社団法人電子情報通信学会THEINSTITUTEOFELECTRONICS，INFORMATIONANDCOⅦUNICATIONENGINEERS

信学技報TECHNICALREPORTOFIEICE・

Cs96-138,IE96-lO7(1996-12）

バックプロパゲーション適応IIRフィルタのための

２次元ＬＭＳアルゴリズムの収束性に関する検討

マハシャダイデ 川又政征

東北大学大学院工学研究科

〒980-77仙台市青葉区荒巻字青葉

E-majl:maha＠ｍk・ecei,tohoku・acjp

あら まし 本稿では,‘誤差方程式に基づく，バックプロパゲーション適応ⅡＲフィルタのための２次元ＬＭＳ

アルゴリズムを提案し，リヤプノフ安定定理を用いて,このアルゴリズムの収束性を考察する．とくに，分母分

離形２次元IIRフィルタのために適応アルゴリズムを提案し，収束性を考察する．このアルゴリズムでは,フィル

タの分母の水平セクションと垂直セクションの縦続結合に望ましい信号がバックプロパゲーションされることに

より，フィルタの係数に関してｳ線形な中間誤差関数を生成する.提案したアルゴリズムの性能を明らかにするた

めシミュレーション結果を示す.しかし，望ましい信号が加法ノイズに乱されている場合は,推定値のバイアス誤

差が多いという問題点がある．そのバイアス誤差を無くすための方法を提案し,シミュレーション結果を示す．

キーワード２次元誤差方程式適応IIRフィルタ，分母分離形２次元バックプロパゲーションIIRフィルタ．

OntheConvergenceof2-DLMSAlgorithm

fbrBackpropagationAdaptivellRFilters

MahaSHADAYDEHandMasayllkiKAWAMArA

GraduateSchoolofEngineering,nhokuUniver8ity

AOba,Aramnaki,AobaFku､Sendaj980-77,Japan

E-majl:maha@ｍk,ccei､tohoku､acjp

Abstract

Thispaperdevelopsa2-Dextensionofthel-DstabilitytheoryapproachtoequationerroradaptivelIRfilters・Ｔｈｅｎａｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｂ誠kpropagationfbrmulationof2-DequationerroradaptivelIRfilterswithseparabledenominatorfunctionisproposedanditsconvegenceanalysisisconsidered・Thisalgorithmisbasedontheconceｐｔｏｆｂ“kpropagatingthedesiredsignajthroughacascadeofthedenominatorvertica1and

horizontalpartssothattWolinearerrorfimctionscanbegenerated・Simulationresults麺epresentedtoshowthattheproposeda1gorithmconvergestotheoptima1solutionwhenthedesiredsignalisfreefromadditive

●

nmse-However，ifthedesiredsignaliscontaminatedwithadditivenoise，theproposedalgorithmresultsinbiasedestimates・Ａｎｄthus,abiasremowJmethodanditssimulationresultsarepresented・

keywords ２，equationerroradaptivellRfilter,separabledenominatorbackpropagationllR・filter．

－６１－

１INTRODUCTION

Inre(9entye麺ｓｔｈｅｒｅｈａ烏ｂｅｅｎ麺lincreasinginterestintwo-dimensiona雌MiaptiveIIRfilteralgorithmsduetotheirapplicationt⑥imageenhancementandnoise

reduction・ＴＷｏｍａｉｎ叩proaﾀhestoadaptivelIRiil‐teringbasedOndi俄renterrorcriteriahfwebeencon‐

sideredsof遼．Ｔｈｅｆｉｒｓｔｏｎｅｉｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｏｕｔｐuterrorfbrmulation，inwhichtheadaptivefilterisup‐dateddirectlyinanllRfbrm・COnsequentlytheme麺

squareoutput-errorisnotquadraticandmaycontajn

severalloca』mini､乱111.Thesecondappro紬isb懇edontheequati(m-errorfbrmulation・Ａｎｅｑｕ孔tion-erroradaptivellRfilterhassimil麺beh8wiortoanFIRfilter

andthemeansqu麺eequationerrorisquadr亀ticI1l．Tbshimaeta1.I51h2wcextendedthel-D伽kprop‐agationfbrmulationoftheequ孔tionerrorlIRfilters

proposedin14}totwMimensionamRfilte面swithsep‐arabledenomin孔torfmction・Tbmonitorstability§the

a1gorithminI51suggeststh乱tboththedenomin秘tor'sverticalandhorizontalparts麺edecomposedinto孔cas-cadeofse《９ondorder5ections,andhencestabilitymoni‐tOring《9anbeGasilyaXhie”ｄｆｂｒｅａＸＦｈｌ－Ｄｓｅ《9ond-order

section・Ｈｏｗｗｅｒ,noconvergencean副ysisfbrthe2-DeqllatiOnerrOradaptiveIIRfilterh劇sbeenconsideredsofar・

ＩｎｔｈｉｓｐａＰｅｒｗｅｆｉｒｓｔｄｅｖｅｌｏｐａ２－Ｄ唾tensi⑧nof

thel-Dstabilitytheoryappro謎ｈｔｏｌ－Ｄｅｑｕａｔｉｏｎｅｒ迄

roradaptivellMltersconsideredi､{２１.Thenaﾕ1a1go‐rithmsimi伽totheoneproposedin{51,butwiththedenomin乱tordecomposedintocascadeofthevertica1

andhorizontalpartsｏｎｌｙ麺eproposedanditsconver-

gence麺l遡ysisisinvestigated・Sincetheequationerr(雁basedadaptivealgorithmsgeneralｌｙｒｅｓｕｌｔｉｎ孔biased

estim孔teswhenthedesiredsigna1iscontaminatedwith

識dditivEnoise,ａｂｉ殿removalmethodfbrtheproposeda1gorithmaｴlditssimulationresultsareconsidered、

２２－DBACKPROpAGATIONADAPTIVEIIRFIＬＴＥＲＡＬＧＯＲＩＴＨＭ

Ｔｈｅｌ－ＤｅｑｕａｔｉｏｎｅｒrorlIRfiltersusingthebaXkprop-ag乱tionfbrmulationI4}canbedirectlyextendedtothe2-DcaseasshowninFi９．１．InthisstrUcture,theinputsignalu(ｍ,"),ｍ＝０，…,Ｍ,仰＝0,...,Ⅳ,ispiissed

throllghthefiltertransversalsectioM(qrI,嘘i),whilethedesiredsignaM(ｍ,仰)isba心kpropag孔tedthrollghtheinverseofthea1l-polesectionB(9r',嘘'),ｗｈｅｒｅ９ｒ１ａｎｄ嘘’麺eusedthroughoutthispapertode‐notetimedelayoper秘torsinthehorizontalandverti戸

caldirectionrespectivelymheeqll秘tionerror侭(ｍ,､)isgeneratedusingtheintermedi乱tesigna1sy,(ｍ,泥)and｡,(、,仰)asfbllOws：

e(ｍ,”）＝ｄ,(ｍ,沌)－〃,(ｍ,卸）

＝怠(qrI,嘘')d(ｍ,,､)一Ａ(9『',嘘')秘(ｍ,沌)，（'）

wherethefilter'str麺sversalsectionA(9r1,951）andtheinverseoftheallpolesectionB(9r1,嘘I)aregivenby

jV1Ⅳ２

Ａ(‘『!,嘘!)＝ＥＥα(＃,j)9r‘嘘ｊ （２）ｊ＝Ｏｊ＝０

ｂ

＄§

ｑ

Figurel：Ｅ《lllati《)ｎＥｒｒ《)rFormlllatiollfbr2-DIIRFil‐ter．

Ｍ１Ｍコ

Ｂ(q『1噸!)＝１－ＥＥ６(i,j)9｢‘塀（３）爵訴o

BysllMitutingEqS.(2)麺ｄ(3)intoEq.(1)andre‐arr皿ging,theα”orpredictionequ勘tionerrore(k)＝e(、,")Caﾕlbewrittenasfbnows：

℃(k）＝‘(ｍ,抑)一ﾀT(ルー1ＭA）＝８Tや(A)一ｊＴ(ルー１Ｍﾙ）

＝ｊＴ(ルー1ＭA)，（４）

whereルーｍＭ＋ndenotestheiterationnumber,ａｎｄ

ＯＴ＝{6('’0),…,６(Ｍ1,0,)…,6(Ｍ１,Ｍ２）

α(0,()),…,α(Ⅳ1,()),...,卿(jVl,jV2)１（５）

やT(A)＝【例(ｍ－',抑),…,､(ｍ一Ｍ,,"),…，ｄ(ｍ－Ｍ１,”－雌）趣(ｍ,”)･･･

ｕ(ｍ－Ｎｌ,”),…,1』(m-jVI,”一脇)１（６）

ｊＴ(ﾙ）＝Ｉｉｈ:('’0),…,6ｋ(Ｍ,’0),･･･’6k(Ｍ,,雌)，

。M0,0),…,‘iWV1,0),…,dWV１，Ｍ)｝（７）

ｊＴ(ｋ）＝８７－ﾀT(ん)．（８）

ThetildfDWiⅢ〕ellsedtodelM》tetheerrorintheesti‐

matedentitiesthrollghoutthisp叩⑧r、The2-DLMSEquationError(LMSEE)遡gorithm

fbrth催strll(9tllregiveninFig、１ｈ怨thecoefficientsllPd孔ｔｅＰｒ⑧(9edureinthefbrm：

β(ﾙ)＝８(ルー１)＋ﾉ"(ﾙ)や(ﾙ)，（９）

whereﾉ↓＞Oisthepamnleter'supdatestepsize・Sincetheerrorfimctione(A)isline麺withrespecttotheco‐

efIi(ientsof9(A）themean-sqll麺e-equationerrorisaquadraticfilnctiOnwithasinglegloMminimumand

nolocalminimaI1l.Ｃon蔦equentlyうtheconvergeIM:eoftheprocedureinEq．(9)ｉｓｏｎｌｙrel孔ｔｅｄｔＯｔｈｅｓｔｅｐ制zeﾉ‘,麺dhencefbrsufn《，ientlysm棚lﾉ‘,Ｅｑ．(9)winlmiquelyconvergewithouttheproblemofpammeterinstability・nestablishtheconditionfbrthe《9onver‐

gence，inthefbuowingse(2ti(ｍｔｈｅｓｔ小ilityappro錘h

tothel-DequationerrorllRfilterconsideredinI2]isextendeddirectlytothe2-Dcase．

－６２－

３ＳＴＡｍｍＴＹｎＨＥＯＲｙＡＰＰＲＯＡＣＨＴＯ２－ＤＡＤＡＰＴＩＶＥＨＲＦＩⅡmlBR

SUbtr“tingbothsidesofthe孔daPtivealgorithmillEq．(9)fromatimeinv狐ant9,andusingEq.(4)yield

タ(片)＝{１－坪(k)や(ｋ)Tlj(ルー')．（'()）

ThestabilityapproiM･ｈｔｏａｄａｐｔｉｖｅｐ麺immeteresti‐

mationconsidersEq．（38)asatime-viiJWingsy葛tem・

Showingth乱ｔ８→０，oreqllivalentlythatl9→０，fbr

anyfinite8(0),《:anbedonebyprovingEq.（38)tobe

gloMly麺ｄ識ymptOticallystable・FortheerrorSystemofEq．（38),c(msiderthefbl‐

lowingLyapllnovfimction：

ｖ(A)＝タT(ん)ｊ(A)，（1'）

ｗｈｉｃｈｉｓｅｑｌｌａｌｔｏｔｈｅ勝11ｍｍａｔｉｏｎ⑥fthesqll麺ｅｄｅｒｒｏｒｓｉｎｔｈｅｐ麺amete齢estim孔tGs・Ｉｆ

△Ｖ(A)＝Ｖ(ﾙ)－Ｖ(＆－１)＜０ （12）

fbra』ｌｋａｎｄＶ(0)isfinite,then△Ｖ(k)→０.Simil麺tothel-Dc悉e､evalll孔tingEq.（12)yield鰍

△V仏)＝－似e2(ﾙ)12-”(ｋ)Tや(A)１．（13）

Ｓｉｎｆｅ/&isdefinedaspositive,ｉｆ

O≦仏≦や(蒜町 （14）

fbrall除amsomeグＥ(0,2),thenEq.（12)iss孔tisfied，and△Ｖ(A)→Oimpliesthat川2(k)→Ｏ０ｒ

ｅ(A)＝ｊＴ(ルー'ＭＡ)→０． （15）

NotethatEq．（14)implicitlyassumestha岬(A)is

boundedorthattheinput秘isboundedandB(9ｒｌＪ嘘'）isstable､Moreover,Ｅｑ.(15)doesnotimplythat9→０

unlessや(A)issu缶cientlyrichsu<ｈthat孔no皿ero8isnotorthogonalt叩(jb)加遡Ｍ＞舟(2),i､e,,orequiv‐alentlyI21Pissuffi(ientlyri('htoex(:iteeverymodeoftheplaｴltsuchthaterrorsinidentifyinganyofthese

models麺ｅｏｌ〕servableinthepredicti⑪ｎＧｒｒ()r・

Simil麺ｔｏｔｈｅｌ－ＤｅｑｕａｔｉＯｎｅｒｒ⑥r，ｉｔ（秘ｎｂＧｅ概一

ilyshownthatmillimizingthe2-Ｄ側uati()nerrorwillresultin孔unbiaAうｅｄＰ麺麺netersestimatesonlyifthe

desiredsignali爵、()tcontaminatedwithadditivenoisp．

４２－ＤＬＭＳＡＬＧＯＲＩＴＨＭＦＯＲＢＡＣＫ‐

ＰＲＯＰＡＧＡｎＩＯＮＡＤＡＰＴＩＶＥＩＩＲＦＩＬ－

ＴＥＲＳ１ⅣＩＴＨＳＥＰＡＲＡＢＬＥＤＥＮＯＭＩＮＡ－

ＴＯＲＦＵＮＣＴＩON

Thetransfbrfunctionof孔separ孔bleden()minator2-DⅢRfilteris

〃(州１１=a等言鍔!ｙ （16）

whereBl(9｢')andＢ２(951)a近ethedenomiIl孔torhor‐izOnt拙麺dverti《9狐ｐ麺tsrespectively,anddefined誌mlows：

Ｍ１

Ｂ!(９｢!)＝'一Ｅ６１(')，｢‘（'7）ｉ＝ｌ

Ｍ２

Ｂ２(嘘!)＝'一Ｅ６２(j)嘘'．（'8）ｊ＝１

Ⅲ》ｒｓｅｐ麺abledenOminatorllRfilters，ｔｈｅａｎｐｏｌｅｓｅ(?－

tionB(q｢1,951）ｉｎＦｉｇ．１(謁迩lbedecomposedint()ａ(9a3(:Meofverti《?a』趣ldhoriz《ｍｔａｌｐ麺ｔｓａｓｓｈｏｗｎｉｎＦｉｇ、2．TheolltPutoftheverti《2遡ｐａｒｔｃ極ｌｂｅｕｓｅｄａｓａ１ＡｉｎｔＧｒｍｅｄｉ孔tPsign乱ｔ⑥prOdll《getheintermediat俗errore2(、,仰)whichisline麺withrespe(:ttOthe(9oeffi(:側tsoftheverti《9ａｌＰ極t・Theintermedi孔ｔｅｅｒｒｏｒｆｍｌ《?tionse,(ｍ,")趣lde2(ｍ,仰)麺ｅｇｉｖｅｎｂｙ

ｃ,(ｍ,,､）＝白,(ｑｒ１)d2(ｍ,勉)－Ａ(9『',嘘')狸(ｍ,,､）（'9）

ｅ２(ｍ,抑）＝白2(婚I)｡(ｍ,抑)一ｙ２伽,仰)，（20）

ｗｈｅｒｅ

ｙ,(、’'２）＝狐(ｍ,加)A(9｢',嘘'）（2'）１

１２("2,")＝諏雨'!("2,"）（22）《12(ｍ,,'）＝豆2(応')d(ｍ,,z)．（23）

Thefiltercoefficientsofthetr麺sversalpartA(9r１，嘘l）池dthedenominat()rhorizontalpartB,(ｑｒ１）ａ正e,,p‐dated細fbnows：

ａｃ?(&）９１(A＋')＝８１(い－ﾒ‘'師7両

＝８，(ん)＋ﾉ‘,e,(片)や,(jb)，（24）

where，

９，＝Ｉﾙ,(1),…,6,(Ｍ,)，α(0,0),…（25）

α(jV1,()),…,α(jV,,Ｍ)17, （26）

j,(A)＝隣('),…,鉾(Ｍ１)，iij，((),0),…，

ａと(jv,’0),…,fiAs(Ⅳ,,jv2)ｌＴ （27）

P,(片）＝{m2(ｍ－１，，２),･･･’ぬ(ｍ－Ｍ１,”),江(、.”),…，

〃(ｍ－ｊＶ,,仰),…,'4(ｍ－ｊＶ,,”－Ｍ)17,． （28）

Ａ１１ｄｔｈｅ(9《)efHcientsofthedellomin孔torverti(９ａ１Ｐ孔rtB2(嘘I）麺ellpdatedllsingl-DLMSalgorithmaMbl‐lows：

脚=鑑Iﾙ‘噸淵＝iMi(j)＋似2忽2(ﾙ)伽,”－j)，

ｊ＝１，…,雌．（29）

Ｂ()thoftheilltermedi孔teerrorfimctionse,(､1,”)ａｎｄ像2(、,”）麺eline麺withrespecttotheupd孔tedpa戸rameters麺ldhG1M9ewithgood《９hoi《９ｅｏｆｔｈｅｓｔｅｐｓｉｚｅ，

Eqs.(24)and(29)willconv燈rgetothegloMminimumwithouttheproblemofst孔bilitymonitOring・

Theerrorfim(tioninEq．（19)ｃ麺lｂｅｗｒｉttenasfbll《)ｗs：

Ｃｌ(m,")＝心(m,")－９７(ルー1)や,(除)．（3()）

Ifwedefinedthefbnowingve《９tors：

８２＝{’一&2('),…,一ＭＭ２)]T， （31）

タ2(ﾙ)＝'’一錐('),…,－鑑(M2)17,, （32）

や2(ﾙ)＝I‘(ｍ,'､),･･･,d2(ｍ,”－雌)}T，（33）

thenfromFig､２，．２(ｍ,仰)c麺bewrittenas

心(ｍ,")＝ぬ(ｋ)＝鰯(ルー')や2(A)，

＝{9J－厨(ルー'岬2(ｋ)．（34）

－６３－

‘(州)='側…㈹(州-ⅧI;'㈹ＤｉＭｉ+'(j)＝錐(j)＋似2c2(ﾙ)I｡(m,”－j)－

ｍ(ﾙ)e･(ｍ,'n-j)１，ｊ＝1,…,雌，（43）

where,ｅ,(ﾙ)i静anerrOrvectordefinedas幼nows

e,(ﾙ)＝Ic2(ｍ,”),ｅ２(ｍ-1,抑)…種2(ｍ－Ｍ１,")１，（坐）

a、,γ,(A)ａｎｄ通(ﾙ)麺etwova配i小les,theirvalues麺ｅｃｈＯｓｅｌｌｔｏｖ８ＬｒｙｂｅｔｗＧｅｎＯ孔tthebeginingoftheadaptiveprocessandincreaSegraduallytol懇ｅ‘(ｋ）皿ｄｅ２(k）ｔｅｎｄｔｏｂｅｍｏｒｅ誠curateestimatesoftheadditivenoiseiM(ん)anＭ２(k)respGctively､Ａｎｄthusγ,(A)皿ｄな(ｋ)錘edefinedasfbllows

両(…(“綴淵),，≦鰯,≦'’㈹州=唾(い,淵{),，≦"≦'’㈹wherelllldenotestheEu《:lideannorm,伽

e2(ん)＝IC｡(ｍ,”),ｃ･(ｍ’'@－1)…c･(ｍ’'@一雌)１．（47）

Ｒ

Ｉｔｃ麺ｂｅｅ錨iｌｙＢｈｏｗｎｔｈａｔ

８作j(ん)＝恥2(ﾙ)，（35）

andthusbysllbstitutinginEq．（34),wecanwriteEq.(30)asfbllows

e,(m,")＝ｊ,(ルー1)γや,(A)－激ルー1)ｗ(A)．（36）

Now,subtractingbothsidesofEq.(24)fromthetimeinvaｴiimt81andusingEq.(36)wehave

O,(ﾙ)＝11-ﾉ‘,や,(ｊＷｊ(ｋ)Tlj,(ルー'）一Ｍ？(ルー1)鞄(ﾙＭ(た)．（37）

Bytakingtheexpe《:tedvalueof(37)wehave

EI8i(ﾙ)l＝Ｅ{('一脚,やI(ん)や,(た)T)‘,(た一')１

－ﾒ‘,Ｅ{鱒(ルー'沖2(た)？,側，＝EIA,８１(た－１)１－脚Ｅ{A2や,(A)１，（38）

AconvergenceanalysisbasedonLyapunovstabilitytheorycanbeappliedtotheiirsttermofEq.(38)ａｎｄｉｔｃａｎｂｅｓｈｏｗｎｔｈａｔｉｆ

。≦‘‘,≦＊、（"）where入,…塚denotesthemaximumeigenv5Jueof

Rや,や,＝や,(ﾙ)や,(A)T， （40）

thentheeigenvaluesofA1areallinsidetheunitcircle麺dhencethefirsttermisanasymptoticallystableandandc《)nvergetozero・ThestabilityofA2inthesecondtennofEq．（38)isrelatedtotheconvergenceofEq．(29)whichc型beconsideredasal-DLMSa1gorithmfbrtimevaｴyingFIMlterwithaninputsignaM(ｋ)andanonstationa歴ydesiredoutputy2(k).Theconvergenceanalysisandtheoptimalchoicefbrthestepsizeﾉｊ２ｃ皿becamiedoutasdiscussedin{71.Bychoosingthestep副Ｚｅ〃，ｓｍａｎｅｎＯｕｇｈ，theoutputy1canbeconsideredtobestationaryoverasmaJlwindoｗ・Andthusifthestepsizeノ８２satisfies

，≦似2≦＊テ（"）where入2ｍ｡錘denotesthemaxlmum画genvalueof

nP2や2＝や2(ハル2(ｋ)T， （42）

thenEq.（29)is翁tableandO2(ﾙ)→OandhencethesecondterminEq.（38)isstableandwinconvergetoZerO．

Ｔｈｅ、趣ｎｄｒａｗｂ&Ｍｋｏｆｔｈｅｅｑｕ孔tionerror-basedadap-tiveIIRfilteristhatit《Bonvergesto孔biasedestimateswhenthedesiredsignaliscontaminatedwithadditivenOise・Ｔｂｒｅｍｏｖｅｓｕｃｈｂｉａｓ,inthel-Dequationerror

adaptivellRfilterLinetal.{6]hasproposedabiasrem‐edyalgorithmwhichusetheOutpllterror調ａｎｅｓｔｉｍａ戸tionfbrtheunkn⑨ｗｎ湖ditivenoise．Ｒ》rthea1gorithmproposedinSection4wecannotice(seeFig.２)thattheoutputerrore｡(A)canbeusedasanestimationoftheadditivenoiseinthedesiredsignaM(ﾙ),whiletheintermedi職teerrore2(A)canbeusedasanestimationofthe副dditivenoiseintheilltermediatesignaM2(A)．Andthustheupdateproceduresin(24)麺。(29)ｃ麺lbemodifiedaMbnows

ｇＵ 9,‘ ､）

、 、

Figure2：Eqllati《)ｎＥｒｒｏｒＲ)rmulationfbrSep麺ableDenomin孔tor2-DIIRFilter．

５ＢＩＡＳＲＥＭＯＶＡＬＡＬＧＯｍＴＨＭ

Ｈ(9｢’

６ＳＩＭＵＬＡｎｌＯＮＲＥＳＵＩ/rＳ

Ｅｘａｍｐｌｅｌ：Inthisexammplethealgorithmis叩pliedtotheSystemidelltificationconfigurationasshowninFi9.3,wheretheinputisa2-DzeromeanwhiteGaus‐siansign釧ｏｆsize250by250andunitvarlamlce・ＡｎｄtheMditivenoiseissettozero・Thefbllowingsep麺缶bleden⑪minatorfimctionisused識ｔｈｅｔr麺葛娩rfilnc‐

tiOnfbrtheunknownsystem．

１＋0.89『'一().5嘘'-0.49『'痕’

，嘘')＝(1-1.29｢'＋0.369『2)(1＋0.9盛'＋0.2嘘2)，

E(j）

－６４－

１，Ｆｉｇ．４ｗｅｓｈｏｗｔｈｅｃ⑥nvergenceofoutputerror-basedfi、《９tiongwhi征hisdefinedasfbllows

=死圭万蔓c･(j,j)2＋c｡(j,j)２，０≦堪皿－１．

Insuchnoisefreecase，theproposedalgorithma1‐

w2Wsshowsfast麺dcompleteconvergencetotheopti‐ｍ狐solution・

ExanlPle2:InthisexampleaZeromeaｴ１，Unitvari‐an(?eGaussiannoisewhichisindependentoftheinpllt

sign狐isusedfbrtheadditivenoisew・Theinputsigna1麺dtheunknownSystem麺ｅasdeiinedinExamplel・

Ｔｈｅ(９onvergenceoftheoutputerrorusinｇｔｈｅｂｉａｓｒｅ‐movalalgorithmpmposedinSection5isshowninFi9.5．Theresultedpar6hmetersestimat鴎withandwithoutbiasremovalareshＯｗｎｉｎＩ泡bleloFromtheseresults

itisｄｅ麺thatthebiasresultedfromtheadditivenoise

inthedesiredsignalwasconsiderablyredUcｅｄ

ｎｂｌｅｌ：ParametersEstimateSfbrEx麺nples2．

EZmSVerSalSeC

TrllevaｕｅＳ

oval

|綴r《mmovw1

Ｄ(麺ｏｍｉｎ誠ｏｒ

ｎｍｅｖｎｈｌｅ

with

bias

ovlhl

rfmmowhl

ａ(1,0）0.8

1.3065

0.8019

b,(1) b,(2)-1.2 0.36

-0.7187 -0.1135

-1.2044 0.3570

孔(0,1） a(1,1）-0.5 -0.4

-0.4841 -0.6198

--0.5233 -0.3747

b2(1) b2(2)0.9 0.2

0.9055 0.2206

0.8958 0.1998

Ｅｘ&ｍｌｐｌｅ３：Inthisexampleweapplytheproposedalg⑧ｒｉｔｈｍｔｏａ２Ｄａｄ紐PtivelineenhancementasshowninFi9.6,thedesiZedsignaMistheoriginalimagelena(蔦eeFig､７)degr掴edwithzeromeanwhiteGauss伽noiseT）．TheinputimageisadelaWedversionofthedesiredimageobtainedasfblｌＯｗ葛

Ⅶ(、,仰)＝。(ｍ-1,”－１)．（48）

Ｂｏｔｈｔｈｅｖａ皿?1麺cesoftheadditivenoiseUa1ldthe

theoriginalimagG；ｒａｒｅｓｅｔｔｏＯ､2．Theinputandolltplltim略esofthe2DadaptivelineEnhancementwiththeircorrespondingMe皿Squ麺ｅＥｒｒｏｒ（MSE）valuesareshowninFig、８and9rEsPectively・WherPtheMSEisdeiinedasfbnows

班ＳＥ＝Ｅ{Ｍｍ,仰)－蕪(ｍ,”)12｝（49）

７ＣＯＮＣＬＵＳＩＯＮ

Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｅｈｆｗｅｄevelopedthe2-Dextensionofthel-DstabilityaPproaX9htdequationerroradaptivefilters，Ｔｈｅｎｔｈｅ２－ＤＬＭＳａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｂｒｓｅparable

denominatorllRiiltersanditsconvergencestabilityh8webeenconside顕d･Thisalgorithmisbasedontheconceptofba妃kpropagatingthedesiredsignalthroughacascadeofthedenominatorverticalandhoriz《》ntaJ

partssOthattwOline麺errorfmctionscanbegener‐帥Ｇｄ・Simul孔tionrPsllltswerecarriedollttoevalllate

theperfbrm麺ceoftheproposedalgorithm・Fornoisefreecasetheproposeda1gorithmhasconvergedtothe

Optimalsol'1tionwitholltbiasintheparameterｓｅｓｔｉ－

ｍ孔tes・However,smcetheequationerror-basedadap‐●

tivealgorithmsgenerallyresultinabiasedestimates

whenthedesiredsignalisc()ntaminatedwithadditivelloise，abiasremovalmethodhrtheproposedalgo-rithmhasbeen《9onsidered、Simnllationresultswerealso

preｓｅｎｔｅｄｔｏｓｈｏｗｔｈｅｅ仇ctivenessofthismeth⑥．．

、刑ＦＥＲＥＮＣＥＳ

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Figure3：２DSystemIdentificationConfiguration

－６５－

。』

..…･･･…・・withbiasremoval

withoutbiasremoＶａｌ

妬㈹妬帥詣即幅個５

《）⑳

蕊蕊１2Ｊ

Figllre9：OutPutImage，ＭＳＥ＝0.0149

１､０１

‐Ｐ■」

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４

…‐

IlwM…！目

蕊％５０１００１５０２００２５０

IterationNUmberi

Figllre7：Originallmage

Figure4：CoIwergenceoftheoutputerrorfbrnoisefreecase(Examplel）

Input

imagezL伽,､ノ

－６６－

--7---------…--‘

Iterl2DAdaptivefi

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