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8/13/2019 Optimizacin - Anlisis de Sensibilidad y Transporte (PEP 2)
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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILEDEPARTAMENTO DE INGENIERA EN MINASAYUDANTA DE OPTIMIZACIN
PUNTES DEOPTIMIZ CINTeoraParte 2
Autor:Felipe Quezada Castaeda
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Ayudanta de Optimizacin
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nlisis de SensibilidadEl anlisis de sensibilidad investiga el cambio de la solucin ptima que resulta de hacer
cambios en los parmetros del modelo de programacin lineal. La tabla siguiente contiene
todos los casos posibles que pueden surgir en el anlisis de sensibilidad, as como las
acciones necesarias para obtener la nueva solucin (suponiendo que sta exista):
CONDICI N RESULTANTE DE LOSCAMBIOS
ACCIN RECOMENDADA
La solucin actual queda ptima y
factible No es necesaria accin alguna
La solucin actual se vuelve no
factible
Usar el algoritmo smplex dual para
recuperar la factibilidad
La solucin actual se vuelve no
ptima
Usar el algoritmo smplex estndar para
recuperar la optimalidad
Tabla 7:Casos posibles y acciones recomendadas para los cambios que se van dando al
realizar un anlisis de sensibilidad
Con el siguiente ejemplo, vamos a comentar como resolver todos los cambios que se
pueden realizar en un anlisis de sensibilidad.
Ejemplo: La empresa constructora ASIOMAT Ltda. presta servicios de fortificacin a
empresas mineras, por lo que provee cuatro tipos de fortificacin para las obras tratadas.
El proceso de fortificacin comprende 3 etapas: preparacin, instalacin e inspeccin
tcnica. ASIOMAT se encuentra preparando una nueva propuesta para la cual se han
estimado un mximo de 9000 horas de preparacin, 10000 horas en instalacin y 3400
horas-hombre (HH) para la inspeccin tcnica de calidad.
La empresa espera maximizar sus utilidades dentro de este perodo, y para ello ha
resuelto emplear un modelo de programacin lineal, donde representa la cantidad deservicios de fortificacin del tipo , dado por:
El resultado ptimo, obtenido mediante el algoritmo smplex, se muestra en el siguiente
tableau ptimo:
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V.B. x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3 b
s1 0 -12/5 0 8 1 -4/10 6/10 7040
x3 0 2/5 1 1/2 0 1/20 -1/10 160
x1 1 2/5 0 3 0 -1/10 4/10 360
-z 0 280 0 100 0 30 180 -912000
Al respecto, se citan dos cambios significativos:
1. Cambios que afectan la factibilidad2. Cambios que afectan la optimalidad
CAMBIOS QUE AFECTAN LA FACTIBILIDAD.
La factibilidad de la solucin ptima de un problema de programacin lineal slo puede
variar si:
1. Cambia el lado derecho (trmino dependiente) de las restricciones2. Se agrega al modelo una restriccin nueva
En ambos casos se tiene no factibilidad cuando al menos un elemento de la columna b de
la tabla ptima se hace negativo; esto es, uno o ms de las variables bsicas se vuelve
negativa.
CAMBIOS EN EL LADO DERECHO DE LAS RESTRICCIONES: Estos cambiosrequieren volver a calcular el lado derecho del tableau (la columna b), usando la frmula
definida en el mtodo smplex revisado:
Ejemplo: Cul es la nueva solucin y el valor de la funcin objetivo en el modelo de
ASIOMAT, si las horas de instalacin aumentan a 12000 horas?
Solucin: Lo primero es reconocer la matriz inversa del problema en la tabla ptima,
llamada inversa ptimadel PPL. Como bien sabemos, la matriz inversa de un PPL, paracualquier iteracin, es aquella cuyos elementos son los coeficientes de restriccin de las
holguras del problema. Por lo tanto, para el caso de ASIOMAT, se tiene lo siguiente:
La matriz de recursos original del problema es:
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Donde la el primer elemento corresponde al lmite mximo del recurso preparacin (en
horas), el segundo elemento corresponde al lmite mximo del recurso instalacin (en
horas), y el tercer elemento corresponde al lmite mximo del recurso horas de inspeccin
(en HH). Como ASIOMAT ha decidido que el mximo de horas de instalacin aumenten a
12000 horas, la nueva matriz de recursos asociada al problema es:
Por lo tanto, utilizando la frmula del mtodo smplex revisado, la nueva solucin ptima
est dada por:
En consecuencia, concluimos que el aumento de las horas de instalacin a 12000 horas
no genera la prdida de la factibilidad de la actual solucin ptima, porque los valores de
las variables bsicas continan siendo positivos. El nuevo valor de la funcin objetivo se
calcula remplazando estos valores, con lo cual se obtiene unidadesmonetarias.
Si el cambio en el lmite del respectivo recurso conduce a la obtencin de una matriz con al menos uno de sus elementos negativos, entonces el problema se vuelve nofactible, y debe aplicarse el algoritmo smplex dual a fin de recuperar la factibilidad delproblema.
Ejemplo: Por motivos econmicos, ASIOMAT se ha visto en la necesidad de cortar el
suministro de algunos recursos para sus servicios de fortificacin. El gerente de
operaciones ha estipulado que las horas de preparacin pueden bajarse a 1500, a fin de
mantener una utilidad mxima estable Qu opina usted de esta decisin? Le convendr
a la empresa?
Solucin: En este caso, la nueva matriz inicial de recursos es la siguiente:
Utilizando la frmula para obtener la solucin ptima del problema bajo lacondicin anterior, se obtiene:
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La variable bsica
tiene valor negativo en la matriz
, por lo que el problema se ha
vuelto no factible. Para recuperar la factibilidad, se debe utilizar el algoritmo smplex dual.Para aplicarlo, se debe obtener una fila de coeficientes objetivo consistente con este
mtodo (en la cual haya al menos un coeficiente reducido negativo). Como el algoritmo
smplex dual est hecho para problemas de maximizacin, esto se logra multiplicando la
fila objetivo por -1, porque as se cumple la condicin . Reemplazandoentonces los nuevos valores de en la tabla ptima entregada, y multiplicando la filaobjetivo por -1, se obtiene:
V.B. x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3 b
s1 0 -12/5 0 8 1 -4/10 6/10 -960
x3 0 2/5 1 1/2 0 1/20 -1/10 160
x1 1 2/5 0 3 0 -1/10 4/10 360z 0 -280 0 -100 0 -30 -180 912000
A esta tabla debe aplicrsele el mtodo smplex dual. Se le deja al lector comprobar que
la solucin ptima, obtenida en la siguiente iteracin, es .El valor objetivo ptimo es unidades monetarias. Por lo tanto,concluimos que la opinin del gerente es errnea, porque la utilidad mxima disminuye
con el corte del recurso de preparacin a 1000 horas.
INTERVALO DE FACTIBILIDAD DE LOS LIMITANTES DE LAS RESTRICCIONES:Otraforma de examinar el efecto de cambiar la disponibilidad de los recursos (la matrizcolumna , es determinar el intervalo para el cual la solucin actual (o del momento)permanece factible. Un intervalo de factibilidad permite que la base permanezca
inalterable. No obstante, los valores de las variables bsicas pueden cambiar.
Ejemplo: En el modelo de ASIOMAT Dentro de qu rango podra variar la cantidad de
horas de instalacin sin que cambie la base ptima?
Solucin: Se deben determinar todos los valores que puede tomar la limitante del recurso
horas de preparacin. Para ello, pueden utilizarse dos mtodos bastante sencillos:
Mtodo 1:Sea el cambio (positivo o negativo) en el recurso k. Se definen la cotasuperior y la cota inferior del cambio en la disponibilidad de un recursocualquiera como:
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Donde es un elemento de la matriz en la tabla ptima (que, haciendo caso a lanotacin, corresponde a la
-sima iteracin, y
es el coeficiente de la holgura
asociada al recurso respectivo en la misma fila que , en la correspondiente iteracin. Mtodo 2:Se debe evaluar el cambio (positivo o negativo) en la matriz de recursos
ptima en la iteracin k, , resultante de la frmula del mtodo smplex revisado:
Vamos a resolver el ejemplo utilizando ambos mtodos.
Resolucin mediante el Mtodo 1:Se debe utilizar la tabla ptima del PPL:
V.B. x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3 b
s1 0 -12/5 0 8 1 -4/10 6/10 7040
x3 0 2/5 1 1/2 0 1/20 -1/10 160
x1 1 2/5 0 3 0 -1/10 4/10 360
-z 0 280 0 100 0 30 180 -912000
Lo primero es verificar cul es la holgura asociada al recurso respectivo. Como hablamos
de las horas de instalacin, nos referimos a la segunda restriccin, y por tanto, la holgura
asociada a este recurso es . Calculamos entonces las cotas del cambio del recursohoras de instalacin como:Cota superior:
De la tabla ptima:
*+ Cota inferior:
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(
)
(
)
Por la condicin de factibilidad, sabemos que ninguno de los componentes de la matriz debe ser negativo. Por lo tanto, se establece lo siguiente:
Las desigualdades anteriores implican que . Por lo tanto, sumandoestas cantidades a la disponibilidad original del recurso horas de instalacin, que
originalmente es de 10000, se tiene que:
Este resultado, naturalmente, es equivalente al obtenido mediante el Mtodo 1.
ADICIN DE NUEVAS RESTRICCIONES: la adicin de una nueva restriccin a unmodelo existente puede llevar a uno de los dos casos siguientes:
La nueva restriccin es redundante, lo que quiere decir que se satisface con la
solucin ptima actual y, por consiguiente, se puede eliminar por completo del modelo.
La solucin ptima actual viola la nueva restriccin. En este caso, se puede utilizar el
mtodo smplex dual para recuperar la factibilidad de la nueva solucin ptima.
Ejemplo: Debido al avance de la tecnologa en sistemas de fortificacin, ASIOMAT ha
pensado en destinar algunos recursos y horas-hombre (HH) para el estudio e
investigacin de nuevos mtodos de aplicacin de este servicio. Cada tipo de fortificacin
consumir 3, 4, 1 y 2 unidades de recurso, respectivamente, con un lmite de 2000 HH
para el estudio e investigacin de la aplicacin de las nuevas tecnologas al servicio que
presta ASIOMAT Qu opina usted al respecto? Le conviene esta decisin a la
empresa?
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Solucin: Del enunciado, es claro que este nuevo uso de recursos limita el modelo
mediante una nueva restriccin. Lo anterior permite formular dicha restriccin en base al
uso de los recursos y su lmite de uso como:
La solucin ptima actual del modelo de ASIOMAT, antes de la implementacin de esta
nueva restriccin, es , , , . Reemplazando estos valores enla nueva restriccin, se obtiene:
Concluimos entonces que la solucin ptima actual cumple con la nueva restriccin, por lo
que es posible implementar las HH de estudio e investigacin sin perturbar, de ninguna
forma, el modelo actual de ASIOMAT.
CAMBIOS QUE AFECTAN LA OPTIMALIDAD.
Ahora estudiaremos dos situaciones particulares que podran afectar la optimalidad de la
solucin actual:
1. Cambios en los coeficientes objetivo originales2. Adicin de una nueva variable al modelo
En ambos casos, el punto esquina asociado a la solucin ptima cambia.
INTERVALO DE OPTIMALIDAD EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIN OBJETIVO:Esos cambios slo afectan la optimalidad de la solucin. Por lo tanto, requieren recalcular
los coeficientes de la fila z, con dos procedimientos distintos, que difieren dependiendo
de la naturaleza de la variable asociada al cambio en el respectivo coeficiente objetivo. En
ambos casos, lo que se requiere es determinar el intervalo de cambio para estos
coeficientes, de tal modo que la solucin ptima permanezca con su base inalterada.
a) Para coeficientes asociados a variables no bsicas:Si el coeficiente asociado auna variable no bsica cambia, el procedimiento para calcular el intervalo de
optimalidad se resume con la siguiente desigualdad:
En la expresin anterior, es el coeficiente original de la variable no bsica y esel coeficiente reducido de (el que se obtiene al llegar al ptimo).
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Ejemplo: En el modelo de ASIOMAT Cunto podra disminuir la utilidad del servicio 2
sin que cambie la base ptima?
Solucin: Para efectos prcticos, recordaremos que la tabla ptima del modelo de
ASIOMAT es la siguiente:
V.B. x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3 b
s1 0 -12/5 0 8 1 -4/10 6/10 7040
x3 0 2/5 1 1/2 0 1/20 -1/10 160
x1 1 2/5 0 3 0 -1/10 4/10 360
-z 0 280 0 100 0 30 180 -912000
El servicio 2 se corresponde con la variable no bsica . El coeficiente reducido de en la filaz de esta tabla es .
Adems, la tabla de inicio del modelo de ASIOMAT es:
V.B. x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3 b
s1 1 2 10 15 1 0 0 9000
s2 10 20 40 50 0 1 0 10000
s3 5 6 10 20 0 0 1 3400
-z -1200 -1400 -3000 -5000 0 0 0 0
Por lo tanto, el coeficiente original asociado a la variable no bsica es .Aplicando entonces la frmula anteriormente descrita, se tiene que:
La expresin anterior indica que el cambio que admite el coeficiente de la variable no
bsica para no alterar la base ptima corresponde al intervalo abierto .Sin embargo, debe observarse que el modelo de ASIOMAT corresponde a unproblema de maximizacin. El mtodo que se ha presentado para resolver unproblema de anlisis de sensibilidad en este texto, al igual que el algoritmo smplex,
est diseado para problemas de minimizacin, por lo que la solucin anteriorcorresponde al caso de minimizacin,
. Para obtener la solucin
correspondiente al caso de maximizacin, debe invertirse el intervalo de optimalidadobtenido, multiplicndolo por -1. Por lo tanto, se tiene:
Multiplicando por -1:
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Por lo tanto, concluimos que el intervalo de optimalidad para el coeficiente corresponde al intervalo abierto . Este intervalo nos indica que elcoeficiente puede variar entre valores infinitamente pequeos, hasta un valor de1680, de tal forma que este cambio no altere la base ptima correspondiente a la
solucin del modelo de ASIOMAT.
b) Para coeficientes asociados a variables no bsicas:Cuando se desea analizar elcambio en los coeficientes que se corresponden con las variables bsicas de un
modelo, dicho anlisis debe realizarse de una forma algo distinta. Sea el cambio(positivo o negativo) en el coeficiente asociado a la variable bsica . Se definen lacota superior y la cota inferior del cambio en el coeficiente de dichavariable como:
{ } { }
Donde es el coeficiente reducido de la variable bsica en la tabla ptima (que,haciendo caso a la notacin, corresponde a la -sima iteracin), y es elcoeficiente de restriccin de la variable no bsica que se ubica en la mismacolumna que , en la correspondiente iteracin.Ejemplo: En el modelo de ASIOMAT Cunto puede variar la utilidad del servicio 3 de
tal forma que se conserve la base ptima?
Solucin: Sea el cambio (positivo o negativo) en la utilidad del servicio 3. La tablaptima asociada al modelo de ASIOMAT es la siguiente:
V.B. x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3 b
s1 0 -12/5 0 8 1 -4/10 6/10 7040
x3 0 2/5 1 1/2 0 1/20 -1/10 160
x1 1 2/5 0 3 0 -1/10 4/10 360
-z 0 280 0 100 0 30 180 -912000
Utilizando las frmulas anteriores, calculamos las cotas superior e inferior delcoeficiente como sigue: { }
Lo que implica:
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*+ Adems,
{ } Lo que implica:
Por lo tanto, concluimos que
. Al igual que lo que sucede en las
variables no bsicas, este mtodo de anlisis est diseado para problemas de
minimizacin. Como el modelo de ASIOMAT es de maximizacin, se debe multiplicar
el intervalo de optimalidad por -1 para as invertirlo. Luego, .Sumando esta expresin al coeficiente de se obtiene:
Este cambio es el permitido para as asegurar que la base ptima no vare.
ADICIN DE UNA NUEVA VARIABLE AL MODELO:La adicin de una actividad en unmodelo de programacin lineal equivale a agregar una nueva variable. En forma intuitiva,
la adicin de una nueva actividad slo es deseable si sta ltima resulta ser rentable; esto
es, si mejora el valor ptimo de la funcin objetivo. Como esta actividad no es todava
parte de la solucin, se puede considerar como una variable no bsica. Eso quiere decir
que los valores duales asociados con la solucin actual permanecen invariables, por lo
que podemos utilizar la frmula del mtodo smplex revisado para calcular los coeficientes
reducidos nuevos debido a la implementacin de esta variable:
Ejemplo: ASIOMAT ha comenzado a considerar la implementacin de un nuevo servicio
de fortificacin que permita ampliar la oferta de la empresa a operaciones mineras. Este
nuevo servicio requiere del uso de 12 unidades del recurso de preparacin, 20 unidades
del recurso de instalacin, y 22 unidades del recurso de inspeccin tcnica de calidad,
con una utilidad asociada de 4500 unidades monetarias Cree usted que la
implementacin de este nuevo servicio es beneficioso para ASIOMAT?
Solucin: El nuevo servicio a implementar se define mediante una nueva variable, .Utilizando lo descrito en el enunciado, se tiene que el modelo queda:
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La mejor forma de evaluar el cambio en el modelo respecto de la adicin de una nueva
variable, es utilizar la frmula del mtodo smplex revisado para calcular costos reducidos:
Donde corresponde a la matriz de coeficientes originales de las variables del problemaen la funcin objetivo (aquellos que se corresponden con la tabla de inicio), y
es el
vector fila de valores duales ptimos del PPL actual, con el signo opuesto.
Utilizando la tabla ptima, sin considerar la inclusin de la nueva variable , se tiene:Tabla ptima actual:
V.B. x1 x2 x3 x4 s1 s2 s3 b
s1 0 -12/5 0 8 1 -4/10 6/10 7040
x3 0 2/5 1 1/2 0 1/20 -1/10 160
x1 1 2/5 0 3 0 -1/10 4/10 360
-z 0 280 0 100 0 30 180 -912000
El vector de valores duales es aquel conformado por los coeficientes reducidos (en la fila
z) de las holguras, multiplicados por -1. Estos coeficientes se han marcado con color
verde en la tabla anterior:
Tabla smplex de inicio, considerando la inclusin de la nueva variable :
V.B. x1 x2 x3 x4 x5 s1 s2 s3 b
s1 1 2 10 15 12 1 0 0 9000s2 10 20 40 50 20 0 1 0 10000
s3 5 6 10 20 22 0 0 1 3400
-z -1200 -1400 -3000 -5000 -4500 0 0 0 0
El vector de coeficientes objetivo originales, marcados con amarillo en la tabla de inicio
anterior, es el siguiente:
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La matriz de columnas de restriccin original correspondiente a las variables del
problema, marcada con rojo en la tabla de inicio anterior, es la siguiente:
Por lo tanto, el vector de coeficientes reducidos es igual a:
Luego:
Como ninguno de los coeficientes reducidos es negativo, seguimos estando en el ptimo.
Es claro entonces que la inclusin de la nueva variable, , no mejorar el plan ptimo,porque no ingresar a la base y, por ende, ser nula en el ptimo, y por ende, no rentable
de producir.
Naturalmente, si se diera el caso de que entrara a la base (o dicho de otra forma, sucoeficiente reducido fuese negativo), entonces se deber realizar una nueva iteracin,
considerando a
como una variable de entrada, y calculando la variable de salida y los
respectivos elementos matriciales utilizando el mtodo smplex revisado.
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Modelo de TrasporteEl problema de transporte corresponde a un tipo particular de programacin lineal. Si bien
este problema puede ser resuelto mediante el Algoritmo Smplex, existe un mtodo
simplificado especial para resolverlo.
DEFINICIN DEL MODELO DE TRANSPORTE: A modo de ejemplo, construiremos elmodelo de programacin lineal para el siguiente problema.
Una faena minera, explotada por la Compaa ASIOP Sociedad Annima Ltda.
(ASIOPSAL) dispone de tres puntos de carguo para satisfacer la demanda de mineral de
sus cuatro puntos de vaciado, conectados a planta. Los puntos de carguo 1, 2 y 3 pueden
suministrar a los diferentes puntos de vaciado con 35, 50 y 40 kilo-toneladas. El valor
mximo de consumo ocurre a las 14:00 horas, y es de 45, 20, 30 y 30 kilo-toneladas,respectivamente. El costo de enviar 1000 toneladas depende de la distancia que deban
recorrer los equipos de transporte (camiones fuera de carretera). La siguiente tabla
muestra los costos de envo unitario (cada 1000 toneladas, y en miles de dlares) desde
cada punto de carguo a cada punto de vaciado, conectado a planta:
PPM-01 PPM-02 PPM-03 PPM-04 Suministro (kt)PC-01 8 6 10 9 35PC-02 9 12 13 7 50PC-03 14 9 16 6 40Requerimiento (kt) 45 20 30 30
La idea es formular un modelo de programacin lineal que permita minimizar los costos de
satisfaccin de la demanda mxima en todos los puntos de vaciado conectados a planta.
En primer lugar, debemos definir las variables de decisin necesarias para representar las
posibles decisiones que puede tomar la Compaa Minera. En este caso, corresponde a la
cantidad de material que se debe enviar desde cada punto de carguo a cada punto de
vaciado. Luego, para y , tendremos:cantidad (en miles de toneladas) de material enviado desde
el punto de carguo i hasta el punto de vaciado j
En trminos de estas variables, el costo total de transportar este material a todos los
puntos de vaciado es igual a la suma de los costos independientes desde cada punto de
carguo; si tenemos:
Desde el punto de carguo 1: Desde el punto de carguo 2:
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Desde el punto de carguo 3: Entonces el costo total, que denominamos , es igual a la suma de las tresexpresiones anteriores.
El problema tiene dos tipos de restricciones. En primer lugar, la cantidad de material totalsuministrada por cada punto de carguo no puede exceder su capacidad. En este caso se
habla de oferta, o mejor an, de restricciones de oferta o suministro.
Como existen 3 puntos de oferta o suministro (los 3 puntos de carguo), existen 3
restricciones dadas por:
Restriccin de oferta de PC-01: Restriccin de oferta de PC-02: Restriccin de oferta de PC-03: En segundo lugar, se deben plantear las restricciones que permiten asegurar que se
satisfaga la demanda en los 4 puntos de vaciado. As, las restricciones de demandapara cada punto de demanda (los 4 puntos de vaciado) estn dadas por:
Restriccin de demanda de PPM-01: Restriccin de demanda de PPM-02: Restriccin de demanda de PPM-03: Restriccin de demanda de PPM-04: Naturalmente, no podemos enviar una cantidad negativa de material a los puntos vaciado,
por lo que .Por otro lado, es posible construir grficamente una representacin de este problema:
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Figur a 13:Esquema del problema de transporte
La solucin de este problema, tal y como puede demostrarse, es la siguiente:
; ; ; ; ; ; ; ; ; El costo mnimo asociado es USD.FORMULACIN GENERAL DEL MODELO DE TRANSPORTE: Un problema detransporte queda definido por la siguiente informacin:
1. Un conjunto de puntos de oferta. Cada punto de oferta tiene asociado una oferta,que designamos por .
2. Un conjunto de puntos de demanda. Cada punto de demanda tiene asociado unademanda .
3. Cada unidad enviada desde un punto de oferta a un punto de demanda tiene uncosto unitario de transporte .Consideremos:
Nmero de unidades enviadas desde el punto de oferta al punto de demanda .
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Luego, la formulacin del modelo de transportequeda:
Si se satisface:
Se dice que el problema se encuentra balanceado. En el caso del ejemplo anterior, se
tiene que tanto la suma de las ofertas como la suma de las demandas es igual a 125. En
el caso de un problema de transporte balanceado todas las restricciones estarn al lmite,
por lo tanto la formulacin queda:
PROBLEMAS NO BALANCEADOS: Si la oferta total supera a la demanda total, sepuede balancear el problema de transporte incorporando un punto de demanda artificial o
dummy que tenga como demanda el excedente de oferta del problema. Como las
asignaciones al punto artificial no son reales, se les asigna un costo unitario nulo.
Para ilustrar el balance de un problema de transporte no balanceado, supongamos en el
ejemplo anterior que la demanda del punto de vaciado PPM-01 disminuye a 40 kt. La
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Figura 14 ilustra la incorporacin del punto de demanda artificial y entrega la solucin
respectiva.
Figur a 14:Problema de transporte balanceado
Una forma ms prctica de representar un problema de transporte es mediante un
tableau de transporte. Una celda de la fila y la columna representa la variable . Sesuele incorporar es la esquina superior derecha el costo unitario asociado a la
combinacin
. En general, el tableau queda de la siguiente forma:
Oferta
Demanda
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Construyendo el tableau para el ejemplo anterior (caso balanceado), e introduciendo la
solucin ptima, se tiene que:
PPM-01 PPM-02 PPM-03 PPM-04 Oferta
PC-01
PC-02
PC-03
Demanda
En este caso, se puede verificar que el problema est balanceado comprobando que la
suma de la columna de oferta y la fila de demanda es idntica.
As como un problema de transporte puede no estar balanceado cuando la demanda es
inferior a la oferta, tambin es posible que la demanda supere a la oferta. En este caso, se
recurre a un punto de oferta artificial con valor de oferta equivalente a la diferencia entre
oferta y demanda, de modo de balancear el problema. Los costos asociados al envo de
unidades desde un punto de oferta artificial tambin son nulos, y por ende no se
consideran al igual que en el caso anterior.
SOLUCIN DEL MODELO DE TRANSPORTE.
SOLUCIN BSICA DE INICIO: Consideremos un problema de transporte con puntosde oferta y puntos de demanda. De acuerdo a la formulacin vista anteriormente, elproblema tendr restricciones de igualdad.Existen tres mtodos distintos para poder obtener una solucin bsica de inicio en un
modelo de transporte, siendo la gran diferencia entre ellos el nmero de pasos
(iteraciones) sucesivos que se tengan que hacer posteriormente para alcanzar la solucin
ptima del problema. Dichos mtodos son los siguientes:
Mtodo de la Esquina Noroeste
Mtodo de Costo Mnimo
Mtodo de aproximacin de Vogel
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Antes de proceder al estudio de estos mtodos, conviene detenernos un poco en la
definicin de qu es una solucin bsica de inicio. En particular, se debe observar que si
un conjunto de valores para las variables satisface todas las restricciones salvo una,entonces automticamente satisface la otra restriccin. Por ejemplo, consideremos que en
el ejemplo anterior se sabe que los valores de las variables satisfacen todas las
restricciones, salvo la primera restriccin de oferta. Por lo tanto, los valores de las satisfacen kt, y proveen kt de los puntosde carguo 2 y 3. Por lo tanto, el punto de carguo 1 debe proveer kt. Luego los valores de tambin satisfacen la primera restriccin de oferta.
Al respecto, para poder resolver el problema, consideraremos que se satisfacen restricciones, omitiendo alguna. En forma arbitraria, omitiremos la primera restriccin de
oferta. Naturalmente, cualquier coleccin de variables no necesariamenteconforman una solucin bsica factible para el problema de transporte que queramos
trabajar. Para asegurar que, en efecto, s lo sean, definiremos el concepto de loop o
circuito.
Un orden secuencial de al menos cuatro celdas distintas se denomina loopo circuitosise cumple que:
Dos celdas consecutivas estn en la misma columna o en la misma fila
No tiene tres celdas consecutivas en una misma columna o en una misma fila
La ltima celda de la secuencia tiene una fila o columna comn con la primera celda
de la secuencia
Las Figura 15 muestra ejemplos de lo que es un loop.
Figur a 15: Ejemplos de loops o circuitos
La Figura 16 muestra ejemplos de secuencias de celdas que no conforman un loop, pues
no satisfacen todas las condiciones establecidas en su definicin.
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Figur a 16:Ejemplos de secuencias que no conforman un loop
Habiendo introducido el concepto de loop, estableceremos el siguiente teorema.
TEOREMA DE SECUENCIACIN:Consideremos un problema de transporte balanceadocon puntos de oferta y puntos de demanda. Las celdas correspondientes a unconjunto de variables no contienen un loop si y slo si las variablesconstituyen una solucin bsica inicial.
El teorema anterior puede demostrarse utilizando lgebra lineal de forma muy sencilla,
puesto que se desprende del hecho de que en un conjunto de celdas, stas nocontienen un loop siempre y cuando las columnas correspondientes a lasceldas son linealmente independientes.
Ahora s estamos en condiciones de revisar los mtodos para poder construir una
solucin bsica de inicio. Para ello, utilizaremos el siguiente ejemplo.
Ejemplo: La compaa Sun-Ray Transport transporta grano desde tres silos hasta tres
molinos. La oferta (en camionadas) y la demanda (tambin en camionadas) se resumen
en el tableau de transporte que se presenta a continuacin, junto con los costos unitarios
de transporte por camionada en las distintas rutas. Los costos unitarios de transporte (que se ven en la esquina superior derecha o esquina noreste de cada celda), estn encientos de US$.
Molino 1 Molino 2 Molino 3 Molino 4 Oferta
Silo 1
Silo 2
Silo 3
Demanda
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En el modelo de Sun Ray Transport se busca el programa de transportes entre silos y
molinos que tenga costo mnimo. Esto equivale a determinar la cantidad transportadadesde el silo hasta el molino( ).1. Mtodo de la Esquina Noroeste: el mtodo, como lo indica su nombre, comienza en
la celda (ruta) noroeste, o superior izquierda, del tableau de transporte (es decir, lacelda ).Paso 1: Asignar todo lo que ms se pueda a la celda seleccionada y ajustar lascantidades de oferta y demanda asociadas restando la cantidad asignada a la celda
respectiva.
Paso 2: Salir de la fila o columna cuando se alcance oferta o demanda cero, ytacharlo, para indicar que no se pueden hacer ms asignaciones a esa fila o columna.
Si una fila y una columna dan cero al mismo tiempo, tachar slo uno(la fila o columna)
y dejar una oferta (o demanda) cero en la fila (columna) que no se tach.
Paso 3: Si queda exactamente una fila o columna sin tachar, detenerse. En casocontrario, avanzar a la celda de la derecha si se acaba de tachar una columna, o a la
de abajo si se acaba de tachar una fila. Seguir con el paso 1.
Ejemplo: Al aplicar el procedimiento al modelo de Sun Ray Transport se obtiene la
solucin bsica de inicio que se da en el tableau siguiente. Las flechas indican el orden en
el que se generan las cantidades asignadas.
Molino 1 Molino 2 Molino 3 Molino 4 Oferta
Silo 1 Silo 2
Silo 3
Demanda Al respecto, se debe notar que la sumatoria por filas (columnas) de las unidades
asignadas en cada celda debe igualar la cantidad de oferta (demanda) asociada a la fila
(columna) respectiva.
La solucin de inicio es entonces la siguiente:
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El costo de este programa de inicio es el siguiente:
2. Mtodo de Costo Mnimo: Este mtodo determina una mejor solucin bsica de
inicio, porque se concentra en las rutas menos costosas. Se inicia asignando todo lo
posible a la celda que tenga el mnimo costo unitario (los empates se rompen en forma
arbitraria). A continuacin, la fila o columna ya satisfechos se tacha, y las cantidades
de oferta y demanda se ajustan en consecuencia. Si se satisfacen en forma
simultnea una fila y una columna al mismo tiempo, slo se tacha uno de los dos,
igual que en le mtodo de la esquina noroeste. A continuacin se busca la celda no
tachada con el costo unitario mnimo y se repite el proceso hasta que queda sin tachar
exactamente una fila o una columna.
Ejemplo: Se aplicar el mtodo de costo mnimo al modelo de Sun Ray Transport de la
siguiente manera:
a) La celda (1, 2) tiene el costo unitario mnimo de toda la tabla (= US$ 2). Lo ms que se
puede transportar por (1, 2) es camionadas, y en este caso se satisfacen almismo tiempo la fila 1 y la columna 2. Se tacha en forma arbitraria la columna 2 y se
ajusta la oferta de la fila 1 a cero.
b) La celda (3, 1) tiene el mnimo costo unitario sin tachar (= US$ 4). Se asigna camionadas, se tacha la columna 1 porque qued satisfecha y se ajusta la demandade la fila 3 a camionadas.
c) Al continuar de este modo, se asignan en forma sucesiva 15 camionadas a la celda
(2, 3), 5 camionadas a la celda (3, 4) y 10 a la celda (2, 4) (verifquelo!).
La solucin bsica de inicio que se obtiene de esta forma es la siguiente:
El costo de este programa de inicio es .El tableau de transporte definido por la solucin bsica usando el mtodo de costo mnimo
es el siguiente:
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Molino 1 Molino 2 Molino 3 Molino 4 Oferta
Silo 1
Silo 2
Silo 3
Demanda
A pesar de que la asignacin anterior es correcta, se debe tener en consideracin que la
solucin bsica, como bien se dijo, debe estar conformada por una coleccin de
variables bsicas, de tal forma que stas no formen un loop. Sin embargo, en eltableau anterior, slo hay 5 variables bsicas, cuando debera haber asignaciones.
Lo anterior se arregla asignando una nueva variable bsica a una celda, de tal forma que
sta tenga valor cero, y adems, no forme un loop con las variables bsicas que fueron
asignadas con anterioridad. Lo primero es entonces descartar los posibles loops de la
siguiente forma:
Molino 1 Molino 2 Molino 3 Molino 4 Oferta
Silo 1 Silo 2
Silo 3
Demanda Las celdas remarcadas en amarillo no pueden, por tanto, ser utilizadas para asignar
valores nulos y completar la asignacin de variables bsicas, porque se generara un loop
y por ende se violara el teorema de secuenciacin. Cualquier otra eleccin nos sirve. Sin
embargo, se recomienda elegir aquella celda cuyo costo sea mnimo para asignar un
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cero, puesto que as se alcanza ms rpido la solucin (la celda (2, 2) cumple este
requisito).
La calidad de la solucin bsica de inicio obtenida mediante el mtodo de costo mnimo
es mejor que la que se obtuvo con el mtodo de la esquina noroeste, porque da un costo
mnimo menor.
3. Mtodo de aproximacin de Vogel: Es una versin mejorada del mtodo de costomnimo, que en general produce mejores soluciones de inicio.
Paso 1: Determinar para cada fila (columna) una medida de penalizacin o penalidadrestando el elemento de costo unitario mnimo en la fila (columna) del elemento del
elemento con costo unitario siguiente al mnimode la misma fila (columna).
Paso 2: Identificar la fila (columna) con la mayor penalizacin. Romper los empates enforma arbitraria. Asignar todo lo posible a la variable que tenga el mnimo costo
unitario de la fila o columna seleccionada. Ajustar la oferta y la demanda y tachar la
fila o columna ya satisfechos. Si se satisfacen una fila y una columna de forma
simultnea, slo se tacha uno de los dos y al que queda se le asigna una oferta o
demanda de cero.
Paso 3:
a) Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o demanda,detenerse.
b) Si queda sin tachar una fila (columna) con oferta (demanda) positiva, determinar
las variables bsicas en la fila (columna) con el mtodo de costo mnimo.Detenerse.
c) Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y demanda(restante), asignar las variables bsicas cero por el mtodo de costo mnimo.
Detenerse.
d) En cualquier otro caso, seguir al paso 1.
Ejemplo: Se aplicar el mtodo de Vogel al modelo de Sun Ray Transport. En el siguiente
tableau de transporte se calcula el primer conjunto de penalidades.
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Molino 1 Molino 2 Molino 3 Molino 4 Oferta Penalidades
de fila
Silo 1
Silo 2
Silo 3
Demanda
Penalidades
de columna
Como en la fila 3 se tiene la mxima penalidad (= 10) y la celda (3, 1) tiene el costo
unitario mnimo de esa fila, se asigna la cantidad 5 a . Queda satisfecha ahora lacolumna 1 y se debe tachar. A continuacin se vuelven a calcular las penalizaciones,
como se ve en el siguiente tableau de transporte.
Molino 1 Molino 2 Molino 3 Molino 4 Oferta Penalidades
de fila
Silo 1
Silo 2
Silo 3
Demanda
Penalidades
de columna En este caso se ve que la fila 1 tiene la penalidad mxima (= 9). En consecuencia, se
asigna la mxima cantidad posible a la celda (1, 2), con lo que se obtiene , y almismo tiempo se satisfacen tanto la columna 2 como la fila 1. En forma arbitraria se tacha
la columna 2 y se ajusta a cero la oferta en la fila 1.
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Con la continua asignacin sugerida por el mtodo de Vogel, y luego completando las 6
variables bsicas con ceros en aquellas celdas que no formen un loop con las variables
asignadas (verifquelo!), se obtiene la siguiente solucin (los ceros se han asignado a
celdas arbitrarias):
El costo de este programa de inicio es , que coincide con el obtenido en elmtodo de costo mnimo. Sin embargo, el mtodo de Vogel suele obtener mejores
soluciones iniciales, lo que asegura una cantidad de iteraciones menor para llegar a la
solucin ptima del problema.
CLCULO DE LA SOLUCIN PTIMA: A continuacin se expondrn los pasos paraaplicar el algoritmo completo de transporte. Estos pasos suponen un problema de
transporte con puntos de oferta y puntos de demanda:Paso 1: Si el problema de transporte no est balanceado, balancearlo. Construir eltableau de transporte asociado.
Paso 2: Encontrar una solucin bsica de inicio utilizando cualquiera de los mtodosestudiados con anterioridad. Verificar las asignaciones y completarlas si esnecesario.
Paso 3: Plantear y resolver el sistema que se obtiene a travs de:
Definir para cada fila del tableau la variable . Definir para cada columna del tableau la variable . Plantear para cada celda la ecuacin , donde es el costo unitario
asociado a la celda . Asignar un valor arbitrario a una de las variables. Normalmente se suele asignar . Luego, despejar las dems variables planteadas.Paso 4: Calcular en todas las celdas no asignadas (variables no bsicas) los costos
reducidos como . En este caso, es el costo reducido de la variableno bsica . Si , hemos llegado al ptimo. Si existe algn ,incorporar la variable no bsica con el ms negativo, siempre y cuando se puedaformar un loop. En dicho caso, asignar el mayor valor posible a modo de mantener lasvariables bsicas mayores o iguales a cero.
Paso 5: Si la solucin no es la ptima, emplear la solucin del paso anterior para volver aplantear y resolver el sistema planteado en el paso 3, y seguir al paso 4.
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Debe observarse que las variables planteadas las iteraciones sucesivas son lasVARIABLES DUALES del problema de transporte para las respectivas iteraciones. Luego,
al obtener la solucin ptima del problema de transporte con este algoritmo, se obtendr
adems, la solucin ptima del dual, porque tendremos calculados por valores de en el ptimo.
Ejemplo: Vamos a resolver el modelo de Sun Ray Transport utilizando este algoritmo.
Utilizaremos para ello la solucin bsica de inicio encontrada utilizando el mtodo de la
esquina noroeste.
Molino 1 Molino 2 Molino 3 Molino 4 Oferta
Silo 1
Silo 2
Silo 3
Demanda
Asociamos entonces las variables duales y para la oferta y la demanda,respectivamente. Se tiene entonces (asumiendo
):
Variable bsica Ecuaciones Solucin Tabla 8:Valores duales del problema de Sun Ray Transport para la primera iteracin
Calculamos ahora los costos reducidos para las variables no bsicas:
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. Naturalmente, el loop consiste en segmentos horizontales y verticales conectando (nose permiten diagonales). Excepto para la variable de entrada, cada esquina del loop debe
coincidir con una variable bsica. Existe siempre uno y slo un loop para cadavariable de entrada.
El tableau siguiente muestra como se genera el loop para la variable . Oferta
Demanda A continuacin se le asigna la cantidad a la celda de la variable de entrada (3, 1). Paraque se sigan satisfaciendo los lmites de la oferta y la demanda, se debe alternar entre
restar y sumar la cantidad en las esquinas sucesivas del loop, como se ve en el tableauanterior. Los valores de las variables siguen siendo no negativos siempre que:
De lo anterior, el valor mximo de es 5, que se presenta tanto cuando comollegan a nivel cero. Como slo una variable bsica actual debe salir de la base, sepuede escoger entre estas dos variables como variable de salida. Escogeremos
arbitrariamente a para que salga de la solucin.La seleccin de
como variable de entrada y
como variable de salida requiere
el ajuste de los valores de las variables bsicas en las esquinas del loop. Como cadaunidad que se transporta por la ruta (3, 1) reduce el costo de transporte en 9 unidades
monetarias ( , el costo total asociado con el programa de transporte es unidades monetarias menos que en el programa anterior.Con la nueva solucin bsica, se repite el clculo de los valores duales y , como seve en la siguiente tabla. La variable de entrada es . El loop indica que y que lavariable de salida es .
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Oferta
Demanda La nueva solucin se ve en la tabla siguiente: cuesta
unidades monetarias
menos que la anterior, y el costo nuevo total es de 435 unidades monetarias. Adems, , lo que implica que hemos llegado al ptimo. El tableau siguiente muestra esteresultado. Oferta
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Ejemplo: El jefe de carguo y transporte de una operacin a cielo abierto debe asignar
cuatro operadores a cuatro palas en el turno. Los costos unitarios (en unidades
monetarias) que expresan la habilidad del operador se dan a continuacin. Aquellos
costos indeterminados (-) representan la condicin de no aplicabilidad del operador a la
pala respectiva.
Operador 1 Operador 2 Operador 3 Operador 4Pala 1 9 3 - 5Pala 2 7 2 7 6Pala 3 5 5 2 -Pala 4 7 4 3 2
Tabla 11:Costos unitarios de cada operador en cada una de las palas
Determine la asignacin ptima de estos operadores a cada pala, de tal forma que el
costo unitario total de dicha asignacin sea mnimo.
Solucin: El algoritmo hngaro procede de una forma muy sencilla. Lo primero es generar
una matriz de costos. Por definicin del modelo de asignacin, dicha matriz siempre debe
ser cuadrada. Si no lo fuera, siempre se pueden generar puestos o trabajadores ficticios
de costo nulo para poder as siempre tener una matriz de este orden. Para este problema,
se tiene lo siguiente:
En la matriz anterior, la constante M (la cual, como en el mtodo de la gran M, se asume
que tiene valores infinitamente grandes) representa las asignaciones que no se pueden
hacer. Al asumir costos infinitos, el algoritmo ignora de forma automtica la asignacin no
permitida, asegurando un resultado correcto.
El siguiente paso es identificar el valor mnimo de cada fila y restarlo de todos los
elementos de esa misma fila. De forma explcita, para este problema, se tiene que los
mnimos por fila son 3, 2, 2 y 2, respectivamente (de arriba hacia abajo). Restando estos
elementos a las filas respectivas, se obtiene:
Ahora, en la matriz resultante, que denotamos por , deben identificarse los elementosmnimos de cada columna, y luego restarlos a todos los elementos de esa misma
columna. En este caso, se tendr lo siguiente:
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Los ceros que han sido marcados con amarillo indican la asignacin ptima encontrada:
Asignar el operador 1 a la pala 2
Asignar el operador 2 a la pala 1
Asignar el operador 3 a la pala 3
Asignar el operador 4 a la pala 4
El costo mnimo de esta asignacin se calcula sumando los costos unitarios originales que
se corresponden con los ceros que definen nuestra asignacin ptima. En particular:
Luego, la asignacin ptima tiene un costo mnimo de 11 unidades monetarias.
MODELO DE TRANSBORDO.
En el modelo de transbordo, se reconoce que puede ser ms econmico el transporte
pasando por nodos intermedios o transitorios antes de llegar al destino final. Este
concepto es ms general que el modelo normal de transporte, en el que slo se permiten
envos directos entre una fuente y un destino.
Ejemplo: Dos fbricas de automviles, P1 y P2, se enlazan con tres agencias, D1, D2 y
D3, a travs de dos centros de distribucin, T1 y T2. La siguiente red representa este
problema:
Figur a 17:Red con nodos de transbordo
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Las cantidades de oferta en las plantas P1 y P2 son 1000 y 1200 autos, y las cantidades
de demanda en las agencias D1, D2 y D3 son 800, 900 y 500 autos, respectivamente. El
costo de transporte por vehculo se ve en los enlaces o arcos de la red.
En esta red hay transbordos, porque toda la oferta de 2200 autos de los nodos P1 y P2
podra pasar en principio por cualquier nodo de la red, antes de llegar a su destino en losnodos D1, D2 y D3. Al respecto, los nodos de la red que tiene n arcos de entrada y salida
al mismo tiempo (T1, T2, D1 y D2) funcionan como fuentes y destinos al mismo tiempo, y
se llaman nodos de transbordo. Los nodos restantes pueden ser nodos de oferta pura (P1
y P2) o nodos de demanda pura (D3).
El modelo de transbordo puede transformarse en un modelo normal de transporte usando
el siguiente recurso algebraico:
Oferta en un nodo de oferta pura = Oferta original
Demanda en un nodo de demanda pura = Demanda original
Oferta en un nodo de transbordo = Oferta original + Amortiguador
Demanda en un nodo de transbordo = Demanda original + Amortiguador
El amortiguador, denotado comnmente por B, se define como cualquier cantidad lo
suficientemente grande como para permitir que toda la oferta (o demanda) original pase
por cualquier de los nodos de transbordo. Es muy comn que se defina como la suma de
las ofertas originales, porque as se satisface siempre este requisito. Luego, amortiguador
= 1000 + 1200 = 2200. El modelo de transporte representativo de este modelo de
transbordo es el siguiente:
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T1 T2 D1 D2 D3 Oferta
P1
P2
T1
T2
D1
D2
Demanda
Los costos definidos por la constante M (que es infinitamente grande) representan rutas
imposibles o absurdas, de tal forma que se evite que el algoritmo de transporte las
considere en la solucin ptima. Este problema puede ahora ser resuelto de forma
normal.