otpo 3

12/6/2009

1

Konvencija o znacima za optereenja grede

Levo od preseka Desno od preseka

Savijanje

isto savijanje (spregovima)

Osnovne jednaine savijanja

Savijanje silama

Dimenzionisanje nosaa izloenih savijanju

12/6/2009

2

Savijanje

Savijanje se najee analizira kod nosaa ve izuavanih u okviru mehanike I ili statike

Nosee konstrukcije maina i postrojenja se se po principima statike prevode u prostorne i

ravanske proste nosae

Optereenja se prevode u odgovarajue: koncentrisane sile, kontinualna optereenja, momente i spregove

isto savijanje

Ravan savijanja

Neutralna ravan

Neutralna osa

Neutralna (elastina) linija

12/6/2009

3

isto savijanje

mBABmA

z

Ako deluje samo moment savijanja, naprezanje je

isto savijanje

Na gredu deluju dva sprega jednakih intenziteta, a

suprotnih smerova u vertikalnoj ravni

isto savijanje proste grede spregovima

Spregovi istog intenziteta, a suprotnih

smerova deluju u vertikalnoj ravni koja prolazi

kroz uzdunu osu nosaa Az

Ova vertikalna ravan je RAVAN SAVIJANJA

Horizontalna osa u ravni koja sadri uzdunu osu, a upravna je na nju (obeleena sa x) naziva se NEUTRALNA OSA

12/6/2009

4



l

AB

- M + M

z

z

-M -M

-M

FTR

BABAi FYFYY 0

00 AAi ZZZ

0 BA FlMMM

00 AB YF

MM f

0TRF

12/6/2009

5

isto savijanje

Ovakvo optereenje grede mogue je ostvariti kod grede sa dva jednaka prepusta na ijim krajevima deluju jednake sile F

l cc

A

B

F F

isto savijanje grede

BABAi FYFFYFY 0

00 AAi ZZZ

0 BA FllcFcFM

FYFF AB

l cc

A

B

F F

YAFB

12/6/2009

6

isto savijanje

Statiki dijagrami za ovu gredu sa prepustima

l cc

A

B

F F

z

z

-M -M

-M

FTR

YAFB

-F

-F

cFzFzcFM f

0 FFFTR

I polje II polje III polje Za II polje

isto savijanje

12/6/2009

7

Deformacija usled savijanja momentima

Pod dejstvom prikazanih spregova greda se

deformie tako to vlakna menjaju svoju duinu

Duina jednih vlakana se poveava, a duina drugih se smanjuje

Vlakna koja se niti izduuju niti skrauju zovu se neutralna vlakna

Deformacija usled savijanja momentima u ravni

savijanja

Uoava se utoliko vee izduenje vlakana ukoliko je vlakno udaljenije od neutralne ose sa spoljanje strane (a-a vee od b-b)

Sa druge strane, sa unutranje strane skraenje vlakana je vee to su vlakna udaljenija od neutralne linije (c-c vee od d-d)

Najvie se izduuju spoljanja vlakna

12/6/2009

8

Deformacija usled savijanja momentima

Uoena vlakna ija je dilatacija jednaka nuli (niti se izduuju niti skrauju)

Neutralna vlakna se pojavljuju po itavom poprenom preseku

Obrazuju neutralnu povrinu

Presena linija ravni savijanja i neutralnih linija savijanja naziva se neutralnom linijom ili

ELASTINOM LINIJOM

isto savijanje nastaje

Kada je ravan dejstva spregova (ravan savijanja)

istovremeno i ravan simetrije grede

Kada ravan savijanja prolazi kroz geometrijsku osu

Az grede

12/6/2009

9

Osnovne jednaine savijanja

Veza izmeu aksijalne deformacije i napona

I jednaina savijanja - promena normalnog napona

II jednaina savijanja krivina elastine linije

Prizmatina greda optereena na isto savijanje

Nastaju deformacije - izduenja ili skraenja vlakana

Popreni preseci unutar grede su zaokrenuti jedan u odnosu na drugi

Dilatacija posmatranih vlakana na nekom

udaljenju y od neutralne linije moe se dovesti u vezu sa modulom elastinosti (Hukov zakon) i poluprenikom krivine elastine linije

12/6/2009

10

Prva jednaina savijanja

Normalni napon u nekoj taki poprenog

preseka s M moment sprega

Ix aksijalni moment inercije povrine za tu osu

y udaljenost posmatranog vlakna od ose

yI

M

x

z s

Druga jednaina savijanja

K- krivina elastine linije

M moment sprega

Ix aksijalni moment inercije povrine za tu osu

E modul elastinosti

B=E.Ix krutost savijanja grede Rk poluprenik krivine

B

IE

RK

xk

1

12/6/2009

11

Prva jednaina savijanjapokazuje da:

Normalni napon u nekoj taki poprenog preseka proporcionalan je napadnom

momentu M savijanja i udaljenju y od neutralne ose

Normalni napon je obrnuto proporcionalan

momentu inercije poprenog preseka za

neutralnu osu Ix koja se poklapa sa teinom osom

yI

M

x

z s


Kod istog savijanja napadni moment je u svakom preseku isti, pa normalan napon ne

zavisi od koordinate z

To znai da ne zavisi i od udaljenosti poprenog preseka od oslonca

Normalni napon ne zavisi od koordinate x, to znai da je isti u svim takama ravni paralelnoj koordinatnoj ravni Axz kroz osu grede Az

yI

M

x

z s

12/6/2009

12


Normalni napon zavisi samo od udaljenosti

vlakana od neutralne ose Cx

U takama neutralne ose Cx, on je jednak 0

Zbog toga se ti naponi nazivaju i ivini naponi

yI

M

x

z s

Druga glavna jednaina savijanja pokazujeda:

Usled savijanja osa Az se krivi i postaje

elastina linija grede

Druga glavna jednaina slui za odreivanje krivine te elastine linije

Za gredu konstantnog poprenog preseka i konstantan napadni moment:

K =const.

B

IE

RK

xk

1

12/6/2009

13

Druga glavna jednaina savijanja pokazuje da:

Krivina elastine linije je konstantna

Ovu osobinu ima samo kruni luk koji prolazi kroz oslonce A i B.

Kod istog savijanja elastina linija je kruni luk koji prolazi kroz oslonce A i B.

B

IE

RK

xk

1

Savijanje vertikalnim teretima

koncentrisanim silama;

kontinualnim optereenjima

u vertikalnoj ravni

12/6/2009

14

Primer grede sa dve koncentrisane sile

021 FFFFY BAi0642 21 BA FaaFaFM

kNFkNF BA 4030

Primer grede sa dve koncentrisane sile

Maksimalni moment

savijanja

Maksimalna

transverzalna sila

Mfmax = 80 kNm

Ftmax = 40 kN

12/6/2009

15

Promena transverzalne sile i momenta

savijanja du podune ose nosaa:

U svakom poprenom preseku imamo odgovarajuu transverzalnu silu

U svakom poprenom preseku imamo odgovarajui moment savijanja.

Transverzalna sila izaziva smicanje

Moment savijanja izaziva savijanjenosaa oko poprene teine ose

Jednaine savijanja vae i kod savijanja silama i moraju biti ispunjeni uslovi:

Da neutralna linija prolazi kroz teite svih poprenih preseka

Da je neutralna osa teina osa poprenog preseka

Da je neutralna osa, osa simetrije poprenog preseka tj. glavna centralna ose inercije

preseka.

12/6/2009

16

Glavne jednaine savijanja

yI

M

x

z s

x

f

k IE

RK

1

Trea glavna jednaina

bI

SF

x

xT

xS - Moment inercije povrine A za neutralnu osu Cx

- Tangencijalni napon grede optereene na savijanje

b - irina poprenog preseka za neutralnu osu

12/6/2009

17

Raspored normalnog napona po

poprenom presekuy

I

M

x

z s

Raspored normalnog napona po

poprenom preseku

Odnos Ix/ymax zavisi od oblika poprenog preseka i naziva se

OTPORNI MOMENT POPRENOG PRESEKA

maxy

IW xx L3

12/6/2009

18

Otporni moment razliitih ravnih preseka

pravougaonik


kvadrat

12/6/2009

19


Krug i kruni prsten

Raspodela tangencijalnog napona po

poprenom preseku

x

xT

I

SF

xS - Moment inercije povrine A za neutralnu osu Cx - Tangencijalni napon grede optereene na savijanje

- promenljiva irina poprenog preseka za neutralnu osu

FT Transverzalna sila

12/6/2009

20

Maksimalni normalni napon nosaa izloenog optereenju na savijanje

Maksimalni normalni napon

Maksimalni moment savijanja

Otporni moment poprenog preseka

xW

Mmaxmax s


poprenom preseku pravougaonika

A

FTmaxmax

3

2

2

max 41h

y

12/6/2009

21


poprenom preseku kruga

A

FTmaxmax

3

4

2

max 1R

y


poprenom preseku limenog nosaa

0

maxmax

A

FT

12/6/2009

22

Dimenzionisanje nosaa optereenih na savijanje

Postoje dva razliita zadatka:

1. Poznato je optereenje koje deluje na nosa, a treba odrediti vrednosti najveeg normalnog i tangencijalnog napona koji se

javljaju

2. Poznato je optereenje, raspon, nain oslanjanja i oblik nosaa koji se mora upotrebiti, a trae se dimenzije poprenog preseka

Odreivanje veliina normalnog i tangencijalnog napona ako je poznato

optereenje

Najvei normalni napon javlja se u opasnom preseku, u najudaljenijem vlaknu

Najvei tangencijalni napon javlja se u preseku u kome je najvea tangencijalna sila

Opasni presek najvei moment savijanja i najvea transverzalna sila definiu se iz statikih dijagrama nosaa

x

xT

I

SF

xW

Mmaxmax s

12/6/2009

23

Odreivanje dimenzija poprenog preseka nosaa

Prema definisanom optereenju izraunati otporni moment preseka

Po odreivanju dimenzija proveriti da li je tangencijalni napon manji od dozvoljenog

fdoz

xW

Mss maxmax

fdoz

x

MW

smax

Maksimalni napon manji od dozvoljenog

fdozss max

fdoz max

Provera tangencijalnih napona

Kod elinih konstrukcija tangencijalni naponi su vrlo mali pa se ova provera esto i ne vri

Proveru obavezno vriti kod drvenih konstrukcija

12/6/2009

24

Rezime: Dimenzionisanje nosaa

Odrediti otpore oslonaca

Nacrtati statike dijagrame i iz njih odrediti najvei napadni moment i najveu transverzalnu silu

Prema izabranom materijalu definisati

dozvoljene napone na savijanje

Odrediti otporni moment poprenog preseka

Proveriti da li su najvei normalni i tangencijalni napon manji od dozvoljenih

Documents

otpo 3