P R I R U C N I Kµ - ef.untz.baef.untz.ba/wp-content/uploads/2016/11/PrirucnikSWP.pdf · Zbog toga ·ce i zadaci koji se pojave na prijemnom ispitu na Ekonomskom fakultetu biti upravo

Dr. MEHMED NURKANOVIC

Dr. ZEHRA NURKANOVIC

P R I R U µC N I Kza polaganje prijemnog ispita iz matematike na Ekonomskom

fakultetu Univerziteta u Tuzli

EKONOMSKI FAKULTET UNIVERZITETA U TUZLI (2016.)

i

Autori:

Dr. sc. MEHMED NURKANOVIC, redovni profesorPrirodno-matematiµcki fakultet Univerziteta u Tuzli, Odsjek matematika

Dr. sc. ZEHRA NURKANOVIC, vanredni profesorPrirodno-matematiµcki fakultet Univerziteta u Tuzli, Odsjek matematika

ii

PRIRUµCNIK iz matematike

PREDGOVOR

Ovaj Priruµcnik je prvenstveno namijenjen kandidatima koji planirajukonkurirati za upis na Ekonomski fakultet Univerziteta u Tuzli, mada gamogu koristiti i kandidati za druge fakultete. Priruµcnik je koncipiran takoda ima dva dijela. U prvom su navedeni osnovni teorijski pojmovi, a za-tim zadaci za samostalan rad, rasporedeni po pojedinim oblastima, dokse u drugom dijelu nalaze rje�enja, upute i rezultati zadataka iz prvogdijela. Veliki broj zadataka je detaljno uraden, a za neke su date samoupute ili rje�enja, kako bi µcitaoci mogli da samostalno rje�avaju odredenibroj zadataka i tako �to bolje �uµcvrste�svoje znanje. Odabrana poglavljase odnose na dijelove elementarne matematike koji se izuµcavaju u prvom idrugom razredu srednje �kole (dovodeci na taj naµcin sve kandidate u ravno-pravan poloµzaj), a koja su od izuzetne vaµznosti za predznanje iz matema-tike kandidata - buducih studenata. Zbog toga ce i zadaci koji se pojavena prijemnom ispitu na Ekonomskom fakultetu biti upravo birani iz oblastimatematike koje obuhvata samo ovaj Priruµcnik.

Nadamo se da ce upotreba ovog Priruµcnika dati dobre rezultate i dace kandidati dobrim dijelom obnoviti znanje srednje�kolske matematike,odnosno �popuniti odredene �upljine�u svom znanju.

µZelimo Vam mnogo srece na ispitu!

Tuzla, mart 2016. godine Autori

iii

M. Nurkanovic, Z. Nurkanovic

iv


Sadrµzaj

1 Procentni raµcun 1

2 Polinomi 3

3 Racionalne funkcije 6

4 Linearne jednadµzbe 10

5 Sistemi linearnih jednadµzbi 15

6 Linearne nejednadµzbeSistemi linearnih nejednadµzbi 22

7 Kvadratna funkcija 257.1 Nule i znak kvadratne funkcije.

Kvadratne jednadµzbe i nejednadµzbe . . . . . . . . . . . . . . 257.2 Ekstrem i tok kvadratne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . 297.3 Vietove formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8 Eksponencijalna funkcijaEksponencijalne jednadµzbe i nejednadµzbe 34

9 Logaritamska funkcijaLogaritamske jednadµzbe i nejednadµzbe 389.1 Logaritamska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.2 Logaritamske jednadµzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429.3 Logaritamske nejednadµzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

10 Rje�enja, upute, rezultati 4610.1 Procentni raµcun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.2 Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4910.3 Racionalne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.4 Linearne jednadµzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

v


10.5 Sistemi linearnih jednadµzbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6910.6 Linearne nejednadµzbe

Sistemi linearnih nejednadµzbi . . . . . . . . . . . . . . . . . 7810.7 Kvadratna funkcija

Kvadratne jednadµzbe i nejednadµzbe . . . . . . . . . . . . . . 8810.7.1 Nule i znak kvadratne funkcije

Kvadratne jednadµzbe i nejednadµzbe . . . . . . . . . 8810.7.2 Ekstrem i tok kvadratne funkcije . . . . . . . . . . . 9410.7.3 Vietove formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

10.8 Eksponencijalna funkcijaEksponencijalne jednadµzbe i nejednadµzbe . . . . . . . . . . 100

10.9 Logaritamska funkcijaLogaritamske jednadµzbe i nejednadµzbe . . . . . . . . . . . . 10610.9.1 Logaritamska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 10610.9.2 Logaritamske jednadµzbe . . . . . . . . . . . . . . . . 11110.9.3 Logaritamske nejednadµzbe . . . . . . . . . . . . . . . 115

vi

1 Procentni raµcun

De�nicija. 1%, tj. 1 procenat je ustvari1

100ili 0; 01:

Iz ove de�nicije se vidi da se svaki procenat moµze pretvoriti u razlomak,

odnosno decimalni broj i obrnuto. Tako je 17% isto �to i17

100ili 0; 17; a

25% isto �to i25

100=1

4ili 0; 25. Isto tako je 1; 17 =

117

100ili 117%; dok je

3

4=75

100ili 75%.

1. Izraµcunati :

a) 25%, b) 17%, c) 110%, d) 250%, e) 0,5% f) 0,10%

od:

1) 75 2) 115 c) 41.

2. Cijena jedne knjige je 45 KM. Kolika ce biti cijena te knjige:

a) ako se ona poveca za 15% (150%),

b) ako se ona smanji za 15% (150%)?

3. Cijena jedne ko�ulje je 68 KM. Trgovci su prvo povecali tu cijenu za20%, a onda su napravili sniµzenje za 20%. Kolika je najnovija cijenako�ulje?

4. Tvornica je cijenu automobila od 20 500 KM povecala na 22 500 KM.Koliki je procenat povecanja cijene automobila?


5. Cijena hljeba od 1,10 KM smanjena je na 0,85 KM. Koliki je procenatsniµzenja cijene hljeba?

6. Radnici su povacali dnevnu proizvodnju obuce za 20% i ona sadaiznosi 1 452 para obuce dnevno. Koliko su radnici obuce dnevnoproizvodili rije ovog povecanja proizvodnje?

7. Maloprodajna cijena televizora s PDV-om je 1200 KM. Ako se znada je procenat PDV-a 17%, kolika je cijena televizora bez PDV-a?

8. Nakon sniµzenja od 20% cijena automobila je 32 000 KM. Kolika jepolazna cijena automobila?

9. Poznato je da svjeµze groµzde sadrµzi 82 % vlage, a suho 19 %. Jednakompanija je u proces su�enja groµzda ukljuµcila 180 tona svjeµzeg groµzdakoje je placala kooperantima po cijeni 1; 2KM po kilogramu. Ukupnitro�kovi su�enja te koliµcine groµzda iznosili su 210 000 KM.

a) Koliko je tona suhog groµzda dobijeno u tom procesu su�enja?

b) Ne raµcunajuci nikakvu posebnu zaradu, po kojoj minimalnoj cijenibi trebalo prodavati suho groµzde, a da se pri tome ne ode u gubitak?

10. Cijena neke robe je prvo povecana za µcetvrtinu, a zatim je smanjenaza 24%. Da li je do�lo do povecanja ili smanjenja prvobitne cijene iza koliko procenata?

2


2 Polinomi

De�nicija 2.1 Funkcija oblika

P (x) = anxn + an�1x

n�1 + :::+ a2x2 + a1x+ a0;

(ai 2 R; i = 0; 1; 2; :::; n; an 6= 0; n 2 N; x 2 C)

naziva se polinom n-tog stepena s jednom promjenljivom. Brojevi

ai; i = 0; 1; : : : ; n

nazivaju se koe�cijenti polinoma, a izrazi aixi µclanovi polinoma.

Tvrdnja 2.1 Da bi dva polinoma bila identiµcki jednaka, potrebno je i do-voljno da su im koe�cijenti µclanova istog stepena jednaki.

Rastavljanje polinoma na proste faktore (µcinioce):

a) Razlika kvadrata

x2 � y2 = (x� y) (x+ y)

b) Razlika kubova

x3 � y3 = (x� y)�x2 + xy + y2

�:

c) Zbir kubova

x3 + y3 = (x+ y)�x2 � xy + y2

�:

d) Kvadrat zbira i razlike

(x� y)2 = x2 � 2xy + y2:

e) Kub zbira i razlike

(x� y)3 = x3 � 3x2y + 3xy2 � y3:

3


Z a d a c i :

Rastaviti na faktore (1-9):

1. a) x2 + 3x+ 2; b) x2 + 6x+ 8; c) x2 + 12x+ 35

2. a) x2 � 3x� 4; b) x2 � 7x� 30; c) 2a2 � 6a� 20

3. a) 3x2 � 27; b) 5x3y4 � 45xy2; c) 36(a+ 1)2 � 49a2

4. a) (x� y � z)2 � (x+ y)2; b) (a2 � 2a+ 1)2 � (a2 + 3a� 4)2

5. a) 25a2 � 20a+ 4; b) 12x2 � 36x+ 27; c) a4b� 4a3b2 + 4a2b3

6. a) 1� 8a3; b) x3y3 + 27z3; c) 8(a+ 1)3 + 27(a� 3)3

7. a) a2 � b2 � c2 + 2bc; b) �3x2 + 6x+ 9;

c) (a2 + a+ 4)2 + 8a(a2 + a+ 4) + 15a2

8. x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1

9. a) (x+ 1)(x+ 3)(x+ 5)(x+ 7) + 15; b) (a+ b+ c)3 � (a3 + b3 + c3)

10. Naci najmanju vrijednost izraza :

(x� 1)(x� 2)(x� 3)(x� 4) + 10:

4


Rastaviti na proste faktore (11-20):

11. (x2 + y2)3 + (z2 � x2)3 � (y2 + z2)3

12. x3 + y3 + z3 � 3xyz

13. 2x4 + 7x3 � 2x2 � 13x+ 6

14. 4x2y2(2x+ y) + y2z2(z � y)� 4z2x2(2x+ z)

15. (ab+ ac+ bc)(a+ b+ c)� abc

16. a(b+ c)2 + b(c+ a)2 + c(a+ b)2 � 4abc

17. (a+ b+ c)3 � a3 � b3 � c3

18. x3 + 5x2 + 3x� 9

19. y3(a� x)� x3(a� y) + a3(x� y)

20. x(y2 � z2) + y(z2 � x2) + z(x2 � y2)

5


3 Racionalne funkcije

De�nicija 3.1 Funkcija f : R ! R oblika

f(x) =P (x)

Q(x); (Q(x) 6= 0);

pri µcemu su P (x) i Q(x) polinomi, zove se racionalna funkcija jedne prom-jenljive.

Operacije s racionalnim funkcijama

Sabiranje i oduzimanje:

P1(x)

Q1(x)� P2(x)

Q2(x)=P1(x)Q2(x)� P2(x)Q1(x)

Q1(x)Q2(x); Q1(x) 6= 0; Q2(x) 6= 0:

Mnoµzenje:

P1(x)

Q1(x)� P2(x)Q2(x)

=P1(x) � P2(x)Q1(x) �Q2(x)

; Q1(x) 6= 0; Q2(x) 6= 0:

Dijeljenje:

P1(x)

Q1(x):P2(x)

Q2(x)=P1(x) �Q2(x)Q1(x) � P2(x)

; Q1(x) 6= 0; Q2(x) 6= 0; P2(x) 6= 0:

Dvojni razlomak:

P1(x)

Q1(x)

P2(x)

Q2(x)

=P1(x) �Q2(x)Q1(x) � P2(x)

; Q1(x) 6= 0; Q2(x) 6= 0; P2(x) 6= 0:

6


Z a d a c i :

U zadacima 1-28 izvr�iti naznaµcene operacije:

1. a)2

x2 � 9 �4

(x+ 3)2� 1

(3� x)2;

b)4x2

6xy + 9y2� 9y2

4x2 + 6xy� 2x3y+3y

2x;

2. a)5

x� 3 �3x� 1x2 � 9 +

2x+ 6

9� 6x+ x2 ;

b)a2 � bx

a2 � ab+ bx� ax �3b� a2a� 2b +

a+ 2x

3a� 3x ;

3.x2 � (y � z)2

(x+ z)2 � y2+y2 � (x� z)2

(x+ y)2 � z2+z2 � (x� y)2

(y + z)2 � x2;

4.1

a2 � 3a+ 2 +1

a2 � 4 �2

a2 � a� 2 �1

a3 � 2a2 � a+ 2;

5.x+ y

x2 + xy + y2+

x� yx2 � xy + y2 +

2

x4 + x2y2 + y 4;

6. a)a

a� 1 +4a2 � a1� a3 +

1

a2 + a+ 1;

b)x� 3

x2 + 3x+ 9+

1

x� 3 �3x+ 2x2

x3 � 27 ;

7


7.1

a� b +1

a+ b+

2a

a2 + b2+

4a3

a4 + b4+

8a7

a8 + b8+

16a15

a16 + b16;

8.1

a(a+ 1)+

1

(a+ 1)(a+ 2)+

1

(a+ 2)(a+ 3)

+1

(a+ 3)(a+ 4)+

1

(a+ 4)(a+ 5)

9. a)�a+ b+

1

a+ b� 1

a� b

�:a2 + 2ab+ b2

a2 � b2 ;

b)�x+ 1

x� 1 +x� 1x+ 1

� x2 + 1

x2 � 1

�:x2 + 1

x2 � 1

10.�

x

x+ y� y

y � x �2xy

x2 � y2

�:

�x+ y � 4xy

x+ y

�

11.�

3a

9� 3x� 3a+ ax �1

a2 � 9 :x� a3a2 + 9a

�� x

3 � 273a

12.

2a

a2 + 2ab+

4b

a2 � 4b2 �b

ab� 2b2

1� a2 � 4b2 � 2a2 � 4b2

13.1� x� 3y

x+ y3x+ y

x� y � 3:

0B@ 1

1 +y

x

� 1

1� y

x

+

x

y+y

xx

y� y

x

1CA8


14.�

1

t2 + 3t+ 2+

2t

t2 + 4t+ 3+

1

t2 + 5t+ 6

�2� (t� 3)

2 + 12t

2

15.�2� x+ 4x2 + 5x

2 � 6x+ 3x� 1

�:

�2x+ 1 +

2x

x� 1

�

16.2b+ a� 4a

2 � b2a

b3 + 2ab2 � 3a2b �a3b� 2a2b2 + ab3

a2 � b2

17.��x2

y3+1

x

�:

�x

y2� 1y+1

x

��:(x� y)2 + 4xy

1 +y

x

18.a� c

a2 + ac+ c2� a

3 � c3a2b� bc2 �

�1 +

c

a� c �1 + c

c

�:c (1 + c)� a

bc

19.

"(a+ x)2

ax� 4#�"(a� x)2

ax+ 4

#:�a6 � x6

�(a2x� ax2) :

h(a+ x)2 � ax

i�h(a� x)2 + ax

i � a� ax

a+ x

a+ax

a� x

20.

x

8y3+

1

4y2

x2 + 2xy + 2y2�

x

8y3� 1

4y2

x2 � 2xy + 2y2 �1

4y2 (x2 + 2y2)+

1

4y2 (x2 � 2y2)

9


4 Linearne jednadµzbe

De�nicija 4.1 Neka su f(x) i g(x) funkcije na skupu R. Jednakost

f(x) = g(x)

se naziva jednadµzba s jednom nepoznanicom.Svaka vrijednost varijable x = a za koju vrijedi f(a) = g(a) zove se

rje�enje ili korijen jednadµzbe.Jednadµzbu nazivamo linearnom ako je najvi�i stepen nepoznanice jednak

jedinici.

Opci oblik linearne jednadµzbe je ax+ b = 0:

De�nicija 4.2 Za dvije ili vi�e jednadµzbi kaµzemo da su ekvivalentne ako isamo ako imaju jednake skupove rje�enja.

Teorem 4.1 Jednadµzbe

f(x) = g(x) i f(x)� h(x) = g(x)� h(x)

su ekvivalentne ako je izraz h(x) de�niran u de�nicionom podruµcju prvejednadµzbe.

Teorem 4.2 Jednadµzbe

f(x) = g(x) i f(x) � h(x) = g(x) � h(x)

su ekvivalentne ako je izraz h(x) de�niran u de�nicionom podruµcju prvejednadµzbe i ako je h(x) 6= 0.

10


Teorem 4.3 Neka je data linearna jednadµzba

ax = b; (a; b 2 R):

Tada vrijedi:

1. za a 6= 0 jednadµzba ima jedinstveno rje�enje: x = b

a;

2. za a = 0 i b = 0 rje�enje je svako x 2 R;

(jednadµzba je neodredena);

3. za a = 0 i b 6= 0 jednadµzba nema rje�enja,

(tj. protivrjeµcna je).

Z a d a c i :

Rije�iti jednadµzbe (1-11):

1. a)5x+ 1

12+ 1 =

3x� 15

� x� 74

;

b)(6x+ 1)2

9� (2x� 5)

2

3=(5x+ 7)2

12+25

36+7x2

12

2. a)2

x� 1 �3� xx� 1 = 2�

x� 1x� 2;

b)9

5x+ 15� 3x� 1x+ 3

=6x+ 5

3x+ 9� 1145

3.3

x2 � 4x �9

2x2 + 3x=

2

2x2 � 5x� 12

11


4.2

x2 � 5x+ 6 +5

x2 � 4x+ 3 =6

x2 � 3x+ 2

5.

�4� 3; 5

�21

7� 11

5

��:0; 16

x=32

7� 3

14:1

6

4123

84� 4049

60

6.x

x� 2 �2x+ 3

x+ 2=

x2

4� x2

7. a)

x+ 1

x+

x

x+ 1x

x+ 1+ 1

= 1; b)3� 1

x

3 +1

x

� 1

x=x� 1

3

x+1

3

� 13;

8. a) ax+ 2 = 5a� 4x; b) a3 � ax = b3 � bx:

9. a) mx(m+ 2) +m(3x� 2) = m2; b)3x+m

n=3x+ n

m.

10.a+ b� 12a� 2b +

x

a2 � b2 =x

a� b �2x

a+ b+ 1.

11.1

nx� n2 �1

mn�mx =1

mn� nx �1

mx�m2:

12. Odrediti vrijednost parametra m tako da jednadµzba

a) m(mx� 5) = 50(2x+ 1);

b) 8(4x� 5m) = m(2mx+m� 1);

12


bude odredena (tj. da ima jedno i samo jedno rje�enje).

13. Odrediti one vrijednosti parametra a za koje jednadµzba

a2x+ a+ 4x = 2 + 4ax

nema rje�enja.

14. Za koje vrijednosti parametra a ce biti pozitivno rje�enje ove

jednadµzbe3

x� a �2

x+ a=7a� 3xa2 � x2 ?

15. Koji dvocifren broj ima osobinu da mu je zbir cifara 6 i da je �estputa veci od cifre jedinica?

16. Ako se jedan isti broj doda brojniku, a oduzme od nazivnika razlomka7

11dobije se broj 2. Koji je to broj?

17. Ocu je sada 42 godine, a kcerki 14. Kroz koliko ce godina otac bitidvostruko stariji od kcerke?

18. Majka je tri puta starija od sina. Prije pet godina majka je bila petputa starija od njega. Koliko je godina majci, a koliko sinu?

19. Nekom trocifrenom broju dopi�e se 8; i to jednom na poµcetku, a drugiput na kraju. Razlika tako dobijenih brojeva iznosi 1107. Koji je tobroj?

20. Prva cijev napuni bazen za 9 sati, a druga za 12 sati. Za koliko bisati napunile bazen prva i druga cijev ako bi ga punile istovremeno?

21. Dvije vrste µcelika imaju: prva 5%, a druga 40% nikla. Koliko trebaspojiti prve i druge vrste da bi se dobilo 140 tona µcelika od 30% nikla?

13


22. Neko pomije�a 30 litara vode temperature 40�s vodom temperature

18�i s vodom temperature 24

�. Tako je dobio smjesu od 60 litara

vode temperature 30�. Koliko je dodao litara vode od 18

�i koliko od

24�?

23. Ako se stranica kvadrata uveca za 4 cm, povr�ina mu se uveca za 64cm2. Kolika je povr�ina i stranica kvadrata?

14


5 Sistemi linearnih jednadµzbi

De�nicija 5.1 Za skup jednadµzbi kaµzemo da µcine sistem ako nas interesujuzajedniµcka rje�enja svih jednadµzbi toga skupa.

Opci oblik sistema od dvije linearne jednadµzbe sa dvije nepoznaniceizgleda ovako:

a1x+ b1y = c1a2x+ b2y = c2

�; (a1; a2; b1; b2; c1; c2 2 R): (1)

Rje�enje sistema (1) jest svaki par brojeva (x0; y0) koji zadovoljava i jednui drugu jednadµzbu sistema.

Dva sistema linearnih jednadµzbi jesu ekvivalentni ako su im skupovirje�enja jednaki.

Teorem 5.1 Sistemi jednadµzbi

f1(x; y) = 0f2(x; y) = 0

�i

f1(x; y) = 0;af1(x; y) + f2 (x; y) = 0;

�;

gdje je a proizvoljan realan broj, su ekvivalentni.

Metodi rje�avanja:

a) Gausov metod sastoji se u tome da se sistem (1) ekvivalentnimtransformacijama dovede na oblik trougaone �eme:

a1x+ b1y = c1dy = e

�; (d; e 2 R): (2)

Zatim iz druge jednadµzbe sistema (2) odredimo vrijednost nepoznanice y injenu vrijednost uvrstimo u prvu jednadµzbu. Odatle dobijamo i vrijednostnepoznanice x.

15


b) Metod zamjene (supstitucije) sastoji se u tome da iz jedne jed-nadµzbe sistema (1) izrazimo jednu nepoznanicu, npr. nepoznanicu x izprve jednadµzbe:

x =c1 � b1ya1

; a1 6= 0; (3)

i dobijeni rezultat uvrstimo u drugu jednadµzbu sistema, te je rije�imo podrugoj nepoznanici,

y =a1c2 � c1a2a1b2 � b1a2

(a1b2 � b1a2 6= 0):

Uvr�tavanjem ove vrijednosti u (3) dobijamo i vrijednost druge nepoznan-ice:

x =c1b2 � b1c2a1b2 � b1a2

:

c) Metod determinanti : Ako je D 6= 0, sistem (1) ekvivalentan jesistemu

x �D = Dx; y �D = Dy; (4)

gdje su D;Dx; Dy determinanta sistema i determinante po nepoznanicamax i y :

D =

�� a1 b1a2 b2

�� ; Dx =

�� c1 b1c2 b2

�� ; Dy =

�� a1 c1a2 c2

�� :Teorem 5.2 Sistem jednadµzbi (1):

1. odreden je i ima jedinstveno rje�enje ako je:

a1a26= b1b2

(ili D 6= 0);

2. neodreden je i ima bezbroj rje�enja ako je:

a1a2=b1b2=c1c2

(ili D = Dx = Dy = 0);

16


3. protivrjeµcan i nema rje�enja ako je

a1a2=b1b26= c1c2

(ili D = 0; a Dx 6= 0 ili Dy 6= 0):

Z a d a c i :

1. Gausovom metodom rije�iti sisteme:

a) 3x+ 5y = 16

9x� 13y = 76;

b)5x+ 4y

7� 1 = 7x� 2y

3� 2

x

2� 3x� 4y

4=x� y2

:

2. Metodom zamjene rije�iti sisteme:

a)x

2� y3= �3

5x

9+2y

3= 15

1

3;

b)5y � 3x3

� 2x� 3y5

= 1 + y

2y � 3x3

� 3x� 4y2

= x+ 1:

Metodom determinanti rije�iti sisteme (3-5):

3. a)x+ 2y

6+x� 14

=1

6+1 + y

2

x

15� y + 4

5=y � 4x15

� x� 23

;

17


b)7y � 4x� 5

6� 6y � 5x� 4

9=5y � 8x� 1

12

2x� y + 16

+8x+ y + 1

3=3x� y2

:

4. a)1

x+2

y=3

2

2

x+3

y=5

2;

b)15

x� 4y=3

2

19

x+14

y=20

3;

c)3

x+ y+

5

x� y = 4

1

x+ y+

15

x� y = 4:

5. a)7

5x� 2y +5

3x+ 2y=1

2

7

4y � 10x +45

6x+ 4y= 1;

b)10

x+ y � 3 �6

2x+ y � 6 = 16

3

2x+ 2y � 6 +3

4x+ 2y � 12 = 4:

18


Proizvoljnom metodom rije�iti sisteme (6-9):

6. a)y + 3

x+ 2=y + 5

x+ 3

x� 1x

� y � 5y

=8

xy;

b)3x+ 2

4 + 3x=

5y

5y + 4

1� 2x6� 4y =

3x+ 2

6y � 2 :

7. a)x� 6y � 4 +

10

y2 � 16 =x+ 6

y + 4

5

y2 � 3y +2

3x� xy =10

xy;

b)x+ 2

y + 3� x+ 5y + 1

=3

(y + 1)(y � 3)

2x+ y

15� 8x� 4y =4x� y

5� 16x+ 4y :

8. a)a

x+ b� b

y � a = 1

b

x+ b� a

y � a = 1

b) mx+ (m+ n)y = 2m+ n

(m� n)x� ny = m� 2n:

19


9. a)b

y + b� 3a

x� a = �2

2b

y + b� a

a� x = 3;

b)a(a+ 1)

ax� 2y �a2

2x+ ay=7� 2a5� 5a

a+ 1

2y � ax �a

2x+ ay=

2a+ 3

5a(1� a) :

10. Za koje vrijednosti parametra a sistem jednadµzbi

x+ y = a ^ 2x+ ay = 4

ima, kao rje�enje, par negativnih brojeva.

11. Uveca li se neki dvocifren broj za devetostruku cifru jedinica, dobijese 70. Ako se umanji za 27, dobije se broj sastavljen od istih cifara.Koji je to broj ?

12. Dva radnika mogu da zavr�e neki posao za 10 dana. Poslije 7 danajedan je radnik napustio posao i ostatak posla drugi je zavr�io sam za9 dana . Za koliko dana svaki od njih moµze da zavr�i posao ako radisam?

13. Dva tijela µcija je razdaljina 100 m krecu se istovremeno i stalnombrzinom. Ona ce se sastati kroz 12 sekundi ako idu jedno drugom ususret, a kroz 50 sekundi ako se krecu jedno za drugim. Naci njihovebrzine?

20


14. Ako se u jednom pravougaoniku kraca stranica poveca za 8cm; a duµzasmanji za 4 cm; dijagonala ne mijenja svoju duµzinu, ali se povr�inapoveca za 240 cm2. Naci duµzine stranica pravougaonika?

15. Naci dva dvocifrena broja koji imaju sljedece osobine: ako se vecemtraµzenom broju dopi�e 0 i iza nje manji traµzeni broj, a manjem dopi�ezdesna veci broj i zatim 0; onda ce od, na taj naµcin dobijena dvapetocifrena broja, prvi, kad kad bude podijeljen sa 2, dati u koliµcniku2; a u ostatku 590. Osim toga, poznato je da zbir, sastavljen odudvostruµcenog veceg traµzenog broja i utrostruµcenog manjeg, iznosi72.

21


6 Linearne nejednadµzbeSistemi linearnih nejednadµzbi

Op�ti oblik linearne nejednadµzbe je:

ax > b; (a; b 2 R): (5)

Rje�enje linearne nejednadµzbe (5) je skup svih brojeva iz R; za koje nejed-nadµzba prelazi u taµcnu nejednakost.

Dvije linearne nejednadµzbe s jednom nepoznatom su ekvivalentne akosu im skupovi rje�enja jednaki.

Teorem 6.1 Rje�enje linearne nejednadµzbe (5) u ovisnosti o parametrimaa i b jest:

1) a > 0) x >b

a

2) a < 0) x <b

a

3) a = 0 ^ b � 0; x 2 ? (tj. nema rje�enja)

4) a = 0 ^ b < 0; rje�enje svako x 2 R ili x 2 (�1;+1) :

De�nicija 6.1 Sistem linearnih nejednadµzbi s jednom nepoznanicom jekonjunkcija od dvije ili vi�e linearnih nejednadµzbi s jednom nepoznanicom.Rje�enje takvog sistema nejednadµzbi je presjek skupova rje�enja svih nejed-nadµzbi iz konjunkcije.

22


Z a d a c i :

Rije�iti nejednadµzbe i gra�µcki interpretirati rje�enje na brojevnoj osi:

1. a) 4x(x� 2) + 5x� 1 < x+ 4� 2x(1� 2x);

b) 2(x� 1)(x+ 2) + 3� 2x � 2x(1 + x)� 6:

2. a)9x+ 1

3� 7x+ 1

4>3x+ 1

12; b)

x+ 1

3� 4x+ 3

6� 1� x+ 1

2:

3. a)2� x2

+x

3>x+ 2

2� 2x� 6

3; b)

5(1 + 3x)

12� 3x� 3x� 1

6:

Rije�iti sisteme nejednadµzbi i gra�µcki interpretirati rje�enje na brojevnojosi:

4. a) 2x+ 4 > 3x� 2 ^ 3x+ 1 < 2(x+ 1) + x;

b) x < 2� 3x ^ 5(x� 2) + 3 < 1� 2x:

5. a)2x� 1

2

3� 5x+ 1

3� 2� x

2� 0 ^ x+ 1

2� 13<1

5x

b)2(3x� 1)

5� 2x+ 1

3<4x+ 1

2+3x� 23

^ 2x� 34

� x� 13

>x

2:

Rije�iti nejednadµzbe:

6. a) (x� 4)(x+ 3) < 0; b) (2x� 3)(1� 4x) � 0:

23


7. a) (x� 2)(3x+ 1)(2� 3x) � 0; b) (2x� 1)(1� 2x)(3 + 4x) > 0:

8. a)2x� 11� 4x > 0; b)

x� 2x+ 7

� 0; c)2x� 11� 3x < 0:

9. a)x� 1x+ 2

> 3; b)3x+ 1

x� 3 � �2; c)1� 3x5 + 6x

> 2:

10. a)1

3x+ 2� 1

2x� 3 ; b)1

2� 5x <1

3x+ 4:

11. a) jxj < 3; b) jxj > 3; c) jx� 2j � 2:

12. a)��x+ 2x� 1

�� 2; b)

��x� 3x+ 1

�� < 1

2:

13. a) a� ax < b+ bx; b) (2�m)x < 4; c) 3x+ 6 � 2�mx:

14. a) m2x+ 9 > 3mx+ 3m; b)m3x

2� 1 > m2 +m+

x

2:

15. Naci skup vrijednosti parametra a za koje data jednadµzba ima rje�enjamanja od 10 a veca od 2:

a) 2(x� 2a) + a = 4� 2� x2

; b) 5x� 2a = ax� 4� x:

24


7 Kvadratna funkcija

7.1 Nule i znak kvadratne funkcije.Kvadratne jednadµzbe i nejednadµzbe

Funkcija f : R! R oblika

f(x) = ax2 + bx+ c; (6)

gdje su a; b i c; a 6= 0 realni parametri, a x realna varijabla, je kvadratnafunkcija. Formula (6) je op�ti oblik kvadratne funkcije. Nule kvadratnefunkcije su isto �to i rje�enja pripadne kvadratne jednadµzbe

ax2 + bx+ c = 0: (7)

Izraz oblika

D = b2 � 4ac (8)

se naziva diskriminanta kvadratne funkcije (jednadµzbe).

U sljedecoj tabeli prikazana je ovisnost nula kvadratne funkcije (jed-nadµzbe) od znaka diskriminante, kao i ovisnost gra�ka (parabole) i znakafunkcije od znaka diskriminante D i koe�cijenta a.

25


Gra�k funkcije f (x) f (x)= 0 Znak funkcije f (x)

x1;2=�b�

pD

2a

f (x)> 0;x 2 h�1; x1i [ hx2;+1i :

f (x)< 0; x 2 hx1; x2i_______________

f (x)< 0;x 2 h�1; x1i [ hx2;+1i :

f (x)> 0; x 2 hx1; x2i

x1;2= �b

2a

f (x)> 0;x 6= � b

2a

______________

f (x)< 0;x 6= � b

2a

x1;2 =2 R

f (x)> 0; x 2 R

___________

f (x)< 0; x 2 R

26


Z a d a c i :

1. Data je funkcija f(x) = ax2 + bx + c . Odrediti koe�cijente a; b i ctako da funkcija ima nulu 2, a f(3) = �7 i f(�2) = 8.

2. U funkciji y = (p� 1)x2� (p+4)x+ p+3; odrediti parametar p takoda funkcija ima nulu 5.

3. Odrediti znak funkcija datih formulama:

a) f(x) = �x2 b) f(x) = ax2 + x; a 6= 0c) f(x) = x2 + 6x+ 10 d) f(x) = �2x2 � 3x+ 9.

4. Odrediti vrijednosti parametra m za koje je nejednadµzba

3x2 � 2mx+ 12 > 0

zadovoljena za svaku realnu vrijednost x.

5. Koji uvjet mora zadovoljavati parametar b da bi trinom

x2 � 4x+ b

imao vrijednosti vece od 15 za sve vrijednosti x?

6. U kojem intervalu leµzi parametar a tako da je trinom

x2 � 2ax� 6a+ 12

veci od �4 za sve vrijednosti x?

Rije�iti jednadµzbe (7-10):

7. a) (x� 2)2 + (2x+ 3)2 = 13� 4x;b) (2x� 15)(2x� 7)� (x� 36)(x� 8) + 36 = 0.

27


8. a) (x�a)2�2x(x�a)+a2 = 0; b) (x+a) : (x�b) = (b+x) : (a�x).c) (1 +

p2)x2 � 2(1�

p2)x� 3

p2 + 1 = 0.

9. a)5� xx+ 5

+5 + x

5� x =100

25� x2 ; b)34

4x2 � 1 +2x+ 1

1� 2x =2x� 12x+ 1

.

10.2x� 1

x 2 + 2x� 3 �3x+ 1

x 2 � 6x+ 5 =x� 20

x2 � 2x� 15 :

11. Odrediti one realne vrijednosti parametra p; za koje su rje�enja jed-nadµzbe

(p� 4)x2 � 2px+ 5p = 0

realna i razliµcita.

12. Odrediti one realne vrijednosti parametra a; za koje su rje�enja jed-nadµzbe

2ax

x� a +6x

a� x = a� x

a) realni brojevi; b) konjugirano kompleksni bro-jevi.

U zadacima 13-15 odrediti skup svih realnih brojeva za koje vrijedi:

13. (x2 � 4x� 5)(x2 + 2x� 3) < 0:

14. a)x� 1

x 2 � x� 6 > 0; b)�2x2 + 9x+ 5x 2 + 2x+ 1

< 0.

15. a)�x2 + 2x� 52x 2 � x� 1 < �1; b)

4x2 � 8x� 24x 2 � 2x� 3 > 3:

16. Za koje vrijednosti od a je sistem nejednadµzbi

�3 < x2 + ax� 2x2 � x+ 1 < 2

zadovoljen za svako x 2 R?

28


17. Odrediti k tako da za svako x bude��x 2 � kx+ 1x2 + x+ 1

�� < 3:18. Dva radnika (A i B) zavr�e jedan posao za 2 dana. Za koje bi vrijeme

zavr�io taj posao sam radnik A ako se zna da radniku B treba 3 danavi�e nego radniku A da sam zavr�i taj posao?

19. Polovinu nekog bazena napuni cijev A, a drugu polovinu cijev B. Topunjenje traje 25 sati. Ako se obje cijevi otvore istovremeno, bazen senapuni za 12 sati. Za koliko sati svaka cijev sama napuni taj bazen?

20. Biciklista je do�ao iz mjesta A u mjesto B ravnomjernom brzinom.Pri povratku odluµcio je da isti put prede za 10 minuta prije nego pridolasku. Zbog toga je morao povecati brzinu za 4 km=h. Kojom sebrzinom kretao pri dolasku iz A u B, ako je B udaljeno od mjesta Aza 60 km?

7.2 Ekstrem i tok kvadratne funkcije

Op�ti oblik kvadratne funkcije (6) moµze se napisati i u tzv. kanonskomobliku

f(x) = a

"�x+

b

2a

�2� D

4a2

#; (D = b2 � 4ac): (9)

Izraz u srednjoj zagradi ima najmanju vrijednost ako je x = � b

2ai tada

funkcija ima ekstremnu vrijednost

f

�� b

2a

�=4ac� b24a

(10)

Ako je koe�cijent a > 0; ta je vrijednost minimalna, a ako je a < 0; ona jemaksimalna.

29


Taµcka T (�; � ), gdje je � = � b

2a; � =

4ac� b24a

; je tjeme parabole koja

predstavlja kvadratnu funkciju.Gra�k funkcije y = ax2 + bx + c moµze se dobiti translacijom gra�ka

(parabole) f(x) = ax2 za radijus-vektor taµcke T:

Z a d a c i :

1. U funkciji y = �x2� (2�+1)x+2(�+1) odrediti � tako da funkcijaima ekstremnu vrijednost za x = 2. Za nadenu vrijednost parametraispitati tok i konstruisati gra�k funkcije.

2. Odrediti vrijednosti parametara p i q tako da funkcija y = x2+px+qima minimum �4 za x = �1:

3. Naci koe�cijente trinoma y = ax2 + bx + c; znajuci da mu je nulax = 6 i da ima najmanju vrijednost �8 za x = 4:

4. Date su kvadratne funkcije

y = x2 �mx+m� 1;y = x2 � 2x+m:

a) Odrediti one realne vrijednosti parametra m za koje ove funkcijeimaju jednake minimume.

b) Za nadenu vrijednost parametra m rije�iti sistem nejednadµzbi

x2 �mx+m� 1 < 0x2 � 2x+m > 0:

5. Razloµziti broj 18 na dva sabirka tako da suma kvadrata tih sabirakabude minimalna.

6. Od µzice duµzine 24cm napraviti model pravougaonika najvece povr�ine.Kolike su stranice tog pravougaonika?

30


7.3 Vietove formule

Za rje�enja x1;2 kvadratne jednadµzbe date u op�tem obliku

ax2 + bx+ c = 0

vrijede Vietove formule:

x1 + x2 = �b

a; x1 � x2 =

c

a(11)

Ako je koe�cijent a = 1; imamo normirani oblik kvadratne jednadµzbe

x2 + px+ q = 0;

i tada Vietove formule izgledaju ovako:

x1 + x2 = �p; x1 � x2 = q (12)

U sluµcaju kada kvadratni trinom y = ax2+bx+c ima diskriminantu D > 0;tj. kada ima realne i razliµcite nule, on se moµze rastaviti na proste faktorena sljedeci naµcin

y = a(x� x1) � (x� x2): (13)

Z a d a c i :

Odrediti vrijednosti parametra m tako da u sljedecim jednadµzbamaizmedu rje�enja postoji data relacija, a zatim rije�iti jednadµzbe (1-5):

1. mx2 � 2(m+ 1)x+ (m� 4) = 0; relacija

(4x1 + 1)(4x2 + 1) + 2 = 20:

2. x2 �mx�m2 � 5 = 0; relacija 4

x1 � x2=1

x1+1

x2� 12:

31


3. x2 � 2mx+m 2 + 1 = 0; relacija x21 + x22 = 16:

4. (m� 2)x2 � 2mx+ 2m� 3 = 0; relacija 1

x21+1

x22=10

3:

5. x2 � x+m = 0; relacija x31 + x32 = 7.

6. Za koje vrijednosti parametra m jedan od korijena jednadµzbe

2x2 � (2m+ 1)x+m2 � 9m+ 39 = 0

je dva puta veci od drugog? Za nadene vrijednosti parametra mrije�iti jednadµzbu.

7. Neka su x1 i x2 rje�enja jednadµzbe 6x2 � 5x + 1 = 0. Ne rje�ava-juci datu jednadµzbu formirati jednadµzbu drugog stepena po y µcija surje�enja

y1 =x1 + 1

x1 � 1i y2 =

x2 + 1

x2 � 1:

8. Data je jednadµzba 3x2 + 5x � 6 = 0, µcija su rje�enja x1 i x2. Nerje�avajuci datu jednadµzbu, formirati kvadratnu jednadµzbu po y srje�enjima:

y1 = x1 +1

x2i y2 = x2 +

1

x1:

9. U jednadµzbi(m� 2)x2 � 2mx+ 2m� 3 = 0

treba odrediti parametar m tako da rje�enja jednadµzbe budu:

a) pozitivna; b) negativna; c) razliµcitog znaka.

10. Kakvi moraju biti brojevi p i q da bi korijeni jednadµzbe x2+px+q = 0bili takode p i q?

32


11. Rastaviti na linearne faktore (µcinioce) trinome:

a) 2x2 + x� 15; b) 3x2 � 8x+ 4;

c) 10x2 + 9x+ 2; d) 2x2 + 5x� 3.

12. Skratiti razlomke:

a)x4 � 1

3x2 + x� 2; b)2x2 � 7x+ 34x2 � 8x+ 3;

c)x2 + x

3x2 � 2x� 5 .

13. Izvr�iti naznaµcene operacije s razlomcima:

a)x

x2 � 3x+ 2 �x+ 1

x2 + 2x� 3 ;

b)7

2a2 � 5a� 3 +4

4a2 + 8a+ 3:

33


8 Eksponencijalna funkcijaEksponencijalne jednadµzbe i nejednadµzbe

Funkcija oblikay = ax; a > 0

naziva se eksponencijalnom funkcijom.

Osobine eksponencijalne funkcije:

a) Funkcija y = ax je de�nisana za svako x u skupu realnih brojeva.

b) Funkcija y = ax je pozitivna za svako x (ax > 0 ; x 2 R).

c) Ako je a > 1, tada x1 < x2 ) ax1 < ax2 , tj. funkcija je monotonorastuca.

Ako je 0 < a < 1, tada x1 < x2 ) ax1 > ax2 , tj. funkcija je monotonoopadajuca.

Ako je a = 1, tada je ax = 1x = 1 za svako x , tj. funkcija imakonstantnu vrijednost.

d) Ako je x = 0, tada je ax = 1 za sve a > 0.

e) Za a > 1 u intervalu (�1; 0) je 0 < ax < 1, a za 0 < a < 1 je ax > 1.

U intervalu (0;+1) za a > 1 je ax > 1, a za 0 < a < 1 je 0 < ax < 1.Datu eksponencijalnu jednadµzbu je najce�ce moguce svesti na oblik :

af(x) = ag(x) (0 < a 6= 1) :

Ova jednadµzba je ekvivalentna jednaµzbi:

f (x) = g (x) :

34


Data eksponencijalna nejednadµzba najµce�ce se moµze svesti na oblik:

af(x) < ag(x):

a) Ako je a > 1; onda je ta nejednadµzba ekvivalentna nejednadµzbi

f(x) < g(x):

b) Ako je 0 < a < 1; onda je ta nejednadµzba ekvivalentna nejednadµzbi

f(x) > g(x):

Z a d a c i :

1. Ispitati tok i konstruisati gra�ke sljedecih funkcija:

a) y = 3x b) y = 2�x+1 c) y = 2x � 1

d) y =

8<:2x (x < �1)2�1 (�1 � x � 1)2�x (x > 1) :

2. Neka je a pozitivan realan broj razliµcit od 1. De�nirajmo realnefunkcije s; c; t sljedecim formulama:

s(x) =ax � a�x

2; c(x) =

ax + a�x

2; t(x) =

ax � a�xax + a�x

:

Dokazati da vrijedi:

a) c2 (x)� s2 (x) = 1 b) s (2x) = 2s (x) c (x)

c) c (2x) = c2 (x) + s2 (x) d) t (2x) =2t (x)

1 + t2 (x); za svako x 2 R.

35


Rije�iti sljedece jednadµzbe (3-18):

3. 2x�1 = 45

4. xp16 =

p4x

5. 4x � 4x�2 = 240

6.p324x�6 = 0; 25 � 1282x�3

7. 3x�12 � 2x+13 = 2

x�23 + 3

x�32

8. 7 � 3x+1 � 5x+2 = 3x+4 � 5x+3

9. 2 � 3x+1 � 4 � 3x�2 = 450

10. 3 � 4x + 13 � 9

x+2 = 6 � 4x+1 � 12 � 9

x+1

11. 3x+1 + 18 � 3�x = 29

12. 4px�2 + 16 = 10 � 2

px�2

13. 0; 5x2�20x+61;5 =

8p2

14. 5x � 53�x = 20

15. xx + 27 � x�x � 28 = 0

16. 8 � 3px+x = 9x � 9

px+1

36


Rije�iti sljedece nejednadµzbe:

17. 22x2+ 25

x2�12 > 5x

2

18. 21 � 3x + 100 � 5x � 3x+4 > 0

19. 4x � 3 � 2px+x + 4

px+1

20. 4px�2 + 16 � 10 � 2

px�2

21. 4x � 3x� 12 � 3x+ 1

2 + 22x�1 < 0

22. 25 � 2x � 10x + 5x > 25

37


9 Logaritamska funkcijaLogaritamske jednadµzbe i nejednadµzbe

9.1 Logaritamska funkcija

1. Eksponencijalna funkcija

f : R! R+; f (x) = ax; 0 < a 6= 1; (x 2 R)

je bijektivna, pa postoji njoj inverzna funkcija

f�1 : R+ ! R; f�1 (x) = loga x; 0 < a 6= 1;�x 2 R+

�koju zovemo logaritamska funkcija.

2. Na osnovu de�nicije logaritma vrijedi ekvivalencija

loga x = y , x = ay; x > 0; 0 < a 6= 1;

a odavdje se vidi da vrijede formule

loga ay = y; aloga x = x: (14)

3. Funkcija y = logax de�nirana je za svako x > 0; a uvjet za bazu je0 < a 6= 1:

4. Logaritamska funkcija je bijektivna, pa jednakim brojevima (numerusima)pripadaju jednaki logaritmi za istu bazu i obrnuto, tj.

x1 = x2 , logax1 = logax2 (15)

5. Znak logaritamske funkcije

za a > 1 imamo:

(logax < 0, (0 < x < 1);

logax > 0, x > 1:

za 0 < a < 1 imamo:

(logax > 0, (0 < x < 1);

logax < 0, x > 1:

38


6. Logaitamska funkcija ima jednu jedinu nulu, a to je broj 1; za bilokoju bazu 0 < a 6= 1; tj.

logax = 0, x = 1: (16)

7. Za a > 1 funkcija je strogo rastuca, tj. za

a > 1 : x1 < x2 , logax1 < logax2: (17)

8. Za 0 < a < 1 funkcija je strogo opadajuca, tj. za

0 < a < 1 : x1 < x2 , logax1 > logax2: (18)

9. Pravila za logaritme:

logc(ab) = logca+ logcb;

logca

b= logca� logcb;

logcap = p � logca;

zaa > 0; b > 0; 0 < c 6= 1; p 2 R:

10. Znaµcajne formule:

loga b =1

logb a;

loga b =logc b

logc a;

9>>>=>>>; (0 < a 6= 1; 0 < b 6= 1; 0 < c 6= 1): (19)

39


Z a d a c i :

1. Izraµcunati vrijednosti logaritama:

a) log21

128b) logp2 8 c) log 1p

28

d) log23p512 e) log3

5p243.

2. Odrediti x iz jednadµzbi:

a) logp2 x = 6; b) logp2 x = �8; c) log3p3 x = �2;

d) log4p5 x = �

2

3.

3. Izraµcunati vrijednost izraza:

a)5

4log3 81 + 3 log 1

216� 2 log2

1

32+ log 1

3

1

27;

b) log2 log2 16 + log3 log3 27;

c) 53�log5 25 + 32�log3 3 � 24�2 log25 5:

4. Odrediti oblast de�nicije (de�niciono podruµcje) funkcija:

a) y = log2(�x); b) y = log2(1� x);

c) y = log3(1� x2); d) y = log(2x2 + 5x� 3):

5. Konstruisati gra�k funkcije:

a) y = log2(�x); b) y = log2(1� x):

40


6. Data je funkcija y = log(3x2 � 2x):

a) Za koju vrijednost argumenta x funkcija ima smisla u skupu real-nih brojeva?

b) Odrediti nule funkcije.

c) Odrediti x tako da za osnovup5 vrijednost funkcije bude 2.

7. Data je funkcija y = log(2x2 � x):

a) Odrediti de�niciono podruµcje date funkcije.

b) Naci nule funkcije.

c) Odrediti x tako da za osnovup3 vrijednost funkcije bude 2.

8. Logaritmovati sljedece izraze:

a) x =5a3y

b4 3pay2

b) x =

c6z2

pcd

4pab3

!2c) x = 3

vuut a

(y + z)2 � 3pb2

!2

9. Odrediti x iz jednadµzbi:

a) logx = log3 + 4logn� log5� 5logm� logp;

b) logx = log3� log(b� 2)3

;

c) logx = log5 +1

2(loga+ 2logb)� 2logd� 2

5logc:

10. Naci log�

1

3p3

��4; ako je log3 = 0; 47712:

11. Bez upotrebe logaritamskih tablica ispitati �ta je vece log23 ili log34:

41


9.2 Logaritamske jednadµzbe

Logaritamska jednadµzba

logaf(x) = logag(x) (20)

ekvivalentna je sistemu

f(x) > 0 ^ g(x) > 0 ^ f(x) = g(x): (21)

Zajedniµcka rje�enja prve dvije nejednadµzbe sistema odreduju domenu jed-nadµzbe (20), a jednadµzba f(x) = g(x) slijedi iz formule (21).

Ako umjesto jednadµzbe (20) imamo jednadµzbu

logaf(x) = k; (22)

moµzemo je svesti na oblik (20) stavljajuci logaak umjesto k; ili koristecide�niciju logaritma (v. formulu (14)), moµzemo je odmah svesti na ekviva-lentnu jednadµzbu

f(x) = ak:

Ukoliko svi logaritmi u datoj jednadµzbi nemaju istu bazu, prvo ih trebasvesti na istu bazu, koristeci neku od formula (19) :

Z a d a c i :

Rije�iti slijedece jednadµzbe:

1. logx+ log(x+ 3) = 1

2. log(x+ 2) + log(x� 1) = 1

3. log(152 + x3) = 3log(x+ 2)

42


4. logp5x� 4 + log

px+ 1 = 2 + log (0; 18)

5. logx� log 1

x� 1 � log2 = log(2x+ 3)

6. logpx� 5 + log

p2x� 3 + 1 = log30

7. log 14(x2 + 2x� 8)2 = log 1

2(10 + 3x� x2) + 1

8. 2 log8 (2x) + log8�x2 � 2x+ 1

�=4

3

9.log 8� log (x� 5)logpx+ 7� log 2

= �1

10.2� 4 log12 2log12 (x+ 2)

� 1 = log6 (8� x)log6 (x+ 2)

11.log2

�x3 + 3x2 + 2x� 1

�log2 (x

3 + 2x2 � 3x+ 5) = log2x x+ log2x 2

12. log�3x2 + 12x+ 19

�� log (3x+ 4) = 1

13.2 log 2 + log (x� 3)

log (7x+ 1) + log (x� 6) + log 3 =1

2

14.1 + 2 log9 2

log9 x� 1 = 2 logx 3 � log9 (12� x)

15. 3log2(x� 1)� 10log(x� 1) + 3 = 0

16.1

5� log x +2

1 + log x= 1

17. log3x+7 (5x+ 3) + log5x+3 (3x+ 7) = 2

43


9.3 Logaritamske nejednadµzbe

Nejednadµzbu oblikalogaf(x) < logag(x) (23)

ili oblikalogaf(x) < k; (24)

nazivamo logaritamskom nejednadµzbom.

Na osnovu formula (17) i (18) vrijedi slijedece:- ako je a > 1; nejednadµzba (23) je ekvivalentna sistemu

f(x) > 0 ^ g(x) > 0 ^ f(x) < g(x);

- ako je 0 < a < 1; ona je ekvivalentna sistemu

f(x) > 0 ^ g(x) > 0 ^ f(x) > g(x):

Nejednadµzba (24) se, uz uvjet f(x) > 0; svodi na nejednadµzbu

f(x) < ak za a > 1;

odnosno na nejednadµzbu

f(x) > ak za 0 < a < 1:

Z a d a c i :

Rije�iti slijedece nejednadµzbe:

1. log (x+ 2)� log x > 1

2. log (x� 4)� log (x+ 1) � 1

44


3.1

log2 x� 1

log2 x� 1< 1

4. log6

x> log (x+ 5)

5. log3�x2 � 5x+ 6

�< 0

6. log0;1�x2 + 1

�< log0;1 (2x+ 9)

7. log2x�x2 � 5x+ 6

�< 1

8. log25 (3x+ 4) � logpxp25 > 1

9. 2 logx 3 � log3x 3 < log9px 3

10. log1+ 1x2

�7

4x+3

2

�� 1

11. log1�x2

�2� 5x

2

�� 1

12.�4x2 � 8x� 5

�log3 (x+ 1) < 0

13.�4x2 � 16x+ 7

�log2 (x� 3) > 0

14. log 1p6

�5x+1 � 25x

�> �2

15. log 1p2

�3x+1 � 9x

�> �2

45


10 Rje�enja, upute, rezultati

10.1 Procentni raµcun

1. a) 25% od 75 je 75 � 0; 25 = 18; 75

2. a) Na osnovnu cijenu od 45 KM treba dodati 15% (150%) od te cijene,tj.

45 + 45 � 0; 15 = 45 � (1 + 0; 15) = 45 � 1; 15 = 51:75

(45 + 45 � 1; 50 = 45 � (1 + 1; 50) = 45 � 2; 50 = 112; 5) :

b) Od osnovne cijene treba oduzeti 15% (150%):

45� 45 � 0; 15 = 45 � (1� 0; 15) = 45 � 0; 85 = 38; 25

(45� 45 � 1; 50 = 45 � (1� 1; 50) = 45 � (�0; 50) = �22; 5) ;

odakle se vidi da drugi dio zadatka nema smisla (cijena ne moµze oticiu minus), ali u nekim drugim sluµcajevima moguca su umanjenja zavi�e od 100%.

3. Nakon povecanja cijene od 20%, nova cijena je 68 � (1 + 0; 20) = 68 �1; 20 = 81; 6 KM. Sniµzenjem za 20% dobija se najnovija cijena:

81; 6 � (1� 0; 20) = 81; 6 � 0; 80 = 65; 28 KM:

4. 20500 + 20500 � x = 22500) 20500 � (1 + x) = 22500)

1 + x =22500

20500= 1; 0975) x = 0; 0975 ili 9; 75%.

46


5. 1; 10� 1; 10 � x = 0; 85) 1; 10 � (1� x) = 0; 85)

1� x = 0; 85

1; 10= 0; 773) x = 0; 227 ili 22; 7%:

6. x+ x � 0; 20 = 1452) 1; 20 � x = 1452) x =1452

1; 20= 1210:

7. x � 1; 17 = 1200) x = 12001;17 = 1025; 64 (KM).

8. x� x � 0; 20 = 32000) x � 0; 80 = 32000) x = 40000 (KM).

9. a) Prilikom su�enja groµzda konstantnom ostaje suha tvar u groµzdu,a samo se voda isparava. Uoµcimo da je u sirovom groµzdu 18 %; a usuhom 81 % suhe tvari. Prema tome, 180 tona sirovog groµzda sadrµzi

180 � 18100

= 32; 4 tone suhe tvari.

I nakon su�enja ostaje 32; 4 tone suhe tvari, a kako je to 81 % ukupneteµzine suhog groµzda, zakljuµcujemo da je (ako sa x oznaµcimo ukupnuteµzinu suhog groµzda)

x � 0; 81 = 32; 4) x =32; 4

0; 81= 40:

Dakle, pri procesu su�enja dobijeno je 40 tona suhog groµzda.

b) Raµcunat cemo samo ukupne tro�kove koje µcini zbir vrijednostisirovog groµzda (180 000 �1; 2 = 216 000 KM) i tro�kovi su�enja groµzda(210 000 KM), to jest 426 000 KM. Da se ne bi oti�lo u gubitak,minimalna cijena se formira na osnovu ovih ukupnih tro�kova koji seodnose na 40 000 kg suhog groµzdai iynosi:

426 000

40 000= 10; 65 (KM).

47


10. Nakon povecanja poµcetne cijene x za µcetvrtinu, nova cijena je

c1 = x+1

4x =

5

4x:

Smanjenjem cijene c1 za 24% dobije se najnovija cijena

c2 = c1 � c1 �24

100=76

100c1 =

76

100� 54x =

19

20x:

Kako je c2 � x =19

20x � 5

4x = � 6

20x; do�lo je do smanjenja cijene.

Procenat smanjenja cijene raµcunamo ovako:

c2 = x� x � p) c2 = x (1� p)) 1� p = c2x=19

20= 0; 95

) p = 1� 0; 95 = 0; 05 ili 5%:

48


10.2 Polinomi

U zadacima 1. i 2. srednji µclan treba predstaviti u obliku zbira ili razlikedva monoma µciji je proizvod koe�cijenata jednak slobodnom koe�cijentudatog trinoma.

1. a) x2 + 3x+ 2 = x2 + x+ 2x+ 2

= x (x+ 1) + 2 (x+ 1) = (x+ 1) (x+ 2)

b) x2 + 6x+ 8 = x2 + 2x+ 4x+ 8

= x (x+ 2) + 4 (x+ 2) = (x+ 2) (x+ 4)

c) x2 + 12x+ 35 = x2 + 5x+ 7x+ 35

= x (x+ 5) + 7 (x+ 5) = (x+ 5) (x+ 7)

2. a) x2 � 3x� 4 = x2 + x� 4x� 4= x (x+ 1)� 4 (x+ 1) = (x+ 1) (x� 4)

b) x2 � 7x� 30 = x2 � 10x+ 3x� 30= x (x� 10) + 3 (x� 10) = (x� 10) (x+ 3)

c) 2a2 � 6a� 20 = 2�a2 � 3a� 10

�= 2

�a2 � 5a+ 2a� 10

�= 2 (a� 5) (a+ 2).

U zadacima 3. i 4. koristiti formulu razlike kvadrata:

3. a) 3x2 � 27 = 3�x2 � 9

�= 3 (x� 3) (x+ 3)

b) 5x3y4 � 45xy2 = 5xy2�x2y2 � 9

�= 5xy2 (xy � 3) (xy + 3)

c) 36 (a+ 1)2 � 49a2 = [6 (a+ 1)]2 � (7a)2

= [6 (a+ 1)� 7a] [6 (a+ 1) + 7a] = (6� a) (13a+ 6).

49


4. a) (x� y � z)2 � (x+ y)2

= [(x� y � z)� (x+ y)] [(x� y � z) + (x+ y)]= (�2y � z) (2x� z) = � (2y + z) (2x� z)

b)�a2 � 2a+ 1

�2 � �a2 + 3a� 4�2=��a2 � 2a+ 1

��a2 + 3a� 4

��a2 � 2a+ 1

�+�a2 + 3a� 4

��= (�5a+ 5)

�2a2 � 2a+ 3a� 3

�= �5 (a� 1) (a� 1) (2a+ 3) = �5 (a� 1)2 (2a+ 3) :

5. Koristiti formulu kvadrata razlike (zbira):

a) (5a� 2)2

b) 12x2 � 36x+ 27 = 3�4x2 � 12x+ 9

�= 3 (2x� 3)2

c) a4b� 4a3b2 + 4a2b3 = a2b�a2 � 4ab+ 4b2

�= a2b (a� 2b)2.

6. Koristiti formule zbira i razlike kubova:

a) 1� 8a3 = 13 � (2a)3 = (1� 2a)�1 + 2a+ 4a2

�b) x3y3 + 27z3 = (xy)3 + (3z)3 = (xy + 3z)

�x2y2 � 3xyz + 9z2

�c) 8 (a+ 1)3 + 27 (a� 3)3

= [2 (a+ 1) + 3 (a� 3)] �h4 (a+ 1)2 � 6 (a+ 1) (a� 3) + 9 (a� 3)2

i= (5a� 7)

�7a2 � 34a+ 103

�:

7. a) a2 � b2 � c2 + 2bc = a2 ��b2 � 2bc+ c2

�= a2 � (b� c)2 = (a� b+ c) (a+ b� c)

b) �3x2 + 6x+ 9 = �3x2 � 3x+ 9x+ 9

50


= �3x (x+ 1) + 9 (x+ 1) = (x+ 1) (9� 3x) = 3 (x+ 1) (3� x)

c) a2 + a+ 4 = t) t2 + 8at+ 15a2

= t2 + 3at+ 5at+ 15a2 = t (t+ 3a) + 5a (t+ 3a) = (t+ 3a) (t+ 5a)

=�a2 + 4a+ 4

� �a2 + 6a+ 4

�= (a+ 2)2

�a2 + 6a+ 4

�:

8. x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1 = x�x4 + x2 + 1

�+ x4 + x2 + 1

= (x+ 1)�x4 + x2 + 1

�= (x+ 1)

�x4 + 2x2 + 1� x2

�= (x+ 1)

h�x2 + 1

�2 � x2i = (x+ 1) �x2 + x+ 1� �x2 � x+ 1� :9. a) A = (x+ 1) (x+ 3) (x+ 5) (x+ 7) + 15

= (x+ 1) (x+ 7) (x+ 3) (x+ 5) + 15

=�x2 + 8x+ 7

� �x2 + 8x+ 15

�+ 15

=�x2 + 8x+ 7

� ��x2 + 8x+ 7

�+ 8�+ 15:

Smjena

x2 + 8x+ 7 = t)A = t (t+ 8) + 15 = t2 + 3t+ 5t+ 15 = (t+ 3) (t+ 5)

=�x2 + 8x+ 10

� �x2 + 8x+ 12

�=�x2 + 8x+ 10

� �x2 + 2x+ 6x+ 12

�=�x2 + 8x+ 10

�(x+ 2) (x+ 6) ;

b) (a+ b+ c)3 ��a3 + b3 + c3

�=h(a+ b+ c)3 � a3

i��b3 + c3

�= [(a+ b+ c)� a] �

h(a+ b+ c)2 + (a+ b+ c) a+ a2

i�

� (b+ c)�b2 � bc+ c2

�= (b+ c) ��a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2bc+ 2ac+ a2 + ab+ ac+ a2 � b2 + bc� c2

�51


= (b+ c)�3a2 + 3ab+ 3bc+ 3ac

�= 3 (b+ c)

�a2 + ac+ ab+ bc

�= 3 (a+ b) (a+ c) (b+ c)

10. (x� 1) (x� 4) (x� 2) (x� 3) + 10=�x2 � 5x+ 4

� �x2 � 5x+ 6

�+ 10

=h�x2 � 5x

�2+ 10

�x2 � 5x

�+ 24 + 1

i+ 9 =

�x2 � 5x+ 5

�2+ 9

Najmanja vrijednost ovog izraza se dobije kada je�x2 � 5x+ 5

�2= 0:

(jer je�x2 � 5x+ 5

�2 � 0; 8x 2 R) i ona iznosi 9.11. R : 3 (x+ z) (x� z)

�x2 + y2

� �y2 + z2

�12. x3 + y3 + z3 � 3xyz

=��x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

�+ z3

��3xyz + 3x2y + 3xy2

�=h(x+ y)3 + z3

i� 3xy (x+ y + z)

= � � � = (x+ y + z)�x2 + y2 + z2 � xy � yz � xz

�13. 2x4 + 7x3 � 2x2 � 13x+ 6

=�2x4 � 2x3

�+�9x3 � 9x2

�+�7x2 � 7x

�+ (�6x+ 6)

= (x� 1)�2x3 + 9x2 + 7x� 6

�= (x� 1)

��2x3 + 4x2

�+�5x2 + 10x

�+ (�3x� 6)

�= (x� 1) (x+ 2)

��2x2 + 6x

�+ (�x� 3)

�= (x� 1) (x+ 2) (x+ 3) (2x� 1)

52


14. 4x2y2 (2x+ y) + z2�y2 (z � y)� 4x2 (2x+ z)

�= 4x2y2 (2x+ y) + z2

�y2z � y3 � 8x3 � 4x2z

�= 4x2y2 (2x+ y) + z2

�z�y2 � 4x2

��y3 + 8x3

��= (2x+ y)

�4x2y2 + z3y � 2xz3 � y2z2 + 2xyz2 � 4x2z2

�= (2x+ y)

�4x2

�y2 � z2

�� z2y (y � z) + 2xz2 (y � z)

�= (2x+ y) (y � z)

�4x2y + 4x2z � z2y + 2xz2

�= (2x+ y) (y � z) (2x+ z) (2xy � yz + 2xz)

15. (ab+ ac+ bc) (a+ b+ c)� abc= a2b+ 2abc+ a2c+ ab2 + b2c+ bc2 + ac2

= a2 (b+ c) + ab (b+ c) + ac (b+ c) + bc (b+ c)

= (b+ c) a2 + ab+ ac+ bc = (b+ c) (a+ b) (a+ c)

16. Kako je

b (c+ a)2 � 2abc = bh(c+ a)2 � 2ac

i= b

�c2 + a2

�i

c (a+ b)2 � 2abc = ch(a+ b)2 � 2ab

i= c

�a2 + b2

�to je

a (b+ c)2 + b (c+ a)2 + c (a+ b)2 � 4abc= a (b+ c)2 + b

�c2 + a2

�+ c

�a2 + b2

�= a (b+ c)2 + bc2 + ba2 + ca2 + cb2

= a (b+ c)2 + bc (b+ c) + a2 (b+ c) = (b+ c) (c+ a) (a+ b) :

17. (a+ b)3 + 3 (a+ b)2 c+ 3 (a+ b) c2 + c3 ��a3 + b3

�� c3

= (a+ b)�a2 + 2ab+ b2 + 3ac+ 3bc+ 3c2 � a2 + ab� b2

�= (a+ b)

�3ab+ 3ac+ 3bc+ 3c2

�= ::: = 3 (a+ b) (b+ c) (a+ c) :

53


18. x3 + 5x2 + 3x� 9 = x3 � x2 + 6x2 � 6x+ 9x� 9=�x2 + 6x+ 9

�= (x� 1) (x+ 3)2 :

19. ay3 � xy3 � ax3 + x3y + a3 (x� y)= xy

�x2 � y2

�� a

�x3 � y3

�+ a3 (x� y)

= ::: = (x� y)�x2 (y � a) + xy (y � a)� a

�y2 � a2

��= (x� y) (y � a)

�x2 + xy � ay � a2

�= ::: = (x� y) (x� a) (y � a) (a+ x+ y) :

20. R : (x� y) (z � x) (y � z)

54


10.3 Racionalne funkcije

1. a) DP : x2 � 9 6= 0) x 6= �3 (v. def. racionalne funkcije).

Uz ovaj uvjet dati izraz je jednak izrazu

2

(x� 3) (x+ 3) �4

(x+ 3)2� 1

(x� 3)2

=2 (x� 3) (x+ 3)� 4 (x� 3)2 � (x+ 3)2

(x� 3)2 (x+ 3)2

=2�x2 � 9

�� 4

�x2 � 6x+ 9

��x2 + 6x+ 9

�(x� 3)2 (x+ 3)2

=2x2 � 18� 4x2 + 24x� 36� x2 � 6x� 9

(x� 3)2 (x+ 3)2

=�3x2 + 18x� 63(x� 3)2 (x+ 3)2

=�3�x2 � 6x+ 21

�(x2 � 9)2

:

b) DP :

(1) 6xy + 9y2 = 3y (2x+ 3y) 6= 0) y 6= 0 ^ x 6= �32y

(2) 4x2 + 6xy = 2x (2x+ 3y) 6= 0) x 6= 0 ^ x 6= �32y

Dakle, DP : x 6= 0; y 6= 0; x 6= �32y:

Uz ovaj uvjet dati izraz je oblika

4x2

3y (2x+ 3y)� 9y2

2x (2x+ 3y)� 2x3y+3y

2x

=8x3 � 27y3 � 4x2 (2x+ 3y) + 9y2 (2x+ 3y)

6xy (2x+ 3y)

55


=�12x2y + 18xy26xy (2x+ 3y)

=6xy (3y � 2x)6xy (3y + 2x)

=�2x+ 3y2x+ 3y

:

2. a) DP : x� 3 6= 0 ^ x2 � 9 6= 0 ^ 9� 6x+ x2 = (x� 3)2 6= 0

Dakle, DP : x 6= �3:

Uz ovaj uvjet dati izraz se transformi�e u oblik:

5 (x� 3) (x+ 3)� (3x� 1) (x� 3) + (2x+ 6) (x+ 3)(x� 3)2 (x+ 3)

=4x2 + 22x� 30(x� 3)2 (x+ 3)

:

b) DP : a2 � ab+ bx� ax 6= 0:

Kako je a2� ab+ bx� ax = a (a� b)�x (a� b) = (a� x) (a� b) ; toje

DP : (a 6= x ^ a 6= b) :

Uz ovaj uvjet dati izraz ima oblik

a2 � bx(a� b) (a� x) �

3b� a2 (a� b) +

a+ 2x

3 (a� x)

=6�a2 � bx

�� (3b� a) 3 (a� x) + (a+ 2x) 2 (a� b)

6 (a� b) (a� x)

=11a2 � 11ab+ ax� bx6 (a� b) (a� x) =

11a (a� b) + x (a� b)6 (a� b) (a� x)

=(a� b) (11a+ x)6 (a� b) (a� x) =

11a+ x

6 (a� x) :

56


3. DP :

1) (x+ z)2 � y2 = (x+ z � y) (x+ z + y) 6= 02) (x+ y)2 � z2 = (x+ y � z) (x+ y + z) 6= 03) (y + z)2 � x2 = (y + z � x) (y + z + x) 6= 0

DP :

8>><>>:x+ y � z 6= 0;x+ z � y 6= 0;y + z � x 6= 0;x+ y + z 6= 0:

Uz ovaj uvjet dati izraz se (koristeci formulu razlike kvadrata) trans-formi�e u oblik

x+ y � zx+ y + z

+y � x+ zx+ y + z

+z + x� yx+ y + z

=x+ y + z

x+ y + z= 1:

4. DP :

8>><>>:a2 � 3a+ 2 6= 0^

a2 � 4 6= 0 ^ a2 � a� 2 6= 0^

a3 � 2a2 � a+ 2 6= 0

DP :

((a� 1) (a� 2) 6= 0 ^ (a� 2) (a+ 2) 6= 0^

(a+ 1) (a� 2) 6= 0 ^ (a� 2) (a� 1) (a+ 1) 6= 0:

DP : (a 6= �1 ^ a 6= �2) :

R :4

(a2 � 1) (a2 � 4) :

5. DP : x2 + xy + y2 6= 0 ^ x2 � xy + y2 6= 0 ^ x4 + x2y2 + y4 6= 0

Pro�irivanjem prvog razlomka sa x � y (6= 0), drugog sa x + y (6= 0)i treceg sa x2 � y2; dobijamo

x2 � y2x3 � y3 +

x2 � y2x3 + y3

+2�x2 � y2

�x6 � y6

57


= � � � =2x3

�x2 � y2

�+ 2

�x2 � y2

�x6 � y6

=2�x2 � y2

� �x3 + 1

�x6 � y6 =

2�x2 � y2

�x3 � y3

=2 (x� y) (x+ y)

(x� y) (x2 + xy + y2) =2 (x+ y)

x2 + xy + y2:

6. a) DP : a 6= 1:

Uz ovaj uvjet dati izraz se moµze napisati ovako

a

a� 1 �4a2 � a

(a� 1) (a2 + a+ 1) +1

a2 + a+ 1

=a3 � 3a2 + 3a� 1(a� 1) (a2 + a+ 1)

=(a� 1)

�a2 + a+ 1

�� 3a (a� 1)

(a� 1) (a2 + a+ 1) =(a� 1)2

a2 + a+ 1:

b) DP : x 6= 3.

Koristiti µcinjenicu : x3 � 27 = (x� 3)�x2 + 3x+ 9

�:

R :�6

x2 + 3x+ 9:

7. DP : a 6= �b: U ovom sluµcaju "ne isplati" se svoditi sve razlomke nazajedniµcki sadrµzalac. Mnogo je jednostavnije prvo sabrati prva dvarazlomka, zatim dobijeni rezultat sabrati s trecim razlomkom, novirezultat sa µcetvrtim razlomkom...

Na taj naµcin se dobije:

1

a� b +1

a+ b=

2a

a2 � b2 ;

58


2a

a2 � b2 +2a

a2 + b2=

4a3

a4 � b4 ;

4a3

a4 � b4 +4a3

a4 + b4=

8a7

a8 � b8 ;

8a7

a8 � b8 +8a7

a8 + b8=

16a15

a16 � b16 ;

16a15

a16 � b16 +16a15

a16 + b16=

32a31

a32 � b32 :

8. DP : a 6= 0; a 6= �1; a 6= �2; a 6= �3; a 6= �4; a 6= �5 ili

DP : a 2 Rn f0;�1;�2;�3;�4;�5g :

Napi�imo svaki od tih razlomaka na sljedeci naµcin:

1

(a+ k) (a+ k + 1)=(a+ k + 1)� (a+ k)(a+ k) (a+ k + 1)

=1

a+ k� 1

a+ k + 1:

Na osnovu toga dati se izraz moµze napisati ovako

1

a� 1

a+ 1+

1

a+ 1� 1

a+ 2+

1

a+ 2� 1

a+ 3+

1

a+ 3� 1

a+ 4

+1

a+ 4� 1

a+ 5=1

a� 1

a+ 5=

5

a (a+ 5):

9. a) DP : a+ b 6= 0 ^ a� b 6= 0 ^ a2 � b2 6= 0 ^ a2 + 2ab+ b2 6= 0

DP : a 6= �b.

Uz ovaj uvjet dati izraz je jednak izrazu

(a+ b)�a2 � b2

�+ a� b� (a+ b)

a2 � b2 :

�a+ b2

�(a2 � b2)

59


=a3 � b3 + a2b� ab2 � 2b

(a+ b)2:

b) DP : x 6= �1: R : 1:

10. DP : x+ y 6= 0 ^ y � x 6= 0 ^ x2 � y2 6= 0

DP : x 6= �y.

Uz ovaj uvjet dati izraz se moµze napisati u obliku

x (x� y) + y (x+ y)� 2xyx2 � y2 :

(x+ y)2 � 4xyx+ y

=x2 � 2xy + y2(x� y) (x+ y) �

x+ y

x2 � 2xy + y2 =1

x� y :

11. DP :(1) 9� 3x� 3a+ ax = 3 (3� x)� a (3� x)

= (3� a) (3� x) 6= 0) (a 6= 3 ^ x 6= 3)

(2) a2 � 9 6= 0) (a� 3) (a+ 3) 6= 0) a 6= �3

(3) (x� a 6= 0 ^ 3a (a+ 3) 6= 0)) x 6= a ^ a 6= 0 ^ a 6= �3

Dakle,DP : a 6= �3; a 6= 0; a 6= x; x 6= 3: (25)

Imajuci na umu uvjet (25), dati izraz se trnsformira u oblik�3a

(a� 3) (x� 3) �1

(a� 3) (a+ 3) �3a (a+ 3)

x� a

�� x

3 � 273a

=3a (x� a)� 3a (x� 3)(a� 3) (x� 3) (x� a) �

x3 � 273a

=3a (x� a� x+ 3)

(a� 3) (x� 3) (x� a) �(x� 3)

�x2 + 3x+ 9

�3a

60


= �x2 + 3x+ 9

x� a =x2 + 3x+ 9

a� x :

12. DP :�a2 + 2ab 6= 0 ^ a2 � 4b2 6= 0 ^ ab� 2b2 6= 0

�DP : (a 6= 0 ^ b 6= 0 ^ a 6= �2b) (26)

Uz uvjet (26) dati dvojni razlomak se moµze prikazati u obliku

2ab (a� 2b) + 4b � ab� ba (a+ 2b)ab (a2 � 4b2)

2

a2 � 4b2=ab (a� 2b)

2ab=a� 2b2

:

13. DP : x 6= 0; y 6= 0; x 6= �y: R : 1:

14. t2 + 3t+ 2 = t2 + 2t+ t+ 2 = (t+ 1) (t+ 2) ;

t2 + 4t+ 3 = (t+ 1) (t+ 3) ;

t2 + 5t+ 6 = (t+ 2) (t+ 3) ;

R : 2: (t 6= �1;�2;�3) :

15. R : 2x� 1�x 6= �1; x 6= 1

2

�.

16. R :a� ba+ b

�a 6= �b; b2 + 2ab� 3a2 6= 0

�.

17. R :1

xy(x 6= 0; y 6= 0; x 6= �y).

18. R :1

a+ c�a+ c 6= 0; b 6= 0; a� c 6= 0; c 6= 0; c+ c2 � a 6= 0; a2 + ac+ c2 6= 0

�.

61


19. R :a� xa3x3

�a 6= 0; x 6= 0; a� x 6= 0; a2 � ax+ x2 6= 0

�.

20. R :2x4

x8 � 16y8�x2 � 2y2 6= 0; y 6= 0; x2 � 2xy + 2y2 6= 0

�.

62


10.4 Linearne jednadµzbe

1. a) Pomnoµziti i lijevu i desnu stranu jednadµzbe sa

NZS(12; 5; 4) = 60:

Dobijena jednadµzba je ekvivalentna polaznoj:

5 (5x+ 1) + 60 = 12 (3x� 1)� 15 (x� 7), 25x+ 5 + 60 = 36x� 12� 15x+ 105, 25x� 21x = 93� 65, 4x = 28, x = 7:

b) Data jednadµzba je ekvivalentna jednadµzbi (nakon mnoµzenja po-lazne jednadµzbe sa 36):

4 (6x+ 1)2 � 12 (2x� 5)2 = 3 (5x+ 7)2 + 25 + 21x2; ili4�36x2 + 12x+ 1

�� 12

�4x2 � 20x+ 25

�= 3

�25x2 + 70x+ 49

�+ 25 + 21x2;

odnosno

96x2 + 288x� 296 = 96x2 + 210x+ 172, 78x = 468, x = 6:

2. a) DP : (x� 1 6= 0 ^ x� 2 6= 0), odnosno

DP : (x 6= 1 ^ x 6= 2) : (27)

Uz uvjet (27) smijemo datu jednadµzbu pomnoµziti s (x� 1) (x� 2) idobiti njoj ekvivalentnu jednadµzbu:

2 (x� 2)� (3� x) (x� 2) = 2 (x� 1) (x� 2)� (x� 1)2

, x2 � 3x+ 2 = x2 � 4x+ 3, x = 1;

�to je u suprotnosti s (27), tj. jednadµzba nema rje�enja.

b) DP : 5x+ 15 6= 0 ^ x+ 3 6= 0 ^ 3x+ 9 6= 0;tj. DP : x 6= �3:

R : x =42

107:

63


3. DP :

8>>>><>>>>:x2 � 4x = x (x� 4) 6= 0) (x 6= 0 ^ x 6= 4) ;

2x2 + 3x = x (2x+ 3) 6= 0)�x 6= 0 ^ x 6= �3

2

�;

2x2 � 5x� 12 6= 0)�x 6= �3

2^ x 6= 4

�;

jer je

2x2 + 3x� 8x� 12 = x (2x+ 3)� 4 (2x+ 3) = (2x+ 3) (x� 4) :

Dakle, DP : x 6= �32^ x 6= 0 ^ x 6= 4:

Uz ovaj uvjet data jednadµzba je ekvivalentna jednadµzbi3

x (x� 4) �9

x (2x+ 3)=

2

(2x+ 3) (x� 4)

, 3 (2x+ 3)� 9 (x� 4) = 2x, x = 9:

4. DP :

8<:x2 � 5x+ 6 = (x� 2) (x� 3) 6= 0;x2 � 4x+ 3 = (x� 1) (x� 3) 6= 0;x2 � 3x+ 2 = (x� 1) (x� 2) 6= 0:

odnosno

DP : x 6= 1 ^ x 6= 2 ^ x 6= 3:R : x = �6:

5. DP : x 6= 0: Sve decimalne brojeve i sve mje�ovite razlomke pretvoritiu prave razlomke. R : x = 1:

6. DP : x� 2 6= 0 ^ x+ 2 6= 0; tj.

DP : x 6= �2: (28)

Uz uvjet (28) data jednadµzba je ekvivalentna jednadµzbi

x (x+ 2)� (2x+ 3) (x� 2) = �x2 , x = �2:Prema (28) ; x = �2 nije iz DP jednadµzbe, pa ona nema rje�enja.

64


7. a) DP : x 6= 0 ^ x 6= �1:Uz ovaj uvjet data jednadµzba je ekvivalentna jednadµzbi

(x+ 1)2 + x2

x (x+ 1)2x+ 1

x+ 1

= 1;

µcije je rje�enje dobijamo ako je�2x+ 1 6= 0 ^ 2x

2 + 2x+ 1

2x2 + x= 1

�,�x 6= �1

2^ x = �1

�:

Dakle po�to x = �1 ne pripada DP; to jednadµzba nema rje�enja.b) R : x = 3:

8. a) ax+ 2 = 5a� 4x; ili

(a+ 4)x = 5a� 2: (29)

Koristeci Teorem 4:3 dobijamo:

1� a+ 4 6= 0) x =5a� 2a+ 4

; (jedinstveno rje�enje),

2� a = �4) ((29), 0 � x = �22) ; tj. jednadµzba nema rje�enja.b) a3 � ax = b3 � bx, (b� a)x = b3 � a3; ili

(b� a)x = (b� a)�b2 + ab+ a2

�(30)


1� b 6= a) x = b2 + ab+ a2; (jedinstveno rje�enje);

2� b = a) ((30), 0 � x = 0) ;rje�enje je svako x 2 R; (jednadµzba je neodredena).

65


9. a) mx (m+ 2) +m (3x� 2) = m2; ili

m (m+ 5)x = m (m+ 2) (31)


1� (m 6= 0 ^m 6= �5)) x =m+ 2

m+ 5;

2� m = 0) ((31), 0 � x = 0)) rje�enje je svako x 2 R ;3� m = �5) ((31), 0 � x = 15)) jednadµzba nema rje�enja.

b) Prije svega zakljuµcimo da mora biti m 6= 0; n 6= 0: Data je jed-nadµzba ekvivalentna s jednadµzbom

3 (m� n)x = � (m� n) (m+ n) (32)


1� m 6= n) x = �m+ n3

;

2� m = n (6= 0)) ((32), 0 � x = 0) ;) rje�enje je svako x 2 R (jednadµzba je neodredena).

10. Uvjeti za parametre:

(2a� 2b = 2 (a� b) 6= 0 ^ a+ b 6= 0), a 6= �b:Data jednadµzba je ekvivalentna jednadµzbi

2 (1 + a� 3b)x = (a+ b) (1 + a� 3b) :


1� 1 + a� 3b 6= 0) x =a+ b

2;

2� 1 + a� 3b = 0 ^ a 6= �b;rje�enje je svako x 2 R (jednadµzba je neodredena).

66


11. DP : x 6= m ^ x 6= n: Uvjeti za parametre: m 6= 0; n 6= 0: Uz oveuvjete data je jednadµzba ekvivalentna jednadµzbi:

2 (m+ n)x = (m+ n)2 ; odakle

a) ako je m 6= �n; jednadµzba ima jedno rje�enje: x =m+ n

2;

b) ako je m = �n; rje�enje je svako x 2 Rn f�m;mg :

12. a) R : m 6= �10; b) R : m 6= � 4:

13. Data jednadµzba se moµze svesti na oblik (a� 2)2 x = � (a� 2) : Vidise da ona ne moµze biti protivrjeµcna ni za koju vrijednost parametraa:

(Jer ne moµze biti istovremeno (a� 2)2 = 0 i � (a� 2) 6= 0:)

14. DP : x = � a:Rje�enje jednadµzbe je x = 6a; (a 6= 0) pa je x > 0 za a > 0:

15. Prva cifra je x a druga 6 � x: Prema uvjetima zadatka formiramojednadµzbu 10x+ (6� x) = 6 � (6� x) ; odakle je x = 2. Traµzeni brojje 24:

16.7 + x

11� x = 2; (x 6= 11)) x = 5:

17. Nakon x godina otac ce biti dvostruko stariji od kcerke, tj.

42 + x = 2 � (14 + x) ;

odakle je x = 14:

18. Ako sin sada ima x godina, majka ima 3x godina.Prije pet godina toje izgledalo ovako: 3x � 5 = 5 (x� 5) ; odakle je x = 10. Dakle sinima 10 a majka 30 godina.

67


19. Neka je x traµzeni trocifreni broj. Dopisivanjem cifre 8 tom broju slijeve strane dobije se broj 103 � 8 + x; a dopisivanjem cifre 8 tombroju s desne strane dobije se broj 10x + 8: Na taj naµcin imamo:103 � 8 + x� (10x+ 8) = 1107; odakle je x = 765:

20. Prva cijev za jedan sat napuni1

9bazena, a druga

1

12bazena. Ako bi

ga punile istovremeno, obje cijevi bi za 1 sat napunile1

9+1

12=7

36bazena.

Znaµci, cijeli bazen one bi istovremeno napunile za36

7= 5

1

7sati.

21. Neka je x�broj tona µcelika sa 5% nikla. Jasno je da je u 140 tonaµcelika sa 30% nikla bilo (140� x) tona sa 40% nikla. Dakle, koliµcinanikla u µcelicima s razliµcitim % nikla vezana je relacijom

x � 0; 05 + (140� x) � 0; 40 = 140 � 0; 30;

odakle je x = 40: Zakljuµcujemo da prve vrste µcelika treba da bude 40,a druge 100 tona.

22. 30 � 40 + 18 � x+ 24 � (30� x) = 60 � 30) x = 20:

Odgovor: 20 litara od 18� i 6 litara od 24�:

23. Neka je x�stranica kvadrata i (x+ 4)2 = x2 + 64) x = 6;

P = x2 = 36:

68


10.5 Sistemi linearnih jednadµzbi

1. a) Prvu jednadµzbu sistema pomnoµzimo sa (�3) a onda saberemo jed-nadµzbe:(3x+ 5y = 16 /� (�3)

9x� 13y = 76,(�9x� 15y = �48

9x� 13y = 76

, �28y = 28: Dakle, y = �1. Uvr�tavanjem te vrijednosti u prvujednadµzbu sistema, dobijamo 3x� 5 = 16; odakle je x = 7:R : (x; y) = (7;�1) :

b)

8><>:5x+ 4y

7� 1 = 7x� 2y

3� 2 /�21

x

2� 3x� 4y

4=x� y2

/�4

,(3 (5x+ 4y)� 21 = 7 (7x� 2y)� 42

2x� (3x� 4y) = 2 (x� y)

,(�34x+ 26y = �21

�3x+ 6y = 0��133

�,(�34x+ 26y = �21

13x� 26y = 0,(�34x+ 26y = �21

�21x = �21:

Iz druge jednadµzbe je x = 1: Imajuci to u vidu, iz prve jednadµzbe

slijedi y =1

2:

Dakle rje�enje sistema je ureden par (x; y) =�1;1

2

�.

2. a) Prvo se "oslobodimo" razlomaka iz jednadµzbi sistema (prvu jed-nadµzbu pomnoµzimo sa 6 a drugu sa 9). Tako dobijamo ekvivalentansistem:

69


(3x� 2y = �18

5x+ 6y = 138,

8><>:y =

3x+ 18

2

5x+ 6 � 3x+ 182

= 138

,

8<: y =3x+ 18

2

14x = 84

,

8<: y =3x+ 18

2

x = 6

,�y = 18x = 6

:

Dakle, rje�enje sistema je ureden par (x; y) = (6; 18) :

b) R : (x; y) = (2; 3) :

3. a) Prvo se treba "osloboditi" razlomaka iz jednadµzbi sistema (prvujednadµzbu pomnoµzimo sa 12; a drugu sa 15). Time dobijamo sistemekvivalentan datom: (

5x� 4y = 11

5x� 4y = 11;gdje je

D =

�� 5 �45 �4

�� = 0;Dx =

�� 11 �411 �4

�� = 0; Dy =

�� 5 115 11

�� = 0:Po�to je D = Dx = Dy = 0; sistem je neodreden (ima bezbrojrje�enja).

b) Dati sistem (nakon "oslobadanja" od razlomaka i sredivanja) ek-vivalentan je sistemu: (

20x+ 3y = 11

9x+ 4y = �3;

gdje je

70


D =

�� 20 39 4

�� = 20 � 4� 3 � 9 = 53;Dx =

�� 11 3�3 4

�� = 44� (�9) = 53;Dy =

�� 20 119 3

�� = �60� 99 = �159:Po�to je D 6= 0 sistem ima jedinstveno rje�enje:

x =DxD=53

53= 1; y =

DyD=�15953

= �3:

R : (x; y) = (1;�3) :

4. a) Uvedimo nove promjenljive: u =1

x; v =

1

y: Dati sistem sada

poprima oblik 8><>:u+ 2v =

3

2

2u+ 3v =5

2

,(2u+ 4v = 3

4u+ 6v = 5:

Sada imamo

D =

�� 2 44 6

�� = 12� 16 = �4;Du =

�� 3 45 6

�� = 18� 20 = �2; Dv =

�� 2 34 5

�� = 10� 12 = �2:Otuda je:

u =DuD=�2�4 =

1

2) 1

x=1

2) x = 2;

v =DvD=1

2) 1

y=1

2) y = 2

71


R : (x; y) = (2; 2) :

b) R : (6; 4) ;

c) smjena: u =1

x+ y; v =

1

x� y ; R : (x; y) = (3;�2) :

5. a) Dati sistem se moµze napisati u obliku:8>><>>:7

5x� 2y +5

3x+ 2y=1

2

7

�2 (5x� 2y) +45

2 (3x+ 2y)= 1

:

Uvodenjem smjene:7

5x� 2y = u;5

3x+ 2y= v; dobijamo novi sistem8><>:

u+ v =1

2

�12u+

9

2v = 1

,�2u+ 2v = 1�u+ 9v = 2 ; gdje je:

D =

�� 2 2�1 9

�� = 20; Du = �� 1 22 9

�� = 5; Dv = �� 2 1�1 2

�� = 5;u =

DuD=1

4; v =

DvD=1

4:

Dakle,8>><>>:7

5x� 2y =1

4

5

3x+ 2y=1

4

,(5x� 2y = 28

3x+ 2y = 20; D1 =

�� 5 �23 2

�� = 16;

Dx =

�� 28 �220 2

�� = 96; Dy =

�� 5 283 20

�� = 16;72


x =DxD1

= 6; y =DyD1

= 1;

R : (x; y) = (6; 1) :

b) Smjena:1

x+ y � 3 = u;1

2x+ y � 6 = v;

R : (x; y) =

�4;�1

2

�:

6. a) DP : (x+ 2 6= 0 ^ y + 3 6= 0 ^ x 6= 0 ^ y 6= 0) ;

DP : (x 6= �2 ^ y 6= �3 ^ x 6= 0 ^ y 6= 0) :

Uz ovaj uvjet dati sistem je ekvivalentan sistemu:((y + 3) (x+ 3) = (y + 5) (x+ 2)

y (x� 1)� x (y � 5) = 8,(�2x+ y = 1

5x� y = 8

,(�2x+ y = 1

3x = 9,(y = 7

x = 3:

R : (x; y) = (3; 7) :

b) DP : (4 + 3x 6= 0 ^ 5y + 4 6= 0 ^ 6� 4y 6= 0 ^ 6y � 2 6= 0) ;

DP :

�x 6= �4

3^ y 6= �4

5^ y 6= 3

2^ y 6= 1

3

�:

Uz ovaj uvjet dati sistem je ekvivalentan sistemu:((3x+ 2) (5y + 4) = 5y (3x+ 4)

(1� 2x) (6y � 2) = (3x+ 2) (6� 4y),(6x� 5y = �4

�x+ y = 1

,(6x� 5 (x+ 1) = �4

y = x+ 1,(x = 1

y = 2; R : (x; y) = (1; 2) :

73


7. a) DP : y 6= �4; y 6= 0; x 6= 0; y 6= 3; R : (x; y) =

�20

3;95

18

�:

b) DP : y 6= �1; y 6= �3; 15� 8x� 4y 6= 0; 5� 16x+ 4y 6= 0;

R : (x; y) = (4; 10) :

8. a) DP : x 6= �b; y 6= a:

Uvodimo nove promjenljive smjenama:1

x+ b= u;

1

y � a = v: Tada

imamo sistem �au� bv = 1bu� av = 1; (33)

odakle je

D =

�� a �bb �a

�� = �a2 + b2 = b2 � a2;Du =

�� 1 �b1 �a

�� = �a+ b = b� a; Dv =

�� a 1b 1

�� = � (b� a) :Sistem (33) je ekvivalentan sistemu:(

D � u = DuD � v = Dv

,((b� a) (b+ a) � u = b� a

(b� a) (b+ a) � v = � (b� a) :

1) ako je a 6= �b; tj. D 6= 0; onda je u =1

b+ a; v = � 1

b+ a;

odnosno1

x+ b=

1

b+ a) x = a;

1

y � a = � 1

b+ a) y = �b; tj.

R : (x; y) = (a;�b) ;

2) ako je a = b, tada je D = Du = Dv = 0, tj. sistem je neodreden;

3) ako je a = �b, tada je D = 0; Du = 2b; Dv = �2b; to su moguciovi sluµcajevi:

74


i) b = 0) D = Du = Dv = 0 i sistem je neodreden;

ii) b 6= 0) D = 0; Du 6= 0; Dv 6= 0 i sistem nema rje�enja.

b) D =

�� m m+ nm� n �n

�� = �mn� (m� n) (m+ n)D = �mn�m2 + n2;

Dx =

�� 2m+ n m+ nm� 2n �n

�� = �n (2m+ n)� (m+ n) (m� 2n)Dx = �mn�m2 + n2;

Dy =

�� m 2m+ nm� n m� 2n

�� = m (m� 2n)� (m� n) (2m+ n)Dy = �mn�m2 + n2:

Ako je �mn�m2 + n2 6= 0, sistem ima jedinstveno rje�enje (x; y) =(1; 1), a ako je �mn�m2 + n2 = 0; sistem je neodreden.

9. a) DP : x 6= a; y 6= �b; uvesti smjenu b

y + b= u;

a

x� a = v; pa sedobije sistem u� 3v = �2^ 2u+ v = 3; µcija su rje�enja u = 1; v = 1:Otuda je x = 2a; y = 0:

b) R : x = a2; y =a

2(a 6= 0; a 6= 1) :

Za a 6= 2 je y = �2; x = a + 2; pa je rje�enje datog sistema dvojkanegativnih brojeva ako i samo ako je a < �2: Za a = 2 sistem jeneodreden, tj. svodi se na jednadµzbu x + y = 2: Oµcito rje�enja ovejednadµzbe ne moµze biti nijedna dvojka negativnih brojeva.

10. a 2 Zn f2g ) (x = a� y; y = �2) ; a = 2) (x = 2� y; y) (y 2 Z)

75


11. Neka je traµzeni broj 10x+ y: Prema uvjetima zadatka imamo sistem((10x+ y) + 9y = 70

(10x+ y)� 27 = 10y + x,(x� y = 3

x+ y = 7,(x = 5

y = 2:

Dakle traµzeni broj je 52.

12. Neka je x�broj dana za koji prvi radnik moµze sam zavr�iti posao, ay�broj dana za koji drugi radnik moµze sam zavr�iti posao. Za jedan

dan prvi radnik uradi1

xposla, a drugi

1

yposla. Kad rade jedan dan

zajedno oni urade1

10posla, tj.

1

x+1

y=1

10: (34)

Radeci 7 dana zajedno oni urade 7�1

x+1

y

�posla, a cio posao se

uradi kada drugi radnik za sljedecih 9 dana uradi 9 � 1yposla. Dakle,

vrijedi

7

�1

x+1

y

�+ 9 � 1

y= 1: (35)

Jednaµcine (34) i (35) µcine sistem µcije je rje�enje x = 30; y = 15:

13. x�brzina prvog, y�brzina drugog tijela;

12x+ 12y = 100 ^ 50x� 50y = 100:

R : x =31

6; y =

19

6:

14. x�kraca stranica, y�duµza stranica pravougaonika. Dijagonala d imaduµzinu d = x2 + y2: Dakle,(

x2 + y2 = (x+ 8)2 + (y � 4)2

(x+ 8) (y � 4) = xy + 240;

76


odakle je x = 16; y = 42:

15. Neka je veci broj x, a manji broj y. Ako vecem broju dopi�emo tri cifre(nulu i dvije cifre manjeg broja), onda ce cifre veceg broja izraµzavatibroj hiljada, odnosno imacemo 1000y+x. S druge strane, od manjegbroja dobijemo 1000y + 10x. Prema uslovu zadatka je

1000x+ y = 2(1000y + 10x) + 590;

2x+ 3y = 72:

R : x = 21; y = 10:

77


10.6 Linearne nejednadµzbeSistemi linearnih nejednadµzbi

1. a) 4x(x� 2) + 5x� 1 < x+ 4� 2x(1� 2x)

, 4x2 � 3x� 1 < �x+ 4 + 4x2

, �2x < 5 /: (�2) , x > �52: Gra�µcki prikaz je na Sl. 5.1:

b) R : x � 5

2_ x 2

��1; 5

2

�.

Sl. 5.1

2. a) Mnoµzenjem date nejednadµzbe sa 12 (znak nejednakosti se ne mi-jenja, jer je 12 > 0!) dobijamo njoj ekvivalentnu nejednadµzbu:

4(9x+ 1)� 3(7x+ 1) > 3x+ 1

78


odakle je 12x > 0, odnosno x > 0 (ili x 2 h0;+1i). (Sl. 5.2)

Sl. 5.2

b) R : x � 4 (ili x 2 h�1; 4] ; Sl. 5.3).

Sl. 5.3

3. a)2� x2

+x

3>x+ 2

2� 2x� 6

3/�6

, 3(2� x) + 2x > 3(x+ 2)� 2(2x� 6)

, �x+ 6 > �x+ 18, 6 > 18;

�to je nemoguce. Dakle, nejednadµzba nema rje�enja ili x 2 ;.

b) R : x � 1

5(ili x 2

�1

5;+1

�):

79


4. a) (2x+ 4 > 3x� 2 ^ 3x+ 1 < 2 (x+ 1) + x)

, (�x > �6 ^ 1 < 2), (x < 6 ^ x 2 h�1;+1i)

, x < 6 (ili x 2 h�1; 6i);

b) (x < 2� 3x ^ 5 (x� 2) + 3 < 1� 2x)

,�x <

1

2^ x < 8

7

�, x <

1

2. (Sl. 5.4)

Sl. 5.4

5. a) Dati sistem nejednadµzbi ekvivalentan je sa:

(4x� 1� 2 (5x+ 1)� 3 (2� x) � 0 ^ 15 (x+ 1)� 10 < 6x)

, (�3x � 9 ^ 9x < �5),�x � �3 ^ x < �5

9

�80


, x � �3 ili x 2 (�1;�3] (v. Sl. 5.5)

Sl. 5.5

b) Dati sistem je ekvivalentan sistemu:�x >

3

74^ x < �5

4

�tj. x 2 ; ( sl. 5.6 ).

Sl. 5.6

Napomena: Zadaci oblika 6 � 12 najlak�e se rje�avaju uz pomoctablice (vizuelni efekat je najbolji u ovom sluµcaju).

6. Odredimo nule svakog od faktora na lijevoj strani znaka nejednakosti:

x� 4 = 0) x = 4; x+ 3 = 0) x = �3;

81


a zatim uz pomoc tablice odredimo znake tih faktora kad se x mijenjaod �1 do +1 :

x �1 �3 4 +1A = x� 4 � � � 0 +

B = x+ 3 � 0 + + +

A �B + 0 � 0 +

Dakle, (x�4)(x+3) < 0 vrijedi za x 2 h�3; 4i (kako se vidi u tablici),tj. rje�enje je onaj interval u kome proizvod (x� 4)(x+ 3) ima znak"� ".

b) R : x 2�1

4;3

2

�:

7. a) Nule faktora na lijevoj strani znaka jednakosti su

x = 2; x = �13; x =

2

3:

Odgovarajuca tablica ima oblik:

x �1 �13

2

32 +1

A = x� 2 � � � � � 0 +

B = 3x+ 1 � 0 + + + + +

C = 2� 3x + + + 0 � � �A �B � C + 0 � 0 + 0 �

Dakle, (x� 2) (3x+ 1) (2� 3x) � 0; za x 2��13;2

3

�[ [2;+1) :

b) R : x 2��1;�3

4

�.

82


8. a) Odredimo nule brojnika i nazivnika razlomka s lijeve strane znakanejednakosti:

2x� 1 = 0) x =1

2; 1� 4x = 0) x =

1

4;

a onda rezultat odredimo uz pomoc tablice (kao i u prethodnimzadacima):

x �1 1

4

1

2+1

A = 2x� 1 � � � 0 +

B = 1� 4x + 0 � � �A=B � ND + 0 �

2x� 11� 4x > 0; za x 2

�1

4;1

2

�:

(Oznaka "ND" znaµci nije de�nisano.)

b) R : x 2 [�7; 2]

c) R : x 2��1; 1

3

�[�1

2;+1

�.

9. a) Nejednadµzbe s razlomcima ovog oblika obiµcno se svode na oblik ukome ce na desnoj strani znaka nejednakosti biti samo broj 0. Takoimamo:x� 1x+ 2

> 3, x� 1x+ 2

� 3 > 0, x� 1� 3x� 6x+ 2

> 0

, �2x� 7x+ 2

> 0 /�(�1) , 2x+ 7

x+ 2< 0:

Odakle je (koristiti tablicu) R : x 2��72;�2

�.

b) Data nejednadµzba je ekvivalentna sa5x� 5x� 3 � 0:

83


Odgovarajuca tablica ima oblik:

x �1 1 3 +1A = 5x� 5 � 0 + + +

B = x� 3 � � � 0 +

A=B + 0 � ND +

5x� 5x� 3 � 0; za x 2 [1; 3) :

c) R : x 2��56;�35

�:

10. a) DP : x 6= �23

^ x 6= 3

2: Uz ovaj uvjet vrijedi:

1

3x+ 2� 1

2x� 3 ,1

3x+ 2� 1

2x� 3 � 0

, 2x� 3� (3x+ 2)(3x+ 2)(2x� 3) � 0

, �x� 5(3x+ 2)(2x� 3) � 0 = � (�1), x+ 5

(3x+ 2)(2x� 3) � 0:

Ako uzmemo da je A = x+5; B = 3x+2 i C = 2x� 3; odgovarajucatablica izgleda ovako:

x �1 �5 �23

3

2+1

A � 0 + + + + +

B � � � 0 + + +

C � � � � � 0 +

A=BC � 0 + ND � ND +

R : x 2 (�1;�5] [��23;3

2

�:

84


b) R : x 2��43;�14

�[�2

5;+1

�.

11. a) jxj < 3, �3 < x < 3; tj. x 2 h�3; 3i.

b) jxj > 3, (x < �3 _ x > 3); tj. x 2 h�1;�3i [ h3;+1i

c) jx� 2j � 2, �2 � x� 2 � 2, (�2 � x� 2 ^ x� 2 � 2), (0 � x ^ x � 4), (0 � x � 4); tj. x 2 [0; 4] :

12. a)

��x+ 2x� 1

�� 2, �x+ 2

x� 1 � �2 _x+ 2

x� 1 � 2�

,�x+ 2

x� 1 + 2 � 0 _x+ 2

x� 1 � 2 � 0�

, (x 2 [0; 1i _ x 2 h1; 4]), x 2 [0; 1i [ h1; 4] :

b)

��x� 3x+ 1

�� < 1

2,��12<x� 3x+ 1

^ x� 3x+ 1

<1

2

�

,�x� 3x+ 1

+1

2> 0 ^ x� 3

x+ 1� 12< 0

�

,�x 2 h�1;�1i [

�5

3;+1

�^ x 2 h�1; 7i

�

x 2�h�1;�1i [

�5

3;+1

��\ h�1; 7i , x 2

�5

3; 7

�:

13. a) a� ax < b+ bx, a� b < (a+ b)x;

(a+ b)x > a� b (36)

1) a > �b) x >a� ba+ b

;

85


2) a < �b) x <a� ba+ b

;

3) a+ b = 0; tj: a = �b) ((36), 0 � x > �2b)

i razlikujemo dva sluµcaja:

i) b � 0) �2b > 0) 0 � x > 0; tj. x 2 ;;ii) b > 0) �2b < 0) rje�enje je svako x 2 h�1;+1i :

(v. Teorem (6:1) o rje�avanju linearne nejednadµzbe u ovisnosti oparametrima)

b) 2�m > 0; tj. za

8>>>>>><>>>>>>:

m < 2) x <4

2�m ;

m > 2) x >4

2�m ;

m = 2) x 2 h�1;+1i :

c) Za

8>>>>>><>>>>>>:

m > �3) x � �4m+ 3

;

m < �3) x � �4m+ 3

;

m = �3) x 2 h�1;+1i :

14. a) Data nejednadµzba ekvivalentna je nejednadµzbi

m(m� 3)x > 3(m� 3): (37)

1) m(m� 3) > 0; tj: m 2 h�1; 0i [ h3;+1i ) x >3

m;

2) m(m� 3) < 0; tj. m 2 h0; 3i ) x <3

m;

3) m = 0) ((37), 0 � x > �9)) x 2 h�1;+1i ;

86


4) m = 3) ((37), 0 � x > 0)) x 2 ;:

a) Data nejednadµzba ekvivalentna je sa

(m3 � 1)x > 2(m2 +m+ 1); odnosno

(m� 1)(m2 +m+ 1)x > 2(m2 +m+ 1): (38)

Kako je m2 +m+ 1 > 0; 8m 2 h�1;+1i ; jer

a = 1 > 0 ^D = �3 < 0;

to se nejednadµzba (38) svodi na oblik

(m� 1)x > 2:

Sada se diskusija jednostavno izvodi.

15. a) a 2 h0; 4i b) a 2�4;16

3

�:

87


10.7 Kvadratna funkcijaKvadratne jednadµzbe i nejednadµzbe

10.7.1 Nule i znak kvadratne funkcijeKvadratne jednadµzbe i nejednadµzbe

1. f(2) = 4a+2b+c = 0; f(3) = 9a+3b+c = �7; f(�2) = 4a�2b+c = 8:

Ovaj sistem se moµze brzo rije�iti metodom supstitucije (iz prve jed-nadµzbe slijedi c = �4a� 2b i to uvrstiti u druge dvije, itd.)

R : a = �1; b = �2; c = 8:

2. (p� 1) � 25� (p+ 4) � 5 + p+ 3 = 0 ) p = 2:

3. a) f(x) = �x2 < 0; 8x 2 h�1;+1i

b) f(x) = ax2 + x = x (ax+ 1) ; f(x) = 0,�x = 0 _ x = �1

a

�

1� Ako je a > 0; tada, prema Slici 8.1, imamo:

f(x) > 0 za x 2��1;�1

a

�[ h0;+1i ;

f(x) < 0 za x 2��1a; 0

�:

2� Ako je a < 0; sliµcno se zakljuµcuje (Slika 8.2).

88


x

y

Slika 8.1

x

y

Slika 8.2

4. Kako je a = 3 > 0; da bi data nejednadµzba bila zadovoljena za svakurealnu vrjednost x mora da bude D < 0; odnosno

4�m2 � 36

�< 0; tj. m 2 h�6; 6i :

5. Diskriminanta trinoma x2 � 4x + b � 15 mora biti negativna pa sedobije b > 19.

6. R : a 2 h�8; 2i.

7. a) Data jednadµzba je ekvivalentna jednadµzbi 5x2 + 12x = 0; odnosno

x(5x+ 12), odakle je x1 = 0; x2 = �12

5:

b) R : x = �7:

89


8. a) R : x = �ap2 b) R : x = �

ra2 + b2

2;

c) R : x1 = 1; x2 = 4p2� 7.

9. a) DP : x 6= �5: Uz ovaj uvjet data jednadµzba je ekvivalentna sa

(5� x)2 + (x+ 5)2 = 100, x2 � 25 = 0, x = �5 =2 DP;

dakle, jednadµzba nema rje�enja.

b) R : x = �2:

10. DP :�x2 + 2x� 3 6= 0 ^ x2 � 6x+ 5 6= 0 ^ x2 � 2x� 15 6= 0

�Kako je

8<:x2 + 2x� 3 = (x� 1) (x+ 3) ;x2 � 6x+ 5 = (x� 1) (x� 5) ;x2 � 2x� 15 = (x+ 3) (x� 5) ;

to je

DP : (x 6= �3 ^ x 6= 1 ^ x 6= 5)i, vodeci raµcuna o DP , data jednadµzba ekvivalentna sa

(2x� 1) (x� 5)� (3x+ 1) (x+ 3) = (x� 20) (x� 1) ;

x2 = �9, x1;2 = �3i:

11. D = 4p2 � 4 (p� 4) � 5 > 0, p 2 h0; 5i

12. DP : x 6= a:Uz ovaj uvjet data jednadµzba je ekvivalentna jednadµzbi

x2 � 6x+ a2 = 0:

Kako je D = 4�9� a2

�; vrijedi:

a) Za a 2 [�3; 3] rje�enja su realna i to: za a 2 h�3; 3i rje�enja surealna i razliµcita, a za a = �3 rje�enja su dvostruka.

90


b) Za a 2 h�1;�3i [ h3;+1i rje�enja su konjugirano kompleksnibrojevi.

Napomena: Nejednadµzbe ovog oblika (zad. 13 � 15) najlak�e jerje�avati uz pomoc tablice.

13. Odredimo prvo nule pojedinih faktora:

A = x2 � 4x� 5 = 0, (x = �1 _ x = 5) ;

B = x2 + 2x� 3 = 0, (x = �3 _ x = 1) :

Odgovarajuca tablica izgleda ovako:

x �1 �3 �1 1 5 +1A + + + 0 � � � 0 +

B + 0 � � � 0 + + +

AB + 0 � 0 + 0 � 0 +

R : x 2 h�3;�1i [ h1; 5i :

14. a) R : x 2 h�2; 1i[h3;+1i ; b) R : x 2 h�1;�1i[��1;�1

2

�[

h5;+1i :

15. a)�x2 + 2x� 52x2 � x� 1 < �1, x2 + x� 6

2x2 � x� 1 < 0;

R : x 2��3;�1

2

�[ h1; 2i :

b) R : x 2 h�1;�3i [ h�1; 3i [ h5;+1i.

16. Kvadratni trinom x2 � x + 1 je uvijek pozitivan, jer je D < 0, akoe�cijent uz x2 je 1 > 0.

91


Prema tome, dati sistem je ekvivalentan sistemu(�3x2 + 3x� 3 < x2 + ax� 2

x2 + ax� 2 < 2x2 � 2x+ 2,(4x2 + (a� 3)x+ 1 > 0

x2 � (a+ 2)x+ 4 > 0

Ove nejednadµzbe su zadovoljene za svako x 2 R, ako su odgovarajucediskriminante negativne, tj.

(a� 3)2 � 16 < 0 ^ (a+ 2)2 � 16 < 0 (39)

Skup rje�enja prve nejednadµzbe je h�1; 7i, a druge h�6; 2i.Skup rje�enja sistema nejednadµzbi (39) je

h�1; 7i \ h�6; 2i = h�1; 2i :

17. R : k 2 h�5; 1i.

18. Ako radnik A zavr�i posao za x dana, on ce za jedan dan zavr�iti1

x�ti dio posla. Radnik B ce za jedan dan zavr�iti

1

x+ 3dio posla.

Oba radnika za jedan dan zavr�e1

2posla, tj. vrijedi:

1

x+

1

x+ 3=1

2, (x = 3 _ x = �2) :

U obzir, jasno, dolazi samo rje�enje x = 3.

19. Ako bi cijev A sama napunila bazen, a onda ispraµznjeni bazen cijevB napunila sama, to bi ukupno trajalo 50 sati. Neka cijev A samanapuni bazen za x sati. Tada ce cijev B sama napuniti bazen za 50�xsati. Po�to obje cijevi zajedno napune bazen za 12 sati, za jedan sat

ce napuniti1

12bazena. Dakle, vrijedi :

1

x+

1

50� x =1

12, x = 30.

92


20. Neka je v traµzena brzina. Vrijeme koje je biciklista proveo u voµznji

od mjesta A do mjesta B je60

v, a u obrnutom smjeru

60

v + 4. Prema

uslovu zadatka je

60

v=

60

v + 4+1

6, (v = �40 _ v = 36) :

Dakle, traµzena brzina je 36 km=h:

(Drugo rje�enje ne dolazi u obzir.)

93


10.7.2 Ekstrem i tok kvadratne funkcije

1. � = � b

2a= 2) 2�+ 1

2�= 2, � =

1

2; y =

1

2x2 � 2x+ 3:

Funkcija nema realnih nula, a po�to je koe�cijet1

2> 0, gra�k se

nalazi potpuno iznad x-ose.

Tjeme parabole je T (2; 1). Funkcija opada u intervalu h2;+1i.Gra�k je dat na Slici 8.3 (on sijeµce y-osu za x = 0; tj. u y = 3).

1 1 2 3 4 5

1

1

2

3

4

x

y

Slika 8.3 Tjeme parabole: T (2; 1)

2. � = �p2= �1) p = +2; � =

4q � p24

= �4) q = �3.

94


3. y = 0 za x = 6) 36a+ 6b+ c = 0;

� b

2a= 4;

4ac� b24a

= �8:

R : a = 2; b = �16; c = 24:

4. a) �1 =4 (m� 1)�m2

4; �2 =

4m� 44

; pa imamo

4 (m� 1)�m2

4=4m� 44

, m = 0:

Dakle, date funkcije postaju y = x2 � 1 i y = x2 � 2x:

b) Sistem x2 � 1 < 0 ^ x2 � 2x > 0 ima rje�enje x 2 h�1; 0i.

5. S = x2 + (18� x)2 = 2x2 � 36x+ 324;

x = � = � b

2a= 9) Smin = 81:

6. P = ab; 2a+ 2b = 24) b = 12� a) P (a) = a (12� a) = �a2 + 12a;

Pmax = 36 za a = � 12�2 = 6:

95


10.7.3 Vietove formule

1. Prema Vietovim formulama vrijedi

x1 + x2 =2 (m+ 1)

m;x1 � x2 =

m� 4m

; (m 6= 0) :

Data relacija se moµze, na osnovu toga, pisati u obliku

16x1 � x2 + 4 (x1 + x2) = 17

16 � m� 4m

+ 4 � 2 (m+ 1)m

= 17, m = 8:

2. x1 + x2 = m; x1 � x2 = ��m2 + 5

�:

Data relacija ima oblik

4

x1x2=x1 + x2x1x2

� 12, � 4

5 +m2=

m

� (5 +m2)� 12

, m2 + 2m� 3 = 0, (m1 = 1;m2 = �3) :

3. Iz relacija: x1 + x2 = 2m; x1 � x2 = m2 + 1 slijedi

x21 + x22 = 16, (x1 + x2)

2 � 2x1x2 = 16,4m2 � 2

�m2 + 1

�= 16, m = �3:

4. R : m1 = 3; m2 =21

20.

5. Iz Vietovih formula: x1 + x2 = 1; x1 � x2 = m slijedi

x31 + x32 = 7, (x1 + x2)

3 � 3x1x2 (x1 + x2) = 7,

, 1� 3m = 7, m = �2:

96


6. x1 = 2x2 ^ x1 + x2 =2m+ 1

2^ x1x2 =

m2 � 9m+ 392

,�3x2 =

2m+ 1

2^ 2x22 =

m2 � 9m+ 392

�

, 2 ��2m+ 1

6

�2=m2 � 9m+ 39

2, (m = 10 _m = 7)

, (x1 = 7; x2 = 3; 5) _ (x1 = 5; x2 = 2; 5):

7. Traµzena jednadµzba ima oblik y2 + py + q = 0, gdje je

p = y1 + y2 =(x1 + 1) (x2 � 1) + (x1 � 1) (x2 + 1)

(x1 � 1) (x2 � 1)

p =2x1x2 � 2

x1x2 � (x1 + x2) + 1=2 � 16 � 216 �

56 + 1

= �5;

q = y1 � y2 =(x1 + 1) � (x2 + 1)(x1 � 1) (x2 � 1)

=x1x2 + (x+x2) + 1

x1x2 � (x1 + x2) + 1

q =16 +

56 + 1

16 �

56 + 1

= 6;

jer je x1 + x2 =5

6; x1 � x2 =

1

6:

8. R : 6y2 + 5y � 3 = 0

9. Prije svega rje�enja moraju biti relna, tj. D � 0.a) Vrijedi ekvivalencija:

(x1 > 0 ^ x2 > 0), (D � 0 ^ p < 0 ^ q > 0) ;

97


gdje su p; q iz formule (12). Dakle, da bi rje�enja bila pozitivnapotrebno je i dovoljno da vrijedi

m2 � 7m+ 6 � 0 ^ 2m

m� 2 > 0 ^2m� 3m� 2 > 0:

Odavdje se dobije

m 2 [1; 6] \ (h�1; 0i [ h2;+1i) \��1; 3

2

�[ h2;+1i

�;

m 2 h2; 6] :

b) Da bi bilo x1 < 0 i x2 < 0, potrebno je i dovoljno da je

D � 0 ^ p > 0 ^ q > 0;

�to je ispunjeno ako isamo ako je m 2�1;3

2

�.

c) Rje�enja imaju razliµcit znak ako i samo ako je D > 0^q < 0. Po�toje, medutim, q =

c

a;mora biti

c

a< 0, pa slijedi da jeD = b2�4ac > 0.

Znaµci, uvjet q < 0 povlaµci uvjet D > 0, pa ga ne treba ni navoditi.

Imamo, dakle, x1 � x2 < 0, q < 0, m 2�3

2; 2

�.

10. (x1 + x2 = �p ^ x1x2 = q), (p+ q = �p ^ pq = q)

, (p = 0; q = 0 _ p = 1; q = �2) :

Dakle, dvije kvadratne jednadµzbe zadovoljavaju postavljeni uvjet:

x2 = 0 i x2 + x� 2 = 0.

11. Prema formuli (13) imamo:

a) 2x2 + x� 15 = 2 (x+ 3)�x� 5

2

�= (x+ 3) (2x� 5) ;

98


b) 3x2 � 8x+ 4 = 3�x� 2

3

�(x� 2) = (3x� 2) (x� 2) ;

c) R : (2x+ 1) (5x+ 2) ; d) R : (x+ 3) (2x� 1) :

12. a)(x� 1) (x+ 1)

�x2 + 1

�(x+ 1) (3x� 2) =

(x� 1)�x2 + 1

�3x� 2 ;

�x 6= �1; x 6= 2

3

�

b)x� 32x� 3

�x 6= 1

2; x 6= 3

2

�

c)x (x+ 1)

(x+ 1) (3x� 5) =x

3x� 5

�x 6= �1; x 6= 5

3

�.

13. a)x

(x� 1) (x� 2) �(x+ 1)

(x+ 3) (x� 1) =4x+ 2

(x� 1) (x� 2) (x+ 3)

(x 6= �3; x 6= 1; x 6= 2),

b) R :9

(2a+ 3) (a� 3)

�a 6= �3

2; a 6= 3; a 6= �1

2

�:

99


10.8 Eksponencijalna funkcijaEksponencijalne jednadµzbe i nejednadµzbe

1. a) Funkcija y = 3x je de�nirana za svako x 2 R. Ona je pozitivna zasvako x 2 R; (3x > 0;8x 2R).

Po�to je baza a = 3 > 1, funkcija je monotono strogo rastuca, tj.vrijedi

x1 < x2 , 3x1 < 3x2 :

Funkcija sijeµce y-osu u taµcki (0; 1), jer je 30 = 1. Osim toga, po�toje a = 3 > 1, onda vrijedi 0 < 3x < 1 za x 2 h�1; 0i i 3x > 1 zax 2 h0;+1i.

Tabelarni prikaz za neke vrijednosti dat je u sljedecoj tabeli:

x �2 �1 0 1 2

y1

9

1

31 3 9

100


a gra�k funkcije dat je na slici:

3 2 1 0 1 2

1

2

3

x

y

Gra�k funkcije y = 3x:

2. a) c2 (x)� s2 (x) =�ax + a�x

2

�2��ax � a�x

2

�2=

a2x + 2a0 + a�2x

4� a

2x � 2a0 + a�2x4

=

a2x + 2 + a�2x � a2x + 2� a�2x4

=4

4= 1:

b) s (2x) =a2x � a�2x

2=a2x � 1

a2x

2=

�ax � 1

ax

� �ax + 1

ax

�2

=

2 � ax � a�x2

� ax + a�x

2= 2s (x) c (x) :

101


c) c (2x) =a2x + a�2x

2=2a2x + 2a�2x

4=

a2x + 2 + a�2x

4+a2x � 2 + a�2x

4=

�ax + a�x

2

�2+

�ax � a�x

2

�2= c2 (x) + s2 (x)

3. 2x�1 = 45 , 2x�1 = 210 , x� 1 = 10, x = 11

4. xp16 =

p4x , 16

1x = 4

x2 , 4

2x = 4

x2 , 2

x=x

2,

4 = x2 , x1;2 = �2

5. 4x � 4x�2 = 240, 4x � 4x � 4�2 = 240, 4x � 4x

16= 240,

4x�1� 1

16

�= 240, 4x � 15

16= 240, 4x = 162 ,

4x = 44 , x = 4:

6.p324x�6 = 0; 25 � 1282x�3 , 32

4x�62 = 1

4 � 27(2x�3)

, 25(2x�3) = 2�2+7(2x�3) , x = 2

7. 3x�12 � 2x+13 = 2

x�23 + 3

x�32 , 3

x�12 � 3x�32 = 2

x�23 + 2

x+13

, 3x�32 � 31 � 3x�32 = 2

x�23 + 2

x�23 � 21

, 3x�32 � 2 = 2x�23 � 3, 3

x�32�1 = 2

x�23�1 , 3

x�52 = 2

x�53

, p

33p2

!x�5= 1, x� 5 = 0, x = 5:

102


8. 7 � 3x+1 � 5x+2 = 3x+4 � 5x+3 , 7 � 3x+1 � 3x+4 = 5x+2 � 5x+3

, 7 � 3 � 3x � 3x � 34 = 5x � 52 � 5x � 53 , 3x (21� 81) = 5x (25� 125)

, 3x

5x=5

3,�3

5

�x=

�3

5

��1, x = �1

9. 2 � 3x+1 � 4 � 3x�2 = 450, 2 � 3x � 31 � 4 � 3x � 3�2 = 450

, 3x�6� 4

9

�= 450, 3x = 34 , x = 4:

10. 3 � 4x + 13� 9x+2 = 6 � 4x+1 � 1

2� 9x+1

, 3 � 4x � 6 � 4 � 4x = �13� 81 � 9x � 1

2� 9 � 9x , �21 � 4x = �63

2� 9x

,�4

9

�x=3

2,�2

3

�2x=

�2

3

��1, 2x = �1, x = �1

2

11. 3x+1 + 18 � 3�x = 29, 3 � 3x + 18 � 13x= 29.

Smjena 3x = t daje jednadµzbu:

3t+ 18 � 1t= 29, 3t2 � 29t+ 18 = 0,

�t = 9 _ t = 2

3

�t = 9) 3x = 9) x = 2;

t =2

3) 3x =

2

3) 3x+1 = 2) x+ 1 = log3 2) x = log3 2� 1:

12. DP : x � 2. Uvesti smjenu 2px�2 = t.

Rezultat: x1 = 3; x2 = 11.

13. R: x1 = 4 ; x2 = 16.

14. Uvodenjem smjene 5x = t data se jednadµzba transformira u jednadµzbut2 � 20t� 125 = 0, µcija su rje�enja t1 = 25 i t2 = �5. Drugo rje�enje,jasno, ne dolazi u obzir (jer je 5x > 0; 8x 2 R). Dakle, x = 2.

103


15. Smjena xx = t) t1 = 1; t2 = 27) x1 = 1; x2 = 3.

16. DP : x � 0. Jednadµzba je ekvivalentna jednadµzbi9 �3

px+x�3

px+x = 9x�9

px+1 , 9 �3

px+x+9 �9

px�3

px+x�9x = 0

, 9 � 3px+x + 9 � 32

px � 3

px+x � 32x = 0

, 9 � 3px�3x + 3

px�� 3x

�3px + 3x

�= 0

,�3x + 3

px��9 � 3

px � 3x

�= 0, 9 � 3

px = 3x

, 3px+2 = 3x ,

px+ 2 = x, x� 2

px+

px� 2 = 0

, (px� 2) (

px+ 1) = 0,

px� 2 = 0, x = 4:

Dakle, rje�enje date jednadµzbe je x = 4.

17. 22x2+ 25

x2�12 > 5x

2 , 22x2+ 5x

2�1 > 5x2 , 22x

2> 5x

2

�1� 1

5

�

,�4

5

�x2>4

5, x2 < 1; (jer je baza

4

5< 1);

Rezultat: x 2 h�1; 1i.

18. x 2 h�1;+1i.

19. DP : x � 0 tj. x 2 [0;+1i.Data nejednadµzba je ekvivalentna sa

22x � 3 � 2px � 2x � 22

px � 4 � 0

, 22x + 2px � 2x � 4 � 2

px � 2x � 4 � 22

px � 0

, 2x�2x + 2

px�� 4 � 2

px�2x + 2

px�� 0

,�2x + 2

px��2x � 4 � 2

px�� 0

, 2x � 4 � 2px � 0, 2x � 2

px+2 , x �

px+ 2

104


, (x� 2)2 � x, x2 � 5x+ 4 � 0, x 2 [1; 4] ;a to se uklapa u DP; pa i jeste rezultat.

20. DP : x � 2.Uvodenjem smjene (v. z. 12) t = 2

px�2, dobijamo t � 2 _ t � 8,

odnosno x � 3 _ x � 11 �to zajedno sa DP dajeR : x 2 [2; 3] [ [11;+1i.

21. x 2��1; 3

2

�.

22. Data nejednadµzba je ekvivalentna sa:

25 � 2x � 25 > 10x � 5x , 25 (2x � 1) > 5x (2x � 1), (2x � 1)

�52 � 5x

�> 0; tj.

10�2x � 1 > 0 ^ 52 � 5x > 0

�, (x > 0 ^ x < 2), 0 < x < 2

20�2x � 1 < 0 ^ 52 � 5x < 0

�, (x < 0 ^ x > 2), x 2 ;

R : 0 < x < 2.

105


10.9 Logaritamska funkcijaLogaritamske jednadµzbe i nejednadµzbe

10.9.1 Logaritamska funkcija

1. a) log21

128= log2 2

�7 = �7

b) logp2 8 = logp2 2

3 = logp2(p2)6 = 6

c) �6

d) log23p512 = log2

3p29 = log2 2

3 = 3

e) 1:

2. a) logp2 x = 6, x = (p2)6 = 23 = 8 (v. (14))

b)1

16

c) log3p3 x = �2, x = (3

p3)�2 =

1

27

d) log4p5 x = �

2

3

, x =�4p5�� 2

3 =1

3

q�4p5�2 = 1

3p80=

1

2 3p10

3. a)5

4log3 81 + 3 log 1

216� 2 log2

1

32+ log 1

3

1

27

=5

4log3 3

4 + 3 log 12

�1

2

��4� 2 log2 2�5 + log 1

3

�1

3

�3=5

4� 4 + 3 � (�4)� 2 � (�5) + 3 = 5� 12 + 10 + 3 = 6

106


4. a) �x > 0, x < 0

b) 1� x > 0, x < 1

c) 1� x2 > 0, x 2 h�1; 1i

d) x 2 h�1;�3i [�1

2;+1

�

5. a) Funkcija je de�nirana za x < 0 (tj. �x > 0).

Nula funkcije je x = �1.

Po�to je baza funkcije a = 2 > 1; to vrijedi:

y > 0, log2(�x) > 0, �x > 1, x < �1

y < 0, log2(�x) < 0, 0 < �x < 1, �1 < x < 0:

Funkcija je monotono strogo opadajuca, jer

log2(�x1) < log2(�x2), �x1 < �x2 , x1 > x2:

Tabela nekih vrijednosti funkcije:

x �4 �2 �1 �12

�14

0

y 2 1 0 �1 �2 ND

Gra�k funkcije dat je na slici:

107


5 4 3 2 1 1

1

1

2

x

y

Gra�k funkcije y = log2 (�x) :

6. a) Funkcija je de�nirana za one vrijednosti x za koje je

3x2 � 2x > 0;

tj. za x 2 h�1; 0i [�2

3;+1

�.

b) y = 0, log(3x2 � 2x) = 0, 3x2 � 2x = 1, 3x2 � 2x� 1 = 0

R : x1 = �1

3; x2 = 1:

c) logp5�3x2 � 2x

�= 2, 3x2 � 2x =

�p5�2

, 3x2 � 2x� 5 = 0,�x = �1 _ x = 5

3

�

108


7. a) x 2 h�1; 0i [�1

2;+1

�b) x1 = �

1

2; x2 = 1

c) x1 = �1; x2 =3

2

8. a) log x = log 5a3y � log b4 3pay2

= log 5 + log a3 + log y � (log b+ log 3pay2)

= log 5 + 3 log a+ log y � log b� 13(log a+ log y2)

= log 5 +8

3log a� log b+ 1

3log y

b) log x = 2 logc6z2

pcd

4pab3

= 2(log c6z2pcd� log 4

pab3)

= 2 log c6 + 2 log z2 + 2 logpcd� 2 � 1

4log ab3

= 12 log c+ 4 log z + 2 � 12(log c+ log d)� 1

2(log a+ log b3)

= 12 log c+ 4 log z + log c+ log d� 12log a� 3

2log b

= 13 log c+ 4 log z + log d� 12log a� 3

2log b

c) log x =2

3log a� 4

3log(y + z)� 4

9log b

9. Primijeniti pravila za logaritmovnje u obrnutom smjeru:

a) log x = log 3 + 4 log n� log 5� 5 log n� log p= log 3 + log n4 � (log 5 + log n5 + log p) = log 3n4 � log 5n5p

= log3n4

5n5p= log

3

5np) x =

3

5np(n; p > 0)

109


b) log x = log 3� log(b� 2)3

= log 3� 13log(b� 2) = log 3� log(b� 2) 13

= log3

3pb� 2

) x =3

3pb� 2

(b > 2)

c) x =5bpa

d25pc2

(a > 0; b > 0; c > 0; d > 0)

10. log�

1

3p3

��4= log

�3p3�4= log

�34 � 32

�= log 36

= 6 log 3 = 6 � 0; 47712 = 2; 86272

11. Neka je log2 3 = x; log3 4 = y:

Kako je 2x = 3 >p8 = 2

32 ; to je x >

3

2;

a kako je 3y = 4 <p27 = 3

32 ; to je y <

3

2:

Dakle, x > y.

110


10.9.2 Logaritamske jednadµzbe

1. DP : (x > 0 ^ x+ 3 > 0), (x > 0 ^ x > �3); tj.

DP : x > 0: (40)

Uz uvjet (40) vrijede sljedece ekvivalencije

log x+ log(x+ 3) = 1, log x(x+ 3) = log 10

, x(x+ 3) = 10

, x2 + 3x� 10 = 0, (x = �5 _ x = 2)Prema (40), u obzir dolazi samo jedno rje�enje, x = 2:

2. DP : (x+ 2 > 0 ^ x� 1 > 0); tj.

DP : x > 1: (41)

Data jednadµzba je ekvivalentna jednadµzbi : x2+x�12 = 0, odakle jex1 = �4 i x2 = 3. Zbog (41), u obzir dolazi samo jedno rje�enje,x = 3:

3. DP : (152 + x3 > 0 ^ x+ 2 > 0), (x > 3p�152 ^ x > �2); tj.

DP : x > �2: (42)

Uz uvjet (42) vrijedi:

log(152 + x3) = 3 log(x+ 2), log(152 + x3) = log(x+ 2)3

, 152 + x3 = x3 + 6x2 + 12x+ 8, x2 + 2x� 24 = 0, (x = �6 _ x = 4):Prema (42), u obzir dolazi jedino rje�enje, x = 4:

111


4. DP : (5x� 4 > 0 ^ x+ 1 > 0), (x >4

5^ x > �1); tj.

DP : x >4

5: (43)

Uz uvjet (43) vrijedi

logp5x� 4 + log

px+ 1 = 2 + log 0; 18

, logp(5x� 4)(x+ 1) = log 100 � 0; 18

,p(5x� 4)(x+ 1) = 18, 5x2 + x� 4 = 324

, 5x2 + x� 328 = 0

, (x = �415_ x = 8):

Pa, prema (43) je x = 8:

5. DP : (x > 0^x�1 > 0^2x+3 > 0), (x > 0^x > 1^x > �32); tj.

DP : x > 1: (44)

Uz uvjet (44) vrijedi:

log x� log 1x�1 � log 2 = log(2x+ 3)

, log x� (log 1� log(x� 1) = log(2x+ 3) + log 2, log x� 0 + log(x� 1) = log 2(2x+ 3), log x(x� 1) = log 2(2x+ 3), x(x� 1) = 4x+ 6, x2 � 5x� 6 = 0, (x = �1 _ x = 6):Prema (44) je x = 6:

6. R : x = 6: (v. zad.3)

7. DP :�10 + 3x� x2 > 0 ^ x2 + 2x� 8 6= 0

�; tj.

DP : x 2 h�2; 2i [ h2; 5i : (45)

112


Data jednadµzba je ekvivalentna sa (vidi pravilo 90):

log 14

�x2 + 2x� 8

�2 � log 14 �10 + 3x� x2�log 1

4

12

= 1

, � � � ,�x2 + 2x� 810 + 3x� x2

�2=1

4

, x2 + 2x� 810 + 3x� x2 = �

1

2

, 2�x2 + 2x� 8

�= �

�10 + 3x� x2

�) x1;2 =

�1�p313

6; x3;4 =

�7�p73

2:

Prema (45) je x =

p73� 72

_ x =p313� 16

:

8. DP : x > 0 ^ x 6= 1:Data jednadµzba je ekvivalentna sa:

log8

�4x2 (x� 1)2

�=4

3, 4x2 (x� 1)2 = 16, x (x� 1) = �2;

R : x = 2:

9. DP : x > 5;

R : x = 29.

10. DP : x 2 h�2;�1i [ h�1; 8i.Sve logaritme dovesti na bazu 6.

R : x = 7.

11. Zakljuµciti da je izraz na desnoj strani date jednadµzbe jednak 1:

R : x = 1.

12. R : x1 = �1; x2 = 7:

13. R : x = 9:

113


14. R : x = 6:

15. DP : x > 1.

Uvodenjem smjene t = log(x� 1) dobijamo jednadµzbu

3t2 � 10t+ 3 = 0;

odakle je t1 =1

3; t2 = 3; odnosno x1 =

3p10 + 1 i x2 = 1001:

16. DP :(x > 0 ^ x 6= 105 ^ x 6= 10�1) (46)

1

5� log x +2

1 + log x

, 1 + log x+ 2(5� log x) = (5� log x)(1 + log x)log2 x� 5 log x+ 6 = 0Smjenom log x = t dobija se

t2 � 5t+ 6 = 0, t = 2 _ t = 3) (log x = 2 _ log x = 3)R : x = 100 _ x = 1000:

17. DP : (0 < 5x+ 3 6= 1 ^ 0 < 3x+ 7 6= 1), �35< x 6= �2

5.

Smjena: t = log3x+7 (5x+ 3) :

R : x = 2.

114


10.9.3 Logaritamske nejednadµzbe

1. DP : (x+ 2 > 0 ^ x > 0); tj.

DP : x > 0 (47)

log(x+ 2)� log x > 1, logx+ 2

x> log 10

, x+ 2

x> 10

(47), x+ 2 > 10x, 9x� 2 < 0

x <2

9: (48)

R : (47) \ (48)) 0 < x <2

9:

2. DP : (x� 4 > 0 ^ x+ 1 > 0), (x > 4 ^ x > �1); tj.

DP : x > 4: (49)

log(x� 4)� log(x+ 1) � 1, logx� 4x+ 1

� log 10

, x� 4x+ 1

� 10 (49), x� 4 � 10 (x+ 1), 9x+ 14 � 0

x � �149

(50)

R : (49) \ (50)) x > 4:

3. DP : (x > 0 ^ log2 x 6= 0 ^ log2 x 6= 1); iliDP : (x > 0 ^ x 6= 1 ^ x 6= 2); odnosno

DP : x 2 h0; 1i [ h1; 2i [ h2;+1i (51)

115


Koristeci formulu log2 x =1

logx 2(�to je dozvoljeno zbog (51)) data

nejednadµzba je ekvivalentna sa

logx 2�logx 2

1� logx 2< 1, � � � , log2x 2� logx 2 + 1

1� logx 2> 0:

Kako je t2� t+1 > 0, za svako t 2 R (t = logx 2), jasno, iz posljednjenejednakosti, slijedi

1� logx 2 > 0, logx 2 < 1:

a) x 2 h0; 1i ; tada je 2 > x; odnosno

x 2 h0; 1i (52)

b) x 2 h1; 2i [ h2;+1i ; tada je 2 < x; odnosno

x 2 h2;+1i (53)

Rje�enje date nejednadµzbe je unija skupova (52) i (53), tj.

R : x 2 h0; 1i [ h2;+1i.

4. DP :DP : x > 0: (54)

log6

x> log(x+ 5), 6

x> x+ 5

(54), 6 > (x+ 5)x, x2 + 5x� 6 < 0;

x 2 h�6; 1i : (55)

R : (54) \ (55)) x 2 h0; 1i :

5. De�niciono podruµcje ove nejednadµzbe je x 2 h�1; 2i [ h3;+1i.Uz taj uvjet ona je ekvivalentna s nejednadµzbom x2 � 5x + 5 < 0,odakle

x 2*5�

p5

2;5 +

p5

2

+:

116


Dakle, rje�enje nejednadµzbe je presjek ovog intervala i DP; tj.*5�

p5

2; 2

+[*3;5 +

p5

2

+:

6. Imamo da je

DP : x > �92: (56)

log0;1(x2 + 1) < log0;1(2x+ 9)

, x2 + 1 > 2x+ 9, x2 � 2x� 8 > 0;

x 2 h�1;�2i [ h4;+1i (57)

R : (56) \ (57)) x 2��92;�2

�[ h4;+1i :

7. DP : x2 � 5x+ 6 > 0, x 2 h�1; 2i [ h3;+1i,

uslov za bazu: 0 < 2x 6= 1; tj. 0 < x 6= 1

2; �to zajedno daje da mora

biti

DP : x 2�0;1

2

�[�1

2; 2

�[ h3;+1i (58)

Razmotrimo sljedece sluµcajeve:

a) x 2�0;1

2

�; tada je

log2x(x2 � 5x+ 6) < 1, x2 � 5x+ 6 > 2x

, x2 � 7x+ 6 > 0, x 2 h�1; 1i [ h6;+1i :Dakle,

x 2�0;1

2

�: (59)

b) x 2�1

2; 2

�[ h3;+1i ; tada je

log2x(x2 � 5x+ 6) < 1, x2 � 5x+ 6 < 2x

117


, x2 � 7x+ 6 < 0, x 2 h1; 6i ; odakle slijedi

x 2 h1; 2i [ h3; 6i : (60)

Rje�enje nejednadµzbe je unija skupova (59) i (60), tj.

x 2�0;1

2

�[ h1; 2i [ h3; 6i :

8. DP i uvjet za bazu zajedno daju: 0 < x 6= 1. Sve logaritme prvotreba svesti na bazu 5. Tako data nejednadµzba postaje ekvivalentnaslog5(3x+ 4)

log5 25 � log5 x> 1, � � � , log5(3x+ 4)

log5 x> 2

, logx(3x+ 4) > 2; pa imamo dva sluµcaja:

a) 0 < x < 1;tada slijedi 3x+ 4 < x2;

tj. x 2 h�1;�1i [ h4;+1i tj. ne postoji takvo x;

b) x > 1; tada je 3x+ 4 > x2; tj. x 2 h�1; 4i ; odnosno x 2 h1; 4i :

R : x 2 h1; 4i :

9. DP : (0 < x 6= 1 ^ 0 < 3x 6= 1); tj.

DP : x 2�0;1

3

�[�1

3; 1

�[ h1;+1i :

Ako se prede na bazu 3, i ako se stavi log3 x = t; dobija se nejednadµzba

t2 � 4t(t+ 1)(t+ 4)

> 0; (t 6= 0; t 6= �1; t 6= �4):

R : x 2�1

81;1

9

�[�1

3; 1

�[ h9;+1i :

118


10. DP :7

4x+

3

2> 0, 7 + 6x

4x> 0;

DP : x 2��1;�7

6

�[ h0;+1i : (61)

Baza logaritma je 1 +1

x2> 1; pa je data nejednadµzba ekvivalentna

nejednadµzbi7

4x+3

2� 1 + 1

x2, 2x2 + 7x� 4 � 0; pa je

x 2��4; 1

2

�: (62)

R : (61) \ (62)) x 2��4;�7

6

�[�0;1

2

�:

11. R : x 2�1

2;4

5

�:

12. Sada jeDP : x 2 h�1;+1i (63)

i ) (4x2 � 8x� 5 > 0 ^ log3(x+ 1) < 0)

, (4x2 � 8x� 5 > 0 ^ (x+ 1) < 1, x 2��1;�1

2

�ii) (4x2 � 8x� 5 < 0 ^ log3(x+ 1) > 0), x 2

�0;5

2

�R : (63) \ [ i) [ ii) ] =

��1;�1

2

�[�0;5

2

�:

13. R : x 2�3;7

2

�[ h4;+1i.

14. DP : 5x+1 � 25x > 0, 5x(5� 5x) > 0, 5� 5x > 0;

DP : x 2 h�1; 1i : (64)

119


Baza logaritma je manja od 1; pa je data nejednadµzba ekvivalentnanejednadµzbi

5x+1 � 25x <�1p6

��2, 52x � 5 � 5x + 6 > 0

, (smjena: 5x = t) t2 � 5t+ 6 > 0, (t < 2 _ t > 3), (5x < 2 _ 5x > 3), (x < log5 2 _ x > log5 3):Uzimajuci u obzir (64), zakljuµcujemo da vrijedi

R : x 2 h�1; log5 2i [ hlog5 3; 1i :

15. R : x 2 h�1; 0i [ hlog3 2; 1i :

120


LITERATURA

1. M. Nurkanovic, Z. Nurkanovic: Elementarna matematika - teorija izadaci, PrintCom, Tuzla, 2009.

1. M. Nurkanovic, Z. Nurkanovic: Zbirka zadataka iz matematike zapripremanje prijemnih ispita na fakultetima (drugo izdanje), Ekonom-ski fakultet Tuzla, Tuzla, 1997.

121

Documents

P R I R U C N I Kµ - ef.untz.baef.untz.ba/wp-content/uploads/2016/11/PrirucnikSWP.pdf · Zbog toga ·ce i zadaci koji se pojave na prijemnom ispitu na Ekonomskom fakultetu biti upravo