A Brief Analysis of de Laval Nozzles and Nozzle Shocks

Ivan PandevCOSMOS 2011

Cluster 3Cluster 3UC Davis

OutlineOutline

• Nozzles• De Laval Nozzle• De Laval Nozzle Dynmaics• Nozzle Shock

– Supersonic Nozzle FlowS b i / Ch k d N l Fl– Subsonic/ Chocked Nozzle Flow

– Supersonic Nozzle Flow, Shock at Nozzle Exit– Supersonic Overexpanded Flowp p– Supersonic “Design Condition” Flow– Supersonic Underexpanded Flow

NozzlesNozzles

• A device used to control fluid flow out of aA device used to control fluid flow out of a chamber or pipe

• In rockets specifically the nozzle is used to• In rockets, specifically, the nozzle is used to maximize the thrust.

H ? I th fl ’ ki ti t th– How? Increase the flow’s kinetic energy at the expense of its internal energy and pressure

De Laval NozzleDe Laval Nozzle

• Relies on the properties of supersonic flow to accelerate p p pgasses beyond Mach 1

• Most widely used design in modern aerospace and rocketry li tiapplications

• Invented by Gustaf de Laval in 1888 for use in steam turbines

• Implemented in rockets by Robert Goddard

De Laval Nozzle DynamicsDe Laval Nozzle Dynamics

• Temperature andTemperature and pressure drop as Mach number of exhaustnumber of exhaust gasses increases

• Higher Mach number of• Higher Mach number of exhaust gasses means greater thrustgreater thrust

De Laval Nozzle Dynamics (Cont.)De Laval Nozzle Dynamics (Cont.)

• To accelerate gasses beyond Mach 1, thereTo accelerate gasses beyond Mach 1, there must be a chocked condition at the throat of the nozzle– Chocked flow occurs when the exhaust velocity at the throat is Mach 1.

– In chocked conditions, a further increase of pressure in the combustion chamber will not accelerate gasses in throat beyond Mach 1accelerate gasses in throat beyond Mach 1

– Acceleration beyond Mach 1 is caused by a drop in ambient pressure, or backpressurep p

De Laval Nozzle Dynamics (Cont.)De Laval Nozzle Dynamics (Cont.)

• Why must chocked conditions occur for gassesWhy must chocked conditions occur for gasses to accelerate beyond Mach 1?

(Δu/u) = (ΔA/A)/(M2 1)–(Δu/u) = (ΔA/A)/(M2 ‐1)– If M2 is less than 1, then ΔA must be negative for Δu to be positiveΔu to be positive.

• Subsonic flows need area reduction to accelerate

– If M2 is greater than 1, then ΔA must be positive s g ea e a , e us be pos efor Δu to be positive.

• Supersonic flows need area increase to accelerate

Nozzle ShockNozzle Shock

• Shock Waves form as the exhaust gasses fall back below Mach 1

• Can be seen as discontinuous sections in pressure v. distance graph

– Specifically, the y‐axis is the ratio of the ambient pressure to the pressure in the combustion chamber, or P/Pcp , / c

• Why study shocks?• Why study shocks?

– To better understand  fluid flow in nozzles and maximize efficiency

Nozzle Shock (Cont.)Nozzle Shock (Cont.)

•Conditions(a) has no shock, pressure is ( ) , pcontinuous over distance•Condition (b) is chocked, but has no shock•Condition (c) shows a discontinuity in•Condition (c) shows a discontinuity in pressure. The shock is located inside the nozzle•Condition (d) shows a shock at the exit of the nozzle•Condition (e) shows a discontinuity, forming an oblique shock. This shock is outside the nozzleoutside the nozzle•Condition (f), or the “design condition” is an idea setup, and generates no shock•Condition (g) shows a discontinuity in pressure outside the nozzle. This is manifested not as a shock, but as expansion waves

Nozzle Shock (Cont.)Nozzle Shock (Cont.)

• When studying nozzle shock conditions a‐gWhen studying nozzle shock, conditions a g are popularly used as examples.

• Let’s examine their characteristics in greater• Let s examine their characteristics in greater detail

Supersonic Nozzle FlowSupersonic Nozzle Flow•Flow is choked

•Shock Wave is in the Nozzle

•Notice the discontinuity in pressure, velocity, and temperature

Subsonic, Unchocked Nozzle FlowSubsonic, Unchocked Nozzle Flow•Flow is not choked

•There is not shock wave

•There is the continuity in pressure, velocity, and temperature

•Essentially a Venturi tubeVenturi tube

Supersonic Nozzle Flow, Shock at lNozzle Exit

•Flow is choked

•Shock Wave is at the Nozzle’s Exit

•Discontinuity in pressure, velocity, and temperature

Supersonic Overexpanded FlowSupersonic Overexpanded Flow•Flow is choked

•Shock Wave is in the outside the nozzle

•There is discontinuity in pressure, velocity, and temperature, but it is outside the nozzlenozzle

•Pe < Pb

Supersonic “Design Condition” FlowSupersonic  Design Condition  Flow•Flow is choked

•There is no shockwave; the flow is isenthropic

•There is continuity in pressure, velocity, and temperature

•P P•Pe = Pb

Supersonic Underexpanded FlowSupersonic Underexpanded Flow•Flow is choked

•No shock wave present. There are expansion waves

•Discontinuity in pressure, velocity, and temperature beyond the nozzle

•P > P•Pe > Pb

ShockShockVisulaizations

Nozzle Efficiency in Isentropic FlowNozzle Efficiency in Isentropic Flow

• The “design condition” nozzle flow is assumed to be isentropic, since there is no shock to increase entropy.

• In isentropic conditions, we can study the efficiency of a nozzle using this equationa nozzle using this equation

• Where:– E is the total energy that may be converted or the energy– E is the total energy that may be converted, or the energy used

– hexit is the enthalpy, or thermodynamic potential, assuming the flow is isenthropic at the exit of the nozzlethe flow is isenthropic, at the exit of the nozzle

Nozzle Efficiency in Isentropic FlowNozzle Efficiency in Isentropic Flow

• The efficiency can then be defined as:The efficiency can then be defined as:

• Rocket efficiency is the ratio of actual energy• Rocket efficiency is the ratio of actual energy expended over the maximum theoretical energy

• Rockets often have efficiencies of 0 9 – 0 99Rockets often have efficiencies of 0.9  0.99

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Jean le Rond d'AlembertJean le Rond d Alembert

Ivan PandevCOSMOS 2011

Cluster 3Cluster 3UC Davis

LifeLife

• 16 November 1717 – 29 October 1783

• Attended Jansenist Collège des Quatre‐Nations at the age of twelve– Led toward law, art, and religion

– Even experimented with Medicine, which was particularly to his disliking

• Always had a passion for mathematics– A “self‐taught” mathematician

– Learned mathematics through personal interest amidst his humanitarian studies

First contribution to Mathematics was an address to the Académie des Sciences in– First contribution to Mathematics was an address to the Académie des Sciences, in which he presented an error he found in Reynaud’s L'analyse démontrée.

• Would go on to be a successful mathematician, physicist, music theorist, and philosopher

• He was a pioneer in areas of mathematics such as partial differential equations, and defining limits

ImportantMathematical and Scientific

ContributionsContributions

– Explained refraction in Mémoire sur la réfraction des corps solides

Developed his own laws of motion in Traité de dynamique– Developed his own laws of motion in Traité de dynamique

– Discovered what is now known as  D'Alembert's paradox

– Created the The D'Alembertian operator, important to theoretical physics

d'Alembert's formula a general solution to one dimentional wave equations– d'Alembert's formula, a general solution to one‐dimentional wave equations

– Wrote the majority of the mathematical articles in Encyclopédie

– Pioneer in the study of partial differential equations and their application to physicsphysics

– Formally defined limits

– Developed ratio tests for convergence

– Attempted but failed to prove the Fundamental Theorem of Algebra– Attempted, but failed to, prove the Fundamental Theorem of Algebra

D’Alembert’s ParadoxDAlembert s Paradox

• A physical paradox, proven by d’Alembert

• States that an object in an incompressible, invicid flow of constant velocity, experiences no drag.

• Later experimentation showed that d’Alemebert omitted the effects of pviscosity, which creates friction drag

• Further research with respect to d’Alembert’s paradox cumulated in the discovery of boundary layers by Prandtly y y y

D’Alembert’s FormulaDAlembert s Formula 

• A general formula for solving wave equations

– Wave equations are second‐order partial differential q pequations used to describe waves

• Used to in fields involving wave study, such as acoustics and fl id d ifluid dynamics

D’Alembert OperatorDAlembert Operator

• Second order differential operator shown here in Cartesian• Second‐order differential operator, shown here in Cartesian coordinates

• D’Alembert considered its simplest form during his study of p g ythe wave equation

• Used in special relativity, electromagnetism, and wave theory

D’Alembert’s Ratio TestDAlembert s Ratio Test

• Jean d’Alembert developed a ratio test for testing the convergence of a series,

• The number “L” expresses this convergence

• If L > 1, then the series does not converge

• If L < 1, then the series converges absolutely,

• If L = 1, then the test is inconclusive,

D’Alembert’s PrincipleDAlembert s Principle

• States that the difference between the forces acting on an object, and the derivitives of the momenta along any virtual displacement of that object, is zero

• Originally discovered by Joseph Louis Lagrange

– D’Alembert’s developed and qualified the idea

Limit DefinitionLimit Definition

• In d’Alembert’s time, mathematical communities had difficulty defining the idea of limits, as they needed a mathmatically sound basis for f linfinetessimals.

• D’Alemebert instead defined limits geometrically, stating that the 

li li i f litangent line as a limit of secant lines.

– This was only a geometric argument, with no mathematical f ifooting

• Augustin Cauchy would later define limits in a mathematically rigorous way.

Contributions toContributions toOther Fields

Preliminary DiscoursePreliminary Discourse

• Writen by Jean d’Alembert, it is the opening to y , p gthe Encyclopédie, one of the most prolific compilations of human knowledge at the time

Si ifi t f• Significant for:

– Implying that humans may change their condition through their intellect and manipulationp

– Outlining human knowledge and how it is attained

Music TheoryMusic Theory

• Although not a musican himself, d’Alembert wrote extensively g , yon the subject, reviewing other works and attempting to simplify their theory

D’Al b t i t i d b R ’ i th i• D’Alembert was intrigued by Rameau’s music theories especially– He appreciated Rameau’s analytical and mathematically sensible way 

of approaching the art

Personal LifePersonal Life

• D’Alembert was a member of many acadamies and salonsy

– he attained correspondece with many of the most prolific thinkers of his time

– Voltaire, Diderot, Euler

• Got into disputes with Euler and Rameau over intellectual property and theoryproperty and theory

Thank YouThank You