Over de ontwikkeling van het oneindige door Georg Cantor · Deze soort oneindig is een oneindigheid die bestaat of mogelijk is. De tweede soort on-eindigheid, het werkelijk of voltooid

Over de ontwikkeling van het oneindigedoor Georg Cantor

Pieter van Niel

17 juli 2015

Bachelorscriptie

Begeleiding dr Gerard AlbertsTweede boordelaar prof dr Jan van Mill

Korteweg-De Vries Instituut voor Wiskunde

Faculteit der Natuurwetenschappen Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

Samenvatting

Het oneindige was in het verleden meermaals een aanleiding tot controverse Zo stuitteook Cantors introductie van de transfiniete getallen op veel weerstand Deze scriptieneemt deze introductie onder de loep met als focus de Grundlagen einer allgemeinenMannigfaltigkeitslehre uit 1883 Niet alleen de wiskundige kant maar ook de historischeen filosofische kant wordt belicht We kijken eerst naar de opvattingen over het oneindigevan de oude Grieken en later en de metafysica van Kant om een beeld te geven van hetwetenschappelijk denken van de negentiende eeuw We kijken dan naar hoe en waaromdit concept bij Cantor ontstond hoe hij op het idee van verschillende oneindighedenkwam en hoe zijn ideeen zich hebben ontwikkeld We kijken tot slot naar de ontvangstvan zijn werk specifiek naar Leopold Kronecker en de katholieke kerk en kort naar deontwikkelingen die Cantors werk teweeg heeft gebracht

Titel Over de ontwikkeling van het oneindige door Georg CantorAuteur Pieter van Niel pietervannielstudentuvanl 10434097Begeleiding dr Gerard AlbertsTweede boordelaar prof dr Jan van MillEinddatum 17 juli 2015

Korteweg-De Vries Instituut voor WiskundeUniversiteit van AmsterdamScience Park 904 1098 XH Amsterdamhttpwwwscienceuvanlmath

Inhoudsopgave

1 Inleiding 4

2 Filosofie van de wiskunde 621 Betreffende het oneindige 622 Kants metafysica 8

3 Georg Cantor 1031 Oorsprong verzamelingenleer 10

311 Over goniometrische representaties van een functie 10312 Over afgeleide puntverzamelingen 12

32 Verdere ontwikkeling 14321 Eerste onderscheid verschillende oneindigheden 14322 Over oneindige lineaire puntverzamelingen 16

33 Betreffende de Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre 18331 Filosofisch aspect 18332 Transfiniete getallen 21

34 Na de Grundlagen 25

4 Reacties 2941 Leopold Kronecker 2942 Kerk 3043 Ontwikkelingen 31

5 Discussie 33

Bibliografie 34

A Populaire samenvatting 37

1 Inleiding

Het is toch jammerlijkCantors oneindigheidsloeg niet erg aan in demathematiek

Afgunst kwam niet door dewiskundemoeilijkheidmaar filosofischeproblematiek

Pieter van Niel ter nage-dachtenis aan Heinz Polzer

Georg Cantor is een naam die bij de meeste wiskundigen wel bekend voorkomt Grond-legger van de verzamelingenleer en inleider van de (oneindige) ordinale en kardinalegetallen in de wiskunde Controversieel in zijn tijd maar geaccepteerd in de modernewereld Was gek of depressief geworden en eindigde in een sanatorium

Maar wat minder wiskundigen goed weten te vertellen is waarom Cantor controver-sieel was behalve het feit dat het te maken had met het oneindige Ik ben voor dezebachelorscriptie aan de slag gegaan en heb proberen te ontdekken waar deze controversedoor ontstond Wat deed Cantor nu precies dat ervoor zorgde dat hij of zijn werkcontroversieel werd Wie hadden er iets tegen en waarom Dit zijn de drie hoofdvra-gen die ik ga proberen te beantwoorden Ondanks dat dit een wiskundig georienteerdonderzoek is deed ik in mijn speurtocht de oude Grieken aan heb ik Kants ideeen overhet verkrijgen van kennis gelezen en ben ik te weten gekomen dat een kardinaal Cantorsideeen een imprimatum heeft verleent oftewel kerkelijke goedkeuring

Omdat ik zo goed mogelijk wil duidelijk maken in wat voor tijd Cantor zich bevondis er geprobeerd zo dicht mogelijk bij zijn formuleringen in de originele publicaties teblijven Dit houdt ook in dat de wiskundige notatie die daarin wordt gebruikt wordtovergenomen In het algemeen zal dit niet de leesbaarheid belemmeren in eerste instan-tie omdat er voornamelijk minder korte notatie gebruikt werd De wiskunde is daardooreen stuk rijker aan tekst dan we tegenwoordig gewend zijn De notatie van een verza-meling of interval zoals we die nu gebruiken dat wil zeggen x | ϕ(x) of [0 1] was indie tijd nog niet in gebruik en daarvoor in de plaats werd (x1 xn) gebruikt voor eeninterval Een verzameling zoals we er tegenwoordig over spreken was nog niet zo goedgedefinieerd in die tijd Vaak werd er in plaats van verzameling over een collectie schaar

of lichaam (niet te verwarren met de moderne algebraısche betekenis) gesproken Waarnodig zullen in de tekst begrippen worden uitgelegd of verduidelijkt

Bij dezen wil ik graag Dr Gerard Alberts bedanken voor zijn fantastische begeleidingOnze bijna wekelijkse gesprekken over de historie en filosofie van de metafysica (en somsde wiskunde) hebben mij erg geholpen mijn sprong in het diepe te orienteren en mijndoorgronding van deze soep van wiskunde filosofie en geschiedenis op de rails te houdenOok Joost Vecht wil ik bedanken voor zijn onmisbare hulp in het begrijpen van Kantrsquosmetafysica en ik wens hem met terugwerkende kracht veel succes bij de verdediging vanzijn afstudeerscriptie

2 Filosofie van de wiskunde

21 Betreffende het oneindige

Een van de redenen waarom Cantors werk zo spraakmakend was was dat hij van hetoneindige iets grijpbaars probeerde te maken De heersende opvattingen over het onein-dige in Cantors tijd zijn terug te voeren op de ideeen van Aristoteles welke vanaf deMiddeleeuwen tot aan Cantor het algemene denkbeeld grotendeels hebben gedicteerdHij was zeker niet de eerste die zich met het oneindige bezig hield maar maakte wel eenbelangrijke stap die het werken met het oneindige iets makkelijker maakte

In het jonge oude Griekenland werd het oneindige of απειρον nog gezien als ietsvormloos chaotisch en onbegrijpelijks Het woord had geen duidelijke betekenis ende Grieken hebben nog geen duidelijke criteria om het eindige van het oneindige teonderscheiden[21] Pas rond 350 v Chr werd het oneindige een beetje hanteerbaar ge-maakt doordat Aristoteles een onderscheid maakt tussen twee soorten oneindigheid[25]Ten eerste is er het potentiele oneindige

For generally the infinite has this mode of existence one thing is alwaysbeing taken after another and each thing that is taken is always finite butalways different1[1]

Het is dus een proces waarvan het onmogelijk is het te voltooien of het einde te be-reiken Denk bijvoorbeeld aan het opnoemen van de natuurlijke getallen 1 2 3 4 Deze soort oneindig is een oneindigheid die bestaat of mogelijk is De tweede soort on-eindigheid het werkelijk of voltooid oneindige bestaat daarentegen niet en is zelfs nietmogelijk als een idee in het verstand van de mens Dit type oneindigheid is iets datin zijn geheel bestaat op een moment en oneindig veel elementen omvat[21] Hierondervallen onder andere alle objecten of verzamelingen die we krijgen als een potentieel on-eindig proces wordt voltooid (al is dit natuurlijk niet mogelijk) Betrekken we dit totons voorbeeld dan moeten we concluderen dat de collectie van alle natuurlijke getal-len tezamen geen daadwerkelijke collectie kan zijn De reden om het bestaan van ditwerkelijk oneindige te ontekken was dat met gemak paradoxen te bedenken als we hetwerkelijk oneindige proberen te gebruiken als kwantiteit De Grieken beschouwden dezeoneindigheid dan ook als chaotisch en ondoorgrondelijks en de term had een negatieveondertoon

Aan het eind van de Middeleeuwen begonnen de Aristoteliaanse opvattingen overoneindigheid door te dringen in West-Europa welke verwoven raakte met de theologie

1ολως με`ν γα`ρ ουτος εστιν το` απειρον τω ἀει` αλλο και` αλλο λαμβανεσθαι και` το` λαμβανομενον με`ν ἀει`

ειναι πεπεγασμενον ἀλλ΄ ἀει γε ετερον και` ετερον

en filosofie maar ook de wiskunde van die tijd Niet alle Middeleeuwse filosofen warenhet met Aristoteles eens dat deze voltooide oneindigheid niet kan bestaan[25] echterwaren de meeste wiskundigen het wel met Aristoteles eens dat het voltooide oneindigeniet kan bestaan Ze bedachten meerdere voorbeelden die zouden aantonen dat ditinderdaad moet gelden Zo merkte Galileo in 1638 op dat er een bijectie mogelijk istussen de positieve gehele getallen en een stricte deelverzameling hiervan namelijk dekwadraten Dit is natuurlijk een tegenstrijdigheid waar het werkelijk oneindige ons totheeft gebracht quod erat demonstrandum

Middeleeuws Europa heeft van Aristotelesrsquo oneindigheidsdichotomie een trichotomiegemaakt Het Romeinse Rijk was net uiteen gevallen waardoor er een vacuum was waarzich eerst een centrale regelende macht bevond De christelijke kerk heeft dit vacuumopgevult en speelde daarmee een centraal figuur in de vorming van de maatschappijde cultuur en de samenleving van Europa en daarmee ook in de filosofie Daartoe washet noodzakelijk dat nieuw geıntroduceerde Griekse ideeen in het kerkelijke kader gepastkonden worden In het Oude Griekenland hadden sommigen al het idee dat God oneindigis zoals Plotinus rond het jaar 250 doch deze opvatting ontstond pas 500 jaar na de tijdvan Aristoteles[21] Plotinus dacht namelijk als God niet gelijk stond aan het oneindigeen slechts eindig was zou iets oneindigs (of dit nu wel kon bestaan of niet) verder gaandan God Dit kon vanzelfspreken niet dus God stond gelijk aan het oneindige Ook deMiddeleeuwse filosofen en theologen hadden de opvatting dat God oneindig is Om hetonderscheid van Aristotelesrsquo oneindigheden te kunnen blijven maken werd daarom Godgelijk gesteld aan het absoluut oneindige (door Augustinus van Hippo) of God werd eennieuwe grotere soort van oneindigheid die transcendentaal is gaan heten toegeschreven

Rond 1600 de tijd van Galileo waren rijen reeksen en limieten al bekende concep-ten Dit leverde geen probleem met de ontkennig van het bestaan van de voltooideoneindigheid reeksen en rijen voldoen namelijk precies aan het idee van het potentieeloneindige en een limiet leverde ook geen moeilijkheden op omdat dit niet een waardeis die verwezenlijkt wordt door het voltooien van een potentieel oneindig proces maareen waarde waar de rij of reeks steeds dichter bij gaat zitten Ook bij de ontwikkelingvan de calculus door Newton en Leibniz rond 1687 werd nog steeds aangehouden dathet werkelijk oneindige niet kan bestaan en dit geloof werd zelfs sterker in de wiskundeWaar in de Middeleeuwen nog de meeste wiskundigen hiervan waren overtuigd zo washet in de mathematische wereld van de achttiende eeuw een algemeen geaccepteerd feitDit geloof zet zich voort tot het begin de negentiende eeuw Zo schrijft bijvoorbeeldGauss op 12 juli 1831 in een brief aan Heinrich Schumacher

[] so protestire ich zuvorderst gegen den Gebrauch einer unendlichen Grosseals einer Vollendeten welcher in der Mathematik niemals erlaubt ist[22]

Daarentegen wordt de tweede helft van de negentiende eeuw het toneel van groteveranderingen in de wiskundige wereld Het begint met het fenomeen dat nieuwe wis-kunderesultaten zich snel beginnen op te stapelen en de grens van de wiskunde wordtopgezicht waardoor onenigheid ontstaat over welke bewijzen nu wel of niet geldig zijnMen wil striktere eisen gaan stellen aan wat wel en wat niet een bewijs is wat zich

vertaalt in een poging tot strictere axiomatisering van wiskundige concepten Ook hetoneindigheidsconcept moet eraan geloven dankzij Georg Cantor

22 Kants metafysica

In 1781 publiceerde de filosoof Immanuel Kant zijn Kritik der reinen Vernunft eenwerk waarin hij zijn inzichten over de wijze waarop het vergaren van kennis mogelijk isuiteenzet Het werk werd invloedrijk en zou de discussies over de aard van wetenschapspecifiek ook wiskunde domineren in de eeuw volgend op de publicatie Ook ten tijdevan Cantors uitgave van de Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre in 1883zat het gedachtegoed van de Kritik in het achterhoofd van veel exacte wetenschappersen zodoende waren de opvattingen over de metafysica in die tijd hierop gebaseerd zijhet een uitbreiding of herinterpretatie of verzet tegen bepaalde aspecten hiervan Omdeze reden is het belangrijk een globaal idee te hebben van wat dit werk inhield omde controverse rond Cantors werk in een historisch correct frame te kunnen plaatsenEen opmerking vooraf de behandeling hieronder is niet gebaseerd op het lezen van deKritik maar de Prolegomena als het ware een light-versie van de Kritik

Om te beginnen is het goed om op te merken dat Kant het vergaren van kennis nietop psychologische of neurologisiche wijze probeerde te onderzoeken maar op de wijzevan de metafysica dit is een tak van de filosofie die de relatie tussen de constructen vanhet menselijk verstand en de objecten van de externe wereld bestudeert In deze hoeda-nigheid heeft het ook fundamentele betrekking op de wetenschap omdat de wetenschapbepaalde aannames maakt over wat werkelijkheid is De reden van Kant om deze relatiete bestuderen was omdat de wisselwerking tussen het verstand en de wereld verklaarthoe het mogelijk is dat de mens kennis kan krijgen Pas op basis van deze kennis kanmen proposities of oordelen maken ware of onware uitspraken over concepten zoalslsquotafelrsquo lsquovrijgezelrsquo of lsquodriehoekrsquo Voor de wetenschap is het essentieel bewust te zijn vande mogelijke potenties beperkingen en valkuilen die een theorie over het krijgen vankennis bloot kan leggen

Kant splitst kennis op in twee typen analytisch en synthetisch Analytische kennisof een analytisch oordeel is kennis of een oordeel dat tot stand komt door kennis dieal beschikbaar is te bestuderen en hier je nieuwe kennis uit te halen of oordeel op tebaseren Deze oordelen voegen geen nieuwe kennis toe omdat ze eigenschappen vaneen onderwerp beschrijven die inherent in dat onderwerp aanwezig zijn Een voorbeeldis de uitspraak lsquoalle vrijgezellen zijn ongehuwd rsquo dit predikaat omschrijft een concept(ongehuwd) dat inherent in het onderwerpconcept (vrijgezellen) aanwezig moet zijn enbewerkstelligt daardoor geen nieuwe kennis In tegenstelling tot analytische oordelendoen synthetische oordelen de kennis wel toenemen Dit soort oordelen geven een onder-werp een eigenschap die het niet per definitie van zichzelf hoeft te hebben Bijvoorbeeldlsquoalle vrijgezellen zijn ongelukkig rsquo het concept van ongelukkig is niet bevat in het conceptvrijgezel en daarom geeft dit predicaat ons nieuwe kennis (we wisten namelijk nog nietdat vrijgezellen ongelukkig zijn)

Ook wordt er een tweede onderscheid gemaakt in de mogelijke soorten kennis a

priori en a posteriori A priori kennis staat los van ervaring en moet om puur logischeredenen waar (of onwaar) zijn De waarheid van deze kennis valt te toetsen aan ervaringmaar is dus niet gebaseerd op deze ervaring De eerdere uitspraak lsquoalle vrijgezellenzijn ongehuwd rsquo is hier een voorbeeld van empirisch onderzoek zal laten blijken datdeze uitspraak waar is maar de waarheid van deze uitspraak is enkel gebaseerd oplogische gevolgtrekkingen Het is belangrijk om te beseffen dat a priori kennis doordeze eigenschap van absolute zekerheid met zich meebrengt Daarentegen is a posteriorikennis wel gegrond in ervaring en nıet in logisch redeneren Zo is ervaring nodig om deuitspraak lsquotafels bestaanrsquo te kunnen valideren De waarheid van a posteriori kennis moetgevalideerd worden door de empirie en hoeft daarom niet universeel waar te zijn

Kant stelt dat wiskunde synthetische a priori kennis is en probeert uit te leggen hoedeze kennisvorm mogelijk is Daarvoor is het eerst nuttig om te weten hoe Kant dachtdat wiskundigen te werk gaan hij beschreef het als volgt

es muszlig ihr irgendeine reine Anschauung zum Grunde liegen in welchersie alle ihre Begriffe in concreto und dennoch a priori darstellen oder wieman es nennt sie konstruieren kann[24 p34]

Oftewel de Anschauung of intuıtie is de fundering waarop de Begriffe of conceptengeconstrueerd worden Intuıtie is dus de basis voor de wiskunde en zonder intuıtie is hetbedrijven van wiskunde onmogelijk Met intuıtie wordt hier bedoeld het intellectueelbegrip van een voorwerp Intuıties behoren tot het opmerkende verstand en zijn te ver-gelijken met (zintuigelijke) sensaties Daarentegen behoren concepten tot het denkendeverstand en zijn verantwoordelijk voor het begrijpen

We zitten nu in de situatie dat wiskunde vereist dat a priori intuıtie mogelijk is datwil zeggen intellectueel begrip hebben van een voorwerp zonder het ooit te hebbenwaargenomen Het bestaan hiervan is alleen mogelijk omdat het menselijk verstand hetaangeboren vermogen heeft om ervaringen te structureren Twee van deze structurenzijn ruimte en tijd Als wij de wereld om ons heen ervaren of opmerken dan zorgtde ruimtestructuur er voor dat we bijvoorbeeld een voorwerp als lsquoverder wegrsquo kunneninterpreteren dan een ander voorwerp we structureren de objecten van onze ervaring dusop ruimtelijke wijze Zo kunnen we ook onze ervaringen structureren met tijd Overigenshoeven we met deze structuur tijd niet noodzakelijk als constant te ervaren de dag gaatlangzaam als wij alleen vervelende klusjes aan het doen zijn en gaat snel als we het ergnaar ons zin hebben op een feestje Ruimte en tijd zijn dus volgens Kant structuren diewij zelf aanbrengen in onze ervaringen en deze worden tot de pure intuıties gerekendZe heten puur omdat als men alles dat empirisch is elimineert (dus alles gerelateerdaan zintuigelijke sensaties) we nog steeds beschikken over tijd- en ruimte-intuıties dezekunnen nooit geelimineerd worden en maken inherent deel van ons uit

De wiskunde bouwt al zijn kennis en oordelen op de pure tijd- en ruimte-intuıties zijzijn daarom de fundamenten van de hele wiskunde Dit heeft bijvoorbeeld als gevolg datin deze theorie van Kant alleen de Euclidische meetkunde een geldige meetkunde is voorde wiskunde om in te werken omdat de wiskunde wordt beoefend in onze Euclidischeruimte-intuıtie2

2Dit was tenminste een tijd lang de meest populaire interpretatie van Kants werk

3 Georg Cantor

In dit hoofdstuk worden publicaties van Georg Cantor besproken in zoverre zij voor dezebespreking belangrijk worden geacht Er wordt naar gestreefd de artikelen van Cantorzo nauwkeurig mogelijk te volgen mogelijke weglatingen en inkortingen daargelaten omzo de lezer een beter gevoel te kunnen geven van de staat van de wiskundige wereldin die tijd We beginnen met het bestuderen van de aanleiding voor Cantors interessein het ontwikkelen van een leer over Mannigfaltigkeiten We werken vervolgens naarzijn publicatie Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre toe een belangrijkwerk zowel in wiskundig als filosofisch opzicht betreffende de inzichten in het oneindigeDaarna behandelen we Grundlagen zelf zowel de wiskunde als de filosofie ervan Wesluiten het hoofdstuk met een beschrijving van het werk dat hij heeft verricht na depublicatie van dit artikel

31 Oorsprong verzamelingenleer

311 Over goniometrische representaties van een functie

Op het moment van zijn afstuderen ligt de interesse van de jonge Georg Cantor nog bijde getaltheorie Zijn afstudeerscriptie De aequationibus secundi gradus indeterminatisis een onderzoek in diophantische vergelijkingen ax2 + by2 + cz2 = 0 die door de afstu-deercommissie (waar oa Kummer en Weierstraszlig in zaten) in 1867 het predicaat magnacum laude wordt gegeven[28 p17] In 1869 krijgt Cantor door de wiskundige EduardHeine een leerstoel aangeboden aan de Universitat Halle waar Cantor door Heine wordtaangemoedigd een probleem uit de analyse te bekijken Heine zelf is namelijk bezig methet bestuderen van representaties van willekeurige functies door goniometrische reeksenIn 1870 bewijst hij de volgende stelling[19 p31]

Stelling 31 Een functie f(x) die in het algemeen continu is maar niet noodzakelijkeindig kan op unieke wijze gerepresenteerd worden door een goniometrische reeks

f(x) =1

infinsumn=1

(an sinnx+ bn cosnx)

als de reeks in het algemeen voldoet aan de voorwaarde van uniforme convergentie Dereeks representeert de functie dan in het algemeen van minusπ tot π

Hier wordt met lsquoin het algemeenrsquo bedoeld een interval met maximaal eindig veel puntenals uitzondering Deze stelling eist uniforme convergentie van de reeks en een algemene

continuıteit van f(x) en Cantor wordt door Heine uitgenodigd te pogen dit te genera-liseren Al in april van hetzelfde jaar publiceert Cantor zijn Beweis daszlig eine fur jedenreellen Wert von x durch eine trigonometrische Reihe gegeben Funktion f(x) sich nurauf eine einzige Weise in dieser Form darstellen laszligt waarbij de eis van algemene uni-forme convergentie van de reeks wordt vervangen door de eis dat de reeks convergeertvoor elke x[2]

Stel namelijk dat er twee goniometrische reeksen zijn die voor elke reele waarde vanx convergeren naar dezelfde waarde en dezelfde functie f(x) representeren Het een vande ander aftrekken geeft een voor elke x convergente reeks die gelijk aan 0 is

0 = C0 + C1 + middot middot middot+ Cn + middot middot middot (31)

waar C0 = 12d0 Cn = cn sinnx + dn cosnx en waar de coefficienten cn dn met toene-

mende n oneindig klein worden[3] Vervolgens bekijken we geınspireerd door Riemannde functie

F (x) = C0xx

2minus C1 minus middot middot middot minus

Cnnnmiddot middot middot

We weten al dat deze functie in de omgeving van elke waarde van x continu is en dathet tweede differentiequotient

F (x+ α)minus 2F (x) + F (xminus α)

met oneindig afnemende α de grens nul nadert[29] Uit deze twee feiten kunnen weconcluderen dat F (x) een eerstegraadsfunctie cx+ cprime is2 Gebruiken we de lineaire vormvan F (x) dan hebben we voor elke waarde van x

2minus cxminus cprime = C1 +

4+ middot middot middot+ Cn

nn+ middot middot middot

Uit de periodiciteit van de rechterkant (met periode 2π) volgt dat c = 0 en C0 = d02

= 0Zodoende wordt de vergelijking

minuscprime = C1 +C2

De reeks aan de rechterkant is van zo een vorm dat men bij een gegeven ε een geheelgetal m kan aangeven zodat als n = m de totale bijdrage van restterm Rn (de reeksvanaf de n + 1-de term) kleiner is dan ε voor alle waarden van x oftewel de reeks isuniform convergent

We kunnen nu in vergelijking (31) elke term vermenigvuldigen met cosn(xminust) zodatelk van deze termen te herschrijven is tot

(cn sinnt+ dn cosnt

(cn sin(2nxminus nt) + dn cos(2nxminus nt)

1Herken hierin dat de tweede afgeleide van F (x) gelijk aan 0 is2Het bewijs hiervoor heeft Hermann Schwarz voor Cantor bedacht en maakt onderdeel uit van de

originele publicatie

(Merk op dat de termen met een x een periode van 2πn

hebben) Omdat de reekst uniformconvergent is is term-voor-term integreren van minusπ tot +π nu toegestaan het integrerengeeft als resultaat de uitdrukking

cn sinnt+ dn cosnt = 0

met t een willekeurige reele grrootte Hieruit volgt dat cn = 0 dn = 0 Ook hebben wenu het resultaat dat als een voor elke reele waarde x convergente goniometrische reeksnul representeert het niet anders mogelijk is dan dat de coefficienten d0 cn dn allemaalnul zijn en zo hebben we de stelling

Stelling 32 Wanneer een functie f(x) met reele veriabele x door een voor elke waardevan x convergente goniometrische reeks gerepresenteerd wordt dan is er geen anderereeks van dezelfde vorm welke ook voor elke waarde van x convergeert en diezelfde functief(x) representeert

Cantor wil het hier echter niet bij laten in 1871 laat hij in zijn Notitz bestaandeuit toevoegingen op zijn zojuist besproken publicatie en bewijs zien dat de eisen vangelijkheid van f(x) aan zijn goniometrische representatie of de convergentie van dereeks kunnen worden versoepeld[4] Stel dat er een oneindige stijgende rij van punten xminus1 x0 x1 bestaat zo verdeeld dat elk eindig interval maar eindig veel van dezewaarden xν bevat en waarop een van de twee eisen vervalt Dan geldt op elk interval(xν xν+1) dat de functie F (x) uit bovenstaand bewijs nog steeds een lineaire functiekνx+ lν is Neem uit twee opeenvolgende intervallen de functies kνx+ lν kν+1x+ lν+1dan blijkt onder andere uit de continuıteit van F (x) dat kν = kν+1 en lν = lν+1

3 Nuvolgt analoog aan het vorige bewijs de uniciteit van de goniometrische reeks

312 Over afgeleide puntverzamelingen

De volgende stap in de generalisatie is om oneindig veel van deze uitzonderingspuntentoe te staan in een begrensd interval Uit de Stelling van Bolzano-Weierstraszlig volgt dat erdan een minstens een verdichtingspunt in dit begrensde interval moet liggen Als er eenuniek verdichtingspunt is dan volgt de veralgemenisering vrij makkelijk uit het vorigeresultaat en de continuıteit van F (x) Evenzo bij een eindig aantal verdichtingspuntenMaar technische moeilijkheden ontstaan als er oneindig veel verdichtingspunten zijn endeze zich ophopen en verder als de verdichtingspunten van deze verdichtingspunten zichop hun beurt weer ophopen etc Om met dit probleem om te gaan introduceert Cantorhet concept van een afgeleide puntverzameling in zijn artikel Uber die Ausdehnung einesSatzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen[6]

In het volgende gaan we ervan uit dat er een begrensd interval in gedachte is genomenEen Punktmenge of puntverzameling is een verzameling van een eindig of oneindig aantalpunten op de reele lijn (Dit in tegenstelling tot een Wertmenge die uit getallen bestaateen verschil waar Cantor veel belang aan hechtte maar waar wij nu niet verder op

3Hier gebruikt Cantor een methode die hij heeft ontleend aan Heines publicatie Uber trigonometrischeReihen die hier verder niet wordt besproken

ingaan) Van een gegeven puntverzameling P bekijken we de verzameling van diensverdichtingspunten (niet noodzakelijk bevat in P ) en noemen dit de eerste afgeleidepuntverzameling P prime van P Bekijkt men bijvoorbeeld de verzameling P die bestaat uitde punten welke afstanden 1 1

2 13 1

n tot de oorsprong hebben dan bestaat de

verzameling P prime uit alleen het punt 0 Als P prime niet slechts uit eindig veel punten bestaatdan kunnen we spreken van zijn afgeleide puntverzameling P primeprime de tweede afgeleide vanP Men vindt na ν van deze iteraties de ν-de afgeleide puntverzameling P (ν) van P Als deze verzameling P (ν) uit eindig veel punten bestaat en dus zelf geen afgeleideverzameling heeft dan noemen we P van de ν-de soort Hieruit volgt ook dat P prime P primeprime van de ν minus 1-de ν minus 2-de soort zijn

Nu is Cantor klaar om de stelling nog een stap algemener te bewijzen dit keer metals punten van uitzondering een puntverzameling van een willekeurige ν-de soort

Stelling Beschouwen we een vergelijking van de vorm

met C0 = 12d0 Cn = cn sinnx+ dn cosnx voor alle waarden van x met als uitzondering

de punten van een in het interval (0 2π) bevatte puntverzameling P van de ν-de soortwaarbij ν een willekeurig groot geheel getal is dan geldt

d0 = 0 cn = dn = 0

Bewijs We bekijken (wederom) de functie

F (x) = C0xx

2minus C1 minus

4minus middot middot middot minus Cn

nnminus middot middot middot

Uit de eigenschappen van een puntverzameling van de ν-de soort volgt dat er een interval(α β) moet zijn waarin geen enkel punt van de verzameling P ligt Voor alle waardenvan x in dit interval convergeert de reeks (32) waardoor lim(cn sinnx+ dn cosnx) = 0en hieruit volgt dat lim cn = 0 lim dn = 0[5] De functie F (x) heeft ook de volgendeeigenschappen[29]

1 zij is continu in de buurt van elke waarde van x

2 de lim F (x+α)+F (xminusα)minus2F (x)αα

= 0 wanneer limα = 0 voor alle waarden van x metuitzondering van de waarden die horen bij een punt in P

3 de lim F (x+α)+F (xminusα)minus2F (x)α

= 0 wanneer limα = 0 voor alle waarden van x zonderuitzondering4

Uit deze drie eigenschappen en wat we behandeld hebben in paragraaf (311) volgtdirect al dat

4Dit quotient gaat over de gladheid van F (x) en zegt dat als F (x) een afgeleide F prime(x) in x heeft danbestaan de linkerafgeleide F prime(xminus) en rechterafgeleide F prime(x+) en zijn ze gelijk[19]

(A) Als (p q) een interval is waarin slechts een eindig aantal punten uit P ligt danis F (x) lineair in dit interval

We gaan verder met het bekijken van een interval (pprime qprime) welke slechts een eindigaantal punten xprime0 x

prime1 x

primer uit de eerste afgeleide verzameling P prime bevat en we willen

laten zien dat in elk van de deelintervallen waarin (pprime qprime) door de punten xprime0 xprime1

uiteenvalt de functie F (x) lineair is bijvoorbeeld in (xprime0 xprime1)

o p qx1x0

Dit deelinterval bevat in het algemeen oneindig veel punten uit P dus het resultaat (A)kan niet onmiddelijk worden toegepast Daarentegen bevat elk interval (s t) dat geheelin (xprime0 x

prime1) valt slechts eindig veel punten uit P (anders zou tussen xprime0 en xprime1 nog een

ander punt uit P prime liggen) en zo is de functie F (x) wegens (A) lineair in (s t) Echterkan men de eindpunten s en t willekeurig dichtbij xprime0 en xprime1 brengen zodat men snel zietdat de continue functie F (x) ook lineair is in (xprime0 x

prime1) Dit kunnen we toepassen op

elk deelinterval van (pprime qprime) en zo verkrijgt men zo als bij (A) het volgende resultaat

(Arsquo) Als (pprime qprime) een interval is waarin slechts een eindig aantal punten van P prime ligtdan is F (x) lineair in dit interval

Het bewijs gaat op dezelfde manier verder Stelt men namelijk vast dat F (x) eenlineaire functie is in een interval (p(k) q(j)) welke slechts een eindig aantal punten uitde k-de afgeleide puntverzameling P (k) bevat dan volgt zoals bij de overgang van (A)naar (Arsquo) dat F (x) ook een lineaire functie is op een interval (p(k+1) q(k+1)) dat slechtseindig veel punten uit de (k + 1)-de afgeleide puntverzameling P (k+1) bevat We gaanzo door een eindig aantal iteraties totdat we concluderen dat in elk interval dat slechtseen eindig aantal punten uit de verzameling P (ν) bevat F (x) lineair is Nu namen weaan dat de verzameling P van de ν-de soort is dus er zitten slechts een eindig aantalpunten van P (ν) in elk willekeurig interval (a b) We kunnen constateren dat F (x)lineair is in elk willekeurig gegeven interval (a b) en daaruit volgt dat F (x) van devorm F (x) = cx + cprime is voor alle waarden van x De rest van het bewijs gaat analoogaan de bewijzen uit paragraaf (331) verder

32 Verdere ontwikkeling

321 Eerste onderscheid verschillende oneindigheden

De eerste tekenen dat er verschillende duidelijk onderscheidbare oneindigheden zijnzijn terug te vinden in Uber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischenZahlen[7] Als we de publicatie geloven is het hoofdresultaat dat de Inbegriff of decollectie5 van alle algebraısche getallen welke met (ω) wordt genoteerd eenduidig over-

5Alternatief lsquobelichamingrsquo lsquolichaamrsquo Merk in ieder geval op dat Cantor hier het woord lsquoMengersquovermijdt

gedragen kan worden naar de collectie van alle gehele positieve getallen zo dat elkalgebraısch getal zijn eigen gehele positieve getal krijgt toegewezen en omgekeerd datelk positief geheel getal zijn eigen algebraısche getal krijgt toegewezen of met anderewoorden dat de collectie (ω) als een oneindige rij

ω1 ω2 ων (33)

kan worden gezien waarin elk individu uit (ω) voorkomt en een bepaalde plaats heeftdie door de bijbehorende index gegeven is Een leuk gevolg uit deze stelling is dan dateen alternatief bewijs voor de stelling van Liousville die zegt dat elk interval (α β)oneindig veel trancendentale getallen bevat makkelijk volgt Geloven we nog steedsde publicatie dan is om deze reden bijgevoegd dat wanneer je een willekeurige rij vanreele getallen in de vorm van 33 hebt er altijd reele getallen zijn die niet in deze rijvoorkomen Cantor zegt hier terloops over

so fand ich den deutlichen Unterschied zwischen einem sogenannten Kon-tinuum und einem Inbegriffe von der Art der Gesamtheit aller reellen algeb-raischen Zahlen

Maar juist dıt is het belangrijke resultaat van de publicatie dat het continuum vande reele getallen als het ware rijker is dan de lichamen van gehele rationale en zelfsalgebraısche getallen Zoals Cantor zegt een duidelijk onderscheid ontstaat hier dustussen twee gradaties van oneindigheid Cantor weet zelf ook dat dit het belangrijksteresultaat is uit de publicatie[19 p67] en er is een reden waarom hij dit heeft proberente verstoppen Redacteur van het wiskundig blad waarbij Cantor rond deze tijd nog bijpubliceert het Crelles Journal fur die reine und angewandte Mathematik is de LeopoldKronecker en zo bekend als Kronecker is zo bekend zijn ook zijn strenge opvattingenover wat toegestaan is in de wiskunde (hierover meer in paragraaf 41) Vaststellendat de reele getallen niet telbaar zijn is provocerend en al helemaal voor de finitistischeKronecker Cantor is dus waarschijnlijk extra voorzichtig met deze publicatie om zichzelfgeen problemen op de hals halen en Kronecker te veel uit te dagen en probeert depublicatie liever en zo is het ook uitgepakt probleemloos te laten verlopen

Een probleemloze publicatie zit er niet meer in bij Cantors volgende artikel Ein Bei-trag zur Mannigfaltigkeitslehre6[8] Crelles Journal is doorgaans snel met het publicerenvan ingediende artikelen maar Cantor moet meer dan een half jaar wachten terwijlondertussen later ingediende werken al wel gepubliceerd worden[27] Hij vermoedt datKronecker de publicatie bewust tegenwerkt[19 p70] De ergernissen die dit voor Cantoropleveren zorgen ervoor dat na dit artikel Cantor niet meer toestaat dat zijn werken indit prestigieuze tijdschrift worden gepubliceerd Een heftige keuze omdat Crelles op ditmoment een van de meest prestigieuze wiskundebladen is7 Overigens heeft de beroemdeWeierstraszlig zich ingezet om het artikel wel te laten verschijnen

6Merk op dat Cantor hier voor het eerst spreekt van een leer7Bovendien was Crelles Journal ook een typisch Berlijns blad Een van de ergernissen gedurende

Cantors leven is dat hij nooit een aanstelling aan de Berlijnse universiteit heeft gekregen

De inhoud van deze Beitrag begint tam met het verder ontwikkelen van conceptendie Cantor al een tijdje in zijn hoofd heeft zo begint hij met het preciseren van eenpaar begrippen Als twee welgedefinieerde Mannigfaltigkeiten of veelheden8 M en Neenduidig en volledig naar elkaar overgedragen kunnen worden dan hebben deze veelhe-den gelijke Machtigkeit of macht alternatief worden ze ook wel equivalent genoemd Alshun macht niet gelijk is dan heeft M gelijke macht met een deel van N of andersomin het eerste geval is de macht van M kleiner in het tweede geval groter dan de machtvan N De rij van positieve gehele getallen geeft de kleinste macht die bij oneindigeveelheden voorkomen In deze machtsklasse horen onder andere de rationalen de col-lectie (ω) puntverzamelingen van de ν-de soort oneindige rijen en n-voudige rijen Alsveelheid M de macht heeft van de positieve gehele getallen dan heeft elk oneindig deelvan M dezelfde macht Als M primeM primeprimeM primeprimeprime een oneindige rij is van veelheden met demacht van positieve gehele getallen dan heeft de samenneming M van deze veelhedenM primeM primeprimeM primeprimeprime dezelfde macht9 Vervolgens komt de kern van de publicatie namelijkdat Cantor een manier heeft gevonden om een continue ruimte van gt 1 dimensies te be-dekken met een eendimensionale continue ruimte zodat elk punt van de een aan precieseen punt van de ander gelijk wordt gesteld Dit gaat rechtstreeks tegen aannames in diede wiskundige wereld tot op dat moment voor universeel waar hield en het werd moeilijkom nog aan te geven waar het onderscheid ligt tussen twee ruimtes van verschillende di-mensie Cantor vroeg (voor deze publicatie) aan vele wiskundecollegae op de viering vanGaussrsquo honderste verjaardag (1877) in Gottingen of zo een een-op-een-correspondentiemogelijk was wat leidde het volgende citaat uit een brief aan Dedekind

Die meisten welchen ich diese Frage vorgelegt wunderten sich daruber daszligich sie habe stellen konnen da es sich ja von selbst verstunde daszlig zur Be-stimmung eines Punctes in einer Ausgedehntheit von Dimensionen im-mer unabhangige Coordinaten gebraucht werden Wer jedoch in den Sinnder Frage eindrang muszligte bekennen daszlig es zum mindesten eines Beweisesbedurfe warum sie mit dem ldquoselbstverstandlichenrdquo Nein zu beantworten seiWie gesagt gehorte ich selbst zu denen welche es fur das Wahrscheinlichstehielten daszlig jene Frage mit einem Nein zu beantworten sei [27 p40]

322 Over oneindige lineaire puntverzamelingen

In 1879 begint Cantor een reeks van zes publicaties onder de titel Uber unendliche lineairePunktmannigfaltigkeiten om zijn vondsten tot zo ver bijeen te zetten en het nieuweonderwerp grondiger te ontwikkelingen De eerste publicatie betreft puntverzamelingenen het afleiden hiervan[9] Het meeste hebben we hierboven al behandeld maar er wordtwat op uitgebreid puntverzamelingen waarvoor P (n) slechts uit eindig veel elementenbestaan noemen we van de eerste Gattung of het eerste geslacht Houdt echter derij van afleidingen P prime P primeprime P primeprimeprime P (ν) van P niet op dan is P van het tweede

8Alternatief lsquoveelvoudenrsquo lsquomeervoudigheidrsquo Merk op dat nog steeds lsquoMengersquo niet wordt gebruikt9Tegenwoordig eisen we hiervoor de aanname van het keuzeaxioma Dit axioma bestond destijds nog

geslacht Als P overal-dicht in een interval ligt10 dan is P van het tweede geslachtDit geldt andersom ook Ook het concept van macht wordt aangedaan waarbij wordtvermeld dat bepaalde puntverzamelingen als representant voor hun machtklasse kunnenfungeren Zo is dit bij de klasse van oneindig aftelbare puntverzamelingen de natuurlijkegetallenrij en voor de continue intervallen de verzameling van alle punten die met eenafstand = 0 en 5 1 rechts van de oorsprong liggen Bewezen wordt dat dit daadwerkelijkverschillende klassen zijn

In 1880 wordt het tweede deel gepubliceerd waarin voornamelijk notatie voor puntver-zamelingoperaties wordt geıntroduceerd en verder op puntverzamelingen van het tweedegeslacht wordt ingegaan[10] De notatie is uit historisch oogpunt leuk om te lezen maarwordt hier weggelaten Is een verzameling P van het tweede geslacht is dan kunnen wede doorsnede van P prime P primeprime P primeprimeprime nemen en deze met door het symbool P (infin) uitdrukkendit noemen we dan de afgeleide van P van ordeinfin11 Omdat dit weer een puntverzame-ling is kunnen we de n-de afleiding P (infin+n) van P (infin) nemen en verdergaan tot P (2infin)Door het herhalen van deze operatie komt men uit op

P (n0infinν+n1infinnminus1++nν)

waar n0 n1 nν positief gehele getallen zijn Door consequent verder te blijven gaankrijgt men achtereenvolgend de volgende begrippen

P (infininfin) P (ninfininfin) P (infininfin+1) P (infininfin+n) P (infinninfin) P (infininfinn ) P (infininfininfin ) etc

Het is een opmerkign waardig dat de uitdrukking P (infin) equiv O de verzamelingen van heteerste geslacht compleet karakteriseert

Het derde deel komt in 1882 uit en probeert het werk uit de eerste twee delen tegeneraliseren naar meerdere dimensies[11] Het merendeel van dit artikel wordt besteetaan het bewijzen van de volgende stelling

Stelling Laat in een n-dimensonale overal in het oneindige uitdijende continue ruimteA een oneindig aantal n-dimensionale continue onderling disjuncte deelgebieden (a) diehoogstens op hun grensgebied samenstoten gedefinieerd zijn dan is de totale veelheid(a) altijd aftelbaar

In 1883 wordt het vierde artikel uitgebracht[12] Cantor update hierin zijn notatievoor puntverzamelingoperaties en introduceerd voor puntverzamelingen waardoor dedoorsnede met hun eerste afgeleide leeg is D(QQprime) equiv O12 de term geısoleerde punt-verzamelingen Onder andere met hulp van dit begrip stelt Cantor vast dat puntver-zamelingen van eerste geslacht en bepaalde gevallen van het tweede geslacht aftelbaarzijn Ook behandelt hij een stelling in de integraalrekening van Paul du Bois-Reymonden Axel Harnack waarvan het bewijs gebruik maakt van puntverzamelingen Cantor isontevreden over de rigor van hun bewijs en behandelt de problemen die hij ondervindtin dit artikel wat zich uit in het bewijzen van de volgende stelling

10P is uberall-dicht in interval (α β) als elk interval (γ δ) dat hierbinnen ligt een punt van Pbevat

11Merk op dat hier infin als symbool gezien wordt en dus niet als getal12Q capQprime = empty

Stelling Is een in een interval (a b) bevatte puntverzameling P zo geconstrueerd datzijn afgeleide P prime aftelbaar is dan is het altijd mogelijk P in een eindig aantal intervallenwaarvan de som willekeurig klein is te sluiten

In de jaren 1880 tot 1884 wordt in de Mathematische Annalen veel gepubliceerd overpuntverzamelingen niet alleen door Cantor In de analyse begint de Riemann-integraalzijn gebreken te vertonen wat correspondeert met de interesse in de topologie van do-meinen waarop functies gedefinieerd kunnen zijn Dit zorgt er waarschijnlijk voor datCantor een dringende noodzaak voelt om te publiceren Hij was behoorlijk ongerustover de publicatie van zijn vijfde artikel in de reeks die wat hem betreft maar niet snelgenoeg kon komen Hij bezocht zelfs de drukkerij in Leipzig13 in de hoop het verschijnenvan zijn werk te bespoedigen[19 p92ndash94]

33 Betreffende de Grundlagen einer allgemeinen

Mannigfaltigkeitslehre

In 1883 wordt Cantors vijfde deel in de lineare Punktmannigfaltigkeitsen-serie uitge-bracht[13] Hij breekt hier definitief met het idee van het bruikbare potentieel oneindigeversus het onbruikbare actueel oneindige met zijn ontwikkeling van de nieuwe transfi-niete getallen Eerder maakte hij al gebruik van de symbolen infin+1 2infin eninfinn maar indit artikel worden deze objecten door Cantor verheven tot de status van getal Dat dit istoegestaan in de wiskunde is helemaal niet vanzelfsprekend daarom is een substantieeldeel van de publicatie een verdediging van zijn wiskundefilosofie en is daarmee gelijkwaarschijnlijk zijn grootste bijdrage op filosofisch gebied Op wiskundig gebied is ditniet het geval maar het is wel een van de meest vernieuwende stap die Cantor heeft ge-zet in zijn wiskundecarriere Vanwege de omvang en het gewicht van deze publicatie isdit als apart werk verschenen onder een eigen naam de Grundlagen einer allgemeinenMannigfaltigkeitslehre al wordt het nog wel gezien als vijfde deel in de overkoepelendeserie over puntverzamelingen

Met de bespreking van de Grundlagen beginnen we met de filosofische verdedigingvan Cantors werk in het oneindige Het is niet mogelijk elk facet tot in de diepe detailste behandelen dus we beperken ons tot de belangrijkste hoofdlijnen Hierna behandelenwe Cantors introductie van de transfiniete getallen en het rekenen hiermee Cantors be-handeling van het continuum en de irrationale en reele getallen en het fijnere detailwerkbetreffende puntverzamelingen slaan we over

331 Filosofisch aspect

Bekijken we de geschiedenis dan ziet men zoals hier al beschreven in paragraaf 21dat de standpunten over het oneindige in Cantors tijd al voorkomen bij AristotelesMaar bekijkt men de motieven die Aristoteles geeft tegen het bestaan van het werkelijkeoneindige dan laat de kern zich volgens Cantor terugbrengen tot een stelling die een

13Zorsquon 40 km van Halle vandaan waar Cantor nog steeds werkt

cirkelredenering bevat namelijk dat er alleen eindige getallen bestaan omdat alleentellingen (Zahlungen) van eindige verzamelingen bekend zijn Cantor geeft echter aandat hij met het beschrijven en karakteriseren van oneindige geordende verzamelingenen verder in deze publicatie met het ontwikkelen van de transfiniete getallen heeftlaten zien dat welgedefinieerde tellingen zowel bij eindige als bij oneindige verzamelingenverwezenlijkt kunnen worden Het enige verschil tussen het tellen van eindige en vanoneindige verzamelingen is dat bij eindige verzamelingen de volgorde van tellen nietuitmaakt het aantal (Anzahl) is bij elke volgorde hetzelfde terwijl in het oneindigegeval dit in het algemeen niet waar is het is mogelijk een oneindige verzameling opverschillende manieren te tellen om zo tot verschillende tellingen te komen voor een endezelfde verzameling14 Vanaf nu kan omwille dit argument volgens Cantor het bestaanvan het oneindige dus niet meer genegeerd worden als die van het eindige nog wel wordtgehandhaafd

Cantor bespreekt ook een ander argument van Aristoteles tegen het bestaan van hetoneindige zijnde dat het eindige door het oneindige wordt verwoest met andere woordeneen eindig getal door een oneindig getal teniet wordt gedaan Hier wordt mee bedoelddat als je een eindige getal met een oneindige getal combineert dat een (of de) oneindigegetal overblijft de eindige kwantiteit hoe groot hij ook mocht zijn is dus teniet gedaanOneindige getallen zouden daarom inconsistent zijn Ten eerste wil Cantor opmerken dathet rekenen met oneindig niet per se hoeft te voldoen aan dezelfde regels als het rekenenmet het eindige Verder is het met zijn theorie wel degelijk het geval dat wanneer we eenoneindig getal nemen en hierbij een eindig getal wordt opgeteld het eindige getal nietwordt opgeheven het oneindige getal wordt door het eindige getal gemodificeerd Maarals we de optelling andersom doen oneindig bij eindig dan verandert het oneindige getalinderdaad niet Met deze richtige Sachverhalt doet Cantor Aristoteles af en beweert datdit in de analyse en natuurwetenschappen geen nieuwe denkwijze is

Cantor roept publicaties van Locke Descartes Spinoza en Leibniz aan die naar zijnmening de sterkste argumenten tegen het invoeren van oneindige getallen geven maaronthoudt zich van een uitvoerige behandeling van deze werken Wel vat hij de opvattin-gen over het eindige en oneindige van deze vier heren samen in een standpunt namelijkdat de eindigheid deel uitmaakt van het begrip lsquogetalrsquo en dat het oneindige of het Ab-solute dat in God zit geen Determination of bepaling toelaat Cantor is het zondertwijfel eens met het tweede deel van de uitspraak wie es nicht anders sein kann maarziet in het eerste deel net zoals bij Aristoteles een cirkelredenering De aanname diede filosofen namelijk doen is dat er geen bepaling of vaststelling van het Absolute mo-gelijk is omdat als het gedefinieerd wordt het niet meer als oneindig gezien kan wordenen daardoor noodzakelijk eindig moet zijn Vandaar dat het bepalen van verschillendegroottes van oneindig volgens deze filosofen onmogelijk is Cantor is van de overtuigingen denkt door zijn vroegere onderzoekingen en door het werk in de Grundlagen te heb-ben bewezen dat hij heeft aangetoond dat na het eindige een Transfinitum komt een

14Het is belangrijk op te merken dat voor het eerst wordt gezegd dat volgorde van tellen bepalendkan zijn voor het aantal waar je uiteindelijk op uitkomt Hiervoor ging men altijd uit van eindigeverzamelingen waardoor werd gedacht dat verschillende volgordes van tellen altijd overeenkwamen

onbegrensde trapladder met onderscheidbare niveaus van oneindige aard maar die netals het eindige door goedgedefinieerde duidelijk bepaalde en van elkaar te onderschei-den getallen kunnen worden gedetermineerd Hij poneert samenvattend de volgendeuitspraak

Omnia seu finita seu infinita definita sunt et excepto Deo ab intellectu de-terminari possunt15

Ook behandeld Cantor het argument dat vanwege de eindigheid van het menselijkeverstand16 alleen eindige getallen denkbaar zijn en vindt wederom een cirkelredeneringstilzwijgend wordt bij de lsquoeindigheid des verstandsrsquo namelijk bedoeld dat het vermogenmet betrekking tot de Zahlenbildung17 tot eindige getallen beperkt is Van Spinozarsquosverhouding tussen de eindige en oneindige niveaus is het volgens Cantor onduidelijkwaarom en onder welke omstandigheden aanspraak kan worden gemaakt op zijn systeemWat betreft het standpunt van Leibniz is Cantor in staat om een citaat te vinden waarinLeibniz zijn eigen standpunt over het werkelijk oneindige tegenspreekt

Cantor maakt ook de (zeer) belangrijke opmerking dat het aantal in het eindige eenduidelijke definitie is maar dat wanneer men overgaat naar het oneindige deze term intwee nieuwe begrippen spleit Aan de ene kant is er de macht die onafhankelijk is vande orde waarin een verzameling gegeven (of geteld) wordt Aan de andere kant is er hetaantal die noodzakelijkerwijs gebonden is aan de orde waarin een verzameling gegevenis Dalen we omgekeerd weer van oneindig naar eindig dan zien we dat deze twee termenweer samenvallen Het is belangrijk er bewust van te zijn dat Cantor hier als eerste eenscheiding geeft van twee concepten waarvan men altijd dacht dat ze intrinsiek gelijk aanelkaar waren maar dat nu blijkt dat dit in het algemeen helemaal niet het geval is18

Ook betreffende het bestaan of de werkelijkheid van de gehele getallen (zowel deeindige als oneindige soort) in het algemeen heeft Cantor nog wat te zeggen Om tebeginnen kan lsquobestaanrsquo op twee manieren worden opgevat Enerzijds bestaan de gehelegetallen in ons verstand de getallen hebben een intrasubjectieve werkelijkheid Als degetallen welgedefinieerd een plaats in ons verstand innemen kunnen ze als bestandsdelenvan ons denken gezien worden en in relatie staan tot andere bestandsdelen en zo desubstantie van onze geest modificeren Anderzijds kunnen de getallen transsubjectief alsindruk of afbeeling van objecten of processen in de echte wereld bestaan Het doel vanelke metafysica is om deze twee realiteiten te verbinden Dit is een concreet probleem inveel wetenschappen maar de wiskunde heeft daar een uitzonderlijke status in omdat deeenheid van het Alles het transienten bestaan van intrasubjectieve wiskundige gedachte-objecten garandeerd Dus de wiskundige is vrij om zijn wiskundige ideeen te poneren

15Alles zij het eindig zij het oneindig is gedefinieerd en kan met de uitzondering van God wordenbepaald door het intellect

16Hier valt het gedachtengoed van Kant in te herkennen17Met Bildung wordt waarschijnlijk de zelfontplooiing of opvoeding bedoeld zoals Wilhelm von Hum-

boldt dit bedoelde We zouden het gehele woord misschien kunnen vertalen als lsquode algemene vormingof het besef van het getalconceptrsquo

18Overigens blijft het mogelijk om een oneindige verzameling op zorsquon wijze te tellen dat aantal en machtwel overeenkomen

en aan te nemen dat ze in de vorm van een abstractie van de natuur van het universumwerkelijkheid zijn[31]

332 Transfiniete getallen

Eerst wat terminologie de eerste getalklasse (I) is de verzameling van alle eindige ge-tallen 1 2 3 ν Hierop volgt de tweede getalklasse (II) die bestaat uit met eenbepaalde volgorde gegeven alle oneindige gehele getallen Het is mogelijk verder te gaanen derde vierde etc klassen te introduceren

Nu kunnen we beginnen met het introduceren van twee manieren om een volgendgetallen te maken Het eerste productieprincipe (Erzeugungsprincip) creert een nieuwgetal door een eenheid toe te voegen aan een al beschikbaar getal Dit is analoog aanhet herhaaldelijk toevoegen van een eenheid om de rij van positieve gehele getallen temaken Het aantal te maken getallen ν van deze klasse (I) is oneindig en er is geengrootste We kunnen desondanks een nieuw getal dat we ω19 noemen introduceren diede natuurlijke volgorde van de gehele collectie (I)20 uitdrukt Het is toegestaan om dezeω te zien als het eerste gehele getal dat op alle getallen ν volgt dat wil zeggen groter isMet het eerste productieprincipe ontstaan de getallen die hierop volgen

ω + 1 ω + 2 ω + ν

Wederom komen we niet tot een grootste getal zodat een nieuw getal 2ω geıntroduceerdkan worden dat volgt op alle voorgaande getallen ν en ω + ν volgt En we kunnen weerverder met het eerste productieprincipe

2ω + 1 2ω + 2 2ω + ν

De wijze waarop ω en 2ω zijn geıntroduceerd noemen we het tweede productieprincipewanneer er een oneindige opeenvolging van positieve gehele getallen bestaan zondergrootste getal introduceren we een nieuw getal dat het eerste getal is dat groter isdan alle voorgaande getallen Door herhaaldelijk toepassen van deze productieprincipeskunnen we elk getal van de vorm microω + ν maken met micro en ν uit de eerste getalklasse

Maar dit levert weer een oneindige rij getallen op waarvan geen de grootste is zodatwe weer het tweede productieprincipe kunnen toepassen om het getal ω2 te krijgen datvolgt op alle getallen microω+ν Zodoende krijgen we door deze productieprincipes getallenvan de vorm

ν0ωmicro + ν1ω

microminus1 + middot middot middot+ νmicrominus1ω + νmicro

toch brengt het tweede productieprincipe ons een nieuw getal dat groter moet zijn danal deze getallen dat we noteren met

19Cantor wijkt hier bewust van van het gebruik van infin om duidelijk te maken dat het nu om getallengaatm en niet om een onbepaalde oneindigheid zoals infin veelal werd gebruikt

20Wederom wordt het hier Inbegriff bedoeld en niet de algebraısche betekenis

We blijven nu echter steeds getallen maken zonder een van de tweede getalklasse tegente komen We introduceren om deze oneindige rij op natuurlijke plekken te kunnenonderbreken een derde principe Het remmingsprincipe (Hemmungsprincip) eist dateen nieuw getal met de productieprincipes wordt gemaakt alleen als het geheel van allevoorgaande getallen de macht heeft van een al gedefinieerd getal We definieren daaromde tweede getalklasse (II) voortaan als de collectie van alle door beide productieprincipesgemaakte in de bepaalde volgorde toenemende getallen α

ω ω + 1 ν0ωmicro + ν1ω

microminus1 + middot middot middot+ νmicrominus1ω + νmicro ωω α

die moeten voldoen aan de eis dat alle getallen die α vooraf gaan (vanaf 1) een ver-zameling met dezelfde macht als getalklasse (I) vormen Cantor bewijst hierna dat demachten van (I) en (II) verschillend zijn en maakt een begin aan een bewijs dat er geenmacht tussen deze twee ligt en is van plan in een volgend artikel verder in te gaan op demissende stukken21

Het rekenen met deze transfiniete getallen wordt beperkt tot de getallen van klasse(II)22 en wordt op basis van geordende verzamelingen gedaan Een geordende verzame-ling is een welgedefinieerde verzameling waarbij alle elementen met elkaar verbondenzijn door een gegeven opeenvolging zodat de verzameling een eerste element heeft enop elk element een bepaald ander volgt als het niet de laatste in de opeenvolging is

Laat M M1 nu twee geordende verzamelingen zijn met bijbehorende aantallen α enβ Dan is M + M1 weer een geordende verzameling die ontstaat door de elementenvan M te nemen en die te laten volgen door de elementen van M1 Bij de verzamelingM + M1 hoort een aantal dit aantal wordt de som van α en β genoemd en met α + βaangeduid Merk op dat als α en β niet beide eindig zijn dat α + β en β + α in hetalgemeen verschillend zijn In het algemeen is de associativiteit bij het optellen wel vankracht α + (β + γ) = (α + β) + γ

Neemt men een door een getal β bepaalde opeenvolging van lauter gelijke en gelijkge-ordende verzamelingen bij elke het aantal gelijk aan het getal α is dan verkrijgt men eennieuwe geordende verzameling wiens bijbehorende aantal de definitie voor het productβα levert waar β de vermenigvuldiger is en α het vermenigvuldigde Wederom geldt inhet algemeen dat βα en αβ verschillend zijn Maar ook bij vermenigvuldiging geldt inhet algemeen wel de associativiteit α(βγ) = (αβ)γ

De distributieve wet is alleen in de volgende vorm geldig

(α + β)γ = αγ + βγ

Het aftrekken kan op twee manieren worden gedaan Zij α en β twee gehele getallenα lt β dan is het makkelijk in te zien dat de vergelijking

α + ξ = β

21Dit is een eerste stap naar de formulering van wat tegenwoordig de continuumhypothese wordt ge-noemd Hierover meer in paragraaf 34

22Dit omdat Cantor nog weinig weet over hoe de getalklassen zich in het algemeen tot elkaar verhoudenvoornamelijk met betrekking tot de continuumhypothese De arithmetiek van getalklasse (I) hoeftvanzelfsprekend niet te worden behandeld

een unieke oplossing ξ toelaat waar ξ een getal uit (I) of (II) is als α en β getallen uit(II) zijn Dit getal ξ wordt gelijk aan β minus α gesteld

Proberen we het met de volgende vergelijking

ξ + α = β

dan zien we dat er niet altijd een oplossing ξ bestaat bijvoorbeeld bij de vergelijking

ξ + ω = ω + 1

Maar ook in het geval dat ξ + α = β wel voor ξ oplosbaar is vindt men vaak dat eroneindig veel oplossingen ξ zijn Er is van deze oplossingen echter altijd eentje die hetkleinste is Voor deze kleinste waarde als de vergelijking oplosbaar is kiezen we denotatie β

α die in het algemeen verschilt van β minus α

Bij multiplicatie gaat het analoog bestaat tussen drie getallen de vergelijking

β = γα

dan is het makkelijk in te zien dat de vergelijking β = ξα een unieke oplossing ξ = γheeft en we noteren dan γ als β

α Maar bij de vergelijking

β = αξ

zijn er als deze al oplosbaar is vaak meerdere waarden voor ξ mogelijk Echter is erweer een unieke kleinste oplossing voor deze vergelijking en deze ξ noteren we met

Getallen α uit de tweede getalklasse komen in twee soorten getallen α die een voor-ganger in de rij hebben noemen we van de eerste soort (bijvoorbeeld ω + 1 ωω + 3)getallen die geen voortganger in de rij hebben noemen we van de tweede soort (bijvoor-beeld ω ωω)

De definitie van priemgetallen moet voor het transfiniete getal iets worden aangepastwegens de zojuist tegengekomen problemen met vermenigvuldiging Gegeven het trans-finiete getal α = βγ kunnen we α priem noemen als de enige mogelijke decompositieseisen dat β = 1 of β = α De priemgetallen van de klasse (II) zijn te scheiden inpriemgetallen van de tweede soort en van de eerste soort

Priemgetallen van de tweede soort nemen op volgorde de volgende vorm aan

ω ωω ωω2

Oftewel bij getallen van de vorm

ϕ = ν0ωmicro + ν1ω

is ω het enige priemgetal van de tweede soort dat voorkomt Cantor merkt op dat on-danks de ogenschijnlijke magere aanwezigheid van priemgetallen in (II) het te bewijzenis dat de collectie van al deze priemgetallen dezelfde macht heeft als (II)

De priemgetallen van de tweede soort zijn van de vorm

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

Dit zijn de enige priemgetallen van de eerste soort die voorkomen bij getallen in de vormvan ϕ hierboven Ook de collectie van priemgetallen van de eerste soort heeft dezelfdemacht als (II)

Een leuk detail is dat als η een priemgetal van de eerste soort is ηα = η geldt als αkleiner dan η is waaruit weer volgt dat als α en β kleiner dan η zijn dat dan ook αβkleiner dan η is

De publicatie sluit af met het definieren van optelling en vermenigvuldiging voor dezetransfiniete getallen van de tweede klasse Zij

microminus1 + middot middot middot+ νmicro

ψ = 0ωλ + 1ω

λminus1 + middot middot middot+ λ

waarbij ν0 en ρ0 van nul verschillen

Optelling

1) Is micro lt λ danϕ+ ψ = ψ

2) Is micro gt λ dan

ϕ+ψ = ν0ωmicro+ middot middot middot+νmicrominusλminus1ω

λ+1 +(νmicrominusλ+0)ωλ+1ω

λminus1 +2ωλminus2 + middot middot middot+λ

3) Voor micro = λ is

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

1) Is νmicro ongelijk nul dan

ϕψ = ν0ωmicro+λ + ν1ω

micro+λminus1 + middot middot middot+ νmicrominus1ωλ+1 + νmicro0ω

λ + 1ωλminus1 + middot middot middot+ λ

In het geval dat λ = 0 is de laatste term in de rechterkant νmicro0

2) Is νmicro = 0 dan

micro+λminus1 + middot middot middot+ νmicrominus1ωλ+1 = ϕωλ

Tot slot kunnen we nu een getal ϕ in zijn priemfactoren ontbinden Zij

ϕ = c0ωmicro + c1ω

micro1 + c2ωmicro2 + middot middot middot+ cσω

microσ

met micro gt micro1 gt micro2 gt middot middot middot gt microσ en c0 c1 cσ niet-nul en positieve eindige getallen dangeldt

ϕ = c0(ωmicrominusmicro1 + 1)c1(ω

micro1minusmicro2 + 1)c2 middot middot middot cσminus1(ωmicroσminus1minusmicroσ + 1)cσωmicroσ

Als men c0 c1 cσ met de regels van priemgetallen van de eerste getalklasse ontbindtdan heeft men de priemontbinding van ϕ

Zodoende heeft Cantor zijn doel bereikt en heeft hij laten zien dat zijn transfinietegetallen goedgedefinieerd en van elkaar te onderscheiden zijn en inderdaad getaleigen-schappen bezitten

34 Na de Grundlagen

Opgemerkt dient te worden dat Cantor met de Grundlagen en de lineare Punktmannig-faltigkeiten-serie in het algemeen als doel had te bepalen welke macht het continuum(de reele lijn in het bijzonder) heeft Hij maakt al lange tijd de claim dat deze gelijkmoet zijn aan de macht van de tweede getalklasse (II) maar was tot nu niet in staatdit te bewijzen Dit probleem zullen wij vanaf nu de continuumhypothese noemen Hetbelang van deze hypothese was groot voor Cantor omdat hieruit volgt dat alle onein-dige puntverzamelingen de macht van de eerste of tweede getalklasse hebben en dat decollectie van alle functies die door een oneindige reeks te representeren zijn de machtvan de tweede getalklasse heeft[19 p110] Cantor zet de fundering voor deze zoektochtuiteen in de Grundlagen door een karakterisering van het continuum om te creeren Eenbelangrijk begrip gerelateerd aan deze zoektocht is dat van een perfecte verzamelingeen verzameling P waardoor de eerste afgeleide identiek is aan P zelf oftewel

P (1) equiv P23

In het zesde en tevens laatste deel van de lineare Punktmannigfaltigkeiten-serie gepubli-ceerd in 1884 gaat Cantor dieper in op de eigenschappen van deze perfecte verzamelingenen begint met het ontwikkelen van een volumebegrip voor puntverzamelingen zoals ge-zegd met als doel de continuumhypothese op te lossen24 Aan het eind van het artikelheeft Cantor de volgende stelling weten te bewijzen

Stelling Een oneindige gesloten lineaire puntverzameling heeft de eerste macht (de machtvan de rij van positieve gehele getallen) of de macht van het lineaire continuum

waarmee hij de continuumhypothese bijna bewezen acht Hij sluit daarom ook hetartikel hoopvol af met

Daszlig dieser merkwurdige Satz eine weitere Gultigkeit auch fur nicht abge-schlossene lineare Punktmengen und ebenso auch fur alle n-dimensionalenPunktmengen hat wird in spateren Paragraphen bewiesen werden Hierauswird mit Hilfe der in Nr 5 sect1325 bewiesenen Satze geschlossen werden daszligdas Linearkontinuum die Machtigkeit der zweiten Zahlenklasse (II) hat

Cantor blijft de rest van zijn leven zoeken naar een bewijs van de continuumhypothesemaar vlak na de publicatie van dit zesde deel eindigde de meest productieve periodevan Cantor op wiskundig gebied Ten eerste komt er een einde aan de winstgevendebriefwisselingen met Dedekind eind 1881 kwam Eduard Heine te overlijden waardoorer een wiskundeleerstoel vrijkwam in Halle waarvoor Cantor nieuwe kandidaten mochtaandragen Zijn eerste keuze ging naar Dedekind toe maar deze weigerde na meermaals

23Merk op dat de reele lijn zorsquon verzameling is24Merk op dat precies tachtig jaar later in 1964 door Paul Cohen in samenstelling met het werk van

Kurt Godel in 1940 definitief werd bewezen dat de continuumhypothese onafhankelijk is van ZF endaarmee heeft laten zien dat in een modernistisch jasje de queeste van Cantor niet voltooid kanworden[18][23]

25De Grundlagen

aansporen van Cantor de functie Kort hierna staakte de gunstige briefwisseling metDedekind waardoor te speculeren valt dat Cantor zich persoonlijk gekwetst voelde doordeze afwijzing[28]

Van groot belang voor Cantor was zijn vriendschap met de Zweedse wiskundige GostaMittag-Leffler Mittag-Leffler begint in 1882 een nieuw wiskundig tijdschrift genaamdde Acta Mathematica en vraagt Cantor onder andere om zijn belangrijkste resultatenhier in het Frans te publiceren terwijl Mittag-Leffler gebruikmakende van de theorievan Cantor ook zelf een aantal van zijn eigen resultaten in de functietheorie in de Actapubliceert Mittag-Leffler wordt een vertrouwde penvriend

De spanning tussen Cantor en Kronecker die al een aantal jaar geleden is ontstaanblijft echter Een grote bron van ergernis voor Cantor is de invloed die Kronecker inde wiskundige wereld heeft en besluit naar de minister van cultuur per brief om eenaanstelling aan de Berlijnse universiteit te vragen de universiteit van Kronecker (en zijnlsquocompagnonrsquo Schwarz) met als reden

[] ich habe nicht im Entferntesten daran gedacht dass ich jetzt schonnach Berlin kommen wurde Da mir aber daran liegt nach einiger Zeithinzukommen und mir bekannt ist dass Schwarz und Kronecker seit Jahrenfurchterlich gegen mich intriguiren aus Furcht ich konnte einmal hinkommenso habe ich es fur meine Pflicht gehalten die Initiative selbst zu ergreifenund mich an den Minister zu wenden[28 p50]

Kort daarna krijgt echter Cantor van Mittag-Leffler te horen dat Kronecker vroeg om inde Acta Mathematica een artikel te mogen publiceren dat uiteenzet waarom de verzame-lingenleer geen betekenis heeft Voor Cantor voelde dit waarschijnlijk alsof Kroneckerhem uit de Acta Mathematica te drijven juist het tijdschrift waar Cantor een sym-pathiserende redacteur had gevonden nadat Kronecker ook al Cantors publicaties uitCrelles Journal had geprobeerd te weren Hierop dreigde hij zijn steun voor het tijd-schrift van zijn vriend terug te trekken als het blad een aanvallend stuk van Kroneckerzou publiceren[19]

Kort hierop in de lente van 1884 krijgt Cantor zijn eerste periode van hevige depres-sie waardoor Cantor een maand lang uit de roulatie is26 Cantor zelf besluit hieromzodra het wat beter gaat een verzoeningsbrief te sturen naar Kronecker in de hoop despanning te verlichten waar Kronecker op taktvolle en fatsoenlijke wijze antwoordt Degemoederen zijn hierdoor in ieder geval tijdelijk tot bedaren gebracht

Overigens stuurde Kronecker nooit het artikel dat hij had voorgesteld naar Acta Ma-thematica maar toch kwam het tot een breuk tussen Cantor en dit blad In begin 1885stuurt Cantor een tweetal artikelen naar Acta Mathematica ter publicatie met nieuweideeen over ordetypes (de manieren van tellen van een puntverzameling) Mittag-Leffler

26Het kan ook om een zenuwinzinking gaan bronnen [19] en [28] verschillen hierover Er valt wat voorte zeggen dat zijn frustraties met de continuumhypothese Dedekinds weigering van de leerstoel ende spanning tussen Cantor en Kronecker hier veroorzakers van zijn Echter wijst Purkert erop datmanische depressie wat de officiele diagnose was niet door externe factoren wordt veroorzaakt[28p52]

antwoordt met een brief met de suggestie dat Cantor zijn artikelen beter kan terug-trekken omdat het te revolutionair zou zijn en daardoor Cantors reputatie zou kunnenschaden en vergelijkt het met Gaussrsquo onderzoek in de niet-Euclidische meetkunde dieook nooit zijn gepubliceerd27 Cantor vat dit echter op als een poging van Mittag-Lefflerom mogelijke reputatieschade van zijn nog fragiele blad te voorkomen Deze suggestiewas meer dan de ruzie met Kronecker zijn depressie of de frustratie door de con-tinuumhypothese verwoestend voor Cantor[19 p138] Hij zou nooit meer publiceren inde Acta Mathematica en geeft voor lange tijd de wiskunde bijna geheel op

In de periode hierna toont Cantor meer interesse in filosofie en geeft zelfs een paarfilosofievakken in Halle Ook raakt hij geınteresseerd in de Shakespeare-Bacon-theoriehet vermoeden dat de dramarsquos van William Shakespeare eigenlijk geschreven zijn doorSir Francis Bacon en schrijft hier twee kleine werken over die in 1896 op de marktverschijnen[28 p55] Ook begint Cantor zich meer te focussen op het geloof hij ver-diept zich in de theologie en correspondeert met theologen filosofen en geestelijken Eenandere activiteit wordt het oprichten van een vereniging voor wiskunde wat uitmondt inde oprichting van de Deutsche Mathematiker-Vereinigung in 1891 Bij de eerste ontmoe-ting wordt Cantor als president aangewezen en wordt Kronecker (die was uitgenodigden zou komen maar op het allerlaatst moest afzeggen wegens het overlijden van zijnvrouw) in de raad van bestuur gestemd Cantor maakte ook van deze eerste bijeen-komst gebruik om zijn eerste wiskundeonderzoek te presenteren en publiceren in vijfjaar tijd[14] Dit korte paper bevat misschien wel de twee meest beroemde resultatenvan Cantor het welbekende diagonaalargument en de stelling dat voor een verzamelingM de verzameling van alle deelverzamelingen een strict grotere macht heeft28 Aan heteind van dit jaar kwam Kronecker slechts maanden na zijn vrouw te overlijden Naastde oprichting van de DMV probeert Cantor een internationaal congres voor wiskundigente organiseren wat uiteindelijk in 1897 plaatsvindt[17 p471]

Desondanks is Cantor in de periode na het terugtrekken uit de publicatiewereld nogwel bezig geweest met de wiskunde en heeft zijn verzamelingenleer verder volwassen kun-nen worden In 1895 en 1897 publiceert Cantor dan eindelijk in twee delen een compleetoverzicht van zijn theorie van de transfiniete getallen zijn Beitrage zur Begrundung dertransfiniten Mengenlehre[15][16] In tegenstelling tot de Grundlagen wordt hierin nau-welijks over filosofie gesproken en wordt de materie meer op een strikte wiskundige wijzegepresenteerd De materie in deze artikelen lijkt al heel erg op de verzamelingenleer zoalshij vandaag de dag er voor staat Zo wordt de macht van een verzameling omgedoopttot kardinaalgetal en deze kardinaalgetallen worden apart van de wat ordinaalgetallengaan heten ontwikkeld inclusief eigen arithmetiek en wordt alefsym0 als notatie gebruikt voorhet kleinste transfiniete dat wil zeggen oneindige kardinaalgetal Ook worden wat in deGrundlagen als transfiniete getallen werden omschreven hernoemd tot ordinalen (Ord-nungszahlen) waarbij de arithmetiek niet veel wordt veranderd Welgeordendheid doetzijn intrede en nog veel meer Voor degenen geınteresseerd in de verzamelingenleer is

27Het bestaan of nut van niet-Euclidische meetkunde was in de tijd van Gauss erg omstreden Gaussclaimde in persoonlijke brieven er wel aan te hebben gewerkt maar heeft nooit geprobeerd ietserover te laten publiceren

28Tegenwoordig ook wel de Stelling van Cantor geheten

dit een uiterst boeiend en leerzaam werk maar voor deze scriptie wat minder behalveom op te merken dat Cantor weinig moeite doet om dit werk op filosofische grond teverdedigen

Na de publicatie verschijnen Italaanse en Franse vertalingen en verspreidde Cantorsideeen over de wereld en het belang van zijn werk werd snel (h)erkend[19 p218] Cantoris ervan bewust dat de Beitrage onvolledigheden bevatte zo was hij niet in staat kar-dinaalgetallen met elkaar te vergelijken en dat op bepaalde plekken de rigor te wensenover laat Ook worden er in 1897 paradoxen in de verzamelingentheorie ontdekt Maartoch heeft Cantor hier een essentiele bijdrage geleverd aan de wiskundewereld en eennieuwe generatie wiskundigen zal deze bijdrage laten evolueren tot een nieuwe funderingvan de wiskunde

4 Reacties

Zoals hierboven al is vermeld werd Cantors werk niet door iedereen gewaardeerd Erwerd gedacht dat transfiniete getallen niet konden mochten of niets-betekende legeconcepten waren In dit hoofdstuk zullen we aan de hand van twee van de meest karak-teristieke partijen waar Cantor zich tegen moest verzetten deze tegenargumenten naderbestuderen Eerst bespreken we de finitisme-achtige opvattingen van Leopold Kronec-ker waarna we de problemen zullen bekijken die het transfiniete met zich mee brachtvoor de interpretatie van de kerk over het oneindige en de absoluutheid van God Totslot zullen we het kort hebben over de ontwikkeling van Cantors ideeen door een nieuwegenerate wiskundigen en wat dit teweegbracht

41 Leopold Kronecker

Van de weerstand die Cantor ondervond tijdens zijn leven is de meest heftige en invloed-rijke waarschijnlijk die van Kronecker geweest Eerder werd al de vertraging bij CrellesJournal van Cantors Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre genoemd maar Kroneckerwas ook bekend om zijn agresieve polemiek tegen Cantors verzamelingenleer tegenovercollegae en studenten van de Berlijnse universiteit[19 p66] De wiskundige Schoenflieszegt hier zelfs over

Es ubersteigt nicht das erlaubte Mass wenn ich sage dass die Kronecker-sche Einstellung den Eindruck hervorbringen muszligte als sei Cantor in seinerEigenschaft als Forscher und Lehrer ein Verderber der Jugend[27 p134]

Deze strijd kwam niet voort uit persoonlijke onenigheid zo prees Kronecker in hetbegin het werk van Cantor in de getaltheorie maar uit botsende overtuigingen overde wiskunde Kronecker was van mening dat we de wiskunde arithmetisiren moetenoftewel slechts en alleen moeten funderen op het getal in de strengste zin[26] Hierbijworden irrationale en lsquocontinuirlichen Grossersquo waar transcendente getallen toe behorenuitgesloten evenals getallen die niet van eindige grootte zijn Het getal is in deze vormzo redeneert hij een product van slechts ons verstand1 Voor elke definitie moet er eenmethode zijn waardoor het mogelijk in eindig veel stappen te bepalen of een object aan degegeven definitie voldoet en existentie betekent dat iets op eindige wijze construeerbaaris[28 p35]2 Dientengevolge had Kronecker bijvoorbeeld ernstige bezwaren tegen deStelling van Bolzano-Weierstrass[19 p68] Zoals Kronecker zelf ooit eens zei

1In tegenstelling tot ruimte en tijd die lsquoauch ausser unserem Geiste eine Realitat hat der wir a prioriihre Gesetze nicht vollstandig vorschreiben konnenrsquo[26 p339]

2Tegenwoordig zouden we Kroneckers opvattingen omschrijven als finitisme

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht alles andere ist Menschenwerk[28p35]

Vanuit historisch oogpunt had Kronecker goede redenen om zulke strikte standpuntenin te nemen Zoals is gebleken uit de Grundlagen van Cantor vond er veel filosofische dis-cussie plaats over of de transfiniete getallen toegestaan mochten worden in de wiskundeKronecker wou nu juist door de wiskunde te gronden in de gehele getallen de wiskundevrij houden van deze filosofische speculaties3 In het algemeen had de wiskunde in dietijd erg last van lsquoquasi-wiskundersquo of zoals Meschkowski het omschrijft

Was damals in manchen ldquoLehrbuchernrdquo uber die Analysis geschrieben wurdekonnte einen klaren Denker schon verargern

Kroneckers opvattingen waren dus een logische tegenreactie van een steeds onduidelijkerwordende wiskunde en een poging om de wiskunde zijn zuiverheid (terug) te geven doorhaar te baseren op de theorie van de gehele getallen

42 Kerk

Al in de vroege vijfde eeuw opperde kerkvader Augustinus van Hippo in De civitate Deidat het verstand van God oneindig is want lsquohoe zouden we durven aannemen dat ereen grens zit aan Zijn kennis rsquo en ook Thomas van Aquino zei 800 jaar later dat Godoneindige kennis heeft waarbij we dit kunnen opvatten als werkelijk oneindig in plaatsvan potentieel oneindig4[21] Rene Descartes geloofde dat God werkelijk oneindig is endit is versimpeld ook de opvatting van de katholieke kerk in de tijd van Cantor

Ten tijde van Cantors eerste depressie in 1884 begon hij zich meer te richten totde kerk Door de weerstand van de wiskundige wereld begon Cantor zijn collegae opte geven en vond troost en inspiratie bij de kerk en de theologen en filosofen van dekerk[19 p148] In een brief aan Mittag-Leffler schreef Cantor in 1884 al dat hij nietde bedenker was van de transfiniete getallen maar slechts een boodschapper was Deinspiratie kwamen van God en het enige waar Cantor verantwoordelijk voor was wasde presentatie en formulering van de ideeen Deze verschuiving van interesse van dewiskunde naar het geloof moet niet onderschat worden Zo schreef Cantor in een briefaan Hermite in 1894

Metaphysik und Theologie haben ich will es bekennen meine Seele in sol-chem Grade ergriffen daszlig ich verhaltnismaszligig weinig Zeit fur meine ersteFlamme5 ubrig habe[27 p124]

3Dit zou verbonden kunnen zijn met een poging tot behoud van de absolute zekerheid die de wiskundekreeg toegeschreven door Kant we willen alleen synthetische a priori kennis en alle a posteriorikennis willen we buiten de wiskunde houden

4Volgens [21] was zijn voornaamste argument dat als er een oneindigheid zou bestaan het tellen ervanniet mogelijk is omdat er geen oneindige getallen bestaan een van de argumenten waar Cantor inde Grundlagen tegen pleit

5Zijn erste Flamme is de wiskunde

In dezelfde brief bedankt Cantor God dat Hij hem geen positie bij de universiteit inBerlijn of Gottingen heeft gegeven omdat daardoor Cantor zich meer heeft verdiept inde theologie en zo Hem en Zijn Heilige Romeinse Katholieke Kerk beter kon dienen[19p147]

Maar ook de kerk omarmde niet meteen het werk van Cantor Door paus Leo XIIIwerd gestimuleerd om de nieuwe ontwikkelingen in de wetenschap te verenigen met degeschriften van de kerk en om katholieke intellectuelen zich te laten verdiepen in deverschillende natuurwetenschappen Zodoende ontstond er een groep dominicanen diede wiskunde van Cantor nader ging bestuderen en ook kardinaal Johannes Franzelinhad briefwisselingen met Cantor over deze nieuwe theorie[19] De claim van Cantordat het transfiniete daadwerkelijk lsquonatura naturatarsquo bestaat was volgens deze kardinaalgevaarlijk De opvatting van de kerk was namelijk dat God deze wereld ontstijgt oftewelbuiten ruimte en tijd bestaat De claim van Cantor zou de oneindigheid van God inverband brengen met iets concreets en wereldlijks wat impliceert dat God niet dezewereld ontstijgt Deze opvatting doet erg denken pantheısme een geloof dat zegt datGod en het universum hetzelfde zijn en het pantheısme was in 1861 veroordeeld doorpaus Pius IX

Cantor nam echter openlijk afstand van het pantheısme en past zijn theorie in deopvattingen van de kerk door drie soorten bestaan van het werkelijk oneindige te om-schrijven De eerste soort is het in de hoogste vervolmaking buitenwereldlijke Zijn dat inGod wordt gerealiseerd deze soort noemt hij het Absoluut oneindige De tweede soortis zoals het in de afhankelijke dierlijke wereld verwezenlijkt is De derde soort is zoalshet als wiskundig getal door het denken geınterpreteerd kan worden De laatste tweenoemt Cantor dan het Transfiniete en zet hier het Absoluut oneindige tegenover[28p70] Kardinaal Franzelin geeft er de verwoording aan dat het Transfiniete een oneigen-lijke en twijfelachtige oneindigheid is en het Absoluut oneindige een volkomen oneindigeis en geeft in deze vorm zijn kerkelijke goedkeuring (imprimatur) van het transfinieteconcept een feit waar Cantor erg trots op was en zijn kerkelijke vrienden regelmatig aanzou herinneren[19 p146]

43 Ontwikkelingen

Kronecker was niet de enige felle tegenstander van Cantor Met hem waren ook FelixKlein Hermann Weyl en Henri Poincare tegen Cantors werk Poincare zei hierover zelfs

Later generations will regard [Cantors] Mengenlehre as a disease from whichone has recovered[25 p1003]

Maar steeds meer wiskundigen hoofdzakelijk de jongere generatie begonnen werkte maken van Cantors ideeen Op het Parijscongres in 1900 noemde Hilbert de con-tinuumhypothese als eerste op zijn bekende lijst van 23 problemen6 Het Heidelberg-congres in 1904 zette ook de schijnwerpers op Cantors werk De over het algemeen

6De twee hoofdvragen waren wat is de betrekking tussen het continuum en de aftelbare verzamelingen an het continuum als welgeordend worden beschouwd[30]

betrouwbare Julius Konig presenteerde daar een bewijs dat de macht van het continuum(oftewel van de reele getallen) niet voorkomt in de rij van alephs en dus ook niet wel-geordend kan worden[27 p165] Bij de presentatie kon niemand een fout ontdekken inhet bewijs het werd de sensatie van het congres en het kwam zelfs uitgebreid in lokalekranten te staan Alleen had Ernst Zermelo nog geen 24 uur later bij nadere bestuderingeen fout in het bewijs gevonden een onjuiste toepassing van een resultaat van Bernstein

Wiskundigen als Hilbert Zermelo en Hausdorff begonnen zich grote zorgen te makenover de toekomst van Cantors verzamelingenleer Nog hetzelfde jaar wist Zermelo eenbewijs te geven voor de stelling dat elke verzameling een welordering toelaat Maar erontstonden problemen over dit bewijs Het bewijs van Zermelo maakt gebruik van hetkeuzeaxioma een axioma dat hijzelf als vanzelfsprekend beschouwde en ter illustratieliet hij zien dat het veelvuldig werd gebruikt in de wiskunde Niet iedereen was het metdeze vanzelfsprekendheid eens en wiskundigen begonnen een grote discussie over of hetgebruik van het keuzeaxioma rechtvaardig is

Er werd steeds dieper onderzoek gedaan naar deze steeds fundamentelere wiskundigeen filosofische vragen en mondde uiteindelijk uit in een ware strijd om de grondsla-gen van de wiskunde De wiskundige wereld viel grofweg uiteen in een formalistischeintuıtionistische en logistieke stroming[30 p272ndash273]

Tot op de dag van vandaag is het grondslagendebat onopgelost alleen wordt hiertegenwoordig door de meeste wiskundigen minder aandacht aan besteed De funderingvan de axiomatische verzamelingenleer de verdere ontwikkeling van het gedachtegoedvan Cantor is komen te liggen in de Zermelo-Fraenkel-axiomarsquos en het keuzeaxioma[20]Vele wiskundigen zijn content met dit systeem de acceptatie van deze tak van wiskunde isbijna alomtegenwoordig Van de continuumhypothese weten we nu dankzij Paul Cohenen Kurt Godel dat dit niet te bewijzen valt in ZF[18][23] Het is redelijk om aan tenemen dat zorsquon bewijs voor de introductie van deze axiomarsquos ook niet mogelijk waszonder fundamentele uitspraken te moeten maken over wat waar is in de wiskunde

5 Discussie

We hebben in deze scriptie een uiteenzetting gegeven van de wereld waarin Cantorzijn pijlen op het oneindigheidsconcept heeft gericht en de weerstand die hij hier bijtegenkwam Mijn hoop is dat de lezer nu snapt waar deze weerstand vandaan kwam endat deze niet voortkwam uit onzinnig denken of idiotie maar dat er legitieme redenenvoor waren Ik hoop dat het vooral voor studenten een interessant en leerzaam kijkje inde keuken van de wiskundewereld was zoals die zorsquon hondervijftig jaar geleden was

Een bachelorscriptie is natuurlijk maar van beperkte omvang en menig aspect moesthierdoor on- of amper behandeld worden gelaten De heftige felheid die soms terug tevinden is in Cantors brieven zijn persoonlijkheid in het algemeen en zijn neiging totdepressies zijn interessant om nader te bestuderen omdat zij een grote invloed had-den op zijn leven en zijn positie in het wiskundemilieu Ook zijn de voorstanders vanzijn Mannigfaltigkeitslehre in de vroege fase van het ontstaan onderbelicht geblevenDedekind Mittag-Leffler en Weierstraszlig waren opseminst Cantor gunstig gezind OokCantors publicaties met name zijn twee-delige Beitrage verdienen een meer uitgebreidebehandeling De geınteresseerde lezers verwijs ik graag naar het fantastische boek vanJoseph Dauben over Cantor welke een leidraad is geweest voor deze scriptie en de meestvolledige behandeling van Cantor geeft die ik ben tegengekomen

Voor de lezers die geınteresseerd zijn in de Urtext is er een bundel van al zijn pu-blicaties en enkele briefwisselingen tussen hem en Dedekind samengesteld door ErnstZermelo en voorzien van een korte biografie door Adolf Fraenkel In het boek met de voorzichzelf sprekende titel Geschiedenis van de wiskunde geeft Dirk Struik een helder dochbondige overzicht van de oude Grieken en het oude Oosten tot aan de eerste helft van detwintigste eeuw Wie over de axiomatische verzamelingenleer de moderne ontwikkelingvan Cantors ideeen wil leren aan de Universiteit van Amsterdam werd Elements of SetTheory van Herbert Enderton en later The Joy of Sets van Keith Devlin gebruikt alsstudieboek voor de bachelorstudenten

Ook is de verdere ontwikkeling van de verzamelingenleer en de grondslagenstrijd diehiermee nauw verbonden is op zichzelf een interessant en gecompliceerd onderzoeksge-bied maar viel noodgedwongen buiten het oogmerk van deze scriptie Het stuklopenvan Hilberts program en de pogingen van Russell en Wittgenstein en het intuıtionismedat uit Bertus Brouwers Over de grondslagen der Wiskunde ontstond zijn onderwerpenwaar men zich vele jaren in kan verdiepen Ook de metafysica voornamelijk die vanKant nodigen uit tot jarenlange studies Zij die zich hier aan willen wagen adviseer ikde hulp van een expert in te schakelen

Bibliografie

[1] Aquinas T Commentary on Aristotlersquos Physics vol IIIndashVIII Vertaling PierreH Conway College of St Mary of the Springs Columbus Ohio 1958ndash1962

[2] Cantor G Beweis daszlig eine fur jeden reellen Wert von x durch eine trigono-metrische Reihe gegebene Funktion f(x) sich nur auf eine einzige Weise in dieserForm darstellen laszligt Crelles Journal f Mathematik 72 (1870) 139ndash142 In [17]80ndash83

[3] Cantor G Uber einen die trigonometrischen Reihen betreffenden Lehrsatz Crel-les Journal f Mathematik 72 (1870) 130ndash138 In [17] 71ndash79

[4] Cantor G Notiz zu dem Aufsatze Beweis daszlig eine fur jeden reellen Wert von xdurch eine trigonometrische Reihe gegebene Funktion f(x) sich nur auf eine einzigeWeise in dieser Form darstellen laszligt Crelles Journal f Mathematik 73 (1871)294ndash296 In [17] 84ndash86

[5] Cantor G Uber trigonometrische Reihen Mathematische Annalen 4 (1871)139ndash143 In [17] 87ndash91

[6] Cantor G Uber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometri-schen Reihen Mathematische Annalen 5 (1872) 123ndash132 In [17] 92ndash102

[7] Cantor G Uber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zah-len Crelles Journal f Mathematik 77 (1874) 258ndash262 In [17] 115ndash118

[8] Cantor G Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre Crelles Journal f Mathematik84 (1878) 242ndash258 In [17] 119ndash133

[9] Cantor G Uber unendliche lineare punktmannigfaltigkeiten MathematischeAnnalen 15 (1879) 1ndash7 In [17] 139ndash145

[12] Cantor G Uber unendliche lineare punktmannigfaltigkeiten MathematischeAnnalen 21 (1883a) 51ndash58 In [17] 157ndash164

[13] Cantor G Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre Verlag von BTeubner Leipzig 1883b

[14] Cantor G Uber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre Jahresberichtder Deutsche Mathematiker-Vereinigung 1 (1891) 75ndash78 In [17] 278ndash281

[15] Cantor G Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre Mathemati-sche Annalen 46 (1895) 481ndash512 In [17] 282ndash311

[17] Cantor G Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen In-halts Ed Ernst Zermelo Julius Springer Berlin 1932

[18] Cohen P The Independence of the Continuum Hypothesis II Proceedings of theNational Academy of Sciences of the USA 51 1 (1964) 105ndash110

[19] Dauben J W Georg Cantor His Mathematics and Philosophy of the InfinitePrinceton University Press Princeton New Jersey 1990

[20] Devlin K The Joy of Sets Fundamentals of Contemporary Set Theory se-cond ed Springer-Verlag New York 1993

[21] Dowden B The Infinite httpwwwieputmeduinfinite juni 2015

[22] Gauss K F Briefwechsel zwischen C F Gauss und H C Schumacher vol IIEd C A F Peters Gustav Esch Altona 1860

[23] Godel K The Consistency of the Continuum-Hypothesis Princeton UniversityPress Princeton New Jersey 1940

[24] Kant I Prolegomena zu einer jeden kunftigen metaphysik die als wissenschaftwird auftreten konnen In Der Philosophischen Bibliothek 6 ed vol 40 Verlag vonFelix Meiner Leipzig 1920

[25] Kline M Mathematical Thought from Ancient to Modern Times Oxford Uni-versity Press New York 2013

[26] Kronecker L Ueber den zahlbegriff Journal fur die reine und angewandteMathematik 101 (1887) 337ndash355

[27] Meschkowski H Probleme des Unendlichen Werk und Leben Georg CantorsFriedr Vieweg amp Sohn Braunschweig 1967

[28] Purkert W and Ilgauds H J Georg Cantor BSB B G Teubner Verlags-gesellschaft Leipzig 1985

[29] Riemann B Bernhard Riemannrsquos Gesammelte mathematische Werke und wis-senschaftlicher Nachlass Ed H Weber en R Dedekind B G Teubner Leipzig1876

[30] Struik D Geschiedenis van de wiskunde Het Spectrum BV Utrecht 1990

[31] Vecht J Modernism and Platonism Is Platorsquos Ghost Really There

A Populaire samenvatting

Wist je dat er verschillende soorten oneindig zijn de een groter dan de ander Dat ernet zoveel gehele getallen zijn als breuken maar dat alle getallen op de reele lijn metmeer zijn Hoezo kunnen we het over lsquomeerrsquo hebben bij oneindigheid

Wel dat zit zo Stel je bent op een dansfeestje en je wilt weten of er meer mannen ofmeer vrouwen zijn Je kan dit doen door eerst de mannen een voor een te tellen daarnade vrouwen een voor een tellen en tenslotte kijken van welke je er meer hebt geteld Alsje een eindig aantal mannen en vrouwen hebt is dit een prima oplossing maar als eroneindig veel mannen en vrouwen zijn dan wordt dit een probleem je zal nooit klaarzijn met het tellen van de mannen

Hier heeft de wiskundige Georg Cantor iets op bedacht In plaats van de mannen ende vrouwen stuk voor stuk te tellen kan je ze dansparen laten vormen Elk danspaarmoet gevormd worden door een man en een vrouw In het geval van een eindig aantalmannen en vrouwen zien we dat als er mannen overblijven er meer vrouwen moeten zijnen andersom als er vrouwen overblijven dan zijn er meer mannen Als we geen mannenen geen vrouwen overhouden dan weten we dat er evenveel van zijn Ook als we oneindigveel mannen en vrouwen hebben werkt dit nog vinden we een manier om iedere manen iedere vrouw in een danspaar te zetten dan concluderen we dat er evenveel mannenen vrouwen zijn Zo niet dan zijn er meer mannen of meer vrouwen

Op deze manier kunnen we zeggen dat er evenveel positieve gehele getallen 1 2 3 zijn als gehele getallen minus2minus1 0 1 2 (probeer maar een methode te bedenkenom paren te vormen) Maar als we zorsquon paring proberen tussen de gehele getallen enalle reele getallen dan zullen nooit vinden Cantor heeft namelijk bewezen dat zorsquonparing niet kan bestaan bij elke paring kunnen we reele getallen vinden die niet in eendanspaar met een geheel getal zitten

Ok er zijn dus meerdere soorten oneindig Sterker nog er zijn oneindig veel soortenoneindig en er is zelfs een kleinste soort oneindig Weer kijken we naar Cantor want hijheeft laten zien dat deze kleinste soort oneindigheid die van de gehele getallen is Dezeoneindigheid noteren we met de griekse letter ω en Cantor zei lsquodeze oneindigheid ω isin feite een getal rsquo Oftewel we kunnen gehele getallen bij ω optellen er is een ω + 1ω + 2 ω + 3 enzovoorts En dit zijn allemaal verschillende getallen net zoals 2 van 3verschilt

Hoe dit werkt kunnen we als volgt zien Stel we gaan een meter lopen Als wehalverwege zijn dus na 1

2m gelopen te hebben markeren we de grond met een streep

We gaan verder met lopen tot we halverwege onze streep en het einddoel zijn oftewel na14

m gelopen te hebben We gaan weer verder met lopen en we markeren steeds de grondals we halverwege zijn Uiteindelijk hebben we 1 hele meter gelopen en weer markerenwe er de grond

1 meter12 14 18

Als we nu de strepen gaan tellen dan staat bij 12

m streep 1 een 14

m verder staatstreep 2 een 1

8m verder staat streep 3 enzovoorts En de streep op de 1 m Dt is streep

nummer ωWe zijn echter in een sportieve bui en het strepen zetten vonden we fantastisch dus

we besluiten er nog een meter achter aan te lopen en weer allemaal strepen te gaanzetten

2 meter12 14 18

Hoeveel strepen hebben we nu gezet als we in totaal anderhalf meter hebben gelopenDat is ω+1 We gaan verder met lopen en met tellen tot we de volledige 2 meter hebbenoverbrugd en ook daar een streep hebben gezet Bij de anderhalf meter stond dus streepnummer ω + 1 daarna hebben we streep ω + 2 ω + 3 enzovoorts gezet De hoeveelstestreep staat er dan bij de 2 meter Dit is streep ω + ω oftewel 2 middot ω

Het rekenen met ω gaat alleen niet zo makkelijk als je zou denken Bijvoorbeeldvoordat je begint met lopen zet je een streep bij je beginpositie Streep nummer 1 Alsje een half meter hebt gelopen komt streep nummer 2 enzovoorts Heb je de 1 metervoltooid dan zet je nog steeds streep nummer ω neer Oftewel 1 + ω = ω (Probeerjezelf ervan te overtuigen dat ω 6= ω + 1) Zo zien we dat 2 + ω = 3 + ω = 4 + ω = ω

Ook moet je opletten met vermenigvuldigen Loop je een meter en zet je ω veelstrepen en loop je nog een meter waarbij je weer ω veel strepen zet dan heb je 2 middotω gt ωstrepen gezet Maar loop je alleen de eerste meter en zet je steeds niet een streep neermaar bijvoorbeeld een blauwe en een rode streep dan zet je 2 strepen en weer 2 strepenen weer 2 strepen Tot je bij 1 meter bent en alsnog de ωrsquoste streep neerzet Hierdoorkrijgen we dat ω middot 2 = ω 6= 2 middot ω

Dit rekenen is een beetje gek en veel mensen waren het ook niet eens met Cantordat dit mocht vaak om verschillende redenen (zelfs de kerk hield zich er mee bezig)Tegenwoordig krijg je dit geleerd in de wiskundebachelor

Inleiding

Filosofie van de wiskunde

Betreffende het oneindige

Kants metafysica

Georg Cantor

Oorsprong verzamelingenleer

Over goniometrische representaties van een functie

Over afgeleide puntverzamelingen

Verdere ontwikkeling

Eerste onderscheid verschillende oneindigheden

Over oneindige lineaire puntverzamelingen

Betreffende de Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre

Filosofisch aspect

Transfiniete getallen

Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie

Populaire samenvatting

Samenvatting

Het oneindige was in het verleden meermaals een aanleiding tot controverse Zo stuitteook Cantors introductie van de transfiniete getallen op veel weerstand Deze scriptieneemt deze introductie onder de loep met als focus de Grundlagen einer allgemeinenMannigfaltigkeitslehre uit 1883 Niet alleen de wiskundige kant maar ook de historischeen filosofische kant wordt belicht We kijken eerst naar de opvattingen over het oneindigevan de oude Grieken en later en de metafysica van Kant om een beeld te geven van hetwetenschappelijk denken van de negentiende eeuw We kijken dan naar hoe en waaromdit concept bij Cantor ontstond hoe hij op het idee van verschillende oneindighedenkwam en hoe zijn ideeen zich hebben ontwikkeld We kijken tot slot naar de ontvangstvan zijn werk specifiek naar Leopold Kronecker en de katholieke kerk en kort naar deontwikkelingen die Cantors werk teweeg heeft gebracht

Titel Over de ontwikkeling van het oneindige door Georg CantorAuteur Pieter van Niel pietervannielstudentuvanl 10434097Begeleiding dr Gerard AlbertsTweede boordelaar prof dr Jan van MillEinddatum 17 juli 2015

Korteweg-De Vries Instituut voor WiskundeUniversiteit van AmsterdamScience Park 904 1098 XH Amsterdamhttpwwwscienceuvanlmath

Inhoudsopgave

1 Inleiding 4

5 Discussie 33

Bibliografie 34

1 Inleiding

22 Kants metafysica

3 Georg Cantor

f(x) =1

infinsumn=1

F (x) = C0xx

(cn sinnt+ dn cosnt

2 13 1

d0 = 0 cn = dn = 0

F (x) = C0xx

2minus C1 minus

prime1 x

o p qx1x0

ω1 ω2 ων (33)

ω + 1 ω + 2 ω + ν

2ω + 1 2ω + 2 2ω + ν

ν0ωmicro + ν1ω

(α + β)γ = αγ + βγ

α + ξ = β

ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


Inhoudsopgave

1 Inleiding 4

5 Discussie 33

Bibliografie 34

1 Inleiding

22 Kants metafysica

3 Georg Cantor

f(x) =1

infinsumn=1

F (x) = C0xx

(cn sinnt+ dn cosnt

2 13 1

d0 = 0 cn = dn = 0

F (x) = C0xx

2minus C1 minus

prime1 x

o p qx1x0

ω1 ω2 ων (33)

ω + 1 ω + 2 ω + ν

2ω + 1 2ω + 2 2ω + ν

ν0ωmicro + ν1ω

(α + β)γ = αγ + βγ

α + ξ = β

ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


1 Inleiding

22 Kants metafysica

3 Georg Cantor

f(x) =1

infinsumn=1

F (x) = C0xx

(cn sinnt+ dn cosnt

2 13 1

d0 = 0 cn = dn = 0

F (x) = C0xx

2minus C1 minus

prime1 x

o p qx1x0

ω1 ω2 ων (33)

ω + 1 ω + 2 ω + ν

2ω + 1 2ω + 2 2ω + ν

ν0ωmicro + ν1ω

(α + β)γ = αγ + βγ

α + ξ = β

ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


22 Kants metafysica

3 Georg Cantor

f(x) =1

infinsumn=1

F (x) = C0xx

(cn sinnt+ dn cosnt

2 13 1

d0 = 0 cn = dn = 0

F (x) = C0xx

2minus C1 minus

prime1 x

o p qx1x0

ω1 ω2 ων (33)

ω + 1 ω + 2 ω + ν

2ω + 1 2ω + 2 2ω + ν

ν0ωmicro + ν1ω

(α + β)γ = αγ + βγ

α + ξ = β

ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


22 Kants metafysica

3 Georg Cantor

f(x) =1

infinsumn=1

F (x) = C0xx

(cn sinnt+ dn cosnt

2 13 1

d0 = 0 cn = dn = 0

F (x) = C0xx

2minus C1 minus

prime1 x

o p qx1x0

ω1 ω2 ων (33)

ω + 1 ω + 2 ω + ν

2ω + 1 2ω + 2 2ω + ν

ν0ωmicro + ν1ω

(α + β)γ = αγ + βγ

α + ξ = β

ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


22 Kants metafysica

3 Georg Cantor

f(x) =1

infinsumn=1

F (x) = C0xx

(cn sinnt+ dn cosnt

2 13 1

d0 = 0 cn = dn = 0

F (x) = C0xx

2minus C1 minus

prime1 x

o p qx1x0

ω1 ω2 ων (33)

ω + 1 ω + 2 ω + ν

2ω + 1 2ω + 2 2ω + ν

ν0ωmicro + ν1ω

(α + β)γ = αγ + βγ

α + ξ = β

ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


22 Kants metafysica

3 Georg Cantor

f(x) =1

infinsumn=1

F (x) = C0xx

(cn sinnt+ dn cosnt

2 13 1

d0 = 0 cn = dn = 0

F (x) = C0xx

2minus C1 minus

prime1 x

o p qx1x0

ω1 ω2 ων (33)

ω + 1 ω + 2 ω + ν

2ω + 1 2ω + 2 2ω + ν

ν0ωmicro + ν1ω

(α + β)γ = αγ + βγ

α + ξ = β

ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


3 Georg Cantor

f(x) =1

infinsumn=1

F (x) = C0xx

(cn sinnt+ dn cosnt

2 13 1

d0 = 0 cn = dn = 0

F (x) = C0xx

2minus C1 minus

prime1 x

o p qx1x0

ω1 ω2 ων (33)

ω + 1 ω + 2 ω + ν

2ω + 1 2ω + 2 2ω + ν

ν0ωmicro + ν1ω

(α + β)γ = αγ + βγ

α + ξ = β

ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


3 Georg Cantor

f(x) =1

infinsumn=1

F (x) = C0xx

(cn sinnt+ dn cosnt

2 13 1

d0 = 0 cn = dn = 0

F (x) = C0xx

2minus C1 minus

prime1 x

o p qx1x0

ω1 ω2 ων (33)

ω + 1 ω + 2 ω + ν

2ω + 1 2ω + 2 2ω + ν

ν0ωmicro + ν1ω

(α + β)γ = αγ + βγ

α + ξ = β

ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


F (x) = C0xx

(cn sinnt+ dn cosnt

2 13 1

d0 = 0 cn = dn = 0

F (x) = C0xx

2minus C1 minus

prime1 x

o p qx1x0

ω1 ω2 ων (33)

ω + 1 ω + 2 ω + ν

2ω + 1 2ω + 2 2ω + ν

ν0ωmicro + ν1ω

(α + β)γ = αγ + βγ

α + ξ = β

ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


2 13 1

d0 = 0 cn = dn = 0

F (x) = C0xx

2minus C1 minus

prime1 x

o p qx1x0

ω1 ω2 ων (33)

ω + 1 ω + 2 ω + ν

2ω + 1 2ω + 2 2ω + ν

ν0ωmicro + ν1ω

(α + β)γ = αγ + βγ

α + ξ = β

ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


2 13 1

d0 = 0 cn = dn = 0

F (x) = C0xx

2minus C1 minus

prime1 x

o p qx1x0

ω1 ω2 ων (33)

ω + 1 ω + 2 ω + ν

2ω + 1 2ω + 2 2ω + ν

ν0ωmicro + ν1ω

(α + β)γ = αγ + βγ

α + ξ = β

ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


prime1 x

o p qx1x0

ω1 ω2 ων (33)

ω + 1 ω + 2 ω + ν

2ω + 1 2ω + 2 2ω + ν

ν0ωmicro + ν1ω

(α + β)γ = αγ + βγ

α + ξ = β

ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


ω1 ω2 ων (33)

ω + 1 ω + 2 ω + ν

2ω + 1 2ω + 2 2ω + ν

ν0ωmicro + ν1ω

(α + β)γ = αγ + βγ

α + ξ = β

ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


ω + 1 ω + 2 ω + ν

2ω + 1 2ω + 2 2ω + ν

ν0ωmicro + ν1ω

(α + β)γ = αγ + βγ

α + ξ = β

ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


ω + 1 ω + 2 ω + ν

2ω + 1 2ω + 2 2ω + ν

ν0ωmicro + ν1ω

(α + β)γ = αγ + βγ

α + ξ = β

ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


ω + 1 ω + 2 ω + ν

2ω + 1 2ω + 2 2ω + ν

ν0ωmicro + ν1ω

(α + β)γ = αγ + βγ

α + ξ = β

ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


ω + 1 ω + 2 ω + ν

2ω + 1 2ω + 2 2ω + ν

ν0ωmicro + ν1ω

(α + β)γ = αγ + βγ

α + ξ = β

ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


ω + 1 ω + 2 ω + ν

2ω + 1 2ω + 2 2ω + ν

ν0ωmicro + ν1ω

(α + β)γ = αγ + βγ

α + ξ = β

ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


ω + 1 ω + 2 ω + ν

2ω + 1 2ω + 2 2ω + ν

ν0ωmicro + ν1ω

(α + β)γ = αγ + βγ

α + ξ = β

ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


(α + β)γ = αγ + βγ

α + ξ = β

ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


ξ + α = β

ξ + ω = ω + 1

β = γα

β = αξ

ω ωω ωω2

ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


ω + 1 ω2 + 1 ωmicro + 1

ψ = 0ωλ + 1ω

Optelling

ϕ+ ψ = (ν0 + 0)ωλ + 1ω

Multiplicatie

microσ

34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


34 Na de Grundlagen

P (1) equiv P23

25De Grundlagen

4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


4 Reacties

42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


42 Kerk

43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


43 Ontwikkelingen

5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


5 Discussie

Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


Bibliografie

1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


1 meter12 14 18

m streep 1 een 14

2 meter12 14 18

Inleiding


Kants metafysica

Georg Cantor








Filosofisch aspect


Na de Grundlagen

Reacties

Leopold Kronecker

Kerk

Ontwikkelingen

Discussie

Bibliografie


Documents

Over de ontwikkeling van het oneindige door Georg Cantor · Deze soort oneindig is een oneindigheid die bestaat of mogelijk is. De tweede soort on-eindigheid, het werkelijk of voltooid