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Parte II – Teoria da Firma
Maximização de Lucro
Roberto Guena de Oliveira16 de maio de 2018USP
Sumário
1 Introdução
2 Abordagem direta
3 Abordagem através da função de custo
4 Exercícios
1
Introdução
O que veremos?
Colocação do problemaComo deve se comportar uma empresa que visa a obtenção delucro máximo e que não tem poder de afetar os preços de seusinsumos e de seu produto?Duas abordagens equivalentes
1 Escolha das quantidades empregadas de cada insumo demodo a fazer com que a diferença entre o valor do totalproduzido e o custo com a contratação dos insumo sejamáxima.
2 Escolha da quantidade produzida de modo a fazer com que adiferença entre o valor do total produzido e a função de custoseja máxima.
2
Abordagem direta
Sumário
1 Introdução
2 Abordagem direta
3 Abordagem através da função de custo
4 Exercícios
3
Formulação matemática
• n insumos variáveis com quantidades representadas porx1, x2, . . . , xn e preços w1,w2, . . . ,wn;
• custo com insumos fixos é CF ;• y é o total produzido e p é o preço do produto.• f (x1, . . . , xn) é a função de produção (de curto prazo, caso
haja algum insumo fixo). Assumiremos f (0, . . . , 0) = 0.
O problemamax
x1,...,xnpy −
n∑i=1
wixi − CF .
Dadas as restriçõesxi ≥ 0, i = 1, . . . , n e y ≤ f (x1, x2, . . . , xn)
4
Solução
Condição de primeira ordem
p∂f (x∗
1, . . . , x∗
n )∂xi
− wi
= 0 se x∗
i > 0
≤ 0 se x∗i = 0
i = 1, . . . , n
Condição de segunda ordemA função de produção f (x1, . . . , xn) deve ser localmente côncava.
5
Interpretações para a condição de primeira ordem
1 Igualdade entre o valor do produto marginal de um fator deprodução e seu preço:
x∗i ≥ 0 ⇒ p
∂f (x1, . . . , ∂xn)∂xi
= pPMgi = wi
2 Igualdade entre preço e custo marginal:
x∗i ≥ 0 ⇒ p = wi
PMgi
3 Igualdade entre remuneração real do fator e seu produtomarginal:
x∗i ≥ 0 ⇒ PMgi = wi
p
6
Inatividade
Para encontrar o lucro máximo global é necessário comparar assoluções de máximo local entre si e com a solução de canto,x1 = x2 = · · · = 0.Caso não hara solução com emprego positivo dos fatores variáveistal que
pf (x1, . . . , x2) −n∑
i=1
wixi − CF > −CF ,
a empresa deve permanecer inativa.
7
Funções relacionadas à maximização de lucro
Demandas pelos insumos de produçãoA função de demanda do insumo i , x∗
i (p,wi , . . . ,wn), é a funçãoque retorna a quantidade empregada do insumo i quando o lucroda empresa é máximo.Função de ofertaA função de oferta de uma empresa y ∗(p,w1, . . . ,wn) é a funçãoque retorna o valor da função de produção quando o lucro émáximo.Função de lucroA função de lucro de uma empresa π∗(p,wi , . . . ,wn) é uma funçãoque retorna o valor do lucro máximo dessa empresa dados ospreços p,wi , . . . ,wn .
8
Ilustração gráfica: demanda pelo único fator de produção
x
PMg,
PM,w p
PMg
PM
wp
x
wp
x
Demanda de x
9
Exemplo
A função de produção
f (x1, x2) = 3 3√x1x2
Condições de lucro máximo de 1a ordem:
PMg1 = w1
p⇒ 3
√x2
x2
1
= w1
p
PMg2 = w2
p⇒ 3
√x1
x2
2
= w2
p
10
Exemplo – continuação
Funções de demanda pelos insumos
x∗1 (p,w1,w2) = p3
w2
1w2
x∗2 (p,w1,w2) = p3
w1w2
2
A função de oferta
y ∗(p,w1,w2) = f [x∗1 (p,w1,w2), x∗
2 (p,w1,w2)]
= 33
√p3
w2
1w2
p3
w1w2
2
y ∗(p,w1,w2) = 3p2
w1w2
11
Exemplo – continuação
A função de lucro
π∗(p,w1,w2) = py ∗(p,w1,w2) − w1x∗1 (p,w1,w2) − w2x
∗2 (p,w1,w2)
= p × 3p2
w1w2
− w1 × p3
w2
1w2
− w2 × p3
w1w2
2
π(p,w1,w2) = p3
w1w2
12
Propriedades da função de lucro
• A função de lucro é não decrescente em relação ao preço doproduto e não crescente em relação aos preços dos fatores.
• A função de lucro é convexa em relação ao preço de seuproduto e em relação aos preços dos fatores de produção.
• Lema de Hotelling:∂π∗(p,w1, . . . ,wn)
∂wi
= −x∗i (p,w1, . . . ,wn)
∂π∗(p,w1, . . . ,wn)∂p = y ∗(p,w1, . . . ,wn)
13
Exemplo
A função de produção
f (x1, x2) = 3 3√x1x2
Funções de demanda pelos insumos
x∗1 (p,w1,w2) = p3
w2
1w2
x∗2 (p,w1,w2) = p3
w1w2
2
A função de oferta
y ∗(p,w1,w2) = 3p2
w1w2
A função de lucro
π∗(p,w1,w2) = py ∗(p,w1,w2) − w1 = p3
w1w2
14
Exemplo – continuação
∂∂pπ∗(p,w1,w2) = ∂
∂pp3
w1w2
= 3p2
w1w2
= y ∗(p,w1,w2)∂
∂w1
π∗(p,w1,w2) = ∂∂w1
p3
w1w2
= − p3
w2
1w2
= −x∗1 (p,w1,w2)
∂∂w2
π∗(p,w1,w2) = ∂∂w2
p3
w1w2
= − p3
w1w2
2
= −x∗2 (p,w1,w2)
15
Abordagem através da função de custo
Sumário
1 Introdução
2 Abordagem direta
3 Abordagem através da função de custo
4 Exercícios
16
Maximização de lucro
Nova colocação do problema
maxy
py − c(y )
Condição de primeira ordemdc(y )dy
= p ⇒ CMg = p
Condição de segunda ordemd2c(y )dy2
≥ 0 ⇒ dCMg
dy≥ 0
17
Solução gráfica – II
y
Custo
sunit
. CMg
CVM
CM
p
y ∗y
18
Condição de máximo global
Seja um produto positivo y ∗ que satisfaça às condições deprimeira e segunda ordem do problema de maximização de lucro,isto é, tal que CMg (y ∗) = p e, supondo que a função de custoseja duplamente diferenciável, que CMg ′(y ∗) > 0. Nesse caso y ∗
maximiza localmente o lucro da empresa. Para que y ∗ maximizeglobalmente o lucro da empresa é, em adição, necessário que, emadição,
1 Caso haja qualquer outro nível de produção y que satisfaçaas duas condições de lucro máximo, py ∗ − c(y ∗) ≥ py − c(y ),e
2 O lucro obtido ao se produzir y ∗ seja superior ao lucroobtido ao não se produzir nada, ou seja,
py ∗ − CV (y ∗) − CF ≥ −CF ⇒ py ∗ ≥ CV (y ∗)⇒ p ≥ CVM(y ∗) 19
produção com prejuízo
y
Custo
sunit
. CMg
CVM
CM
p
y ∗
20
Encerramento de atividades
y
Custo
sunit
. CMg
CVM
CM
p
yy ∗
21
A curva de oferta da firma individual
y
Custo
sunit
.,p CMg
CVM
CM
y (p)
22
Medidas de ganho do produtor
Lucro
π(p) = py (p) − c(y (p))
Excedente do produtor (EP)
EP = py (p) − CV (y (p))
23
Medidas de ganho do produtor – representações gráficas – I
y
C.un
it. CMg
CVM
CMp
y ∗
π(p)
yC.
unit.,
p CMg
CVM
CMp
y ∗
EP
24
Medidas de ganho do produtor – representações gráficas – II
y
C.un
it.,p CMg
CVM
CMp
y ∗
EP
yC.
unit.,
p CMg
CVM
CM
y (p)
p
y ∗
EP
25
Exercícios
Questão 07 – ANPEC 2018
Uma empresa produz, com duas fábricas (1 e 2), um bem emambiente perfeitamente competitivo no curto prazo. A planta 1produz o bem com custos totais expressos pela funçãoCT (y1) = 10y1 + 1
2y2
1. A planta 2 produz segundo a função de
custo CT (y2) = 1
2y2
2. Julgue as assertivas:
0 Existe volume de produção tal que a empresa opera somentecom a planta 2 ; V
1 A empresa opera de modo a igualar os custos médios dasduas plantas; F
2 É ineficiente em termos paretianos utilizar uma única planta;F
26
Questão 07 – ANPEC 2018
Uma empresa produz, com duas fábricas (1 e 2), um bem emambiente perfeitamente competitivo no curto prazo. A planta 1produz o bem com custos totais expressos pela funçãoCT (y1) = 10y1 + 1
2y2
1. A planta 2 produz segundo a função
(y2) = 1
2y2
2. Julgue as assertivas:
3 Se o preço de mercado do bem for p = 15, uma planta produzo triplo da outra; V
4 A função custo marginal da empresa é igual aCMg (y ) = 1
2y + 10. F
27
Questão 03 – ANPEC 2013
Suponha que a função de produção de para um dado produto tema seguinte forma funcional: q = f (x1) = 2x1 − 0, 03x2
1. Considere
também que o preço de uma unidade do bem final ép(q) = R$10, 00 e o preço unitário do insumo, praticado pelomercado, é p(x1) = R$8, 00.Dadas essas informações, é correto afirmar que:
0 O nível de utilização do insumo que maximiza o nível deprodução é x1 = 33, 33. V
1 O nível de utilização do insumo que maximiza o lucro dafirma é x1 = 19, 5. F
2 O nível de produção economicamente ótimo é q = 28. V3 O lucro máximo (π) obtenível pela firma é π(q) = R$120. V4 A produtividade marginal do fator é crescente. F
28
Questão 03 – ANPEC 2011
Sobre a Teoria da Produção analise as afirmativas abaixo:
0 A função de produção que exibe retornos constantes deescala é uma função homogênea do grau 0. F
1 Suponha uma função de produção do tipo Cobb-Douglas,sendo os coeficientes técnicos a e b, tal que a + b > 1. Aelasticidade de substituição desta função de produçãotambém é superior à unidade. F
2 Suponha uma função de produção do tipo CES, definida daseguinte forma: q = f (k , l ) = [kρ + lρ] γ
ρ . A elasticidade desubstituição referente a essa função é definida por σ = 1
1−γ .F
29
Questão 03 – ANPEC 2011 (continuação)
Sobre a Teoria da Produção analise as afirmativas abaixo:3 Suponha que π(·) é a função lucro do conjunto de produção
Y e que y (·) é a correspondência de oferta associada.Suponha também que Y é fechado e satisfaz a propriedadede free disposal (livre descarte). Nesse contexto, segundo oLema de Hotelling: se y (p) consiste de um único ponto,então π(·) é diferenciável em p e Dpπ(p) = y (p). V
4 A função de lucro atende às propriedades de ser homogêneade grau 1 em preços e convexa nos preços. V
30
Questão 06 – ANPEC 2005
Considere um mercado em concorrência perfeita, avalie asafirmativas:
0 A igualdade entre preço e custo marginal é condiçãonecessária, mas não suficiente para a maximização dos lucrosda firma. V
1 No curto prazo, se o lucro econômico do produtor é positivo,a produção se faz com custo marginal superior ao customédio. V
2 Se a função de custo total da firma forC (q) = q3 − 9q2 + 42q, então, a função de oferta seráp(q) = 3q2 − 18q + 42, para valores de q maiores que 3. F
31
Questão 06 – ANPEC 2005 (cont.)
Considere um mercado em concorrência perfeita, avalie asafirmativas:
3 Se a função de custo total de uma firma forC (q) = q3 − 9q2 + 42q e se o preço de mercado for igual a42, a elasticidade-preço da oferta deste produtor será igual a18
7. F
4 O valor do excedente do produtor iguala-se aos lucros totaisda firma mais o valor do custo fixo. V
32