1

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA

Slično kao i kod prizme i ovde ćemo najpre objasniti oznake ...

- sa a obeležavamo dužinu osnovne ivice

- sa H obeležavamo dužinu visine piramide

- sa h obeležavamo dužinu visine bočne strane ( apotema)

- sa s obeležavamo dužinu bočne ivice

- sa B obeležavamo površinu osnove (baze)

- sa M obeležavamo površinu omotača

- omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi) , naravno trostrana piramida u omotaču

ima 3 takve strane, četvorostrana - 4 itd.

- ako u tekstu zadatka kaže jednakoivična piramida, to nam govori da su osnovna ivica i bočna ivica jednake , to

jest : a = s

- ako u tekstu zadatka ima reč prava – to znači da je visina piramide normalna na ravan osnove ili ti ,

jednostavnije rečeno , piramida nije kriva

- ako u tekstu zadatka ima reč pravilna , to nam govori da je u osnovi ( bazi ) pravilan mnogougao:

jednakostraničan trougao, kvadrat, itd.

Dve najvažnije formule za izračunavanje površine i zapremine su:

P B M za površinu i

V 1

BH za zapreminu 3

2

BB1

B1 H

B B1

a s

PRAVA PRAVILNA TROSTRANA ZARUBLJENA PIRAMIDA

P = B+B1+ M B=

4

a

a 2

B1= 1

4 M = 3 a a1 h

2

V= H

(B+B1+ ) ili V = 3H

( a2+a 2+ aa )

3 12 1 1

a 2

a a 2

a

((a a1

) 3 )2 H

2 s2

a

((a a1) 3

)2 H

2 h

2

1 + h2= s2 3 6 2

Visina dopunske piramide je: x= a

a1

a1

a1

1

a 2

a1 1

-a

a s

1

r a o 1 1

H H

3

PRAVA PRAVILNA ČETVOROSTRANA ZARUBLJENA PIRAMIDA

a

P = B+B1+ M B=a2 B1= a12 M = 4

a a1 h 2

= 2(a+a1)h

V= H

(B+B1+ 3

) V= H

(a2+a12+ aa1)

3

a1

a

( a a

1 )2 h2 s2 2

osni presek: a1

a

(a a1 )2 H 2 h2

2

a

( d d1 )2 H 2 s2

2

a

dijagonalni presek: d1

d d1

2

Ako sa x obeležimo visinu dopunske piramide , onda je x=

= a1 H

a a1

-a

a1

-a

-2

H

BB1

-a

a1

-a

B1 H

B B1

4

PRAVA PRAVILNA ŠESTOSTRANA ZARUBLJENA PIRAMIDA

a

6a 2

a a P = B+B1+ M B=

4 B1= 1

4 M = 6 1 h =3(a+a1)h

2

V= H

(B+B1+ 3

) ili V= H 3

( a2+a12+ aa1)

2

a

( a a

1 )2 h2 s2 2

a

(a a )2 H 2 s2

a

( (a a

1 ) 3

)2 H 2 h2 2

Visina dopunske piramide je i ovde: x=

a 3

a 3

6a 2 3

BB1

B1 H

B B1

5

a/2

Zadaci

1) Date su osnovna ivica a 10cm i visina H 12cm pravilne četvorostrane

piramide. Odrediti njenu površinu i zapreminu.

Rešenje:

a 10cm

H 12cm

P ?

V ?

a

Prvo ćemo naći visinu h :

a

2

h2 H 2 2

h2 122 52

h2 169

P B M

P a2 2ah

P 102 2 10 13

P 100 260

V

BH

3 a2H

V 3

102 12 V

3 V 100 4

h 13cm

P 360cm2 V 400cm3

6

2) Osnova prave piramide je pravougaonik, sa stranicama 12cm i 9cm. Odrediti zapreminu piramide, ako je njena bočna ivica 12,5cm.

Rešenje:

a 12cm

b 9cm

s 12,5cm

V ?

Najpre nadjemo dijagonalu osnove (baze)

d 2 a2 b2

d 2 122 92

d 2 144 81

d 2 225

d 15cm

Sada ćemo naći visinu H iz trougla.

d

2

H 2 s2 2

H 2 12, 52 7, 52

H 2 100

H 10cm

V

1 BH

3

V 1

abH 3

V 1

12 9 10 3

V 360cm2

7

21 7 8 6

hb

b

3) Osnova prizme je trougao čije su stranice 13cm, 14cm i 15cm. Bočna ivica naspram srednje po veličini osnovne ivice normalna je na ravan osnove i jednaka je 16cm. Izračunati površinu i zapreminu piramide.

Rešenje:

Nadjimo najpre površinu baze preko Heronovog obrasca.

a 13cm

b 14cm s a b c

13 14 15

21

c 15cm

B

2 2

84cm2

Nama treba dužina srednje po veličini visine ( hb ) osnove.

C

P b hb

2

A B

84 14 hb

2 84 7hb

hb 12cm

Naći ćemo dalje visinu bočne strane h .

H=16cm h

c

hb b a

h2 H 2 h

h2 162 122

h2 256 144

h2 400

h 20cm

Površina piramide je jednaka zbiru površina ova četiri trougla!

P B a H

c H

bh V

1 BH

2 2 2 3

P 84 1316

15 16

14 20 V

1 84 16

2 2 2 3 P 84 104 120 140

P 448cm2

V 448cm3

s(s a)(s b)(s c)

8

1 a2 3

18 9 2

4) Izračunati zapreminu pravilnog tetraedra u funkciji ivice a

Rešenje:

Tetraedar je pravilna jednakoivična trostrana piramida.

V 1

BH 3

H Izvucimo trougao:

r a 3

3 a 3

2 a 2 3 9a 2 3a 2 6a 2

H 2 a 2 a 2

3 9 9 9

Dakle:

H

V

3

V

V

36

V 12

PAZI: 3

r0

a 6

a 6

3 4

a3 18

36

a3 3 2

a3 2

9

a3

12V

3 6 2V

a 6

5) Izraziti visinu pravilnog tetraedra u funkciji zapremine V.

Rešenje:

Iskoristićemo rezultat prethodnog zadatka

V i izraziti a 12

a3 12V

2

a3

a3 6 2V

a

a

Kako je

H to je

H 3

H

3

H 3 3

H 26 35 3

V 3

3 6 6 2 3 V 6

a

a H

a

a

10

6) Izračunati zapreminu pravilne četvorostrane zarubljene piramide ako su osnovne ivice 7m i 5m i dijagonala 9m.

Rešenje:

a 7m

a1 5m

D 9m

V ?

a

Da bi našli visinu H moramo uočiti dijagonalni presek.

a 1 2

x a

x 7

x 6

2 a1 2

2

2 5 2

2

2m

D2 H 2 x2

H 2 D2 x2 H 2 92 6 2

2

H

H 2 81 72 2

V 3

V H

B B1

a2 a2 aa H 9 3

1 1

H 3m V

3 72 52 7 5 3

V 109m3

BB1

a1 1

11

BB1

7) Izračunati zapreminu pravilne šestostrane zarubljene piramide ako su osnovne ivice 2m i 1m i bočna ivica 2m

Rešenje:

a 2m a1

a1 1m

H 2 s2 (a a )2 s 2m

H

a

V H B B

a a1

H 2 22 12

H 2 3

H

3 1

H 6a2 3 6a2 6aa V 1 1

3 4 4 4

V 3

6 3

22 12 2 1 3 4

V 3

7 2

V 21

2

V 10, 5m3

12

a 3

6 3

a1 3

8) Osnovne ivice pravilne trostrane zarubljene piramide su 2cm i 6cm. Bočna strana nagnuta je prema većoj osnovi pod uglom od 60o . Izračunati zapreminu te

piramide.

Rešenje:

a 6cm

a1 2cm

PAZI: Kad se u zadatku kaže bočna strana pod nekim uglom, to je ugao izmedju visina bočne strane i visine osnove!

Izvucimo ''na stranu'' trapez (pravougli)

6

H H

a 3 x 6

60o

x 2 3

4 3

6 6

tg60o H

H x tg60o 2 3

x 3

V 2 3 62 22 6 2

2cm

3 4

V 3 36 4 12

6

V 3

52 6

V 26

3

3 m3

a1 3

2 3

1

ru

13

H a 2 3 b2 ab 3

9) Bočne ivice pravilne trostrane zarubljene piramide nagnute su prema ravni osnove pod uglom α. Osnovne ivice piramide su a i b

piramide.

Rešenje:

(a b) . Odrediti zapreminu

Izvucimo obeleženi trapez, iz njega ćemo naći visinu!

s

H

a b 3

a 3

H H

x

a 3

3

x a

3

b

3

3

(a b) 3

3 3

tg H

x

H xtg (a b)

3

3

tg

V 3 4 4 4

V 1 (a b) 3

tg 3

(a 2 b2 ab) 3 3 4

V (a b)tg

(a 2 b2 ab) 12

Kako je (a b)(a2 b2 ab) a3 b3

V (a3 b3)tg

12

14