Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PAT1 มีนาคม 2555 เฉลยและเรียบเรียง โดย บุญชวย ภัทรเลิศศิริ สงสัยถาม ใน group ได หรือ 0813065635 หนา 1 / 20
Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานาร,ี แสงอรุณ ,ทวธีาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath
A B B∩ = A B B′ ′ ′∪ = ( ) ( ) 10n A B n B′ ′ ′∪ = = ( ) 12 10 2n B = − =
เน่ืองจาก B C∩ =∅/ จํานวนสมาชิก C ท่ีอยูใน B ดวยมี 4 1 3− = วิธ ี
เพราะวา ( ) 4n A B′∩ = จึงเลือกไดวาให 4 ตัวน้ีอยูใน C หรือไม ไดท้ังหมด 42 วิธี ∴ C มีท้ังหมด
43(2 ) 48= เซต ตอบขอ 2
ใชรูปแบบการสมมุล
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
~ ~ ~ ~ ~~ ~
~ ~~ ~
~ ~ ~...
p q p p p q pT q p
q pr s r s r s s
r Fr
then q p r q p r
∧ ∨ ≡ ∨ ∧ ∨≡ ∧ ∨≡ ∨
∨ ∧ ∨ ≡ ∨ ∧≡ ∨≡
∨ ⇒ ≡ ∧ ⇒
ตอบขอ 3
อีกวิธีหน่ึงจากโจทยจะได ( ) [( ) ( ) ( ) (( ) )p q p r s r s p q p r p q p r p q r∧ ∨ ⇒ ∨ ∧ ∨ ≡ ∧ ∨ ∨ ≡ ∨ ∧ ∨ ≡ ∧ ∨ ทําใหเปนรูปแบบพื้นฐาน 1. p r∧ 2. q r∧ 3. p q r∧ ∧ 4. q rs∧ ตอบ ขอ 3
เรียงตามคาแบงได 3 ยานดังน้ี
13
x < − : 3( 1) 2 2(3 1)x x x− − − > − + ได 5x > − ดังน้ันรวม 153
x− < < − เอาเฉพาะจํานวนเต็มได 4, 3, 2, 1x = − − − −
PAT1 มีนาคม 2555 เฉลยและเรียบเรียง โดย บุญชวย ภัทรเลิศศิริ สงสัยถาม ใน group ได หรือ 0813065635 หนา 2 / 20
Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานาร,ี แสงอรุณ ,ทวธีาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath
1 1:3
x− ≤ < 3( 1) 2 2(3 1)x x x− − − > + ได 1
11x< ท่ีตรงเงื่อนไขคือ 0x =
1: 3( 1) 2 2(3 1)x x x x≥ − − > − ได 1 x− > ไ มตรงเง่ือนไข ใชไมได รวมได { }4, 3, 2, 1,0A = − − − − B จากอสมการ 2( 2)( 1) 0x x x+ + < จะได ( 2, 1) ( 1,0)x B= = − − ∪ −
1. ( ) 5 0 5n A B− = − = ถูก 2. BA A∪ ≠ ผิด 2. 3. ( ) ( ) 5n A B n A∩ = = ผิด 4. ( ) ( )A B B A A B B− ∪ − = ∪ ≠ ผิด ตอบขอ 1.
1. ก.ถูก และ ข.ถูก 2. ก. ถูก แต ข.ผิด 3. ก.ผิด แต ข.ถูก 4. ก.ผิด และ ข.ผิด
จัดรูปแบบ ได 1 ( )
| | 1xy f xx+
= =+
เมื่อ 0x ≥ 1 11
xyx+
= =+
เมื่อ 0x < 11
xyx+
=− +
lim 1x
y→−∞
= −
y มีความตอเน่ืองท่ีจุด 0x = และจุดอ่ืนๆ ∴ rD R= ขอ ก ผิด 1r− ไมเปน ฟงกชัน เพราะ มีคา1 ซํ้ากัน ∴ ขอ ข ผิด ตอบขอ 4.
เพื่อความเขาใจดูรูปประกอบ รูปขวาเปน 1r−
-
สําหรับคามุมที่นอยกวา 45 ° คา cotθ จะมากกวา 1 คา 1 cos sinθ θ> > และคา 1> ยกกําลังมากกวาจะมีคามากกวา ถาคา 1< ยกกําลังมาก
วาจะมีคานอยกวา ดังนั้น ตอบขอ 2.
PAT1 มีนาคม 2555 เฉลยและเรียบเรียง โดย บุญชวย ภัทรเลิศศิริ สงสัยถาม ใน group ได หรือ 0813065635 หนา 3 / 20
Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานาร,ี แสงอรุณ ,ทวธีาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath
2c a= − 2 2 4 4c a a= − +
จากสามเหล่ียม ABC จะได 2 2 2 2 2 22 5 2 (5) 60 25 5c a b abcosC a a cos a a= + − = + − = + − เทียบ 2 สมการจะได 25 4 21a = − = ดังน้ัน 2 19c a= − = และ 21 5 19 45a b c+ + = + + = ตอบ ขอ 4
ระยะระหวาง จุดโฟกัส 2 12c= = ได 6c = ระยะตั้งฉากจากแกน10 52
= = จากคุณสมบัตขิองวงรี
ระยะรวมของเสนที่ลากจากจุดโฟกัสทัง้สองไปยังจุดบนวงรี 2 22 (2 ) 5 5a c= + + = 2 2(12 5+ +5 13 5 18= + = ได 9a =
2 2 81 36 45a c− = − = สมการวงร ี 2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2 21 1 5 9 9 5 405
9 45 9 9 5x y x y x y x ya b
+ = → + = = + ×= =+→×
ตอบขอ 1
จัดรูปสมการวงกลมเปน
2 2( 6 9) ( 4 4) 4 9 4x x y y− + + + + = − + + หรือ 2 2 2( 3) ( 2) 3x y− + + =
แสดงวามีจุดศูนยกลางท่ี (3, 2)− และมรีัศมี 3 หนวย น่ันคือ พาราโบลา มีจุด โฟกัส F ท่ี (3, 2)− น่ันคือวงกลมสัมผัสแกน Y พอดี น่ันคือ จุดยอด
(0, 2)V = − จากจุดยอด V และ ระยะโฟกัส p=3 สมการพาราโบลาเปนแบบแนวนอน : 24 ( 0) 12 ( 2)p x x y− = = +
จุด , (3, 2 2 ),( 2 2 ) (3, 8),(3,4)A B p p= − − − + = − พื้นท่ีสามเหล่ียมหนาจ่ัว (3)(4 ) 18
2pVAB = = ตารางหนวย ตอบขอ 3 .
PAT1 มีนาคม 2555 เฉลยและเรียบเรียง โดย บุญชวย ภัทรเลิศศิริ สงสัยถาม ใน group ได หรือ 0813065635 หนา 4 / 20
Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานาร,ี แสงอรุณ ,ทวธีาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath
25 23 3 53 35 5
x x x− + − − >
จะได 25 23 3 5x x x− + < − − ยายขางจะได
25 22 8 (5 2)( 4) 0x x x x− + = − − <
น่ันคือ 2 ,45
A =
ขอ1 (5 1)x − ไมอยูในเซต ขอ 2 ok. ขอ3 $(x-5) ไมอยูในเซต ขอ 4 ออกนอกเซต ตอบขอ 2
ก. log log log log log loglog log log log log log
x x x x x xa b c c a b
− = −
เอา log log log
log loga b c
x x× ตลอดได
2log log log log 2log log logc b b a b a c b ac− = − → = + → = ขอ ก ถูก
ข. log log log log2
log( ) log( ) log( ) log( )a a a a
c b c b c b c b+ =
+ − + −
เอา log( ) log( )
logc b c b
a+ −
× ได 2 2 2 2 2log( ) log( ) log( ) 2logc b c b c b a a b c− + + = − = → + = ขอ ข.ถูก
ตอบขอ 1
A: จะได 1 5x x+ + = 2 2 21 ( 5) 10 25 11 24( 8)( 3) 0x x x x x x x x+ = − = − + → − + − − = ได 3,8x = แทนคาในสมการเดิม เปนจรงิเฉพาะ 8x = น่ันคือ B = {8 } B:
1.58
3 1.53 4.5 1.5 3
8 8 2 2 2
38 8 8(3 ) (9 ) (27 ) 3 ( )
(27 )(27 )(27 )log log 27 log 27 3 log 2 log 8
log x log x log x log x
x x x x xx
+ + = + →
= = = = =
เอาlog ออกจะได 127 .5 8x = แลวได
31
38 2.527 3
x = = น่ันคือ 49
x = หรือ B =49
AUB = 48,9
ผลคูณของสมาชิก 329
= ตอบขอ 3
PAT1 มีนาคม 2555 เฉลยและเรียบเรียง โดย บุญชวย ภัทรเลิศศิริ สงสัยถาม ใน group ได หรือ 0813065635 หนา 5 / 20
Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานาร,ี แสงอรุณ ,ทวธีาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath
เวกเตอร AB
= ผลตางของพกิัด B A− ดังน้ัน [2 ( 1)] [5 (1)] 3 4AB i j i j= − − + − = +
เวกเตอร AD
อยูในแนวเสนตรง AB สมมุติใหมีทิศทางเดียวกันกับแตมขีนาดตางกันเปน k เทาของ AB
จึงให
(3 4 )AD k i j= +
เวกเตอร CD
เทากับพกิัด [( 1 3 ),(1 4 )] (2, 3) ( 3 3 ) ,(4 4 )CD D C k k k i k j= − = − + + − − = − + +
เน่ืองจาก AD
ต้ังฉากกับ CD
จึงได 2 20 3 ( 3 3 ) 4 (4 4 ) ( 9 9 ) (16 16 )AD CD k k k k k k k k= = − + + + = − + + +
225 7k k= +
ดังน้ัน 725
k = − และได7(3 4 ) (3 4 )25
AD k i j i j= + = − +
ตอบขอ 3
2
2
1 1 1 1 01 1
1 1 1 0 1
1 1 0 1 12 2 2 2
1 0 1 1 1
x x xy x x xyA I xy
y y y y xy xyx x x
AB C A B AC IB By y y
+ − + = = = = → + = − − − + +
− − − = → = → = = = = − − − − −
2 11 1 1| | 2 4(1 ) 4(1) 4 | |1 | | 4
xB xy B
y B−−
= = + = = → = =− −
ตอบขอ 1.
ก. กรณี v u= − จะได
2 2 2 2| | | ( | | 2 || 4 | |u v u u u u− = − − = = แต 2 2 2 2 22u v u u u+ = + − = ดังน้ัน ก.ผิด
PAT1 มีนาคม 2555 เฉลยและเรียบเรียง โดย บุญชวย ภัทรเลิศศิริ สงสัยถาม ใน group ได หรือ 0813065635 หนา 6 / 20
Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานาร,ี แสงอรุณ ,ทวธีาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath
ข. ตามปทากอรัส ข. ถูก ตอบขอ 3
ก. จัดรูปเปน อนุกรมเรขาคณิต ซึง่มีสูตร 1
1 1in
aar
∞
=
=−∑ และในกรณี 1a r= จะไดดังน้ี
1 1 1( )( ) ( ) ( )
n nn n
nn n n
a b a ba b a b a b
∞ ∞ ∞
= = =
+= +
+ + +∑ ∑ ∑1 1
a ba b a b
a ba b a b
+ += +− −
+ +
$ $2 2a b a b
b a ab+
= + = ขอ ก. ถูก
ข.
12
12
1 1
1 1 1 1
1 2 3
1 2 3
[2 ( 1) ][2 ( 1) ]2
(2 ( 1) ]... [2 ( 1) ]2
[2 ( 1) ] [2
...
( 1) ] 2( ) ( ) 2
n
m
n a n dn a n d n
m a m d m a m d m
m a n d n
a a a a
a m d m n a m n d
a
a
a a a
d
+ −+ −
=+ − + −
+ − = + −
+ + + +
→ − = − →
=+ +
=
=+ +
1 1 1
1 1
( 1) ( 1)2 2 1( 1) ( 1)2 2 1
m
n
a a m d a m a ma a n d a n a n
+ − + − −= = =
+ − + − − ขอ ข. ถกู
ดังน้ันถูกท้ังขอ ก และ ข ตอบขอ 1
2'( )f x x x c= + + '(2) 2 4 2f c= = + + 4c = −
3 2
( ) 43 2x xf x x D= + − +
1 1(1) 3 4(1)3 2
f D= = + − + 576
376
D = − =
ความชันท่ีจุด (1,3) 2'(1) (1) 1 4 2f = + − = − =ความชันของเสนสัมผัส ดังน้ันความชันของเสนต้ังฉาก =12
สมการเสนสัมผัส 2xy E= + ท่ีจุด (1,3) ได
132
E= + 52
E = ตอบขอ 2
PAT1 มีนาคม 2555 เฉลยและเรียบเรียง โดย บุญชวย ภัทรเลิศศิริ สงสัยถาม ใน group ได หรือ 0813065635 หนา 7 / 20
Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานาร,ี แสงอรุณ ,ทวธีาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath
2 2
2 22 2 2
( 1) ( 1)2 2( ) ( 1) '( ) ( 1)( 1) 1
a x ax x a x axg x x f x xx x
+ − + − −= + = + =
+ +
ถา ฟงกช่ัน ( )h x มีความตอเน่ืองท่ี 2x = จะได (2) (2)f g= ดังน้ัน 2
2 2(2) 1 2(2) (2)2 1 (2) 1
a a a+ − −=
+ + 54 4 4 3
5a a a− − − −
= =
ได 1a = − ดังน้ัน 2
21 2( 2) ( 2) 4 3 2 7 12 ( 2) (2) 2 ( 2) (2) 2 3
( 2) 1 5 5 5h h g f − − − + − − + ×− − = − − = − = + =
− + ตอบขอ 4
( ) 2 [ ( ) 1] 2[ ( ) 1] ( ( ) 1) 2[ ( ) 1] ( )
( ) [ ( ) 1] ( ) [ ( ) 1] 2[ ( ) 1] ( ) (1) 2[ (1) 1] (1) 1 2[ (1) 1](1)
dh x x h f x f x f x f x f xdx
g x h f x g x h f x f x f x g f f f
′ ′ ′= → − = − − = −
′ ′ ′ ′ ′= − → = − = − → = − → = −
3(1)
2f→ = ตอบขอ 2
PAT1 มีนาคม 2555 เฉลยและเรียบเรียง โดย บุญชวย ภัทรเลิศศิริ สงสัยถาม ใน group ได หรือ 0813065635 หนา 8 / 20
Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานาร,ี แสงอรุณ ,ทวธีาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath
จุดตัด B&C ใชไมได เพราะ y>2 ดังน้ัน จากจุด A เปนจุดท่ี P มีคาสูงสุด ตอบ 3
คะแนนเฉล่ียระหวางนายสายชล และนส ฟา 20 30 25
2+
= =
สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานระหวางนายสายชล และนส ฟา 2 2(20 25) (30 25) 5
2− + −
=
เน่ืองจาก คะแนนเฉลียและสวนเบียงเบนมาตรฐาน คดิเฉพาะ 2 คนท่ีเพ่ิมเขามา เทากับ ของเดมิ การเพ่ิมจํานวนนักเรียนเปน 32 คน จีงไม
ทําใหสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานใหมเปล่ียนไป ตอบขอ 2 หรือคิดจากสูตร 32 30
2 2 2 22 2 2 2 2 2
1 1( ) ( 25) (20 25) (30 25)
30 (20 25) (30 25) 30(5 ) (5) (5) 530 2 30 2 30 2 30 2
i iold
total
x x xss
− − + − + −+ − + − + +
= = = = =+ + + +
∑ ∑ตอบขอ 2
( )
2 6 (1) 2 8 (2) 1 (3) 0 (4)4 10 10 42(1) (2) 3 4 , ,3 3 3 3
7 4 4 7(1) (3) , ,3 3 3 37 10 7 10(2) (3) , ,3 3 3 3
0 2 ..(5) 2 6 2, 2 2,2,
10 4 8 23 2 , : 10 123 3 3 3
4 7,3
x y x y x y x
y y x A
y x B
x y C
y x y y x D
P x y A P
B
+ ≤ + ≤ − + ≤ ≥
− → ≤ → ≤ ≤ + → ≤ ≤ − → ≤ ≤
≤ ≤ → + ≤ → = = →
= + → = + = 14 2 7 10 20 2: 4 7 , : 7 13
3 3 3 3 3 3 3(2,2) : 3(2) 2(2) 10
P C P
D P
= + = = + =
= + =
PAT1 มีนาคม 2555 เฉลยและเรียบเรียง โดย บุญชวย ภัทรเลิศศิริ สงสัยถาม ใน group ได หรือ 0813065635 หนา 9 / 20
Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานาร,ี แสงอรุณ ,ทวธีาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath
ลําดับเลขคณิต ( , , )a b c ถา 1d = จะได (1,2,3) ถึง (5,6,7) รวม 5 ขุด ลําดับเลขคณิต ( , , )a b c ถา 2d = จะได (1,3,5) ถึง (3,5,7) รวม 3 ขุด ลําดับเลขคณิต ( , , )a b c ถา 3d = จะได (1,4,7) รวม 1 ขุด จึงมีจํานวนชุดท่ีเปนไปไดท้ังหมด 5 3 1 9= + + = ชุด
แตการเลือก สมาชิก 3 จาก 7 ทําได 7! 7 6 5 35
3!4! 2 3× ×
= =×
วิธี
ดังน้ันความนาจะเปนท่ีจะเลือก สมาชิกของ A 3ตัวท่ีเรียงตามลําดับเลขคณิต935
= ตอบขอ 4.
ตอบ ขอ 4 กําหนดให $a$ เปนอายุเฉล่ียเบื้องตนท่ีกึ่งกลางช้ัน $31-35$ มีคา$=33$ และคํานวณอายุเฉล่ีย จากสูตร
[9( 2) 8( 1) 0 13(1) 6(2) 7(3)] 1 133 5 33 [ 18 8 0 13 12 21] 33 [20] 3550 10 10
X a ID − + − + + + += + = + = + − − + + + + = + =
ตอบขอ 1
จัดเรียงขอมูล กลุมท่ี 1: 3,5,6,6,6,7,7,8,9,10 จัดเรียงขอมูล กลุมท่ี 2: 1,5,6,6,7,7,8,9,12,15 กลุมท่ี 1:
PAT1 มีนาคม 2555 เฉลยและเรียบเรียง โดย บุญชวย ภัทรเลิศศิริ สงสัยถาม ใน group ได หรือ 0813065635 หนา 10 / 20
Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานาร,ี แสงอรุณ ,ทวธีาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath
13 5 6 3 7 2 8 9 10 67 6.7
10 10X + + × + × + + +
= = =
2 2 2 2 2 2 2 22 2
1 1
2
3 5 3 6 2 7 8 9 10 6.710
9 25 108 98 64 81 100 4856.7 44.89 3.61 1.910 10
ixS X
N+ + × + × + + +
= − = −
+ + + + + += − = − = =
∑
กลุมท่ี 2:
2
2 2 2 2 2 2 2 2 22 2
2 2
1 5 6(2) 7(2) 8 9 12 15 76 7.610 10
1 5 6 (2) 7 (2) 8 9 12 15 7.610
i
X
xS X
N
+ + + + + + += = =
+ + + + + + += − = −∑
เปรียบเทียบความแตกตางของความสามารถระหวางกลุมไดจาก 1 2
1 2
1.9 3.630.283 0.4786.7 7.6
S SX X
= = = = กลุม 2 แตกตางกันมากวา ดังน้ัน ขอ ก. ผิด
ช. สัมประสิทธิสวนเบีย่งเบนควอไทม 3 1
3 1
Q QQ Q
=−+
ตําแหนงของขอมูล1
1 (1 10) 2.754
Q = + = 33 (1 10) 8.254
Q = + =
ดังน้ันกลุม 1: 1 5 0.75 5.75Q = + = 3 8 (.25)(1) 8.25Q = + = และ 3 1
3
8.25 5.75 2.50 58.25 5.75 14.00 28
Q QQ Q
−+
−= = =
+
ดังน้ันกลุม 2: 1 5 0.75 5.75Q = + = 3 9 (.25)(3) 9.75Q = + = และ 3 1
3
9.75 5.75 49.75 5.75 14
Q QQ Q
−= =
+−+
ขอ ข ผิด
ดังน้ันผิดท้ัง ก.และ ข. ตอบขอ 4
1. ( ) , ( ) ( )
cb c b bca b c a a c b a a∗ ∗ = ∗ ∗ = = ผิด 2. ( ) ) ( ) , ( )b c bc bca b c a a a bc a∗ ∗ = = ∗ = ถูก
3. ( ) , ( ) ) ( )cb b c bca b c a a b c a a∗ ∗ = ∗ ∗ = = ผิด
4. ( ) ( ) , ( ) ( )c c ca b c a b a c b c a b+ ∗ = + ∗ + ∗ = + ผิด ตอบขอ 2
PAT1 มีนาคม 2555 เฉลยและเรียบเรียง โดย บุญชวย ภัทรเลิศศิริ สงสัยถาม ใน group ได หรือ 0813065635 หนา 11 / 20
Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานาร,ี แสงอรุณ ,ทวธีาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath
2 31 1 1 ... .
2 2 22 2 27 4 3 7 48, 2 2 4, 2 3 2 3 2 6 5 24a b b c c + + ++ = + = + = = → = = + → = + + = +
ดังน้ัน 1 1 1b c ab c a
< < → > > ตอบขอ 4.
ให คนชอบอานอยางเดียว k คน คนชอบอานสองอยาง l คน คนชอบอานสามอยาง m คน จะได k + l + m = 100 --- (1) k + 2l + 3m = 75+70+80=225 --- (2) 3(1) - (2) 2k + l = 75 คา m นอยสุด เมื่อ l มากสุด จะได k = 0, l = 75 นําไปแทนคาใน (1) ได m = 25 ตอบ 25 คน
ถาจะหา m มากสุด จาก 2k + l = 75 คา m มากสุด เม่ือ k มากสุด จะได k = 37, l = 1 นําไปแทนคาใน (1) ได m = 62
ให
5 2 3 2 2 3 24 ( 1) ( 4) ( 2 1)( 4)ax bx x ax bx cx x x ax bx cx+ + = − + + + = − + + + + 5 4 3 2
4
3
2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 4) ( 8) 41. : 2 02. : 2 03. : 2 4 04. : 8 8
ax b a x a b c x b c x c xx b ax a b cx b cx c b c b
= + − + − + + − + + − +
− =
− + =
− + =− = → = +
PAT1 มีนาคม 2555 เฉลยและเรียบเรียง โดย บุญชวย ภัทรเลิศศิริ สงสัยถาม ใน group ได หรือ 0813065635 หนา 12 / 20
Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานาร,ี แสงอรุณ ,ทวธีาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath
แทนคา c ลงในสมการ 3.ได 2( 8) 4 0 12b b b− + + = → = − และจาก สมการ 1. จะได 12 6
2 2ba −
= = = −
ดังน้ัน 6 ( 12) 6a b− = − − − = ตองเปน 1-(-5)=6 ตอบ 6
3 cos5 sin5 sin85 cos5 12sin 702 cos5 cos85
3sin(5 85 ) 3 12sin 70 sin10 3 6[cos(70 10 ) cos(70 10 )]12sin 702cos5 sin5 sin10 sin10
+= −
+ − − − − +
= − = =
3 6cos60 6cos80 3 6(0.5) 6sin10 6sin10 sin10
− + − += = =
ตอบ 6
A จากโจทย หาคา cos ของผลบวกของมุม ได 2 2 2 2( 3) 1 1 3 1 3 1 1 3 0x x x x x x x x = − − − → − − + − =
ได 0x = เปนคําตอบคาหน่ึง คา x ท่ีเหลือคิดจาก
( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 4 2 2 2 4
3 1 1 3 1
3(1 ) 2 3 1 1 3 1 3 1
4 6 2 3 1 1 3 1
3(1 2 ) 2 3 1 1 3 9(1 4 4 ) 4 3 1 1 3 12(1 4 3 )
x x
x x x x
x x x
x x x x x x x x x
− − − = →
− − − − + − =
− − − − =
− = − − → − + = × − − = − + →
2 4 2 4 2 1 13 12 12 4 16 12 4 1 0 ,2 2
x x x x x x− + = − + → − = → = −/ / แตใชไดเฉพาะ 12
x = จากการแทนคาขางลางน้ี
1 1 3 1 2 5: cos cos cos 12 2 2 4 3 6 3
x arc arc arc π π π = − − = − + − → = + ไมเทากันจึงใชไมได
1 1 3 1: cos cos cos 12 2 2 4 3 6 6
x arc arc arc π π π = = + − → = + ดังน้ัน
10,2
A =
สวน B: จากสมการ จะหาคา cos ของผลบวกของมมุ ได 2 2 2 2 21 1 (1 ) (1 ) 2 1 1 (1 )x x x x x x x x x= − − − − − → − = − − − 2 2 2 2 2
2 3 4 2 2 2 3 32 2)(2 ) )(2 )
1 1 (1 ) (1 ) 2 1 1 (1 )
4 4 (4 4 ) (( 2 )1 2(1
x x x x x x x x x
x x x x x xx x x x x x x x xx x
= − − − − − → − = − − − →
− + = − − = − → − + = − − +− →/ /
2 10 (2 5 2) (2 1)( 2) 0, , 22
x x x x x x x= − + = − − → = เน่ืองจากคา cos มีคาไมมากวา 110,2
B → =
ดังน้ัน A B− =10,2
-10,2
=∅ ( ) { }P A B→ − = ∅ จะได ( ) 1nP A B− = หรือ 0( ) 2 1nP A B− = = ตอบ 1
PAT1 มีนาคม 2555 เฉลยและเรียบเรียง โดย บุญชวย ภัทรเลิศศิริ สงสัยถาม ใน group ได หรือ 0813065635 หนา 13 / 20
Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานาร,ี แสงอรุณ ,ทวธีาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath
3 2A I= ดังน้ัน
3 3 3| | | | | 2 | 2 | | 8A A I I= = = = และได | | 2A =
3 3 3
2 2 2
t
g h iB a b c
d fC
e
− − − − − −
=
เอา 1C−
คูณตลอดได 1 11
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
t t
g h i g h iB a b c C B a b c C
d e fCC
d e f
− −−
− − − − − − − − − → − − −
= =
1
3 3 3[( 3)( 1)(2)] 4 6 | | 4 6 2 4 48
2 2 2
t
g h i a b cB B a b c C d e f A
d e f g h i
−
− − −= = − − − = − − × = × × = × × = ตอบ 48
ถากราฟท้ังสองตัดกัน น่ันคือมีคา x และ y เทากันท่ีจุด 4 จุดน้ัน ซ่ึงคา x เหลาน้ีก็เปนรากของผลตางของฟงกชันท้ังสอง เน่ืองจาก ( )f x เปนฟงกชันของ x กําลัง 5 แตกําหนดเพียง 4 จุด จึงตองสมมุติรากเพิ่มขึ้น 1 ราก ใหเปน ท่ี x k= ดังน้ันจะได
5 4 3 2 ( 1)( 1)( 2)( ) 3 2x ax bx cx dx e x x x x x k x+ + + + + = + − − − + + 2( 1)( 2)( )x x x x k= − − − + 3 2x +
ดังน้ัน 2(3) 3(3 1)(3 2)(3 ) 3(3) 2 3(8)(1)(3 ) 11 83 24f k k k= − − − + + = − + = −
2( 2) ( 2)[( 2) ]( 2 2)( 2 ) 3( 2) 2 ( 2)(3)( 4)( 2 ) 4 48 24 4 52 24f k k k k− = − − − − − − + − + = − − − − − = − − − = − − (3) ( 2) 135f f− − = ตอบ 135
ให 1 2,Z a bi Z c di= + = + จะได
ดังน้ัน
2 2 2 2 2 2 21 2
2 2 2 2 2 2 21 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2
21 2 1 2
| | | ( ) ( ) | ( 2 ) ( 2 ) 3 ........(1)
| | | ( ) ( ) | ( 2 ) ( 2 ) 1 ........(2)
(1) (2) | | | | 2( ) 9 1 ( | | |( ) | 5
Z Z a c b d i a c ac b d bdZ Z a c b d i a c ac b d bd
Z Z Z Z a c b d a b c d Z Z
+ = + + + = + + + + + =
= − + − = + +− − −
+ −
+ =
+ = + += + = + ++ + =+ → =+
ตอบ 5
PAT1 มีนาคม 2555 เฉลยและเรียบเรียง โดย บุญชวย ภัทรเลิศศิริ สงสัยถาม ใน group ได หรือ 0813065635 หนา 14 / 20
Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานาร,ี แสงอรุณ ,ทวธีาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath
ให Z a bi= + ดังน้ัน 2 22 3( ) 9 2a b a bi i+ + + = − จะได 3 9b = ดังน้ัน 3b =
และ 2 2 2 2 2 2
2
9) 9 12 45 12 32 0 (5 8
2 3 2 9 3 2 2 9 3 2 4()( 4) 0 4 4 3
a b a a a a a a aa
aa a a a z a bi i
+ = + +
→ + − = → − + = ∴ = − = +
+ + = + + = − → + −
= −
→
+
= −
2(1 )( 4 3 ) (2)(25)| | 102 5
i iBi
+ − += = =
+ B มีสมาชิกตัวเดียว ดังน้ันผลบวกของสมาชิกของ B=10 ตอบ 10
ผลบวก 2 พจนแรก : 2
1 1 1 1120 ( 1)1
ra a r a r ar−
= + = + =−
4 พจนแรก: 4
1( 1)651
a rr
−=
−
เอาสมการท้ังสองหารกันได 265 1
20r= + ดังน้ัน
2 65 20 920 4
r −= = จะได
32
r = แทนคา r จะได 120 8
1.5 1a = =
+
ดังน้ัน ผลบวก 6 พจนแรก 6 6
11 1.5 18 166.251 1.5 1
rar− −
= = =− −
2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 11 1 ... 1
1 2 2 3 ( 1)n n n
+ + + + + + + + + +
22 2
2 21 1 1 11
( 1) ( 1) ( 1)n n n n
n n n n n n + + + +
+ + = = + + +
21 1 1 3 1 1 11 1 1 ( )1(1 1) 2 1 2 1 2
n + += → = = + = + −
+ ×
22 2 1 7 1 1 12 1 1 ( )2(2 1) 6 2 3 2 3
n + += → = = + = + −
+ ×
.
.
. 2 1 1... 1 ( )( 1) ( 1)
n n nn nn n n n+ +
= → = = + −+ +
2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 11 1 ... 1
1 2 2 3 ( 1)n n n
∴ + + + + + + + + + +
1 1(1 )( 1)
nn n n
= + − +
PAT1 มีนาคม 2555 เฉลยและเรียบเรียง โดย บุญชวย ภัทรเลิศศิริ สงสัยถาม ใน group ได หรือ 0813065635 หนา 15 / 20
Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานาร,ี แสงอรุณ ,ทวธีาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath
21 11
( 1)n n n= + −
+
ถา 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 11 1 ... 1 1
1 2 2 3 ( 1)n
n n n
= ∞ → + + + + + + + + + = +
ตอบ 1
1 1
2 2
2 2
2 2 4 4 8 8 2 21 2 3
2 2 4 4 8
2 2
2
8 2 2
4 4 4 8 8 2 2
2
2
8 8 8 2 2
2 2
4
8
(5 5 )(5 5 )(5 5 )...(5 5 )
( )(5 5 )(5 5 )(5 5 )...(5 5 )
(5 5 )(5 5
5 5
)(
...
)
5 5 )...(5 5 )
(5 5 )(5 5 )...(5 5 )
(5 5
5 5
5 5
5 5
5
n n
n n
n n
n n
n n
na a a a
+ +
− − − −
− − − −
− − − −
− − −
−
−
−
−
−
= + + + +
−
−
− + + + +=
+ + +=
+ + +=
−
−
−=
=−
( )( )
( )( )
( )( )
( 1) ( 1) 1 ( 2)
1 1 1 ( 2
2(22 2 2 21
2 2 2 2 2
)
) (21 2 3
2
) )
)
2
2 22 2 2 2
2(2
12(2
1 2 3
1
1 2 3
)
2
1 )) )... 1 1
1 )
... 1
1 0.
5 (5
5(5 5 )( 55 5 5 5
..
5 (1 5 )(5 5 5 5 5
5 (lim
5
(l
5
im
5
nn n n n
n n n n n
n
n
n
n
nn
n
nn
n
aa a a a
aa a a a
aa a a a
+ + + +
+ + + +
−− −+
− − −
−
+−→∞
+
→
−
−−
∞
−
−
−− ++ +−
−
−
= = =
=
=
− −
+
−
+
( )2 2
25 0.04 24.95
05
6)
1
−
− =−
=−
ตอบ 24.96
ให g(x)= 3 2ax bx cx d+ + +
g(f(x)) = 3 2(2 3) (2 3) (2 3)a x b x c x d+ + + + + + = 3 28 44 80 48x x x+ + + เทียบสัมประสิทธิ์ ได a=1 b=2 c=2 d=-3 g(x)= 3 22 2 3x x x+ + − ดังน้ัน ( ( ))f g x = 3 22( 2 2 3) 3x x x+ + − + = 2 ( ) 3g x − น่ันคือ $f(x)=2x-3$ $f(
6
0( ( ))f g x dx∫ =
6 3 2
0(2 4 4 3)x x x dx+ + −∫ = 990 ตอบ 990
PAT1 มีนาคม 2555 เฉลยและเรียบเรียง โดย บุญชวย ภัทรเลิศศิริ สงสัยถาม ใน group ได หรือ 0813065635 หนา 16 / 20
Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานาร,ี แสงอรุณ ,ทวธีาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath
2( )( ) 2( )(1 ) 6 10 17fog x fog x x x+ − = − + ….. (1) 22( )( ) ( )(1 ) 6 2 13fog x fog x x x+ − = − + …... (2)
24( )( ) 2( )(1 ) 12 4 26fog x fog x x x+ − = − + ... (3) (2) 2×
ได
2
2 2
3( ( )) 6 6 9 (3) (1)( ) 2 2 3 2( 3) 3 2 ( ) 3
( ) 2 3 (383) 2(383) 3 763
fog x x xfog x x x x x g xf x x f
= + + −
= + + = + + − = −= − → = − =
จาก 21, , 2 1 2cosxcotx cosecx cos x sin x
sinx sinx= = = − จะไดวา
3 2 3 3
2 5( 1)( )1 2 2 (2 2 )cot x cosec x cos x sin x
cos x sin x sin x cos x− −
=+ −
พยายามกําจัดเทอมท่ีทําใหเกิด 00
โดย 2 22cos x cos x sin x= −
3 2 3 3
2 5 2 2( 1)( )1 2 2 (2)( )cot x cosec x cos x sin x
cos x sin x sin x cos x sin x− −
=+ − −
2 2
5( )( )
(2)( )( )cosx sinx cos x cosxsinx sin x
sin x cosx sinx cosx sinx− + +
=− +
2 2
5( )
(2)( )cos x cosxsinx sin x
sin x cosx sinx+ +
=+ 5
(1 )2 ( )
cosxsinxsin x cosx sinx
+=
+แทน 45ox = = 2.5 0.5
1 0.5 32(2 )2−
+= ตอบ 3
PAT1 มีนาคม 2555 เฉลยและเรียบเรียง โดย บุญชวย ภัทรเลิศศิริ สงสัยถาม ใน group ได หรือ 0813065635 หนา 17 / 20
Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานาร,ี แสงอรุณ ,ทวธีาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath
คิดแบงเปน 3 กรณ ีโดยมีวิธีลัดในการคิด เหมือนการแบงของท่ีเหมือนกัน โดยแตละช้ินแทนดวย O และไมกั้นแบง 2 อัน แตละอันแทนดวย | กรณ ี 0a = , ได 4a b c+ + = คิดเหมือนการ จัดเรยีง ไมกัน 2 อัน ซ่ึงกั้นแถวของ 4 ช้ิน เปน 3 สวน เชน 00|0|0 เปนการแบง a,b,c เปน 2,1,1 จะจัดเรียง ของ 2 ประเภทน้ีได
จํานวนวิธีในการแบงของระหวาง 4 ช้ิน ระหวาง b,c,d = 6! 15
2!4!= วิธี
กรณ ี 1a = , ได 2a b c+ + = แบงของ 2 ช้ินได=4! 6
2!2!= วิธี
กรณ ี 2a = , ได 0a b c+ + = แบงของ 0 ช้ินได= 1 วิธี รวมจํานวนสมาชิก ของ S ซ่ึงคือคูอันดับตางๆกันของ (a,b,c,d) = 15+6+1=22 ตอบ 22
เรียงตัวเลขยกเวน x ได 3,3,3,5,6,11 เน่ืองจากม ี3 ถึง 3 ตัว ดังน้ันไมวาคา x จะเปนเทาใดฐานนิยมก็จะมีคาเปน 3 ขอมูลชุดน้ีมี 7 ตัว มัธยฐานจะอยูตําแหนงท่ี 4
ถา 4x = 3 3 3 5 6 11 31 3 3 3 4 5 6 11 5
7 7 7x xx + + + + + + + + + + + + +
= = = = ok เรียงกันเปน 3,4,5 เปนลําดับเลชคณิต
ถา 316
7xx +
= = จะได 42 31 11x = − = ฐานนิยม.มัธยฐาน, เฉล่ีย=3,5,6 ไมเปนลําดับเลขคณิต
ถา 317
7xx +
= = จะได 49 31 18x = − = ฐานนิยม.มัธยฐาน, เฉล่ีย=3,5,7 เปนลําดับเลขคณิต ดังน้ัน S={4,18} 4+18=22 ตอบ
5
( ) 103
n S
=
= วิธีหยิบท่ีจะไมได ก หรือ ข เลย 3
13 =
วิธีหยิบท่ีจะได ก หรือ ข 10 1 9= − = ดังน้ันคําตอบคือ 9( )
10P E = ตอบ
PAT1 มีนาคม 2555 เฉลยและเรียบเรียง โดย บุญชวย ภัทรเลิศศิริ สงสัยถาม ใน group ได หรือ 0813065635 หนา 18 / 20
Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานาร,ี แสงอรุณ ,ทวธีาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath
44. คะแนนสูงสุดของเกรด C ตรงกับตะแนน ของนักเรียนท่ีไดคะแนนเปน Percentile 70 คิดเปนลําดับท่ี 0.70 30 21× =
ลําดับท่ี 1-17 มีชวงคะแนน 10-39 ลําดับท่ี 18-27 มีชวงคะแนน 40-49 ดังน้ันลําดับท่ี 21 คิดเปนคะแนน 21 1739.5 (49 39) 43.527 17
−= + × − =
−
45.จากโจทย 13
sx=
3xs→ = เกรดA มี 10%= 3 คน มีชวงคะแนน 50-59 ดังน้ัน เกรดฺ B จะมีคะแนนสูงสุด= 49.5 คิดเปนคา $Z=1.5$
ดังน้ัน จากสูตร 49.5 1.5 (3)(49.5 ) 1.5
3
x x x x xxs− −
= = → − = 3(49.5) 33
4.5x→ = = ตอบ
กรณีแรก นาย ก และ นส ข ไมไดอยูในแถวเดียวกัน
แถวนาย ก จะเลือกคนมาได 2 จาก 4 คน ได 42
4 3 62
×= =
วิธี
วิธี และจัดเรียงภายในแถว ได 3!= 6 วิธี รวม 6 6 36= × = วิธี อีกแถวจะจัดเรียงได 3!= 6 วิธี ดังน้ัน กรณแีรก จะได จํานวนวิธี จัดแถวท่ีมีนายก x จํานวนวิธีจัดแถวท่ีไมมีนาย ก x 2!(สลับแถว)= 36 6 2 432× × = วิธี กรณีที่สอง นาย ก. และ นส ข. อยูในแถวเดียวกัน แตไมติดกัน ตองเลือกคนอ่ืนมาอีก 1 คนจาก 4 คน ได 4 วิธี สลับหัวทายท่ีนาย ก และ นส ข.อยูได 2 วิธี รวม 4 2 8× = วิธ ีอีกแถวหน่ึง จัดเรียงได 3!=6 วิธี รวมจํานวนวิธีจัด 2 แถวน้ี และทําการสลับแถวดวย 8 6 2 96= × × = วิธี รวมท้ังสองกรณี จํานวนวิธใีนการจัดแถว= 432 96 528+ = วิธ ี ตอบ 528
ใชการลบกันระหวางคูสองคูเพ่ือใหเศษ r หักลางกันไป แลวเอาผลลบตัวนอยหารผลลบตัวมาก แลวใชเศษซึง่ลวนหารดวย d ลงตัวหารผลท่ี
สูงกวาในลําดับถัดไปจนไมเหลือเศษอีก ตัวหารสุดทายน้ีก็คือ d น่ันเอง
PAT1 มีนาคม 2555 เฉลยและเรียบเรียง โดย บุญชวย ภัทรเลิศศิริ สงสัยถาม ใน group ได หรือ 0813065635 หนา 19 / 20
Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานาร,ี แสงอรุณ ,ทวธีาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath
1417-1059=358, 2312-1417=895, 895/358=2 179/358, 358/179=2 ไมมีเศษ ฉน้ัน d=179
1059/179=5 164/179 ฉน้ัน เศษ r=164 d+r=179+164=343 ตอบ
แทนคาลงไปท้ังสองจุด
5 1= − − +a b ......(1)
5 2= − −c d .......(2)
3 7= − − +a b .......(3)
3 8= − −c d ........(4)
(3)-(1) 2 1 7− = − − −a a .......(5)
(4)-(2) 2 8 2− = − − −c c .......(6) เมื่อ 7a จะไดวาไมเหลือพจน a เมื่อ 1 7< <a จะไดวา 2 (1 ) (7 )− = − − − −a a
3=a เมื่อ 1> a จะไดวาไมเหลือพจน a เมื่อ 8c จะไดวาไมเหลือพจน a เมื่อ 2 8< <c จะไดวา 2 (8 ) (2 )− = − + −c c 2 12 6= → =c c เมื่อ 2 > c จะไดวาไมเหลือพจน c แทนคา a ใน (1) ได 7=b แทนคา a ใน (3) ได 7=b แทนคา c ใน (2) ได 1= −d แทนคา c ใน (4) ได 1= −d
3 7 6 1 15+ + + = + + − =a b c d วิธีท่ี 2 วิธีลัด เน่ืองจากสมการเสนตรงมีความชัน = ±1 ตามรูป ระยะระหวางจุดในแนวนอน = ระยะในแนวด่ิง
ระยะระหวางจุด , : 8 (1 ) 3 10B C a b a b− + = − → + = ระหวางจุด B,D: 8 3 5c d c d− = + → + = ฉะน้ัน ( ) ( ) 10 5 15a b c d+ + + = + = ตอบ 15
จากโจทยจะได 10 10(2 ) 21ab a b b b b= + = + = 10 10 2 12ba b a b b b= + = + =
และ (310)( ) 465( ) 310(21 ) 465(12 ) 6510 5580 930 2790ab ba b b b b b− = − = − = = ดังน้ัน 2790 3930
b = =
แลว 2 3 3(3) 9a b b b b+ = + = = = ตอบ 9
PAT1 มีนาคม 2555 เฉลยและเรียบเรียง โดย บุญชวย ภัทรเลิศศิริ สงสัยถาม ใน group ได หรือ 0813065635 หนา 20 / 20
Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานาร,ี แสงอรุณ ,ทวธีาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath
3 2 4a c− = หรือ
3 24a c− = ได 2, 2a c= = 1คู 22 7b d− = หรือ
22 7b d− = ได 3, 1b d= = 4, 3b d= = 5, 5b d= = 3คู 3 2 1e f− = − หรือ
3 21e f+ = ได 0, 1e f= = 2, 3e f= = 2คู ดังน้ันตามเงื่อนไขท้ังสาม จํานวนสมาชิก n(S)=(1)(3)(2)=6 ตอบ 6