Operatoria en QGonzalo Maureira León.

Aprendizajes Esperados

Aplicar las operaciones básicas y propiedades en los números enteros.

Resolver problemas que involucren operaciones con números decimales y fracciones.

Transformar fracciones a decimales y viceversa.

Resolver regularidades numéricas.

Números Racionales

• Conjunto de la forma

• Todo número puede escribirse como fracción.

8; 13; 0; – 10; – 28 1,324; 4,18– 1 19

; ; 25,31

• Para amplificar una fracción se debe multiplicar numerador y denominador por el mismo término.

Números Racionales

6∙

15∙88

= 48120

Amplificar por 8 6

15

• Para simplificar una fracción se debe dividir numerador y denominador por el mismo número.

Números Racionales

Simplificar por 4 124

8

44

= 31 2

124 : 8 :

Adición y Sustracción

ab

cd

= a ∙ d b ∙ c

b ∙ d

, con b ≠ 0 y d ≠ 0

1. Si los denominadores son iguales:

21

8+

6

8

27

8

2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:

4

27+

10

3=

4 ∙ 1 + 10 ∙ 9

27=

4 + 90

27=

12

7–

25

7=

– 3

7=

Adición y Sustracción3. Si los denominadores son primos entre sí:

1

5 +

3

20=

20∙ 1 + 5 ∙ 3

20=

20 + 15

20=

35

20

4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):

3

2 +

2

7=

21 + 4

14

3 ∙ 7 + 2 ∙ 2

14= =

25

14

7

4=

• Transformación Número Mixto

Números Racionales

4 3 =

5 ∙ 3 + 4

3=

19

3

15 +4

3= 5

Inverso multiplicativo o recíproco

a

bEl recíproco de es

b

a

5

3

3

5El recíproco de es

Multiplicación de Números Racionales

ab

c∙ = a ∙ c

b ∙ d, con b ≠ 0 y d ≠ 0

d

35

72 ∙

9

5=

7 72

∙ 9

1=

7

8

7

1

1

8

División de Números Racionales

a ∙ d b ∙ c

, con b ≠ 0, c ≠ 0 y d ≠ 0 ab

c: =

d ab

d∙ =

c

5 ∙ 137 ∙ 3

97

2: =

3 97

3∙ =

2

65 21=

Transformaciones de Decimales a Fracción

• Decimales finitos: son aquellos que tienen fin, es decir, no hay un número que se repita.

Ejemplos:  4,56 ;  0,0003 ;  2,9876 :  0,1 ;  3,42 , etc.

Siempre que se divida el numerador por el denominador, y la división termine y se obtenga resto cero, la división es exacta y su resultado será un decimal finito.

• Decimales infinitos: son aquellos números que no se acaban, es decir, hay uno o varios números que se repiten infinitamente. Por ejemplo: 0,333333.....  es infinito por que el 3 se repite indefinidamente. Estos números son divisiones inexactas. No representan una fracción decimal.

• Los decimales infinitos pueden ser: infinitos puros, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos. Al conjunto de los números racionales sólo pertenecen los números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos. Los decimales infinitos puros pertenecen al conjunto de los números irracionales, porque no pueden transformarse en fracción.

Transformaciones de Decimales a Fracción

• Decimales infinitos periódicos: son aquellos que tiene una o más cifras que se repiten sucesiva e infinitamente, formando el período. Se escribe en forma abreviada coronando al período con un pequeño trazo.

Transformaciones de Decimales a Fracción

• Decimales infinitos semiperiódicos: En estos decimales aparecen una o más cifras antes del período. El número formado por dichas cifras se llama anteperíodo (es un número que está entre la coma y la rayita).

Transformaciones de Decimales a Fracción

• Transformación de un decimal finito a fracción

• Se convierte el número a fracción decimal y, si se puede, se simplifica. Para transformar el número decimal a fracción decimal se utilizan potencias de diez (10, 100, 1.000, etc.). Se colocan tantos ceros como cifras decimales tenga el número.

• Ejemplo 1:

•  Se anota el número, en este caso 45.  Se divide por 1.000,  porque  hay tres espacios decimales ocupados, luego simplificamos por 5

• Ejemplo 2:

Transformaciones de Decimales a Fracción

Transformación de un decimal infinito periódico en fracción

• Se anota el número y se le resta él o los números que están antes del período (de la rayita)

• Se coloca como denominador un 9 por cada número que está en el período (si hay un número bajo la rayita se coloca un 9, si hay dos números bajo el período se coloca 99, etc.). Si se puede simplificar, se simplifica.

• Otro ejemplo:    Expresar como fracción

57,18181818....

Transformaciones de Decimales a Fracción

• Transformación de decimal infinito semiperiódico a fracción

• El numerador de la fracción se obtiene, al igual que en el caso anterior, restando al número la parte entera y el anteperíodo, o sea, todo lo que está antes de la “rayita”.

• El denominador  de la fracción se obtiene colocando tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo. Como siempre, el resultado se expresa como fracción irreductible (no se puede simplificar más) o como número mixto.

Transformaciones de Decimales a Fracción

Números RacionalesComparación de fracciones

• Multiplicación cruzada:

Ejemplo:

Al comparar (Multiplicando cruzado) 2

11

7

6y

2 ∙ 6 y 11 ∙ 7

12 y 77

Como 12 < 77, entonces: 2

11

7

6<

Comparación de fracciones

• Igualdad de denominadores:

Ejemplo:

Al comparar (Igualando denominadores) 2

5

4

9y

Como 18 < 20, entonces:

2 ∙ 9

5 ∙ 9

4 ∙ 5

9 ∙ 5y

18

45

4

9

y

2

5

20

45

Números Racionales

<

Resuelva

1.  

A)

B)

C)

D)

E) Ninguno de los valores anteriores.

3

4+

1

7+

7

4

18

4+ =

50

7

29

19

29

11

8

7

Resuelva2.  

A) 0,59 B) 0,6C) 5,9D) 59 E) Ninguno de los valores anteriores.

0,6 – 0,010,01

=

59

0,6 – 0,010,01

=

0,590,01

=

3. ¿Cuántos novenos son equivalentes a ?  A) 2 B) 6 C) 15D) 27 E) 29

923

Resuelva

923 = 9

293 = 9

227= 9

29