Upload
vedran-ivic
View
250
Download
7
Embed Size (px)
DESCRIPTION
sdsd
Citation preview
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić
1
2. SPEKTRALNA ANALIZA SIGNALA
Svaku periodičnu funkciju 𝑦(𝑡) može se prikazati s pomoću Fourierova reda kao suma
sinusnih i kosinusnih članova čije su frekvencije cjelobrojni višekratnici osnovne frekvencije:
𝑦(𝑡) = 𝐴(0) +∑[�̂�(𝑛) cos(𝑛𝜔𝑡) + �̂�(𝑛) sin(𝑛𝜔𝑡)]
∞
𝑛=1
Gdje je:
𝑦(𝑡) – trenutna vrijednost funkcije/signala
𝐴(0) - srednja vrijednost funkcije
�̂�(𝑛), �̂�(𝑛) – tjemena vrijednost n-tog kosinusnog/sinusnog člana
𝜔 - osnovna frekvencija
𝐴(0) =1
𝑇∫𝑦(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
0
�̂�(𝑛) =2
𝑇∫𝑦(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝑇
0
�̂�(𝑛) =2
𝑇∫𝑦(𝑡) sin(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝑇
0
Bitno je naglasiti kako je moguće Fourierov red zapisati i na druge načine.
𝑦(𝑡) = 𝐴(0) +∑ �̂�(𝑛) sin(𝑛𝜔𝑡 + 𝜑(𝑛))
∞
𝑛=1
= 𝐴(0) +∑ �̂�(𝑛) cos (𝑛𝜔𝑡 + 𝜑(𝑛) −𝜋
2)
∞
𝑛=1
�̂�(𝑛) = √�̂�2(𝑛) + �̂�2(𝑛)
𝜑(𝑛) = 𝑡𝑔−1�̂�(𝑛)
�̂�(𝑛)
�̂�(𝑛) – vršna vrijednost n-tog harmonijskog člana
𝜑(𝑛) – fazni pomak n-tog harmonijskog člana
Parsevalov teorem
Kada je potrebno iz poznatih koeficijenata Fourierovog reda (�̂�(𝑛), �̂�(𝑛), �̂�(𝑛) ) izračunati
efektivnu vrijednost tada je najjednostavnije koristiti Parsevalov teorem, tj. efektivna
vrijednost signala je:
𝑌 = √𝐴2(0) +1
2∑[�̂�2(𝑛) + �̂�2(𝑛)]
∞
𝑛=1
= √𝐴2(0) +1
2∑ �̂�2(𝑛)
∞
𝑛=1
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić
2
Faktor harmonijskog izobličenja
Faktor harmonijskog izobličenja određuje se kao omjer efektivne vrijednosti napona svih
viših harmonika i efektivne vrijednosti osnovnog člana. Ukupni faktor harmonijskog
izobličenja THD (Total Harmonic Distortion) definira se na sljedeći način:
𝑇𝐻𝐷 =√∑ 𝐶2(𝑛)∞
𝑛=2
𝐶(1)
Pojedinačni faktori izobličenja definiraju se kao:
𝐷𝑛 =𝐶(𝑛)
𝐶(1)
Zadatak 2.1.
Za funkciju danu izrazom:
𝑢(𝑡) = 10𝑠𝑖𝑛 (0𝑡 +𝜋
2) + 5𝑠𝑖𝑛 (314𝑡 +
𝜋
4) + 3𝑠𝑖𝑛 (628𝑡 −
𝜋
6) treba nacrtati fazno-
frekvencijski dijagram, amplitudno-frekvencijski dijagram, izračunati ukupni faktor
harmoničkog izobličenja te odrediti faktor oblika.
Rješenje:
Funkcija se prvo pretvotri u oblik Fourierova reda sa sinusnim članovima:
𝑢(𝑡) = 10𝑠𝑖𝑛 (0𝑡 +𝜋
2) + 5𝑠𝑖𝑛 (314𝑡 +
𝜋
4) + 3𝑠𝑖𝑛 (628𝑡 −
𝜋
6)
Vremenski dijagram izgleda prema slici:
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-5
0
5
10
15
20
t (ms)
u(t
) V
u(t)=10+5sin(314t+pi/4)+3sin(628t-pi/6)
u1(t)=5sin(314t+pi/4)
u2(t)=3sin(628t-pi/6)
ud=10
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić
3
Amplitudno-frekvencijska karakteristika
f0 fo 2fo
Um
10
3
5
Fazno-frekvencijska karakteristika
f0 fo2fo
2
4
6
Srednja ispravljena vrijednost funkcije:
10U U V
Efektivna vrijednost funkcije:
𝑈 = √𝑈2(0) + 𝑈2(1) + 𝑈2(2) = √102 + (5
√2)2
+ (3
√2)2
≈ 10,82 V
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić
4
Faktor oblika:
10 821 082
10
U ,f ,
U
Ukupni faktor harmoničkog izobličenja:
2
2
1
3
2 0 65
2
UTHD ,
U
Zadatak 2.2.:
Za funkciju danu izrazom: u(t) = sin(ω0t) – 0,5cos(3ω0t) treba nacrtati vremenski
dijagram, fazno-frekvencijski dijagram, amplitudno-frekvencijski dijagram, izračunati
ukupni faktor harmoničkog izobličenja te odrediti faktor oblika.
Rješenje: 0 69U , V ; Uef = 0,79 V; Um = 1,5 V; f =1,12; THD = 0,5
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić
5
Zadatak 2.3.
Odredite amplitudno-frekvencijsku i fazno-frekvencijsku karakteristiku za prva četiri nenulta
harmonika signala zadanog slikom, ako je 𝛼 =1
4. Odredite valovitost i pojedinačne faktore
distorzije za prva četiri nenulta harmonika.
Matematički zapis valnog oblika zadan je prema:
𝑢(𝑡) = { �̂� 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝛼𝑇−�̂� 𝛼𝑇 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇
Srednju vrijednost zadanog signala računa se prema:
𝑈(0) = 𝐴(0) =1
𝑇∫𝑢(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
0
=1
𝑇[∫ �̂�𝑑𝑡 −
𝛼𝑇
0
∫ �̂�𝑑𝑡
𝑇
𝛼𝑇
] = (2𝛼 − 1)�̂�
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
�̂�(𝑛) =2
𝑇∫𝑢(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝑇
0
=2
𝑇[∫ �̂� cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝛼𝑇
0
− ∫ �̂� cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝑇
𝛼𝑇
] =
2�̂�
𝑇[∫ cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝛼𝑇
0
− ∫ cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝑇
𝛼𝑇
] =2�̂�
𝑇[1
𝑛𝜔sin(𝑛𝜔𝑡)|0
𝛼𝑇 −1
𝑛𝜔sin(𝑛𝜔𝑡)|𝛼𝑇
𝑇 ] =
2�̂�
𝑛𝜔𝑇[sin(𝑛𝜔𝛼𝑇) − sin(0) − sin(𝑛𝜔𝑇) + sin(𝑛𝜔𝛼𝑇)] =
2�̂�
2𝑛𝜋[sin(2𝜋𝑛𝛼) − sin(0) − sin(2𝜋𝑛) + sin(2𝜋𝑛𝛼)] =
𝟐�̂�
𝒏𝝅𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒏𝜶)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
�̂�(𝑛) =2
𝑇∫𝑢(𝑡) sin(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝑇
0
=2
𝑇[∫ �̂� sin(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝛼𝑇
0
− ∫ �̂� sin(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝑇
𝛼𝑇
] =
2�̂�
𝑇[∫ sin(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝛼𝑇
0
− ∫ sin(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝑇
𝛼𝑇
] =2�̂�
𝑇[−
1
𝑛𝜔cos(𝑛𝜔𝑡)|0
𝛼𝑇 +1
𝑛𝜔cos(𝑛𝜔𝑡)|𝛼𝑇
𝑇 ] =
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić
6
2�̂�
𝑛𝜔𝑇[− cos(𝑛𝜔𝛼𝑇) + cos(0) + cos(𝑛𝜔𝑇) − cos(𝑛𝜔𝛼𝑇)] =
�̂�
𝑛𝜋[− cos(2𝜋𝑛𝛼) + cos(0) + cos(2𝜋𝑛) − cos(2𝜋𝑛𝛼)] =
�̂�
𝑛𝜋[2 − 2cos(2𝜋𝑛𝛼)] =
2�̂�
𝑛𝜋[1 − cos(2𝜋𝑛𝛼)] =
𝟒�̂�
𝒏𝝅𝒔𝒊𝒏𝟐(𝝅𝒏𝜶)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
𝒖(𝒕) = (𝟐𝜶 − 𝟏)�̂� +∑ [𝟐�̂�
𝒏𝝅𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒏𝜶) 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝎𝒕) +
𝟒�̂�
𝒏𝝅𝒔𝒊𝒏𝟐(𝝅𝒏𝜶) 𝐬𝐢𝐧(𝒏𝝎𝒕)]
∞
𝒏=𝟏
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
�̂�(𝑛) = √�̂�2(𝑛) + �̂�2(𝑛) = √(2�̂�
𝑛𝜋sin(2𝜋𝑛𝛼))
2
+ (4�̂�
𝑛𝜋𝑠𝑖𝑛2(𝜋𝑛𝛼))
2
=
=2�̂�
𝑛𝜋√(sin(2𝜋𝑛𝛼))2 + (2𝑠𝑖𝑛2(𝜋𝑛𝛼))
2=
2�̂�
𝑛𝜋√(2 sin(𝜋𝑛𝛼) cos(𝜋𝑛𝛼))2 + (2𝑠𝑖𝑛2(𝜋𝑛𝛼))
2=
4�̂�
𝑛𝜋sin(𝜋𝑛𝛼)√(cos(𝜋𝑛𝛼))2 + (𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑛𝛼))
2=𝟒�̂�
𝒏𝝅𝐬𝐢𝐧(𝝅𝒏𝜶)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
𝜑(𝑛) = 𝑡𝑔−12�̂�𝑛𝜋 sin
(2𝜋𝑛𝛼)
4�̂�𝑛𝜋 𝑠𝑖𝑛
2(𝜋𝑛𝛼)
= 𝑡𝑔−1sin(2𝜋𝑛𝛼)
2𝑠𝑖𝑛2(𝜋𝑛𝛼)= 𝑡𝑔−1
2 sin(𝜋𝑛𝛼) cos(𝜋𝑛𝛼)
2𝑠𝑖𝑛2(𝜋𝑛𝛼)
= 𝑡𝑔−1cos(𝜋𝑛𝛼)
𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑛𝛼)= 𝑡𝑔−1(𝑐𝑡𝑔(𝜋𝑛𝛼)) = 𝑡𝑔−1 (𝑡𝑔 (−𝜋𝑛𝛼 +
𝜋
2)) = −𝝅𝒏𝜶+
𝝅
𝟐
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
𝒖(𝒕) = (𝟐𝜶 − 𝟏)�̂� +𝟒�̂�
𝝅∑ [
𝐬𝐢𝐧(𝒏𝝅𝜶)
𝒏𝐬𝐢𝐧 (𝒏(𝝎𝒕 − 𝝅𝜶) +
𝝅
𝟐)]
∞
𝒏=𝟏
Za 𝛼 =1
4 slijedi:
𝑢(𝑡) = −�̂�
2+∑[
4�̂�
𝑛𝜋sin (
𝑛𝜋
4) sin (𝑛 (𝜔𝑡 −
𝜋
4) +
𝜋
2)]
∞
𝑛=1
Aproksimacija signala s prva četiri nenulta harmonika:
𝑢(𝑡) ≈�̂�
2𝑠𝑖𝑛 (−
𝜋
2) +
2�̂�
𝜋(√2𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 +
𝜋
4) + 2𝑠𝑖𝑛(2𝜔𝑡) + √2𝑠𝑖𝑛 (3𝜔𝑡 −
𝜋
4))
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić
7
Amplitudno-frekvencijska karakteristika
Fazno-frekvencijska karakteristika
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić
8
𝑤𝑢 = √𝑈2
𝑈2(0)− 1 = √3 ≈ 1,73
Gdje je:
𝑈 - efektivna vrijednost 𝑈 = �̂�
𝑈(0) – srednja vrijednost 𝑈(0) = −�̂� 2⁄
𝑈 = √1
𝑇∫𝑢2(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
0
= √1
𝑇[∫ �̂�2𝑑𝑡
𝛼𝑇
0
+ ∫(−�̂�)2𝑑𝑡
𝑇
𝛼𝑇
] = �̂�
Pojedinačni faktori distorzije su:
𝐷0 =𝐶(0)
𝐶(1)=
�̂�22�̂�𝜋
=𝜋
4
𝐷2 =𝐶(2)
𝐶(1)=
2√2�̂�𝜋2�̂�𝜋
= √2
𝐷3 =𝐶(3)
𝐶(1)=
2�̂�𝜋2�̂�𝜋
= 1
Zadatak 2.4.
Odredite prva tri nenulta harmonika zadane funkcije i THDU.
n 𝐷𝑛
0 𝜋
4≈ 0,79
1 1
2 √2 ≈ 1,41
3 1
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić
9
Matematički zapis funkcije:
𝑢(𝑡) =
{
2�̂�
𝜋𝑡 𝑡 ∈ [0,
𝜋
2]
−2�̂�
𝜋(𝑡 −
𝜋
2) + �̂� 𝑡 ∈ [
𝜋
2,3𝜋
2]
2�̂�
𝜋(𝑡 −
3𝜋
2) − �̂� 𝑡 ∈ [
3𝜋
2, 2𝜋]
Period zadane funkcije je 2𝜋, dok je kružna frekvencija 𝜔 = 1.
Zadana funkcija je neparno simetrična, tj. centralno simetrična s obzirom na ishodište.
Svojstvo neparnosti zadanog valnog oblika može se zapisati kao 𝑢(−𝑡) = −𝑢(𝑡).
Bez računanja može se zaključiti da je srednja vrijednost signala nula, tj. 𝑈(0) = 0. U pravilu
srednja vrijednost je nula zbog neparnosti funkcije 𝑢(𝑡).
�̂�(𝑛) =2
𝑇∫𝑢(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝑇
0
=2
𝑇∫ 𝑢(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝑇 2⁄
−𝑇 2⁄
= 0
Članovi �̂�(𝑛) jednaki su nuli jer je podintegralna funkcija neparna, tj. množenjem neparne
𝑢(𝑡) i parne cos(𝑛𝜔𝑡) funkcije dobiva se neparna funkcija.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
�̂�(𝑛) =2
𝑇∫𝑢(𝑡) sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡
𝑇
0
=2
𝑇∫ 𝑢(𝑡) sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡
𝑇 2⁄
−𝑇 2⁄
=4
𝑇∫ 𝑢(𝑡) sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡
𝑇 2⁄
0
Navedene relacije vrijede jer je funkcija 𝑢(𝑡) neparna, tj. podintegralna funkcija je parna jer
je umnožak dvije neparne funkcije parna funkcija.
�̂�(𝑛) =2
𝜋∫𝑢(𝑡) sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡
𝜋
0
=2
𝜋
[
∫2�̂�
𝜋𝑡 sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡
𝜋2
0
+ ∫(−2�̂�
𝜋𝑡 + 2�̂�) sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡
𝜋
𝜋2 ]
=
2
𝜋
[
∫2�̂�
𝜋𝑡 sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡
𝜋2
0
− ∫2�̂�
𝜋𝑡 sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡
𝜋
𝜋2
+ ∫2�̂� sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡
𝜋
𝜋2 ]
=
4�̂�
𝜋
[ 1
𝜋
(
∫ 𝑡 sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡
𝜋2
0⏟ 𝐼
− ∫ 𝑡 sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡
𝜋
𝜋2
)
+ ∫ sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡
𝜋
𝜋2 ]
=
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić
10
𝐼 = ∫ 𝑡 sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡 = |𝑢 = 𝑡𝑑𝑢 = 𝑑𝑡
|𝑑𝑣 = sin(𝑛𝑡) 𝑑𝑡
𝑣 = −1
𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡)
| =
−𝑡
𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡) +
1
𝑛∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡) 𝑑𝑡 = −
𝑡
𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡) +
1
𝑛2𝑠𝑖𝑛(𝑛𝑡)
�̂�(𝑛) =4�̂�
𝜋[1
𝜋((−
𝑡
𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡) +
1
𝑛2𝑠𝑖𝑛(𝑛𝑡))|
0
𝜋2
− (−𝑡
𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡) +
1
𝑛2𝑠𝑖𝑛(𝑛𝑡))|
𝜋2
𝜋
)
−1
𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡)|𝜋
2
𝜋] =
4�̂�
𝜋
[ 1
𝜋
(
−
𝜋2𝑛𝑐𝑜𝑠 (𝑛
𝜋
2) +
1
𝑛2𝑠𝑖𝑛 (𝑛
𝜋
2) + 0 − 0
− (−𝜋
𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋) +
1
𝑛2𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜋)⏟
0
+
𝜋2𝑛𝑐𝑜𝑠 (𝑛
𝜋
2) −
1
𝑛2𝑠𝑖𝑛 (𝑛
𝜋
2))
)
−1
𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋) − 𝑐𝑜𝑠 (𝑛
𝜋
2))
]
=
4�̂�
𝜋[1
𝜋(𝜋
𝑛𝑐𝑜𝑠 (𝑛
𝜋
2) +
2
𝑛2𝑠𝑖𝑛 (𝑛
𝜋
2) +
𝜋
𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋)) −
1
𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋) − 𝑐𝑜𝑠 (𝑛
𝜋
2))] =
4�̂�
𝜋[1
𝜋
2
𝑛2𝑠𝑖𝑛 (𝑛
𝜋
2)] =
8�̂�
𝜋2𝑛2𝑠𝑖𝑛 (𝑛
𝜋
2)
𝑢(𝑡) ≈8�̂�
𝜋2(sin(𝑡) −
1
9sin(3𝑡) +
1
25sin(5𝑡))
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Efektivna vrijednost se računa prema:
𝑈 = √1
𝑇∫𝑢2(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
0
= √4
𝑇∫ 𝑢2(𝑡)𝑑𝑡
𝑇 4⁄
0
=
√2
𝜋[∫ (
2�̂�
𝜋𝑡)
2
𝑑𝑡
𝜋 2⁄
0
] = √�̂�2
3=�̂�
√3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić
11
𝑇𝐻𝐷 =√∑ 𝐶2(𝑛)∞
𝑛=2
𝐶(1)=√𝑈2 − 𝑈2(1)
𝑈(1)=
√(�̂�
√3)2
− (8�̂�
𝜋2√2)2
8�̂�
𝜋2√2
≈ 0,12 = 12%
Gdje je
𝑈(1) – efektivna vrijednost osnovnog harmonika
Zadatak 2.5.
Odredite spektar punovalno ispravljenog sinusnog signala zadanog slikom. Odredite
valovitost.
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Ćorluka, Ivan Biondić
12
Rješenje:
𝑢(𝑡) =2�̂�
𝜋−4�̂�
𝜋∑
cos (2𝑛𝑡)
(2𝑛 − 1)(2𝑛 + 1)
∞
𝑛=1
𝑤𝑢 = √𝜋2
8− 1