Embed Size (px)
Citation preview
Otto-von-Guericke-Universit�at Magdeburg
Fakult�at f�ur Mathematik
Institut f�ur Mathematische Stochastik
Statistik II
f�ur wirtschaftswissenschaftliche
Studieng�ange
(Vorlesungsmanuskript und �Ubungsaufgaben)
von
apl.Prof. Dr. Waltraud Kahle
c Alle Rechte bei der Autorin W. Kahle
Vorwort
Mathematische Methoden und Verfahren der Statistik gewinnen in der Wirtschafts-
wissenschaft zunehmend an Bedeutung. Aus diesem Grunde ist das Fach"Induktive
Statistik\ ein wichtiger Bestandteil des Grundstudiums f�ur wirtschaftswissenschaftliche
Studieng�ange.
Erfahrungsgem�a� f�allt vielen Studierenden das Verst�andnis des mathematischen Hinter-
grundes der statistischen Verfahren nicht leicht. Als kleine Hilfestellung f�ur die H�orer
meiner Vorlesung gebe ich das Vorlesungsskript in der vorliegenden Form heraus. Es
enth�alt alle wichtigen Begri�e, Aussagen und Verfahren. Damit soll die Vorlesung vom
mechanischen Mitschreiben entlastet werden und es sollen Freir�aume zum Mitdenken
und Verstehen gescha�en werden. Nat�urlich kann dieses Vorlesungsskript den Besuch
der Vorlesung nicht ersetzen. In der Vorlesung werden die Begri�e und Aussagen er-
kl�art und es wird erl�autert, wie die statistischen Verfahren bei der L�osung von Aufgaben
angewendet werden k�onnen.
Das Manuskript enth�alt am Ende jedes Abschnittes eine Anzahl von �Ubungsaufgaben.
Hieraus ausgew�ahlte Aufgaben werden in den �Ubungen besprochen. Ich empfehle allen
Studierenden, auch die restlichen Aufgaben selbst�andig zu l�osen. Das ist einerseits eine
gute Vorbereitung auf die Klausuren und hilft andererseits, den eigenen Kenntnisstand
real einzusch�atzen und eventuelle Fragen in den �Ubungen zu kl�aren. Die mit einem *
gekennzeichten Aufgaben sind von einem h�oheren Schwierigkeitsgrad und dienen einem
vertiefenden Verst�andnis.
F�ur ein erg�anzendes Literaturstudium ist am Ende des Skriptes aus der F�ulle der
Literatur zur induktiven Statistik eine kleine Auswahl der gebr�auchlichsten Lehrb�ucher
angegeben, die meines Erachtens nach den Sto� sowohl verst�andlich als auch mathema-
tisch korrekt beschreiben. Ebenfalls am Ende des Skriptes �nden sich die f�ur das L�osen
der �Ubungsaufgaben notwendigen Tabellen.
Magdeburg, August 1999 W. Kahle
1
Inhaltsverzeichnis
1 Zufallsvorg�ange, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten 5
1.1 Zuf�allige Versuche (Zufallsvorg�ange) und Ereignisse . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Rechenregeln f�ur Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und unabh�angige Ereignisse . . . . . . . . 7
1.5 �Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Zufallsgr�o�en (Zufallsvariablen) und Wahrscheinlichkeitsverteilungen 15
2.1 Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskreter Zufallsvariablen . . . . . . . . . 15
2.3 Wahrscheinlichkeitsverteilungen stetiger Zufallsgr�o�en . . . . . . . . . . 16
2.4 Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Der Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.2 Standardabweichung und Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Die Ungleichung von Tschebyschev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 �Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen 23
3.1 Diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Die Null-Eins-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.2 Die Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.3 Die geometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.4 Die Poissonverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.5 Die hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Die Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Die Exponentialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.3 Die gleichm�a�ig stetige Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.4 Die logistische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.5 Die Paretoverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 �Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2
4 Approximationsm�oglichkeiten, das Gesetz der gro�en Zahlen und der zen-trale Grenzwertsatz 37
4.1 Approximationsm�oglichkeiten innerhalb der diskreten Verteilungen . . . . 37
4.2 Gesetz der gro�en Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Der zentrale Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 �Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 Mehrdimensionale Zufallsgr�o�en 42
5.1 Diskrete zweidimensionale Zufallsgr�o�en . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2 Stetige zweidimensionale Zufallsgr�o�en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3 Die Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4 Der Korrelationskoe�zient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.5 �Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 Funktionen von Zufallsgr�o�en und Grundverteilungen der mathematischenStatistik 49
6.1 Funktionen von Zufallsgr�o�en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2 Funktionen zuf�alliger Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3 Verteilungen der mathematischen Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3.1 Die �2{Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3.2 Die Student{Verteilung (t{Verteilung) . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.3.3 Die F{Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.4 �Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7 Stichproben 56
7.1 Einige Auswahltechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2 Geschichtete Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2.1 Die proportional geschichtete Stichprobe . . . . . . . . . . . . . . 58
7.2.2 Die optimal geschichtete Stichprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.2.3 Bemerkungen zum Schichtungse�ekt . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.3 Klumpenstichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.4 �Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8 Punktsch�atzungen 65
8.1 Maximum{Likelihood{Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.2 Momentenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.3 Methode der kleinsten Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.4 Bayessche Sch�atzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.4.1 Die a-posteriori-Verteilung bei diskreter a-priori Verteilung . . . . 69
8.4.2 Die a-posteriori-Verteilung bei stetiger a-priori Verteilung . . . . . 70
8.4.3 Der Sch�atzwert eines Subjektivisten . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.5 Eigenschaften von Sch�atzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.6 �Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3
9 Kon�denzsch�atzungen 769.1 Kon�denzsch�atzungen f�ur den Parameter � der Normalverteilung bei be-
kanntem �2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.2 Kon�denzsch�atzungen f�ur den Parameter � der Normalverteilung bei un-
bekanntem �2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.3 Kon�denzintervalle f�ur den Parameter �2 der Normalverteilung bei be-
kanntem � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.4 Kon�denzintervalle f�ur den Parameter �2 der Normalverteilung bei unbe-
kanntem � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.5 Kon�denzsch�atzungen f�ur eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p . . . . . 80
9.6 �Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
10 Testtheorie 8310.1 Aufgabenstellung und Begri�e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.2 Parametertests f�ur die Parameter der Normalverteilung . . . . . . . . . . 84
10.2.1 Der Gau�{Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.2.2 Der t{Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.2.3 Der �2-Test f�ur die Varianz bei bekanntem � . . . . . . . . . . . . 85
10.2.4 Der �2-Test f�ur die Varianz bei unbekanntem � . . . . . . . . . . 85
10.3 Tests zum Vergleich zweier Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.3.1 Der doppelte Gau�test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.3.2 Der doppelte t{Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.3.3 Der Test von Welch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.3.4 Der t{Di�erenzentest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
10.4 Der einfache Gau�{Test f�ur eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p . . . . 88
10.5 Der �2-Anpassungstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.6 Der �2-Unabh�angigkeitstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10.7 �Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11 L�osungen zu den �Ubungsaufgaben 98
Tabellen 114
Literatur 118
4
1 Zufallsvorg�ange, Ereignisse und
Wahrscheinlichkeiten
1.1 Zuf�allige Versuche (Zufallsvorg�ange) und
Ereignisse
De�nition 1.1 Ein zuf�alliger Versuch ist ein beliebig oft und gleichartig wiederhol-
barer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang
ungewi� ist. Die m�oglichen, nicht mehr zerlegbaren, sich gegenseitig ausschlie�enden
Ergebnisse hei�en Elementarereignisse !1; :::; !n:
De�nition 1.2 Die Menge aller Elementarereignisse eines zuf�alligen Versuches hei�t
Ereignisraum = (!1; :::; !n).
Wir betrachten im weiteren Ereignisse, die aus Elementarereignissen zusammengesetzt
sind und sich nicht gegenseitig ausschlie�en m�ussen.
F�ur die Ereignisse A1; A2; :::; B; C; ::: sowie f�ur die Beziehungen zwischen ihnen gibt es
Sprech- und Schreibweisen, die in der Tabelle 1.1 zusammengestellt sind.
1.2 Die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen
� Der klassische Wahrscheinlichkeitsbegri� (Laplace'sche De�nition der Wahr-
scheinlichkeit):
P (A) =Anzahl der f�ur A g�unstigen Ausg�ange
Anzahl der m�oglichen Ausg�ange
Dabei wird die"Gleichwahrscheinlichkeit\ der Versuchsausg�ange vorausgesetzt!
� Die von Mises'sche De�nition der Wahrscheinlichkeit (H�au�gkeitsinterpretation):
Bezeichnen wir mit hn(A) die absolute H�au�gkeit des Eintretens des Ereignisses
A in n Versuchen.
P (A) � hn(A)
nf�ur gro�e n.
5
Beschreibung des zugrundeliegen-
den Sachverhalts
Bezeichnung (Sprech-
weise)
Darstellung in
(Schreibweise als
Teilmenge)
1. A tritt sicher ein A ist sicheres Ereignis A =
2. A tritt sicher nicht ein A ist unm�ogliches
Ereignis
A = ;
3. wenn A eintritt, tritt B ein A ist Teilereignis von
B
A � B
4. genau dann, wenn A eintritt, tritt
B ein
A und B sind �aquiva-
lente Ereignisse
A = B
5. wenn A eintritt, tritt B nicht ein A und B sind disjunk-
te Ereignisse
A \ B = ;
6. genau dann, wenn A eintritt, tritt
B nicht ein
A und B sind komple-
ment�are Ereignisse
B = A
7. genau dann, wenn mindestens
ein Aj eintritt (auch: genau dann,
wenn A1 oder A2 oder ... ein-
tritt), tritt A ein
A ist Vereinigung der
Aj
A =Sj
Aj
8. genau dann, wenn alle Aj eintre-
ten (auch: genau dann, wenn A1
und A2 und ... eintreten), tritt A
ein
A ist Durchschnitt
der Aj
A =Tj
Aj
Tabelle 1.1: Zusammenstellung wichtiger Sprech- und Schreibweisen bei der Bildung
von Ereignissen
� Die geometrische Wahrscheinlichkeit:
P (A) =Fl�ache der f�ur A g�unstigen Ausg�ange
Fl�ache der m�oglichen Ausg�ange
� Axiome der Wahrscheinlichkeiten
Die Ereignisse aus (nicht notwendig Elementarereignisse) bilden einen Boolschen
Mengenring.
Jedem Ereignis A dieser Menge wird eine Ma�zahl P (A) zugeordnet, so da�
P (A) � 0;
P () = 1;
P (A1 [ A2 [ ::: [ An) = P (A1) + P (A2) + � � �+ P (An) f�ur Ai \ Aj = ;; i 6= j:
Im weiteren sehen wir vorerst die Wahrscheinlichkeiten als gegeben an und lernen Ge-
setzm�a�igkeiten der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennen. Sp�ater werden Methoden zur
Ermittlung des Wahrscheinlichkeitsma�es behandelt (Statistik).
6
'
&
$
%
���
�����
������
�����
��B
A1 A2 A3
A4: : : An
Abbildung 1.1: Eine Zerlegung
1.3 Rechenregeln f�ur Wahrscheinlichkeiten
1. P (A) � 1
2. P (;) = 0 (jedoch nicht umgekehrt!)
3. A � B ! P (A) � P (B)
4. P (A) = 1� P (A)
5. Additionssatz:
P (A1 [ A2 [ ::: [ An) = P (A1) + P (A1 \ A2) + :::+ P (A1 \ ::: \ An�1 \ An)
P (A1 [ A2) = P (A1) + P (A2)� P (A1 \ A2)
P (A1 [ A2) = P (A1) + P (A2) bei disjunkten Ereignissen
6. Zerlegung:
A1; A2; :::An bilden eine Zerlegung von , wenn sie paarweise disjunkt sind
(Ai \ Aj = ;; i 6= j) und wenn A1 [ A2::: [ An = (siehe Abbildung 1.1).
Dann gelten
B = (B \ A1) [ (B \ A2) [ ::: [ (B \ An) und
P (B) =
nXi=1
P (B \ Ai)
1.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und unabh�angige
Ereignisse
Oft ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses von Interesse, wenn man wei�, da� ein an-
deres Ereignis bereits eingetreten ist. Diese Wahrscheinlichkeit wird als bedingte Wahr-
scheinlichkeit von A unter der Bedingung B bezeichnet. Schreibweise: P (AjB)
7
F�ur die Wahrscheinlichkeit eines bedingten Ereignisses gilt
P (AjB) = P (A \B)P (B)
f�ur P (B) > 0 :
Hieraus erh�alt man f�ur den Durchschnitt von Ereignissen den Multiplikationssatz:
P (A \ B) = P (B) � P (AjB) = P (A) � P (BjA)
Formel �uber die totale Wahrscheinlichkeit:
A1; A2; :::An bilden eine Zerlegung von . Dann gilt
P (B) =
nXi=1
P (B \ Ai)
=
nXi=1
P (BjAi) � P (Ai)
Der Satz von Bayes:
A1; A2; :::An bilden eine Zerlegung von . Dann gilt
P (AijB) =P (Ai \B)P (B)
=P (BjAi) � P (Ai)nPi=1
P (BjAi) � P (Ai)
P (Ai) hei�t a-priori{Wissen und P (AijB) hei�t a-posteriori{Wissen.
Unabh�angigkeit von Ereignissen:
De�nition 1.3 Die Ereignisse A und B hei�en unabh�angig, wenn
P (AjB) = P (A) oder
P (AjB) = P (AjB):
Multiplikationssatz f�ur unabh�angige Ereignisse:
P (A \B) = P (A) � P (B) :
1.5 �Ubungsaufgaben
Aufgabe 1.1
Beweisen Sie, da� die Summe der Binomialkoe�zienten�n
i
�f�ur i = 0; : : : ; n genau 2n
betr�agt!
8
Aufgabe 1.2
Wieviele Diagonalen besitzt ein n-Eck?
Aufgabe 1.3
Eine M�unze wird f�unfmal geworfen. Es wird notiert, ob Zahl oder Wappen erscheint.
Wieviele verschiedene Versuchsprotokolle sind m�oglich?
Aufgabe 1.4
Wieviele M�oglichkeiten gibt es, bei"6 aus 49\ 4 richtige Zahlen getippt zu haben?
Aufgabe 1.5
Auf wieviele Arten kann man aus zehn Personen ein Vierer-Gremium bilden?
Aufgabe 1.6
Bei einer Feier sind 13 G�aste versammelt. Jeder prostet jedem zu und st�o�t mit dem
Weinglas an. Wie oft klingt es im Raum?
Aufgabe 1.7
Der Verursacher eines Verkehrsunfalls hat Fahrer ucht begangen. �Uber sein Kfz{
Kennzeichen kann ein Unfallzeuge folgende Angaben machen: Es bestand aus dem Orts-
kennzeichen MD, der Buchstabengruppe EU, EV oder EY sowie drei Zi�ern, von denen
die erste die 3 und unter denen noch mindestens eine 4 war.
Welche und wieviele Kfz{Kennzeichen sind m�oglich, wenn man dem Unfallzeugen Glau-
ben schenkt?
Aufgabe 1.8
Zwei Gl�uhlampen, eine rote und eine wei�e, k�onnen eingeschaltet werden. De�nieren Sie
sich geeignete Ereignisse und stellen Sie mit diesen die folgenden Ereignisse dar:
a) Alle Lampen brennen.
b) Keine Lampe brennt.
c) Nur die rote Lampe brennt.
d) Nur die wei�e Lampe brennt.
e) Genau eine Lampe brennt.
f) Mindestens eine Lampe brennt.
g) H�ochstens eine Lampe brennt.
9
Aufgabe 1.9
A sei das Ereignis, da� von 5 Werkst�ucken genau 3 normgerecht sind. B bedeute, da�
wenigstens 3 normgerecht sind. Was bedeuten dann die Ereignisse
A ; B ; A \ B ; A [ B ?
Aufgabe 1.10
Der Unfallzeuge aus Aufgabe 1.7 sieht alle aufgrund seiner Wahrnehmung (MD; EU, EV
oder EY; drei Zi�ern, beginnend mit 3, unter ihnen mindestens eine 4) noch m�oglichen
Kfz-Kennzeichen als gleichwahrscheinlich an. Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit, da�
a) die Buchstabengruppe EY vorliegt?
b) die ersten beiden Zi�ern 34 lauten?
c) die letzten beiden Zi�ern 47 lauten?
d) die letzte Zi�er 4 ist?
e) unter den drei Zi�ern die 0 vorkommt?
f) die letzte Zi�er gr�o�er ist als die beiden anderen?
Aufgabe 1.11
Zur Ausarbeitung eines Vortrages schreibt Herr H. an 3 aufeinanderfolgenden Tagen
auf Klarsichtfolien. Dazu nimmt er jeden Morgen aus einer Schublade, in der 5 auf den
ersten Blick gleich aussehende schwarze Folienschreiber liegen, zuf�allig einen heraus, den
er den ganzen Tag benutzt und
a) am Abend wieder zu den anderen zur�ucklegt,
b) am Abend nicht wieder zur�ucklegt.
Am 4. Tag entdeckt Herr H. bei der Durchsicht des Geschriebenen einige Fehler, die
er ausbessern m�ochte, indem er die entsprechenden Stellen abw�ascht und neu schreibt.
Nun waren von den 5 Stiften nur 2 abwaschbar. Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit der
Ereignisse
A : am ersten Tag wurde abwaschbar geschrieben
B : an keinem der drei Tage wurde ein abwaschbarer Stift verwendet,
und zwar sowohl im Fall a) als auch im Fall b)?
Aufgabe 1.12
Von 10 Pumpen seien 4 defekt. Zwei Pumpen werden zuf�allig ausgew�ahlt; f�ur folgende
Ereignisse seien sowohl im Falle mit Zur�ucklegen als auch im Falle ohne Zur�ucklegen die
Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen:
10
Ai : die i{te ausgew�ahlte Pumpe ist defekt,
B : mindestens eine der beiden ausgew�ahlten Pumpen ist defekt.
Aufgabe 1.13
In einer Serie von 12 Produkten sind 4 defekte. Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit daf�ur,
da� man bei zwei aufeinanderfolgenden Z�ugen 2 brauchbare Produkte erh�alt, wenn man
a) das zuerst gezogene Produkt beiseite legt,
b) das zuerst gezogene Produkt zur�ucklegt?
Aufgabe 1.14
Man zeige, da� beim W�urfelspiel mit 3 W�urfeln die Wahrscheinlichkeit f�ur die Augen-
summe 11 gr�o�er als die Wahrscheinlichkeit der Augensumme 12 ist!
Aufgabe 1.15
Ein inhomogener W�urfel ist so belegt, da� die Wahrscheinlichkeit daf�ur, da� eine der
Zahlen erscheint, proportional zu dieser ist. Man berechne die Wahrscheinlichkeit daf�ur,
da�
a) eine gerade Zahl,
b) eine Primzahl geworfen wird.
Aufgabe 1.16
Drei voneinander unabh�angige Relais arbeiten mit den Wahrscheinlichkeiten 0.9; 0.8 und
0.95 im Zeitintervall (0; t) ohne Ausfall. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten daf�ur,
da� in (0; t)
a) kein Relais ausf�allt,
b) genau ein Relais ausf�allt,
c) wenigstens ein Relais nicht ausf�allt!
Aufgabe 1.17
Ein Versuch gelingt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.2. Wieviele solcher Versuche mu�
man durchf�uhren, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 wenigstens einer gelingt?
Aufgabe 1.18 �
Man zeige: Sind die Ereignisse A und B unabh�angig, so auch
1. A und B
2. A und B
11
3. A und B:
Aufgabe 1.19
Ist es wahrscheinlicher, bei vier W�urfen mit einem W�urfel mindestens eine Sechs zu
werfen oder bei 24 W�urfen mit je zwei W�urfeln mindestens eine Doppel{Sechs?
Aufgabe 1.20
Zwei Personen A und B gehen das folgende Spiel ein: Eine M�unze wird wiederholt
geworfen; wenn bei einem Wurf"Wappen\ erscheint, erh�alt A einen Punkt, sonst B.
Wer zuerst f�unf Punkte erzielt, hat gewonnen und erh�alt den Einsatz (den A und B je
zur H�alfte eingesetzt haben). Nach sieben W�urfen hat A vier Punkte und B drei. Das
Spiel mu� abgebrochen werden. Wie lautet die gerechte Aufteilung des Einsatzes, wenn
man unter"gerecht\ eine Aufteilung im Verh�altnis der Gewinnchancen versteht?
Aufgabe 1.21
Wieviele W�urfe mit je zwei W�urfel braucht man mindestens, um mit einer Wahrschein-
lichkeit von mehr als 50% mindestens eine Doppel-Sechs zu erzielen?
Aufgabe 1.22
Einem Urlauber ist von seinem Ferienort bekannt, da� auf einen Tag ohne Regen mit
Wahrscheinlichkeit 0.8 wieder ein niederschlagsfreier Tag und auf einen Tag mit Regen
mit Wahrscheinlichkeit 0.6 wieder ein Tag mit Niederschlag folgt. Er ist an einem Tag
ohne Regen angekommen und m�ochte drei Tage sp�ater eine Tour unternehmen. Wie gro�
ist die Wahrscheinlichkeit, da� er dazu einen Tag ohne Niederschlag erwischt?
Aufgabe 1.23
Von drei Urnen U1; U2 und U3 wird eine zuf�allig ausgew�ahlt; jede Urne hat die gleiche
Wahrscheinlichkeit, gew�ahlt zu werden. Die Urnen enthalten nur schwarze und wei�e
Kugeln, U1: 7 schwarze und 3 wei�e, U2: 5 schwarze und 5 wei�e, U3: 2 schwarze und 8
wei�e. Aus der gew�ahlten Urne wird anschlie�end eine Kugel zuf�allig gezogen.
1. Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit, dabei eine schwarze Kugel zu ziehen?
2. Es wurde eine schwarze Kugel gezogen: Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit, da�
sie aus Urne U1 (bzw. U2 bzw. U3) stammt?
Aufgabe 1.24
Ein Labortest zur Erkennung einer Krankheit K, an der 5% einer bestimmten Bev�olke-
rung leiden, besitze die folgende Wirkungsweise: Hat eine Person die Krankheit K, so
zeigt der Test diese mit Wahrscheinlichkeit 0.96 auch an; hat eine Person die Krank-
heit K nicht, so zeigt der Test K immerhin noch mit Wahrscheinlichkeit 0.16 an. Man
berechne die Wahrscheinlichkeit daf�ur, da� eine zuf�allig aus der Bev�olkerung gew�ahlte
Person
12
1. an der Krankheit K leidet, obwohl der Test"nicht K\ indizierte
2. an der Krankheit K nicht leidet, obwohl der Test K indizierte.
Aufgabe 1.25
Die Wahrscheinlichkeit daf�ur, da� in einem gewissen Werk ein Erzeugnis der Norm
gen�ugt, sei gleich 0.90. Ein Pr�ufverfahren ist so angelegt, da� es f�ur ein der Norm
gen�ugendes St�uck das Resultat"normgerecht\ mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.95
anzeigt. F�ur ein St�uck, das der Norm nicht gen�ugt, zeigt das Pr�ufverfahren das Resultat
"normgerecht\ immerhin noch mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.10 an.
1. Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit daf�ur, da� ein unter diesem Pr�ufverfahren f�ur
normgerecht befundenes St�uck auch tats�achlich die Norm erf�ullt?
2. Wie gro� ist diese Wahrscheinlichkeit, wenn das Pr�ufverfahren f�ur dasselbe St�uck
zweimal unabh�angig voneinander das Ergebnis"normgerecht\ angezeigt hat?
Aufgabe 1.26 �
Bei einem W�urfelspiel mit zwei W�urfeln betrachten wir die Ereignisse
A : erster W�urfel zeigt eine gerade Zahl
B : zweiter W�urfel zeigt eine ungerade Zahl
C : die Summe der beiden Augenzahlen ist gerade.
Man zeige, da� je zwei der drei Ereignisse voneinander unabh�angig, alle drei Ereignisse
aber voneinander abh�angig sind.
Aufgabe 1.27
Eine Firma stellt einen Konsumartikel auf drei Maschinen unterschiedlicher Kapazit�at
her.
Maschine M1 M2 M3
gelieferter Anteil der Gesamtproduktion 60% 25% 15%
Ausschu�wahrscheinlichkeit 0.09 0.12 0.04
Aus der Gesamtproduktion wird ein St�uck zuf�allig entnommen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dieses St�uck Ausschu�?
b) Das entnommene St�uck ist Ausschu�. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt es
von Mi i = 1; 2; 3?
13
Aufgabe 1.28 �
In einer Firma vollzieht sich die Herstellung eines bestimmten Produkts in zwei nach-
einander und unabh�angig voneinander ablaufenden Arbeitsg�angen. Nach seiner Fertig-
stellung wird jedes St�uck kontrolliert und gilt als Ausschu�, wenn bei seiner Fertigung
in (mindestens) einem der beiden Arbeitsg�ange ein Fehler passiert ist. Die Wahrschein-
lichkeit f�ur das Entstehen eines Ausschu�st�ucks betr�agt 8%; dabei geschieht im ersten
Arbeitsgang mit Wahrscheinlichkeit 1=24 ein Fehler. Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit
f�ur einen Fehler im zweiten Arbeitsgang?
14
2 Zufallsgr�o�en (Zufallsvariablen) und
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
2.1 Zufallsvariablen
De�nition 2.1 Eine Funktion X, die jedem Elementarereignis ! 2 eine reelle Zahl
X(!) zuordnet, hei�t Zufallsvariable oder Zufallsgr�o�e
X : ! ! X(!) 2 R :
Damit werden die Ergebnisse von Zufallsexperimenten durch reelle Zahlen ausgedr�uckt.
Bezeichnung der Zufallsgr�o�en: X; Y; Z;
Bezeichnung der m�oglichen Realisierungen: x; y; z:
De�nition 2.2 Eine Zufallsvariable, die
1. abz�ahlbar viele Werte annehmen kann, hei�t diskret.
2. �uberabz�ahlbar viele Werte annehmen kann, hei�t stetig.
Damit gilt bei Zufallsvariablen:
� Ereignisse werden durch reelle Zahlen beschrieben
� Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse werden den reellen Zahlen zugeordnet.
Die geordneten Werte zur Zufallsvariablen und die dazugeh�origen Wahrscheinlichkeiten
ergeben die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgr�o�e.
2.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskreter
Zufallsvariablen
Betrachten wir eine diskrete Zufallsgr�o�e X, die die Werte x1; x2; : : : mit den Wahr-
scheinlichkeiten P (X = xi) = pi = fX(xi) annehmen kann.
Die Werte fX(xi) = pi = P (X = xi) hei�en Einzelwahrscheinlichkeiten. fX(xi) wird
auch Wahrscheinlichkeitsfunktion genannt.
15
De�nition 2.3 Gegeben sei eine diskrete Zufallsgr�o�e X mit den Einzelwahrscheinlich-
keiten fX(xi) = pi = P (X = xi). Die Funktion
FX(x) := P (X � x) =Xi:xi�x
fX(xi) =Xi:xi�x
pi
hei�t Verteilungsfunktion.
2.3 Wahrscheinlichkeitsverteilungen stetiger
Zufallsgr�o�en
An die Stelle der Einzelwahrscheinlichkeiten (Wahrscheinlichkeitsfunktion) tritt die
Dichtefunktion.
De�nition 2.4 Die Dichtefunktion fX(x) einer stetigen Zufallsvariablen X ist eine
intervallweise stetige Funktion, f�ur die gilt
1Z�1
fX(x) dx = 1 und fX(x) � 0:
Sei fX(x) die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgr�o�e. Dann lassen sich die Wahr-
scheinlichkeiten folgenderma�en berechnen:
P (a < X � b) =
bZa
fX(x) dx
wichtige Eigenschaft:
P (X = x0) = 0
De�nition 2.5 Gegeben sei eine stetige Zufallsgr�o�e X mit fX(x). Die Funktion
FX(x) = P (X � x) =
xZ�1
fX(t) dt
hei�t Verteilungsfunktion der Zufallsgr�o�e X.
Mittels der Verteilungsfunktion lassen sich die Wahrscheinlichkeiten folgenderma�en be-
rechnen:
P (a � x � b) = FX(b)� FX(a):
16
2.4 Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
2.4.1 Der Erwartungswert
De�nition 2.6 Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X ist de�niert als
E(X) =Xi
xifX(xi) =Xi
xipi f�ur diskrete Zufallsgr�o�en X,
E(X) =
1Z�1
xfX(x) dx f�ur stetige Zufallsgr�o�en X.
Bemerkung 2.1 Der Erwartungswert einer Funktion g(X) wird folgenderma�en be-
rechnet:
E(g(X)) =Xi
g(xi)pi f�ur diskrete Zufallsgr�o�en X,
E(g(X)) =
1Z�1
g(x)f(x) dx f�ur stetige Zufallsgr�o�en X.
(vgl. auch Abschnitt 6.1)
2.4.2 Standardabweichung und Varianz
De�nition 2.7 Die Varianz einer Zufallsgr�o�e X ist de�niert als
V ar(X) = D2(X) = E[(X � E(X))2] =
Xi
(xi � E(X))2fX(xi) = E(X2)� (E(X))2
f�ur diskrete und
V ar(X) = D2(X) = E[(X � E(X))2] =
1Z�1
(x� E(X))2fX(x) dx = E(X2)� (E(X))2
f�ur stetige Zufallsgr�o�en.
H�au�g werden der Erwartungswert mit dem Symbol � und die Varianz mit dem Symbol
�2 bezeichnet.
De�nition 2.8 Die Quadratwurzel aus der Varianz hei�t Standardabweichung
�x =pV ar(X):
De�nition 2.9 Ist X eine beliebige Zufallsgr�o�e, so bezeichnen wir
mk = E(Xk) bzw. �k = E((X � �)k)
als das gew�ohnliche bzw. zentrale Moment k{ter Ordnung.
17
Als ein Ma� f�ur die Unsymmetrie einer Verteilung dient das sogenannte Schiefema�
=E[(X � �)3]
�3;
dabei ist X eine Zufallsvariable mit E(X) = � und V ar(X) = �2.
De�nition 2.10 Ist X eine beliebige Zufallsgr�o�e und p eine beliebige reelle Zahl (0 <
p < 1), so hei�t eine Zahl qp mit den Eigenschaften
P (X < qp) � p und P (X > qp) � 1� p
Quantil der Ordnung p. Das Quantil der Ordnung 0:5 wird als Median bezeichnet.
2.5 Die Ungleichung von Tschebyschev
Diese Ungleichung dient dazu, die Abweichungen einer Zufallsgr�o�e von ihrem Erwar-
tungswert abzusch�atzen:
P (jx� �j � c�) � 1
c2bzw. P (jx� �j � c) � �
2
c2:
2.6 �Ubungsaufgaben
Aufgabe 2.1
F�ur einen Betrieb werden 3 Bohrmaschinen gekauft. Diese haben unterschiedliche Qua-
lit�atseigenschaften. Die Wahrscheinlichkeiten daf�ur, da� diese l�anger als 5 000 Stunden
ausfallfrei arbeiten, betragen jeweils 0.8; 0.7; 0.6 . Es ist die Zufallsgr�o�e X :"Anzahl
der Maschinen, die l�anger als 5 000 h arbeiten\ zu untersuchen.
a) Welche Werte kann die Zufallsgr�o�e X annehmen?
b) Bestimmen Sie ihre Verteilungstabelle und deren graphische Darstellung!
Aufgabe 2.2
Die Korrektur einer Klausur haben sich zwei Lehrpersonen so aufgeteilt, da� L1 bei je-
dem abgegebenen Exemplar die beiden ersten und L2 die restlichen Aufgaben korrigiert.
Die in Minuten gemessenen Korrekturdauern X von L1 und Y von L2 bei einem zuf�allig
herausgegri�enen Klausurexemplar seinen Zufallsvariablen, f�ur die folgende Wahrschein-
lichkeiten bekannt seien:
Bereich B [0; 10] (10; 20] (20;1)
P (X 2 B) 1/3 1/3 1/3
P (Y 2 B) 1/4 1/2 1/4
18
a) X und Y werden als unabh�angig angesehen. Wie gro� ist dann die Wahrschein-
lichkeit, da� f�ur ein zuf�allig ausgew�ahltes Exemplar
{ jeder der beiden h�ochstens 10 min bzw. h�ochstens 20 min braucht?
{ L1 h�ochstens 10 min und L2 �uber 20 min ben�otigt?
b) Sind X und Y unabh�angig, wenn die Wahrscheinlichkeit, da� L2 mit der Korrektur
eines Exemplars l�anger als 20 min besch�aftigt ist, falls f�ur dieses Exemplar bereits
L1 �uber 20 min gebraucht hat, 1/2 betr�agt?
Aufgabe 2.3
Vier in Reihe geschaltete gleichartige elektrische Ger�ate liegen still, weil durch einen
Defekt bei (genau) einem von ihnen die Stromzufuhr unterbrochen wurde. Durch ei-
ne Einzel�uberpr�ufung eines Ger�ates kann eindeutig festgestellt werden, ob es defekt ist
oder nicht. Sei X die Anzahl der Ger�ate, die einer derartigen Einzel�uberpr�ufung unter-
zogen werden m�ussen (ohne Zur�ucklegen), bis feststeht, bei welchem der vier der Defekt
vorliegt. Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von X unter der Voraus-
setzung, da� jedes der Ger�ate mit gleicher Wahrscheinlichkeit f�ur den Defekt in Frage
kommt.
Aufgabe 2.4
Gegeben ist eine diskrete Zufallsgr�o�e X mit folgender Verteilungstabelle:
xi 1 2 4 5 7
pi 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1.
Stellen Sie die Einzelwahrscheinlichkeiten und die zugeh�orige Verteilungsfunktion gra-
phisch dar. Ermitteln Sie ferner den Erwartungswert und die Varianz von X und be-
rechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten daf�ur, da� X einen Wert aus den Intervallen
a) (-1, 4)
b) [ 2, 6]
annimmt.
Aufgabe 2.5
Bei der Abnahmekontrolle wird aus einer Serie zuf�allig eine Stichprobe entnommen und
gepr�uft. Die Serie besteht aus 10 Teilen und enthalte 2 Ausschu�teile. Berechnen und
skizzieren Sie die Einzelwahrscheinlichkeiten und die Verteilungsfunktion der Zufalls-
gr�o�e X :"Anzahl der defekten Teile in der Stichprobe\, wenn aus der Serie 2 Teile
a) ohne Zur�ucklegen
b) mit Zur�ucklegen
19
entnommen werden.
Aufgabe 2.6
Die Dichtefunktion fX(x) der stetigen Zufallsgr�o�e X lautet:
fX(x) =
8>><>>:0 f�ur x� 0
0:25 f�ur 0<x� 2
0:5 f�ur 2<x� 3
0 f�ur 3<x
Berechnen Sie die Verteilungsfunktion FX(t).
Aufgabe 2.7
Die Verteilung der stetigen Zufallsgr�o�e X sei durch die Verteilungsfunktion
FX(t) =
8<:0 f�ur t� 2
a � t� 1 f�ur 2<t� 4
1 f�ur 4<t
gegeben. Bestimmen Sie
a) die Dichtefunktion der Zufallsgr�o�e X,
b) die Konstante a,
c) die Wahrscheinlichkeit daf�ur, da� X Werte kleiner als 0.2 annimmt,
d) die Wahrscheinlichkeit daf�ur, da� X Werte gr�o�er als 3 annimmt,
e) die Wahrscheinlichkeit daf�ur, da� X Werte zwischen 2.5 und 3 annimmt.
Aufgabe 2.8
Gegeben sei die Dichtefunktion
fX(x) =
(0 f�ur x � 13x4 f�ur x > 1
:
Berechnen Sie FX(t); E(X); D2(X) und P (X � 2)! Skizzieren Sie fX(x) und FX(t).
Aufgabe 2.9
Eine Zufallsgr�o�e X besitze folgende Verteilungsfunktion
FX(t) =
8>>><>>>:0 f�ur t��13 t
4+3
4f�ur �1< t� 1
3
1 f�ur1
3< t
Bestimmen Sie fX(x) und E(X)!
20
Aufgabe 2.10
X sei eine diskrete Zufallsgr�o�e mit dem Wertebereich fx1; x2g; (x1 < x2). Bestimmen
Sie f�ur den Fall x1 = 1; P (X = 1) = 0:6 undD2(X) = 0:24
a) die Verteilungstabelle von X,
b) P (2 � X � 10).
c) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion FX(t)!
Aufgabe 2.11
In einem Beh�alter liegen 4 Kondensatoren. Jeder einzelne ist mit einer Wahrscheinlichkeit
von 0.2 fehlerhaft. Diese Kondensatoren werden der Reihe nach gepr�uft. Die Pr�ufung
wird abgebrochen, wenn der erste fehlerfreie Kondensator gefunden wird.
X sei die zuf�allige Anzahl der gepr�uften Kondensatoren.
a) Ermitteln Sie die Verteilungstabelle von X !
b) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz!
c) Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit daf�ur, da� h�ochstens 2 Kondensatoren gepr�uft
werden?
Aufgabe 2.12
Zwei Personen spielen folgendes Gl�ucksspiel:
Der Spieler s1 leistet einen bestimmten Einsatz, w�urfelt und erh�alt vom Spieler s2 :
10 Pf beim W�urfeln einer 1 oder 2
20 Pf beim W�urfeln einer 3 oder 4
40 Pf beim W�urfeln einer 5
80 Pf beim W�urfeln einer 6 :
Welche durchschnittliche Einnahme pro Spiel kann der Spieler s1 erwarten?
Aufgabe 2.13
Es sei FX die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgr�o�e X mit
FX(t) = a+ b arctan(t) (�1 < t <1)
a) Man bestimme die Konstanten a und b.
b) Wie lautet die Dichtefunktion von X?
Aufgabe 2.14
Ein Lebensmittelh�andler bezieht w�ochentlich von einer Molkerei Sahnejoghurt in Palet-
ten zu einem Preis von DM 2:50 . Er verkauft diesen Joghurt, dessen Haltbarkeit bei
einer Woche liegt, palettenweise zu 10 DM. Bestimmen Sie die auf Dauer gewinnopti-
male Einkaufspolitik des H�andlers, wenn die Anzahl der pro Woche verkauften Paletten
X die folgende Wahrscheinlichkeitstabelle hat:
21
X = j 0 1 2 3 4 5 6
P (X = j) 0,02 0,08 0,10 0,18 0,34 0,18 0,10
Aufgabe 2.15
Eine (diskrete) Zufallsvariable X besitzt eine diskrete Gleichverteilung mit dem Tr�ager
D = fx1; : : : ; xng, wenn f�ur alle j = 1; : : : ; n gilt:
P (X = xj) =1
n:
Beispiel: X : Augenzahl beim Werfen eines symmetrischen W�urfels, D = f1; � � � ; 6g.Man bestimme f�ur dieses Beispiel E(X) und V ar(X).
Aufgabe 2.16
Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X mit der Dichte
fX(x) =
�2(1� x) f�ur 0 � x � 1
0 sonst
a) Zeichnen Sie fX(x) und zeigen Sie, da� die Fl�ache unter der Dichte den Wert 1
hat.
b) Berechnen und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion FX(t).
c) Bestimmen Sie den Median, das 0.25{ und das 0.75{Quantil.
d) Berechnen Sie E(X) und V ar(X).
Aufgabe 2.17 �
Man zeige: Der Erwartungswert einer um den Punkt c symmetrischen Verteilung ist
gleich c.
Aufgabe 2.18
Von einer Zufallsvariablen X sind nur bekannt: E(X) = 10 und V ar(X) = 1. Sie sollen
eine Prognose aufstellen in der Form"X wird einen Wert zwischen a und b annehmen\,
die mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.95 zutri�t. Geben Sie ein dazugeh�ori-
ges Prognoseintervall (a; b) mit dem Mittelpunkt 10 an.
Aufgabe 2.19 �
Geben Sie ein Beispiel an, f�ur das in der Tschebyschevschen Ungleichung das Gleich-
heitszeichen steht. Dies bedeutet, da� die Ungleichung im allgemeinen nicht versch�arft
werden kann.
22
3 Spezielle
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
3.1 Diskrete Verteilungen
3.1.1 Die Null-Eins-Verteilung
Zufallsgr�o�en mit einer Null{Eins{Verteilung benutzen wir zur Beschreibung zuf�alliger
Versuche, bei denen uns nur zwei Versuchsausg�ange { das Eintreten eines zuf�alligen
Ereignisses A oder des komplement�aren Ereignisses A { interessieren.
Zur zahlenm�a�igen Beschreibung eines derartigen Versuchsschemas benutzen wir die
diskrete Zufallsgr�o�e
X :=
�1; falls A eintritt
0; falls A eintritt
mit den Werten 0 und 1.
De�nition 3.1 Eine Zufallsgr�o�e X unterliegt einer Null{Eins{Verteilung mit dem
Parameter p, wenn sie die Einzelwahrscheinlichkeiten
P (X = 1) = p und P (X = 0) = 1� p:
besitzt.
Anstelle der beiden Werte 0 und 1, die in der Regel aus Zweckm�a�igkeitsgr�unden bevor-
zugt werden, k�onnten zwei beliebige reelle Zahlen gew�ahlt werden. In diesem Sinne ist
die Null-Eins-Verteilung Spezialfall der sogenannten Zweipunktverteilung.
Als wichtigste Kennwerte berechnen wir Erwartungswert und Varianz:
E(X) = 0 � (1� p) + 1 � p = p; (3.1)
V ar(X) = E(X2)� [E(X)]2 = p� p2 = p(1� p): (3.2)
23
3.1.2 Die Binomialverteilung
Ausgangspunkt: Bernoullisches Versuchsschema:
Wir f�uhren n (n = 1; 2; : : : ) voneinander unabh�angige Versuche durch. In jedem dieser
Versuche interessieren uns nur zwei Versuchsausg�ange (das Eintreten eines zuf�alligen
Ereignisses A bzw. des komplement�aren Ereignisses A).
Wir setzen voraus, da� die Wahrscheinlichkeit von A in jedem Versuch die gleiche ist:
P (A) = p (0 < p < 1).
Ausgehend von diesem Versuchsschema untersuchen wir die Zufallsgr�o�e X : zuf�allige
Anzahl der Versuche (von insgesamt n Versuchen), in denen A eintritt, d.h. die abso-
lute H�au�gkeit des Ereignisses A in n unabh�angigen Wiederholungen eines zuf�alligen
Versuchs.
X besitzt die Werte 0; 1; : : : ; n. F�ur n = 1 unterliegt X einer Null{Eins{Verteilung. F�ur
beliebige n (n = 1; 2; : : : ) und p (0 < p < 1) erhalten wir die Einzelwahrscheinlichkeiten
P (X = k) =
�n
k
�pk(1� p)n�k (k = 0; 1; : : : ; n):
De�nition 3.2 Eine diskrete Zufallsgr�o�e X unterliegt einer Binomialverteilungmit
den Parametern n und p, falls sie die Einzelwahrscheinlichkeiten
P (X = k) =
�n
k
�pk(1� p)n�k (k = 0; 1; � � � ; n)
besitzt. Schreibweise: X � Bi(n; p):
F�ur Erwartungswert und Varianz erhalten wir
E(X) =
nXk=0
k
�n
k
�pk(1� p)n�k
= np
V ar(X) = E(X2)� [E(X)]2
=
nXk=0
k2
�n
k
�pk(1� p)n�k � n
2p2
= np(1� p) :
3.1.3 Die geometrische Verteilung
Verteilung der Anzahl der Versuche bis zum ersten Mi�erfolg im unendlichen Bernoulli{
Versuchsschema.
De�nition 3.3 Eine Zufallsgr�o�e X unterliegt einer geometrischen Verteilung mit
dem Parameter 0 < p < 1, wenn sie die Einzelwahrscheinlichkeiten
P (X = k) = (1� p) pk�1 (k = 1; 2; : : : )
besitzt. Schreibweise: X � Geo(p):
24
Erwartungswert und Varianz:
E(X) =1
1� p; V ar(X) =
p
(1� p)2:
3.1.4 Die Poissonverteilung
Manchmal wird die Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung
durch folgende Besonderheiten des der Binomialverteilung zugrunde liegenden Bernoul-
lischen Versuchsschemas erschwert:
� Die Anzahl n der unabh�angigen Versuche ist sehr gro�
� Die Wahrscheinlichkeit pn = P (A) des interessierenden Ereignisses A in jedem
einzelnen Versuch (bei einer Serie von n Versuchen) ist sehr klein
Es sei X : zuf�allige Anzahl der Versuche, in denen das Ereignis A eintritt.
Unter den Voraussetzungen
n!1; pn ! 0; npn ! � > 0
lassen sich f�ur X die Einzelwahrscheinlichkeiten
P (X = k) =�k
k!e�� (k = 0; 1; 2; : : : )
als Grenzwerte der Einzelwahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung herleiten.
De�nition 3.4 Eine diskrete Zufallsgr�o�e X unterliegt einer Poissonverteilung mit
dem Parameter � > 0, wenn sie die Einzelwahrscheinlichkeiten
P (X = k) =�k
k!e�� (k = 0; 1; 2; : : : )
besitzt. Schreibweise: X � Po(�):
F�ur Erwartungswert und Varianz erh�alt man:
E(X) =
1Xk=0
k�k
k!e��
= �
V ar(X) = E(X2)� (E(X))2
=
1Xk=0
k2�
2
k!e�� � �
2
= �
25
3.1.5 Die hypergeometrische Verteilung
In einer Urne be�nden sich M schwarze und N �M wei�e Kugeln. Ohne Zur�ucklegen
werden n Kugeln auf gut Gl�uck der Urne entnommen (Stichprobe). Zu untersuchen ist
die Zufallsgr�o�e X : zuf�allige Anzahl der dabei gezogenen schwarzen Kugeln.
Die Wahrscheinlichkeit des zuf�alligen Ereignisses fX = kg :"Genau k schwarze (und
n� k wei�e) Kugeln in der Stichprobe\ k�onnen wir nach der klassischen De�nition der
Wahrscheinlichkeit unter Benutzung von Ergebnissen der Kombinatorik bestimmen:
P (X = k) =
�M
k
��N�Mn�k
��N
n
� ;
k durchl�auft dabei alle ganzen Zahlen, die die folgenden Ungleichungen erf�ullen:
0 � k � n; k �M; n� k � N �M:
Anmerkung: Wenden wir das gleiche Versuchsschema mit Zur�ucklegen an, so erhalten
wir eine binomialverteilte Zufallsgr�o�e mit den Parametern n und p =M=N .
De�nition 3.5 Eine diskrete Zufallsgr�o�e X unterliegt einer hypergeometrischen
Verteilung, wenn ihre Einzelwahrscheinlichkeiten durch
P (X = k) =
�M
k
��N�Mn�k
��N
n
�gegeben sind. Schreibweise: X � H(n;M;N).
Erwartungswert und Varianz dieser Verteilung sind:
E(X) = nM
N; V ar(X) = n
M
N
�1� M
N
�N � n
N � 1:
3.2 Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
3.2.1 Die Normalverteilung
De�nition 3.6 Eine stetige Zufallsgr�o�e X mit der Dichtefunktion
fX(x) =1p2��2
exp
��(x� �)2
2�2
�hei�t normalverteilt mit den Parametern � (Erwartungswert) und �
2 (Varianz).
Schreibweise: X � N(�; �2) :
De�nition 3.7 Die Normalverteilung mit dem Erwartungswert 0 und der Varianz 1
hei�t Standardnormalverteilung.
26
Ist die Zufallsvariable X normalverteilt, so ist auch jede lineare Transformation
Y = aX + b ; a; b 2 R ;
normalverteilt.
Es gilt: Wenn X � N(�; �2), so Y � N(a�+ b; a2�2).
Unterliegt die Zufallsgr�o�e X einer N(�; �2){Verteilung, so ist
Z =1
�X � �
�=X � �
�
N(0; 1){verteilt (standardnormalverteilt).
F�ur eine N(�; �2)-verteilte Zufallsvariable X und standardnormalverteiltes Z gilt:
P (x1 � X � x2) = P (x1 � �
�� Z � x2 � �
�):
3.2.2 Die Exponentialverteilung
F�ur manche Anwendungen, insbesondere in der Warteschlangentheorie, spielt die Expo-
nentialverteilung eine wichtige Rolle.
De�nition 3.8 Eine stetige Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion:
fX(x) =
��e
��x f�ur x � 0;� > 0
0 sonst
und der Verteilungsfunktion:
FX(t) =
�1� e
��t f�ur t � 0; � > 0
0 sonst
hei�t exponentialverteilt mit dem Parameter �. Schreibweise: X � Ex(�).
Erwartungswert und Varianz der Exponentialverteilung:
E(X) =1
�und V ar(X) =
1
�2:
3.2.3 Die gleichm�a�ig stetige Verteilung
De�nition 3.9 Eine stetige Zufallsgr�o�e X mit der Dichtefunktion
fX(x) =
(1
b� af�ur a � x � b;
0 sonst
bezeichnen wir als gleichm�a�ig stetig auf [a; b] verteilt oder rechteckverteilt. Schreib-
weise: X � Gl(a; b).
27
Erwartungswert und Varianz der Rechteckverteilung:
E(X) =
+1Z�1
xfX(x) dx V ar(X) = E(X2)� (E(X))2
=
bZa
x1
b� adx =
bZa
x2 1
b� adx� (a+ b)2
4
=a+ b
2=
(b� a)2
12
3.2.4 Die logistische Verteilung
De�nition 3.10 Eine Zufallsgr�o�e X mit der Verteilungsdichte
fX(y) =�p3� e
�gy
�(1 + e�gy)2
mit y = x���; g = �p
3� 1:8138
bzw.
fX(x) =�p3
e��=
p3�(x��)=�
�(1 + e��=p3�(x��)=�)2
und der Verteilungsfunktion
FX(t) =1
1 + e�g t��
�
hei�t logistisch verteilt.
Erwartungswert und Varianz der logistischen Verteilung:
E(X) = � V ar(X) = �2
3.2.5 Die Paretoverteilung
De�nition 3.11 Eine Zufallsgr�o�e X mit der Verteilungsdichte
fX(x) =�
x0
�x0
x
��+1
; x > x0; �; x0 > 0
und der Verteilungsfunktion
FX(t) = 1��x0
t
��; t > x0; �; x0 > 0
hei�t pareto{verteilt.
28
Erwartungswert und Varianz der Paretoverteilung:
E(X) =�x0
�� 1; � > 1
V ar(X) =�x
20
�� 2� (�x0)
2
(�� 1)2
=�x
20
(�� 2)(�� 1)2; � > 2
3.3 �Ubungsaufgaben
Aufgabe 3.1
Durch Versuche ist in einem Betrieb festgestellt worden, da� 5% der Relais einer gro�en
Serie nicht funktionst�uchtig sind. Die Relais werden in Zehnerpackungen geliefert. Es
soll die Zufallsgr�o�e X :"Anzahl der nicht funktionst�uchtigen Relais in einer Packung\
untersucht werden. Bestimmen Sie:
a) die Wahrscheinlichkeit daf�ur, da� die Zahl der unbrauchbaren Relais genau 2 be-
tr�agt!
b) die Wahrscheinlichkeit daf�ur, da� ein Garantieversprechen des Betriebes nicht ein-
gehalten wird, wenn er garantiert, da� die Anzahl der unbrauchbaren Relais ma-
ximal 1 betr�agt!
c) den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsgr�o�e X.
d) Die Wahrscheinlichkeit, da� X einen Wert aus dem Intervall (1.5, 4.2) annimmt!
Aufgabe 3.2
Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit, mit 6 W�urfen eines W�urfels mindestens 3 Sechsen
zu erzielen?
Aufgabe 3.3 �
Man zeige: Besitzt X die Bi(n; p){ und Y die Bi(n; 1� p){Verteilung, so gilt
P (Y = y) = P (X = n� y):
Aufgrund dieser Beziehung gen�ugt es, die Binomialverteilung nur f�ur Parameterwerte
p � 0:5 zu vertafeln.
Aufgabe 3.4
Jedes Mitglied eines Ausschusses von 12 Personen geht mit Wahrscheinlichkeit 0.8 zur
n�achsten Sitzung. Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit, da� der Ausschu� beschlu�f�ahig
ist, wenn dazu mindestens die H�alfte der Mitglieder anwesend sein m�ussen?
29
Aufgabe 3.5
Berechnen und skizzieren Sie die Einzelwahrscheinlichkeiten (Wahrscheinlichkeitsfunk-
tion) der Bi(5; p){Verteilung f�ur p =1
3; p =
1
2und p =
2
3. Skizzieren Sie f�ur p =
1
2auch
die Verteilungsfunktion.
Aufgabe 3.6
Die monatliche Durchschnittstemperatur gelte als normal, wenn sie um h�ochstens ein
Grad vom langj�ahrigen Mittelwert abweicht. In einer bestimmten Stadt sei die Wahr-
scheinlichkeit, da� die monatliche Durchschnittstemperatur normal ist, in jedem Monat
gleich 0.9, und diesbez�uglich sei Unabh�angigkeit zwischen verschiedenen Monaten vor-
ausgesetzt. Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit, da� in den kommenden zwei Jahren in
weniger als 20 Monaten die Durchschnittstemperatur normal sei?
Aufgabe 3.7
Ein Versuch im Physikunterricht gelingt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.8. Wieviele
Versuche mu� die Physiklehrerin durchschnittlich durchf�uhren, um den Sch�ulern einen
erfolgreichen Versuch zu pr�asentieren? Dabei wird vorausgesetzt, da� die einzelnen Ver-
suche voneinander unabh�angig sind.
Aufgabe 3.8
Ein Mensch{�Arger{Dich{Nicht{Spieler kann sein Spiel nur starten, wenn er eine Sechs
w�urfelt. Dazu darf er in jeder Runde dreimal (mit einem W�urfel) w�urfeln. Wieviel Run-
den braucht er durchschnittlich zu einem Start?
Aufgabe 3.9
Die Zahl der Sch�aden an einer Turbine innerhalb eines Monats unterliege einer Poisson-
verteilung mit dem Parameter � = 3. Auf Grund von Rekonstruktionsma�nahmen ist es
gelungen, diesen Parameter auf 2 zu senken. Um wieviel ver�andern sich die Wahrschein-
lichkeiten daf�ur, da� innerhalb eines Monats
a) kein Schaden
b) h�ochstens 2 Sch�aden
c) mindestens 3 Sch�aden
auftreten? Die Kosten, die ein Schaden durchschnittlich verursacht, betragen 3 000 DM.
Nach wievielen Monaten hat sich ein Rekonstruktionsaufwand von 45 000 DM wieder
amortisiert?
Aufgabe 3.10
Eine Firma produziert Teile mit einem Ausschu�anteil p = 0:001 . Wie gro� ist die
Wahrscheinlichkeit daf�ur, da� eine Lieferung von 500 Teilen nicht mehr als 2 defekte
Teile enth�alt?
30
Aufgabe 3.11
An einer Tankstelle kommen zwischen 16.00 und 18.00 Uhr durchschnittlich 2.5 Fahrzeu-
ge pro Minute an. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit, da� in einer Minute w�ahrend
dieser Zeit
a) kein Fahrzeug,
b) genau zwei Fahrzeuge,
c) mehr als drei Fahrzeuge,
d) weniger als 6 Fahrzeuge eintre�en.
(Die Anzahl der ankommenden Fahrzeuge sei poissonverteilt.)
Aufgabe 3.12
Von den gleichartigen und unabh�angig voneinander laufenden Webst�uhlen einer Textil-
fabrik weisen"im Mittel\ vier pro Tag einen Defekt auf. Das Auftreten zweier Defekte
pro Tag und Webstuhl sei vernachl�assigbar. Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit, da� pro
Tag
a) mehr als 10 Defekte auftreten,
b) genau 4 Defekte auftreten?
Wie gro� ist die Standardabweichung der Anzahl der Defekte pro Tag?
Aufgabe 3.13
Eine Feuerwehrstation in einer Gro�stadt hat durchschnittlich pro Tag einen Einsatz.
Durch welches Verteilungsmodell l�a�t sich die Verteilung von X:"Anzahl der Eins�atze
an einem Tag\ darstellen? Bestimmen Sie damit P (X = 0); P (X � 1) und P (X � 3).
Aufgabe 3.14
Eine Maschine produziert Werkst�ucke, es sind erfahrungsgem�a� 4% ihrer Produktion
Ausschu�. Die Produktion verschiedener St�ucke sei bez�uglich der Frage"Ausschu� oder
nicht\ als unabh�angig anzusehen. Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit, da� von 100 in
einer Stunde produzierten St�ucken
a) genau 4,
b) mindestens 7,
c) h�ochstens 8
Ausschu� sind?
31
Aufgabe 3.15
Eine Sekret�arin macht durchschnittlich pro Seite zwei Tippfehler. Wie gro� ist die Wahr-
scheinlichkeit daf�ur, da� sich auf einer Seite
a) kein Tippfehler be�ndet,
b) genau zwei Tippfehler be�nden,
c) h�ochstens zwei Tippfehler be�nden?
Aufgabe 3.16
Eine Glasfabrik stellt Fensterglas her, in dem sich durchschnittlich ein Luftbl�aschen pro
m2 be�ndet. In einer Gro�serie von je 1 m2 gro�en Fensterscheiben gelten als
1. Wahl: Scheiben ohne Luftbl�aschen,
2. Wahl: Scheiben mit einem Luftbl�aschen,
3. Wahl: Scheiben mit zwei oder drei Luftbl�aschen,
Ausschu�: Scheiben mit mehr als drei Luftbl�aschen.
Wie gro� sind die Wahrscheinlichkeiten (Anteile in der Gro�serie) f�ur diese vier Qua-
lit�atsstufen?
Aufgabe 3.17 �
Berechnen Sie die Varianz einer Po(�)-verteilten Zufallsvariablen X. (Hinweis: Bestim-
men Sie zun�achst E (X(X � 1)).)
Aufgabe 3.18 �
An einer einsamen Stelle einer Landstra�e kommen im Durchschnitt pro Stunde 6 Autos
vorbei. Mit Y bezeichnen wir die Anzahl der Autos, die w�ahrend irgendeiner Stunde
vorbeifahren, mit X den zeitlichen Abstand zweier Autos in Minuten. Welche Verteilun-
gen kann man X und Y zuordnen? Wie gro� ist E(X)? Man bestimme P (Y � 3) und
P (X � 30).
Aufgabe 3.19
Aus zehn Personen, darunter f�unf M�anner und f�unf Frauen, wird ein Vierer-Gremium
ausgelost. Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit daf�ur, da�
a) h�ochstens zwei Frauen,
b) genauso viele Frauen wie M�anner
in das Gremium gelangen?
Aufgabe 3.20
F�ur eine Pr�ufung werden Leistungen in 10 Gebieten verlangt. Ein Kandidat bereitet
sich nur auf 5 Gebiete vor. Der Professor pr�uft nur in 3 willk�urlich herausgegri�enen
Gebieten. Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit daf�ur, da� der Kandidat in mindestens
zwei seiner vorbereiteten Gebiete befragt wird?
32
Aufgabe 3.21
Beim"Samstag-Lotto\ werde bei einem Spiel sechs Zahlen in einem Feld von 49 Zahlen
angekreuzt und sieben Kugeln (sechs"normale\, die siebente als
"Zusatzzahl\) aus einer
Urne mit 49 durchnumerierten Kugeln zuf�allig und ohne Zur�ucklegen gezogen. Man
berechne die Gewinnchancen f�ur
a) sechs"Richtige\,
b) f�unf"Richtige\ und Zusatzzahl richtig,
c) f�unf"Richtige\ und Zusatzzahl falsch,
d) vier"Richtige\,
e) h�ochstens zwei"Richtige\.
Aufgabe 3.22
Berechnen und skizzieren Sie f�ur N = 8; M = 5 und n = 4 die Einzelwahrscheinlichkei-
ten (Wahrscheinlichkeitsfunktion) der hypergeometrischen Verteilung.
Aufgabe 3.23
Ein H�andler will zu Silvester 25 Feuerwerksk�orper, die ihm aus fr�uheren Jahren �ubrigge-
blieben sind, loswerden. Er verspricht einem daran Interessierten, da� mindestens 60%
davon noch funktionsf�ahig sind. Dieser verlangt, 5 der 25 Feuerwerksk�orper sofort aus-
probieren zu d�urfen, und er ist bereit, die restlichen 20 dann zu kaufen, wenn mindestens
3 der 5 gepr�uften funktionieren. Der H�andler ist damit einverstanden. Wie gro� ist die
Wahrscheinlichkeit, da� das Gesch�aft zustande kommt, wenn tats�achlich
a) 60%,
b) 80%,
c) 20%
der 25 Feuerwerksk�orper noch funktionsf�ahig sind?
Aufgabe 3.24 �
In der Situation von Aufgabe 3.23 haben die ersten beiden gepr�uften Feuerwerksk�orper
nicht funktioniert. Berechnen Sie die durch dieses Ergebnis bedingte Wahrscheinlichkeit,
da�
a) der dritte, der ausprobiert wird, funktioniert
b) das Gesch�aft doch noch zustande kommt,
wenn tats�achlich 60% der angebotenen 25 Feuerwerksk�orper funktionsf�ahig waren?
33
Aufgabe 3.25 �
Man zeige: Eine H(n;M ;N){verteilte Zufallsvariable X ist darstellbar als X = X1 +
: : :+Xn, wobei jedes Xi die Null-Eins-Verteilung mit dem Parameter p =M=N besitzt,
die X1; : : : ; Xn aber nicht unabh�angig sind.
Aufgabe 3.26
Die Zufallsgr�o�e Y sei normalverteilt mit E(Y ) = 0 und V ar(Y ) = 1. Berechnen Sie
a) P (Y � 2:5)
b) P (Y < �1:5)c) P (1:2 � Y < 2:3)
d) P (�1:1 � Y < 3)!
Aufgabe 3.27
Der elektrische Widerstand eines Stromkreises (in k) wird durch eine normalverteilte
Zufallsgr�o�e X mit � = 150 und �2 = 4 beschrieben.
a) Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit daf�ur, da� der Widerstandswert zwischen 146
und 155 liegt?
b) Kann der Widerstandswert gr�o�er als 160 sein?
c) Wie gro� darf � sein, wenn mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.99 der Widerstands-
wert zwischen 147 und 153 liegen soll?
Aufgabe 3.28
Auf einer Maschine werden Einzelteile hergestellt, deren L�ange eine normalverteilte Zu-
fallsgr�o�e mit � = 25 cm und � = 0.05 cm ist.
a) Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit daf�ur, da� die L�ange eines Einzelteils zwischen
24.86 cm und 25.14 cm liegt?
b) Wieviel Prozent der gefertigten Teile sind l�anger als 25.1 cm?
c) Bestimmen Sie c derart, da� P (jX � �j < c) = 0:92 gilt!
Aufgabe 3.29
Ein Drehautomat ist so eingestellt, da� der mittlere Durchmesser des hergestellten
Werkst�ucks bei 25.00 mm liegt. Aus langer Erfahrung ist die Standardabweichung
� = 0:02 mm bekannt. Die Werkst�ucke sind bei einer Abweichung von 0.06 mm vom
Sollwert gerade noch brauchbar.
a) Mit welcher Mindestwahrscheinlichkeit ist ein Werkst�uck noch brauchbar, wenn
die Art der Verteilung der Zufallsgr�o�e X :"Durchmesser\ unbekannt ist?
34
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Werkst�uck brauchbar, wenn der Durchmes-
ser als normalverteilt angesehen werden kann?
Aufgabe 3.30
X sei eine N(10; 25){verteilte Zufallsvariable. Man bestimme die Wahrscheinlichkeiten
P (0 � X � 11), P (8 � X � 12) und P (X � 15).
Aufgabe 3.31
Eine Maschine f�ullt Zucker in T�uten ab, die ein Gewicht von 1 000 g haben sollen. Das
tats�achliche Gewicht X (in g) l�a�t sich au�assen als eine N(�; �2){verteilte Zufallsva-
riable.
a) Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit daf�ur, da� das Sollgewicht um mehr als 15 g
unterschritten wird, wenn
(i) � = 1 000 und �2 = 100
(ii) � = 1 050 und �2 = 121 ist?
b) Wie gro� darf bei � = 1 000 die Standardabweichung � h�ochstens sein, damit
P (950 � X � 1 050) � 0:98 gilt?
c) Gegeben sei �2 = 100 (unabh�angig von �). Auf welchen �{Wert darf die Maschine
h�ochstens eingestellt werden, damit P (X � 1 020) � 0:05 gilt?
Aufgabe 3.32
Eine Maschine produziert Stahlstifte mit einer Soll-L�ange von 35 mm. Da zufallsabh�angi-
ge Ungenauigkeiten in der Herstellung nicht ausgeschlossen werden k�onnen, l�a�t sich
die L�ange X eines produzierten Stahlstifts als Zufallsvariable ansehen, und zwar sei X
gem�a� N(35; 0:25) verteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, da� ein zuf�allig aus
der laufenden Produktion entnommener Stift
a) h�ochstens 35.4 mm lang ist?
b) mindestens 34.6 mm lang ist?
c) zwischen 34.5 mm und 35.2 mm mi�t?
d) um maximal 0.7 mm von der Soll�ange abweicht?
Aufgabe 3.33
Ein Unternehmer, der bisher K�uchenherde eines Typs A hergestellt hat, steht vor dem
Problem, ob er die Produktion auf einen verbesserten Typ B umstellen soll (dazu w�are
aus Kapazit�atsgr�unden die Einstellung der Produktion vom Typ A n�otig). Der Absatz X
von Typ A innerhalb der n�achsten 3 Jahre kann nach Ansicht der Marketingabteilung als
(n�aherungsweise) normalverteilt mit � = 15 000 angesehen werden; bei Typ B dagegen
wird f�ur denselben Zeitraum jede verkaufte St�uckzahl zwischen 12 000 und 24 000 f�ur
gleichwahrscheinlich gehalten, was (hinreichend genau) durch eine in diesem Intervall
gleichverteilte Zufallsvariable Y beschrieben werden kann.
35
a) F�ur welchen der beiden Typen ist im fraglichen Zeitraum ein h�oherer Absatz zu
erwarten?
b) Mit folgenden Kosten und Verkaufspreisen werde kalkuliert:
Herstellungskosten pro St�uck St�uckpreis
Typ A DM 250 DM 350
Typ B DM 290 f�ur die ersten 20 000 St�uck DM 380
DM 260 f�ur jedes weitere St�uck
Die Umstellung von Typ A auf Typ B h�atte Fixkosten von DM 100 000 zur Folge.
Skizzieren Sie den Gewinn bei Typ B in Abh�angigkeit von der St�uckzahl. Welcher
der beiden Typen l�a�t f�ur die kommenden 3 Jahre den gr�o�eren Gewinn erwarten?
Aufgabe 3.34
In manchen F�allen kann man annehmen, da� die Suchdauer X nach einem verlorenen
Gegenstand exponentialverteilt ist (mit einem Parameter �). Wie lautet die Vorausset-
zung f�ur diese Annahme? Wie gro� ist bei einer durchschnittlichen Suchdauer von 5
Minuten die Wahrscheinlichkeit, l�anger als 10 Minuten suchen zu m�ussen?
Aufgabe 3.35
Die Lebensdauer X in Zeiteinheiten eines Ger�atetyps kann durch die Dichtefunktion
fX(x) =
(0:06x2 e�0:02x3 f�ur x � 0
0 f�ur x < 0
beschrieben werden.
a) Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit daf�ur, da� ein solches Ger�at mindestens 2 Zeit-
einheiten ausfallfrei arbeitet?
b) Welche Zeit �uberleben 90% der Erzeugnisse?
c) Nach welcher Zeit sind 90% der Erzeugnisse ausgefallen?
36
4 Approximationsm�oglichkeiten, das
Gesetz der gro�en Zahlen und der
zentrale Grenzwertsatz
4.1 Approximationsm�oglichkeiten innerhalb der
diskreten Verteilungen
1. Hypergeometrische Verteilung:
P (X = m) =
�M
m
��N�mn�m
��N
n
�(a) f�ur 0:1 < M
N< 0:9 ; n > 10 ; n
N< 0:05
! Binomialverteilung mit n; p = M
N
(b) M
N� 0:1 oder � 0:9 ; n > 30 ; n
N< 0:05
! Poissonverteilung mit � = nM
Nf�ur M
N� 0:1
(c) 0:1 < M
N< 0:9 ; n > 30
! Normalverteilung mit � = nM
N; � =
qnM
N
�1� M
N
�N�nN�1
(siehe Zentraler Grenzwertsatz)
2. Binomialverteilung
(a) np � 10 und n � 1 500 p
! Poissonverteilung � = np
(b) np(1� p) > 9
! Normalverteilung mit � = np; � =pnp(1� p)
(siehe Zentraler Grenzwertsatz)
3. geometrische Verteilung p � 0:9 :
! Exponentialverteilung mit � = p
37
4.2 Gesetz der gro�en Zahlen
Satz 4.1 (Gesetz der gro�en Zahlen von Bernoulli) Ist fXigi=1;2;::: eine Folge un-
abh�angiger identisch verteilter Zufallsgr�o�en mit
P (Xi = 1) = p und P (Xi = 0) = 1� p (0 < p < 1);
so gilt
limn!1
P
����� 1nnXi=1
Xi � p
����� � "
!= 0 (" > 0 bel.): (4.1)
Dieser Satz sagt aus, da� die Wahrscheinlichkeit daf�ur, da� die relative H�au�gkeit und
die Wahrscheinlichkeit eines zuf�alligen Ereignisses A dem Betrage nach um mehr als "
voneinander abweichen, mit n!1 gegen Null strebt.
Satz 4.1 l�a�t sich in folgender Weise verallgemeinern:
Satz 4.2 (Gesetz der gro�en Zahlen von Chintschin) Ist fXigi=1;2;::: eine Folge
von unabh�angigen und identisch verteilten Zufallsgr�o�en mit E(Xi) = mi < 1, so
gilt:
limn!1
P
����� 1nnXi=1
(Xi �mi)
����� � "
!= 0 (" > 0 bel.): (4.2)
4.3 Der zentrale Grenzwertsatz
Wir untersuchen die Konvergenz der Folgen von Verteilungen bei Summen von Zufalls-
gr�o�en gegen eine Grenzverteilung. Hierbei zeigt sich, da� bei geeigneter Transformation
von Summen von Zufallsgr�o�en die Folge ihrer Verteilungen in bestimmten F�allen gegen
die Normalverteilung konvergiert. Eine Aussage hier�uber liefert folgender Satz:
Satz 4.3 (Zentraler Grenzwertsatz) Ist fXigi=1;2;::: eine Folge von unabh�angigen
und identisch verteilten Zufallsgr�o�en mit E(Xi) = m <1 und V ar(Xi) = d2<1, so
gilt f�ur jedes t 2 R mit Sn =P
n
i=1Xi
limn!1
P
�Sn � nmp
n d� t
�= �(t; 0; 1) =
1
2�
tZ�1
e�x2
2 dx: (4.3)
Mit anderen Worten hei�t dies, da� die Folge der Verteilungen der standardisierten
Zufallsgr�o�en
Sn � nmpn d
(4.4)
gegen die Normalverteilung mit den Parametern � = 0 und � = 1 konvergiert. Wir nen-
nen Sn (n = 1; 2; : : : ) in diesem Fall auch asymptotisch normalverteilt mit dem
38
Erwartungswert nm und der Standardabweichungpnd (asymptotisch N(nm;nd2){
verteilt).
Wir wollen nun als Spezialfall des Satzes 4.3 den Satz von Moivre{Laplace kennenlernen.
Ausgangspunkt ist das Bernoullische Versuchsschema, bei dem jeder einzelne Versuch
durch die Null{Eins{verteilten Zufallsgr�o�en Xi (i = 1; 2; : : : ) beschrieben wird und
Sn =
nXi=1
Xi
einer Binomialverteilung mit den Parametern n und p unterliegt. Wir wenden den zen-
tralen Grenzwertsatz an und erhalten den folgenden Satz:
Satz 4.4 (Satz von Moivre-Laplace) Ist Sn eine binomialverteilte Zufallsgr�o�e mit
den Parametern n und p, so gilt f�ur beliebige t
limn!1
P
Sn � nppnp(1� p)
� t
!= �(t; 0; 1): (4.5)
Das hei�t, wenn bei dem der Binomialverteilung zugrunde liegenden Bernoullischen
Versuchsschema die Anzahl der unabh�angigen Versuche gegen unendlich strebt, dann
konvergiert die Verteilungsfunktion der standardisierten binomialverteilten Zufallsgr�o�e
gegen die Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsgr�o�e mit den Parametern 0
und 1.
Wird eine diskrete Verteilung durch eine Normalverteilung approximiert, so verwendet
man f�ur relativ kleine n eine Stetigkeitskorrektur. Seien a und b ganzzahlige Reali-
sierungen der diskreten Zufallsgr�o�e X; dann lautet die Stetigkeitskorrektur:
P (a � X � b) � FX(b + 0:5)� FX(a� 0:5) :
F�ur gro�e n ist diese Korrektur vernachl�assigbar.
4.4 �Ubungsaufgaben
Aufgabe 4.1
Eine M�unze wird 100 mal geworfen. Es sei X :"Anzahl der Wappenw�urfe\. Berechnen
Sie P (47 � X � 52) ; P (X = 50).
Aufgabe 4.2
Ein Vertreter wei� erfahrungsgem�a�, da� er bei jedem seiner Erstbesuche mit Wahr-
scheinlichkeit p = 0:05 einen Verkauf t�atigen kann. Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit,
da� er bei 300 Erstbesuchen wenigstens 10 Verk�aufe t�atigt?
39
Aufgabe 4.3
Ein Zufallsexperiment, bei dem ein Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt,
wird n{mal unabh�angig wiederholt. Man wei�, da� 0:1 � p � 0:9 ist. Hn sei die relative
H�au�gkeit, mit der dabei A beobachtet wird. Man bestimme mit Hilfe der Normalvertei-
lungsapproximation eine untere Grenze f�ur die Wahrscheinlichkeit, da� Hn um h�ochstens
0.05 von p abweicht, f�ur n = 200; 500; 1000:
Aufgabe 4.4
Man bestimme mit Hilfe der Normalverteilungsapproximation (mit und ohne Stetigkeits-
korrektur) die Wahrscheinlichkeiten P (X = 32) und P (26 � X � 34)
a) im Fall, da� X eine Bi(64; 0:5){Verteilung besitzt
b) falls X nach Po(30) verteilt ist.
Aufgabe 4.5
X sei eine Po(49){verteilte Zufallsvariable. Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten
Approximation die Wahrscheinlichkeiten P (X � 49) ; P (42 � X � 56) ; P (X � 60).
Aufgabe 4.6
Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit, da� unter 400 M�unzw�urfen die Anzahl X der Er-
gebnisse"Kopf\ von ihrem Erwartungswert 200 um h�ochstens 15 abweicht?
Aufgabe 4.7
Ein Kunde erh�alt eine sehr gro�e Lieferung von Transistoren. Ihm wird vom Hersteller
garantiert, da� darunter h�ochstens 3% unbrauchbare St�ucke sind. Zur �Uberpr�ufung der
Lieferung werden zuf�allig (und ohne Zur�ucklegen) n St�ucke ausgew�ahlt und gepr�uft. Sind
alle n funktionst�uchtig, wird die ganze Lieferung angenommen, andernfalls nicht.
a) Wie gro� ist bei n = 10 die Wahrscheinlichkeit f�ur die Annahme der Lieferung,
wenn sie in Wirklichkeit 5% unbrauchbare St�ucke enth�alt?
b) Wie gro� mu� n mindestens sein, damit eine Lieferung mit mehr als 3% unbrauch-
baren St�ucken mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.99 zur�uckgewiesen
wird?
Aufgabe 4.8
In Simulationsstudien werden h�au�g standardnormalverteilte Zufallszahlen ben�otigt.
Prim�ar stehen jedoch nur gleichverteilte Zufallszahlen, d.h. Realisierungen unabh�angi-
ger, �uber dem Intervall [0; 1] gleichverteilter Zufallsvariablen zur Verf�ugung. Aus je 12
dieser gleichverteilten Zufallszahlen x1; x2; : : : erzeugt man eine standardnormalverteilte
Zufallszahl y folgenderma�en:
y =
12Xi=1
xi � 6:
Begr�unden Sie diese Vorgehensweise.
40
Aufgabe 4.9
Eine Vertriebsgesellschaft besitzt in einer Gro�stadt 200 Zigarettenautomaten. Jeder Au-
tomat hat (unabh�angig von den anderen) mit der Wahrscheinlichkeit 120
eine St�orung.
F�ur die Entscheidung �uber die Gr�o�e eines st�andigen Reparaturtrupps sei die Wahr-
scheinlichkeit von Interesse, da� in einer Woche die Anzahl X der defekten Automaten
zwischen 5 und 15 liegt. Diese Wahrscheinlichkeit (der exakte Wert betr�agt �ubrigens
0:9292 ) soll
a) mittels der Poisson{Verteilung approximiert werden,
b) mittels der Tschebyschev{Ungleichung nach unten abgesch�atzt werden,
c) aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes approximativ berechnet werden.
41
5 Mehrdimensionale Zufallsgr�o�en
Die Betrachtung mehrdimensionaler Zufallsgr�o�en bzw. zuf�alliger Vektoren ist sehr auf-
wendig, daher betrachten wir nur einige Grundz�uge. In der Regel werden k Zufallsgr�o�en
dann gemeinsam untersucht, wenn der Zusammenhang dieser Gr�o�en von Interesse ist.
De�nition 5.1 Man nennt (X1; : : : ; Xk) k{dimensionale Zufallsgr�o�e oder Zu-
fallsvektor der L�ange k.
Realisierungen: (x1; : : : ; xk)
5.1 Diskrete zweidimensionale Zufallsgr�o�en
Wir betrachten die Zufallsgr�o�en X und Y mit den Realisierungen
X : x1; : : : ; xm; : : :
Y : y1; : : : ; yn; : : :
und den dazugeh�origen Wahrscheinlichkeiten
pij = P (X = xi; Y = yj)
Durch die beiden einzelnen Verteilungen von X bzw. Y (Randverteilungen) wird im all-
gemeinen noch nicht die gemeinsame Verteilung von X und Y festgelegt. Dazu mu� man
zus�atzlich wissen, ob und gegebenenfalls wie X und Y voneinander abh�angen. Wenn X
und Y jeweils nur endlich viele verschiedene Werte annehmen { nennen wir sie x1; : : : ; xmund y1; : : : ; yn { so werden gemeinsame Verteilung und Randverteilungen oft in Form
des folgenden Schemas dargestellt:
X n Y y1 � � � yj � � � yn
x1 p11 � � � p1j � � � p1n p1�...
......
......
xi pi1 � � � pij � � � pin pi�...
......
......
xm pm1 � � � pmj � � � pmn pm�
p�1 � � � p�j � � � p�n 1
42
Darin bedeuten:
pij = P (X = xi; Y = yj) = f(xi; yj)
pi� =
nXj=1
pij = P (X = xi) = f1(xi)
p�j =
mXi=1
pij = P (Y = yj) = f2(yj)
Die gemeinsame Verteilung steht in Form einer Matrix im Inneren des Schemas. Die
Randverteilung von X, gegeben durch die pi�, steht am rechten Rand des Schemas;
dabei ist pi� gerade die Summe der in der i{ten Zeile stehenden Wahrscheinlichkeiten.
Entsprechendes gilt f�ur die Randverteilung von Y . In dieser Darstellung gilt:
X und Y sind genau dann unabh�angig, wenn f�ur alle i und j gilt:
pij = pi�p�j
5.2 Stetige zweidimensionale Zufallsgr�o�en
Der Stetigkeitsbegri� f�ur eindimensionale Zufallsgr�o�en wird wie folgt auf den zweidi-
mensionalen Fall �ubertragen:
De�nition 5.2 (X; Y ) hei�t stetig, wenn es eine (reellwertige, nichtnegative, integrier-
bare) Funktion f(x; y) gibt mit der Eigenschaft:
P (x1 < X � x2; y1 < Y � y2) =
y2Zy1
x2Zx1
f(x; y) dx dy
f�ur je zwei Intervalle (x1; x2] und (y1; y2]. Die Funktion f(x; y) hei�t die Dichte von
(X; Y ) oder die gemeinsame Dichte von X und Y . Sie bestimmt die Verteilung von
(X; Y ) bzw. die gemeinsame Verteilung von X und Y .
Dabei ist
P (x1 < X � x2; y1 < Y � y2) = P (x1 < X � x2 und y1 < Y � y2)
die Wahrscheinlichkeit, da� (X,Y) Werte in dem Rechteck mit den Eckpunkten
(x1; y1); (x2; y1); (x2; y2) und (x1; y2) annimmt.
Wir gehen nun von einer stetigen Zufallsgr�o�e (X; Y ) mit der Dichte f(x; y) aus. Dann
sind auch die beiden eindimensionalen Zufallsgr�o�en X und Y stetig. Wir bezeichnen
mit f1(x) die Dichte von X und mit f2(y) diejenige von Y .
Auf die Frage nach dem Zusammenhang zwischen der gemeinsamen Verteilung und den
beiden einzelnen Verteilungen lauten die Antworten wie im diskreten Fall:
43
Aus der gemeinsamen Dichte f(x; y) lassen sich die beiden einzelnen Dichten f1(x) und
f2(y) bestimmen; zum Beispiel gilt f�ur f1(x) die Beziehung
f1(x) =
1Z�1
f(x; y) dy:
Die beiden einzelnen Dichten legen jedoch im allgemeinen noch nicht die gemeinsame
Dichte fest.
Man kann zeigen, da� X und Y genau dann unabh�angig sind, wenn ihre gemeinsame
Dichte mit dem Produkt der einzelnen Dichten �ubereinstimmt, d.h., wenn gilt:
f(x; y) = f1(x)f2(y): (5.1)
Im Fall der Unabh�angigkeit von X und Y l�a�t sich auf diese Weise die gemeinsame
Dichte aus den beiden einzelnen Dichten bestimmen.
5.3 Die Kovarianz
Wir betrachten eine diskrete oder stetige zweidimensionale Zufallsgr�o�e (X; Y ) mit der
Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. Dichte f(x; y).
Die bereits bekannten Parameter der eindimensionalen Zufallsgr�o�en X und Y bezeich-
nen wir mit
�1 = E(X) und �21 = V ar(X) (5.2)
�2 = E(Y ) und �22 = V ar(Y ) (5.3)
E(X) und V ar(X) h�angen allein von der Verteilung von X ab, E(Y ) und V ar(Y ) nur
von der Verteilung von Y .
Der erste Parameter von (X; Y ), der von der gemeinsamen Verteilung von X und Y
abh�angt, ist die Kovarianz.
De�nition 5.3 : Unter der Kovarianz von X und Y , die mit Cov(X; Y ) bezeichnet
wird, versteht man die reelle Zahl
Cov(X; Y ) = E((X � �1)(Y � �2)) (5.4)
Im Fall X = Y ist Cov(X;X) = V ar(X). Die rechte Seite l�a�t sich wegen der Linearit�at
des Erwartungswertes umformen in
Cov(X; Y ) = E(XY )� E(X)E(Y ) (5.5)
Der Erwartungswert E(XY) wird folgenderma�en bestimmt:
E(XY ) =
8><>:1R�1
1R�1
xyf(x; y) dxdy im stetigen FallPi
Pj
xiyjf(xi; yj) im diskreten Fall(5.6)
44
Eigenschaften der Kovarianz:
Cov(X; Y ) = Cov(Y;X) (5.7)
Cov(X + a; Y + b) = Cov(X; Y )
Cov(aX; bY ) = abCov(X; Y ) (5.8)
Cov(X; Y + Z) = Cov(X; Y ) + Cov(X;Z) (5.9)
Additionssatz f�ur die Varianz:
V ar(X � Y ) = V ar(X) + V ar(Y )� 2Cov(X; Y ) (5.10)
Aus (5.6) folgt: Sind X und Y unabh�angig, so gilt
E(XY ) = E(X)E(Y ) : (5.11)
Damit erh�alt man f�ur unabh�angige X und Y :
V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) bzw. Cov(X; Y ) = 0 :
Additionssatz f�ur die Varianz einer Summe von n (beliebigen) ZufallsvariablenX1; :::; Xn:
V ar(Xi
Xi) =Xi
V ar(Xi) + 2 �Xi<j
Cov(Xi; Xj)
=Xi
V ar(Xi) +Xi6=j
Cov(Xi; Xj) (5.12)
5.4 Der Korrelationskoe�zient
Man kann versuchen, eine bestehende Abh�angigkeit zwischen zwei Zufallsvariablen X
und Y durch eine Funktion wiederzugeben. L�a�t sich die Abh�angigkeit wenigstens zu
einem gewissen Teil durch eine lineare Funktion beschreiben, so nennt man X und Y
korreliert. In diesem Fall gilt mit mehr oder weniger gro�en Abweichungen
Y � bX + a oder X � b0Y + a
0 (5.13)
Wie gut man die Abh�angigkeit zwischen X und Y durch eine lineare Funktion (durch
eine Gerade) erfassen kann, sagt uns der Korrelationskoe�zient % von X und Y . Er
ist de�niert als
% = %(X; Y ) =Cov(X; Y )p
V ar(X) � V ar(Y ) (5.14)
Wir setzen voraus, da� V ar(X) und V ar(Y ) ungleich Null sind; die F�alle V ar(X) = 0
oder V ar(Y ) = 0 sind hier bedeutungslos. An den folgenden drei Eigenschaften erkennt
man, da� der Korrelationskoe�zient ein Ma� f�ur den linearen Zusammenhang zwischen
X und Y ist:
45
1.
� 1 � % � +1 (5.15)
2. Zwischen X und Y besteht genau dann eine lineare Beziehung Y = bX + a (und
X = b0Y + a
0), wenn % den Wert +1 oder �1 hat. Die Vorzeichen von % und b
stimmen dabei �uberein.
3. Je n�aher %2 bei 1 liegt, desto besser l�a�t sich die Abh�angigkeit zwischen X und Y
durch eine Gerade beschreiben; je n�aher %2 bei 0 liegt, um so schlechter ist dies
der Fall.
Dabei wird die folgende Erkl�arung f�ur"besser beschreiben\ unterstellt: Betrachtet man
Y in Abh�angigkeit von X, so l�a�t sich der Ein u� auf Y um so besser durch eine lineare
Funktion (Gerade) der Form bX + a erfassen, desto genauer die Beziehung Y � bX + a
erf�ullt ist, das hei�t: desto geringer die Abweichungen zwischen Y und bX + a sind;
daf�ur dient als Ma� die sogenannte mittlere quadratische Abweichung
E([Y � (bX + a)]2) = E([Y � bX � a]2) (5.16)
Entsprechend dient im umgekehrten Fall, in dem X in Abh�angigkeit von Y betrachtet
wird, die mittlere quadratische Abweichung E([X � b0Y � a
0]2) als ein Ma� daf�ur, wie
genau die Beziehung X � b0Y +a
0 gilt. Auf diesen Fall lassen sich alle Aussagen w�ortlich
�ubertragen, wenn man darin nur die Rollen von X und Y vertauscht. Der Korrelations-
koe�zient %(X; Y ) gibt �uber beide Formen linearer Abh�angigkeiten zwischen X und Y
stets dieselbe Auskunft. Er ist symmetrisch in X und Y .
Wir gehen nun von (5.16) aus. In Abschnitt 8.3 (Methode der kleinsten Quadrate oder
lineare Regression) werden wir zeigen, da� diejenige Gerade y = � x + �, f�ur die (5.16)
minimal wird, die Koe�zienten
� =Cov(X; Y )
V ar(X)und � = E(Y � � X) (5.17)
besitzt. Da sich die mittlere quadratische Abweichung mit Hilfe von (5.17) folgenderma-
�en umformen l�a�t:
E([Y � � X � �]2) = (1� %2)V ar(Y ) ; (5.18)
erh�alt man die Interpretation des Korrelationskoe�zienten als Ma� des linearen Zusam-
menhanges: Je n�aher %2 bei 1 liegt, desto kleiner ist nach (5.18) die mittlere quadratische
Abweichung E([Y ��X��]2), umso besser l�a�t sich nach der oben gegebenen Erkl�arung
die Abh�angigkeit zwischen X und Y durch eine Gerade (n�amlich die Gerade y = �x+�)
beschreiben. Je n�aher %2 bei 0 liegt, desto gr�o�er ist nach (5.18) E([Y � �X � �]2) und
umso schlechter l�a�t sich daher eine bestehende Abh�angigkeit zwischen X und Y durch
eine Gerade beschreiben.
Ist %(X; Y ) = 0, so nennt man X und Y unkorreliert.
46
5.5 �Ubungsaufgaben
Aufgabe 5.1
Erg�anzen Sie f�ur den Zufallsvektor (X; Y ) die folgende Verteilungstabelle
XnY 2 4 5 P (X = xi)
-1 0.1 0.3 0.6
1
P (Y = yk) 0.1 0.4
a) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz f�ur X und Y !
b) Sind X und Y stochastisch unabh�angig? (Begr�undung)
c) Berechnen Sie die Kovarianz und den Korrelationskoe�zienten!
d) Erg�anzen Sie die folgende Verteilungstabelle, wenn X und Y stochastisch un-
abh�angig sein sollen.
XnY y1 y2 P (X = xi)
x1 0.06 0.1
x2 0.9
P (Y = yk)
e) Untersuchen Sie die Zufallsgr�o�en der folgenden Verteilungstabelle auf Korreliert-
heit und Unabh�angigkeit!
XnY 1 2 5 P (X = xi)
0 0.1 0.1 0
1 0.2 0.3 0.1
2 0.1 0.1 0
P (Y = yk)
Aufgabe 5.2
Die zweidimensionale Zufallsgr�o�e (X; Y ) besitze eine diskrete Verteilung, bei der die
Werte (1,3), (2,4), (3,7), (5,6), (7,5), (8,1) und (9,2) jeweils mit der Wahrscheinlichkeit
1/7 angenommen werden. Man bestimme den Korrelationskoe�zienten und die beiden
Regressionsgeraden.
Aufgabe 5.3
Die Zufallsvariable X nehme die drei Werte �1; 0; 1 jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/3
an; die Zufallsvariable Y sei gleich X2. Wegen Y = X
2 sind X und Y voneinander
abh�angig. Man bestimme die gemeinsame Verteilung von X und Y und zeige: X und Y
sind unkorreliert.
47
Aufgabe 5.4 �
Man zeige, da� zwei Null-Eins-verteilte Zufallsvariablen X und Y genau dann un-
abh�angig sind, wenn sie unkorreliert sind.
Aufgabe 5.5 �
In der Praxis geht man zur Beschreibung eines Zusammenhanges zwischen X und Y oft
von dem folgenden Modell aus: Zwischen X und Y herrscht eine lineare Beziehung, die
durch eine St�orgr�o�e (Fehlervariable) Z �uberlagert wird: Y = cX + d+Z. Dabei unter-
stellt man, da� X und Z voneinander unabh�angig sind und Z eine N(0; �2Z)-Verteilung
besitzt. Wir betrachten � = E(X), �2 = V ar(X), �2Z= V ar(Z) sowie c und d als gege-
ben. In Abh�angigkeit davon bestimme man % = %(X; Y ) und interpretiere seinen Wert
f�ur �2Z! 0 bzw. �2
Z!1. Man zeige weiterhin, da� y = c x + d die Regressionsgerade
von Y bzgl. X ist.
Aufgabe 5.6
F�ur die in Aufgabe 3.25 gegebenen Zufallsvariablen X1; � � � ; Xn bestimme man % =
%(Xi; Xj). Man interpretiere das Ergebnis { auch mit Hilfe von Aufgabe 5.4 { und
zeige damit, wie man f�ur gro�e N die hypergeometrische durch die Binomialverteilung
ersetzen kann. (Jedes Xi besitzt eine Null-Eins-Verteilung mit dem Parameter p = M=N ,
die X1; � � � ; Xn sind nicht unabh�angig.)
48
6 Funktionen von Zufallsgr�o�en und
Grundverteilungen der
mathematischen Statistik
6.1 Funktionen von Zufallsgr�o�en
In vielen Anwendungsf�allen sind Zufallsvariable Argumente von Funktionen; z.B. kann
man den Absatz eines Produktes als Zufallsgr�o�e und den erzielten Gewinn als Funktion
dieser Zufallsgr�o�e au�assen. Wir betrachten eine Funktion
Y = f(X) ;
wobei X und Y Zufallsgr�o�en sind. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X wird als
bekannt angesehen. Dann l�a�t sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y �uber die
Beziehung
P (Y � t) = P (f(X) � t)
durch Berechnung der Umkehrfunktion bestimmen, falls diese existiert.
Ein wichtiger Spezialfall ist die lineare Transformation:
P (aX + b � t) = P
�X � t� b
a
�FY (t) = FX
�t� b
a
�Ist X eine stetige Zufallsgr�o�e, so erh�alt man f�ur die Dichte
fY (t) = fX
�t� b
a
�� 1a:
Dieser Zusammenhang wurde mit a = �; b = � schon bei der Standardisierung der Nor-
malverteilung benutzt.
Bei diskreten Zufallsgr�o�en werden mittels der Funktion f die m�oglichen Realisierungen
von Y berechnet und die zugeh�origen Wahrscheinlichkeiten werden auf die neuen Werte
�ubertragen. Dann sortiert man die Realisierungen von Y der Gr�o�e nach und fa�t gege-
benenfalls Wahrscheinlichkeiten zusammen.
49
Erwartungswert und Varianz der Funktion einer Zufallsgr�o�e:
E(g(X)) =
1Z�1
g(x)fX(x) dx f�ur stetige Zufallsgr�o�en
=Xi
g(xi) pi f�ur diskrete Zufallsgr�o�en
V ar(g(X)) =
1Z�1
(g(x)� E(g(X)))2fX(x) dx f�ur stetige Zufallsgr�o�en
=Xi
(g(xi)� E(g(X)))2 pi f�ur diskrete Zufallsgr�o�en
Im Spezialfall der linearen Transformation Y = aX + b erh�alt man:
E(Y ) = aE(X) + b
V ar(Y ) = a2V ar(X)
6.2 Funktionen zuf�alliger Vektoren
Wir betrachten hier nur den Spezialfall einer Summe von unabh�angigen Zufalls-
gr�o�en.
Seien X; Y unabh�angig. Dann ist die Verteilung der Summe gegeben durch
P (X + Y = k) =Xl
P (X = l)P (Y = k � l) (Faltungssumme)
f�ur diskrete X; Y bzw.
fX+Y (t) =
1Z�1
fX(u)fY (t� u) du (Faltungsintegral)
f�ur stetige X; Y .
Die Berechnung der Faltungen ist sehr schwierig und l�a�t sich nur f�ur wenige Vertei-
lungen ausf�uhren. Im allgemeinen unterliegt die Verteilung einer Summe einem anderen
Verteilungsgesetz als das der Summanden. Allerdings gibt es zwei wichtige Ausnahmen:
� Die Summe zweier unabh�angiger poissonverteilter Zufallsgr�o�en mit den Parame-
tern �1 und �2 ist poissonverteilt mit dem Parameter �1 + �2.
� Die Summe zweier unabh�angiger normalverteilter Zufallsgr�o�en mit den Parame-
tern (�1; �21) und (�2; �
22) ist normalverteilt mit den Parametern (�1+�2; �
21+�
22).
50
Momente einer Summe:
E
nXi=1
Xi
!=
nXi=1
E(Xi)
V ar
nXi=1
Xi
!=
nXi=1
V ar(Xi) bei Unabh�angigkeit
(vgl. auch Abschnitt 5.3)
6.3 Verteilungen der mathematischen Statistik
Die folgenden Verteilungen spielen eine wesentliche Rolle f�ur die sp�ater behandelten
Sch�atz- und Testverfahren.
6.3.1 Die �2{Verteilung
De�nition 6.1 Eine Zufallsvariable Y mit der Dichtefunktion
fY (y) =
�1
2�=2�(�=2)y(��2)=2
e�y=2 f�ur y > 0
0 sonst
hei�t �2{verteilt (Chi-Quadrat-verteilt) mit � Freiheitsgraden.
Hierbei ist �(x) die sogenannte Gammafunktion, f�ur die gilt:
�(x) =
1Z0
tx�1
e�tdt; x > 0:
Es gilt:
Satz 6.1 Sind X1; X2; :::; X� standardnormalverteilte unabh�angige Zufallsvariablen,
dann ist
Y =
�Xi=1
X2i
�2{verteilt mit � Freiheitsgraden.
Eine �2{verteilte Zufallsvariable ergibt sich also als Summe von Quadraten unabh�angiger
standardnormalverteilter Zufallsgr�o�en.
Erwartungswert und Varianz der �2{Verteilung:
E(Y ) = � und V ar(Y ) = 2�:
51
Approximationsm�oglichkeiten f�ur die �2-Verteilung:
� F�ur � � 100 ist eine �2(�){verteilte Zufallsvariable n�aherungsweise N(�; 2�){
verteilt.
� F�ur � � 30 ist Z =p2Y �p2� � 1 n�aherungsweise standardnormalverteilt.
Am Ende des Skriptes be�ndet sich eine Tabelle der �2-Verteilung. Tabelliert sind zu den
angegebenen Freiheitsgraden � die y{Werte, bei denen FY (y) die im Kopf angegebenen
p{Werte erreicht. Sie werden sp�ater mit �2�;p
bezeichnet: P (Y � �2�;p) = p und hei�en
Quantile der Ordnung p der �2-Verteilung mit � Freiheitsgraden.
6.3.2 Die Student{Verteilung (t{Verteilung)
De�nition 6.2 Eine Zufallsvariable T mit der Dichtefunktion
fT (t) =�((� + 1)=2)p
�� �(�=2)(1 + t2=�)(�+1)=2
hei�t student{verteilt mit � Freiheitsgraden.
Satz 6.2 Seien Z eine N(0; 1){verteilte und Y eine �2(�){verteilte Zufallsvariable. Z
und Y seien unabh�angig. Dann ist T =ZpY=�
student{verteilt mit � Freiheitsgraden
bzw. t(�)-verteilt.
Erwartungswert und Varianz der Student{Verteilung:
E(T ) = 0 f�ur � � 2 und V ar(T ) =�
� � 2f�ur � � 3 :
Approximationsm�oglichkeiten f�ur die Student-Verteilung:
F�ur � > 30 ist eine student{verteilte Zufallsvariable n�aherungsweise standardnormalver-
teilt.
t�;p : P (T � t�;p) = p hei�t Quantil der Ordnung p der Student{Verteilung mit � Frei-
heitsgraden.
F�ur verschiedene Freiheitsgrade � sind am Ende des Skriptes die Quantile der Student{
Verteilung tabelliert. Bei Benutzung der Tabelle ist zu beachten, da� die Student{
Verteilung symmetrisch um ihren Erwartungswert ist.
6.3.3 Die F{Verteilung
De�nition 6.3 Eine stetige Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion
fX(x; r1; r2) = (r1)r1=2(r2)
r2=2��r1
2+ r2
2
���r1
2
���r2
2
� x(r12�1)
(r1x + r2)r1+r2
2
hei�t F{verteilt mit r1 und r2 Freiheitsgraden bzw. F (r1; r2){verteilt.
52
Satz 6.3 Sind Y1 und Y2 zwei �2{verteilte unabh�angige Zufallsvariablen mit r1 und r2
Freiheitsgraden, so ist
X =Y1=r1
Y2=r2
F{verteilt mit r1 und r2 Freiheitsgraden.
Die F{Verteilung entsteht also als Quotient zweier �2{verteilter Zufallsvariablen.
Erwartungswert und Varianz der F-Verteilung:
E(X) =r2
r2 � 2; r2 > 2 und V ar(X) =
2r22(r1 + r2 � 2)
r1(r2 � 2)2(r2 � 4); r2 > 4 :
Approximationsm�oglichkeiten f�ur die F-Verteilung:
� F�ur r1 = 1 und r2 � 30 ist X n�aherungsweise standardnormalverteilt.
� F�ur r1 = � und r2 � 200 ist X n�aherungsweise �2(�){verteilt.
� F�ur r1 = 1 und r2 = � ist X student{verteilt mit � Freiheitsgraden. (Diese Bezie-
hung gilt exakt!)
Satz 6.4 Ist X F (r1; r2){verteilt, so unterliegt1Xeiner F (r2; r1){Verteilung.
6.4 �Ubungsaufgaben
Aufgabe 6.1
Die H�ohe der Nachfrage nach einem bestimmten Artikel eines Versandhauses ist eine
Zufallsgr�o�e X, deren Dichtefunktion gegeben ist durch
fX(x) =
�1=12 0 < x < 12
0 sonst
Die Kosten K sind gegeben durch K = 2X + 10. Berechnen Sie Erwartungswert und
Varianz von K!
Aufgabe 6.2
Die Summe Z = X+Y von zwei unabh�angigen, stetigen Zufallsgr�o�en X und Y ist eine
stetige Zufallsgr�o�e, deren Dichtefunktion durch das Integral
fZ(z) =
zZ0
fX(x) fY (z � x) dx
berechnet werden kann.
53
a) Bei einer Ampelanlage sind f�ur das Rotlichtsignal zwei Lampen eingebaut. F�allt die
erste Lampe wegen Defekts aus, wird automatisch auf die zweite Lampe umgeschal-
tet. Die Lebensdauern X und Y (in Tagen) der beiden Lampen seien unabh�angig
und exponentialverteilt mit E(X) = E(Y ) = 50. Wie gro� sind Erwartungswert
und Varianz der Gesamtlebensdauer? Berechnen Sie P (X + Y > 100).
b) Die Reparaturzeit Z f�ur ein elektronisches Ger�at setzt sich aus der Zeit X f�ur die
Fehlersuche und der Zeit Y f�ur die Behebung des Defektes zusammen. X und Y
sind exponentialverteilte Zufallsgr�o�en. Die mittlere Suchzeit betr�agt 2 Stunden,
die mittlere eigentliche Reparaturzeit 8 Stunden.
1. Wie lange dauert im Mittel eine Reparatur eines solchen Ger�ates?
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit dauert eine Reparatur nur h�ochstens 8 Stun-
den?
Aufgabe 6.3
Aufgrund der technischen Gegebenheiten und der einschl�agigen Vorschriften errechnete
man f�ur eine projektierte Skiseilbahn eine zul�assige Zuladung von 2 700 kg pro Gondel.
F�ur die Umsetzung in eine zul�assige Personenanzahl gehe man davon aus, da� f�ur das
Personengewicht X und das Gewicht Y der Skiausr�ustung gelte
E(X) = 75; V ar(X) = 80; E(Y ) = 15; V ar(Y ) = 4 :
Die zul�assige Personenanzahl n mu� die Eigenschaft haben, da� die Wahrscheinlichkeit
f�ur eine �Uberschreitung der zul�assigen Zuladung h�ochstens 1% betr�agt.
Bestimmen Sie n unter den Pr�amissen, da� X und Y unabh�angig und normalverteilt
sind.
Aufgabe 6.4
Sei X eine stetige Zufallsvariable mit der Dichte
fX(x) =
�2(1� x) f�ur 0 � x � 1
0 sonst
und Y = 1�X. Man zeichne die Dichte von Y und bestimme E(Y ) und V ar(Y ).
Aufgabe 6.5
X und Y seien zwei unabh�angige, im Intervall [0,2] gleichverteilte Zufallsvariablen. Man
bestimme:
E(X + Y ); E(X � Y ); V ar(X + Y ); V ar(X � Y ); V ar(2X � 3Y ):
Aufgabe 6.6
Berechnen Sie die Varianz der Zufallsvariablen
54
X :"Summe der erzielten Augen beim Werfen zweier W�urfel\!
Aufgabe 6.7
Man zeige: Ist X eine Zufallsvariable mit E(X) = � und V ar(X) = �2, so gilt f�ur die
standardisierte Zufallsvariable Z (d.h. Z = X���
):
E(Z) = 0; V ar(Z) = 1 :
Aufgabe 6.8 �
Als Ma� f�ur die Unsymmetrie einer Verteilung dient das Schiefema�
=E ((X � �)3)
�3:
Dabei ist X eine Zufallsvariable mit E(X) = � und V ar(X) = �2. Man zeige:
1. X und seine Standardisierung X���
besitzen das selbe Schiefema�, d.h., ist un-
abh�angig von � und �2.
2. Eine symmetrische Verteilung besitzt das Schiefema� 0.
Aufgabe 6.9
Man berechne das Schiefema� der Null{Eins{Verteilung mit dem Parameter p (vgl.
Aufgabe 6.8) und diskutiere den Wert von in den F�allen
p =1
2; p! 0 und p! 1:
Aufgabe 6.10 �
Wie gro� ist die durchschnittliche Anzahl der W�urfe, die man braucht, um mit einem
W�urfel jede der sechs Augenzahlen mindestens einmal geworfen zu haben? (Durch-
schnittliche Wartezeit bis zu einem vollst�andigen Satz.)
Aufgabe 6.11
Der Anhalteweg X eines mit 60 km/h fahrenden Autos setzt sich additiv zusammen
aus dem Reaktionsweg X1 und dem Bremsweg X2, wobei X1 und X2 (stochastisch)
unabh�angige n�aherungsweise N(14; 9) bzw. N(36; 25) verteilte Zufallsvariable sind.
a) Wie ist die Zufallsvariable X1 +X2 n�aherungsweise verteilt?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Anhalteweg eines mit 60 km/h fahrenden
Autos �uber 55 m?
55
7 Stichproben
Inhalt der induktiven Statistik ist es, Methoden zu erarbeiten, mittels derer Schl�usse von
einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit bzw. Schl�usse von einzelnen Beobachtungen
auf dahinterstehende Gesetzm�a�igkeiten m�oglich sind.
Die zu untersuchenden Merkmale werden als Zufallsgr�o�en aufgefa�t. Man nimmt an,
da� sie nicht oder nicht vollst�andig bekannt sind.
Von einer Stichprobe (X1; : : : ; Xn) nimmt man im allgemeinen an, da� die Xi; i =
1; : : : ; n unabh�angige und identisch wie die Grundgesamtheit verteilte Zufallsgr�o�en
sind. Stichproben dieser Art hei�en Zufallsstichproben. Bei zuf�alligen Stichproben ist
die Wahrscheinlichkeit, mit der jedes Element der Grundgesamtheit in die Stichprobe
gelangt, gleich gro�. Diese Annahme ist h�au�g nur ann�aherungsweise erf�ullt, f�uhrt jedoch
zu"relativ einfachen\ statistischen Verfahren.
Wir betrachten im folgenden Methoden der Stichprobenerhebung, wie sie in der Praxis
angewandt werden.
7.1 Einige Auswahltechniken
Die hier aufgef�uhrten Auswahltechniken f�uhren zu Stichproben, die i.allg. keine Zufalls-
stichproben sind, jedoch ann�aherungsweise so behandelt werden k�onnen. Wir denken
uns die Elemente der Grundgesamtheit durchnumeriert.
1. Auswahl mit Zufallszahlen, die man einer Tabelle entnimmt oder mittels Rechner
simuliert (aufwendig!)
2. Systematische (periodische) Auswahl:
Die Grundgesamtheit enthalte N Elemente, von denen als Stichprobe n Elemen-
te ausgew�ahlt werden sollen. Jedes k{te Element wird gezogen, wobei das erste
gelost wird. Dabei erfolgt die Auswahl so, da� k=N=n bzw. k < N=n und k soll
gr�o�tm�oglich sein.
(keine reine Zufallsauswahl, da z.B. benachbarte Elemente nicht in die Stichprobe
gelangen k�onnen)
3. Das Schlu�zi�ernverfahren
Man w�ahlt Anzahl und Stellen der Schlu�zi�ern der durchnumerierten Grund-
gesamtheit so, da� n m�oglichst genau realisiert wird. Das Verh�altnis n=N hei�t
Auswahlsatz.
56
Im folgenden betrachten wir Stichproben, bei denen die bekannte Struktur einer Grund-
gesamtheit ausgenutzt wird.
7.2 Geschichtete Stichproben
Die Grundgesamtheit wird in Teilmengen zerlegt, die in sich homogen, untereinander
heterogen sind. Dann wird aus jeder Schicht eine Zufallsauswahl getro�en, dabei sind
die Schichten voneinander unabh�angig.
Diese Stichprobenerhebung ist teurer als eine reine Zufallsauswahl, liefert jedoch"ge-
nauere\ Stichproben, da die Kenntnisse �uber die Struktur der Grundgesamtheit genutzt
werden.
Die Fragen
a) wie man die Grundgesamtheit in Schichten zerlegen soll und
b) wie sich die Stichprobe auf die Schichten aufteilt,
damit der Genauigkeitsgewinn gegen�uber der ungeschichteten reinen Zufallsauswahl
m�oglichst gro� wird, sind das eigentliche Problem bei der Planung einer geschichte-
ten Stichprobe.
Die Beantwortung von a) besteht in der Festlegung der Schichtungsvariablen, der Anzahl
der zu bildenden Schichten und der Abgrenzung der Schichten untereinander.
Als Schichtungsvariable werden qualitative Merkmale (Geschlecht, Familienstand, Kon-
fession, Beruf usw.) bevorzugt, weil bei ihnen die Anzahl und Abgrenzung der Schichten
oft auf nat�urliche Weise gegeben ist.
Dann bleibt die Festlegung der Umf�ange der Teilstichproben in den Schichten.
Wir wollen diese Vorgehensweise am Beispiel der Ermittlung des Mittelwertes verdeut-
lichen. Dabei gehen wir im folgenden davon aus, da� die Grundgesamtheit auf geeignete
Weise in k Schichten zerlegt wurde, und f�uhren f�ur jede Schicht j = 1; : : : ; k die folgen-
den Gr�o�en ein:
Nj : Anzahl der Elemente der j{ten Schicht in der Grundgesamtheit (Umfang der
Schicht j)
�ij : Wert von X, den das i{te Element in der j{ten Schicht besitzt
�j =1
Nj
NjXi=1
�ij Mittelwert der j{ten Schicht
�2j=
1
Nj
NjXi=1
(�ij � �j)2 Varianz der j{ten Schicht
nj : Umfang der aus der j{ten Schicht gezogenen reinen Zufallsstichprobe
57
Unmittelbar klar sind die Beziehungen N = N1+� � �+Nk und n = n1+� � �+nk. Weiterhin
gilt f�ur den Mittelwert � der Grundgesamtheit (das sogenannte Gesamtmittel):
� =1
N
kXj=1
NjXi=1
�ij =1
N
kXj=1
Nj�j (7.1)
Innerhalb der Gesamtstichprobe bezeichnen wir mit Xj1; : : : ; Xjnjdie aus der j{ten
Schicht gezogene Teilstichprobe. Das dazu geh�orige ungewogene Stichprobenmittel
Xj =1
nj
njXi=1
Xji (7.2)
dient als Sch�atzung f�ur �j. Wegen (7.1) benutzt man als Sch�atzung f�ur � das gewogene
Stichprobenmittel
X =1
N
kXj=1
NjXj (7.3)
Liegt die Schichtung der Grundgesamtheit fest, so bleibt noch die Frage o�en, wie man
die Gesamtstichprobe auf die Schichten aufteilen soll, mit anderen Worten: wie die
n1; : : : ; nk unter der Nebenbedingung n1 + � � � + nk = n festgelegt werden sollen (n
betrachten wir als vorgegeben). Daf�ur haben sich im wesentlichen zwei Arten durch-
gesetzt: die proportionale Aufteilung und die optimale Aufteilung; entsprechend spricht
man von einer proportional und einer optimal geschichteten Stichprobe. Man beachte
dabei, da� sich diese Attribute nicht auf die Schichtung, sondern auf die Aufteilung der
Stichprobe auf bereits vorhandene Schichten beziehen.
7.2.1 Die proportional geschichtete Stichprobe
Eine proportional geschichtete Stichprobe liegt vor, wenn f�ur jede Schicht j der Aus-
wahlsatz nj=Nj gleich gro� ist:
n1
N1
=n2
N2
= � � � = nk
Nk
(7.4)
Man kann leicht zeigen, da� sich daraus f�ur j = 1; : : : ; k die beiden folgenden Beziehun-
gen ergeben:
nj =n
NNj (7.5)
nj
n=
Nj
N(7.6)
Nach (7.5) ist der Umfang nj der aus der j{ten Schicht gezogenen Teilstichprobe pro-
portional zum Schichtumfang Nj. (7.6) besagt, da� der Anteil der j{ten Schicht in der
Stichprobe genauso gro� ist wie der Anteil der j{ten Schicht in der Grundgesamtheit.
58
In einer proportional geschichteten Stichprobe bezeichnen wir die Sch�atzung X f�ur den
Mittelwert � mit Xprop. Aus (7.2), (7.3) und (7.5) folgt:
Xprop =1
N
kXj=1
NjXj =1
N
kXj=1
Nj � 1nj
njXi=1
Xji =1
n
kXj=1
njXi=1
Xji
Das bedeutet: Xprop ist ein ungewogenes Stichprobenmittel.
7.2.2 Die optimal geschichtete Stichprobe
Eine optimal geschichtete Stichprobe liegt vor, wenn zu vorgegebenem n die n1; : : : ; nk so
gew�ahlt werden, da� V ar(X) minimal wird. Die in diesem Sinne g�unstigsten n1; : : : ; nk
bezeichnen wir mit n�1; : : : ; n�k: Daf�ur gilt in sehr guter N�aherung:
n�j� Nj�j
kPi=1
Ni�i
n (j = 1; : : : ; k) (7.7)
(Da in dieser Formel die rechte Seite im allgemeinen nicht ganzzahlig ist, mu� man
zur n�achstgelegenen ganzen Zahl auf- oder abrunden, um n�jzu erhalten; dabei ist die
Nebenbedingung n�1 + � � �+ n�k= n zu ber�ucksichtigen. Weiterhin mu� beachtet werden,
da� keines der n�jgleich Null oder gr�o�er als Nj wird.
In einer optimal geschichteten Stichprobe bezeichnen wir die Sch�atzung f�ur den Mittel-
wert � der Grundgesamtheit mit Xopt. Diese Gr�o�e ergibt sich, wenn man (7.7) in (7.2)
und (7.3) einsetzt.
In einer optimal geschichteten Stichprobe sind die Stichprobenumf�ange n�j proportional
zu Nj�j; die Auswahls�atze n�j=Nj sind proportional zu �j und damit f�ur in sich homogene
Schichten kleiner als f�ur heterogene.
Im Gegensatz dazu sind in einer proportional geschichteten Stichprobe die geschichteten
Stichprobenumf�ange proportional zu Nj und die Auswahls�atze f�ur jede Schicht gleich
gro�; die Varianzen �2jinnerhalb der einzelnen Schichten bleiben unber�ucksichtigt.
Bei der Durchf�uhrung einer optimal geschichteten Stichprobe treten in der Praxis die
beiden folgenden Probleme auf:
1. Die Varianzen �21; : : : ; �
2ksind in der Regel unbekannt. Sie m�ussen aus fr�uheren
Erhebungen oder aus einer eigens daf�ur durchzuf�uhrenden Vorstichprobe gesch�atzt
werden. Dabei k�onnen Ungenauigkeiten auftreten, welche die Vorz�uge der optimal
geschichteten Stichprobe wieder aufheben. Sogar eine Verschlechterung gegen�uber
der proportionalen Aufteilung ist m�oglich.
2. Die optimale Aufteilung der Stichprobe h�angt von den Varianzen �2jder Zufallsva-
riablen X in den einzelnen Schichten ab und ist damit auf ein bestimmtes Unter-
suchungsmerkmal X zugeschnitten. Oft sollen aber durch eine Stichprobe mehrere
Merkmale X, Y usw. untersucht werden. Eine Stichprobe, die bez�uglich X optimal
geschichtet ist, kann bez�uglich Y eine sehr ung�unstige Aufteilung darstellen.
59
Diese Probleme treten bei einer proportional geschichteten Stichprobe nicht auf; sie wird
deswegen der optimalen Aufteilung h�au�g vorgezogen.
7.2.3 Bemerkungen zum Schichtungse�ekt
Wir bezeichnen mit XreiZ das ungewogene Stichprobenmittel in einer reinen Zufalls-
auswahl. F�ur die Varianz von XreiZ und die Varianzen von Xprop und Xopt sind im
allgemeinen die folgenden Ungleichungen erf�ullt:
V ar(Xopt) � V ar(Xprop) � V ar(XreiZ) (7.8)
N�ahere Untersuchungen zeigen:
1. Der Schichtungsgewinn der proportional geschichteten Stichprobe gegen�uber der
reinen Zufallsauswahl ist um so gr�o�er, je st�arker die Mittelwerte �1; : : : ; �k der
einzelnen Schichten voneinander abweichen. Bei der Planung einer proportional
geschichteten Stichprobe sollte man deswegen die Schichtung der Grundgesamtheit
so vornehmen, da� sich die Schichten bez�uglich ihrer Mittelwerte m�oglichst stark
voneinander unterscheiden und in diesem Sinne untereinander m�oglichst heterogen
sind.
2. Der Schichtungsgewinn der optimal geschichteten Stichprobe gegen�uber der pro-
portional geschichteten ist um so gr�o�er, je st�arker die Standardabweichungen
�1; : : : ; �k der einzelnen Schichten voneinander abweichen. Bei der Planung ei-
ner optimal geschichteten Stichprobe sollte man daher daf�ur sorgen, da� sich die
Schichten sowohl in ihren Mittelwerten als auch in ihren Streuungen m�oglichst
stark unterscheiden und in dieser zweifachen Hinsicht untereinander m�oglichst he-
terogen sind.
Zusammenfassend k�onnen wir feststellen: Der �Ubergang von der reinen Zufallsauswahl
zur proportional geschichteten Stichprobe tr�agt dem Unterschied zwischen den Mittel-
werten der Schichten Rechnung; der �Ubergang von der proportional zur optimal geschich-
teten Stichprobe ber�ucksichtigt dar�uber hinaus den Unterschied zwischen den Streuun-
gen innerhalb der einzelnen Schichten.
7.3 Klumpenstichproben
Die Klumpenstichprobe bildet in gewissem Sinne das Gegenst�uck zur geschichteten Stich-
probe: Zugunsten eines einfacheren und billigeren Erhebungsverfahrens nimmt man bei
der Klumpenauswahl h�au�g eine gr�o�ere Ungenauigkeit gegen�uber der reinen Zufalls-
auswahl in Kauf.
Zur Durchf�uhrung einer Klumpenstichprobe wird die Grundgesamtheit in Teilgesamthei-
ten, sogenannte Klumpen, zerlegt; im Gegensatz zu den Schichten bei einer geschichte-
ten Auswahl sollen die Klumpen in sich m�oglichst heterogen und untereinander m�oglichst
homogen sein, jeder Klumpen soll m�oglichst repr�asentativ f�ur die Grundgesamtheit sein.
60
Aus diesen Klumpen, ihre Anzahl sei M , werden dann m St�uck durch eine reine Zu-
fallsauswahl ausgew�ahlt. Die Stichprobe besteht aus allen Elementen der m gew�ahlten
Klumpen.
In der Praxis f�uhrt man eine Klumpenstichprobe meistens dann durch, wenn die Ele-
mente der Grundgesamtheit von vornherein in Gruppen zusammengefa�t vorliegen, die
vorhandenen Gruppen werden als Klumpen benutzt.
In diesen F�allen ist die Klumpenstichprobe gegen�uber der reinen Zufallsauswahl (und
erst recht gegen�uber der geschichteten Stichprobe) ein besonders einfaches und ko-
steng�unstiges Erhebungsverfahren. Dabei hat man allerdings keinen Ein u� darauf, wie
repr�asentativ jeder Klumpen f�ur die Grundgesamtheit ist.
Wir betrachten wieder die Sch�atzung eines unbekannten Mittelwertes � der Grund-
gesamtheit mittels einer Klumpenstichprobe. Dazu betrachten wir f�ur jeden Klumpen
i = 1; : : : ; m der Stichprobe die Zufallsvariable
Yi : Summe der X{Werte aller Elemente des i{ten Klumpens.
(Mit X bezeichnen wir wie stets die Untersuchungvariable.) Dann ist
1
m
mXi=1
Yi
der Durchschnittswert der Summe der X{Werte pro Klumpen in der Stichprobe. Wir
erhalten daraus:
bY =M
m
mXi=1
Yi (7.9)
ist eine Sch�atzung f�ur die Gesamtsumme der X{Werte in der Grundgesamtheit. Daher
benutzt man in einer Klumpenstichprobe
Xklu =1
N
bY =1
N
M
m
mXi=1
Yi (7.10)
als Sch�atzung f�ur �. Entsprechend dient V ar(Xklu) als Ma� f�ur die Genauigkeit der
Klumpenstichprobe. Um diese mit V ar(XreiZ), dem Ma� f�ur die Genauigkeit einer rei-
nen Zufallsstichprobe, vergleichen zu k�onnen, hat man zu beachten, da� der Umfang
einer Klumpenstichprobe zuf�allig ist: In der Regel sind n�amlich die M Klumpen der
Grundgesamtheit nicht gleich gro�; w�ahlt man m von ihnen zuf�allig aus, so h�angt auch
die Anzahl der damit erfa�ten Elemente vom Zufall ab. Im Durchschnitt besitzt jeder
der M Klumpen N=M Elemente. Daher gilt f�ur den durchschnittlichen Umfang n der
Klumpenstichprobe:
n = m � NM
(7.11)
61
Beim Vergleich von V ar(Xklu) und V ar(XreiZ) legt man daher der reinen Zufallsauswahl
den Stichprobenumfang (7.11) zugrunde. Davon ausgehend versteht man unter dem
Klumpungse�ekt den Unterschied zwischen V ar(Xklu) und V ar(XreiZ). Ist V ar(Xklu)
gr�o�er als V ar(XreiZ), so spricht man von einem Klumpungsverlust, im umgekehrten
Fall von einem Klumpungsgewinn.
Die Berechnung von V ar(XreiZ), V ar(Xklu) und der Vergleich dieser beiden Gr�o�en
liefert folgende Ergebnisse:
1. Je homogener die Klumpen untereinander (je heterogener sie in sich) sind, desto
kleiner ist V ar(Xklu). Mit anderen Worten: Die Klumpenstichprobe ist um so
genauer, desto besser jeder Klumpen die Grundgesamtheit repr�asentiert.
2. Sind alle Klumpen gleich gro� (in diesem Fall besitzt die Klumpenstichprobe den-
selben festen Stichprobenumfang n wie die zum Vergleich herangezogene reine
Zufallsauswahl), so lassen sich die folgenden, auch heuristisch naheliegenden Aus-
sagen nachweisen:
(a) Erfolgt die Klumpenbildung in der Grundgesamtheit selbst rein zuf�allig, so
ist die Klumpenstichprobe der reinen Zufallsauswahl in punkto Genauigkeit
ebenb�urtig; der mittlere (zu erwartende) Klumpungse�ekt ist in diesem Fall
gleich Null.
(b) Sind die Klumpen untereinander heterogener und in sich homogener, als man
bei rein zuf�alliger Klumpung erwarten w�urde, so entsteht ein Klumpungsver-
lust, anderenfalls ein Klumpungsgewinn.
3. F�ur verschieden gro�e Klumpen ist die Aussage (2b) tendenziell ebenfalls g�ultig.
Die Aussage (2a) l�a�t sich in ihrer exakten Form nicht mehr aufrechterhalten; sie
ist n�aherungsweise erf�ullt, wenn die Klumpenumf�ange nicht zu stark variieren.
Eine systematische Klumpenbildung kann also zu einem positiven oder negativen Klum-
pungse�ekt f�uhren.
7.4 �Ubungsaufgaben
Aufgabe 7.1
Aus einer durchnummerierten Grundgesamtheit G = f1; : : : ; Ng mit N = 10 000 Ele-
menten soll eine gleichgewichtete Zufallsauswahl vom Umfang n = 120 gezogen werden.
a) Es wird eine periodische Auswahl vorgenommen (jedes k{te Element wird gezogen).
Man bestimme k derart, da� das vorgeschriebene n m�oglichst gut eingehalten, aber
nicht unterschritten wird. Wie gro� ist der durchschnittliche Stichprobenumfang
dieser Auswahl?
b) Die Stichprobe wird mit Hilfe des Schlu�zi�ernverfahrens gezogen. Man gebe eine
Schlu�zi�ernkombination an, die den vorgegebenen Auswahlsatz einh�alt.
62
Aufgabe 7.2
Die Grundgesamtheit G besteht aus N = 4 Elementen mit den X{Werten 1; 2; 3; 4: Es
wird eine reine Zufallsstichprobe vom Umfang n = 2 gezogen. Man gebe alle m�oglichen
Stichproben mit den dazugeh�origen X{Werten an und bestimme daraus V ar(X).
Aufgabe 7.3
Eine Grundgesamtheit G, die aus N = 4 Elementen mit den X{Werten 1; 2; 3; 4 besteht,
wird rein zuf�allig in M = 2 Klumpen mit N1 bzw. N2 Elementen zerlegt; dabei sind N1
und N2 fest vorgegeben. Anschlie�end werden m = 1 Klumpen zuf�allig ausgew�ahlt. Man
zeige mit Hilfe des Ergebnisses von Aufgabe 7.2:
a) F�ur N1 = N2 = 2 ist der mittlere Klumpungse�ekt gleich Null.
b) F�ur N1 = 1 und N2 = 3 entsteht im Mittel ein Klumpungsverlust.
Hinweis: Man berechne in beiden F�allen zu jeder m�oglichen (gleichwahrscheinlichen)
Klumpung V ar(Xklu) und daraus die mittlere Varianz von Xklu.
Aufgabe 7.4
Aus einer Urne U mit N Kugeln, darunter M wei�e, werden n Kugeln verm�oge einer
reinen Zufallsauswahl
a) mit Zur�ucklegen,
b) ohne Zur�ucklegen
gezogen. Als Stichprobenvariable betrachten wir die Null{Eins{verteilte Zufallsvariable
Xi, die den Wert 0 oder 1 annimmt, je nachdem, ob die gezogene Kugel wei� ist oder
nicht (i = 1; : : : ; n). Welche Verteilung besitzt X1 + : : :+Xn unter a), welche unter b)?
Man bestimme in beiden F�allen die Varianz von X (= XreiZ).
Aufgabe 7.5 �
F�ur die Urne U aus Aufgabe 7.4 (Urne U mit N Kugeln, darunter M wei�e) legen wir
die Parameter N = 12 und M = 6 fest und teilen sie in zwei Urnen U1 und U2 auf:
U1 enthalte 6 Kugeln, darunter 3 wei�e, U2 ebenfalls. U1 und U2 sind in sich �au�erst
heterogen und untereinander v�ollig homogen. Diese Zerlegung von U stellt eine extrem
ung�unstige Schichtung, aber eine extrem g�unstige Klumpung dar. Es wird
a) eine geschichtete Stichprobe vom Umfang n = 6 gezogen, indem aus U1 und U2
jeweils 3 Kugeln ohne Zur�ucklegen gezogen werden,
b) eine Klumpenstichprobe gleichen Umfanges gezogen, indem eine der beiden Urnen,
U1 oder U2, zuf�allig gew�ahlt wird.
Man bestimme die Varianzen von Xprop, Xopt und Xklu und zeige mit Hilfe des Ergeb-
nisses von Aufgabe 7.4, da� hier gilt:
0 = V ar(Xklu) < V ar(Xreiz) < V ar(Xprop) = V ar(Xopt)
63
Aufgabe 7.6 �
Die Urne U aus Aufgabe 7.5 (Urne U mit N Kugeln, darunter M wei�e; N = 12;M =
6) wird in die beiden folgenden Urnen aufgeteilt: Urne U1 enthalte die sechs wei�en
und Urne U2 die �ubrigen sechs Kugeln (extrem g�unstige Schichtung, extrem ung�unstige
Klumpung). Es werden die gleichen Stichproben a) und b) wie in Aufgabe 7.5 gezogen.
Es wird
a) eine geschichtete Stichprobe vom Umfang n = 6 gezogen, indem aus U1 und U2
jeweils 3 Kugeln ohne Zur�ucklegen gezogen werden,
b) eine Klumpenstichprobe gleichen Umfanges gezogen, indem eine der beiden Urnen,
U1 oder U2, zuf�allig gew�ahlt wird.
Man bestimme die Varianzen von Xprop und Xklu (wegen �1 = �2 = 0 kommt eine
optimal geschichtete Stichprobe nicht in Betracht) und zeige, da� hier gilt:
0 = V ar(Xprop) < V ar(Xreiz) < V ar(Xklu):
64
8 Punktsch�atzungen
Wir nehmen an, da� von der Grundgesamtheit X
� der Verteilungstyp als bekannt vorausgesetzt wird,
� wenigstens ein Parameter dieser Verteilung unbekannt ist.
Wir charakterisieren den Verteilungstyp einer stetigen bzw. diskreten Zufallsgr�o�e X
durch ihre Dichtefunktion f(t;#) (1 < t < +1), bzw. ihre Einzelwahrscheinlichkeiten
P (X = xi ;#) = p(xi; #) (i = 1; 2; : : : ) mit dem ein- oder mehrdimensionalen Parameter
#. Die statistischen Sch�atzverfahren dienen dazu, den Parameter #, von dem wir anneh-
men, da� er unbekannt ist, auf der Basis einer aus der Grundgesamtheit gezogenen Stich-
probe zu sch�atzen. Diese Sch�atzungen, die Stichprobenfunktionen und dementsprechend
Zufallsgr�o�en sind, werden Sch�atzfunktionen genannt. Diese bezeichnen wir f�ur eine
mathematische Stichprobe (X1; X2; : : : ; Xn) vom Umfang n mit b# = g(X1; X2; : : : ; Xn).
Ihre Realisierung, wird mittels einer konkreten Stichprobe x1; x2; : : : ; xn { einer Reali-
sierung von (X1; X2; : : : ; Xn) { gewonnen und hei�t Sch�atzwert.
8.1 Maximum{Likelihood{Methode
De�nition 8.1 Ist x1; x2; : : : ; xn eine aus einer Grundgesamtheit X gezogene konkrete
Stichprobe vom Umfang n und ist X eine diskrete bzw. stetige Zufallsgr�o�e mit den
Einzelwahrscheinlichkeiten P (X = xi;#); (i = 1; 2; : : : ) bzw. der Dichte fX(t;#), wobei
der Parameter # unbekannt ist, dann wird die Funktion
L(x1; x2; : : : xn;#) =
nYi=1
P (X = xi;#) bzw.
L(x1; x2; : : : ; xn;#) =
nYi=1
fX(xi;#)
als Likelihood-Funktion bezeichnet. Ein Sch�atzwert b# des Parameters #, f�ur den die
Likelihood-Funktion an der Stelle # = b# ein eindeutig bestimmtes Maximum besitzt, wird
Maximum-Likelihood-Sch�atzung (MLS) f�ur # genannt.
Ist b# die Maximum{Likelihood{Sch�atzung des Parameters # und soll eine Funktion g(#)
gesch�atzt werden, so ist die Maximum{Likelihood{Sch�atzung dg(#) dieser Funktion gleichder Funktion g(b#) der Sch�atzung von #.
65
8.2 Momentenmethode
Bei der Momentenmethode wird von einer mathematischen Stichprobe (X1; : : : ; Xn)
ausgegangen, die aus einer Grundgesamtheit X gezogen wurde. Die Wahrscheinlich-
keitsverteilung von X soll von dem Parameter # abh�angen. Der Parameter # sei eine
k{dimensionale Gr�o�e, d.h., # besteht aus k Komponenten, f�ur die Punktsch�atzfunktio-
nen gesucht sind. Weiterhin sollen die im allgemeinen vom Parameter # abh�angenden
Momente mr von X mindestens bis zur k{ten Ordnung existieren:
mr = E(Xr) = gr(#) (r = 1; 2; : : : ; k):
Zur Sch�atzung der unbekannten Komponenten des Parameters # wird das Moment mr
durch die Stichprobenfunktion
bmr =1
n
nXj=1
Xr
j(r = 1; 2; : : : ; k)
ersetzt. Damit ist ein Gleichungssystem gegeben, in dem die Komponenten des Parame-
ters die Unbekannten sind. Die L�osungen dieses Gleichungssystems werden als Momen-
tensch�atzungen bezeichnet.
8.3 Methode der kleinsten Quadrate
Wir betrachten das folgende Modell:
Y (x) = h(x) + Z(x) (8.1)
mit E(Z(x)) = 0 und V ar(Z(x)) = �2 f�ur alle x. Die Funktion h(x) ist unbekannt.
Um h(x) zu sch�atzen, gibt man sich n Werte x1; : : : ; xn vor und beobachtet zu jedem
xi{Wert eine Realisierung y(xi) von Y (xi). Wir setzen
yi = y(xi); i = 1; : : : ; n:
Die Sch�atzung bh(x) f�ur h(x) st�utzt sich auf die beobachteten Wertepaare
(xi; yi); i = 1; � � � ; n:
Als Ma� f�ur die Anpassung von bh(x) an die Beobachtungspunkte (xi; yi) dient die Summe
der quadratischen Abweichung
Q(bh) = nXi=1
�yi � bh(xi)�2 (8.2)
Die Anpassung ist um so besser, desto kleiner Q(bh) ausf�allt. Die Methode der kleinsten
Quadrate besteht darin, innerhalb einer vorgegebenen Klasse von Funktionen bh(x) so zu66
bestimmen, da� Q(bh) minimal wird.
Um diese Vorgehensweise mit einer Sch�atzung unbekannter Parameter identi�zieren zu
k�onnen, mu� man unterstellen, da� der gleiche Funktionstyp, den man f�ur bh(x) festgelegthat, auch f�ur die unbekannte Funktion h(x) zutri�t. Damit kommt man zu der folgenden
Spezi�zierung des Modells (8.1):
Y (x) = h(x;�0; : : : ; �r) + Z(x) ; (8.3)
wobei der Funktionstyp h als bekannt gilt, die Parameter �0; � � � ; �r von h unbekannt
sind, z.B. h(x) = �0 + �1x + � � � + �rxr. Die gewonnenen Sch�atzungen f�ur �0; � � � ; �r
werden Kleinste{Quadrate{Sch�atzungen (KQ{Sch�atzungen) genannt. Als Beispiel neh-
men wir an, da� sich der Ein u� der x{Werte auf den Erwartungswert von Y durch eine
lineare Funktion h(x) = �+ � x darstellen l�a�t; � und � sind unbekannt. In diesem Fall
geht 8.2 �uber in
Q = Q(�; �) =
nXi=1
(yi � �� �xi)2
Q besitzt als Funktion von � und � ein eindeutig bestimmtes Minimum. Die partiellen
Ableitungen von Q nach � und � lauten:
@Q
@�= �2
nXi=1
(yi � �� � xi)
@Q
@�= �2
nXi=1
xi(yi � �� � xi)
Setzt man diese gleich Null, so erh�alt man f�ur die KQ{Sch�atzungen von b� und b� die
Bestimmungsgleichungen
nXi=1
yi = b�n+ b� nXi=1
xi
nXi=1
xi yi = b� nXi=1
xi + b� nXi=1
x2i
Ihre L�osungen lauten:
b� = y � b� x (8.4)
b� =
nPi=1
xi yi � nx y
nPi=1
x2i� nx
2
(8.5)
mit
x =1
n
nXi=1
xi und y =1
n
nXi=1
yi:
67
Wir f�uhren die Gr�o�en
s2x
=1
n� 1
nXi=1
(xi � x)2
sxy =1
n� 1
nXi=1
(xi � x)(yi � y)
ein. Rein formal lassen sich s2xals Stichprobenvarianz der Werte x1; : : : ; xn und sxy als
die Stichprobenkovarianz der Wertepaare (x1; y1); : : : ; (xn; yn) au�assen. Man rechnet
leicht nach, da� die Beziehungen
nXi=1
(xi � x)2 =
nXi=1
x2i� n x
2 und
nXi=1
(xi � x)(yi � y) =
nXi=1
xi yi � nx y
gelten. Damit geht die Sch�atzformel f�ur b� �uber in
b� =sxy
s2x
(8.6)
Vergleicht man diese Ergebnisse mit Abschnitt 5.4, so f�allt die formale Analogie zwischen
den Sch�atzformeln f�ur b� und b� und den Formeln f�ur die Koe�zienten � und � der Re-
gressionsgeraden von Y bzgl. X auf. Diese Analogie hat ihren Grund: Fa�t man n�amlich
die x{Werte als Realisationen einer Zufallsvariablen X auf, so ist h(X) = � + � X die
Regressionsgerade von Y bzgl. X und b� und b� sind Sch�atzungen der Regressionskoe�-
zienten � und �. Man nennt h(X) die Regressionsgerade der Grundgesamtheit X (die
theoretische Regressionsgerade) und bh(x) = b�+b� x die Regressionsgerade der Stichprobe(die beobachtete Regressionsgerade).
8.4 Bayessche Sch�atzungen
Ein"Bayessianer\(Subjektivist) geht davon aus, da� Wahrscheinlichkeiten vom Kennt-
nisstand des jeweiligen Betrachters abh�angen. F�ur ihn gibt es keine strikte Trennung zwi-
schen zuf�alligen Gr�o�en (Zufallsvariablen) und nichtzuf�alligen Gr�o�en (Parametern). So
kann auch ein unbekannter Paramter als Zufallsvariable aufgefa�t und ihm eine (subjek-
tive) Wahrscheinlichkeitsverteilung zugeordnet werden. Das bedeutet, da� wir zwischen
dem Parameter als Zufallsvariable und dem Parameterwert z als Realisierung dieser
Zufallsvariablen unterscheiden m�ussen. Die Zufallsvariable"Parameter\ bezeichnen wir
mit Z. Sie beschreibt die m�oglichen Zust�ande der Grundgesamtheit. Die Realisationen
von Z sind die m�oglichen Parameterwerte z. Wie jeder Zufallsvariablen wird auch Z
eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zugeordnet. Damit wird auch eine Aussage z.B. der
Form P (Z = z) = p sinnvoll; sie besagt: Die Wahrscheinlichkeit, da� der unbekannte
68
Parameter den Wert z besitzt, ist gleich p.
Vor der Beobachtung der Stichprobe entspricht die Verteilung von Z den Vorkenntnissen
des Betrachters �uber den Parameter. Diese von der Person des Betrachters abh�angige
Verteilung hei�t die a-priori-Verteilung des Parameters. Sie ist vom Betrachter anzu-
geben. Verschiedene Personen k�onnen dem Paramter verschiedene a-priori-Verteilungen
zuordnen. In der a-priori Verteilung steckt das eigentliche subjektive Element bei der
Auswertung einer Stichprobe.
Nach der Beobachtung der Stichprobe stellt die Verteilung von Z den neuen, durch die
Vorkenntnisse und Beobachtungen bestimmten Kenntnisstand des Betrachters �uber den
Parameter dar. Diese Verteilung hei�t die a posteriori-Verteilung des Parameters. Die-
se Art der Auswertung entspricht einem Lernen aus Beobachtungen: Man lernt durch
die Beobachtungen hinzu (vermehrt sein Wissen durch die Beobachtung), indem man
von der a-priori-Verteilung zur a-posteriori Verteilung �ubergeht. Auch f�ur Subjektivi-
sten ist die Stichprobe und deren Beobachtung objektiv gegeben. Der �Ubergang von der
a-priori zur a-posteriori-Verteilung darf deswegen keine subjektiven Elemente enthalten.
Anders ausgedr�uckt: Liegen zum einen das Auswahlverfahren und damit die Verteilung
der Stichprobe und zum anderen die beobachteten Stichprobenwerte fest, so m�ussen
gleiche a-priori-Verteilungen auch zu gleichen a-posteriori-Verteilungen f�uhren.
Wir veranschaulichen Bayessche Verfahren am Beispiel der Ermittlung einer unbekann-
ten Wahrscheinlichkeit.
8.4.1 Die a-posteriori-Verteilung bei diskreter a-priori Verteilung
Es sei die a-priori-Verteilung durch
f(zi) = P (Z = zi) = pi f�ur alle i (8.7)
gegeben.
Als Auswahlverfahren legen wir eine reine Zufallsauswahl mit Zur�ucklegen zugrunde. Die
Stichprobenvariablen X1; : : : ; Xn sind dann voneinander unabh�angig. Jedes Xi besitzt
dieselbe Null{Eins{Verteilung mit dem Paramter z, falls Z den Wert z hat. Mit anderen
Worten: Die bedingten Wahrscheinlichkeiten der Xi unter der Bedingung Z = z lauten
P (Xi = 1jZ = z) = z und P (Xi = 0 j Z = z) = 1� z :
Sie lassen sich zusammenfassen zu
P (Xi = xijZ = z) = zxi(1� z)1�xi f�ur xi = 1 oder 0
Wegen der Unabh�angigkeit der X1; : : : ; Xn erhalten wir daraus:
P (X1 = x1; : : : ; Xn = xnjZ = z) = P (X1 = x1jZ = z) � � �P (Xn = xnjZ = z)
= z
Pxi(1� z)n�
Pxi (8.8)
Die a-priori-Verteilung (8.7) und die bedingte Stichprobenverteilung (8.8) beschreiben
die Situation vor der Ziehung der Stichprobe. Nach der Durchf�uhrung der Stichprobe
69
m�ogen die Stichprobenwerte x1; : : : ; xn beobachtet worden sein, ein Ereignis, das wir
mit B bezeichnen:
B :"X1 = x1 und X2 = x2 und : : : und Xn = xn\
Wir erhalten nun nach dem Satz von Bayes (vgl. Abschnitt 1.4):
P (Z = zjjB) = P (BjZ = zj)P (Z = zj)Pi
P (BjZ = zi)P (Z = zi)=
P (BjZ = zj) f(zj)Pi
P (BjZ = zi) f(zi)(8.9)
f�ur alle zj. Diese bedingten Wahrscheinlichkeiten legen nach der Beobachtung B die
Verteilung von Z fest. Man nennt diese Verteilung die bedingte Verteilung von Z unter
der Bedingung B (bzw. nach der Beobachtung x1; : : : ; xn). Sie wird als die a-posteriori-
Verteilung des Parameters nach der Beobachtung x1; � � � ; xn erkl�art; ihre Wahrschein-
lichkeitsfunktion, die wir mit
fpost(zjx1; : : : ; xn) = P (Z = zjB) (8.10)
bezeichnen, ist durch (8.9) gegeben. Setzen wir darin (8.8) und (8.7) ein, so erhalten wir:
fpost(zj jB) =zy
j(1� zj)
n�yf(zj)P
i
zy
i(1� zi)n�y f(zi)
mit y =
nXk=1
xk f�ur alle zj(8.11)
Die a-posteriori-Verteilung des Parameters stellt den Informationsstand �uber den Pa-
rameter nach der Beobachtung der Stichprobe dar. Die Formel (8.11) gibt an, wie die
a-posteriori-Verteilung aus der a-priori Verteilung und den bedingten Stichprobenver-
teilungen bestimmt wird. Wir bemerken, da� die Reihenfolge der Beobachtungen keine
Rolle spielt, sondern nur die Summe der Beobachtungswerte.
8.4.2 Die a-posteriori-Verteilung bei stetiger a-priori Verteilung
In den meisten F�allen ist der Umfang N der Grundgesamtheit sehr gro� oder unbe-
kannt. Man geht dann davon aus, da� f�ur den unbekannten Parameter p jede reelle Zahl
zwischen 0 und 1 m�oglich ist. Die Vorkenntnisse des Betrachters werden in diesem Fall
durch eine stetige a-priori-Verteilung von Z beschrieben und als Dichte angegeben:
f(z) = Dichte der a-priori-Verteilung (8.12)
Als Auswahlverfahren legen wir wieder eine reine Zufallsauswahl mit Zur�ucklegen zu-
grunde. Die bedingte gemeinsame Verteilung der Stichprobenvariablen X1; : : : ; Xn unter
der Bedingung Z = z ist dann dieselbe diskrete Verteilung wie unter 8.4.1; ihre Wahr-
scheinlichkeitsfunktion f(x1; : : : ; xn j z) ist durch (8.8) gegeben.
Nach Durchf�uhrung der Stichprobe m�ogen die Stichprobenwerte x1; : : : ; xn beobachtet
70
worden sein. Eine Verallgemeinerung des Satzes von Bayes besagt, da� die bedingte Ver-
teilung von Z unter der Bedingung X1 = x1; : : : ; Xn = xn eine stetige Verteilung mit
der Dichte
fpost(z j x1; : : : ; xn) = f(x1; : : : ; xn j z) f(z)1R0
f(x1; : : : ; xn j t) f(t) dt(8.13)
ist. Nach dem verallgemeinerten Satz von Bayes ist die bedingte Verteilung von Z nach
der Beobachtung (x1; : : : ; xn) eine stetige Verteilung mit der Dichte
fpost(z j x1; : : : ; xn) =zy (1� z)n�y f(z)
1R0
ty (1� t)n�y f(t) dt
(8.14)
mit y =P
xi. Die durch fpost(z j x1; : : : ; xn) festgelegte bedingte Verteilung von Z stellt
die a-posteriori-Verteilung des Parameters nach der Beobachtung dar.
8.4.3 Der Sch�atzwert eines Subjektivisten
Der Subjektivist wertet die Stichprobe aus, indem er aus der Beobachtung dazulernt.
Dieser Lernvorgang ist mit dem �Ubergang von der a-priori auf die a-posteriori-Verteilung
abgeschlossen. Einen aus der Stichprobe gewonnenen Sch�atzwert bz f�ur den Parameter z
anzugeben, pa�t nicht so ohne weiteres zu dieser Vorgehensweise. Oft ist aber auch f�ur
einen Subjektivisten die Situation gegeben, in der er mit einem bestimmten Sch�atzwertbz an Stelle des unbekannten z weiterarbeiten mu�.
Bester Sch�atzwert bz ist derjenige z{Wert, f�ur den die Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw.
Dichte fpost(z j y) der a-posteriori Verteilung am gr�o�ten ist, d.h.: bz ist der Modalwert
der a posteriori-Verteilung.
8.5 Eigenschaften von Sch�atzungen
In den vorhergehenden Abschnitten haben wir gesehen, da� zur Sch�atzung von Para-
metern einer Grundgesamtheit verschiedene Methoden verwendet werden k�onnen. Dies
kann zu verschiedenen Punktsch�atzfunktionen f�uhren. Es erhebt sich die Frage, welche
dieser Sch�atzfunktionen uns die beste Information �uber den unbekannten Parameter lie-
fert, mit anderen Worten, welche dieser Sch�atzfunktionen wir w�ahlen. Es ist zu kl�aren,
nach welchen Kriterien die entsprechenden Sch�atzfunktionen ausgew�ahlt werden k�onnen.
Als Ma� f�ur den Sch�atzfehler verwenden wir die mittlere quadratische Abweichung (Mean
square error, MSE):
MSE(#; b#) = E
�(b#� #)2
�
71
Der MSE einer Sch�atzung setzt sich aus einem systematischen Fehler und einem zuf�alli-
gen Fehler zusammen:
E((b#� #)2) = E((b#� E(b#) + E(b#)� #)2)
= E
�(b#� E(b#))2� + 2E
�(b#� E(b#))(E(b#)� #)
�+ E
�(E(b#)� #)2
�= V ar(b#) + (E(b#)� #)2
E(b#)� # : Bias, Verzerrung, systematischer Fehler
V ar(b#) : zuf�alliger Fehler.
Damit fordern wir folgende Eigenschaften:
1. Erwartungstreue Sch�atzungen:
De�nition 8.2 Eine Punktsch�atzfunktion b#(X1; : : : ; Xn) eines Parameters #
nennen wir erwartungstreu (unverzerrt), wenn der Erwartungswert von b#gleich dem Parameter # ist, d.h., wenn gilt: E(b#) = #. Eine Punktsch�atzfunk-
tion b# eines Paramerters # bezeichnen wir als asymptotisch erwartungstreu,
falls f�ur wachsenden Stichprobenumfang der Grenzwert des Erwartungswertes vonb# gleich dem Parameter # ist, d.h., wenn gilt:
limn!1
E(b#(X1; : : : ; Xn)) = # :
2. E�ziente Sch�atzungen
De�nition 8.3 Die erwartungstreue Punktsch�atzfunktion b#1 des Parameters #
der Grundgesamtheit nennen wir e�zienter (wirksamer) als eine erwartungs-
treue Punktsch�atzfunktion b#2 desselben Parameters, wenn f�ur ihre Varianzen
V ar(b#1) = E((b#1 � #)2) und V ar(b#2) = E((b#2 � #)2) gilt:
V ar(b#1) < V ar(b#2) :3. Konsistenz
De�nition 8.4 Eine Punktsch�atzfunktion b#(X1; : : : ; Xn) eines Parameters # be-
zeichnen wir als (schwach) konsistent, wenn b# mit wachsendem n in Wahrschein-
lichkeit gegen # konvergiert, d.h. , wenn f�ur jedes beliebige � > 0 gilt:
limn!1
P (j b#(X1; : : : ; Xn)� # j < �) = 1 :
Anmerkung: Zum Nachweis der (schwachen) Konsistenz einer Punktsch�atzfunktion
kann man die Aussage benutzen, da� bei einer asymptotisch erwartungstreuen
Punktsch�atzfunktion b# = b#(X1; X2; : : : ; Xn) eines Parameters #, d.h. limn!1
E(b#) =#, die Beziehung lim
n!1V ar(b#) = 0 eine hinreichende Bedingung f�ur ihre Konsistenz
ist.
72
Eigenschaften der einzelnen Sch�atzmethoden:
� Maximum{Likelihood{Sch�atzungen sind i.allg. asymptotisch erwartungstreu, kon-
sistent, asymptotisch normalverteilt und besitzen asymptotisch minimale Varianz.
� Momentensch�atzungen: konsistente Sch�atzungen der Momente, unabh�angig vom
Verteilungstyp
8.6 �Ubungsaufgaben
Aufgabe 8.1
a) Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der bis zum erstmaligen Eintreten
des Ereignisses A mit p = P (A) > 0 notwendigen Versuche in einem Bernoulli{
Experiment. Eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang n=6 ergab die Werte 8,
4, 0, 10, 6, 2. Berechnen Sie den Maximum{Likelihood{Sch�atzwert f�ur p.
b)� In einer Urne be�nden sich gr�une, wei�e und rote Kugeln, und zwar viermal so viele
wei�e wie rote. Zur Sch�atzung des Anteils p der roten Kugeln werden 6 Kugeln mit
Zur�ucklegen gezogen. Ergebnis: 3 gr�une, 2 wei�e, 1 rote. Berechnen Sie den Sch�atz-
wert p nach der Maximum{Likelihood{Methode und dann die Wahrscheinlichkeit
f�ur das erzielte Ergebnis.
Aufgabe 8.2
Aus einer exponentialverteilten Grundgesamtheit (Parameter � unbekannt) wurde eine
Stichprobe vom Umfang n entnommen. Man gebe die Likelihood{Funktion dieser Stich-
probe an und bestimme die Maximum{Likelihood-Sch�atzung f�ur �.
Beispiel: Stichprobe vom Umfang n = 10: 1.1, 4.7, 1.2, 5.2, 3.5, 2.9, 8.2, 1.5, 4.4, 7.3
Aufgabe 8.3
Von einer Poisson{verteilten Zufallsvariablen X wird eine unabh�angige, identisch ver-
teilte Stichprobe X1; : : : ; Xn gezogen. Man zeige, da� X die Maximum{Likelihood{
Sch�atzung f�ur den Parameter � der Poisson{Verteilung ist.
Aufgabe 8.4 �
X1; : : : ; Xn sei eine Zufallsstichprobe einer auf dem Intervall [0; #] gleichverteilten Zu-
fallsvariablen X. Man bestimme die Maximum{Likelihood{Sch�atzung f�ur � = E(X) =
#=2.
Aufgabe 8.5
Die Verteilung der Zufallsgr�o�e X sei durch die Dichtefunktion
fX(x) =
8>><>>:0 f�ur x � 0
4x=a2 f�ur 0 < x � a=2
4(a� x)=a2 f�ur a=2 < x � a
0 f�ur x > a
73
gegeben. Berechnen Sie die Momentensch�atzung f�ur den Parameter a!
Aufgabe 8.6
Ein Filialunternehmen will den Zusammenhang zwischen Jahresumsatz und Ladenver-
kaufs �ache �uberpr�ufen. In einem bestimmten Jahr lieferten die n = 5 Filialen folgende
Daten:
Filiale Fl�ache in 103 m2 Jahresumsatz in 106 DM
i xi yi
1 0.3 3
2 0.7 4
3 1.0 5
4 1.2 7
5 1.8 11
Berechnen Sie mittels der Methode der kleinsten Quadrate die Regressionsgerade.
Aufgabe 8.7
Bei der Messung des reinen Bremsweges s [in m] (ohne Reaktionsweg) eines bestimmten
PKW{Typs in Abh�angigkeit von der Geschwindigkeit v [km/h] erhielt man folgende
Me�werte:
vi 10 20 40 50 60 70 80 100 120
si 1 3 8 13 18 23 31 47 63
a) Berechnen Sie den Koe�zienten c der empirischen Regressionsparabel s = c � v2.
b) Geben Sie einen Sch�atzwert f�ur den Bremsweg bei einer Geschwindigkeit von 75
km/h an.
Aufgabe 8.8
Die Selbstkosten y (in DM) eines Buchexemplares in Abh�angigkeit von der Auflage x (in
103) Exemplaren werden durch Daten charakterisiert, die von einem Verlag im Verlaufe
von einigen Jahren gesammelt worden sind. Bestimmen Sie die Koe�zienten f�ur eine
hyperbolische Abh�angigkeit der Gestalt y = a+ b=x f�ur folgende Daten:
Auflage x 1 2 5 10 20
Kosten y 10.15 5.52 2.85 2.11 1.62
Aufgabe 8.9 �
Aus einer Grundgesamtheit mit N Elementen wird eine reine Zufallsstichprobe vom
Umfang n ohne Zur�ucklegen gezogen. Mittelwert � und Varianz �2 der Grundgesamtheit
sind unbekannt. Man zeige, da� f�ur die Stichprobenvarianz s2, mit der �2 gesch�atzt
werden soll, E (s2) = N
N�1 �2 gilt.
74
Aufgabe 8.10 �
X1; : : : ; Xn sei eine unabh�angige, identisch verteilte Stichprobe einer Zufallsvariablen X
mit � = E(X) und �2 = V ar(X).
a) Man zeige mit Hilfe der Tschebyschevschen Ungleichung, da� X eine konsistente
Sch�atzung f�ur � ist.
b) Man zeige direkt mit Hilfe des Gesetzes der gro�en Zahlen, da�
S2�=
1
n
X(Xi � �)2
eine konsistente Sch�atzung f�ur �2 ist.
75
9 Kon�denzsch�atzungen
Punktsch�atzungen liefern (fast) immer einen Wert, der vom wahren Wert des Parameters
abweicht. Daher ist es f�ur viele Aufgabenstellungen wichtig, vom Sch�atzwert ausgehend
ein Intervall b#� d1| {z }c1
� # � b# + d2| {z }c2
zu ermitteln, in dem der wahre Parameter mit gro�er Wahrscheinlichkeit 1� � liegt. d1und d2 bzw. c1 und c2 sind Zufallsgr�o�en!
Zur Bestimmung von Kon�denzsch�atzungen geht man von einer Pivotgr�o�e aus. Diese
Pivotgr�o�e mu� folgende Eigenschaften besitzen:
1. Sie h�angt vom unbekannten Parameter der Verteilung ab.
2. Sie h�angt von der Stichprobe ab.
3. Ihre Verteilung ist vollst�andig bekannt.
Mittels der bekannten Verteilung der Pivotgr�o�e kann dann ein Kon�denzintervall f�ur
den unbekannten Parameter der Verteilung ermittelt werden. Wir behandeln diese Vor-
gehensweise ausf�uhrlich am Beispiel des Parameters � der Normalverteilung bei bekann-
tem �2. Kon�denzintervalle f�ur andere Aufgabenstellungen werden analog nach den hier
angegebenen Punkten ermittelt.
9.1 Kon�denzsch�atzungen f�ur den Parameter � der
Normalverteilung bei bekanntem �2
1. Die Irrtumswahrscheinlichkeit � wird festgelegt, z.B. � = 0:1; 0:05; 0:01 .
2. Es wird eine Verteilungsannahme getro�en: Die Grundgesamtheit X unterliegt
einer N(�; �2){Verteilung mit bekanntem �2.
3. Es wird eine Pivotgr�o�e mit den oben genannten Eigenschaften bestimmt:
T�2 =X � �
�
pn � N(0; 1) :
76
4. Aus der bekannten Verteilung der Pivotgr�o�e werden Quantile so bestimmt, da�
die Irrtumswahrscheinlichkeit � eingehalten wird:
P (�z1��=2 < T�2 < z1��=2) = 1� � :
zp ist dabei das Quantil der Ordnung p der Standardnormalverteilung.
5. Die Ungleichung wird so umgestellt, da� untere und obere Grenzen f�ur den unbe-
kannten Parameter festgelegt werden:
P
�b�� z1��=2pn
� < � < b�+ z1��=2pn
�
�= 1� � :
6. Zum Abschlu� wird aus der konkreten Stichprobe ein konkretes Kon�denzintervall
berechnet.
Bemerkung 9.1 Manchmal erfordert die Aufgabenstellung die Berechnung eines ein-
seitigen Kon�denzintervalls. Analog zur obigen Vorgehensweise erh�alt man
P
��1 < � < b�+ z1��p
n�
�= 1� � bzw.
P
�b�� z1��pn� < � <1
�= 1� � :
9.2 Kon�denzsch�atzungen f�ur den Parameter � der
Normalverteilung bei unbekanntem �2
1. Die Irrtumswahrscheinlichkeit � wird festgelegt.
2. Verteilungsannahme: Die Grundgesamtheit X unterliegt einer N(�; �2){
Verteilung.
3. Pivotgr�o�e:
T =X � �
s
pn � t(n� 1) :
4. Bestimmung der Quantile:
P��tn�1; 1��=2 < T < tn�1; 1��=2
�= 1� �
5. Umstellen der Ungleichung:
P
�b�� tn�1; 1��=2pn
s < � < b�+ tn�1; 1��=2pn
s
�= 1� � :
77
6. Zum Abschlu� wird aus der konkreten Stichprobe ein konkretes Kon�denzintervall
berechnet.
Einseitige Kon�denzintervalle:
P
��1 < � < b�+ tn�1; 1��p
ns
�= 1� � bzw.
P
�b�� tn�1; 1��pn
s < � <1�
= 1� � :
Bemerkung 9.2 Die Gr�o�en
X � �
�
pn f�ur n � 30 und
X � �
s
pn f�ur n � 40
sind wegen des zentralen Grenzwertsatzes ann�ahernd normalverteilt. Damit hat man die
M�oglichkeit, verteilungsunabh�angige Kon�denzsch�atzungen f�ur den Mittelwert anzuge-
ben.
9.3 Kon�denzintervalle f�ur den Parameter �2 der
Normalverteilung bei bekanntem �
1. Die Irrtumswahrscheinlichkeit � wird festgelegt.
2. Verteilungsannahme: Die GrundgesamtheitX unterliegt einer N(�; �2){Verteilung
mit bekanntem �.
3. Pivotgr�o�e:
V� =n
�2s2�=
nXi=1
�Xi � �
�
�2
� �2(n) mit
s2�
=1
n
nXi=1
(Xi � �)2 :
4. Bestimmung der Quantile:
P (�2n;�=2 < V� < �
2n; 1��=2) = 1� � :
5. Umstellen der Ungleichung:
P
n s
2�
�2n;1��=2
< �2<
n s2�
�2n;�=2
!= 1� � :
78
6. Zum Abschlu� wird aus der konkreten Stichprobe ein konkretes Kon�denzintervall
berechnet.
Einseitige Kon�denzintervalle:
P
�0 < �
2<
n s2�
�2n;�
�= 1� � bzw.
P
�n s
2�
�2n;1��
< �2<1
�= 1� � :
9.4 Kon�denzintervalle f�ur den Parameter �2 der
Normalverteilung bei unbekanntem �
1. Die Irrtumswahrscheinlichkeit � wird festgelegt.
2. Verteilungsannahme: Die Grundgesamtheit X unterliegt einer N(�; �2){
Verteilung.
3. Pivotgr�o�e:
V =n� 1
�2s2 =
nXi=1
�Xi �X
�
�2
� �2(n� 1) mit
s2 =
1
n� 1
nXi=1
�Xi �X
�2:
4. Bestimmung der Quantile:
P��2n�1; �=2 < V < �
2n�1; 1��=2
�= 1� � :
5. Umstellen der Ungleichung:
P
(n� 1) s2
�2n�1;1��=2
< �2<
(n� 1) s2
�2n�1;�=2
!= 1� � :
6. Zum Abschlu� wird aus der konkreten Stichprobe ein konkretes Kon�denzintervall
berechnet.
Einseitige Kon�denzintervalle:
P
�0 < �
2<
(n� 1) s2
�2n�1;�
�= 1� � bzw.
P
�(n� 1) s2
�2n�1;1��
< �2<1
�= 1� � :
79
Bemerkung 9.3 Wie im Abschnitt 6.3.1 bemerkt, l�a�t sich f�ur n � 30 die �2{
Verteilung durch eine Normalverteilung approximieren. Es gilt
p2V �
p2n� 1 � N(0; 1); wobei
V =n� 1
�2s2 oder V� =
n
�2s2�
eingesetzt werden kann. Im Falle von V� erh�alt man
�z1��=2 �p2V �p2n� 1 � z1��=2
und damit das Kon�denzintervall
1
2
�p2n� 1� z1��=2
�2 � V� � 1
2
�p2n� 1 + z1��=2
�2:
Verwendet man dagegen die Pivotgr�o�e V , so mu� in der Approximation n durch n� 1
ersetzt werden und man erh�alt
1
2
�p2n� 3� z1��=2
�2 � V � 1
2
�p2n� 3 + z1��=2
�2:
9.5 Kon�denzsch�atzungen f�ur eine unbekannte
Wahrscheinlichkeit p
Wir gehen vom Bernoullischen Versuchsschema aus und de�nieren eine Zufallsgr�o�e X:
X =
�0 : bei Nichteintreten des Ereignisses
1 : bei Eintreten des Ereignisses
F�ur Erwartungswert und Varianz dieser Zufallsgr�o�e gilt
� = E(X) = p �2 = V ar(X) = p (1� p)
Wenn die Anzahl der Versuche hinreichend gro� ist, so kann man nach der obigen Be-
merkung die asymptotische Normalverteilung von X��s
pn zur Bestimmung eines Kon-
�denzintervalles benutzen. Die Varianz wird dabei folgenderma�en approximiert:
s2 � n� 1
ns2 = X(1�X) ; da X
2i= Xi :
Nun werden die Quantile aus
P
0@�z1��=2 � (X � p)pnq
X(1�X)
� z1��=2
1A = 1� �
80
bestimmt und man erh�alt das Kon�denzintervall
P
0@X � z1��=2
sX(1�X)
n< p < X + z1��=2
sX(1�X)
n
1A = 1� �
Eine zweite M�oglichkeit besteht in der Approximation der Binomialverteilung durch die
Normalverteilung. Aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes von Bernoulli ist dann die
bestimmende Ungleichung f�ur ein Kon�denzintervall
�z1��=2 � (X � p)pnp
p (1� p)� z1��=2 :
Stellt man diese Ungleichung nach p um, so erh�alt man das Kon�denzintervall
P
0@2nX + z21��=2 � z1��=2
q4nX (1�X) + z2
1��=2
2(n+ z21��=2)
< p <
2nX + z21��=2 + z1��=2
q4nX (1�X) + z2
1��=2
2(n+ z21��=2)
1A = 1� �
9.6 �Ubungsaufgaben
Aufgabe 9.1
Die Lebensdauer von Schl�auchen einer Hydraulikanlage ist ann�ahernd normalverteilt
mit einer Standardabweichung von � = 600 h. Eine Zufallsstichprobe vom Umfang
n = 36 ergibt eine durchschnittliche Lebensdauer von 3 000 h. Bestimmen Sie ein 95%{
Kon�denzintervall f�ur den unbekannten Parameter � der Normalverteilung.
Aufgabe 9.2
Aus n = 20 Messungen der Dichte von Aluminium ergab sich ein Mittelwert x =
2:705 g/cm3bei einer Standardabweichung s = 0:03 g/cm
3. Man bestimme ein Intervall,
welches mit einem Vertrauen 1� � = 0:99 den wahren Wert der Dichte von Aluminium
enth�alt.
Aufgabe 9.3
Aus der Produktion von Zylinderschrauben wird eine Stichprobe vom Umfang n = 25
entnommen und an jeder Schraube die Schaftl�ange gemessen. Die Stichprobe ergibt
x = 16 mm und s2 = 484 �m2. Bestimmen Sie ein Kon�denzintervall f�ur �2 unter der
Voraussetzung, da� das Kon�denzniveau 0.99 betr�agt.
Aufgabe 9.4
Eine Stichprobe vom Umfang n = 200 aus der Lieferung eines Massenartikels lieferte
10 Ausschu�teile. Gesucht ist ein Kon�denzintervall f�ur den Ausschu�prozentsatz p der
zugeh�origen Grundgesamtheit (� = 0:05).
81
Aufgabe 9.5
Geben Sie ein Kon�denzintervall zum Kon�denzniveau 1�� f�ur den Parameter � einer
exponentialverteilten Grundgesamtheit X an.
(Hinweis: Die Zufallsgr�o�e L = 2n�X unterliegt einer �2{Verteilung mit k = 2n Frei-
heitsgraden.)
Als Beispiel w�ahlen Sie die Zahlenwerte aus Aufgabe 8.2, � = 0:05.
Aufgabe 9.6
Bei der Stichprobeninventur eines Lagers mit N = 22974 Lagerpositionen werden
n = 164 Positionen in Form einer reinen Zufallsauswahl mit Zur�ucklegen entnommen.
Zu jeder Position i der Stichprobe wird ihr Wert x [in DM] festgestellt. Aus den Stich-
probenwerten x1; : : : ; xn ergibt sich x = 1411 und s = 2812. Man bestimme daraus ein
Kon�denzintervall f�ur den Lagergesamtwert (Kon�denzniveau 1� � = 0:95).
Aufgabe 9.7
X1; : : : ; Xn sei eine unabh�angige, identisch verteilte Stichprobe einer normalverteilten
Zufallsvariablen X, von der � und �2 unbekannt sind. Man bestimme ein Kon�denzin-
tervall f�ur � zum Vertrauensgrad 1�� = 0:95 aus den Stichprobenwerten 104, 115, 112,
89, 94, 106, 119, 99, 102 und 90.
Aufgabe 9.8
Der Kopfumfang X neugeborener Knaben sei normalverteilt mit unbekannten � und �2.
Eine unabh�angige, identisch verteilte Stichprobe X mit dem Umfang n = 12 ergab die
Werte [in cm]: 37, 39, 40, 41, 38, 39, 40, 39, 38, 36, 40, 41. Man bestimme daraus ein
Kon�denzintervall f�ur �2 zu 1� � = 0:90 :
Aufgabe 9.9
Unter 3000 Lebendgeburten wurden 1578 Knaben gez�ahlt. Bestimmen Sie daraus ein
Kon�denzintervall f�ur die Wahrscheinlichkeit p einer Knabengeburt zu 1� � = 0:99 :
Aufgabe 9.10
Acht Messungen des Durchmessers einer Linse ergaben die Werte (in cm): 3.54, 3.48,
3.51, 3.53, 3.50, 3.49, 3.46 und 3.49. Man wei�, da� das verwendete Me�ger�at normal-
verteilte Messungen liefert. Bestimmen Sie ein Kon�denzintervall f�ur den Durchmesser
der Linse zum Vertrauensgrad 1� � = 0:95 :
82
10 Testtheorie
10.1 Aufgabenstellung und Begri�e
Grundanliegen der Testtheorie ist es, eine Hypothese, die sogenannte Nullhypothese H0,
anhand einer Stichprobe zu pr�ufen und im Ergebnis der Pr�ufung entweder abzulehnen
(man tri�t eine statistisch gesicherte Entscheidung) oder nicht abzulehnen. Die Nicht-
ablehnung einer Hypothese bedeutet keinesfalls, da� die Hypothese"wahr\ ist, sondern
lediglich, da� die Daten der Stichprobe der Hypothese nicht signi�kant widersprechen.
Bei einem statistischen Test k�onnen zwei Arten von Fehlern begangen werden:
1. Fehler erster Art �:
Die Nullhypothese wird abgelehnt, obwohl sie richtig ist.
2. Fehler zweiter Art �:
Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt, obwohl eine Alternativhypothese H1 rich-
tig ist.
Wir werden im weiteren sehen, da� ein Test aus der Wahl einer Testgr�o�e und der
Festlegung eines kritischen Bereiches besteht. Liegt die aus der Stichprobe berechnete
Realisierung der Testgr�o�e im kritischen Bereich, so wird die Nullhypothese abgelehnt.
Dabei wird der kritische Bereich so gew�ahlt, da� ein vorgegebener Fehler erster Art �
eingehalten wird. Auf den Fehler zweiter Art hat man keinen Ein u�. Es gilt im allge-
meinen, da� der Fehler zweiter Art � umso gr�o�er ist, je kleiner � gew�ahlt wurde. Ebenso
spielt die Alternativhypothese nur f�ur die Entscheidung zwischen ein- und zweiseitiger
Fragestellung eine Rolle. Ein Test besteht im allgemeinen aus folgenden Schritten:
1. Verteilungsannahme
2. Hypothesen H0 und H1 werden festgelegt
3. Festlegung des Signi�kanzniveaus �, � = 0:1; 0:05 ; 0:01
4. Wahl einer Pr�ufgr�o�e T , deren Verteilung unter der Nullhypothese vollst�andig
bekannt ist
5. Bestimmung des Ablehungsbereiches K
6. Berechnung einer Realisierung der Testgr�o�e und Entscheidung
Im folgenden werden die gebr�auchlichsten Tests nach diesen Punkten aufgelistet.
83
10.2 Parametertests f�ur die Parameter der
Normalverteilung
10.2.1 Der Gau�{Test
1. Verteilungsannahme: X � N(�; �2); �2 bekannt
2. H0 : � = �0,
H1 : �
8<:6=<
>
9=; �0
3. Festlegung des Signi�kanzniveaus �
4. Pr�ufgr�o�e: T =X � �0
�
pn � N(0; 1)
5. Kritischer Bereich: K =
�x : jx� �0j > z1��=2
�pn
�H1 : � 6= �0
K =
�x : x� �0 < �z1�� �p
n
�H1 : � < �0
K =
�x : x� �0 > z1��
�pn
�H1 : � > �0
10.2.2 Der t{Test
1. Verteilungsannahme: X � N(�; �2)
2. H0 : � = �0,
H1 : �
8<:6=<
>
9=; �0
3. Festlegung des Signi�kanzniveaus �
4. Pr�ufgr�o�e: T =X � �0
s
pn � t(n� 1)
5. Kritischer Bereich: K =
�x : jx� �0j > tn�1;1��=2
spn
�H1 : � 6= �0
K =
�x : x� �0 < �tn�1;1�� sp
n
�H1 : � < �0
K =
�x : x� �0 > tn�1;1��
spn
�H1 : � > �0
84
10.2.3 Der �2-Test f�ur die Varianz bei bekanntem �
1. Verteilungsannahme:X � N(�; �2); � bekannt
2. H0 : �2 = �
20 ,
H1 : �2
8<:6=<
>
9=; �20
3. Festlegung des Signi�kanzniveaus �
4. Pr�ufgr�o�e: T =n s
2�
�20
� �2(n)
5. Kritischer Bereich:
K =
�s2�:
�s2�<�20
n�2n;�=2
�[�s2�>
�20
n�2n;1��=2
��H1 : �
2 6= �20
K =
�s2�: s2
�<
�20
n�2n;�
�H1 : �
2< �
20
K =
�s2�: s2
�>
�20
n�2n;1��
�H1 : �
2> �
20
10.2.4 Der �2-Test f�ur die Varianz bei unbekanntem �
1. Verteilungsannahme: X � N(�; �2); � unbekannt
2. H0 : �2 = �
20 ,
H1 : �2
8<:6=<
>
9=; �20
3. Festlegung des Signi�kanzniveaus �
4. Pr�ufgr�o�e: T =(n� 1) s2
�20
� �2(n� 1)
5. Kritischer Bereich:
K =
�s2 :
�s2<
�20
n� 1�2n�1;�=2
�[�s2>
�20
n� 1�2n�1;1��=2
��H1 : �
2 6= �20
K =
�s2 : s2 <
�20
n� 1�2n�1;�
�H1 : �
2< �
20
K =
�s2 : s2 >
�20
n� 1�2n�1;1��
�H1 : �
2> �
20
85
10.3 Tests zum Vergleich zweier Mittelwerte
10.3.1 Der doppelte Gau�test
1. Verteilungsannahme:
X � N(�1; �21); Y � N(�2; �
22) �
21 ; �
22 bekannt
2. H0 : �1 � �2 = �0 (= 0),
H1 : �1 � �2
8<:6=<
>
9=; �0
3. Festlegung des Signi�kanzniveaus �
4. Pr�ufgr�o�e: Wir setzen voraus, da� (X1; : : : ; Xn1) und (Y1; : : : ; Yn2) iid und
unabh�angig voneinander sind (unverbundene Stichproben)
T = X � Y � N(�1 � �2;�21
n1+�22
n2| {z }�2(n1; n2)
)
5. Kritischer Bereich:
K = fx; y : jx� y � �0j > z1��=2 �(n1; n2)g H1 : �1 � �2 6= �0
Die Kritischen Bereiche f�ur die einseitigen Fragestellungen ergeben sich nach dem
Gau�test analog.
10.3.2 Der doppelte t{Test
1. Verteilungsannahme:
X � N(�1; �2); Y � N(�2; �
2) �2 unbekannt, jedoch gleich
2. H0 : �1 � �2 = �0 (= 0),
H1 : �1 � �2
8<:6=<
>
9=; �0
3. Festlegung des Signi�kanzniveaus �
4. Pr�ufgr�o�e: Wir setzen voraus, da� (X1; : : : ; Xn1) und (Y1; : : : ; Yn2) iid und un-
abh�angig voneinander sind (unverbundene Stichproben)
T =X � Y � �0ps2=n1 + s2=n2
� t(n1 + n2 � 2); s2 =
(n1 � 1)s21 + (n2 � 1)s22n1 + n2 � 2
86
5. Kritischer Bereich:
K =
�x; y : jx� y � �0j > tn1+n2�2;1��=2 s
rn1 + n2
n1n2
�H1 : �1 � �2 6= �0
Die Kritischen Bereiche f�ur die einseitigen Fragestellungen ergeben sich nach dem
t{Test analog.
10.3.3 Der Test von Welch
1. Verteilungsannahme:
X � N(�1; �21); Y � N(�2; �
22) �
21 ; �
22 unbekannt
2. H0 : �1 � �2 = �0 (= 0),
H1 : �1 � �2
8<:6=<
>
9=; �0
3. Festlegung des Signi�kanzniveaus �
4. Pr�ufgr�o�e: Wir setzen voraus, da� (X1; : : : ; Xn1) und (Y1; : : : ; Yn2) iid und un-
abh�angig voneinander sind (unverbundene Stichproben)
Die Frage, ob es �uberhaupt einen Test zum Signi�kanzniveau � gibt, ist unter dem
Namen"Behrens{Fisher{Problem\ bekannt. Der Test von Welch h�alt das vorge-
gebene � nur n�aherungsweise ein.
T =X � Y � �0ps21=n1 + s22=n2
� t(�);
wobei
� =
�u2
n1 � 1+(1� u)2
n2 � 1
��1; u =
s21=n1
s21=n1 + s22=n2:
In der Regel ist � keine ganze Zahl, als Freiheitsgrad wird dann die gr�o�te ganze
Zahl, die kleiner als � ist, gew�ahlt.
5. Kritischer Bereich:
K =
8<:x; y : jx� y � �0j > t�;1��=2
ss21
n1+
s22
n2
9=; H1 : �1 � �2 6= �0:
Die Kritischen Bereiche f�ur die einseitigen Fragestellungen ergeben sich nach dem
t{Test analog.
87
10.3.4 Der t{Di�erenzentest
1. Verteilungsannahme: Im Unterschied zum doppelten t{Test und zum Test von
Welch baut der t{Di�erenzentest auf verbundene Stichproben auf. Ausgangspunkt
sind zwei Zufallsvariablen X und Y mit �1 = E(X) und �2 = E(Y ) sowie �21 =
V ar(X), �22 = V ar(Y ). Man beobachtet nun die Realisierungen von X und Y
nicht unabh�angig voneinander, sondern stellt jeweils an einem Merkmalstr�ager die
Auspr�agungen von X und Y fest. Wegen der dabei auftretenden Abh�angigkeit
betrachten wir die zweidimensionale Zufallsgr�o�e (X; Y ) mit �212 = Cov(X; Y ).
Z = X � Y � N(�; �2Z) mit � = �1 � �2; �
2Z= �
21 + �
22 � 2�2
12 :
Die beobachteten Wertepaare bezeichnen wir mit (x1; y1); : : : ; (xn; yn).
2. H0 : � = �0,
H1 : �
8<:6=<
>
9=; �0
3. Festlegung des Signi�kanzniveaus �
4. Pr�ufgr�o�e:
T =Z � �0
sz
pn � t(n� 1) mit
s2z=
1
n� 1
nXi=1
(Zi � Z)2 =1
n� 1
nXi=1
(Xi �X � (Yi � Y ))2
5. Kritischer Bereich:
K =
�z : jz � �0j > tn�1;1��=2
sZpn
�H1 : � 6= �0
K =
�z : z � �0 < �tn�1;1�� sZp
n
�H1 : � < �0
K =
�z : z � �0 > tn�1;1��
sZpn
�H1 : � > �0
10.4 Der einfache Gau�{Test f�ur eine unbekannte
Wahrscheinlichkeit p
1. Verteilungsannahme: Wir gehen vom Bernoullischen Versuchsschema aus und de-
�nieren eine Zufallsgr�o�e X:
X =
�0 : bei Nichteintreten des Ereignisses
1 : bei Eintreten des Ereignisses
88
F�ur Erwartungswert und Varianz dieser Zufallsgr�o�e gilt
� = E(X) = p �2 = V ar(X) = p(1� p)
2. H0 : p = p0 ;
H1 : p
8<:6=<
>
9=; p0
3. Festlegung des Signi�kanzniveaus �
4. Pr�ufgr�o�e:
T =(x� p0)
pnp
p0 (1� p0)� N(0; 1) f�ur n p0 (1� p0) > 9
5. Kritischer Bereich:
K =
(x : jx� p0j > z1��=2
rp0 (1� p0)
n
)H1 : p 6= p0
K =
(x : x� p0 < �z1��
rp0 (1� p0)
n
)H1 : p < p0
K =
(x : x� p0 > z1��
rp0(1� p0)
n
)H1 : p > p0
Bemerkung 10.1 Hypothesen �uber die Di�erenz zweier Wahrscheinlichkeiten (Anteil-
werte) k�onnen analog zu dieser Vorgehensweise nach dem doppelten Gau�{Test bzw.
dem doppelten t{Test gepr�uft werden.
10.5 Der �2-Anpassungstest
1. Verteilungsannahme: Bisher wurden Hypothesen �uber unbekannte Vertei-
lungsparameter betrachtet; nun sollen Hypothesen �uber die unbekannte Verteilung
selbst gepr�uft werden. �Uber die Verteilung von X werden keine Annahmen zugrun-
de gelegt. Mit F = F (x) bezeichnen wir die unbekannte Verteilungsfunktion der
Grundgesamtheit.
2. H0 : F = F0,
H1 : F 6= F0
3. Festlegung des Signi�kanzniveaus �
89
4. Pr�ufgr�o�e: Zur Konstruktion einer Pr�ufgr�o�e wird die reelle Zahlengerade in k
Intervalle (Klassen) Gj = (aj�1; aj]:
(�1; a1]; (a1; a2]; � � � ; (ak�1;1)
zerlegt. Die Realisierungen von X unterscheidet man nur danach, in welches der
Intervalle sie fallen; man spricht von einer Gruppierung (Klasseneinteilung) der
Werte von X. Wenn H0 zutri�t, ist
pj = P (X 2 Gj jF0) = F0(aj)� F0(aj�1)
die Wahrscheinlichkeit, da� X einen Wert in Gj (j = 1; : : : ) annimmt. Mit Nj
bezeichnen wir die Besetzungszahl der Klasse Gj und mit nj die aus der konkreten
Stichprobe gewonnene Realisierung der Besetzungszahl der Klasse Gj. Wenn H0
zutri�t, gilt E(Nj) = n pj. Als Pr�ufgr�o�e verwenden wir den �2{Abstand
T =
kXj=1
(Nj � n pj)2
n pj� �
2(k � 1) f�ur gro�e n:
Die die aus der konkreten Stichprobe gewonnene Realisierung von T bezeichnen
wir mit t.
5. Kritischer Bereich: K = ft : t > �2k�1;1��g:
Bemerkungen:
1. Besteht die Hypothese H0 nur im Typ der Verteilungsfunktion, so m�ussen die
Parameter der Verteilung aus der Stichprobe gesch�atzt werden (mit Maximum-
Likelihood- oder Minimum-�2-Methode). Der Test wird dann analog durchgef�uhrt,
jedoch verwendet man zum Berechnen der Gr�o�en pj die Verteilung der Nullhy-
pothese mit den gesch�atzten Parametern. Bei der Bestimmung des kritischen Be-
reiches verringert sich die Anzahl der Freiheitsgrade der �2{Verteilung zus�atzlich
um die Anzahl der gesch�atzten Parameter (�2(k � 1� Anz. gesch. Par.)).
2. Der �2{Anpassungstest darf verwendet werden, wenn n pj � 5 f�ur alle j gilt.
Anderenfalls m�ussen Klassen zusammengefa�t werden.
10.6 Der �2-Unabh�angigkeitstest
1. Verteilungsannahme: Wir wollen �uberpr�ufen, ob X und Y unabh�angige Zufalls-
gr�o�en sind. Ausgangspunkt ist eine verbundene Stichprobe (X1; Y1); : : : ; (Xn; Yn),
bei der wir Unabh�angigkeit zwischen den Paaren voraussetzen. Es wird weiter vor-
ausgesetzt, da� nur endlich viele Auspr�agungen f�urX und Y unterschieden werden.
2. H0 : X und Y sind unabh�angige Zufallsgr�o�en.
90
3. Festlegung des Signi�kanzniveaus �
4. Pr�ufgr�o�e: Die gemeinsame (unbekannte) Verteilung l�a�t sich in folgender Tabelle
darstellen:
XnY 1 2 � � � m
1 p11 p12 � � � p1m p1�
2 p21 p22 � � � p2m p2�...
......
......
l pl1 pl2 � � � plm pl�
p�1 p�2 � � � p�m n
Bei Unabh�angigkeit von X und Y gilt pij = p�j pi� :
Zur Durchf�uhrung des Testes stellt man die in der Stichprobe beobachteten H�au�g-
keiten (Besetzungszahlen) in einer sogenannten Kontingenztafel oder l � m{
Feldertafel zusammen:
xny 1 2 � � � m
1 n11 n12 � � � n1m n1�
2 n21 n22 � � � n2m n2�...
......
......
l nl1 nl2 � � � nlm nl�
n�1 n�2 � � � n�m n
Der dazugeh�orige �2-Abstand lautet:
T =Xi;j
(nij � n pi� p�j)2
n pi� p�j� �
2((l � 1) (m� 1))
Die unbekannten Parameter pi� und p�j werden durch
bpi� = ni�
nbzw. bp�j = n�j
n
gesch�atzt. Damit erh�alt man die Realisierung der Pr�ufgr�o�e
t =Xi;j
(nij � uij)2
uij
mit den Unabh�angigkeitszahlen
uij = n bpi� bp�j = ni� n�j
n:
5. Kritischer Bereich: K = ft : t > �2(l�1) (m�1);1��g
Bemerkung: Eine besondere Rolle unter den Kontingenztafeln spielt die Vierfelder-
tafel mit m = l = 2. In diesem Fall vereinfacht sich die realisierte Testgr�o�e zu
t =n (n11 n22 � n12 n21)
2
n1� n2� n�1 n�2
und der kritische Bereich ist K = ft : t > �21;1��g:
91
10.7 �Ubungsaufgaben
Aufgabe 10.1
Der durchschnittliche Preis eines bestimmten Produktes lag im letzten Jahr bei 120.00
DM (�2 = 100).
a) L�a�t sich diese Angabe auch f�ur dieses Jahr aufrechterhalten, wenn Normalvertei-
lung der Preise unterstellt wird und eine Testkaufserie von 100 St�uck dieser Ware
in diesem Jahr einen Durchschnittspreis von 121.50 DM ergab (� = 0:05)?
b) W�urde sich die Testentscheidung in a) �andern, wenn der Stichprobenumfang 400
bei gleichem Stichprobenergebnis gewesen w�are?
c) Welchen Ein u� hat eine Ver�anderung von � auf die Testentscheidung?
Aufgabe 10.2
Eine Fabrik stellt ein Garn mit einer mittleren Rei�festigkeit �0 = 300N bei einer
Standardabweichung � = 24N her. Man vermutet, durch einen neuen Herstellungsproze�
die Rei�festigkeit erh�ohen zu k�onnen. Es sei � = 0:01 .
a) Geplant ist eine Stichprobe vom Umfang n = 100 aus der Produktion des neuen
Garns. F�ur welche Stichprobenmittel x wird die Nullhypothese H0 : � = 300N
gegen die Alternative H1 : � > 300N beibehalten?
b)� Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen, wenn der
Mittelwert der neuen Garnsorte bei 310N liegt und � = 24N weiterhin gilt?
Aufgabe 10.3
F�ur eine Stahllieferung garantiert der Hersteller einen mittleren Kohlensto�gehalt von
0; 5%. Eine Untersuchung von 25 Proben ergab x = 0:45% und s = 0:06%. Pr�ufen Sie
mit � = 0:05, ob die Angabe des Herstellers glaubhaft ist.
Aufgabe 10.4
In der Vergangenheit betrug die Varianz der normalverteilten Lebensdauer einer be-
stimmten Batteriesorte �2 = 1:1 Jahre2. Es soll nun auf Stichprobenbasis gepr�uft werden,
ob sich durch Einf�uhrung eines kosteng�unstigeren Produktionsverfahrens die Varianz der
Lebensdauer erh�oht. Eine Stichprobe von n = 25 nach dem neuen Verfahren gefertigter
Batterien liefert eine Varianz von s2 = 1:6 Jahre2 (Signi�kanzniveau � = 0:01) .
Aufgabe 10.5
Bei einer Qualit�atskontrolle wurden 21 fehlerhafte Teile in einer Stichprobe vom Umfang
n = 500 festgestellt. Pr�ufen Sie bei einem Signi�kanzniveau � = 0:05 die Angabe des
Herstellers, in seiner Gesamtproduktion sei der Ausschu�anteil nicht gr�o�er als 3%.
92
Aufgabe 10.6
Die Maschinen 1 und 2 verrichten die gleiche Arbeit. Eine Untersuchung des Merkmals
X :"Energieverbrauch pro Arbeitsstunde\ lieferte folgende Ergebnisse:
Maschine 1: n1 = 10; x1 = 15:3 kWh, s1 = 0:92 kWh
Maschine 2: n2 = 15; x2 = 13:9 kWh, s2 = 1:04 kWh.
Kann mit einem Signi�kanzniveau � = 0:05 behauptet werden, da� die Maschine 2
zur Verrichtung der gleichen Arbeit weniger Energie verbraucht? (Normalverteilung des
Merkmals X und Varianzhomogenit�at in den Grundgesamtheiten kann vorausgesetzt
werden.)
Aufgabe 10.7
Es wird vermutet, da� Bauteile der Sorte A eine gr�o�ere Lebensdauer haben, als ent-
sprechende Bauteile der Sorte B. Zuf�allige Stichproben von nA = 100 und nB = 120
Bauteilen der Sorten A und B ergaben f�ur das Merkmal"X : Lebensdauer in Betriebs-
stunden\:
xA = 1310 Stunden, sA = 142 Stunden,
xB = 1240 Stunden, sB = 127 Stunden
Kann die Vermutung bei einem Signi�kanzniveau � = 0:05 durch die Stichprobenergeb-
nisse best�atigt werden?
Aufgabe 10.8
Von 100 gekauften Losen sind 40 Gewinne. Best�atigt dies die Behauptung der Lotterie-
werbung, da� jedes zweite Los gewinnt? (� = 0:05)
Aufgabe 10.9
Ein Spieler vermutet, da� von den 4 M�unzen, mit denen er spielt, mindestens eine
gef�alscht ist. Um das zu pr�ufen, wirft er 160 mal seine 4 M�unzen und erh�alt folgende
Verteilung f�ur"Zahl\:
Anzahl"Zahl\ 0 1 2 3 4
Beobachtete Anzahl 15 54 55 30 6
a) Welche Verteilung mu� sich f�ur die Zufallsvariable Anzahl"Zahl\ bei einem Wurf
mit 4 M�unzen ergeben, wenn es sich um ideale M�unzen handelt?
b) Pr�ufen Sie mit Hilfe des �2{Testes, ob die M�unzen des Spielers ideal sind und
interpretieren Sie das Ergebnis. (Signi�kanzniveau 5 %)
Aufgabe 10.10
Unter Nichtber�ucksichtigung mut- und b�oswilliger Feuermeldungen werden in einer Stadt
w�ahrend der 52 Wochen eines Jahres gez�ahlt:
in 19 20 8 4 1 Wochen
gab es 0 1 2 3 4 Feuermeldungen.
93
a) Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und die Varianz f�ur die Feuermeldungen
pro Woche.
b) �Uberpr�ufen Sie mittels des �2{Anpassungstestes, ob die Annahme der Poissonver-
teilung mit dem gesch�atzten Parameter � bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit
1� � = 0:95 gerechtfertigt ist.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit f�ur 5 und mehr Feuermeldungen in einer
Woche. Alle wieviel Jahre ist dieser Fall zu erwarten?
Aufgabe 10.11
350 Studenten nahmen an der Statistik- und an der Mathematikklausur teil. Dabei kam
folgendes Ergebnis heraus:
Mathematik Mathematik nicht
bestanden bestanden
Statistik
bestanden191 78
Statistik
nicht bestanden41 40
Testen Sie mit � = 0:01, ob zwischen dem Bestehen der beiden Klausuren ein Zusam-
menhang existiert.
Aufgabe 10.12
F�ur die Studenten einer Fakult�at, unterteilt hinsichtlich des Merkmals X : Geschlecht,
sind die nichtbesuchten Lehrveranstaltungen in einer Stundenplanwoche (= Merkmal
Y ) in der folgenden �Ubersicht zusammengestellt.
XY 0 1 2 > 2
m�annl. 63 24 8 5 100
weibl. 82 35 21 12 150
145 59 29 17 250
Kann auf einem Signi�kanzniveau � = 0:05 behauptet werden , da� die Merkmale X
und Y unabh�angig sind?
Aufgabe 10.13
Um zu �uberpr�ufen, ob die W�agungen mit einer Federwaage einen systematischen Fehler
aufweisen, wird ein 10{Gramm{Gewicht n = 9 mal nachgewogen. Es ergaben sich die
folgenden Werte [in g]:
9:7; 10:2; 10:0; 9:9; 9:5; 9:6; 9:4; 10:1; 9:8
Testen Sie bei einem � = 0:05 die Hypothese, da� kein systematischer Fehler vorliegt,
unter der Voraussetzung, da� die Me�ergebnisse der Waage normalverteilt sind
94
a) mit einer Standardabweichung von �=0.3 g
b) mit einer unbekannten Standardabweichung.
Aufgabe 10.14 Die Zugfestigkeit [in kg] einer bestimmten Drahtsorte sei N(�; �2){
verteilt. Bei einer Pr�ufung von n = 12 Proben ergaben sich die folgenden Werte:
84; 83; 79; 83; 79; 80; 85; 78; 83; 82; 76; 86:
Ist aufgrund dieser Stichprobe die Aussage"� > 80\ signi�kant (�=0.05)?
Aufgabe 10.15
Die Motoren eines Typs A laufen durchschnittlich um 5 000 km l�anger als die eines
Typs B. Nach Verwendung eines anderen Kolbenfabrikates sollen die durchschnittlichen
Laufzeiten �A und �B der beiden Motorentypen erneut verglichen werden. Von Typ A
werden 74, von Typ B 67 Motoren ausgew�ahlt und auf ihre Laufdauer hin untersucht.
Dabei ergaben sich folgende Werte f�ur Stichprobenmittel und -standardabweichung [in
km]:
Typ A : x = 76487 und s1 = 421
Typ B : y = 71329 und s2 = 332
Ist aufgrund dieser Beobachtung die Aussage signi�kant, da� �A immer noch um min-
destens 5 000 km gr�o�er ist als �B? (�=0.01)
Aufgabe 10.16
Ein Futtermittel A wird an 15, ein Futtermittel B an 17 Ferkel verf�uttert; Stichproben-
mittel und -varianz der w�ahrend einer bestimmten Mastzeit erzielten Gewichtszunahmen
[in kg] lauten:
bei den"A{Ferkeln\: x = 45 und s
21 = 41
bei den"B{Ferkeln\: y = 54 und s
22 = 39
Kann man aus dieser Beobachtung mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von h�ochstens
0.05 schlie�en, da� Futtermittel B im Durchschnitt zu einer um mehr als 5 kg h�oheren
Gewichtszunahme f�uhrt als Futtermittel A? Gehen Sie davon aus, da� die Gewichtszu-
nahmen unter A bzw. B normalverteilte Zufallsvariablen
a) mit �ubereinstimmenden Varianzen
b) mit verschiedenen Varianzen sind.
Aufgabe 10.17
Man kann annehmen, da� die K�orperl�ange X bzw. Y neugeborener Knaben bzw.
M�adchen normalverteilte Zufallsvariablen sind. Auch X � Y , beobachtet an Zwil-
lingsp�archen, kann als normalverteilt angesehen werden. F�ur n = 17 Zwillingsp�archen
ergaben sich die folgenden Werte:
95
Geburt i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
xi 50 55 51 49 54 52 47 47 50 51 52
yi 49 53 51 47 54 51 47 45 51 49 51
Geburt i 12 13 14 15 16 17
xi 49 55 52 49 50 54
yi 50 53 51 48 46 54
Ist aufgrund dieser Beobachtung signi�kant, da� Knaben bei ihrer Geburt im Mittel
gr�o�er sind als M�adchen? (�=0.01)
Aufgabe 10.18
Man �uberpr�ufe die Fragestellung von Aufgabe 10.17 ohne zu ber�ucksichtigen, da� die
Erhebung aus Zwillingsgeburten resultiert, indem man die dort gegebenen Beobach-
tungswerte wie zwei unverbundene Stichproben behandelt.
Aufgabe 10.19
Unter 3000 Lebendgeburten wurden 1578 Knaben gez�ahlt. �Uberpr�ufen Sie damit die
Hypothese, da� die Wahrscheinlichkeit f�ur eine Knabengeburt gleich 0.5 ist. (� = 0:01)
Aufgabe 10.20
Die F�ullmenge X [in cm3] maschinell abgef�ullter Bier aschen sei normalverteilt mit dem
bekannten Mittelwert � = E(X) = 500. Bei n = 25 Nachpr�ufungen ergab sich
25Xi=1
(xi � 500)2 = 44:
Pr�ufen Sie damit die Hypothese H0 : � = 1 gegen die Alternative H1 : � > 1 zum Niveau
� = 0:01.
Aufgabe 10.21
Die Rei�festigkeit X [in g] einer bestimmten Garnsorte sei N(�; �2){verteilt. Bei
einer Pr�ufung von n = 26 Garnproben ergaben sich f�ur Stichprobenmittel und
-standardabweichung die Werte x = 2120 und s = 160. Man teste mit � = 0:05 die
Hypothese � = 250 gegen die Alternative � 6= 250.
Aufgabe 10.22
Bei der letzten Wahl in einem Bundesland erhielt Partei A 45%, Partei B 40%, Partei
C 10% und Partei D 5%. Bei einer sp�ateren Befragung von 2500 zuf�allig ausgew�ahlten
W�ahlern bevorzugten 1050 die Partei A, 1000 die Partei B, 350 die Partei C und 100 die
Partei D. Pr�ufen Sie, ob sich die Stimmenverteilung seit der Wahl signi�kant ge�andert
hat. (� = 0:01)
96
Aufgabe 10.23
Bei einer Erhebung des Untersuchungsmerkmals X :"Anzahl der Kinder pro Familie\
ergab sich f�ur n = 120 zuf�allig ausgew�ahlte Familien die folgende H�au�gkeitstabelle:
Anzahl der Kinder 0 1 2 3 4 � 5
Anzahl der Familien 41 50 19 8 2 0
�Uberpr�ufen Sie zu � = 0:05 die Hypothese, da� X poissonverteilt ist.
Aufgabe 10.24
Eine Untersuchung der Lebensdauer [in Jahren] von n = 200 Transistoren ergab die
folgende H�au�gkeitstabelle:
Lebensdauer
in Jahren[0; 1] (1; 2] (2; 3] (3; 4] (4; 6] > 6
Anzahl der
Transistoren70 60 20 20 20 10
�Uberpr�ufen Sie, ob die Lebensdauer eine Ex(0:5){Verteilung sein kann (� = 0:05).
Aufgabe 10.25
Man will pr�ufen, ob eine signi�kante Abh�angigkeit zwischen Geschlecht und Freizeitin-
teresse unter den Jugendlichen besteht. Dazu hat man n = 200 zuf�allig ausgew�ahlten
Jugendlichen die Frage gestellt:"Womit verbringst Du Deine Freizeit am liebsten, mit
Tanz, Sport oder Literatur?\ Es ergab sich:
Jungen M�adchen
Tanz 32 46
Sport 73 22
Literatur 15 12
F�uhren Sie den entsprechenden Test zum Niveau �=0.01 durch.
Aufgabe 10.26 Eine Befragung von n = 1500 zuf�allig ausgew�ahlten Wahlberechtigten
nach religi�osem Bekenntnis und Wahlabsicht ergab die folgende Kontingenztafel:
katholisch evangelisch sonstige
Partei A 222 141 94
Partei B 208 221 98
Partei C 96 95 77
Sonstige 64 73 111
Besteht eine signi�kante Abh�angigkeit zwischen Bekenntnis undWahlabsicht? (� = 0:05)
97
11 L�osungen zu den �Ubungsaufgaben
Aufgabe 1.1 (1 + 1)n = 2n =nP
k=0
�n
k
�Aufgabe 1.2
n(n� 3)
2Aufgabe 1.3 32 Protokolle Aufgabe 1.4 13545
Aufgabe 1.5 210 Aufgabe 1.6 78
Aufgabe 1.7 Als dreistellige Zahlen kommen in Frage: 304, 314, 324, 334; 340, 341,...,
349; 354, 364,..., 394, also 4+10+5=19 M�oglichkeiten. Vor jeder von ihnen kann EU,
EV oder EY stehen, so da� insgesamt 3 � 19 = 57"Zust�ande\ m�oglich sind.
Aufgabe 1.8 A: rote Lampe brennt, B: wei�e Lampe brennt
a) Ea = A \ B b) Eb = A \B c) Ec = A \ B
d) Ed = A \B e) Ee = Ec [ Ed f) Ef = A [ B
g) Eg = Eb [ Ec [ Ed = A [B = A \BAufgabe 1.9
A : von 5 Werkst�ucken sind nicht genau 3, d.h. 0, 1, 2, 4 oder 5, normgerecht.
B : von 5 Werkst�ucken sind weniger als 3, d.h. 0, 1, 2, normgerecht.
A \ B = A A [B = B:
Aufgabe 1.10 a)1
3, b)
10
19, c)
1
19, d)
10
19, e)
2
19, f)
9
19
Aufgabe 1.11
a) mit Zur�ucklegen: P (A) =2
5= 0:4; P (B) =
3 � 3 � 35 � 5 � 5 =
27
125= 0:216
b) ohne Zur�ucklegen: P (A) =2
5= 0:4; P (B) =
3 � 2 � 15 � 4 � 3 =
1
10= 0:1
Aufgabe 1.12
Mit Zur�ucklegen: P (A1) = P (A2) =4
10; P (B) =
16
25
Ohne Zur�ucklegen: P (A1) =4
10; P (A2) =
4
10; P (B) =
2
3
Aufgabe 1.13 a) 0.424 b) 0:4
Aufgabe 1.14 A : Es wird eine 11 gew�urfelt
B : Es wird eine 12 gew�urfelt
98
Anzahl der m�ogl. W�urfe mit 3 W�urfeln ist 63 = 216.
W�urfeln einer 11: W�urfeln einer 12:
6 4 1 �= 3! = 6 M�ogl. 6 5 1 �= 3! = 6 M�ogl.
6 3 2 �= 3! = 6 M�ogl. 6 4 2 �= 3! = 6 M�ogl.
5 5 1 �= 3!/2! = 3 M�ogl. 6 3 3 �= 3!/2! = 3 M�ogl.
5 4 2 �= 3! = 6 M�ogl. 5 5 2 �= 3!/2! = 3 M�ogl.
5 3 3 �= 3!/2! = 3 M�ogl. 5 4 3 �= 3! = 6 M�ogl.
4 4 3 �= 3!/2! = 3 M�ogl. 4 4 4 �= 3!/3! = 1 M�ogl.
�! 27 g�unstig �! 25 g�unstig
P (A) = 27=216 = 0:125 P (B) = 25=216 = 0:115
Also P (A) > P (B).
Aufgabe 1.15 a) 4/7 b) 10/21
Aufgabe 1.16 a) 0.684 b) 0.283 c) 0.999
Aufgabe 1.17 n � 11
Aufgabe 1.18
1. P (BjA) = 1� P (BjA) = 1� P (B) = P (B)
2. P (AjB) = 1� P (AjB) = 1� P (A) = P (A)
3. P (BjA) = 1� P (BjA) = 1� P (B) = P (B)
Aufgabe 1.19
A : Mindestens eine Sechs bei vier W�urfen mit einem W�urfel
B : Mindestens eine Doppel-Sechs bei 24 W�urfen mit zwei W�urfeln
P (A) = 0:5177; P (B) = 0:4914
Aufgabe 1.20
Wi = Wappen im i{ten Wurf
Gewinnchance f�ur A: P (W8) + P (W 8 \W9) =12+ 1
4= 3
4
Gewinnchance f�ur B: P (W 8 \W 9) =14
Der Einsatz ist im Verh�altnis 3:1 aufzuteilen.
Aufgabe 1.21 n � 25 Aufgabe 1.22 0.688
Aufgabe 1.23 1. 715
2. 714;
514;
214
Aufgabe 1.24
K : Krankheit liegt vor
B : Test erkennt auf Krankheit
1. P (KjB) = 0:0025 2. P (KjB) = 0:76
99
Aufgabe 1.25
1. N : Erzeugnis ist normgerecht
G : Pr�ufverfahren zeigt"normgerecht\ an
P (N jG) = 0:9884
2. GG : Pr�ufverfahren zeigt zweimal unabh�angig voneinander"normgerecht\ an
P (N jGG) = 0:9988
Aufgabe 1.27
A : entnommenes St�uck ist Ausschu�
B : entnommenes St�uck stammt von Mi
a) P (A) = 0:09
b) P (MijA) =
8>>><>>>:0:60 f�ur i = 1
0:33 f�ur i = 2
0:07 f�ur i = 3
Aufgabe 1.28 0.04
Aufgabe 2.1
P (X = 0) = 0:024 P (X = 1) = 0:188 P (X = 2) = 0:452 P (X = 3) = 0:336
Aufgabe 2.2
a) P (X � 10; Y � 10) =1
12;
P (X � 20; Y � 20) =1
2;
P (X � 10; Y > 20) =1
12.
b) Nein.
Aufgabe 2.3
F (x) = P (X � x) =
8>><>>:0 falls x< 1
0:25 falls 1� x< 2
0:5 = 0:25 + 0:25 falls 2� x< 3
1 falls 3� x
Aufgabe 2.4 E(X) = 3:8 ; D2(X) = 3:36
a) P (�1 < X < 4) = 0:3 b) P (2 � X � 6) = 0:7
100
Aufgabe 2.5
a)k 0 1 2
P(X=k) 0.62222 0.35555 0.022222
b)k 0 1 2
P(X=k) 0.64 0.32 0.04
Aufgabe 2.6
FX(t)
8>><>>:0 f�ur t� 0
(1=4) t f�ur 0< t� 2
1=2 t� 1=2 f�ur 2< t� 3
1 f�ur 3< t
Aufgabe 2.7
a) fX(x) =
�a f�ur 2 � x � 4;
0 sonst.b) a = 1=2
c) P (X < 0:2) = 0 d) P (X > 3) = 1=2
e) P (2:5 � X < 3) = 1=4
Aufgabe 2.8
FX(t) =
�0 f�ur t � 1;
1� t�3 f�ur t > 1:
E(X) = 1:5
D2(X) =
3
4P (X � 2) =
1
8
Aufgabe 2.9 fX(x) =
�34
f�ur � 1 < x � 13
0 sonstE(X) = �1
3
Aufgabe 2.10 a)xi 1 2
pi 0.6 0.4b) P (2 � X � 10) = 0:4
Aufgabe 2.11 a)xi 1 2 3 4
pi 0.8 0.16 0.032 0.008
b) E(X) = 1:248; D2(X) = 0:298 c) P (X � 2) = 0:96
Aufgabe 2.12 E(X) = 30 Pf.
Aufgabe 2.13 a) a =1
2b =
1
�b) fX(t) =
1
�� 1
1 + t2
Aufgabe 2.14 5 Paletten sind optimal.
Aufgabe 2.15 E(X) = 3:5 V ar(X) = 2:92
Aufgabe 2.16
b) FX(x) = x (2� x) f�ur 0 � x � 1, FX(x) = 0 f�ur x < 0, FX(x) = 1 f�ur x > 1
c) m : Median m = 0:293 q0:25 = 0:134 q0:75 = 0:5
101
d) E(X) =1
3V ar(X) =
1
18
Aufgabe 2.18 (a; b) = (10� 4:47; 10 + 4:47) = (5:53; 14:47)
Aufgabe 3.1
X : Anzahl der nicht funktionsf�ahigen Relais in einer 10er-Packung
X � Bi(10; 0:05)
a) P (X = 2) = 0:07463 b) P (X > 1) = 0:08614
c) E(X) = 0:5 V ar(X) = 0:475 d) P (1:5 < X < 4:2) = 0:08608
Aufgabe 3.2 X : Anzahl der Sechsen unter n = 6 W�urfen X � Bi(6; 16)
P (X � 3) = 0:0623
Aufgabe 3.3 P (X = n� y) =�
n
n�y
�pn�y(1� p)n�(n�y) =
�n
y
�(1� p)ypn�y = P (Y = y)
Aufgabe 3.4 X : Anzahl der Sitzungsteilnehmer, X � Bi(12; 0:8)
P (X � 6) = 0:9961
Aufgabe 3.5Vert. i = 0 1 2
B(5; 13) pi =
32243
= 0:132 80243
= 0:329 80243
= 0:329
B(5; 12) pi =
132= 0:031 5
32= 0:156 10
32= 0:313
B(5; 23) pi =
1243
= 0:004 10243
= 0:041 40243
= 0:165
Vert. i = 3 4 5
B(5; 13) pi =
40243
= 0:165 10243
= 0:041 1243
= 0:004
B(5; 12) pi =
1032= 0:313 5
32= 0:156 1
32= 0:031
B(5; 23) pi =
80243
= 0:329 80243
= 0:329 32243
= 0:132
Aufgabe 3.6 X : Anzahl der Monate, in denen die Durchschnittstemperatur normal
sein wird, X � Bi(24; 0:9); P (X < 20) = 0:0851
Aufgabe 3.7 X : Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg; X � Geo(0:8)
E(X) =1
p= 1:25
Aufgabe 3.8 X : Anzahl der Runden bis zum ersten Start, X � Geo(p) mit p =
1� (56)3 = 91
216.
E(X) =1
p=
216
91= 2:37
Aufgabe 3.9 X : Anzahl der Sch�aden, X � Po(�)
a) P (X = 0) =
�0:049787 f�ur � = 3
0:1353352 f�ur � = 2
102
b) P (X � 2) =
�0:42319 f�ur � = 3
0:6766764 f�ur � = 2
c) P (X � 3) =
�0:5768099 f�ur � = 3
0:3233235 f�ur � = 2
) Amortisierung nach 15 Monaten.
Aufgabe 3.10 X � Po(� = 0:5) P (X � 2) = 0:9856
Aufgabe 3.11 X : Anzahl der ankommenden Autos X � Po(�); � = 2:5
a) P (X = 0) = 0:0821 b) P (X = 2) = 0:2565
c) P (X > 3) = 0:2424 d) P (X < 6) = 0:958
Aufgabe 3.12 X : Anzahl der Defekte pro Tag, X � Po(4)
a) P (X > 10) = 0:0028; b) P (X = 4) = 0:1953pV ar(X) =
p� = 2
Aufgabe 3.13 X : Anzahl der Eins�atze pro Tag, X � Po(�) mit � = 1.
P (X = 0) = e�1 = 0:3679
P (X � 1) = 1� P (X = 0) = 0:6321
P (X � 3) = (1 + 1 + 12+ 1
6)e�1 = 0:9810
Aufgabe 3.14
X : Anzahl der Ausschu�st�ucke pro Stunde. X ist approximativ Po(4){verteilt.
a) P (X = 4) = 0:1953 b) P (X � 7) = 0:1107 c) P (X � 8) = 0:9786
Aufgabe 3.15 X : Anzahl der Tippfehler pro Seite, X � Po(�) mit � = 2
a) P (X = 0) = 0:1353 b) P (X = 2) = 0:2707 c) P (X � 2) = 0:6767
Aufgabe 3.16 X : Anzahl der Luftbl�aschen pro m2, X � Po(�) mit � = 1
P ("1.Wahl\)=0.3679, P (
"2.Wahl\)=0.3679
P ("3.Wahl\)=0.2453, P (
"Ausschu�\)=0.0189
Aufgabe 3.17
E (X(X � 1)) =
1Xx=0
x(x� 1)�x
x!e�� = �
2
1Xx=2
�x�2
(x� 2)!e��
= �2
1Xx=0
�x
x!e��
= �2
d.h.: E(X2)� E(X) = �2. Daraus folgt wegen E(X) = �:
V ar(X) = E(X2)� (EX)2 = �2 + �� �
2 = �:
Aufgabe 3.18 Y � Po(6) und X � Ex�
110
�
103
E(X) = 10 [Min]; P (Y � 3) = 0:1512; P (X � 30) = 1� e�3 = 0:9502
Aufgabe 3.19
X : Anzahl der Frauen im Vierer-Gremium, X � H(n;M ;N ; ) = H(4; 5; 10)
a) P (X � 2) = 0:738 b) P (X = 2) = 0:476
Aufgabe 3.20 X : Anzahl der vorbereiteten unter den drei herausgegri�enen Gebieten,
X � H(n;M ;N) = H(3; 5; 10)
P (X � 2) =1
2
Aufgabe 3.21
a) 0:000000072 b) 0:00000043 c) 0:000018 d) 0:00097 e) 0:9814
Aufgabe 3.22
maxf0; n� (N �M)g = maxf0; 4� (8� 5)g = 1; minfn;Mg = minf4; 5g = 4
xi 1 2 3 4
pi = f(xi)(51)�(
3
3)(84)
= 114
(52)�(3
2)(84)
= 37
(54)�(3
1)(84)
= 37
(54)�(3
0)(84)
= 114
Aufgabe 3.23 X : Anzahl der funktionierenden Feuerwerksk�orper in der Stichprobe
a) P (X � 3) = 0:6988 b) P (X � 3) = 0:9623 c) P (X � 3) = 0:0377
Aufgabe 3.24 a) 0:6522 b) 0:2569
Aufgabe 3.26
a) P (X � 2:5) = 0:0062 b) P (X < �1:5) = 0:0668
c) P (1:2 � X � 2:3) = 0:1044 d) P (�1:1 � X < 3) = 0:8635
Aufgabe 3.27
a) P (146 � X < 155) = 0:97104 b) Ja, aber P (X � 160) � 0
c) � = 1:163
Aufgabe 3.28
a) P (24:86 � X � 25:14) = 0:9948 b) P (X � 25:1) = 0:0228
c) c = 0:0875
Aufgabe 3.29
a) P (jX � �j � 3�) � 0:8889 b) P (jX � �j � 3�) = 0:9973
Aufgabe 3.30
P (0 � X � 11) = 0:5565 ; P (8 � X � 12) = 0:3108 ; P (X � 15) = 0:8413 ;
104
Aufgabe 3.31
a) (i) P (X � 985) = 0:0668 (ii) P (X � 985) = 0:0000
b) � � 21:46 c) � � 1003:55
Aufgabe 3.32
a) P (X � 35:4) = 0:7881 b) P (X � 34:6) = 0:7881
c) P (34:5 � X � 35:2) = 0:4967 d) P (34:3 � X � 35:7) = 0:8384
Aufgabe 3.33
a) E(X) = 15 000; E(Y ) = 18 000 > E(X)
b) E(g1(X)) = 1 500 000 E(g2(Y )) = 1 520 000 > E(g1(X))
Aufgabe 3.34 P (X > 10) = 0:1353
Aufgabe 3.35
a) P (X � 2) = 0:8521437
b) 90% der Erzeugnisse �uberleben 1.74 Zeiteinheiten.
c) Nach 4.86 Zeiteinheiten sind 90% der Erzeugnisse ausgefallen.
Aufgabe 4.1 P (47 � X � 52) � 0:4495 P (X = 50) � 0:0796
Aufgabe 4.2 P (X � 10) � 0:9279
Aufgabe 4.3 P (jHn � pj � 0:05) �8<:
0:8414 : f�ur n = 200
0:9750 : f�ur n = 500
0:9984 : f�ur n = 1000
Aufgabe 4.4
a)Normalappr. Normalappr.
Exakter Wert o. Stet.-Korr. m. Stet.-Korr.
P (X = 32) 0.0993 0 0.100
P (26 � X � 34) 0.6821 0.625 0.682
b)Normalappr. Normalappr.
Exakter Wert o. Stet.-Korr. m. Stet.-Korr.
P (X = 32) 0.0659 0 0.071
P (26 � X � 34) 0.5889 0.535 0.588
Aufgabe 4.5
ohne Stet.-Korr. mit Stet.-Korr. exakter Wert
P (X � 49) 0.500 0.528 0.5379
P (42 � X � 56) 0.683 0.715 0.7166
P (X � 60) 0.058 0.067 0.0703
105
Aufgabe 4.6 P (185 � X � 215) � 0:866 (ohne Stet.-Korr.)
P (185 � X � 215) � 0:879 (mit Stet.-Korr.)
Aufgabe 4.7
a) P (X = 0) = 0:9510 = 0:5987
b) P (X � 1) = 1� (0:97)n � 0:99 gilt ab n = 152
Aufgabe 4.9 a) 0:9220 b) 0:74 c) 0:922:
Aufgabe 5.1
XnY 2 4 5 P (X = xi)
-1 0.1 0.2 0.3 0.6
1 0 0.2 0.2 0.4
P (Y = yk) 0.1 0.4 0.5 1
a) E(X) = �0:2 ; E(Y ) = 4:3 ; V ar(X) = 0:96 ; V ar(Y ) = 0:81
b) X und Y sind nicht stochastisch unabh�angig.
c) Cov(X; Y ) = 0:16 ; %(X; Y ) � 0:18
d) XnY y1 y2 P (X = xi)
x1 0.06 0.04 0.1
x2 0.54 0.36 0.9
P (Y = yk) 0.60 0.40 1.0
e) X und Y sind nicht stochastisch unabh�angig, jedoch %(X; Y ) = 0
Aufgabe 5.2 %(X; Y ) = �0:422Regressionsgerade von Y bzgl. X: y = �0:29x + 5:47
Regressionsgerade von X bzgl. Y : x = �0:61y + 7:43
Aufgabe 5.3X n Y 0 1
�1 0 1=3 1=3
0 1=3 0 1=3
1 0 1=3 1=3
1=3 2=3
Cov(X; Y ) = E(XY )� (EX)(EY ) = 0� 0 � 23= 0
Aufgabe 6.1 E(K) = 22 ; V ar(K) = 48
Aufgabe 6.2 fX(x) = � � exp(��x) ; fY (y) = � � exp(��y) Sei Z = X + Y :
1. Fall � = �
fZ(z)=�2z � exp(��z) FZ(z) = 1� exp(��z) � (1 + �z)
E(Z)=2
�V ar(Z) =
2
�2
106
2. Fall � 6= �.
fz(z) =��
�� �� (exp(��z)� exp(��z))
Fz(z) = 1� 1
�� �(� � exp(��z)� � � exp(��z))
E(Z) =1
�+
1
�V ar(Z) =
1
�2+
1
�2
a) E(Z) = 100 ; V ar(Z) = 5000 ; P (Z > 100) = 0:406
b) E(Z) = 10 ; P (Z � 8) = 0:5156
Aufgabe 6.3 Die zul�assige Personenanzahl n ist 28.
Aufgabe 6.4 E(Y ) = 23; V ar(Y ) = 1
18
Aufgabe 6.5 E(X + Y ) = 2; E(X � Y ) = 0;
V ar(X + Y ) = V ar(X � Y ) =2
3; V ar(2X � 3Y ) =
13
3
Aufgabe 6.6 V ar(X) � 5:83
Aufgabe 6.7 E(Z) = 1�(E(X)� �) = 0 V ar(Z) = 1
�2V ar(X) = 1
Aufgabe 6.9 =1� 2ppp(1� p)
F�ur p = 12liegt eine symmetrische Verteilung vor; = 0
F�ur p! 0 geht ! +1F�ur p! 1 geht ! �1
�extrem schiefe Verteilung
Aufgabe 6.10
X : Anzahl der W�urfe, bis jede Augenzahl einmal gew�urfelt ist
Xk : Anzahl der W�urfe, bis zum Erscheinen der k{ten neuen Augenzahl, nachdem k�1
verschiedene Augenzahlen bereits gew�urfelt worden sind; k = 1; 2; � � � ; 6.Es gilt: X = X1 +X2 + � � �+X6
Xk ist geometrisch verteilt mit dem Parameter pk =6�(k�1)
6.
E(X) = E(X1) + E(X2) + E(X3) + E(X4) + E(X5) + E(X6)
= 14:7
Aufgabe 6.11
a) Sei X = X1 +X2
X ist dann n�aherungsweise N(14 + 36; 9 + 25) = N(50; (p34)2) verteilt.
b) P (X � 55) = 0:1969
107
Aufgabe 7.1
a) k = 83; n = 120:48
b) Auswahlsatz n
N= 0:012:
Eine zweistellige und zwei dreistellige Schlu�zi�ern m�ussen (ohne �Uberschneidun-
gen) zuf�allig gew�ahlt werden, z.B. 73; 255 und 623:
Aufgabe 7.2
Stichprobe Wert von X Wert von (X � EX)2
f1,2g 1.5 1.00
f1,3g 2.0 0.25
f1,4g 2.5 0.00
f2,3g 2.5 0.00
f2,4g 3.0 0.25
f3,4g 3.5 1.00
Summe 15.0 2.50
Jede Stichprobe tritt mit der Wahrscheinlichkeit 16auf. Also sind
E(X) =1
6� 15 = 2:5 und V ar(X) =
1
6� 2:5 = 5
12:
Aufgabe 7.3 Xklu =1
N
M
m
mXi=1
Yi =1
2
a)Klumpung Klumpung Wert von Wert von
Xklu bei Xklu bei
Wahl von Wahl von
Klumpen 1 Klumpen 2 Klumpen 1 Klumpen 2 V ar(Xklu)
f1; 2g f3; 4g 1.5 3.5 1.00
f1; 3g f2; 4g 2.0 3.0 0.25
f1; 4g f2; 3g 2.5 2.5 0.00
Mittlere Varianz von Xklu = 13� 1:25 = 5
12= V ar(XreiZ); also ist der mittlere
Klumpungse�ekt gleich Null.
b)Klumpung Klumpung Wert von Wert von
Xklu bei Xklu bei
Wahl von Wahl von
Klumpen 1 Klumpen 2 Klumpen 1 Klumpen 2 V ar(Xklu)
f1g f2; 3; 4g 0.5 4.5 4.00
f2g f1; 3; 4g 1.0 4.0 2.25
f3g f1; 2; 4g 1.5 3.5 1.00
f4g f1; 2; 3g 2.0 3.0 0.25
108
Mittlere Varianz von Xklu =14� 7:5 = 22:5
12> V ar(XreiZ); also entsteht im Mittel
ein negativer Klumpungse�ekt.
Aufgabe 7.4
a)P
Xi ist Bi(n; p){verteilt mit p = M=N . Daraus folgt:
V ar(X) =1
n2np (1� p) =
M (N �M)
nN2
b)P
Xi ist H(n;M;N){verteilt. Daraus folgt:
V ar(X) =1
n2nM
N
�1� M
N
�N � n
N � 1=M (N �M) (N � n)
nN2 (N � 1)
Aufgabe 7.5
a) Es liegen k = 2 Schichten vor mit N1 = N2 = 6 und n1 = n2 = 3. Die Stichprobe
ist proportional und, da die Varianzen innerhalb der beiden Schichten gleich gro�
sind, auch optimal geschichtet. F�ur die Stichprobenmittel X1 und X2 der beiden
Teilstichproben erhalten wir aus Aufgabe 7.4b:
V ar(X1) = V ar(X2) =3 � (6� 3)(6� 3)
3 � 62(6� 1)=
1
20
Wegen der Unabhangigkeit von X1 und X2 folgt daraus f�ur
X = Xprop = Xopt =1
N
2Xj=1
NjXj =1
2(X1 +X2) :
V ar(Xprop) = V ar(Xopt) =1
4
�1
20+
1
20
�=
1
40
b) Es liegen zwei Klumpen vor, von denen einer zuf�allig gew�ahlt wird. Es gilt:
Xklu =1
6� [Summe der Stichprobenwerte] (vgl. (7.10))
Bei Wahl von Klumpen U1 ist Xklu = 12, bei Wahl von Klumpen U2 ebenfalls.
Daraus folgt:
V ar(Xklu) = 0
Nach Aufgabe 7.4 ist
V ar(Xreiz) =6 � (12� 6)(12� 6)
6 � 122 � (12� 1)=
1
44
109
Also gilt in diesem Fall:
0 = V ar(Xklu) < V ar(Xreiz) < V ar(Xprop) = V ar(Xopt)
Aufgabe 7.6 Auf gleiche Weise wie in der L�osung von Aufgabe 7.5 erh�alt man hier:
V ar(X1) = V ar(X2) = 0; also auch
V ar(Xprop) = 0 und V ar(Xklu) =1
4
Wie oben ist V ar(XreiZ) =144. Zusammen folgt daraus die Behauptung.
Aufgabe 8.1
a) bp = 1
xAus x = 5 folgt bp = 1
5: Man beachte hier die andere Bezeichnung in
der geometrischen Verteilung. In der Bezeichnung von Abschnitt 3.1.3. wurde hier
(1� p) gesch�atzt!
b) bp = 110; P (X = 3; Y = 2; Z = 1) = 0:12
Aufgabe 8.2 b� = nnP
i=1
xi
: F�ur das angegebene Beispiel mit n = 10 istP
xi = 40 und
somit b� = 0:25 :
Aufgabe 8.4 Die Stichprobenwerte x1; : : : ; xn sind s�amtlich nichtnegativ;
maxfx1; : : : ; xng bezeichne den gr�o�ten Wert unter ihnen. Aus
f(x1; : : : ; xn;#) =
� �1#
�n: falls alle xi � #; d.h. maxfx1; � � � ; xng � #
0 : falls mindestens ein xi > #
erh�alt man die Likelihood{Funktion
L(#; x1; : : : ; xn) =
� �1#
�n: f�ur alle # � maxfx1; : : : ; xng
0 : f�ur alle # < maxfx1; : : : ; xng
Sie nimmt ihr Maximum an der Stelle b# = maxfx1; : : : ; xng an. F�ur � = 12# ergibt sich
damit die Maximum{Likelihood{Sch�atzung b� = 12maxfx1; : : : ; xng.
Aufgabe 8.5 bm1 =ba2; ba = 2
n
nXi=1
xi
Aufgabe 8.6 y = 0:52 + 5:48 x
Aufgabe 8.7
a) s = 0:00456 v2
b) Ein Sch�atzwert f�ur den Bremsweg bei einer Geschwindigkeit von 75 km/h ist:
s(75) = 25:7 m.
110
Aufgabe 8.8 y = 1:13 +8:96
x
Aufgabe 9.1 P (� 2 [2804; 3196]) = 0:95
Aufgabe 9.2 P (� 2 [2:686; 2:724]) = 0:99
Aufgabe 9.3 P (�2 2 [254:7; 1174:5]) = 0:99
Aufgabe 9.4 P (p 2 [0:02; 0:08]) = 0:95
Aufgabe 9.5 P
��22n;�=2
2nX� � � �
22n;1��=2
2nX
�= 1� � ) P (� 2 [0:12; 0:43]) = 0:95
Aufgabe 9.6 0.95{Kon�denzintervall f�ur eine Lagerposition: [980:62; 1841:38]. F�ur den
Lagergesamtwert N� erh�alt man daraus das 0.95{Kon�denzintervall
[N � 980:62; N � 1841:38] = [22528763; 42303804] :
Aufgabe 9.7 0.95{Kon�denzintervall [95:64; 110:36].
Aufgabe 9.8 0.9{Kon�denzintervall: [1:32; 5:69]
Aufgabe 9.9 0.99{Kon�denzintervall [0:5025; 0:5495]
Aufgabe 9.10 0.95{Kon�denzintervall [3:478; 3:522]
Aufgabe 10.1
a) 121:5 2 (118:04; 121:96) ) H0 beibehalten.
b) 121:5 62 (119:02; 120:98) ) H0 ablehnen.
c) � ": z1��=2 # ) F�ur wachsende � wird der kritische Bereich gr�o�er, d.h. der
Nichtablehnungsbereich kleiner.
Aufgabe 10.2 a) x � 305:6 b) � = 0:0329
Aufgabe 10.3 Kritischer Bereich: K = fx : jx� 0:5j > 0:02472gjx� �0j = j0:45� 0:5j = 0:05, d.h. x 2 K, d.h. H0 ablehnen.
Aufgabe 10.4 Kritischer Bereich: K = [1:97 � s2<1]
s2 = 1:6) H0 nicht ablehnen.
Aufgabe 10.5 einfacher Gau�test; Kritischer Bereich f�ur T : K = [1:645;1] ;
t = 1:573 ; t 62 K ) H0 nicht ablehnen.
Aufgabe 10.6 doppelter t{Test; t = 3:447 > t23;0:95 = 1:714 ) H0 verwerfen.
Aufgabe 10.7 Test von Welch; t = 3:819 > 1:645 ) Die Vermutung kann bei einem
Signi�kanzniveau � = 0:05 durch die Stichprobenergebnisse best�atigt werden.
Aufgabe 10.8 einfacher Gau�test f�ur eine unbekannte Wahrscheinlichkeit;
K = fx : jx� 0:5j > 0:0825g ; 0:1 > 0:0825 ) H0 verwerfen
Aufgabe 10.9
a) Es handelt sich um eine Bi(4; 12){Verteilung.
111
b) �2 = 11:92 > �
24;0:95 = 9:49 ) H0 ablehnen.
Aufgabe 10.10
a) x =52
52= 1 ; s
2 =52
51
b) �2 = 0:0723 < �
21;0:95 = 3:84 ) H0 nicht ablehnen.
c) P (X � 5) = 0:0037 : Alle 5:2 Jahre ist der Fall, da� 5 und mehr Feuermelder in
einer Woche ausfallen, zu erwarten.
Aufgabe 10.11 H0 : Unabh�angigkeit, �2 = 11:6 > �21;0:99 = 6:63 ) H0 wird
abgelehnt.
Aufgabe 10.12 H0 : Unabh�angigkeit, �2 = 3:39 < �23;0:95 = 7:81 ) H0 nicht
ablehnen. Aufgabe 10.13
a) Einfacher Gau�{Test f�ur H0 : � = �0 = 10 gegen H1 : � 6= �0.
0:2 > 0:196 ) H0 wird abgelehnt.
b) Einfacher t{Test f�ur H0 : � = �0 = 10 gegen H1 : � 6= �0 (bei unbekanntem �2).
0:2 < 0:211 ) H0 nicht abgelehnt.
Aufgabe 10.14 Einfacher t{Test f�urH0 : � = 80 gegen H1 : � > 80.H0 wird abgelehnt,
wenn x > 81:59 : Wegen x = 81:5 ist H1 nicht signi�kant.
Aufgabe 10.15 Test von H0 : �A = �B + 5000 gegen H1 : �A > �B + 5000 : H0 wird
genau dann abgelehnt, wenn x � y > 5148:1 : Die beobachtete Di�erenz x � y = 5158
f�uhrt daher zur Signi�kanz von H1.
Aufgabe 10.16
a) Doppelter t{Test f�ur H0 : �B = �A + 5 gegen H1 : �B > �A + 5. H0 wird genau
dann abgelehnt, wenn y � x� 5 > 3:81 : Die beobachtete Di�erenz y � x � 5 = 4
f�uhrt daher zur Ablehnung von H0.
b) Test von Welch f�ur H0 und H1 wie unter a). H0 wird genau dann abgelehnt, wenn
gilt:
y � x� 5 > t�;1�� s
ss21
n1+
s22
n2
� = 29:3 ; t29;0:95 = 1:70 : H0 wird ebenfalls abgelehnt. (Da sich weder n1 und n2
noch s21 und s
22 stark unterscheiden, besitzt der Test von Welch fast den gleichen
Ablehnbereich wie der doppelte t{Test.)
Aufgabe 10.17 t{Di�erenzentest f�ur H0 : �1 = �2 gegen H1 : �1 > �2. H0 wird genau
dann abgelehnt, wenn z = x � y > 0:798 : Das beobachtete z = 1 f�uhrt zur Ablehnung
von H0.
Aufgabe 10.18 Aus den beiden Stichproben (mit n1 = n2 = 17) erh�alt man x = 51,
112
s2x= 6:25, y = 50 und s
2y= 7:50. Da sich s
2xund s
2ynicht stark unterscheiden und
n1 = n2 gilt, besitzt der Test von Welch ungef�ahr den gleichen Ablehnbereich wie der
doppelte t-Test; wir wenden letzteren an. (H0 und H1 wie in Aufgabe 10.17.) H0 wird
genau dann abgelehnt, wenn
x� y > t32;1��s
r1
n1+
1
n2= 2:45 � 2:62 � 0:34 = 2:18
Das beobachtete x � y = 1 f�uhrt nicht zur Ablehnung von H0. (Durch den Test von
Welch w�urde H0 genau dann abgelehnt, wenn x � y > 2:20. Er liefert hier dasselbe
Ergebnis.)
Aufgabe 10.19 Hypothesen: H0 : p = p0 = 0:5 gegen H1 : p 6= p0. Da n hinreichend
gro� ist (n p0 (1�p0) > 9), darf der einfache Gau�{Test f�ur p benutzt werden. Kritischer
Bereich: jx� p0j > 0:0236 : x = 0:526, also wird H0 abgelehnt.
Aufgabe 10.20 �2{Test f�ur die Varianz bei bekanntem �.
H0 : �2 = �
20 = 1 gegen H1 : �
2> �
20 .
H0 wird genau dann abgelehnt, wenn s2�> 1:77 Aus der beobachteten Stichprobe ergab
sich s2�= 1:76 : ) H0 wird nicht abgelehnt.
Aufgabe 10.21 �2{Test f�ur die Varianz bei unbekanntem �.
H0 : � = �0 = 250 gegen H1 : � 6= 250.
Der kritische Bereich K des Tests besteht aus allen s2{Werten, die kleiner als 32750 und
gr�o�er als 101500 sind. Das beobachtete s2 = 1602 = 25600 f�uhrt daher zur Ablehnung
von H0.
Aufgabe 10.22 �2{Anpassungstest f�ur eine einfache Nullhypothese. H0 : Die aktuelle
Verteilung ist die gleiche wie bei der letzten Wahl. H1 : Die aktuelle Verteilung ist un-
gleich der Verteilung der letzten Wahl. �2{Abstand t = 50. Dieser Wert ist gr�o�er als
das Quantil �23;0:99 = 11:3. H0 wird abgelehnt.
Aufgabe 10.23 �2{Anpassungstest mit gesch�atztem Parameter b� = 1: H0: X ist
Po(b�){verteilt. �2{Abstand t = 1:44. Dieser Wert ist kleiner als das Quantil �22;0:95 =
5:99 :) H0 wird nicht abgelehnt.
Aufgabe 10.24 �2{Anpassungstest. H0: Die Lebensdauer ist Ex(�){verteilt mit
� = 0:5 : �2{Abstand t = 7:70 : Dieser Wert ist kleiner als das Quantil �25;0:95 = 11:1. H0
wird nicht abgelehnt.
Aufgabe 10.25 �2{Unabh�angigkeittest. �2{Abstand: 23:15 : Dieser Wert ist gr�o�er als
das Quantil �22;0:99 = 9:21 : H0 wird abgelehnt. Die Abh�angigkeit der Freizeitinteressen
vom Geschlecht ist signi�kant.
Aufgabe 10.26 �2{Unabh�angigkeitstest. �2{Abstand: 85:6 : Er ist gr�o�er als das Quan-
til �26;0:95 = 12:6. Damit wird H0 verworfen: Eine Abh�angigkeit zwischen Wahlabsicht
und Bekenntnis ist signi�kant.
113
Tabelle 1: Poisson{Verteilungen
Wahrscheinlichkeitsfunktion f(xi) = P (X = xi) = piVerteilungsfunktion F (x) = P (X � x) =
P
i: xi�x
f(xi) =P
i: xi�x
pi
� = 0:1 � = 0:2 � = 0:3 � = 0:4 � = 0:5
xi f(xi) F (x) f(xi) F (x) f(xi) F (x) f(xi) F (x) f(xi) F (x)
0 0.9048 0.9048 0.8187 0.8187 0.7408 0.7408 0.6703 0.6703 0.6065 0.6065
1 0.0905 0.9953 0.1637 0.9825 0.2222 0.9631 0.2681 0.9384 0.3033 0.9098
2 0.0045 0.9998 0.0164 0.9989 0.0333 0.9964 0.0536 0.9921 0.0758 0.9856
3 0.0002 1.0000 0.0011 0.9999 0.0033 0.9997 0.0072 0.9992 0.0126 0.9982
4 0.0000 1.0000 0.0001 1.0000 0.0003 1.0000 0.0007 0.9999 0.0016 0.9998
0.0001 1.0000 0.0002 1.0000
� = 0:6 � = 0:7 � = 0:8 � = 0:9 � = 1
xi f(xi) F (x) f(xi) F (x) f(xi) F (x) f(xi) F (x) f(xi) F (x)
0 0.5488 0.5488 0.4966 0.4966 0.4493 0.4493 0.4066 0.4066 0.3679 0.3679
1 0.3293 0.8781 0.3476 0.8442 0.3595 0.8088 0.3659 0.7725 0.3679 0.7358
2 0.0988 0.9769 0.1217 0.9659 0.1438 0.9526 0.1647 0.9371 0.1839 0.9197
3 0.0198 0.9966 0.0284 0.9942 0.0383 0.9909 0.0494 0.9865 0.0613 0.9810
4 0.0030 0.9996 0.0050 0.9992 0.0077 0.9986 0.0111 0.9977 0.0153 0.9963
5 0.0004 1.0000 0.0007 0.9999 0.0012 0.9998 0.0020 0.9997 0.0031 0.9994
6 0.0001 1.0000 0.0002 1.0000 0.0003 1.0000 0.0005 0.9999
7 0.0001 1.0000
� = 1:5 � = 2 � = 3 � = 4 � = 5
xi f(xi) F (x) f(xi) F (x) f(xi) F (x) f(xi) F (x) f(xi) F (x)
0 0.2231 0.2231 0.1353 0.1353 0.0498 0.0498 0.0183 0.0183 0.0067 0.0067
1 0.3347 0.5578 0.2707 0.4060 0.1494 0.1991 0.0733 0.0916 0.0337 0.0404
2 0.2510 0.8088 0.2707 0.6767 0.2240 0.4232 0.1465 0.2381 0.0842 0.1247
3 0.1255 0.9344 0.1804 0.8571 0.2240 0.6472 0.1954 0.4335 0.1404 0.2650
4 0.0471 0.9814 0.0902 0.9473 0.1680 0.8153 0.1954 0.6288 0.1755 0.4405
5 0.0141 0.9955 0.0361 0.9834 0.1008 0.9161 0.1563 0.7851 0.1755 0.6160
6 0.0035 0.9991 0.0120 0.9955 0.0504 0.9665 0.1042 0.8893 0.1462 0.7622
7 0.0008 0.9998 0.0034 0.9989 0.0216 0.9881 0.0595 0.9489 0.1044 0.8666
8 0.0002 1.0000 0.0009 0.9998 0.0081 0.9962 0.0298 0.9786 0.0653 0.9319
9 0.0002 1.0000 0.0027 0.9989 0.0132 0.9919 0.0363 0.9682
10 0.0008 0.9997 0.0053 0.9972 0.0181 0.9863
11 0.0002 0.9999 0.0019 0.9991 0.0082 0.9945
12 0.0001 1.0000 0.0006 0.9997 0.0034 0.9980
13 0.0002 0.9999 0.0013 0.9993
14 0.0001 1.0000 0.0005 0.9998
15 0.0002 0.9999
16 0.0001 1.0000
114
Tabelle 2: Wahrscheinlichkeiten der Standardnormalverteilung
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936
2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9661 0.9962 0.9963 0.9964
2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974
2.8 0.9974 0.9975 0.9979 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986
3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990
3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993
3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995
115
Tabelle 3: Quantile der t{Verteilung mit � Freiheitsgraden
�np 0.995 0.99 0.975 0.95 0.90
1 63.66 31.82 12.71 6.31 3.08
2 9.92 6.96 4.30 2.92 1.89
3 5.84 4.54 3.18 2.35 1.64
4 4.60 3.75 2.78 2.13 1.53
5 4.03 3.36 2.57 2.02 1.48
6 3.71 3.14 2.45 1.94 1.44
7 3.50 3.00 2.36 1.90 1.42
8 3.36 2.90 2.31 1.86 1.40
9 3.25 2.82 2.26 1.83 1.38
10 3.17 2.76 2.23 1.81 1.37
11 3.11 2.72 2.20 1.80 1.36
12 3.06 2.68 2.18 1.78 1.36
13 3.01 2.65 2.16 1.77 1.35
14 2.98 2.62 2.14 1.76 1.34
15 2.95 2.60 2.13 1.75 1.34
16 2.92 2.58 2.12 1.75 1.34
17 2.90 2.57 2.11 1.74 1.33
18 2.88 2.55 2.10 1.73 1.33
19 2.86 2.54 2.09 1.73 1.33
�np 0.995 0.99 0.975 0.95 0.90
20 2.84 2.53 2.09 1.72 1.32
21 2.83 2.52 2.08 1.72 1.32
22 2.82 2.51 2.07 1.72 1.32
23 2.81 2.50 2.07 1.71 1.32
24 2.80 2.49 2.06 1.71 1.32
25 2.79 2.48 2.06 1.71 1.32
26 2.78 2.48 2.06 1.71 1.32
27 2.77 2.47 2.05 1.70 1.31
28 2.76 2.47 2.05 1.70 1.31
29 2.76 2.46 2.04 1.70 1.31
30 2.75 2.46 2.04 1.70 1.31
40 2.70 2.42 2.02 1.68 1.30
60 2.66 2.39 2.00 1.67 1.30
120 2.62 2.36 1.98 1.66 1.29
1 2.58 2.33 1.96 1.645 1.28
116
Tabelle 4: Quantile der �2{Verteilung mit � Freiheitsgraden
�np 0.005 0.01 0.025 0.05 0.95 0.975 0.99 0.995
1 0.0000 0.0002 0.0010 0.0039 3.84 5.02 6.63 7.88
2 0.0100 0.0201 0.0506 0.103 5.99 7.38 9.21 10.6
3 0.072 0.115 0.216 0.352 7.81 9.35 11.3 12.8
4 0.207 0.297 0.484 0.711 9.49 11.1 13.3 14.9
5 0.412 0.554 0.831 1.15 11.1 12.8 15.1 16.7
6 0.676 0.872 1.24 1.64 12.6 14.4 16.8 18.5
7 0.989 1.24 1.69 2.17 14.1 16.0 18.5 20.3
8 1.34 1.65 2.18 2.73 15.5 17.5 20.1 22.0
9 1.73 2.09 2.70 3.33 16.9 19.0 21.7 23.6
10 2.16 2.56 3.25 3.94 18.3 20.5 23.2 25.2
11 2.60 3.05 3.82 4.57 19.7 21.9 24.7 26.8
12 3.07 3.57 4.40 5.23 21.0 23.3 26.2 28.3
13 3.57 4.11 5.01 5.89 22.4 24.7 27.7 29.8
14 4.07 4.66 5.63 6.57 23.7 26.1 29.1 31.3
15 4.60 5.23 6.26 7.26 25.0 27.5 30.6 32.8
16 5.14 5.81 6.91 7.96 26.3 28.8 32.0 34.3
17 5.70 6.41 7.56 8.67 27.6 30.2 33.4 35.7
18 6.26 7.01 8.23 9.39 28.9 31.5 34.8 37.2
19 6.84 7.63 8.91 10.1 30.1 32.9 36.2 38.6
20 7.43 8.26 9.59 10.9 31.4 34.2 37.6 40.0
21 8.03 8.90 10.3 11.6 32.7 35.5 38.9 41.4
22 8.64 9.54 11.0 12.3 33.9 36.8 40.3 42.8
23 9.26 10.2 11.7 13.1 35.2 38.1 41.6 44.2
24 9.89 10.9 12.4 13.8 36.4 39.4 43.0 45.6
25 10.5 11.5 13.1 14.6 37.7 40.6 44.3 46.9
26 11.2 12.2 13.8 15.4 38.9 41.9 45.6 48.3
27 11.8 12.9 14.6 16.2 40.1 43.2 47.0 49.6
28 12.5 13.6 15.3 16.9 41.3 44.5 48.3 51.0
29 13.1 14.3 16.0 17.7 42.6 45.7 49.6 52.3
30 13.8 15.0 16.8 18.5 43.8 47.0 50.9 53.7
40 20.7 22.2 24.4 26.5 55.8 59.3 63.7 66.8
50 28.0 29.7 32.4 34.8 67.5 71.4 76.2 79.5
60 35.5 37.5 40.5 43.2 79.1 83.3 88.4 92.0
70 43.3 45.4 48.8 51.7 90.5 95.0 100.4 104.2
80 51.2 53.5 57.2 60.4 101.9 106.6 112.3 116.3
90 59.2 61.8 65.6 69.1 113.1 118.1 124.1 128.3
100 67.3 70.1 74.2 77.9 124.3 129.6 135.8 140.2
117
Literaturverzeichnis
[1] Bamberg/Bauer: Statistik, Oldenbourg-Verlag
[2] Beyer/Hackel/Pieper/Tiedge: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische
Statistik (Reihe: Mathematik f�ur Ingenieure und Naturwissenschaftler), Teubner-
Verlag
[3] Hochst�adter: Statistische Methodenlehre, Verlag H. Deutsch
[4] R�uger: Induktive Statistik, Oldenbourg-Verlag
[5] Schwarze: Grundlagen der Statistik | Teil 2, NWB Studienb�ucher
118
