1

OPERATOR YANG BEKERJA PADA RUANG

FUNGSI TERINTEGRAL BOCHNER

MUNADI

ISNANI

ABSTRAK

Artikel ini bertujuan untuk menjabarkan sebagian sifat-sifat jika suatu operator

bekerja pada ruang fungsi terintegral Bochner. Untuk itu dibahas terlebih dahulu teori-

teori yang mendukungnya, antara lain definisi fungsi yang terintegral Bochner dan

primitivenya.

Metode yang dipakai dalam penulisan ini adalah metode studi pustaka, yaitu

berdasarkan penelitian yang mendalam terhadap literatur-literatur yang berkaitan,

kemudian hasilnya dijabarkan dan disajikan dalam bentuk artikel berupa teori tentang

sifat-sifat operator yang bekerja pada ruang terintegral Bochner. Teori tersebut

memuat definisi, lemma dan teorema beserta buktinya.

Dari kajian yang telah dilakukan, diperoleh hasil sebagai berikut : Jika diberikan interval I dan ruang Banach X dan Y, maka dua pernyataan berikut

berlaku :

(i) Jika T : X Y merupakan operator linear terbatas dan f : I X terintegral

Bochner, maka T f : t T ( f ( t ) ) terintegral Bochner dan

(ii) Jika A operator linear tertutup pada X dan f : I X terintegral Bochner, dengan

f(t) D(A) untuk setiap t I serta A f : I X terintegral Bochner, maka

dan

Kata Kunci : Ruang Banach, Operator, dan Fungsi Terintegral Bochner.

PENDAHULUAN

Fungsi terintegral Bochner

merupakan salah satu dari sekian

banyak fungsi terintegral yang bekerja

di dalam Ruang Banach. Seperti yang

telah diketahui, Ruang Banach adalah

ruang bernorma yang lengkap. Jadi

fungsi terintegral Bochner akan bernilai

2

vektor , yaitu rangenya berdimensi n.

Jadi ia lebih rumit dibandingkan dengan

fungsi terintegral Newton, Rieman,

Lebesgue, Henstock, Darboux, dan

semisalnya yang bernilai real, yaitu

berdimensi satu.

Dalam matematika analisis, teori

integral dan teori operator adalah dua

spesifikasi ilmu yang berbeda. Dalam

artikel ini penulis berusaha menerapkan

teori operator pada teori integral. Jadi

artikel ini diharapkan menjadi lebih

menarik bagi matematikawan ketika

pada fungsi terintegral Bochner tersebut

dikenai suatu operator. Dibutuhkan

analisis tingkat tinggi untuk

menjabarkan operator yang bekerja

pada ruang fungsi terintegral Bochner

tersebut.

Teori integral didasarkan pada

teori ukuran. Sehingga menjadi hal

yang lazim dalam matematika jika

sebelum membahas teori integral akan

dibahas terlebih dahulu teori ukuran.

FUNGSI SEDERHANA DAN

KETERUKURAN

Definisi 1.1

Diambil X ruang Banach dan I suatu

interval di dalam . Fungsi f : I X

dikatakan sederhana jika terdapat

barisan berhingga himpunan terukur

{Em} I, m = 1,…, p sehingga Em El

= untuk m l dan

dimana f(t) = ym X untuk t Em,

m = 1,…, p, yaitu f konstan pada

himpunan terukur Em.

Definisi 1.2

Fungsi f : I X dikatakan terukur

jika terdapat barisan fungsi sederhana

{fn} dengan n sehingga

untuk t I h.d.

Proposisi 1.3

Jika f : I X terukur, maka fungsi

real : I terukur.

Bukti :

Karena f : I X terukur, maka

terdapat barisan fungsi sederhana {fn}

untuk n sehingga

yaitu

.

Karena

,

maka diperoleh

Dengan kata lain terbukti terukur.

Definisi 1.4

Fungsi f : I X dikatakan terukur

lemah jika untuk setiap x* X*, fungsi

3

real x*( f ) : I terukur dimana

X* adalah dual dari X.

Lemma 1.5

Diambil X ruang Banach separabel.

Maka terdapat barisan

dengan

sehingga

untuk setiap x* B(X*) =

berakibat terdapat

subbarisan dari

sehingga

untuk setiap x X.

Definisi 1.6

Fungsi f : I X dikatakan separabel

jika terdapat himpunan countabel D X

sehingga f (t) , untuk t I.

Teorema 1.7 (Egoroff)

Diambil {fn} barisan fungsi terukur

sehingga

h.d. di dalam I.

Maka untuk setiap terdapat

himpunan terukur H I sehingga

dan

seragam pada H.

Teorema 1.8 (Pettis)

Fungsi f : I X terukur jika dan

hanya jika f terukur lemah dan bernilai

separabel h.d, yaitu terdapat N I

dengan ( N ) = 0 sehingga f(I\N )=

{f (t) : t I\N} X separabel.

Bukti :

Syarat perlu : Diketahui fungsi f : I

X terukur.

Maka terdapat barisan fungsi sederhana

{fn} untuk n sehingga

untuk t I

h.d.

Untuk x* X*, diperoleh

untuk t I h.d.

Karena {fn}, untuk n adalah

barisan fungsi sederhana, maka

diperoleh bahwa x*(fn) : I fungsi

real sederhana utnuk x* X*.

Oleh karena itu x*( f ) terukur untuk

setiap x* X* terukur untuk setiap

x* X*.

Dengan kata lain f terukur lemah.

Selanjutnya, menurut teorema Egoroff,

untuk setiap n terdapat himpunan

terukur sehingga dan

seragam

pada

Karena { } adalah barisan fungsi

sederhana pada I, maka range

4

dari { } berhingga untuk

setiap n dan diperoleh

bahwa countabel. Sehingga

untuk setiap n , himpunan

separabel dan

juga separabel.

Karena , n , maka

diperoleh

dan

Dengan mengambil N ,

maka separabel.

Syarat cukup : Tanpa mengurangi arti,

diasumsikan bahwa range penuh

adalah separabel. Oleh karena itu, ruang

X juga dapat diasumsikan separable ( X

dapat diambil sebagai subruang linear

tertutup terkecil yang memuat ).

Diambil bahwa dense di

dalam X.

Pertama akan ditunjukkan bahwa fungsi

terukur.

Untuk a dan didefiniskan

dan

}

Diperoleh

dan dengan teorema Hahn-Banach,

untuk setiap fixed terdapat

dengan = 1 sehingga

.

Diperoleh juga

dan akibatnya

Menurut Lemma 1.5, diperoleh

dimana diberikan oleh lemma

tersebut dan karena itu

Himpunan , terukur karena

f terukur lemah dan selanjutnya

terukur. Karena itu pada I

terukur. Diambil {

himpunan dense di dalam Serupa

dengan pembuktian keterukuran

di atas, maka dapat ditunjukkan bahwa

fungsi

terukur.

Diambil k fixed dan

5

Keterukuran mengakibatkan

bahwa adalah himpunan-

himpunan terukur dan karena untuk

setiap , terdapat sehingga

maka diperoleh

Didefinisikan

adalah himpunan-himpunan

terukur, = untuk ,

dan

Oleh kerena itu untuk setiap ,

terdapat sehingga

Didefinisikan

jika dan

untuk yang lain.

Untuk diperoleh

dan tentu

seragam di dalam I.

Range dari countabel menurut

definisi.

Diambil untuk

dan untuk yang

lain, maka { adalah barisan fungsi

sederhana pada I dan

h.d. di

dalam I dan terbukti bahwa f terukur.

Akibat 1.9

Jika f : I X, maka pernyataan-

pernyataan berikut berlaku

i) Fungsi f terukur jika dan hanya jika

seragam untuk

t I h.d. dimana {hn} adalah

barisan fungsi terukur bernilai

terhitung.

ii) Jika X separabel, maka f terukur jika

dan hanya jika f terukur lemah.

iii) Jika f kontinu, maka f terukur.

iv) Jika fn : I X fungsi-fungsi terukur

dan fn → f titik demi titik h.d., maka f

terukur.

FUNGSI TERINTEGRAL

BOCHNER DAN SIFAT-SIFATNYA

Definisi 2.1

Diketahui ruang Banach X atas C dan

interval I .

Fungsi f : I X dikatakan

terintegral Bochner, jika terdapat

fungsi sederhana kuat gn : I X , untuk

n N sehingga

Jika f : I X terintegral Bochner,

maka integral Bochner dari f pada I

adalah :

6

Teorema 2.2 (Bochner)

Fungsi f : I X terintegral Bochner

jika dan hanya jika f terukur dan f

terintegral. Lebih lanjut, jika f

terintegral Bochner, maka

Bukti :

Syarat perlu : Diketahui f terintegral

Bochner maka terdapat fungsi

sederhana kuat gn, sehingga menurut

definisi 1.2 dan proposisi 1.3, f dan

terukur.

Karena terukur, maka

.

Karena

dan , maka

diperoleh

Dengan kata lain terbukti

terintegral.

Lebih lanjut,

Syarat cukup : Diketahui f fungsi

terukur dan f terintegral.

Diambil sebarang barisan fungsi

sederhana {hn} yang konvergen h.d. ke f

pada I.

Didefinisikan fungsi sederhana :

)(tgn

lainyang

ntfthth nn

,0

)1()()(,)( 1

maka

Karena fungsi f dan fgn

terintegral dan

)(3)()( tftftgn maka

diperoleh

I

nn

dttftgLim 0)()( .

Jadi f terintegral Bochner pada I.

Teorema 2.3 (Kekonvergenan

Terdominasi)

Diberikan fn : I X ( n ) fungsi

terintegral Bochner pada I untuk setiap

n. Jika )()( tftfLim nn

ada h.d.

dan terdapat fungsi g : I

terintegral sehingga )()( tgtfn h.d.

untuk setiap n , maka f terintegral

Bochner dan

7

Lebih lanjut, I

n dttftf 0)()( ,

untuk n

Bukti :

Karena untuk setiap n, fn terintegral

Bochner dan fn f (Dengan akibat

1.9 bagian iv, f terukur) serta terdapat g

fungsi yang terintegral, dengan

)()( tgtfn h. d. maka )()( tgtf

h.d. dan karena itu f terintegral.

Berdasarkan Teorema 2.2 diperoleh,

dttfdttfII )()(

Jadi, terbukti bahwa f terintegral

Bochner.

Selanjutnya, didefinisikan :

Ittftfth nn ,)()()(

Karena )(2)( tgthn dan hn 0 h . d

. maka

Akibatnya

.

Sehingga diperoleh

PRIMITIF DARI FUNGSI

TERINTEGRAL BOCHNER DAN

SIFAT-SIFATNYA

Definisi 3.1

Jika f : [a,b] → X terintegral Bochner,

dapat dikatakan bahwa F : [a,b] → X

adalah antiderivatif atau primitive dari

f jika

Definisi 3.2

Diberikan suatu fungsi F : [a,b] → X

dan suatu partisi , a = t0 < t1 < …<tn

= b. Jika

maka F dikatakan bervariasi terbatas

jika

dimana supremumnya meliputi semua

partisi pada [a,b].

Definisi 3.3

F dikatakan kontinu mutlak pada [a,b]

jika untuk sebarang > 0 terdapat >

0 sehingga

untuk setiap koleksi berhingga {(ai ,

bi)} dari interval-interval saling asing

di dalam [a,b] dengan .

Definisi 3.4

F dikatakan kontinu Lipschitz jika

terdapat M sehingga || F(t) - F(s) ||

M | t –s | untuk setiap s, t [a,b].

Jelas bahwa setiap fungsi kontinu

Lipschitz adalah kontinu mutlak.

8

Proposisi 3.5

Diambil F : [a,b] → X kontinu mutlak.

Maka F bervariasi terbatas. Lebih

lanjut, jika G(t) = V[a,t] (F), maka G

kontinu mutlak pada [a,b].

Bukti :

Diambil sebarang > 0 dan

sebagaimana tercantum dalam

definisi kontinu dari F. Maka

dimana

adalah koleksi berhingga dari sub-sub

interval saling asing pada dengan

Khususnya F

bervariasi terbatas pada sebarang

subinterval dengan panjang kurang dari

. Karena [a,b] gabungan berhingga

dari interval-interval yang demikian,

maka F bervariasi terbatas pada [a,b].

Lebih lanjut,

Dengan kata lain G kontinu mutlak.

Proposisi 3.6

Diambil terintegral

Bochner dan

Maka

a) F terdiferensial h.d dan F’ = f h.d.

b)

untuk setiap t h.d.

c) F kontinu mutlak.

d)

Bukti :

Untuk membuktikan a) dan b), diambil

suatu fungsi tangga gn sehingga

Untuk h > 0,

Karena fungsi tangga dan s → || fn(s)

– gn(s) || terintegral Lebesgue, maka

dari teorema Lebesgue diperoleh bahwa

untuk setiap t [a,b] \ n dan sebarang

himpunan kosong n.

Dengan mengambil n → ,

dihasilkan turunan arah kanan dari F

dan

untuk setiap . Limit

dari arah kiri, serupa dengan atas.

9

c) Untuk sebarang , terdapat

sehingga

dimana Jika {(ai,bi)} koleksi

berhingga dari sub-sub interval saling

asing pada dengan

, maka dengan

mengambil diperoleh

bahwa

d) Perhatikan bahwa untuk sebarang

partisi pada [a,b],

Sebaliknya, diberikan > 0, dapat

dipilih suatu fungsi tangga g sehingga

Terdapat

suatu partisi pada , sehingga g

konstan pada setiap interval (ti-1, ti).

Maka

Karena > 0 berubah-ubah, terbukti

pernyataan d).

Untuk kasus skalar, teorema

fundamental kalkulus menyatakan

bahwa sebarang fungsi kontinu mutlak

F: [a,b] → terdeferensial h.d, f = F’

terintegral Lebesgue dan F(t) - F(a) =

untuk setiap t [a,b].

Proposisi 3.7

Diambil F : [a,b] → X kontinu mutlak

dan f(t) = F’(t) adalah h.d. Maka f

terintegral Bochner dan F(t) = F(a) +

untuk setiap t [a,b].

Bukti :

Karena

,

maka dengan akibat 1.9 diperoleh f

terukur.

Diambil G(t) = V[a,t] (F), maka G : [a,b]

→ kontinu mutlak dengan proposisi

3.5. Karena itu G terdeferensial h.d dan

G’ L

1[a,b].

Karena || F(t+h) - F(t) || V[t, t+h] (F) =

G(t+h) –G(t), maka || f(t) || G’(t) h.d.

Karena itu || f || L1[a,b], maka f

terintegral Bochner dengan teorema 2.2.

Untuk x* X

*,

10

dari teorema fundamental skalar

kalkulus.

Dengan teorema Hahn-Banach,

diperoleh

OPERATOR YANG BEKERJA

PADA FUNGSI TERINTEGRAL

BOCHNER

Definisi 4.1

Operator A dikatakan tertutup pada

ruang Banach X jika graph G(A)

tertutup di dalam X x X, dimana G(A) =

{(x,Ax) : x D(A)}

Proposisi 4.2

Diberikan interval I dan ruang

Banach X dan Y.

Jika T : X Y merupakan operator

linear terbatas dan f : I X

terintegral Bochner, maka T f : t T

( f ( t ) ) terintegral Bochner dan

Bukti :

Fungsi f : I X terintegral Bochner,

maka terdapat fungsi sederhana kuat gn

: I X , untuk n N sehingga

Selanjutnya, karena T operator linear

terbatas, maka

dan

Dengan kata lain, T f terintegral

Bochner.

Akhirnya diperoleh

Berikut ini adalah versi proposisi 4.2

untuk suatu operator tertutup A pada X.

Proposisi 4.3

11

Jika A operator linear tertutup pada X

dan f : I X terintegral Bochner,

dengan f(t) D(A) untuk setiap t I

serta A f : I X terintegral Bochner,

maka dan

Bukti :

Perhatikan : X X sebagai ruang

Banach dalam norm

Graph(A) dari

A merupakan subruang tertutup dari X

X.

Didefinisikan, g : I G(A) X X

dengan g(t) = ( f(t) , A( f (t))).

Jadi, g terukur dan

I I I

dttfAdttfdttg ))(()()(

.

Menurut Teorema 2.2, g terintegral

Bochner. Lebih lanjut,

I

AGdttg ).()( Berdasarkan

proposisi 2.4 proyeksi pemetaan dari X

X onto X menunjukkan bahwa

I I IdttfAdttfdttg ))((,)()( .

Jadi diperoleh

Karena maka

sehingga diperoleh

SIMPULAN

1. Ruang Banach adalah ruang

bernorma yang lengkap.

2. Diketahui ruang Banach X atas C dan

interval I .

Fungsi f : I X dikatakan

terintegral Bochner, jika terdapat

fungsi sederhana kuat gn : I X ,

untuk n N sehingga

3. Operator A dikatakan tertutup pada

ruang Banach X jika graph G(A)

tertutup di dalam X x X, dimana G(A)

= {(x,Ax) : x D(A)}

4. Jika diberikan interval I dan

ruang Banach X dan Y, maka dua

pernyataan berikut berlaku :

(i) Jika T : X Y merupakan operator

linear terbatas dan f : I X

terintegral Bochner, maka T f : t

T ( f ( t ) ) terintegral Bochner dan

12

(ii) Jika A operator linear tertutup pada

X dan f : I X terintegral

Bochner, dengan f(t) D(A) untuk

setiap t I serta A f : I X

terintegral Bochner, maka

dan

DAFTAR PUSTAKA

Arendt, Wolfgang, 2001. Vector-valued

Laplace Transforms and Cauchy

Problems, Birkhauser Verlag,

Basel-Boston-Berlin.

Cao S., S., 1992. The Henstock Integral

for Banach Valued Function,

SEA. Bull, Math vol 16, hal

36-40.

Gordon, R.A., 1994. The Integral of

Lebesque, Denjoy, Perron and

Henstock, American Matematical

Society, USA.

Guojo, Ye and Schwabik, Stefan, 2004.

Topics Banach Space Integration,

Foundation of postdoctoral

fellows of Lanzhou University &

The Grant Agency of The Czech

Republic.