Operation-Based Notation for Archimedean Graph

Hidetoshi Nonaka Research Group of Mathematical Information Science

Division of Computer Science, Hokkaido University N14W9, Sapporo, 060 0814, Japan

ABSTRACT

We introduce three graph operations corresponding to polyhedral operations. By applying these operations, thirteen Archimedean graphs can be generated from Platonic graphs that are used as seed graphs.

Keyword: Archimedean graph, Polyhedral graph, Polyhedron notation, Graph operation.

1. INTRODUCTION

Archimedean graph is a simple planar graph isomorphic to the skeleton or wire-frame of the Archimedean solid. There are thirteen Archimedean solids, which are semi-regular polyhedra and the subset of uniform polyhedra. Seven of them can be formed by truncation of Platonic solids, and all of them can be formed by polyhedral operations defined as Conway polyhedron notation [1-2].

The author has recently developed an interactive modeling system of uniform polyhedra including Platonic solids, Archimedean solids and Kepler-Poinsot solids, based on graph drawing and simulated elasticity, mainly for educational purpose [3-5]. Obviously, it is possible to draw a polyhedral graph only with two graph operations: vertex addition and edge addition. However there is an individual difference, it might be time-consuming to input a graph with steady steps, especially in the case of Archimedean graph.

In this paper, three graph operations corresponding to polyhedral operations are introduced, and it is shown that every Archimedean graph can be generated using these operations and a Platonic graph as the seed graph.

2. ARCHIMEDEAN SOLIDS

Thirteen Archimedean solids are listed in Table 1, and illustrated in Figures 1-2. The symbols in the table stand for the vertex configurations. For example, 2(3 4)A ⋅ indicates that two regular triangles and two squares are gathered alternately on each vertex. Archimedean solids are surrounded by several sorts of congruent regular polygons, and their vertex figures are not regular but congruent polygons. The term vertex figure was introduced by H. Coxeter as the segment joining the mid-point of the two sides through a vertex [6].

Table 1. The list of Archimedean solids, where p, q, r are the number of vertices, edges, and faces, respectively.

Symbol Name of polyhedron p q r

2(3 4)A ⋅ Cuboctahedron 12 24 14

4 6 10A ⋅ ⋅ Great Rhombicosidodecahedron 120 180 62

4 6 8A ⋅ ⋅ Great Rhombicuboctahedron 48 72 262(3 5)A ⋅ Icosidodecahedron 30 60 32

3 4 5 4A ⋅ ⋅ ⋅ Small Rhombicosidodecahedron 60 120 6233 4A ⋅ Small Rhombicuboctahedron 24 48 26

43 4A ⋅ Snub Cube 24 60 3843 5A ⋅ Snub Dodecahedron 60 150 9223 8A ⋅ Truncated Cube 24 36 1423 10A ⋅ Truncated Dodecahedron 60 90 3225 6A ⋅ Truncated Icosahedron 60 90 3224 6A ⋅ Truncated Octahedron 24 36 1423 6A ⋅ Truncated Tetrahedron 12 18 8

2(3 4)A ⋅ 4 6 10A ⋅ ⋅ 4 6 8A ⋅ ⋅

2(3 5)A ⋅ 3 4 5 4A ⋅ ⋅ ⋅ 33 4A ⋅

43 4A ⋅ 43 5A ⋅

Figure 1. Appearance of thirteen Archimedean solids (1/2).

23 8A ⋅ 23 10A ⋅ 25 6A ⋅

24 6A ⋅ 23 6A ⋅

Figure 2. Appearance of thirteen Archimedean solids (2/2).

2(3 4)A ⋅ 4 6 10A ⋅ ⋅ 4 6 8A ⋅ ⋅

2(3 5)A ⋅ 3 4 5 4A ⋅ ⋅ ⋅ 33 4A ⋅

43 4A ⋅ 43 5A ⋅ 23 8A ⋅

23 10A ⋅ 25 6A ⋅ 24 6A ⋅ 23 6A ⋅

Figure 3. Thirteen Archimedean graphs drawn as plane graphs.

3. GRAPH OPERATIONS

Thirteen Archimedean graphs isomorphic to the skeletons of Archimedean solids are depicted in Figure 3. A graph

( , )G V E= is defined by the set of vertices 0 1{ , , }pV v v −= and edges 0 1{ , , }qE e e −= . All graphs

considered in this paper are 3-, 4-, or 5-regular polyhedral graphs, which are simple, planar and 3-connected graphs [7]. Detection of faces with n sides is equivalent to finding n-cycles. After selecting faces 0 1{ , , }rF f f −= , a polyhedral graph is redefined as { , , }G V E F= [3]. The set of faces is subdivided as follows,

3 4 5 6 8 10, : i jF F F F F F F i j F F φ= ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∀ ≠ ∩ = ,

where nF denotes the set of faces with n sides.

We define three graph operations for { , , }G V E F= : diagonal addition, edge contraction, and vertex splitting. Examples are shown in Figures 4-6. A diagonal addition to a face in 4F is an edge addition between a pair of non-adjacent vertices in a quadrangular face. An edge contraction is a graph contraction of an edge. A vertex splitting is defined conventionally as the reverse of edge contraction, but in this paper, we define a vertex splitting of v as the composition of the operations of subdivision of incident edges on v , connecting the new vertices in a proper order, and deleting the vertex v . Conventional vertex splitting is equivalent to the present vertex splitting followed by several edge contractions.

Figure 4. An example of diagonal addition operations.

Figure 5. An example of edge contraction operations.

Figure 6. An example of vertex splitting operations by the present definition in this paper.

4. OPERATION-BASED NOTATION OF ARCHIMEDEAN GRAPH

The symbol δ stands for applying diagonal addition to each quadrangular face of 4F which is adjacent to two triangular faces of 3F . The operator , ( , )m n n m= stands for applying edge contraction to each edge incident on two faces of mF and

nF . The operator σ stands for applying vertex splitting to every vertex.

The operator “truncate” in the Conway polyhedron notation [1-2] corresponds to the graph operation σ . The operator “ambo”, “expand” and “snub” are expressed by ,m n σ , , ,k l m nσ σ , and , ,k l m nδ σ σ , respectively. In the

case of Archimedean graph, equalities l m n= = hold. We use following notations for Platonic graphs and Platonic solids: cube 34P , dodecahedron 35P , icosahedron 53P , octahedron 43P , and tetrahedron 33P .

As a consequence, every Archimedean graph can be expressed using one Platonic graph and graph operations as follows.

2 33 6 3A Pσ⋅ = , 2 4 34 6 3 44,8 8,8A P Pσ σ σ⋅ = = , 2 3 43 8 4 34,6 6,6A P Pσ σ σ⋅ = = , 2 4 3(3 4) 3 46,6 8,8A P Pσ σ⋅ = = ,

2 4 34 6 8 (3 4) 3 46,6 8,8A A P Pσ σ σ σ σ⋅ ⋅ ⋅= = = , 3 4 34 6 83 4 3 46,8 8,6 6,6 6,8 8,8A A P Pσ σ σ σ⋅ ⋅⋅ = = = ,

4 3 4 33 4 3 4 3 48,6 6,6 6,8 8,8A A P Pδ δ σ σ δ σ σ⋅ ⋅= = = , 52 335 6 54,10 10,10A P Pσ σ σ⋅ = = ,

52 3 33 8 5 4,6 6,6A P Pσ σ σ⋅ = = ,

52 33(3 5) 56,6 10,10A P Pσ σ⋅ = = , 52 34 6 10 3(3 5) 56,6 10,10A A P Pσ σ σ σ σ⋅ ⋅ ⋅= = = ,

53 4 5 4 4 6 10 36,10 10,6 6,6A A Pσ σ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = 356,10 10,10 Pσ σ= ,

54 33 4 5 4 33 5 510,6 6,6 6,10 10,10A A P Pδ δ σ σ δ σ σ⋅ ⋅ ⋅⋅ = = = ,

2 33 6 33,6 A P⋅ = , 2 43 6 36,6 A P⋅ = , 2 33 8 43,8 A P⋅ = , 2 33 10 53,10 A P⋅ = , 3 33 4 43,4 A P⋅ = , 3 4 43 4 3 4 34,4 3,4A A P⋅ ⋅= = ,

52 35 65,6 A P⋅ = , 2 33 8 54,6 A P⋅ = , 33 4 5 4 53,4 A P⋅ ⋅ ⋅ = , 543 4 5 4 33 54,5 3,5A A P⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ,

4 43 4 33,4 A P⋅ = , 54 33 53,5 A P⋅ = , 52 3(3 4)A Pδ ⋅ =

Figure 7 shows the relations of 5 Platonic graphs and 13 Archimedean graphs. There are five more possibilities of edge contraction operations to Archimedean graphs: 2(3 4)3,4 A ⋅ ,

2(3 5)3,5 A ⋅ , 33 44,4 A ⋅ , 44 33,3 A ⋅ , and 45 33,3 A ⋅ , which lead to trivial graph with one isolated vertex.

5. ADDITION OF THE GRAPH OPERATIONS TO AN INTERACTIVE MODELING SYSTEM

An interactive modeling system has been developed by the author [3-5]. The coordinate of vertices are computed without the knowledge of metric information, but only with the structure of the isomorphic polyhedral graph. The system consists of three subsystems: graph input subsystem, wire-frame subsystem, and polygon subsystem. The overviews of the subsystems are described in the continuing subsections.

Figure 7. Relations of 5 Platonic graphs and 13 Archimedean graphs induced by diagonal addition, edge contraction and vertex splitting.

5.1 Graph Input Subsystem Figure 8(a) shows a screen shot of GUI of graph input subsystem. Drawing a planar graph isomorphic to polyhedron is the first step of polyhedron modeling. In the subsystem, vertex addition, vertex deletion, edge addition, and edge deletion are implemented as fundamental operations. Vertices can be moved attended with the incident edges. In addition, edge contraction and vertex splitting are introduced.

5.2 Wire-Frame Subsystem Figure 8(b) shows a screen shot of GUI of wire-frame subsystem. After constructing a polyhedral graph, the next step is arranging vertices in 3-dimesional space. We define three binary relations between two vertices: adjacent, neighbor, and diameter. The relation adjacent corresponds to the length of an edge in a 3-dimensional space. The relation neighbor means that the length of path between two vertices is 2, and two vertices are neighborhood of another vertex. It corresponds to the shape of vertex figure in a 3-dimentional space. The relation diameter means that the length of path between two vertices is the diameter of the graph. It corresponds to the circum-sphere of polyhedron. Virtual elastic forces are assumed between vertices according to these three relations and Hooke’s law. Wire-frame polyhedron can be formed semi-automatically by controlling the natural length of virtual springs corresponding to the three types of binary relations.

5.3 Polygon Subsystem Figure 8(c) shows a screen shot of GUI of polygon subsystem. After arranging vertices in 3-dimensional space, the last step is detecting faces, selecting faces, and rendering the solid [3]. In the case of Platonic solids, Archimedean solids, prisms, and anti-prisms, common routine is used. The faces of Kepler-Poinsot solids are detected by separate routine.

5.4 Addition of the graph operations The graph operations of vertex splitting and edge contraction have been already implemented in the previous version of the graph input subsystem, but they are applied to individual vertex and edge respectively. In the present version, simultaneous vertex splitting of all the vertices is realized, and simultaneous edge contraction of all the edges between specified faces are also implemented. Such operations require 3-dimensional coordinate of each vertex and configuration of each face, therefore, they are available in the wire-frame subsystem and polygon subsystem. In these subsystems, vertex splitting and edge contraction are displayed as animation.

6. REFERENCES

[1] G. W. Hart, “Conway Notation for Polyhedra”, URL: http:/ /www.georgehart.co/virtual-polyhedra/ conway_notation.html.

[2] E.W.Weisstein,“Conway Polyhedron Notation”, MathWorld. [3] H. Nonaka, “Detection of Faces in Wire-Frame Polyhedra”,

Proceedings of Int. Conf. on Computer Graphics Theory and Applications (GRAPP 2008), 134-137, Madeira, Jan. 2008.

[4] H. Nonaka, “Modeling of Kepler-Poinsot Solid Using Isomorphic Polyhedral Graph”, International Journal of Computer Science, 3, 1, 64-67, 2008. URL: http:/www.waset.org/ijcs/former.html

[5] H. Nonaka, “Interactive Modeling of Uniform Polyhedra by Means of Graph Drawing”, Proceedings of Int. Conf. on Information Technology and Applications (ICITA 2008), 822-827, Cairns, June 2008.

[6] H. S. M. Coxeter, “Regular Polytopes”, Dover Pub., 1973. [7] Branko Grünbaum, “Graphs of polyhedra; polyhedra as

graphs”, Discrete Mathematics, 307, 445-463, 2007.

(a) Graph input subsistem (b) Wire-frame subsystem (c) Polygon subsystem

Figure 8. Screen shot of GUI of the interactive modeling system.

알키메데스 다면체의 dual 다면체인 카탈란 다면체 만들기

카탈란 다면체와 카탈란 그래프

카탈란 그래프 중 7개만 해밀턴 cycle을 갖는다. 어떤 것인가 ?

알키메데스 다면체와 그래프

카탈란 다면체와 그래프

플라톤 및 알키메데스 다면체는 모두 해밀턴 cycle을 갖는 이유는 ?

다면체의 면을 색칠하되, 이웃한 면에는 서로 다른 색을 칠한다면

최소 몇 가지 색이 필요한가?

javamath.snu.ac.kr 또는 www.javamath.com 에서 자바말을 통해

만들어진 여러 다면체의 전개도를 접어보며 탐구해 본다.

다면체와 전개도에 관한 조합론적 연구

많은 영재 교육기관에서 다루는 가장 인기 있는 내용 중 하나가 다면체 수학의 내

용이다. 그런데, 중학교 교육과정에 나오는 정다면체의 정의를 시발점으로 하여 알

키메데스 다면체 등으로 확장하는 탐구 과정에는 문제점이 숨어있다. 3차원 대상인

다면체를 조작하지 않으며 학교에서는 직관을 통한 설명적 정의 (descriptive

definition) 로 시작하는데 여기에 논리적인 결함이 숨어있다. Grunbaum (1994) 은

이러한 현상의 원죄는 유클리드의 원론 11권에서 다룬 다면체에 대한 정의라고 말

한다. 예를 들어, 학교 수학에서 정다면체와 알키메데스 다면체의 정의에는 “각

꼭지점에 인접하는 다각형의 배열 패턴이 모두 같다”는 부분이 있다. 그런데,

1930년경에 Miller 는 우연히 알키메데스 다면체인 다음 왼쪽과 같은 Rhombic

cuboctahedron을 만들다가 실수로 오른쪽의 다면체를 만들게 되었다.

문제는 위의 오른쪽에 있는 다면체 (Miller 다면체로 불린다) 도 왼쪽 다면체와 같

이 각 꼭지점에서 같은 배열 패턴을 가진다는 것이다. 그렇다면 이것도 알키메데스

다면체에 포함시켜야 하는가? 또한 다음과 같이 서로 면대칭인 다면체를 다른 것으

로 본다면 과연 알키메데스 다면체의 개수를 얼마로 하여야 하는가? 라는 것이다.

본 R&E 과제는 대칭군의 언어로 다면체를 분류하고, 정의하며, 성질을 파악하고 이

를 전개도로 구현하는 새로운 접근방법을 쓴다. 특별히, 유클리드의 자와 컴퍼스

작도처럼 전개도를 통해 다면체를 구현하며 접근한다.

1901년 제1회 노벨화학상을 받은 벤트 호프의 업적 중 하나는 메탄의 분자구조가 3

차원 구조인 정사면체 구조라는 것이다. 또한 DNA 이중 나선으로 노벨상을 받은 왓

슨과 크릭은 바이러스의 구조를 정다면체로 예측하였는데, 후에 정다면체 구조를

갖는 바이러스를 많이 발견하게 된다 (더구나 알키메데스 다면체의 경우와 같이 면

대칭 구조를 갖지 않는 chiral virus 도 발견되었다). 최근에는 약을 제조할 경우

에 chiral 성질을 중요하게 다루는데, 그 이유는 우리 몸의 receptor 가 3차원 분

자를 상대로 인지를 하기 때문이다. 이 문제를 몰랐기에 야기된 20세기 초반의 탈

리도마이드 (Thalidomide) 약물을 통한 기형아 출산 사건이다.

1996년의 노벨 화학상은 다음과 같은 탄소 60개짜리 분자 구조의 연구에 돌아갔으

며, 근래에는 3명이 하는 체스 게임이나 알키메데스 다면체를 이용한 퍼즐도 나오

게 되었다.

( 수평적 수학화 Mathematization 로의 적합성 )

앞에서 설명한 바와 같이, 우리 주변에서 다면체와 관계된 여러 수학 현상을 보게

되며, 따라서 이러한 다면체와 관계된 현상을 그래프 또는 전개도와 관련시켜 수학

의 장으로 끌어오는 수평적 수학화가 용이하다.

다면체에 대한 관심은 고대 그리이스 시대부터 있었으며, 유클리드 11권과 13권에

다면체에 대한 정의와 정다면체 작도에 대한 설명이 나온다. 정다면체는 그리이스

철학에서 우주를 이루는 기본으로 이용되었는데, 다음 왼쪽과 같이 radiolaria 라

는 미생물의 구조에서도 정다면체의 구조를 볼 수 있다. 알키메데스에 의해 도입된

알키메데스 다면체는 파푸스와 케플러에 의해 다시 설명되었고, 1500년도 초에 듀

러 (Durer) 에 의해 다음 오른쪽과 같은 다면체의 전개도 모양이 등장하게 된다.

우리나라의 초등 수학교육 과정에는 3, 4 학년에 배운 다각형을 바탕으로 초등학교

5학년에 전개도가 등장하며, 6학년에 투영도가, 그리고 중학교 1학년에 정다면체의

전개도가 등장한다. 다면체를 평면에 펼친 것을 다면체 그래프라고 하는데, 다면체

는 전개도와 다면체 그래프를 통해 표현되며, 또한 연구될 수 있다. 따라서, 주변

의 여러 다면체 모양의 대상들도 전개도와 그래프를 통해 표현되고 탐구될 수 있는

데, 이러한 이유로 다면체와 전개도는 수평적 수학화가 용이한 훌륭한 수학적 탐구

대상이다.

( 수직적 수학화 Mathematization 로의 적합성 )

누구나 쉽게 접근할 수 있는 다면체와 전개도를 수학적으로 정의하고, 분류하고,

개념화하고, 추상화하는 과정들을 통해 직관적이고 설명적인 다면체와 전개도로부

터 수직적 수학화를 유도하기에 용이하다. 예를 들어, 전개도는 초등학교부터 다루

는데, 볼록 다면체의 전개도를 얻으려면 다면체의 edge 들을 칼로 잘라 다면체를

평면에 펼쳐야한다. 이 때, 잘라지는 edge 들의 모임은 다면체의 생성수형도를 이

(a)

(b)

루는 edge 들로 개념화할 수 있다. 그렇다면 어

떤 생성수형도로 자르면 오른쪽 그림의 경우와

같이 펼쳐진 면들이 서로 겹쳐지는가? 놀랍게도

1975년에 제기된 다면체 unfolding 문제 (볼록

다면체의 어떤 생성수형도를 따라 unfolding 하

면 겹쳐지지 않는 전개도를 얻을 수 있다) 는

아직도 미해결 문제이다.

본 R&E 탐구의 핵심은 플라톤 다면체를 시작점

으로 하여 먼저 Truncation 과 Stellation 으로 알키메데스 다면체와 카탈란 다면

체를 구성하고, 또한 이러한 구성과 대칭성을 바탕으로 다면체 분할을 통해 전개도

를 이용하여 다면체를 구현하고, 또한 이를 바탕으로 다면체 색칠 문제와 다면체

경로 문제를 조합론적으로 탐구하는 것이다. 볼록 다면체의 색칠 문제는 유명한

four color problem 과 관련이 있으며, 학생들이 trial and error 로 색칠 문제를

접근할 수 있다. 본 사사교육에서는 Truncation 과 Stellation 으로 구성을 통해

아는 다면체에서 모르는 다면체로의 연결고리를 만들고 이런 고리를 통해 색칠 문

제와 경로 문제를 접근한다. 이 때, 고무로 만든 볼록 다면체를 평면에 놓고 평면

과 접촉한 면을 떼어내고 나머지 면을 잡아당겨 평면에 깔면 만들어지는 다면체의

polyhedral graph를 통해 그래프 이론과 다면체 문제를 접목시켜 수직적 수학화를

유도할 수 있다. 그렇다면 다면체의 polyhedral graph의 구조는 무엇인가? 1934년

에 발표된 Steinitz 정리에 의해 볼록다면체의 polyhedral graph 는 연결도가 3인

평면 그래프와 동일하다는 것이 밝혀졌다. 이러한 접근을 통해 다면체의 색칠 문제

와 경로 문제를 고등수학으로 수직화할 수 있는데, 예를 들어, four color problem

을 위해 Birkhoff 가 생각해낸 chromatic polynomial 도 아는 것에서 모르는 것으

로의 접근 방법이다. 이러한 chromatic polynomial 에 의해 정사면체 그래프의

proper coloring 의 개수는 chromatic 다항식

로 부터 구해진다. 또한 대칭성을 고려하여 n가지 색으로 색칠

하는 방법의 수는 Polya의 enumeration 다항식

으로 구할 수 있다.

한편, 정십이면체 그래프의 chromatic 다항식은

⋯ 이며, 또한 대칭성을 고려하며

n가지 색으로 정십이면체의 면을 색칠하는 방법의 수는 폴리야의 다항식

로 구할 수 있다. 이러한 다면체 색칠 문제와는 달리 다면체

경로 문제 중 해밀턴 경로의 문제는 아직 미해결 문제이다. 따라서, 다양한 방법으

로 다면체의 해밀턴 경로 문제를 탐구할 수 있으며, 이를 바탕으로, 다면체의

regulatity, 이루는 면의 종류, 대칭성 등과 관련하여 해밀턴 경로 문제를 접근할

것이다.

do dXutXurXurXlurXuruX

면의 연결성과 면과 면 사이의 접힘각 (dihedral angle)을 계산하여 전개도를 만들

어야 하는데, 다음의 예는 카탈란 다면체인 rhombic dodecahedron 의 모습이다.

플라톤 다면체와 카탈란 다면체는 모두 같은 접힘각을 갖는다. 그리고 알키메데스

다면체에서는 딱 두 개만 모든 접힘각이 같다. 여기서 기본적인 다면체에 대한 접

힘각을 계산하여 전개도로 다면체를 구현하는 연습을 한다. 전개도를 그려내는 소

프트웨어의 사용법은 두 가지인데, 하나는 동적기하 명령을 통한 것이고, 다른 하

나는 거북 알고리즘을 사용하는 것이다. 다음의 예는 거북 알고리즘을 통해 다면체

의 전개도를 그리고, 또한 이를 접는 과정을 설명한 것이다. 다음의 예에서, 문자

d는 접힘각을 90도로 하는 것이고, 문자 X는 정사각형을 만드는 행동이고, u는 위

로 t는 turn 하라는 명령이다. 이제, do dXutXurXurXlurXuruX 명령을 하면 거북이가

다음과 같이 다각형을 연결시켜 전개도를 만들고, 마우스를 통해 접을 수 있게 된

다.

정육면체 전개도를 만들어 보아요.

함수 X { 반복 4 { 점 이름; 가자 20; 돌자 90;}

다각형; new; }

함수 u {가자 20;}

함수 t {돌자 180;}

함수 l {돌자 90;}

함수 r {돌자 -90;}

함수 d { dd=90;}

플라톤 다면체 정다면체 전개도 개수

정육면체 11

정십이면체 43380

정이십면체 43380

정팔면체 11

정사면체 2

다면체를 전개도를 통해 구현하며 색칠 문제와 경로 문제를 탐구할 수도 있다.

다음과 같이 positive genus 다면체와 star-like 다면체를 접근할 수 있을 것이다.

전개도와 관련된 순열 조합 문제로 다면체의 전개도를 세는 문제가 있다. 예를 들

어, 플라톤 다면체를 만드는 전개도의 개수는 몇 개나 있을 수 있을까? Parker

(1998) 는 컴퓨터를 사용하여 다음과 같이 정다면체의 전개도 개수를 구하였고, 그

아래의 그림은 정육면체를 이루는 11개의 전개도를 나열한 것이다.