Ovaj problem se može riješiti i Ovaj problem se može riješiti i metodom metodom grananjagrananja ( (Branch and BoundBranch and Bound) koja ) koja omogu-ćava ispitivanje samo onih omogu-ćava ispitivanje samo onih kombinacija koje su po određenom kombinacija koje su po određenom kriteriju kriteriju bolje od nekih drugih koje bolje od nekih drugih koje odbacujemoodbacujemo..

MeMeđđutim, utim, danas se danas se najnajččeešćšće koristi metoda e koristi metoda posebno razvijena za rjeposebno razvijena za rješšavanje avanje problema rasporeproblema raspoređđivanjaivanja ( (mamađđarska arska metoda po tehnici Floodametoda po tehnici Flooda). ).


Postupak se zasniva na korištenju Postupak se zasniva na korištenju matrice matrice efikasnostiefikasnosti ( (troškovatroškova) ) CC čiji su čiji su elementi elementi koeficijenti funkcije ciljakoeficijenti funkcije cilja. Ako se . Ako se pretpostavi da je pretpostavi da je broj izvršilacabroj izvršilaca i i broj broj mjesta jednakmjesta jednak, matrica , matrica CC će biti: će biti:

|̄S|̄S c11 c11 c12c12 ...... c1n Sc1n S|̄|̄

|̄|̄ c21 c21 c22c22 ...... c2n c2n |̄|̄

C = C = |̄|̄ ... ... |̄|̄

|̄|̄ ... ... |̄|̄

|̄T|̄T cn1 cn1 cn2cn2 ...... cnn Tcnn T|̄|̄

Smatra se da je Smatra se da je efikasnost većaefikasnost veća što je što je koeficijentkoeficijent cij cij manji.manji.


Postupak se realizira kroz Postupak se realizira kroz tri korakatri koraka::

1.1. Zadana Zadana matrica efikasnostimatrica efikasnosti CC se se prevodiprevodi u u matricumatricu C’C’ tako što se tako što se svi članovi svakog svi članovi svakog redredaa polazne matrice polazne matrice umanjumanje e za vrijednost za vrijednost najmanajma--njeg elementa tog redanjeg elementa tog reda. . Na taj način Na taj način se se u svakom redu dobije najmanje jedna u svakom redu dobije najmanje jedna nula.nula.

Zatim se, uZatim se, u tako dobijenoj matrici, tako dobijenoj matrici, svi svi ččlanovlanovii svake kolone umanje za vrijednost svake kolone umanje za vrijednost najmanjeg elementa najmanjeg elementa te te kolone. kolone.

Na taj naNa taj naččin formirana matrica in formirana matrica sadrsadržži najmanje i najmanje po jedan nulti element u svakoj vrsti i u po jedan nulti element u svakoj vrsti i u svakoj koloni.svakoj koloni.


2.2. OOznaznaččavaavaju se ju se nulnulee matrice matrice na na sljedesljedeććii način: način:

a.a. Polaze Polazećći od prvog reda matrice, nalaze se i od prvog reda matrice, nalaze se redoviredovi koji imaju koji imaju samo jednu nulusamo jednu nulu. Ta se . Ta se nulanula oznaoznaččii a a ostale nule u koloni sa ostale nule u koloni sa oznaoznaččenom nulom se prekrienom nulom se prekrižžee. Ovaj . Ovaj postupak se sprovodi dok ima redova postupak se sprovodi dok ima redova sa sa jednom neoznajednom neoznaččenom nulomenom nulom..

b.b. Isti postupakIsti postupak se primjeni na se primjeni na kolonekolone..

Postupci Postupci a.a. i i b.b. se se ponavljajuponavljaju dok dok sve nule sve nule ne budu oznane budu označčeneene ili ili prekriprekrižženeene. Ako se u . Ako se u svakom redusvakom redu i u i u svakoj kolonisvakoj koloni nalazi nalazi po po jedna oznajedna označčena nula postupak je zavrena nula postupak je završšenen. . U suprotnom U suprotnom prelazi se na korakprelazi se na korak 3.3.


3.3. Proizvodi se Proizvodi se nova matricanova matrica slijede}im slijede}im postupkompostupkom::

a.a. OznaOznačče see se strelicama strelicama redoviredovi koji nemaju koji nemaju oznaoznaččene nuleene nule

b.b. OznaOznačče see se strelicama strelicama kolone koje u oznakolone koje u ozna--ččenim redovima imaju prekrienim redovima imaju prekrižžene nuleene nule

c.c. OznaOznačče se redovie se redovi koji imaju koji imaju oznaoznaččenu enu nulu u oznanulu u označčenoenojj kolonikoloni

d.d. PonavljajuPonavljaju se postupci se postupci b.b. i i c.c. dok se dok se lanac lanac ne zatvorine zatvori


e.e. Povuku se Povuku se linijelinije kroz kroz neoznaneoznaččene redoveene redove i i oznaoznaččene koloneene kolone; kroz ; kroz svaku oznasvaku označčenu nuluenu nulu ((asignacijuasignaciju) ) mora prolaziti jedna linijamora prolaziti jedna linija, dakle, treba , dakle, treba da dobijemo da dobijemo onoliko linijaonoliko linija koliko imamo koliko imamo oznaoznaččenih enih nulanula

f.f. Formira se Formira se nova matricanova matrica, tako , tako ššto to se se najmanji najmanji nepokriveninepokriveni ( (neprecrtan linijomneprecrtan linijom) ) elementelement cijcij prpredhodne edhodne matrice:matrice:

(1)(1) oduzmeoduzme od svakog od svakog nepokrivenog nepokrivenog elementaelementa

(2)(2) dodadoda svakom elementusvakom elementu dva puta dva puta prekriprekriženom, ženom, tj.tj. elementima kojielementima koji se nalaze se nalaze na na prepre sjekusjeku dviju linija dviju linija

Elementi Elementi prekriveni jednom linijom prekriveni jednom linijom se se prepiprepiššu u u u novu matricu. novu matricu.


Na ovako dobijenu matricu primjenjuje se Na ovako dobijenu matricu primjenjuje se korakkorak 22. .

AAko se ko se ne nane nađđe optimalno rjee optimalno rješšenjeenje, nastavlja se , nastavlja se sa sa korakomkorakom 33.. i t i to se o se nastavlja donastavlja dok se ne k se ne nađe nađe optimalno r optimalno rješenje.ješenje.

Kada se Kada se dobije dobije matrica sa matrica sa potpunom potpunom asignacijomasignacijom,, koja koja sadrsadržži i nn zaokruzaokružženih nulaenih nula, , iz nje se iz nje se može odrditi može odrditi optimalno rjeoptimalno rješšenjeenje. .

ZaokruZaokružžene nuleene nule ozna označčavaju avaju varijable varijable ččije su ije su vrijednosti jednake jedinicivrijednosti jednake jedinici ( (xxijij = 1 = 1). Ostale ). Ostale varijablevarijable xijxij imaju imaju vrijednost nulavrijednost nula. .


Primjer 2.5.3.Primjer 2.5.3.

Naći Naći optimalno rješenje problema raspo-optimalno rješenje problema raspo-ređivanjaređivanja za sljedeću za sljedeću matricu koštanjamatricu koštanja::

|̄|̄ P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I1 I1 |̄|̄ 1111 1717 8 8 1616 2020I2 I2 |̄|̄ 99 7 7 1212 6 6 1515I3 I3 |̄|̄ 1313 1616 1515 1212 1616I4 I4 |̄|̄ 2121 2424 1717 2828 2626I5I5 |̄|̄ 1414 1010 1212 1111 1515


RješenjeRješenje

Sve članovi svakog Sve članovi svakog redredaa polazne matrice polazne matrice umanjumanje se e se za vrijednost najmanjeg za vrijednost najmanjeg elementa tog redaelementa tog reda

|̄|̄ P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I1 I1 |̄|̄ 33 9 9 0 0 8 8 1212

I2 I2 |̄|̄ 33 1 1 6 6 0 0 9 9

I3 I3 |̄|̄ 11 4 4 3 3 0 0 4 4

I4 I4 |̄|̄ 44 7 7 0 0 1111 9 9

I5I5 |̄|̄ 44 0 0 2 2 1 1 5 5


Svi članovi svake koloneSvi članovi svake kolone oveove matrice matrice umanjumanje e se se za vrijednost najmanjeg elementa tza vrijednost najmanjeg elementa tee kolonekolone

|̄|̄ P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I1 I1 |̄|̄ 22 9 9 0 0 8 8 8 8

I2 I2 |̄|̄ 22 1 1 6 6 0 0 5 5

I3 I3 |̄|̄ 00 4 4 3 3 0 0 0 0

I4 I4 |̄|̄ 33 7 7 0 0 1111 5 5

I5I5 |̄|̄ 33 0 0 2 2 1 1 1 1


PolazePolazećći od prvog reda matrice, nalaze se i od prvog reda matrice, nalaze se redoviredovi koji imaju koji imaju samo jednu nulusamo jednu nulu. Ta se . Ta se nulanula oznaoznaččii a a ostale nule u koloni sa ostale nule u koloni sa oznaoznaččenom nulom se prekrienom nulom se prekrižžee. . Isti Isti postupak se uradi i sa postupak se uradi i sa kolonama kolonama dok dok sve sve nulenule ne budu ne budu obilježeneobilježene ili ili prekriženeprekrižene..

|̄|̄ P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I1 I1 |̄|̄ 22 9 9 0 0 8 8 8 8I2 I2 |̄|̄ 22 1 1 6 6 0 0 5 5I3 I3 |̄|̄ 00 4 4 3 3 0 0 0 0I4 I4 |̄|̄ 33 7 7 0 0 1111 5 5I5I5 |̄|̄ 33 0 0 2 2 1 1 1 1


Postupak Postupak nije završennije završen jer jer nemamonemamo 55 obilježenihobilježenih nulanula, , naime naime izvršilac izvršilac 44 i i posaoposao 55 nisu raspodjeljeninisu raspodjeljeni..

Sada Sada strelicamastrelicama označimo označimo redoveredove koji koji nemaju nemaju označenih nula označenih nula i i kolone koje u oznakolone koje u označčenim enim redovima imaju prekriredovima imaju prekrižžene nuleene nule

|̄|̄ P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I1 I1 |̄|̄ 22 9 9 0 0 8 8 8 8I2 I2 |̄|̄ 22 1 1 6 6 0 0 5 5I3 I3 |̄|̄ 00 4 4 3 3 0 0 0 0I4 I4 |̄|̄ 33 7 7 0 0 1111 5 5I5I5 |̄|̄ 33 0 0 2 2 1 1 1 1


OznaOznačče se redovie se redovi koji imaju koji imaju oznaoznaččenu nulu u enu nulu u oznaoznaččenoenojj koloni.koloni.

PonavljajuPonavljaju se postupci dok se postupci dok u u označenim označenim redovima ima prekriženih nularedovima ima prekriženih nula

|̄|̄ P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I1 I1 |̄|̄ 22 9 9 0 0 8 8 8 8I2 I2 |̄|̄ 22 1 1 6 6 0 0 5 5I3 I3 |̄|̄ 00 4 4 3 3 0 0 0 0I4 I4 |̄|̄ 33 7 7 0 0 1111 5 5I5I5 |̄|̄ 33 0 0 2 2 1 1 1 1


PPovuku se linije kroz ovuku se linije kroz neoznaneoznaččene reene redovedove i i oznaoznaččene ene kolonekolone; kroz svaku ; kroz svaku zaokruzaokružženu enu nulunulu ( (asignacijuasignaciju) mora da prolazi ) mora da prolazi jednajedna i i samo jedna linijasamo jedna linija, dakle, treba da dobijemo , dakle, treba da dobijemo onoliko linija koliko imamo zaokruonoliko linija koliko imamo zaokružženih enih nulanula

|̄|̄ P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I1 I1 |̄|̄ 22 9 9 0 0 8 8 8 8I2 I2 |̄|̄ 22 1 1 6 6 0 0 5 5I3 I3 |̄|̄ 00 4 4 3 3 0 0 0 0I4 I4 |̄|̄ 33 7 7 0 0 1111 5 5I5I5 |̄|̄ 33 0 0 2 2 1 1 1 1


Primjenjuje se Korak 2., tj. Primjenjuje se Korak 2., tj. nalaze se nalaze se redoviredovi koji koji imaju imaju samo jednu nulusamo jednu nulu i ti ta se a se nulanula oznaoznaččii a a ostale nule u koloni sa oznaostale nule u koloni sa označčenom nulom enom nulom se prekrise prekrižžee. .

b.b. Isti postupakIsti postupak se primjeni na se primjeni na kolonekolone..

|̄|̄ P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I1 I1 |̄|̄ 00 7 7 0 0 6 6 6 6

I2 I2 |̄|̄ 22 1 1 8 8 0 0 5 5

I3 I3 |̄|̄ 00 4 4 5 5 0 0 0 0

I4 I4 |̄|̄ 22 5 5 0 0 9 9 3 3

I5I5 |̄|̄ 33 0 0 4 4 1 1 1 1


Dobili smo Dobili smo optimalno rješenjeoptimalno rješenje::

x11 = 1x11 = 1

x24 = 1x24 = 1

x35 = 1x35 = 1

x43 = 1x43 = 1

x52 = 1x52 = 1

Z = c11 + c24 + c35 + c43 + c52 = Z = c11 + c24 + c35 + c43 + c52 =

= 11 + 6 + 16 + 17 + 10 = = 11 + 6 + 16 + 17 + 10 = 6060

3. LITERATURA3. LITERATURA1.1. Backović M., Vuleta J., „Ekonomsko matematički metodi i Backović M., Vuleta J., „Ekonomsko matematički metodi i

modeli”, CID, Beograd, 2000. modeli”, CID, Beograd, 2000. 2.2. Bronštejn I.N. i dr., Bronštejn I.N. i dr., „„Matematički priručnik”Matematički priručnik”,, Golden Golden

marketing-Tehnička knjiga, Zagreb, 2004.marketing-Tehnička knjiga, Zagreb, 2004.3.3. Carter M.W., Price C.C., Carter M.W., Price C.C., ““Operations Research – A Practical Operations Research – A Practical

Introduction”Introduction”,, CRC Press, 2001. CRC Press, 2001.4.4. Chandrasekhara Rao K., Chandrasekhara Rao K., ““Operations Research”Operations Research”,, Alpha Alpha

Science International Ltd., 2005.Science International Ltd., 2005.5.5. Hillier F.S., Lieberman G.J., Hillier F.S., Lieberman G.J., ““Introduction to Operations Introduction to Operations

Research”Research”,, McGrow-Hill, New York, 2005. McGrow-Hill, New York, 2005.6.6. Krčevinac S. i dr., Krčevinac S. i dr., ““Operaciona istraživanja”Operaciona istraživanja”,, Fakultet Fakultet

organizacionih nauka, Beograd, 2004. organizacionih nauka, Beograd, 2004. 7.7. Neralić L., Neralić L., „„UvodUvod u matematičko programiranje 1”u matematičko programiranje 1”,,

Element, Zagreb, 2003.Element, Zagreb, 2003.8.8. Petrić J.: Petrić J.: ““Operaciona istraživanjaOperaciona istraživanja”,”, Nauka, Beograd, 1997. Nauka, Beograd, 1997.9.9. Pierre D.A.,Pierre D.A., “Optimization theory with applications”,“Optimization theory with applications”, Dover Dover

publications, NewYork, 1986. publications, NewYork, 1986. 10.10. Zečević T., Zečević T., “Operaciona istraživanja”“Operaciona istraživanja”,, Naučna knjiga, Naučna knjiga,

Beograd, 1974.Beograd, 1974.

šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan

Documents

OI106OITransportRasporedjivanje