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République du Bénin ----------------------
Ministère d’Etat chargé de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
---------------------- Ecole Supérieure de Génie Civil
VERECHAGUINE A. K. ----------------------
SUPPORT DE COURS
Filière
: Première année Génie Civil
Année académique
: 2015-2016
OPTIQUE
PLAN DU COURS
Etablissement : Universite d’Abomey-Calavi (UAC)
Domaine : Sciences et Technologies
Mention : Sciences Physiques
Specialite : Mathematiques - Physique - Informatique - Genie Civil
Unite de Formation et de Recherche : IMSP / FAST/ Departement de Physique
Unite d’Enseignement : Optique geometrique
Nombre de credits : a indiquer
Annee d’etude : Licence 1
Masse horaire : a indiquer
Periode : a indiquer
Jour / Heure : a indiquer
Lieu : a indiquer
Nom et Grade de l’enseignant du cours : Rachidi A. A YESSOUFOU, Maıtre - Assistant
1. Objectif general :
Ce cours vise a permettre a l’etudiant de maıtriser les lois fondamentales de l’optique
geometrique et leurs applications a differents systemes optiques.
2. Objectifs specifiques :
A la fin de ce cours, chaque etudiant doit etre capable de :
– Enoncer les lois et principes de l’optique geometrique ;
– Tracer la marche d’un rayon lumineux en se basant sur les lois et principes de l’optique
geometrique a travers :
•Un dioptre ;
•Un miroir ;
•Un systeme centre ;
•Une lentille mince ;
•Une association de lentilles minces.
2
– Determiner la position de l’image connaissant celle de l’objet et inversement a travers
un systeme optique ;
– Expliquer le principe de fonctionnement d’un microscope, d’un oeil et d’une lunette
astronomique.
3. Pre - requis :
– Construction geometrique ;
– Theoremes de Thales et de Pythagore ;
– Fonctions circulaires.
4. Contenu :
– Principes et lois de l’optique geometrique
– Applications
– Les systemes centres
– Instruments d’optique
5. Methodes d’enseignement : a indiquer au cours
Université d'Abomey - Calavi (UAC)Faculté des Sciences et Techniques (FAST)
Département de Physique
Cours : Optique géométrique
Rachidi A. A. YESSOUFOU
Maître - Assistant
1 Cours : Optique géométrique
1
Généralités sur l’optique
I- Objet de l’optique – Nature de la lumière :
I-1- Définition :
L’optique était d’abord l’étude de la lumière visible, c'est-à-dire l’étude
des phénomènes physiques qui impressionnent l’œil dans le domaine du spectre
visible (longueurs d’onde comprises entre 0,4 m et 0,75 m) puis, après
l’apparition d’autres récepteurs de rayonnement, comme des cellules
photoélectriques, des plaques photographiques et des photomultiplicateurs.
L’application de l’optique s’est étendue à d’autres domaines de rayonnement tels
que le domaine de rayonnements Infrarouge, Ultraviolet et des rayons X…
I-2- Nature de la lumière :
Afin d’expliquer la nature de la lumière et interpréter ses phénomènes,
deux théories ont été élaborées :
a- La théorie corpusculaire : développée successivement par Newton et Planck et
soutenue par Einstein, elle considère que la lumière est un flux de particules
(des photons h) qui se déplacent instantanément, à très grande vitesse et
frappe la rétine de l’œil. Cependant, cette théorie est incapable d’interpréter
des phénomènes très importants en optique tels que les interférences et la
diffraction.
b- La théorie ondulatoire : formulée par Huygens et soutenue par Fresnel en
1870, selon laquelle le phénomène lumineux est vibratoire : la lumière se
propage par onde.
Au début du 19ème siècle, l’étude systématique des phénomènes d’interférences
et de diffraction, entreprise par Young et Fresnel, a donné l’avantage à la
théorie ondulatoire seule capable d’interpréter les phénomènes d’interférences
et de diffraction.
2
Cette théorie semble l’emporter définitivement, lorsque Maxwell parvient à
identifier le phénomène lumineux comme un domaine particulier de la gamme des
fréquences des ondes électromagnétiques.
Mais, malgré l’énorme progrès que cette théorie apporte, elle s’est avérée
incapable d’interpréter certains phénomènes où interviennent des relations
énergétiques entre matière et rayonnement à l’intérieur des atomes. Ainsi l’effet
photoélectrique lui échappe complètement.
En 1924, Luis De Broglie vient concilier les deux points de vue, en montrant que
le double aspect présenté par le phénomène lumineux, est un cas particulier d’une
propriété générale de la matière : à toute particule en mouvement on peut
associer une onde.
I-3- Les domaines d’optique :
On peut diviser l’optique en deux domaines principaux :
a- Optique géométrique : C’est la partie de l’optique que l’on peut déduire de la loi
de propagation rectiligne de la lumière : on assimile la lumière à des rayons
lumineux, dans un milieu homogène, se propagent en ligne droite (on verra cela en
détail lors du prochain chapitre).
b- Optique ondulatoire ou optique physique : C’est le domaine d’optique où les
phénomènes physiques s’expliquent en considérant que la lumière se propage par
ondes électromagnétiques : la lumière est décrite comme étant la propagation
d’ondes électromagnétiques (dans un domaine de fréquence bien défini), une
vibration lumineuse est composée d’un champ électrique et d’un champ
magnétique.
Remarque : L’optique géométrique est une approximation de l’optique ondulatoire
valable lorsque les dimensions des ouvertures et des objets qui limitent les
faisceaux lumineux sont grandes devant la longueur d’onde du rayonnement
considéré.
3
Les principes et les lois de l’optique géométrique
I- Propagation rectiligne de la lumière :
Définitions 1 :
* Un milieu est dit homogène s’il a la même composition en tous ses points.
* Un milieu est dit isotrope si ses propriétés sont les mêmes dans toutes les
directions.
Principe 1 : Principe de Fermat :
Pour aller d’un point A à un point B, la lumière emprunte un chemin tel que
le trajet AB soit de durée stationnaire.
Conséquences :
Dans un milieu homogène et isotrope, la lumière se propage en ligne droite
(c’est le chemin le plus court entre deux points).
Le chemin suivi est indépendant du sens de parcours.
Définitions 2 :
La trajectoire de la lumière constitue un rayon lumineux.
Un ensemble peu étendu de rayons lumineux constitue un pinceau lumineux.
Un ensemble plus étendu de rayons lumineux constitue un faisceau
lumineux.
Un pinceau ou un faisceau est dit convergent si tous les rayons se dirigent
vers un même point, divergent s’ils sont issus du même point, parallèle si
tous les rayons sont parallèles entre eux.
convergent divergent parallèle
II- Lois de réflexion :
Définitions 3 :
4
La réflexion consiste en un brusque changement de direction de la lumière
qui, après avoir rencontré une surface réfléchissante, revient dans son
milieu de propagation initial.
Un rayon lumineux est dit incident avant d’avoir rencontré la surface
réfléchissante, réfléchi après. La surface réfléchissante est appelée
miroir.
Rayon
incident
Rayon
réfléchi
surface
réfléchissante
Le miroir peut être plan ou non. Les miroirs les plus courants sont plans,
sphériques ou paraboliques.
Définitions 4 :
On appelle :
point d’incidence : le point où le rayon incident rencontre la surface
réfléchissante.
plan d’incidence : le plan contenant le rayon incident avec la normale à la
surface réfléchissante au point d’incidence.
angle d’incidence : l’angle que fait le rayon incident avec la normale à la
surface réfléchissante au point d’incidence.
angle de réflexion : l’angle que fait le rayon réfléchi avec la normale à la
surface réfléchissante au point d’incidence.
Lois de la réflexion : lois de Descartes (lois de Snell dans les ouvrages anglo-
saxons)
Loi 1 : les rayons incident et réfléchi sont contenus dans le plan d’incidence.
Loi 2 : Le rayon réfléchi est le symétrique du rayon incident par rapport à la
normale à la surface réfléchissante au point d’incidence.
5
S R
I
N
i r
(SI), (IR) et (IN) sont coplanaires (loi
1)
i = r (loi 2)
III- Lois de la réfraction :
Définitions 5 :
La réfraction consiste en un brusque changement de direction de la lumière qui,
après avoir rencontré sur une surface réfractante, se propage dans un milieu
différent de son milieu de propagation initial. La surface réfractante est appelée
dioptre ou surface dioptrique.
Rayon
incident
Rayon
réfracté
surface
réfractante
Le dioptre est en général plan ou sphérique.
Les définitions du point d’incidence et du plan d’incidence sont les mêmes
que pour la réflexion.
Les milieux de propagation que nous supposerons homogènes et isotropes
sont caractérisés par leur indice de réfraction n et n’ respectivement
égaux à v
c et
'v
c, c étant la célérité de la lumière dans le vide, v la vitesse
de propagation de la lumière dans l’un des deux milieux (par exemple
incident) et v’ la vitesse de propagation de la lumière dans l’autre milieu
(par exemple réfracté)
On prend : c = 3 x 108 m / s
6
L’indice de réfraction n est une caractéristique du milieu, il est donné par : v
cn
> 1.
Remarque :
Dans un milieu d’indice n, on a = T
1= v = v T
Dans l’air comme dans le vide : = c T
D’où n
nv
c 00
On voit bien que :
La longueur d’onde d’un rayonnement dépend de l’indice de réfraction du
milieu où il se propage.
L’indice de réfraction d’un milieu matériel dépend de la longueur d’onde de
la lumière utilisée (phénomène de dispersion).
Lois de Descartes (lois de Snell) pour la réfraction :
Loi 3 : les rayons incident et réfracté sont contenus dans le plan d’incidence.
S
I
N
i
N’
i’
n
n’
R’
Le rayon incident SI, le rayon réfracté IR’ et la normale IN sont coplanaires.
(Les rayons incident et réfracté sont toujours de part et d’autre de la normale)
Loi 4 : Les angle d’incidence i et de réfraction i’ sont tels que :
n sin (i) = n’ sin (i’)
Réfraction limite et réflexion totale :
La lumière passe d’un milieu d’indice n à un autre d’indice n’.
1er cas : n < n’ (le milieu d’indice n’ est dit plus réfringent que le milieu d’indice n)
7
i'i)i(sin)'i(sin1'n
n
)i(sin
)'i(sin1
'n
n
Le rayon réfracté se rapproche donc de la normale en pénétrant dans le milieu le
plus réfringent.
S
I
N
i
N’
i’
n
n’
R’
i’max
(S)
La valeur maximale de i étant /2 (incidence rasante)
Pour i = /2 la valeur maximale de i’max de i’ est telle que : sin (i’max) = 1'n
n
2ème cas : n > n’ (la lumière passe du milieu d’indice n au milieu d’indice n’ moins
réfringent )
i'i)i(sin)'i(sin1'n
n
)i(sin
)'i(sin1
'n
n
S
I
N
i
N’
n
n’
R’
(S)
i’
Le rayon réfracté s’écarte de la normale en pénétrant dans le milieu le moins
réfringent.
Pour une certaine valeur de i, i’ atteint sa valeur limite /2, d’où :
)i(sinn
'n)(sin'n)(sinn max (imax = )
8
Tous les rayons qui arrivent sur la surface (S) avec une incidence (i > imax = )
subissent une réflexion totale (il n’y a pas de rayons réfractés) : c’est le
phénomène de la réflexion totale, l’angle imax = correspond à la réfraction
limite.
IV- Principe de retour inverse de la lumière :
Si l’on inverse le sens de propagation de la lumière, c'est-à-dire si l’on
intervertit les rayons incident et réfracté ou réfléchi, les lois de la réflexion ou
de la réfraction sont inchangées. Ceci résulte du principe suivant :
Principe 2 :
Le trajet suivi par la lumière entre deux points situés sur un même rayon
lumineux est indépendant du sens de propagation de la lumière entre ces deux
points.
V- Principe de l’indépendance des rayons lumineux :
Si, dans un milieu homogène, existant plusieurs sources de lumière, les
différents faisceaux peuvent se propager sans se gêner. Ceci résulte du principe
suivant :
Principe 3 : principe de l’indépendance des rayons lumineux :
Dans un milieu homogène, les rayons lumineux issus d’une même source ou
de sources distinctes se propagent indépendamment les uns des autres.
9
Formation des images
Stigmatisme - Aplanétisme
I- Système optique :
I-1- Définition 1 :
On appelle système optique l’ensemble d’un certain nombre de milieux
transparents en général homogènes et isotropes séparés par des surfaces
réfractantes (dioptres) ou réfléchissantes (miroirs) dont la forme est simple.
On distingue trois catégories de systèmes :
Les systèmes dioptriques comportant seulement des dioptres.
Les systèmes catadioptriques comportant des dioptres et des miroirs.
Les systèmes catoptriques comportant seulement des miroirs.
rayon
incidentrayon
émergent
Fe
face
d’entrée
Fs
face
de sortie
système
optique
(S)A’A
Généralement les surfaces de séparation sont de révolution autour d’un même
axe (axe optique), le système est alors dit centré.
II- Image d’un point – Caractère réel et virtuel :
II-1- Point objet réel et point image réel :
Tout point lumineux envoyant réellement de la lumière sur la face d’entrée
du système constitue un point objet réel.
10
(S) A’Apoint
objet réel
point
image réel
a
Si les rayons lumineux issus de A convergent réellement en A’, après avoir
traversé le système. A’ peut être reçue sur un écran : on dit que A’ est l’image
réelle de A.
II-2- Point objet réel et point image virtuel :
A’
Apoint
objet réel
A’: point
image virtuel
a
(S)
Les rayons lumineux issus de A ne convergent pas réellement pas en A’ mais
virtuellement (en prolongeant les rayons émergents). L’image A’ ne peut pas être
reçue sur un écran, c’est une image virtuelle de A.
II-3- Point objet virtuel et point image réel :
(S)
A’
A
A : point
objet virtuelpoint
image réel
II-4- Point objet virtuel et point image virtuel :
(S)
A’
A
A : point
objet virtuel
A’: point
image virtuel
11
II-5- Cas de deux systèmes :
A1
(S1)
A’
A
(S2)
A1 est l’image virtuelle de A à travers (S1) constitue aussi un objet réel pour le
système (S2).
II-6- Espace objet – espace image :
(S)
lumièreespace
objet réel
face
d’entrée
face de
sortie
espace
image réelle
La lumière se propage dans un système optique centré de la gauche vers la
droite.
Le système (S) divise l’espace en un espace objet réel situé en avant de la face
d’entrée (dans le sens de propagation de la lumière) et un espace image réelle
située en arrière de sa face de sortie.
(S)
lumière
face
d’entrée
face de
sortie
espace
objet réel
espace objet
virtuel
(S)
lumière
face
d’entrée
face de
sortie
espace image
virtuelle
espace
image réelle
12
Un objet est dit réel s’il est situé dans l’espace objet réel ; il est virtuel
s’il se trouve dans l’espace objet virtuel.
Une image est dite réelle si elle est située dans l’espace image réelle ; elle
est virtuelle si elle se trouve dans l’espace image virtuelle.
III- Stigmatisme :
III-1- Stigmatisme rigoureux :
Définition 3 : Un système optique est rigoureusement stigmatique pour le couple
de points conjugués A et A’ si tous les rayons issus du point objet A passent,
après traversée du système, par le même point image A’.
Remarque :
L’application du principe du retour inverse montre immédiatement que si A’
est le point objet et si on inverse le sens de la marche de la lumière, A sera
l’image rigoureusement stigmatique de A’.
A et A’ sont deux points conjugués par rapport à (S).
III-2- Stigmatisme approché :
Définition 4 : Un système optique est approximativement stigmatique si l’image
d’un point objet A est une tache de très petites dimensions, centrée en A’, image
géométrique de A.
III-3- Remarques :
Le stigmatisme rigoureux est très rarement réalisé. A l’exception du
miroir plan, tous les systèmes que nous allons étudier ne sont pas
rigoureusement stigmatiques pour une position quelconque du point objet.
On peut en général se contenter du stigmatisme approché : les systèmes
optiques sont presque toujours utilisés dans des conditions de stigmatisme
approché pour chacun des points du couple objet-image.
13
IV- Conditions de stigmatisme :
IV-1- Chemin optique :
Soit un rayon lumineux se propageant dans des milieux quelconques (pas
nécessairement homogènes et isotropes) subissent éventuellement des
réflexions et des réfractions (en nombre quelconque).
Considérons un point A et un point A’ situés sur ce même rayon. Soient un
point M de ce rayon et n l’indice de réfraction du milieu de propagation au
voisinage de M. Soit ds un élément d’arc du rayon, centré en M.
A A’Mds
Définition 5 :
On appelle chemin optique élémentaire autour de M la quantité : dL = n ds
et chemin optique de A à A’ la quantité notée (AA’) ou LAA’ telle que : (AA’) = LAA’
= 'A
Adsn
IV-2- Signification physique du chemin optique :
Soit v la vitesse de la lumière en M. L’indice de réfraction : n = v
c
Soit dt la durée mise par la lumière pour courir ds ; on a : ds = v x dt
D’où : (AA’) = 'A
A'AA
'A
Atcdtv
v
cdsn
tAA’ étant la durée mise pour aller de A à A’.
Le chemin optique représente la distance que parcourrait la lumière dans
le vide pendant la même durée.
Convention d’algébrisation :
On convient de compter positivement les chemins optiques correspondant
à des trajets réels et négativement ceux correspondant à des trajets virtuels.
14
IV-3- Conditions de stigmatisme rigoureux :
(S) A’A
Soit un système optique rigoureusement stigmatique pour le couple de
points conjugués A, A’.
On montre que pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que : (AA’) = constante
Pour tous les rayons lumineux joignant deux points stigmatiques A et A’ le chemin
optique est le même.
IV-4- Conditions de stigmatisme approché :
Soit (S) un système centré. Le point objet A est sur l’axe de symétrie.
A’A (S)a
I I’Axe de symétrie
+
(S) est approximativement stigmatique : tous les rayons issus de A passent,
après traversée du système, au voisinage immédiat de A’. On montre pour qu’il ait
stigmatisme approché pour le couple de points A, A’ de l’axe, il faut et il suffit
que : (AA’) ≈ constante à des termes en a4 près.
aétant l’angle que fait
AI avec l’axe de symétrie orienté.
Le stigmatisme approché sera donc réalisé lorsque ces termes en a4 sont
négligeables. Il en sera ainsi pour des angles a petits donc des rayons incidents
AI très proches de l’axe de symétrie : de tels rayons sont dits paraxiaux.
15
V- Aplanétisme :
On considère un système centré (S),
A’A (S)
a
I I’+B
+B’
a’
u
+ n n’
'u
Soient A et A’ deux points de l’axe pour lesquels le système est rigoureusement
stigmatique, B et B’ deux points très proches de A et A’ respectivement, situés
dans des plans perpendiculaires à l’axe en A et A’ (plans de front) et dans le
même plan contenant l’axe (plan de la figure).
Définition 6 :
Le système est dit aplanétique pour A et A’ si, étant rigoureusement
stigmatique pour A et A’, il est aussi rigoureusement stigmatique par B et B’.
* Condition d’aplanétisme :
On montre que, pour que le système (S) soit aplanétique pou A et A’, il faut et il
suffit que la condition suivante soit vérifiée :
)'(sin'B'A'n)(sinABn aa condition d’Abbe
- Cas particulier : lorsque les rayons sont paraxiaux, on a sin (a) ≈ a et sin (a') ≈
a’, la condition d’Abbe s’écrit :
''B'A'nABn aa relation de Lagrange Helmoltz
* Condition d’Herschel (stigmatisme le long de l’axe)
Soit un système centré (S) rigoureusement stigmatique pour deux points
A et A’ de l’axe. Soient deux points A1 et '1A de l’axe très proches de A et A’.
16
A’A (S)
a
I I’
+
a’
u
+ n n’
'u
+
A1
+ +'1A
Pour que le système (S) soit rigoureusement stigmatique, à la fois pour (A, A’) et
pour (A1,'1A ), il faut et il suffit que la condition suivante soit vérifiée :
a
a
2
'sinA'A'n
2sinAAn 2'
12
1 condition d’Herschel
VI- Conditions de l’approximation de Gauss :
Les conditions de l’approximation de Gauss sont les conditions nécessaires
pour obtenir des images de bonne qualité.
* Conditions de l’approximation de Gauss :
- L’objet doit être plan, perpendiculaire à l’axe, centré sur l’axe et de petites
dimensions.
- L’objet ne doit envoyer sur le système que des rayons paraxiaux. L’image
obtenue est alors de bonne qualité, plane, perpendiculaire à l’axe et centrée sur
l’axe.
17
Dioptres et miroirs sphériques dans l’approximation
de Gauss
A- Etude du dioptre sphérique dans l’approximation de Gauss :
Définition 1 : On appelle dioptre sphérique une surface sphérique de centre C,
séparant un milieu d’indice n d’un milieu d’indice n’.
Dans l’approximation de Gauss, un dioptre est en fait limité à une calotte de
sommet S. L’axe CS s’appelle axe principal du dioptre.
A-I- Formule de conjugaison et grandissement :
Définition 2 : Les relations de conjugaison sont les formules permettant de
connaître la position et la grandeur d’une image lorsque l’on connaît la position et
la grandeur de l’objet.
A-I-1- Relation de conjugaison avec origine au sommet :
A’ SHCA
M
wi
i’
a’ a
n n’
+
Stigmatisme approché du dioptre sphérique
Cette figure est faite en supposant n > n’.
On considère un rayon lumineux issu d’un point A situé sur l’axe principal et on
cherche la position de son conjugué A’.
H étant la projection orthogonale de M sur l’axe.
Dans l’approximation de Gauss, H et S sont pratiquement confondus. On a :
18
a + i = w et a’ + i’ = w
La loi de la réfraction en M pour des rayons paraxiaux (angles très petits en
radians) s’écrit :
n i = n’ i’ n (w- a) = n (w- a’)
Les points H et S sont pratiquement confondus et les angles sont très petits :
CS
HM
CH
HMtg ww ;
AS
HM
AH
HMtg aa ;
S'A
HM
H'A
HM''tg aa
En reportant dans l’expression précédente :
S'A
1
CS
1HM'n
AS
1
CS
1HMn
ou encore :
SC
1
'SA
1'n
SC
1
SA
1n
Cette relation fixe la position de A’ indépendamment du choix du rayon AM :
c’est la relation de conjugaison avec origine au sommet. Elle peut s’écrire sous la
forme :
SC
'nn
'SA
'n
SA
n
A-I-2- Grandissement transversal :
Soient A et A’ deux points conjugués sur l’axe principal du dioptre et
considérons un petit objet AB perpendiculaire à cet axe.
Définition 3 : La grandeur de l’image est obtenue par le grandissement
transversal défini par : AB
'B'A
B’
SCA
n n’+
B
A’ii’
S
C A
n n’
+
B
A’
B’
ii’
19
La figure de gauche représente le cas A’B’ réel et celle de droite le cas
A’B’ virtuel.
Le rayon passant par le centre n’est pas dévié.
On a : SA
ABiitg et
'SA
'B'A'i'itg
La relation de la réfraction : n i = n’ i’ appliquée au rayon BSB’ s’écrit :
'SA
'B'A'n
SA
ABn
D’où l’expression du grandissement :
SA
'SA
'n
n
AB
'B'A
A-II- Positions des foyers :
A-II-1- Foyers principaux :
Définition 4 : Le foyer image F’ est le point conjugué du point du milieu objet
situé à l’infini sur l’axe principal. On obtient la position de F’ en prenant A à
l’infini dans la relation de conjugaison précédente :
SA ; 'SF'SA
SC
'nn
'SF
'n
Soit : n'n
SC'n'SF
Définition 5 : Le foyer objet F est le point conjugué du point du milieu image
situé à l’infini sur l’axe principal.
'SA ; SFSA
SC
'nn
SF
n
Soit : 'nn
SCnSF
20
Définition 6 : On pose f = SF la distance focale objet du dioptre.
f’= 'SF la distance focale image du dioptre.
On remarque : 'n
n
'f
f
Les distances focales ont des signes opposés.
Définition 7 : Un dioptre est dit convergent si le foyer image est réel, c’est-à-
dire si F’ se trouve effectivement dans le milieu d’indice n’ ; dans le cas contraire
le dioptre est dit divergent.
Les différents cas possibles suivant les valeurs respectives de n et n’ d’une part
et suivant le sens de la concavité d’autre part.
F’
n
SC
n’
n > n’
n
S C
n’
n > n’
F’
n
SC
n’
n < n’
F’
n
SC
n’
n < n’
F’
Remarque :
le rayon réfracté s’écarte de la normale en pénétrant dans le milieu le
moins réfringent.
le rayon réfracté s’approche de la normale en pénétrant dans le milieu le
plus réfringent.
Conclusion :
21
De l’examen de ces figures, on pourra retenir le résultat suivant : un
dioptre est convergent si son centre est situé dans le milieu le plus réfringent.
A-II-2- Foyers secondaires :
Définition 8 : On appelle plan focal objet (respectivement plan focal image), le
plan perpendiculaire à l’axe et contenant le foyer objet F (respectivement le
foyer image F’).
Définition 9 : Les foyers secondaires objet et image sont les conjugués des
points à l’infini dans les directions secondaires (non parallèles à l’axe).
n
SC
n’
n > n’
F’
'
1F
F’ : foyer principal '
1F : foyer secondaire
Les foyers secondaires objet (respectivement image) que l’on note F1 ou
(respectivement '
1F ou ’) sont dans le plan frontal contenant le foyer objet
(respectivement image) principal. Ceci résulte de l’aplanétisme du dioptre.
A-II-3- Convergence et vergence :
Définition 10 :
* On appelle convergence C d’un dioptre sphérique la quantité : C = SC
n'n
* On appelle vergence objet d’un dioptre sphérique la quantité : V = SA
n
22
* On appelle vergence image d’un dioptre sphérique la quantité : V’ = 'SA
'n
La relation de conjugaison s’écrit : V’ = V + C
A-III- Relation de conjugaison et grandissement avec origine au centre :
A-III-1- Relation de conjugaison avec origine au centre :
La relation de conjugaison avec origine au sommet :SC
'nn
'SA
'n
SA
n
CASCSA ; 'CASC'SA
SC
'nn
'SA
'n
SA
n
SC
'nn
'SASA
SA'n'SAn
SC
'nn
'CASCCASC
CASC'n'CASCn
SC
'nn
'CASCCASC
CA'n'CAnSC'nn
SCCA'nSC'CAnSC'nn 2
'CACA'nnSC'CA'nnSCCA'nnSC'nn 2
'CACA'nnSC'CA'nSCCAn0
'CACA'nnSC'CA'nCAn
CS
'nn
SC
'nn
CA
'n
'CA
n
C’est la formule de conjugaison avec origine au centre.
A-III-2- grandissement avec origine au centre :
Soient A et A’ sont deux points conjugués de l’axe principal et soit AB un
petit objet perpendiculaire à l’axe. On trace le rayon BC qui, passant par le
centre C, n’est pas dévié.
23
B’
SCA
n n’+
B
A’
Le théorème de Thalès donne : CA
'CA
AB
'B'A
C’est la formule de grandissement avec origine au centre.
A-IV- Relation de conjugaison et grandissement avec origine aux foyers :
Dans l’approximation de Gauss, on adopte une représentation courante du
dioptre sphérique :
F
F’S A’
B’A
B
M’
M
Les triangles ABF et FSM’ sont semblables :
FA
FS
AB
'SM et 'B'A'SM
FA
f
FA
FS
AB
'B'A
(*)
De même, Les triangles A’B’F’ et F’SM sont semblables :
S'F
'A'F
SM
'B'A et ABSM
'f
'A'F
S'F
'A'F
AB
'B'A
(**)
On déduit de (*) et (**) que : 'f
'A'F
FA
f
24
D’où : FA'A'F'ff
C’est la formule de conjugaison avec origine aux foyers (relation de Newton) avec
f = SF et f’ = 'SF
A-V- Construction d’une image :
Pour construire l’image d’un objet AB perpendiculaire à l’axe, on utilise des
rayons particuliers qui ont des propriétés remarquables.
Un rayon passant par le centre C n’est pas dévié.
Un rayon incident parallèle à l’axe principal a son émergent qui passe par le
foyer image.
Un rayon passant par le foyer objet a son émergent parallèle à l’axe
principal.
S
n n’
+
CF
F’
B’
A’A
B
L’mage est réelle si elle est située dans le milieu d’indice n’, virtuelle sinon.
A-VI- Cas particulier du dioptre plan :
Définition 11 : Un dioptre plan est un système de deux milieux transparents,
d’indices différents, séparés par une surface plane.
Le dioptre plan peut être considéré comme un dioptre sphérique dont le rayon
est infini. Le sommet est sur le dioptre alors que le centre est rejeté à l’infini.
* Foyers : Tout faisceau incident parallèle à l’axe (normal au plan) n’est pas dévié
et ressort donc parallèle à l’axe. Les foyers principaux de ce système optique
sont donc rejetés à l’infini sur l’axe.
25
Définition 12 : Un système afocal est un système dont le(s) foyer(s) est (sont)
rejetés à l’infini.
Le dioptre plan est un système afocal.
La relation de conjugaison du dioptre plan s’obtient de celle du dioptre sphérique
en faisant tendre SC vers l’infini : 'SA
'n
SA
n
Le grandissement transversal est donné par : n
'n
'n
n
SA
'SA
'n
n
AB
'B'A 1
Rappelons que les deux formules encadrées ne sont valables que dans
l’approximation de Gauss.
A A’
B B’
n n’
L’image a la même taille que l’objet. L’objet et l’image sont du même côté du
dioptre et par suite ils sont de natures différentes : objet réel image
virtuelle et vice versa.
B- Etude du miroir sphérique dans l’approximation de Gauss :
Définition 1 : On appelle miroir sphérique une calotte sphérique réfléchissante.
Le centre C de la sphère dans laquelle a été découpée la calotte est le centre du
miroir, le sommet S de la calotte est le sommet du miroir.
CS
Ra r
Axe principal
du miroir
r est appelé rayon d’ouverture, CS le rayon du miroir et a l’angle d’ouverture.
26
L’axe de symétrie passant par C et par S est l’axe principal du miroir, tout autre
axe passant par C est un axe secondaire.
On peut distinguer deux types de miroir sphérique :
Miroir concave : la face réfléchissante est du côté du centre C.
Miroir convexe : la face réfléchissante est du côté opposé au centre C.
B-I-1- Formule de conjugaison et grandissement avec origine au sommet :
On considère un miroir sphérique de centre C et de sommet S.
CS
A
i
i'
A’
a a’w
H
M
Un rayon lumineux issu d’un point A, frappe le miroir en M, se réfléchit et
recoupe l’axe en A’.
H étant la projection orthogonale de M sur l’axe principal.
Dans l’approximation de Gauss, H et S sont pratiquement confondus. On a :
i = i' (loi de la réflexion)
a + i = w et a’ = i’ + w
Par conséquent : wa = a’ - w
Les points H et S sont pratiquement confondus et les angles sont très petits :
CS
HM
CH
HMtg ww ;
AS
HM
AH
HMtg aa ;
S'A
HM
H'A
HM''tg aa
En reportant dans l’expression précédente :
CS
1
S'A
1HM
AS
1
CS
1HM
ou encore :
SC
1
'SA
1
SC
1
SA
1
SC
2
'SA
1
SA
1
27
Cette relation fixe la position de A’ indépendamment du choix du rayon AM :
c’est la relation de conjugaison avec origine au sommet.
B-I-2-Grandissement :
B
SA
A’
B’
On considère le rayon passant par le sommet S. La loi de la réflexion, i = i’,
montre que les triangles SAB et SA’B’ sont semblables, ce qui donne :
SA
'SA
AB
'B'A
Remarque fondamentale :
Les deux formules que nous venons d’obtenir, peuvent se déduire de celles
du dioptre sphérique en posant n’ = - n. Ceci vient du fait que la loi de la réflexion
peut s’écrire, avec des angles orientés, i = - i’, et qu’elle a alors la même forme
que la loi de la réfraction pour des rayons paraxiaux : n i = n’ i’, à condition de
poser n’ = - n.
Pour obtenir les formules du miroir sphérique, il suffit de poser n’ = -n dans
celles du dioptre sphérique, en se rappelant que, du fait de la réflexion, l’espace
image est « replié » sur l’espace objet.
B-II- Position des foyers :
On obtient la position du foyer image F’ en faisant tendre SA vers l’infini
dans la relation de conjugaison :
SC
2
'SF
1
2
SC'SF
28
Le même raisonnement conduit à la position du foyer objet F ( 0'SA ) conduit
à : 2
SCSF
Les foyers image et objet sont confondus. On appelle distance focale f du miroir
la quantité algébrique : f = 2
SC'SFSF
Le foyer est situé au milieu du segment SC. La distance focale est égale, en
valeur absolue, à la moitié du rayon de courbure.
B-III- Construction d’une image :
B
SA
F = F’
CA’
B’
Le rayon passant par le centre n’est pas dévié (il est ‘’replié’’ sur lui-même), un
rayon incident parallèle à l’axe repasse par le foyer, un rayon incident passant
par le foyer est réfléchi parallèlement à l’axe.
B-IV- Conjugaison et grandissement avec origine aux foyers : formules de
Newton :
B
A
F = F’
C
A’
B’
I
J
S
Miroir concave dans l’approximation de Gauss
29
Les triangles FAB et FSJ sont semblables FA
FS
AB
SJ
Les triangles FA’B’ et FSI sont semblables 'FA
FS
'B'A
SI
De plus, ABSI et 'B'ASJ
D’où les formules de Newton : FS
'FA
FA
FS
AB
'B'A
2FS'FA.FA
La distance focale du miroir : f = 2
SCSF
Les formules de Newton s’écrivent : f
'FA
FA
f
2f'FA.FA
Remarque : Les mêmes calculs peuvent être faits avec le miroir convexe.
B
A F C
IJ
SA’
B’
Miroir convexe dans l’approximation de Gauss
B-V- Conjugaison et grandissement avec origine au centre :
Soit AB un petit objet perpendiculaire à l’axe principal, dont l’image est
A’B’. Le rayon BCB’ n’est pas dévié, on a :
S
B
A FC
A’
B’
30
CA
'CA
AB
'B'A
La relation de conjugaison avec origine au centre s’écrit :
CS
2
'CA
1
CA
1
B-VI- Miroir plan :
Le miroir plan peut être considéré comme un miroir sphérique dont le
rayon est infini. Le sommet est alors sur le miroir, le centre étant rejeté à
l’infini. Il en est donc de même du foyer : le miroir plan est un système afocal.
Rappelons qu’un système afocal est un système pour lequel le(s) foyer(s) est
(sont) rejeté(s) à l’infini.
La relation de conjugaison et le grandissement d’un miroir plan s’écrit :
'SASA
1
Ainsi l’objet et l’image sont identiques et symétriques l’un de l’autre par rapport
au miroir plan.
31
Lentilles
Propriétés générales
Une lentille est un système centré formé de deux dioptres dont l'un au moins est
un dioptre sphérique. On définira les rayons de courbure de chacun des dioptres
par leurs mesures algébriques:
où C1 et C2 sont les centres des dioptres correspondant.
On distingue deux familles de lentilles suivant que les bords sont plus minces ou
plus épais que l'épaisseur S1S2 :
Les lentilles à bords minces
Les lentilles à bords épais
32
Une lentille sera dite mince ou épaisse suivant que son épaisseur S1S2 comptée
sur l'axe est négligeable ou non devant les rayons de courbure de ses faces R1 et
R2 et devant la valeur absolue de la différence de leurs valeurs algébriques.
Une lentille épaisse étant formée par l'association de deux dioptres constitue un
système centré qui ne réalisera le stigmatisme approché que dans les conditions de
Gauss.
Centre optique
Nous considérerons dans ce qui suit que la lentille a ses deux faces au contact de
l'air.
En premier lieu on pourra dire qu'une lentille est mince lorsque son épaisseur est
négligeable devant les rayons de courbure de ses deux faces. Les sommets
pourront alors être confondus en un même point S; mais cette condition ne
permet pas de confondre S avec le centre optique O.
On montre que pour une lentille épaisse nous avons la relation:
Ce qui permet d'écrire:
33
On pourra donc considérer que
O et S2 sont confondus si
l'épaisseur S1S2 est petite
devant la valeur absolue de la
différence des valeurs
algébriques des rayons de
courbure R2 - R1.
Lorsque les deux conditions précédentes seront satisfaites, le centre optique O
pourra être confondu avec les sommets S1 et S2.
Ainsi un faisceau convergent en O n'est modifié ni en direction ni en position
par une lentille mince dont le centre optique est en O.
Les lentilles à bords minces : (a)
Les lentilles à bords épais : (b).
Foyers, plans focaux. Distances focales
La lentille mince qui est un système centré dioptrique possède deux plans focaux
perpendiculaires à l'axe principal aux foyers objet F et image F'. Comme les
milieux extrêmes sont identiques les distances focales sont égales en valeur
absolue et l'on a:
Il existe deux sortes de lentilles minces :
34
- les lentilles minces convergentes pour lesquelles f ' est positive. Le foyer objet F
est situé dans espace objet et le foyer image F ' est situé dans l'espace image; les
deux foyers sont réels.
- les lentilles minces divergentes pour lesquelles f ' est négative et les foyers sont
virtuels.
Construction de l'image d'un objet AB perpendiculaire à l'axe
Dans le cadre de l'approximation de Gauss, l'image A'B' d'un objet AB
perpendiculaire à l'axe est également perpendiculaire à l'axe. Pour trouver
l'image A'B' de AB il suffira donc de déterminer l'image B' de B et d'abaisser
de B' une perpendiculaire à l'axe principal pour obtenir A'.
Pour ce faire nous pourrons
utiliser trois rayons
particuliers issus de B:
- le rayon qui passe par le
centre optique O et qui n'est
pas dévié.
- le rayon qui passe par le
foyer objet F de la lentille et
qui émerge parallèlement à
l'axe principal.
- le rayon parallèle à l'axe
principal et qui émerge en
passant par le foyer image F'.
Seuls deux des trois rayons
utilisés suffisent à
déterminer la position du
point B'.
35
Formules de conjugaison avec origine au centre
Connaissant la position des foyers :
On construit l’image
En appliquant le théorème de Thalès :
D’où :
Ou encore :
Que l'on écrit souvent en posant:
Le grandissement linéaire s'exprimera par:
36
Formules de conjugaison avec origines aux foyers
On a:
Soit en posant:
On a également:
On en déduit la formule du grandissement linéaire:
38
Construction de l'émergent correspondant à un incident quelconque
Deux méthodes de construction
peuvent être envisagées pour
tracer le rayon émergent
correspondant à un incident
quelconque:
- la première méthode consiste à
remarquer que tout faisceau issu
d'un foyer secondaire Fs appartenant
au plan focal objet émerge en un
faisceau de rayons parallèles à l'axe
secondaire FsO
- la deuxième méthode utilise le
fait qu'un faisceau de lumière
parallèle incident sur la lentille
converge en un foyer secondaire
image F's appartenant au plan focal
image; F's est l'intersection de
l'axe secondaire parallèle au
faisceau incident avec le plan focal
image.
D’où les constructions suivantes pour un rayon incident quelconque:
On cherche l'intersection du rayon incident avec le plan focal objet Fs; le rayon
émergent sera parallèle à FsO.
39
On trace une parallèle au rayon incident passant par le centre optique O qui coupe
le plan focal image en F's; le rayon émerge en passant par le foyer secondaire
F's.
137
Bibliographie
Nous n’avons retenu, dans cette liste volontairement réduite, que quelques livres
particulièrement accessibles aux étudiants du premier cycle universitaire.
Optique géométrique et optique physique : Cours et 94 exercices corrigés, 1re et 2e années MP, PC de Jean-Pierre Faroux
308 pages Dunod; (J'intègre)
Optique, fondements et applications avec 250 exercices et problèmes résolus, 6e édition de Perez
Dunod; (Enseignement de)
Optique. Cours et exercices corrigés de Roux
336 pages
Ellipses Marketing
Optique géométrique et ondulatoire : 98 problèmes résolus, rappels de cours : 1re année MPSI, PCSI, PTSI, 2e année MP, PSI, PC de Hubert Lumbroso
Dunod; (J'intègre)
138
Optique: Cours et problèmes résolus de May
477 pages Dunod; (Dunod)
Electrostatique, Magnétostatique, Optique géométrique, MPSI-PCSI-PTSI : 1ère année, cours et
exercices de Marie Helene Auvray
320 pages
Presses Universitaires de France - PUF; (Physique-chimie Prépa)
Optique géométrique : cours de Agnès Maurel
Belin; (Belin-Sup Sciences)
Optique geometrique - exercices de Malbec Maurel
Belin; (Universitaire B)
TD Optique : Rappels de cours, question de réflexion, exercices d'entraînement de Jean-Paul Parisot, Sylvie Le Boiteux, Patricia Segonds, Michel
Dobrijevic
216 pages Dunod; (Sciences Sup)
139
M. Bertin, J. P. Faroux, J. Renault, Optique géométrique. (Dunod
université, Paris).
J. Faget, L. Martin, Exercices et problèmes d’optique physique. (Vuibert,
Paris).
Moussa, P. Ponsonnet, Optique. (Desvignes, Lyon).
Pelletier, J. Schmouker, Cours de physique, 2-Optique. (Dunod, Paris).
J.-L. Queyrel, J. Mesplède, Optique. (Les nouveaux précis Bréal, Bréal
1999).
ES-SBAI, A., GUESSOUS, A., NAJID, N., OUZZANI, M., Problèmes
corrigés de physique. Optique. Électromagnétisme. Mécanique classique.
Mécanique quantique. 1992, (nouvelle édition).
RENAULT Jacques, Exercices d'optique et de physique ondulatoire.
Dunod, 1986.
LECARDONNEL J. P., TILOY P., Exercices et problèmes résolus. Optique.
Bréal, 1990.