Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

Título: APRENDIZAGEM DE FRAÇÕES POR MEIODA RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS.

Autor: Rosangela Giglini

Disciplina/Área: Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização:

Escola Estadual “Veríssimo de Souza”- Ensino Fundamental

Município da escola: Astorga

Núcleo Regional de Educação: Maringá

Professor Orientador: Marcelo Carlos de Proença

Instituição de Ensino Superior: UEM - Maringá

Resumo:

Esta Unidade Didática será desenvolvida em contra turno em uma turma de alunos do 6º ano da Escola Estadual Veríssimo de Souza- Ensino Fundamental. O foco principal seráo conteúdo de fração, o qual será abordado por meio daresolução de problemas, buscando, assim, verificar se um trabalho nessa abordagem favorece a aprendizagem desse conteúdo. O trabalho realizadopermitirá aoalunoque reflita, analise e crie estratégias para encontrar as soluções das situações-problema. Busca-se queo aluno desenvolvaa compreensão do conceito de fração em atividadesde forma contextualizada. Nesse processo, o professor será o mediador, para motivar e envolver os alunos nas atividades propostas. Com isso o aluno será um sujeito ativo da aprendizagem.

Palavras-chave Resolução de problemas; Frações; Estratégias.

Formato do Material Didático: Unidade Didática

Público:

Alunos do 6º ano do EnsinoFundamental.

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO –

SEED

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO

EDUCACIONAL – PDE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ –

UEM

PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA

UNIDADE DIDÁTICA

APRENDIZAGEM DE FRAÇÕES POR MEIO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

MARINGÁ/PARANÁ

2013

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO

EDUCACIONAL – PDE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ – UEM

PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA

UNIDADE DIDÁTICA

APRENDIZAGEM DE FRAÇÕES POR MEIO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Professora PDE- 2013

Rosangela Giglini

Professor Orientador

Prof. Dr. Marcelo Carlos de Proença

MARINGÁ/PARANÁ

2013

1 –Unidade Didática

A Unidade Didática será desenvolvida em contra turno, envolvendo uma

turma de alunos do 6º ano da Escola Estadual Veríssimo de Souza- Ensino

Fundamental, situada no distrito de Tupinambá, município de Astorga, como parte

do programa de metas estipuladas pelo PDE (Programa de Desenvolvimento

Educacional)da Secretaria de Educação do Estado do Paraná (SEED). Tal

Unidade Didática tem por objetivo a aprendizagem de frações por meio de

resolução de problemas (ECHEVERRÍA, 1998; SMOLE; DINIZ, 2001;

STERNBERG, 2000), devendo levar em consideração os conhecimentos trazidos

pelo aluno, promovendo um ensino contextualizado, para assim formar conceitos,

especificamente, os de fração.

Nesse contexto, a Unidade Didática terá como direcionamento os alunos

do sexto ano, pois é neste momento que os alunos começam a entender os

conceitos. Nesta perspectiva, o que se propõe nesta unidade é analisar se um

trabalho baseado na resolução de problemas, tendo em vista as estratégias de

resolução, favorece a aprendizagem dos alunos sobre o conceito de fração.

1.1 DESCRIÇÕES DAS ATIVIDADES

Assunto: Fração de um todo

Objetivo:Identificar os conhecimentos prévios dos alunos ao resolver

problemassobre o conceito de frações.

Objetivos Específicos: Aplicar uma atividade avaliativa, em grupo, contendo

problemas com frações; Conhecer o que os alunos já assimilaram sobre o

conceito de fração; Perceber se os alunos compreendem a relação parte-todo;

Verificar se os alunos conseguem resolver situações-problema.

Tempo: 2 aulas

ATIVIDADE - 1

Condução em sala de aula: A sala será dividida em grupo de três alunos e cada

grupo receberá uma folha contendo três problemas, envolvendo o conceito de

frações. Na sequência, a professora irá orientar a sala para que os grupos leiam,

interpretem, analisem e discutam as possíveis estratégias para a solução dos

devidos problemas. Estas atividades serão recolhidas pela professora que irá

verificar os conhecimentos prévios dos alunos sobre frações.

Abaixo, seguem os problemas a serem abordados em sala de aula e uma

pergunta para identificar as dificuldades dos alunos na resolução.Os problemas1e

2 foram criados pela professora e o problema 3 foi adaptadodeBianchini (2011).

1) Pedro, Maria, Ana Carolina e Julia foram a uma confeitaria comemorar o

aniversário de Maria. Pediram dois bolos: um de brigadeiro e outro de

frutas. Dividiram igualmente os dois bolos. Que parte do bolo ficou para

cada um?

2) Uma barra de chocolate será dividida igualmente entre três amigos. Qual é

a parte que ficará para cada um?

3) Letícia encomendou duas pizzas para sua família, que vêm divididas em 8

pedaços iguais cada uma. Das 6 pessoas da família, cada uma comeu dois

pedaços de pizza. Represente essa situação através de um desenho.

Sobraram ou faltaram pedaços de pizza? Que parte ficou para cada um?

Para uma condução e avaliação adequadas dessa aula, possíveis

estratégias de resolução foram evidenciadas,abaixo, buscando uma previsão do

que os alunos podem apresentar.

No caso do problema 1, pode-se resolvê-lo de várias maneiras.

Apresentaremos a seguir algumas estratégias:

Estratégia1:

Resposta: Cada um ficou com 41 do bolo.

Estratégia 2:

A fração que representa o bolo todo é 44 . Como será dividido em 4 partes,

teremos:

41

41

41

41

44

+++=

Resposta: Cada um ficou com 41 do bolo.

Estratégia 3:

Como eles estão em 4 amigos cada bolo será dividido em 4 partes iguais. Então

cada um ficará com uma parte dessas quatro (que representa o todo).

Resposta: Cada um ficou com uma parte das quatro.

O problema 2 pode ser resolvido de várias maneiras. Apresentaremos, a

seguir, algumas estratégias:

Estratégia1:

Cada amigo ficará com a terça parte, que pode ser representada pela fração 3010 .

Resposta: Cada amigo ficará com 3010 .

Estratégia 2:

A fração que representa o todo é 3030 , então a parte de cada um pode ser

representada por:

3030

3010

3010

3010

=++

Resposta: Cada amigo ficará com 3010 .

Estratégia 3:

A barra de chocolate foi dividida em 30 partes iguais, para ser dividida entre os

três amigos, sendo que cada um ficará com 10 partes.

Resposta: Cada um ficará com 10 partes.

O problema 3 pode ser resolvido de várias maneiras. Apresentaremos a seguir

algumas estratégias:

Estratégia1:

A situação descrita no problema pode ser representa da seguinte forma:

Logo, cada pessoa da família comeu dois pedaços de pizza e sobraram 4

pedaços.

Resposta: Sobraram quatro pedaços e cada um comeu dois pedaços de pizza.

Estratégia2:

O total de pedaços das duas pizzas é 16. Então, se cada pessoa comeu 2

pedaços a fração que representa o que cada um comeu é 162 . Sobraram 4

pedaços, sendo 164 a fração que representa a sobra. Podemos ter a seguinte

representação:

sobracomeuumcadaqueparte

164

162

162

162

162

162

162

1616

++++++=

No final da resolução dos três problemas, a professora irá questionar os alunos,

querendo saber se encontraram dificuldades para resolver os problemas

propostos. Se houver dificuldade, a professora irá mostrar maneiras de soluções

junto com os alunos.

ATIVIDADE – 2

Assunto: Discussão das estratégias de resolução dos alunos, envolvendo o

conceito de fração.

Objetivo: Identificar os conceitos utilizados pelos alunos na resolução dos

problemas da “Atividade 1”, bem como o processo de resolução.

Objetivos Específicos: Discutir as estratégias para resolução dos problemas,

utilizadas pelos alunos; Analisar conjuntamente os erros e os acertos.

Tempo: 2 aulas

Condução em sala de aula: No início desta aula, serão entregues aos mesmos

grupos da aula anterior as folhas com os problemas resolvidos para uma

discussão coletiva em sala de aula. Os grupos devem apresentar na lousa ou

verbalmente como pensaram para resolver cada problema proposto. A professora

discutirá os erros e acertos e as estratégias utilizadas pelos grupos, levando-os a

refletir e discutir as resoluções dos problemas. Ao final, será apresentada pela

professora a forma matemática de resolução de cada problema, buscando

favorecer uma articulação entre as estratégias dos alunos e o novo conteúdo a

ser estudado.

ATIVIDADE – 3

Assunto: Conceito de fração.

Objetivo:Definir e contextualizar o conceito de fração.

Objetivos específicos:Mostrar aos alunos, através de aula expositiva e de

resoluçãode atividades, a definição do conceito de fração; Contextualizar o uso da

fração no cotidiano, através do vídeo – “Novo Telecurso – Ensino Fundamental –

Matemática – Aula 23 (1 e 2) frações”;

Tempo: 6 aulas

Condução em sala de aula:A professora, por meio de uma aula expositiva,

iniciará o conceito de fração, utilizando um texto impresso, envolvendo uma

situação-problema do cotidiano. Será distribuída uma cópia do texto a cada aluno

para que possam acompanhar e participar das intervenções feitaspela professora,

tanto oralmente como no quadro de giz.

Conceito de Fração

Se existirem8 barras de chocolate para serem distribuídas em partes

iguais, entre 4 alunos, para saber quantas barras de chocolate cada aluno vai

receber, basta dividir as 8 barras pelo número de alunos: 8:4=2. A resposta é fácil,

cada aluno receberá 2 barras de chocolate. Porém, se há, somente 4 barras de

chocolate, para dividir em partes iguais, entre 8 alunos, a resposta já é mais

complicada. Se existir só uma barra de chocolate, para dividir entre 8 alunos, a

distribuição em partes iguais fica ainda mais complexa do que a anterior.

Para facilitar esta divisão foram criados os “números racionais”. Eles

têm esse nome, pois podem ser representados como frações, por exemplo, a

divisão de 4 barras de chocolate entre 8 alunos é representada por 84 ; e a divisão

de uma barra de chocolate por 8 alunos é representada por 81 . Esta

representação é chamada de “fração”, porque, nós teremos de fracionar

(repartir) a barra de chocolate em partes iguais, para saber exatamente quanto

cada aluno irá receber.

O fracionamento pode ser visualizado na figura abaixo:

Vejam que as cores representam a barra de chocolate dividida em 8

partes iguais, onde cada uma delas representa um aluno. Assim, o primeiro aluno

representado pela cor vermelha, vai receber uma parte das 8 partes fracionadas,

que fica representada pela fração81 . O segundo aluno representado pela cor azul,

também irá receber 81 . E assim, cada um dos alunos vai receber partes iguais

representadas por 81 .

Então, a parte de cada aluno, ao invés de ser representada por um

número inteiro, vai ser representada por uma fração. Os matemáticos deram o

nome de números racionais a todos os números que podem ser escritos sob a

forma de fração.

Considerando apenas a parte fracionada, que está colorida, como as

figuras abaixo podem ser representadas em frações?

Quando vamos falar de um número, simplesmente dizemos um, dois, três, etc. No

caso de fração, nós temos de ler os dois números que elas apresentam, por

exemplo: 21 = um meio;

43 = três quartos;

85 = cinco oitavos.

A justificativa pelo uso do termo fração decorre do fato de os dois

números apresentarem uma representação específica. O número que fica acima

do traço é chamado de “numerador”, esse número nos dá a quantidade de partes

tomada do inteiro que se deve considerar. Nos exercícios acima, o numerador é a

quantidade de figuras coloridas. O número que fica abaixo do traço é chamado de

“denominador”, esse número representa a quantidade em que o todo, foi dividido.

Nos exercícios acima, o denominador é a quantidade total de figuras.

Portanto, os nomes das frações dependem do número de partes em

que a unidade é dividida e do número de partes que estamos considerando.

Identifique o numerador e o denominador nas frações:

57 =

34 =

82 =

125 =

Na sequência os alunos assistirão ao vídeo “NovoTelecurso” e após faremos

uma discussão sobre a idéia do filme, conceito e a contextualização(uso da fração

no cotidiano) de fração.

Para ampliar a compreensão do conceito de fraçãodos alunos, será exibido

o vídeo – “Novo Telecurso – Ensino Fundamental – Matemática – Aula 23 (1 e 2)

frações”; esse vídeo mostra o uso da fração no cotidiano, é utilizada uma laranja

para mostrar o conceito de fração; de início a laranja servirá para mostrar o

inteiro, depois cortam a laranja em quatro partes exatamente iguais, explicando a

parte do todo. Após o filme, a professora irá promover uma discussão sobre o

conteúdo do filme, contextualizando o conceito de fração.

Abaixo seguem algumas atividades que abordam desenhos que podem ser

representados por frações:

Represente cada situação dada por uma fração:

CURIOSIDADES

• Cavalo quarto de milha: raça de cavalo.

• Quarto de boi: parte da coxa do corpo do boi, depois deste ser abatido.

• Rezar o terço: o terço é a terça parte do rosário.

ATIVIDADE – 4

Assunto: Comparação, equivalência, simplificação de fração e fração irredutível.

Objetivo: Compreender o conceito de equivalência e simplificação de frações, a

partir de resolução de exercícios e o posterior uso em problemas.

Objetivos específicos:Resolver problemas culinários com equivalência e

simplificação de fração; Propiciar a compreensão do significado de equivalência e

simplificação fracionária; Diferenciar equivalência de simplificação fracionária.

Tempo: 6 aulas

Condução em sala de aula :A professora iniciará a aula com atividades através

de desenhos, que representam uma fração específica e propondo, pela

comparação entre os desenhos, que os alunos identifiquem a fração equivalente.

Abaixo seguem a atividade proposta:

1) Represente as frações de cada desenho e verifique qual a relação entre

elas:

Após a resolução do exercício, a professora irá propor os seguintes

questionamentos:

a) Por que 31 é equivalente a

62 ? E com relação a

21 e

42 ?

b) Podemos dizer que em cada caso, as frações obtidas representam a

mesma parte do todo?

Dando continuidade à aula, a professora irá falar sobre receitas culinárias e

a utilização das frações como medidas, nessas receitas.

Será distribuída a cada aluno uma folhacom cincoproblemas, contendo

receitas culinárias, nas quais algumas medidas serão representadas por frações.

A professora fará a leitura dos problemas e mostrará objetos que podem ser

utilizados como medidas nas receitas, tais como: xícara, copo, litro, colher, entre

outros. Após esse momento, a professora iniciará o conceito de equivalência e

simplificação de frações, por meio de problemas culinários. Os alunos deverão

resolver os problemas, utilizando estratégias e conhecimentos adquiridos durante

as aulas dadas.

Nessa resolução dos problemas, serão sempre discutidos com os alunos

os aspectos sobre a compreensão do problema, bem como suas dificuldades e

conhecimentos matemáticos ainda não bem formados. Não se trata apenas de

focar as estratégias, mas a compreensão, a realização do uso do conceito de

fração, o que envolve realizar cálculos, a avaliação de como resolveram e a

apresentação e verificação de uma resposta correta e adequada dentro do

contexto dos problemas.

Abaixo, seguem os problemas a serem abordados em sala de aula.Os

problemas foram criados pela professora:

1) Paula deseja fazer cajuzinhos e encontrou no livro de receitas de sua mãe a

anotação dos seguintes ingredientes:

4 claras em neve

21 pacote de amendoim torrado

43 xícaras de açúcar

Escreva duas frações equivalentes referentes às medidas do amendoim e açúcar.

2) Sofia resolveu fazer uma receita de

“farofa fria”, para sua família

experimentar no almoço de domingo. Ao

observar a receita, percebeu que as

frações precisam ser simplificadas.

Simplifique cada fração até torná-las

irredutíveis, para que Sofia consiga fazer

a receita.

Ingredientes

300g de bacon cortado em cubos pequenos

Fonte: http://mulheresantasud.blogspot.com.br/2011/10/especial-

semana-da-crianca-culinaria.html

Fonte: http://www.pequenopolisba.com.br/programacao-de-

fim-de-semana/sugestoes-de-programas-infantis-para-a-reta-

final-das-ferias-escolares/

84 cebola picada

147 xícara (chá) de pimentão verde picado

1 xícara (chá) de azeitona preta picada

2xícaras (chá) de farinha de mandioca

3 colheres (sopa) de manteiga

93 de xícara (chá) de uvas passas

Sal a gosto

3) Numa tarde chuvosa, Pedro pediu para

sua avó fazer bolinhos de chuva. Em

seguida, ela foi verificar se tinha todos

os ingredientes no armário. Pediu ao

neto que pegasse os ingredientes e

lesse a receita para ela, pois seus

óculos estavam quebrados:

Ingredientes

• 2 ovos

• de xícara (chá) de açúcar

• 2 colheres (sopa) de manteiga

• colher (chá) de sal

• 1 colher (sopa) de fermento em pó

• 1 xícara (chá) de leite

• 2 xícaras (chá) de farinha de trigo

• Óleo de canola para fritar

• Açúcar e canela em pó para polvilhar

Fonte:

http://diariodonordeste.globo.com/materia.asp?codigo=10879

35

Represente três frações equivalentes às porções de açúcar e sal da receita

original.

4) No aniversário da Aninha, sua mãe fez um bolo e o dividiu em seis pedaços

iguais. Aninha deu o primeiro pedaço à sua avó.Represente por meio de um

outrodesenho, uma fração equivalente à parte retirada do bolo da

aniversariante.

5) Vovó Maria fez brigadeiro para receber seus netos, acompanhando a receita:

Ingredientes:

43 da lata de chocolate em pó de 200g.

65 da lata de leite condensado de 500g

81 de um pote de margarina de 500g.

Reescreva a receita substituindo as frações por outras equivalentes. Represente

através de um desenho a porção de leite condensado.

Após os alunos realizarem os problemas, a cada atividade a professora

fará uma discussão com eles, abordando as operações matemáticas com frações.

Apresentaremos a seguir as resoluções dos problemas 1, 2, 3,4 e 5.

Fonte:

http://www.nestle.com.br/site/cozinha/receitas/Brigadeiro.aspx

Resolução do Problema 1:

Amendoim: 42

2221

21

==xx ou

105

5251

21

==xx

Açúcar: 129

3433

43

==xx ou

1612

4443

43

==xx

Resposta: As duas frações equivalentes podem ser 1612

105 e

.

Resolução do Problema 2:

As frações da receita que podem ser simplificadas são 84 ,

147 e

93 . Simplificando

até obter a fração irredutível, temos:

21

2:42:2

2:82:4

== ou21

4:84:4=

21

7:147:7= e

31

3:93:3=

Resposta: As frações irredutíveis são 31

21,

21 e

Resolução do Problema 3:

Açúcar →129

3433

43

==xx ou

86

2423

43

==xx ou

2015

5453

43

==xx

Sal →126

6261

21

==xx ou

189

9291

21

==xx ou

147

7271

21

==xx

Resposta: As três frações equivalentes do açúcar são 2015

86,

129 e

As três frações equivalentes do sal são 147

189,

126 e

Podem surgir outras respostas, dependendo do número escolhido para multiplicar

o numerador e o denominador.

Resolução do Problema 4:

Resolução do Problema 5:

86

2423

43

==xx

1210

2625

65

==xx

162

2821

81

==xx

Resposta:

86 da lata de chocolate em pó de 200g.

1210 da lata de leite condensado de 500g

162 de um pote de margarina de 500g.

A representação da fração referente ao leite condensado é:

Podem surgir outras respostas, dependendo do número escolhido para multiplicar

o numerador e o denominador.

ATIVIDADE – 5

Assunto: Representação de fração, com diversos materiais.

Objetivo: Identificar vários materiais, como representação de fração.

Objetivos Específicos: Representar valores fracionários por meio de diversos

materiais (folha, régua, revista, o próprio corpo, entre outros); Retomar no

concreto o conceito de fração, através do “círculo de frações”.

Tempo: 04 aulas

Condução em sala de aula: A atividade será feita em dois momentos. No

primeiro momento os alunos serão divididos em grupos de três alunos, cada

grupo irá receber folhas de sulfite, régua, revistas, entre outros materiais

disponíveis,podendo também utilizar o seu próprio corpo. Cada grupo fará na

prática, à representação de fração, utilizando esses materiais, a professora irá

orientá-los durante a execução das atividades. Cada grupo deverá apresentar

para a turma o material utilizado e as frações encontradas. No segundo momento,

os mesmos grupos irão usar o“círculo de frações”como forma de aplicação e

usodo conteúdo sobre frações, ministrado durante as aulas. Cadagrupo irá

receber uma caixa contendo vários círculos, todos do mesmo tamanho, mas com

a divisão das partes do todo diferentes. A professora irá escrever fraçõesno

quadro de giz e o grupo irá representá-las com o “círculo de frações”.

ATIVIDADE – 6

Assunto: Avaliação

Objetivo: Avaliar em grupo a aprendizagem do conceito de frações.

Objetivos específicos: Resolver problemas de frações, apresentando suas

estratégias; Verificar o desempenho dos alunos após o trabalho desenvolvido com

base na resolução de problemas.

Tempo: 02 aulas

Condução em sala de aula:A professora irá organizar a sala, formando os

mesmos grupos da “Atividade 1”. Será entregue uma folha de avaliação, contendo

cinco problemas com frações; o grupo irá ler, interpretar, analisar e fazer a

produção escrita de cada problema, mostrando suas estratégias, para a solução

dos mesmos. Ao término da avaliação, a professora recolherá para fazer a

correção e análise, do desenvolvimento e aprendizagem dos alunos do 6º ano, da

Escola Estadual “Veríssimo de Souza”- Ensino Fundamental.

Abaixo, seguem os problemas da avaliação a ser aplicada em sala de

aula.O problema 1 foi criado pela professora, o problema 2 foi adaptado do autor

Bianchini, os problemas 3 e 4 foram retirados do livro de Centurión e

Jakubovic(2012) e o problema 5 foi adaptado do site

http://www.slideshare.net/lylyca/atividades-com-fraes.

Escola Estadual Veríssimo de Souza – Ensino Fundamental.

Nome:___________________________________ 6º Ano. Data: ______

Avaliação de Matemática

1) Milena, Rafaela, Paula e Matheus foram a uma pizzaria e pediram duas

pizzas: milho e napolitana. Dividiram igualmente as duas pizzas. Que parte da

pizza comeu cada um?

2) Para fazer um creme de baunilha para 4 pessoas, são necessários os

seguintes ingredientes:

• 2821 de litro de leite.

• 2 colheres das de sopa de açúcar

• 2436 colheres das de sopa de amido de milho

• 1 gema

• 3913 de colher das de sopa de baunilha

Represente as frações das quantidades de leite, amido de milho e baunilha na

forma irredutível.

3) Se Lucia caminhou 127 de uma trilha para pedestres, ela percorreu mais

ou menos da metade dessa trilha?

4) Durante um dia, as pessoas fazem muitas coisas. Isadora pensou no

tempo dedicado a cada atividade que realiza durante um dia na semana e

representou-o num retângulo:

brincar estudar comer dormir

Observe o retângulo que Isadora coloriu e responda:

a) Quantas horas Isadora dorme num dia da semana?

b) Que fração do dia representa o tempo que Isadora passa dormindo?

c) Há frações equivalentes, envolvendo as atividades diárias de Isadora?

d) Que fração do dia representa o tempo que Isadora:

Usa para as refeições?

Dedica aos estudos?

Brinca?

e) Escreva, por extenso, cada uma das frações do item anterior:

Refeições: ________________________________________

Estudos: ______________________________________

Brincar: ____________________________________

REFERÊNCIAS

BIANCHINI, Edwaldo.Matemática. 7.ed.- São Paulo: Moderna,2011, p.191e p.144.

CENTURIÓN. Matemática: teoria e contexto - 6º ano/ ,-1.ed.São Paulo: Saraiva, 2012. p.141,p. 153- p. 176.

Atividades de Matemática. Disponível em: http://www.slideshare.net/lylyca/atividades-com-fraes. Acesso em 18/10/2013.

ECHEVERRÍA, M. P. P. A solução de problemas em matemática. In: POZO, J. I. (Org.). A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998, 177p, p. 43-65.

SMOLE, K.S. e DINIZ, M.I. Ler, escrever e resolver problemas. Porto Alegre: Editora Artmed, 2001.

STERNBERG, R. Psicologia cognitiva. Trad. Maria Regina Borges Osório. Porto Alegre: Artmed, 2000, 494p.