Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
Peatu
kk2
Sise
joudja
pinged
Kaesolevas
peatu
kis
rakendatak
sevarrastes
jatalad
estek
kivate
pinge-
tean
aluusim
iseks
tugev
usop
etuses
(jateh
nilises
mehaan
ikas)kasu
tatavaidhupoteese,
prin
tsiipeja
meeto
deid
.Teisison
u,kaesolevas
peatu
kis
onvaatlu
seall
nn.elem
entaarteo
orialevastavad
lahendid.
2.1.
Valisjo
ud
2-2
2.1
Valisjo
ud
Deform
eeruvat
kehavoib
vaadeld
ako
osnevan
apunktm
assidest
jaseega
onte-
gupunktm
asside(m
ehaan
ikalise)susteem
iga1.Sise-
javalisjou
dusid
kasitleti
kajaiga
kehamehaanika
kursu
ses(tavaliselt
dunaam
ikakursu
sesennedunaam
ikauldteoreem
e).Koigep
ealttuli
maaratled
avaad
eldav
keha(voi
punktm
asside
susteem
)ningseejarel
defineeriti
sise-ja
valisjou
djargm
iselt:sisejo
udon
joud,
millega
vaadeld
avassesusteem
ikuuluvad
punktm
assidmoju
tavaduksteist
javalisjo
udon
joud,millega
vaadeld
avassesusteem
imittek
uuluvad
punktm
assidmoju
tavadvaad
eldavasse
susteem
ikuuluvaid
punktm
asse.Analo
ogiliseltdefi-
neeritak
sesise-
javalisjou
dka
pideva
keskkon
namehaan
ikas(k.a.
elastsusteo
o-rias):
•Sisejo
ududeks
nim
etatakse
joudusid
,millega
vaadeld
avakeh
a(voikesk
kon-
na)
punktid
(vaadeld
avassesusteem
ikuuluvad
punktm
assid)moju
tavaduksteist.
•Valisjo
ududeks
nim
etatakse
joudusid
,millega
teisedkeh
ad,kesk
konnad
ja
1Vt.
ka” D
unaam
ika”kursu
sest.
2.1.
Valisjo
ud
2-3
punktm
assidmoju
tavadvaad
eldavat
keha(kesk
konda).
Valisjou
djagu
nevad
pind-ja
mah
ujou
dudeks.
•Pind-
ehk
kontaktjo
ud
moju
vadvaad
eldavale
kehale
labivalisp
inna.
Naitek
shudrostaatilin
esurve.
•Mahu-ehkmassjo
udmoju
vadigale
vaadeld
avatkeh
amoodustavale
punkt-
massile.
Naitek
sgrav
itatsioon
ijoud.
Pindjou
dmoju
balati
labimingi
pinnaja
seetottuon
temadim
ensio
ontavaliselt
sama,
mispingel,
s.t.N/m
2.Piirju
hul,kuipindmillel
koorm
usmoju
bon
vaga
vaike,
asendatak
sepindjou
dsellel
pinnal
moju
vapindjou
duderesu
ltandiga,
s.t.uhejou
ga,midanim
etatakse
punktjo
uks
ehkkoo
ndatudjouks.
Koon
datu
djou
dim
ensio
onon
loom
ulik
ultN.Kak
svord
vastupidist
koon
datu
djou
du,millel
onerin
evadmoju
sirged,moodustavad
koondatudmomendi.Mahujoududedim
en-
sioon
onN/m
3ja
massijo
ududel
N/k
g.
√
Toerea
ktsioonid
kuuluvad
valisjou
dudehulka.
Tugev
usop
etuse
(jaelastsu
steoo-
ria)seisu
kohast
olulisem
adtuged
etuubid
2:
2Vaata
lisaksstaatika
kursu
sest.
2.1.
Valisjo
ud
2-4
•2D
liikuvliigen
dtugi
e.liigen
d—
1jou
d,
•2D
liikumatu
liigendtugi
e.liigen
d—
2jou
du,
•2D
jaikkinnitu
s—
2jou
duja
1mom
ent,
•3D
jaikkinnitu
s—
3jou
duja
3mom
enti.
Staatika
gamaaratudja
staatika
gamaaramata
konstru
ktsioonid.
•Staatikaga
maaratu
dkon
struktsio
onidetoereak
tsioon
ideleid
minetoim
ub
staatikatasakaalu
vorran
dite,
prin
tsiipideja
aksio
omideab
il,s.t.
tapselt
samutikuised
ateh
tistaatika
kursu
ses.
–Tasap
innalised
ulesan
ded
—kuni
3tundmatu
tja
sama
palju
vorran
deid
.
–3D
(ruumilised
ulesan
ded)
—kuni6
tundmatu
tja
sama
palju
vorran
deid
.
–Kon
struktsio
onloetak
sejaigak
s.
–Jaotatu
dko
ormused
asendata
jkse
uksik
joududega.
2.2.
Sise
joudja
loikemeetod
2-5
–Jou
duvoib
kasitled
alib
isevavek
torina.
–Jne.,
vaatalisak
sstaatika
kursu
sest.
•Staatikaga
maaram
atakon
struktsio
onidetoereak
tsioon
ideleid
mise
meeto-
deid
kasitletak
setugev
usop
etuse
jaehitu
smehaan
ikakursu
stes.Sel
juhul
tuleb
arvessevotta
kuidas
konstru
ktsio
ondeform
eerub.
2.2
Sise
joud
jaloikemeeto
d
Vastavalt
New
toni
IIIsead
usele
moju
tavadkak
spunktm
assitein
eteistvord
vastupidiste
joududega.
Valisjou
dude
puudumisel
moju
vadtah
kekeh
apunktm
assidevah
elmolek
ulaarse
paritolu
gajou
d,mis
tagavadtalle
nn.kuju-
jamah
upusiv
use.
Sedasorti
joud(m
isom
aolem
uselt
onsam
utisisejou
d)elast-
susteo
oriaja
tugev
usop
etuse
seisukoh
altuldjuhulhuviei
pak
uja
neid
arvesseei
voeta.
Teisison
u:
•kunaalgolek
us(valisjou
dudepuudumisel)
loem
emekeh
adpingetest
jade-
formatsio
onidest
vabad
eks,siis
eeldatak
se,et
algolekussisejou
dpuuduvad
;
2.2.
Sise
joudja
loikemeetod
2-6
•meid
huvitavad
vaidsellised
sisejoud,mis
ilmnevad
kehale
rakendatu
dvalisjou
dudetulem
usen
a.
Kehasisejou
dudeja
pingete
maaram
isejuures
man
gibtah
tsatrolli
loikemeeto
d,
mille
idee
onjargm
ine.
•Vaatlem
etasakaalu
solevat
kehaja
loikameta
motteliselt
kaheksosak
s.
•Sellek
s,et
molem
adosad
oleksid
kaparast
(mottelist)
tukeld
amist
tasa-kaalu
stuleb
araloigatudosa
moju
asendad
ajou
dudega.
Neid
joudusid
ni-
metatak
segi(vaad
eldavas
kehaloikes
moju
vateks)
sisejoududeks.
Kuna
enne
(mottelist)
loigetolid
vaadeld
avakeh
aosad
omavah
eljaigalt
uhendatu
d,siis
metoim
imesisejou
dudemaaram
isejuures
analo
ogiliseltjaigale
kinnitu
selevastavate
toereak
tsioon
ideleid
misele
staatikakursu
ses.Viim
asedpeavad
valistam
anii
loikepinnapunktid
esiird
edkuipoord
ed.Staatika
kur-
susest
ontead
a,et
tasapinnalise
joususteem
ikorral
onsellistek
sreak
tsioon
i-dekskak
sjou
duja
uksmom
entning3D
joususteem
ikorral
kolmjou
duja
kolmmom
enti.
2.2.
Sise
joudja
loikemeetod
2-7
Joon
is2.1:
Loikem
eetodja
sisejoud:loikep
innal
onkujutatu
dsisejou
dudepeavek
torja
peam
o-ment.
Ran
gemalt
oeldes
onjaiga
kinnitu
sereak
tsioon
idekssiisk
iuksjou
dja
uksmo-
ment–reak
tsioon
joududepeavek
torja
peam
oment.Toereak
tsioon
ideleid
mise
korralmaaratak
setavaliselt
nendekah
evek
toriprojek
tsioon
idko
ordinaattelge-
del.
Viim
asteab
ilsaab
omakord
amaarata
toereak
tsioon
ideko
ordinaattelged
esih
ilisedkom
pon
endid.Tasap
innalisel
juhulon
neist
kuuest
kompon
endist
kolmsam
aseltnullid
.Tap
seltsam
aloogika
kehtib
sisejoududemaaram
isekorral.
2.3.
Sise
joududeliig
id2-8
Sisejou
dudemaaram
isekstuleb
vaadeld
akeh
akumbagip
oolt
eraldin
ingko
osta-dastaatikast
tuntudmeeto
deid
kasutad
estasakaalu
vorran
did,kust
maaratak
seotsitavad
sisejoud.Ettevaatlik
tuleb
siinolla
juhtudel,
kuiloige
onteh
tudjaota-
tudko
ormuse
moju
mise
piirkon
nas.
Sellisel
juhuleisaa
kogujaotatu
dko
ormust
asendad
auhejou
ganagu
staatikasteh
ti.(N
aide2-1.
Tala
sisejoud.Lah
enda-
takse
loengu
s!)
2.3
Sise
joududeliig
id
Varraste
jatalad
e(ka
plaatid
e)korral
eristatakse
sisejoududena
pikijo
udu,
vaandem
omenti,
poikjo
uduja
paindem
omenti.
Pikijo
udmoju
bpikivard
atel-
ge.Tasaab
tekkida,
kuivalisjou
dudel
onvard
atelje
sihilisi
kompon
ente
(joon
.2.2).
Vaandem
omentsaab
vardas
tekkidasiis,
kuivalisjou
dudel
onkom
pon
ente,
mis
annavad
mom
ente
vardatelje
suhtes
voi
talleon
rakendatu
dpoord
emom
ent,
st.valism
omentvard
atelje
suhtes
(joon
.2.3).
Vaan
dem
omentpoorab
varda
ristloikeidumber
vardatelje.
2.3.
Sise
joududeliig
id2-9
Joon
is2.2:
Pikijou
d(Joon
ison
parit
prof.
A.Klau
soniTehnilise
mehaanikaloengu
konspektist.)
2.3.
Sise
joududeliig
id2-10
Joon
is2.3:
Vaan
dem
oment
(Joon
ison
parit
prof.
A.Klau
soniTehnilise
mehaanikaloengu
konspektist.)
2.3.
Sise
joududeliig
id2-11
Poikjo
udmoju
bristi
vardateljega
ja”u
ritabvarrast
labiloigata”.
Paindem
o-
menditoim
elvarras
koverd
ub.Need
kakssisejou
dusaavad
vardas
tekkidasiis
kuitalle
moju
vadvalisjou
dom
avadvard
ateljega
ristuvaid
kompon
ente.
Lisak
svoib
paindem
omenttek
kidajuhulkuivard
alemoju
bpain
ettek
itavmom
ent.
Selliseid
valisko
ormusion
kujutatu
djoon
isel2.4.
Poik
jousunon
uuminakasu
ta-tak
seka
terminitloikejo
ud.
Joon
is2.4:
Poik
joudja
pain
dem
oment
(Joon
ison
parit
prof.
A.Klau
soniTehnilise
mehaanikaloengu
konspektist.)
2.3.
Sise
joududeliig
id2-12
Joon
isel2.5
onkujutatu
dkasitletu
dsisejou
dusid
tasapinnalisel
(2D)juhulja
joon
istel2.6
ning2.7
3Djuhul.
Neil
joon
istelon
kasutatu
dsisejou
dudeta-
vaparaseid
tahistu
si:pikijou
d–N,vaan
dem
oment–T,poik
joud–Q
japain
-dem
oment–T.
Joon
is2.5:
Sisejou
dudeliigid
–2D
juht.
(Joon
ison
parit
prof.
A.Klau
soniTehnilise
mehaanikaloengu
konspektist.)
2.3.
Sise
joududeliig
id2-13
Joon
is2.6:
Sisejou
dudeliigid
japositiiv
sedsuunad
—piki-ja
poik
joud3D
juhul.
(Joon
ison
parit
prof.
A.Klau
soniTehnilise
mehaanikaloengu
konspektist.)
2.3.
Sise
joududeliig
id2-14
Joon
is2.7:
Sisejou
dudeliigid
japositiiv
sedsuunad
–vaan
de-
japain
dem
omendid
3Djuhul.
NB!M
zon
siinnegatiiv
ne,
teisedpositiiv
sed.
(Joon
ison
parit
prof.
A.Klau
soniTehnilise
mehaanikaloengu
konspektist.)
2.4.
Sise
joududemargireeg
lid2-15
2.4
Sise
joududemarg
ireeglid
Sisejou
dudepositiiv
seteleja
negatiiv
setelesuundad
eleon
kehtestatu
dsuhte-
liseltran
gedmargireeglid
3.Ennenendejuurdeasu
mist
tuleb
agatap
sustad
ako
ordinaattelged
easen
dja
tuuasisse
mon
edmoisted
.
Tugev
usop
etuses,
ehitu
smehaan
ikasja
mon
esmuus
mehaan
ikaosas,
kus
kasitletak
sevarraste,
plaatid
eja
koorik
ute
mehaan
ikalistkaitu
mist,
ontih
-ti
kombekssuunata
vertikaalneko
ordinaattelg
alla.Kunapoord
epositiiv
ne
suundon
seotudtelged
easen
diga,
siisloetak
senuudpositiiv
sekstavap
arasegavorreld
esvastu
pidist
pooret
(vt.
1.peatu
kklk.8).
Sellin
etelged
easen
doli
eelmises
alajaotu
sesjubakasu
tuses.
Mottelisel
loikeltek
kivat
pindanim
etatakse
sisepinnaks
(vt.
joon
.2.6
ja2.7).
Tavaliselt
tehak
seloiked
ristitelged
ega.Sel
juhulsaab
defineerid
apositiiv
sedningnegatiiv
sedsisep
innad
.Sisep
indanim
etatakse
positiivseks
sisepinnaks
kui
temanorm
aalon
suunatu
dko
ordinaattelje
positiiv
sessuunas
janega
tiivseks
sisepinnaks
kuitem
anorm
aalon
suunatu
dko
ordinaattelje
negatiiv
sessuunas.
Joon
istel2.6
ja2.7
kujutatu
djuhtudel
onloikam
isekaigu
stek
kinudtagu
misel
3Tosi
kull,
erinevte
autorite
opikutes
jateatm
eteostesvoib
kohata
vaga
erinevaid
margireegleid
.
2.4.
Sise
joududemargireeg
lid2-16
vardaosal
positiiv
nesisep
indja
eesmisel
vardaosal
negatiiv
nesisep
ind.Joon
isel2.5
kujutatu
d2D
juhulon
positiiv
nesisep
indtek
kinudvard
avasak
poolsel
osalja
negatiiv
neparem
poolsel
osal.
Tala
pain
deuurim
iselosu
tuvad
tahtsatek
snn.positiivsed
janega
tiivsedkiu
d.
Vard
amottelisi
kiudusid
nim
etatakse
positiiv
setekskuiz-ko
ordinaat
onselles
talaosas
positiiv
ne.Javastu
pidi,vard
amottelisi
kiudusid
nim
etatakse
negatiiv
-setek
skuiz-ko
ordinaat
onselles
talaosas
negatiiv
ne.
Sellin
emaaratlu
skeh
tibjuhulkuitala
pain
dubx−
ztasap
innas
(joon
.2.4).
Kuipain
etoim
ubaga
x−y
tasapinnas,
siison
positiiv
sedja
negatiiv
sedkiudmaaratu
dy-telje
abil.
Graafi
liselton
sisejoududepositiivsed
suunad2D
juhujaok
skujutatu
djoon
isel2.8
ning3D
juhujaok
sjoon
istel2.6
ja2.7
(valja
arvatudM
z ,mis
onjoon
isel2.7
negatiiv
ne).
Son
astatulton
sisejoududemargireeglid
jargmised
.
•Positiivn
epikijo
udvastab
vardatom
bele
janegatiiv
nepikijou
dsurvele.
–Positiiv
nepikijou
dmoju
bpositiiv
selsisep
innaltelje
positiiv
sessuunas.
2.4.
Sise
joududemargireeg
lid2-17
•Vaandem
omendipositiivn
esuund
onmaaratu
dkruvireegliga:
positiiv
selsisep
innal
moju
vvaan
dem
omenton
positiiv
nekuivaan
dem
omendisuunas
poorates,
hak
kabkruviliik
umatelje
positiiv
sessuunas
ningnegatiiv
selsisep
innal
teljenegatiiv
sessuunas.
•Positiivn
epoikjo
udQ
zmoju
bpositiiv
selsisep
innal
z-teljepositiiv
sessuu-
nas
janegatiiv
selsisep
innal
z-teljenegatiiv
sessuunas.
–Analo
ogilinemargireegel
kehtib
kapoik
jouQ
yjaok
s.
–Tasap
innalise
juhu
jaokson
kasutusel
kann.tooreegel:
Positiiv
ne
poik
joudpoorab
talaosaparip
aeva(vt.joon
.2.8).
•Positiivn
epaindem
omenttek
itabtom
betala
positiiv
seteskiududes.
–Kaesolevas
kursu
seskasu
tatavatelged
eorien
tatsioon
ikorral
pole
pain
-dem
omendimargireeglil
mitte
midagi
uhist
joumom
endijuures
kasu-
tatavamargireegliga.
Marku
s:Piki-
japoik
joumargireeglite
osason
erinevad
autorid
vaga
uksm
eelsed,kuid
pain
de-
jaeriti
vaan
dem
omentid
epuhulon
voim
alikudvagagi
erinevad
lahenem
isviisid
.
2.4.
Sise
joududemargireeg
lid2-18
Joon
is2.8:
Sisejou
dudemargireeglid
.(Joon
ison
parit
prof.
A.Klau
soniTehnilise
mehaanikaloengu
konspektist.)
2.4.
Sise
joududemargireeg
lid2-19
Sisejou
dusid
ontavaliselt
kasulik
teadaigas
vardaristloikes
ningseetottu
onosu
tunudotstarb
ekaksesitad
aneid
graafiliselt.
Vastavaid
graafikuid
nim
eta-tak
seeesti
keelesepuurid
eks4.
Enam
vah
eman
aloogiliselt,
st.epuurid
eab
il,esitati
staatikakursu
seslau
skoorm
usi
ehkjaotatu
dko
ormusi.
Epuuri
korvale
kirju
tatakse
temanim
ija
uhikud.Naitek
sN-ep
uurkN,voi
luhidalt
NkN.
Epuurid
eko
ostamist
selgitamejargn
evatenaid
eteab
il,millest
naited
2.2–2.7
onerald
ifailid
es:
•pikijou
dja
vaan
dem
oment–NAIT
ED
2.2-5.pdf
•poik
joudja
pain
dem
oment–NAIT
ED
2.6-7.pdf
Naited
2.8ja
2.9,mis
parin
evadem
eriitprofessor
Jaan
Metsaveere
oppem
aterjalidest,
onaga
esitatudjargm
iselkah
elleh
ekuljel.
4Inglise
keeleson
epuuri
vastediagram,naitek
spoik
jouepuuron
inglise
keelesshear-fo
rcediagram
2.4.
Sise
joududemargireeg
lid2-20
Naide2-8.Koostad
atasan
draam
isisejou
dudeepuurid
.
2.4.
Sise
joududemargireeg
lid2-21
Naide2-9.Koostad
amurtu
dvard
asisejou
dudeepuurid
.
2.5.
Dife
rentsia
al-ja
integ
raalseo
sedlauskoorm
use
intensiiv
suse
jasise
joududevahel
2-22
2.5
Dife
rentsia
al-
jaintegra
alse
osed
lausk
oorm
use
intensiiv
suse
jasise
joududevahel
Vaatlem
evard
aosa,
kuspikitelge
moju
blau
skoorm
usinten
siivsusega
pxja
ristiteljega
lausko
ormusinten
siivsusega
pz .
Koord
inaad
ilxon
vardast
ristloigeteab
ilerald
atudlop
mata
luhike
elementpikkusega
dx(jo
on.2.9).
Koostam
eselle
elemendijaok
stasakaalu
vorran
did,projek
teerides
koik
tallemoju
vadjou
dx-
jaz-teljele
ningleid
esmom
endid
punktiB
suhtes.
Joon
is2.9:
Diferen
tsiaal-ja
integraalseosed
—lau
skoorm
use
inten
siivsus
(Joon
ison
parit
prof.
A.Klau
soniTehnilise
mehaanikaloengu
konspektist.)
2.5.
Dife
rentsia
al-ja
integ
raalseo
sedlauskoorm
use
intensiiv
suse
jasise
joududevahel
2-23
∑
i
Fix=
N+dN
−N
+px ·d
x=
0,
∑
i
Fiz=
Qz+dQ
z −Q
z+pz ·d
x=
0,
∑
i
MB(F
i )=
−M
y −Q
z ·dx+M
y+dM
y+pz ·d
x·(0,5d
x)=
0,
Parast
lihtsu
stamist,
diferen
tsiaaligadxlab
ijagamist,
ningviim
asestvorran
dist
korgem
atjark
uvaikese
liikmehulgam
ist,saam
ekolm
diferen
tsiaalseost:
dNdx
=−px ,
dQ
z
dx
=−pz ,
dM
y
dx
=Q
z .(2.1)
Integraalseoste
saamisek
skorru
tameviim
aseiddiferen
tsiaaligadxninginteg-
reerimeloigu
l[a,x]:
N(x)=
N(a)−
∫
x
a
px (x
)dx,
Qz (x
)=
Qz (a
)−∫
x
a
pz (x
)dx,
My (x
)=
My (a
)+
∫
x
a
Qz (x
)dx.
(2.2)
2.5.
Dife
rentsia
al-ja
integ
raalseo
sedlauskoorm
use
intensiiv
suse
jasise
joududevahel
2-24
Jareld
used
.Asjatu
letatudseosed
ningvaad
eldudnaited
voim
aldavad
tehaolu
lisijareld
usisisejou
dudeepuurid
ekuju
(kaitu
mise)
kohta.
1.Piirkon
dad
es,kuslau
skoorm
uspuudub,on
piki-ja
poik
joudkon
stantsed
,pain
dem
omenton
agasellises
piirkon
nas
lineaarfu
nktsio
onko
ordinaad
istx.
2.Koon
datu
dvalisjou
rakenduspunktis
toimubvastava
sisejouepuuris
hupe,
mison
arvuliselt
vord
nemoju
vavalisjou
suurusega.
3.Koon
datu
dvalism
omendiraken
duspunktis
toimubpain
de-
voi
vaan
dem
o-mendiepuuris
hupe,mison
arvuliselt
vord
nemoju
vamom
endisuurusega.
4.Pain
dem
omendiepuuritou
son
vord
nepoik
jouga.
Koh
as,kuspoik
joudon
null,
onpain
dem
omendilekstrem
aalnevaartu
s.
5.Koh
as,kuspoik
jouepuuris
onhupe,on
pain
dem
omendiep
uuris
murdekoh
t(ep
uuri
tousmuutubhuppeliselt).
Eriju
hul,kuihuppekaigu
smuutubka
poik
joumark
,on
pain
dem
omendilselles
kohas
ekstreem
um.
6.Piirkon
nas,
kusvalin
elau
skoorm
uson
konstan
tne,
onpoik
-ja
pikijou
d
2.5.
Dife
rentsia
al-ja
integ
raalseo
sedlauskoorm
use
intensiiv
suse
jasise
joududevahel
2-25
lineaarsed
funktsio
onid
koord
inaad
istx.Pain
dem
omenton
selliseljuhul
agaruutfu
nktsio
on.
7.Epuurid
ejoon
istamisel
onotstarb
ekasmeeles
pidad
a,et
maaratu
dinteg-
raalesitab
intgreeritava
funktsio
onigraafi
kuja
x-telje
vahele
jaavakujundi
pindala
(loigul[a,x]).
Naide2-10.Pain
dem
omendiekstreem
umimaaram
ine.
2.6.
Pingemoiste
2-26
2.6
Pingemoiste
Onlih
tnetaib
ata,et
eelmistes
alajaotu
steskasitletu
dloikem
eetodikorral
onsisejou
dtegelik
ultjaotu
nudule
koguloikep
inna(jo
on.2.10)
javaad
eldudkuus
sisejoudukujutavad
endast
sellelau
skoorm
use
peavek
torija
peam
omendipro-
jektsio
oneko
ordinaattelged
el.
Loikep
innal
moju
valau
skoorm
use
inten
siivsust
nim
etamegi
pingeks.
Tem
amootu
hik
1Pa=
1N/1m
2lan
gebkok
kuroh
uuhikuga.
Koige
lihtsam
onpinget
arvutad
ajuhulkuivard
asmoju
bvaid
pikijou
d.Siin
eeldatak
se,et
pikijou
dN
onjaotu
nuduhtlaselt
ule
koguloikep
innaA
(joon
.2.11)
jaseega
pinge
σx=
NA.
(2.3)
Omaolem
uselt
onvaad
eldav
pinge
norm
aalpinge,sest
tamoju
bristi
vaadeld
a-va
pinnaga.
Kaesolevas
kursu
sestah
istatakse
norm
aalpingeid
kreeka
tahega
σja
vajad
usel
lisatakse
indeks,misosu
tabpinnan
ormaali
sihile.
Eestikeelsetes
tuge-
vusop
etuse
jateh
nilise
mehaan
ikaop
ikutes
nim
etatakse
pikijou
stpoh
justatu
dnorm
aalpingeid
kapikkep
ingeteks.
2.6.
Pingemoiste
2-27
Joon
is2.10:
Loikem
eetodja
pinged
vardaristloikes
(Joon
ison
parit
prof.
A.Klau
soniTehnilise
mehaanikaloengu
konspektist.)
Alajaotu
stes2.2–2.6
kasutatu
dlah
enem
isviis,
kussisejou
djaotak
sevastavalt
sellele,kuidas
nad
onorien
teeritudko
ordinaattelgd
esuhtes
5ja
pinged
saavadom
anim
eselle
jargi,millise
sisejouga
onneil
poh
juslik
seos,on
iseloom
ulik
just
tugev
usop
etusele
(tehnilisele
mehaan
ikale).Sam
alah
enem
isviisi
onaga
otstar-
5Koord
inaatteljed
orienteeritak
seom
akordauuritava
kehageom
eetriastlah
tudes.
2.6.
Pingemoiste
2-28
Joon
is2.11:
Pikkep
inge
(Joon
ison
parit
prof.
A.Klau
soniTehnilise
mehaanikaloengu
konspektist.)
bekas
rakendad
aka
elastsusteo
oriaulesan
nete
korralkuiuuritavatek
sob
jekti-
dekson
vardad
(talad),plaad
idja
koorik
ud.
Jargm
isesala
jaotuses
selgitame
pinge
moistet
pisu
tuldisem
altning
ulejargm
isestulem
etagasi
tugev
usop
etuses
kasutatava
lahenem
isviisi
juurde
jahak
kameuurim
apingeid
vardaristloike
punktis.
2.7.
Pingevektor,
temaprojektsio
onid
jamargireeg
lid2-29
2.7
Pingevektor,
temapro
jektsio
onid
jamarg
ireeglid
Vaatlem
emeelevald
sekujuga
keha,
millele
moju
vpind-ja
mah
ujou
dudest
koos-
nev
(valis)jou
dudesusteem
ontasakaalu
s.
Raken
dam
eloikem
eetodit:
jagamekeh
amotteliselt
osadeks1ja
2;hulgam
eosa
2ja
vaatlemeosa
1(jo
on.2.12).
Joon
is2.12:
Pingevek
torpνja
temako
ordinaatelged
exyzsih
ilisedkom
pon
endid.
2.7.
Pingevektor,
temaprojektsio
onid
jamargireeg
lid2-30
•Sellek
s,et
osa1
oleks
kapeale
osa2
eraldam
isttasakaalu
stuleb
loikepinnale
rakendad
aosa
2asen
davad
joud,st.
sisejoud,mison
jaotunud
ule
koguloikep
inna.
•Loikep
indosal
1on
maaratu
dvalisn
ormaaliga
ν.Moju
guvaikesel
pinnal
∆A
sisejoud∆S.Suhet
∆S/∆
Avoib
nim
etadakesk
misek
spingek
spinnal
∆A.
√
•Kuiminnapiirile
∆A
→0,
saame(tegelik
u)pinge
pinnalnorm
aaliga
ν
pν=
lim∆A→
0
∆S
∆A.
(2.4)
•Uldjuhulvek
toriteνja
pνsuunad
eiuhti.
•Edasp
idion
tihtiotstarb
ekaskasu
tadapingevek
toriasem
eltem
aprojek
t-sio
oneko
ordinaattelged
elpνx ,
pνy ,
pνz ,
mis
omakord
amaaravad
arapin-
gevektori
pνko
ordinaatelged
exyzsih
ilisedkom
pon
endid
(vt.joon
.2.12).
Siin
jaedasp
idimargib
esimeneindekspinnan
ormaali
sihtija
teinepinge-
kompon
endimoju
mise
sihti.
2.7.
Pingevektor,
temaprojektsio
onid
jamargireeg
lid2-31
Joon
is2.13:
Pingevek
toripνlah
utam
inenorm
aal-ja
nihkep
ingek
s.
•Teisest
kuljest
saabpinnal
norm
aaligaν
moju
vapingevek
torilah
utad
anorm
aal-ja
nihkep
ingeks:
pν=
σν+τν .
Nihkep
inge
τνlah
utatak
setava-
liseltveelkord
kahekskom
pon
endiks:
τν=
τνs+
τνt(vt.
joon
.2.13,
kus
pνν ≡
σν ,
pνs ≡
τνsja
pνt ≡
τνt ).
2.7.
Pingevektor,
temaprojektsio
onid
jamargireeg
lid2-32
Kuiloike
pindon
paralleeln
eko
ordinaattasan
ditega,
siiskasu
tatakse
indeksiν
asemel
loikepinnale
norm
aaliksoleva
koord
inaattelje
nim
e,naitek
sx.
Joon
is2.14:
Norm
aal-ja
nihkep
ingete
positiiv
sedsuunad
.
Marg
ireeglid
:joon
is2.14.
•Positiivn
esisep
indon
loikepind,
mille
valisn
ormaal
onsuunatu
dko
ordinaad
ipositiiv
sessuunas.
•Positiivn
enorm
aalpinge
moju
bpositiiv
selsisep
innal
koord
i-naattelje
positiiv
sessuunas
janegatiiv
selsisep
innal
koord
inaad
inegatiiv
sessuunas.
Positiiv
ne
norm
aalpinge
vastabtom
bele.
•Positiivn
enihkep
inge
moju
bpo-
sitiivsel
sisepinnal
koord
inaattel-
jepositiiv
sessuunas
janegatiiv
selsisep
innal
koord
inaad
inegatiiv
sessuunas.
2.8.
Pingetensor
2-33
2.8
Pingetenso
r
Vaatlem
ekeh
ameelevald
setpunkti.
Sedapunkti
labib
kolmko
ordinaattasan
-dit,
millel
moju
vadkolm
norm
aalpinget
σx ,σ
y ,σzja
kuusnihkep
inget
τxy=
τyx ,τ
yz=
τzy ,τ
xz=
τzxmoodustavad
pingeten
sori
σx
τxy
τxz
τyx
σy
τyz
τzx
τzy
σz
.(2.5)
Pingeten
soron
teistjarku
tensorja
tedasaab
esitada3×
3(tasan
dulesan
nete
korral2×
2)tab
elinanagu
maatrik
seid.
Pingeten
soriselo
omustab
taielikultpingust(pingeseisu
ndit)
antudpunktis
ning
temaab
ilsaab
maarata
pingevek
torisuvalisel
sedapunktilab
ivalpinnal 6.
6Selle
juurdetulem
etagasi
4.peatu
kis,
kuihak
kamekasitlem
apingeid
kaldpindad
el,peap
ingeid
jms.
2.8.
Pingetensor
2-34
2.8.1
Skalaar,
vektor,
tenso
r
Kaesolevas
kursu
sesvaatlem
ekolm
eliik
ifuusikalisi
suurusi—
skalaare,vek
to-reid
ja(teist
jarku)ten
soreid.
Skalaarpole
seotudsuunaga,
tedaiselo
omustab
vaid(arv
)vaartu
s.
•Uksarv
,mille
vaartu
sei
soltuko
ordinaatsu
steemi(baasi)
valikust
•Tuupilin
enaid
e—
temperatu
ur
Vekto
ritiselo
omustab
lisaksmoodulile
(arvvaartu
sele)ka
suund.
•3D
juhulesitatav
arvukolm
ikuna—
3×1voi
1×3maatrik
sina.
–Arvudarv
ukolm
ikussoltu
vadko
ordinaatsu
steemi(baasi)
valikust.
–Vektori
moodulja
suundon
koord
inaatsu
steemist
(baasist)
soltumatu
.
•Vektori
igakom
pon
ent(projek
tsioon
)on
samuti
seotuduhesuunaga
jatem
atah
istamisel
kasutatak
seuhte
indeksit.
•Tuupilised
naited
—jou
d,kiiru
s,kiiren
dus.
2.8.
Pingetensor
2-35
Teist
jarku
tensor
onfuusikalin
esuurus,
mille
korralpeale
arvaartu
steon
tahtsad
kakssuunda.
•3D
juhulon
teistjark
uten
soresitatav
3×3maatrik
sina,
st.9arv
uab
il.
–Arvudmaatrik
sissoltu
vadko
ordinaatsu
steemi(baasi)
valikust.
–Tensor
iseon
koord
inaatsu
steemist
(baasist)
soltumatu
.
•Tuupilised
naited
—pingeten
sor,deform
atsioon
itensor.
•Teist
jarkuten
sorikom
pon
entid
etah
istamisel
kasutatak
sekah
teindeksit,
sestiga
kompon
entiiselo
omustab
lisaksmoodulile
kakssuunda.
–Naitek
spingeten
sorikorral
naitab
esimeneindekspinnan
ormaali
suun-
daja
teineindekspingekom
pon
endisuunda.
2.8.
Pingetensor
2-36
•Teisest
kuljest
(“matem
aatiliselt”)on
teistjark
uten
sorT
defineeritu
dkui
lineaarteisen
dus,miskujutab
vektori
uvek
toriksv,i.e.
T:
u→
v,
u,v
∈V,
ehk
T[u]=
T·u
=v,
kuspunkt·
tahistab
tensori
Tsisekorru
tist7vek
torigau.
Maatrik
siteja
tenso
riteomavahelin
esu
he
•Kuion
fikseeritu
dkord
inaatsu
steem,siis
saabiga
teistjark
uten
soriesitad
a3×
3maatrik
sinaja
igavek
toriarv
ukolm
ikuna.
•Vastu
pidineaga
eikeh
ti—
iga3×
3maatrik
sei
osutu
tensorik
s.
•Koord
inaatid
eteisen
dam
iselteisen
evadniiten
sorikuivek
torikom
pon
en-
did
kindlate
reeglitealu
sel.
–Parast
koord
inaatteisen
dust
peab
tensor
(vektor)
esitama
endiselt
tapselt
samafuusikalist
suurust,
midaenneteisen
dust.
7Punktkorru
tis,skalaarkorru
tis.I.k.innerproduct,dotproduct,sca
larproduct.
2.8.
Pingetensor
2-37
∗Kuisee
nii
on,siis
ongi
teguten
soriga(vek
toriga),vastu
pidisel
juhulmitte.
∗Vastu
pidineolu
kordon
fuusikaliselt
vastuvotm
atu.Pole
voim
alik,
etpinge
kehapunktis
voi
punkti
siirevoi
kiiru
ssoltu
ksko
ordi-
naatsu
steemivalik
ust.
∗Naid
e.Vektor
ningkak
sko
ordinaatsu
steemixyja
x′y ′,
mille
vahe-
linenurk
onθ.
Mark
used:
•Vektoreid
voib
nim
etadaesim
estjark
uten
soreiksja
skalaarenullin
dat
jarkuten
soreiks.
•Kuiten
sor(vek
tor)on
maaratu
digas
vaadeld
avakeh
apunktis,
siison
meil
teguten
sorvaljaga
(vektorv
aljaga).
–Naitek
son
pingeten
sorikorral
teguten
sorvaljaga,
sestta
onmaaratu
digas
vaadeld
avakeh
apunktis.
2.8.
Pingetensor
2-38
2.8.2
Pingetenso
riinvaria
ndid
Suuruseid
Iσ1=
σx+σy+σz ,
Iσ2=
∣∣∣∣ σx
τxy
τyx
σy
∣∣∣∣
+
∣∣∣∣ σy
τyz
τzy
σz
∣∣∣∣
+
∣∣∣∣ σx
τxz
τzx
σz
∣∣∣∣ ,
Iσ3=
∣∣∣∣∣∣ σx
τxy
τxz
τyx
σy
τyz
τzx
τzy
σz
∣∣∣∣∣∣
(2.6)
nim
etatakse
pingeten
sori
invaria
ntid
eksehkluhidalt
pinge
invaria
ntid
eks.In-
variantsu
stah
endab
siinsed
a,et
need
kolmsuurust
eisoltu
koord
inaatid
evalik
ust
(vaatamata
sellele,et
pingeten
sorikom
pon
endid
omavad
erinevates
koord
inaatsu
steemides
uldjuhulerin
evaidvaartu
si).Onmark
imisv
aarne,et
seeinvarian
tsusei
piird
uvaid
erinevalt
orienteeritu
dDescartes’i
ristkoord
inaaati-
dega
vaidkeh
tibsuvaliste
koord
inaatsu
steemide,
k.a.
silindrilised
,sfaarilised
,ellp
tilised,huperb
oolsed
jne.
vahel.
Mark
us:
Taolised
kolminvarian
tisaab
leidaigale
teistjark
uten
sorile.
2.9.
Pinged
vardaristlo
ikepunktis.
2-39
2.9
Pingedvard
aristlo
ikepunktis.
Vard
akorral
onDescartes’i
ristkoord
inaad
idvalitu
dtavaliselt
nii,
etx-telg
onvard
ateljek
s.Seetottu
onx-telg
ristloikenorm
aaliksja
teised2ko
ordinaattelge
onsuunatu
dmood
aloikep
inda.
Vaatlem
evard
aristloike
punktiK,midalab
ibpindnorm
aaligan‖x.Seal
moju
bpingevek
tor8pmille
norm
alkompon
endiks
onσ
xningtan
gentsiaalkom
pon
entid
eksτxyja
τxz .
Joon
is2.15:
Pinge
vardapunktis
(Joon
ison
parit
prof.
A.Klau
soniTehnilise
mehaanikaloengu
konspektist.)
8Siin
olemeluhiduse
parast
loob
unudindeksist
npingevek
torijuures.
2.9.
Pinged
vardaristlo
ikepunktis.
2-40
Joon
is2.16:
Norm
aalpinge
σxningnihkep
inged
τxyja
τxz .
(Joon
ison
parit
prof.
A.Klau
soniTehnilise
mehaanikaloengu
konspektist.)
•Norm
aalpinged
σxiselo
omustavad
vardatelje
sihis
moju
vatesisejou
dude
inten
siivsust
janad
muudavad
vardaristloigete
vahelist
kaugu
st.
•Norm
aalpinge
σxmargireegel
onan
aloogilin
epikijou
margireegliga.
•Nihkep
inged
iseloom
ustavad
vardateljega
ristimoju
vatesisejou
dudein-
tensiiv
sust
janad
nihutavad
(voi
pooravad
)erin
evaidvard
aloikeid
(ma-
terjalikihte)
uksteise
suhtes.
•Nihkep
inge
ehktan
gentsiaalp
inge
τxyja
τxzmargireegel
onan
aloogilin
epoik
joumargireegliga.
2.10.
Seosed
pingete
javardasise
joududevahel
2-41
2.10
Seosedpingete
javard
asise
joududevahel
Pinge
moiste
selgitamisega
tegimealgu
stala
jaotuses
2.6,kaesolevas
alajaotu
sestuletam
eseosed
vardaristloikes
moju
vatesisejou
dudeja
pingete
vahel.
Siin
juu-
respeam
esilm
as,et
ristloikesmoju
vadsisejou
dei
kujuta
endast
mitte
midagi
muudkuisam
asristloikes
moju
vatepingete
peavek
torija
peam
omendiprojek
t-sio
oneko
ordinaattelged
ele.Pikem
altseletad
es:
1.ristloikes
moju
vadpinged
moodustavad
jouvalja,
mille
saabvastavalt
staa-tika
poh
iteoreemile
taandad
aristloike
pinnakesk
messe,
•selle
tulem
usen
aon
pinged
asendatu
duhejou
jauhemom
endiga;
2.projek
teerides
saadudjou
jamom
endiko
ordinaattelged
elesaam
epeavek
-tori
japeam
emendilah
utad
akolm
eksko
ordinaattelged
esih
ilisekskom
po-
nendiks,
•saad
udkuuskom
pon
enti
kannavad
meile
jubatuntudnim
etusi
–pi-
kijou
d(N
),poik
joud(Q
yja
Qz ),
vaan
dem
oment(T
)ningpain
dem
o-ment(M
yja
Mz ).
2.10.
Seosed
pingete
javardasise
joududevahel
2-42
Onselge,
etraak
ides
seostestpingete
javard
asisejou
dudevah
elon
voim
alikud
nn.kak
serin
evatulesan
depustitu
st:
1.Tead
espingeid
,leid
asisejou
d.
2.Tead
essisejou
dusid
,leid
apinged
.
Esim
eneneist
ontunduvalt
lihtsam
,kuid
teinesuurem
aprak
tilisetah
tsusega
(vah
emalt
tugev
usop
etuse
seisukoh
alt).
2.10.1
Sise
joududeavaldaminepingete
kaudu
Pikijo
ud.Vaatlem
eristloike
elementaarp
indadA,kusmoju
bkesk
minepinge
p,
millele
vastavnorm
aalpinge
onσx(jo
on.2.17).
Vaad
eldaval
elementaarp
innal
pingest
σxpoh
justatu
dsummaarn
ejou
dσx dA
moju
bsam
utipinnan
ormaali
nsih
is.Ristloikes
moju
vatenorm
aalpingete
peavek
torisaam
eintegreerid
es:
N=
∫
A
σx dA.
(2.7)
2.10.
Seosed
pingete
javardasise
joududevahel
2-43
Joon
is2.17:
Pinged
vardaristloike
elementaarp
innal
dA.
(Joon
ison
parit
prof.
A.Klau
soniTehnilise
mehaanikaloengu
konspektist.)
Poikjo
ud.Ristloikes
moju
vatepoik
joududeQ
yja
Qzarv
utam
inekaib
analo
o-giliselt
pikijou
ga.Nuud
vaadeld
akse
ristloikeelem
entaarp
innal
dA
moju
vaidnihkep
ingeid
τxyja
τxz(pingevek
toripprojek
tsioon
ey-ja
z-telgedel,
vt.joon
.2.17)
jasaad
akse
poik
joududeleid
misek
svalem
id
Qy=
∫
A
τxy dA,
Qz=
∫
A
τxz dA.
(2.8)
2.10.
Seosed
pingete
javardasise
joududevahel
2-44
Paindem
omendid
Myja
Mzon
seotudnorm
aalpingega
σx .
Kuipain
etoim
ub
x−
ztasan
dis,
siisiselo
omustab
pain
etpain
dem
omentM
yningkuix−
yta-
sandis,
siisM
z .Eksperim
entid
epoh
jalon
leitud,et
mom
endid
Myja
Mztuleb
arvutad
aristloike
kesktelged
e9suhtes.
Vastavalt
pain
dem
omendimargireeglile
poh
justab
elemetaarp
innal
dA
moju
vsummaarn
ejou
dσx dA
elementaarp
ain-
dem
omendid
zσx dA
jayσx dA
vastavalty-ja
x-telje
suhtes
(vt.
joon
.2.17).
Vastavad
peam
omendid
saadak
seintegreerim
iseteel:
My=
∫
A
zσx dA
jaM
z=
∫
A
yσx dA.
(2.9)
Vaandem
oment.Ristloikes
moju
vavaan
dem
omendiarv
utam
isejuures
tuleb
sil-mas
pidad
a,et
vastavaltsisejou
dudeja
pingete
margireeglitele
poh
justab
ele-mentaarp
innal
dA
moju
vpositiiv
nenihkep
inge
τxzpositiiv
sevaan
dem
omendi
japositiiv
nenihkep
inge
τxynegatiiv
sevaan
dem
omendi(vt.
joon
.2.17).
Integ-
reerides
ule
koguristloike,
saame
T=
∫
A
(yτxz −
zτxy )d
A.
(2.10)
9Ristloike
keskteljed
labivad
ristloikepinnakeset.
2.10.
Seosed
pingete
javardasise
joududevahel
2-45
2.10.2
Pingete
avaldaminesise
joududekaudu
Eelm
isesala
jaotuses
(st.2.10.1)
tuletatu
dvalem
itekorral
pole
tahtis,
kaskasu
-tusel
ontugev
usop
etuse
(ehknn.elem
entaarteo
oria)eeld
used
jahupoteesid
voi
lineaarse
elastsusteo
oriaom
ad.Kaesolevas
alajaotu
sesosu
tubaga
ulitah
tsaks
tapsustad
a,et
praegu
straken
dam
etugev
usop
etusele
ehknn.elem
entaarteo
o-riale
vastavaidlih
tsustu
si.Universaalsen
a10
kuulubnendehulka
ristloigete
ta-
sandilisu
sehupotees,
ehkBern
oulli
hupotees:
ristloiked,misennedeform
atsioo-
niolid
tasapinnalised
,jaavad
kapeale
deform
atsioon
itasap
innalistek
s.
Pikkep
inged
.Pingeid
,mison
poh
justatu
dpikijou
st,nim
etatakse
pikkep
ingeteks.
Siin
eeldatak
se,et
•vard
alemoju
bvaid
pikitem
atelge
moju
vvalisko
ormus,
–seega
moju
bvard
aristloigetes
vaidukssisejou
d—
pikijou
d,
•pikijou
stpoh
justatu
dnorm
aalpinge
onjaotu
nuduhtlaselt
ulekogu
ristloike(vrd.Bern
oulli
hupotees
javt.joon
.2.18).
10S
eehupotees
kehtib
elementaarteo
oriaraam
estom
bel-su
rvel,pain
del,
loikelja
vaan
del.
2.10.
Seosed
pingete
javardasise
joududevahel
2-46
Seega
saameseose
σx=
NA.
(2.11)
Joon
is2.18:
Pikijou
dja
pikkep
inge
(Joon
ison
parit
prof.
A.Klau
soniTehnilise
mehaanikaloengu
konspektist.)
Paindepinge.
Pain
dem
omendist
poh
justatu
dpingeid
nim
etatakse
paindepin-
geteks .Omaolem
uselt
onpain
depinged
norm
aalpinged
.Moju
gutalale
selli-nevalisko
ormus,
mille
toimel
tekib
vaidukssisejou
d–
pain
dem
omentM
y
(joon
.2.19).
Eksperim
entaalsete
jateoreetiliste
tulem
uste
poh
jalningko
oskolas
Bern
oulli
hupoteesiga
eeldatak
seelem
entaarteo
orias,et
tekkinudpain
depinge
2.10.
Seosed
pingete
javardasise
joududevahel
2-47
Joon
is2.19:
Pain
depinge
(Joon
ison
parit
prof.
A.Klau
soniTehnilise
mehaanikaloengu
konspektist.)
soltubko
ordinaad
istzlin
eaarselt,st,
σx=
kz,
(2.12)
kuskon
konstan
t,mille
maaram
isekskasu
tameseoseid
(2.9):
My=
∫
A
zσx dA
=
∫
A
kz2dA
=kIy ,
⇒k=
My
Iy.
(2.13)
2.10.
Seosed
pingete
javardasise
joududevahel
2-48
Avald
iste(2.12)
ja(2.13)
poh
jal
σx=
My
Iyz.
(2.14)
Tugev
usarv
utuste
seisukoh
altom
avadtah
tsust
just
mak
simaalsed
pain
depin-
ged,mis
tekkivad
neis
ristloikepunktid
es,kusko
ordinaat
zom
abekstrem
aal-seid
vaartu
si(z
max
jazmin ).
Kuiristloige
onsummeetrilin
ey-telje
suhtes,
siison
zmax
=−zminja
arvutuste
lihtsu
stamisek
svoib
tuuasisse
ristloike
tugevu
s-
momendi
Wy=
Iy
zmax .
(2.15)
Viim
aseab
ilsaam
emak
simaalse
pain
depinge
arvutam
iseksvalem
i
max
σx=
My
Wy .
(2.16)
Kuitalale
moju
vavalisko
ormuse
toimeltek
ibvaid
pain
dem
omentM
z ,siissaam
eeeln
evategaan
aloogilised
valemid
σx=
Mz
Izy,
(2.17)
Wz=
Iz
ymax ,
max
σx=
Mz
Wz .
(2.18)
2.10.
Seosed
pingete
javardasise
joududevahel
2-49
Mark
used:
•Tugev
usm
omentid
eW
yja
Wzarv
utam
isejuures
tuleb
silmas
pidad
a,et
kuiristloikek
son
liitkujund,st.
taon
jaotatavnlih
tsaksosak
ujundiks,siis
tuleb
koigep
ealtleid
aliitk
ujundiinertsim
omendid
Iy=
I(1)y
+I(2)y
+...+
I(n)
y
ja/voi
Iz=
I(1)z
+I(2)z
+...+
I(n)
z.Seejarel
arvutatak
setugev
usm
omendid
Wyja
Wzvalem
ite(2.15)
ja(2.18)
1poh
jal 11.
•Koosk
olasBern
oulli
hupoteesiga
onpain
depingete
arvutam
isejuures
eel-datu
d,et
pain
dem
omendist
Mzpoju
statudpain
depinged
onzjargi
kons-
tantsed
jaM
ypoju
statudpain
depinged
onyjargi
konstan
tsed,vt.valem
eid(2.14)
ja(2.17).
Viim
astevalem
itegaesitatu
dlin
eaarsedseosed
onsam
uti
koosk
olasBern
oulli
hupoteesiga.
•Vard
apain
del
jaabsurutudja
tommatu
dkihtid
evah
elekiht,
milles
nn.
kiududepikkusei
muutu
jakuspain
depinge
onnull
(vt.
joon
.2.19).
Vastavat
vardakihti
nim
etatakse
neutra
alkih
iks.Neutraalk
ihija
ristloikeloikejo
ontnim
etatakse
nulljoo
neks.
11N
B!W
y6=
W(1
)y
+W
(2)
y+
...+W
(n)
yjaW
z 6=W
(1)
z+
W(2
)z
+...+
W(n)
z
2.10.
Seosed
pingete
javardasise
joududevahel
2-50
–Onselge,
etx−
ztasap
innas
toimuva
pain
dekorral
onz=
0korral
pain
depinge
σx=
0.
–Elem
entaarteo
oriakorral
eeldatak
se,et
nulljo
oned
onmaartatu
dkesk
-peatelged
ega.
Naide2-11.Pikkep
inged
vardas.
Lah
endatak
seloengu
s.
Naide2-12.Pain
depinged
talas.Lah
endatak
seloengu
s.
Vaande-
jaloikep
inged
.
Vaan
depinge
onpoh
justatu
dvaan
dem
omendist
jaloikep
inge
poik
joust.
Oma
olemuselt
onnad
molem
adnihkep
inged
ningkunanendeleid
mineon
tihti
komplitseeritu
mkuipikijou
stja
pain
dem
omendist
poh
justatu
dnorm
aalpingete
leidmine,
siispuhendam
eneile
omaette
jaotise.
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-51
2.11
Nihkepingedvard
aristlo
ikes12
2.11.1
Uldise
dseadusp
ara
sused
Nihkep
ingete
paarsu
sesea
dus.
Elem
entaarteo
oriaskasu
tatakse
nn.nihkep
ingete
paarsu
sesead
ust,
mis
tule-
tatakse
jargmiselt
13.Eeld
ame,
etvard
ason
hom
ogeennepingeseisu
ndehkho-
mogeen
nepingu
s14.
Sellisel
juhulpeavad
elementaarristtah
uka
vastastahkudel
moju
mavord
vastupidised
pinged
.See
tingim
uskeh
tibniinorm
aal-kuinihke-
pingete
kohta
ningta
ontuletatu
dtasakaalu
tingim
ustest
∑
Fix=
0,∑
Fiy=
0ja
∑
Fiz=
0(vt.joon
.2.20
a)ja
b)).
Teatavasti
onaga
tasakaaluksva
jalikveel
kolmevorran
dikeh
timine,
st.∑
Mx (F
i )=
0,∑
My (F
i )=
0ja
∑
Mz (F
i )=
0.Nendepoh
jalsaad
aksegi
nihkep
ingete
paarsu
sesead
us(vt.joon
.2.20
c):
τxy=
τyx ,
τxz=
τzx ,
τyz=
τzy .
(2.19)
12Joon
isedon
parit
prof.
A.Klau
soniTehnilise
mehaanikaloengu
konspektist.
13H
iljemesitam
esam
asead
usparasu
sejaok
sran
gematuletu
skaigu
.14P
ingu
seehkpingeseisu
ndiall
moistetake
kehapunkti
labivatel
koik
voim
alikelpindad
elmoju
vatepingete
hulka.
Pingu
semoiste
juurdetulem
ehiljem
tagasi.Hom
ogeense
pingu
sekorral
onkeh
akoigis
punktid
esuhesu
gunepingu
s.
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-52
a)b)
c)
Joon
is2.20:
Elem
entaarristtah
uka
tahkudel
moju
vadpinged
.
Naitek
s,∑
My (F
i )=
−(τ
xz dydz)
dx+(τ
zx dxdy)dz=
0⇒
τxz=
τzx .
(2.20)
Avald
iste(2.19)
poh
jalon
selgeka
see,et
kuimingis
kehapunktis
onnihkep
inge
τxy>
0,siis
kaτyx>
0ja
vastupidi(vt.
joon
is2.21).
Analo
ogilisedseosed
kehtivad
kaulejaan
udkah
enihkep
ingete
paari
jaoks.
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-53
Joon
is2.21:
Nihkep
ingete
paarsu
s.
Nihkep
inged
ristloike
serval
•Ristloike
servalmoju
bnihkep
inge
puutuja
sihis.
•Kunaristloike
nurgap
unktis
onlop
mata
palju
puutujaid
,siis
sealon
nih-
kepinge
null.
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-54
2.11.2
Vaandepinged
umarvard
aristlo
ikes
Olgu
umarvard
aotstesse
rakendatu
dmom
endid
Tja
T’(jo
onis
2.22).Selle
tulem
usen
atek
kib
vardas
deform
atsioon
,midanim
etatakse
vaandeks.
Vaan
del
tekkivate
pingete
jadeform
atsioon
ideuurim
iselon
elementaarteo
oriaskasu
tusel
jargmised
eeldused
:
•Kehtib
Bern
oulli
hupotees.
•Vard
atelg
jaabsirg
joon
eliseks.
•Ristloike
raadiused
jaavadsirg
joon
eliseks.
Joon
is2.22:
Umarvard
avaan
e.
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-55
Joon
is2.23:
Vaan
dedeform
atsioon
.
Tehtud
eelduste
poh
jalpoord
uvad
ristloikedvaan
del
umber
varda
tel-je.
Selle
tulem
usen
apoord
uvad
varda
moodusta
jadnurga
γvorra.
Seega
onvaan
dedeform
atsioon
omaolem
uselt
nihked
eformatsio
onja
algsedristk
ulik
ulised
pinnaelem
endid
muutuvad
roopkulik
ulistek
s.Nurka
γnim
eta-tak
sevaandenurga
ks,ta
onuksolu
linevaan
etiselo
omustav
suurusja
tema
juurdetulem
ehiljem
tagasi.
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-56
Joon
is2.24:
Vaan
depinged
umarvard
asja
pak
susein
alisestoru
s.
Tehtudeeld
ustest
jaHooke’i
seadusest
(pingete
jadeform
atsioon
idevah
elon
lineaarn
esoltu
vus)
lahtudes
peab
vaan
depinge
olemalin
eaarfunktsio
onvard
araad
iusest
ρ,s.t.
τ=
kρ(jo
on.2.24).
Kon
standikmaaram
evaan
dem
omendi
javaan
depinge
vahelisest
seosestkasu
tades
polaarin
ertsimomentiIρ :
T=
∫
A
ρτdA
=k
∫
A
ρ2dA
=kIρ
⇒k=
TIρ .
(2.21)
Nuudsaam
evaan
depinge
jaoksvalem
i
τ=
TIρ ρ,
τmax
=TIρ
d2.
(2.22)
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-57
Joon
is2.25:
Polaarin
ertsimom
endid
japolaar-
tugev
usm
omendid.
Valem
id(2.22)
kehtivad
karon
gasristloikekorral
(vt.
joon
.2.24).
Vaan
depingete
arvutam
isevalem
onpalju
ski
analo
ogiline
pain
depingete
arvutam
isevalem
iga:mak
simaalsed
pinged
onristloike
servas.Seega
onka
siinvoim
aliksisse
tuuaristloike
tu-
gevusm
oment–an
tud
juhulnim
eta-tak
sesed
apolaartu
gevusm
omendiks
–mille
abil
saabmaarata
mak
simaal-
seidvaan
depingeid
:Wρ=
Iρ
ρmax
=2I
ρ
d⇒
τmax
=TWρ .
(2.23)
Tihti
kasutatak
sepolaarin
ertsimom
endija
polaartu
gevusm
omenditah
istena
vastavaltIpja
Wp ,st.
kasutatak
seindeksiρasem
elindeksit
p.
Naide2-13.Vaan
depinged
umar-
jaron
gasristloikes.Lah
endatak
seloengu
s.
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-58
2.11.3
Vaandepinged
mitte
umarristlo
igetes
Joon
is2.26:
Ristk
ulik
vardavaan
e.
Umar-
jaron
gasristloigetekor-
ralon
vaan
depingete
arvuta-
mine
suhteliselt
lihtne,
kuid
muude
ristloigete,st.
mit-
teumarristloigete,
korralon
seetunduvalt
komplitseeri-
tum.Bern
oulli
hupotees
taolisteristloigete
korraltavaliselt
enam
eikeh
ti(jo
on.
2.26).Selliseid
vaan
deulesan
deid
kasitletak
selin
eaarseselastsu
steoorias.
Elem
entaarteo
oria(tu
gevusop
etuse)
kursu
stesrefereeritak
sevaid
lineaarse
elastsusteo
oriaraam
essaad
udtulem
usi,
piird
udes
tavaliseltmak
simaalsete
vaan
depingete
valemitega
kujul
τmax
=TWt ,
(2.24)
kusW
ton
ristloiketugev
usm
oment.
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-59
Ellip
tilinevarra
s
Ellip
tiliseristloikega
vardas
arvutatak
sepingeid
pooltelged
eotstes
jargmiste
valemitega
(joon
.2.27):
Wt=
πab2
16,
τmax
=TWt=
16T
πab2 ,
τB=
16T
πa2b .
(2.25)
Joon
is2.27:
Ellip
tiliseristloikega
vardavaan
e.
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-60
Ristku
likulin
evarra
s
Ristk
ulik
ulise
ristloikegavard
ason
vaan
depinged
pikiserv
ijaotu
nudparab
ool-
seltja
omavad
mak
simalseid
vaartu
siservad
ekesk
punktid
es.Ristloike
nurkad
eson
vaan
depinged
nullid
(joon
.2.28).
Iseloom
ulik
udpinged
leitakse
valemitega
τmax ≡
τh=
TWt ,
Wt=
kh hb2,
τb=
kb τ
h .(2.26)
Joon
is2.28:
Vaan
depinged
ristkulik
ulise
ristloikegavard
as.
Naide2-14.Vaan
depinged
ristkulik
ulises
ristloikes.Lah
endatak
seloengu
s.
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-61
Ohukesesein
alin
eavatudristlo
ige
Joon
is2.29:
Vaan
depinged
ohukesesein
alisesavatu
dristloikes.
Vaga
mitm
edkon
struktsio
onielem
endid
onvalm
istatudmetall-leh
tedest,
mille
ristloikepak
susδon
vaike
vorreld
eskorgu
segas(jo
on.2.29).
Vastavalt
tabelile
joon
isel2.28
onsellise
ristloikekorral
kh=
0.333=
1/3ja
ristloiketugev
usm
o-mentja
mak
simaaln
evaan
depinge
Wt=
sδ2
3,
τmax
=3T
sδ2 .
(2.27)
Valem
id(2.27)
kehtivad
kametall-leh
estteh
tudavatu
dristloikega
varrastejaok
s.
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-62
Ohukesesein
alin
esuletu
dristlo
ige
Joon
is2.30:
Vaan
depinged
ohukesesein
alisessuletu
dristloikes.
Vaatlem
emuutuva
seinap
aksusega
suletu
dristloiget
(joon
.2.30).
Kunasein
apak
suson
vaike,
siisloem
epinge
seinapak
suse
jargikon
stantsek
s.Sam
ason
lihtnenaid
ata,et
pak
semas
osason
pinge
vaik
semja
ohem
asosas
suurem
.Projek
teerimejoon
ise2.30
parem
poolsel
osalkujutatu
djou
dx-teljele:
∑
Fix=
−τ1 δ
1 dx+τ2 δ
2 dx=
0.(2.28)
kust
saamegi,
etτ1 δ
1=
τ2 δ
2ehk
τδ=
const.
(2.29)
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-63
Joon
is2.31:
Vaan
depinged
ohukesesein
alisessuletu
dristloikes.
Jargn
evalttuletam
evalem
idmak
simaalse
vaan
depinge
arvutam
iseks.
Alusta-
menagu
tavaliseltvaan
dem
omendija
vaan
depingete
vahelisest
seosest15
(joon
.2.31):
T=
∫
A
ρτdA
=
∮
s
ρτδds.
(2.30)
Kunaτδ=
const
jaρds=
2dωon
kolmnurga
ABC
kahekord
nepindala,
siis
T=
τδ
∮
s
ρds=
2τδ
∮
s
dω=
2τδω
,(2.31)
15V
asakpoolsel
joon
iselon
dsasem
els
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-64
kusωon
ristloikekesk
joon
egapiiratu
dkujundi(an
tudjuhulrin
gi)pindala
(vt.
joon
.2.32).
Joon
is2.32:
Vaan
depinged
ohukesesein
a-lises
suletu
dristloikes.
Kunaτδ=
const,
siisvastab
mak
simaal-
selevaan
depingele
minim
aalnesein
apak
-susningtuues
sisseoh
ukesesein
alisessu-
letudristloike
tugev
usm
omendivaan
del
Wt=
2ωδmin
(2.32)
saame
mak
simaalse
vaan
depinge
leid-
misek
svalem
id
τmax
=TWt=
T
2ωδmin.
(2.33)
Naide2-15.Vaan
depinged
avatudja
suletu
doh
ukesesein
alisesristloikes.
La-
hendatak
seloengu
s.
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-65
2.11.4
Loikepinge
Joon
is2.33:
Poik
joudja
loikepinged
(1)
Vaatlem
etala,
kusmoju
bpoik
joudQ
z(jo
on.2.33).
Teatavasti
onpoik
joudQ
z
loikepingete
τxzpeavek
to-rik
s.Poik
joud
Qzesin
ebalati
koos
pain
dem
omen-
diga
Myja
seegamoju
vadvad
eldaval
ristloikelka
norm
aalpinged
σx ,
mida
seljoon
iselei
olekujuta-
tud.Lisak
seeld
ame,
ettala
onko
ormatu
dniitem
apealm
ineja
aluminepind
onnihkep
ingest
vabad
.
Poik
joust
poh
justatu
dpingete
ristloikesjaotu
mise
seadusparasu
steselgita-
misek
steem
etalas
taiendava
loikeja
vaatlemeparem
poolsel
joon
isel2.33
ku-
jutatu
dalu
mise
osatasakaalu
.Nihkep
ingete
paarsu
sesead
use
poh
jalmoju
vadvaad
eldava
vardaosa
pealm
iselpinnal
nihkep
inged
τzx .
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-66
Joon
is2.34:
Poik
joudja
loikepinged
(2)
Erald
ame
nuud
talaalu
misest
osastvaikese
risttahuka
pikkusega
dx,laiu
se-ga
bja
”muutuva”k
orgusega
h/2
−z.
Risttah
uka
otstahkudel
moju
vadpikijou
d√z
N∗16=
N∗2ja
poik
joudQ
∗1 6=Q
∗2 ;Pealm
iseltah
ulmoju
bpingete
τzxpeavek
tordH.Eel-
dad
es,et
N∗2>
N∗1saam
etasakaalu
tingi-
musest
∑
Fix=
0avald
ada
dH
=N
∗2 −N
∗1 .(2.34)
Edasp
idises
rakendam
eZurav
ski 16
hupoteesi,
mille
kohaselt
onloikep
inged
talasjaotu
nuduhtlaselt
y-ko
ordinaad
ijargi.
Seega
saamevalem
i
τzx=
dH
bdx=
N∗2 −
N∗1
bdx
.(2.35)
Nuudon
oigeaeg
sissetuuaka
poik
jouga
Qzko
oskaiv
pain
dem
omentM
y(jo
on.
2.35).
16In
gliskeelseskirjan
duses
Jou
rawski.
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-67
Joon
is2.35:
Poik
joudja
loikepinged
(3)
Tah
istamevaad
eldava
risttahuka
otspinna(jo
on.2.34)
pindala
A∗.Joon
isel2.35
onsee
pindviiru
tatud.Nuudsaam
eesitad
aristtah
uka
otspindad
elmoju
vadpikijou
dpain
dem
omendikau
du:
√z
N∗1=
∫
A∗
σx dA
=M
y
Iy
∫
A∗
zdA
=M
y
IyS∗y ,
N∗2=
∫
A∗
σx dA
=M
y+dM
y
Iy
∫
A∗
zdA
=M
y+dM
y
Iy
S∗y ,
(2.36)
kusS∗yon
viiru
tatudpinnastaatilin
emom
enty-telje
suhtes.
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-68
Arvestad
esloikep
ingete
paarsu
sesead
ust
javalem
eid(2.35)
ning(2.36)
saame
τzx=
τxz=
N∗2 −
N∗1
bdx
=dM
y
dx
S∗y
Iy b .
(2.37)
Joon
is2.36:
Poik
joudja
loikepinged
(4)
Raken
dad
esdiferen
tsiaalseoseidolem
ekok
kuvottes
saanudvalem
i,mison
ra-ken
datav
meelevald
sekujuga
ristloikejaok
s:
τxz=
Qz S
∗y
Iy b ∗
.(2.38)
Siin
Qz
onvaad
eldavas
ristloikesmoju
vpoik
joud,b ∗
onviiru
tatudpin-
na”u
leminejoon
mood
e”(joon
.2.36),
S∗yviiru
tatudpinnastaatilin
emom
ent
y-telje
suhtes
jaIyristloike
peain
ertsimom
ent.Jargn
evaltvaatlem
eloikep
ingete
leidmist
mon
esmon
esspetsiifi
lisekujuga
ristloikes.
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-69
Joon
is2.37:
Loikep
inged
ristkulik
ulises
ristloikes
Ristku
lik
Kasu
tamevalem
it(2.38)
jaleiam
eseal
kasutatavad
geomeetrilised
suurused
ristkulik
ukorral:
Iy=
bh3
12,
S∗y=
z ∗A∗=
...=
b2
(
h24−z2
)
,
τxz=
Qz S
∗y
Iy b ∗
=...
=6Q
z
bh3
(
h24−z2
)
.
Arvestad
es,et
ristkulik
upindala
A=
bh,saam
elop
uksvalem
id
τxz=
32
Qz
A
(
1−4z
2
h2
)
,max
τxz=
32
Qz
A.
(2.39)
Seega
ontegu
ruutparab
ooliga
jaτxz=
0kuiz=
±0,5h
ningmille
mak
simum
onkoh
alz=
0.
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-70
Ring
Joon
is2.38:
Loikep
inged
umarristloikes
Kunaristloike
servalon
nihkep
inged
puutuja
sihilised
,siis
lahutam
eselle
kaheks
kompon
endiksja
tuletam
evalem
idloikep
inge
τxzleid
misek
s.Kasu
tamejallegi
valemit(2.38)
jaleiam
eva
jalikudgeom
eetrilisedsuurused
ringi
korral:
Iy=
πd4
64,
b ∗=
2√
r2−
z2,
S∗y=
32
(r2−
z2)
3/2.
Kok
kusaam
ejallegi
ruutparab
ooli,
mille
mak
simum
onkoh
alz=
0ja
mis
onnullkuiz=
±r:
τxz=
43
Qz
A
(
1−z2
r2
)
,max
τxz=
43
Qz
A.
(2.40)
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-71
Joon
is2.39:
I-tala.
I-tala.
Vaatlem
evaltsm
etallistprofi
ili,mille
ristloigeon
Itah
ekujulin
e.Ta-
valiseltnim
etatakse
sel-list
talaI-talak
s(jo
on.
2.39).Eesm
argiks
onleid
anihkep
ingete
jao-tus
sellisesristloikes.
Lihtsu
semottes
vaatle-meselist
profi
iliko
osne-
vanaristk
ulik
utest.
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-72
Joon
is2.40:
I-talaiselo
omulik
udstaatilised
mom
endid.
Loikep
inge
arvutam
iseks
kasutam
eendiselt
valemit
(2.38):
τxz=
Qz S
∗y
Iy b ∗
.
Seega
onnihkep
ingete
epuurid
eko
ostamisek
sva
jatead
atervet
rida
staatilisimom
ente,
mis
onesitatu
djoon
isel2.40
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-73
Joon
is2.41:
Loikep
inge
τxzepuurI-tala
korral.
Joon
isel2.41
onkujuta-
tudloikep
inge
τxzepuurI-
talajaok
s.Nihkep
inge
va-lem
itesesin
evadstaatili-
sedmom
endid
tuleb
arvu-
tadajoon
isel2.40
esitatud
valemite
abil.
Ulem
inek
seinalt
voole
ontegelik
ku-
sessujuv(vt.joon
2.39)ja
seetottueiesin
etegelik
ku-
seska
sellistjarsk
uhupet
nagu
onjoon
isel2.41.
On
selge,et
vorreld
essei-
naga
onloikep
ingete
τxz
vaartu
sedvoos
vaikesed
.
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-74
Joon
is2.42:
Loikep
inge
τxypoh
jused
.
Tala
voos
esinevad
lisaksloikep
ingetele
τxzveel
loikepinged
τxy .Uksnendeole-
masolu
poh
jendus17
onesitatu
djoon
isel2.42.
Eeld
ades,
etN
∗2>
N∗1 ,
tasa-kaalu
stabpikijou
juurdekasv
udN
nihkep
ingest
τyxpoh
justatu
djou
dτyx td
x.
Nihkep
ingete
paarsu
sseaduse
poh
jalpeab
nihkep
ingega
τyxko
oseksisteerim
anihkep
inge
τxy ,
mille
arvutam
isekskasu
tamevalem
iga(2.38)
analo
ogilistvale-
mit
τxy=
Qz S
∗y
Iy t
.(2.41)
17E
ksisteerib
veelteisigi
poh
jendusi.
Naitek
s,et
voos
moju
vpinge
τyxtasakaalu
stabsein
asmoju
vatpinget
τxz .
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-75
Joon
is2.43:
Loikep
inge
τxyepuurI-tala
voos.
Joon
ise2.43
poh
jalsaam
eviim
asestvale-
mistτ
xy=
Qz S
∗y
Iy t
=Q
z sat
Iy t
=Q
z sa
Iy
.(2.42)
S∗ytah
istabsiin
viiru
tatudpinnastaatilist
mom
entiy
-teljesuhtes.A
rvestades,et
talavoo
laiuson
bja
seinapak
susδ,
saame
nihkep
ingete
τxyekstrem
aalsedvaartu
sed
max|τ
xy |=
Qz a(b−
δ)
2Iy
.(2.43)
On
selge,et
voo
” sobivate”
mootm
etekorral
voivad
nihkep
inged
τxy
omad
amark
imisv
aarsedvaartu
si.
Tala
voos
moju
vatenihkep
ingete
summee-
rimisel
saamepeavek
toridQ
2 ,Q′2 ,Q
3 ,Q′3
(vt.joon
.2.44).
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-76
Joon
is2.44:
Poik
joudI-talas.
Valem
i(2.42)
poh
jal
Q2=
∫
A
τxy dA
=
∫
l
0
Qz sa
Iy
tds
(2.44)Arvestad
es,et
a=
h/2−
t/2≈
h/2
jal=
b/2−δ/2
≈b/2
saame
Q2=Q
z at
Iy
∫
l
0
sds=
Qz atl 2
2Iy
≈Q
z htb
2
16Iy
.
(2.45)
On
selge,et
joon
iste2.43
ja2.44
poh
jalvek
toridQ
2=
−Q
′2 ,Q
3=
−Q
′3ja
Qz=
Q1(Q
1on
sissetoodudvoo
jasein
avah
elisean
aloogia
mottes)
ningmoodulid
Q2=
Q3
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-77
Naide
2-16.
Painde-
jaloikepinged
I-talas
(nn.
keevisristlo
ige).
Joon
is2.45:
I-talaristloige
Tala
ristloikesmoju
bpain
dem
omentM
=20
kNm
japoik
joudQ
=100
kN.Koostad
apain
depinge
σxja
loikepingete
τxzningτxyepuurid
.Ristloike
mootm
ed:b1
=6cm
,h1=
2cm
,b2
=2cm
,h2=
10cm
.Kuidas
moju
tabmootm
etesuuren
dam
ine
ja/voi
vah
endam
inepingeid
?
Lahendus.
Pain
depinged
arvutatak
sevalem
ite(2.15)
ja(2.16)
poh
jal:
max
σx=
My
Wy .
Wy=
Iy
zmax ,
Nihkep
ingete
arvutam
isekskasu
tamevalem
eid(2.38)
ja(2.43):
τxz=
Qz S
∗y
Iy b ∗
,max|τ
xy |=
Qz a(b−
δ)
2Iy
.
Viim
astejaok
son
vaja
leidamitm
edinertsi-,
tugev
us-
jastaatilised
mom
endid
Iy ,
Wy ,
S∗Ay,
S∗By
2.11.
Nihkepinged
vardaristlo
ikes
2-78
Epuurid
ejoon
istamisek
sva
jalikudarv
udon
jargnevas
tabelis.
Epuurid
joon
is-tatak
seja
taiendavaid
seletusian
takse
loengu
s.
2.12.
Ristlo
igete
geomeetriliste
karakteristik
ute
tabelid
2-79
2.12
Ristlo
igete
geomeetriliste
kara
kteristik
ute
tabelid
Tugev
usop
etuses
esitatakse
sellisedtab
elidtavaliselt
valtsmetallid
ekoh
taja
ku-
natih
tion
teguterasega
siiskutsu
takse
neid
tabeleid
seljuhulterasp
rofiilid
etab
eliteks.Kunaerin
evateltootjatel
jaerin
evatelriik
idelon
erinevad
standard
-sed
ristloiked,siis
eksisteerib
kapalju
erinevaid
terasprofi
ilidetab
eleid.L
oom
uli-
kultpole
konstru
ktsio
onielem
endid
ainultvaltsterasest
jaleid
ubvaga
erinevate
kujudega
ristloikeidningneile
vastavaidtab
eleid.
Siin
vaatlemeuhte
komplek
ti,mison
kakaesoleva
peatu
kilisas
jamidavoib
vaja
minnaulesan
nete
lahendam
isejuures.
Tab
elidparin
evadkolleegid
eltmehaan
i-ka
institu
udist
japrofi
ilidvastavad
autorile
teadaoleva
info
kohaselt
Euroop
astan
dard
ile.
Jargn
evalton
esitatud
tabelite
algused
kahte
liikiI-p
rofiilile,
nn.karp
rauale
ningvord
-ja
erikulgsele
nurkrau
ale.Pikem
adtab
elidon
esitatudLisas
2-A.
2.12.
Ristlo
igete
geomeetriliste
karakteristik
ute
tabelid
2-80
2.12.
Ristlo
igete
geomeetriliste
karakteristik
ute
tabelid
2-81
2.12.
Ristlo
igete
geomeetriliste
karakteristik
ute
tabelid
2-82