Upload
hai-dam
View
231
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
1/42
CHUYÊN Đ LUYN THI ĐI HC MÔN TOÁN
www.facebook.com/tilado.toanhoc
TUYN TP HÌNH HC GII TÍCHTRONG MT PHNG HAY VÀ ĐCSC
(phiên bn 1)
Giáo viên : Nguyn Minh Tin
Hà Ni tháng 12 năm 2014
1
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
2/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Đ bài 01 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC có A (1; 5), đim B nm trênđưng thng (d1) : 2x + y + 1 = 0 và chân đưng cao h đnh B xung đưng thng AC nm trên
đưng thng (d2) : 2x + y − 8 = 0. Bit đim M (3; 0) là trung đim ca cnh BC. Tìm ta đ cácđnh B và C ca tam giác.
Li gii tham kho :
Gi đim B (a;−2a − 1) ∈ (d1)
Đim H (b; 8− 2b) ∈ (d2)
Ta có M là trung đim ca BC ⇒ C (6− a; 2a + 1)
Ta có H ∈ AC nên −−→AH và −−→HC cùng phương
−−→AH = (b− 1; 3− 2b) và −−→HC = (6− a− b; 2a + 2b− 7)−−→AH và
−−→HC cùng phương ⇒ b− 1
6− a− b = 3− 2b
2a + 2b− 7 ⇔ a = 11− 6b (1)
H là chân đưng cao h t B xung AC ⇒ AH ⊥BH ⇔ −−→AH.−−→BH = 0−−→BH = (b− a; 2a− 2b + 9) ⇒ −−→AH.−−→BH = 0 ⇔ (b− 1) (b− a) + (3− 2b) (2a− 2b + 9) = 0
⇔5b2
−5ab
−25ab + 7a + 27 = 0 (2)
Thay (1) vào (2) ta đưc 5b2 − 5b (11− 6b)− 25b + 7 (11− 6a) + 27 = 0
⇔ 35b2 − 122b + 104 = 0 ⇔
b = 2
b = 52
35
Thay ngưc li ta có đim B và C cn tìm
Đ bài 02 : Trong h ta đ Oxy hình thang cân ABCD có din tích bng 45
2 , đáy ln CD nm
trên đưng thng (d) : x − 3y − 3 = 0. Bit hai đưng chéo AC và BD vuông góc vi nhau và ctnhau ti đim I (2; 3). Vit phương trình đưng thng BC bit đim C có hoành đ dương.
Li gii tham kho :ABCD là hình thang cân ⇒ tam giác ICD vuông cân ti I
Ta có C D = 2d (I ; CD) = 2.|2− 3.3− 3|√
10= 2
√ 10 ⇒ IC = √ 20
Ly C (3a + 3; a) ∈ (d) ⇒ IC 2 = (3a + 1)2 + (a− 3)2 = 20 ⇔ a = ±1 ⇒ C (6;1)
Phương trình BD đi qua đim I và nhn −→IC làm vtpt ⇒ BD : 2x− y − 1 = 0
D là giao đim ca BD và CD ⇒ D (0;−1)
Tng hp các bài toán đc sc 2
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
3/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Đt I A = I B = x ⇒ S IAB = 12
x2; S IAD = x√
5 = S IBC ; S ICD = 10
⇒ S ABCD = 12
x2 + 2x√
5 + 10 = 45
2 ⇔
x =
√ 5 (tm)
x = −5√ 5 (loai)
⇒ DI IB
= 2 ⇒ −→DI = 2−→IB (∗)
Gi B (b; 2b− 1) ∈ BD t (∗) ⇒ B (3;5)
Phương trình đưng thng BC đi qua B và C ⇒ BC : 4x + 3y − 27 = 0.
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 03 (k2pi Ln 15 - 2014) : Trong h ta đ Oxy cho hình vuông ABCD có phương trìnhđưng thng AD là (d) : 3x
−4y−
7 = 0. Gi E là đim nm bên trong hình vuông ABCD sao cho
tam giác EBC cân có BE C = 150o. Vit phương trình đưng thng AB bit đim E (2;−4).
Li gii tham kho :
Tam giác BEC cân và có BE C = 150o ⇒ tam giác BEC cân ti E
Gi H là hình chiu ca E lên AD ⇒ H là trung đim ca AD và H E = d (E ; AD) = 3
Đt cnh hình vuông là AB = x
Tam giác BEC cân ti E có BEC = 150o ⇒ EB C = 15o. Gi I là trung đim ca BC ⇒ BI = x2
; EI =
x− 3Tam giác BIE vuông ti I có góc EB I = 15o ⇒ tan 15o = EI
BI =
2x− 6x
Tng hp các bài toán đc sc 3
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
4/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
⇒ 2−√ 3 = 2x− 6x ⇔ x = 2√ 3
Phương trình đưng thng EH qua đim E và vuông góc vi AD ⇒ EH : 4x + 3y + 4 = 0
Đưng thng AB // EH ⇒ AB có dng (d) : 4x + 3y + α = 0Ta có d (E,AB) =
|α− 4|5
= BI =√
3 ⇔ α = 4± 5√ 3
Phương trình đưng thng AB là (d) : 4x + 3y + 4 ± 5√ 3 = 0
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 04 : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC bit đưng cao k t A, trung tuyn kt B và phân giác k t C có phương trình ln lưt là (d1) : 3x− 4y + 27 = 0; (d2) : 4x + 5y − 3 =
0; (d3) : x + 2y − 5 = 0. Xác đnh tâm và bán kính đưng tròn ngoi tip tam giác ABC.
Li gii tham kho :
Ta có AH ⊥BC ⇒ BC có vtcp là −→u4 = (3;−4)
Gi −→u5 = (a; b) là vtcp ca đưng thng AC. Ta có CD là phân giác trong góc C
⇒ cos(−→u3,−→u4) = cos (−→u3,−→u5) −→u3 = (2;−1)
⇒ |2a− b|√ 5.√
a2 + b2=
10√ 5.√
25⇔ b = 0
b = −43
a
Vi b = −43
a ⇒ chn −→u5 = (3;−4) loi vì trùng vi −→u4
Vi b = 0 ⇒ −→u5 = (1; 0)
Đim A ∈ (d1) ⇒ A (−1 + 4a; 6 + 3a) và C ∈ (d3) ⇒ C (5− 2c; c) ⇒ −→AC = (6− 2c − 4a; c− 3a− 6)
Ta có −→u5 và −→AC cùng phương ⇒ c− 3a− 6 = 0 (1)
M là trung đim ca AC ⇒ M
4a + 4 − 2c2
; 3a + c + 6
2
. Trung đim M thuc (d2)
Tng hp các bài toán đc sc 4
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
5/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
⇒ 4. 4a + 4 − 2c2
+ 5.3a + c + 6
2 − 3 = 0 ⇔ 31a− 3a + 40 = 0 (2)
T (1) và (2) ⇒ a = 1; c = 3 ⇒ A (−5;3); C (−1;3)
Phương trình đưng thng BC đi qua C và vuông góc vi AH ⇒ BC : 4x + 3y − 5 = 0B là giao đim ca BM và BC ⇒ B (2;−1)
Bài toán c bn : Bit ta đ 3 đnh tam giác tìm ta đ tâm và bán kính đưng tròn ngoi tip tam
giác. Tâm I −3;−13
8
và R =
5√
65
8 .
Đ bài 05 : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC cân ti A có phương trình đưng thngcha các cnh AB và BC ln lưt là (d1) : 7x− y + 17 = 0; (d2) : x− 3y− 9 = 0. Vit phương trình
đưng cao xut phát t đnh C ca tam giác ABC bit đim M (2;−1) nm trên đưng thng AC.
Li gii tham kho :
Đưng thng AB có vtpt là −→n1 = (7;−1), BC có vtpt là −→n2 = (1;−3)
Gi −→n3 = (a; b) là vtpt ca đưng thng AC
Tam giác ABC cân ti A ⇒ cos(−→n1,−→n2) = cos (−→n2,−→n3) ⇒ 10√ 50.√
10=
|a − 3b|√ 10.√
a2 + b2
⇔ a2 + 6ab− 7b2 = 0 ⇔ a = b
a = −7b
Vi a = −7b chn −→n3 = (7;−1) loi vì cùng phương vi −→n1
Vi a = b chn −→n3 = (1; 1) ⇒ đưng thng AC : x + y − 1 = 0
Ta đ C là giao đim ca BC và AC ⇒ C (3;−2)
Phương trình đưng cao xut phát t C là (d) : x + 7y + 11 = 0.
Đ bài 06 : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đưng cao và đưngphân giác trong xut phát t đnh A ln lưt là (d1) : x − 2y = 0; (d2) : x − y + 1 = 0. Bit đimM (1; 0) nm trên cnh AB và din tích tam giác ABC bng
180
7 . Tìm ta đ các đnh ca tam
giác ABC.
Li gii tham kho :
Tng hp các bài toán đc sc 5
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
6/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
A là giao đim ca (d1) và (d2) ⇒ ta đ đim A (−2;−1)Qua M k đưng thng ⊥(d2) ct (d2) ti I và AC ti NMN qua M và ⊥(d2) ⇒ (M N ) : x + y − 1 = 0I là giao đim ca MN và (d2) ⇒ I (0; 1)I là trung đim ca MN ⇒ N (−1;2)
Phương trình đưng thng (AB) : x − 3y − 1 = 0 và (AC ) : 3x− y + 5 = 0
Đim B ∈ AB ⇒ B (3a + 1; a), đim C ∈ AC ⇒ C (b; 3b + 5)
Ta có B C ⊥AH ⇔ −−→AH ⊥−−→BC ⇔ −−→AH.−−→BC = 0−−→AH = (2;1) ;
−−→BC = (b
−3a−
1; 3b + 5−
a)
⇒ 2 (b− 3a− 1) + (3b + 5 − a) = 0 ⇔ 5b− 7a + 3 = 0 (1)
Ta có S ABC = 1
2d (C,AB) .AB =
|8b + 14|√ 10
.
(3a + 3)2 + (a + 1)2 = 180
7 (2)
T (1) và (2) ⇒
a =
8
7
a = −227
thay ngưc li ta có các đim A, B, C.
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 07 : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC vuông ti A có AC = 2AB, phương
trình đưng thng cha cnh AB có phương trình là (d) : 2x− y + 7 = 0, đim G
0; 1
3
là trng
tâm ca tam giác ABC. Tìm ta đ các đnh ca tam giác ABC bit đnh B có hoành đ bé hơn
−2.
Li gii tham kho :
Gi M là trung đim ca AC ⇒ AM = M C = AB ⇒ ∆BAM vuông cân ti A ⇒ M BA = 45o
Tng hp các bài toán đc sc 6
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
7/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Gi −→n1 là vtpt ca đưng thng (d) ⇒ −→n1 = (2;−1) và −→n2 = (a; b) là vtpt ca đưng thng BG⇒ cos(−→n1,−→n2) =
√ 2
2 ⇒ |2a− b|√
5.√
a2 + b2=
√ 2
2
⇔ 3a2 − 8ab− 3b2 = 0 ⇔ a = 3b
a = −13
b
Vi a = 3b chn −→n2 = (3;1) ⇒ đưng thng BG qua G có vtpt −→n2 ⇒ BG : 9x + y − 1 = 0
B là giao đim ca AB và BG ⇒
x = −43
y = 13
3
loi do hoành đ đim B nh hơn −2
Vi a = −b
3 chn −→n2 = (1;−3) ⇒ đưng thng BG qua G có vtpt −→n2 ⇒ BG : x − 3y + 1 = 0B là giao đim ca AB và BG ⇒ B (−4;−1) ( tha mãn )
M là trung đim ca AC ⇒ M (3a− 1; a) ∈ BG ta có −−→BG = 23
−−→BM ⇒ M (2; 1)
Phương trình đưng thng AC đi qua đim M và vuông góc vi AB ⇒ AC : x + 2y − 4 = 0
Ta đ đim A là giao đim AC và AB ⇒ A (−2;3) ⇒ C (6;−1)
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 08 ( k2pi Ln 14 - 2014) : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC có đim
B
1
2; 1
. Đưng tròn ni tip tam giác ABC tip xúc vi các cnh BC, CA và AB ti D, E và F.
Bit đim D (3;1) và phương trình đưng thng EF có phương trình là (d) : y − 3 = 0. Tìm ta đđnh A bit đnh A có tung đ không âm.
Li gii tham kho :
Phương trình đưng thng BC đi qua đim B và D ⇒ BC : y − 1 = 0 ⇒ BC//EF
Do đó tam giác ABC cân ti A và D chính là trung đim ca BC.Phương trình đưng thng AD đi qua D và vuông góc vi BC ⇒ AD : x − 3 = 0
Tng hp các bài toán đc sc 7
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
8/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Đim E (a; 3) ∈ EF ta có B E = BD ⇒
a− 12
2
+ 22 = 25
4 ⇔
a− 1
2
2
= 9
4 ⇔
a = 2
a = −1
a = 2
⇒ phương trình AB đi qua đim B và E
⇒AB : 4x
−3y + 1 = 0
A là giao đim ca AB và AD ⇒ A
3; 13
3
a = −1 ⇒ phương trình AB đi qua đim B và E ⇒ AB : 4x + 3y − 5 = 0
A là giao đim ca AB và AD ⇒ A
3;−73
( loi)
Vy đim A
3; 13
3
Đ bài 09 : Trong h trc ta đ Oxy cho hình ch nht ABCD có AD = 2AB đim A (1;5),phương trình đưng chéo BD là 3x + 4y − 13 = 0. Tìm ta đ các đnh còn li ca hình ch nhtbit B có hoành đ âm.
Li gii tham kho :
Xét tam giác ABD vuông ti A có B D2 = AB2 + AD2 = 5AB2 ⇒ BD = AB√ 5
⇒ cos ABD = ABBD
= 1√
5
Phương trình đưng chéo BD có vtpt −→n1 = (3;4). Gi
−→n = (a; b) là vtpt ca đưng thng AB
⇒ cos ABD = |3a + 4b|5.√
a2 + b2=
1√ 5⇔ 4a2 + 24ab + 11b2 = 0 ⇔
a = −
11
2 b
a = −12
b
Vi a = −112
b chn −→n = (11;−2) ⇒ đưng thng AB có phương trình 11x− 2y − 1 = 0
Ta đ đim B là giao đim ca AB và BD ⇒ B
3
5; 14
5
loi do B có hoành đ âm.
Vi a = −12
b chn −→n = (1;−2) ⇒ đưng thng AB có phương trình x − 2y + 9 = 0
Ta đ đim B là giao đim ca AB và BD ⇒ B (−1;4) ( tha mãn )
Tng hp các bài toán đc sc 8
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
9/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Phương trình đưng thng AD đi qua đim A và vuông góc vi AB ⇒ AD : 2x + y − 7 = 0
Ta đ đim D là giao đim ca AD và BD ⇒ D (3; 1)
Trung đim I ca BD có ta đ I
1;
5
2⇒ C (1;0)
Vy B (−1;4); D (3;1); C (1;0)
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 10 : Trong h trc ta đ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình đưng chéo BDlà (d) : x − y = 0. Đưng thng AB đi qua đim P 1;√ 3, đưng thng CD đi qua đimQ−2;−2√ 3. Tìm ta đ các đnh ca hình thoi bit đ dài AB = AC và đim B có hoành đ
ln hơn 1.
Li gii tham kho :
Ta có AB = AC ⇒ tam giác AB C đu ⇒ ABC = 60o ⇒ ABD = 30o
Đưng thng B D có vtpt −→n1 = (1;−1). Gi s −→n = (a; b) là vtpt ca AB
⇒ cos(−→n1,−→n ) = |a− b|√ 2.√
a2 + b2=
√ 3
2 ⇔ a2 + 4ab + b2 = 0 ⇔ a = −2±√ 3 b
Vi a =−2−
√ 3
b chn −→n =−2−
√ 3; 1
đưng thng AB đi qua đim P và có vtpt −→n ⇒AB : 2 + √ 3x− y − 2 = 0Ta đ đim B là giao đim ca AB và B D ⇒ B
2
1 +√
3;
2
1 +√
3
loi do xB > 1
Vi a =−2 + √ 3 b chn −→n = −2 + √ 3; 1 đưng thng AB đi qua đim P và có vtpt −→n ⇒
AB :
2−√ 3x− y − 2 + 2√ 3 = 0Ta đ đim B là giao đim ca AB và B D ⇒ B (2;2) tha mãn
Ta có C D // AB và C D đi qua đim Q
⇒CD : 2−
√ 3x−
y + 4
−4√
3 = 0
Ta đ đim D là giao đim ca B D và C D ⇒ D (−4;−4) ⇒ ta đ tâm k ca hình thoi là trung đimca BD ⇒ K (−1;−1)
Tng hp các bài toán đc sc 9
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
10/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Phương trình đưng chéo AC đi qua đim K và vuông góc vi B D ⇒ AC : x + y + 2 = 0
Ta đ đim A là giao đim ca AB và AC ⇒ A (....)
Ta đ đim C là giao đim ca C D và AC ⇒
C (....)
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 11 : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC có A (5;2)phương trình đưng trung trccnh BC và trung tuyn xut phát t đnh C ln lưt là (d1) : 2x+y−5 = 0; (d2) : x+y−6 = 0.Tìmta đ các đnh B , C ca tam giác AB C .
Li gii tham kho :
Gi s đim B (a; b). Ta có trung đim ca AB là M
a + 52
; b + 22
∈ (d2)⇒ a + 5
2 +
b + 2
2 − 6 = 0 ⇔ a + b− 7 = 0 ⇔ b = 7− a ⇒ B (a; 7− a)
Ly đim C (c; 6− c) ∈ (d2)
(d1) là trung trc ca B C ⇒ trung đim ca B C là N
a + c
2 ;
13 − a− c2
∈ (d1)
⇒ a + c + 13− a− c2
− 5 = 0 ⇔ a + c + 3 = 0 (1)
(d1) là trung trc ca B C ⇒ BC ⊥(d1) ⇒ −−→BC ⊥−→ud1 ta có −→ud1 = (1;−2) ;−−→BC = (c− a; a− 1− c)
⇒ c− a− 2 (a− 1− c) = 0 ⇔ 3c− 3a + 2 = 0 (2)
T (1) và (2) ta có
c + a = −33c − 3a = −2
⇔
a = −76
c = −116
⇒ ta đ đim B và C
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 12 : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC có A (−1;−3), trc tâm H (1;−1) vàtâm đưng tròn ngoi tip tam giác I (2;−2). Xác đnh ta đ các đnh B , C ca tam giác AB C .
Li gii tham kho :Gi D là đim đi xng vi A qua I ⇒ AD là đưng kính đưng tròn tâm I và I là trung đim caAD ⇒ D (5;−1)
AD là đưng kính đưng tròn tâm I ⇒
CD
⊥AC , H là trc tâm
⇒BH
⊥AC
⇒CD//BH
Tương t ta có CH//BD ⇒ BHCD là hình bình hành ⇒ BC và DH ct nhau ti trung đim mi đưng
Tng hp các bài toán đc sc 10
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
11/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
⇒ trung đim M ca DH là trung đim ca BC ta có M (3;−1)
Phương trình đưng thng BC đi qua đim M và vuông góc vi AH ⇒ BC : x + y − 2 = 0
Phương trình đưng tròn tâm I có bán kính IA = √ 10
⇒ (C ) : (x− 2)2 + (y + 2)2 = 10
Ta đ đim B và C là giao đim ca đưng thng BC và (C )
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 13 : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC có đưng cao BH : x + 2y−3 = 0, trungtuyn AM : 3x + 3y − 8 = 0. Cnh BC đi qua đim N (3;−2). Tìm ta đ các đnh B, C ca tamgiác ABC bit đnh C thuc đưng thng (d) : x
−y + 2 = 0.
Li gii tham kho :
Ly đim B (3− 2b; b) ∈ BH và C (c; c + 2) ∈ (d)
Gi M là trung đim ca BC ⇒ M
3− 2b + c2
; b + c + 2
2
. Ta có M ∈ AM
⇒ 3. 3− 2b + c2
+ 3.b + c + 2
2 − 8 = 0 ⇔ 3b− 6c + 1 = 0 (1)
Cnh BC đi qua đim N (3;−2) ⇒ −−→BN và −−→N C cùng phươngTa có
−−→BN = (2b;−2− b) và −−→N C = (c− 3; c + 4)
⇒ c− 32b
= c + 4
−2− b ⇔ 3bc + 5b + 2c− 6 = 0 (2)
T (1) và (2) ⇒ b = ...; c = ... ⇒ ta đ đim B và C.
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 14 : Trong h trc ta đ Oxy cho hình thang cân ABCD vi C D = 2AB, phương trình
hai đưng chéo AC và BD ln lưt là (d1) : x + y− 4 = 0; (d2) : x− y− 2 = 0. Bit rng ta đ haiđim A và B đu dương và din tích hình thang bng 36. Tìm ta đ các đnh hình thang.
Tng hp các bài toán đc sc 11
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
12/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Li gii tham kho :
Ta có (d1)⊥(d2) ⇒ hình thang cân ABCD có hai đưng chéo vuông góc và bng nhau.
⇒ S = 12
.AC.BD = 36 ⇒ AC 2 = 72 ⇒ AC = BD = 6√ 2
Ta có hai tam giác AI B và tam giác C ID đng dng ⇒ ABCD
= IAIC
= 12 ⇒ IA = 1
3AC = 2√ 2 = I B
I là giao đim ca hai đưng chéo ⇒ I (3; 1)
Ly đim A (a; 4− a) ∈ (d1) ⇒ IA2 = (a− 3)2 + (a− 3)2 = 8 ⇔ a = 1
a = 5⇒ A (1; 3) (tm)
A (5;−1) (loai)
Ly đim B (b; b− 2) ∈ (d2) ⇒ IB2 = (b− 3)2 + (b− 3)2 = 8 ⇔
b = 1
b = 5⇒
B (1;−1) (loai)B (5; 3) (tm)
Ly đim C (c; 4− c) ∈ (d1) ta có I C = 2IA ⇒ 2−→AI = −→IC ⇒ C (7;−3)
Ly đim D (d; d− 2) ∈ (d2) ta có I D = 2IB ⇒ 2−→BI = −→ID ⇒ D (−1;−3)
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 15 : Trong h trc ta đ Oxy cho hình ch nht ABCD có đim C thuc đưng thng(d) : x + 3y +7 = 0 và A (1; 5). Gi M là đim nm trên tia đi ca tia C B sao cho M C = 2BC , N
là hình chiu vuông góc ca B lên đưng thng M D. Xác đnh ta đ các đnh B và C bit rng
N −
5
2; 1
2
Li gii tham kho :Gi đim C (−3c− 7; c) ∈ (d). Gi I là tâm ca hình ch nht ABCD
⇒ I là trung đim ca AC ⇒ I −3c− 6
2 ;
c + 5
2
Xét tam giác DN B vuông ti N có I là trung đim ca BD ⇒ IN = I B = I D
I là tâm ca hình ch nht ⇒
IA = I B = I D⇒
IN = I A
⇒−3c− 6
2 − 1
2+
c + 5
2 − 5
2=
−3c− 62
+ 5
2
2+
c + 5
2 − 1
2
2⇔ c = −3 ⇒ C (2;−3)
Tng hp các bài toán đc sc 12
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
13/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Gi s B (a; b) có AB⊥BC ⇒ −−→AB⊥−→AC có −−→AB = (a− 1; b− 5) ;−−→BC = (a− 2; b + 3)
⇒ (a− 1) (a− 2) + (b− 5) (b + 3) = 0 (1)
Ta có C M = 2BC ⇒ −−→CM = 2−−→BC ⇒ M (6 − 2a;−9− 2b)
M N ⊥BN ⇒ −−→M N ⊥−−→BN mà −−→BN =
a + 5
2; b− 1
2
;−−→M N =
17
2 − 2a;−19
2 − 2b
⇒
a + 5
2
17
2 − 2a
+
b− 1
2
−19
2 − 2b
= 0 (2)
T (1) và (2) ⇒ a = ....; b = .... ⇒ B (....)
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 16 : Trong h trc ta đ Oxy cho hình ch nht ABCD, bit phân giác trong góc ABC đi qua trung đim M ca cnh AD, phương trình đưng thng BM là (d) : x − y + 2 = 0, đimD thuc đưng thng (d1) : x + y − 9 = 0, điêm E (−1;2) thuc đưng thng AB và đim B cóhoành đ âm. Tìm ta đ các đnh ca hình ch nht
Li gii tham kho :
Ta có B M là phân giác góc ABC ⇒ ABM = 45o ⇒ ∆ABM vuông cân ti A
Gi −→n = (a; b) là vtpt ca đưng thng AB , có −→n1 = (1;−1) là vtpt ca BM
⇒ cos(−→n ,−→n1) = |a− b|√ 2.√
a2 + b2=√
2
2 ⇔ ab = 0 ⇔
a = 0
b = 0
Tng hp các bài toán đc sc 13
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
14/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Vi a = 0 chn −→n = (0; 1) ⇒ phương trình đưng thng AB đi qua đim E và có vtpt −→n ⇒ AB :y − 2 = 0 ⇒ Ta đ B là giao đim ca AB và B M ⇒ B (0;2) ( loi)
Vi b = 0 chn −→n = (1;0) ⇒ phương trình đưng thng AB đi qua đim E và có vtpt −→n ⇒ AB :x + 1 = 0 ⇒ Ta đ B là giao đim ca AB và B M ⇒ B (−1;1) ( tha mãn)
Gi s đim A (−1; a) ∈ AB và D (d; 9− d) ∈ (d1)
Trung đim M ca AD có ta đ M
d− 12
; 9 − d + a
2
∈ (d)
⇒ d− 12 − 9 − d + a
2 + 2 = 0 ⇔ 2d− a− 6 = 0 (1)
Ta có AD⊥AB ⇒ −−→AD⊥−−→AB mà −−→AB = (0; 1) và −−→AD = (d + 1; 9− d− a)
⇒9
−d
−a = 0
⇔a + d = 9 (2)
T (1) và (2) ⇒
d = 5
a = 4⇒
A (−1;4)D (5;4)
Gi I là tâm hình ch nht ⇒ I
2; 5
2
. I là trung đim ca AC ⇒ C (5; 1)
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 17 : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC vuông ti A, bit B và C đi xng nhau
qua gc ta đ O. Đưng phân giác trong góc B có phương trình (d) : x + 2y − 5 = 0. Tìm ta đcác đnh ca tam giác AB C bit đưng thng AC đi qua đim K (6; 2).
Li gii tham kho :
Gi đim B (5− 2b; b) ∈ (d). B và C đi xng nhau qua gc ta đ O ⇒ C (2b− 5;−b)
Qua O k đưng thng vuông góc vi (d) ct (d) và AB ln lưt ti F và I .
Đưng thng OF đi qua O và vuông góc vi (d) ⇒ OF : 2x− y = 0
Ta đ F là giao đim ca (d) và OF ⇒ F (1; 2)
F là trung đim ca OI ⇒ I (2; 4)
Tng hp các bài toán đc sc 14
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
15/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Tam giác AB C vuông ti A ⇒ AB⊥AC ⇒ −−→AB⊥−→AC có −−→AB = (3− 2b; b− 4) và −→AC = (2b− 11;−b− 2)
⇒ (3− 2b) (2b− 11) + (b− 4) (−b− 2) = 0 ⇔ −5b2 + 30b − 25 = 0 ⇔
b = 1
b = 5Vi b = 1 ⇒ B (3; 1) ⇒
C (−3;−1)
Phương trình đưng thng AB đi qua B và I ⇒ AB : 3x + y − 10 = 0
Phương trình đưng thng AC đi qua C và K ⇒ AC : x − 3y = 0
A là giao đim ca AB và AC ⇒ A (3; 1) ( loi do trùng đim B )
Trưng hp b = 5 xét tương t
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 18 : Trong h trc ta đ Oxy cho hình thang ABCD có din tích bng 458
. Phương trình
hai cnh đáy AB : x− 3y + 1 = 0 và CD : 2x− 6y + 17 = 0. AD và BC ct nhau ti đim K (2;6).Hai đưng chéo ct nhau ti đim I
1;
7
3
. Xác đnh ta đ các đnh ca hình thang ABCD.
Li gii tham kho :
Khong cách gia AB và CD là d = 15√
40
Ta có din tích hình thang S = 1
2. (AB + CD) .d ⇒ AB + CD = 3
√ 10
2 (1)
ABCD là hình thang ⇒ ABCD
= d (I,AB)
d (I , C D) = 2 (2)
T (1) và (2) ⇒ AB = 2.CD = √ 10
Tam giác KAB có CD // AB và AB = 2CD ⇒ CD là đưng trung bình ca tam giác KABNi KI ct AB và CD ti M và N ⇒ M. N ln lưt là trung đim ca AB và CD
Tng hp các bài toán đc sc 15
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
16/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Phương trình đưng thăng KI đi qua K và I ⇒ KI : 11x− 3y − 4 = 0
M là giao đim ca KI và AB ⇒ M
1
2; 1
2
Ta có AB = √ 10 và M là trung đim ca AB ⇒ A và B thuc đưng tròn tâm M bán kính R = √ 102
⇒ (C ) :
x− 12
2
+
y − 1
2
2
= 5
2
A, B là giao đim ca (C ) và đưng thng AB ⇒ A, B có ta đ là (2; 1) ; (−1;0)
Do đó C, D có ta đ là
2; 7
2
;
1
2; 3
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 19 : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC có BC = 2AB, phương trình đưngtrung tuyn xut phát t đnh B là (d) : x + y − 2 = 0. Bit ABC = 120o và đim A (3;1). Tìmta đ các đnh còn li ca tam giác.
Li gii tham kho :
Đt AB = x ⇒ BC = 2x. Áp dng đnh lý Cosin vào tam giác AB C ta có
AC 2 = AB2 + BC 2 − 2.AB.BC. cos ABC = 7x2 ⇒ AC = x√ 7
Áp dng công thc tính đưng trung tuyn vào tam giác AB C ta đưc
BM 2
=
AB2 + BC 2
2 − AC 2
4 =
3x2
4
Trong tam giác AB M có AB = x, BM 2 = 3x2
4 ; AM =
x√
7
2 ⇒ AM 2 = AB2 + BM 2
⇒ ∆ABM vuông ti B ⇒ AB⊥BM
Phương trình đưng thng AB đi qua A và vuông góc vi B M ⇒ AB : x − y − 2 = 0
B là giao đim ca AB và B M ⇒ B (2;0)
Li có AB = d (A,BM ) =√
2 = x
⇒BM =
√ 6
2
. Gi M (m; 2−
m)
∈BM
⇒ BM 2 = 2 (m− 2)2 = 32 ⇔ m = 2±
√ 3
2
Tng hp các bài toán đc sc 16
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
17/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Thay vào ta đưc đim M , li có M là trung đim ca AC ⇒ ta đ đim C 2±√ 3; 4±√ 3Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 20 : Trong h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC cân ti A, phương trình cnh BC là(d) : 2x − y + 3 = 0. Đim I (−2;−1) là trung đim cnh BC, đim E (4;1) nm trên cnh AB.Tìm ta đ các đnh ca tam giác bit din tích tam giác AB C bng 90.
Li gii tham kho :
Tam giác AB C cân ti A ⇒ AI là va là đưng cao va là đưng phân giác góc A
Phương trình đưng phân giác AI đi qua A và vuông góc vi B C
⇒AI : x + 2y + 4 = 0
Qua E k đưng thng vuông góc vi AI ct AI và AC ti F và M .
Phương trình đưng thng E M đi qua E vuông góc vi AI ⇒ EM : 2x− y − 7 = 0
Ta đ đim F là giao đim ca E M và AI ⇒ F (2;−3). F là trung đim ca E M ⇒ M (0; 7)
Ly đim B (b; 2b + 3) ∈ BC ⇒ C (−4− b; 5− 2b)
Tam giác AB C cân ti A ⇒ ABC = ACB hay (BE,BC ) = (MC,BC )−−→BE = (b
−4; 2b
−2) ,
−−→M C = (4 + b; 2b
−2) ,
−−→BC = (1;2)
⇒ |b− 4 + 2b− 4|√ 5.√
5b2 − 16b + 20 = |5b|√ 5.√
5b2 + 20⇔ b = 1
b = 4
Vi b = 1 ⇒ B (1; 5)⇒ C (−5;−7) ⇒ BC = 6√ 5
S = 1
2.AI.BC = 90 ⇒ AI = 6√ 5. Ly đim A (−2a− 4; a) ∈ AI
⇒ AI 2 = (2a + 2)2 + (a + 1)2 = 90 ⇔
a = 5
a = −7⇒
A (−14;5)A (10;−7)
Vi b = 4 xét tương t.
Bài toán gii quyt xong.
Tng hp các bài toán đc sc 17
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
18/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Đ bài 21 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC có đim A (−1;−3) , B (5;1).Đim M nm trên đon thng BC sao cho M C = 2M B. Tìm ta đ đim C bit rng M A =
AC = 5 và đưng thng B C có h s góc là mt s nguyên.
Li gii tham kho :
Gi s đim M (a; b) ta có M A = 5 ⇒ (a + 1)2 + (b + 3)2 = 25
a2 + 2a + b2 + 6b = 15 (1)
Gi D là trung đim ca C M ta có M A = AC = 5 ⇒ ∆CAM cân ti A ⇒ AD⊥CM
Theo gi thit M C = 2M B ⇒ M B = M D ⇒ M là trung đim ca B D ⇒ D (2a− 5; 2b− 1)−−→AD = (2a
−4; 2b + 2) ;
−→BI = (2a
−10;2a
−2)
AD⊥BI ⇒ −−→AD.−→BI = 0 ⇒ (2a− 4)(2a− 10) + (2b + 2) (2b− 2) = 0
⇒ a2 − 7a + b2 = −9 (2)
T (1) và (2) ⇒
a = 2; b = 1
a = 50
13; b = −23
13
Vi a = 50
13; b = −23
13 ⇒ M
50
13;−23
13
Phương trình đưng thng BC đi qua B và M ⇒ BC : 12x− 5y − 55 = 0 ( loi do phương trìnhBC có h s góc nguyên)
Vi a = 2; b = 1 ⇒ M (2; 1) phương trình B C đi qua M và B ⇒ BC : y = 1 ( tha mãn)
Ta đ đim D (−1;1) ⇒ C (−4;1)
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 22 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC cân ti A, có trc tâm H (−3;2).
Gi D, E là chân đưng cao h t B và C . Đim A thuc đưng thng (d) : x − 3y − 3 = 0, đimF (−2;3) thuc đưng thng DE và H D = 2. Tìm ta đ đnh A.
Tng hp các bài toán đc sc 18
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
19/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Li gii tham kho :
Ta có H D = 2 ⇒ (xD + 3)2
+ (yD − 2)2 = 4⇔ x2
D + y2
D + 6xD − 4yD + 9 = 0 (1)
Đim A ∈ (d) ⇒ A (3a + 3; a) ta có AD⊥DH ⇒ −−→AD.−−→HD = 0
(xD − 3a− 3) (xD + 3) + (yD − a) (yD − 2) = 0
x2D
+ y2D− 3axD − (a + 2) yD − 7a− 9 = 0 (2)
T (1) và (2) ⇒ (6 + 3a) xD + (a− 2) yD + 7a + 18 = 0
Tương t ta có (6 + 3a) xE + (a− 2) yE + 7a + 18 = 0Do đó phương trình đưng thng DE có dng (d1) : (6 + 3a) x + (a− 2) y + 7a + 18 = 0
Mà đim F ∈ (d1) ⇒ a = 0 ⇒ A (3; 0)
Đ bài 23 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC có trng tâm G (1;1),đưng cao t đnh A có phương trình (d) : 2x − y + 1 = 0. Các đnh B và C thuc đưng thng(d1) : x + 2y− 1 = 0. Xác đnh ta đ các đnh ca tam giác bit tam giác ABC có din tích bng6.
Li gii tham kho :
Đim A ∈ (d) ⇒ A (a; 2a + 1)
Tng hp các bài toán đc sc 19
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
20/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Gi M là trung đim ca B C ⇒ G ∈ AM và AG = 2GM ⇒ −→AG = 2−−→GM
⇒ M
3− a2
; 1− a
mt khác M ∈ (d1)
⇒ 3− a2
+ 2 (1− a)− 1 = 0 ⇒ a = 1 ⇒ A (1;3) ⇒ M (1; 0)
Gi H là giao đim ca (d) và (d1) ⇒ H −1
5; 3
5
⇒ AH = 6√
5
S = 1
2.AH.BC = 6 ⇒ BC = 2√ 5 ⇒ M B = M C = √ 5
Đim B ∈ (d1) ⇒ B (1− 2b; b) ⇒ M B2 = 5b2 = 5 ⇔ b = ±1 b = 1 ⇒ B (−1;1) ⇒ C (3;−1)
b = −1 ⇒ B (3;−1) ⇒ C (−1;1)Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 24 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình ch nht ABCD có din tích bng 6.Phương trình đưng thng cha đưng chéo B D là (d) : 2x + y − 11 = 0, đưng thng AB đi quađim M (4; 2), đưng thng B C đi qua đim N (8; 4). Xác đnh ta đ các đnh ca hình ch nht
bit các đim B , D đu có hoành đ ln hơn 4.
Li gii tham kho :
Vì B ∈ (d) ⇒ B (b; 11− 2b). AB⊥BC ⇒ M B⊥N B ⇒ −−→M B.−−→N B = 0
⇒ (b− 4) (b− 8) + (9− 2b) (7− 2b) = 0 ⇒ 5b2 − 44b + 95 = 0 ⇔ b = 195
b = 5⇒ B (5; 1)
Phương trình đưng thng AB đi qua đim B và M ⇒ AB : x + y − 6 = 0
Phương trình đưng thng B C đi qua đim B và N ⇒ AC : x − y − 4 = 0
A ∈ AB ⇒ A (a; 6− a) và C ∈ BC ⇒ C (c; c− 4)
Gi I là tâm ca hình ch nht ⇒ I
a + c
2 ;
c − a + 22
∈ BD
⇒ a + c + c − a + 22 − 11 = 0 ⇔ 3c + a− 20 = 0 (1)
AB =√
2. |a− 5| và B C = √ 2. |c− 5| ⇒ S = 2 |a− 5| . |c− 5| = 6 (2)
Tng hp các bài toán đc sc 20
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
21/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
T (1) và (2) ⇒
a = 2; c = 6
a = 8; c = 4⇒
A (2; 4) , C (6; 2)⇒ I (4; 3)⇒ D (3; 5) (loai)A (8;−2) , C (4; 0)⇒ I (6;−1) ⇒ D (7;−3) (tm)
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 25 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC cân ti A ni tip đưngtròn (C ) : x2 + y2 + 2x − 4y + 1 = 0. Tìm ta đ các đnh ca tam giác ABC bit đim M (0; 1)là trung đim ca cnh AB và đim A có hoành đ dương.
Li gii tham kho :
Tam giác AB C ni tip đưng tròn tâm I (−1;2); R = 2. M là trung đim ca AB ⇒ IM ⊥AB
Phương trình đưng thng AB đi qua M và vuông góc vi I M ⇒ AB : x − y + 1 = 0Có đim A ∈ AB ⇒ A (a; a + 1) ⇒ IA = 2 ⇒ (a + 1)2 + (a− 1)2 = 4 ⇒ a = ±1 ⇒ A (1;2) ⇒ B (−1;0)
Phương trình đưng thng B C đi qua đim B và vuông góc vi AI ⇒ BC : x + 1 = 0
C là giao đim ca B C và (C ) ⇒ C (−1;4)
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 26 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình ch nht ABCD có din tích bng 10,phương trình đưng thng cha cnh AD là (d) : 3x − y = 0. Ly đim M đi xng vi đim Dqua đim C và đưng thng BM có phương trình (d1) : 2x + y− 10 = 0. Xác đnh ta đ các đnhca hình ch nht bit đnh B có hoành đ dương.
Li gii tham kho :Gi N là giao đim ca B M và AD ⇒ N (2; 6)
Đim D ∈ AD ⇒ D (d; 3d) và B ∈ BM ⇒ B (b; 10− 2b) vi b > 0
A là trung đim ca N D ⇒ Ad + 2
2 ; 3d + 6
2
Tng hp các bài toán đc sc 21
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
22/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
B là trung đim ca M N ⇒ M (2b− 2;14− 4b) mà C là trung đim ca M D ⇒ C
2b− 2 + d2
; 14 − 4b + 3d
2
AB⊥AD ⇒ −−→AB.−−→AD = 0 có −−→AB =
d + 2 − 2b2
; 3d + 4b− 14
2
⇒ d + 2 − 2b2
+ 3. 3d− 14 + 4b2
= 0 ⇔ b + d = 4 (1)
T (1) có AD2 = AN 2 = 10
4 . (d− 2)2 và AB2 = 10
4 (d− 2)2
⇒ S = 104
(d− 2)2 = 10⇒ d = 0 ⇒ b = 4 (tm)
d = 4 ⇒ b = 0 (loai)
Do đó B (4;2) , D (0;0) , C (3;−1) , A (1;3)
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 27 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC vuông ti A. Trên tia đi catia C A ly đim K sao cho AC = C K . K K E vuông góc vi BC ( E thuc đưng thng BC ) ct
đưng thng AB ti N (−1;3). Tìm ta đ các đnh ca tam giác ABC bit AEB = 45o, phươngtrình đưng thng B K là (d) : 3x + y − 15 = 0 và hoành đ đim B ln hơn 3.
Li gii tham kho :
Tng hp các bài toán đc sc 22
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
23/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Tam giác N BK có BE và KA là hai đưng cao ⇒ C là trc tâm ⇒ NC ⊥ BK.
T giác BAEK ni tip ⇒ BEA = AKB = 45o ⇒ ∆ABK vuông cân ti A ⇒ ABK = 45o
Gi −→
n = (a; b) là vtpt ca đưng thng AB , có −→n1 = (3;1) là vtpt ca đưng thng B K
⇒ cos(−→n ,−→n1) = |3a + b|√ 10.√
a2 + b2=
1√ 2⇒ 4a2 + 6ab− 4b2 = 0 ⇒
b = 2a
a = −2b
Vi a = −2b ⇒ chn −→n = (−2;1) ⇒ AB : −2x + y − 5 = 0 ⇒ B (2;9) ( loi)
Vi b = 2a ⇒ chn −→n = (1;2) ⇒ AB : x + 2y − 5 = 0 ⇒ B (5;0) (tha mãn)
Phương trình đưng thng NM qua đim N và vuông góc vi BK ⇒ M N : x − 3y + 10 = 0
Có ∆ABK và ∆KCM vuông cân ⇒
KM = 1
√ 2.CK =
1
√ 2.1
2.AC =
1
2√ 2.
1
√ 2BK =
BK
4
M là giao đim ca M N và B K ⇒ M
7
2; 9
2
. Có BK = 4MK ⇒ K (3;6)
Phương trình đưng thng AC đi qua K và vuông góc vi AB ⇒ AC : 2x− y = 0
A là giao đim ca AC và AB ⇒ A (1;2)
C là trung đim ca AK ⇒ C (2; 4)
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 28 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC vuông ti A. Gi M là đimtrên cnh AC sao cho AB = 3AM. Đưng tròn tâm I (1;−1) đưng kính CM ct BM ti D. Xácđnh ta đ các đnh ca tam giác ABC bit đưng thng BC đi qua đim N
4
3; 0
, phương trình
đưng thng CD : x − 3y − 6 = 0 và đim C có hoành đ dương.
Li gii tham kho :
Tam giác ABM vuông ti A có AB = 3AM ⇒ BM = √ 10AM ⇒ cos ABM = 3√ 10
Tng hp các bài toán đc sc 23
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
24/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
T giác BADC ni tip ⇒ ABM = DCA ⇒ cos DCA = 3√ 10
. Gi −→n = (a; b) là vtpt ca đưng thngAC
⇒ cos DCA = |a−
3b|√ 10.√ a2 + b2 =
3√ 10 ⇒ 8a2 + 6ab = 0 ⇒
a = 0a = −3b
4
Vi a = −3b4 ⇒ chn −→n = (3;−4).Phương trình đưng thng AC đi qua đim I và có vtpt −→n
⇒ AC : 3x− 4y − 7 = 0 C là giao đim ca AC và CD ⇒ C −3
5;−11
5
( loi )
Vi a = 0 ⇒ chn −→n = (0; 1). Phương trình AC đi qua đim I và có vtpt −→n
⇒ AC : y + 1 = 0 ⇒ ta đ đim C là C (3;−1) ( tha mãn )
I là trung đim ca CM ⇒ M (−1;−1) ⇒ phương trình đưng tròn tâm I là (C ) : (x− 1)2 + (y + 1)2 = 4
D là giao đim ca CD và (C ) ⇒ D−3
5;−11
5
. Phương trình đưng thng BM : 3x + y + 4 = 0
Phương trình đưng thng BC : 3x + 5y − 4 = 0. B là giao đim ca BM và BC ⇒ B (−2;2)
Phương trình đưng thng AB đi qua B và vuông góc vi AC ⇒ AB : x + 2 = 0
A là giao đim ca AB và AC ⇒ A (−2;−1).
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 29 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình bình hành ABCD có D (−6;−6), đưngtrung trc (d1) ca đon thng CD có phương trình là (d1) : 2x + 3y + 17 = 0 và đưng phân giác
(d2) ca góc BAC có phương trình (d2) : 5x + y − 3 = 0. Tìm ta đ các đnh còn li ca hìnhbình hành ABCD.
Li gii tham kho :
Đưng thng CD đi qua đim D và vuông góc vi (d1) ⇒ CD : 3x− 2y + 6 = 0Gi M là giao đim ca CD và (d1) ⇒ M (−4;−3). M là trung đim ca CD ⇒ C (−2;0)
Tng hp các bài toán đc sc 24
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
25/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Qua C k đưng thng vuông góc vi (d2) ct (d2) ti G và ct AB ti H ⇒ CH : x − 5y + 2 = 0
G là giao đim ca CH và (d2) ⇒ G
1
2; 1
2
. G là trung đim ca CD ⇒ H (3; 1)
Phương trình đưng thng AB đi qua H và song song vi CD ⇒ AB : 3x− 2y − 7 = 0A là giao đim ca AB và (d2) ⇒ A (1;−2).
Phương trình đưng thng BC đi qua đim C và song song vi AD ⇒ BC : 4x− 7y + 8 = 0
B là giao đim ca AB và BC ⇒ B (5; 4)
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 30 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình ch nht ABCD có các cnh AB
và AD tip xúc vi đưng tròn (C ) : (x + 2)2 + (y − 3)2 = 4. Đưng chéo AC ct (C ) ti đimM
−16
5 ;
23
5
và đim N thuc trc Oy. Xác đnh ta đ các đnh ca hình ch nht ABCD bit
đim A có hoành đ âm và đim D có hoành đ dương, din tích tam giác AND bng 10
Li gii tham kho :
Đưng tròn (C ) ct trc Oy ti đim N (0; 3) ⇒ M N = 8√
5
5 và phương trình MN : x + 2y − 6 = 0
Gi s đưng tròn (C ) tip xúc vi AB, AD ti đim G và F ⇒ AGIF là hình vuông ⇒ AF = IF = 2.
AMN là cát tuyn ca (C ) và AF là tip tuyn ca (C ) ⇒ AM.AN = AF 2
= 4
Vì A ∈ M N ⇒ A (6− 2a; a) và −−→AM .−−→AN = 4 ( A nm ngoài M và N )
⇒−16
5 − 6 + 2a
(2a− 6) +
23
5 − a
(3− a) = 4 ⇔
a = 5
a = 13
5
⇒ A
4
5; 13
5
A (−4;5)
⇒ A (−4;5)
Gi s đim D (b; c). Gi d là khong cách t D đn AN ta có
S AND = 1
2.d.AN = 10 ⇒ d = 2√ 5 ⇒ |b + 2c− 6|√
5= 2
√ 5 ⇒ |b + 2c− 6| = 10 (1)
Ta có góc gia AD và AI bng 45o. −−→AD = (b + 4; c− 5), −→AI = (1;−1)
Tng hp các bài toán đc sc 25
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
26/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
cos−−→
AD,−→AI
= |b + 4 − c + 5|
√ 2.
(b + 4)2 + (c− 5)2=
1√ 2⇒ c = 5
b = −4
Vi c = 5 thay vào (1) ⇒ b = 6
b = −14D có hoành đ dương ⇒ D (6;5)
Phương trình AD đi qua đim A và D ⇒ AD : y = 5. Phương trình CD đi qua D và vuông góc vi AD⇒ CD : x = 6
C là giao đim ca AC và CD ⇒ C (6;0). Gi I là tâm hình ch nht ⇒ I
1; 5
2
I là trung đim ca BD ⇒ B (−4;0)
Đ bài 31 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC có đim M (2; 1) là trungđim ca AC . Đim H (0;−3) là chân đưng cao h t A, đim E (23;−2) thuc trung tuyn kt C . Tìm ta đ đnh B bit đnh A thuc đưng thng (d) : 2x + 3y− 5 = 0 và đim C có hoànhđ dương.
Li gii tham kho :
Vì A ∈ (d) ⇒ A (3a + 1; 1− 2a). M là trung đim ca AC ⇒ C (3− 3a; 1 + 2a)
H là chân đưng cao h t A ⇒
AH ⊥
CH ⇒
−−→AH
⊥−−→CH
⇒ (3a + 1) (3− 3a) + (4− 2a) (4 + 2a) = 0 ⇒ −13a2 + 6a + 19 = 0 ⇒
a = −1
a = 19
13
⇒
C (6;−1)
C
−18
13; 51
13
⇒ C (6;−1) ⇒ A (−2;3)Phương trình đưng trung tuyn k t C đi qua C và E ⇒ CE : x + 17y + 11 = 0
Phương trình đưng thng BC đi qua C và H ⇒ BC : x − 3y − 9 = 0Ly đim B ∈ BC ⇒ B (3b + 9; b)
Trung đim ca AB là đim N
3b + 7
2 ;
b + 3
2
N ∈ CE ⇒ 3b + 72
+ 11.3 + b
2 + 11 = 0 ⇒ b = −4 ⇒ B (−3;−4)
Bài toán gii quyt xong.
Tng hp các bài toán đc sc 26
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
27/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Đ bài 32 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình đưngchéo AC là (d) : x + 7y− 31 = 0. Các đnh B, D ln lưt thuc các đưng thng (d1) : x + y− 8 =0; (d2) : x
−2y + 3 = 0. Tìm ta đ các đnh ca hình thoi bit hình thoi có din tích bng 75 và
đnh A có hoành đ âm.
Li gii tham kho :
B ∈ (d1) ⇒ B (b; 8− b) và D ∈ (d2) ⇒ D (2d− 3; d)
ABCD là hình thoi ⇒ trung đim ca BD ∈ AC. Gi I là trung đim ca AC ⇒ I
b + 2d− 32
; 8 − b + d
2
I ∈ AC ⇒ b + 2d− 32
+ 7.8− b + d
2 − 31 = 0 ⇒ 2b− 3d + 3 = 0 (1)
Mt khác BD ⊥ AC ⇒ 7 (2d− 3− b)− (d− 8 + b) = 0 ⇒ −8b + 13d− 13 = 0 (2)
T (1) và (2) ⇒
b = 0
d = 1⇒
B (0; 8)
D (−1;1) ⇒ BD = 5√
2
S = 1
2.AC.BD = 75 ⇒ AC = 15√ 2. Tam ca hình thoi là I
−1
2; 9
2
A ∈ AC ⇒ A (31− 7a; a). Có I A = AC 2
= 15√
2
2
⇒ IA2
= ... ⇒ ta đ đim A ⇒ ta đ đim CBài toán gii quyt xong.
Đ bài 33 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình vuông ABCD có A (1;1) và AB = 4.
Gi M là trung đim ca BC, K
9
5;−3
5
là hình chiu ca D lên AM. Tìm ta đ các đnh còn
li ca hình vuông bit đnh B có hoành đ nh hơn 2.
Li gii tham kho :
Phương trình đưng thng AM đi qua A và K ⇒ AM : 2x + y − 3 = 0
Tng hp các bài toán đc sc 27
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
28/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Ta có AK = 4√
5
5 và AM = 2
√ 5 ⇒ AK
AM =
2
5
Ly đim M (m; 3− 2m). Ta có AK AM
= 2
5 ⇒ −−→AK = 2
5
−−→AM ⇒ M (3;−3)
Gi s đim B (a; b) vi a > 2. ABCD là hình vuông nên AB ⊥ BM⇒ (a− 1) (a− 3) + (b− 1) (b + 3) = 0 ⇔ a2 − 4a + b2 + 2b = 0 (1)
AB = 4 ⇒ (a− 1)2 + (b− 1)2 = 16 ⇔ a2 − 2a + b2 − 2b = 14 (2)
T (1) và (2) ⇒ B (1;−3). M là trung đim ca BC ⇒ C (5;−3)
Phương trình đưng thng AD đi qua A và vuông góc vi AB ⇒ AD : y = 1
Phương trình đưng thng CD đi qua C và vuông góc vi BC ⇒ CD : x = 5
D là giao đim ca CD và AD ⇒ D (5;1)Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 34 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình thoi ABCD có đưng chéo AC nmtrên đưng thng (d) : x + y − 1 = 0. Đim E (9;4) nm trên đưng thng cha cnh AB, đimF (−2;−5) nm trên đưng thng cha cnh AD, AC = 2√ 2. Xác đnh ta đ các đnh ca hìnhthoi bit đim C có hoành đ âm.
Li gii tham kho :
Qua E k đưng thng vuông góc vi đưng chéo AC ct AC ti M và ct AD ti N
Phương trình đưng thng EN đi qua E và vuông góc vi AC ⇒ EN : x − y − 5 = 0
AC ct EN ti đim M ⇒ M (3;−2). M là trung đim ca EN ⇒ N (−3;−8)
Phương trình đưng thng AD đi qua F và N ⇒ AD : 3x− y + 1 = 0
A là giao đim ca AC và AD ⇒ A (0;1)
Ly đim C (c; 1− c) ∈ AC ⇒ AC 2 = c2 + c2 = 8 ⇒ c = ±2 ⇒ C (−2;3)
Tng hp các bài toán đc sc 28
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
29/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Gi I là tâm ca hình thoi ⇒ I là trung đim ca AC ⇒ I (−1;2)
Phương trình đưng chéo BD đi qua đim I và vuông góc vi AC ⇒ BD : x − y + 3 = 0
D là giao đim ca AD và BD ⇒
D (1;4). I là trung đim ca BD ⇒
B (−
3;0)
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 35 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC có đim C (5;1), trung tuynAM, đim B thuc đưng thng (d) : x + y + 6 = 0. Đim N (0; 1) là trung đim ca AM, đim
D (−1;−7) không nm trên đưng thng AM và khác phía so vi đưng thng BC đng thikhong cách t A và D ti đưng thng BC bng nhau. Xác đnh ta đ đim A và B.
Li gii tham kho :
Gi s −→n = (a; b) là vtpt ca đưng thng BC ⇒ BC : ax + by − 5a− b = 0
Ta có d (A,BC ) = d (D,BC ) = 2d (N,BC ) ⇒ |−6a− 8b|√ a2 + b2
= 2 |5a|√
a2 + b2
⇒ 16a2 − 24ab− 16b2 = 0 ⇒
a = −12
b
a = 2b
Vi a = 2b ⇒ BC : 2x + y − 11 = 0 ( loi do N và D cùng phía vi BC)
Vi a = −12
b ⇒ BC : x − 2y − 3 = 0 ( tha mãn )
B là giao đim ca đưng thng BC và (d) ⇒ B (−3;−3)
M là trung đim ca BC ⇒ M (1;−1). N là trung đim ca AM ⇒ A (1;3)
Bài toán gii quyt xong.
Tng hp các bài toán đc sc 29
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
30/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Đ bài 36 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình vuông ABCD có A (−2;6), đnh B nmtrên đưng thng (d) : x − 2y + 6 = 0. Trên hai cnh BC và CD ly hai đim M và N sao cho BM= CN. Xác đnh ta đ các đnh ca hình vuông bit AM và BN ct nhau ti đim I 2
5; 14
5.
Li gii tham kho :
Ta có ∆ABM = ∆BC N ⇒ BM A = BN C ⇒ BM A + CBN = 90o ⇒ BN ⊥ AM
Phương trình đưng thng AI đi qua A và I ⇒ AI : 4x + 3y − 10 = 0
Phương trình đưng thng BN đi qua I và vuông góc vi AI ⇒ BI : 3x− 4y + 10 = 0
B là giao đim ca đưng thng (d) và BI ⇒ B (2; 4)
Phương trình đưng thng BC đi qua B và vuông góc vi AB ⇒ BC : 2x− y = 0
M là giao đim ca BC và AI ⇒ M (1; 2)
Ta có AB = 2√
5, BM =√
5 ⇒ BM = 12
BC ⇒ M là trung đim ca BC
⇒ ta đ đim C (0;0)
Gi s H là tâm hình vuông ⇒ H là trung đim ca AC ⇒ H (−1;3)
H là trung đim ca BD ⇒ D (−4;2)
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 37 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình vuông ABCD. Gi E là trung đim ca
cnh AD, đim H
11
5 ;−2
5
là hình chiu ca B lên CE và M
3
5;−6
5
là trung đim ca BH.
Xác đnh ta đ các đnh ca hình vuông ABCD bit đnh A có hoành đ âm.
Li gii tham kho :
Tng hp các bài toán đc sc 30
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
31/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Gi G là trung đim ca BC ⇒ GM là đưng trung bình ca tam giác BCH ⇒ GM // CE
ABCD là hình vuông có E, G ln lưt là trung đim ca AD và BC ⇒ AG // CE
Qua G có hai đưng thng cùng song song vi CE do đó A, G, M thng hàng hay AM ⊥ BH
⇒ phương trình đưng thng AM : 2x + y = 0, phương trình đưng thng CE : 2x + y − 4 = 0
M là trung đim ca BH ⇒ B (−1;−2)
Hai tam giác ABM và CED đng dng ⇒ BM AM
= ED
CD =
1
2 ⇒ AM = 2BM
Có BM = 4√
5
5 . Tam giác ABM vuông ti M có AM = 2BM =
8√
5
5 ⇒ AB = 4
Ly đim A (a;−2a) ∈ AM ⇒ AB = (a + 1)2 + (2 − 2a)2 = 16 ⇔ 5a2 − 6a− 11 = 0 ⇔
a = −1
a = 11
5
⇒ A (−1;2) ⇒ phương trình đưng thng AD đi qua A và vuông góc vi AB ⇒ AD : y = 2
E là giao đim ca AD và CE ⇒ E (1; 2), E là trung đim ca AD ⇒ D (3; 2)
Phương trình đưng thng BC đi qua B và song song vi AD ⇒ BC : y = −2
C là giao đim ca CE và BC ⇒ C (3;−2)
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 38 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC có đnh A (−3;4), đưng phângiác trong góc A có phương trình (d) : x + y − 1 = 0 và tâm đưng tròn ngoi tip là I (1; 7). Vitphương trình cnh BC, bit din tích tam giác ABC gp bn ln din tích tam giác IBC.
Li gii tham kho :Ta có IA = 5 ⇒ phương trình đưng tròn ngoi tip tam giác ABC có dng (C ) : (x− 1)2 + (y − 7)2 = 25
Phương trình phân giác góc A ct đưng tròn ti đim th 2 là D ⇒ D (−2;3)
Tng hp các bài toán đc sc 31
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
32/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
AD là phân giác trong góc A nên D là trung đim ca cung nh BC ⇒ ID ⊥ BC
Phương trình đưng thng BC nhn −−→AD làm vtpt ⇒ phương trình BC có dng : 3x + 4y + α = 0
Ta có din tích tam giác ABC gp 4 ln din tích tam giác IBC nên d (A,BC ) = 4d (I,BC )
⇔ |7 + α|5
= 4.31 + α
5 ⇔
α = −
114
3
α = −1315
Phương trình đưng thng BC là
9x + 12y − 114 = 015x + 20y
−131 = 0
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 39 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình bình hành ABCD có đim A (3;5). ĐimH (1; 3) là hình chiu ca B lên AC và đưng trung trc ca BC có phương trình (d) : x+4y−5 = 0.Tìm ta đ các đnh còn li ca hình bình hành.
Li gii tham kho :
Phương trình đưng thng AC đi qua A và H ⇒ AC : x − y + 2 = 0
Tng hp các bài toán đc sc 32
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
33/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Phương trình đưng thng BH đi qua H và vuông góc vi AC ⇒ BH : x + y − 4 = 0
Ly đim B (b; 4− b) ∈ BH và C (c; c + 2) ∈ AC
Đưng thng (d) là trung trc ca BC ⇒
BC ⊥
(d)
⇒ 4 (c− b)− (c + b− 2) = 0 ⇔ 3c− 5b + 2 = 0 (1)
Trung đim ca BC là đim M
b + c
2 ;
6 − b + c2
∈ AC
⇒ b + c2
+ 4.6− b + c
2 − 5 = 0 ⇔ 5c− 3b + 4 = 0 (2)
T (1) và (2) ⇒
b = −2c = −4 ⇒
B (−2;6)C (−4;−2)
Gi I là tâm ca hình bình hành ⇒ D (1;−3)Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 40 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CDbit B (3; 3) , C (5;−3). Giao đim I ca hai đưng cheo nm trên đưng thng (d) : 2x + y−3 = 0.Din tích tam giác ABC bng 12. Xác đnh ta đ các đnh còn li ca hình thang bit CI = 2BI,
đim I có hoành đ dương và đim A có hoành đ âm.
Li gii tham kho :
Ly đim I (m; 3− 2m) ∈ (d). Ta có IC = 2IB
⇒ (m− 5)2 + (6 − 2m)2 = 4 (m− 3)2 + 4(2m)2 ⇔
m = 1
m = −53
⇒ I (1; 1)
Phương trình đưng thng AC đi qua I và C ⇒
AC : x + y−
2 = 0.
S ABC = 1
2.d (B,AC ) .AC = 12 ⇒ AC = 6√ 2
Tng hp các bài toán đc sc 33
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
34/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Ly đim A (a; 2− a) ∈ AC . Ta có AC = 6√ 2
⇒ (a− 5)2 + (5 − a)2 = 72 ⇒
a = 11
a =
−1⇒ A (−1;3)
Phương trình đưng thng CD đi qua C và song song vi AB ⇒ CD : y = −3
Phương trình đưng thng BD đi qua B và I ⇒ BD : x − y = 0
D là giao đim ca BD và CD ⇒ D (−3;−3)
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 41 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC vuông ti A, có trng tâm
G5
3 ;−2, bán kính đưng tròn ngoi tip bng 5. B và C thuc đưng thng (d) : 4x+3y−9 = 0.Xác đnh ta đ các đnh ca tam giác ABC.
Li gii tham kho :
Gi M là trung đim ca BC, ta có GM = 1
3AM =
1
3R =
5
3
⇒ M thuc đưng tròn tâm G bán kính 53
hay M ∈ (C ) :
x− 53
2+ (y + 2)2 = 25
9
Ta đ M là giao đim ca (C ) và (d) ⇒ M (3;−1)
Phương trình đưng thng AM đi qua G và M ⇒ AM : 3x− 4y − 13 = 0
G là trng tâm tam giác ABC ⇒ AM = 3GM ⇒ A (−1;−4)
Phương trình đưng tròn ngoi tip tam giác ABC có tâm M và R = 5
⇒ (C 1) : (x− 3)2 + (y + 1)2 = 25
B và C là giao đim ca (d) và (C 1) ⇒ B (0;3) , C (6;−5) và ngưc li
Bài toán gii quyt xong.
Tng hp các bài toán đc sc 34
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
35/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Đ bài 42 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình vuông ABCD có đim M (3; 2) nmtrên đưng chéo BD. T M k các đưng thng ME và MF ln lưt vuông góc vi AB ti E (3;4)
và AD ti F (−
1;2). Xác đnh ta đ các đnh ca hình vuông ABCD.
Li gii tham kho :
Phương trình đưng thng AB đi qua E và vuông góc vi ME ⇒ AB : y = 4
Phương trình đưng thng AD đi qua F và vuông góc vi MF ⇒ AD : x = −1
A là giao đim ca AB và AD ⇒
A (−
1;4)
ABCD là hình vuông ⇒ ME = BE = 2 và AE = MF = 4
Ly đim B (b; 4) ∈ AB. Có AE = 2EB ⇒ −→AE = 2−−→EB ⇒ B (5;4)
Phương trình đưng thng BD đi qua M và B ⇒ BD : x − y − 1 = 0
D là giao đim ca AD và BD ⇒ D (−1;−2)
Gi I là tâm ca hình vuông ⇒ I là trung đim ca BD ⇒ I (2; 1)⇒ C (5;−2)
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 43 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC vuông ti A ( AB < AC) cóta đ đnh B (2;1). Đưng cao AH có phương trình x + 2y − 10 = 0. Trên cnh AC ly đim Dsao cho AB = CD. K DM vuông góc vi AH ti M. Đưng phân giác góc CBM ct AH ti N.
Tìm ta đ đim N.
Li gii tham kho :T D h DI vuông góc vi BC ( I thuc BC)
Ta có BAH = DCI ⇒ ∆ABH = ∆CDI ⇒ DI = BH
T giác DMHI là hình ch nht ⇒ DI = MH do đó BH = MH hay tam giác BHM vuông cân
Tng hp các bài toán đc sc 35
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
36/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Phương trình đưng thng BC đi qua B và vuông góc vi AH ⇒ BC : 2x− y − 3 = 0
Gi α là góc to bi BN và BH ta có cos 45o = 2 cos2 α− 1 ⇒ cos α = √
2 + 2
4
Phương trình đưng thng BN đi qua B và to vi BC mt góc α
Đn đây bài toán đơn gin là vit phương trình đưng thng to vi đưng thng cho trưc 1 góc cho
trưc ( cái này dành cho bn đc )
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 44 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC vuông ti A ngoi tip hìnhch nht MNPQ. Bit các đim M (−3;−1) và N (2;−1) thuc cnh BC, Q thuc cnh AB, Pthuc cnh AC, đưng thng AB có phương trình x−y + 5 = 0. Xác đnh ta đ các đnh ca tamgiác ABC.
Li gii tham kho :
Phương trình đưng thng BC đi qua M và N ⇒ BC : y = −1
MNPQ là hình ch nht ⇒ MN ⊥ MQ ⇒ phương trình MQ qua M và vuông góc BC ⇒ M Q : x = −3
Q là giao đim ca MQ và AB ⇒ Q (−3;2)
Phương trình PQ qua P và vuông góc vi MQ ⇒ P Q : y = 2
Phương trình NP qua N và vuông góc vi MN ⇒ N P : x = 2
P là giao đim ca PQ và NP ⇒ P (2; 2)
Phương trình đưng thng AC đi qua P và vuông góc vi AB ⇒ AC : x + y − 4 = 0
Tng hp các bài toán đc sc 36
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
37/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
A là giao đim ca AB và AC ⇒ A−1
2; 9
2
C là giao đim ca BC và AC ⇒ C (5;−1)
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 45 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC có I
3
2;
1
16
và E (1; 0) ln
lưt là tâm đưng tròn ngoi tip và ni tip tam giác. Đưng tròn (T ) tip xúc vi các cnh BC
và các cnh AB, AC kéo dài có tâm là F (2;−8). Xác đnh ta đ các đnh ca tam giác bit A cótung đ âm.
Li gii tham kho :
Gi D, K là giao đim th hai ca AE, BE vi đưng tròn tâm I
S dng góc ni tip và góc có đnh bên trong đưng tròn ta có EBD = BE D ⇒ ∆EDB cân ti D
Ta có đưng tròn tâm F tip xúc vi BC và các cnh AB, AC kéo dài ⇒ AF là phân giác ca góc
BAC và BF là phân giác ngoài ca góc ABC
⇒ A, E, F thng hàng và BE ⊥ BF. Tam giác BEF vuông ti B có BD = DE ⇒ D là trung đim ca EF
D là trung đim ca EF ⇒ D
3
2;−4
. Phương trình đưng tròn ngoi tip tam giác ABC là
(C ) :
x− 3
2
2
+
y − 1
16
2
=
65
16
2
Phương trình đưng thng AF đi qua E và F ⇒ AF : 8x + y − 8 = 0
A là giao đim ca đưng tròn (C ) và AF ⇒ A (...)
Gi s đim B (a; b). Ta có B ∈ (C ) ⇒ 1 phương trình
Tng hp các bài toán đc sc 37
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
38/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
BE ⊥ BF ⇒ 1 phương trình. T đó ta có đim B
Bài toán gii quyt xong. ( Bài này lưi tính hihi )
Đ bài 46 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC có đim M (3;−1) là trungđim ca BC. Đưng thng AC đi qua đim F (1; 3). Đim E (−1;−3) thuc đưng cao xut phátt B. Xác đnh ta đ các đnh ca tam giác bit đim D (4;−2) là đim đi xng vi đim A quatâm đưng tròn ngoi tip tam giác ABC.
Li gii tham kho :
D đi xng vi A qua tâm đưng tròn ngoi tip tam giác ⇒ AD là đưng kính ⇒ CD ⊥ AC
Gi s C (a; b). M là trung đim ca BC ⇒ B (6− a;−2− b)
Ta có CD ⊥ AC ⇒ −−→CF ⊥−−→CD
⇒ (4− a) (1− a) + (3− b) (−2− b) = 0 ⇔ a2 − 5a + b2 − b− 2 = 0 (1)
E thuc đưng cao h t B ⇒ BE ⊥ AC ⇒ −−→BE ⊥−−→CF
⇒ (1− a) (7− a) + (1− b) (3− b) = 0 ⇔ a2 − 8a + b2 − 4b + 10 = 0 (2)
T (1) và (2) ⇒ a = 5; b = −1
a = 4; b = −2⇒ C (5;−1) ⇒ B (1;−1)
Phương trình đưng thng AB đi qua B và vuông góc vi BD ⇒ AB : 3x− y − 4 = 0
Phương trình đưng thng AC đi qua C và F ⇒ AC : x + y − 4 = 0
A là giao đim ca AB và AC ⇒ A (2;2)
Bài toán gii quyt xong.
Tng hp các bài toán đc sc 38
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
39/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Đ bài 47 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình vuông ABCD có đnh A (−4;5) vàphương trình mt đưng chéo là (d) : 7x− y + 8 = 0. Vit phương trình cách cnh ca hình vuôngABCD.
Li gii tham kho :
Ta có A không nm trên (d) ⇒ (d) là phương trình đưng chéo BD
Phương trình đưng chéo AC đi qua A và vuông góc vi (d) ⇒ AC : x + 7y − 31 = 0
Tâm I ca hình vuông là giao đim ca AC và BD ⇒
I −1
2; 9
2
I là trung đim ca AC ⇒ C (3;4)
Ta có AC = 5√
2 ⇒ hình vuông ABCD ni tip đưng tròn tâm I bán kính R = 5√
2
2
⇒ (C ) :
x + 1
2
2+
y − 9
2
2=
25
2
B và D là giao đim ca (d) và (C ) ⇒ B và D có ta đ (−1;1);(0;8)
Đn đây bài toán quá đơn gin dành cho bn đc.
Đ bài 48 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình ch nht ABCD có AB = 2AD. Gi M
là trung đim ca cnh CD. Đim G
2; 10
3
là trng tâm tam giác BCM. Tìm ta đ các đnh
ca hình ch nht bit phương trình đưng thng AM : x − 1 = 0.
Li gii tham kho :Hình ch nht ABCD có AB = 2AD và M là trung đim ca CD ⇒ AD = CM = DM = BC
⇒ ∆BC M vuông cân ti M ⇒ CG ⊥ BM ( G là trong tâm )D thy BM ⊥ AM ⇒ AM // CG ( cùng vuông góc vi BM)
Tng hp các bài toán đc sc 39
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
40/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Phương trình CG đi qua G và song song vi AM ⇒ CG : x − 2 = 0
Gi H là trung đim ca BM. Ta có đ dài đon MH chính là khong cách gia AM và CG ⇒ MH = 1
⇒ BM = 2 ⇒ BC = CM = √ 2 ⇒ CN =√
2
2 ⇒ M N =
5
2 ⇒ M G = 2
3M N =
2√
5
3√
2
Ly đim M (1; m) ∈ AM ⇒ M G2 = (1− 2)2 +
m− 103
2=
10
9 ⇒
m = 3
m = 11
3
Vi m = 3 ⇒ M (1; 3). Phương trình MH đi qua M vuông góc vi AM ⇒ M H : x = 3 ⇒ H (2; 3)
H là trung đim ca MB ⇒ B (3;3)Ly đim C (2; c) ∈ CG ta có H G = 1
3CG ⇒ −−→HG = 1
3
−−→HC ⇒ C (2;4)
M là trung đim ca CD ⇒ D (0;2)
Phương trình AD đi qua đim D và vuông góc vi CD ⇒ AD : x + y − 2 = 0
A là giao đim ca AM và AD ⇒ A (1;1)
Vi m = 11
3 xét tương t. Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 49 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho hình ch nht ABCD có A (1; 2), đim Cnm trên đưng thng (d) : 2x − y − 5 = 0 và AB = 2AD. Gi M là đim nm trên cnh CDsao cho DM = 2CM. Xác đnh ta đ các đnh ca hình ch nht bit phương trình cnh BM :
5x + y − 19 = 0.
Li gii tham kho :
Đt AD = BC = x ⇒ CD = AB = 2x ⇒ CM = 13
CD = 2x
3 ⇒ BM =
√ 13x
3
⇒ cos M BC = BC BM
= 3√
13⇒ sin M BC = 2√
13⇒ cos ABM = 2√
13
Tng hp các bài toán đc sc 40
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
41/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Góc gia AB và BM chính là góc ABM . Gi −→n = (a; b) là vtpt ca đưng thng AB
⇒ cos ABM = |5a + b|√ a2 + b2.
√ 26
= 2√
13⇒ 17a2 + 10ab− 7b2 = 0 ⇒
a = −b
a = 7
17b
Vi a = −b ⇒ −→n = (1;−1). Phương trình đưng thng AB đi qua A có vtpt −→n ⇒ AB : x − y + 1 = 0
B là giao đim ca AB và BM ⇒ B (3; 4)
Phương trình đưng thng BC đi qua B và vuông góc vi AB ⇒ BC : x + y − 7 = 0
C là giao đim ca BC và (d)
⇒C (4;3)
Phương trình đưng thng AD đi qua A và vuông góc vi AB ⇒ AD : x + y − 3 = 0
Phương trình đưng thng CD đi qua C và vuông góc vi BC ⇒ CD : x − y − 1 = 0
D là giao đim ca AD và CD ⇒ D (2;1)
Trưng hp còn li chúng ta làm tương t.
Bài toán gii quyt xong.
Đ bài 50 : Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho tam giác ABC nhn. Đưng thng chađưng trung tuyn k t đnh A và đưng thng BC có phương trình ln lưt là (d1) : 3x + 5y−8 =0; (d2) : x − y − 4 = 0. Đưng thng qua A vuông góc vi BC ct đưng tròn ngoi tip tam giácABC ti đim th hai D (4;−2). Vit phương trình các cnh AB và AC bit hoành đ đim B lnhơn 3.
Li gii tham kho :
Trung đim M ca BC là giao đim ca (d1) và (d2) ⇒ M
7
2;−1
2
Phương trình đưng thng AD đi qua D và vuông góc vi BC ⇒ AD : x + y − 2 = 0
A là giao đim ca AD và AM ⇒ A (1;1). Gi s N là trung đim ca AD ⇒ N
5
2;−1
2
Tng hp các bài toán đc sc 41
8/17/2019 Oxy phần 1.pdf
42/42
w w w
. t i l a d
o . e d u
. v n
www.tilado.edu.vn HÌNH HC GII TÍCH TRONG MT PHNG
Phương trình trung trc ca AD đi qua N và vuông góc vi AD ⇒
(d3) : x−
y−
3 = 0
Phương trình trung trc ca BC đi qua M và vuông góc vi BC ⇒ (d4) : x + y − 3 = 0
Gi I là tâm đưng tròn ngoi tip tam giác ABC ⇒ I là giao đim ca (d3) và (d4) ⇒ I (3; 0) ⇒ IA =√
5
Đưng tròn ngoi tip tam giác ABC có tâm là I và bán kính R =√
5
⇒ (C ) : (x− 3)2 + y2 = 5
Ta đ B và C là giao đim ca (C ) và (d2) ⇒ B, C có ta đ (5;1);(2;−2)
Hoành đ B ln hơn 3 ⇒ B (5;1); C (2;−2)Bài toán gii quyt xong.
continue ...