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Physique – Terminale SChapitre 8
Correction des exercices
1
Oscillations dans un dipôle RLC sérieCorrection des exercices
Exercice 10 p. 174
1. Le condensateur est initialement chargé. en basculant l’interrupteur de 1 à 2, le condensateur se décharge dans le dipôle RL (phase
1 : 0 à 0,5 ms) ; toutefois, la bobine emmagasine une partie de l’énergie restituée par condensateur et la
restitue à son tour (phase 2 : 0,5 à 1,0 ms) : le condensateur se charge (armatures inversées, d’où uC < 0)
le condensateur se décharge à nouveau (phase 3 : 1,0 à 1,5 ms) et la bobine emmagasinel’énergie, qu’elle restitue à son tour (phase 4 : 1,5 à 2,0 ms) en chargeant le condensateur
La courbe s’amortit progressivement car les échanges énergétiques entre condensateur et bobine transitent par le conducteur ohmique qui en dissipe une partie par effet Joule à chaque échange. Le régimeoscillatoire n’est de ce fait pas périodique, mais pseudo-périodique : les oscillations s’amortissent à cause de la résistance R du conducteur ohmique.
2.
a boT k L C
a b
oT L C
22 2/ /
aa b ba b b a a
o
U q U qT U Q T T
di dt U d q dt U
donc a – b = 0 et 2a = 1
E
C
1
2
A
P
N
B
R
i
+
D
L
C = 1,00 µFL = 0,112 HE = 12,0 V
1
23
4
Physique – Terminale SChapitre 8
Correction des exercices
2
On en déduit 1
2a b .
oT k LC3. Echelle : 1,5 cm pour 2 ms.On mesure Δt = 4,95 cm pour 3 pseudo-périodes, ce qui permet d’obtenir
2 4,95 /1,52,2
3oT ms
3
6
2,2.106,6 2
0,112 1,00.10oT
kLC
Exercice 11 p. 174
1.
222 2
1 1 1
/ / / / / /C
LL C L C
q uT
LC u T qu di dt q u u d q dt q u
2222
22
/
4 / /
r r
LL
u i u IrT
L u I Tu di dt
1/2
2
2
2 1
14
TLCr
LC L
2. Calculons les valeurs :3 9 42 2 42,2.10 470.10 8,8488.10oT LC s
4
2 2
22 3 9 3
2 28,8497.10
1 1 8,54 42,2.10 470.10 4 42,2.10
T sr
LC L
Il n’y a donc pas de différence significative, d’autant plus si l’on tient compte des chiffres significatifs !
Exercice 14 p. 175
1. La résistance de la bobine étant négligeable, si l’interrupteur est fermé, la loi des mailles donne
R L R CE u u u u puisque C Lu u (tensions prises entre les 2 mêmes points)
diE R i L
dt (en négligeant la résistance de la bobine)
E
R
LC
uL
uR
uC
K
i iL
iC
Physique – Terminale SChapitre 8
Correction des exercices
3
Le régime permanent étant établi, les grandeurs ne varient plus : 0di
dt , donc uL = uC = 0 et
E R i On en déduit
Ei
R
A.N. : 12,0
0,040 4025
i A mA
D’après la loi des nœuds, i = iL + iC.L’intensité i est bien celle traversant la bobine : celle-ci ayant une résistance négligeable, l’intensité dans sa branche sera iL = i, tandis que dans la branche du condensateur, iC = 0. Comme uC = 0, le condensateur est initialement déchargé.2. La tension aux bornes du condensateur uC est égale à la tension aux bornes de la bobine uL (cf. schéma) : ainsi,
0C L
diu u L
dt
car, en régime permanent, 0di
dt .
3. En ouvrant l’interrupteur S, le circuit se résume à un dipôle LC série. Nous avons alors
L Cu u
C
diL u
dt
C
d dqL u
dt dt
CC
dudL C u
dt dt
2
2C
C
d uLC u
dt
2
2
10C
C
d uu
dt LC
4. Les solutions de l’équation précédente se mettent sous la forme
( ) cosC m ou t U t
où 1
oLC
est la pseudo-pulsation. On détermine Um et φ à l’aide des conditions initiales, (0) 0Cu
et (0)E
iR
.
Comme (0) 0Cu , (0) cos 0C mu U .
Par ailleurs, comme ( ) sinCo m o
dudqi t C CU t
dt dt ,
(0) sino m
Ei CU
R .
On atteint donc le systèmecos 0
sin
m
o m
U
ECU
R
Physique – Terminale SChapitre 8
Correction des exercices
4
cos 0 ,2
sino m o m mo
k k
E E ECU CU U
R R R C
( ) sinC oo
Eu t t
RC
Exercice 18 p. 175
1. 22
2 21 1 1
2 2 2C
L
dudqE Li L LC
dt dt
2. 2
2 21 1
2 2C
C L C
duE E E C u LC
dt
3. 2 2
2 2 22
1 1
2 2C C C C
C C
du du du d udE dC u LC C u LC
dt dt dt dt dt dt
2
20C C
C
du d udEC u LC
dt dt dt
Cette équation n’est vérifiée à chaque instant qu’à la condition où 2
20C
C
d uu LC
dt car ni C, ni Cdu
dtne sont nuls à tout instant. On retrouve ainsi l’équation du circuit LC série.
Exercice 19 p. 175
1. cf. schéma
2. 1CHui
R ; 2
2
1
2c CHE C u et 21
2BE Li
3. Initialement, le condensateur étant chargé, EC est maximale.
R
C
LE
1 2A
B
DCH1
CH2
En vert : Etot
En bleu : EC
En rouge : EB
Physique – Terminale SChapitre 8
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5
4. La présence de la résistance R justifie la dissipation d’énergie observée : l’énergie totale diminue globalement, car une partie est dissipée par effet Joule.
5. 2 21 1(0) (0) 6,2
2 2C CE C U CE mJ donc 3
42 2
2 2 6,2.101,5.10
9,00CE
C FE
.
6. On voit que T = 10 ms.
7. 2T LC donne 232
22 2 4
10.101,7.10 17
4 4 1,5.10
TL H mH
C
.
8. 1,3 6,2 4,9E mJ .
Exercice 21 p. 176
Initialement en position 1, on bascule l’interrupteur en position 2 à t = to = 0 : on décharge le condensateur dans la bobine réelle.1. 0C Bu u
0di
uC L Ridt
2
20C C
C
d u duu LC RC
dt dt
2. On pose 2
( ) costCu t Ae t
T
.
2 2 2cos sint tCdu
A e t e tdt T T T
2
2
2 2 2cos sin
2 2 2 2sin cos
t t
C
t t
e t e tT T Td u
Adt
e t e tT T T T
E
C
1
2
A
P
N
R
i
+
L
uCuB
C = 600 nFuo = 15,0 VL = 60,0 mHR = 50,0 Ω
Physique – Terminale SChapitre 8
Correction des exercices
6
22
2
2
2 2cos
2 2 2sin
t t
C
t t
e e tT Td u
Adt
e e tT T T
Raisonnons par fonction trigonométrique :
en 2
cos tT
: 2
2 2t t t tAe A RCe ALC e eT
en 2
sin tT
: 2 4t tARC e ALC eT T
On obtient donc2
2 21 RC LC
T
2 4RC LC
T T
3.
22 4
04 2
RC RTRC LCT T LLC
T
22
2
22 2
22
22
2
2
2
2
2
21 0
2 4
21 0
2 4
21 0
4
1 2
4
2 1
42
14
R RRC LC
L L T
R C R CLC
L L T
R CLC
L T
R
LC L T
R
T LC L
TR
LC L
4. Les conditions initiales sont uC(0) = uo et i(0) = 0.(0) cosC ou A u
Comme 2 2 2
( ) cos sint tCdudqi t C AC e t e t
dt dt T T T
,
2(0) cos sin 0i AC
T
Cette dernière expression donne tan2
T
. On en déduit
Physique – Terminale SChapitre 8
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7
coscos
2
o ou uA
TArctan
Exercice 5 p. 1811.
2.
2.a. L’interrupteur étant basculé en position A,
C RE u u
CE u Ri (loi d’Ohm)
C
dqE u R
dt (définition de l’intensité)
CC
duE u RC
dt (relation du condensateur)
1CC
du Eu
dt RC RC
2.b. L’équation est de la forme 'y a y b avec 1
aRC
et E
bRC
. Les solutions de l’équation
précédente se mettent sous la forme ( ) a t by t k e
a ,
Déviation verticale : 1 V/divBalayage : 0,5 ms/div
Cr
R
L
A B
M
E
Oscillovoie A
uC
uR
i
t = τ = 1,5 × 0,5 = 0,75 ms
0,63 × uC,max
Physique – Terminale SChapitre 8
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8
( ) expC
tu t k E
RC
La constante k se détermine à l’aide de la condition initiale de continuité sur la tension, uC(0) = 0. On a alors ( ) 0Cu t k E k E .
Ainsi,
( ) 1 expC
tu t E
RC
Le terme « RC » est homogène à une durée de manière à ce que l’argument de l’exponentielle soit adimensionné. C’est la constante de temps τ du circuit RC.2.c. cf. oscillogramme : τ = 0,75 ms. On en déduit
36
3
0,75.100,75.10 0,75
1,00.10C F µF
R
3.a.
3.b.
Nous voyons, par la loi des mailles, que
C Lu u
C
diu L
dt (relation de la bobine)
2
2C
d qu L
dt (définition de l’intensité)
uC(t) présente des oscillations qui s’amortissent ; elles semblent être périodiques, mais cet amortissement nous impose de les dire « pseudo-périodiques ».
Cr
R
L
A B
M
E
Oscillovoie A
uC
uR
i
uL
5 × T = 8 div
T = 1,6 ms
Physique – Terminale SChapitre 8
Correction des exercices
9
2
2C
C
d uu LC
dt (relation du condensateur en conv. générateur)
2
2
10C
C
d uu
dt LC
Les solutions sont du type2
( ) cosC mu t U tT
2 2sinC
m
duU t
dt T T
22
2
2 2cosC
m
d uU t
dt T T
22
2
1 1 2 2cos 0C
C m
d uu U t
dt LC LC T T
Ceci est vérifié à chaque instant à condition que 2
1 20
LC T
soit 2T LC .
Les constantes Um et φ se déterminent par les conditions initiales : uC(0) = E et i(0) = 0.
i(0) = 0 ↔ 0
2 2 2sin 0 sin 0C
m mt
duC CU CU
dt T T T
donc sin φ = 0 et
0 ,k k uC(0) = E ↔ cosmU E donc Um = E (Um > 0)
Il vient alors 2
( ) cosCu t E tT
.
3.d. On détermine (cf. graphique) : T = 1,6 ms.
2T LC2 24T LC
2
24
TL
C
A.N. : 23
32 6
1,6.1086.10 86
4 0,75.10L H mH
3.e. 3
2
2
21,6.10 1,6
14
T s msr
LC L
On retrouve la valeur déterminée à l’aide de l’oscillogramme.
Or, nous avons négligé la résistance de la bobine tout au long de notre étude… L’influence de r n’est donc pas accessible par l’oscillogramme obtenu.