OPTIMIZACIJA REAKTIVNE SNAGE –

DISPEČING REAKTIVNIH SNAGA

1

SAŽETAK

Raspodjela reaktivne snage u elektroenergetskom sistemu (EES) predstavlja ključ za

optimizaciju naponskih prilika u mreži sa ciljem smanjenja gubitaka aktivne snage u prijenosu

izmjenične električne energije, pri čemu je nužno poštivati brojna ograničenja u sistemu. Za

ostvarenje postavljenih ciljeva mogude je koristiti razne matematičke optimizacijske

postupke. U ovom radu je dan pregled i kratki opis najvažnijih ostvarenja u rješavanju

navedene problematike. Navedene su temeljne prednosti i nedostatci razvijenih metoda.

Napravljena je detaljnija analiza i opisani osnovni algoritmi metoda koje su po svojim

karakteristika posebno istaknute.

2

SADRŽAJ SAŽETAK ....................................................................................................................................... 1

UVOD ........................................................................................................................................... 3

MATEMATIČKA FORMULACIJA PROBLEMA OPTIMIZACIJE REAKTIVNE SNAGE ................................... 3

METODE OPTIMIZACIJE ................................................................................................................. 5

Klasične (egzaktne) optimizacijske metode ................................................................................. 6

Optimizacijske metode bez ograničenja................................................................................... 6

Linearno programiranje (LP) ................................................................................................... 6

Nelinearno programiranje (NLP) ............................................................................................. 6

Kvadratno programiranje ....................................................................................................... 6

Newtonova metoda ............................................................................................................... 6

Metoda unutarnje točke (IP, eng. Interior-point) ..................................................................... 6

Mješovito cjelobrojno programiranje (MIP, eng. Mixed Integer Programming) .......................... 7

Network flow programiranje (NFP) ......................................................................................... 7

Metode inteligentnog pretraživanja ........................................................................................... 7

Neuronske mreže (NN) ........................................................................................................... 7

Evolucijski algoritmi (EA) ........................................................................................................ 7

Tabu pretraživanje (TS, eng. Tabu Search) ............................................................................... 7

Optimizacija rojem čestica (PSO, eng. Particle Swarm Optimization) ......................................... 7

Algoritmi koji uzimaju u obzir nesigurnosti u funkcijama cilja i ograničenja ................................... 8

BALANS REAKTIVNIH SNAGA U SISTEMU ........................................................................................ 8

EKONOMSKI DISPEČING REAKTIVNE SNAGE .................................................................................... 9

METOD LINEARNOG PROGRAMIRANJA ZA OPTIMIZACIJU REAKTIVNE SNAGE ................................. 13

OPTIMIZACIJA ROJEM ČESTICA..................................................................................................... 16

ZAKLJUČAK ................................................................................................................................. 18

LITERATURA................................................................................................................................ 19

3

UVOD

Reaktivna snaga predstavlja neizbježan element u prijenosu izmjenične električne energije

koji izravno utječe na pouzdanost i kvalitetu opskrbe električnom energijom, ali isto tako i na

sigurnost i ekonomičnost pogona sistema. Djelovanjem na njenu raspodjelu izravno se

djeluje i na naponska stanja u čvorištima sistema, a samim time i na cjelokupne gubitke

aktivne snage u EES-u. Upravo zbog navedene međuovisnosti upravljanje reaktivnom

snagom se koristi kako bi se gubitci aktivne snage smanjili na što je mogude nižu razinu.

Minimizacija gubitaka se može razmatrati kao funkcija više varijabli, u koje se ubrajaju

naponi generatorskih čvorišta, prijenosni omjeri transformatora, te ugradnja, pravilan

razmještaj i podešenje uređaja za kompenzaciju reaktivne snage. Matematički model koji

povezuje navedene varijable i funkciju cilja ima nelinearni karakter, uključuje veliki broj

ograničenja iskazanih u obliku izraza jednakosti ali i nejednakosti, te varijable koje mogu

imati kontinuirani ili diskretni karakter. Dakle, jasno je da optimizacija takvog problema

predstavlja složeni zadatak, te je u tu svrhu primijenjen veliki broj matematičkih

optimizacijskih metoda. Pristup rješavanju, složenost algoritma, brzina izvođenja i kvaliteta

dobivenih rješenja među njima se često znatno razlikuje. Vedina konvencionalnih metoda je

bazirana na linearnom ili nelinearnom programiranju. U novije vrijeme sve je vedi broj

razvijenih metoda baziranih na umjetnoj inteligenciji, kao što su metode koje koriste

primjenu neuronskih mreža, genetski algoritmi, evolucijsko programiranje itd. Uobičajeni

nedostatci koji se javljaju pri primjeni postupaka optimizacije su poteškode pri iznalaženju

globalnog minimuma, slaba konvergencija i dugačko vrijeme izvođenja.

MATEMATIČKA FORMULACIJA PROBLEMA OPTIMIZACIJE REAKTIVNE

SNAGE

Opisani optimizacijski problem može se najopdenitije iskazati matematičkim modelom kojeg

sačinjavaju funkcija cilja i pridružene funkcije ograničenja :

(1)

Tako da je:

(2)

(3)

Pri tome je 𝑢 vektor kontrolnih varijabli, 𝑥 vektor varijabli stanja, skalar 𝑓(𝑥) predstavlja funkciju cilja, dok su ograničenja definirana sistemom jednačina (𝑔(𝑥, 𝑢)) i nejednačina

(𝑕(𝑥,𝑢)). Sasvim opdenito, raspodjela reaktivne snage može imati različite funkcije cilja kao što su smanjenje troškova goriva, poboljšanje kvalitete i pouzdanosti opskrbe djelovanjem

na naponsko stanje u mreži, poboljšanje sigurnosti pomodu dodatne opreme u sistemu itd. Međutim, funkciju cilja pri optimizaciji reaktivne snage primarno predstavljaju minimalni

𝑀𝑖𝑛 𝑓(𝑥 ,𝑢)

𝑔 𝑥, 𝑢 = 0

𝑕(𝑥,𝑢) ≤ 0

4

gubitci aktivne snagu u prijenosu. Minimizacija gubitaka se može postidi podešavanjem napona u generatorskim čvorištima, prijenosnih odnosa transformatora te injekcija

kompenzacijskih uređaja reaktivne snage, te stoga navedene veličine predstavljaju kontrolne varijable. Kontrolne varijable je mogude mijenjati samo unutar unaprijed postavljenih

granica. Osim toga, nužno je da i varijable stanja ostanu unutar dozvoljenih vrijednosti. Matematički prikaz funkcije cilja i pripadajudih ograničenja je naveden u narednom dijelu.

A. Funkcija cilja Glavna funkcija cilja se može zapisati kao:

(4) Gdje su 𝑃𝑔𝑢𝑏 gubitci aktivne snage u sistemu

B. Ograničenja

1. Ograničenja aktivne snage

(5)

𝑖𝜖𝑛: čvorišta u mreži izuzev čvorišta regulacijske elektrane

𝑃𝐺𝑖 : aktivna snaga proizvedena u čvorištu 𝑖 𝑃𝑡𝑖 : opteredenje aktivnom snagom u čvorištu 𝑖

𝜃𝑖𝑗 : ugao međusobne admitanse 𝑌 𝑖𝑗 čvorišta 𝑖 i 𝑗

𝐺𝑖𝑗 : međusobna konguktansa čvorišta 𝑖 i 𝑗

𝐵𝑖𝑗 : međusobna susceptansa čvorišta 𝑖 i 𝑗

𝐺𝑖𝑖 : vlastita konguktansa čvorišta 𝑖 𝐵𝑖𝑗 : vlastita susceptansa čvorišta 𝑖

2. Ograničenja reaktivne snage

(6) 𝑖𝜖𝑛: čvorišta u mreži izuzev čvorišta regulacijske elektrane

𝑄𝐺𝑖 : reaktivna snaga proizvedena u čvorištu 𝑖 𝑄

𝑡𝑖: opteredenje reaktivnom snagom u čvorištu 𝑖

3. Ograničenja napona u čvorištima

(7)

𝑖𝜖𝑁: sva čvorišta u mreži 𝑉𝑖𝑚𝑖𝑛 , 𝑉𝑖𝑚𝑎𝑥 : ograničenja napona

𝑉𝑖: napon u čvorištu 𝑖

𝐹 = 𝑀𝑖𝑛 𝑃𝑔𝑢𝑏

𝑃𝐺𝑖 −𝑃𝑡𝑖 −𝑉𝑖 𝑉𝑗 ∙ 𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗 + 𝐵𝑖𝑗 𝑠𝑖𝑛 𝜃𝑖𝑗

𝑛

𝑗=1

𝑄𝐺𝑖 −𝑄𝑡𝑖 −𝑉𝑖 𝑉𝑗 ∙ 𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗 + 𝐵𝑖𝑗 𝑠𝑖𝑛 𝜃𝑖𝑗

𝑛

𝑗=1

𝑉𝑖𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑉𝑖 ≤ 𝑉𝑖𝑚𝑎𝑥

5

4. Ograničenja proizvodnje reaktivne snage generatora (8)

𝑄𝐺𝑖𝑚𝑖𝑛 , 𝑄𝐺𝑖𝑚𝑎𝑥 :granice proizvodnje reaktivne snage generatora u čvorištu 𝑖

𝑁𝑝𝑣 : broj PV čvorišta

𝑁0: čvorište regulacijske elektrane

5. Ograničenja kompenzatora reaktivne snage (9)

𝑄𝐾𝑖: injektirana reaktivna snaga u čvor 𝑖

𝑄𝐾𝑖𝑚𝑖𝑛 , 𝑄𝐾𝑖𝑚𝑎𝑥 :ograničenja kompenzatora reaktivne snage u čvorištu 𝑖

𝑁𝐾 : broj kompenzatora reaktivne snage u mreži

6. Ograničenja položaja preklopke regulacijskog transformatora (10)

𝑇𝑖 : položaj regulacijske preklopke transformatora 𝑖

𝑇𝑖𝑚𝑖𝑛 , 𝑇𝑖𝑚𝑎𝑥 : ograničenja položaja preklopke 𝑁𝑇: broj regulacijskih transformatora

Funkcija cilja koja obuhvada samo smanjenje gubitaka aktivne snage može uvjetovati rješenje koje ne predviđa dostatan iznos rezerve reaktivne snage u slučaju ispada jednog ili više elemenata sistema, čime se može dovesti u pitanje sigurnost cjelokupnog EES-a. Zbog toga je u novije vrijeme stavljen naglasak na razvijanje optimizacijskih metoda koje imaju za cilj, pored smanjenja gubitaka, i optimiranje napona prema željenim vrijednostima, te smanjenje opasnosti od gubitka naponske stabilnosti.

METODE OPTIMIZACIJE Optimizacija EES-a predstavlja veoma opdenit pojam koji obuhvada veliki broj optimizacijskih problema, kao što su primjerice smanjenje troškova proizvodnje, minimizacija gubitaka u prijenosu, optimalan raspored proizvodnje po proizvodnim jedinicama, proračun optimalnih tokova snage, optimalna konfiguracija distribucijske mreže itd. Svima njima je cilj pravilan

rad sistema uz što vedu sigurnost i ekonomičnost pogona. Kako bi se to i ostvarilo primjenjuje se veliki broj razvijenih optimizacijskih metoda. One se načelno mogu razvrstati u

tri osnovne skupine: Klasične (egzaktne) optimizacijske metode

Metode inteligentnog pretraživanja Aproksimativni algoritmi koji uzimaju u obzir nesigurnosti u funkcijama cilja i

ograničenja

U narednom dijelu rada su, unutar navedenih skupina, izdvojene i ukratko opisane metode koje su posebno bitne sa stajališta optimizacije EES-a. Navedene su njihove najvažnije

karakteristike i područja primjene. Usmjeravanjem na rješavanje problema optimizacije

𝑄𝐺𝑖𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑄𝐺𝑖 ≤ 𝑄𝐺𝑖𝑚𝑎𝑥 𝑛𝜖 𝑁𝑝𝑣 , 𝑁0

𝑄𝐾𝑖𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑄𝐾𝑖 ≤ 𝑄𝐾𝑖𝑚𝑎𝑥 𝑖𝜖𝑁𝐾

𝑇𝑖𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑇𝑖 ≤ 𝑇𝑖𝑚𝑎𝑥 𝑖𝜖𝑁𝑇

6

raspodjele reaktivne snage u EES-u, prema (subjektivnom) kriteriju učestalosti pojavljivanja u relevantnoj literaturi, posebno su izdvojene i detaljnije opisane neke od tih metoda.

Klasične (egzaktne) optimizacijske metode Egzaktne metode se uobičajeno koriste za male instance problema. Daju izvrsne rezultate pri iznalaženju globalnih optimuma kod jednostavnijih, nelinearnih problema. Puno slabije

rezultate daju pri rješavanju složenih nelinearnih problema koji imaju kompleksnu strukturu diskretnih i kontinuiranih kontrolnih varijabli.

Optimizacijske metode bez ograničenja

One predstavljaju osnovu optimizacijskih metoda s postavljenim ograničenjima, s obzirom da

se svaki optimizacijski problem s ograničenjima može svesti na problem bez ograničenja. Među najčede korištenim metodama iz ove kategorije koje se koriste pri optimizaciji EES-a su gradijentna metoda, line search metoda, metoda Lagrangeovih multiplikatora, Newton-Raphson optimizacija, trust-region metoda, kvazi-Newtonova metoda itd.

Linearno programiranje (LP)

Kako bi se mogla koristiti neka od LP metoda potrebno je provesti linearizaciju optimizacijskog problema ukoliko je on nelinearan. Najvažnije prednosti metoda LP

programiranja su pouzdanost, osobito što se tiče konvergencije, brzo uočavanje neizvedivosti optimizacije, te mogudnost uspješne implementacije velikog broja ograničenja.

Njen nedostatak je manja točnost rješenja u odnosu na neke nelinearne metode

optimizacije. Međutim, točnost koju LP metode osiguravaju se smatra sasvim dostatnom za rješavanje brojnih problema optimizacije EES-a, kao što su primjerice ekonomski dispečing,

optimalni tokovi snage, optimizacija reaktivne snage itd..

Nelinearno programiranje (NLP)

Metode nelinearnog programiranja su prikladne za optimizaciju EES-a ukoliko se uzme u

obzir da su takvi problemi uglavnom nelinearni. S obzirom da je smjer pretraživanja prostora rješenja kod ovih metoda određen prvom parcijalnom derivacijom jednadžbe funkcije cilja

one se uobičajeno nazivaju i metodama prvog reda. Prednosti NLP nad LP metodama su veda točnost, kao i sigurnost da de konvergencija biti osigurana neovisno o početnoj točki, ali je

sporost u konvergiranju ujedno i njihov glavni nedostatak.

Kvadratno programiranje

Predstavlja specijalan oblik nelinearnog prog ramiranja kod kojeg je funkcija cilja kvadratna

jednadžba, dok su funkcije ograničenja u linearnom obliku. Uobičajeno se koristi za optimizaciju troškova pogona generatora.

Newtonova metoda

Newtonova metoda zahtijeva provođenje drugih parcijalnih derivacija nad izrazima tokova

snaga i ostalim ograničenjima (Hesseova matrica), te se stoga naziva metodom drugog reda. Nužni uvjet optimizacije je ispunjenje Kuhn-Tuckerovih uvjeta. Najveda prednost ove metode

je kvadratna konvergencija.

Metoda unutarnje točke (IP, eng. Interior-point)

IP metoda je razvijena s ciljem rješavanja linearnog programiranja. Pri tome metoda

pokazuje neke bitne prednosti pred konvencionalnom simpleks metodom linearnog programiranja, kao što je primjerice brzina računanja. Koristi se računanje optimalnih tokova

snaga i optimalne raspodjele reaktivne snage.

7

Mješovito cjelobrojno programiranje (MIP, eng. Mixed Integer Programming)

Metode MIP se temelje na činjenici da su varijable koje se koriste pri optimizaciji EES-a, kao

što su npr. prijenosni omjeri transformatora, kut transformatora s poprečnom regulacijom, status uključenja/isključenja elemenata sistema i slično, zapravo cjelobrojne vrijednosti.

Nedostatak navedene metode je veliko vrijeme izvođenja što naročito ovisi o broju diskretnih varijabli. Taj problem se uobičajeno rješava korištenjem dekompozicijskih metoda, kao što je npr. Bendersova dekompozicija. MIP metode se uobičajeno koriste za određivanje voznog reda, optimalne tokove snaga i optimalnu rekonfiguraciju distribucijske mreže.

Network flow programiranje (NFP)

Predstavlja specijalan oblik LP metode. Karakterizira ga jednostavnost i brzina. NFP metoda

se koristi za rješavanje jednostavnih problema kao što su optimalna rekonfiguracija distribucijske mreže, ekonomski dispečing, ekonomski dispečing između više sistema i sl.

Metode inteligentnog pretraživanja

U ovu kategoriju se prvenstveno ubrajaju metaheurističke metode koje se, za razliku od egzaktnih metoda, mogu nositi sa velikim instancama problema pri čemu osigurava ju zadovoljavajuda rješenja u razumnom vremenu. Glavni nedostatk im je što ne mogu garantirati pronalazak globalnog optimuma. Obuhvadaju jako veliku grupu optimizacijskih metoda u koju se, osim dolje navedenih, ubrajaju primjerice i Optimizacija mravljom

kolonijom, Optimizacija kolonijom pčela, Umjetni imunološki sistemi, Pohlepni algoritmi, Lokalno pretraživanje, Algoritam simuliranog kaljenja, Pretraživanje promjenjivom okolinom,

Stohastičko difuzno pretraživanje, itd..

Neuronske mreže (NN)

Iako su prvotno zamišljene za rješavanje linearnih problema, neuronske mreže se danas

podjednako koriste i za rješavanje nelinearnih problema. Po pristupu rješavanju problema se u potpunosti razlikuju od tradicionalnih metoda, u odnosu na koje su u brojnima svojstvima

superiorne. Najčešde se koriste u rješavanju problema ekonomskog dispečinga. Mogu se primjenjivati i u optimizaciji reaktivne snage.

Evolucijski algoritmi (EA)

EA metode su bazirane na prirodnim procesima kao što su prirodna selekcija, mutacija, rekombinacija, križanje itd.. Imaju karakteristiku da funkcije cilja i ograničenja ugra đuju u jedinstvenu, tzv. funkciju prikladnosti (fitness function), pri čemu ne rade razliku između njih. Nedostatak im je da pri tome ne mogu uključivat prevelik broj funkcija ograničenja u proračun. Prednost im je da konvergiraju k globalnom optimumu. Koriste se za probleme ekonomskog dispečinga, optimizaciju reaktivne snage i rekonfiguraciju distribucijske mreže.

Tabu pretraživanje (TS, eng. Tabu Search)

Koristi se uglavnom za kombinatorne optimizacijske probleme pri čemu se koristi iterativnim pretraživanjem. Bitna karakteristika im je mogudnost izbjegavanja lokalnih minimuma. Koristi se najčešde za određivanje voznog reda i optimizaciju reaktivne snage.

Optimizacija rojem čestica (PSO, eng. Particle Swarm Optimization)

PSO je algoritam koji je inspiriran ponašanjem i dinamikom socijalno organiziranih kolonija.

On koristi populaciju jedinki kako bi ispitao u kojem području skupa rješenja bi se moglo

8

nalaziti ono optimalno. PSO metodase danas uspješno primjenjuje u brojnim područjima optimizacije EES-a, uključujudi i problem optimizacije raspodjele reaktivne snage.

Algoritmi koji uzimaju u obzir nesigurnosti u funkcijama cilja i ograničenja

Nesigurnosti ulaznih podataka mogu uvjetovati netočnost izračunatog optimalnog rješenja. Zbog toga je često potrebno uzeti u obzir i teoriju vjerojatnosti, teoriju neizrazitih skupova

(fuzzy set) i analitičke hijerarhijske procese. Skup metoda koje se ubrajaju u ovu grupu uzimaju dakle u obzir pri ostvarivanju optimalnog rješenja, i nesigurnosti koje se mogu javiti kod parametara funkcija cilja, ali i kod funkcija ograničenja.

BALANS REAKTIVNIH SNAGA U SISTEMU

Vrijednost napona u elektroenergetskom sistemu određen je balansom reaktivnih snaga u sistemu.

(11)

Gdje su: 𝑄𝐺𝑖 – reaktivna snaga generatora i 𝑄𝐶𝑗 – reaktivna snaga koju plasira kompenzacioni uređaj

𝑄𝑑𝑘 – reaktivna snaga na sabirnici k 𝑄𝐿 – gubitak reaktivne snage, koji ukljucuje gubitke na dalekovodu i transformatoru.

Gubitak reaktivne snage na transformatoru može se odrediti sljededom formulom:

(12)

Gdje su:

𝑄𝐿𝑇 – gubitak reaktivne snage 𝐼0 – struja praznog hoda

𝑉𝑠 – napon kratkog spoja 𝑆𝑛 – nazivna snaga

𝑉𝑛 – nazivni napon 𝑉 – radni napon.

Gubitak reaktivne snage na dalekovodu između sabirnice i i j može se izračunati kao:

(13) Gdje su:

𝑄𝐿𝑖 - gubitak reaktivne snage na dalekovodu 𝑃𝑖 – aktivna snaga na sabirnici i

𝑄𝑖 – reaktivna snaga na sabirnici i 𝑉𝑖 – napon sabirince i 𝑉𝑗 – napon sabirince j

𝑄𝐺𝑖

𝑁𝐺

𝑖=1

+ 𝑄𝐶𝑗

𝑁𝐶

𝑗 =1

= 𝑄𝑑𝑘

𝑁𝐷

𝑘=1

+ 𝑄𝐿

𝑄𝐿𝑇 =𝐼0(%)

100𝑆𝑛 +

𝑉𝑠(%)

100𝑆𝑛

𝑉𝑛

𝑉

2

𝑄𝐿𝑖 =𝑃𝑖

2 + 𝑄𝑖2

𝑉𝑖2 𝑋 −

𝑉𝑖2 + 𝑉𝑗

2

2𝐵

9

𝑋 – reaktansa voda 𝐵 – ekvivalentna susceptansa voda (dozemni kapacitet)

EKONOMSKI DISPEČING REAKTIVNE SNAGE Svrha ekonomskog dispečinga reaktivnih snaga je minimalizacija gubitaka aktivne snage na

prenosnim vodovima, te iskoristenje maksimalne prenosne modi voda.

Gubici aktivne snage u sistemu mogu se predstaviti izrazom: (14)

Kod dispečinga reaktinih snaga aktivna snaga u sistemu je poznata, dok je balans reaktivne

snage dat izrazom:

(15) U jednačini (5) 𝑄𝐺 predstavlja sve izvore rekativne snaga uključujudi generatore i kompenzatore. Lagrangeova funkcija za gornje jednačine je:

(16) Ekstreme dobijemo:

(17)

(18)

Sređivanjem relacije (7) dobivamo:

(19) Gdje su: 𝜕𝑃𝐿

𝜕𝑄𝐺𝑖 –inkrementalni troškovi aktivne snage

𝜕𝑄𝐿

𝜕𝑄𝐺𝑖 - inkrementalni troškovi reaktivne snage

𝑃𝐿 = 𝑃𝐿 𝑃1,𝑃2,… , 𝑃𝑛 ,𝑄1,𝑄2,… ,𝑄𝑛

𝑄𝐺𝑖 = 𝑄𝐷 + 𝑄𝐿

𝑀

𝑖=1

ℒ = 𝑃𝐿 −𝜆 𝑄𝐺𝑖

𝑀

𝑖=1

− 𝑄𝐷 −𝑄𝐿

𝜕ℒ

𝜕𝑄𝐺𝑖=

𝜕𝑃𝐿

𝜕𝑄𝐺𝑖− 𝜆 1 −

𝜕𝑄𝐿

𝜕𝑄𝐺𝑖

= 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑀

𝜕ℒ

𝜕𝜆= − 𝑄𝐺𝑖

𝑀

𝑖=1

−𝑄𝐷 −𝑄𝐿 = 0

𝜆 =𝜕𝑃𝐿

𝜕𝑄𝐺𝑖∙

1

1 −𝜕𝑄𝐿

𝜕𝑄𝐺𝑖

= 𝛽𝑖

𝜕𝑃𝐿

𝜕𝑄𝐺𝑖 , 𝑖 = 1,2,… ,𝑀

𝛽𝑖 =1

1 −𝜕𝑄𝐿

𝜕𝑄𝐺𝑖

10

Ove inkrementalne troškove mogude je izračunati matričnom metodom. Gubitak u sistemu može se napisati kao:

(20)

(21)

(22)

Gdje su: 𝐼 – vektor čvornih struja 𝐼 – vektor konjugiranih čvornih struja V– vektor napona

𝑍 – matrica impedansi Uvažavajudi izraze (11) i (12) snaga gubitaka se može zapisati kao:

(23)

(24)

Veza izmedju injektovane snage i struje je: (25)

Na osnovu relacije (15) imamo:

(26)

(27)

Uvrštavanjem relacija (16) i (17) u relacije (13) i (14) dobivamo:

(28)

(29) Koeficijenti u relaciji (18) 𝛼𝑖𝑗 i 𝛽𝑖𝑗 su dati sa:

(30)

𝑃𝐿 + 𝑗𝑄𝐿 = 𝑉𝑇𝐼 = 𝑍𝐼 𝑇𝐼 = 𝐼𝑇𝑍𝑇𝐼

𝐼 = 𝐼𝑃 + 𝑗𝐼𝑄

𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋

𝑃𝐿 = 𝑅𝑖𝑘 𝐼𝑃𝑖𝐼𝑃𝑗 + 𝐼𝑄𝑖 𝐼𝑄𝑗

𝑛

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

𝑄𝐿 = 𝑋𝑖𝑘 𝐼𝑃𝑖𝐼𝑃𝑗 + 𝐼𝑄𝑖 𝐼𝑄𝑗

𝑛

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

𝑃𝑖 + 𝑗𝑄𝑖 = 𝑉𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑗𝑉𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖 𝐼𝑃𝑖 − 𝑗𝐼𝑄𝑖

𝐼𝑃𝑖 = 𝑃𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑗𝑄𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖

𝑉𝑖

𝐼𝑄𝑖 = 𝑃𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖 + 𝑗𝑄𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖

𝑉𝑖

𝑃𝐿 = 𝛼𝑖𝑗 𝑃𝑖𝑃𝑗 + 𝑄𝑖𝑄𝑗 + 𝛽𝑖𝑗 𝑄𝑖𝑃𝑗 −𝑃𝑖𝑄𝑗

𝑛

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

𝑄𝐿 = 𝛿𝑖𝑗 𝑃𝑖𝑃𝑗 + 𝑄𝑖𝑄𝑗 + 𝛾𝑖𝑗 𝑄𝑖𝑃𝑗 − 𝑃𝑖𝑄𝑗

𝑛

𝑗 =1

𝑛

𝑖=1

𝛼𝑖𝑗 =𝑅𝑖𝑗

𝑉𝑖𝑉𝑗cos 𝜃𝑖 −𝜃𝑗

11

(31)

Za 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 i 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 . Dok su koeficijenti u relaciji (19) 𝛿𝑖𝑗 i 𝛾𝑖𝑗 dati sa:

(32)

(33)

Za 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 i 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 .

Deriviranje relacije (18) po snazi na i-toj 𝑃𝑖 sabirnici dobivamo:

(34) Kako je:

(35) i

(36)

Tada relaciju (24) možemo pisati kao:

(37)

A kako je u viskokonaponskim mrežama razlika između uglova 𝜃𝑖 i 𝜃𝑗, dvije sabirnice, mala

može se pisati da je 𝑠𝑖𝑛 𝜃𝑖 −𝜃𝑗 ≈ 0. Tada se može pisati i da je 𝛽𝑖𝑗 ≈ 0, pa se relacija (27) može

pisati kao:

(38)

Na isti način se dobiju i sljedeče relacije:

𝛽𝑖𝑗 =𝑅𝑖𝑗

𝑉𝑖𝑉𝑗sin 𝜃𝑖 −𝜃𝑗

𝛿𝑖𝑗 =𝑋𝑖𝑗

𝑉𝑖𝑉𝑗cos 𝜃𝑖 −𝜃𝑗

𝛾𝑖𝑗 =𝑋𝑖𝑗

𝑉𝑖𝑉𝑗sin 𝜃𝑖 −𝜃𝑗

𝜕𝑃𝐿

𝜕𝑃𝑖=

𝜕

𝜕𝑃𝑖

𝛼𝑖𝑗 𝑃𝑖𝑃𝑗 + 𝑄𝑖𝑄𝑗 + 𝛽𝑖𝑗 𝑄𝑖𝑃𝑗 −𝑃𝑖𝑄𝑗

𝑛

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

=

= 2 𝑃𝑗𝛼𝑖𝑗 −𝑄𝑗𝛽𝑖𝑗

𝑛

𝑗=1

+ 𝑃𝑖𝑃𝑗 + 𝑄𝑖𝑄𝑗 𝜕𝛼𝑖𝑗

𝜕𝑃𝑖+ 𝛽𝑖𝑗 𝑄𝑖𝑃𝑗 − 𝑃𝑖𝑄𝑗

𝜕𝛽𝑖𝑗

𝜕𝑃𝑖

𝑛

𝑗 =1

𝑛

𝑖=1

𝜕𝛼𝑖𝑗

𝜕𝑃𝑖

𝜕𝛼𝑖𝑗

𝜕𝑃𝑖= 0

𝜕𝛽𝑖𝑗

𝜕𝑃𝑖= 0

𝜕𝑃𝐿

𝜕𝑃𝑖= 2 𝑃𝑗𝛼𝑖𝑗 − 𝑄𝑗𝛽𝑖𝑗

𝑛

𝑗 =1

𝜕𝑃𝐿

𝜕𝑃𝑖= 2 𝑃𝑗𝛼𝑖𝑗

𝑛

𝑗=1

12

(39)

(40)

(41) S obzirom da se stvarne aktivne i reaktivne snage konstantne, imamo:

(42)

(43) Prije nego predstavimo korake ekonomskog dispečinga potrebno je uvesti neka od ograničenja. S obzirom da se optimizacija reaktivnih snaga vrši u cilju poboljšanja naponskih prilika u sistemu potrebno je uvesti ograničenja napona na pojedinim sabirnicama:

(44)

Također kako je potrebno odrediti proizvodnju reaktivne snage pojedinih proizvodnih jedinica treba uvesti jos tehnička ograničenja pojedinih proizvodnih jedinica. Ta ograničenja

su data sa: (45)

Ako sistem ima dovoljno izvora reaktivne snage, koraci za ekonomski dispečing reaktivnih snaga su:

- Provesti proračun tokova snaga koristedi rezultate ekonomskog dispečinga aktivnih snaga. Tako je aktivna snaga generatora konstantna, osim referentnog.

- Izračunati λ za svaki izvor reaktivne snage. Ako je λ<0 to znači da de se gubitak reaktivne snage u sistemu smanjiti povedanjem reaktivne snage izvora. Ako je λ>0 to znači da de se gubitak reaktivne snage u sistemu smanjiti povedanjem reaktivne snage izvora. Dakle, kako bi se smanjili gubici potrebno je povedati vrijednost reaktivne snage izvora za λ<0, odnosno

smanjiti za λ>0. Svaki put odaberemo izvor s najmanjim λ za povedanje, odnosno najvede λ za smanjenje proizvodnje reaktivne snage, te ponovo izvršimo proračun tokova snaga.

- Proračunom tokova snaga dobijemo gubitke u sistemu. Promjena aktivne snage de se odraziti na proizvodnju referentnog generatora. Dispečing reaktivne snage se nastavlja sve dok se nemogne više smanjivati snaga referentne jedinice. Prilikom proračuna tokova snaga mogude je da vrijednost reakivne snage neke proizvodne

jedinice bude izvan tehničkih granica. (46)

𝜕𝑃𝐿

𝜕𝑄𝑖= 2 𝑄𝑗𝛼𝑖𝑗

𝑛

𝑗=1

𝜕𝑄𝐿

𝜕𝑃𝑖= 2 𝑃𝑗𝛿𝑖𝑗

𝑛

𝑗=1

𝜕𝑄𝐿

𝜕𝑄𝑖= 2 𝑄𝑗𝛼𝑖𝑗

𝑛

𝑗=1

𝑑𝑃𝑖 = 𝑑 𝑃𝐺𝑖 −𝑃𝐷𝑖 = 𝑑𝑃𝐺𝑖

𝑑𝑄𝑖 = 𝑑 𝑄𝐺𝑖 − 𝑄𝑑𝑖 = 𝑑𝑄𝐺𝑖

𝑄𝐺𝑖 < 𝑄𝐺𝑖𝑚𝑖𝑛 𝑖𝑙𝑖 𝑄𝐺𝑖 > 𝑄𝐺𝑖𝑚𝑎𝑥

𝑉𝑖𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑉𝑖 ≤ 𝑉𝑖𝑚𝑎𝑥 , 𝑧𝑎 𝑖 = 1,2, . . ,𝑛

𝑄𝐺𝑖𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑄𝐺𝑖 ≤ 𝑄𝐺𝑖𝑚𝑎𝑥 𝑧𝑎 𝑖 = 1,2,… ,𝑛

13

Ukoliko se dogodi da jedna li više jedinica izađu izvan svojih tehničkih ograničenja, relacija (36), tada se te jedinice posavljaju na graničnu vrijednost. Ukoliko se proračunom dobije da

neka od jedinica treba da radi na nekoj vrijednosti ispod svog tehničkog minimuma tada se ta jedinica postavlja na svoj minimum, odnosno ako je 𝑄𝐺𝑖 < 𝑄𝐺𝑖𝑚𝑖𝑛 tada se uzima da je

𝑄𝐺𝑖 = 𝑄𝐺𝑖𝑚𝑖𝑛 . Ukoliko se proračunom dobije da neka od jedinica treba da radi iznad maksimalne

tekničke granice tada se proizvodnja te proizvodne jedinice postavlja na maksimum, odnosno ako je 𝑄𝐺𝑖 > 𝑄𝐺𝑖𝑚𝑎𝑥 tada se uzima da je 𝑄𝐺𝑖 = 𝑄𝐺𝑖𝑚𝑎𝑥 . Isto vrijedi i za tehnička ograničenja vezana za

napon na pojedinim sabirnicama.

METOD LINEARNOG PROGRAMIRANJA ZA OPTIMIZACIJU REAKTIVNE

SNAGE

Metoda linearnog programiranja koristi matematički model kod kojega su funkcije cilja i postavljena ograničenja linearne funkcije. Opdenito se problem koji se rješava može prikazati kao:

(47) Tako da:

(48)

Gdje je: 𝑃𝐿– gubici aktivne snage 𝑉𝐺 – napon generatora 𝑄𝑆– reaktivna snaga koja se dodaje u sistem 𝑄𝐺 – reaktivna snaga koju proizvodi generator T – polozaj regulacione preklopke transformatora 𝑉𝐷 – napona potrošača Relacije date u (48) predstavljaju nelinearna tehnička ograničenja, a indeksi min i max predstavljaju donje i gornje granice tehničkih ograničenja, respektivno. Za njegovo rješavanje su razvijeni različiti pristupi, a među posebno efikasnima se ističe tzv. simpleks metoda. Pojednostavljeno prikazano simpleks metoda funkcionira na način da traži rješenja samo unutar rubnih točaka skupa mogudih rješenja. Skup rješenja se može geometrijski prikazati kao konveksni politop čiji su vrhovi upravo rubne točke međusobno povezane bridovima. Svaka točka skupa rješenja mora zadovoljavati uvjete ograničenja postavljene u izrazu. Postupak rješavanja krede od odabranog rješenja (vrha politopa) u kojem se vrši provjera optimalnosti funkcije cilja. Ukoliko rješenje nije i optimalno postupak prelazi na sljededi vrh po bridu po kojem je mogude ostvariti „najbrži“ smjer promjene

funkcije cilja. Postupak se zaustavlja u vrhu koji predstavlja optimalno rješenje ili u vrhu u

𝑚𝑖𝑛𝑃𝐿 𝑄𝑆 ,𝑉𝐺 ,𝑇

𝑄 𝑄𝑆 ,𝑉𝐺 , 𝑇,𝑉𝐷 = 0

𝑄𝐺𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑄𝐺 𝑄𝑆 ,𝑉𝐺 ,𝑇 ≤ 𝑄𝐺𝑚𝑎𝑥

𝑉𝐷𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑉𝐷 𝑄𝑆 ,𝑉𝐺 ,𝑇 ≤ 𝑉𝐷𝑚𝑎𝑥

𝑄𝑆𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑄𝑆 ≤ 𝑄𝑆𝑚𝑎𝑥

𝑉𝐺𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑉𝐺 ≤ 𝑉𝐺𝑚𝑎𝑥

𝑇𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑇 ≤ 𝑇𝑚𝑎𝑥

14

kojem je vidljivo da takvo rješenje ne postoji. Potrebno je napomenuti i da je mogude postojanje više od jednog optimalnog rješenja, u tom slučaju je i svaka točka brida koji

povezuje takva dva rješenja ujedno i optimalno rješenje. Bitna karakteristika simpleks metode je kanonski zapis matematičkog problema, odnosno pretvaranje izraza nejednakosti

u izraze jednakosti što se čini uvođenjem dodatnih varijabli, pri čemu se to ne odnosi na uvjet nenegativnosti varijabli koji je također opisan izrazima nejednakosti. Uvođenjem dodatnih varijabli se povedava ukupni broj nepoznanica. Zbog toga se u postupku rješavanja u svakom iterativnom koraku određeni broj varijabli postavlja na vrijednost nula, te se one nazivaju nebazičnim rješenjima. Ostale varijable se računaju iz izraza jednakosti i one se nazivaju bazičnim varijablama. Sasvim opdenito, osnovni algoritam simpleks metode se može podijeliti u tri koraka:

Inicijalizacija Uvođenjem dodatnih varijabli se nejednadžbe pretvaraju u izraze jednakos ti. Dodatne varijable postaju tzv. bazične varijable, a ostale tzv. nebazične varijable. Odabire se početno bazično rješenje tako da se nebazične varijable postavljaju na vrijednost nula, a bazične se računaju iz izraza jednakosti.

Iterativni postupak Ukoliko u početnom koraku nije zadovoljen uvjet optimalnosti prelazi se na „susjedno“ bazično rješenje. Na temelju brzine promjene funkcije cilja odabire se jedna od bazičnih varijabli koja postaje nebazična i obratno.

Test optimalnosti Na temelju funkcije cilja se određuje da li je trenutno rješenje ujedno i optimalno. Opdenito govoredi, trenutno rješenje je optimalno ako i jedino ako sve nebazične varijable imaju ne-

pozitivne koeficijente u trenutnom obliku funkcije cilja. Ukoliko nije ponavlja se drugi korak. Početni korak u primjeni linearnog programiranja kod optimizacije reaktivne snage u EES-u je

linearizacija funkcije cilja te svih funkcija ograničenja. Linearizacija se može obaviti korištenjem analize osjetljivosti, pomodu koje je mogude na jednostavan način dobiti

promjenu gubitaka aktivne snage ukoliko dođe do promjene jedne od kontrolnih varijabli. Nelinearni model dat sa (37) i (38) može se linearizirati i predstaviti kao:

(49)

Tada se možemo napisati relacije (38) i dobivamo sljedede:

(50)

(51)

(52) (53)

(54)

(55)

𝑚𝑖𝑛∆𝑃𝐿 = 𝑆𝐿𝑄𝑇 ∆𝑄𝑆 + 𝑆𝐿𝑉

𝑇 ∆𝑉𝐺 + 𝑆𝐿𝑇𝑇 ∆𝑇

𝑄 ∆𝑄𝑆 ,∆𝑉𝐺 ,∆𝑇, ∆𝑉𝐷 = 0

∆𝑄𝐺𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑆𝑄𝑄∆𝑄𝑆 + 𝑆𝑄𝑉∆𝑉𝐺 + 𝑆𝑄𝑇∆𝑇 ≤ ∆𝑄𝐺𝑚𝑎𝑥

∆𝑉𝐷𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑆𝑉𝑄∆𝑄𝑆 + 𝑆𝑉𝑉∆𝑉𝐺 + 𝑆𝑉𝑇∆𝑇 ≤ ∆𝑉𝐷𝑚𝑎𝑥

∆𝑄𝑆𝑚𝑖𝑛 ≤ ∆𝑄𝑆 ≤ ∆𝑄𝑆𝑚𝑎𝑥

∆𝑉𝐺𝑚𝑖𝑛 ≤ ∆𝑉𝐺 ≤ ∆𝑉𝐺𝑚𝑎𝑥

∆𝑇𝑚𝑖𝑛 ≤ ∆𝑇 ≤ ∆𝑇𝑚𝑎𝑥

15

Pri tome su 𝑆𝑔𝑢𝑏𝑉, 𝑆𝑔𝑢𝑏𝑇, 𝑆𝑔𝑢𝑏𝑄 matrice osjetljivosti promjene gubitaka u odnosu na promjenu napona generatorskih čvorišta, prijenosnog omjera transformatora i VAR

kompenzacije. Matrice osjetljivosti navedene u izrazima (51) i (52) se računaju na sljededi način:

(56)

(57)

(58)

(69)

(60)

(61)

Koraci koje je potrebno provesti prilikom optimizacije reaktivne snage:

1. odabrati broj tačaka optimizacije

2. izračunati inkrementalne varijable i ograničenja

3. izračunati matricu osjetljivosti

4. izračunati pomodi modela linearnog programiranja, dobiti inkrementalne kontrolne varijable △QS, △VG, △T.

5. Izračunati nove kontrolne varijable prema

(62)

(63)

(64)

i razdvojeni P-Q proračun tokova snaga za dobijanje novih varijabli. 6. Provjera konvergencije

(65)

Gdje je 휀 zadana vrijednost greške, a k+1 trenutni korak interarivnog postupka k prethodni korak interativnog postupka. Ako zadovoljava uslove konvergencije, zaustaviti iterativni postupak. Ako ne zadovoljavako vradamo se na korak 2.

𝑆𝑉𝑄 = 𝜕𝑄𝐷

𝜕𝑉𝐷

−1

𝑆𝑉𝑉 = 𝜕𝑉𝐷

𝜕𝑉𝐺

= − 𝜕𝑄𝐷

𝜕𝑉𝐷

−1

𝜕𝑄𝐷

𝜕𝑉𝐺

= − 𝑆𝑉𝑄 𝜕𝑄𝐷

𝜕𝑉𝐺

𝑆𝑉𝑇 = 𝜕𝑉𝐷

𝜕𝑇 = −

𝜕𝑄𝐷

𝜕𝑉𝐷

−1

𝜕𝑄𝐷

𝜕𝑇 = − 𝑆𝑉𝑄

𝜕𝑄𝐷

𝜕𝑇

𝑆𝑄𝑄 = 𝜕𝑄𝐺

𝜕𝑉𝐷

𝜕𝑄𝐷

𝜕𝑉𝐷

−1

= 𝜕𝑄𝐺

𝜕𝑉𝐷

𝑆𝑉𝑄

𝑆𝑄𝑉 = 𝜕𝑄𝐺

𝜕𝑉𝐺

+ 𝜕𝑄𝐺

𝜕𝑉𝐷

𝜕𝑉𝐷

𝜕𝑉𝐺

= 𝜕𝑄𝐺

𝜕𝑉𝐺

+ 𝜕𝑄𝐺

𝜕𝑉𝐷

𝑆𝑉𝑉

𝑆𝑄𝑇 = 𝜕𝑄𝐺

𝜕𝑇 +

𝜕𝑄𝐺

𝜕𝑉𝐷

𝜕𝑉𝐷

𝜕𝑇 =

𝜕𝑄𝐺

𝜕𝑇 +

𝜕𝑄𝐺

𝜕𝑉𝐷

𝑆𝑉𝑇

∆𝑄𝑆 = 𝑄𝑆𝑘+1 −𝑄𝑆

𝑘

∆𝑉𝐺 = 𝑉𝐺𝑘+1 −𝑉𝐺

𝑘

∆𝑇 = 𝑇𝑘+1 −𝑇𝑘

𝑃𝐿𝑘+1 − 𝑃𝐿

𝑘 < 휀

16

OPTIMIZACIJA ROJEM ČESTICA Optimizacija rojem čestica (Particle Swarm Optimization, eng., PSO) je još jedna metoda

optimizacije inspirirana prirodnim procesima, točnije kretanjem jata ptica. Slično kao i

evolucijski algoritmi, PSO pretražuje prostor rješenja služedi se skupom potencijalnih

rješenja, odnosno populacijom, te se PSO metode također ubrajaju u populacijske metode.

Svako potencijalno rješenje se u ovom slučaju naziva česticom. Populacija čestica koja se

krede prostorom rješenja u potrazi za optimalnim se naziva rojem. Pri tome je kretanje svake

pojedine čestice određeno njihovim prijašnjim iskustvom, te iskustvom susjednih čestica u

roju. Potrebno je imati na umu da pojam čestica, slično kao jedinka kod DE algoritma,

predstavlja rješenje optimizacijskog problema, odnosno u konkretnom slučaju vektor

kontrolnih varijabli 𝑥 = (𝑉𝐺 , 𝑇, 𝑄𝐾) kojim su definirani gubitci aktivne snage u EES-u. U PSO

algoritmu se položaj svake čestice mijenja iterativno, pri čemu promjena ovisi o njenom

prijašnjem položaju, njenom najboljem položaju kroz dotadašnje iteracije, ukupnom

najboljem položaju roja (u konkurenciji najboljih položaja svih čestica roja) kroz iteracije, te

slučajno određenom brzinom čestice. Veličine najboljeg pojedinačnog položaja, globalnog

najboljeg položaja i slučajne brzine su povezani sa težinskim faktorima koji određuju koliko

de koja veličina imati utjecaj na promjenu položaja čestice. Faktor koji izravno kontrolira

utjecaj prijašnje na trenutnu brzinu čestice se naziva inercija. Pravilan odabir navedenih

težinskih faktora bitno utječe na konvergentnost postupka, kao i na kvalitetu rješenja

(izbjegavanje lokalnih minimuma). Pored činjenice da može puno lakše izbjegavati lokalne

minimume, PSO ima i brojne druge prednosti nad ostalim metodama optimizacije.

Primjerice, PSO može podjednako dobro provoditi optimizaciju i za funkcije cilja koje su

nediferencijabilne ili nelinearne bez uvođenja ikakvih dodatnih olakšavajudih pretpostavki.

Činjenica da se radi o stohastičkom algoritmu omoguduje da PSO pretražuje široka,

komplicirana i nesigurna područja rješenja. Istovremeno korištenje globalnog i lokalnog

pretraživanja omogudava algoritmu da ne ostvari prerano konvergenciju, što zna biti čest

nedostatak evolucijskih algoritama. Nedostatak metode je slučajni odabir početne

populacije, što može povedati vjerojatnost ostajanja u lokalnom algoritmu, ukoliko je ona

smještena u njegovoj blizini.

PSO algoritam je mogude prikazati kroz nekoliko koraka: (Inicijalizacija) Slučajnim odabirom odrediti N čestica koje de sačinjavati populaciju.

Svaka čestica predstavlja mogude rješenje optimizacijskog problema. Kontrolne varijable i varijable stanja moraju biti unutar postavljenih granica. Prikladnost svake

čestice se određuje na temelju funkcije cilja, u ovom slučaju gubitaka aktivne snage. Uvedati brojač iteracija.

(Promjena brzine) Korištenjem najboljeg globalnog i pojedinačnog rješenja mogude je izmjeniti brzinu čestice j u dimenziji k prema sljededem izrazu:

(66)

Pri tome je 𝑡 oznaka iteracije, 𝑖 je oznaka čestice, a 𝑗 oznaka kontrolne varijable. Oznakom 𝑤(𝑡) je označena inercija koja se također mijenja iterativno unutar raspona

𝑣𝑖𝑗 = 𝑤 𝑡 ∙ 𝑣𝑖𝑗 𝑡 − 1 + 𝑐1𝑟1 𝑥 𝑖𝑗∗ 𝑡 − 1 − 𝑥 𝑖𝑗 𝑡 − 1 + 𝑐2𝑟2 𝑥𝑖𝑗

∗∗ 𝑡 − 1 − 𝑥𝑖𝑗 𝑡 − 1

17

[0,1]. Drugi član u izrazu predstavlja kognitivnu komponentu, a tredi član u izrazu predstavlja socijalnu komponentu PSO algoritma. Utjecaj svake komponente na

brzinu čestice je određen težinskim faktorima 𝑐1 i 𝑐2. S 𝑟1 i 𝑟2 su označeni slučajni brojevi, a s 𝑥𝑖𝑗

∗ i 𝑥𝑖𝑗∗∗ najbolji pojedinačni i najbolji globalni položaj.

(Promjena položaja) Na temelju nove brzine se određuje novi položaj čestice prema

izrazu: (67)

(Promjena najboljeg pojedinog rješenja) Na temelju novih položaja čestica se određuje njihova prikladnost, te novi pojedinačni najbolji položaji.

(Promjena najboljeg globalnog rješenja) Između najboljih pojedinačnih položaja se bira novi najbolji globalni položaj.

Provjeriti kriterij zaustavljanja. Kriterij zaustavljanja može biti postavljeni broj

iteracija, broj iteracija unutar kojih nije došlo do vede promjene najboljeg rješenja u odnosu na unaprijed postavljeni iznos i sl.

𝑥 𝑖𝑗 𝑡 = 𝑥 𝑖𝑗 𝑡 + 𝑣𝑖𝑗 𝑡

18

ZAKLJUČAK Optimizacija reaktivne snage je složeni, nelinearni matematički problem koji osim osnovne funkcije cilja u sebi uključuje i brojna ograničenja kontrolnih i varijabli stanja koja je potrebno

poštivati. Kao funkcija cilja se uobičajeno postavlja minimiziranje gubitaka aktivne snage, ali to nije nužno pravilo. Štoviše, jako često optimizacija reaktivne snage u sebi uključuje više

ciljeva istovremeno, koji su objedinjeni u jednu jedinstvenu funkciju cilja. Pri rješavanju navedenog problema primijenjen je znatan broj optimizacijskih postupaka. U

ovom radu je dan kratki prikaz najvažnijih metoda, te je napravljena analiza njihovih

međusobnih prednosti i nedostataka. Posebno su izdvojene metode linearnog

programiranja, optimizacija rojem čestica iz grupe metoda inteligentnog pretraživanja, čiji su

osnovni algoritmi predstavljeni nešto detaljnije. Bez obzira na veliki napredak ostvaren na

rješavanju problema optimizacije tokova reaktivne snage u EES-a, što je vidljivo i na temelju

broja razvijenih metoda za njegovo rješavanje, globalno rješenje još uvijek ne postoji, čime

navedeno područje ostaje i dalje primamljivo za daljnja istraživanja.

19

LITERATURA [1] http://c2.etf.unsa.ba/course/category.php?id=48, Predavanja i z kursa Eksploatacija i upravl janje elektroenergetskim

postrojenjima, prof.dr. Mensur Hajro

*2+ „OPTIMIZATION OF POWER SYSTEM OPERATION“, IEEE, 2009, Jizhong Zhu, Ph.D

*3+“METHOD OF MINIMAX OPTIMIZATION OF POWER SYSTEM OPERATION“, IEEE 2003, M.Valdma, M.Keel , O.Li ik, H.Tammoja

*4+ „Analiza i usporedba metoda optimizacije tokova reaktivne snage u elektroenergetskom sistemu“, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet elektrotehnike i računarstva , Frano Tomaševid