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8/14/2019 partial fraction exansion

1/3

C o n n e x i o n s m o d u l e : m 2 1 1 1 1

P a r t i a l F r a c t i o n E x p a n s i o n

T h a n o s A n t o u l a s

J P S l a v i n s k y

T h i s w o r k i s p r o d u c e d b y T h e C o n n e x i o n s P r o j e c t a n d l i c e n s e d u n d e r t h e

C r e a t i v e C o m m o n s A t t r i b u t i o n L i c e n s e

A b s t r a c t

T h i s m o d u l e d e s c r i b e s t h e m e t h o d o f p a r t i a l f r a c t i o n e x p a n s i o n , i n w h i c h a r a t i o o f p o l y n o m i a l s c a n

b e s p l i t i n t o a s u m o f s m a l l p o l y n o m i a l s . T h e H e a v i s i d e c o v e r - u p m e t h o d i s d i s c u s s e d i n d e t a i l w i t h

e x a m p l e s . F i n d i n g a p a r t i a l f r a c t i o n e x p a n s i o n i n m a t l a b i s a l s o d i s c u s s e d .

S p l i t t i n g u p a r a t i o o f l a r g e p o l y n o m i a l s i n t o a s u m o f r a t i o s o f s m a l l p o l y n o m i a l s c a n b e a u s e f u l t o o l ,

e s p e c i a l l y f o r m a n y p r o b l e m s i n v o l v i n g L a p l a c e - l i k e t r a n s f o r m s . T h i s t e c h n i q u e i s k n o w n a s p a r t i a l f r a c t i o n

e x p a n s i o n . H e r e ' s a n e x a m p l e o f o n e r a t i o b e i n g s p l i t i n t o a s u m o f t h r e e s i m p l e r r a t i o s :

8x2 + 3x 21

x3 7x 6=

1

x + 2+

3

x 3+

4

x + 1( 1 )

T h e r e a r e s e v e r a l m e t h o d s f o r e x p a n d i n g a r a t i o n a l f u n c t i o n v i a p a r t i a l f r a c t i o n s . T h e s e i n c l u d e t h e

m e t h o d o f c l e a r i n g f r a c t i o n s , t h e H e a v i s i d e " c o v e r - u p " m e t h o d , a n d d i e r e n t c o m b i n a t i o n s o f t h e s e t w o .

F o r m a n y c a s e s , t h e H e a v i s i d e " c o v e r - u p " m e t h o d i s t h e e a s i e s t , a n d i s t h e r e f o r e t h e m e t h o d t h a t w e w i l l

i n t r o d u c e h e r e . F o r a m o r e c o m p l e t e d i s c u s s i o n , s e e S i g n a l P r o c e s s i n g a n d L i n e a r S y s t e m s b y B . P . L a t h i ,

B e r k e l e y - C a m b r i d g e P r e s s , 1 9 9 8 , p p - 2 4 - 3 3 . S o m e o f t h e m a t e r i a l b e l o w i s b a s e d u p o n t h i s b o o k .

1 H e a v i s i d e " C o v e r - U p " M e t h o d

1 . 1 N o R e p e a t e d R o o t s

L e t ' s s a y w e h a v e a p r o p e r f u n c t i o n G (x) =N(x)D(x) ( b y p r o p e r w e m e a n t h a t t h e d e g r e e m o f t h e n u m e r a t o r

N(x) i s l e s s t h a n t h e d e g r e e p o f d e n o m i n a t o r D (x) ) . I n t h i s s e c t i o n w e a s s u m e t h a t t h e r e a r e n o r e p e a t e d r o o t s o f t h e p o l y n o m i a l D (x) .

T h e r s t s t e p i s t o f a c t o r t h e d e n o m i n a t o r D (x) :

G (x) =N(x)

(x a1) (x a2) . . . (x ap)( 2 )

w h e r e a1 . . . ap a r e t h e r o o t s o f D (x) . W e c a n t h e n r e w r i t e G (x) a s a s u m o f p a r t i a l f r a c t i o n s :

G (x) =1

x a1+

2

x a2+ +

p

x ap( 3 )

V e r s i o n 2 . 1 4 : N o v 2 4 , 2 0 0 3 1 : 3 4 p m U S / C e n t r a l

h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 1 . 0

h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 2 1 1 1 / 2 . 1 4 /


2/3


w h e r e a1 . . . ap a r e c o n s t a n t s . N o w , t o c o m p l e t e t h e p r o c e s s , w e m u s t d e t e r m i n e t h e v a l u e s o f t h e s e

c o e c i e n t s . L e t ' s l o o k a t h o w t o n d 1 . I f w e m u l t i p l y b o t h s i d e s o f t h e e q u a t i o n o f G ( x ) a s a s u m o f

p a r t i a l f r a c t i o n s ( 3 ) b y

x a1a n d t h e n l e t

x = a1, a l l o f t h e t e r m s o n t h e r i g h t - h a n d s i d e w i l l g o t o z e r o

e x c e p t f o r 1 . T h e r e f o r e , w e ' l l b e l e f t o v e r w i t h :

1 = (x a1) G (x) |x=a1 ( 4 )

W e c a n e a s i l y g e n e r a l i z e t h i s t o a s o l u t i o n f o r a n y o n e o f t h e u n k n o w n c o e c i e n t s :

r = (x ar) G (x) |x=ar ( 5 )

T h i s m e t h o d i s c a l l e d t h e " c o v e r - u p " m e t h o d b e c a u s e m u l t i p l y i n g b o t h s i d e s b y x ar c a n b e t h o u g h t o f a s s i m p l y u s i n g o n e ' s n g e r t o c o v e r u p t h i s t e r m i n t h e d e n o m i n a t o r o f G (x) . W i t h a n g e r o v e r t h e t e r m t h a t w o u l d b e c a n c e l e d b y t h e m u l t i p l i c a t i o n , y o u c a n p l u g i n t h e v a l u e x = ar a n d n d t h e s o l u t i o n f o r r .

E x a m p l e 1

I n t h i s e x a m p l e , w e ' l l w o r k t h r o u g h t h e p a r t i a l f r a c t i o n e x p a n s i o n o f t h e r a t i o o f p o l y n o m i a l s

i n t r o d u c e d a b o v e . B e f o r e d o i n g a p a r t i a l f r a c t i o n e x p a n s i o n , y o u m u s t m a k e s u r e t h a t t h e r a t i o

y o u a r e e x p a n d i n g i s p r o p e r . I f i t i s n o t , y o u s h o u l d d o l o n g d i v i s i o n t o t u r n i t i n t o t h e s u m o f a

p r o p e r f r a c t i o n a n d a p o l y n o m i a l . O n c e t h i s i s d o n e , t h e r s t s t e p i s t o f a c t o r t h e d e n o m i n a t o r o f

t h e f u n c t i o n :

8x2 + 3x 21

x3 7x 6=

8x2 + 3x 21

(x + 2) (x 3) (x + 1)( 6 )

N o w , w e s e t t h i s f a c t o r e d f u n c t i o n e q u a l t o a s u m o f s m a l l e r f r a c t i o n s , e a c h o f w h i c h h a s o n e o f

t h e f a c t o r e d t e r m s f o r a d e n o m i n a t o r .

8x2 + 3x 21

(x + 2) (x 3) (x + 1)=

1

x + 2+

2

x 3+

3

x + 1( 7 )

T o n d t h e a l p h a t e r m s , w e j u s t c o v e r u p t h e c o r r e s p o n d i n g d e n o m i n a t o r t e r m s i n G (x) a n dp l u g i n t h e r o o t a s s o c i a t e d w i t h t h e a l p h a :

1 = (x + 2) G (x) |x=2

= 8x2+3x21

(x3)(x+1)|x=2

= 1

( 8 )

2 = (x 3) G (x) |x=3

= 8x2+3x21

(x+2)(x+1)|x=3

= 3

( 9 )

3 = (x + 3) G (x) |x=1= 8x

2+3x21(x+2)(x3)

|x=1

= 4

( 1 0 )

W e n o w h a v e o u r c o m p l e t e d p a r t i a l f r a c t i o n e x p a n s i o n :

8x2 + 3x 21

(x + 2) (x 3) (x + 1)=

1

x + 2+

3

x 3+

4

x + 1( 1 1 )



3/3


1 . 2 R e p e a t e d R o o t s

W h e n t h e f u n c t i o n G (x) h a s a r e p e a t e d r o o t i n i t s d e n o m i n a t o r , a s i n

G (x) = N(x)(x b)

r(x a1) (x a2) . . . (x aj)

( 1 2 )

S o m e w h a t m o r e s p e c i a l c a r e m u s t b e t a k e n t o n d t h e p a r t i a l f r a c t i o n e x p a n s i o n . T h e n o n - r e p e a t e d

t e r m s a r e e x p a n d e d a s b e f o r e , b u t f o r t h e r e p e a t e d r o o t , a n e x t r a f r a c t i o n i s a d d e d f o r e a c h i n s t a n c e o f t h e

r e p e a t e d r o o t :

G (x) =0

(x b)r +

1

(x b)r1+ +

r1

x b+

1

x a1+

2

x a2+ +

j

x aj( 1 3 )

A l l o f t h e a l p h a c o n s t a n t s c a n b e f o u n d u s i n g t h e n o n - r e p e a t e d r o o t s m e t h o d a b o v e . F i n d i n g t h e b e t a

c o e c i e n t s ( w h i c h a r e d u e t o t h e r e p e a t e d r o o t ) h a s t h e s a m e H e a v i s i d e f e e l t o i t , e x c e p t t h a t t h i s t i m e w e

w i l l a d d a t w i s t b y u s i n g t h e d e r i v a t i v e t o e l i m i n a t e s o m e u n w a n t e d t e r m s .

S t a r t i n g o d i r e c t l y w i t h t h e c o v e r - u p m e t h o d , w e c a n n d 0 . B y m u l t i p l y i n g b o t h s i d e s b y (x b)r

,

w e ' l l g e t :

(x b)rG (x) = 0 + 1 (x b) + + r1(x b)r1

+ 1(x b)r

x a1+ 2

(x b)r

x a2+ + j

(x b)r

x aj( 1 4 )

N o w t h a t w e h a v e " c o v e r e d u p " t h e (x b)r t e r m i n t h e d e n o m i n a t o r o f G (x), w e p l u g i n x = b t o e a c h s i d e ; t h i s c a n c e l s e v e r y t e r m o n t h e r i g h t - h a n d s i d e e x c e p t f o r 0 , l e a v i n g t h e f o r m u l a

0 = (x b)r

G (x) |x=b ( 1 5 )

T o n d t h e o t h e r v a l u e s o f t h e b e t a c o e c i e n t s , w e c a n t a k e a d v a n t a g e o f t h e d e r i v a t i v e . B y t a k i n g t h e

d e r i v a t i v e o f t h e e q u a t i o n a f t e r c o v e r - u p ( 1 4 ) ( w i t h r e s p e c t t o x t h e r i g h t - h a n d s i d e b e c o m e s 1 p l u s t e r m s

c o n t a i n i n g a n x b i n t h e n u m e r a t o r . A g a i n , p l u g g i n g i n x = b e l i m i n a t e s e v e r y t h i n g o n t h e r i g h t - h a n d s i d e e x c e p t f o r

1, l e a v i n g u s w i t h a f o r m u l a f o r

1:

1 =d

dx((x b)

rG (x)) |x=b ( 1 6 )

G e n e r a l i z i n g o v e r t h i s p a t t e r n , w e c a n c o n t i n u e t o t a k e d e r i v a t i v e s t o n d t h e o t h e r b e t a t e r m s . T h e

s o l u t i o n f o r a l l b e t a t e r m s i s

k =1

k!

dk

dxk((x b)

rG (x)) |x=b ( 1 7 )

n o t e : T o c h e c k i f y o u ' v e d o n e t h e p a r t i a l f r a c t i o n e x p a n s i o n c o r r e c t l y , j u s t a d d a l l o f t h e p a r t i a l

f r a c t i o n s t o g e t h e r t o s e e i f t h e i r s u m e q u a l s t h e o r i g i n a l r a t i o o f p o l y n o m i a l s .

2 F i n d i n g P a r t i a l F r a c t i o n s i n M a t l a b

M a t l a b c a n b e a u s e f u l t o o l i n n d i n g p a r t i a l f r a c t i o n e x p a n s i o n s w h e n t h e r a t i o s b e c o m e t o o u n w i e l d y t o

e x p a n d b y h a n d . I t c a n h a n d l e s y m b o l i c v a r i a b l e s . F o r e x a m p l e , i f y o u t y p e s y m s s , s w i l l b e t r e a t e d a s a

s y m b o l i c v a r i a b l e . Y o u c a n t h e n u s e i t a s s u c h w h e n y o u m a k e f u n c t i o n a s s i g n m e n t s .

I f y o u ' v e d o n e t h i s a n d h a v e t h e n m a d e a f u n c t i o n , s a y H(s), w h i c h i s a r a t i o o f t w o p o l y n o m i a l s i n t h e s y m b o l i c v a r i a b l e s, t h e r e a r e t w o w a y s t o g e t t h e p a r t i a l f r a c t i o n e x p a n s i o n o f i t . A t r i c k w a y i s t o s a y

d i f f ( i n t ( H ) ) . W h e n y o u u s e t h e s e f u n c t i o n s t o g e t h e r , M a t l a b g i v e s b a c k H e x p a n d e d i n t o p a r t i a l f r a c t i o n s .

T h e r e ' s a l s o a m o r e f o r m a l w a y t o d o i t u s i n g t h e r e s i d u e c o m m a n d . T y p e h e l p r e s i d u e i n M a t l a b f o r

d e t a i l s .


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