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Matemáticas V
Unidad IEcuaciones diferenciales de primer orden
1.7 Ecuaciones Lineales
*Problemario*
Imagen. Ejercicio 1
1
1 Calculo diferencial e integral, Antony Granville, Editorial LIMUSA, pagina numero 468
Ejercicio 1
Resolver la ecuación
(12) dydx
−2 yx+1
=( x+1 )52
Solución. Evidentemente esta ecuación es de la forma ( B ), siendo
P=−2x+1
y Q=( x+1 )52.
Hagamos y=uz ; entonces
dydx
=udzdx
+zdudx
.
Sustituyendo este valor en la ecuación dada (12), obtenemos
udzdx
+zdudx
−2uz1+x
=( x+1 )52 , o sea,
(13) udzdx
+( dudx
−2u
1+x ) z=( x+1 )52
A fin de terminar u, igualemos a cero el coeficiente de z. Esto da
dudx
− 2u1+ x
=0,
dudx
= 2dx1+ x
Integrando, obtenemos
ln u=2 ln (1+x )=ln (1+x )2 .
(14) ∴u=(1+x )2 .*
Ahora la ecuación (13), puesto que el termino en z desaparece, se convierte en
udzdx
= (x+1 )52
Remplazando u por su valor según (14),
dzdx
=( x+1 )12 ,
O sea,
dz= (x+1 )12 dx .
Integrando, obtenemos
(15) z=2 (x+1 )
32
3+c
Sustituyendo los valores de (15) y (14) en y=uz , obtenemos la solución general
y=2 ( x+1 )
72
3+C ( x+1 )2 .
Imagen. Ejercicio 2
2
Ejercicio 2
2 Isabel Carmona Jover. Ecuaciones Diferenciales. Pág. 109
Resolver:
y '= 1
x+ y2
Tomando la función de forma recíproca:
dydx
=x+ y2
dydx
−x= y2
Ya es una ecuación diferencial lineal en x.
Usando el Factor integrante: F=e∫g ( y )dy=e
−∫ dy=e− y y multiplicándolo por la ecuación:
e− y dx−e− y ( x+ y3 ) dy=0
M=e− y N=−e− y (x+ y3)
M y=−e− y N y=−e− y, ya es exacta
f x=e− y
f =x e− y+ f ( y)
Imagen. Ejercicio 3
3
Ejercicio 3
Dada la ecuación diferencial:
dy+(3 x2 y−x2 ) dx=0 ,
ver si es lineal y resolverla por medio del factor integrante.
3 Isabel Carmona Jover. Ecuaciones Diferenciales. Pág. 104
Se acomoda según la forma indicada:
y '+f ( x ) y=r (x ) ,
Quedando:
dydx
+3 x2=x2
Sí es lineal, con
f ( x )=3 x2 y r ( x )=x2
Su factor integrante tiene la forma:
F ( x )=e∫f ( x ) dx=e∫
3 x2 dx=ex3
Multiplicando la ecuación, tenemos:
ex3
dy+ex3
(3x2 y−x2 ) dx=0
M=ex3
(3 x2 y−x2 ) N=ex3
M y=3 x2 ex3
N x=3x2 ex3
, ya es exacta,
Entonces:
f x=ex3
3 x2 y−ex3
x2 f = yex3
−13
ex3
+ f ( y )
f y=ex3
+ f ' ( y )=ex3
f ' ( y )=0 y f ( y )=c
∴ y=13+c e−x3
Aplicando directamente la fórmula obtenida mediante el factor de integración, llegamos a la misma solución:
y=e−∫3x2 dx [∫ e∫ 3x2 dx(x2)dx+c]y=e−x3 [∫ ex3
x2 dx+c ]
y=e−x3[ 13
ex3
+c ]y=1
3+c e−x3
Imagen. Ejercicio 4
4
Ejercicio 4
Resolver por variación de parámetros: y '=2 y+x
Vemos que y '−2 y=x es lineal, donde f ( x )=−2,r ( x )=x
La ecuación diferencial homogénea correspondiente es y '−2 y=0 que tiene como solución: y=ce2x
4 Isabel Carmona Jover. Ecuaciones Diferenciales. Pág. 106
Tomando c=u ( x ) , v ( x )=e2x y sabiendo que la función u esta dada por:
u=∫ r (x )v (x)
dx+c
→u=∫ x
e2xdx+c=−x
2e−2x− 1
4e−2 x+c
Como la solución de la homogénea es y=uv , entonces:
y=(−x2
e−2x−14
e−2 x+c )e2 x y y=−x
2−1
4+c e2x
Aplicando directamente la formula obtenida mediante el factor de integración, llegamos a la misma solución.
y=e∫ 2dx [∫e∫−2dx xdx+c] y=e2 x [e−2x xdx+c ]
y=e2 x [−x2
e−2x−14
e−2 x+c]y=−x
2−1
4+c e2x
Imagen. Ejercicio 5
5
Ejercicio 5
Resolver por variación de parámetros:
( x2+16 ) y '−xy=x
y '− x
x2+16y= x
x2+16
5 Isabel Carmona Jover. Ecuaciones Diferenciales. Pág. 108
La ecuación homogénea correspondiente es:
y '− x
x2+16y=0
Con solución: y=c√ x2+16
Sea v ( x )=√x2+16 y c=u ( x )=∫ x /¿¿¿
→u=∫ x
( x2+16 )32
dx+c
u= −1
√ x2+16+c
→ y=uv=( −1
√x2+16+c)√ x2+16
y=c√ x2+16−1
Imagen. Ejercicio 6
6
Ejercicio 6
Resolver
x3 dydx
+(2−3 x3 ) y=x3
o bien Resolver
dydx
+(2−3x3 )
x3 y=1.
∫ (2−3x3 )x3 dx=−1
x2 −3 ln x
6 Frank Ayres Jr. Teoria y problemas de ecuaciones diferenciales. Pág. 36
y un factor integrante es
1
x3 e1x2
Entonces,
y
x3 e1x2
=∫ dx
x3 e1x2
= 1
2e1x2
+C
o bien
2 y=x3+C x3 e1x2 .
Imagen. Ejercicio 7
7
Ejercicio 7
Resolver
dydx
−2 ycot 2 x=1−2 x cot 2x−2csc 2 x
Un factor integrante es
e−∫2 cot 2 x dx=e−ln sen2x=csc 2 x
Entonces
7 Frank Ayres Jr. Teoría y problemas de ecuaciones diferenciales. Pág. 36
y csc 2x=∫ ( csc 2x−2 x cot 2x csc 2x−2csc 22 x) dx=xcsc 2 x+cot 2x+C7
y=x+cos 2x+C sen2 x
Imagen. Ejercicio 8
8
8 R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Arthur David Snider. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores de frontera, pág. 51
Ejercicio 8
Determine la solución general de
1x
dydx
−2 y
x2=xcos x , x>0.
Solución:
Para escribir esta ecuación lineal en forma canónica, multiplicamos por x para obtener
dydx
−2 yx
=x2cos x .
En este caso, P ( x )=−2/ x , de modo que
∫P ( x ) dx=∫−2x
dx=−2 ln|x|.
Así, un factor integrante es
μ ( x )=e−2 ln|x|=e ln ( x−2 )=x−2.
Al multiplicar la ecuación (b) por μ ( x ) tenemos
x−2 dydx
−2 x−3 y=cos x ,
ddx
( x2 y )=cos x.
Ahora integramos ambos lados y despejamos y para obtener
x−2 y=∫cos x dx=sin x+C .
y=x2 sin x+C x2
Se verifica fácilmente que la solución es valida para toda x>0. En la figura siguiente bosquejamos las soluciones para diversos valores de la constante C en (c).
Gráfica de y=x2 sin x+C x2
para cinco
valores de la constante C
(a)
(b)
(c)
Imagen. Ejercicio 9
9
9 R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Arthur David Snider. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores de frontera, pág. 51
Ejercicio 9
Una roca contiene dos isotopos radiactivos, RA1 y RA2, que pertenecen a la misma serie radiactiva; es decir, RA1 decae en RA2, quien luego recae en átomos estables . Suponga que la tasa con la que RA1 decae en RA2 es 50e−10 t kg/s. como la razón de decaimiento de RA2, la razón de cambio de RA2 es
dydt
=razónde creación−razónde decaimiento ,
dydt
=50e−10t−ky ,
Donde k>0 es la constante de decaimiento. Si k=2/s e inicialmente y(0)= 40 kg, determine la masa y(t) de RA2 para t ≥ 0.
Solución: La ecuación (I) es lineal, de modo que comenzamos escribiéndola en forma canónica.
dydt
+2 y=50 e−10 t , y (0 )=40.
Donde hemos sustituido k=2 e incluido la condición inicial. Ahora vemos que P(t)=2, de
modo que ∫P ( t ) dt=∫ 2dt=2 t . Así, un factor de integración es μ=e2 t. Al multiplicar la
ecuación (II) por μ(t ) obtenemos
e2 t dydt
+2e2t y=50e−10t−2 t=50e−8 t ,
ddt
(e2 t y )=50e−8 t ,
al integrar ambos lados y despejar “y”, tenemos
e2 t y=−254
e−8 t+C ,
y=−254
e−10t +C e−2 t
Al sustituir t=0 y y(0)=40 se tiene: 40=−254
e0+C e0=−254
+C ,
(I)
(II)
De modo que C=40+25/4=185/4. Así, la masa y(t) de RA2 en el instante t está dada por
y (t )=( 1854 )e−2 t−( 25
4 )e−10 t , t ≥ 0.
Imagen. Ejercicio 10
10
Ejercicio 10
Resolver:dydx
+ y=e3x
Solución:
dydx
+ y=e3x (1)
La (1) es una ecuación diferencial lineal de primer orden dydx
+ p ( x ) y=g ( x ) , con p ( x )=1 ; de
tal modo que el factor Integrante es:
u ( x )=exp∫dx=ex (2)
Multiplicando cada término de (1) por el factor integrante (2):
ex y '−ex y=e4 x(3)
Como el miembro izquierdo en (3)) es el desarrollo de la derivada del producto ex y, se tiene:
(e x y )'=e4x ↔e x y=14
e4 x+c (Integrando ambos lados de la ecuación) ;
∴ y=14
e3 x+ce− x (multiplicando cada lado de la ecuación por e− x¿ (4)
Como, p ( x )=1 ;domp=R y g ( x )=e3 x ;domg=R , los coeficientes son continuos en todo x ϵ R; y de (4), sse concluye que la Solución general y su intervalo de solución es:
y= 14
e3 x+ce− x , xϵ (−∞,∞ ) .
10 Ejercicios resueltos (D. G. Zill). Disponible en http://usuarios.multimania.es/equatdiff/id91.htm
Imagen. Ejercicio 11
11
Ejercicio 11
1.dydx
=5 y
Solución:
dydx
=5 y↔dydx
−5 y=0 (1)
La (1) ecuación diferencial de primer orden. dydx
+ p ( x ) y=g ( x ) , con p ( x )=−5; de tal modo
que el factor integrante es:
μ ( x )=exp∫−5dx=e−5 x (2)
Multiplicando cada término de (1) por el factor integrante (2):
e−5 x y '−5e−5x y=0(3)
Como el miembro izquierdo en (3) es el desarrollo de la derivada del producto e−5 x y, se tiene:
(e−5 x) '=0↔e−5 x y=c (Integrando ambos lados de la ecuación);
∴ y=c e5 x (multiplicando cada lado de la ecuacionpor e−5 x¿ (4)
los coeficientes de (1) son funciones consstantes, esto es, continuass en todo x ϵ R; y de (4), se concluye que la solución general de la ecuación diferencial y su intervalo de solución es:
y=ce5x , xϵ (−∞ ,∞ ) .
11 Ejercicios resueltos (D. G. Zill). Disponible en http://usuarios.multimania.es/equatdiff/id91.htm
Imagen. Ejercicio 12
12
Ejercicio 12
Encontrar la solución al problema de valores iniciales
y '−2 xy=x , y (0 )=1 (16)
Para esta ecuación la función µ está dada por
μ ( x )=exp (−∫❑
x
2t dt)=e−x2
Por lo tanto
e− x2
( y '−2 xy )=xe− x2
De manera que
( ye−x2 )'=xe−x2
De donde
ye− x2
=∫❑
x
te−t2
dt+c=−12
e− x2
+c
Y finalmente
y=−12
+cex2
12 Asdrubal Flores Lopez. Introduccion a las ecuaciones diferenciales, Editorial LIMUSA, pagina 27.
Imagen. Ejercicio 13, 14, 15
13
Ejercicio 13
Demostrar que la ecuación
d2 yd x2 −
dydx
−2 y=0
Tiene dos soluciones distintas de la forma y=eax
Si y=eax es una solución para algunos valores de a, la ecuación dada quedará satisfecha si se hace la sustitución
y=eax, dydx
=aeax ,d2 yd x2 =a2eaz
Se obtiene
d2 yd x2 −
dydx
−2 y=eaz (a2−a−2 )=0
Que satisface para a=−1,2
Luego y=e−x y y=e2 x son soluciones.
Ejercicio 14
Demostrar que
y=C1 e−x+C2 e2x
Es la primitiva de la ecuación del problema 1.
Sustituyendo y y sus derivadas en la ecuación diferencial se comprueba rápidamente que y=C1 e−x+C2 e2x es una solución. Para demostrar que es la primitiva, hágase notar primero que el número (2) de constantes arbitrarias y el orden (2) de la ecuación coinciden, y después que como
13 Ecuaciones diferenciales Primera edición, Frann Ayres, editorial McGRAW-HILL INTERAMERICANA
[ e−x e2 x
−e−x 2e2x ] =3ex ≠0 , y=e−x y y=e2 x
son linealmente independientes.
Ejercicio 15
Demostrar que la ecuación diferencial
x3 d3 yd x3 −6 x
dydx
+12 y=0
tiene tres soluciones linealmente independientes de la forma y=x3.
Después de hacer las sustituciones.
y=xr ,dydx
=rxr−1 ,d2 yd x2 =r (r−1 ) xr−2 ,
d3 yd x3 =r (r−1)(r−2)xr−3
En el miembro de la izquierda de la ecuación dada se tiene xr (r3−3 r2−4 r+12 )=0 que se satisface para r=2 ,3 ,−2. Las soluciones correspondientes y=x2 , y=x3 , y=x−2 son linealmente independientes ya que
[ x2 x3 x−2
2x 3x2 −2 x−3
2 6 x 6 x−4 ] ¿20≠ 0. La primitiva es y=C1 x2+C2 x3+C3 x−2
Bibliografía
Isabel Carmona Jover. Ecuaciones Diferenciales, 4ª, Ed. Editorial Pearson Addison Wesley. México, 1992
R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Arthur David Snider.Ecuaciones diferenciales y problemas con valores de frontera, 3a. ed.Pearson Educación, México, 2001
Rolando Castillo Caballero. Rodrigo Gonzales Rojas.Ecuaciones diferenciales, curso de inducción. 1a. Ed. Editorial trillas, México, 1991
Dennis G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. 6ª. Ed. International Thomson Editores. México, 1997
Frank Ayres, jr. Ph.D. Teoría y problemas de ecuaciones diferenciales
MACGRAW-HILL
Asdrubal Flores Lopez. Introducción a las ecuaciones diferenciales, Editorial LIMUSA
Antony Granville. Calculo diferencial e integral,
Editorial LIMUSA