Ótica - Refração

Refração Óptica

13-03-2008Departamento de Física

Professor:

Alejandro Pedro Ayala

Óptica Refração

Tópicos

ReflexãoÍndice de Tópicos

Índice de Tópicos:

Leis da reflexão e da refração

Princípio de Fermat

Princípio de Huygens

Exemplos

Reflexão interna total

Equações de Fresnel

Pág. 2

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Tópicos

Refração numa interface

Pág. 3


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Tópicos

Freqüência entre meios Quando a luz que viaja de um meio a outro a freqüência se mantém constante:

– Os frentes de onda não podem ser empilhados, nem criados ou destruídos, então f deve ser a mesma.

– A velocidade e o comprimento de onda devem mudar.

1

2

2

1

2

1

2

1

//

nn

ncnc

vv

===λλ

21 ff =2

2

1

1

λλvv

=

Pág. 4


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Tópicos

Alguns índices de refração

Pág. 5


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Tópicos

Raios refletidos e refratados

1 Raio incidente2 Raio refletido3 Raio refratado do ar para

o vidro4 Raio refletido

internamente5 Raio refratado do vidro

para o ar.

Pág. 6


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Tópicos


Pág. 7

Leis da reflexão 1ª lei - os raios incidente e refletido e a normal à

superfície, estão no mesmo plano (plano de incidência) 2ª lei - os ângulos de incidência e reflexão são iguais

Leis da refração1ª lei - os raios incidente, refratado e a normal à

superfície de separação dos meios, estão no mesmo plano (plano de incidência)

2ª lei - os ângulos de incidência e de refração estão relacionados por:

2211 θθ sennsenn ⋅=⋅

As leis da reflexão e refração foram estabelecidas empiricamente:

(Em que n1 e n2 são os índices de refração dos meios de incidência e transmissão respectivamente)


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Tópicos Pág. 8


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Tópicos

Refração e o princípio de Fermat

Pág. 9

No caso da refração a velocidade, não é a mesma antes e depois da interface... o “princípio de tempo mínimo” não leva ao “princípio de caminho geométrico mínimo”


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Refração e o princípio de Fermat

Pág. 10

O tempo de trânsito da luz de A para B é dado por :

( )222 2

AB AP PBi r

d b xd xt t tv v

+ −+= + = + =

( )222 2

i r

d b xd xv v

+ −+= +

pelo princípio de Fermat a distância x deverá ser tal que o tempo entre A e B seja mínimo, ou seja :

0=∂∂

xtAB


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Tópicos Pág. 11

( )( )2 2 22

1 1 0AB

i r

b xt xx v vd x d b x

− −∂= ⋅ + ⋅ =

∂ + + −

O termo entre parêntesis tem de ser nulo…… e pela definição de seno:

1 1i r

i r

sen senv v

θ θ⋅ = ⋅


… multiplicando ambos lados por c obtemos a lei de Snell-Descartes

Assim:


UA 3

i i r rn sen n senθ θ⋅ = ⋅

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Caminho óptico

Pág. 12

O conceito de caminho óptico, CO, é consequência do princípio de Fermat:

O tempo total t, é o que a luz leva de O a I, ... atravessando os meios de índices de refracção ni, ... às velocidade vi

... percorrendo em cada meio no tempo ti

... e os espaços si

∑=

=+++=m

i i

i

m

m

vs

vs

vs

vst

12

2

1

1 .....

1 1

1 m m

i i i ii i

t n s CO n s t cc = =

= ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅∑ ∑

t, é


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Tópicos Pág. 13

CO – Caminho Óptico, é o espaço que a luz percorreria no vácuo, no tempo t, em que vai de O a I através

dos meios envolvidos

O princípio de Fermat pode enunciar-se agora, dizendo que a luz no percurso entre dois pontos descreve o caminho que minimiza o percurso óptico.

Se vários caminhos são possíveis no percurso entre dois pontos então, eles têm o mesmo caminho óptico e levam no percurso todos o mesmo tempo.

( na última expressão, tempo mínimo equivale a CO mínimo)


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Tópicos


Pág. 14


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Tópicos


b

a

AB v tQO v t

=

=a

b

vQOAB v

=

Pela figura vemos que:

a

b

QOsenAOABsenAO

θ

θ

=

=

a a

b b

sen vQOsen AB v

θθ

= =

Como n1 = c / v1 e n2 = c / v2

1 1 2 2sen n sen nθ θ=

Num certo intervalo de tempo t, a onda se desloca de AQ até BO

O trecho AB é percorrido no meio b, com velocidade vb e o trecho QO é percorrido no meio

a, com velocidade va. Então:


Pág. 15

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Exemplos

Pág. 16

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Quando um feixe de brilha na superfície do rio a 2.4 m do píer, ele está incidindo numa moeda que está a 5.5 m de profundidade. Sabendo que o laser está a 1.8 m sob a superfície, ache a distância horizontal x. .

1 1

Do triângulo superior temos:2,4tan 53,11,8

θ θ= ⇒ =

1 2 2

A partir da lei de Snell:1 sin 1,33 sin 37,0θ θ θ⋅ = ⋅ ⇒ =

2

Finalmente, considerando o triângulo inferior temos que:

tan 4,145,5x x mθ = ⇒ =

Exemplos

Pág. 17

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Tópicos

Superfície refratora planaA imagem formada por uma superfície refratora plana está do mesmo lado da superfície que o objeto

– A imagem é virtual– A imagem se forma entre o objeto e a

superfície

11 2

2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2

1 2

| | tantan tan

| | tan

Na aproximação paraxial:tan sin for 1

sin sintan tan

p Lp q

q L

n n n np q p q

n np q

θθ θ

θ

θ θ θ θ

θ θ θ θθ θ θ θ

= ⎫⇒ =⎬= ⎭

≈ ≈ <<

= ⇒ =

= ⇒ =

∴ =

n1

p= −

n2

q⇒ q = − n2

n1

p

θ1θ2 L

Exemplos

Pág. 18

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Tópicos

Quando a luz passa através de uma placa de faces paralelas é refratado duas vezes:

– Na direção da normal na primeira interface

– Afastando‐se da normal na segunda interface

De acordo com a lei de Snell:

Como conseqüência:

Placa de faces paralelas

1 1 2 2 2 2 1 3sin sin e sin sinn n n nθ θ θ θ= =

1 3θ θ=

t

d

L

O deslocamento do feixe pode ser calculado considerando que:

1 22

sin( ) e cos

td L Lθ θθ

= − = ⇒ 1 2

2

sin( )cos

td θ θθ−

=

Exemplos

Pág. 19

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Tópicos

m

n

α

α

O prisma da figura possui um índice de refração de 1,66, e os ângulos A são de 25,0o . Dois feixes paralelos de luz m e n entram no prisma. Ache o ângulo entre os raios que emergem do prisma.

( )12sin 1.66sin 25.0 50 39.2δ −= − =

δ

Pela a lei de Snell: sin sin rn α θ=θi

θr

Comparando os triângulos: iθ α=

( )2 2 2rπ δ π θ α= + − +

( ) ( )( )12 2 sin sinr nδ θ α α α−= − = −

Usando os dados do problema:

Exemplos

Pág. 20

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Tópicos Pág. 21


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Tópicos

Divisão da energia nas interfaces

Reflexão e refracção parciais da luz, numa reflexão externa, em que n2> n1 e o raio transmitido se aproxima da normal, pela aplicação da lei de Snell

... a fracção de energia transportada em cada uma das ondas reflectida e refractada... é determinada pelas equações de Fresnel

Na superfície de separação entre dois meios a radiação pode ser reflectida, refractada ou sofrer ambos os processos

UA 3

Pág. 22


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Tópicos

Divisão da energia nas interfaces

Reflexão interna em que n1< n2... Observa-se refracção parcial em que o raio

transmitido se afasta da normal

º902 sensenn c =⋅ θ

csenn

θ1

2 =

... este fenómeno é importante em aplicações como, guias de onda e fibras ópticas

... o ângulo de incidência correspondente à refracção de 90º , a partir do qual se extingue o raio refractado, chama-se ângulo crítico, θc

…quando o meio 1 é o ar:

A relação entre o índice de refracção do meio mais denso e o ângulo crítico é:

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Tópicos

Retrovisor de carro dia/noite

• Com a orientação para o dia, o raio mais intenso é refletido para os olhos do motorista.

• Na configuração da noite, o raio tênue (D) é refletido para os olhos do motorista, entanto que o raio intenso é refratado numa outra direção.

Pág. 24


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Tópicos

As equações de Fresnel são deduzidas para os dois casos de polarizações normal e paralela independentemente.

Pág. 25


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Tópicos

Refletância e Transmitância para uma interface Ar‐Vidro

Note that R + T = 1

Perpendicular polarization

Incidence angle, θi

1.0

.5

00° 30° 60° 90°

R

T

Parallel polarization


1.0

.5

00° 30° 60° 90°

R

T

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Tópicos

Refletância e Transmitância para uma interface Vidro‐Ar

Note that R + T = 1

Perpendicular polarization


1.0

.5

00° 30° 60° 90°

R

T

Parallel polarization


1.0

.5

00° 30° 60° 90°

R

T

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Tópicos

Incidência normal à superfíciePara incidência normal (θi = 0),

No caso da interface ar‐vidro (ni = 1 e nt = 1.5),

R = 4% e T = 96%

Os valores são os mesmos independentemente da direção na que a luz viaje , isto é, ar‐vidro ou vidro‐ar.

2

t i

t i

n nRn n

⎛ ⎞−=⎜ ⎟+⎝ ⎠ ( )2

4 t i

t i

n nT

n n=

+

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Tópicos

Ângulo de Brewster

A luz refletida está completamente polarizada quando o feixe refletido e o refratado são perpendiculares. A direção de polarização é paralela à superfície refletora.

Ar/Vidro: θB= 56,3o

( )1 2

2

1

sin sin 2

tan

B B

B

n nnn

θ π θ

θ

= −

=

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Tópicos

Ângulo de Brewster

Ângulo de Brewster para a interface ar‐vidro: 56oSem polarizador Com polarizador

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Tópicos

A transmissão na primeira interface é( )2

4 t i

t i

n nT

n n=

+

Pág. 31


Um feixe de luz incide perpendicularmente num placa de diamante de faces paralelas rodeada de ar. Ache a fração de luz transmitida considerando a luz refletida nas paredes da placa para o interior da mesma.

Considerando as sucessivas reflexões‐refrações:

( ) ( ) ( )2 4 62 2 2 21 1 1tT T T T T T T T= + − + − + − +

Como T < 1: ( )

2

21 1tTT

T=

− −

No caso da placa de diamante, n= 2,419 → T=0,828 e Tt = 0,706

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Tópicos

Fibras ópticas

Pág. 32

Aplicações

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Tópicos

Prismas refletores

Pág. 33

Aplicações

Na interface vidro‐ar : θc = 41.1o

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Tópicos

Prismas refletores

Pág. 34

Aplicações

Prisma de Abbe‐KoenigPrisma de Porro‐Abbe

Prisma de Topo Prisma de Amici

Prisma de Schmidt‐Pechan

Prisma de Dove

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Tópicos

Prismas dispersivos

Pág. 35

Aplicações

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Tópicos

Halita ‐ NaCl(opticamente isotrópico)

Calcita(opticamenteanisotrópico)

Calcita entre dos polarizadores perpendiculares.

Birrefringência

Pág. 36

Aplicações

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Tópicos

Prismas dispersivos

( ) 2 4 6

B C Dn Aλλ λ λ

= + + + +

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Tópicos

Prismas de desviação constante

Pág. 38

Aplicações

Prisma de AbbePrisma de Pellin‐Broca

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Tópicos

Ângulo de desvio mínima

• O ângulo de desvio está dado por:

• Note que:

• Como conseqüência:

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Aplicações

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Tópicos


• O ângulo de desvio está dado por:

• A condição para desvio mínimo é:

• Aplicando a lei de Snell:

Pág. 40

Aplicações

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Tópicos


• A condição de desvio mínimo é:

• Devido a isto:

• Finalmente:

Pág. 41

Aplicações

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Tópicos

O

d

S

P

Q

Um raio luminoso incide sobre o plano equatorial de uma esfera transparente de raio R e índice de refração n com um ângulo de incidência i. Calcular a distancia d medida desde o centro da esfera até o ponto S onde o raio refratado corta ao eixo do sistema.

i

R

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Aplicações

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Tópicos

i

rir

P

Q

O

180‐ii α β

r21800 −=θ

iri −=−−= 2180 0θα

d

S

)(2)180(180 rii −=−−−= αβ

βsen)180sen(R

id

=−

Teorema do seno:

R

O triângulo OPQ é isósceles porque as distâncias OP y OQ são iguais ao raio R da esfera

θ0

)(2sensen)180sen(

sen riiRiRd−

⋅=−⋅=

β

Dado o índice de refração n, o ângulo r se calcula pela lei de Snell:

rni sensen ⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

nir sensen 1

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Tópicos Pág. 44

Aplicações

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Tópicos

Características de um diamante

Brilho

Clivagem

Fogo

Pág. 45

Aplicações

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Tópicos

Clivagem

Pág. 46

Aplicações

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Tópicos

O brilho dos diamantes

Para um raio que incide perpendicular a uma interface:

21 2

21 2

(n n )Intensity of reflected beamIntensity of incident beam (n n )

R −= =

+

Vidro – n2 = 1.5, 0.04R =

Diamante – n2 = 2.4, 0.17R =

Se o meio de incidência for ar (n1=1) :

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Aplicações

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Tópicos Pág. 48

Aplicações

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