Optikpraktikum 2005

Bestimmung verschiedener

Brechungsindizes und

Lichtgeschwindigkeiten Kathleen Steffen Sophia Holger André

Inhaltsverzeichnis

Vorwort 3 Definition des Brechungsindex und seine Bedeutung 3 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit 5

Lichtgeschwindigkeit in Luft 5 Die Intensitätsmodulation 5 Foucaultsche Drehspiegelversuch 6 Zusammenfassung 9

Lichtgeschwindigkeit in Flüssigkeiten 10 Zusammenfassung 11

Bestimmung des Brechungsindex mit Hilfe der Lichtreflexion 12 Physikalische Grundlagen 12 Aufbau des Experimentes 12 Auswertung 13

Mit Hilfe des Brewsterwinkels 13 Aus ⊥R bei Lichteinfall im Brewsterwinkel 14

Aus ⊥R und ||R für α=0° 14

Least-square-fitting 15 Bestimmung mittels Michelson-Interferometer 18

Bestimmung für Gase 19 Bestimmung für durchsichtige Festkörper 22

Bestimmung des Brechungsindex mit Hilfe Newtonscher Ringe 23 Herleitung 23 Ergebnisse 25 Auswertung 27 Zusammenfassung 28

Vergleich zwischen Newtonschen Ringen, Lichtgeschwindigkeit mit der Intensitätsmodulation und dem Abbe-Refraktometer. 28

Brechungsindex von Prismen 29 Fehlerbetrachtung 34 Dispersionskurven 34 Abbe-Refraktometer 36 Auswertung 37

Schlusswort 38 Quellen 39

Vorwort Ziel dieses Projektes ist es gewesen, in gemeinsamer Arbeit Versuche zur Bestimmung von Brechungsindizes und Lichtgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien durchzuführen. Dabei steht nicht nur die Analyse der Messwerte im Vordergrund sondern vor allem ein qualitativer Vergleich der verschiedenen Experimente in Hinsicht auf ihre Genauigkeit und Durchführbarkeit. Der Praktische Teil dieser Arbeit ist zweifelsohne für jeden Beteiligten mit viel Spaß und Enthusiasmus verfolgt worden. Die theoretische Abhandlung dazu steht nun auf den folgenden Seiten. Aus Gründen der Übersicht haben wir uns dazu entschlossen Quellenbezüge an das Ende der Arbeit zu stellen. Messwerte findet man in entsprechenden Dateien die separat abgegeben werden. Wir wünschen dem Leser viel Spaß.

Definition des Brechungsindex und seine Bedeutung Als Brechung einer Welle bezeichnet man allgemein die Änderung der Wellennormalen beim Übergang von einem Medium in ein anderes. Ursache hierfür ist die Änderung der Ausbreitungsgeschwindigkeit. Auch Licht zeigt als elektromagnetische Welle dieses Verhalten. Mit Hilfe des Prinzips von Huygens-Fresnel kann man das Brechungsgesetz herleiten (vgl. Quelle [7]):

(1) 2

1

)sin(

)sin(

c

c=βα

Hierbei bezeichnen α und β den Einfalls- bzw. Ausfallswinkel und c1 sowie c2 die Lichtgeschwindigkeiten. Der Brechungsindex eines Stoffes ist wie folgt definiert:

(2) Stoff

VakuumStoff c

cn =

Mit (1) erhält man das Brechungsgesetz von Snellius:

(3) 1

2

)sin(

)sin(

n

n=βα

Der Brechungsindex gibt auch Aufschluss über den Aufbau des betrachteten Stoffes. Dies lässt sich verstehen, wenn man die mikroskopische Entstehung betrachtet. Licht als elektromagnetische Welle versetzt molekulare Dipole im Dielektrikum in Schwingungen. Durch deren Gegenfeld wird das Licht im Medium gebremst. Je nach dem ob diese Dipole induziert oder bereits vorhanden sind spricht man von Verschiebungs- bzw. Orientierungspolarisation. Weil die elektrische Polarisation P

�

– also das Dipolmoment pro Volumen – neben der Größe des anliegenden Feldes auch von der Dielektrizitätskonstanten abhängt ( ( ) EP

��

01 εε −= ), ist es

nahe liegend, dass ein Zusammenhang zwischen der Dielektrizitätszahl und dem Brechungsindex besteht. Für viele Stoffe gilt die Maxwellsche Relation:

(4) ε=n anteitätskonstDielektriz−ε Je nach Frequenz wird die Lichtwelle durch erzwungene Schwingungen ausführende Moleküle mehr oder weniger stark gebremst. Bei bestimmten Frequenzen treten Resonanzerscheinungen auf. Daraus kann man zum Beispiel Aussagen über innermolekulare Kräfte gewinnen. Viele Stoffe zeigen auch ein abnormales Brechungsverhalten. So genannte Eantiomere (z.B. Zucker oder Milchsäure) drehen die Ebene des polarisierten lichtes und anisotrope Medien (z.B. Kalkspat) teilen einen Lichtstrahl in zwei Teilstrahlen auf (Ursache dafür sind die unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes in verschiedene Richtungen). Ziel unseres Praktikums war es, den Brechungsindex verschiedener Materialien zu bestimmen. Dazu haben wir verschieden physikalische Phänomene genutzt – zum Beispiel die Doppelbrechung am Prisma, die Abhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit vom Brechungsindex, Interferenz an dünnen Schichten und die Veränderung der optischen Weglänge beim Durchgang von Licht durch Materie. Auf den nächsten Seiten stellen wir zunächst unsere Experimente kurz vor um sie zum Schluss hinsichtlich ihrer Güte zu vergleichen.

Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit

Lichtgeschwindigkeit in Luft Zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit in Luft haben wir zwei verschiedene Experimente durchgeführt. Zum einen Untersuchten wir den Gangunterschied bei einer Intensitätsmodulation eines Signals beim Senden und Empfangen. Der zweite Versuch ist der Foucaultsche Drehspiegelversuch.

Die Intensitätsmodulation Zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit beobachten wir einen Lichtstrahl, der von einer LED gesendet wird und von einer Photodiode empfangen wird, sowohl beim Senden als auch beim Empfangen. In der Ausgangseinstellung des Experiments sollen beide Signale Phasengleich laufen. Über einen Umlenkspiegel wird die Wegstrecke des Signals verlängert. Dabei ist zu beachten dass der Weg des Lichtes doppelt so groß ist wie die Verschiebung des Spiegels, da das Licht hin und zurück muss. Der Weg muss nun so weit verlängert oder verkürzt werden, bis wieder beide Signal Phasengleich laufen bzw. um verschoben sind. Diese Wegstreckenänderung entspricht dann einer Wellenlänge oder einer halben Wellenlänge. Da bei herkömmlichem sichtbarem Licht die Wellenlänge in einem Bereich von 390 nm bis 780 nm liegt wird die Verschiebung des Spiegels sehr schwer. Aus diesem Grund wird auf den Lichtstrahl mit Hilfe der Intensität ein Signal aufmoduliert. Dieses Signal schwingt mit einer Frequenz von 50 MHz. Daraus folgt, dass die Wellenlänge des Aufmodulierten Signals wesentlich länger ist. Dieses Signal kann man nun real beobachten.

1. t

sv = Ausgangsgleichung

2. xs ∆= 2 Wegstrecke

3. f

Tt2

1

2

1 == Zeit

1. fxcv ⋅∆== 4 resultierende Formel

4. fxfxc δδδ ⋅∆+⋅= 44 systematischer Fehler

Abb.1.1.1 ausgehendes und eingehendes Signal am Ossziloskop dargestellt. Man kann erkennen das beide Signale phasengleich laufen. So sollte der Versuch zu Anfang justiert sein.

Abb. 1.1.2 Ausgehendes und eingehendes Signal mit Hilfe der Lissajous-Figur dargestellt. Bei einer geraden Linie bedeutet dies eine Überlagerung der Signale um ganzzahlige Vielfache von π .

Tab 1.1.1 errechnete Lichtgeschwindigkeit aus durchschnittlichen Messwerten und systematischer Fehler

Bei 20 Messwerten ergibt sich aus dem Studentfaktor 1,73 und der Standartabweichung von 7,63E+5 m/s eine Vertrauensabweichung von c = 5,07E-7 m/s. Die Lichtgeschwindigkeit lässt sich mit folgendem Wert angeben. c=(2,99E8 ± 2E6 )m/s Damit liegt der Fehler der Messung in einem Intervall von 0,67% um den Messwert.

Foucaultsche Drehspiegelversuch Beim Foucaultschen Drehspiegelversuch wird ein Laserstrahl über einen schnell rotierenden

Spiegel auf einen Hohlspiegel geworfen. Zuvor wird der Laserstrahl über zwei Linsen aufgefächert und wieder gebündelt, so dass der Laser im Hohlspiegel fokussiert wird. Wenn die Apparatur richtig aufgebaut und justiert ist, fällt der Laser nun vom Hohlspiegel wieder zurück in den rotierenden Spiegel und kann später mit einem Mikroskop beobachtet werden. Da sich der Drehspiegel mit Frequenzen von bis zu 1000 Hz dreht, bewegt sich auf dem Drehspiegel der Laserpunkt und entsprechend auch im Mikroskop. Über den zurückgelegten Weg im Mikroskop und die Frequenz des Drehspiegels lässt sich die Lichtgeschwindigkeit errechnen.

Abb. 1.1.4 Drehspiegel

Abb. 1.1.3 Versuchsaufbau Hohlspiegel ist nicht zu sehen Da er sich in 8m Entfernung befindet

�x in m f in MHz c in m/s

1,497 49,99 2,99E+08 δx in m

δf in Hz

δc in m/s

0,01 1000 2E+06

Im Hohlspiegel läuft der Bildpunkt eine Strecke I S = 2D . Wobei der Winkeländerung des Drehspiegels entspricht und D der Abstand zwischen Drehspiegel und Hohlspiegel ist. Das Bild im Mikroskop entspricht dem Bild auf dem Hohlspiegel multipliziert mit dem Quotient aus Bildweite und Gegenstandsweite.

II SDB

AS

g

bs ∆

+=∆=∆

A Linsenabstand der beiden Linsen. Es muss aber noch die Brennweite der ersten Linse abgezogen werden.

B Abstand zwischen Linse 2 und rotierendem Spiegel Nach einsetzten von I in II ergibt sich:

θ∆⋅+

=∆ DBD

As 2

Mit c

Df

c

D πωθ 42 ==∆ folgt ( )BDc

AfDs

+=∆

28π. Stellt man diesen Term nach c um, so ergibt

sich: ( )BDs

AfDc

+∆=

28π

Zur Berechnung des systematischen Fehlers ergibt sich folgende Formel:

( )( )

−++

+−++

=s

sADffAD

DB

DBADDAfADf

DBs

Dc

δδδδδδπδ 28

Nach einer Probemessung haben wir die Lichtgeschwindigkeit mit einem Wert von 3,07E8 m/s

bestimmt. (Messwerte siehe Anhang Messung A) Da uns dieser Wert jedoch im Vergleich zur Intensitätsmethode noch nicht zufrieden stellt, führen wir zwei Messreihen durch, welche mit jeweils zirka zehn Messwerten ein gutes Ergebnis liefern sollen. Diese sind im Anhang unter Messung B und C zu finden. Für eine sinnvolle Auswertung bietet es sich an, die Abhängigkeit der Wegstreck s im Mikroskop von der Drehfrequenz zu untersuchen. Wenn man beides in einem Koordinatensystem aufträgt, muss man nach der hergeleiteten Gleichung eine Gerade erhalten. Im Anstieg der Geraden muss dann eine Konstante k und die Lichtgeschwindigkeit enthalten sein.

( ) fc

k

BDc

AfDs ⋅=

+=∆

28π Da sich die Konstante k als Geräte- oder Experimentkonstante

bestimmen lässt: BD

ADk

+=

28π kann man aus dem Anstieg m des Grafen indirekt die

Lichtgeschwindigkeit bestimmen.

m

kc

c

km =⇔=

Diag.. 1.1.1 Messwerte und Regressionsgeraden bei Drehspiegelversuch von Foucault Anstieg B: 1,84E-7 Anstieg C:1,75E-7

Den Anstieg beider Geraden haben wir in Exel ermitteln lassen.

Tab1.1.2 Ergebnisse der Messung B und C Quelle für die prozentuale Abweichung Wikipedia.de (Brechzahl Luft 1,00029)

Aufgrund der geringen Abweichung vom Tabellenwert ist das Messergebnis aus Messung C ziemlich genau und dient als Bezug zu den noch folgenden Ausführungen. Zur Berechnung des systematischen Fehlers beziehen wir uns auf die oben hergeleitete Formel.

Tab. 1.1.3 Fehler der einzelnen Messgrößen und daraus resultierender systematischer Fehler

Es fällt auf, dass der Fehler doch enorm groß ausfällt. Den stärksten Anteil an diesem Fehler bringt der Term s. Je genauer dieser Wert bestimmt werden kann, desto geringer wird der Fehler während der Messung ausfallen. Bei diesem Experiment lässt sich die Lichtgeschwindigkeit mit folgendem Wert angeben. c= (2,96E8 ± 4E7) m/s Das Fehlerintervall liegt damit in einem Bereich von 13 % um den Messwert.

k 51,86 m2 Messung Anstieg in

m*s Lichtgeschwindigkeit in m/s

Abweichung Tabellenwert

B 1,8409E-07 2,82E+08 5,9 % C 1,7523E-07 2,96E+08 1,2 %

δD in m 0,01 δA in m 0,001 δB in m 0,001 δf in Hz 1 δs in µm 0,5 δc in m/s 4E+07

Zusammenfassung Man stellt fest, dass beide Experimente ein relativ zuverlässiges Ergebnis liefern. Nur fällt die Messungenauigkeit bei dem Experiment über die Intensitätsmodulation wesentlich geringer aus. Das Ergebnis lässt sich hier also mit großer Sicherheit bestätigen. Aufbau und Handhabung sind im Gegensatz zum Foucault’schen Drehspiegelversuch bei der Intensitätsmodulation sehr einfach und übersichtlich. Da das Ablesen vom Oszillografen aufgrund der digitalen Anzeige einen geringen Ablesefehler zu Folge hat, ist dieser Versuch für präzise Messungen hervorragend geeignet. Ein großer Nachteil des Drehspiegelversuchs ist, dass hier nur die Lichtgeschwindigkeit von Luft gemessen werden kann. Um von anderen Stoffen eine Messung durchführen zu können, müsste man den gesamten Raum um das Experiment fluten. Dies erweist sich aber als technisch eher schwierig, und aus diesem Grund erweist sich der Foucault’sche Drehspiegelversuch als ein unpraktischer Versuch für die wissenschaftliche Arbeit, stellt aber andererseits einen schönen Schulversuch dar, da sich die Überlegungen relativ einfach umsetzten lassen (wenngleich der Fehler sehr hoch liegt).

Abb.1.1.5a Abb1.1.5b In Abbildung 1.1.5 ist sind zwei Signal dargestellt, die eine geringfügige Phasenverschiebung aufweisen. Abbildung 1.1.5a zeigt beide Signal in ihrem typischen Schwingungsverlauf. Abbildung 1.1.5b zeigt die daraus resultierende Lissajous-Figur.

Lichtgeschwindigkeit in Flüssigkeiten Zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit in Flüssigkeiten eignet sich der Versuch über die Intensitätsmodulation hervorragend. Hier wird einfach ein Rohr welches mit einer Flüssigkeit gefüllt ist in den Strahlengang gelegt. Der Versuch ist immer noch einfach zu handhaben und Die Gleichung zum errechnen der Lichtgeschwindigkeit werden nicht wesentlich komplizierter. Der Versuchsaufbau ist identisch mit dem zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit in Luft mit einer Ausnahme: In den Strahlengang wird jetzt ein Rohr gelegt, welches mit einer Flüssigkeit gefüllt ist (Wasser oder Ethanol). Der zweite Strahlengang bleibt ohne optische Hindernisse. Die Glasfenster im gefüllten Rohr werden bei der Rechnung vernachlässigt. Die Position der Umlenkspiegel wird so eingestellt, dass eine Phasenverschiebung von 0° mit dem Oszillograf gemessen wird. Nun wird die Flüssigkeit aus dem Strahlengang genommen und die Umlenkspiegel erneut so eingestellt, dass die Phasen wieder mit 0° Verschiebung laufen. Für die Gesamtstrecke die das Licht zurücklegt gilt:

FL lll +=1 Für die Zeit die das Licht benötigt resultiert:

F

F

L

F

c

l

c

ll

v

st +

−== 1

1

Wenn sich keine Flüssigkeit im Strahlengang befindet, gilt für die Wegstrecke: xll ∆+= 212

Lc

xlt

∆+=

212

Aufgrund einer identischen Phasenbeziehung in beiden Messungen folgt: kTtt += 21 k=0,1,2…

Nach einsetzten von t1 und t2 in die letzte Gleichung folgt:

F

L

F flkc

lx

LF

cc

++=

∆21

Wir führen jede Messung 20-mal sowohl für Wasser als auch für Ethanol durch. Um die Korrektheit der Brechzahl zu bestätigen, messen wir mit einem Abbe-Refraktometer den Brechungsindex jeder Probe nach. In unserem Fall nimmt k erneut den Wert Null an, sodass die Gleichung noch einfacher zu handhaben ist.

Tab.1.2.1

Wir stellen fest, dass die Lichtgeschwindigkeit von Wasser und Ethanol ähnlich ist. Zur Berechnung des Fehlers nutzen wir wieder die Summen der partiellen Ableitungen.

FFFF

L ll

x

l

x

c

cn δδδδ

2

22 ∆+==

Für den Fehler der Lichtgeschwindigkeit in der Flüssigkeit folgt daraus:

f in MHz 50 n c in m/s l in m 1,012 Wasser 1,34 2,23E+08 c Luft in m/s 3,00E+08 Ethanol 1,36 2,19E+08

nn

cc L

F δδ2

=

Tab 1.2.2 Fehler vom Brechindex und Lichtgeschwindigkeit

Der Prozentuale Messfehler ist bei einer Flüssigkeitsmessung relativ gering. Bei Ethanol und Wasser beträgt dieser etwa 0,6 %– 0,8 %. Damit liegt der Messfehler in einem ähnlichen Intervall wie bei der Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit in Luft. Wir bestimmen die Lichtgeschwindigkeit mit folgenden Werten: Ethanol Wasser c=2,19E8±1,26E6 m/s c=2,23E8±1,79E6 m/s

Mit Hilfe des Abbe-Refraktometers haben wir die Brechzahl von Ethanol und Wasser auch direkt ablesen können. Es ergeben sich folgende Wert:

Tab.1.2.3 gemessene Brechzahl Vergleichswert: Wikipedia.de

Zusammenfassung Mit erstaunlicher Genauigkeit stimmen die Messwerte verschiedener Messmethoden überein. Da das Ablesen der Brechzahl mithilfe des Abbe-Refraktometers wesentlich einfacher ist, würden wir diese Methode bei Flüssigkeiten vorziehen. Ansonsten liefert die Phasenmethode auch hier ein erstaunlich präzises Ergebnis.

δx in m 0,001 δl in m 0,001

Ethanol Wasser �x in m 0,18445

�x in m 0,1737 δ

n 2,34E-03 δ

n 2,32E-03 Standartabw 3,17E-03 Standartabw 4,89E-03 Gesamtfehler 7,86E-03 Gesamtfehler 1,08E-02 δc in m/s 1,26E+06

δc in m/s 1,79E+06

Abbe-Refraktometer

Phasenmethode Abweichung vom Tabellenwert

Ethanol 1,361 1,36±1E-2 0,7 % Wasser 1,334 1,34±1,1E-2 0,3 %

Bestimmung des Brechungsindex mit Hilfe der Lichtreflexion

Physikalische Grundlagen Beim Auftreffen von Licht auf die Grenzfläche zwischen einem Isolator und Vakuum (im Versuch allerdings Luft) wird im Allgemeinen ein Teil reflektiert und ein anderer Teil gebrochen. Als Reflektionskoeffizient R bezeichnet man den Quotienten aus der Intensität des Reflektierten Anteils und der Intensität des einfallenden Lichtstrahls:

(*) 0

:I

IR R=

LichtestenreflektierdesIntensitätI

LichteseneinfallenddesIntensitätI

tkoeffizienReflexionsR

R

0

−−−

Licht ist eine Transversalwelle. Folglich tritt lineare Polarisation auf. Man kann die einfallende Lichtwelle formal in einen zur Zeichenebene parallel polarisierten Anteil ||R und

einen dazu senkrecht polarisierten Anteil ⊥R zerlegen. Der Zusammenhang zwischen Reflexionskoeffizienten, Einfalls- und Ausfallswinkel wird durch die Fresnelschen Formeln beschrieben:

(**.1) 2

|| )cos()cos(

)cos()cos(

+−=

βαβα

n

nR

(**.2) 2

)cos()cos(

)cos()cos(

+−=⊥ βα

βαn

nR

Eine Herleitung mit Hilfe einiger plausibler Annahmen findet man beispielsweise in Quelle [7]. Diese Beziehungen ermöglichen die experimentelle Bestimmung der Brechungsindizes von Festkörpern.

Aufbau des Experimentes Der Lichtstrahl einer Quecksilberdampflampe wird parallelisiert und auf einen drehbaren Spiegel gerichtet. Mit einem ebenfalls drehbar gelagerten Sensor kann man die Intensität der ankommenden Strahlung messen. Im Strahlengang des Lichtes befindet sich ein Polarisationsfilter, so dass man die Ebene des polarisierten Lichtes variieren kann (vgl. Abb. 2.1.1 und Abb.2.1.2). Als Probekörper dienten ein Stück Fensterglas und eine Plexiglasscheibe.

Abb.2.1.2 – Experimentieranordnung

(schematisch) 1 Quecksilberdampflampe 2 Polarisationsfilter 3 drehbarer Spiegel 4 drehbarer Sensor

Abb. 2.1.1 5 Lichtweg

Die Intensität der Strahlung am Sensor ruft einen Strom hervor, der dieser proportional ist. Damit wird (*) zu

(*’) 0

:J

JR R=

wirdgerufenhervorlLichtstrahganzendendurchderStromJ

wirdgerufenhervorTeiltenreflektierdurchderStromJR

,

,

0 −−

Der Weg des Lichtes, die Stellung des Spiegels und der Zeiger bei diesem Versuch ist in Abb.2.3.4 dargestellt. Der durchgelassene Teil des Lichtes wird allerdings durch eine Schwärzung der Glasrückseite an dieser absorbiert.

Abb.2.1.3 Spannungsmessgerät zur Abb2.3.4 Weg des Lichtes Messung der Lichtintensität 1 Lichtweg

2 Spiegelebene 3 Lot auf der Spiegelebene

Auswertung Aus den Messdaten haben wir den Brechungsindex n auf vier verschiedene Weisen ermitteln.

Mit Hilfe des Brewsterwinkels Den Winkel αp , bei dem α und β senkrecht aufeinander stehen, bezeichnet man als Brewsterwinkel. Aus (3) folgt:

(***) )tan()cos(

)sin(

)90sin(

)sin(

)sin(

)sin(p

p

p

p

p

p

pn ααα

αα

βα

==−°

==

Für ||R gilt dann: 0||=R

Eine nähere Analyse zeigt, dass αp der einzige Winkel mit dieser Eigenschaft ist. Man kann also den Winkel suchen, bei dem 0||=R ist und berechnet daraus nach (***) den

Brechungsindex n. Man erhält die in Tab 2.2.1dargestellten Werte.

Tab 2.2.1 Brechungsindizes, ermittelt mit Methode 1

Fensterglas Plexiglas αp in ° 55 56n 1,43 1,48

Aus ⊥R bei Lichteinfall im Brewsterwinkel

Einsetzen von αp + β p=90° in **.2) und Umformen ergibt: ⊥

⊥

−+

=R

Rn

1

1

Die Ergebnisse sind in Tabelle Tab. 2.2.2 zusammengestellt.

Tab. 2.2.2 Brechungsindizes, ermittelt mit Methode 2

Aus ⊥R und ||R für α=0°

In diesem Fall erhält man aus **.1) und **.2):

||

||

1

1

1

1

R

R

R

Rn

−

+=

−+

=⊥

⊥

Weil man bei einem Winkel von 0° mit dem Sensor die Eintrittsöffnung für das Licht blockiert, müssen wir den Wert für α=7° einsetzen. Weil der Anstieg der beiden R-α-Kurven (siehe Methode 4) in diesem Bereich nahezu 0 sein müsste, sollten sich dennoch für⊥R und

||R ähnliche Werte ergeben. Leider zeigt das reale Experiment (vor allem bei Fensterglas), das

dem nicht so ist. Wir geben noch einen Mittelwert der beiden berechneten Indizes an.

Tab. 2.2.3 Brechungsindizes, ermittelt mit Methode 3

Fensterglas Plexiglas

)(⊥RJ in

µA 0,67 0,78

)(0 ⊥J in

µA 5,3 5,3 R s 0,12641509 0,14716981 n 1,45 1,50

Fensterglas Plexiglas parallel senkrecht parallel senkrecht JR in µA 0,23 0,27 0,26 0,23 J0 in µA 6,5 5,3 6,5 5,3 R 0,035 0,051 0,04 0,043 n 1,46 1,58 1,50 1,53 n (Mittelwert) 1,52 1,51

Least-square-fitting Setzt man in Gleichung **.1) und **.2) die Beziehung (3) ein, so erhält man:

n

n

n

für )(sin)(sin1)(sin1)cos(

22

2

2)3(2

900 ααβββ −

=−=−=°≤≤°

Einsetzen in **.1) und **.2) ergibt:

(****.1)

2

222

222

||)(sin)cos(

)(sin)cos(

−+

−−=

αα

αα

nn

nnR

(****.2)

2

22

22

)(sin)cos(

)(sin)cos(

−+

−−=⊥

αα

αα

n

nR

Jetzt kann man den Parameter n so wählen, dass die mittlere quadratische Abweichung von den Messwerten minimal wird. Weil das mit dem least-square-fitter von Origon erzielte Ergebnis nicht befriedigend war, haben wir mit Excel den optimalen Wert (auf zwei Kommastellen genau) in einer Tabelle berechnet (siehe Anhang A1). Die Ergebnisse befinden sich in den Tabellen Tab.2.2.4 und Tab.2.2.5, die Messwerte sowie die Regressionskurven sind in den beiden in Diagrammen Diag.2.1 und Diag.2.2 dargestellt.

Tab.2.2.4 Brechungsindex für Fensterglas (Kurveninterpolation)

Diag.2.2 Brechungsindex über Kurveninterpolation (für Fensterglas)

||R ⊥R

n 1,49 1,46

n 1,475

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 900,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Rpa

ralle

l

α in °

paralleler Anteil Messwerte Regressionskurve

senkrechter Anteil Messwerte Regressionskurve

R - αααα -Diagramm (Fensterglas)

Tab.2.2.5 Brechungsindex für Plexiglas (Kurveninterpolation)

Diag.2.2 Brechungsindex über Kurveninterpolation (für Plexiglas)

Fehlerbetrachtung Als Vergleichswert, steht nur ein Wert für Plexiglas (n=1,49) zur Verfügung (aus [Quelle 5]). Wie man in Tabelle Tab 2.2.6 sieht, liegen alle Ergebnisse in der Nähe des Tabellenwertes.

Abweichung vom Tabellenwert Methode nPlexiglas absolut in % 1 1,48 -0,01 -0,7% 2 1,50 0,01 0,7% 3 1,51 0,02 1,3% 4 1,51 0,02 1,3%

Tab.2.2.6 Güte der Ergebnisse (im Vergleich zum Tabellenwert) Dennoch gibt es einige Probleme mit der Experimentieranordnung. Bei allen vier Versuchen spielen das Streulicht der Quecksilberdampflampe (könnte durch die Verwendung von Lasern verbessert werden) und eine schlechte Oberflächenqualität der Probe (etwas zerkratzt, staubig, Rückseite nicht völlig geschwärzt, so dass durchgehendes Licht möglicher Weise gestreut und auch vom Sensor gemessen wird) eine große Rolle. Es müssen sehr kleine Spannungen abgelesen werden, was bei allen Messungen mit einer gewissen Unsicherheit auf Grund der Ableseungenauigkeit verbunden ist. Des Weiteren war die Intensität des Lichtstrahles sehr stark von dessen Polarisation abhängig (senkrecht: U0=5,3; parallel: U0=6,5), obwohl der parallel und der senkrecht polarisierte Teil des Lichtes der Quecksilberlampe gleich groß sein müsste. Dies ist möglicherweise die Ursache, warum die Brechungsindizes für Fensterglas in Methode 3 für

||R und ⊥R sehr stark voneinander abweichen.

||R ⊥R

n 1,48 1,54

n 1,51

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 900,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0R

para

llel

α in °

paralleler Anteil Messwerte Regressionskurve

senkrechter Anteil Messwerte Regressionskurve

R - αααα -Diagramm (Plexiglas)

An Methode 3 ist außerdem zu bemängeln, das der Spiegel bei einem Winkel von 0° die Eintrittsöffnung für das Lichtes versperrt – man also den Wert bei α=7° verwenden muss. Allerdings zeigt der Anhang A2 sowie die Diagramme Diag.2.1 und Diag.2.2 dass die Kurven im Bereich 0°<=α<=15° annährend konstant sind. In Tabelle Tab.2.2.7 haben wir noch eine Modellrechnung für n=1,5 gemacht, die belegt, wie wenig sich

||R und ⊥R bei

kleinen Winkeln unterscheiden. Also ist Methode 3 im Allgemeinen ziemlich gut geeignet, um den Brechungsindex zu bestimmen – zumindest wenn die Lichtabschirmung hundertprozentig funktioniert und die Anordnung auch sonst exakt arbeitet.

α in ° β in ° ||R ⊥R resultierendes n

(Mittelwert) Abweichung in %

0 0,00 0,040 0,040 1,500000 0,000%5 3,33 0,040 0,040 1,500007 0,000%7 4,66 0,039 0,041 1,500029 0,002%

10 6,65 0,038 0,042 1,500121 0,008% Tab.2.2.7 - Modellrechnung

||R und ⊥R bei kleinen Winkeln. Es wurde n=1,5 angenommen

Außerdem sind die gemessenen Spannungen sehr gering. Dadurch wird das Ablesen kleiner Werte sehr erschwert. Beim Ablesen des Brewsterwinkels ist es z. B. durchaus möglich, dass der tatsächlich Winkel um bis zu ∆αP= 2° vom angegebenen abweicht. Daraus erhält man für Plexiglas eine Unsicherheit für n von:

( ) ( ) 087,0)(tan1')tan( 2 ≈∆+=∆≈∆ αααα PPn . Also ist Methode 1 deutlich schlechter geeignet als Methode 3. Ähnliches gilt für Methode 2. Wir machen wieder eine Modellrechnung. Das Resultat ist in Tabelle Tab.2.2.8 zusammengestellt. Wie man erkennt, ist das Ergebnis von Methode 2 sicherer als das von Methode 1 aber unsicherer als das von Methode 3.

α in ° β in ° ⊥R resultierendes n Abweichung in % 54,00 32,64 0,133 1,466 -2,27%55,00 33,10 0,139 1,480 -1,32%56,00 33,55 0,146 1,495 -0,32%56,31 33,69 0,148 1,500 0,00%57,00 33,99 0,153 1,511 0,74%58,00 34,43 0,160 1,528 1,87%

Tab. 2.2.8 Modellrechnung n aus ⊥R im Brewsterwinkel für n=1,5

Am Besten dürfte Methode 4 funktionieren, da hier über sehr viele Werte gemittelt wird. Allerdings zeigt sich bei dem gemachten Experiment eine verhältnismäßig starke Abweichung bei den interpolierten Kurven für

||R und ⊥R . Das zeigt noch einmal die zu

Beginn angesprochenen Unzulänglichkeiten im Aufbau. Abschließend sind wir der Meinung, das dieses Experiment mit Methode 2,3 und 4 zur Auswertung auch ohne Verwendung eines Laser geeignet ist, um Brechungsindizes auf ca. 5% genau zu bestimmen.

Bestimmung mittels Michelson-Interferometer Ein Laser trifft einen Strahlteiler, welcher 50% des Lichts reflektiert bzw. transmittiert. Dadurch wird der Strahl in zwei Teilestrahlen gespalten. Ein Strahl wird zu einem justierbaren Spiegel (M2) reflektiert, der andere zu einem beweglichen Spiegel (M1) transmittiert. Von beiden Spiegeln werden die Strahlen zum Strahlteiler zurück reflektiert und dort zu einem Sichtschirm weiter reflektiert bzw. transmittiert. Auf diese Weise wird der Ursprungsstrahl aufgespaltet und anteile der resultierenden Teilstrahlen werden wieder zusammengeführt. Da die Strahlen aus derselben Laserquelle stammen sind ihre Phasen kohärent, durch eine Linse entsteht ein kreisförmiges Interferenzmuster.

Abb. 3.1.1 Schematischer Aufbau Abb. 3.1.2 Linse; Sichtschirm; Strahlteiler; Küvette mit Gas Da beide Strahlen ursprünglich in Phase waren, hängt ihre Phasenbeziehung in jedem Punkt nur von dem Unterschied ihrer optischen Weglänge bis zu diesem Punkt ab. Durch Verschiebung des Spiegels um ¼ der Wellenlänge verändert sich die optische Weglänge um ½ der Wellenlänge. Bei dem Interferenzmuster tauschen Maxima und Minima. Bei einer Weiteren Verschiebung des Spiegels um ¼ Wellenlänge entsteht ein vom Anfangsbild nicht zu unterscheidbares Interferenzmuster.

N

d⋅= 2λ

λ … Wellenlänge des Lasers d … Strecke der Verschiebung des Spiegels N … Übereinstimmungen des Interferenzmusters mit dem Anfangsmuster Da uns die Wellenlänge des Lasers gegeben ist, soll zu nächst der Korrekturfaktor für die Messapparatur bestimmt werden. Dies erfolgt durch Zählen der Übereinstimmungen und ablesen der Mikrometerspindel.

(3.1) d

Nk

N

dk

⋅⋅=⇒

⋅⋅=2

2 λλ

für den Roten Laser nm8,632=λ ergaben sich für 100 Wechsel folgenden Verschiebungen

i 1 2 3 4 5 Ø d in mµ 33 34 33 34 33 33,4

Tab. 3.1.1 Verschiebung des Spiegels für 100 Interferenzwechsel bei rotem Laser

947,0104,332

1008,632

2 3≈

⋅⋅⋅=

⋅⋅=⇒

nm

nm

d

Nk

λ

für den Grünen Laser nm532=λ ergaben sich für 100 Wechsel folgenden Verschiebungen

i 1 2 3 4 5 Ø d in mµ 28 29 27 28 28 28,0

Tab. 3.1.2 Verschiebung des Spiegels für 100 Interferenzwechsel bei grünem Laser

950,0100,282

100532

2 3=

⋅⋅⋅=

⋅⋅=⇒

nm

nm

d

Nk

λ

Da für beide Wellenlängen das Ergebnis ähnlich ist, kann davon ausgegangen werden das der Korrekturfaktor der Apparatur bei etwa 0,95 liegt.

Bestimmung für Gase Zur Berechnung der Brechindizes für Gase bringt man eine mit dem zu untersuchenden Gas gefüllte Küvette in den Strahlengang an die Stelle (X). Siehe Abb. 3.1 Schematischer Aufbau Der Brechungsindex n eines Gases ist linear vom Druck abhängig:

(3.2) ( ) ( ) pp

npnpn ⋅

∆∆+== 0 (für 0=p gilt 1=n )

Wenn man N Wechsel von Minima zu Maxima beobachtet, entspricht das einer Änderung der optischen Weglänge um λ⋅N . Man erhält

(3.3) sp

N

p

n

⋅⋅

∆∆−=

∆∆

2

λ

Daraus ergibt sich dann folgende Gleichung:

(3.4) ( ) psp

Npn ⋅

⋅⋅

∆∆+=

21

λ

N … Anzahl der Wechsel des Interferenzmusters λ … Wellenlänge des verwendeten Lichtes

cms 3= … Strecke, die das Licht in der Küvette zurücklegen muss

n… Brechungsindex mbarp 1013= … Normaldruck

Da die Apparatur nicht völlig dicht war gestaltete sich die Messung als etwas schwierig. Für die Bestimmung der Brechindizes von Luft nahmen wir uns diesen Umstand zur Hilfe. Wir senkten den Druck in der Küvette auf etwa 100 mbar und ließen ihn durch die undichten stellen langsam auf Normaldruck steigen. Dabei zählten wir die Wechsel des Interferenzmusters. Dies war jedoch bei den anderen Gasen nicht möglich, so wurde die Küvette mit dem Analysegas befüllt und dann leer gepumpt. Dabei musste zügig gearbeitet werden, damit sowenig Luft wie möglich in die Küvette strömt und die Messung nicht verfälscht. Für jedes Gas wurden 3 Messungen mit bis zu 18 Wechseln durchgeführt. Aus diesen Werten wurde mittels des berechnetten Geradenausgleichs der Brechindex bestimmt, welcher ebenfalls noch einmal gemittelt wurde. Es ergaben sich folgende Ergebnisse:

Gas Rot nm8,632=λ Abweichung in %

Grün nm532=λ Abweichung in %

Literaturwert

Ar 1,00022050 0,00624829 1,00026444 0,00185592 1,000283 Luft 1,00022478 0,00652034 1,00027218 0,00178149 1,000290

2N 1,00023959 0,00604434 1,00028156 0,00184347 1,000300

2CO 1,00038864 0,00613336 1,00043111 0,00188782 1,004500 Tab 3.2.1 durchschnittliche Brechindizes verschiedener Gase Zur Verdeutlichung werden die Errechnetten Brechindizes mit Hilfe der Gleichung

(3.5) ( ) sn

Nppp Start ⋅⋅−

∆⋅⋅−=∆21

λ

welche aus Gleichung (3.4) hervorgeht graphisch dargestellt: Bei beiden Wellenlängen sind die Reihenfolge und Abstände der Brechindizes deutlich zu erkennen. Argon besitz den kleinsten Wert gefolgt von Luft und Stickstoff. Diese Stoffe liegen auch sehr dicht beieinander. Auch ist der starke Brechindex von Kohlenstoffdioxid klar zu erkennen und hebt sich deutlich von den anderen ab. Des Weiteren ist an den unterschiedlichen Steigungen zu sehen, dass die Indizes bei dem

0 5 10 15 20

200

400

600

800

1000p

in m

bar

N

CO2 Anstieg: -27,50 N2 Anstieg: -44,50 Luft Anstieg: -47,53 Ar Anstieg: -48,45

Diag 3.2.1 Anzahl der N Wechsel als Funktion des p Drucks für nm8,632=λ

0 5 10 15 20

200

400

600

800

1000

p in

mba

r

N

CO2 Anstieg: -20,83 N2 Anstieg: -31,90 Luft Anstieg: -32,40 Ar Anstieg: -33,97

Diag 3.2.2 Anzahl der N Wechsel als Funktion des p Drucks für nm532=λ

Die Messung erweißt sich als äußerst präzise, trotz der undichten Apparatur und dem zunächst skeptisch betrachteten Abfüllen der Küvette eine Etage tiefer mit Daumen Raufhalten, Hochlaufen und um stöpseln. Gut zu erkennen ist das die Abweichungen für den roten Laser sich alle im Bereich von 0,006% und für den grünen im Bereich von 0,002% bewegen dies deutet auf einen wellenlängenabhängigen, systematischen Fehler hin der wahrscheinlich im Bereich der Küvettengläser zu suchen ist. Für Gase ist dies die mit Abstand beste Messmethode die im Rahmen des Praktikums durchgeführt werden konnten.

Bestimmung für durchsichtige Festkörper Untersucht wurden ein Objektträger und mehrere Plexiglasplättchen mit grünem Laser. Statt der mit Luft gefüllten Küvette werden nun die Glasplättchen mittels einer Halterung, bestehend aus einem Stab und Doppelseitigem Klebeband, an der Stelle (X) in den Strahlengang gebracht. Eine Veränderung des optischen Weges erfolgte durch Drehung des Glases zum Laserstrahl hin, wobei der Drehwinkel θ gegenüber der Ausgangsstellung gemessen wurde. Dabei wird wieder gezählt, wie oft an die Stelle eines Maximums ein anderes tritt. Zur Berechnung des Brechungsindex von durchsichtigen Feststoffen verwendet man folgende Beziehung, welche der Versuchsanleitung der Messapparatur entnommen wurde:

(3.6) λθ

λθλ⋅−−⋅

⋅⋅+−⋅−⋅=Ns

sNNsn

)cos1(2))4/(()cos1)(2( 22

λ … Wellenlänge des verwendeten Lichtes s… Dicke des Plättchens N … Anzahl der Wechsel des Interferenzmusters n… Brechungsindex θ … Drehwinkel im Bogenmaß Es standen drei verschieden dicke Plexiglasplättchen zur Verfügung für 100 Wechsel ergaben sich folgende Ergebnisse:

θ Drehwinkel in ° s Dicke in m n Brechungsindex

20,5 0,0013 1,45198918 19 0,0016 1,41888377

11,5 0,0041 1,46944696 Tab 3.3.1Brechindex für Plexiglas Des Weiteren wurde noch ein Objektträger vermessen:

θ Drehwinkel in ° s Dicke in m n Brechungsindex 9,5 0,005 1,62675016

Tab 3.3.2 Brechindex für Glas (Objektträger) Die Brechindizes für Plexiglas liegen erstaunlich dicht beim Literaturwert von 1,491. Erstaunlich deshalb, weil das genaue ablesen der Winkeländerung zu keiner Zeit des Experimentes gegeben war. Hinzu kommen noch mögliche Fehler im parallelen Anbau der Plättchen an das Interferometer. Deshalb ist auch der Brechungsindex für den Objektträger nur bedingt verwendbar.

Bestimmung des Brechungsindex mit Hilfe Newtonscher Ringe Trifft Licht senkrecht auf eine schwach gekrümmte Linse, welche auf einer planen Glasscheibe liegt (s. Abb.5.1), kommt es zu Interferenzerschienungen: Ein Teil des Lichtstrahls wird bereits an der gekrümmten Unterseite der Linse reflektiert. Der andere jedoch passiert zunächst das umgebende Medium (z.B. Luft), bevor er an der Glasplatte zurückgeworfen wird. Die beiden reflektierten Wellenzüge interferieren. Betrachtet man nun die Linse von oben durch ein Mikroskop, kann man ein Muster aus hellen und dunklen Ringen erkennen, die Newtonschen Ringe. Aus den Radien der Ringe lässt sich der Brechungsindex des umgebenden Mediums bestimmen.

Abb4.1.1 Entstehung der Newtonschen Ringe Um die Ringe deutlicher sehen zu können, schalteten wir zwischen die lichterzeugende Xenonbogenlampe und die Linse abwechselnd einen grünen und einen rötlichen Lichtfilter. An das Mikroskop wurde eine Kamera angeschlossen, sodass wir Fotografien von den Interferenzmustern anfertigen und diese anschließend am Computer auswerten konnten. Auf diese Weise untersuchten wir Luft, Wasser und Ethanol.

Herleitung Bei senkrechtem Lichteinfall beträgt der Gangunterschied zwischen den beiden interferierenden Wellenzügen

1. 2

)(2 0

λ++=∆ ddnx ,

wobei d der Abstand zwischen Linse und Platte ist. Verunreinigungen oder ein Schwimmen

der Linse werden durch 0d berücksichtigt. Der Anteil 2

λ kommt daher, dass eine Reflexion

am optisch dichteren Medium erfolgt. Die Phasenverschiebung des zweiten Lichtstrahls gegenüber dem ersten berechnet sich nach

2. λ

πδ x∆= 2 .

Damit helle Ringe entstehen, muss die Phasenverschiebung ein ganzzahliges Vielfaches von 2π betragen. Um Bereiche der Auslöschung, also dunkle Ringe, zu erzeugen, sind die Wellenzüge um eine ungerade Anzahl von π zueinander verschoben: 3. )12( += kA πδ Mit Hilfe des Höhensatzes erhält man einen Ausdruck für den Radius des k-ten Newtonrings (s. Abb.5.2):

)2(² dRdrk −= , und mit Rd << : 4. dRrk 2² ≈

R ist hierbei der Radius derjenigen Kugel, von der die Linse einen Ausschnitt darstellt. Man kann R berechnen, wenn man Radius r und Höhe h des Kugelausschnitts kennt:

22

² h

h

rR +=

Die Höhe h lässt sich mit einem Sphärometer messen.

Abb4.2.1 Der Höhensatz liefert den Ausdruck für rk

Nun setzt man Gleichung 1 in Gleichung 2 ein und mit Gleichung 3 (wir betrachteten nur die dunklen Ringe) gleich. Über Gleichung 4 wird d eliminiert und somit ein Ausdruck der Abhängigkeit ²kr (k) gewonnen:

6. 02² Rdkn

Rrk −= λ

Trägt man die gemessenen ²kr über den Ordnungen k auf, kann man mit Hilfe des Anstiegs m

der ermittelten Ausgleichsgerade n berechnen:

7. m

Rn

λ=

Zudem ermöglicht das Ablesen des Schnittpunkts mit der Ordinatenachse eine Aussage über die Größe von0d .

Abb. 4.2.1Die Versuchsapparatur für die Bestimmung des Brechindex mit Hilfe der Newtonringe

Ergebnisse Wir führten den Versuch zunächst mit Luft durch, anschließend wurden Ethanol und Wasser mit einer Pipette zwischen Linse und Platte gegeben. Bevor der Durchmesser der Newtonschen Ringe bestimmt werden konnte, musste mit Hilfe eines Objektmikrometers der Maßstab der Aufnahmen bestimmt werden. So konnten wir die am Computer ermittelten Längenangaben von Pixel in Meter umrechnen (Maßstab Pixel/Meter: 18,725:10E-4).

Objektmikrometer zum Kalibrieren für die Vermessung der Newtonringe.

Das verwendete Licht hatte eine Wellenlänge von 546 nm (grün) bzw. 578 nm (orange). Für die einzelnen Stoffe und Aufnahmen ergaben sich folgende Werte: Brechungsindex d0 (/m) 546nm 578nm 546nm 578nm Luft 1,02 1,02 1,52E-07 1,37009E-07 Ethanol 1,25 1,27 2,9397E-08 1,92E-08 Wasser 1,33 1,35 1,85153E-08 9,0756E-08 Radius (/m): 0,166

Tab 4.3.1 Brechindex für Luft, Wasser und Ethanol

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 220,0

5,0x10-7

1,0x10-6

1,5x10-6

2,0x10-6

2,5x10-6

3,0x10-6

3,5x10-6

4,0x10-6

mWasser

=7,10612E-8

mEthanol

=7,55639E-8

mLuft

=9,41879E-8

Ethanol Luft Wasser Ausgleichsgerade Ethanol Ausgleichsgerade Luft Ausgleichsgerade Wasser

r k2 in m

2

k

Wellenlänge 578nm

Diag. 4.3.1 Messwerte und Ausgleichsgeraden (Licht: orange)

0 2 4 6 8 10 12 14 160,0

2,0x10-7

4,0x10-7

6,0x10-7

8,0x10-7

1,0x10-6

1,2x10-6

mEthanol

=7,21593E-8

mLuft

=8,87603E-8

mWasser

=6,80157E-8

Ethanol Luft Wasser Ausgleichsgerade Ethanol Ausgleichsgerade Luft Ausgleichsgerade Wasser

r k2 in m

2

k

Wellenlänge 546nm

Diag.4.3.2 Messwerte und Ausgleichsgeraden (Licht: grün) Die Tabellen mit den einzelnen Messwerten befinden sich im Anhang. Die Anstiege der Ausgleichsgeraden wurden mit „OriginPro 7.5“ ermittelt.

Auswertung Unsere ermittelten Brechzahlen für Wasser und Luft weichen nur geringfügig vom Tabellenwert ab. Bei Ethanol hingegen gibt es eine relativ große Differenz: Literaturwerte der Brechzahlen Abweichung vom Messwert in Prozent 546nm 578nm Luft 1,00 1,84% 1,60% Ethanol 1,37 8,58% 7,57% Wasser 1,33 0,00% 1,50%

Eine Angabe von mehr als zwei Nachkommastellen halten wir bei diesem Versuch für wenig sinnvoll. In die Berechnung von n fließt der Radius der Linse mit ein (s. Gleichung 7), der zwar im Zentimeterbereich gut bestimmbar war. Im Millimeterbereich jedoch ist die Unsicherheit durch das Messen mit einem Sphärometer groß ( 3Ru mm≈ ± ). Daher ist die

dritte Nachkommastelle der Brechzahlen mit einer sehr starken Unsicherheit behaftet. Da die Brechzahlen sich laut Literatur für die beiden Wellenlängen erst ab der dritten Nachkommastelle unterscheiden, haben wir auf eine getrennte Aufführung verzichtet. Für das relativ starke Abweichen der Brechzahl von Ethanol gibt es verschiedene Erklärungsansätze. Zum einen verwendeten wir kein reines Ethanol, sodass eine Abweichung vom Literaturwert nach unten logisch erscheint. Allerdings erklärt das nicht, warum die von uns ermittelte Brechzahl von Ethanol noch unter der vom Wasser liegt. Der Abstand zwischen Linse und Glasplatte war bei den Versuchen mit Ethanol, verglichen mit den anderen, eher gering (s. Ergebnisse, d0). Ein Schwimmen der Linse oder Verunreinigungen im Zwischenraum fallen als Grund für die starke Abweichung also weg. Allerdings ist die Angabe von d0 sowieso mit einer starken Unsicherheit behaftet. Dies

resultiert aus der Tatsache, dass Werte von d0, die sich um Vielfache vonn2

λ unterscheiden,

das gleiche Interferenzmuster erzeugen. Eine Rolle dürfte eher gespielt haben, dass die Newtonschen Ringe im Versuch mit Ethanol verschwommen und nur schwer zu erkennen waren (siehe Abb. 4.4.2 ) So konnten wir nur die Ringe bis zur Ordnung zehn vermessen, im Versuch mit Luft gelang noch das Ausmessen des zwanzigsten Ringes. Auf Grund der geringen Anzahl der Messwerte konnten sich zufällige Ungenauigkeiten stärker auswirken. Das die Newtonschen Ringe so undeutlich auszumachen waren, liegt daran, dass Ethanol (eigentlich) eine höhere Brechzahl als Wasser und Luft besitzt, und somit dichter an der von Glas liegt.

Abb. 4.4.1 Newtonringe Medium: Luft Abb. 4.4.2 Newtonringe Medium: Ethanol

Man erkennt, dass die Newtonringe in Luft sehr gut zu erkennen sind, hingegen bei Ethanol sind die Newtonringe sehr schwach ausgeprägt.

Zusammenfassung Für Stoffe mit geringer Brechzahl liefert dieser Versuch genaue Werte. Allerdings gestaltet sich das Untersuchen von Gasen schwierig, da sichergestellt werden muss, dass der Raum zwischen Linse und Platte immer gleichmäßig damit gefüllt ist. Feststoffe zu vermessen ist nahezu unmöglich, ebenso welche mit einer annähernd gleichen oder größeren Brechzahl wie Glas. Obwohl das Prinzip des Versuchs einfach ist, ist die Umsetzung ein wenig kompliziert. Die einzelnen Teile der erschütterungsempfindlichen Versuchsapparatur müssen genau aufeinander abgestimmt sein. Außerdem sollten Verunreinigungen vermieden werden, was sich aber im praktischen Versuch nicht einhalten lässt. Die Methode der Newtonschen Ringe ist also allgemein eher umständlich oder gar ungeeignet, liefert in einigen Fällen aber präzise Werte.

Vergleich zwischen Newtonschen Ringen, Lichtgeschwindigkeit mit der Intensitätsmodulation und dem Abbe-Refraktometer. Bei diesen Methoden wurde Brechindex oder Lichtgeschwindigkeit von den gleichen Stoffen bestimmt. Daher ist es angebracht diese Methoden untereinander zu vergleichen. Da es sich bei dem Abbe-Refraktometer lediglich um ein Messgerät handelt wollen wir dieses weniger als ein Experiment ansehen. Wir können das Refraktometer hinsichtlich der Bedienung und der Ablesegenauigkeit beurteilen. Hierzu sei noch einmal erwähnt, dass mit dem Abbe-Refraktometer Flüssigkeiten und Festkörper hinsichtlich ihrer Brechzahl untersucht werden können. Für Flüssigkeiten ist die Benutzung des Gerätes sehr einfach und die Ablesung kann relativ genau erfolgen. Für Festkörper (Prismen) ist die Benutzung des Gerätes leicht erschwert, es können aber dennoch brauchbare Messwerte bestimmt werden. Mit Hilfe der Phasenmethode können Brechzahlen wie beschrieben bestimmt werden. Vorteilhaft sind die einfache Benutzung der Apparatur und das präzise Ablesen. Als Fehlerquellen gehen vorrangig die Länge des Küvettenrohres und dessen Glasfenster ein. Dennoch kann die Brechzahl erstaunlich genau bestimmt werden. Hingegen kommt bei der Bestimmung der Brechzahl durch die Newtonringe schon bei der Vermessung der Linse ein Fehler zur Geltung, der sich auf das gesamte Experiment auswirkt. Die Durchführbarkeit bei diesem Experiment ist nach relativ einfach und eignet sich vor allem bei Luft sehr gut. Bei Flüssigkeiten lassen sich die Interferenzmuster schlechter zu erkennen und dadurch ist die Vermessung schwieriger. Mit 2% Abweichung ist das Experiment relativ genau (trotzdem ungenauer als die Phasenmethode). Die Auswertung der Aufnahmen erweist sich auch bei scharfen Bildern als recht ungenau, weil das zur Auswertung genutzte Programm keine Möglichkeit zur Bestimmung des Ringmittelpunktes bietet. Hier wäre ein Gitternetz zur Abschätzung sehr hilfreich.

Brechungsindex von Prismen Den Brechungsindex von Prismen kann man ermitteln, indem man den Winkel der Minimalablenkung mit Hilfe eines Spektrometers misst. Das Spektrometer ist so aufgebaut, dass das Licht von der jeweiligen Lichtquelle, in unserem Fall eine Kadmium- oder Quecksilberlampe, mit Hilfe eines Linsensystems parallelisiert wird. In dieses wird zusätzlich ein größenverstellbarer Spalt eingebracht. Das zu untersuchende Prisma liegt auf einem drehbaren Prismentisch, an dem sich ein um den Tisch schwenkbares Fernrohr befindet, durch das die jeweiligen Winkel eingestellt und abgelesen werden können.

Abb5.1: Versuchsaufbau: links oben die jeweilige Lichtquelle, auf der Schiene das Linsensystem mit Spalt, untere rechte Ecke der Prismentisch

Zuerst muss das Spektrometer justiert werden, indem man im Fernrohr ein scharfes Spaltbild erzeugt und den Winkel der Nulleinstellung φ0 abliest. Dann kann das zu untersuchende Prisma in den Strahlengang gelegt werden, sodass das Licht in eine der brechenden Flächen einfällt. Daraufhin wird mit dem Fernrohr das zweimal gebrochene Spaltbild gesucht.

Abb.5.2: Prismentisch mit Fernrohr und Prisma 1

Abb.5.3: Linsensystem mit Spalt

Abb.5.4: Ein Ausschnitt des Spektrums Da kein monochromatisches Licht verwendet wird, entstehen aufgrund der Wellenlängenabhängigkeit der Brechzahl mehrere verschiedenfarbige, auseinander liegende Spaltbilder, so genannte Spektrallinien. Man nimmt sich eine Linie heraus, bewegt den Tisch vorsichtig, bis das Bild rückläufig wird und fixiert den Tisch beim Umkehrpunkt. Der so gemessene Winkel ist der Winkel der Minimalablenkung.

Abb.5.5: Strahlengang in einem Prisma, hier symmetrischer Durchgang

(α=α’, β=β’) Der Ablenkwinkel δ nimmt dann ein Minimum an, wenn der einfallende Strahl symmetrisch durch das Prisma geht, d.h. Einfallswinkel und Austrittswinkel gleich sind. Dies wollen wir anhand einer Modellrechnung verdeutlichen. Man erhält zunächst aus dem Brechungsgesetz von Snellius (Gleichung (3); Einleitung):

(5.1) βα

βα

′′

==sin

sin

sin

sinn

(Bezeichnungen siehe Abb.5.5) Zusätzlich werden noch folgende Winkelbeziehungen benötigt:

βεβεβγβγββ

εγ

−=−−°−°=−−°=′⇒

°=+′+°=+

)180(180180

180

180

Für ein beliebiges Prisma in unserem Fall n=1,5 und ε=30° lässt sich jetzt der Ablenkwinkel in Abhängigkeit vom Einfallswinkel darstellen:

0 10 20 30 40 50 60 70 8010

15

20

25

30

35

0 10 20 30 40 50 60 70 8010

15

20

25

30

35

Abl

enkw

inke

l in

°A

usfa

llsw

inke

l in

°

Einfallswinkel in °

Ablenkwinkel in Abhängigkeit vom Einfallswinkel Ausfallswinkel in Abhängigkeit vom Einfallswinkel

Diag. 5.1 Modellrechnungen für Ablenk- und Ausfallswinkel Wie man erkennen kann, sind genau beim Minimum (rote Linie) Ein- und Ausfallswinkel gleich (blau Linien). Eine genaue Rechnung, die das Minimum mit Hilfe der Differenzialrechnung bestimmt, findet man beispielsweise in (/3/). Wenn das Prisma symmetrisch von Licht durchsetzt wird (α=α’, β=β’), gelten folgende Beziehungen:

(5.2) 2

εδα += (5.3) 2

εβ =

Da n1 der Brechungsindex von Luft und somit rund 1 ist, ergibt sich mit dem Brechungsgesetz von Snellius (Gleichung (3)) der Brechungsindex des Prismas:

(5.4) 2

1

sinsin 2sin sin

2

nn n

n

δ εα

εβ

+ = = → =

Der brechende Winkel ε lässt sich auf zwei Arten bestimmen. Zum einen mit einem einfachen Winkelmesser, zum anderen mit dem Spektrometer. Dies geschieht, indem man die brechende Kante ungefähr auf den Lichtstrahl ausrichtet und dann die jeweiligen Winkel (ϕ1, ϕ2) der Spiegelbilder des Spaltes misst. Aus dem Betrag der Hälfte der Differenz der beiden Winkel ergibt sich der brechende Winkel. Der Ablenkwinkel δ berechnet sich wie folgt: (5.5) 0δ φ φ= − , wobei φ der auf dem Nonius abgelesene Winkel ist. φ0 ist der Winkel der

Nullposition (wird bei Justierung gemessen, siehe oben).

Brechwinkel ε in Grad Prisma 1 mit Spektrometer mit Winkelmesser

αPrisma 51,46 51,5 βPrisma 71,55 71,5 γ Prisma 57,10 -

Prisma 2 60,04 60

Prisma 3 67,68 68

Zur Berechnung verwendeten wir die mit dem Spektrometer gemessenen Winkel, da diese Methode ein genaueres Ablesen erlaubte. Jetzt bestimmten wir die Winkel der Minimalablenkung von den 3 Prismen bei unterschiedlichen Wellenlängen und berechneten den jeweiligen Brechungsindex für die einzelnen Werte. Wir führten jeden Versuch zweimal durch: Versuch 1

Cadmium Prisma 1 Prisma 2 Prisma 3

Br. Winkel 57,10° 60,04° 67,68° Farbe λ in nm δ in ° n δ in ° n δ in ° n

rot 643,847 37,53 1,6144 47,80 1,6154 40,52 1,4546

grün 508,582 38,12 1,6228 48,98 1,6275 41,12 1,4601 hellblau 479,992 38,62 1,6299 49,57 1,6333 41,27 1,4615

blau 467,816 38,77 1,6320 49,72 1,6349 41,33 1,4621 violett 466,235 39,12 1,6370 50,23 1,6400 41,63 1,4648

Quecksilber

Prisma 1 Prisma 2 Prisma 3 Br. Winkel 57,10° 60,04° 67,68°

Farbe λ in nm δ in ° n δ in ° n δ in ° n

orange 579,066 37,62 1,6156 47,72 1,6145 40,30 1,4526 hellgrün 576,96 37,75 1,6175 48,05 1,6180 40,37 1,4533

dunkelgrün 546,074 39,25 1,6389 48,83 1,6259 40,62 1,4556 blau 435,834 39,03 1,6358 49,83 1,6360 41,00 1,4591

violett 404,656 39,62 1,6440 50,68 1,6445 41,20 1,4609 Versuch 2

Cadmium Prisma 1 Prisma 2 Prisma 3

Br. Winkel 71,55° 60,04° 67,68° Farbe λ in nm δ in ° n δ in ° n δ in ° n

rot 643,847 69,58 1,6131 47,72 1,6145 40,55 1,4549

grün 508,582 72,23 1,6258 48,97 1,6273 41,27 1,4615 hellblau 479,992 73,08 1,6297 49,33 1,6310 41,30 1,4618

blau 467,816 73,52 1,6317 49,57 1,6333 41,38 1,4626 violett 466,235 74,77 1,6372 50,20 1,6397 41,55 1,4641

Quecksilber

Prisma 1 Prisma 2 Prisma 3 Br. Winkel 71,55° 60,04° 67,68°

Farbe λ in nm δ in ° n δ in ° n δ in ° n

gelb 579,066 70,43 1,6173 48,53 1,6229 40,90 1,4582 gelb 576,96 70,47 1,6174 48,55 1,6231 40,92 1,4583 grün 546,074 71,13 1,6207 48,78 1,6254 41,15 1,4604

blaugrün 491,604 72,57 1,6274 49,43 1,6320 41,35 1,4623 blau 435,834 74,95 1,6380 50,63 1,6440 41,95 1,4677

violett 407,783 77,03 1,6467 51,28 1,6504 42,05 1,4686 violett 404,656 77,28 1,6477 51,35 1,6511 42,13 1,4693

Im ersten Versuch verwendeten wir beim Prisma 1 den mittelgroßen Winkel (ε=57,1°) als brechenden Winkel. Das beste Bild der Spektrallinien erhält man jedoch, wenn man als brechenden Winkel den größten im Prisma wählt. Dadurch war es uns in Versuch 2 möglich, mehr Spektrallinien voneinander zu unterscheiden. Hierbei haben wir den Winkel β Prisma als brechenden Winkel genutzt. Die Erkenntnis, dass bei verhältnismäßig kleinen Winkeln die Spektrallinien sehr dicht beieinander liegen, half uns auch bei den anderen Prismen weiter. Nur beim sehr genauen Hinschauen konnte man auch hier die angesprochenen Spektrallinien erkennen. Für die weitere Auswertung beschränkten wir uns auf die Werte des zweiten Versuchs. Diese Werte mit den Literaturwerten (/2/) bei einer Wellenlänge von 589,3 nm zu vergleichen, erwies sich als schwieriger, als vermutet. Aufgrund der nahe beieinander liegenden Werte der ersten beiden Prismen ist es möglich, dass beide aus Flintglas (F3) mit n=1,61279 bestehen. Jedoch gibt es insbesondere bei den Glassorten viele unterschiedliche Varianten, die einen Bereich von 1,43-1,61 (Kronglas) und 1,61-1,95 (Flintglas) abdecken. So könnte das erste Prisma auch aus Kronglas (SK1) mit n=1,61016 bestehen, da dessen Brechzahl tendenziell niedriger war, als die des zweiten.

Genauer lässt sich dies beim dritten Prisma bestimmen, das mit hoher Wahrscheinlichkeit aus Quarzglas besteht. Vergleicht man unseren Wert für 579,066 nm (n=1,4582) mit dem Literaturwert (n=1,45886), so erhält man eine prozentuale Abweichung von 0,05%.

Fehlerbetrachtung Mit den vorhandenen Messgeräten war es möglich, auf die Minute genau den Winkel abzulesen. Jedoch gestaltete sich die genaue Einstellung des Spektrometers etwas schwierig. So war es zum Beispiel schwer einzuschätzen, wo genau der Umkehrpunkt war. Teilweise waren die einzelnen Spektrallinien nur schwach zu erkennen. Wir schätzen die Unsicherheit bei jedem gemessenen Winkel auf 3’.

Daraus folgt: 0

32

60 180u u uδ ϕ ϕ

π° = + = ⋅ ⋅ °

( )1

1 3

2 60 180u u uε ϕ ϕ

π° = + = ⋅ °

Mit dem Fehlerfortpflanzungsgesetz ergibt sich für den Fehler des Brechungsindex:

2

cos sin2 2

2 sin 2 sin2 2

nu u uδ ε

δ ε δ

ε ε

+

= ⋅ + − ⋅⋅ ⋅

Exemplarisch für das dritte Prisma mit ε = 67,675° und δ = 40,9°: un = 0,0014 n = 1,4582 ± 0,0014

Dispersionskurven Durch die Farbe der Spektrallinien erhält man gleichzeitig auch deren charakteristische Wellenlänge, da die Lichtquelle bekannt ist. Diese können der Literatur (/4/) entnommen werden. Damit kann die Abhängigkeit des Brechungsindex von der Wellenlänge grafisch dargestellt werden. Man erhält die so genannte Dispersionskurve:

Prisma 1:

Diag. 5.2:Dispersionskurve

Prisma 2:

Diag. 5.3: Dispersionskurve

400 450 500 550 600 6501,610

1,615

1,620

1,625

1,630

1,635

1,640

1,645

1,650

400 450 500 550 600 6501,610

1,615

1,620

1,625

1,630

1,635

1,640

1,645

1,650

400 450 500 550 600 6501,610

1,615

1,620

1,625

1,630

1,635

1,640

1,645

1,650 Dispersionskurve

Wellenlänge in nm

Hg Licht

Bre

chun

gsin

dex

Cd Licht

400 450 500 550 600 6501,610

1,615

1,620

1,625

1,630

1,635

1,640

1,645

1,650

400 450 500 550 600 6501,610

1,615

1,620

1,625

1,630

1,635

1,640

1,645

1,650

400 450 500 550 600 6501,610

1,615

1,620

1,625

1,630

1,635

1,640

1,645

1,650 Dispersionskurve

Wellenlänge in nm

Hg Licht

Bre

chun

gsin

dex

Cd Licht

Prisma 3: Diag. 5.4: Dispersionskurve

Wie aus allen Diagrammen gut zu erkennen ist, nimmt die Brechzahl mit zunehmender Wellenlänge exponentiell ab.

Abbe-Refraktometer Refraktometer sind Geräte mit denen man den Brechungsindex bestimmen kann, indem der Grenzwinkel der Totalreflektion gemessen wird. Die Brechzahl kann direkt abgelesen werden.

Abb.5.6:. Vermessung von Festkörpern Abb.5.7: Vermessung von Flüssigkeiten Das Abbe-Refraktometer besteht aus zwei Messprismen, in deren Zwischenraum die Messprobe gebracht werden kann. Um den Brechungsindex von Prismen zu bestimmen, kann man das Abbe-Refraktometer aufklappen und das zu untersuchende Prisma auf eines der Messprismen legen. Wichtig dabei ist, dass zwischen den beiden Festkörpern eine Flüssigkeit mit höherem Brechungsindex gebracht wird. In unserem Fall war dies Bromnaphthalin mit einem Brechungsindex von 1,6587. Jetzt sucht man im Fernrohr die Hell-Dunkel-Grenzschicht. Dabei ist zu beachten, dass bei nicht monochromatischem Licht anstelle einer scharfen Grenzschicht ein farbiger Saum erscheint. Dieser Effekt kann mit Hilfe der Amici-Prismen ausgeglichen werden, die sich im Fernrohr des Abbe-Refraktometers befinden und

400 450 500 550 600 650

1,4550

1,4575

1,4600

1,4625

1,4650

1,4675

1,4700

Dispersionskurve

Bre

chun

gsin

dex

Wellenlänge in nm

Cd Licht

Hg Licht

gegeneinander verdreht werden können. Die Grenzschicht wird mit dem Fadenkreuz in Übereinstimmung gebracht. Dann kann man auf der Skale die Brechzahl ablesen. Wir erhielten folgende Werte:

Abbe-Refraktometer Prisma 1 1,619Prisma 2 1,623Prisma 3 1,462

Laut Hersteller beläuft sich die Messunsicherheit auf 1...2*10-4. Die Ergebnisse lassen sich jetzt mit den Werten des Spektrometers und den in der Literatur angegebenen vergleichen:

Abbe-

Refraktometer Literaturwert Abweichung Spektrometer bei

λ=579,066nm Abweichung

Prisma 1 1,619 1,61016 0,55% 1,6173 0,44% Prisma 2 1,623 1,61279 0,63% 1,6229 0,63% Prisma 3 1,462 1,45886 0,21% 1,4582 0,05%

Auswertung Allgemein lässt sich sagen, dass beide Versuche sowohl mit dem Spektrometer als auch mit dem Abbe-Refraktometer gut geeignet sind, um die Brechzahl von Prismen zu bestimmen. Das Abbe Refraktometer ist im Aufbau und der Versuchsdurchführung einfacher. Jedoch wird eine Flüssigkeit, die eine höhere Brechzahl hat als das zu untersuchende Prisma, benötigt, was nicht immer einfach zu bewerkstelligen ist. Insbesondere wenn noch nicht klar ist, um was für einen Stoff es sich handeln könnte. Das Spektrometer ist zwar etwas komplizierter beim Aufbau und der Durchführung. Es erlaubt jedoch eine sehr genaue Messung und führt damit auch zu präzisen Ergebnissen. Zusätzlich erhält man die Brechzahl in Abhängigkeit der Wellenlänge, womit man zusätzlich Aussagen über die Wellenlängenabhängigkeit der Brechzahl machen kann.

Schlusswort Nachdem wir nun einzeln jedes Experiment ausgewertet und untereinander verglichen haben, wollen wir abschließend noch eine Gesamtwertung vornehmen. Bei geschickter Justierung aller Versuchsanordnungen sind alle Experimente zur Bestimmung von Brechzahlen gut geeignet. Für Gase ist das Michelson-Interferometer sehr präzise, wo hingegen die Bestimmung der Brechzahl für Flüssigkeiten das Abbe-Refraktometer sehr zufrieden stellende Werte liefert. Es sei noch einmal ausdrücklich darauf hingewiesen, dass die Bestimmung der Brechzahlen mit Hilfe der Newtonringe bei Flüssigkeiten deren Brechindex kleiner als der der Linse ist, gut funktioniert. Aber wenn die Brechzahl der Linse kleiner oder gleich ist als die der Flüssigkeit, dann ist der Versuch absolut unbrauchbar. Für Feststoffe ist der Prismenversuch auch sehr gut geeignet. Die Praktikumswoche hat allen Beteiligten Spaß bereitet, da wir unsere Experimente ohne Zeitdruck durchführen konnten. Wir danken für die freundliche Betreuung durch Herrn Dr. Schmidt.

Quellen /1/ Physikalisches Praktikum – Dieter Geschke – 11. Auflage 1998 – B.G.Teubner Stuttgart /2/ Taschenbuch der Physik – Horst Kuchling – 18. Auflage 2004 – Fachbuchverlag Leipzig /3/ Praktikum der Physik – W. Walcher – 7. Auflage 1994 - B.G.Teubner Stuttgart /4/ Taschenbuch für Chemiker und Physiker Band 1 Physikalisch Chemische Daten – D’Ans Lax – 4. Auflage – Springer Verlag /5/ Paetec-Tafelwerk /6/ Instruction Manual and Experiment Guide for the Pasco scientific Moduls OS 9255 A – OS 9258 A Exp. 3: The index of Refraction of Glass p.16 /7/ Gerthsen Physik /8/ Material welches durch die Uni-Potsdam über die Aufgabenstellung zur Verfügung gestellt wurde. (Diente meist bei der Einführung als Quelle.)