OLTRE OGNI LIMITEPrerequisiti:•Intorno di un punto•Intorno di infinito•Punto di accumulazione •Le funzioni elementari

Scheda1: “SPACCA E SCAPPA”approccio al concetto di limite e relativa definizione

Entra anche tu nel mondo di Crazystone.Crazystone è il paradiso dei teppisti e dei vetrai. Il passatempo

dei teppisti è lanciare sassi e rompere vetri indisturbati.Ma che noia! Che monotonia!Basta moti parabolici.Così il Ministero della ricerca di Crazysone ha bandito un

concorso:una fornitura di vetri a chi avesse inventato qualcosa per spezzare la monotonia della forza di gravità.

Un’equipe di scienziati pazzi (nota come “Banda di Zeroallazero”)ha inventato una barriera elettromagnetica dalla interessante proprietà:quando un sasso ,lanciato verticalmente da terra, urta contro una barriera, viene deviato ad angolo retto e procedein linea retta ,senza ricadere, fino a che non urta contro un ostacolo, come in figura

La barriera è stata istallata sopra il Viale senzafine di Grazystone: una via che inizia dalla casa del sindaco e prosegue diritta senza mai terminare.

Il Sindaco però ha alcune fissazioni:

1) È convinto che per avere la migliore visione panoramica della sua città , la si debba osservare da esattamente 10 metri di altezza. Per questo ha fatto costruire una finestra centrata attorno ai 10 metri di quota dalla strada

2) Proprio perché i 10 metri di altezza è la quota perfetta, anche

Anche la barriera elettromagnetica deve avvicinarsi sempre di più a questa altezza”aurea”, ma non la deve toccare ,per non toccare la visuale.Ecco come è stata realizzata la barriera

Ma…il sindaco deve vedersela con alcuni cittadini scontenti del suo operato,i quali ingaggiano qualche teppista di Crazystone,esperto nel tiro del sasso , perché rompa la finestra del sindaco

“Guardando il disegno,dove ti posizionerestiper colpire il bersaglio?C’è una sola possibilità o di più?”

Ma il sindaco stanco di tanta delinquenza,ha chiesto ai muratori di rimpicciolire l’apertura della finestra

“Così facendo il sindaco ha risolto i suoi problemi?O credi che sarà ancora possibile rompere il vetro della finestra?E se si riducesse ulteriormente l’apertura(sempre centrata attorno alla altezza aurea)avrebbe vinta la battaglia?

(tieni presente che su Crazystone esistono sassi piccolissimi come granelli di polvere che lanciati con forza potrebbero rompere un vetro)

Comincia la discussione in classe.…….per concludere che:

1) “qualunque sia l’apertura della finestra centrata attorno all’altezza aurea, esiste una zona di lancio ( a destra di un certo punto)tale che,in qualunque posizione ci si metta ,basta essere nella zona di lancio che allora il sasso raggiungerà un’altezza giusta per entrare nella finestra”Ciò è equivalente a dire:2) “la barriera si avvicina sempre di più all’altezza aurea”In simboli:1)

lxfx

)(lim

)/()()I(x /)( )( lxfIlI

2)

Continuiamo la storia ….

Il sindaco, in preda ad un eusarurimento, non si presenta alle elezioni Viene eletto un suo oppositore,il quale , in nome della libertà di espressione artistica , cavallo di battaglia durante la campagna elettorale,chiama i migliori artisti di Crazystone e fa progettare una nuova barriera non più vincolata all’altezza aurea.Il nuovo sindaco ha una debolezza : l’astronomia e fa montare il suo telescopio ultimo modello su un piedistallo davanti alla finestra :Ma la barriera riveste un ruolo strategico. Al sindaco gli è concesso al massimo un foro più piccolo di quello che si potrebbe ottenere con la punta di un ago. Praticamente … un punto.

Il sindaco è così contento ma…..

l’ex sindaco organizza un movimento di protesta contro il suo … caro collega: assolda esperti teppisti perché colpiscano la finestra.

“Se tu fossi un teppista, dove ti posizioneresti, per colpire il bersaglio?c’è una sola posizione possibile o più di una?

Se il sindaco decidesse di ridurre le dimensioni della finestra ( sempre centrata attorno all’altezza aurea) riuscirebbe a proteggersi dai sassi?o credi che sarà ancora possibile rompere il vetro?

Comincia la discussione in classe…….Per concludere che…

)()()(/con )( )I( )2

)(lim )1

000

0

lIxfxIxxxxIl

lxfxx

A1 area

approssimata per eccesso

a1 area

approssimata per difetto

SCHEDA2Il LIMITE “strumento per calcolare l’area di una figura piana”

A2 area

approssimata per eccesso

a2 area

approssimata per difetto

A2 <A1

a2 >a1

due successioni

an: aree approssimate per difetto a1, a2, a3, ...

An: aree approssimate per eccesso A1, A2, A3, ...

a1< a2< a3< ...

an<A1

A1> A2> A3> ...

An>a1

An an

si può rendere piccola a piacere

Le due successioni tendono allo stesso limite

Si definisce

area della figura a contorno curvilineo

il limite comune alle due successioni

?

11 f

2

200

2

2ff

11 f 01 f 21 f

20

2

20

2

2ff

050 f.

4

230

4

220

4

200

4

2ffff

5050 .f. 150 f. 5150 .f.

5050 .f.

2

4

230

4

220

4

20

4

2ffff

150 f. 5150 .f. 250 f.

2 area per difetto

rettangoli area per eccesso

4 area per difetto

rettangoli area per eccesso

8 area per difetto

rettangoli area per eccesso

n area per difetto

rettangoli area per eccesso

2

200

2

2ff

20

2

20

2

2ff

4

230

4

220

4

200

4

2ffff

2

4

230

4

220

4

20

4

2ffff

8

270

8

200

8

2f...ff

2

8

220

8

20

8

2f...ff

1

0

20

2 n

i nif

n

n

i nif

n 1

20

2

1

0

20

2 n

in n

ifn

a

n

in n

ifn

A1

20

2

022

ffn

aA nn

1

0

0n

in n

abif

n

aba

n

in n

abif

n

abA

1

0

a b

La successione nS è decrescente e limitata inferiormente )sS( n 1

La successione ns è crescente e limitata superiormente )Ss( n 1

La differenza

Le due successioni convergono allo stesso limite

nn sS si può rendere piccola a piacere

l'area T del trapezoide

TSs nn

nn

limlim T

è data da

Un po’ di teoria…ALCUNE DEFINIZIONIa) FUNZIONE INFINITESIMA:

“ una funzione f(x) si dice infinitesima per se

0xx

)(lim:simboliIn )( 0xx

0 xfxf

xx

0)(lim:simboli.In 0)( 0xx

0

xfxf

xx

b)FUNZIONE INFINITA:

“una funzione si dice infinita per

se

0xx

c) INFINITESIMI( infiniti ) SIMULTANEI:“ se f(x) e g(x) sono INFINITESIME( infinite )perallora f e g si dicono infinitesimi (infiniti)

simultanei

0xx

)()( scrive si 1)(

)(lim

0

xgxfxg

xfxx

- ;0

0 ;

d)INFINITESIMI( infiniti) EQUIVALENTI:

“ dati due infinitesimi (infiniti) f(x)e g(x)simultanei per si dicono equivalenti

se

Osservazione: Nel calcolo dei limiti forme del tipo:

0xx

dette INDETERMINATE sono “da risolvere” nel senso che non c’è una “formula” che ti permette di trovare “ il risultato” ma questo cambia a seconda dell’esercizio e, pertanto per risolvere tali forme sarà necessario utilizzare opportune tecniche e pian piano impareremo qualcuna….

Una di queste tecniche consisterà nell’utilizzo opportuno di infinitesimi ( infiniti) equivalenti. Purtroppo questa tecnica non consente di risolvere qualsiasi forma indeterminata. Per risolvere qualsiasi forma di indeterminazione è necessario utilizzare altri teoremi ( Hopital, Taylor..)

CERCHIAMO infinitesimi equivalenti

Esercizio1

“Utilizzando Geogebra rappresenta in un unico sistema di assi cartesiani

le funzioni:

f(x)=senx e g(x) y=x e rispondi:

a) f e g sono infinitesimi simultanei per

b) cosa puoi osservare se “zummi”le fz. nell’intorno dell’origine?

c)è possibile ipotizzare nell’intorno dell’origine di sostituire un”pezzo” della funzione senx con x?

0x ?

d) Si può dire che senx ed x sono due infinitesimi equivalenti?

e) È esatto scrivere senx = x oppure senx

cioè : senx = x + “qualcosa”

dove questo qualcosa rappresenta una infinitesimo che tende a zero “più velocemente” di x?

x

Esercizio2

Seguendo le indicazioni dell’es.1 fai lo stesso per le seguenti funzioni:

x

b

a

2

1

2

2

1

2

1g(x) e x)(1 f(x) e)

x1g(x) e x)(1 f(x) d)

x g(x) e x)ln(1f(x) c)

x1 g(x) e ef(x) )

2

x-1g(x) e cos(x)f(x) )

x

2

Riassumiamo quanto osservato:

INFIITESIMI EQUIVALENTI e LIMITI NOTEVOLI

1lim

)( )1

0

x

senx

xoxsenxxsenx

x

1cos1

lim

)(02

1)cos(2

1)cos( )2

2ox

222

x

x

xx

xx

x

1)1ln(

lim

)()1ln()1ln(

0x

x

x

xoxxxx

11

lim

)(11

0

x

e

xoxexe

x

x

xx

Sempre nell’intorno dell’origine…

)(21)1(21)1( 22 xoxxxx

)(2

11)1(

2

11)1(1 2

1

2

12 xoxxxxx

0

)(11

con

xoxx

generaleIn

Un PRINCIPIO che utilizzeremo per il calcolo dei limiti

PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE degli infinitesimi:

lim)1(inf))2((inf

)3/1(inf)2/1(inf)1(inf

cos1lim

:

)(

)(lim

)()(

)()(lim

allora

g(x) a rispetto superiore moinfinitesi )(g

f(x) ad rispetto superiore moinfinitesi )(f

xper x

miinfinitesi )(g e g(x) )(f e f(x)

3

0

3

0

1

1

xx

1

1

0.

11

00

x

x

ordsords

ordsordsords

xx

xxsenx

ESEMPIO

xg

xf

xgxg

xfxf

x

xSupponiamo

xxSiano

xx

xx

ALTRI ESEMPI ….

202

)((

020

000

2

2

2

22

02

2

0

0

000

1)(1lim

1lim

1lim

1)(

2

1

2

1

lim

)()(2

11)(

2

11

lim11

lim

2

12

1)()(2

111

lim)(11

lim

.....35

lim

33

lim)3(3

lim3

lim

x

xox

x

e

x

e

x

xoxx

x

xoxxox

x

xx

x

x

x

xox

x

x

x

xsenxsen

x

x

x

xox

x

xsen

x

xox

x

senx

x

xxx

xx

x

xxx

GERARCHIA DEGLI INFINITI

x

x

bxx

a

loga

x

:enteSinteticam

destra a trovasi che quello a ispettosuperiorer ordine di

INFINITOun è ognuno ,per x allora

1ba, 0 , con b , x, log

funzioni di famiglie le Date

Il teorema garantisce che le funzioni logaritmiche tendono all’infinito molto lentamente.

vediamolo graficamente

PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE degli INFINITI

0lim)5inf())2/1(inf(

xe x infinf()1inf()3(loglim

:

)(

)(lim

)()(

)()(lim

allora

g(x) a rispetto inferiore infinito )(g

f(x) ad rispetto inferiore infinito )(f

per x

infinite )(g e g(x) )(f e f(x)

5

33

5

3

1

1

x

1

1

11

00

x

x

ordord

aderioreordordordif

xx

xxx

ESEMPIO

xg

xf

xgxg

xfxf

x

xSupponiamo

xxSiano

xx

x