Particelle cariche

Particelle cariche Particelle cariche

G. PuglieseBiofisica, a.a. 09-10

Fenomeni principali:

Altri fenomeni:

Emissione Cherenkov,

Ionizzazione Bremsstrahlung

trascurabile per particelle cariche pesanti

Scattering coulombiano multiplo

Perdita energia Collisioni anelastiche con elettroni o nuclei atomici

Deflessione Diffusione elastica dai nuclei

Perdita di energia per ionizzazionePerdita di energia per ionizzazione


Il fenomeno della perdita di energia per ionizzazione ed eccitazione della materia è stato affrontato e descritto negli anni trenta soprattutto da MOTT, BETHE, MÖLLER, BLOCH.Le collisioni con gli elettroni atomici vengono di solito classificate in due categorie: dure e molli.

Collisioni “dure” sono quelle in cui l’energia trasferita all’elettrone è tanto grande da poter considerare l’elettrone come libero dal legame atomico.Le sezioni d’urto dipendono dalla natura e dallo spin della particella incidente. Ogni collisione per cui l’energia trasferita è sufficientemente grande rispetto all’energia di ionizzazione dell’elettrone si può considerare dura.

dQQTD ),(È la sezione d’urto differenziale per un processo in cui una particella di energia cinetica T trasferisce all’elettrone energia compresa tra Q e Q+dQ, la probabilità differenziale per questa collisione risulta:

dQdxNZdQQT DD ),(

quando lo spessore di materiale attraversato è dx, N = numero atomi/cm3 nel materiale e Z = numero di elettroni/atomo ≡ numero atomico del materiale



L’energia perduta in media per unità di lunghezza è quindi:

MAXQ

H

DD

dQQNZdx

dT

dove H è il valore di Q a partire dal quale la collisione può considerarsi “dura”.

Le collisioni considerate “molli” invece riguardano processi per cui Qmin<Q<H, dove Qmin è l’energia di eccitazione dell’elettrone;

La perdita complessiva di energia per ionizzazione è quindi data dalla somma dei due contributi:

MDion dx

dT

dx

dT

dx

dT



Ddx

dT

MAXQ

Q Mion

dQQNZdx

dTmin

I calcoli dettagliati per la collisione dura non sono sempre affidabili soprattutto per le incertezze sulla funzione ΣD. Inoltre sono parecchio infrequenti cosicché

il contributo al “valore più probabile” della perdita di energia è solitamente piccolo. Si preferisce calcolare il contributo dei soli processi molli estendendo l’integrazione fino al valore QMAX ed ignorando il termine

Particelle cariche pesanti: perdita di energia per ionizzazione

Particelle cariche pesanti: perdita di energia per ionizzazione


Se valgono le seguenti ipotesi:

1. Massa particella M >> me 2. e- atomico libero e in quiete 3. Impulso trasferito piccolo

(-dE/dx) = quantità di energia persa per unità di percorso per ionizzazione da parte di una particella carica

Bohr (formula classica) Bethe-Bloch (relativistica)

calcolo

Formula di Bethe-Bloch Formula di Bethe-Bloch


Z

C

I

WcmzNZcmr

dx

dE eee 22

2ln2 2

2max

222

2

222

I = potenziale medio di eccitazione

N, Z (numero atomico)= caratteristiche del mezzo (A peso atomico, ρ denistà)

z, β, γ = caratteristiche della particella incidente

Wmax = massima energia trasferita in una collisione

re = raggio classico dell’elettrone

me = massa dell’elettrone

Valida per β>>Z/137

A

NN A

Commenti (1)Commenti (1)


• Zona A: ripida decrescita proporzionale a 1/β²

• Punto B: minimo della perdita di energia

• Zona C: lenta crescita relativistica proporzionale a ln

• Zona D: perdita di energia per unità di percorso costante, ionizzazione limitata dagli effetti di densità

Z

C

I

WcmzNZcmr

dx

dE eee 22

2ln2 2

2max

222

2

222



Effetto densità (importante ad alte energie): la polarizzazione degli atomi scherma il campo elettrico sentito dagli elettroni più lontani, quindi le collisioni con questi elettroni contribuiscono meno alla perdita di energia totale

Correzione di shell (importante a basse energie): quando v(particella)~v(orbitale elettrone) non vale l’assunzione di elettrone stazionario

Channeling in materiali con struttura atomica simmetrica: perdita energia minore se particella incanalata

Avviene quando l’angolo è minore di un certo angolo critico

Z

C

I

Wcmz

A

ZcmrN

dx

dE eeeA 22

2ln2 2

2max

222

2

222

Z

C

I

WcmzNZcmr

dx

dE eee 22

2ln2 2

2max

222

2

222



A. Particella veloce rilascia meno energia

B. Particella con carica maggiore rilascia più energia

C. No dipendenza dalla massa della particella incidente

Curva di BraggCurva di Bragg


Il numero di coppie create per unità di lunghezza di percorso è proporzionale alla frazione dE/dx d’energia persa dalla particella.

Quando la particella rallenta perde più energia

Energia depositata per lo più alla fine: importante per applicazioni mediche

Profondità di penetrazione

dE/dx(Mev*cm2/g)

Pick up

Andamento qualitativo della ionizzazione specifica in funzione dello spessore attraversato: Curva di Bragg:

Commenti (4): Minimo di ionizzazioneCommenti (4): Minimo di ionizzazione


La dipendenza dalla massa avviene tramite il rapporto p/E:

per alto la perdita di energia è praticamente indipendente da m(risalita relativistica);

per piccoli valori di , a parità di energia cinetica della particella incidente, la perdita è essenzialmente dominata dal valore di m. Particelle più pesanti raggiungono il minimo a energie maggiori

L’energia che corrisponde al minimo di ionizzazione dipende dalla massa della particella incidente

Commenti (5): Dipendenza dal mezzoCommenti (5): Dipendenza dal mezzo


Materiali diversi con lo stesso spessore di massa hanno lo stesso effetto sulla stessa radiazione

D. un mezzo denso e con numero atomico elevato acquista più energia dalla particella incidente

La perdita di energia aumenta all’aumentare di Z/A

esprimendo la lunghezza attraversata nel mezzo in unità di (x) ≡ gr/cm2

)( xd

dE

Perdita di energia (esempi)Perdita di energia (esempi)


Simulazione GEANT dell'energia depositata (scala orizzontale in MeV) da 50000 protoni di energia cinetica 10 MeV in un rivelatore sottile da 2 e 100 micron di Silicio.

La perdita di energia per particelle cariche pesanti (processo statistico) solitamente è distribuita attorno ad un valore medio. Tale distribuzione, straggling energetico, è approssimativamente gaussiana per assorbitori più spessi e tende a sviluppare una coda verso più alte energia man mano che diminuisce lo spessore, con un andamento asimmetrico descritto dalla distribuzione di Landau.

Range di penetrazioneRange di penetrazione


Rapporto particelle uscenti - incidenti in funzione dello spessore del mezzo:

Definiamo percorso della particella la distanza che questa percorre all’interno del mezzo prima d’aver perso tutta la propria energia (dipende dal tipo di particella, dalla sua energia e dal tipo di materiale):

Range medio: distanza in cui la metà delle particelle del fascio vengono assorbite Range estrapolato: viene preso il punto di intersezione della tangente condotta dal valore della curva corrispondente al range medio, con l'asse delle distanze

Range particelle cariche (relaz. empiriche)Range particelle cariche (relaz. empiriche)


2/3)(309.0)( MeVEcmR

Il percorso in un certo mezzo di una particella carica di energia iniziale nota può essere ricavato facendo uso di relazioni empiriche:

Es. Percorso medio in aria di particelle di energia cinetica E (tra 4 e 7 MeV)

Es. Per un protone per energie tra qualche MeV e 200 MeV

8.1

3.9

)()(

MeVEmR

p

Per un qualsiasi mezzo, il range medio per le particelle a

3/12 56.0) ( ARcmmgRA

Range particelle cariche (simulazioni)Range particelle cariche (simulazioni)


protoni

La capacità di penetrazione di particelle cariche pesanti è modesta: per es. di qualche MeVsono assorbite in meno di 10 cm di aria (densità dell’aria 1.2 10-3 g/cm3).

Interazione particelle cariche leggere - materiaInterazione particelle cariche leggere - materia


Col termine particelle cariche leggere intendiamo gli elettroni (e- ed β-) ed i positroni (e+ ed β+).

Perdono energia attraversando un mezzo per:

Processi di collisione (predominante per piccolo):

1. nuclei (collisioni elastiche, deflessione)

2. elettroni atomici (collisioni anelastiche, perdita energia)

Irraggiamento o Bremsstrahlung (alle alte energie tra 10 – 100 MeV): fenomeno dell’emissione di fotoni da parte di particelle cariche, collegato all’accelerazione subita per la azione dei campi elettrici dei nuclei atomici

Ionizzazione per elettroniIonizzazione per elettroni


modifiche alla formula di Bethe-Bloch:

]),()/(2

)2([ln

11535.0

22

2

2

F

cmIA

Z

dx

dE

e

• Gli elettroni sono generalmente relativistici (2 MeV il = 4) • Negli urti con gli elettroni atomici non si possono trascurare le deflessioni • scattering tra particelle identiche regole quanto-meccanica (indistinguibili)

τ = E(energia cinetica della particella) /mec2

Dove F diverso per e+ ed e-

Percorso degli elettroniPercorso degli elettroni


Relazione empirica che lega il percorso degli elettroni in funzione della loro energia:

MeVEEcm

gR 38.0133.0542.0

2

Il percorso è praticamente indipendente dalla natura dal mezzo in cui avviene l’interazione! Solo dalla densità!

MeVEEcm

gR 8.015.0407.0 38.1

2

BremsstrahlungBremsstrahlung


Emissione di radiazione da diffusione nel campo elettrico del nucleo (bremmstrahlung = frenamento) (Energia non ceduta al mezzo ma ai fotoni prodotti. )

La distanza tra la particella e il nucleo gioca un ruolo essenziale: 1. Per distanze grandi rispetto al raggio nucleare ma piccole rispetto al raggio

atomico: si può considerare il campo Colombiano come dovuto alla carica puntiforme Ze

2. per distanze ≥ del raggio atomico: diventa importante lo schermaggio degli elettroni atomici

3. per distanze ~ raggio nucleare: la carica non appare più puntiforme

3/1

2

31

22 137mc

E 183

lg137

4

ZZr

NEZ

dx

Ede

Rad

Lunghezza di radiazioneLunghezza di radiazione


Le perdite per irraggiamento diventano più importanti al crescere dell’energia (al contrario di quelle per ionizzazione).

Molto spesso per gli elettroni anziché parlare di distanze percorse in un mezzo si preferisce ragionare in termini di lunghezza di radiazione:

183

lg137

41

31

22

0 Zr

NZ

X e

0/0

0

EE XxeX

dx

E

dE

183

lg137

4

31

22

Zr

NEZ

dx

Ede

Rad

rappresenta la distanza in media percorsa da un elettrone prima che la sua energia si riduca di 1/e del valore iniziale.

Perdita di energia degli elettroniPerdita di energia degli elettroni


(dE/dx)tot = (dE/dx)rad + (dE/dx)ionoz(dE/dx)tot = (dE/dx)rad + (dE/dx)ionoz

IONIZZAZIONE IONIZZAZIONE fino pochi MeVfino pochi MeV

BREMSSTRAHLUNGBREMSSTRAHLUNG da decine di MeVda decine di MeV

(dE/dx)rad = (dE/dx)ioniz(dE/dx)rad = (dE/dx)ionizPer ciascun materiale si definisce un’energia critica Ec alla quale la perdita di energia per radiazione è uguale alla perdita di energia per collisione:

Z

MeVEc

800

L’energia critica dipende fortemente dal materiale assorbente

Tabelle: energia critica – Lungh. radiazioneTabelle: energia critica – Lungh. radiazione


Esempi: perdita di energia per elettroniEsempi: perdita di energia per elettroni


Esempi: perdita di energia per elettroniEsempi: perdita di energia per elettroni


Riassumendo: perdita di energia per elettroniRiassumendo: perdita di energia per elettroni


IONIZZAZIONEIONIZZAZIONE

dE/dx varia

logaritmicamente con E e

linearmente con Z

Domina a energie minori

di quella critica

L’energia è ceduta al

materiale assorbente

BREMSSTRAHLUNGBREMSSTRAHLUNG

dE/dx varia linearmente

con E e quadraticamente

con Z

Domina a energie

maggiori di quella critica

L’energia è ceduta ai

fotoni

Elettroni e protoni a confronto Elettroni e protoni a confronto


Lunghezza di conversione per i fotoniLunghezza di conversione per i fotoni


27

2183lg

9

28

137 3/1

22

Zr

Zep

pp N

L1

pL

dx

n

dn Lpxenn /

0

3/1

22 183

lg1379

28

1

Z

NZr

L

e

p

pLX9

70

MisceleMiscele


DIFFUSIONE ELASTICA DI PARTICELLE CARICHE

DIFFUSIONE ELASTICA DI PARTICELLE CARICHE


Una particella in moto vicino ad un nucleo subisce una deviazione della direzione del moto; il nucleo molto più pesante non subisce cambiamenti apprezzabili in energia e quindi la collisione è elastica

• sono elastici non contribuiscono alla perdita di energia • Contribuisco alla deviazione della traiettoria •Le collisioni elastiche con i nuclei sono meno probabili rispetto alla collisioni anelastiche con gli elettroni

Scattering coulombiano multiploScattering coulombiano multiplo


Grande per piccoli angoliGrande per piccole velocità

Probabilità di interazione

θ=angolo di scatteringdσ/dΩ=(Zzremec2)2/4p2v2sen4(θ/2)

Descritto dalla formula di Rutherford per la sezione d’urto differenziale:

Scattering della particella causato dalla diffusione nel campo coulombiano dei nuclei



La particella nell’attraversare un mezzo subisce parecchie deflessioni e l’angolo θ di uscita dal mezzo è il risultato di un accumulo statistico di piccole deflessioni. la variabile θ è distribuita in modo gaussiano intorno al valore θ=0 e quindi la probabilità che l’angolo di scattering multiplo sia compreso tra θ e θ + d θ è



RiepilogoRiepilogo


fotoni

particelle cariche

Ionizzazione

Scattering coulombiano multiplo

Bremsstrahlung (trascurabile per particelle cariche pesanti)

Effetto Fotoelettrico

Effetto Compton

Produzione di coppie

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