1

Université Sidi Mohammed Ben Abdallah Faculté multidisciplinaire de Taza

Dr. Mustapha ABARKAN

Filière Sciences de la Matière Physique Semestre 4

Optique ondulatoire

Année universitaire 2014-2015

Module Optique Physique M22 Edition 2014-2015

2

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3

Ch1: Ondes électromagnétiques et la propagation de la lumière

Ch2 : Polarisation de la lumière

Ch3 : Interférences lumineuses : Notions de bases

Ch4 : Systèmes Interférentiels

Ch5 : Diffraction de la lumière

Sommaire

4

Chapitre 1

Les ondes électromagnétiques

& la propagation de la lumière

Dans le cadre de l’optique géométrique, la propagation de la lumière est interprétée en termes de rayons,

ensembles de points indiquant la trajectoire suivie par la lumière. Par exemple, dans un milieu homogène

isotrope et transparent, la lumière se propage de façon rectiligne et les rayons lumineux sont des droites.

C’est suffisante pour décrire un certain nombre de phénomènes notamment la réflexion et la réfraction.

Mais

De nouveaux phénomènes attirent l’attention des scientifiques : double réfraction, interférences ou

encore diffraction. Ces phénomènes ne se plient pas à la vision classique de la nature « particulaire » de la

lumière.

1. Introduction

En 1860, Maxwell établit et imposa l’idée que la lumière est une onde électromagnétique.

5

2. Ondes électromagnétiques

2.1. Généralités

Un caillou jeté dans l'eau perturbe la surface, qui était plane, en faisant apparaître des vagues. Ces

vagues ne restent pas sur place, elles n'existent qu'en mouvement.

une onde est une perturbation qui se déplace.

Les mouvements qui agitent une corde tendue sont également des ondes : si on donne à une extrémité

de la corde un mouvement brusque, on va voir une déformation de la corde (la perturbation), se déplacer

jusqu'à l'autre bout. Après le brusque mouvement, la main a retrouvé sa place.

Un bouchon flottant sur l'eau…????

Une onde n'est pas accompagnée de déplacement de matière. C'est finalement juste de l'énergie qui circule

Il existe plusieurs sortes d’ondes :

- Ondes sonores :

Le son est une onde dite "de compression". Dans l'air immobile, la pression est la même partout, et l'air a

partout la même densité. Par contre, un son est une perturbation de la pression de l'air.

6

Lorsqu'un son traverse l'air, on peut observer des zones où la pression de l'air

est plus importante que lorsqu'il n'y a pas de son. Dans ces zones, l'air est plus

comprimé. On observe aussi des zones où l'air est plus dilaté, dans des zones de

dépression. Ces perturbations de la pression de l'air se déplacent : c'est l'onde

sonore.

-Ondes électromagnétiques (em) :

Un rayonnement est une énergie transportée dans l'espace sous forme d'ondes ou de particules. On parle de

rayonnement électromagnétique (REM) lorsque le rayonnement se comporte comme un champ de force

dont les variations affectent les propriétés électriques et magnétiques de la matière.

Lumière Sonnette

2.2. Description ondulatoire de la lumière

Pour représenter une onde lumineuse, il faut lui associer une grandeur physique décrite par une fonction

, dépendant du temps t et de l’espace

tr ,

r

Une onde se propageant le long d’une corde vibrante, la fonction décrit la déformation de la corde.

Exemple

Si v désigne la vitesse de propagation de l’onde, la fonction vérifie une équation, appelée équation d’onde, qui

se met sous la forme :

01

2

2

2

tv

7

.

Quelle est donc la grandeur physique associée à une onde lumineuse ? Maxwell donne une réponse à cette

équation dans le cadre de l’électromagnétisme. Une onde lumineuse est caractérisée par un champ

magnétique et par un champ électrique couplés.

Dans la résolution des équations de Maxwell, nous nous limiterons aux ondes lumineuses sinusoïdales, c'est-à-

dire pour lesquelles la fonction est une fonction sinusoïdale de et de t.

2.2.1. Equations de Maxwell

Les ondes em sont caractérisées par un champ électrique et un champ magnétique couplés. Les équations

de Maxwell gouvernent le comportement spatio-temporel des ondes em. Les équations de Maxwell dans le

vide :

r

E

B

t

EjBrotEdiv

t

BErotBdiv

000

0

,,,0

Les densités et , désignent respectivement la densité de charge électrique et la densité de courant. 0 et 0

sont des constantes, 0 = 4.10-7 S.I. est la perméabilité du vide et 0 = 8,854.10-12 S.I. est la permittivité du

vide.

j

A partir de ces équations et des propriétés des opérateurs div et rot, nous démontrons que les champs

électrique et magnétique vérifient donc la même équation de propagation : E

B

00 2

2

22

2

2

Ec

t

EetBc

t

B

8

apparaît comme la vitesse de la lumière dans le vide. Lorsque le milieu est considéré n’est pas vide, l’équation

de propagation s’écrit :

00 2

2

22

2

2

EvE

tetBvB

t

où v est la vitesse de la lumière dans le milieu considéré

1v

Définition

L’indice optique, ou indice de réfraction, est défini comme le rapport de c sur v. Einstein a montré que la

vitesse de propagation v de la lumière dans un milieu est toujours inférieure à la vitesse de propagation de la

lumière dans le vide c. Il en résulte que l’indice de réfraction d’un milieu est toujours plus grand que 1.

18

00

.10.31 smc

La solution de l’équation de propagation dans le cas d’une seule dimension est de la forme :

tkxEvtxv

EtxEtrE

cos)(cos,, 00

ou en notation complexe :

tkxiEtrE exp, 0

vk

est appelé le nombre d’onde.

Dans l’espace à trois dimensions, on peut montrer que la solution de l’équation d’onde sous la forme d’une

onde harmonique s’écrit :

9

trkrEtrE .cos)(, 0

ou en notation complexe

trkirEtrE .exp)(, 0

k est appelé le vecteur d’onde.

trEktrB ,1

,

A l’aide de la relation et les équations précédentes, nous obtenons : t

BErot

Les vecteurs , et forment un trièdre direct. k E

B

EB, est le plan d’onde

Ek, est le plan de polarisation

Propagation d’une onde lumineuse sinusoïdale

k E

et B

Le trièdre est un trièdre direct. et les champs E et B oscillent suivant une loi sinusoïdale au cours de

la propagation.

10

2.2.2. Surface d’onde, Vecteur d’onde, Périodicité d’une onde harmonique

- Une surface d’onde notée t0 est définie, à un instant t0 donné, par l’ensemble des points tels que les

champs

r

trkirEtrE .exp)(, 0

et trkirBtrB .exp)(, 0

ont la même phase t0(r)

Ctetrkrr tt 000 .)(, Pour 0)(0 rd t

le vecteur d’onde est localement perpendiculaire aux surfaces d’onde. k

- Une onde harmonique est périodique en temps et en espace.

- On définit la période T qui caractérise la périodicité temporelle et la longueur d’onde qui caractérise la

périodicité temporelle. A la période T on associe la fréquence f = 1/T et la pulsation = 2/T.

A la longueur d’onde , on associe le nombre d’onde k : k = 2/. Le vecteur d’onde a pour module le

nombre d’onde et nous avons vu que sa direction est donnée par la direction localement perpendiculaire aux

surfaces d’onde.

k

Par convention on choisit dans le sens de propagation de l’onde. k

lorsque l’onde lumineuse passe d’un milieu à l’autre, sa fréquence reste la même, c’est sa longueur d’onde qui

varie.

11

2.2.3. Sources lumineuses

La lumière est une onde électromagnétique. Elle est une perturbation du champ électromagnétique qui se déplace.

Cela lui donne la propriété de pouvoir se déplacer dans le vide, parce que même dans le vide, il y a un champ

électromagnétique.

Longueur d’onde (nm) ≤400 500 590 630 ≥ 750

Couleur Ultraviolet Bleu Jaune Rouge Infrarouge

Tout objet émet de la lumière est une source. La lumière correspond à l’émission d’un photon de fréquence f

lors de la désexcitation d’un atome.

- L’atome émet une onde (e.m) associée au photon pendant un temps caractéristique 0, typiquement de

l’ordre de 10-11s, c'est-à-dire un temps beaucoup plus grand que la période T=1/f (de l’ordre de 10-14s).

0

0

Y A

xis

Title

X Axis Title

F1

e

T

On appelle train d’onde une enveloppe de longueur e contenant une

sinusoïde de période T. Ce train d’onde peut être qualifié de

monochromatique, lorsque il contient essentiellement de la longueur

d’onde = cT

12

Trois types de sources:

- Sources ponctuelles ou étendues

- Sources monochromatiques

- Sources cohérentes ou incohérentes

2.3. Description détaillée des ondes électromagnétiques

2.3.1. Ondes lumineuses sinusoïdale plane

Une onde plane est caractérisée par des surfaces d’onde planes.

Supposons que les plans d’onde sont portés par les axes y et z. Le vecteur d’onde est alors constant et porté

par l’axe x. Le vecteur d’onde associé à une onde est constant en tout point de l’espace. Une telle onde est

décrite par un champ qui s’écrit au point M d’abscisse x txEtrE ,,

tkxiEtxEtrE exp,, 0

0ELe champ , de module constant, appartient au plan (M, y, z).

x

y

z

k

13

2.3.2. Ondes lumineuses sinusoïdales sphériques

Une onde sphérique est caractérisée par des surfaces d’onde sphériques ; ce type d’onde est plus classique

puisque générée par une source ponctuelle. Le vecteur d’onde qui est associé est radial en coordonnées

sphériques. tkrirEtrEtrE exp)(,, 0

Dans chaque direction radiale de propagation, le champ est contenu dans le plan ( , ) ee

l’amplitude E0 du champ électrique décroît en 1/r, ce qui permet d’écrire finalement le champ électrique d’une

onde sphérique sous la forme :

S

tkrir

AtEtrE exp, 0

Le vecteur 0A , de module constant, étant contenu dans le plan ( , ) e e

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2.3.3. Ondes lumineuses sinusoïdales cylindriques

L’onde est dite cylindrique si ses surfaces d’onde sont des cylindres coaxiaux. Le vecteur d’onde est alors

radial.

Pour qu’une onde cylindrique le reste indéfiniment, l’amplitude en coordonnées

cylindriques (,,z) doit être indépendante de et de z. En revanche, elle décroit

en 1/1/2, car l’intensité de l’onde intégrée sur la surface du cylindre se conserve

nécessairement. L’onde cylindrique a donc une expression de la forme :

2.4. Réflexion et réfraction d’une onde lumineuse. Coefficients de réflexion et de

réfraction

Un faisceau lumineux se propageant d’un milieu (1) d’indice n1 vers un milieu (2) d’indice n2

deux faisceau, un réfléchi et le deuxième réfracté.

En optique géométrique, les lois de Descartes donnent :

'ii

Pour le rayon réfracté : les deux angles incident et réfracté sont reliés par la relation :

)sin()sin( 2211 inin

( , ) cos( )C

A t t k

15

Introduisons les coefficients de réflexion r et de réfraction qu’on appellera de transmission t. Ils sont

déterminés par les indices de réfraction des milieux.

• Lorsque le champ électrique est normal au plan d’incidence, on obtient :

)cos()cos(

)cos(2

)cos()cos(

)cos()cos(

2211

11

2211

2211

inin

intet

inin

ininr

• Lorsque le champ électrique est parallèle au plan d’incidence, on obtient :

)cos()cos(

)cos(2

)cos()cos(

)cos()cos(

1221

11

1221

1221

inin

intet

inin

ininr

Si l’onde incidente est normale à la surface séparant entre les deux milieux, les coefficients deviennent :

21

1

21

21 2

nn

ntet

nn

nnr

On a

tr 1

On définit également les coefficients énergétiques de réflexion et de transmission R et T par :

2

11

222

cos

cost

in

inTetrR

On retrouve R + T = 1

Cette relation traduit le fait que la somme de l’intensité réfléchie et de l’intensité transmise est égale à

l’intensité incidente.

16

Réflexion sur un miroir

Le cas de la réflexion de la lumière sur un miroir est un cas particulier du problème général de la

réflexion/réfraction à l’interface de deux milieux d’indices différents. Pour caractériser la surface d’un miroir,

on peut dire qu’il s’agit d’une surface de séparation telle que : R = 1 et T = 0

Cette condition est satisfaite quel que soit le milieu d’incidence.

On en déduit que :

r = -1 et t = 0.

3. Détecteurs

Le détecteur permet de mesurer l’énergie transportée par un rayonnement (e.m).

Le détecteur est un capteur physique qui transforme le rayonnement (e.m) en un signal, qui est

généralement électrique afin d’obtenir une information quantitative.

3.1. Définitions

Deux types de détecteurs:

- Détecteur photonique: l’absorption d’un photon fait passer un électron du matériau vers un

état excité, c’est l’effet photoélectrique.

- Détecteur thermique: l’absorption du rayonnement se traduit par une élévation de température

du matériau, laquelle est ensuite convertie en signal électrique.

17

Le plus ancien détecteur utilisé est l’œil humain.

3.2. Caractéristiques d’un photodétecteur

La sensibilité: R=S/Φ; rapport du signal électrique d’entrée S et le flux énergétique incident Φ. Souvent

le signal d’entrée est un courant électrique R=I/Φ.

3.3. Intensité d’une onde lumineuse

- Un détecteur de section utile S fournit un signal proportionnel à , est la moyenne de calculée

sur le temps de réponse du détecteur.

- La puissance est instantanée émise est

- L’intensité lumineuse est défini comme étant la puissance surfacique moyenne rayonnée par l’onde, soit

, k étant un facteur de proportionnalité 2

EkI

Exemple:

Soit une onde lumineuse telle que l’intensité lumineuse de l’onde est: yyxx eEeEE

222

yx EEkEkI

2

E2

ES2

E

2

EkP

18

Chapitre 2 Polarisation de la lumière

1. Notion de polarisation

On sait depuis la théorie de Maxwell que la lumière est une vibration électro-magnétique de très haute

fréquence. Les grandeurs qui se propagent sont les vecteurs champ électrique E et champ magnétique B.

Dans le vide, ces champs sont transverses, c'est-à-dire qu'ils vibrent dans le plan perpendiculaire à l'axe de

propagation. On rappelle les principaux résultats de la théorie électromagnétique appliquée aux ondes planes

progressives monochromatiques (OPPM) :

1.1. Nature vectorielle de la lumière

, , orthogonaux entre eux

/ / , vitesse de phaseE B k v

E B k

B k E

Structure d'une OPPM dans le vide

19

Ces propriétés, valables dans le vide avec v = c, le restent dans les milieux isotropes, avec v = c/n, k = n.k0 (n

indice de réfraction). Elles restent également valables pour toute onde monochromatique, plane ou non, k

désignant alors le vecteur d'onde local orthogonal à la surface d'onde.

Note : dans les milieux transparents, E et B vibrent en phase. Mais dans les milieux conducteurs ou

fortement absorbants, k devient complexe, E et B ne vibrent plus en phase.

Ayant défini pour l'onde électromagnétique une direction de propagation (celle du vecteur k), il reste à définir

selon quelles directions du plan transverse vibrent les vecteurs E et B, ou plus généralement quelles sont les

trajectoires suivies par les extrémités de ces deux vecteurs. Ceci définira l'état de polarisation de l'onde

électromagnétique.

1.2. Lumière polarisée et lumière non polarisée

Souvenons-nous que dans une source lumineuse la lumière est émise aléatoirement par les atomes excités. S'il

n'y a dans la source aucun système capable de privilégier un axe particulier de vibration, la direction du

vecteur E varie aléatoirement dans le plan transverse : la lumière est alors dite non polarisée.

Pour décrire l'état de polarisation, il suffit de considérer l'un des deux champs, par convention le champ

électrique, puisqu'on sait que le champ magnétique vibre de la même manière, dans la direction définie par le

produit vectoriel kxE.

Inversement, si le vecteur E vibre selon une direction bien déterminée, ou s'il décrit une trajectoire périodique bien

déterminée dans le plan transverse, on dit que la lumière est polarisée.

20

Il est essentiel de ne pas confondre polarisation et cohérence : une lumière fortement cohérente peut être non

polarisée, et inversement une lumière polarisée peut être faiblement cohérente. Ces deux notions sont totalement indépendantes.

2. Les divers états de polarisation

2.1. Etats rectilignes, circulaires et elliptiques

Un état de polarisation est dit rectiligne si le champ électrique vibre parallèlement à un axe déterminé du plan

d'onde. On peut dire dans ce cas que l'onde a une polarisation rectiligne, ou qu'elle est polarisée rectiligne (mais pas

rectilignement, cet adverbe n'existe pas).

Soit un plan d'onde quelconque (Oxy). On peut bien sûr toujours choisir d'appeler par exemple Ox l'axe

parallèle à la direction de polarisation (Oz désignant le plus souvent l'axe de propagation). Dans ce cas le

vecteur champ électrique instantané E(t) a pour composantes :

2.1.1. Etats rectilignes

( ) cos( )( )

( ) 0

x m

y

E t E tt

E t

E

avec Em l'amplitude de l'onde, sa phase à l'origine des dates.

Toutefois, on peut être amené à choisir d'autres axes de référence, notamment quand la polarisation rectiligne

de l'onde est de direction variable ou qu'elle est amenée à subir des modifications en traversant un système

optique.

21

L'expression la plus générale d'un état rectiligne projeté sur deux axes

orthogonaux est donc :

x

y

a

b

α

avec a et b deux constantes réelles, telles que :

cos sinm ma E b E

( ) cos( )( )

( ) cos( )

x

y

E t a tt

E t b t

E

α désignant l'angle entre la direction de polarisation et l'axe (Ox). Notons que sur la figure précédente, l'état de

polarisation rectiligne est logiquement symbolisé par une double flèche symétrique par rapport à l'origine :

comme le vecteur champ électrique s'inverse à chaque période, il va de soi que l'angle α d'un état rectiligne est

défini modulo . Notons aussi que changer a en –a (ou b en –b) revient à changer α en –α (ou indifféremment

en - α).

On appelle plan de polarisation le plan formé par l'axe de polarisation rectiligne et l'axe de propagation.

On peut préparer un état de polarisation rectiligne en plaçant un

polariseur sur le trajet d'un faisceau non polarisé. Quel que soit le

principe du polariseur (voir plus loin, § 3), celui-ci laisse passer l'une des

composantes du champ et écarte l'autre (ou l'absorbe) : par conséquent,

quand la lumière incidente est non polarisée, un polariseur parfait ne

peut transmettre (au mieux) que 50% de l'intensité incidente.

Représentation symbolique du polariseur

en perspective de profil

(P)

22

2.1.2. Etats circulaires

L'état de polarisation est dit circulaire si le vecteur champ électrique tourne dans le plan d'onde à vitesse

angulaire constante , pulsation de l'onde monochromatique, son module restant constant.

On peut dire dans ce cas que l'onde a une polarisation circulaire, ou bien qu'elle est polarisée circulaire (mais pas

circulairement, cet adverbe n'existe pas).

La projection d'un état de polarisation circulaire sur deux axes orthogonaux quelconques (Ox) et (Oy) du plan

d'onde est de la forme :

Signe + :

polarisation circulaire gauche Signe – :

polarisation circulaire droite y

x

y

x

Sens trigo pour l'observateur qui reçoit

l'onde se propageant selon +z

Sens horaire pour l'observateur qui reçoit l'onde

se propageant selon +z

Remarque : un autre choix d'axes

orthogonaux x et y ne ferait que changer la

phase à l'origine des dates.

( ) cos( )( )

( ) sin( )

x

y

E t a tt

E t a t

E

23

2.1.3. Etats elliptiques

Les états rectilignes et circulaires sont des cas particuliers. On va montrer que dans le cas le plus général où on

compose deux états rectilignes orthogonaux dont les amplitudes et les phases sont quelconques, on obtient un

état elliptique.

En choisissant la composante Ex du champ comme référence de phase, et en notant x et y les composantes de

E pour alléger l'écriture, on a :

où a et b sont supposés positifs, et pris dans l'intervalle [0, 2[. Pour déterminer la trajectoire suivie par

l'extrémité du vecteur E, il faut éliminer la variable t. En développant y/b :

/ cos cos sin siny b t t

( ) cos( )

( ) cos( )

x t a tt

y t b t

E (*)

on peut exprimer sint en fonction de x et y :

cossin

sin sin

y xt

b a

et en remplaçant cos / ,t x a par

et éliminer le temps grâce à la relation cos2t + sin2t = 1 :

On obtient finalement l'équation cartésienne : 2 2

2

2 2

2 cossin

x y xy

a b ab

qui est celle d'une ellipse. D'après (*), il est évident que cette ellipse est inscrite dans le rectangle délimité par

x = ± a, y = ± b. On peut déterminer l'inclinaison de ses axes X et Y, en posant :

(**)

cos sin

sin cos

x X Y

y X Y

24

La valeur de α sera celle qui annulera le terme en XY. Exprimons

d'abord x2, y2 et 2xy en fonction de X et Y :

y

x

α X

Y 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

cos sin sin 2

sin cos sin 2

2 ( )sin 2 2 cos2

x X Y XY

y X Y XY

xy X Y XY

2 2

1 1 2cos2 cossin 2 0

b a ab

L'annulation du terme rectangulaire en XY dans l'équation (**) donne :

soit encore :

2 2

2 costan 2

ab

a b

2 2 2 22 2 2

2 2 2 2

cos sin sin 2 cos sin cos sin 2 cossinX Y

a b ab a b ab

et l'équation de l'ellipse sur ses propres axes devient :

2 2

2 21

X Y

A B ce qui peut encore s'écrire :

où A et B, supposés positifs, sont les longueurs des demi-axes de l'ellipse. On obtient assez facilement leurs

expressions en fonction de a, b et : 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

cos sin sin 2 cos

cos sin sin 2 cos

sin

A a b ab

B b a ab

AB ab

2 2 2 2A B a b Il résulte des expressions précédentes :

25

Le sens de rotation de l'ellipse dépend de : sens trigo si ]0, [, sens horaire si ], 2[.

Cette égalité est physiquement évidente, l'intensité de l'onde électromagnétique étant indépendante des axes

choisis pour exprimer sont état de polarisation.

Etats ellipitiques tracés pour différentes valeurs particulières du déphasage

( désignant le retard de phase de Ey sur Ex)

Les coordonnées des points d'intersection avec les axes et des points de tangence

sur le rectangle s'obtiennent aisément en revenant à l'équation paramétrique (*).

= 0 = /4 = 3/4 = /2

= = 5/4 = 7/4 = 3/2

ère

nde

pour 0 : 0 , 1 diagonale du rectangle

pour : 0 , 2 diagonale du rectangle

x y

a b

x y

a b

Pour = 0 ou , on a évidemment des états rectilignes, l'équation (**) donnant alors :

26

Pour voisin de 0 ou , on a des états elliptiques quasi rectilignes; l'ellipse est très allongée, avec A >> B,

que l'on déduit facilement des équations précédentes :

2 2 2

2 2

sin( 1)

A a b

abB

A a b

x

α

X Y

2.2. Production et analyse de la lumière polarisée rectilignement

2.2.1. Les polariseurs et les analyseurs: définitions

- Le polariseur est un dispositif qui permet de polariser rectilignement une lumière incidente non polarisée. Il

est possible d’utiliser le même dispositif pour déterminer la direction de polarisation d’une lumière déjà

polarisée rectilignement ; il est alors appelé analyseur.

- Un polariseur est un filtre qui transforme une onde quelconque en onde polarisée rectilignement, selon une

direction caractéristique du polariseur. u-Une onde est polarisée rectilignement s’il existe une position du polariseur pour laquelle l’intensité de la

lumière transmise est nulle.

2.2.2. Analyse d'un état de polarisation. Loi de Malus

On peut analyser expérimentalement l'état de polarisation d'une onde en mesurant l'intensité transmise à

travers un polariseur tournant. Ce polariseur est alors logiquement appelé analyseur. Le graphe expérimental

It() obtenu en fonction de la position angulaire de l'analyseur permet de déterminer si l'onde, supposée polarisée,

est rectiligne, circulaire ou elliptique, et, dans ce dernier cas, quelle est l'inclinaison des axes de l'ellipse et le

rapport B/A de leurs longueurs.

27

Dans le cas d'une polarisation circulaire, l'intensité transmise par le polariseur tournant demeure constante.

Dans le cas d'une polarisation elliptique, l'intensité transmise passe par des maxima et des minima, dont on peut

montrer facilement que le rapport Imax/Imin vaut A2/B2.

Remarque importante en pratique : les détecteurs sont en général linéaires (ils fournissent une tension ou un

courant proportionnel à la puissance lumineuse reçue) mais présentent parfois un signal d'obscurité, qu'il est

bien sûr essentiel de mesurer au préalable, en coupant le faisceau, pour ensuite le retrancher si l'on veut

déterminer sans erreur l'intensité transmise. Ceci permet également de s'affranchir de la lumière ambiante, à

condition de couper le faisceau à la source (et non pas juste devant le détecteur !)

(A)

Détecteur

lumière polarisée

à analyser

polariseur tournant

servant d'analyseur

Intensité transmise It

Rotation de l'analyseur

A2

B2

x

α

X Y

En effet, la polarisation elliptique peut être considérée comme la composition

de deux polarisations rectilignes orthogonales, d'axes X et Y, et d'amplitudes

complexes respectives A et iB, puisqu'elles vibrent en quadrature. L'analyseur

ne laisse passer que la projection sur son axe de chacune de ces deux

polarisations rectilignes.

28

Soit α l'angle que fait le grand axe X avec un axe fixe. Quand l'axe de l'analyseur fait un angle avec ce même

axe fixe, il fait l'angle (-α) avec le grand axe X de l'ellipse, et l'angle complémentaire (90°-+α) avec le petit

axe Y. L'amplitude complexe transmise par l'analyseur est donc :

( ) cos( ) sin( )tA A iB

et l'intensité : 2 2 2 2( ) cos ( ) sin ( )tI A B

Elle varie de B2 à A2. Elle est constante si A = B (cas de la polarisation circulaire).

Dans le cas B = 0, c'est-à-dire celui d'une onde incidente de polarisation rectiligne faisant l'angle α avec l'axe

fixe, et d'intensité incidente I0 = A2, on retrouve la loi de Malus :

2

0( ) cos ( )tI I

Note importante : Cette méthode simple ne permet pas de déterminer le sens de rotation (droit ou gauche)

d'une polarisation circulaire ou elliptique. Elle ne prouve pas non plus que la lumière soit parfaitement

polarisée (une lumière partiellement polarisée donnera le même type de graphe It()). Notamment, on ne peut

pas distinguer ainsi une lumière polarisée circulaire d'une lumière non polarisée.

Elle consiste à établir la relation entre les intensités lumineuses incidente I0 (à la sortie du polariseur) et

l’intensité transmise It() à la sortie de l’analyseur.

N.B. On ne peut pas appliquer la loi de Malus entre les intensités I0 et I car I0 ne correspond pas à une lumière

polarisée. Lumière non polarisée Lumière polarisée (après traversée du

polariseur)

Lumière polarisée (après

traversée de l’analyseur)

aléatoire en direction et en norme

I0 I = I0/2

puEE auEE )cos('

)(cos' 2 II

0E

29

3. Changements d'état de polarisation

3.1. Passage d'un état non polarisé à un état rectiligne

Le dichroïsme est l'absorption sélective, par certains matériaux, de l'un des deux états de polarisation de la

lumière (généralement un état rectiligne).

3.1.1. Polarisation par dichroïsme

Les polariseurs dichroïques les plus simples sont constitués d'un film polaroïd, c'est-à-dire une feuille de

plastique que l'on a enduite d'un matériau organique à longues molécules puis étirée. Quand le champ

électrique de l'onde est parallèle à la direction d'étirement, l'absorption est très forte (> 99,9%), alors qu'elle

est modérée (environ 40%) pour la composante perpendiculaire. L'inconvénient de ces polariseurs bon

marché est que leur tenue au flux lumineux est limitée. Un faisceau laser de quelques centaines de mW suffit à

les endommager.

Il existe des cristaux dichroïques (par ex. la tourmaline, borosilicate d'aluminium), dont la tenue au flux est

meilleure que celle des films organiques. Mais comme l'effet dichroïque dans les cristaux dépend fortement de

la longueur d'onde (d'où son nom), la plage spectrale d'utilisation de ces polariseurs est limitée.

3.1.2. Polarisation par biréfringence

Certains cristaux dits biréfringents, permettent de fabriquer de très bon polariseurs en utilisant soit le

phénomène de double réfraction, soit un phénomène de réflexion totale sélectif en polarisation. Quel que soit

le principe adopté (Rochon, Wollaston, Glan-Taylor, Glan-Thomson), le polariseur est constitué de deux

prismes accolés, éventuellement séparés par une lame d'air ou par une couche de faible indice (baume du

Canada). A l'interface des deux prismes, l'une des composantes de la polarisation est transmise directement,

l'autre est soit déviée, soit totalement réfléchie, selon le montage.

30

Problème pratique : les polariseurs tournants ont généralement un repère qui défile

devant une monture graduée, dont le zéro indique en général la verticale. Mais il

arrive souvent que le repère ne corresponde pas exactement à l'axe de polarisation.

Comment faire, avec deux polariseurs, pour déterminer leurs décalages ?

0° 93°

3.1.3. Polarisation par réflexion

3.2. Passage d'un état polarisé à un autre. Lames retard

3.2.1. Lames retard. Axes neutres

Les lames retard (lames demi-onde et lames quart-onde) sont des lames à faces parallèles taillées dans des

cristaux biréfringents (quartz ou mica), qui permettent de modifier l'état de polarisation de la lumière.

Une lame biréfringente présente toujours dans son plan deux axes perpendiculaires, appelés axes neutres ou

lignes neutres, qui ont la propriété suivante : si la polarisation incidente est rectiligne et parallèle à l'un des axes

neutres de la lame, elle ne subit aucune modification en traversant la lame.

x1

x2

x1

x2

31

En revanche, tout autre état de polarisation ressortira généralement modifié.

A l'entrée de la lame biréfringente, le champ électrique de l'onde incidente se décompose sur les axes

neutres en deux composantes E1 et E2, qui peuvent présenter éventuellement une différence de phase initiale

0 (nulle si la polarisation incidente est rectiligne).

Du fait des propriétés optiques anisotropes de la lame, les deux composantes E1 et E2 sont transmises à

des vitesses différentes. Elles ressortent donc avec un certain déphasage supplémentaire , qui est

proportionnel à l'épaisseur traversée, et qui s'ajoute au déphasage initial 0. (On verra comment calculer ce

déphasage au chapitre suivant.)

3.2.2. Basculement d'une polarisation rectiligne.

Lame demi- onde

Une lame est dite demi-onde si le déphasage qu'elle introduit entre les deux composantes de la polarisation

est un multiple impair de :

(2 1) ,m m N

L'entier m s'appelle l'ordre de la lame. Le déphasage, positif par convention, désigne le retard de phase de la

composante lente sur la composante rapide.

Supposons que la polarisation incidente soit rectiligne et fasse un angle par rapport à l'axe lent, noté x1. A

l'entrée de la lame, les deux composantes sont en phase :

1

2

( ) cos( )

( ) cos

E t a tt

E t b t

E

La composante rapide E2 ressort de la lame avec une avance de phase multiple impaire de . Soit E' le

vecteur champ électrique à la sortie. Tout se passe comme si l'une des composantes avait changé de signe :

, avec b/a = tan

32

'

1

'

2

( ') cos ''( ')

( ') cos( ' 2 ) cos '

E t a tt

E t b t m b t

E

La polarisation en sortie est donc rectiligne, mais elle fait l'angle - avec

l'axe x1. Elle a donc basculé de 2.

x1

x2

-

3.2.3. Passage d'une polarisation rectiligne à une polarisation circulaire ou elliptique.

Lame quart-onde

(2 1) ,2

m m

Une lame est dite quart-onde si le déphasage qu'elle introduit entre les deux composantes de la polarisation est

un multiple impair de /2 :

La lame demi-onde (dite "lame /2") est très souvent utilisée dans les montages pour basculer la polarisation.

Mais attention, elle ne remplit ce rôle qu'à la longueur d'onde pour laquelle elle est conçue.

N

L'entier m s'appelle l'ordre de la lame. Le déphasage , positif par convention, désigne le retard de phase de la

composante lente.

Supposons que la polarisation incidente soit rectiligne et fasse un angle par rapport à l'axe lent, noté x1. A

l'entrée de la lame, les deux composantes sont en phase comme précédemment. Soit E' le champ à la sortie de

la lame. En prenant sa composante E'1 comme référence de phase, on obtient :

'

1

'

2

( ') cos ''( ')

( ') cos( ' / 2) sin '

E t a tt

E t b t m b t

E

33

La polarisation en sortie est donc elliptique. Dans le cas = 45°, elle est

circulaire (gauche si m est impair, droite si m est pair). Il va de soi que le

sens de rotation s'inverse pour = -45°.

x2

x1

45°

La lame quart-onde (dite "lame /4") est souvent utilisée pour convertir une polarisation rectiligne en

polarisation circulaire ou inversement. Mais elle peut aussi être utilisée pour convertir une polarisation elliptique

quelconque en polarisation rectiligne (voir exercice ci-après).

Remarquons que si l'on place un miroir en sortie du montage précédent, la lumière polarisée circulaire

redevient rectiligne après avoir retraversé la lame, mais à 90° de la polarisation incidente (la lame quart-onde

traversée deux fois produit le même effet qu'une lame demi-onde en transmission). On verra au chapitre

suivant que c'est sur ce principe que fonctionnent certains afficheurs à cristaux liquides.

Cette remarque montre que le principe du retour inverse de la lumière ne s'applique pas à la

polarisation.

Exercice de cours :

On traite chacune des polarisations ci-dessous par une lame quart-onde d'ordre zéro, dont l'axe lent coïncide avec la première

bissectrice des axes x et y. La lumière se propage vers l'observateur. Représenter les polarisations sortantes correspondantes.

x

y

x

y

x

y

x

y

34

4.1. Lunettes de soleil

4. Applications

4.2. Laser impulsionnel

4.3. Cinéma 3D

35

Thomas Young, 13 juin 1773, Milverton (Somersetshire) – 10 mai 1829, Londres.

C’est à ce médecin anglais aux connaissances universelles, que revient le mérite

d’avoir véritablement jeté les bases de la théorie ondulatoire de la lumière. Auteur

d’une thèse sur la production de la voix humaine, il avait une parfaite connaissance

des phénomènes de propagation du son. C’est entre 1800 et 1807 qu’il fait ses

travaux en optique, en commençant par s’intéresser à la vision des couleurs,

établissant qu’elle est due au mélange de trois couleurs fondamentales. Il s’intéressa

ensuite `a la diffraction de la lumière, aux franges des lames minces et on peut

considérer qu’il a découvert la notion d’interférences, en réalisant ce que nous

connaissons aujourd’hui sous le nom d’expérience des “trous d’Young” ! A

l’époque, la publication de ses travaux fut couverte d’insultes par les tenants de la

théorie corpusculaire de Newton, comme Lord Brougham et David Brewster. Les

travaux contemporains d’Augustin Fresnel en France furent également critiqués de

manière virulente par des physiciens aussi respectables que Laplace et Biot...

Thomas Young fut également un génie dans d’autres domaines de la science. Il

estima en 1805 l’ordre de grandeur de la taille des molécules et initia le calcul des

assurances sur la vie ! Enfin, sa connaissance de multiples langues orientales lui

permit de jouer un rôle essentiel dans le déchiffrement des hiéroglyphes. En

étudiant la fameuse Pierre de Rosette découverte en 1799 lors de la Campagne

d’Egypte de Napoléon, il réussit à décoder les inscriptions hiéroglyphiques sous la

forme d’un système alphabétique, dont Champollion formulera ensuite le système

de grammaire.

Historique

Chapitre 3 Interférences lumineuses – Notions de bases

36

Il établit en 1821 la théorie de la polarisation de la lumière. Associé `a François Arago, il démontra que la

vibration lumineuse est transverse, et non pas longitudinale comme il le pensait initialement. A partir de

l’étude du phénomène d’aberration des étoiles, il avança l’idée d’un référentiel absolu, appelé “éther”, pour la

propagation de la lumière. Il ouvrit ainsi la voie aux travaux qui conduiront plus tard à la théorie de la

relativité, en donnant pour la première fois une formule cruciale qui invalide l’addition des vitesses selon les

lois énoncées par Newton. Il succomba à l’age de 39 ans de la tuberculose. Les propos suivants caractérisent

sa démarche scientifique : “Quand une hypothèse est vraie, elle doit conduire à la découverte des rapports

numériques qui lient entre eux les faits les plus éloignés. Lorsqu’elle est fausse au contraire, elle peut

représenter à la rigueur les phénomènes pour lesquels elle a été imaginée, comme une formule empirique

représente les mesures entre les limites desquelles elle a été calculée ; mais elle ne saurait dévoiler les noeuds

secrets qui unissent ces phénomènes à ceux d’une autre classe”. A l’occasion du congrès Solvay de 1927

auquel participèrent tous les pères fondateurs de la mécanique quantique, l’ensemble des participants se

déplaça de Bruxelles à Paris pour venir célébrer à la Sorbonne le centenaire de la mort de Fresnel.

Le seul portrait connu d’Augustin Fresnel, né le 10 mai 1788 à Broglie (Eure) et

mort le 14 juillet 1827 à Ville d’Avray. Il entre é l’Ecole Polytechnique et en sort

comme ingénieur des Ponts et Chaussées. Après s’être opposé au retour de

Napoléon lors des Cent-Jours, il est destitué et se retire dans un village du

Calvados où il va se consacrer à l’étude de l’optique. Il fut le premier à élaborer à

partir de 1815 une description complète du caractère ondulatoire de la lumière.

Son travail, aussi bien expérimental que théorique, eut trait aux phénomènes de

diffraction, d’interférences et de polarisation. Pour étudier les interférences entre

deux ondes, il inventa divers dispositifs qui portent aujourd’hui son nom :

miroirs doubles de Fresnel, biprisme de Fresnel. Menant une double carrière de

physicien et d’ingénieur, il mit au point vers 1820 les lentilles à échelons – dont

on peut admirer la première réalisation au Musée des Arts et Métiers – qui furent

ensuite installées dans tous les phares, et que l’on trouve plus communément

aujourd’hui sur tous les systèmes de rétroprojection.

37

2.1. Superposition de deux ondes électromagnétiques

2. Principe de superposition

- Avec deux sources ponctuelles de fréquences différentes ou de mêmes fréquences il n y’a pas d’interférences.

En effet, les deux sources émettent de façon aléatoire. On dit que les deux sources sont incohérentes.

- Le phénomène d’interférence ne peut être observé que si la lumière est produite par une source unique et

cohérente.

1. Introduction

- On dit qu’il y’a interférence entre deux ondes S1 d’intensité I1 et S2 d’intensité I2 ou que deux ondes

interférent, lorsque l’intensité résultante I de la superposition de deux ondes n’est pas la somme de leurs

intensités:

I ≠ I1+I2

- Historiquement : lumière + lumière = obscurité

38

),(2 trE

correctement décrite par le champ ),( trE

Le principe de la superposition des ondes résulte de la linéarité des équations de Maxwell. Si une onde décrite

par un champ électrique ),(1 trE rencontre une seconde onde décrite

),(),(),( 21 trEtrEtrE

l’intensité lumineuse résultante, qui ne vérifie pas des équations linéaires, n’est pas égale à la somme des

intensités lumineuses.

Mais

)()()( 21 rIrIrI

Déterminons les conditions d’interférence de deux ondes. Pour ceci on considère deux ondes harmoniques

d’une phase (t). L’onde 1 étant prise comme référence de phase, nous pouvons écrire les champs électriques

associés aux deux ondes :

22222

11111

)(.exp)(),(

.exp)(),(

etitirkirEtrE

etirkirEtrE

par un champ , l’onde résultante est

Le principe de superposition des ondes donne le champ résultant ),( trE

),(),(),( 21 trEtrEtrE

L’intensité lumineuse résultante est donnée par :

2121212121 .)(.cos)()(2)()()( eetitrkkrIrIrIrIrI

Terme d’interférence entre les deux ondes

39

0.)(.cos 212121 eetitrkkSi Il n’ y a pas d’interférences

-Si 0. 21 ee cette condition est la condition de la cohérence de polarisation.

0)(.cos 2121 titrkk uniquement si et si 021 Ctet )(

- Autrement dit, il y’a interférence entre deux ondes si les ondes ont même fréquence et que leur déphasage

est constant. Cette condition est appelée cohérence spatiale.

En résumé, deux ondes interfèrent si les conditions ci-dessous sont réalisées.

Condition de cohérence de polarisation : les directions de polarisation de deux ondes ne sont pas

orthogonales ; dans la pratique, les ondes qui interfèrent sont souvent prises avec le même état de polarisation.

Condition de cohérence spatiale : les deux ondes ont même fréquence et leur déphasage est constant.

Ces deux conditions sont vérifiées lorsque les deux ondes qui interfèrent sont issues de la même source

lumineuse.

Système optique

40

2.2. Ordre d’interférence - facteur de visibilité

Lorsque les champs se superposent parallèlement alors 1. 21 ee

)(cos)()(2)()()( 2121 rrIrIrIrIrI

avec rkkr ).()( 21

Définition : L’ordre d’interférence p est par définition égal à : 2

)()(

rrp

En fonction des valeurs prises par , et donc , l’intensité varie entre un maximum et un minimum )(r )(rp

- p entier équivaut à un éclairement maximum :

2

21max )()()(

rIrIIrI

- p demi-entier équivaut à un éclairement minimum : 2

21min )()()(

rIrIIrI

- Le phénomène d’interférence se manifeste donc par une alternance de zones sombres pour lesquelles

l’intensité lumineuse est égale à Imin et de zones claires où l’intensité vaut Imax. On peut alors caractériser le

contraste entre ces deux zones d’éclairement extrême par le facteur C :

)()(

)()(2

21

21

minmax

minmax

rIrI

rIrI

II

IIC

41

Le dispositif de Young (détaillé par la suite) permet d’obtenir l’interférence car les sources secondaires que

constituent les fentes émettent des ondes jumelles qui proviennent de la même onde mère, émise par la source

primaire.

En revanche, la tentative de réaliser l’interférence de deux ondes lumineuses indépendantes aboutit à un échec.

Ceci tient au caractère aléatoire de l’émission lumineuse par les atomes.

Les notions qui suivent peuvent sembler ardues, mais il est important de bien les assimiler car elles ont une grande importance

pratique.

2.3. Cohérence

2.3.1. Cohérence temporelle. Longueur de cohérence

Dans une source classique, telle qu’une lampe à vapeur métallique par exemple, les atomes se désexcitent

spontanément en émettant des trains d’onde. La durée d’un train d’onde ne peut pas être supérieure à

l’intervalle de temps séparant deux collisions entre atomes.

On appelle temps de cohérence d’une source la durée moyenne c des trains d’onde qu’elle émet. La longueur

de cohérence est définie par le produit :

C’est la longueur moyenne des trains d’onde émis par la source.

.c cL c

Pour obtenir une interférence de fort contraste, il faut que la différence de marche entre les ondes reste

inférieure à la longueur de cohérence.

42

Le ratio sans dimension Lc/0, caractéristique de la source, permet donc d’estimer l’ordre d’interférence

maximal que l’on pourra observer dans la figure d’interférence. Pour les ordres plus élevés, le facteur de

visibilité tend vers zéro, car les ondes qui se superposent sont issues de deux trains d’onde différents, dont la

différence de phase à l’émission dans la source primaire est aléatoire.

Pour une source monochromatique conventionnelle (lampes à vapeur sous basse pression), la longueur de cohérence est

typiquement de quelques dizaines ou centaines de micromètres. Elle peut atteindre plusieurs mètres pour une source laser.

Notons que la largeur spectrale d’une source est inversement proportionnelle à sa longueur de cohérence. En

effet, la fréquence d’un train onde de durée finie c est déterminée en comptant le nombre de fois que la

vibration associée s’annule, puis en divisant ce nombre par la durée c. Si les trains d’onde sont très brefs, la

fréquence moyenne ν0 sera définie avec une grande incertitude relative Δν. On admet la relation approchée

suivante pour la largeur spectrale à mi-hauteur :

1/ /c cc L

Exercice de cours

Calculer en gigahertz la largeur spectrale d’un laser rouge hélium-néon dont la longueur de cohérence est de 20 cm. Traduire

cette largeur spectrale en nm.

Inversement, estimer la longueur de cohérence du Soleil, sachant que son spectre est centré à 550 nm, avec une largeur à mi-

hauteur d’environ 250 nm.

La largeur spectrale relative (sans dimension) est définie par :

0 0/ /

où ν0 est la fréquence centrale, 0 = c/ν0 la longueur d’onde centrale.

43

2.3.2. Cohérence spatiale. Largeur de cohérence (spatiale)

Revenons encore aux fentes de Young. Considérons la source primaire S comme ponctuelle et étudions

l’influence d’un petit déplacement dS (vectoriel) de cette source sur la différence de marche δL en M :

2 1 2 1 1 1 1(SS M SS M) (SS SS ) ( ) ( )d L d d d 2 2 2SS .u SS .u dS. u u

et désignant les vecteurs unitaires fixes des droites initiales (SS1) et (SS2) respectivement. On en déduit

immédiatement, d’après l’équation

la différence de phase d introduite part le petit déplacement dS :

1u 2u

1 2

0 0

2 2( )d d L

dS. u u

S2

dS

S

S1 M

α

0

2( ) ( )M L M

Ainsi tout déplacement de la source primaire orthogonal au vecteur se traduit, au 2e ordre près, par

aucune variation de phase. On ne dégrade donc pas la cohérence en remplaçant le point source S par une fente

source perpendiculaire à .

1 2( )u u

1 2( )u u

En revanche, si le déplacement dS est colinéaire au vecteur (c’est-à-dire latéral), la différence de phase

est modifiée de :

1 2( )u u

44

0 0

2 22sin( / 2) . ,d dS dS

où α est l’angle, généralement petit, entre (SS1) et (SS2).

Si la source primaire est étendue, chacun de ses points produit sa propre figure d’interférence,

indépendamment des autres points. Les diverses figures sont décalées sur l’écran. Comme leurs intensités

s’additionnent, le contraste se brouille dès que le décalage est supérieur à la moitié de l’interfrange.

Pour que le contraste des franges soit préservé, il faut que d reste petit devant 2. Autrement dit, il faut que

le produit dS.α dans l’équation précédente reste petit devant la longueur d’onde. Une autre manière

d’exprimer cette condition est d’introduire la largeur de cohérence de la source, définie par le quotient de sa

longueur d’onde centrale 0 (nm) et de son ouverture angulaire (en radians) : 0sl

La condition précédente (d << 2) porte alors sur l’écartement a S1S2 des deux fentes secondaires, et

s’écrit simplement :

Dans le cas où la source primaire est un astre, son ouverture angulaire

dans l’équation est tout simplement son diamètre apparent. Dans le cas

d’un faisceau laser, ou d’un faisceau quasi parallèle produit par un système

optique, est l’angle de divergence (ou de convergence) du faisceau.

S1

S2

Exercice de cours

Calculer la largeur de cohérence du Soleil, à sa longueur d’onde centrale (550 nm), sachant que le disque solaire vu de la Terre

a un diamètre apparent de 32 minutes d’arc.

Même question pour la planète Vénus, dont le diamètre apparent est de 1’.

Même question pour un laser rouge hélium-néon dont la divergence est de 3 milliradians.

45

On distingue usuellement deux familles d’interféromètres, dont nous donnons ici les caractéristiques :

Les systèmes interférentiels par division du front d’onde : le faisceau lumineux issu de la source primaire est

divisé en deux faisceaux isolés spatialement et portant des ondes de même amplitude. Ces deux faisceaux

suivent deux chemins différents et se rencontrent pour s’interférer.

- Les systèmes interférentiels par division d’amplitude : Le faisceaux issu de la source primaire qui est ensuite

séparées par une lame semi-réfléchissante. Les deux faisceaux réfléchi et transmis portent deux ondes

d’amplitude différentes. Ils se rejoignent pour s’interférer.

2.4. Interférence de deux ondes

2.4.1. Interférences de deux ondes planes

Soit deux ondes planes et de même direction de polarisation ).exp()( 111 rkiAr ).exp()( 222 irkiAr

L’onde résultante est décrite par le champ scalaire )(r

).exp().exp()( 2211 irkiArkiAr

L’intensité résultante est la superposition des deux intensités

21212121 .)(.cos)()(2)()()( eetrkkrIrIrIrIrI

Les deux ondes ont la même direction de polarisation donc 1. 21 ee

et les intensités )()( 21 rIetrI sont proportionnelles aux carrés des amplitudes A1 et A2 ne dépendent pas de

l’espace. On a donc :

rkkIIIIrI .cos2)( 212121

46

Si on pose et orientons l’axe Ox suivant . L’intensité totale s’écrit dans le repère (O; x; y) 21 kkK K

i

XIIIIYXI 2cos2),( 2121

Ki

2

L’interfrange i est définie comme la période spatiale de la figure

d’interférence:

i

XIYXI 2cos12),( 0

i i

X

Si en plus I1=I2

2.4.2. Interférences de deux ondes sphériques

Soit deux ondes Sphériques et de même direction de polarisation ).exp()( 111

1 rkir

Ar ).exp()( 22

22 irki

r

Ar

Les deux sources sont repérées par les vecteurs positions , l’onde résultante est décrite par le champ

scalaire 21 SS retr

).exp().exp()( 22

2

211

1

1 irkir

Arki

r

Ar

iSi rrr est la distance du point repéré par le vecteur position à la source Si r

Si on suppose maintenant que la distance de S1 au point de l’observation M est égale à la distance de S2 au

point M, r = r1 = r2. La fonction scalaire totale s’écrit :

)exp()exp(1

)( 2211 ikrAikrAr

r

L’intensité résultante de la superposition de deux ondes est :

rkkrIrIrIrIrI .cos)()(2)()()( 212121

47

Si k1 = k2 = k, 122121 cos)()(2)()()( rrkrIrIrIrIrI

Lorsque les ondes ont la même amplitude, l’intensité devient

)(cos1)(2)( 120 rrkrIrI

Si on fait l’observation dans un plan parallèle à (O ; X, Z) et à la distance D de l’axe des deux sources, sur une

zone limitée autour du centre de l’écran placé loin de l’axe des sources, on a D>>X et D>>Z. On peut

donner r par (a est la distance entre les sources)

Exemple

Z’

Z

X

48

En introduisant l’interfrange,

a

Dioù

i

XIZXI

2cos12),( 0

Inte

nsit

é I

x

Nous obtenons finalement

D

aXIZXI

2cos12),( 0

D

aXrr

D

Z

D

a

D

X

D

aXDZD

aXr

D

Z

D

a

D

X

D

aXDZD

aXr

12

2

2

2

2

2

2

2

222

1

2

2

2

2

2

2

2

222

2

)4

(2

1

21)

2(

)4

(2

1

21)

2(

49

Chapitre 4 Systèmes interférentiels

On distingue habituellement deux sortes de dispositifs interférentiels :

• Les dispositifs dits “à division du front d’onde”, où les ondes qui interfèrent sont issues d’une division

géométrique d’une surface d’onde de la vibration initiale. Ces dispositifs très classiques sont décrits de façon

très détaillée soit en cours soit pendant les travaux dirigés:

– Trous et fentes d’Young.

– Miroirs de Fresnel et biprisme de Fresnel

– Miroir de Lloyd

– Bilentille de Billet et franges de Meslin

• Les dispositifs dits “à division d’amplitude”, où une surface partiellement réfléchissante opère une division

de la luminance du faisceau émis par la source. Ce type d’interférences a un intérêt pratique très important,

lorsqu’on cherche à obtenir des franges d’interférence avec des sources spatialement étendues comme le cas

de l’interféromètre de Michelson.

1. Introduction

50

2.1. Trous de Young en lumière monochromatique

2. Systèmes interférentiels à division de front d’onde

2.1.1. Montage des trous de Young de base

Le dispositif des trous de Young est le montage le plus simple

qui permet d’obtenir des interférences. Il est constitué d’une

source lumineuse monochromatique S de petite dimension,

assimilée à une source ponctuelle, éclaire un écran opaque

percé de deux trous, également supposés ponctuels.

Ecran

Deux fentes étroites parallèles

(fentes de Young)

Source monochromatique

Rq : en pratique, une simple lampe ne convient pas… On verra pourquoi par la suite.

Interprétation

Les deux fentes constituent des sources secondaires, mutuellement cohérentes (on verra plus loin le sens de

ce mot), qui émettent chacune une onde.

Les deux ondes parviennent sur l’écran avec une certaine différence de phase, qui dépend du point considéré.

Là où la différence de phase est multiple de 2, les ondes interfèrent de manière constructive, on obtient une

frange brillante. Là où la différence de phase est multiple impair de , les ondes interfèrent de manière

destructive, on obtient une frange sombre.

51

Considérons un plan horizontal coupant les fentes (figure

précédente). Soient S1 et S2 les points d’intersection des fentes

avec ce plan, OH la médiatrice de S1S2, M un point quelconque

de l’écran.

Mise en équation simplifiée

d1

d2

S 2

S 1 M(x)

O O’ S

Ecran

Afin d’observer des interférences, nous plaçons un écran à l’infini c à d à une distance D très grande devant la

distance a = S1S2.

L’intensité lumineuse I(x, y), observée sur l’écran est décrite par la fonction :

D

aXIZXI

2cos12),( 0

désigne la longueur d’onde de la source S et I0 est l’intensité maximale que nous obtiendrions avec la source

S seule.

La périodicité des franges défini l’interfrange i : a

Di

Les positions des franges brillantes et sombres sont calculées à partir de l’expression de l’intensité I(x, y). On

définit l’ordre d’interférence p : D

axp

- p est entier pour les franges brillantes ;

- p est demi-entier pour les franges sombres.

52

Ce montage consiste à placer une lentille convergente

entre les deux sources et l’écran. Cette lentille permet

de renvoyer artificiellement à l’infini l’écran.

2.1.2. Montage des trous de Young avec une lentille

Les deux rayons R1(d1) et R2(d2) convergent au même point M. D’après les lois de l’optique géométrique,

l’intensité lumineuse correspondant est :

'2cos12),( 0

f

axIyxI

L’interfrange devient alors : a

fi

'

d 1

d 2 S 2

S 1 M(x)

O O’ S

Ecran f ’' L

2.2. Montage de Miroir de Fresnel

Chaque miroir donne de la source principale S

une image se comportant comme une source

secondaire.

La différence de marche et l’interfrange i sont

obtenues par analogie avec le dispositif des trous

d’Young

O

x

O1

O2

M2

M1

α

S

I

R 2

α

Champ d’interférence

S1

S2 O’

I

2α d = IO; S1S2 = 2R;

D = d+R = OO’

xRd

Rx

D

a

2

R

Rd

a

Di

2

)(

53

2.3. Observation des franges en lumière blanche

Lumière blanche = superposition d’une infinité d’onde dont les fréquences sont dans le domaine visible.

Chaque onde monochromatique donne une figure d’interférence. La figure résultante est la superposition

de l’ensemble. Le centre de la figure correspond pour toute les couleurs à une frange brillante et donc donne

une frange blanche.

En s’écartant du centre l’intensité diminue et il devient de plus en plus difficile de distinguer les couleurs

Lumière blanche

Extinction du rouge Extinction du violet

Recouvrement des spectres blanc d’ordres supérieurs

Spectre d’ordre 1

Franges irisées

Franges sombres Franges achromatiques

y

x

a

f i B B

'

a

f i R R

'

Exercice

Intensité lumineuse donnée par des fentes de Young éclairées par une source large.

Une fente source de largeur b, monochromatique (longueur d’onde ), est placée à une distance l, dans le plan médiateur de deux fentes

de Young F1 et F2 distantes de a.

L’écran est situé à la distance D de F1F2.

Données: = 589 nm; l = 50 cm; a = 1 mm; D = 2m.

Etudier l’éclairement de l’écran. Retrouver la longueur de cohérence spatiale ls du système. Que se passe t-il si b<<ls; b=ls; b>>ls.

54

3. Systèmes interférentiels par division d’amplitude

Ce type d’interférences est obtenu lorsqu’on divise l’onde incidente par son amplitude

(1)

(2)

3.1. Interféromètre de Mach-Zehnder

Source

Détecteur

L’exemple le plus simple d’interféromètre à lame séparatrice est l’interféromètre de Mach-Zender

)(cos12)( 0 MIMI

)(2)(

MM est le déphasage, mesuré en M, entre les deux ondes, (M) la différence de marche

correspondante et RIRI )1(0

L’intensité résultant de l’interférence des deux ondes s’écrit :

3.2. Interférence à travers un film mince. Application au traitement antireflet

Les films minces sont des systèmes interférentiels naturels à division

d’amplitude (exemples: bulle de savon, nappe d’huile). Les interférences

qu’ils produisent sont surtout visibles en réflexion.

Soit e l’épaisseur du film, i l’angle d’incidence, r l’angle de réfraction

(comptés tous deux par rapport à la normale). Calculons la différence de

marche entre les deux ondes réfléchies, en fonction de r :

verre d’indice n0

film d’indice n I

J

K

L air

55

et d’après la loi de Snell-Descartes : sin sini n rd’où :

2 / cos 2 tan sinL ne r ne r r

22 /cos 2 sin / cosne r ne r r 2 cosL ne r Différence de marche :

0 0(2 / ) (2 / ) 2 cosL ne r

Différence de phase :

Un déphasage supplémentaire de doit être ajouté dans le cas n > n0 , car

l’onde réfléchie est alors en opposition de phase avec l’onde incidente

(+ )

Supposons n < n0. La plus petite épaisseur permettant d’obtenir une interférence destructive entre les deux

premières ondes réfléchies est alors : 0 / 4e n

Un tel film d’indice n < n0, déposé sur le matériau d’indice n0, permet donc d’atténuer la réflexion. C’est la

méthode la plus rudimentaire pour faire un traitement antireflet. Il va de soi que si l’interférence est

destructive pour 0 = 550 nm (vert), elle ne le sera plus tout à fait aux extrémités du spectre visible (d’où une

coloration légèrement mauve du film antireflet).

(éq. * )

Notons que pour des films de faible indice (n < 1,5) on

peut négliger les réflexions secondaires (celles issues du

point K sur la figure précédente). D’après le premier

chapitre l’amplitude relative de l’onde réfléchie en

incidence normale sur un dioptre séparant deux milieux

d’indices n1 et n2 vaut :

n

i

F1 F2 F3 F4

21

1

21

21 2

nn

ntet

nn

nnr

A1 = 0,2000; A2 = 0,1920; A3 = 0,0077; A4 = 0,0003

Seules à considérer sont les amplitudes A1 et A2.

Pour que le traitement antireflet soit efficace, il faut que les deux premières ondes aient des

amplitudes voisines.

56

les phénomènes d’interférence étudiés correspondent à l’interférence de deux ondes, celle directement réfléchi

et celle ayant subi une réflexion dans la lame.

Lorsqu’une lame à faces parallèles, d’épaisseur e et d’indice n, immergée dans l’air, est éclairée par un faisceau

de lumière monochromatique de longueur d’onde , issu d’une source étendue, les rayons émergeant de la

lame dans une direction faisant un angle i avec la normale, donnent lieu à une figure d’interférence bien

contrastée, constituée d’anneaux concentriques autour de l’axe d’observation perpendiculaire au plan du film :

les anneaux de Haidinger.

l’intensité de ces interférences dans la direction i:

)cos(

2sin)( 2

0 rneIiI

S F

i i P

f O

Ces anneaux sont formés par les rayons sortants d’égale inclinaison issus des divers points de la source. La

figure d’interférence étant rejetée à l’infini, on peut l’observer sur un écran placé dans le plan focal image

d’une lentille.

Pour trouver le point P où convergent les rayons dans le plan focal, il suffit de tracer la droite de même

inclinaison i que les rayons et passant par le centre de la lentille.

Le diamètre du p-ième anneau brillant est donc donné par :

2 tan 2 . 2 . .p p p pD f i f i f n r

57

où rp est la p-ième valeur de r pour laquelle la différence de phase donnée par l’équation (éq.*) est multiple de

2. Attention, ne pas oublier le déphasage supplémentaire + dans l’expression (éq.*) si la face arrière du

film est dans l’air (n0 = 1).

Remarque

Lorsque les lames sont d’épaisseur variable, elles donnent lieu à des franges d’égale épaisseur localisées sur la

lame. Ces franges sont appelées franges de Fizeau lorsque l’épaisseur de la lame varie linéairement et anneaux

de Newton lorsqu’une des faces de la lame est sphérique.

Les franges observées sont appelées franges d’égale inclinaison. L’incidence i est donnée par :

)( 0ppe

ni

avec p0 est l’ordre d’interférence pour i=0 et p est l’ordre d’interférence donnée par :

2

1

21

2

2

1)cos(22

2

n

inernep

La source est généralement étendue.

En arrivant sur la lame séparatrice (LS) l’onde se divise en une onde réfléchie et

une onde transmise, d’amplitudes égales.

Ces ondes, renvoyées respectivement par les miroirs (M1) et (M2), se divisent à

leur tour sur la séparatrice, d’où quatre ondes sortantes.

On ne s’intéresse pas aux deux ondes renvoyées vers la source. L’interférence des

deux autres est observée au moyen d’un oculaire (élargisseur de faisceau) ou

d’une caméra.

3.3. L’interféromètre de Michelson

(M1)

S

(M2)

(LS)

(LC)

oculaire

58

(LS) étant une lame de verre recouverte d’un dépôt métallique semi-réfléchissant sur l’une de ses faces, l’une

des ondes ne traverse qu’une fois (LS), tandis que l’autre la traverse trois fois. C’est pourquoi on rajoute dans

l’un des bras de l’interféromètre une lame compensatrice (LC), de même épaisseur que (LS), qui permet

d’égaliser les trajets optiques.

L’un au moins des miroirs est orientable, et mobile en translation afin de compenser les perturbations

apportées par les éléments externes qu’on introduit dans l’interféromètre.

On dit que l’interféromètre est réglé au contact optique quand les trajets optiques dans les deux bras sont

rigoureusement égaux.

Note : quand les deux miroirs sont rigoureusement à 45° de la séparatrice, les ondes sortantes sont parallèles :

elles interfèrent donc à l’infini. (La lentille de sortie permet alors de localiser les franges dans le plan focal

image). La figure ci-dessous montre que les rayons sortants restent parallèles, même quand ils sont inclinés,

quelle que soit la position du point source. C’est pourquoi ce type d’interféromètre peut fonctionner avec une

source étendue (anneaux de Haidinger). (M1)

(M2)

S

Règle importante : La différence de phase entre deux ondes planes parallèles doit être comptée

entre deux points d’un même plan perpendiculaire au vecteur d’onde.

59

Remarque: Surface de localisation

L’évolution des franges d’interférence lorsqu’on élargit la source primaire dépend du système interférentiel.

Avec un dispositif à division de front d’onde (comme les fentes de Young), les interférences ne sont pas

observables avec une source incohérente large. Avec l’interféromètre de Michelson, les interférences restent

observables avec un bon contraste. On dit que qu’il y’a localisation des interférences.

Fentes de Young l’interféromètre de Michelson

Source quasi-

ponctuelle à distance

finie

Franges nettes et peu lumineuses dans toutes la

zone d’intersection des deux faisceaux.

Interférence non localisées

Franges nettes et peu lumineuses dans toutes

la zone d’intersection des deux faisceaux.

Interférence non localisées

Source large à distance

finie

Franges brouillées partout. Interférence non

localisées

Franges lumineuses bien contrastées à très

grande distance, et brouillées partout ailleur.

Interférence localisées à l’infini

4. L’interférence à ondes multiples

L’intérêt est d’augmenter la précision des points des franges brillantes.

4.1.Interférences de N ondes parallèles, de même fréquence et de même

amplitude.

L’amplitude complexe résultante A en un point M du champ d’interférence est donnée:

1

0

0

N

i

jieaA

L’intensité lumineuse résultante

2

2

0

)2

sin(

)2

sin(

N

N

NaI

60

Si Φ = 2k, Imax = (Na0)2 est le maximum principal (k est l’ordre du spectre).

Entre deux maximums principaux successifs correspondant à k et k+1, I s’annule pour (NΦ’/2) = k’

Φ’=(2k’/N)

k’ est un entier Nk < (NΦ’)/2 < N(k+1) Nk < k’ < N(k+1)

Donc il existe (N-1) minimums entre deux maximums principaux

Entre deux minimums successifs existe un maximum secondaire.

Φ

I

2k (2k+1)

4.2. Intensité transmise par une lame semi-réfléchissante d’épaisseur uniforme.

Fonction d’Airy

Au § 3.2, on n’a considéré que les deux premières ondes réfléchies par la lame mince, on a négligé les

suivantes. Cette approximation est justifiée pour R (facteur de réflexion des dioptres) << 1. Mais elle n’est

plus valable pour R voisin de 1.

S F

i P

f O

A0 A1

An

On peut obtenir R proche de 1 en déposant par évaporation de fines couches métalliques sur les faces polies

de la lame. On observe alors en transmission des anneaux de Haidinger dont les franges brillantes sont

beaucoup plus fines que dans le cas R << 1.

61

Notons t1 et t2 les coefficients de transmission en amplitude, à travers le

premier dioptre et le second dioptre respectivement, r1 le coefficient de

réflexion en amplitude, qui est le même sur les deux dioptres. On a,

pour les amplitudes réelles :

2 2 4 2 6

1 0 1 2 2 1 1 3 2 1 1 1 4 3 1 1 1 ...A A t t A Ar A A r Ar A A r Ar

Il faut bien sûr tenir compte du déphasage introduit par chaque trajet dans la lame. Sur l’aller-retour, d’après

(éq.*), ce déphasage vaut :

0(2 / ) 2 cosne r

/ 2 2 4 2 6 3

1 0 1 2 2 1 1 3 1 1 4 1 1 ...i i i iA A t t e A Ar e A Ar e A Ar e

d’où les amplitudes complexes :

A0

A0t1

A0t1t2

A0t1t2r12

A0t1r12

i

r

L’amplitude complexe de l’onde résultante (transmise ou réfléchie) est la somme de celles de toutes les ondes

parallèles qui la composent. Notons A0 l’amplitude réelle de l’onde incidente, A1 … An celles des diverses

ondes transmises.

/ 2 2 4 2 6 3

1 2 3 4 0 1 2 1 1 1... (1 ...)i i i i

tA A A A A A t t e r e r e r e

et l’amplitude totale transmise :

Les termes entre parenthèses forment une progression géométrique, dont la raison est un complexe de

module < 1. La somme est donc convergente et vaut :

2 4 2 6 3

1 1 1 2

1

11 ...

1

i i i

ir e r e r e

r e

En posant : 2

1

1 2

r R

t t T

(facteur de réflexion en intensité),

(facteur de transmission en intensité),

62

0

1

1t i

A A TRe

on obtient pour l’amplitude transmise :

2 2 22 0 0

2 2 2(1 cos ) ( sin )1t t

i

A T I TI A

R RRe

D’où l’intensité transmise :

(où I0 |A0|2 désigne

l’intensité incidente)

2 2

0 0

2 2 21 2 cos 1 2 4 sin ( / 2)t

I T I TI

R R R R R

Développons :

L’intensité transmise est maximale pour = 2m (avec m entier) et vaut alors : 2

0max 2(1 )

I TI

R

On peut montrer qu’en l’absence d’absortion, on a R + T = 1 (conservation de l’énergie), d’où Imax = I0.

max

2( )

1 sin ( / 2)t

II

M

On obtient finalement :

2

4

(1 )

RM

R

avec : Fonction d’Airy

-4 -2 0 2 4

1

Déphasage

R = 0,3 (M = 2,45)

R = 0,6 (M = 15)

R = 0,9 (M = 360)Fonction d’Airy pour différentes valeurs de M

Pour M grand, la fonction d’Airy présente des pics fins, de forme

lorentzienne, dont la pleine largeur à mi-hauteur vaut (en radians) :

.

4mi h

M

En pratique, pour que les anneaux soient très fins et intenses, il est

essentiel que le parallélisme et le poli optique des deux faces de la

lame soient de très bonne qualité.

Ceci est réalisé dans les interféromètres et cavités Fabry-Pérot.

63

4.3. Interféromètres et cavités Fabry-Pérot

L’interféromètre de Fabry-Pérot est utilisé essentiellement dans les spectromètres à haute résolution, les

démodulateurs et les cavités laser.

4.3.1. Application aux lasers

Un laser est un « oscillateur optique » constitué de trois élements principaux :

un milieu actif (amplificateur optique)

une alimentation (électrique ou optique) permettant de « pomper » ce milieu

une cavité résonnante de type Fabry-Pérot

Cette dernière, formée par deux miroirs parallèles en regard, permet aux ondes émises par le milieu actif de le

retraverser plusieurs fois et d’être ainsi fortement amplifiées, grâce aux processus d’émission stimulée.

Toutefois, seules sont amplifiées les radiations dont la longueur d’onde satisfait la condition dite de

résonance : 0 ( )

2L m m

où L désigne la longueur optique de la cavité. C’est la condition pour que l’interférence entre les ondes

successivement réfléchies par les miroirs soit constructive. Toutes les autres radiations s’étouffent par

interférence destructive.

Il en résulte qu’un laser émet en général un spectre de raies, d’autant plus fines que la cavité est plus longue et

que le facteur de réflexion R est plus élevé.

Notons que si la cavité était parfaitement réfléchissante, les ondes résonnantes seraient rigoureusement stationnaires : rien ne

sortirait de la cavité. Il faut que l’un des miroirs soit partiellement transparent pour permettre l’émission laser.

64

Dans un laser à gaz (laser hélium-néon, laser argon, laser CO2 …), la cavité Fabry-Pérot est généralement

assez longue (10 cm à 2 m) et formée par un miroir plan et un miroir sphérique (la cavité est dite pour cela «

hémisphérique »). Le gaz, à faible pression, est enfermé dans un tube dont les extrémités sont des glaces

optiquement planes, inclinées à l’angle de Brewster, ce qui permet au faisceau laser de sortir polarisé rectiligne.

Le pompage est réalisé par une décharge électrique, qui réexcite les atomes du gaz en permanence.

Dans un laser à solide (laser rubis Al2O3:Cr3+, laser YAG:Nd3+) la géométrie est sensiblement la même (en

plus compact), mais le pompage est réalisé optiquement, par un autre laser de plus courte longueur d’onde.

Schéma de principe d’un laser à gaz

Schéma de principe du laser solide YAG-néodyme

YAG:Nd

miroir plan

(multicouche)

miroir

concave Pompe 820 nm

(DL GaAlAs)

émission laser

1064 nm

65

Dans un laser à semiconducteur (diodes lasers GaAlAs, GaInAs,

GaInAsP…), le pompage est assuré par le courant électrique

d’alimentation (recombinaisons électrons-trous). La cavité Fabry-

Pérot, très courte (L ≈ 300 µm), peut être formée directement par

les tranches clivées du composant : c’est la conception la plus

simple, celle des diodes lasers appelées justement « Fabry-Pérot »

(DL-FP). Le facteur de réflexion n’est pas très grand (R ≈ 0,3)

mais suffisant pour déclencher l’effet laser à partir d’un certain

seuil de courant. Ces DL-FP à bas coût ne sont bien sûr pas très

monochromatiques. D’autres architectures permettent d’obtenir

des diodes lasers très pures (DL-DFB, DL-DBR).

Diode laser Fabry-Pérot

Spectre de raies d’une DL-FP GaAlAs

A l'intérieur du composant, la lumière est confinée dans un canal

de très petite section. Il en résulte que l'émission laser est très

divergente, à cause de la diffraction, contrairement au cas des

lasers à gaz. De surcroît, la section du canal étant rectangulaire

(typiquement 0,3 x 10 µm), le cône de diffraction est fortement

elliptique, ce qui pose quelques problèmes de collimation.

0 810 815 820

Longueur d'onde (nm)

Une nouvelle génération de diodes lasers ne présentant pas cet inconvénient est apparue récemment : les

diodes lasers à cavité verticale émettant par la surface (VCSEL).

66

Chapitre 5 Diffraction de la lumière

1. Introduction

1.1. Qu’est-ce que la diffraction ?

La diffraction est le phénomène d’éparpillement de la lumière,

observable quand une onde est matériellement limitée.

Sa mise en évidence peut se faire à l’aide d’un diaphragme de petites

dimensions éclairé par un faisceau parallèle.

Le phénomène de diffraction est, comme le phénomène

d'interférence, une manifestation de la nature ondulatoire de la

lumière. (Sa découverte par Grimaldi vers 1660 précéda de peu

l'hypothèse ondulatoire de Hooke). Diaphragme

(trou < 0,2 mm)

Ecran

Laser He-Ne

L'apparition d'un phénomène de diffraction marque les limites

de l'optique géométrique.

En optique ondulatoire, l'image d'un point par un système optique

n'est plus un point, mais une tache de diffraction, dont la forme et

l'étendue dépendent de celles du diaphragme qui délimite l'onde.

67

1.2. Principe de Huygens-Fresnel

Principe de Huygens (1678),

La lumière se propage de proche en proche. L’ensemble des points vibrant en phase constitue une surface d’onde dont chacun des

points se comporte comme une source secondaire émettant des ondelettes sphériques. L’enveloppe de ces ondelettes forme une

nouvelle surface d’onde, et ainsi de suite.

(S) surface d’onde à l’instant t

(S’) surface d’onde à l’instant t+δt c.δt

Fresnel complète ce principe en 1819 en introduisant la notion d'amplitude

Tout élément de surface (dS) attaché à un point M d'une source secondaire émet une ondelette sphérique dont l'amplitude dA est

proportionnelle à l'aire dS et à l'amplitude A0(M) de l'onde primaire reçue en ce point. L'amplitude complexe de l'onde reçue en

tout point distant P est la somme de celles de toutes les ondelettes élémentaires parvenant en P depuis les divers points M de la

source.

Traduction mathématique : 0( )

exp( )( ) ( ) ( , )

S

ikrA P A M Q M P dS

r

(avec r = MP et k = 2/)

(*)

L'amplitude de l'ondelette sphérique décroît en 1/r (onde

sphérique; cf. Ch.1, § 1.2.2). Le signe du déphasage (±kr) est

sans importance. M

dS n

P

(S)

68

Le facteur Q (facteur d'inclinaison) dépend de l'angle que fait la droite (MP) avec la normale en M à la

surface d'émission. L'homogénéité dimensionnelle de l'équation (*) impose que ce facteur ait la dimension de

l'inverse d'une longueur.

La théorie de Huygens-Fresnel de la diffraction apparaît comme une généralisation de la théorie des

interférences pour une distribution continue de sources élémentaires. L'équation ( )traduit en effet l'interférence

en P de toutes les ondelettes émises par la surface (S). Elle suppose que tous les points de la source soient

cohérents, c'est-à-dire que les phases initiales des ondelettes (arguments des amplitudes complexes A0) soient

parfaitement déterminées.

C'est pourquoi le principe de Huygens-Fresnel ne peut s'appliquer qu'à une source secondaire, c'est-à-dire à

un diaphragme éclairé par une source primaire suffisamment cohérente vis-à-vis des dimensions de ce dernier.

Remarquons enfin que le principe de Huygens-Fresnel ne suppose aucune interaction physique entre l'onde et le bord du

diaphragme qui la délimite (ni déviation ni variation de vitesse) : la diffraction est juste une conséquence de la délimitation

spatiale du front d'onde.

1.3. Approximation de Fraunhofer

L'intégrale (*) permet en principe de calculer la distribution d'amplitude dans tout plan situé à une certaine

distance de la source. Mais le calcul explicite de l'intégrale est en général ardu, voire impossible, même pour

des diaphragmes de forme simple, si l'on ne procède pas à certaines approximations. La difficulté vient du fait

que la distance r = MP ne varie pas linéairement avec les positions des points M et P dans leurs plans

respectifs.

69

Supposons un diaphragme plan (S). Choisissons l'origine O en

un point quelconque de celui-ci. Notons (Oz) l'axe normal au

plan, (x,y) les coordonnées du point source M dans le plan du

diaphragme, (X,Y) celles du point P dans le plan d'observation.

Exprimons la distance r en fonction des coordonnées :

M P

O

z

x

y

X

Y

1/ 22 2 2( ) ( )r X x Y y z

1/ 22 2 2 2 22 2X Y z xX yY x y

(R distance indépendante de M), et mettons R2 en facteur. 2 2OP RPosons

u

(S)

1/ 22 2

2 2

2 21

xX yY x yr R

R R

On obtient :

<< 1 <<<< 1

L'approximation de Fraunhofer consiste à considérer comme petit le 2e terme du développement ci-dessus,

et à négliger complètement le 3e. Ceci implique déjà que la distance d'observation R soit grande devant les

dimensions du diaphragme. Mais cette condition n'est pas suffisante, comme on le verra plus loin.

On peut alors écrire : 2

1 ( )xX yY

r R R x yR

où α et sont les composantes du vecteur unitaire u de OP : X Y

R R

L'approximation de Fraunhofer revient donc à linéariser les variations de la distance r = MP en fonction des

coordonnées du point source M. Elle peut encore s'écrire vectoriellement :

r R u.OM

70

Notes :

- L'approximation de Fraunhofer n'implique pas celles de Gauss : l'angle d'observation peut être grand.

- Quand l'approximation de Fraunhofer n'est plus valable, on réintroduit le 3e terme de l'équation précédente, tout en le

considérant comme petit devant 1 : c'est l'approximation de Fresnel. Bien qu'utile pour traiter notamment les faisceaux

gaussiens, nous la considérerons comme hors programme.

2. Diffraction de Fraunhofer par un diaphragme plan

2.1. Expression générale de la répartition d'amplitude

Reprenons l'intégrale (*) dans le cadre de l'approximation de Fraunhofer. Il découle de cette dernière que le

facteur Q ne dépend plus du point M. Il peut donc être sorti de l'intégrale. En utilisant l'expression approchée

pour la distance r = MP, on a :

0

( )

exp( ) ( ) ( )exp( )

S

ikA P Q P A M ikR dxdy

R

u.OM

u.OM

Le produit scalaire u.OM, très inférieur à R, peut être négligé au dénominateur (mais évidemment pas au

numérateur, car il est grand devant 1/k). R étant une constante dans l'intégrale, on peut en sortir le facteur e-

ikR/R. En posant k = ku, on obtient :

0( )

exp( )( ) ( ) ( )exp( )

S

ikRA P Q P A M i dxdy

R

k.OM

Formule fondamentale de la diffraction à grande distance (ou diffraction à l'infini)

71

Interprétation :

l'approximation de Fraunhofer revient à considérer que les ondes qui

interfèrent au point P sont véhiculées par des rayons parallèles, de

même vecteur d'onde k. Le produit scalaire k.OM correspond alors à

la différence de phase entre l'onde issue de M et celle issue de O. z

M

O H

2OH

k.OM

(S)

0( )

exp( )( ) ( ) ( , )exp ( )

S

ikRA P Q P A x y i k x y dxdy

R

ou encore en fonction des coordonnées x et y de M :

où α et sont les composantes du vecteur unitaire u de OP. En introduisant les nouvelles variables suivantes :

u v

appelées fréquences spatiales (m-1), l'expression de l'amplitude complexe devient :

0( )

( , ) exp( ) ( , )exp 2 ( )S

QA u v ikR A x y i ux vy dxdy

R

L'intégrale double est la transformée de Fourier, par rapport aux variables (u,v), de

la répartition d'amplitude complexe A0(x,y) de la source.

(**)

Cas particuliers, fréquents en pratique :

Cas des petits angles (approximation de Gauss) : on a R Cte = z, distance entre le diaphragme et le plan

d'observation, et le facteur d'inclinaison Q devient lui aussi une constante, dont on peut montrer qu'elle

vaut 1/(i). L'expression (**) devient alors :

72

0( )

exp( )( , ) ( , )exp 2 ( )

S

ikzA u v A x y i ux vy dxdy

i z

0( )

( , ) exp( ) exp 2 ( )S

QA u v A ikR i ux vy dxdy

R

Cas d'une ouverture éclairée par une onde plane en incidence normale : tous les points sources vibrent en phase

avec la même amplitude A0, l'expression (**) se simplifie ainsi :

(***)

0( )

( , ) exp( ) ( , )exp 2 ( )S

QA u v A ikR t x y i ux vy dxdy

R

Cas d'une lame semi-transparente éclairée par une onde plane en incidence normale : en introduisant la

transmittance (complexe) de la lame, t(x,y), rapport de l'amplitude transmise à l'amplitude incidente,

l'expression (**) devient :

Rappelons enfin que l'intensité lumineuse est proportionnelle au carré du module de l'amplitude complexe. La

répartition d'intensité dans la figure de diffraction sera donc donnée par :

2 2

2

02 ( )( , ) ( , ) ( , )exp 2 ( )

S

QI u v A u v A x y i ux vy dxdy

R

On revient ensuite des variables (u,v) aux variables initiales (coordonnées X et Y dans le plan d'observation).

2.2. Figure de diffraction d'une ouverture rectangulaire

Le calcul de l'intensité diffractée est assez facile dans quelques cas d'école, comme celui d'une ouverture

rectangulaire. On note a et b ses côtés et on la suppose éclairée par une onde plane d'amplitude unité, en

incidence normale.

73

/ 2 / 2

/ 2 / 2exp( ) exp( 2 )exp( 2 )

a b

a b

QikR i ux i vy dxdy

R

/ 2 / 2

/ 2 / 2exp( ) exp( 2 ) exp( 2 )

a b

a b

QikR i ux dx i vy dy

R

/ 2 / 2

/ 2 / 2exp( 2 ) exp( 2 )

exp( )2 2

a b

a bi ux i vyQ

ikRR i u i v

exp( )

2 2

i ua i ua i vb i vbe e e eQikR

R i u i v

2 sin( ) 2 sin( )exp( )

2 2

Q i ua i vbikR

R i u i v

( , )A u v

L'équation (***) donne l'amplitude diffractée dans l'approximation de Fraunhofer (avec A0 = 1). En prenant

l'origine au centre de l'ouverture :

2 222 2 2

2

sin( ) sin( )( , ) ( , )

Q ua vbI u v A u v a b

R ua vb

C'est le produit de deux fonctions sinus cardinal (sin / ), dont le graphe est montré ci-dessous. On en

déduit l'intensité diffractée :

sin( ) sin( )exp( )

Q ua vbikR ab

R ua vb

( , )A u v Finalement :

74

L'intensité s'annule pour chaque valeur entière non nulle de ua ou de vb, c'est-à-dire, compte tenu des

équations pour : , ( , *)

R RX p Y q p q

a b

Rq : étant en général très inférieur à a et b, les premières taches de diffraction (p,q) correspondent à de petits

angles. On peut donc admettre Q2/R2 = Cte.

N*)

-4 -2 0 2 4

0

1

sin

-4 -2 0 2 4

1

2

sin

premier maximum

secondaire 0,04

pour x 3/2

Exercice de cours

La figure ci-contre est la figure de diffraction donnée en lumière

rouge (633 nm) par une fente rectangulaire, sur un écran placé

à 50 cm de la fente. On suppose que l'échelle est conservée (1

cm sur la figure polycopiée = 1 cm sur l'écran).

Quelles sont les dimensions de la fente ?

L'approximation de Fraunhofer est-elle valable dans ces

conditions opératoires ? (voir § 2.3.)

Solution :

75

Remarques

-si l'onde plane incidente fait un angle avec la normale au plan du diaphragme, on a dans l'intégrale un

terme de phase supplémentaire, exp(-i2 x sin / ). La fréquence radiale u qui marque le centre de la figure

de diffraction n'est plus alors u = 0 mais u = sin/, ce qui correspond précisément à une rotation d'angle :

la figure de diffraction reste donc centrée sur l'axe de propagation de l'onde incidente.

- Si La diffraction est observée dans les directions telles que = 0, c’est-à-dire le plan perpendiculaire à la

fente, b>>a alors

)(

)sin(

sin

)sinsin(

),(),(

2

22

2

2

2

22

2

22

~XI

D

XaD

Xa

baR

Q

a

a

baR

QvuAvuI

l

Des mesures ont prouvé que la largeur de la tache centrale est donnée par

a

Dl

2

Les directions pour lesquelles l’intensité est nulle : a

m

2.3. Critère de validité de l'approximation de Fraunhofer

Développons à nouveau la distance r, à grande distance de la source (R >> |x|, |y|), mais cette fois sans

négliger le 3e terme de l'équation : 1/ 2

2 2

2 2

2 21

xX yY x yr R

R R

76

Si on réintroduit le terme quadratique dans le facteur exp(ikr) de l'équation donnant l'amplitude diffractée, on

obtient dans l'intégrale un facteur correctif :

2 2 2 2

2 21 ( )

2 2

xX yY x y x yr R R x y

R R R

approximation de

Fraunhofer terme

quadratique

2 2

0( )

exp

( ) exp( ) ( ) ( , ) exp2S

xX yYik

x yRA P ikR A M Q M P ik dxdy

r R

approximation

de Fraunhofer facteur correctif

(approx. de Fresnel)

Si on note d la plus grande diagonale de l'objet diffractant, on a (x2 + y2) < d2/4 au numérateur ci-dessus.

L'approximation de Fraunhofer est donc valable, à 1% près, si : 2

0,014

d

R

Développons au premier ordre ce facteur de phase correctif :

2 2 2 2

exp 12

x y x yik i

R R

d

Ce critère de validité fait intervenir non seulement la taille de l'objet diffractant et la distance d'observation,

mais aussi la longueur d'onde.

A.N.: Pour une distance d'observation de 2,50 m en lumière rouge (633 nm), l'approximation de Fraunhofer

est valable à 1% près si la dimension de l'objet diffractant n'excède pas : 9 40,01 4 633 10 2,50/ 3,14 1,4 10 m = 140 µm

77

Inversement, pour un objet de dimensions millimétriques, par ex. d = 2 mm, l'approximation de Fraunhofer

ne commence à être valable à 10% près qu' à une distance R > 50 m. On comprend donc pourquoi la

diffraction n'est facilement observable qu'avec de petits objets.

3. Diffraction de Fraunhofer par un réseau plan

3.1. Diffraction de Fraunhofer par deux fentes

h

a

a

II 2

2

0 cos4

)sin(

On montre (voir TD) que l’intensité lumineuse est:

Terme d’interférence

2 fentes

rectangulaires

Ecran

0 -1

1

-2

2

Laser He-Ne

h est la distance entre les deux fentes

78

3.2. Diffraction de Fraunhofer par un réseau plan

Un réseau de diffraction est un système périodique constitué de motifs

identiques régulièrement espacés.

Les réseaux utilisés en optique sont constitués de traits ou de fentes parallèles.

La distance entre deux traits voisins définit le pas du réseau a (ou période

spatiale). En pratique, on préfère caractériser le réseau par la quantité inverse,

c'est-à-dire le nombre de traits par mm (on parlera d'un réseau 600, 1200 ou

1800 traits/mm).

Réseau de fentes Réseau échelette (ou blazé)

Réseau 600/mm

Ecran

Lampe blanche

collimatée

Lentille

cylindrique

0 -1

1

-2

2

Diffraction par un réseau plan en lumière blanche

2

22

0

2

sin

sin)sin(

hN

hN

a

a

INI

79

Les réseaux trouvent leurs principales applications en spectrométrie, filtrage

et multiplexage de longueurs d'onde. Ils constituent une bonne application de

la théorie de la diffraction et des interférences.

Note : En pratique, les réseaux sont utilisés le plus souvent en réflexion,

et leurs motifs ne sont pas des fentes mais des traits ou des ondulations

(réalisés par gravure, par réplication ou par procédé holographique).

Leur distribution d'intensité diffère donc de celle étudiée ici.

Notamment, les réseaux échelettes (réseaux blazés) ont une gravure

triangulaire (en toit d'usine) qui permet d'augmenter très fortement

l'efficacité de diffraction pour un ordre particulier (l'ordre 1 ou 2).

Réseau

Ecran

0 -1

1

-2

2

Diffraction par un réseau plan en lumière monochromatique

Laser He-Ne

Notons enfin que les réseaux sont souvent sensibles à la

polarisation de la lumière : leur efficacité diffère selon que

l'onde est polarisée parallèlement ou perpendiculairement à la

gravure.

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