P ARA INGRESANTESfrt.utn.edu.ar/tecnoweb/imagenes/file/Ingreso 2014... · 2013. 10. 28. · 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la planta baja, etc…)

v

MATEMÁTICA APLICADA

PARA INGRESANTES

TECNICATURA SUPERIOR EN HIGIENE Y SEGURIDAD EN EL TRABAJO.

TECNICATURA SUPERIOR EN MECATRONICA.

TECNICATURA SUPERIOR EN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL.

TECNICATURA SUPERIOR EN PROGRAMACIÓN.

TECNICATURA SUPERIOR EN SEGURIDAD VIAL.

Ing. Walter Alberto Cáseres

Compaginación: Srta. Ana Sol Liendro, Srta. Noelia Vargas, Sr. Castro Wierna, Agustín

2014

1

Cartilla de Ingreso 2014 Matematica

Área de Carreras Cortas y Licenciaturas

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Números Naturales y Enteros. Propiedades

Números Racionales. Propiedades.

Números Irracionales. Propiedades. Notación científica

Números Reales. Estructura algebraica

Números complejos. Estructura algebraica

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Clasificación de las expresiones algebraicas

Polinomios. Valor numérico. Cero de un Polinomio

Operaciones entre polinomios.

Regla de Ruffini y Teorema del Resto

Teorema del Factor y Teorema Fundamental del Álgebra Factoreo

Expresiones algebraicas fraccionarias. Operaciones y Simplificación

TRIGONOMETRIA

Ángulos y Sistemas de medición

Razones trigonométricas

Resolución de Triángulos Rectángulos

Circunferencia trigonométrica

Relación entre ángulos de distintos cuadrantes

Triángulos Oblicuángulos. Teoremas del Seno y del Coseno

ECUACIONES

Clasificación General

Ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales 2x2

Ecuaciones Cuadráticas

Ecuaciones Racionales e Irracionales

Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

Sistemas Mixtos

Ecuaciones e Identidades Trigonométricas

FUNCIONES

Conceptos preliminares

Producto Cartesiano y Relación

Función. Conceptos generales

Función Constante

Función Lineal

Función Cuadrática

Funciones definidas por tramos

2



Símbolos matemáticos de uso frecuente

Algunas letras del alfabeto griego

3



CONJUNTOS NUMERICOS

Introducción Un número es una idea que expresa una cantidad, ya sea por medio de una palabra o de un símbolo. El símbolo de un número recibe el nombre de numeral. Pensamos en números cuando contamos personas, vemos la hora, medimos la temperatura, comparamos velocidades, pesamos cuerpos, etc… A lo largo de la historia cada civilización adoptó un sistema de numeración propio. En la actualidad aún se usa, el sistema de numeración romana, que se desarrollo en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio. Era un sistema de numeración no posicional en el que se usan letras mayúsculas como símbolos para representar a los números: I, V, X, L, C , D , M El sistema universalmente aceptado actualmente (excepto algunas culturas) es el Sistema de Numeración Decimal. Es un sistema de numeración en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de las cifras cero (0); uno(1): dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes.

Objetivos

Definir a los conjuntos numéricos

Distinguir entre racional e irracional, entre real y complejo

Recordar la aritmética de los números reales y complejos

Adquirir habilidad en la resolución de situaciones problemática Conceptos previos

Conceptos básicos de lógica proposicional.

Teoría de Conjuntos Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas; cada una contiene a la anterior y es más completa y con mayores posibilidades en sus operaciones. Están representadas en el siguiente mapa conceptual

4



Definición Los números Naturales son los números que usamos para contar u ordenar los elementos de un conjunto no vacio Simbólicamente: N = {1,2,3,4,5,....n,n +1,.....} Operaciones La suma y el producto de números naturales son siempre naturales. En cambio la diferencia no siempre es otro natural. Simbólicamente: Si a € N y b € N , entonces a+b € N (a y b se llaman términos o sumandos) Si a € N y b € N , entonces a.b € N (a y b se llaman factores)

5



NUMEROS ENTEROS

Para dar solución al problema que se presenta al restar números naturales donde el minuendo es igual o menor al sustraendo, se crearon otros números que amplia al conjunto de números naturales. Se agregan el número cero y los números opuestos a los naturales De ese modo 3 – 3 = 0 y 3 – 7 = -4 Definición El conjunto de los números Enteros está formado por la unión de los naturales, el cero y los opuestos de los naturales Simbólicamente se expresan Z= {...... -3, -2, -1, 0,1, 2, 3, .....} Los números enteros permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos acreedores o deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las alturas sobre o bajo el nivel del mar o temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la planta baja, etc…). En un gráfico de conjuntos se aprecia claramente que N ⊆ Z Se representa a los números enteros en una recta graduada, donde se elige un punto arbitrario para representar al 0 (al cual le llamaremos origen) y se adopta un segmento como unidad y la convención de que para la derecha estarán los números enteros positivos (naturales) y para la izquierda estarán los enteros negativos (opuestos de los naturales).

Operaciones en Z La suma y el producto de enteros es siempre otro entero.

6



La diferencia a – b es considerada como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo a – b = a + ( -b ) donde a es el minuendo y b es el sustraendo

La división entre los enteros a y b, con b≠ 0, arroja como resultados dos números enteros llamados cociente (q) y resto) A a se le dice dividendo y a b se le dice divisor.

Caso particular: Si r = 0, entonces a = b.q Se dice que la división es exacta, que “a es múltiplo de b”, que “a es divisible por b”, que “b es factor de a” o que “b es divide a a”

7



La división por 0 no está definida. Ejemplos: 2: 0 y 0: 0 no existen!!!!!

8



9



En el caso de tener expresiones algebraicas (expresiones que combinan números y letras) puede aplicarse, de ser necesario, la definición de potenciación y así encontrar una expresión algebraica equivalente Productos notables Las siguientes expresiones resultan de aplicar la definición de potenciación y las propiedades de la suma y el producto. Reciben el nombre de productos notables

10



11



NUMEROS RACIONALES Dividir es repartir en partes iguales!!! Un grupo de 6 amigos juega a las cartas con un mazo de 52 cartas. El juego consiste en repartir todas las cartas y dejar el resto en el centro de la mesa. ¿Cuántas cartas le corresponden a cada uno? ¿Cuántas cartas quedan en el centro? ¡Tu puedes deducir la respuesta! ¿Y si se quiere repartir pero el dividendo es menor que el divisor? Por ejemplo Ejemplo: Juana quiere repartir 1 barra de chocolate entre sus 3 amigos. Entonces Juana da un tercio de chocolate a cada uno. Definición Los Números Racionales son los números que se pueden escribir como el cociente de dos enteros. Esto es, los que se pueden expresar como fracción. En símbolos

Los números racionales representan partes de un todo Las partes sombreadas de los siguientes objetos están representadas por números Racionales

12



13



14



Q es un conjunto denso Entre dos números racionales hay infinitos números racionales. Esta afirmación podría justificarse sencillamente si tenemos en cuenta que la suma de racionales es siempre otro racional, el promedio será otro racional y estará comprendido entre ellos. Podríamos continuar indefinidamente el procedimiento de promediar dos números racionales encontrando siempre que hay otro racional entre dos racionales por más próximos que estén. Por ello decimos que Q es un conjunto denso

15



NUMEROS IRRACIONALES Todos los números racionales están representados por puntos sobre la recta numérica pero, ¿todos los puntos de la recta son representaciones de números racionales? La respuesta es NO!!! Existen otros números que junto a los racionales completan a la recta numérica. Ellos son los números irracionales Definición Los Números Irracionales son los números que no se pueden expresar como fracción. En símbolos

Convertidos a la notación decimal son números con infinitas cifras no periódicas

Operando con números irracionales

16



Las operaciones de suma, diferencia, producto, cociente y potenciación de números Irracionales no siempre arrojan como resultado a otro irracional. Algunas veces los resultados son racionales!!

¿Y si necesitáramos expresar a los números irracionales en forma decimal?

17



Usamos las primeras cifras decimales. De ese modo se obtienen valores aproximados de los números irracionales. Entonces siempre se comete un error al tomar la notación decimal de un número irracional y el error cometido es menor que 1 unidad del orden de la última cifra conservada.

Racionalización Si las raíces aparecen en el denominador, en muchos casos es necesario eliminarla. A este proceso se lo conoce con el nombre de Racionalización de denominadores

Primer Caso: Un único término con raíz cuadrada en el denominador Se multiplica y divide por la raíz presente en el denominador

Segundo Caso: Un único término con raíz mayor que 2 en el denominador Se multiplica y divide por la raíz presente en el denominador elevada a un exponente conveniente

18



Tercer Caso: En el denominador suma o resta de términos que contienen raíces cuadradas. Se multiplica y divide por el conjugado del denominador

NUMEROS REALES Entre los racionales y los irracionales se completa la recta numérica. Es decir ya no queda ningún punto sobre la recta al que no le corresponda ya sea un número racional o un número irracional. Es por ello que se considera que si se unen los dos conjuntos, esto es, Racionales más Irracionales se forma un nuevo conjunto Definición El conjunto de los Números Reales es la unión del conjunto de los Racionales al conjunto de los Irracionales. Simbólicamente

A la recta numérica se le dice recta real pues en ella se representan a todos los números reales y, viceversa, todo punto de la recta es la representación de un real. El conjunto R también tiene la propiedad de ser denso. De acuerdo a la definición se tiene el siguiente cuadro:

19



En un diagrama de Venn, se observa la relación entre los conjuntos

Notación científica Cuando manejamos números muy grandes o muy pequeños tenemos dificultad para interpretarlos y para introducirlos en algunas calculadoras. Es usual, para ellos, representarlos mediante notación científica. Se dice que un número está expresado en notación científica cuando se escribe como el producto de un número mayor que 1 y menor que 10, multiplicado por una potencia entera de diez.

El conjunto R tiene estructura algebraica de Campo o Cuerpo El conjunto R tiene estructura de Campo o Cuerpo pues las operaciones de suma y producto de números reales cumplen los siguientes axiomas: Si x, y, z € R, entonces: La suma y el producto son operaciones cerradas x y € x.y) € R

20



La suma y el producto son operaciones conmutativas x y = y x x.y =y.x La suma y el producto son operaciones asociativas

(x +y)+ z = x+(y+z) (x.y) z =x.(y.z) El producto es distributivo respecto a la suma x. ( x+ z) = x.y+ x.z Existen números reales que son neutros respecto de la suma y el producto 0 es el neutro respecto de la suma pues x+ = x 1 es el neutro respecto del producto pues x.1 = x Todos los números reales tienen opuesto y, excepto el 0, todos tienen recíproco – x se dice inverso aditivo u opuesto de x

se dice inverso multiplicativo o recíproco de x

21



Orden en el conjunto R R es un conjunto ordenado. Esto es, dados dos números reales a y b vale una y solo una de las siguientes afirmaciones a < b , a > b o a = b Propiedades de la Igualdad en R 1) Si sumamos o multiplicamos a ambos miembros de una igualdad una misma constante se obtiene otra igualdad Si a = b, entonces a + c = b + c Si a = b, entonces a.c = b.c

2) Si sumamos o multiplicamos miembro a miembro dos igualdades se obtiene otra igualdad Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d

22



Si a = b y c = d, entonces a. c = b. d

Propiedades de la desigualdad

1) Si a ambos miembros de una desigualdad se suma una misma constante , la desigualdad se mantiene

Si a < b, entonces a+c < b+c

2) Si a ambos miembros de una desigualdad se multiplica por una misma constante positiva la desigualdad se mantiene Si a < b y c > 0, entonces a.c < b.c

3) Si a ambos miembros de una desigualdad se multiplica por una misma constante negativa la desigualdad cambia de sentido Si a < b y c < 0, entonces a.c > b.c

Intervalos A menudo se trabaja con subconjuntos de números reales que representan semirrectas o segmentos de recta. La notación de Intervalos es muy conveniente

23



24



Modulo o Valor absoluto de un número real El valor absoluto o módulo de un número mide la distancia desde el número al origen. Se denota con |a|.

Propiedades

-a|

El valor absoluto es distribut

25



La séptima operación: Logaritmo de un número real Sea a, b ∈ R +, con b ≠1. Se define logaritmo del número a en base b a aquel número n que es el exponente necesario al que hay que elevar b para obtener a. Simbólicamente:

a es llamado número logaritmado, b es llamado base del logaritmo y n valor del logaritmo.

26



27



Propiedades del Logaritmo:

28



NUMEROS COMPLEJOS Los números complejos son combinaciones algebraicas de números reales con números imaginarios. ¿Por qué surgen los números imaginarios? Las raizes de índice par de radicando negativo no tienen respuesta en R. Para dar solución a este problema se crea el número j. Definición:

Potencia enésima de la unidad imaginaria Si n∈ N , al dividir n en 4 puede expresarse como n = 4 . q + r , donde q es el cociente y

29



Definición Se define al conjunto de los Números Complejos como C = { z / z = a + bj , a ∈ R y b∈ R } a se dice componente real y b se dice componente imaginaria El conjunto C también tiene estructura de Campo, respecto de la suma y el producto

Las relaciones entre los conjuntos numéricos estudiados se muestran en las siguientes Figuras:

30



Todo número complejo está asociado a otros llamados opuesto y conjugado Sea Z = a + bj Z = - a – bj se le llama opuesto de Z Sea Z = a + bj , al número Z = a – bj se le llama conjugado de Z

Igualdad en C Dos números complejos son iguales si y solo si sus componentes respectivas son iguales. Esto es: a + bj = c + dj ; a = c ;

31



Operaciones en c:

Propiedades del conjugado:

32



33



Representación gráfica de los números complejos Todo número complejo z = a+bj se representa en el plano mediante el punto (a,b). Sobre el eje horizontal se representa a la componente real del complejo, por lo que a este eje se lo llama eje real. Sobre el eje vertical se representa a la componente imaginaria y por ello se lo llama eje imaginario 0.

C tiene estructura algebraica de Campo o Cuerpo El conjunto C tiene estructura algebraica de Campo respecto de las operaciones de Suma y Producto pues en el se cumplen las propiedades de:

∀ z1 ,z2 ,z3 € 1 C

La suma y el producto son operaciones cerradas

La suma y el producto son operaciones conmutativas

La suma y el producto son operaciones asociativas

El producto es distributivo respecto a la suma

Existen números complejos que son neutros respecto de la suma y el producto

34



0 es el neutro respecto de la suma pues z + 0 = z 1 es el neutro respecto del producto pues z.1= z Todos los números complejos tienen opuesto y, excepto el 0, todos tienen recíproco –z se dice inverso aditivo u opuesto de z 1/z se dice inverso multiplicativo o recíproco de z LOGICA MATEMATICA El razonamiento matemático se apoya en la lógica, que trabaja con proposiciones. Una proposición simple es cualquier afirmación de la cual se pueda decir Verdadero o Falso, pero no ambos Ejemplo: “Estamos en año 2009” Es una proposición “¿Qué día es hoy? No es una proposición A las proposiciones simples las denotamos con las letras p, q, r,..etc. Las proposiciones simples pueden generar otras proposiciones llamadas compuestas En ellas aparecen palabras llamadas conectivos lógicos. Tanto la notación como su significado están en la siguiente tabla:

Los valores de verdad de las nuevas proposiciones (p, p q, p q, p q, p q, p q) dependen de los valores de verdad de las proposiciones simples intervinientes. En particular:

35



Algunas proposiciones se refieren a conjuntos y hacen afirmaciones sobre la frecuencia con la que se cumple una característica en el conjunto. Ejemplo: Todos los animales son cuadrúpedos Algunos animales son carnívoros. Estas son frases que contienen cuantificadores: “Todos” y “Algún/os” Es muy frecuente expresarlos simbólicamente, más aún cuando la frase se refiere a conjuntos numéricos Sea A la característica a la que se refiere la frase y sea x un individuo cualquiera del conjunto, las notaciones correspondientes figuran en la siguiente tabla_

TEORIA DE CONJUNTOS Un conjunto es cualquier colección (finita o infinita) de elementos de cualquier naturaleza. Todo conjunto está inmerso en otro conjunto llamado Universal Se denotan con letras mayúsculas y a sus elementos con minúsculas. Es usual representarlos por medio de Diagramas de Venn. En el siguiente cuadro presentamos algunas Definiciones y su correspondiente notracion. Considere en los casos correspondientes dos Conjuntos Ay B.

36



37



NÚMEROS PRIMOS. Sea n € N, con n>1, n es primo si y solo si tiene exactamente dos divisores positivos: 1 y n Los primeros números primos son: 2 , 3 , 5 , 7 , 11, 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , etc Todo número natural puede descomponerse como producto de factores primos Ejemplos: Expresar a 750, 480 y 1734 en su forma factoreada

Máximo Común Divisor Dados dos números enteros a y b. Al número que es divisor de ambos y es el mayor de todos los divisores comunes se le llama máximo común divisor (mcd). El mcd(a,b) es igual al producto de todos los factores primos comunes entre a y b con su menor exponente Mínimo Común Múltiplo Al número que es múltiplo de ambos y es el menor de todos los múltiplos comunes se le llama mínimo común múltiplo (mcm). El mcm(a,b) es igual al producto de todos los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente Ejemplos

38



EXPRESIONES ALGEBRAICAS Introducción Desde sus remotos orígenes arraigados en Egipto, Arabia y la India veinte siglos antes de nuestra era, el álgebra ha sido considerada un método de expresión mediante fórmulas que permiten simplificar los cálculos numéricos. En ese entonces los problemas algebraicos aparecen formulados y resueltos de una manera verbal. Los polinomios, se han aplicado recientemente en la transmisión de la información. Durante los últimos años, el tráfico de datos por medio de las “carreteras” de la información ha crecido enormemente. Se pretende aumentar las velocidades de transmisión y conservar al mismo tiempo la integridad de los datos. Un método desarrollado para tal fin es el PET (Transmisión Codificada con Prioridades) . Con él la información se distribuye em diferentes paquetes. Esta distribución se determina con base en polinomios. Objetivos generales

Conceptos previos

MAPA CONCEPTUAL

39



EXPRECIONES ALGEBRAICAS Llamamos Expresión Algebraica Real a toda combinación de letras y/o números reales vinculados entre sí por las operaciones de suma, resta, multiplicación y potenciación de exponente racional. Ejemplos:

A los números intervinientes les llamamos coeficientes y a las letras variables Clasificación de las Expresiones Algebraicas Según las operaciones que afecten a las variables, las expresiones algebraicas se clasifican en:

40



Las Expresiones Algebraicas Racionales Enteras, también llamadas Polinomios, son aquellas donde las variables están afectadas por las operaciones de suma, resta, producto y potencia de exponente entero no negativo.

Las Expresiones Algebraicas Racionales Fraccionarias son aquellas donde al menos una variable esta afectada a un exponente entero negativo o figura en el denominador.

Las Expresiones Algebraicas Irracionales son aquellas donde al menos una variable está afectada a un exponente fraccionario o figura bajo un signo de radicación.

TEORIA DE LOS POLINOMIOS Monomios Es toda expresión algebraica entera en la que no intervienen las operaciones de suma y resta. Es decir, un monomio es un polinomio de un solo término. Grado de un Monomio Es la suma de los exponentes de las letras (o variables) que contiene. Ejemplos:

41



Monomios Semejantes Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Ejemplos:

POLINOMIO Un polinomio es la suma de dos o más monomios. El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado que participa en él Casos particulares. Binomio: Es el polinomio formado por la suma algebraica de dos monomios Trinomio: Es aquel que es la suma algebraica de tres monomios Cuatrinomio: Es el polinomio formado por cuatro monomios Ejemplos:

42



Polinomio Homogéneo Un polinomio se dice homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado. Ejemplos:

Si el polinomio es en la variable x se representa simbólicamente como:

Donde: n € Z, n≥ 0 se llama grado del polinomio P y se escribe n = grP(x) ai € R se denominan coeficientes del polinomio an ≠ a0 se denomina término independiente Ejemplos:

43



VALOR NUMERICO DE UN POLINOMIO

Ejemplo:

CERO DE UN POLINOMIO

Polinomio Ordenado Un polinomio en una variable esta ordenado cuando todos sus términos están dispuestos de modo que los exponentes aumenten o disminuyan desde el primer término hasta el último. Ejemplos:

Polinomio Completo Un polinomio en una variable está completo cuando figuran todas las potencias de la variable menores al grado del polinomio. Ejemplos:

Si un polinomio esta incompleto, es posible completarlo escribiendo las potencias de la variable que faltan con coeficiente cero. Ejemplo:

44



Polinomio Nulo Llamamos polinomio nulo a aquel que tiene todos sus coeficientes cero Se escribe P(x) = 0 y se dice de él que no posee grado. Polinomio Opuesto

Esto es la suma de un polinomio con su opuesto es el polinomio Nulo Ejemplo:

Igualdad entre Polinomios Dos polinomios son iguales cuando tienen el mismo grado y los coeficientes de los términos semejantes son iguales. En símbolos:

Operaciones con Polinomios: La suma, producto y división de polinomios gozan de las mismas propiedades que las correspondientes operaciones entre reales.

45



Suma de Polinomios Aplicando la propiedad asociativa, se agrupan los términos semejantes y se obtiene un polinomio de grado menor o igual al grado del polinomio de mayor grado. Resta de Polinomios Se suma al polinomio minuendo el opuesto del polinomio sustraendo. Producto de polinomios Aplicando la propiedad distributiva y la propiedad de la potenciación de potencias de igual base, se obtiene un polinomio cuyo grado es igual a la suma de los grados de los polinomios intervinientes.

46



47



División de Polinomios Numéricos: División de monomios entre si El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente se obtiene dividiendo los coeficientes de los monomios dados y la parte literal es el resultado de aplicar la propiedad de cocientes de potencias de la misma base. El resultado no siempre es un monomio. Ejemplos:

División de un polinomio por un monomio Para dividir un polinomio en un monomio se aplica la propiedad distributiva. El resultado no siempre es un polinomio Ejemplo:

División de Polinomios entre si Sean P(x) y Q(x) dos polinomios con Q(x P(x Q(x) Entonces existen dos polinomios únicos C(x) y R(x) tales que: P(x Q(x).C(x R(x) con gr R(x) < grQ(x). Llamaremos a P(x) dividendo, a Q(x) divisor, a C(x) cociente y a R(x) resto. También puede expresarse:

Cuando R(x) = 0 la división es exacta por lo que P(x Q(x).C(x) y se dice que Q(x) es un factor de P(x) o que P(x) es divisible por Q(x). De ese modo se tendrá que:

Algoritmo de la división

:Q(x) se procede del siguiente modo 1) Ordenar en forma decreciente a ambos. Completar al dividendo 2) Para calcular el 1º término del cociente, dividir el término de mayor grado de P(x) por el término de mayor grado del divisor 3) Luego se multiplica el término del cociente recién obtenido por todos los términos del divisor y se coloca el resultado abajo de los términos de P(x) que le sean semejantes. Luego se resta y se considera este resultado, un resto parcial, como el próximo dividendo 4) Se repiten los paso 2 y 3 5) Detener el proceso cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor.

48



Caso particular Si grQ(x) = 1, entonces R = constante (polinomio de grado cero). En particular si Q(x) es de la forma Q(x) = x – b, se puede aplicar un algoritmo más sencillo que se conoce con el nombre de Regla de Ruffini. REGLA DE RUFFINI

Y un resto R que se obtienen con el siguiente algoritmo: 1º paso: En el primer renglón se colocan los coeficientes de P(x) ordenado y completo 2º paso: En el segundo renglón se coloca el valor “b” a la izquierda de los demás números ya colocados 3º paso: En el tercer renglón se colocarán los coeficientes del cociente y el resto del siguiente modo:

49



50



Teorema del Resto: Al dividir P(x) en (x – b), el resto de la división es el valor numérico del polinomio P(x) particularizado para x = b. Esto es: R = P (b)

51



Teorema del Factor Sea P(x) un polinomio de grado n y b una constante. Se dice que b es un cero de P(x) ⇔ (x-b) es un factor de P(x) Esto es equivalente a afirmar que b es un cero de P(x) ⇔ P(x) es divisible por (x – b ) Observación Si (x-b) es un factor de P(x), entonces existe un polinomio C(x) tal que P(x) = (x-b).C(x)

52



Teorema Fundamental del Algebra

Teorema sobre el Numero Cero

Extensión de la Regla de Ruffini:

53



Extensión del Teorema del Resto

54



FACTOREO DE POLINOMIOS Factorear un polinomio es expresarlo como producto de polinomios primos. Caso particular

Entonces p(x) puede ser factoreado en la forma P( x ) = an ( x – x1 ).( x – x2 )…( x – xn ) Donde cada binomio de la forma (x – xi) es un factor primo. Las estrategias de factoreo más usadas son las siguientes: Factor común Una expresión algebraica es factor común de todos los términos de un polinomio cuando aparece multiplicando en cada uno de esos términos.

55



Factor Común en Grupo Una expresión algebraica puede no tener un único factor común en todos los términos sino factores comunes distintos en cada grupo de términos. Si luego de asociar convenientemente se puede extraer un único factor común habremos factoreado.

Diferencia de Cuadrados Todo polinomio que es diferencia de cuadrados es igual al producto de la diferencia de las bases de dichos cuadrados por la suma de las mismas, es decir:

Trinomio Cuadrado Perfecto

56



Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo: i) Se busca a los cuadrados y se determina a sus bases ii) Se comprueba que el otro término sea el duplo de las bases de dichos cuadrados iii) Se analizan los signos y se determina si corresponde al cuadrado de una suma o al cuadrado de una diferencia.

Cuatrinomio Cubo Perfecto

Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo: i) Se busca a los cubos y se determina a sus bases ii) Se comprueba que los otros términos sean el triple del cuadrado de una base por la otra base alternativamente iii) Se analizan los signos y se determina si corresponde al cubo de una suma o al cubo de una diferencia

57



Suma o Diferencia de Potencias de Igual Grado

Estos polinomios se factorean usando la suma o diferencia de las bases según sean. Todas las posibilidades se resumen en la siguiente tabla:

58



59



60



EXPRECIONES ALGEBRAICAS RACIONALES FRACCIONARIAS Se llama expresión algebraica fraccionaria al cociente indicado entre dos polinomios, siempre que el denominador no sean ni el polinomio nulo ni polinomios constantes. Ejemplos:

Valor Numérico de una Expresión Algebraica Fraccionaria Se llama Valor Numérico de una expresión algebraica fraccionaria al número real que se obtiene al sustituir la variable por determinados valores. Ejemplo:

Pero la expresión no está definida para x = 2, dado que la división por cero no existe. Se llama Dominio (Dom) de una expresión algebraica real al conjunto de valores reales que le podemos asignar a las variables de modo que las operaciones en las que intervienen sean posibles en el conjunto de los Números Reales.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EQUIVALENTES: Dos expresiones algebraicas se dicen iguales o equivalentes cuando tienen iguales valores numéricos para cualquier sistema de valores asignados a sus letras. Simplificación Simplificar una expresión algebraica racional fraccionaria significa dividir su numerador y denominador por un mismo factor. Cuando por sucesivas simplificaciones resultan el numerador y el denominador primos entre si, la expresión fraccionaria se dice reducida a su mínima expresión. Para facilitar el proceso de simplificación se deben factorear numerador y denominador. Entonces las expresiones serán equivalentes cuando una expresión se ha obtenido de otra tras un proceso de simplificación y esto será válido en el dominio de la expresión de partida.

61



Ejemplo:

Operaciones entre expresiones algebraicas fraccionarias Se procede del mismo modo que entre números fraccionarios. Suma algebraica 1º paso: Factorear todos los denominadores e indicar el dominio de la expresión 2º paso: Calcular el mcm entre los denominadores 3º paso: Aplicar el mismo algoritmo que la suma entre números fraccionarios

Producto de expresiones algebraicas fraccionarias 1º paso: Factorear tanto numeradores como denominadores, indicar el dominio de la expresión 2º paso: Aplicar el mismo algoritmo que entre números fraccionarios, simplificando si es posible

62



División de expresiones algebraicas fraccionarias 1º paso: considerar al cociente como el producto del dividendo por el inverso del divisor. 2º paso: Factorear tanto numeradores como denominadores, indicar el dominio de la expresión 3º paso: Aplicar el algoritmo del producto entre números fraccionarios, simplificando si es posible.

63



APANDICE Expresiones algebraicas enteras primas y compuestas Una expresión algebraica se dice prima cuando sólo es divisible por si misma y la unidad. Es decir no puede factorearse en el conjunto de las expresiones algebraicas con coeficientes reales. En cambio una expresión algebraica que admite otros divisores distintos de la unidad y de si misma se llama compuesta

64



El máximo común divisor (mcd) de dos o más expresiones algebraicas enteras se obtiene formando el producto de los factores primos comunes con su menor exponente. Se denota con mcd [A, B], donde A y B son las expresiones algebraicas consideradas. El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más expresiones algebraicas enteras se obtiene formando el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.

TRIGONOMETRÍA Introducción La palabra TRIGONOMETRIA proviene del griego Trigonom: triangulo y Metrom: medida. Entonces significa “MEDIDA DE TRIANGULOS”. Desde sus orígenes, la TRIGONOMETRIA estudia: las relaciones entre los lados y los ángulos del triangulo.

65



Como así también las propiedades y las aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. El estudio del tema abarca: - Trigonometría Plana, que se ocupa de triángulos contenidos en el plano.

Trigonometría Esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.

66



En la vida diaria .empleamos trigonometría? Con frecuencia nos encontramos con situaciones como: - determinar a que distancia del piso esta la ventana de un edificio. - determinar la altura de un muro - determinar el peso que soportan los tirantes . de la cubierta

- calcular la resultante de un sistema de fuerzas

67



En todos los casos, para dar solución a las situaciones planteadas, aplicamos TRIGONOMETRÍA Entonces:

En esta oportunidad vamos a encarar el tratamiento del tema TRIGONOMETRÍA PLANA. Objetivos

Conceptos previos

ANGULOS Ángulo plano es la porción de plano determinada por la rotación de una semirrecta desde una posición inicial hasta una posición final. El origen de la semirrecta es llamado vértice del ángulo.

68



Sea O el origen de la semirrecta y sean P y Q dos puntos cualesquiera de la semirrecta en posición inicial y final respectivamente. Denotaremos con Q O ˆ P al ángulo, o con cualquier letra griega, por ejemplo θ, O al vértice y OP y OQ a las semirrectas inicial y final respectivamente. La medida del ángulo Q O ˆ P es la “cantidad de rotación”, respecto al vértice requerida para mover la semirrecta OP sobre la semirrecta OQ en sentido contrario a las agujas del reloj. Es en definitiva cuanto se “abre” el ángulo.

Ángulos especiales

69



Sistemas de medición Sistema Sexagesimal Unidad:

c

Los sistemas de medición de ángulos mas usados son Sexagesimal y Circular. Sistema Sexagesimal La unidad es el grado, que es la 180 ava parte de un ángulo llano giro. Los submúltiplos son: minutos y segundos que a su vez son 60 avas partes de su anterior.

De la definición se deduce que:

Conversión de un ángulo en grados minutos y segundos a grados y viceversa

70



Sistema Circular y Longitud de Arco En el sistema Circular o Radial la unidad de medida es el radian. Para precisarlo recordemos que todo ángulo con vértice en el centro de cualquier circunferencia determina un arco sobre la misma. Llamemos α al ángulo, r al radio de la circunferencia y s al arco determinado por el ángulo.

71



Se define al ángulo de 1 radian como el ángulo que determina un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

Para medir cualquier otro ángulo, usando como unidad de medida el radian, se debe contar la cantidad de veces que el arco determinado en la circunferencia lo contiene al radio de la circunferencia.

s entonces diremos que

Responde: .Si consideramos otra circunferencia con el mismo centro, la medida del ángulo cambia? El sistema Circular es el que se trabaja generalmente en la práctica ya que permite operar con los números Reales abstractos. Podemos dar el valor de los ángulos medidos en radianes usando la abreviatura rad o no

Relación entre arco, radio y ángulo En una circunferencia de radio “r, la longitud “s” de un arco que subtiende un ángulo central de α radianes es:

72



Relaciones de equivalencias entre los dos sistemas De la definición de radian y de grado se desprende que:

Para realizar equivalencias entre los sistemas usamos proporcionalidad directa:

73



De este modo se deducen los siguientes valores, también muy frecuentes:

74



RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Antes de definir a las seis razones trigonométricas vamos a nombrar los elementos de un triangulo rectángulo.

Se define RAZONES TRIGONOMÉTRICAS de un ángulo agudo en un triangulo rectángulo a los siguientes cocientes:

De la definición se desprende que:

75



Dado que la hipotenusa es siempre mayor que cualquiera de los catetos se desprende que, en un triangulo rectángulo, para cualquiera de sus ángulos agudos se cumple que:

76



APLICACIÓN DE TRIGONOMETRÍA EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Otro de los conceptos que aplicamos para dar solución a las situaciones planteadas es el de ANGULO DE ELEVACION Y ANGULO DE DEPRESION.

77



Resolución de Triángulos Rectángulos

78



Considerando un sistema de ejes cartesianos, es posible representar cada una de las razones trigonometricas por medio de segmentos. Para ello se considera una circunferencia de radio unidad centrado en el origen de coordenadas, llamada “circunferencia trigonometrica”. En ella podremos analizar que sucede con los valores de las razones trigonometricas cuando el valor del angulo esta comprendido entre 0o y 360 o (0 a 2π rad). De este modo podremos resolver situaciones problematicas que son modeladas por triángulos oblicuos. Considere un angulo, θ, con vertice en el origen de coordenadas, el lado fijo sobre el eje de las abscisas y el lado movil en el primer cuadrante. Sea P(x, y) un punto sobre la circunferencia determinado por la interseccion del lado movil del angulo con la circunferencia.

79



La proyeccion del punto P sobre el eje x, determina el punto Q. El triangulo POQ es un triangulo rectangulo con catetos de longitudes x e y. Por ala definición se tiene que:

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Los signos de las razones trigonometricas tienen que ver con las abscisas y ordenadas del punto P, y estas coordenadas tendran distintos signos segun en que cuadrante este ubicado P.

80



81



VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES.

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS A partir de los resultados anteriores y aplicando el Teorema de Pitágoras en el triangulo POQ se tiene que:

de lo que se deduce que: Llamada RELACION FUNDAMENTAL O RELACION PITAGORICA. Y como:

82



Se tiene que:

Ademas a partir de la relacion (1) podemos deducir otras relaciones.

Si en la expresión (1) dividimos ambos miembros por sen2 se tendrá que:

Si en la expresión (1) dividimos ambos miembros por cos2 se tendrá que:

Entonces se tienen las siguientes relaciones:

APLICACIONES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Problema Directo: A partir de un determinado ángulo , determinar el valor de las razones trigonométricas. Ejemplo: Si α = 20º30 determine el valor del sen α La calculadora debe estar preparada para trabajar en sistema sexagesimal (DEG) Sen 20º 30 = 0,35 Problema Inverso: Conocido el valor de una razon trigonometrica, queremos calcular el valor del angulo. Con frecuencia se nos presenta el problema de determinar los ángulos

83



de un triangulo conocidos los lados del mismo, tal como se plantea en la siguiente situacion.

El estudio que sigue se basa en la simetria de los puntos de los distintos cuadrantes, respecto a los ejes de coordenadas y al centro. Relación entre ángulos del 1º y 2º cuadrante Sea α un angulo del 1o cuadrante, entonces existe β del 2° cuadrante llamado Suplementario a α. Esto es β = 180o- α, y se tendra que:

84



Relación entre ángulos del 1º y 3º cuadrante Sea α un angulo del 1o cuadrante, entonces existe β en el 3° cuadrante tal que

β = 180°+ α y se tendra que:

85



Relación entre ángulos del 1º y 4º cuadrante Sea α un angulo del 1o cuadrante, entonces existe β en el 4° cuadrante tal que

β =360°– α y se tendra que:

86



Para la resolucion de estos triangulos se emplean los siguientes teoremas: Teorema del Seno En cualquier triangulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los angulos opuestos correspondientes

87



Teorema del Coseno En cualquier triangulo ABC se tiene:

En forma directa se emplea cuando se conocen dos lados y el angulo comprendido pero tambien puede usarse en el caso indirecto cuando se conocen los tres lados y se desean calcular los angulos del triangulo.

88



Una aplicación del teorema del coseno es la formula de Heron:

89



APENDICE Para resolver la situacion planteada al inicio del capitulo, como tantas otras que se presentan en la vida diaria, vamos a repasar algunos conceptos.

90



ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO

91



TEOREMA DE PITAGORAS

92



93



TEOREMA DE TALES

Como consecuencia del teorema de Tales se puede enunciar el teorema fundamental de SEMEJANZA DE TRIANGULOS. Toda paralela a uno de los lados de un triangulo, divide a los otros dos en segmentos proporcionales, por lo que forman un triangulo semejante al primero.

94



ECUACIONES Introduccion En casi todas las ramas de la Matematica las ecuaciones aparecen como protagonistas centrales pues ellas permiten describir en forma exacta y sencilla la situacion problematica o el fenomeno del que se este hablando. En esta Unidad nos limitaremos a rever todos los tipos de ecuaciones y los metodos de resolucion vistos en la escuela secundaria, preparandolos para poder enfrentar los temas de mayor complejidad en los que apareceran otros tipos de ecuaciones definidos en nuevos conjuntos. Un ejemplo de ello son las ecuaciones matriciales, las que no se podrian resolver sino se manejan las ecuaciones sencillas y los metodos mas simple de calculo. Objetivos

Conceptos previos

Una ecuacion es una igualdad donde figuran una o mas incognitas. Resolver una ecuacion es encontral el o los valores de las incognicas que verifican la igualdad. A dichos valores se les llama raicez o soluciones de la ecuacion. Ejemplos:

95



Clasificacion de las ecuaciones de acuerdo a las soluciones De acuerdo a las soluciones las ecuaciones se clasifican en:

Clasificacion de las ecuaciones de acuerdo a las expresiones El siguiente cuadro representa la clasificacion de las ecuaciones, correspondiendose exactamente con la clasificacion de las expresiones A su vez se dan ejemplos de las que se vera en este curso.

96



Una ecuacion algebraica es una igualdad entre expresiones algebraicas en la que intervienen una o varias incognitas. Los miembros de una ecuacion son las expresion qie estan a ambos lados del signo igual. Asi, se llama primer miembro a la de la izquierda y segundo miembro al de la derecha. Ejemplo:

97



Un valor es solucion si se verifica ala ecuacion. Esto es, si se sustituyen las soluciones en lugar de la/s incognitas, convierten ala ecucion en identidad. Ejemplo:

Se llama asi al proceso de hallar la/las solucion/es de una ecuacion. Para resolverla se transforma la ecuacion dada, aplicando propiedades, en una ecuacion equivalente de la forma x = K, cuya solucion es inmediata. La ecuacion equivalente tiene las mismas soluciones que la ecuacion original.

5X + 2 = -3X2 + 4

98



Propiedades que se aplican en la resolucion de una ecuacion 1) Propiedad simetrica: Los miembros de una igualdad pueden conmutarse entre si Esto es: Si a = b entonces b = a Se aplica esta propiedad para que la incognita aparezca en el 1er miembro de la ecuacion. Ejemplo: si - 3 = 2 - 5y → 2 - 5y = - 3 2) Propiedad uniforme para la suma: Si se suma una constante, positiva o negativa, a ambos miembros de una igualdad, la misma se mantiene. Esto es: Si a = b, entonces a + c = b + c Se usa cuando se quiere eliminar un termino de un miembro de la ecuacion, posteriormente se aplica el axioma de los elementos opuestos Ejemplo: Si 2x + 3 =- 1 → 2x + 3- 3 = - 1 - 3 → 2x = - 4 3) Propiedad cancelativa para la suma: Si una constante, positiva o negativa, esta sumando en ambos miembros de una igualdad, puede cancelarse Esto es: Si a + c = b + c, entonces a = b

4) Propiedad uniforme para el producto: Si se multiplica una constante no nula, positiva o negativa, a ambos miembros de una ecuacion, se mantiene la igualdad. Esto es: Si a = b y c ≠ 0, entonces a.c = b.c Se usa cuando se quiere eliminar un factor de un miembro de la ecuacion, posteriormente se aplica el axioma de los elementos reciprocos

5) Propiedad cancelativa para el producto: Si una constante no nula, positiva o negativa, esta multiplicando en ambos miembros de una igualdad, puede cancelarse Esto es: Si a.c = b.c con c≠0, entonces a = b

1) Si los dos miembros de una ecuacion se elevan a una misma potencia o se les extrae una misma raiz, siempre que este definida, la igualdad subsiste. Se aplica cuando se quiera eliminar una potencia o un radical de algun miembro de una ecuacion:

99



Una ecuacion lineal real en una variable es una ecuacion de la forma ax+b= 0 donde a y b, coeficientes de la ecuacion, son numeros reales y x es la variable. Toda ecuacion real de primer grado en una incognita tiene exactamente una raiz real. Ejemplo:

A una ecuacion lineal en una variable ax+b= 0 le podemos asociar una ecuacion lineal en dos variables y = ax+b. Dicha ecuacion representa geometricamente una recta en el plano.

100



Si hacemos y = 0 en esa ecuacion se obtiene la ecuacion en 1o grado en una variable ax+b= 0. Entonces la raiz de la ecuacion ax+b= 0 representa la abscisa del punto donde la recta y = ax+b intercepta al eje X. Ejemplo: La ecuacion 3x 12 0 tiene por raiz x 4 La grafica de la ecuacion y 3x 12 intercepta el eje X en (4 , 0 )

RESOLUCION DE ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

101



102



103



RESOLUCION DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES DE PRIMER GRADO* “Plantear una ecuación significa expresar en símbolos matemáticos una condición formulada con palabras; es una traducción de un lenguaje corriente al lenguaje de las fórmulas matemáticas. Las dificultades que podamos tener al plantear ecuaciones son dificultades de traducción. En primer lugar, hemos de comprender totalmente la condición. En segundo lugar, hemos de estar familiarizados con las formas de expresión matemática.” George Polya ¿Como expresar lenguaje Matematico consignas dadas en lenguaje Coloquial?

104



105



106



Se denomina asi a la consideracion simultánea de dos ecuaciones de primer grado con dos incognitas.

107



SOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Resolver un sistema de ecuaciones lineales significa encontrar, si existen, el o los puntos en comun que posean las rectas que intervienen en el sistema. Llamamos conjunto solucion al conjunto de pares ordenados que verifican a todas las ecuaciones a la vez. Un sistema de Ecuaciones Lineales puede tener:

108



109



Son muy usados los metodos que a continuacion se describen para resolver, analiticamente, sistemas de ecuaciones: Ellos son: metodo de sustitucion, metodo de igualacion, metodo de reduccion y el metodo por determinantes Metodo de Sustitucion Consiste en despejar una de las incognitas en una de las ecuaciones y sustituir su expresion en la otra, la cual se transformara en una ecuacion con una sola incognita la cual se puede resolver. Una vez determinado el valor de dicha incognita se obtiene, de inmediato, el valor de la otra al reemplazarlo en la expresion donde ella se encuentra despejada.

Metodo de Igualacion El metodo de igualacion consiste en despejar la misma incognita en las dos ecuaciones e igualar sus expresiones, obteniendo asi una ecuacion con una incognita. Una vez resuelta se obtiene facilmente el valor de la otra incognita.

110



Metodo de Reduccion Consiste en lograr que una de las incognitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha incognita, dando lugar a una ecuacion con solo la otra incognita. Se resuelve dicha ecuacion y el valor de la incognita se sustituye en una de las ecuaciones primitivas, y con ello se puede obtener el valor de la otra incognita.

111



Metodo por Determinantes

Se trabaja solamente con los coeficientes de las incognitas y se forman los siguientes determinantes:

112



Calculo de las soluciones:

Analisis del determinante del sistema:

Valor de un determinante: El valor del determinante de segundo orden se encuentra por medio de la siguiente regla:

113



114



115



116



Raices o soluciones Toda ecuacion de 2° grado tiene exactamente dos raices complejas. Ecuaciones cuadraticas en una y dos variables

117



Caso 1: Ecuaciones incompletas Llamamos ecuacion incompleta de 2° grado a aquella donde b = 0 o c = 0 En los casos donde b = 0 se llega al valor de x con solo despejar

En los casos donde c = 0 se llega al valor de x factoreando

118



Caso 2: Ecuaciones completas

- metodo de completar cuadrados - por medio de la formula general - usando las propiedades de las raices METODO DE COMPLETAR CUADRADOS Este metodo consiste en convertir a una expresion que posee un termino cuadratico y uno lineal, como minimo, en una expresion que contenga un trinomio cuadrado perfecto y que posteriormente se podra factorear Ejemplo:

119



- Queda formado un trinomio cuadrado perfecto donde x puede despejarse de dos modos distintos

CALCULO DE LAS RAICES POR LA FORMULA de BHASKARA

que se emplea para determinar las raices de la ecuacion. En esta formula se observa que las soluciones dependen del signo del radicando presente en la misma.

120



NATURALEZA DE LAS RAICES

121



122



Usando las propiedades de las raices se puede factorear el polinomio cuadratico como asi tambien encontrar las raices en caso de ser desconocidas.

123



Esto nos permite factorear el trinomio presente en el primer miembro de la ecuacion, los que sean cuadrados perfectos y los que no

Esta propiedad se aplica para la resolucion de las ecuaciones de manera mental, buscando dos numeros que sumen –b y que multiplicados arrojen el resultado c

124



APLICACIONES

125



126



Se llaman asi a las ecuaciones polinomicas de 4°que presentan la siguiente forma:

Este tipo de ecuaciones, como cualquier ecuacion polinomicas de 4° grado, tiene exactamente cuatro raices, que pueden ser todas reales, dos reales y dos complejas, o todas complejas.

127



128



129



Son todas las ecuaciones donde las incognitas aparecen al menos una vez bajo el signo de radicacion. La resolucion se basa en la aplicacion de las propiedades de las operaciones de los numeros reales, especialmente las de la radicacion y/o potenciacion.

130



131



Las ecuaciones exponenciales más sencillas son de la forma

Para resolver ecuaciones exponenciales, en algunas oportunidades se puede aplicar propiedades de la potenciacion, pero en todos los casos se puede aplicar las propiedades de los logaritmos. Ambas se detallan a continuacion Propiedades: Igualdad entre potencias de la misma base: Si dos potencias con la misma base son iguales, entonces los exponentes tambien deben serlo:

Propiedad uniforme del logaritmo: si en una igualdad se aplica logaritmo de la misma base miembro a miembro, la igualdad se mantiene

132



133



Las ecuaciones logaritmicas mas sencillas presentan la forma:

134



135



Un sistema de ecuaciones exponenciales (o logaritmicas) es un conjunto de ecuaciones exponenciales (o logaritmicas) cuyas soluciones comunes se pretende hallar. Tambien pueden presentarse sistemas de ecuaciones mixtos, o sea sistemas integrados por ecuaciones exponenciales, logaritmicas y/o algebraicas.

136



137



Las identidades trigonometricas son igualdades que involucran relaciones trigonometricas, verificables para cualquier valor permitido de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los angulos sobre los que se aplican las relaciones). Estas identidades son utiles para: - simplificar expresiones que incluyen funciones trigonometricas - en el calculo de integrales de funciones no-trigonometricas Las identidades mas importantes son las siguientes:

138



Dichas identidades sirven para probar otras. El metodo de demostracion mas usual consiste en partir de un miembro de la igualdad y llegar al otro miembro.

Resolver una ecuacion trigonometrica en el intervalo [0 , 2 π ] es encontrar todos los Las ecuaciones trigonometricas son aquellas donde la/s incongita/s son angulos. Angulos menores o iguales a un giro que verifican la ecuacion. Las estrategias a emplear son diversas. La eleccion del metodo depende de la ecuacion en si. A continuacion damos ejemplos de algunos casos tipicos

139



a) Ecuaciones que se puede expresar usando una unica razon trigonometrica

b) Ecuaciones que se pueden resolver como una ecuacion cuadratica

140



c) Ecuaciones que se pueden resolver factoreando

141



FUNCIONES Introducción Uno de los conceptos matematicos mas utiles es el de funcion. A estas alturas el estudiante ya esta familiarizado con ellas. El proposito de este capitulo es repasar las definiciones y caracteristicas de las funciones matematicas mas elementales y resaltar su importancia debido a las aplicaciones en las ciencias. Ejemplos: 1) En la factura de energía eléctrica se prevé el pago de $26 por concepto de impuestos y $2,50 por cada KWh consumido. ¿Cuánto se debe pagar si se consumen 320KWh? Esta es una correspondencia entre el consumo de energia electrica (en KWh) y el costo (en $) 2) Ramiro conduce su automóvil a una velocidad constante de 1.000 m/min. ¿Cuál es el espacio recorrido por el móvil al cabo de 10 minutos? En este ejemplo se hace corresponder al espacio (en m) recorrido por el movil con el tiempo (en min) transcurrido. 3) Un compañía de teléfono posee el número gratuito 0800737842467 que corresponde a 0800SERVICIOS. Otro de sus teléfonos disponibles es 080025436837 que es fácil de recordar pues corresponde a 0800CLIENTES. ¿Qué número habrá que marcar para comunicarse con 0800VENTAS? ¿Qué palabra corresponderá a 08002667727? Esta es una correspondencia entre numeros y letras. Objetivos generales

Conceptos previos

142



Par ordenado Se llama par ordenado de numeros reales a dos numeros reales dados en un cierto orden. Notacion: Al par ordenado formado por los numeros x e y , en ese orden, se lo representa entre parentesis: ( x , y ) Se dice que x es la primera componente e y es la segunda componente Se representan en un sistema de ejes formado por dos rectas perpendiculares. Dichos ejes reciben el nombre de ejes coordenados Es usual disponer los valores de x en el eje horizontal y los valores de y en el eje vertical. Al punto de interseccion le llamamos origen de coordenadas. Cada par ordenado esta representado por un punto del plano y reciprocamente, cada punto del plano tiene coordenadas que se representan por un par ordenado. Notacion: Los puntos se suelen representar con letras mayusculas seguidos del par ordenado formado por sus coordenadas. Ejemplos: A(-1, 2) ; B(3,0) Para ubicar un punto en el plano conocidas sus coordenadas se deben seguir los siguientes pasos 1) A partir del origen de coordenadas desplazarse sobre el eje horizontal tantas unidades como indique la 1o componente (hacia la derecha si es positiva y hacia la izquierda si es negativa). Este dato es la abscisa del punto. Si su valor es cero significa que el punto pertenece al eje Y 2) A partir de alli, marcamos hacia arriba (si es positivo) o hacia abajo (si es negativo) el valor de la 2° componente del par. Este dato es la ordenada del punto. Si su valor es 0 (cero) no desplazarse. Si su valor es cero significa que el punto pertenece al eje X 3) Queda asi ubicado el punto A(x,y) en el plano.

143



Producto Cartesiano Sean dos conjuntos A y B. Se define Producto Cartesiano A x B como: A x B = {( x , y) / x A e y B } Esto es, el producto cartesiano AxB esta formado por todos los pares ordenados que se pueden formar de tal modo que la 1° componente pertenece a A y la 2° componente pertenece a B. Si los conjuntos son finitos, el resultado de A x B se podra enumerar, en caso contrario solo se podra representar de modo general

144



145



A las correspondencias entre los elementos de dos conjuntos las llamamos Relaciones Binarias

Dados dos conjuntos A y B se dice que R es una relacion entre A y B si es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B

En simbolos R⊆ AXB

Caso particular A = B = ℝ

146



En esta oportunidad vamos a recordar el tema de funciones definidas en R.

En los dos primeros ejemplos se vinculan cantidades fijas y cantedidades a determinar. Axlas primeras llamaremos constantes y alas segundas variables. A su vez en cada uno de los problemas consideramos dos variables, consumo de energia y monto a pagar; espacio recorrido y tiempo trascurrido. En el primer caso observe que el monto a pagar depende de la energia consumida. Diremos que el monto a pagar es la variable dependiente y el consumo de energia es la variable independiente. Del mismo modo es claro que, en el caso del vehiculo que se desplaza a una velocidad constante, el espacio recorrido dependera del tiempo transcurrido. La variable dependiente sera el espacio recorrido y la variable independiente sera el tiempo transcurrido. Vemos que en estos problemas podemos responder a las preguntas porque cada valor de la variable independiente le corresponde un unico valor de la variable independiente. Sin embargo, en el último ejemplo esto no sucede. Si las variables son numeros y letras del teclado del telefono se ve claramente que a cada número le corresponde mas de una letra, por lo que no podemos responder a la segunda de las preguntas. Analizaremos solo aquellas relaciones que hacen corresponder a cada valor de la variable independiente con un unico valor de la variable dependiente. Conceptos generales Definicion: Dados dos conjuntos no vacios A y B, se llama FUNCIÓN de A en B a una correspondencia tal que a cada elemento del conjunto A le asigna un unico elemento del conjunto B.

147



Notacion: Es usual designar con “x” a cualquier elemento del conjunto de partida y con “y” a cualquier elemento del conjunto de llegada. Se dice que “x” es la variable independiente y que “y” es la variable dependiente A las funciones se les llama f, g, h, etc y se indica f : A → B o f : y = f(x) Esta ultima notacion se lee “y es funcion de x” o “y es imagen de x por medio de f” Si A y B son subconjuntos de numeros reales se dice que las funciones son FUNCIONES ESCALARES o NUMERICAS

En diagramas de Venn, la identificacion de las funciones es sencilla

El caso a) no es funcion pues se observa que hay un elemento de A a quien le corresponde dos elementos de B. Pero los casos b) y c) si lo son pues cumplen la definicion Dominio y Rango de una función: Sea y = f(x) una funcion Llamamos Dominio de f (Dom f) al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente Llamamos Rango de f (Rgo f) al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente

148



149



En cuanto a las funciones expresadas por fórmulas se distinguen dos formas: Forma explicita Se dice que una funcion esta en su forma explícita cuando las variables x e y, estan relacionadas por una ecuacion de la forma: y = f(x). Ejemplo: y = 2x Forma implícita Se dice que una funcion esta en su forma implícita cuando las variables x e y, estan relacionadas por una ecuacion de la forma F(x, y) = 0 Ejemplo: 3x +y- 5 = 0 En cuantos a las funciones expresadas en notación de conjuntos se distinguen dos formas: Por enumeración o extensión: Cuando se enumeran todos los pares de valores relacionados por medio de la funcion Ejemplo: f { (1,2) , ( 2,4) ,( 3,6) ,( 4,8)} Por propiedad o comprensión: Cuando se indica mediante una formula la propiedad que cumplen los pares (x,y) Ejemplo: f {(x, y) / y = 2x} En cuantos a las funciones dadas por tablas Estas son practicas si son pocos los datos; de lo contrario serian tablas muy grandes y dificiles de manejar a menos que se disponga de un programa informatico para graficar.

150



Respecto de las formas gráficas Se pueden representar por medio de Diagramas de Venn y Graficos cartesianos La grafica en diagramas de Venn seria posible pues son pocos los valores, de lo contrario no es una representacion práctica

151



Si toda recta vertical corta a la grafica de una relacion en uno y solo un punto, entonces la relacion es función.

152



En distintas circunstancias se hace necesario conocer la interseccion de la grafica de f con los ejes coordenados.

153



Intersección con el eje de las abscisas: Ceros de la función Son los puntos de la forma P(x; 0) de la grafica. Pueden o no existir. A los valores de x que satisfacen esta condicion se les llama ceros de la funcion Entonces surge la siguiente definicion: x = a es un cero de f si y solo si f(a) = 0 Intersección con el eje de las ordenadas: f(0) Es el punto Q(0 ; y) de la grafica. Puede o no existir. Al valor de y que satisface esta condicion se le llama f(0) (se lee f de cero.

Se dice que la funcion y=f(x) es creciente en el intervalo (a, b) si se cumple que:

154



Se dice que una funcion y= f(x) es decreciente en el intervalo (a, b) si se cumple que:

155



Se dice que la funcion f alcanza un máximo absoluto en el punto a del dominio si para todo x perteneciente al mismo, x ≠ a, la imagen de x es menor que la de a. Simbolicamente escribimos:

156



157



En el curso de nivelacion para ingresar a la Universidad Tecnologica Nacional, Facultad Regional Tucuman, consideramos pertinente repasar en particular a las siguientes:

Funciones Algebraicas Racionales Enteras (o polinomiales)

Funcion constante

Funcion lineal

Funcion cuadratica

Funciones definidas por tramos

158



- Se observa que si x = 0, entonces y = b. Por lo tanto la grafica pasa por el punto (0,b) . Se deduce que b es la ordenada del punto donde la recta corta el eje Y, por ello el nombre de ordenada al origen

159



- Observando la siguiente tabla de valores se deduce que cada vez que a “x” se le aumenta una unidad, “y” varia m unidades. Esto es, m representa la variacion (aumento o disminucion) de la variable dependiente por cada unidad que aumenta la variable independiente. A m se le llama pendiente, dado que esta relacionada con la inclinacion de la recta.

Al unico cero de la funcion lineal, se le llama abscisa al origen y se le representa con la letra a .Se deduce que a es la abscisa del punto a,0 .

La recta, representacion grafica de la funcion lineal, se puede obtener mediante dos procedimientos: i) Conociendo P1 y P2, puntos de paso: Dado que por dos puntos pasa una unica recta, se puede obtener las coordenadas de dos puntos de paso y con ellos trazar la recta ii) Conociendo b y m: Dado que la ordenada al origen informa sobre un punto de paso y la pendiente informa sobre la variacion de y, se puede trazar la recta Conociendo dos puntos de paso Ejemplo:

160



Conociendo la ordenada al origen y la pendiente Ejemplos:

161



162



163



Importancia de la pendiente Las siguientes rectas tienen la misma ordenada al origen pero distintas pendientes.

Sus graficas se presentan en el mismo sistema de ejes coordenados

Se observa que:

Todas pasan por el punto (3 , 0 ) pues poseen la misma ordenada al origen Las rectas de pendientes positivas representan a funciones crecientes. Las rectas de pendientes negativas representan a funciones decrecientes. Cuanto mayor es el valor absoluto de la pendiente mayor es la velocidad con la que

la funcion crece o decrece, segun corresponda.

164



La representacion grafica de este cálculo es

165



166



Ejemplo:

Ejemplo Decir si los siguientes ecuaciones corresponden a rectas paralelas, coincidentes operpendiculares. Justifique.

167



Respuesta: Para ello expresamos las ecuaciones en forma explicitas para determinar la pendiente y la ordenada al origen

Cuando se estudio el tema Sistema de Ecuaciones se realizo la resolucion analitica del mismo. En esa oportunidad se aplicaron distintos metodos para determinar la solucion, pero se dijo que habia tambien una forma de resolucion llamada “metodo grafico”. Todo sistema de ecuaciones lineales esta formado por las ecuaciones de dos funciones lineales, que expresados en forma implicita seria:

Cada una de las funciones lineales tiene por representacion grafica una recta. Entonces de acuerdo al valor de los parametros m y b, puede analizarse si las rectas se interceptan o no, esto es, si el sistema es compatible o incompatible y, en el caso de compatibilidad, si es determinado o indeterminado Los casos que pueden presentarse son:

168



Para resolver graficamente un sistema se debe analizar los valores de m y b y graficar. A veces se encuentra la solucion en forma grafica facilmente pero otras veces solo se puede llegar a valores aproximados.

169



170



APLICACIONES 1) Una empresa dedicada al alquiler de automoviles quiere encontrar una funcion que les permita saber el precio del alquiler de los vehiculos de acuerdo a los km recorridos. Cobra $50 por el contrato del servicio y $2,50 por cada km recorrido. a) .Cuales son las variables intervinientes? .Que tipo de funcion es? Que formula deberan programar? b) .Cuanto debera pagar un cliente que hace un viaje desde San Miguel de Tucuman a San Pedro de Colalao? ( distante aproximadamente 100km) c) .Cuantos km puede recorrer un cliente que dispone de $275? d) Realice la representacion grafica

2) Un auto parte de San Miguel de Tucuman hacia Tartagal por la ruta 9 a una velocidad constante de 95 km/h. En ese mismo instante, otro auto que se encuentra en El Cadillal, a 20 km de San Miguel de Tucuman, parte tambien por ruta 9 hacia Tartagal de modo tal que a 1 h se encuentra a 110km de San Miguel de Tucuman.

171



a) Determinar graficamente si se encuentran los autos en algun momento. b) .Cuando se encuentran? c) .A que distancia de San Miguel de Tucuman es el encuentro?

172



Las pendientes de las rectas son distintas por lo tanto se trata de un sistema compatible determinado, hay solucion unica. Esto nos indica que los vehiculos se encuentran. El punto de encuentro se puede observar en la siguiente grafica

Los moviles se encuentran a 380 km de S.M.T y a las 4 hs de haber partido

Las caracteristicas de dichas funciones son las siguientes:

Dominio:R En situaciones problematicas a veces el dominio se acota para que tenga sentido la funcion (por ejemplo si la variable es tiempo o espacio, no deben considerarse valores negativos de la misma)

Representación gráfica: la grafica de la funcion cuadratica es una curva llamada parábola de eje vertical. Las particularidades de dicha grafica se muestran en el siguiente figura

173



174



Se observa que: - Las tres graficas son simetricas respecto del eje Y, pues a pares de valores opuestos de x le corresponde el mismo valor de y. - Ademas el minimo valor que toma la funcion es y = 0, por lo que el Rango es 0, . - Ademas el origen de coordenadas ( 0 , 0 ) es el punto por donde pasa el eje de simetria y es el punto mas bajo de la curva, por ello es el vertice de la parabola.

175



Se observa que: - Las curvas siguen siendo simetricas respecto del eje Y, pero ahora se abren hacia abajo. Esto tiene que ver con el signo de a, dado que independientemente del valor que tome x, siempre ax2 sera negativo cuando a < 0. - El rango es (∞, o] - La funcion toma su mayor valor en el origen de coordenadas, por ello el vertice de la parabola es (0, 0 )

176



Se observa que las presencia de los parametros b y c no nulos provoco - Desplazamiento del eje de simetria quien es ahora una recta paralela al eje Y - El vertice no esta sobre el eje Y - De nuevo se observa la influencia del parametro a : Si a >0, la parabola es concava hacia arriba Si a < 0, la parabola es concava hacia abajo - Las parabolas interceptan al eje Y en el punto 0,c , por ello se dice que c es la ordenada al origen - La determinacion del vertice no es evidente y el rango no se puede deducir si antes no encontramos las coordenadas del vertice A continuacion explicaremos un metodo para encontrar el vertice de la parabola

177



Se puede pasar de una forma a la otra por manipulaciones algebraicas El mecanismo que nos permite pasar de la forma explicita a la forma canonica se llama procedimiento de completar cuadrados. Se deben realizar los siguientes pasos 1°) Se asocian los coeficientes cuadraticos y lineal en x

2°) El coeficiente del termino cuadratico debe ser 1, entonces se debe extraer factor comun si es necesario

3°) Dentro del parentesis sumamos y restamos un termino convenientemente para que se forme un trinomio cuadrado perfecto. Dicho termino se calcula como la mitad del coeficiente lineal elevado al cuadrado

Entonces queda:

4°) Los tres primeros terminos del parentesis forman un trinomio cuadrado perfecto 5°) Entonces se puede expresar como

6°) Una vez conseguida la forma canonica se lee de la expresion cuales son las coordenadas del vertice, se puede graficar la parabola y escribir el rango de la funcion cuadratica.

178



179



180



181



182



Son funciones definidas por dos o más ecuaciones, una para cada tramo del dominio. A pesar que no se puede generalizar sobre ellas, son de mucha aplicacion en situaciones reales Ejemplos: Dadas las siguientes funciones, se pide: dominio, interseccion con los ejes coordenados, grafica y rango.

183



184



El rango es R

a) .que variables se relacionan? .que tipo de funcion determinan? b) .cual es la variable independiente?, .cual es la variable dependiente? c) Dar dominio y graficar. d) Dar rango e) Cual es al altura maxima que alcanza? En que momento?

185



Respuestas: a) Las variables son: distancia y tiempo b) La variable independiente es el tiempo y la variable dependiente es la distancia c) El dominio estara dados por los valores de t en el que el objeto estuvo en el aire; es decir desde que el objeto es arrojado (e=0) hasta que cae nuevamente al suelo (e=0). Por lo tanto debemos calcular los ceros de la funcion dada.

186



187



3) La Direccion General Impositiva (DGI) decide implementar la siguiente reglamentacion. “Todas las personas que ganen menos de $5000 mensuales deben pagar, en conceptos de impuestos, un 18% de lo que ganan por encima de los $2000” a) .Cual es la funcion que caracteriza los impuestos que hay que pagar en funcion del salario percibido? Representacion grafica b) .cuanto debe pagar una persona que gana $3000? c) .Cuanto gana una persona que paga de impuesto un valor de $504? Respuestas: a) Sea x: salario de la persona e y: impuestos a pagar. Es claro que y es funcion de x y que el impuesto es un porcentaje sobre la parte del salario que supera los $2000. Entonces la expresion que representa a y en funcion de x es:

188



BIBLIOGRAFIA SISTEMA DE INGRESO A LA UNIVERSIDAD – UTN – TUCUMAN - 2007 MATEMATICA PARA INGRESANTES – UTN – TUCUMAN - 2009 DIRECCION DE ACCESO A LA UNVIERSIDAD – UTN – SANTA FÉ - 1998 MATEMATICA ELEMENTAL DESDE LA UNVIERSIDAD –UNT–FACET 2009 MATEMATICA 1 – 2 – 3 – Editorial Santillana Secundaria MATEMATICA 7 – 8 – 9 – Editorial Santillana MATEMÁTICAS EN CONTEXTO - Grupo Editorial Iberoamerica MATEMÁTICA – BACHILLERATO 2 – Miguel de Guzman MATEMÁTICA 7 – 8 – 9 EGB (3º ciclo) Editorial A – Z EL LIBRO DE LA MATEMÁTICA 7 – EGB – Editorial Estrada CARPETA DE MATEMATICA – Ed. Aique – Garaventa – Legorburu – Rodas - Turano TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA CON APLICACIONES- Barnett- Raymond GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – Baldor MATEMÁTICA APLICADA PARA ESTUDIANTES DE ARQUITECTURA E INGENIERÍAGonzalez-Juarez. MATEMATICA – POLIMODAL – Edit Longseller – Altman – Comparatore - Kurzrok www.virtual.unal.edu.com

http://www.virtual.unal.edu.co/

Documents

P ARA INGRESANTESfrt.utn.edu.ar/tecnoweb/imagenes/file/Ingreso 2014... · 2013. 10. 28. · 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la planta baja, etc…)