If you can't read please download the document
Upload
doanlien
View
244
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
1
Mehanika deformabilnih tijela
Otpornost materijalaNauka o vrstoi
I. dio
2
Sadraj
1. Uvod
2. Analiza naprezanja
3. Analiza deformacije
4. Meusobna ovisnost naprezanja i deformacija
5. Geometrijske karakteristike poprenih presjeka
nosaa
6. Temelji i potporni zidovi
3
7. Osnovni naini optereenja tapa
8. Rastezanje tapa N>0 (vlak)
9. Izvijanje tapa N
4
Podjela mehanike
5
Idealizacija realnog vrstog tijela u mehanici
6
Statika - pretpostavke:1. Kontinuum2. Apsolutno kruto tijelo
Otpornost materijala pretpostavke: 1. Kontinuum2. Deformabilno vrsto tijelo
7
KontinumKod kontinuuma je materija tijela jednoliko ineprekinuto raspodijeljena po itavom obujmu tijela.(Prirodno vrsto tijelo je diskretni sustav materijalnih
toaka, t.j. sastavljeno je od malih estica molekula.)
Deformabilno tijelo
je vrsto tijelo koje se pod djelovanjem siladeformira, mijenja svoj oblik i obujam.
8
U svakodnevnoj praksi za rjeavanje problema uvodimo pretpostavke:
- o svojstvima materijala. - o deformiranju tijela, i- o raspodjeli naprezanja po
presjeku tijela.
9
1. Pretpostavka - o svojstvima materijala
Razmatraju se vrsta tijela od materijala idealiziranihsvojstava:
Kontinuum Homogen Izotropan Idealno elastian
10
Homogen
Svojstva materijala su u svim tokama jednaka.
na primjer: gustoa (kg/m3)
homogen elik
(u tokama tijela A, B, C i D =7850 kg/m3)
11
Izotropan
Elastina, mehanika, toplinska i drugafiziko-mehanika svojstva materijala su u svim smjerovima. na primjer: modul elastinosti E (N/m2).izotropan: elik
E = Ex = Ey = Ez E = 21.000 kN/cm2
12
Idealno elastian materijal
Tijelo od idealno elastinog materijala se
nakon rastereenja vraa u prvobitno
stanje poprima prvobitni oblik i obujam.
na primjer elik
(napregnut do granice proporcionalnosti P)
13
Homogen elikHeterogen beton (smjesa agregata i
cementne paste)Izotropan elik E = 21.000 kN/cm2
Anizotropno: drvo (ortotropno)E|| = 1.000 kN/cm2 i E= 30 kN/cm2
Elastino tijelo elikPlastino tijelo Viskoelastino tijelo
14
Homogen elikHeterogen beton (smjesa agregata i
cementne paste)
Izotropan elik E = 21.000 kN/cm2
Anizotropan: drvo (ortotropno)E|| = 1.000 kN/cm2 i E= 30 kN/cm2
Ortotropan: Anizotropan:
15
Plastino tijelo
U plastinom tijelima nakon rastereenja
deformacije tijela ne ieznu potpuno, ve
zaostaju tzv. trajne ili plastine deformacije.
na primjer: nisko-ugljini (meki) graevinski elik poslije granice elastinosti E
16
Viskoelastino tijelo
Viskoelastini materijali imaju svojstva elastinih tijela i viskoznih tekuina.
Viskoelastina tijela karakteriziraju pojave:1. puzanja (beton) i2. relaksacije (polimeri)
17
Puzanje je pojava porasta deformacija tijekom vremena pri konstantnom naprezanju (na pr. beton).
Relaksacije je pojava opadanja naprezanja kod konstantne deformacije tijekom vremena. (na pr. polimerni materijali, asfalt, metali pri povienim temperaturama)
18
2. Pretpostavka - o deformiranju:
1. Hipoteza ravnih presjeka
2. Teorija malih deformacija
3. Zakon superpozicije (elastino podruje)
19
1. Bernoullijeva hipoteza ravnih presjeka:
Zamiljeni ravni presjeci okomiti na os nosaa prije deformiranja ostaju ravni i okomiti na os nosaa i nakon deformiranja.
20
2. Teorija malih deformacija
deformacije tijela su maleu odnosu na dimenzijetijela i usvajamo naelo poetnih dimenzija a, l(nedeformirano tijelo)
Progib:
w
21
proporcionalnost
izmeu optereenja i
pomaka - elastino
podruje
22
3. Zakon superpozicije: progib wk= wk1+ wk2
23
3. Pretpostavka: Postoji jednoznana ovisnost
.
Hookeov zakon:- za normalno naprezanje:
- za posmino naprezanje: = G = E
24
Pretpostavke - ponavljanje1. Pretpostavka o svojstvima materijala: kontinuum,
homogen, izotropan i idealno elastian
2. Pretpostavka o deformiranju: hipoteza o ravnim presjecima, teorija malih deformacija, proporcionalnost izmeu optereenja i pomaka te zakon superpozicije
3. Pretpostavka: jednoznana ovisnost izmeu naprezanja i deformacija
==
G
E
25
1. Gustoa [kg/m3]2. Modul elastinosti E [kN/m2]3. Poissonov koeficijent [-]4. Modul posmika G [kN/m2]5. Obujamski modul elastinosti K [kN/m2]
(bulk modul, modul kompresije)6. Koeficijent linearnog toplinskog
rastezanja t [ / 0C]
Fizikalno-mehanike karakteristike materijala:
262
2
kN/cm 1PaM 10
N/mm 1PaM 1
=
=
t
27
Otpornost materijala
prouava probleme 1. vrstoe, 2. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova
konstrukcija od vrstog deformabilnogmaterijala.
Moraju biti zadovoljeni uvjeti sigurnosti i uvjetiekonominosti.
28
1. vrstoa
vrstoa konstrukcije je sposobnost
elemenata konstrukcije prijenosa
optereenja bez pojave loma, bez
trajnih plastinih deformacija ili
oteenja (pukotine).
29
vrstoa
Uvjet vrstoe za:
Normalno naprezanje < dopPosmino naprezanje < dop
30
vrstoa
Najvea naprezanja u elementima konstrukcije ne smiju biti vea od neke normativne vrijednosti - doputenog naprezanja , koja se odreuju normiranim ispitivanjima na ispitnim uzorcima (epruvetama) od tog materijala. Ispitivanja se obavljaju u ovlatenom laboratoriju.
31
2. Krutost
Krutost konstrukcije je otpornost konstrukcije
prema deformiranju (t.j. promjeni oblika i
dimenzija pod optereenjem).
Uvjet krutosti:
Progib nosaa kod savijanja
Kut uvijanja
dopww
dop
32
Krutost
Pri zadanom optereenju deformacije ne smiju biti vee od doputenih, jer bi moglo doi u pitanje iskoritavanje elementa ili itave konstrukcije u primjeni
dopk ww
33
Elastina stabilnost
Elastina stabilnost konstrukcije je
sposobnost konstrukcije da kod
optereivanja zadri poetni
ravnoteni oblik
Izvijanje ravnog tapa
34
3. Elastina stabilnost
Gubitak elastine stabilnosti ravnog tapa zovemo izvijanje.
Dugi i vitki tapovi podvrgnuti velikom osnom optereenju na sabijanje mogu izgubiti svoj prvobitni pravocrtni oblik.
Eksperimentalna i teorijska ispitivanja pokazuju da pojava nestabilnog ravnotenog oblika elementa ili konstrukcije neizbjeno vodi do potpunog unitenja (kolapsa) konstrukcije.
35
Dimenzioniranje:
Zadan je: oblik konstrukcije s optereenjem (nosa) materijal konstrukcijetreba odrediti dimenzije poprenog presjekanosaa tako da budu zadovoljeni uvjeti: vrstoe, krutosti i stabilnosti.
36
Tenzori 2. reda
Tenzor naprezanja Tenzor deformacija
====
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ij
=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ij
37
Naprezanja
1. Normalno naprezanje 2. Posmino naprezanje
presjeka poprenog tikakarakteris kageometrijspresjeku poprenom u sila unutarnja
naprezanje =
38
Tenzori 2. reda
Tenzor naprezanja Tenzor deformacija
=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ij
=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ij
21
21
21
21
21
21
39
Tenzor naprezanja
{ j,i i normala ravnine presjeka na kojem djeluje komponenta naprezanjaj koordinatna os s kojom je komponenta naprezanja paralelna
40
Sustav mjernih jedinica SI
Papaskalnaprezanje, tlak
Nnjutnsila, teina
ssekundavrijeme
kgkilogrammasa
mmetarduljina
Naziv jediniceNaziv veliine
41
Jedinica za naprezanje:
2
2
kN/cm 1PaM 10
N/mm 1PaM 1
=
=Vea jedinica je megaPaskal
2N/m 1Pa 1 =
42
Normalno naprezanje
Normalno naprezanje uzrokuju promjenu obujma t.j. utjee na promjenu duljina:
l1 =
l l1
(Jednoosno stanje naprezanja)
43
Posmino naprezanje Posmino naprezanje utjeu samo na
promjenu oblika tijela.
(Ravninsko-dvoosno stanje naprezanja)
44
Duljinska deformacija Duljiska deformacija je relativna
promjena neke duljine tijela koje se deformira
ll=
l1 =
45
Kutna deformacija tijela Kutna deformacija je promjena pravogkuta (/2) tijela koje se deformira(promjena oblika).
46
Kutna deformacija tijela Kutna deformacija javlja se kod uvijanja
tapa kao zakreti presjeka tapa uslijed djelovanja momenta uvijanja Mt
47
Povijest - otpornosti materijala
Leonardo da Vinci Galileo Galilei Robert Hooke Jakob Bernoulli L. Euler C. A. Coulomb T. Young L. Navier A. L. Cauchy i drugi.
48
1. Leonardo da Vinci - eksperimentalna istraivanja proste grede i konzole
2. Galileo Galilei mehanika deformabilnih tijela3. Robert Hooke - mehanika elastinih tijela4. Jakob Bernoulli - hipoteza ravnih presjeka5. L. Euler - stabilnost pritisnutih tapova6. C. A. Coulomb - uvijanje okruglog tapa 7. T. Young - posmino naprezanje, modul E8. L. Navier - ope jednadbe ravnotee 9. A. L. Cauchy - zakon o uzajamnosti posminih
naprezanja
49
Leonardo da Vinci (1452-1519) bavio se prouavanjem vrstoe tehnikih konstrukcija, eksperimentalnim istraivanjima proste grede i konzole.
Galileo Galilei (1564-1642) prvi je primjetio da mehanika krutih tijela nije dovoljna za rjeavanje mnogih problema sigurnosti konstrukcija te da se moraju uzeti u obzir fizikalna svojstva materijala. Njegova publikacija "Discorsi e Dimostrazionimatematiche intorio a due nuove scienze" prva je na podruju znanosti o otpornosti materijala i oznaava poetak povijesnog razdoblja mehanike deformabilnih tijela.
50
Robert Hooke (1635-1703) prouava elastina svojstva materijala. Eksperimentalnim ispitivanjima na oprugama, icama i drvenim konzolama pronalazi Zakon o linearnoj ovisnosti optereenja i deformacija pri rastezanju, na kojoj je kasnije izgraena mehanika elastinih tijela.
Jakob Bernoulli (1654-1705) prouavao je oblik savijene grede i postavio jednu od vanijih hipoteza u znanosti o otpornosti materijala - hipotezu ravnih presjeka.
51
L. Euler (1700-1783) istraivao jestabilnost pritisnutih tapova.
C. A. Coulomb (1785-1806) prouava meu prvima torziju okruglog tapa, mehanika svojstva materijala, odredio granicu elastinosti za neke materijale, dao tono rjeenje savijanja konzole.
52
T. Young (1773-1829) dao je matematiku formulaciju Hookeovog zakona i uveo pojam modula elastinosti E pri rastezanju i pritisku, koji se naziva Youngovim modulom. Uvodi i pojam posminog naprezanja. Prvi je poeo prouavanje djelovanje dinamikog optereenja.
53
L. Navier (1785-1836) izdaje 1862. prvi udbenik o otpornosti materijala. Za razliku od ostalih istraivaa, koji su traili optereenje koje dovodi do ruenja konstrukcije, on je traio optereenje do kojeg se konstrukcija ponaa potpuno elastino bez najave trajnih deformacija. Prvi je formulirao ope jednadbe ravnotee.
A. L. Cauchy (1789-1857) uvodi pojam glavnih naprezanja i glavnih deformacija te dokazuje zakon o uzajamnosti posminih naprezanja.
54
Ostali istraivai su:
Poisson (koeficijent ),
Lame (koeficijenti i ),
Mohr (krunice naprezanja),
Saint-Venant (teorija plastinosti),
Huber, Mises, Hencky (HMH teorija loma),
Rankin, Maxwell, Clapeyron, Castiglian, Betti,
Prandtl, Timoenko, Mushelvilia, Ostrogradski i
drugi.