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Guia de matematica
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UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
1
UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMTICA Y ESTADISTCA
MATEMATICA III. CICLO I 2010
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES. Documento preparado por: Ing. Elmer Edgardo Espinoza
Lic. Oscar Roberto Chacn MATERIAL DE APOYO CONTROL DE LECTURA No. 1
MXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLE
En las empresas hay situaciones en las cuales las actividades de produccin y o mercado,
entre otras, se encuentran con ciertas condiciones que las limitan y circunscriben a determinados
montos y alcances o proyecciones. De ah que los montos de produccin y venta que minimizan
costos y o maximizan utilidades se ven afectados por dichas condiciones, por lo cual se hace
necesario considerar los Mximos y Mnimos sin Condiciones y los Mximos y Mnimos con
Condiciones.
Mximos y Mnimos sin Condiciones
Notacin:
Expresin Significado
Pf la funcin evaluada en el punto P
0q
f
Pd
d la derivada total de f con respecto a q, evaluada en po (en este
caso f es una funcin de una sola variable)
0u
f
P la derivada parcial de f con respecto a u, evaluada en po (en este
caso f es una funcin de varias variables)
Es conocido que una funcin tiene un mximo relativo en un punto P si la funcin evaluada en
dicho punto es mayor o igual a la funcin evaluada en cualquier punto en las proximidades del
punto P. De manera similar, una funcin tiene un mnimo relativo en un punto P si la funcin
evaluada en dicho punto es menor o igual a la funcin evaluada en cualquier punto en las
proximidades del punto P.
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
2
Definicin:
Se dice que una funcin de varias variables f(r, s, t, , z) tiene un valor mximo relativo en
un punto P0(r0, s0, t0, , z0) si f(r0, s0, t0, , z0) f(r, s, t, , z) para todos los puntos
P(r, s, t, , z) prximos al punto P0(r0, s0, t0, , z0).
una funcin f de varias variables tiene un valor mximo relativo en un punto P0 si dicha
funcin f evaluada en P0 es mayor o igual que f evaluada en cualquier punto prximo a P0
Si f(r0, s0, t0, , z0) f(r, s, t, , z) para todos los puntos P(r, s, t, , z) prximos al
punto P0(r0, s0, t0, , z0), entonces la funcin tiene un mnimo relativo en el punto P0.
si f evaluada en P0 es menor o igual que f evaluada en cualquier punto prximo a P0 la
funcin f de varias variables tiene un valor mnimo relativo en P0
PUNTO CRITICO: A todo punto P0 para el cual se cumple que
0
,.......... ,0
,0
,0
0000Pz
f
Pt
f
Ps
f
Pr
f, se le conoce como un punto crtico de
la funcin f . En un punto crtico P0, puede que la funcin f tenga un mximo o un mnimo.
DETERMINANTE HESSIANO:
De una funcin de dos variables, u = f(x1, x2), se pueden obtener un mximo de dos al
cuadrado derivadas parciales de segundo orden, o sea cuatro: 22122111
, , , xxxxxxxx ffff .
Si estas derivadas parciales se ubican en un arreglo cuadrado fila-columna se obtiene el
determinante de orden dos:
2212
21112
xxxx
xxxx
ff
ff
A este arreglo conformado por todas las posibles derivadas parciales de segundo orden de f se
le conoce como el determinante Hessiano de la funcin f de dos variables
Si la funcin es de tres variables, u = f( x1, x2, x3 ), se pueden obtener un mximo de tres al
cuadrado derivadas parciales de segundo orden, o sea nueve:
332313322212312111 , , , , , , , , xxxxxxxxxxxxxxxxxx fffffffff .
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
3
Si estas derivadas parciales se ubican en un arreglo cuadrado fila-columna se obtiene el
determinante de orden tres:
332313
322212
312111
3
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
fff
fff
fff
A este arreglo conformado por todas las posibles derivadas parciales de segundo orden de f se
le conoce como el determinante Hessiano de la funcin f de tres variables
En general, el Hessiano de una funcin de n variables, u = f(x1, x2, x3, . , xn), es el
determinante de orden n conformado por todas las n al cuadrado posibles derivadas parciales
de segundo orden:
nnnn
n
n
n
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
fff
fff
fff
........
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
........
........
21
22212
12111
Ejemplos: Encontrar el Hessiano para c/u de las funciones dadas
1) u = x ln(yz) xy2 2) f(x, y) = x ln(y) + x
2 y 3) f(x, y, z) = y e
xz xyz
2
Solucin: 1) u = x ln(yz) xy2
Se trata de una funcin de tres variables, por tanto el Hessiano de la funcin u es el
determinante de orden tres formado por todas las segundas derivadas parciales de u:
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
uuu
uuu
uuu
3
Ahora solo resta encontrar las derivadas parciales de segundo orden y sustituirlas para obtener
el Hessiano.
En este ejemplo se encuentran solamente uxy y uyy, las dems las encuentra el estudiante:
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
4
x
u
y
xy
u
Hay que derivar u con respecto a x para despus derivar este resultado con respecto a y:
2yx -ln(yz) x
x
u x
22 y y -ln(yz)x
u x
x
- ln(yz)
x
x
u x
yyxy
uyz
yyzyyzu
u
xy
xy
21
2 yz
y
)ln(
y
)ln(
y
:que tieneanteriorse resultado el dosustituyen , x
u
y
22
y
u
y
yy
u
Hay que derivar u con respecto a y para despus derivar este resultado nuevamente con
respecto a y:
2
2
yy
ln(yz)
y
yx -ln(yz) y
y
u
xx
x
xyx
xz
x 2y
y
u 2y
yz
..
xyy
xu
u
yy
yy
2y
:que tieneseanterior resultado el dosustituyen , y
u
y
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
5
xy
xyy
uxx
yy
xuyy
22
2) y
1 (
y
x 2
1
y
2-
Corresponde al estudiante verificar que las dems derivadas parciales son precisamente las que
se muestran en el Hessiano:
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
uuu
uuu
uuu
3
2
2
0 1
0 2 21
1 2
1 0
z
x
z
xy
xy
y
zy
y
Nota: Las soluciones de los ejercicios 2) f(x, y) = x ln(y) + x2 y 3) f(x, y, z) = y e
xz xyz
2 se
dejan al estudiante.
MENORES PRINCIPALES DE UN DETERMINANTE DE ORDEN N
Un determinante de orden n es de la forma:
321
3333231
2232221
1131211
::::
::::
---
------
nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
n
Los menores principales de n se encuentran de la siguiente manera:
El primer menor principal 1 es el determinante de orden 1 conformado por el primer
elemento de la diagonal principal: 1 = a11
El segundo menor principal 2 es el determinante de orden 2 cuya diagonal principal son
los elementos a11 y a22:
2221
12112 aa
aa
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
6
El tercer menor principal 3 es el determinante de orden 3 cuya diagonal principal son los
elementos a11, a22 y a3 3:
333231
232221
131211
3
aaa
aaa
aaa
As sucesivamente hasta llegar al ltimo menor principal n cuya diagonal son los
elementos a11, a22, a3 3, a44, ., ann. O sea que el ltimo menor principal es el
mismo determinante n.
CRITERIO PARA MXIMOS Y MNIMOS PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Este no es ms que un caso particular del criterio para funciones de varias variables
Si z = f(x, y) es una funcin de dos variables y P0(x0, y0) es un punto crtico de f, entonces
puede ocurrir que:
a) 00
1 P y ,0
02 P
en cuyo caso hay un mximo relativo z0 = 0
Pf
Z
z0 (x0, y0, z0)
z = f(x, y)
Y y0
x0 P0(x0, y0)
X
En el punto (x0, y0, z0) hay un mximo relativo cuyo valor es z0 = f(x0, y0)
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
7
b) 00
1 P y ,0
02 P
en cuyo caso hay un mnimo relativo z0 = 0
Pf
Z
z = f(x, y) En el punto (x0, y0, z0) hay un mnimo
z0 relativo cuyo valor es z0 = f(x0, y0)
(x0, y0, z0)
Y
y0
X x0 P0(x0, y0)
c) ,00
2 Pen cuyo caso para P0 hay un punto de silla (x0, y0, z0)
Y
z = f(x, y)
z0
(x0, y0, z0) El punto (x0, y0, z0) es un punto de
silla: ah no hay un mximo relativo
ni un mnimo
y0 Y
x0 P0(x0, y0)
X
d) ,00
2 Pen cuyo caso se dice que el criterio falla: no se puede concluir con respecto al
punto crtico P0(x0, y0, z0)
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
8
Ejemplo: Encontrar los mximos y mnimos relativos de f(x, y) = x3 3xy + y
2 + y 5
Solucin:
Paso 1: Se aplica la condicin necesaria.
Se encuentran las primeras derivadas parciales y se igualan a cero para as encontrar los puntos
crticos, o sea aquellos puntos para los cuales puede que haya un mximo o un mnimo relativo
(o bien un punto de silla, en el caso de funciones de dos variables).
f(x, y) = x3 3xy + y
2 + y 5
5y 3xy-xx
x
y) f(x,
23 y
fx
5y 3xy-xy
y
y) f(x,
23 y
fy
y 3-2 x3x
f 12y x-3y
f
Igualando a cero las derivadas parciales:
fx = 0 fy = 0
3x2 3y = 0 (1) -3x + 2y + 1 = 0 (2),
se obtiene el sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, el cual se resuelve por cualesquiera
de los mtodos ya conocidos.
Por ejemplo, por igualacin:
3x2 3y = 0 (1) -3x + 2y + 1 = 0 (2)
y = x2
2
13xy
y = y
x2 =
2
13x 2x
2 3x + 1 = 0, de donde x = 1 x = 1/2
Sustituyendo en cualesquiera de las ecuaciones (1) (2) se obtiene y = 1 y =1/4
Se tienen entonces dos puntos crticos: P1(1, 1) y P2(1/2, 1/4)
Paso 2: Se aplica la condicin suficiente.
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
9
Se encuentran los menores principales del Hessiano de la funcin f y se evalan en cada punto
crtico. El signo de los valores numricos resultantes indica si hay un mximo o un mnimo
relativos (o bien un punto de silla, en el caso de funciones de dos variables).
f(x, y) = x3 3xy + y
2 + y 5
El Hessiano de f es: yyyx
xyxx
ff
ff2
Los menores principales de 2 son yyyx
xyxxxx ff
fff 21 y ,
Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden para sustituirlas en los menores
principales:
Las derivadas yx
ff y ya se conocen del paso 1: y 3- x3 2x
f
12y x-3y
f
xxx
f
yxf
yxf
ff
xx
x
xx
6
323x
33 tituye
-sus se , x
x
2
3
323y
33 tituye
sus se , x
y
2
xyf
yxf
yxf
ff
xy
x
xy
3
123x
123 tituye
-sus se , y
x
yxf
yxf
yxf
ff
yx
y
yx
2
123y
123 tituye
-sus se , y
y
yyf
yxf
yxf
ff
yy
y
yy
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
10
Los menores principales son entonces:
912 )3)(3()2)(6(
22
21
23
36
6x
xx
yyyx
xyxxxx
x
ff
fff
Al evaluar 1 y 2 en cada punto crtico el signo de los valores numricos resultantes indica
si hay un mximo o un mnimo relativo:
a) Para P1(1, 1)
9)1(121) ,1(
912
1) ,1( )1( 6
6
11
21
21
PP
xx
0
031) ,1(
11
11
21
21
y 0
:que observa se mnimosy mximos para criterio el Aplicando
1) ,1( 06
PP
PP
De lo anterior se concluye que en el punto P1(1, 1) la funcin tiene un mnimo.
Dicho mnimo relativo es igual a la funcin f evaluada en el punto crtico P1(1, 1):
f(x, y) = x3 3xy + y
2 + y 5
f(1, 1) = (1)3 3(1) (1) + (1)
2 + (1) 5 f(1, 1) = -6 es el mnimo relativo de la funcin.
b) Para P2(1/2, 1/4)
03
92
1 12
912
22
22
21
21
21
03
2
1 6
6
PP
PP
xx
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
11
Aplicando el criterio para mximos y mnimos se tiene que:
0
22
P
, de donde se concluye que para P2(1/2, 1/4) no hay mximo ni mnimo
relativo: hay un punto de silla.
Ejemplo: Encontrar los mximos y mnimos relativos de f(x, y, z) = x2 + y
2 + 7z
2 xy
Solucin:
Paso 1: Se aplica la condicin necesaria.
Se encuentran las primeras derivadas parciales y se igualan a cero para as encontrar los puntos
crticos (aquellos puntos para los cuales puede haber un mximo o un mnimo relativos; o bien
un punto de silla, en el caso de funciones de dos variables).
f(x, y, z) = x2 + y
2 + 7z
2 xy
xyz
fx
222 7y xx
x
z) y, f(x,
xyz
fy
222 7y xy
y
y) y, f(x,
y- x2x
f x-2yy
f
14z
7y xz
z
y) y, f(x, 222
zf
xyzffzz
Igualando a cero las derivadas parciales se obtiene el sistema de tres ecuaciones con tres
incgnitas:
fx = 0 fy = 0 fz = 0
2x y = 0 (1) 2y - x = 0 (2) 14z = 0 (3)
Este sistema se puede resolver por cualesquiera de los mtodos ya conocidos, resultando que:
x = 0, y = 0 z = 0, Se tiene entonces un punto crtico: P1(0, 0, 0)
Paso 2: Se aplica la condicin suficiente.
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
12
Se encuentran los menores principales del Hessiano de la funcin f y se evalan en el punto
crtico. El signo de los valores numricos resultantes indica si hay un mximo o un mnimo
relativos (o bien un punto de silla, en el caso de funciones de dos variables).
f(x, y, z) = x2 + y
2 + 7z
2 xy
El Hessiano de f es:
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
fff
fff
fff
3
Los menores principales de 3 son:
yyyx
xyxxxx ff
fff 21 , y
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
fff
fff
fff
3
Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden:
Las derivadas z
, f yx
ff ya se conocen del paso 1: fx = 2x y, fy = 2y x, fz = 14z
22x
x
x
xxfyx
ffxx
12y
x
y
xyfyx
ffxy
El estudiante puede verificar que las restantes derivadas de segundo orden son:
fxz = 0, fyx = -1, fyy = 2, fyz = 0, fzx = 0, fzy = 0, fzz = 14
Los menores principales son entonces:
3 )1)(1()2)(2(
2
222
11
21
12
yyyx
xyxx
xx
ff
ff
f
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
13
1400
021
012
33
zzfzyfzxf
yzfyyfyxf
xzfxyfxxf
42
)1)(1)(14()2)(0)(0()0)(2)(0()0)(1)(0()0)(0)(1()14)(2)(2(
0 0
2 1
12
1400
021
012
3
3
: Re Sarrusporsolviendo
Al evaluar 1, 2 y 3 en el punto crtico el signo de los valores numricos resultantes indica si
hay un mximo o un mnimo relativo:
Para P1(0, 0, 0):
0 , 0
042 03 0) 0, ,0(
42 3
111
111
221
321
321
, 0
:que que observa se mnimosy mximos para criterio el Aplicando
0) 0, ,0(0) 0, ,0( 02
2
PPP
PPP
De lo anterior se concluye que en el punto P1(0, 0, 0) la funcin tiene un mnimo.
Dicho mnimo relativo es igual a la funcin f evaluada en el punto crtico P1(0, 0, 0):
f(x, y, z) = x2 + y
2 + 7z
2 xy
f(0, 0, 0) = (0)2 + (0)
2 + 7(0)
2 (0)(0) f(0, 0, 0) = 0 es un mnimo relativo de la
funcin.
El siguiente ejercicio lo resuelve el estudiante siguiendo las indicaciones que se plantean para
su desarrollo, las cuales son muy similares a las utilizadas para resolver los dos ejemplos
anteriores.
Ejercicio: Encontrar los extremos relativos, si existen, de la funcin dada
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
14
f(x, y) = 2x4 + y
2 x
2 2y
Solucin:
Paso 1: Tienes que encontrar los puntos crticos. Cmo?. Encuentra las primeras derivadas
parciales con respecto a x e y, las igualas a cero y resuelves el sistema de
ecuaciones resultante.
f(x, y) = 2x4 + y
2 x
2 2y
a) Las derivadas encontradas debern ser: fx = 8x3 2x, fy = 2y - 2
b) Despus de igualar ambas derivadas a cero y resolver el sistema de ecuaciones resultante, los
puntos crticos que debers encontrar son: P1(-1/2, 1), P2(0, 1), P3(1/2, 1)
Paso 2: Tienes que encontrar el Hessiano de la funcin f y los menores principales. Evalas
dichos menores en cada punto crtico y el signo de estos resultados te dir si hay
mximos o mnimos relativos.
f(x, y) = 2x4 + y
2 x
2 2y
a) Tienes que encontrar todas las derivadas parciales de segundo orden y as los menores
principales debern resultar: 1 = 24x2 2 2 = 48x
2 4
Al evaluar 1 y 2 en cada punto crtico deber resultarte que:
Para P1(-1/2, 1), 1 0 y 2 0 en P1(-1/2, 1) hay un mnimo relativo.
Te corresponde encontrar dicho mnimo.
Para P2(0, 1), qu sucede?
Para P3(1/2, 1), qu sucede?
Debes recordar que todos los ejercicios de este tipo se resuelven de manera similar.
MXIMOS Y MINIMOS CONDICIONADOS
Las empresas enfrentan constantemente problemas de maximizacin o minimizacin, en donde
el dominio de la funcin se encuentra limitado por ciertas restricciones en las variables que
intervienen. Este tipo de problemas recibe el nombre de mximos y mnimos condicionados y
las condiciones o restricciones en las variables son llamadas comnmente
condiciones laterales.
Ejemplos de este tipo de problema podran ser:
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
15
El gerente de una fbrica que elabora dos productos finales para los cuales utiliza alguna
materia prima en comn y tiene limitaciones para obtenerla. Es posible que para
minimizar los costos tenga que distribuir adecuadamente la materia prima disponible para
producir una cantidad mnima determinada de cada producto.
Una compaa desea maximizar sus ventas como resultado de la utilizacin de dos
medios publicitarios diferentes, manteniendo los costos totales de promocin dentro de
lmites especficos.
El procedimiento para resolver problemas de mximos y mnimos condicionados sufre algunas
modificaciones, en referencia a problemas de mximos y mnimos libres.
La siguiente figura muestra que el mximo condicionado es muy diferente al mximo libre:
mL : mximo libre
Z mC : mximo condicionado
f(x, y, z)
El dominio de f(x, y, z) son los puntos del crculo
de radio r. Si no hay restricciones el mximo es
mL : mximo libre. La grfica de g(x, y) = 0 son
los puntos de la recta dentro del crculo; si se
restringe el dominio a nicamente estos puntos,
entonces el mximo que se obtiene es mC : mximo
condicionado.
Y
r
condicin g(x, y) = 0: si el dominio se condiciona solo
X a los puntos de esta recta, la mayor imagen es mC
Algunos de los problemas de mximos y mnimos condicionados pueden resolverse tratando de
reducirlos a problemas de mximos y mnimos libres, lo cual no siempre es posible.
Generalmente se utiliza un procedimiento conocido como mtodo de los multiplicadores de
Lagrange, el cual se describe a continuacin:
Si en un problema de optimizacin f(r, s, t, .., z) es la funcin a optimizar (la funcin que
se va a maximizar o minimizar) y si g(r, s, t, , z) = 0 es la condicin lateral que restringe su
dominio, entonces para resolver el problema se procede como sigue:
I. Se construye la funcin objetivo F, la cual est constituida por la suma de la funcin a
optimizar con el producto de la funcin restriccin por la variable . A la nueva variable
se le conoce como multiplicador de Lagrange.
F( , r, s, t, , z) = f(r, s, t, , z) + g(r, s, t, , z)
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
16
II. Se define el determinante de orden n+1, conocido como Hessiano orlado, conformado
por las derivadas parciales de segundo orden de la funcin objetivo:
z ......s r
:......:::
:......:::
z ......s r s s
z ......s r
z ......
1
zFzFzFzF
sFsFFF
rFrFrFrF
Fs
Fs
FF
n
III. Si P0( 0, r0, s0, t0, , z0) es un punto crtico de la funcin objetivo F, entonces en base a
los menores principales 3, 5, 4, .., n+1 se establece que:
a) Si ,00
3 P ,0
04 P
,00
5 P ,0
06 P
.., entonces la funcin original f
tiene un mximo relativo en P0 y dicho mximo es igual a 0
Pf
b) Si ,00
3 P ,0
04 P ,0
05 P
,00
6 P.., entonces la funcin origina f
tiene un mnimo relativo en P0 y dicho mnimo es igual a 0
Pf
c) En cualquier otra situacin el criterio falla.
Nota: Es importante observar que para mximos y mnimos condicionados no se toman en
cuenta los menores principales 21 y
Ejemplos: Una empresa calcula que la funcin de utilidad por la produccin y venta mensuales
de dos artculos diferentes x e y est dada por la ecuacin:
U(x, y) = 12x + 20y x2 2y
2, en miles de dlares.
a) Si la disponibilidad de materia prima es prcticamente ilimitada, calcular el nivel mensual
de produccin y venta que maximiza la utilidad.
b) Si la disponibilidad de materia prima es de 99 unidades por mes y si para producir cada
artculo x se utilizan 4 unidades mientras que para producir cada artculo y se necesitan 8
unidades, calcular el nivel mensual de produccin y venta que maximiza la utilidad.
Solucin: a) En este caso no existe condicin alguna: se trata de un problema de mximos y
mnimos libres.
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
17
Paso 1: Se encuentran las primeras derivadas parciales y se igualan a cero para as hallar los
puntos crticos.
Funcin a optimizar: U(x, y) = 12x + 20y x2 2y
2
x2122y x-20y12xx
x
y) U(x, 22xx
fU
y 4202y x-20y12xy
y
y) U(x, 22yy
UU
Ux = 0 Uy = 0
12 2x = 0 x = 6 20 4y = 0 y = 5, el punto crtico es entonces P0(6, 5).
Paso 2: Se encuentran los menores principales del Hessiano de la funcin f y se evalan en el
punto crtico para determinar la naturaleza del mismo.
U(x, y) = 12x + 20y x2 2y
2
El Hessiano de U es: yyyx
xyxx
UU
UU2
Los menores principales de 2 son:
yyyx
xyxx
xxUU
UU
U
21y ,
Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden:
Las derivadas Yx
UU y ya se conocen: 2x-12x
U 4y20y
U
2 212x
x
x
xxUx
UU
xx
0 212y
x
y
xyUx
UU
xy
0 420x
y
x
yxUy
UU
yx
4 420y
y
y
yyUy
UU
yy
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
18
Los menores principales son entonces:
8 )0)(0()4)(2( 2 221 40
02
yyyx
xyxxxx ff
UUU
Al evaluar 1 y 2 en cada punto crtico, el signo de los valores numricos resultantes indica si
hay un mximo o un mnimo relativo:
Para P0(6, 5)
085) ,6(
8
5) ,6( 0 2
2
00
21
21
PP
5) ,6( 0 relativo. mximoun valor enefuncin ti lay 0
que tienese mnimosy mximos para criterio elSegn
021
00
PPP
para
Dicho mximo relativo es igual a la funcin U evaluada en el punto crtico P0(6, 5):
U(x, y) = 12x + 20y x2 2y
2
U(6, 5) = 12(6) + 20(5) (6)2 2(5)
2 U(6, 5) = 111
U(6, 5) = 111 miles de dlares es la utilidad mxima al producir y vender 6 artculos del tipo
x y 5 del tipo y, por mes, si no hay restriccin en la obtencin de la materia prima.
Solucin: b) En este caso existen condiciones que limitan la produccin: se trata de un problema
de mximos y mnimos condicionados.
I. Se construye la funcin objetivo F( , x, y) = U(x, y) + g(x, y), para lo cual obviamente se
necesita conocer la funcin restriccin g(x, y):
Funcin a optimizar: U(x, y) = 12x + 20y x2 2y
2
Restriccin: 4 unidades de materia prima por el nmero de artculos x ms 8 unidades de
materia prima por el nmero de artculos y es igual a las 88 unidades de materia prima
disponible por mes 4x + 8y = 88, de donde g(x, y) = 4x + 8y - 88
Funcin objetivo: ya se sabe que la funcin objetivo es igual a la suma de la funcin a
optimizar con el producto de la funcin restriccin por la variable .
F( , x, y) = U(x, y) + g(x, y)
F( , x, y) = (12x + 20y x2 2y
2 ) + (4x + 8y 88)
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
19
II. Se encuentran los puntos crticos de la funcin objetivo igualando a cero las derivadas de
primer orden:
F( , x, y) = (12x + 20y x2 2y
2 ) + (4x + 8y 88)
8884)8884( y x-20y(12x
y) x,,F(
)22
yxyx F
F
4212)8884( y x-20y(12x
y) x,,F(
)22
xx
yx
x
Fx
xF
8420)8884( 2y x-20y(12x
y) x,,F(
)22
yy
yx
y
Fy
yF
F = 0 Fx = 0 Fy = 0
(1) 4x + 8y 88 = 0 (2) 12 2x + 4 = 0 (3) 20 4y + 8 = 0
Despejando de las ecuaciones (2) y (3) se obtiene: 2
6x
2
5y
Por igualacin, , se llega a 2
5
2
6 yx
Despejando x en trminos de y se obtiene la ecuacin (4): x = y + 1
Sustituyendo este resultado en la ecuacin (1):
(1) 4x + 8y 88 = 0
4(y + 1) + 8y 88 = 0
se encuentra que y = 7.
Sustituyendo este resultado en la ecuacin (4):
(4) x = y + 1
x = (7) + 1
se obtiene x = 8
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
20
De manera similar, sustituyendo x = 8 en la ecuacin (1) se encuentra que = 1. Esta variable
no es necesario encontrarla puesto que la funcin a optimizar no depende de ella!!.
El punto crtico es entonces P0( 0, x0, y0) = P0(1, 8, 7), o bien P0(x0, y0) = P0(8, 7)
III. Se encuentran los menores principales del Hessiano de la funcin objetivo, comenzando
por el tercero, y se evalan en el punto crtico para determinar si hay un mximo o un
mnimo relativo.
El Hessiano de la funcin objetivo es:
yyyxy
xyxxx
yx
FFF
FFF
FFF
3
A partir del tercero solo hay un menor principal: 3
Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden para sustituirlas en 3 :
yF
xFF , ya se conocen: F = 4x + 8y 88, Fx = 12 2x y Fy = 20 4y + 8
0 8884
Fyx
FF
4 8884
xFyx
x
F
xF
x
El estudiante puede verificar que las dems derivadas de segundo orden son
8y
F , 4x
F , 2xx
F , 0xy
F , 8y
F , 0y
F , 4yy
F
De donde se tiene que:
408
024
840
3
yyyxy
xyxxx
yx
FFF
FFF
FFF
, el cual se puede resolver por Sarrus:
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
21
192
)4)(4)(4()0)(0)(0()8)(2)(8()0)(4)(8()8)(0)(4()4)(2)(0(
0 8
2- 4
40
408
024
840
3
3
Recordar que para mximos y mnimos condicionados no se toman en cuenta los menores
principales 21 y
Criterios: En base a los menores principales 3, 5, 4, .., n+1 se establece que:
a) Si ,00
3 P ,0
04 P
,00
5 P ,0
06 P
.., entonces la funcin origina f
tiene un mximo relativo en P0 y es igual a 0
Pf
b) Si ,00
3 P ,0
04 P ,0
05 P
,00
6 P.., entonces la funcin origina f
tiene un mnimo relativo en P0 y es igual a 0
Pf
c) En cualquier otra situacin el criterio falla.
En este ejercicio ,01920
3 Pcoincide con la disposicin a) del criterio por lo que se
concluye que la funcin a optimizar U(x, y) tiene un mximo relativo en P0 el cual es igual a:
0
PU = U(x0, y0)
U(x, y) = 12x + 20y x2 2y
2
0
PU = U(8, 7) = 12(8) + 20(7) (8)2 2(7)
2 U(8, 7) = 74
U(8, 7) = 74 miles de dlares es la utilidad mxima al producir y vender 8 artculos del tipo x
y 7 del tipo y, por mes, bajo la restriccin planteada.
Ejemplo: Una empresa produce calcetines de dos tipos: x pares (cantidad en miles) de
calcetines de vestir y y pares (cantidad en miles) del tipo deportivo. De acuerdo con la
demanda y otras situaciones de mercado, se ha calculado que la funcin de costos totales es C(x,
y) = 2x2 + xy y
2 + 200 y que la produccin total mensual deber ser de 200 pares (cantidad en
miles). Cuntos pares de cada tipo debern producirse para minimizar los costos?
Solucin: Existe una condicin que limita la produccin: se trata de un problema de mximos y
mnimos condicionados.
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
22
I. Se construye la funcin objetivo F( , x, y) = C(x, y) + g(x, y), para lo cual obviamente se
necesita conocer la restriccin g(x, y):
Funcin a optimizar: C(x, y) = 2x2 + xy y
2 + 200
Restriccin: La produccin total, x miles de pares de calcetines de vestir ms y miles
de pares del tipo deportivo, deber ser igual a 200 x + y = 200, de donde resulta que g(x,
y) = x + y - 200
Funcin objetivo: F( , x, y) = C(x, y) + g(x, y)
F( , x, y) = (2x2 + xy y
2 + 200
) + (x + y 200)
II. Se encuentran los puntos crticos de la funcin objetivo:
F( , x, y) = (2x2 + xy y
2 + 200
) + (x + y 200)
Se encuentran las derivadas parciales con respecto a las variables , x e y, resultando:
F = x + y 200 Fx = 4x + y + Fy = x + 2y +
F = 0 Fx = 0 Fy = 0
(1) x + y 200 = 0 (2) 4x + y + = 0 (3) x + 2y + = 0
El estudiante puede verificar que al resolver el sistema de ecuaciones el punto crtico resulta ser:
P0(x0, y0) = P0(50, 150)
III. Se encuentran los menores principales del Hessiano de la funcin objetivo, comenzando por
el tercer menor (no se toman en cuenta los menores principales 21 y ), y se evalan en el
punto crtico para determinar si hay un mximo o un mnimo relativo.
El Hessiano de la funcin objetivo es:
yyyxy
xyxxx
yx
FFF
FFF
FFF
3
Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden para sustituirlas en 3 :
Las derivadas y
Fx
FF , ya se conocen: F = x + y 200, Fx = 4x + y + y Fy = x + 2y +
El estudiante puede comprobar que las derivadas parciales de segundo orden son:
0F , 1x
F , 1y
F , 1x
F , 4xx
F , 1xy
F , 1y
F , 1yx
F , 2yy
F
UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
23
De donde se tiene que 4
211
141
110
3
yyyxy
xyxxx
yx
FFF
FFF
FFF
Criterios: En base a los menores principales 3, 5, 4, .., n+1 se establece que:
a) Si ,00
3 P ,0
04 P
,00
5 P ,0
06 P
.., entonces la funcin original f
tiene un mximo relativo en P0 y es igual a 0
Pf
b) Si ,00
3 P ,0
04 P ,0
05 P
,00
6 P.., entonces la funcin original f
tiene un mnimo relativo en P0 y es igual a 0
Pf
c) En cualquier otra situacin el criterio falla.
En este caso ,040
3 Pcoincide con la disposicin b) del criterio por lo que se concluye
que la funcin a optimizar C(x, y) tiene un mnimo relativo en P0(50, 150).
Se concluye entonces que para minimizar los costos se debern producir por mes 50,000 pares
de calcetines de vestir y 150,000 pares del tipo deportivo (recordar que el problema especifica
que las cantidades estn dadas en miles).
Bibliografa:
Weber, Jean E.
Matemtica para Administracin y Economa
Editorial Harla, Mxico, 4ta. Edicin, 1984