Embed Size (px)
DESCRIPTION
......
Citation preview
Fakultet za informatiku i menadžment
Predmet Osnovi računarske tehnikePredavač dr Violeta Tomašević vanrprof
Matematičke osnove računarske tehnikeII deo
PREDSTAVLJANJE PODATAKA U RAČUNARU
Predstavljanje označenih celih brojeva Znak i apsolutna vrednost Komplement dvojke (opseg brojeva aritmetičke operacije)
Predstavljanje realnih brojeva Pokretni zarez
Predstavljanje podataka znakovnog tipa
Klasifikacija podataka
Tipovi podataka
Statički tipoviunapred definisana unutrašnja
struktura svakog podatka
Skalarni tipovitipovi čije su vrednosti skalari
Dinamički tipovistruktura podataka se slobodno
menja takom rada
Strukturirani tipovisastoje se od više komponenata
koje se nalaze u precizno definisanom odnosu
Celi brojevi
Realni brojevi
Znakovni tip
Predstavljanjeoznačenih celih brojeva
Dva načina za predstavljanje označenih celih binarnih brojeva
pomoću znaka i apsolutne vrednosti u komplementu dvojke
Označavanje brojeva
U decimalnom brojnom sistemu negativni brojevi se predstavljaju znakom ldquo-rdquo (pozitivni znakom ldquo+rdquo ili se znak izostavlja) napisanim ispred cifara koje definišu apsolutnu vrednost broja
U binarnom brojnom sistemu je ovakav način predstavljanja označenih brojeva nemoguć jer računari mogu da prepoznaju samo dva znaka a to su ldquo0rdquo i ldquo1rdquo Samim tim je znakove ldquo-rdquo i ldquo+rdquo potrebno na neki način predstaviti pomoću ldquo0rdquo i rdquo1rdquo
Znak i apsolutna vrednost (1)
Ovo je najjednostavniji način zapisivanja označenog binarnog broja
Postupak zapisivanja broja
Apsolutnoj vrednosti broja se na mestu najveće težine dodaje jedna cifra i to
0 ndash ako je broj pozitivan
1 ndash ako je broj negativan
7(10) = 111(2) neoznačen binarni broj
+7(10) = 0111(2) označen pozitivan binarni broj
-7(10) = 1111(2) označen negativan binarni broj
Znak i apsolutna vrednost (2)
Primer 1a
12(10) = 1100(2) neoznačen binarni broj
+12(10) = 01100(2) označen pozitivan binarni broj
-12(10) = 11100(2) označen negativan binarni broj
Primer 1b
Znak i apsolutna vrednost (3)
Nad binarnim brojevima zapisanim pomoću znaka i apsolutne vrednosti teško se obavljaju aritmetičke operacije (sabiranje oduzimanje množenje i deljenje) zato što se negativan broj ne može tretirati na jedinstven način
Navedeni problem se rešava predstavljanjem negativnih binarnih brojeva u komplementu dvojke
Komplement dvojke (1)
Postupak zapisivanja broja
Pozitivan ceo broj se dobija dodavanjem cifre 0 ispred neoznačenog binarnog broja
Negativan ceo broj se dobija na sledeći način
ispred neoznačenog binarnog broja doda se cifra 0
sve cifre broja se invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama)
dobijeni broj se sabere sa 1
)2()10(
)2()10(
)2()10(
10017
1001 se dobija1 sa sabere se broj dobijeni
1000 se dobija cifre sve seinvertuju
01117
1117
Komplement dvojke (2)
Primer 2 Decimalni broj -7(10) predstaviti u komplementu dvojke
Komplement dvojke (3)
Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja
Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako da desni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule koje slede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja
Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delu broja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) a desni deo broja ostaje nepromenjen
Komplement dvojke (4)
Primer 3 Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)
Polazni broj =010100100 10000levi deo desni deo
Komplement dvojke = 10101101110000
Komplement dvojke (5)
Kao i kod zapisa pomoću znaka i apsolutne vrednosti i kod zapisa u komplementu dvojke pozitivni brojevi počinju cifrom 0 a negativni cifrom 1
Pozitivnim brojevima možemo dodavati vodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a da se vrednost brojeva ne menja
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog u komplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledeće formule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
62816
2021202121110106
6282021202110106
6242021212001106
51282121202110115
5142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke (6)
Primer 4
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom obliku dobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
1271011281271288
71018784
121012 0 za 2
0 za 12 111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifara dobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Postupak sabiranja
oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
ukoliko nemaju isti broj cifara sabirak sa manjim brojem cifara se dopuni vodećim nulama (ako je pozitivan) ili jedinicama (ako je negativan) do broja cifara drugog sabirka
tako dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja ne vodeći računa o znaku
dobijeni rezultat (zbog računarske implementacije uzima se isti broj cifara kao kod sabiraka) je takođe u komplementu dvojke
VažnoRezultat sabiranja mora biti u dozvoljenom opsegu brojeva koji se mogu predstaviti datim brojem cifara da ne bi došlo do prekoračenja i greške prilikom izračunavanja
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
310111301011611107111110110611015
001141010501016110030100201002
Primer 5 Sabrati navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Oduzimanje brojevazapisanih u komplementu dvojke
00114110010113100110017
0100)1(2011101002001000104
)( BABA Oduzimanje brojeva se svodi na sabiranje po sledećoj formuli
Primer 6 Oduzeti navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Znak Eksponent Mantisa
31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristi se
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente
znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarez
Decimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se po formuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Postoje razni standardi koji definišu koliko se bita koristi za koju komponentu i u kom formatu su komponente zapisane
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu je standard IEEE 754
Standard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisu
Znak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0 a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
Klasifikacija podataka
Tipovi podataka
Statički tipoviunapred definisana unutrašnja
struktura svakog podatka
Skalarni tipovitipovi čije su vrednosti skalari
Dinamički tipovistruktura podataka se slobodno
menja takom rada
Strukturirani tipovisastoje se od više komponenata
koje se nalaze u precizno definisanom odnosu
Celi brojevi
Realni brojevi
Znakovni tip
Predstavljanjeoznačenih celih brojeva
Dva načina za predstavljanje označenih celih binarnih brojeva
pomoću znaka i apsolutne vrednosti u komplementu dvojke
Označavanje brojeva
U decimalnom brojnom sistemu negativni brojevi se predstavljaju znakom ldquo-rdquo (pozitivni znakom ldquo+rdquo ili se znak izostavlja) napisanim ispred cifara koje definišu apsolutnu vrednost broja
U binarnom brojnom sistemu je ovakav način predstavljanja označenih brojeva nemoguć jer računari mogu da prepoznaju samo dva znaka a to su ldquo0rdquo i ldquo1rdquo Samim tim je znakove ldquo-rdquo i ldquo+rdquo potrebno na neki način predstaviti pomoću ldquo0rdquo i rdquo1rdquo
Znak i apsolutna vrednost (1)
Ovo je najjednostavniji način zapisivanja označenog binarnog broja
Postupak zapisivanja broja
Apsolutnoj vrednosti broja se na mestu najveće težine dodaje jedna cifra i to
0 ndash ako je broj pozitivan
1 ndash ako je broj negativan
7(10) = 111(2) neoznačen binarni broj
+7(10) = 0111(2) označen pozitivan binarni broj
-7(10) = 1111(2) označen negativan binarni broj
Znak i apsolutna vrednost (2)
Primer 1a
12(10) = 1100(2) neoznačen binarni broj
+12(10) = 01100(2) označen pozitivan binarni broj
-12(10) = 11100(2) označen negativan binarni broj
Primer 1b
Znak i apsolutna vrednost (3)
Nad binarnim brojevima zapisanim pomoću znaka i apsolutne vrednosti teško se obavljaju aritmetičke operacije (sabiranje oduzimanje množenje i deljenje) zato što se negativan broj ne može tretirati na jedinstven način
Navedeni problem se rešava predstavljanjem negativnih binarnih brojeva u komplementu dvojke
Komplement dvojke (1)
Postupak zapisivanja broja
Pozitivan ceo broj se dobija dodavanjem cifre 0 ispred neoznačenog binarnog broja
Negativan ceo broj se dobija na sledeći način
ispred neoznačenog binarnog broja doda se cifra 0
sve cifre broja se invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama)
dobijeni broj se sabere sa 1
)2()10(
)2()10(
)2()10(
10017
1001 se dobija1 sa sabere se broj dobijeni
1000 se dobija cifre sve seinvertuju
01117
1117
Komplement dvojke (2)
Primer 2 Decimalni broj -7(10) predstaviti u komplementu dvojke
Komplement dvojke (3)
Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja
Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako da desni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule koje slede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja
Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delu broja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) a desni deo broja ostaje nepromenjen
Komplement dvojke (4)
Primer 3 Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)
Polazni broj =010100100 10000levi deo desni deo
Komplement dvojke = 10101101110000
Komplement dvojke (5)
Kao i kod zapisa pomoću znaka i apsolutne vrednosti i kod zapisa u komplementu dvojke pozitivni brojevi počinju cifrom 0 a negativni cifrom 1
Pozitivnim brojevima možemo dodavati vodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a da se vrednost brojeva ne menja
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog u komplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledeće formule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
62816
2021202121110106
6282021202110106
6242021212001106
51282121202110115
5142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke (6)
Primer 4
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom obliku dobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
1271011281271288
71018784
121012 0 za 2
0 za 12 111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifara dobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Postupak sabiranja
oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
ukoliko nemaju isti broj cifara sabirak sa manjim brojem cifara se dopuni vodećim nulama (ako je pozitivan) ili jedinicama (ako je negativan) do broja cifara drugog sabirka
tako dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja ne vodeći računa o znaku
dobijeni rezultat (zbog računarske implementacije uzima se isti broj cifara kao kod sabiraka) je takođe u komplementu dvojke
VažnoRezultat sabiranja mora biti u dozvoljenom opsegu brojeva koji se mogu predstaviti datim brojem cifara da ne bi došlo do prekoračenja i greške prilikom izračunavanja
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
310111301011611107111110110611015
001141010501016110030100201002
Primer 5 Sabrati navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Oduzimanje brojevazapisanih u komplementu dvojke
00114110010113100110017
0100)1(2011101002001000104
)( BABA Oduzimanje brojeva se svodi na sabiranje po sledećoj formuli
Primer 6 Oduzeti navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Znak Eksponent Mantisa
31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristi se
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente
znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarez
Decimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se po formuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Postoje razni standardi koji definišu koliko se bita koristi za koju komponentu i u kom formatu su komponente zapisane
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu je standard IEEE 754
Standard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisu
Znak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0 a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
Predstavljanjeoznačenih celih brojeva
Dva načina za predstavljanje označenih celih binarnih brojeva
pomoću znaka i apsolutne vrednosti u komplementu dvojke
Označavanje brojeva
U decimalnom brojnom sistemu negativni brojevi se predstavljaju znakom ldquo-rdquo (pozitivni znakom ldquo+rdquo ili se znak izostavlja) napisanim ispred cifara koje definišu apsolutnu vrednost broja
U binarnom brojnom sistemu je ovakav način predstavljanja označenih brojeva nemoguć jer računari mogu da prepoznaju samo dva znaka a to su ldquo0rdquo i ldquo1rdquo Samim tim je znakove ldquo-rdquo i ldquo+rdquo potrebno na neki način predstaviti pomoću ldquo0rdquo i rdquo1rdquo
Znak i apsolutna vrednost (1)
Ovo je najjednostavniji način zapisivanja označenog binarnog broja
Postupak zapisivanja broja
Apsolutnoj vrednosti broja se na mestu najveće težine dodaje jedna cifra i to
0 ndash ako je broj pozitivan
1 ndash ako je broj negativan
7(10) = 111(2) neoznačen binarni broj
+7(10) = 0111(2) označen pozitivan binarni broj
-7(10) = 1111(2) označen negativan binarni broj
Znak i apsolutna vrednost (2)
Primer 1a
12(10) = 1100(2) neoznačen binarni broj
+12(10) = 01100(2) označen pozitivan binarni broj
-12(10) = 11100(2) označen negativan binarni broj
Primer 1b
Znak i apsolutna vrednost (3)
Nad binarnim brojevima zapisanim pomoću znaka i apsolutne vrednosti teško se obavljaju aritmetičke operacije (sabiranje oduzimanje množenje i deljenje) zato što se negativan broj ne može tretirati na jedinstven način
Navedeni problem se rešava predstavljanjem negativnih binarnih brojeva u komplementu dvojke
Komplement dvojke (1)
Postupak zapisivanja broja
Pozitivan ceo broj se dobija dodavanjem cifre 0 ispred neoznačenog binarnog broja
Negativan ceo broj se dobija na sledeći način
ispred neoznačenog binarnog broja doda se cifra 0
sve cifre broja se invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama)
dobijeni broj se sabere sa 1
)2()10(
)2()10(
)2()10(
10017
1001 se dobija1 sa sabere se broj dobijeni
1000 se dobija cifre sve seinvertuju
01117
1117
Komplement dvojke (2)
Primer 2 Decimalni broj -7(10) predstaviti u komplementu dvojke
Komplement dvojke (3)
Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja
Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako da desni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule koje slede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja
Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delu broja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) a desni deo broja ostaje nepromenjen
Komplement dvojke (4)
Primer 3 Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)
Polazni broj =010100100 10000levi deo desni deo
Komplement dvojke = 10101101110000
Komplement dvojke (5)
Kao i kod zapisa pomoću znaka i apsolutne vrednosti i kod zapisa u komplementu dvojke pozitivni brojevi počinju cifrom 0 a negativni cifrom 1
Pozitivnim brojevima možemo dodavati vodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a da se vrednost brojeva ne menja
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog u komplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledeće formule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
62816
2021202121110106
6282021202110106
6242021212001106
51282121202110115
5142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke (6)
Primer 4
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom obliku dobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
1271011281271288
71018784
121012 0 za 2
0 za 12 111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifara dobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Postupak sabiranja
oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
ukoliko nemaju isti broj cifara sabirak sa manjim brojem cifara se dopuni vodećim nulama (ako je pozitivan) ili jedinicama (ako je negativan) do broja cifara drugog sabirka
tako dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja ne vodeći računa o znaku
dobijeni rezultat (zbog računarske implementacije uzima se isti broj cifara kao kod sabiraka) je takođe u komplementu dvojke
VažnoRezultat sabiranja mora biti u dozvoljenom opsegu brojeva koji se mogu predstaviti datim brojem cifara da ne bi došlo do prekoračenja i greške prilikom izračunavanja
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
310111301011611107111110110611015
001141010501016110030100201002
Primer 5 Sabrati navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Oduzimanje brojevazapisanih u komplementu dvojke
00114110010113100110017
0100)1(2011101002001000104
)( BABA Oduzimanje brojeva se svodi na sabiranje po sledećoj formuli
Primer 6 Oduzeti navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Znak Eksponent Mantisa
31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristi se
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente
znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarez
Decimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se po formuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Postoje razni standardi koji definišu koliko se bita koristi za koju komponentu i u kom formatu su komponente zapisane
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu je standard IEEE 754
Standard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisu
Znak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0 a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
Znak i apsolutna vrednost (1)
Ovo je najjednostavniji način zapisivanja označenog binarnog broja
Postupak zapisivanja broja
Apsolutnoj vrednosti broja se na mestu najveće težine dodaje jedna cifra i to
0 ndash ako je broj pozitivan
1 ndash ako je broj negativan
7(10) = 111(2) neoznačen binarni broj
+7(10) = 0111(2) označen pozitivan binarni broj
-7(10) = 1111(2) označen negativan binarni broj
Znak i apsolutna vrednost (2)
Primer 1a
12(10) = 1100(2) neoznačen binarni broj
+12(10) = 01100(2) označen pozitivan binarni broj
-12(10) = 11100(2) označen negativan binarni broj
Primer 1b
Znak i apsolutna vrednost (3)
Nad binarnim brojevima zapisanim pomoću znaka i apsolutne vrednosti teško se obavljaju aritmetičke operacije (sabiranje oduzimanje množenje i deljenje) zato što se negativan broj ne može tretirati na jedinstven način
Navedeni problem se rešava predstavljanjem negativnih binarnih brojeva u komplementu dvojke
Komplement dvojke (1)
Postupak zapisivanja broja
Pozitivan ceo broj se dobija dodavanjem cifre 0 ispred neoznačenog binarnog broja
Negativan ceo broj se dobija na sledeći način
ispred neoznačenog binarnog broja doda se cifra 0
sve cifre broja se invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama)
dobijeni broj se sabere sa 1
)2()10(
)2()10(
)2()10(
10017
1001 se dobija1 sa sabere se broj dobijeni
1000 se dobija cifre sve seinvertuju
01117
1117
Komplement dvojke (2)
Primer 2 Decimalni broj -7(10) predstaviti u komplementu dvojke
Komplement dvojke (3)
Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja
Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako da desni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule koje slede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja
Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delu broja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) a desni deo broja ostaje nepromenjen
Komplement dvojke (4)
Primer 3 Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)
Polazni broj =010100100 10000levi deo desni deo
Komplement dvojke = 10101101110000
Komplement dvojke (5)
Kao i kod zapisa pomoću znaka i apsolutne vrednosti i kod zapisa u komplementu dvojke pozitivni brojevi počinju cifrom 0 a negativni cifrom 1
Pozitivnim brojevima možemo dodavati vodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a da se vrednost brojeva ne menja
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog u komplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledeće formule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
62816
2021202121110106
6282021202110106
6242021212001106
51282121202110115
5142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke (6)
Primer 4
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom obliku dobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
1271011281271288
71018784
121012 0 za 2
0 za 12 111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifara dobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Postupak sabiranja
oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
ukoliko nemaju isti broj cifara sabirak sa manjim brojem cifara se dopuni vodećim nulama (ako je pozitivan) ili jedinicama (ako je negativan) do broja cifara drugog sabirka
tako dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja ne vodeći računa o znaku
dobijeni rezultat (zbog računarske implementacije uzima se isti broj cifara kao kod sabiraka) je takođe u komplementu dvojke
VažnoRezultat sabiranja mora biti u dozvoljenom opsegu brojeva koji se mogu predstaviti datim brojem cifara da ne bi došlo do prekoračenja i greške prilikom izračunavanja
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
310111301011611107111110110611015
001141010501016110030100201002
Primer 5 Sabrati navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Oduzimanje brojevazapisanih u komplementu dvojke
00114110010113100110017
0100)1(2011101002001000104
)( BABA Oduzimanje brojeva se svodi na sabiranje po sledećoj formuli
Primer 6 Oduzeti navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Znak Eksponent Mantisa
31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristi se
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente
znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarez
Decimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se po formuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Postoje razni standardi koji definišu koliko se bita koristi za koju komponentu i u kom formatu su komponente zapisane
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu je standard IEEE 754
Standard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisu
Znak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0 a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
7(10) = 111(2) neoznačen binarni broj
+7(10) = 0111(2) označen pozitivan binarni broj
-7(10) = 1111(2) označen negativan binarni broj
Znak i apsolutna vrednost (2)
Primer 1a
12(10) = 1100(2) neoznačen binarni broj
+12(10) = 01100(2) označen pozitivan binarni broj
-12(10) = 11100(2) označen negativan binarni broj
Primer 1b
Znak i apsolutna vrednost (3)
Nad binarnim brojevima zapisanim pomoću znaka i apsolutne vrednosti teško se obavljaju aritmetičke operacije (sabiranje oduzimanje množenje i deljenje) zato što se negativan broj ne može tretirati na jedinstven način
Navedeni problem se rešava predstavljanjem negativnih binarnih brojeva u komplementu dvojke
Komplement dvojke (1)
Postupak zapisivanja broja
Pozitivan ceo broj se dobija dodavanjem cifre 0 ispred neoznačenog binarnog broja
Negativan ceo broj se dobija na sledeći način
ispred neoznačenog binarnog broja doda se cifra 0
sve cifre broja se invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama)
dobijeni broj se sabere sa 1
)2()10(
)2()10(
)2()10(
10017
1001 se dobija1 sa sabere se broj dobijeni
1000 se dobija cifre sve seinvertuju
01117
1117
Komplement dvojke (2)
Primer 2 Decimalni broj -7(10) predstaviti u komplementu dvojke
Komplement dvojke (3)
Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja
Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako da desni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule koje slede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja
Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delu broja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) a desni deo broja ostaje nepromenjen
Komplement dvojke (4)
Primer 3 Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)
Polazni broj =010100100 10000levi deo desni deo
Komplement dvojke = 10101101110000
Komplement dvojke (5)
Kao i kod zapisa pomoću znaka i apsolutne vrednosti i kod zapisa u komplementu dvojke pozitivni brojevi počinju cifrom 0 a negativni cifrom 1
Pozitivnim brojevima možemo dodavati vodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a da se vrednost brojeva ne menja
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog u komplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledeće formule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
62816
2021202121110106
6282021202110106
6242021212001106
51282121202110115
5142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke (6)
Primer 4
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom obliku dobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
1271011281271288
71018784
121012 0 za 2
0 za 12 111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifara dobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Postupak sabiranja
oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
ukoliko nemaju isti broj cifara sabirak sa manjim brojem cifara se dopuni vodećim nulama (ako je pozitivan) ili jedinicama (ako je negativan) do broja cifara drugog sabirka
tako dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja ne vodeći računa o znaku
dobijeni rezultat (zbog računarske implementacije uzima se isti broj cifara kao kod sabiraka) je takođe u komplementu dvojke
VažnoRezultat sabiranja mora biti u dozvoljenom opsegu brojeva koji se mogu predstaviti datim brojem cifara da ne bi došlo do prekoračenja i greške prilikom izračunavanja
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
310111301011611107111110110611015
001141010501016110030100201002
Primer 5 Sabrati navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Oduzimanje brojevazapisanih u komplementu dvojke
00114110010113100110017
0100)1(2011101002001000104
)( BABA Oduzimanje brojeva se svodi na sabiranje po sledećoj formuli
Primer 6 Oduzeti navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Znak Eksponent Mantisa
31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristi se
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente
znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarez
Decimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se po formuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Postoje razni standardi koji definišu koliko se bita koristi za koju komponentu i u kom formatu su komponente zapisane
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu je standard IEEE 754
Standard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisu
Znak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0 a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
Znak i apsolutna vrednost (3)
Nad binarnim brojevima zapisanim pomoću znaka i apsolutne vrednosti teško se obavljaju aritmetičke operacije (sabiranje oduzimanje množenje i deljenje) zato što se negativan broj ne može tretirati na jedinstven način
Navedeni problem se rešava predstavljanjem negativnih binarnih brojeva u komplementu dvojke
Komplement dvojke (1)
Postupak zapisivanja broja
Pozitivan ceo broj se dobija dodavanjem cifre 0 ispred neoznačenog binarnog broja
Negativan ceo broj se dobija na sledeći način
ispred neoznačenog binarnog broja doda se cifra 0
sve cifre broja se invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama)
dobijeni broj se sabere sa 1
)2()10(
)2()10(
)2()10(
10017
1001 se dobija1 sa sabere se broj dobijeni
1000 se dobija cifre sve seinvertuju
01117
1117
Komplement dvojke (2)
Primer 2 Decimalni broj -7(10) predstaviti u komplementu dvojke
Komplement dvojke (3)
Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja
Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako da desni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule koje slede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja
Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delu broja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) a desni deo broja ostaje nepromenjen
Komplement dvojke (4)
Primer 3 Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)
Polazni broj =010100100 10000levi deo desni deo
Komplement dvojke = 10101101110000
Komplement dvojke (5)
Kao i kod zapisa pomoću znaka i apsolutne vrednosti i kod zapisa u komplementu dvojke pozitivni brojevi počinju cifrom 0 a negativni cifrom 1
Pozitivnim brojevima možemo dodavati vodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a da se vrednost brojeva ne menja
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog u komplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledeće formule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
62816
2021202121110106
6282021202110106
6242021212001106
51282121202110115
5142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke (6)
Primer 4
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom obliku dobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
1271011281271288
71018784
121012 0 za 2
0 za 12 111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifara dobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Postupak sabiranja
oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
ukoliko nemaju isti broj cifara sabirak sa manjim brojem cifara se dopuni vodećim nulama (ako je pozitivan) ili jedinicama (ako je negativan) do broja cifara drugog sabirka
tako dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja ne vodeći računa o znaku
dobijeni rezultat (zbog računarske implementacije uzima se isti broj cifara kao kod sabiraka) je takođe u komplementu dvojke
VažnoRezultat sabiranja mora biti u dozvoljenom opsegu brojeva koji se mogu predstaviti datim brojem cifara da ne bi došlo do prekoračenja i greške prilikom izračunavanja
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
310111301011611107111110110611015
001141010501016110030100201002
Primer 5 Sabrati navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Oduzimanje brojevazapisanih u komplementu dvojke
00114110010113100110017
0100)1(2011101002001000104
)( BABA Oduzimanje brojeva se svodi na sabiranje po sledećoj formuli
Primer 6 Oduzeti navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Znak Eksponent Mantisa
31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristi se
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente
znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarez
Decimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se po formuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Postoje razni standardi koji definišu koliko se bita koristi za koju komponentu i u kom formatu su komponente zapisane
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu je standard IEEE 754
Standard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisu
Znak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0 a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
Komplement dvojke (1)
Postupak zapisivanja broja
Pozitivan ceo broj se dobija dodavanjem cifre 0 ispred neoznačenog binarnog broja
Negativan ceo broj se dobija na sledeći način
ispred neoznačenog binarnog broja doda se cifra 0
sve cifre broja se invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama)
dobijeni broj se sabere sa 1
)2()10(
)2()10(
)2()10(
10017
1001 se dobija1 sa sabere se broj dobijeni
1000 se dobija cifre sve seinvertuju
01117
1117
Komplement dvojke (2)
Primer 2 Decimalni broj -7(10) predstaviti u komplementu dvojke
Komplement dvojke (3)
Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja
Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako da desni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule koje slede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja
Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delu broja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) a desni deo broja ostaje nepromenjen
Komplement dvojke (4)
Primer 3 Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)
Polazni broj =010100100 10000levi deo desni deo
Komplement dvojke = 10101101110000
Komplement dvojke (5)
Kao i kod zapisa pomoću znaka i apsolutne vrednosti i kod zapisa u komplementu dvojke pozitivni brojevi počinju cifrom 0 a negativni cifrom 1
Pozitivnim brojevima možemo dodavati vodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a da se vrednost brojeva ne menja
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog u komplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledeće formule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
62816
2021202121110106
6282021202110106
6242021212001106
51282121202110115
5142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke (6)
Primer 4
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom obliku dobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
1271011281271288
71018784
121012 0 za 2
0 za 12 111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifara dobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Postupak sabiranja
oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
ukoliko nemaju isti broj cifara sabirak sa manjim brojem cifara se dopuni vodećim nulama (ako je pozitivan) ili jedinicama (ako je negativan) do broja cifara drugog sabirka
tako dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja ne vodeći računa o znaku
dobijeni rezultat (zbog računarske implementacije uzima se isti broj cifara kao kod sabiraka) je takođe u komplementu dvojke
VažnoRezultat sabiranja mora biti u dozvoljenom opsegu brojeva koji se mogu predstaviti datim brojem cifara da ne bi došlo do prekoračenja i greške prilikom izračunavanja
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
310111301011611107111110110611015
001141010501016110030100201002
Primer 5 Sabrati navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Oduzimanje brojevazapisanih u komplementu dvojke
00114110010113100110017
0100)1(2011101002001000104
)( BABA Oduzimanje brojeva se svodi na sabiranje po sledećoj formuli
Primer 6 Oduzeti navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Znak Eksponent Mantisa
31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristi se
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente
znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarez
Decimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se po formuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Postoje razni standardi koji definišu koliko se bita koristi za koju komponentu i u kom formatu su komponente zapisane
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu je standard IEEE 754
Standard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisu
Znak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0 a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
)2()10(
)2()10(
)2()10(
10017
1001 se dobija1 sa sabere se broj dobijeni
1000 se dobija cifre sve seinvertuju
01117
1117
Komplement dvojke (2)
Primer 2 Decimalni broj -7(10) predstaviti u komplementu dvojke
Komplement dvojke (3)
Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja
Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako da desni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule koje slede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja
Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delu broja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) a desni deo broja ostaje nepromenjen
Komplement dvojke (4)
Primer 3 Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)
Polazni broj =010100100 10000levi deo desni deo
Komplement dvojke = 10101101110000
Komplement dvojke (5)
Kao i kod zapisa pomoću znaka i apsolutne vrednosti i kod zapisa u komplementu dvojke pozitivni brojevi počinju cifrom 0 a negativni cifrom 1
Pozitivnim brojevima možemo dodavati vodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a da se vrednost brojeva ne menja
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog u komplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledeće formule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
62816
2021202121110106
6282021202110106
6242021212001106
51282121202110115
5142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke (6)
Primer 4
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom obliku dobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
1271011281271288
71018784
121012 0 za 2
0 za 12 111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifara dobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Postupak sabiranja
oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
ukoliko nemaju isti broj cifara sabirak sa manjim brojem cifara se dopuni vodećim nulama (ako je pozitivan) ili jedinicama (ako je negativan) do broja cifara drugog sabirka
tako dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja ne vodeći računa o znaku
dobijeni rezultat (zbog računarske implementacije uzima se isti broj cifara kao kod sabiraka) je takođe u komplementu dvojke
VažnoRezultat sabiranja mora biti u dozvoljenom opsegu brojeva koji se mogu predstaviti datim brojem cifara da ne bi došlo do prekoračenja i greške prilikom izračunavanja
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
310111301011611107111110110611015
001141010501016110030100201002
Primer 5 Sabrati navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Oduzimanje brojevazapisanih u komplementu dvojke
00114110010113100110017
0100)1(2011101002001000104
)( BABA Oduzimanje brojeva se svodi na sabiranje po sledećoj formuli
Primer 6 Oduzeti navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Znak Eksponent Mantisa
31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristi se
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente
znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarez
Decimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se po formuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Postoje razni standardi koji definišu koliko se bita koristi za koju komponentu i u kom formatu su komponente zapisane
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu je standard IEEE 754
Standard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisu
Znak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0 a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
Komplement dvojke (3)
Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja
Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako da desni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule koje slede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja
Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delu broja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) a desni deo broja ostaje nepromenjen
Komplement dvojke (4)
Primer 3 Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)
Polazni broj =010100100 10000levi deo desni deo
Komplement dvojke = 10101101110000
Komplement dvojke (5)
Kao i kod zapisa pomoću znaka i apsolutne vrednosti i kod zapisa u komplementu dvojke pozitivni brojevi počinju cifrom 0 a negativni cifrom 1
Pozitivnim brojevima možemo dodavati vodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a da se vrednost brojeva ne menja
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog u komplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledeće formule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
62816
2021202121110106
6282021202110106
6242021212001106
51282121202110115
5142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke (6)
Primer 4
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom obliku dobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
1271011281271288
71018784
121012 0 za 2
0 za 12 111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifara dobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Postupak sabiranja
oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
ukoliko nemaju isti broj cifara sabirak sa manjim brojem cifara se dopuni vodećim nulama (ako je pozitivan) ili jedinicama (ako je negativan) do broja cifara drugog sabirka
tako dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja ne vodeći računa o znaku
dobijeni rezultat (zbog računarske implementacije uzima se isti broj cifara kao kod sabiraka) je takođe u komplementu dvojke
VažnoRezultat sabiranja mora biti u dozvoljenom opsegu brojeva koji se mogu predstaviti datim brojem cifara da ne bi došlo do prekoračenja i greške prilikom izračunavanja
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
310111301011611107111110110611015
001141010501016110030100201002
Primer 5 Sabrati navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Oduzimanje brojevazapisanih u komplementu dvojke
00114110010113100110017
0100)1(2011101002001000104
)( BABA Oduzimanje brojeva se svodi na sabiranje po sledećoj formuli
Primer 6 Oduzeti navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Znak Eksponent Mantisa
31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristi se
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente
znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarez
Decimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se po formuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Postoje razni standardi koji definišu koliko se bita koristi za koju komponentu i u kom formatu su komponente zapisane
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu je standard IEEE 754
Standard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisu
Znak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0 a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
Komplement dvojke (4)
Primer 3 Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)
Polazni broj =010100100 10000levi deo desni deo
Komplement dvojke = 10101101110000
Komplement dvojke (5)
Kao i kod zapisa pomoću znaka i apsolutne vrednosti i kod zapisa u komplementu dvojke pozitivni brojevi počinju cifrom 0 a negativni cifrom 1
Pozitivnim brojevima možemo dodavati vodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a da se vrednost brojeva ne menja
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog u komplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledeće formule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
62816
2021202121110106
6282021202110106
6242021212001106
51282121202110115
5142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke (6)
Primer 4
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom obliku dobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
1271011281271288
71018784
121012 0 za 2
0 za 12 111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifara dobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Postupak sabiranja
oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
ukoliko nemaju isti broj cifara sabirak sa manjim brojem cifara se dopuni vodećim nulama (ako je pozitivan) ili jedinicama (ako je negativan) do broja cifara drugog sabirka
tako dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja ne vodeći računa o znaku
dobijeni rezultat (zbog računarske implementacije uzima se isti broj cifara kao kod sabiraka) je takođe u komplementu dvojke
VažnoRezultat sabiranja mora biti u dozvoljenom opsegu brojeva koji se mogu predstaviti datim brojem cifara da ne bi došlo do prekoračenja i greške prilikom izračunavanja
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
310111301011611107111110110611015
001141010501016110030100201002
Primer 5 Sabrati navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Oduzimanje brojevazapisanih u komplementu dvojke
00114110010113100110017
0100)1(2011101002001000104
)( BABA Oduzimanje brojeva se svodi na sabiranje po sledećoj formuli
Primer 6 Oduzeti navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Znak Eksponent Mantisa
31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristi se
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente
znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarez
Decimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se po formuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Postoje razni standardi koji definišu koliko se bita koristi za koju komponentu i u kom formatu su komponente zapisane
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu je standard IEEE 754
Standard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisu
Znak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0 a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
Komplement dvojke (5)
Kao i kod zapisa pomoću znaka i apsolutne vrednosti i kod zapisa u komplementu dvojke pozitivni brojevi počinju cifrom 0 a negativni cifrom 1
Pozitivnim brojevima možemo dodavati vodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a da se vrednost brojeva ne menja
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog u komplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledeće formule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
62816
2021202121110106
6282021202110106
6242021212001106
51282121202110115
5142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke (6)
Primer 4
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom obliku dobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
1271011281271288
71018784
121012 0 za 2
0 za 12 111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifara dobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Postupak sabiranja
oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
ukoliko nemaju isti broj cifara sabirak sa manjim brojem cifara se dopuni vodećim nulama (ako je pozitivan) ili jedinicama (ako je negativan) do broja cifara drugog sabirka
tako dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja ne vodeći računa o znaku
dobijeni rezultat (zbog računarske implementacije uzima se isti broj cifara kao kod sabiraka) je takođe u komplementu dvojke
VažnoRezultat sabiranja mora biti u dozvoljenom opsegu brojeva koji se mogu predstaviti datim brojem cifara da ne bi došlo do prekoračenja i greške prilikom izračunavanja
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
310111301011611107111110110611015
001141010501016110030100201002
Primer 5 Sabrati navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Oduzimanje brojevazapisanih u komplementu dvojke
00114110010113100110017
0100)1(2011101002001000104
)( BABA Oduzimanje brojeva se svodi na sabiranje po sledećoj formuli
Primer 6 Oduzeti navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Znak Eksponent Mantisa
31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristi se
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente
znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarez
Decimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se po formuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Postoje razni standardi koji definišu koliko se bita koristi za koju komponentu i u kom formatu su komponente zapisane
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu je standard IEEE 754
Standard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisu
Znak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0 a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
62816
2021202121110106
6282021202110106
6242021212001106
51282121202110115
5142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke (6)
Primer 4
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom obliku dobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
1271011281271288
71018784
121012 0 za 2
0 za 12 111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifara dobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Postupak sabiranja
oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
ukoliko nemaju isti broj cifara sabirak sa manjim brojem cifara se dopuni vodećim nulama (ako je pozitivan) ili jedinicama (ako je negativan) do broja cifara drugog sabirka
tako dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja ne vodeći računa o znaku
dobijeni rezultat (zbog računarske implementacije uzima se isti broj cifara kao kod sabiraka) je takođe u komplementu dvojke
VažnoRezultat sabiranja mora biti u dozvoljenom opsegu brojeva koji se mogu predstaviti datim brojem cifara da ne bi došlo do prekoračenja i greške prilikom izračunavanja
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
310111301011611107111110110611015
001141010501016110030100201002
Primer 5 Sabrati navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Oduzimanje brojevazapisanih u komplementu dvojke
00114110010113100110017
0100)1(2011101002001000104
)( BABA Oduzimanje brojeva se svodi na sabiranje po sledećoj formuli
Primer 6 Oduzeti navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Znak Eksponent Mantisa
31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristi se
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente
znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarez
Decimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se po formuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Postoje razni standardi koji definišu koliko se bita koristi za koju komponentu i u kom formatu su komponente zapisane
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu je standard IEEE 754
Standard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisu
Znak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0 a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom obliku dobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
1271011281271288
71018784
121012 0 za 2
0 za 12 111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifara dobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Postupak sabiranja
oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
ukoliko nemaju isti broj cifara sabirak sa manjim brojem cifara se dopuni vodećim nulama (ako je pozitivan) ili jedinicama (ako je negativan) do broja cifara drugog sabirka
tako dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja ne vodeći računa o znaku
dobijeni rezultat (zbog računarske implementacije uzima se isti broj cifara kao kod sabiraka) je takođe u komplementu dvojke
VažnoRezultat sabiranja mora biti u dozvoljenom opsegu brojeva koji se mogu predstaviti datim brojem cifara da ne bi došlo do prekoračenja i greške prilikom izračunavanja
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
310111301011611107111110110611015
001141010501016110030100201002
Primer 5 Sabrati navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Oduzimanje brojevazapisanih u komplementu dvojke
00114110010113100110017
0100)1(2011101002001000104
)( BABA Oduzimanje brojeva se svodi na sabiranje po sledećoj formuli
Primer 6 Oduzeti navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Znak Eksponent Mantisa
31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristi se
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente
znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarez
Decimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se po formuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Postoje razni standardi koji definišu koliko se bita koristi za koju komponentu i u kom formatu su komponente zapisane
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu je standard IEEE 754
Standard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisu
Znak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0 a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
1271011281271288
71018784
121012 0 za 2
0 za 12 111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifara dobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Postupak sabiranja
oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
ukoliko nemaju isti broj cifara sabirak sa manjim brojem cifara se dopuni vodećim nulama (ako je pozitivan) ili jedinicama (ako je negativan) do broja cifara drugog sabirka
tako dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja ne vodeći računa o znaku
dobijeni rezultat (zbog računarske implementacije uzima se isti broj cifara kao kod sabiraka) je takođe u komplementu dvojke
VažnoRezultat sabiranja mora biti u dozvoljenom opsegu brojeva koji se mogu predstaviti datim brojem cifara da ne bi došlo do prekoračenja i greške prilikom izračunavanja
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
310111301011611107111110110611015
001141010501016110030100201002
Primer 5 Sabrati navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Oduzimanje brojevazapisanih u komplementu dvojke
00114110010113100110017
0100)1(2011101002001000104
)( BABA Oduzimanje brojeva se svodi na sabiranje po sledećoj formuli
Primer 6 Oduzeti navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Znak Eksponent Mantisa
31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristi se
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente
znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarez
Decimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se po formuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Postoje razni standardi koji definišu koliko se bita koristi za koju komponentu i u kom formatu su komponente zapisane
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu je standard IEEE 754
Standard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisu
Znak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0 a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Postupak sabiranja
oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
ukoliko nemaju isti broj cifara sabirak sa manjim brojem cifara se dopuni vodećim nulama (ako je pozitivan) ili jedinicama (ako je negativan) do broja cifara drugog sabirka
tako dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja ne vodeći računa o znaku
dobijeni rezultat (zbog računarske implementacije uzima se isti broj cifara kao kod sabiraka) je takođe u komplementu dvojke
VažnoRezultat sabiranja mora biti u dozvoljenom opsegu brojeva koji se mogu predstaviti datim brojem cifara da ne bi došlo do prekoračenja i greške prilikom izračunavanja
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
310111301011611107111110110611015
001141010501016110030100201002
Primer 5 Sabrati navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Oduzimanje brojevazapisanih u komplementu dvojke
00114110010113100110017
0100)1(2011101002001000104
)( BABA Oduzimanje brojeva se svodi na sabiranje po sledećoj formuli
Primer 6 Oduzeti navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Znak Eksponent Mantisa
31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristi se
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente
znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarez
Decimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se po formuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Postoje razni standardi koji definišu koliko se bita koristi za koju komponentu i u kom formatu su komponente zapisane
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu je standard IEEE 754
Standard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisu
Znak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0 a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
310111301011611107111110110611015
001141010501016110030100201002
Primer 5 Sabrati navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Oduzimanje brojevazapisanih u komplementu dvojke
00114110010113100110017
0100)1(2011101002001000104
)( BABA Oduzimanje brojeva se svodi na sabiranje po sledećoj formuli
Primer 6 Oduzeti navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Znak Eksponent Mantisa
31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristi se
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente
znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarez
Decimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se po formuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Postoje razni standardi koji definišu koliko se bita koristi za koju komponentu i u kom formatu su komponente zapisane
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu je standard IEEE 754
Standard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisu
Znak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0 a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
Oduzimanje brojevazapisanih u komplementu dvojke
00114110010113100110017
0100)1(2011101002001000104
)( BABA Oduzimanje brojeva se svodi na sabiranje po sledećoj formuli
Primer 6 Oduzeti navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke
Znak Eksponent Mantisa
31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristi se
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente
znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarez
Decimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se po formuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Postoje razni standardi koji definišu koliko se bita koristi za koju komponentu i u kom formatu su komponente zapisane
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu je standard IEEE 754
Standard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisu
Znak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0 a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
Znak Eksponent Mantisa
31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristi se
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente
znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarez
Decimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se po formuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Postoje razni standardi koji definišu koliko se bita koristi za koju komponentu i u kom formatu su komponente zapisane
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu je standard IEEE 754
Standard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisu
Znak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0 a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
Pokretni zarez
Decimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se po formuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Postoje razni standardi koji definišu koliko se bita koristi za koju komponentu i u kom formatu su komponente zapisane
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu je standard IEEE 754
Standard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisu
Znak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0 a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
Standard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisu
Znak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0 a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
01000001011100000000000000000000
Rešenje
0 10000010 11100000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3
Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158
Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanjedecimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
Predstavljanjepodataka znakovnog tipa
Skup znakova čine
velika i mala slova abecede
decimalne cifre
specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati $ = + itd)
kontrolni znaci (ne mogu se štampati niti prikazati na ekranu već služe za upravljanje ulaznoizlaznim uređajima zvučni signal i sl)
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
ASCII standard
Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru Najpoznatiji od njih je
ASCII ndash American Standard Code for Information Interchange
Po ASCII standardu znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja
ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
DEL7Fo6F_5FO4F3F2FUS 1FSIF~7En6E^5EN4Egt3E2ERS1ESOE7Dm6D]5DM4D=3D-2DGS1DCRD|7Cl6C5CL4Clt3C2CFS1CFFC7Bk6B[5BK4B3B+2BESC1BVTBz7Aj6AZ5AJ4A3A2ASUB1ALFAy79i69Y59I49939)29EM19TAB9x78h68X58H48838(28CAN18BS8w77g67W57G47737rsquo27ETB17BEL7v76f66V56F46636amp26SYN16ACK6u75e65U55E4553525NAK15ENQ5t74d64T54D44434$24DC414EOT4s73c63S53C4333323DC313ETX3r72b62R52B42232rdquo22DC212STX2q71a61Q51A4113121DC111SOH1p70`60P504003020DLE10NUL0
ASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHexASCIIHex
ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
Informacije u binarnom obliku
1 bit [1b] ndash informacija od jedne binarne cifre
1 bajt [1B ] ndash informacija od 8 bitova
1 kilobajt [1KB] ndash informacija od 1024 bajta
1 megabajt [1MB] ndash informacija od 1024 kilobajta odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova
1 gigabajt [1GB] ndash informacija od 1024 megabajta odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta
